Nokta ve Aralık Tahmini - Anadolu Üniversitesi...Örnek 3: Sigara ve alkol kullananların sistolik kan basınçlarının normal seviye olarak kabul edilen 120mm/Hg [den daha yüksek

Nokta ve Aralık Tahmini Merkezi Limit Teoremi Örneklem Dağılımı Hipotez Testlerine Giriş

Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

İncelenen bir değişkenin toplumdaki dağılımının

özellikleri ve dağılımı karakterize eden

parametrelerinin tahmin edilmesi, istatistiksel

çıkarsama ve hipotez testleri için gereklidir.

Nokta Tahmini

Örneğin incelenen değişkenin toplum

ortalamasının tahmin edilmesi ya da toplum

ortalaması hakkında bilgi elde edilmesi, toplumdan

çekilen örneğe ait gözlemlerden hesaplanan örnek

istatistikleri ile sağlanmaktadır.

Nokta Tahmini

Hesaplanan bu örnek istatistiğine, parametrenin

tahmincisi ya da kestiricisi adı verilmektedir.

Toplum parametresinin, örnek istatistiğinden elde

edilen tek bir nümerik değer ile tahmin edilmesi

işlemine nokta tahminlemesi ve elde edilen

nümerik değere ise nokta tahmini denir.

Nokta Tahmini

Parametre: İncelenen değişkenin toplumdaki tipik

değeridir. Parametre hesaplanan sayısal değerdir.

İstatistik: n sayıda birimden oluşan örnekten elde

edilen verilerden hesaplanmış değerdir. İstatistik

parametrenin bir tahmincisidir.

Nokta Tahmini

Parametre İstatistik

Ortalama

Standart Sapma

x

S

Nokta Tahmini

İncelenen değişkenin toplumdaki dağılımını

karakterize eden iki önemli parametre, dağılımın

ortalaması ve standart sapmasıdır.

Toplum ortalaması µ için nokta tahmincisi örnek

ortalamasıdır.

Toplum Ortalaması İçin Nokta Tahmini

n

X

X

n

i

i 1

Örnek ortalaması sabit bir değer değildir ve çekilen

örneğe göre değişkenlik gösterir.

Örneğin, toplumdan n hacimli bir örnek

çekildiğinde bu örneğe ait örnek ortalaması

olsun. Aynı toplumdan n hacimli ikinci bir örnek

çekildiğinde elde edilecek örnek istatistiği olsun.


1X

2X

Aynı işlemi defalarca örneğin k defa tekrar edelim

ve her bir örnek için hesaplanan örnek ortalamaları

aşağıdaki gibi olsun.


kXXXX ,...,,, 321

Bu durumda örnek ortalamaları birbirinden farklı

çıkacaktır. Çünkü örneğe dahil olan gözlemler

rasgele bir mekanizma içinde çekildiğinden

örnekten örneğe değişkenlik gösterecektir.


n hacimli tüm örnek ortalamalarının hesaplandığını

varsayarsak, elde edilen bu ortalamaların

oluşturduğu dağılıma, ortalamanın örneklem

dağılımı denir.

Toplum Ortalaması İçin Örneklem Dağılımı

Toplumda sağa çarpık bir dağılım gösteren ve

toplum ortalaması µ=30.303 ve toplum standart

sapması σ=30.334 olan bir değişken düşünelim.


Bu toplumdan rasgele bir mekanizma içinde, n=3,

n=10 ve n=100 olmak üzere her bir örnek

büyüklüğünde 600 adet örnek çekelim ve

hesaplanan örnek ortalamalarının dağılım grafiğini

oluşturalım.



Toplum Ortalaması µ=30.303 Toplum Standart Sapması σ=30.334

600 tane için X

3,60.17,68.30 nSX

10,13.9,23.30 nSX

100,05.3,31.30 nSX

Grafikler incelendiğinde, örnek hacmi

arttıkça ortalamanın örneklem

dağılımının ortalaması toplum

ortalamasına yakınlaşmakta, standart

sapması ise küçülmektedir. Ortalamanın

örneklem dağılımının standart

sapmasına standart hata adı verilir.


Bu durumda ortalamanın örneklem dağılımı için

aşağıdaki sonuçlar elde edilir.


nX

XE

)(

)(

İstatistikte kullanılan en önemli teoremlerden birisi

de merkezi limit teoremidir.

Merkezi Limit Teoremi: İncelenen bir değişkenin

toplumdaki dağılım şekli ne olursa olsun, bu

toplumdan çekilen örneklere ait örnek

ortalamasının dağılımı örnek hacmi arttıkça normal

dağılım göstermektedir.

Merkezi Limit Teoremi

Nokta tahminciler tahmin değerinin kesinliği

hakkında bilgi sağlayamamaktadırlar. Bu kesinlik

aralık tahmini ile gösterilebilir.

Toplum parametresine ait aralık tahmini alt ve üst

sınır olmak üzere iki sınır içerir.

Aralık Tahmini

Genel olarak alt sınır L harfi ile (Lower bound) üst

sınır ise U harfi ile (Upper bound) gösterilir.

Burada θ herhangi bir toplum parametresini temsil

etmektedir.

Aralık Tahmini

UL

Toplum ortalaması µ için aralık tahmininde, µ’nün

nokta tahmincisi olan örnek ortalaması ve ‘nın

örneklem dağılımının standart sapması kullanılır.

Örneklem dağılımının standart sapması aynı

zamanda ‘nın standart hatasıdır ve bu değer ne

kadar küçük olursa toplum ortalaması µ’ye o

kadar yaklaşır.

