i

NÉMETH MÁRK

SZAKDOLGOZAT

ii

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR

HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK

SZAKDOLGOZATOK

iii

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR

HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK

Németh Márk

SZAKDOLGOZAT

Burgers egyenlet numerikus analízise spektrál kollokációs

módszerrel

Konzulens: Témavezető:

Dr. Hegedűs Ferenc Dr. Hegedűs Ferenc

Adjunktus Adjunktus

Budapest, 2015

iv

Szerzői jog © Németh Márk, 2015.

ZÁRADÉK

Ez a szakdolgozat elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok

szerint korlátozott, a dolgozat tartalmát csak az arra feljogosított személyek ismerhetik.

A korlátozott hozzáférés időtartamának lejártáig az arra feljogosítottakon kívül csak a

korlátozást kérelmező személy vagy gazdálkodó szervezet írásos engedélyével rendelkező

személy nyerhet betekintést a dolgozat tartalmába.

A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés 2015. év december hónap 11. napján ér véget.

v

NYILATKOZATOK

Elfogadási nyilatkozat

Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem

Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt

valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban

előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E szakdolgozatot a nyilvános bírálatra és

nyilvános előadásra alkalmasnak tartom.

A beadás időpontja:

témavezető

Nyilatkozat az önálló munkáról

Alulírott, Németh Márk (VVGMES), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi

Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és

sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett

segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott

forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos

értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos

előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem.

Budapest, 2015. December 11.

szigorló hallgató

vi

vii

TARTALOMJEGYZÉK

Jelölésjegyzék ................................................................................................................ ix

Előszó ............................................................................................................................. xi

1. Bevezetés ................................................................................................................... 13

1.1. Célkitűzések ..................................................................................................... 13

1.2. Történelmi áttekintés ...................................................................................... 15

1.3. Spektrál módszer és más numerikus módszerek összehasonlítása ......... 17

1.4. Burgers egyenlet .............................................................................................. 19

2. Matematikai Háttér .................................................................................................. 21

2.1. Ortogonalitás, Ortogonális Projekció............................................................ 21

2.2. Spektrál módszert alkotó lépések áttekintése ............................................. 26

2.2.1. Polinomillesztés .................................................................................... 26

2.2.2. Optimális Bázisfüggvények ................................................................ 30

2.2.3. Optimális hálók ..................................................................................... 31

2.2.3.1. Roots Grid nem periodikus perem .......................................... 31

2.2.3.2. Extrema Grid nem periodikus perem .................................... 32

2.2.3.3. Extrema Grid periodikus perem .............................................. 32

2.2.3.4. Roots Grid periodikus perem .................................................. 33

2.2.4. Hely szerinti derivált előállítása ........................................................ 34

2.2.5. Szűrő eljárások ...................................................................................... 37

2.2.5.1. Szűrő típusok ............................................................................. 37

2.2.6. Idő szerinti derivált .............................................................................. 38

3. Burgers egyenlet ....................................................................................................... 39

3.1. Súrlódásmentes Burgers egyenlet periodikus peremfeltétel..................... 39

3.2. Súrlódásmentes Burgers egyenlet nem periodikus peremfeltétel ............ 42

3.3. Súrlódásos Burgers egyenlet periodikus peremfeltétel ............................. 46

3.4. Súrlódásos Burgers egyenlet nem periodikus peremfeltétel ..................... 49

4. Összefoglalás ............................................................................................................. 52

5. Kitekintés ................................................................................................................... 53

6. Summary .................................................................................................................... 53

7. Irodalomjegyzék ....................................................................................................... 54

viii

ix

JELÖLÉSJEGYZÉK

Spektrál módszer jelölés rendszere

)(xan n-edik bázisfüggvény együtthatója

kc Fourier együtthatók

e Euler szám

)(xu közelített függvény

i képzetes rész

N kollokációs pontok száma (szabadsági fok)

)(xPn N-ed fokú közelítő függvény

),( naxR reziduum

k szűrő vektor

)(xn n-edik bázisfüggvény

Burgers egyenlet jelölés rendszere

t idő koordináta

u áramlási sebesség (hidraulikában)

kinematikai viszkozitás

x hely koordináta

y hely koordináta (transzformáció után)

x

xi

ELŐSZÓ

A dolgozatban a Burgers egyenlet numerikus analízisére kerül sor, spektrál kollokációs

módszerrel. Többek közt a súrlódásmentes és súrlódásos Burgers egyenlet megoldásait

kerestem periodikus és nem periodikus peremfeltétel mellett. A spektrál kollokációs módszer

matematikai háttere is ismertetésre kerül, azonban a matematikai levezetések nem képezik

részét a dolgozatnak. A Burgers egyenlet egy parciális differenciálegyenlet, amely a

nemlineáris hullámterjedést modellezi, és megoldásában lökéshullám alakulhat ki, ezért

alkalmas különböző numerikus módszerek tesztelésére.

***

Ezúton szeretném megköszönni Dr. Hegedűs Ferencnek, hogy készségesen segítette

az elméleti háttér elsajátítását, illetve ezen dolgozat elkészültét. Továbbá köszönettel

tartozom Klapcsik Kálmánnak, akinek a diplomaterve segítette a spektrál módszer

elméleti hátterének megismerését.

Budapest, 2015. December 11.

Németh Márk

xii

13

1. BEVEZETÉS

1.1. Célkitűzések

A mérnöki gyakorlatban számos jelenséget differenciálegyenletekkel írunk le. Ezen

egyenletek megfelelő kezelése elengedhetetlen a korszerű fejlesztésekhez, azonban

ezek az egyenletek ritkán oldhatók meg analitikusan. A differenciálegyenletek

megoldására az utóbbi pár évtizedben kezdtek elterjedni a numerikus módszerek,

amelyek a differenciálegyenletek közelítő megoldását állítják elő. A numerikus

módszerek előtt, mivel nem tudták kezelni a legtöbb jelenséget leíró

differenciálegyenletet, több helyszíni mérésre illetve modellkísérletre volt szükség a

tervezési fázisban. Napjainkban a tervezési fázisban a numerikus szimulációkkal

tudjuk csökkenteni a szükséges mérések illetve modellkísérletek számát, aminek a

következménye, hogy olcsóbb és hatékonyabb a tervezési szakasz. A numerikus

módszerek ilyen mértékű térhódításához szükség volt a számítástechnika

robbanásszerű fejlődésére, ugyanis ezek a módszerek rendkívül nagy számítási

igénnyel rendelkeznek.

A számítógépek számítási kapacitásának robbanásszerű fejlődése előreláthatólag

folytatódik, ugyanis Moore törvénye igazolódni látszik, amely azt mondja ki, hogy

körülbelül minden 18. hónapban megduplázódik az integrált áramkörökben lévő

egységnyi területre jutó tranzisztorok száma, és ez által a számítógépek számítási

teljesítménye is. Az 1.1. ábrán látható, az integrált áramkörökbe épített tranzisztorok

száma az idő függvényében.

1.1. ábra: Egységnyi területre beépített tranzisztorok száma az idő függvényében

14

A spektrál módszer manapság még kevésbé elterjedt eljárás, amely a numerikus

módszerek családjába tartozik. A numerikus eljárások mindig kompromisszumot

igényelnek, ennek oka, hogy minél pontosabban akarjuk közelíteni az egzakt

megoldást, annál nagyobb a számítási igénye a módszernek. A spektrál módszerek

előnye más sémákkal szemben, hogy azonos pontosság eléréséhez kevesebb

erőforrásra van szükségük, ezáltal a kívánt pontosság megtartása mellett a számítási

idő csökkenthető, ami fontos szempont az ipari alkalmazások során. A dolgozat célja

a spektrál módszer alkalmazásának bemutatása a Burgers egyenleten keresztül. A

Burgers egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet, amely egyenlet

megoldásában lökéshullám alakulhat ki. A dolgozat további célja egy rövid történeti

áttekintés után összefoglalni a matematikai hátterét a spektrál módszernek, a téma

iránt mélyebben érdeklődők pedig az irodalmi hivatkozásban találnak műveket,

amelyekben megtalálhatóak a matematikai levezetések is. Vizsgáltam a

súrlódásmentes Burgers egyenletnél, periodikus peremfeltétel mellett a

lökéshullámok kialakulásának mechanizmusát, továbbá nem periodikus

peremfeltétel mellett különböző harmonikus gerjesztések esetén, a lökéshullámok

kialakulásának helyét a gerjesztés függvényében. A súrlódásos Burgers egyenletnél is

elvégeztem ezeket a vizsgálatokat, továbbá a disszipáció hatását is vizsgáltam a

kialakuló lökéshullámokra.

15

1.2. Történelmi áttekintés

Egyes áramlástani jelenségek numerikus szimulációinál a spektrál módszerek váltak

az uralkodó numerikus eljárássá. Többek közt a turbulencia kutatásban, a

laminárisból turbulens áramlásba történő átmenet szimulációjánál, és a globális

időjárás szimulációnál. Számos más területen bizonyította a módszer, hogy életképes

alternatíva a hagyományos véges differencia sémák mellett, többek közt a hőátadás

és a magnetohidrodinamika területén is. A spektrál módszerek történelmi

fejlődésének bemutatásához szükséges ezen a ponton ismertetni a spektrál

módszerek két csoportját. Az egyik csoport az interpolációs spketrál módszer (más

néven pszeudo-spektrál módszer) a másik a nem interpolációs spektrál módszer. Az

interpolációs módszernél osztáspontokban vett diszkrét értékekkel dolgozunk, a nem

interpolációs módszernél ezzel szemben nincsenek osztáspontok és folytonos

függvényekkel dolgozunk. A két módszer közti különbséget a dolgozat későbbi

részében röviden bemutatom. A spektrál módszerek kialakulásának kezdeti

szakaszában, a módszer legnagyobb támogatói a meteorológusok és a turbulencia

kutatók voltak.

