Embed Size (px)
Citation preview
1
Nokta (Skaler) Çarpım•
Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması
gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri
ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör yöntemleri uygulanmalıdır.
•
Skaler
çarpım, iki vektörün çarpımı
için özel bir yöntemdir.
•
A
ve B
vektörlerinin skaler
çarpımı, AB
şeklinde yazılır ve A
skaler
çarpım B
diye okunur. A ve B’nin
büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün çarpımı
olarak tanımlanır.
oo
BABA1800
cos
2
•
Bu çarpıma skaler
çarpım veya nokta çarpım da denir. Bu işlemin kuralları
:
–
Değişme özelliği (komütatiflik
)–
Skaler
ile çarpım
–
Dağılma kuralı
(distributiflik)
)()()(
)()()(
DABADBA
BaABAaBAa
ABBA
3
Kartezyen vektör formülasyonu
cosBABA Formülünü
kullanarak kartezyen
birim vektörlerin çarpımını
bulmak için kullanılabilir.
Örneğin:
0ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ
jkkikkjj
jiii oo
4
Uygulamalar •
Skaler
çarpımın mekanikte iki önemli uygulama
alanı
vardır:–
1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı
cosBABA
1800)(cos 1 ABBA
zzyyxx BABABABA
5
Uygulamalar •
2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin bulunması:
Aa
: a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü
de denir. a-a’nın doğrultusu ua
birim vektörüyle belirlenmişse, Aa
vektörünün şiddeti skaler
çarpımla bulunabilir.
.
coscos)1(
bulunurşeklindeuAA
AAuuuAA
aa
a
aaa
6
•
A vektörünün dik bileşeni:
.'
sincos
)cos(
22
1
bulunurdenAAA
veyaAAAuA
uAAAAAAAA
a
a
aaa
1800)(cos 1 ABBA
7
ÖRNEK 6
Şekilde verilen F kuvvetinin AB çubuğuna paralel ve dik bileşenlerini bulunuz.
A (0; 0; 0) B (2; 6; 3) kjirB ˆ3ˆ6ˆ2
80ˆˆ0ˆˆ1ˆˆ1ˆˆ090cos)1)(1(ˆˆ10cos)1)(1(ˆˆ
jkkikkjj
jiii oo
9
Noktasal Cismin Dengesi
Bölüm 3
Bu bölümde;
Kuvvetleri bileşenlerine ayırma ve kartezyen
vektör
şeklinde ifade etme yöntemleri noktasal cismin dengesini içeren problemlerin çözümünde kullanılacaktır.
10
Noktasal Cismin Dengesi•
Denge Koşulu: Bir maddesel noktaya etkiyen bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa maddesel nokta dengededir.
•
Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli iken halen sabit hıza sahipse dengededir.
•
“denge”
veya “statik denge”
ifadesi çoğu zaman durmakta olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır.
11
•
Denge durumunu korumak için Newton’un birinci hareket kanununu sağlamak gereklidir: bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise, parçacık dengededir.
•
Bu formül denge için gerekli koşul olmakla kalmayıp, aynı zamanda yeterli koşuldur. Bu durum Newton’un ikinci
hareket kanunu ile ortaya konur.
•
Parçacık sabit hızla hareket etmekte veya durmaktadır
0F
00 aamamF
12
Serbest Cisim Diyagramı
•
Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmak gerekir. Bunun için parçacığı
çevresinden soyutlanmış
ve serbest olarak gösteren bir şema çizilir.
•
Parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetleri gösteren bu çizime “serbest cisim diyagramı” denir.
•
Serbest cisim diyagramını
çizerken kullanılan iki bağlantı tipi :
–
Yaylar–
İpler ve makaralar
13
Yaylar •
Mesnet olarak lineer elastik bir yay kullanılıyorsa, yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru orantılı
olarak değişir.
•
Yayların elastikliğini tanımlayan : yay sabiti (k)
0llsksF
NmmmNksFNmmmNksF
mlmlmNkml
100)4.02.0)(/500(100)4.06.0)(/500(
2.06.0/5004.00
14
İpler (Kablolar) ve Makaralar
•
Tüm kabloların ihmal edilebilir bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu kabul edilecektir.
•
Kablolar sadece çekme kuvveti taşırlar ve bu kuvvet daima kablo doğrultusunda etki eder.
•
Şekilde herhangi bir açısında, kablo uzunluğu
boyunca sabit T gerilmesi oluşmaktadır.
15
Serbest Cisim Diyagramı
Çizme Yöntemi
Öncelikle yapılması
gereken;
Uygun bir parçacık belirlendikten sonra buna etkiyen kuvvetleri gösterebileceğimiz serbest cisim diyagramını
basit bir şekilde çizmektir.