A módszert először 1944-ben Blinova [1] majd 1954-ben Haurwitz és Craig [2]

javasolta nagyszabású folyadékdinamikai számítások elvégzéséhez. Blinova célja a

hosszú távú időjárás előrejelzés volt, Haurwitz és Craig pedig a nagy kiterjedésű

atmoszférikus áramlási mintákat vizsgálta. A spektrál módszerek első áramlástani

alkalmazása Silbermanhez [3] kötődik, aki az egyik nem interpolációs módszert 1954-

ben alkalmazta meteorológiai modellezéshez. Silberman mért adatokat használt

kezdeti feltételként, majd próbált időjárás előrejelzéseket készíteni különböző

numerikus módszerekkel. Arra a következtetésre jutott, hogy a spektrál módszer

kétszer olyan hatékony volt számítási idő tekintetében, mint a hagyományos véges

differencia módszer.

A kollokációs megközelítés először Slater [4] és Kantorovic [5] publikációjában jelent

meg 1934-ben. 1937-ben Frazer [6] a közönséges differenciál egyenletek megoldási

módszerévé fejlesztette tovább az eljárást. 1938-ban Lanczos [7] a kollokációs pontok

különböző bázisfüggvényekhez tartozó optimális eloszlását határozta meg, ami

alapvetően befolyásolja a módszer pontosságát. Az 1960-as években a módszer kevés

figyelmet kapott. Az első komolyabb alkalmazása a módszernek 1972-ben történt

meg, amikor Oliger és Kreiss [8] illetve Orszag [9] használta először térben

periodikus parciális differenciálegyenlet megoldására. Ezután népszerű lett a

turbulencia kutatók és a meteorológusok körében az eljárás. 1977-ben Gottlieb és

Orszag [10] írt egy tanulmányt, amiben a spektrál módszerek matematikai hátterét

16

foglalták össze. Az 1980-as évekre a spektrál módszerek matematikai háttere

meglehetősen kidolgozott lett. Azonban számos megválaszolatlan probléma maradt

a módszerrel kapcsolatban. Többek közt rosszul kezelte azokat a

differenciálegyenleteket, amelyek megoldásában diszkontinuitás, azaz szakadás

lépett fel. Az 1980-as években számos oldalról próbálták megközelíteni ezt a

problémát, különösen az összenyomható áramlásokban keletkező lökéshullámok

miatt. A probléma kezelésére különböző simító eljárások alakultak ki, amelyekre a

dolgozat későbbi részében még kitérek. Az első könyv 1988-ban született Canuto,

Hussaini, Quarteroni, Zang [11] közreműködésével, amely a spektrál módszer

alkalmazási lehetőségeit mutatta be áramlástani problémákon. Az ezt követő

időszakban robbanásszerű növekedés következett be a spektrál módszerek

népszerűségében. 1989-ben jelent meg Boyd [12] munkája, amely részletesen

tárgyalja a különböző spektrál algoritmusokat. Az 1990-es években a komplex

geometriákon történő alkalmazási lehetőségekkel kezdtek foglalkozni, ugyanis ezen

a téren voltak hiányosságai a módszernek. Az első publikációk a 2000-es években

jelentek meg ezzel kapcsolatban. Az 1990-es években főleg a kutatás eszköze volt, az

ipar a 2000-es évek körül kezdte el használni a módszert. Jelenleg a hullámterjedések

leírására nagyon jól használható, ezért kedvelt módszer számos területen, többek

közt az akusztika, a szeizmológia és az elektromagnetika területén. Ennek egyik oka,

hogy rendkívül jó fázistartási tulajdonságai vannak a módszernek.

17

1.3. Spektrál módszer és más numerikus módszerek összehasonlítása

A jelenségeket leíró parciális differenciálegyenletek, a keresett változó hely és idő

szerinti deriváltjai között teremtenek kapcsolatot. Ezt a változót általános u-val, a

teret, mivel csak egy dimenzióban vizsgálódunk x-el, az időt pedig t-vel fogom

jelölni. Ha a változó hely és idő szerinti deriváltja is szerepel az egyenletben az azt

jelenti, hogy a változónk térben és időben is változik. Ebből következik, hogy

szükséges kijelölnünk a vizsgált tér és időtartományt, ahol meg akarjuk határozni a

változó értékét. A vizsgált térrészt a véges differencia és a pszeudo-spektrál

módszernél is fel kell osztanunk osztáspontokra. A numerikus módszerekben közös,

hogy a kollokációs pontokban határozzuk meg a megoldásfüggvény diszkrét értékeit

adott időpillanatokban.

A numerikus módszereknél célszerű törekedni a hely szerinti deriváltak pontos

meghatározására az osztáspontokban, ugyanis a hely szerinti deriváltak

meghatározásának pontossága, hatással van az idő szerinti deriváltak

meghatározhatóságának pontosságára. Az idő szerinti deriváltak pontos

meghatározása nélkül, a megoldásunk az időben előre haladva egyre pontatlanabb

lesz.

A spektrál módszerek az osztáspontokban meghatározott értékekre globálisan, míg

a véges differencia sémák lokálisan illesztenek polinomot. A globális polinom

illesztés előnye, hogy a hely szerinti deriváltak értéke pontosabban meghatározható

az osztáspontokban. Az 1.2. ábrán látszik, hogy lokális polinom illesztés esetén, a

hely szerinti derivált pontos előállítása problémát okoz. A hely szerinti derivált

pontosítása elérhető az osztáspontok sűrítésével, azonban ez a számításhoz

szükséges erőforrás igényt jelentősen megnövelheti. Az 1.2. ábrán látható, hogy

globális polinom illesztés esetén a hely szerinti deriváltak pontosabban előállíthatók.

1.2. ábra: Lokális és Globális polinom illesztés N=7 osztáspontra

18

A lokális polinom illesztés során például három pontonként egy másodrendű

polinomot illesztünk az osztáspontokra (másodrendű differencia séma), míg globális

polinom illesztésnél N darab osztáspontra egy N-1-ed rendű polinomot illesztünk.

A magasabb rendű illesztett polinom miatt a spektrál módszereket szokás magasabb

rendű numerikus módszereknek is hívni.

Több összehasonlító tanulmány született már a numerikus módszerekről, ebben a

dolgozatban nem célom ezeket a vizsgálatokat elvégezni csupán az eredményeket

kívánom bemutatni. A numerikus módszereket célszerű a pontosság és a

konvergencia sebesség alapján összehasonlítani. A vizsgálatokat olyan

differenciálegyenleteken végezték, amelyeknek ismert az egzakt, pontos megoldása,

hiszen a pontos megoldást lehet referenciaként használni. A differenciálegyenletek

egzakt (pontos) megoldása és a közelítő megoldás mindig eltér egymástól

valamilyen mértékben. A kettő közti különbséget szokás reziduumnak nevezni. A

reziduum minimalizálása mindig céljaink közt szerepel. A szabadsági fokok száma

az osztáspontok számával egyezik meg. Könnyen belátható, hogy a szabadsági

fokszám növelésével csökkenthető a reziduum, azonban ez a lépés, a módszer

erőforrás igényét drasztikusan megemeli. Pontosságról akkor kapunk képet, ha a

reziduum értékét vizsgáljuk az egész térrészen. Korábbi tanulmányokból [13] látszik,

hogy a spektrál módszerek akár 2-3 nagyságrenddel is pontosabbak a véges

differencia módszereknél, azonos szabadsági fokszám mellett.

A konvergencia sebesség alatt, a reziduum maximum abszolút értékének a

csökkenését értjük a szabadsági fokszám növelése mellett. Korábbi tanulmányokból

[13] kiderül, hogy a spektrál módszerek konvergencia sebessége nagyobb, mint a

véges differencia sémáké. Tehát a spektrál módszerek előnye, hogy azonos pontosság

érhető el velük, sokkal kisebb erőforrás igény mellett. Elképzelhető, hogy ez egy

összetettebb probléma esetén, akár hónapokkal rövidebb számítási időt is jelenthet.

Ahhoz, hogy teljes legyen az összkép, célszerű a spektrál módszerek hátrányaira is

kitérni. Azokban az esetekben, amikor a megoldásfüggvényben szakadás

(diszkontinuitás) lép fel, a spektrál módszer hatékonysága lecsökken. A szakadás

környezetében a harmonikus függvényekkel történő közelítés miatt, a közelítés

oszcillálni kezd (Gibbs jelenség), ami nagy pontatlansághoz vezet. A probléma

megoldására különböző simító eljárások alakultak ki, amikre a dolgozat későbbi

részében részletesen kitérek. A másik kevésbé kiforrott alkalmazási területe a

módszernek a komplex geometriákon történő alkalmazása, azonban ezzel

kapcsolatban a 2000-es évektől folyamatosan jelennek meg tanulmányok, így

folyamatos fejlődés várható ezen a téren.

19

1.4. Burgers egyenlet

A dolgozatban a Burgers egyenleten mutatom be a spektrál kollokációs módszer

alkalmazását. A Burgers egyenletet nemlineáris hullámterjedés leírására használják a

hidraulikában, az akusztikában illetve a magnetohidrodinamikában. A Burgers

egyenlet egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet, amely tartalmaz egy

disszipatív tagot is. Attól függően, hogy a disszipatív tagot figyelembe vesszük, vagy

nem, beszélhetünk súrlódásos illetve súrlódásmentes Burgers egyenletről. A Burgers

egyenlet hidraulikai alkalmazásakor az u változó az áramlási sebességet, akusztikai

alkalmazásakor a nyomást jelöli.

A súrlódásos Burgers egyenlet általános alakja a következő:

.2

2

x

u

x

uu

t

u

(1.1) (1.1)

Ha a viszkozitást elhanyagoljuk, akkor a súrlódásmentes Burgers egyenletet kapjuk:

.0

x

uu

t

u (1.2)

Az (1.2) egyenlet többek közt forgalom, és sekélyvízi hullámterjedés leírására is

használt.

A Burgers egyenlet egy nemlineáris, parciális differenciálegyenlet, továbbá ez egy

hiperbolikus egyenlet, amelynek az a tulajdonsága, hogy szakadásmentes kezdeti

feltétel mellett is kialakulhat szakadás az egyenlet megoldásában. A parabolikus

egyenleteknél ez a jelenség nem fordulhat elő. Tehát a Burgers egyenlet

megoldásában lökéshullám alakulhat ki. Az u változó az áramlási sebességet jelenti,

amely egyben a hullámterjedési sebesség is. A Burgers egyenlet megoldásában a

hullám egyes részei különböző sebességgel haladnak, ebből adódóan a hullám

torzulni fog. A torzulás lehet olyan mértékű, hogy lökéshullám alakul ki. A

lökéshullám tulajdonképpen egy hirtelen ugrás az áramlási sebességben, azaz a

hullámnak egy olyan része, ahol a sebesség hely szerinti deriváltja tart a végtelenhez.

A lökéshullám kialakulását az 1.3. ábra szemlélteti.

20

1.3. ábra: Lökéshullám kialakulása

Az egyenlet megoldásában kialakuló szakadás környezetében, a közelítő polinom

erősen oszcillálni kezd. Szükséges tehát a közelítő polinomot simító eljárásokkal

kezelni, annak érdekében, hogy a közelítés pontossága ne romoljon sokat.

A hullám tehát képes önmagát torzítani, azonban ezt megfigyelni csak alacsony

viszkozitás és nagy amplitúdó mellett lehetséges, ugyanis ha a hullám energiája túl

hamar disszipál el a viszkozitás miatt, akkor nincs ideje kialakulni a lökéshullámnak.

21

2. Matematikai háttér

A spektrál módszereket a dolgozat befejezéséig nem integrálták kereskedelmi

szoftverekbe, így a módszer alkalmazásához elengedhetetlen a matematikai háttér

ismerete. A matematikai háttér ismeretében egy matematikai szoftver segítségével

(például MATLAB) már írhatóak különböző spektrál megoldók. A módszer

matematikai hátterének levezetése az alapoktól nem tartozik a céljaim közé, csupán

általánosságban szeretném ismertetni az összefüggéseket, amikkel már egy spektrál

megoldó leprogramozható. A spketrál módszerek, mint már korábban is utaltam rá,

két nagy csoportba sorolhatók. Vannak az interpolációs és a nem interpolációs

spektrál módszerek. A két módszer közti különbség bemutatásához azonban először

célszerű tisztázni pár alapfogalmat a vektorokkal és függvényekkel kapcsolatban.

2.1. Ortogonalitás, Ortogonális projekció

A vektorok mindig egy M dimenziós vektortérben vannak értelmezve, amely

vektorteret egyértelműen meghatároznak a vektortér bázisvektorai. A 2.1. ábrán egy

kétdimenziós vektortér látható, amelyet az 𝑒1 és 𝑒2 bázisvektorok feszítenek ki.

Geometriában ortogonálisnak nevezünk két vektort akkor, ha egymásra

merőlegesek. Az alábbi ábrán látható egy kétdimenziós vektortér. Legyen a két

tetszőleges vektor g és f vektor.

2.1. ábra: Ortogonalitás

22

Ha g és f ortogonális, azaz merőlegesek egymásra, akkor skaláris szorzatuk nulla,

amely vektorok esetén a következő módon értelmezett:

.0)(;1

M

i

ii fgfg (2.1)

Tetszőleges vektor felbontható bázisok és együtthatók lineáris kombinációjára, ha a

bázisvektorokra merőlegesen vetítjük a vektort. Ezt a merőleges vetítést ortogonális

projekciónak hívjuk, amelyet a 2.2. ábra szemléltet.

2.2. ábra: Ortogonális Projekció

Tehát a g vektor a következő alakban írható fel:

.2211 egegg (2.2)

Általános esetben a g , egy M dimenziós vektortérben a bázisvektorok és

együtthatók lineáris kombinációjaként előállítható vektor:

,)(1

M

i

ii egg (2.3)

ahol gi és fi az egyes bázisvektorokhoz tartozó együtthatók.

23

Továbbiakban térjünk át a függvényekre. A függvények közelíthetők különböző

függvénysorokkal. Ezek a függvénysorok felbonthatók különböző függvények és

együtthatók lineáris kombinációjára. A két legismertebb függvénysor a Taylor és a

Fourier sor. A Taylor sor esetén hatványfüggvények és együtthatók lineáris

kombinációjával közelítjük a függvényt. A Taylor sor hátránya, hogy a függvényt a

sorfejtés helyén illetve annak környezetében közelíti jól, máshol kevésbé. A Taylor

sor alakja a következő:

n

p

pp

n xxp

xfxT

0

00 .)(

!

)()( (2.4)

A Fourier sor esetén a függvény közelítése trigonometrikus függvények és

együtthatók lineáris kombinációjával történik. A Fourier sor alakja a következő:

n

p

ppn pxbpxaa

xF1

0 )).sin()cos((2

)( (2.5)

A függvénysorokkal történő közelítés annál pontosabb, minél több taggal közelítünk.

A számítási kapacitásunk azonban véges, ezért nem lehet végtelen számú taggal

közelíteni a függvényeket.

Az ortogonalitás fogalma kiterjeszthető függvényekre is. Két függvény akkor

ortogonális, ha a belső szorzatuk nulla. A függvények belső szorzata az alábbi

módon értelmezett:

b

a

dxxgxfgf 0)()(; ],[ bax . (2.6)

Az ortogonális projekció más néven ortogonális vetítés függvényekre is értelmezhető

olyan esetekben, amikor a függvények belső szorzata értelmezve van. Ha szeretnénk

egy magasabb dimenziós térben értelmezett függvényt közelíteni egy alacsonyabb

dimenziós függvénnyel, akkor a legpontosabb közelítést az ortogonális projekció

által kapjuk. Tulajdonképpen az ortogonális projekció révén kapjuk meg a

bázisfüggvényekhez tartozó azon együtthatókat, amelyekkel a közelítő

függvénysorunk a legpontosabb lesz. A függvények ortogonális projekcióját a 2.3.

ábra szemlélteti.

24

2.3. ábra: Függvény ortogonális projekciója

A 𝑔′ előállítható a következő alakban:

.''' 3311 egegg (2.7)

ahol g1′ és g3′ a bázisfüggvények együtthatói, 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 a bázisfüggvények . Az

ábrán látható, hogy a 𝑔 − 𝑔′ merőleges az 𝑒1, 𝑒3 síkra, ezért felírható a következő

összefüggés:

,0;' 1 egg (2.8)

.0;' 3 egg (2.9)

25

Ha a (2.8) egyenletbe behelyettesítjük a (2.7) egyenletet, akkor az alábbi

összefüggéshez jutunk:

.0;'' 13311 eegegg (2.10)

A (2.10) egyenletet átrendezve kapjuk a (2.11) egyenletet:

.;';'; 1331111 eegeegeg (2.11)

A bázisok ortogonálisak, tehát 0; 13 ee . Ezáltal a '1g együttható könnyen

meghatározható:

.;

;'

11

1

1ee

egg (2.12)

Ennek analógiájára tetszőleges 𝑔𝑛′ együttható is meghatározható:

.;

;'

nn

n

nee

egg (2.13)

Az ortogonalitás fogalmának ismeretében térjünk vissza a két féle spektrál módszer

közti különbség bemutatásához. A két módszer közti eltérés a belső szorzat

számításának módjában jelentkezik. Az interpolációs (más néven pszeudo-spektrál)

módszernél a vizsgált teret felosztjuk osztáspontokra, és a megoldásfüggvény

osztáspontokban vett diszkrét értékeivel dolgozunk. Az interpolációs módszernél

mivel diszkrét értékekkel dolgozunk, amiket vektorokba szervezünk, a belső

szorzatok meghatározása a vektorok belső szorzatának meghatározása alapján

történik. A nem interpolációs módszereknél nincsenek osztáspontok, hanem

folytonos függvényekkel dolgozunk, és a belső szorzatok meghatározása a

függvények belső szorzatának bemutatott meghatározása szerint történik.