16
•
1.adım: parçacık çevresinden soyutlanarak, serbest kaldığı düşünülerek genel hatlarıyla çizilir.
•
2.adım: parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetler gösterilir. Bu kuvvetler cismi hareket ettirmeye çalışan “aktif kuvvetler”
ve/veya hareketi önleme eğilimi olan kısıtlamalar ve mesnetlerin neden olduğu “tepki (reaktif) kuvvetleri”dir.
•
3.adım: bilinen kuvvetler uygun büyüklük (şiddet) ve doğrultularla (yön) işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin şiddet ve yönü
ise harfle gösterilir.
•
Bir kuvvetin etki çizgisi biliniyor, ancak yönü
ve şiddeti bilinmiyorsa, kuvvet yönünü
tanımlayan “ok ucu”
varsayıma
göre seçilir. Doğru yön şiddet bulunduktan sonra işaretlenir. Tanım gereği şiddet daima pozitiftir, çözüm negatif bir skaler
verirse eksi işareti kuvvetin ucunun veya yönünün başta varsayılanın tersi yönde olduğunu gösterir.
17
Örnek 7
•
C noktasının serbest cisim diyagramını
çiziniz.
18
Düzlemsel Kuvvet Sistemleri
•
x-y düzleminde bulunan kuvvetlerin dengede olması
için vektörel
toplamın “sıfır” olması
gerekir.
•
Bu vektörel
denklemin sıfıra eşit olması
için x ve y
bileşenleri sıfıra eşit olmalıdır.
•
Bu iki denklem en çok iki bilinmeyen kuvvetin bulunması
için kulanılır.
•
Denklemlerde kuvvetlerin yönleri de dikkate alınmalıdır.
00
0ˆˆ0
yx
yx
FF
jFiFF
19
Skaler
gösterim•
Bileşenlerin gösteriminde skaler
notasyon
kullanılacaktır.
Her bir bileşenin yönü
serbest cisim diyagramında bileşenin ok yönüne karşı
gelen bir cebirsel işaret ile
ifade edilir. Bir kuvvet bileşeninin işareti bilinmiyorsa, alınan yön pozitif olur, çözüm negatif çıkarsa kuvvet yönünün ters olduğu anlaşılır.
•
Örneğin,
NFFFx 100100
20
Örnek 8•
D silindiri 60 kg’dır. BA ve BC kablolarında oluşan çekme kuvvetlerini bulunuz.
21
22
Örnek 9•
8 kg’lık
lambanın şekildeki
gibi taşınabilmesi için AC kablosunun uzunluğu ne olmalıdır?
•
l’AB
=0.4 m (deforme olmamış
boy)
23
24
•
Şekilde gösterilen kablolarda 0.5 kN’un
üzerinde çekme kuvveti oluşmaması
için asılı
olan kovanın ağırlığını
(W)
bulunuz.
Ödev 7
W
25
Üç
Boyutlu Kuvvet Sistemleri•
Parçacık dengesinin sağlanması
için:
•
Parçacık üzerine etkiyen kuvvetler i, j, k bileşenlerine ayrılırsa:
Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel toplamlarını
göstermektedir, “0”dır.
Bu denklemler ile en fazla 3 bilinmeyen kuvvet bulunabilir.
26
Örnek 10
40 N’luk
sandığı
taşımak için kullanılan kablolarda oluşan kuvvetleri bulunuz.
27
28
Kuvvet Sistemleri•
Bir kuvvetin bir nokta veya eksene göre momentinin bulunması
•
Bir noktadan geçmeyen kuvvet sistemlerinin bileşkelerinin bulunması
•
Kuvvet çiftinin oluşturduğu momentin bulunması•
İki ve üç
boyutlu kuvvetler için moment hesaplanması
•
Moment bir cismi döndürmeye çalışır, denge ise cismin dönmemesini gerektirir.
•
Bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cismi etki çizgisinin dışında bir nokta etrafında döndürmeye çalışır. Bu döndürme eğilimine “tork”
veya daha sık kullanıldığı
şekliyle “moment”
denir.
29
Bir kuvvetin momenti•
Bir kuvvetin bir noktaya veya bir eksene göre momenti (M), kuvvetin cismi o nokta veya eksen etrafında döndürme eğiliminin bir ölçüsünü
gösterir.
•
Momentin şiddeti, F kuvvetinin şiddeti ile orantılıdır ve F kuvvetine dik olan
moment kolu d ile
orantılıdır. •
(b)’de moment kolu daha kısa !
d’=dsin
(d’<d)•
(c)’de =0 d’=0 M=0
M0
= F . d
30
•
Moment daima F ve d’yi
içeren düzleme dik bir eksen etrafında etkimektedir. Ve bu eksen düzlemi, “O”
noktasında kesmektedir.