Ha a bázisfüggvények vagy bázisvektorok ortogonálisak, akkor:

mn ; = { = 0 , ℎ𝑎 𝑛 ≠ 𝑚 ≠ 0 , ℎ𝑎 𝑛 = 𝑚

. (2.14)

26

2.2. Módszert alkotó lépések áttekintése

Annak érdekében, hogy egy parciális differenciálegyenlet megoldható legyen,

szükséges kezdeti feltételt és peremfeltételeket definiálni. A kezdeti feltétel a teljes

vizsgált térrészen a megoldásfüggvény a kezdeti időpillanatban. Peremfeltételek

alatt azt értjük, hogy a vizsgált térrész határán előírjuk a változó értékét. A szükséges

peremfeltételek száma megegyezik a differenciálegyenletben megjelenő legmagasabb

derivált számával, azaz a differenciálegyenlet rendjével. Célunk a teljes idő és

tértartományon a lehető legpontosabban közelíteni a differenciálegyenlet

megoldásfüggvényét. A vizsgált teret felosztjuk osztáspontokra, és az

osztáspontokban kerül meghatározásra a megoldás diszkrét értéke. Az

osztáspontokban meghatározott értékekre polinomot illesztünk.

A közelítés pontosságához, a hely szerinti deriváltakat kell minél pontosabban

meghatároznunk az osztáspontokban. Ugyanis a hely szerinti deriváltak pontos

meghatározása, nagy hatással van az idő szerinti deriváltak pontosságára. Ennek

oka, hogy a differenciálegyenlet a változó hely és idő szerinti deriváltja közt teremt

kapcsolatot, ezáltal a hely szerinti deriváltak értékéből kerül meghatározásra az idő

szerinti derivált az osztáspontokban.

2.2.1. POLINOMILLESZTÉS

A differenciálegyenletek egzakt megoldását analitikusan lehet meghatározni.

Azonban a legtöbb differenciálegyenlet analitikusan nem oldható meg, ezért ezekben

az esetekben a megoldást numerikusan közelítjük, amelynek lényege, hogy egy

polinommal közelítjük a pontos megoldását. A spektrál módszer magas rendű

polinommal közelít, annak érdekében, hogy a hely szerinti deriváltak pontosan

előállíthatóak legyenek. A globális polinomillesztést az 1.2. ábra szemlélteti.

A közelítő polinom optimálisan megválasztott együtthatók és bázisfüggvények

lineáris kombinációjából tevődik össze. A közelítő polinom általános alakja a

következő:

.0

N

n

nnN aPu (2.15)

ahol u - az egzakt megoldás , 𝑃𝑛 – a közelítő polinom, 𝑎𝑛 – skalár együtthatók, , 𝜙𝑛 –

bázisfüggvények, , N pedig a kollokációs pontok száma. A bázisfüggvények

optimális megválasztása a következő fejezetben kerül bemutatásra.

27

Reziduumnak nevezzük a közelítő polinom és pontos megoldásfüggvény

különbségét:

).()()( xuxPxR N (2.16)

A minél pontosabb közelítéssel, a reziduum értéke csökken, tehát a reziduum

minimalizálása mindig célunk. Egzakt megoldás esetén, a reziduum függvény

pontosan nulla. Tehát szeretnénk úgy polinomot illeszteni a diszkrét értékekre, hogy

a reziduum lehetőleg minimális legyen. A reziduum minimalizálását az ortogonális

projekció segítségével tudjuk megvalósítani. Az illesztett polinomnak át kell haladnia

az osztáspontokban számított diszkrét értékeken. Tehát a közelítő polinom,

kollokáció esetén, megegyezik az egzakt megoldás értékeivel az osztáspontokban,

ezáltal a reziduum értéke az osztáspontokban nulla. Ezért ezt a módszert

interpolációs módszernek hívjuk. Tehát

).()( iiN xuxP i= 1…N (2.17)

Írjuk fel tetszőleges i osztáspontra a közelítő polinomot kifejező egyenletet.

.)()()(1

N

i

inniNi xaxPxu (2.18)

Ha ezt az összefüggést általánosítjuk az összes pontra, akkor egy mátrix egyenletet

kapunk, ami a következő alakú:

.

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(

)(

)(

)(

2

1

0

210

2222120

1121110

0020100

2

1

0

NNNNNN

N

N

N

N a

a

a

a

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xu

xu

xu

xu

(2.19)

Ebből az egyenletből az együtthatókon kívül minden ismert, így az egyenletet

átrendezve az együtthatók meghatározhatók:

.

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)()()()(

)(

)(

)(

)(

2

1

0

1

210

2222120

1121110

0020100

2

1

0

NNNNNN

N

N

N

N a

a

a

a

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xu

xu

xu

xu

(2.20)

28

Az együtthatók ismeretében, azokat visszahelyettesítve a (2.18) egyenletbe,

megkapjuk az interpolációs pontokban lévő diszkrét értékekre illesztett polinomot.

Ezt a polinom illesztési módot polinomiális interpolációnak hívjuk. Az együtthatók

ilyen módon történő meghatározása egyszerű, de viszonylag nagy számítási igénnyel

rendelkezik, mivel a mátrix általában rosszul kondicionált. Az együtthatók másik

meghatározási módja a diszkrét ortogonális projekció. Itt is az a célunk, hogy a

reziduumot minimalizáljuk.

A reziduum a korábbi definíció szerint a következő:

).()()( xuxPxR N (2.21)

Következő lépésben képezzük a bázisfüggvények és a reziduum skaláris szorzatát,

amit nullával teszünk egyenlővé:

.0; Rm (2.22)

A (2.22) egyenletbe behelyettesítjük a (2.21) egyenletet:

.0; uPNm (2.23)

Ezt az összefüggést célszerű átrendezni az alábbi alakba:

,0;; uP mNm (2.24)

.;; uP mNm (2.25)

A (2.25) egyenletbe helyettesítsük be a (2.18) egyenletet:

,;;0

ua m

N

n

nnm

(2.26)

.;;0

N

n

mmnn ua (2.27)

29

A (2.27) összefüggés mátrix alakban a következű alakú lesz:

.

;;;

;;;

;;;

;;;

;

;

;

;

1

0

0

0

1110

0000

1

0

N

m

NNNnN

mNmnm

Nn

Nn

N

m

a

a

a

a

u

u

u

u

(2.28)

Ha választott bázisfüggvények ortogonális bázisrendszert alkotnak, annak az a

következménye, hogy egy bázisfüggvény önmagával vett skaláris szorzata nem

nulla, bármely más bázisfüggvénnyel képzett skaláris szorzat nulla lesz:

mn ; = { = 0 𝑛 ≠ 𝑚 ≠ 0 𝑛 = 𝑚

. (2.29)

Az együtthatók ily módon történő meghatározásának az előnye az, hogy a mátrix

főátlójában lesznek csak nem nulla elemek, ezáltal a művelet számításigénye

jelentősen csökken. Ezáltal a következő alakra egyszerűsödik az egyenlet:

.

;000

0;00

00;0

000;

;

;

;

;

1

0

11

00

1

0

N

m

NN

mn

N

m

a

a

a

a

u

u

u

u

(2.30)

Tehát az együtthatók meghatározhatók a következő módon:

.;

;

mm

m

m

ua

(2.31)

30

2.2.2. OPTIMÁLIS BÁZISFÜGGVÉNYEK

Különböző bázisfüggvények optimálisak térben periodikus és térben nem

periodikus perem esetén. A térben periodikus perem azt jelenti, hogy a térrész

periodikusan ismétlődik. Térben nem periodikus perem esetén a térrész nem

ismétlődik és a tér határain előírjuk a változó értékét. Térben nem periodikus perem

esetén célszerű Chebyshev polinomokat használni bázisfüggvénynek. Azonban

vannak kivételes esetek, amikor térben nem periodikus perem esetén például a

Laguerre függvényeket célszerű használni bázisnak. A Chebyshev polinomok

ortogonális bázisrendszert alkotnak a [-1,1] intervallumon, ha megfelelően választjuk

meg az osztáspontok eloszlását.

Chebyshev polinomok a következő alakban állíthatók elő:

.

)()(2)(

)(

1)(

11

1

0

xxxx

xx

x

nnn

(2.32)

Térben periodikus perem esetén harmonikus függvényeket használunk bázisnak.

Ezek előnye, hogy automatikusan kielégítik a peremfeltételeket. Térben periodikus

perem esetén a [0,2𝜋] közti tartományon, optimális osztáspont eloszlás mellett,

ortogonális bázisrendszert alkotnak a harmonikus függvények, amelyek 2 𝜋 szerint

periodikusak. A harmonikus függvényekből alkotott bázis a következő:

𝜙0 (𝑥) = 1

𝜙𝑖 (𝑥) =

x

i

2

1cos ; ha i páratlan (2.33)

𝜙𝑖 (𝑥) =

x

i

2sin ; ha i páros .

31

2.2.3. OPTIMÁLIS HÁLÓK

Térben nem-periodikus peremfeltétel esetén, az egyenközű hálózás stabilitási

problémákhoz vezethet a peremek környezetében. Ez alatt azt értjük, hogy a közelítő

polinom a peremek környezetében oszcillálni fog, ezáltal nem fogja jól közelíteni az

egzakt megoldást. Ezt a problémát a háló sűrítésével sem tudjuk sok esetben

kiküszöbölni, a közelítő függvény oszcillációja elképzelhető, hogy növekedni fog a

közelítés fokszámának növelésével. Ezért célszerű olyan térbeli hálót alkalmaznunk,

amely a peremeken sűrűbb. A különböző peremfeltételekhez kialakultak optimális

hálók is.

2.2.3.1 Roots Grid nem-periodikus perem esetén

A 2.4. ábrán látható egy egységnyi sugarú félkör. Ha a félkört felosztjuk egyenlő

középponti szöggel rendelkező N+1 körcikkre, majd a körcikkeket határoló

szakaszok és a körív metszéspontjait levetítjük a félkör átmérőjére, akkor a 2.4. ábrán

látható módon megkapjuk a Roots Gridhez tartozó eloszlását az osztáspontoknak a [-

1,1] tartományon. Látható, hogy a peremek környékén sűrűbben vannak

osztáspontok, ennek oka, hogy a peremek környékén a közelítő polinom lehetséges

oszcillációját megelőzhessük. Roots Grid esetén a 2.4. ábrán látható módon a [-1,1]

szakasz határain nincsenek osztáspontok. Az osztáspontok helykoordinátáját a (2.34)

képlettel tudjuk leírni:

xi =

.12

12cos

N

i i = 0 – N (2.34)

2.4. ábra: Roots Grid N = 7 szabadsági fok mellett

32

2.2.3.2 Extrema Grid nem-periodikus perem esetén

Nem periodikus perem esetén az Extrema Gridhez tartozó eloszlása az

osztáspontoknak a 2.5. ábrán látható. A Roots Gridhez hasonlóan ezt a típusú hálót is

egy egységnyi sugarú félkör segítségével szemléltetem. A félkört felosztjuk N-1

egyenlő körcikkre. A körcikkeket határoló szakaszok és a körív metszéspontjait

levetítve a félkör átmérőjére, megkapjuk az Extrema Gridhez tartozó eloszlását az

osztáspontoknak. Látható, hogy Extrema Grid esetén a [-1,1] intervallum határain is

vannak osztáspontok. Az osztáspontok helykoordinátáját a (2.35) képlettel tudjuk

leírni:

x𝑖 = .cos

N

i i= 0 – N (2.35)

2.5. ábra: Extrema Grid N=7 szabadsági fok mellett

Térben periodikus peremfeltétel esetén, az egyenközű hálózás nem okoz olyan

problémákat, mint térben nem periodikus peremfeltétel esetén. Periodikus perem

esetén a vizsgált tartomány 2𝜋 szerint periodikus. Periodikus perem esetén az utolsó

osztáspontot nem szabad belevenni a számításokba, ugyanis az első és utolsó

osztáspont megegyezik, és ha mindkettőt belevesszük a számításokba az könnyen

szingularitáshoz vezethet.

2.2.3.3 Extrema Grid periodikus perem esetén

Extrema Grid esetén a [0,2𝜋] tartományt N-1 egyenlő szakaszra osztjuk. A szakasz

határokon jelöljük ki az osztáspontok helyét. Extrema Grid esetén a tartományt úgy

osztjuk fel, hogy a [0,2𝜋] tartomány határára ne essen szakaszhatár, azaz osztáspont.

33

Az utolsó osztáspont helye megegyezik az első osztáspont helyével, ezért az utolsó

osztáspontot nem vesszük be a számításainkba, ugyanis ez könnyen szingularitáshoz

vezethet. Az osztáspontok eloszlása a [0,2𝜋] tartományon a 2.6. ábrán látható.

Az osztáspontok helykoordinátái a (2.36) képlettel számolhatók Extrema Grid esetén:

N

ixi

2 i = 0 - (N– 1). (2.36)

2.6. ábra: Extrema Grid N=7 szabadsági fok mellett

2.2.3.4 Roots Grid periodikus perem esetén

Roots Grid esetén is N-1 egyenlő szakaszra osztjuk az [0,2𝜋] tartományt, ahogy a 2.7.

ábrán látszik. Roots Gridre is érvényesek az Extrema Gridre vonatkozó állítások, a

két háló közti különbség, hogy a Roots Grid az Extrema Gridhez képest N

-el el van

tolva. Az osztáspontok helykoordinátái a (2.37) képlettel számolhatók:

NN

ixi

2 i = 0 – (N-1). (2.37)

2.7. ábra: Roots Grid N=7 szabadsági fok mellett

34

2.2.4. HELY SZERINTI DERIVÁLTAK ELŐÁLLÍTÁSA

A hely szerinti deriváltak minél pontosabb előállítása elengedhetetlen a numerikus

módszerek kellő pontosságához. Mint korábban utaltam rá a jelenséget leíró

differenciálegyenlet a változó hely és idő szerinti deriváltja között teremt kapcsolatot.

Tehát, a hely szerinti deriváltak meghatározásának pontossága az osztáspontokban,

kihatással van az idő szerinti deriváltak pontosságára. A hely szerinti deriváltak

hatékony és pontos előállítása kétféleképpen lehetséges.

Az első lehetőség a deriváló mátrix segítségével történő előállítás. Az

osztáspontokban a közelítő polinom és a keresett megoldásfüggvény pontosan

megegyezik:

.)()()(

1

N

i

innini xaxPxu (2.38)

Ez alapján az osztáspontokban a deriváltak értéke 2.39 alakban írható:

.)()()(

1

,,

N

i

ixnnixnix xaxPxu (2.39)

A (2.38) és (2.39) összefüggés segítségével, levezethető egy deriváló mátrix, amelynek

a lényege, hogy az osztáspontokban vett f(x) függvényértékeket tartalmazó vektort

megszorozzuk egy úgynevezett deriváló mátrixszal, amelynek eredménye az

osztáspontoknál lévő hely szerinti deriváltakat tartalmazó vektor lesz (f’(x)), adott

időpillanatban:

.

)(

)(

)(

)(

)('

)('

)('

)('

1

2

1

0

321

3333231

2232221

1131211

1

2

1

0

NNNNNN

N

N

N

N xu

xu

xu

xu

DDDD

DDDD

DDDD

DDDD

xu

xu

xu

xu

(2.40)

A különböző térbeli peremfeltételekhez és hálókhoz a deriváló mátrixok korábbi

tanulmányokban levezetésre kerültek [13], a levezetéseket nem kívánom bemutatni

csupán az eredményeket foglalom össze.

35

Fourier bázisra Roots és Extrema Grid esetén a deriváló mátrix

Dmn = { nm

nmxx

5,0cot5,01 𝑚 ≠ 𝑛

0 𝑚 = 𝑛 (2.41)

Chebyshev bázisra Roots Grid esetén a deriváló mátrix

Dmn =

{

nm

mnnm

xx

xx

22 1/1

1 𝑚 ≠ 𝑛

221/5,0 mm xx 𝑚 = 𝑛

(2.42)

Chebyshev bázisra Extrema Grid esetén a deriváló mátrix

Dmn =

{

6/12 2 N 𝑚 = 𝑛 = 0

6/12 2 N 𝑚 = 𝑛 = 𝑁

212/ mm xx 𝑚 = 𝑛 ≠ 0 ≠ 𝑁

nmnm

nmxxcc

/1 𝑚 ≠ 𝑛

(2.43)

A hely szerinti deriváltak előállítására van egy másik lehetőség is. Ha ezt a

lehetőséget szeretnénk alkalmazni, akkor az osztáspontokat 2𝑁+1 alakban vegyük fel.

Első lépésben az osztáspontokban vett függvényértékeket Fourier transzformáljuk. A

Fourier sor komplex alakja a következő:

.)(

N

Nk

ikx

k ecxu (2.44)

A MatLab tartalmaz FFT utasítást. A MatLab az együtthatókat egy vektorba rendezi.

N az osztáspontok számát jelöli, továbbá n =2N. A Fourier együtthatókat tartalmazó

vektor első tagja nem tartalmaz képzetes részt, az együtthatók első része 2 és (n/2)+1

között pozitív képzetes résszel, a második része (n/2)+2 és N+1 között negatív

képzetes résszel rendelkező tagok lesznek. Az együtthatók komplex számok,

amelyek párba rendezhetők a 2.8. ábra alapján. Az együtthatók komplex konjugált

párokat alkotnak, ezért lesz a közelítő függvényünk valós függvény.

36

2.8. ábra: Fourier együtthatók párba rendezése

A Fourier térben a deriválás tulajdonképpen az i képzetes rész többszörösével

történő szorzása az együtthatóknak. Tehát van összesen 2𝑁+1 együtthatónk. A

deriváló vektor elemei is párba állíthatók, a párok egymás konjugáltjai. A deriváló

vektor a (2.45) alakban állítható elő, ahol i a képzetes részt jelenti.

i

i

in

in

in

i

i

Cder

10

20

12

0

20

20

20

10

0

(2.45)

A Fourier térben magasabb rendű derivált előállítása is egyszerű, ugyanis az

együttható vektort annyiszor szükséges megszorozni a deriváló vektorral, ahányadik

deriváltat szeretnénk előállítani. A szorzás alatt nem skaláris szorzást értek, hanem

az együttható vektor minden elemét a deriváló vektor hozzá tartozó elemével való

szorzását. Következő lépésben a Fourier térből egy inverz Fourier transzformációval,

37

megkaphatjuk a szükséges osztáspontbeli deriváltakat tartalmazó vektort. A MatLab

tartalmaz inverz Fourier transzformációs függvényt.

Tehát a térbeli deriváltak előállítására az előbb bemutatott két lehetőség adott. A

deriváló mátrixxal történő előállítás számításigénye arányos 𝑁2-el, míg a Fourier

térben történő előállítás számításigénye NN log -el arányos.