•
Şiddeti “M0 = F . d ”
olan momentin doğrultusu sağ
el kuralı
kullanılarak
belirlenir.•
Momentin birimi; Nm, kNcm
31
Bileşke Moment•
Bir kuvvet sistemi x-y düzleminde yer alırsa, her bir kuvvetin O noktasına göre momenti z ekseni yönünde olacaktır.
•
Sistemin bileşke momenti, bütün kuvvetlerin momentlerinin cebirsel toplamı
alınarak
bulunabilir, çünkü
bütün moment vektörleri aynı
doğrultudadır.
•
Moment saatin tersi yönündeyse (+), saat yönündeyse (-)•
Sağ
el kuralına göre baş
parmak sayfa düzleminin dışına
doğru (+z ekseni) ise (+), içine (-z ekseni) doğruysa (-)
32
Örnek 11
33
Örnek 12Etkiyen dört kuvvetin O noktasında oluşturduğu bileşke momentin değerini bulunuz.
Pozitif moment yönü, +k yönünde, yani saatin tersi yönünde olduğu kabulü
ile:
34
•
F kuvveti her zaman dönme etkisi yaratmayabilir. F kuvveti A noktasında MA
=F.dA
momenti kadar döndürmeye çalışıyor, ancak gerçek döndürme etkisi B mesnetinin
kaldırılması
halinde oluşur.
•
Çiviyi çıkarmak için FHkuvvetinin O noktasında yaratmış
olduğu momentin,
FN
çivi kuvvetinin yaratmışolduğu momentten büyük olması
gerekir.
35
Vektörel
çarpım (çapraz çarpım)
•
Bir kuvvetin momenti, kartezyen
vektörler kullanılarak ifade edilebilir. Bundan önce vektör çarpımında kullanılacak olan çapraz çarpıma bakalım. A ve B vektörlerinin vektörel
(çapraz) çarpımı
sonucu C
vektörü
elde edilir.
•
C vektörünün şiddeti de şu şekilde bulunabilir:
BAC
sinABC
36
•
YÖN: C vektörünün yönü, A ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Sağ
el kuralı
ile belirlenir.
•
C vektörünün yönü, uc
birim vektörüyle karakterize edilebilir.
•
Parmaklarımızı
A’dan
B’ye doğru kıvırdığımızda
başparmağımızın gösterdiği yön C vektörünün yönünü
gösterir.
cuABBAC )sin(
sinABC
37
Vektör çarpım kuralları
her durumda şiddet aynı
doğrultu aynı
Distributif
özellik
asosiyatif
özellik
38
Kartezyen vektör formülasyonu•
Kartezyen birim vektörlerinin çapraz çarpımlarını
bulmak için:
•
A ve B vektörlerinin vektörel
çarpımı
:
•
Bu terimler düzenlenirse :
39
•
Vektörel
çarpım, determinant formunda da ifade edilebilir. Bu determinant (3 satır ve 3 kolona sahip) üç
minör
kullanılarak hesaplanır.
Kartezyen vektör formülasyonu
Determinant hesabı
için minörlerin bulunması
Bu üç bileşen
toplanır ve determinant
bulunur :
40
Bir kuvvetin momenti: Vektör formülasyonu
Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti
FrM
0
O noktasında F kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine olan pozisyon vektörü
Vektörel
çarpım ile belirlenen moment doğru şiddet ve doğru yöne sahip olacaktır.
41
Şiddet
FdrFrFMFrM )sin(sin00
= r ve F vektörleri arasındaki açı d = dik mesafe
YönSağ
el kuralına göre
momentin yönü
belirlenir.
42
Taşınabilirlik (Transmisibilite) ilkesi
FrFrFrM
3210
Vektörel
çarpım işlemi, üç
boyutlu problemlerde
sıklıkla kullanılır. Çünkü kuvvetin etki çizgisinden
O noktasına olan dik mesafeyi bulmaya gerek yoktur. O noktasından F
kuvvetinin etki çizgisinin herhangi bir yerine ölçülen r vektörü
moment hesabı
için kullanılabilir.
F kuvveti etki çizgisinin herhangi bir yerine etkiyebilir, ve O noktasında aynı
moment etksini
yaratır.
43
Momentin kartezyen
vektör formülasyonuna
göre bulunması
+
+
Konum vektörü
bileşenleri
Kuvvet vektörü
bileşenleri
44
Bir kuvvet sisteminin bileşke momenti
•
Bir kuvvet sisteminin O noktasına göre bileşke momenti şöyle bulunur:
i
iir FrM
0
45
•
O noktasında oluşan moment değerini ve yönünü
bulunuz.
Örnek 13
46