2.2.5. SZŰRŐ ELJÁRÁSOK

Azokban az esetekben, amikor a megoldásfüggvényben diszkontinuitás, azaz

szakadás lép fel, a közelítő polinom a szakadás környezetében erősen oszcillálni

kezd, ami miatt a pontosság a diszkontinuitás környezetében erősen romlik. Ezt a

jelenséget Gibbs jelenségnek hívjuk. A szakadások kezelésére kialakultak különböző

szűrő eljárások, amelyek az oszcillációt hivatottak simítani. A szűrő eljárások

lényege, hogy a Fourier transzformáció után az együttható vektort egy olyan szűrő

vektorral szorozzuk meg, amely a nagy frekvenciákhoz tartozó együtthatókat

nagyobb mértékben csökkenti, mint a kis frekvenciákhoz tartozókat. A szűrő

vektorral történő szorzást a Fourier térben kell elvégeznünk az együtthatókat

tartalmazó vektoron, a deriváltak előállítása előtt.

2.2.5.1 Szűrő típusok

Az oszcillációt a nagyobb frekvenciákhoz tartozó Fourier tagok okozzák, ezért

célszerű egy olyan szűrővektorral megszorozni a Fourier együtthatókat, amely a

Fourier együtthatókat tartalmazó vektor nagyobb frekvenciákhoz tartozó részét

szűri. A MatLab az együtthatókat úgy rendezi vektorba, hogy középen helyezkednek

el a nagy frekvenciákhoz tartozó együtthatók, a széleken pedig a kis frekvenciákhoz

tartozók. A módszer fejlődése során kialakultak optimális szűrő típusok, amelyek a

következők.

Cesáro Sum

𝜎𝑘 = { 1 𝑘 = 1

1 − (𝑘/((𝑛/2 + 1) )) 1 < 𝑘 ≤ 0.5𝑛 + 1 1 − (𝑛 + 3 − 𝑘/((𝑛/2 + 1) )) 0.5𝑛 + 1 < 𝑘 ≤ 𝑛 + 1

38

Lanczos

𝜎𝑘 = { 1 𝑘 = 1

𝑠𝑖𝑛 (2𝑘𝜋/𝑁)/((2𝑛𝜋/𝑁)) 1 < 𝑘 ≤ 0.5𝑛 + 1 𝑠𝑖𝑛 (2(𝑛 + 3 − 𝑘)𝜋/𝑁)/((2𝑛𝜋/𝑁)) 0.5𝑛 + 1 < 𝑘 ≤ 𝑛 + 1

Raised Cosine

𝜎𝑘= { 1 𝑘 = 1

1 + 𝑐𝑜𝑠 (2𝑘𝜋/𝑁)/2 1 < 𝑘 ≤ 0.5𝑛 + 1 1 + 𝑐𝑜𝑠 (2(𝑛 + 3 − 𝑘)𝜋/𝑁)/2 0.5𝑛 + 1 < 𝑘 ≤ 𝑛 + 1

2.2.6. IDŐ SZERINTI DERIVÁLT

Ha az osztáspontokban sikerült előállítani pontosan a hely szerinti deriváltakat,

akkor a jelenséget leíró parciális differenciálegyenletből, amely kapcsolatot teremt a

változó hely és idő szerinti deriváltja közt, egy közönséges differenciálegyenlet

rendszer lesz, amelyben csak az idő szerinti derivált lesz ismeretlen. Tulajdonképpen

minden osztáspontra kapunk egy közönséges differenciálegyenletet. A MatLab

tartalmaz közönséges differenciálegyenlet megoldókat (ODE). A MatLab beépített

közönséges differenciálegyenlet megoldójának segítségével egyszerűen előállítható a

vizsgált idő és térrészen a megoldása a vizsgált parciális differenciálegyenletnek.

39

3. BURGERS EGYENLET

A folyadékok ultrahanggal történő gerjesztésekor lezajló jelenségek megismeréséhez

célszerű a Burgers egyenlet megoldását vizsgálni. Az ultrahangos gerjesztéssel

hanghullámok hatolnak be a folyadékba és nagy illetve kisnyomású zónákat hoznak

létre. A kisnyomású zónákban a nyomás lecsökkenhet a gőz telítési nyomásáig adott

hőmérsékleten, ezáltal gőzbuborékok keletkeznek. Amikor ezek a buborékok

továbbvándorolnak nagyobb nyomású zónákba akkor a gőz lekondenzálódik, és a

buborék összeroppan. Ezt a jelenséget számos célra lehet hasznosítani például két

rosszul elegyedő folyadék keverésére, vagy polimer láncok tördelésére annak

érdekében, hogy új polimereket hozzanak létre. Az ultrahang hullámok terjedését a

Burgers egyenlet tökéletesen leírja. Súrlódásmentes esetben periodikus perem mellett

lehet vizsgálni a lökéshullámok kialakulásának mechanizmusát. Szintén

súrlódásmentes esetben nem periodikus perem esetén, ha valamilyen harmonikus

peremfeltételt írunk elő, vizsgálható a különböző harmonikus gerjesztések hatása a

lökéshullám kialakulására. A súrlódásos Burgers egyenleten is célszerű elvégezni

ezeket a vizsgálatokat a viszkozitás, mint paraméter változtatása mellett. A

viszkozitás növelésével a hullám energiája hamarabb disszipál el, ami az amplitúdó

csökkenését eredményezi, az időben előre haladva. A disszipáció mértéke erősen

befolyásolja azt, hogy kialakul-e a megoldásban lökéshullám.

3.1. Súrlódásmentes Burgers egyenlet periodikus peremfeltétellel

Ebben a fejezetben a súrlódásmentes Burgers egyenlet megoldásában figyeljük meg a

lökéshullám kialakulását, periodikus peremfeltétel mellett. A súrlódásmentes

Burgers egyenlet az alábbi formában írható fel.

0

x

uu

t

u (3.1)

Az egyenletben nincs disszipatív tag, tehát a hullám energiája nem disszipál el a

terjedés során. Látszik, hogy ez egy elsőrendű parciális differenciálegyenlet, ugyanis

az u sebességnek az x hely és t idő szerinti egyszeres deriváltja jelenik meg az

egyenletben. Továbbá ez egy nemlineáris parciális differenciálegyenlet, ugyanis

szerepel benne a sebesség és a sebesség hely szerinti deriváltjának a szorzata.

Szakadásmentes kezdeti feltétel mellett is kialakul az egyenlet megoldásában

szakadás, egyfajta lökéshullám. Célunk meghatározni, hogy mikor alakul ki a

40

lökéshullám. Az 3.1. ábrán látható az egyenlet megoldása a [0,2π] tartományon

különböző időpillanatokban, amelyeket különböző színekkel jelöltem a

jelmagyarázatnak megfelelően. Piros színnel a kezdeti feltétel látható, amely az

u=sin(x)+2 egyenlettel írható fel.

3.1. ábra: Súrlódásmentes Burgers egyenlet megoldása, periodikus peremfeltétel mellett,

A.) N = 257 B.) N = 385 osztáspont esetén

Az 3.1. ábrán látható, hogy a lökéshullám valahol a 0,9 és 1,1 másodperc között

alakul ki a vizsgálat során rögzített kezdeti feltétel mellett. Továbbá megfigyelhető,

hogy a szakadás környezetében a közelítés erősen oszcillálni kezd, a szabadsági

fokok növelésével pedig az oszcilláció mértéke erősödik. Ezt a jelenséget Gibbs

jelenségnek hívjuk. Mivel az egzakt megoldásban a szakadás környezetében nem

oszcillál a megoldás, ezért ekkor a közelítésünk elég pontatlan. Célszerű valamilyen

simító eljárást alkalmazni, ami tulajdonképpen a magasabb frekvenciákhoz tartozó

Fourier tagokat szűri ki a közelítésünkből. A korábban említett szűrő eljárások

alkalmazásának eredményeit a 3.2. ábra szemlélteti.

A megoldások a [0,2π] tartományon láthatók különböző időpillanatokban, amelyeket

különböző színekkel jelöltem a jelmagyarázatnak megfelelően. Piros színnel a

kezdeti feltétel látható, amely továbbra is az u=sin(x)+2 egyenlettel írható fel.

41

3.2. ábra: A.) Cesáro Sum B.)Lanczos C.)Raised Cosine szűrő alkalmazása N=129 osztáspont esetén

A 3.2. ábrából látszik, hogy a szűrő eljárások alkalmazásával a szakadás

környezetében kileng a megoldásfüggvény. A magas frekvenciákhoz tartozó tagokat

kiszűrte az eljárás, ugyanakkor az amplitúdót nagyon megnövelte a szakadás

környezetében. Ebben a formában a megoldás nem nevezhető pontosnak. További

irodalomkutatás eredményként arra a következtetésre jutottam, hogy a szűrő

eljárások alkalmazása hiperbolikus parciális differenciálegyenleteknél problémás.

Parabolikus parciális differenciálegyenleteknél, ha szakadás van a kezdeti feltételben,

akkor abban az időpillanatban alkalmazzuk a szűrő eljárások valamelyikét egyszer, a

továbbiakban pedig nem jön létre szakadás a megoldásban.

42

A hiperbolikus parciális differenciálegyenleteknél viszont szakadás létrejöhet akkor

is, ha a kezdeti feltételben nincs szakadás, ezért a szűrő eljárásokat minden

időpillanatban alkalmaztam. Ebben az esetben a szűrt megoldásban anomália

jelentkezik, tehát ily módon nem alkalmazhatók a szűrő eljárások. Egyik lehetséges

továbbviteli lehetősége a dolgozatnak, hogy a szakadást detektáljuk térben is időben,

és csak adott időpillanatban, adott térrészen alkalmazzuk a szűrő eljárások

valamelyikét.

3.2. Súrlódásmentes Burgers egyenlet nem periodikus peremfeltétellel

A súrlódásmentes Burgers egyenleten, nem periodikus peremfeltétel mellet tudjuk

vizsgálni, az egyenlet megoldásában jelentkező lökéshullámot a gerjesztő frekvencia

függvényében, abban az esetben, ha a súrlódást elhanyagoljuk. A vizsgált

hossztartományt jelölje y amely a [0;L] tartományon értelmezett. A harmonikus

peremfeltételt, azaz gerjesztést, az y=0 helyen írtam elő. Az új helykoordinátára azért

van szükség, mivel az eredeti helykoordinátákkal amelyet x jelöl, csak a [-1;1]

tartomány vizsgálható. A [-1;1] tartományon, a tartomány rövidsége miatt,

elképzelhető, hogy nem alakul ki lökéshullám, ezért célszerű egy hosszabb

tartományon elvégezni a számításokat. Tehát szükségünk lesz egy hely koordináta

transzformációra a számításokhoz. Először szükséges az y koordinátát

áttranszformálni az x koordinátára, ugyanis a számításokat az x koordinátával

végezzük el. A számítások elvégzése után, az eredmények kiértékeléséhez a x

helykoordinátát szükséges visszatranszformálni az y koordinátára. Tehát az x [-1;1] ,

az y [0;L] tartományon értelmezett független változó. A megoldó módosításához

szükséges előállítanunk az x koordinátát az y függvényében, illetve az x koordináta y

szerinti deriváltját:

2

1L

xy (3.2)

12

L

yx (3.3)

.2

Ly

x

(3.4)

Következő lépésben az u, y szerinti deriváltja kerül meghatározásra, ehhez a

láncszabályt illetve a (3.4) összefüggést használom fel.

Lx

u

y

x

x

u

y

u 2

(3.5)

43

A (3.2) és a (3.5) összefüggés ismeretében, a MatLab kódot módosítva, már az y

tartományon tudjuk vizsgálni az egyenlet megoldását. A MatLab kódban

tulajdonképpen az u, x koordináta szerinti deriváltját szükséges megszorozni a 2/L

konstanssal ahhoz, hogy az új, y szerinti deriváltat kapjuk meg az u-nak. Ekkor az

eredmények, már az y koordinátára vonatkoznak, ezért az eredményeket, az új y

hely koordináta függvényében kell ábrázolnunk.

A számítások során a kezdeti feltétel az alábbi volt:

4)0,( yu . (3.6)

A számítások során használt peremfeltételek a következők:

4)1002sin(1),0( ttu (3.7)

4)10002sin(1),0( ttu (3.8)

4)100002sin(1),0( ttu (3.9)

4)200002sin(1),0( ttu . (3.10)

A különböző gerjesztésekhez tartozó megoldások a 3.3. ábrán láthatók, ahol pirossal

a kezdeti feltételt, továbbá különböző színekkel a különböző időpillanatokhoz

tartozó megoldásait jelöltem az egyenletnek, a jelmagyarázatnak megfelelően. A

megoldások az új y helykoordináta függvényében vannak ábrázolva.

A 3.3./A ábrán látható megoldás esetén a (3.7) peremfeltételt, a 3.3./B ábrán látható

megoldás esetén a (3.8) peremfeltételt, a 3.3./C ábrán látható megoldás esetén a (3.9)

peremfeltételt, a 3.3./D ábrán látható megoldás esetén a (3.10) peremfeltételt

használtam.

44

3.3. ábra: Súrlódásmentes Burgers egyenlet megoldása A.)100Hz B.)1000Hz C.)10000Hz D.)20000Hz

gerjesztés esetén

45

A különböző gerjesztések esetén kapott különböző megoldásokból, a lökéshullám

kialakulásának helye is ideje leolvasható. A kapott eredményeket a 3.4. táblázatban

foglaltam össze.

Frekvencia [Hz] Lökéshullám kialakulásának helye Lökéshullám kialakulásának ideje

1 2,8 0,7

10 0,28 0,07

100 0,028 0,007

1000 0,0028 0,0007

10000 0,00028 0,00007

20000 0,00014 0,000035

40000 0,00007 0,0000175

3.4. ábra: Lökéshullám kialakulásának helye és ideje a gerjesztő frekvencia függvényében

A 3.5. diagramokon a lökéshullámok kialakulásának helye és ideje látható a gerjesztő

frekvencia függvényében. A diagramon kék ponttal a számított értékek láthatók.

Látható, hogy minél nagyobb a gerjesztési frekvencia annál hamarabb kialakul a

lökéshullám mind térben és időben. Továbbá megfigyelhető, hogy logaritmikus

skálán ábrázolva mind a gerjesztő frekvenciát mind a lökéshullám kialakulásának

helyét és idejét, a számított értékek egy egyenes mentén helyezkednek el.

3.5. ábra: A lökéshullám kialakulásának A.)helye és B.) ideje a gerjesztő frekvencia függvényében

46

3.3. Súrlódásos Burgers egyenlet periodikus peremfeltétellel

Azokban az esetekben, amikor az anyag viszkozitása kicsi, a súrlódásmentes Burgers

egyenlet jól közelíti a valóságot, azonban nagyobb viszkozitású anyagok esetén már

a belső súrlódás hatása nem hanyagolható el. Ekkor célszerű a súrlódásos Burgers

egyenletet használni, ugyanis a súrlódásos Burgers egyenlet figyelembe veszi a

súrlódás okozta disszipációt. Periodikus peremfeltétel mellett megfigyelhető, a

lökéshullám kialakulása a viszkozitás függvényében. A súrlódásos Burgers egyenlet

alakja a következő.

2

2

x

u

x

uu

t

u

(3.11)

A súrlódásos Burgers egyenlet a súrlódás hatását egy disszipatív taggal veszi

figyelembe, amely az áramlási sebesség hely szerinti második deriváltjával arányos.

A viszkozitás növelésével a hullám amplitúdója egyre gyorsabban csökken az időben

előre haladva. A lökéshullám kialakulásának gyorsasága függ a hullám

amplitúdójától. Az u változó az áramlási sebességet jelenti. Minél kisebb a maximális

és minimális sebesség különbsége, annál több időre van szüksége a lökéshullámnak a

kialakuláshoz, ugyanis a maximális u-hoz tartozó része a hullámnak nem halad

sokkal gyorsabban, mint a minimális u-hoz tartozó része a hullámnak. Lökéshullám

pedig úgy alakul ki, hogy a maximális sebességhez tartozó része a hullámnak

gyorsabban halad, mint a kisebb sebességhez tartozó része, ezáltal a gyorsabb

részhez tartozó része utoléri a lassabb részhez tartozó részt, ezáltal egy hirtelen

ugrás, azaz szakadás alakul ki a megoldásban. A 3.6. ábrán látható különböző

viszkozitás esetén a súrlódásos Burgers egyenlet megoldása. A 3.6. ábrán látható az

egyenlet megoldása a [0,2π] tartományon különböző időpillanatokban, amelyeket

különböző színekkel jelöltem a jelmagyarázatnak megfelelően. Piros színnel a

kezdeti feltétel látható, amely az u=sin(x)+2 egyenlettel írható fel.

A viszkozitás növelésével a terjedő hullám amplitúdója gyorsabban csökken, a

nyomáshullám meredeksége szintén csökken. A nyomáshullám meredeksége

fokozatosan csökken, ezért nem lehet egy éles határt húzni, amely viszkozitás

értéktől kialakul lökéshullám. A 3.7. ábrán ábrázoltam az első 20 másodperces

időintervallumban kialakuló nyomáshullám maximális meredekségeket a viszkozitás

függvényében. A 20. másodperc után a hullám nagy része már eldisszipált, ezért

elégnek láttam ekkora időintervallumot szimulálni. A számításokat ν [0,005;0,35]

tartományon végeztem el, ∆ν=0,005 lépésközzel.

47

3.6. ábra: Különböző viszkozitások esetén A.) 01,0 B.) 1,0 C.) 3,0 a súrlódásos Burgers

egyenlet megoldása

48

3.7. ábra: Lökéshullám maximális meredeksége a viszkozitás függvényében

Látszik, hogy a nyomáshullám meredeksége konvergál egyhez, ha ν → ∞. Ennek

oka, hogy a kezdeti feltétel maximális meredeksége egy. Látszik, hogy a maximális

meredekség alakulásában nincs hirtelen ugrás. A Gibbs jelenség körülbelül ν =0,03

értékig figyelhető meg a közelítésen, ennél a viszkozitás értéknél húzható határ.

A ν = 0,03 viszkozitás nem képez éles határt, tehát elképzelhető, hogy fölötte is

kialakul lökéshullám.

49

3.4. Súrlódásos Burgers egyenlet nem periodikus peremfeltétellel

A súrlódásos Burgers egyenleten nem periodikus perem mellett, tudjuk vizsgálni a

lökéshullám kialakulását a gerjesztés és a viszkozitás függvényében. A

súrlódásmentes eseten végzett vizsgálatból kiderült, hogy a gerjesztő frekvencia

fordítottan arányos a lökéshullám kialakulásának helyével és idejével. A súrlódásos

Burgers egyenlet (3.6) egy másodrendű parciális differenciálegyenlet, tehát két

peremfeltételt szükséges előírnunk a kezdeti feltétel előírása mellett. Ebben az

esetben is szükségünk lesz koordináta transzformációra, a 3.2. fejezetben bemutatott

okok miatt. Tehát y [0;L] tartományon szeretnénk eredményt kapni, ehhez az y

koordinátát áttranszformáltam x [-1;1] koordinátára, ugyanis a számításokat a [-1;1]

tartományon szükséges elvégezni, majd az eredmények kiértékeléséhez az x

koordinátát visszatranszformáltam y koordinátára. A koordináta transzformációt a

3.2. fejezetben bemutatott módon végeztem el, többek közt a (3.2) és a (3.5)

összefüggés segítségével. Azonban a súrlódásos egyenletben megjelenik a hely

szerinti második derivált, amit szükséges módosítanunk a (3.12) egyenletnek

megfelelően, ha szeretnénk megkapni az új változó szerinti deriváltját az u-nak:

.2

2

2

2

2

2

Lx

u

y

u (3.12)

A (3.2), (3.5) és (3.12) összefüggés ismeretében, a MatLab kódban a hely szerinti első

és második deriváltat szükséges egy-egy konstanssal megszorozni annak érdekében,

hogy a [0,L] szakaszon kapjuk meg az egyenlet megoldását.

A 3.8. ábrán láthatóak az egyenlet megoldásai különböző viszkozitások mellett. Az

ábrán különböző színekkel a különböző időpillanatokhoz tartozó megoldása látható

az egyenletnek, a jelmagyarázatnak megfelelően. A 3.8. ábrán bemutatott

megoldások során a kezdeti feltétel az alábbi volt:

4)0,( yu . (3.13)

A számítások során használt peremfeltételek az alábbiak voltak:

,4)12sin(1),0( ttu (3.14)

.4),( tLu (3.15)

50

3.8. ábra: Különböző viszkozitások A.) 0,05 B.) 0,1 C.) 0,3 mellett a súrlódásos Burgers egyenlet

megoldása rögzített (1Hz) harmonikus gerjesztés mellett

A 3.8. ábrák állandósult állapotot ábrázolnak. Látszik, hogy a viszkozitás növelésével

az amplitúdó csúcsok gyorsabban csillapodnak. Tehát a viszkozitás növelésével

egyre gyorsabban csökken az amplitúdója a hullámnak, ezért a viszkozitás

növelésével vagy később alakul ki lökéshullám, vagy nem alakul ki. Ha csökken az

amplitúdó, akkor a hullám egyes részeinek sebessége között nincs akkora differencia,

ezáltal lassabban alakul ki lökéshullám. Vizsgáltam továbbá a gerjesztő frekvencia,

51

mint paraméter változtatásának hatását a súrlódásos Burgers egyenletre. A 3.9. ábrán

bemutatott megoldások során a kezdeti feltétel az alábbi volt:

4)0,( yu . (3.16)

A számítások során használt peremfeltételek az alábbiak voltak:

,4)12sin(1),0( ttu (3.17)

,4)52sin(1),0( ttu (3.18)

,4)102sin(1),0( ttu (3.19)

.05,4),( tLu (3.20)

A 3.9. ábrán különböző színekkel a különböző időpillanatokhoz tartozó megoldása

látható az egyenletnek, a jelmagyarázatnak megfelelően. A 3.9./A ábra esetében a

(3.17) és (3.20) peremfeltételeket, 3.9./B ábra esetében a (3.18) és (3.20)

peremfeltételeket, 3.9./C ábra esetében a (3.19) és (3.20) peremfeltételeket használtam.

3.9. ábra: Súrlódásos Burgers egyenlet megoldása különböző gerjesztések A.) 1Hz B.) 5Hz C.) 10Hz

esetén, rögzített viszkozitás mellett

52

A 3.9. ábrából látszik, hogy a gerjesztő frekvenciával fordítottan arányos az a táv

amelyet a hullám képes megtenni anélkül, hogy eldisszipálna. Ennek oka az

akusztikában ismert jelenség, amelynek lényege, hogy a mély hangok, amelyek

alacsonyabb frekvenciával rezegnek, egységnyi távolság megtétele mellett a

kevesebb rezgésszámból adódóan kevesebb munkát fordítanak a részecskék

mozgatása során fellépő súrlódási veszteségekre, ezáltal messzebbre képesek terjedni

a viszkózus közegben.

53

4. ÖSSZEFOGLALÁS

A dolgozatban a súrlódásos és a súrlódásmentes Burgers egyenlet megoldását

kerestem a spektrál kollokációs módszerrel. A spektrál módszerek előnye a központi

differencia sémákhoz képest, hogy azonos pontosság eléréséhez kevesebb erőforrást

igényel, illetve jobbak a fázistartási tulajdonságai. A spektrál módszerek nincsenek

integrálva kereskedelmi szoftverekbe, ezért célszerű egy matematikai szoftver

segítségével saját megoldót létrehozni. Erre a célra a MatLab programot használtam.

Súrlódásmentes esetben periodikus peremfeltétel mellett végzett vizsgálat során

kiderült, hogy az egyenlet megoldásában lökéshullám alakul ki. Szintén

súrlódásmentes esetben nem periodikus perem esetén a különböző harmonikus

gerjesztések hatását vizsgáltam a lökéshullám kialakulására. A vizsgálatból kiderült,

hogy minél magasabb a gerjesztő frekvencia annál hamarabb kialakul a lökéshullám

mind térben, mind időben. A súrlódásos Burgers egyenleten is elvégeztem ezeket a

vizsgálatokat, és megállapításra került, hogy mi az a kritikus viszkozitás, amely

fölött nem alakul ki lökéshullám egy tetszőlegesen megválasztott kezdeti feltétel

mellett. A kritikus viszkozitás fölött nem alakul ki lökéshullám a megoldásban mivel

túl hamar eldisszipál a hullám energiája. Súrlódásos esetben nem periodikus

peremfeltétel mellett vizsgáltam a harmonikus gerjesztések hatását, amely során arra

a következtetésre jutottam, hogy minél alacsonyabb a gerjesztő frekvencia annál

nagyobb távot tud megtenni a hullám a viszkózus közegben.

5. KITEKINTÉS

A dolgozat egyik továbbviteli lehetősége a simító eljárások alkalmazási

lehetőségeinek további vizsgálata, mivel hatékonyan nem használható minden

időpillanatban, ezért célszerű lehet térben és időben detektálni a lökéshullámot és

csak lokálisan a lökéshullám környezetében alkalmazni a simítást. Másik továbbviteli

lehetősége a dolgozatnak, hogy kiterjesztjük a vizsgálatot több dimenzióra.

54

6. SUMMARY

The spectral method is a kind of numerical method, which can prove high accuracy

by less calculations than other numerical methods. In this final thesis, I used the

collocation spectral method to solve the one dimensional Burgers equation. That

method haven’t been integrated in commercial softwares yet, so I've used MatLab to

create my own solver. Burgers equation is a nonlinear partial differentitational

equation, which describe wave propagation in nonlinear medium and it can’t be

solved analytically. Burgers equation was examined in different cases in this thesis.

First, I have tested frictionless Burgers equation with periodic boundary conditions,

where we could observe the mechanism of shock wave formation. At the shock

wave, the approximation begin oscillate strongly, the approximation need to be

smoothed in order to increase its accuracy. Next, I have examined frictionless

Burgers equation with nonperiodic boundary condition. In that case, I specified

harmonic boundary condition, and I observed that harmonic waves how distorted

and form shock wave. Next, I’ve examined Burgers equation with friction with

periodic boundary conditions where the influence of the viscosity to the shock wave

propagation can be observed. Finally, Burgers equation with non periodic boundary

conditions have been examined. In that case harmonic boundary conditions was

specified, and wave dissipation was observed.

I am going to continue this work, first of all, smoothing process didn’t work well, so

it can be improved. Spectral method can be extended for 2 or 3 dimensional cases

that also could be a target.

55

7. IRODALOMJEGYZÉK

[1] Blinova, E.N., 1944. Hydrodynamic theory of pressure and temperature waves

and center of action of the atmosphere

[2] Haurwitz, B., Craig, R. A. 1952. Atmospheric Flow Patterns and Their

Representation by Spherical Surface Harmonics

[3] Silberman, I., 1954. Planetary waves in the atmosphere

[4] Slater, J., C., 1934. Electronic energy bands in metal

[5] Kantorovic, L., V., 1934. On a new method of approximate solution of partial

differential equations

[6] Frazer, R., A., Jones, W., P., Skan, S., W., 1937. Approximation to Functions

and to the Solution of Differential Equations

[7] Lanczos, C., 1938. Trigonometric interpolation of empirical and analytical

functions

[8] Kreiss, H., O., Oliger, J., 1972. Comparision of accurate methods for integration

of hyperbolic equations

[9] Orszag, S., A., 1972. Comparison of pseudospectral and spectral

approximations

[10] Orszag, S., A., Gottlieb, D., 1977. Numerical Analysis of Spectral Methods

[11] Canuto, C., Quarteroni, A., Hussaini, M., Y., Zang, T., J., A., 1988. Spectral

Methods in Fluid Dynamics

[12] Boyd, J., P., 1989. Chebyshev and Fourier Spectral methods

[13] Kapcsik, K., 2014. Spektrál módszerek alkalmazása a hő- és áramlástanban