Toplum Ortalaması İçin Aralık Tahmini

X X

X

X

Genelde yapılan çalışmalarda toplumdan n hacimli

sadece bir örnek seçilir.

Peki bu durumda tek bir örneğe bakarak ‘nın

örneklem dağılımına ilişkin standart sapmayı ya da

diğer bir anlatımla örnek ortalamasının standart

hatasını nasıl elde edeceğiz?

X


Daha önce de gösterildiği gibi n hacimli tek bir

örnekten, ‘nın dağılımının standart hatası

aşağıdaki şekilde elde edilir.

Burada σ toplumun standart sapmasını

göstermektedir.

X

nX

)(


Genelde incelenen değişkenin toplumdaki

dağılımına ait parametreler bilinmez.

Eğer toplumun standart sapması σ bilinmiyor ise

örnek ortalamasının standart hatası nasıl

hesaplanır?


Bu durumda örneğin standart sapması hesaplanır.

Hesaplanan bu örnek standart sapması, aynı

zamanda toplumun standart sapmasının nokta

tahmincisidir. Buradan yola çıkarak örnek

ortalamasının standart hatası aşağıdaki şekilde

hesaplanır. Burada S örnek standart sapmasıdır.

n

SXS )(


Büyük Örneklerde Toplum Ortalaması Aralık

Tahmini: Elde edilecek doğru aralık tahminin

olasılığına güven katsayısı denir ve 1-α ile gösterilir.

Burada α yanılma payı olarak tanımlanır ileride

görüleceği üzere I. tip hata olarak nitelendirilir. Bu

durumda oluşturulacak aralığına ise

güven aralığı denir.


UL

Güven katsayısı genellikle % ile ifade edilir.

Örneğin α=0.05 için oluşturulacak güven aralığına

0.95 güven aralığı ya da %95 güven aralığı denir.

Örnek hacmi büyük olduğunda toplum ortalaması

için güven aralığı aşağıdaki gibi elde edilir.


)()2/( XSZX

Burada Z standart normal dağılıma ait değerdir.

Örnek hacmi büyük olduğunda merkezi limit

teoremine göre örnek ortalamasının dağılımı

normal dağılım göstermekteydi. Bunda dolayı

burada standart normal dağılım değeri olan z

değerlerinden yararlanılır.


)()2/( XSZX

Bu durumda toplum ortalaması µ için 1-α güven

aralığı aşağıdaki gibi gösterilir.

Burada,

Eğer toplum standart sapması σ biliniyorsa

yukarıdaki gösterimlerde kullanılır.


)()2/( XSZXL )()2/( XSZXU

)()( )2/()2/( XSZXXSZX

)(X

Küçük Örneklerde Toplum Ortalaması Aralık

Tahmini: Örnek hacmi küçük olduğunda merkezi

limit teoremi geçersiz olur ve incelenen değişkenin

toplumdaki dağılımının şekli önem kazanır.


Küçük örneklerde, güven aralıklarının

hesaplanmasında kullanılan standart normal

dağılım z, ancak incelenen değişkenin toplumdaki

dağılımı normal ise ve toplumun standart sapması

biliniyorsa kullanılır. Aksi durumda yeni bir

dağılımdan yararlanılır.


Özetle; toplumdaki dağılım normal ve toplumun

standart sapması biliniyorsa, toplum ortalaması için

güven aralığı aşağıdaki gibi hesaplanır.


)()( )2/()2/( XZXXZX

Özetle; toplumdaki dağılım normal ve toplumun

standart sapması bilinmiyorsa, toplum ortalaması

için güven aralığı aşağıdaki gibi hesaplanır.

Burada z yerine t dağılımı kullanılmıştır. Bu dağılım

ileride anlatılacaktır.


)()( )1,2/()1,2/( XStXXStX nn

Güven aralığı nasıl yorumlanır?

Bu konuyu bir örnek üzerinde inceleyelim. Toplum

ortalaması µ=30.303 için n=100 birimlik 600 adet

örnek seçelim ve her bir örnek için %99 güven

katsayısına sahip güven aralıklarını hesaplayalım.

Toplum sınırlı ve toplum büyüklüğü N=8042 olsun.



Elde edilen sonuçlar

yandaki grafikte

verilmiştir. Sadece 39.

örneğe ait hesaplanan

güven aralığı toplum

ortalaması µ=30.303’ü

kapsamamaktadır.


Bu durumda hesaplanan

600 tane güven aralığından

sadece 1 tanesi toplum

ortalamasını

kapsamamaktadır.

Kapsayan güven aralığı

oranı ise 599/600=0.9983

olarak elde edilir.


Bu durumda hesaplanan güven aralığı;

örneğin %99 güven katsayısı ile hesaplanmış ise şu

şekilde yorumlanır.

Elde edilen bu güven aralığı, toplum ortalamasını

%99 olasılıkla kapsayan bir aralıktır.

Toplum ortalaması %99 olasılıkla bu aralıktadır

demek yanlış bir yorumdur.


Güven aralığı güven katsayı arttıkça genişlemektedir.

Hipotez Testlerine Giriş

Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı

Hipotezlerin Oluşturulması

Biyoistatistiksel yöntemlerin temel amaçlarından

birisi de n sayıdaki örneklerden elde edilmiş

istatistikleri kullanarak topluma ilişkin parametre

tahminleri yapmak, bu parametrelere ilişkin

kurulan hipotezleri test ederek doğru kararlara

ulaşmaktır.

Toplumda bir değişkenin parametrelerine, dağılım

yapısına ya da ilişki düzeyine ilişkin kurulan

hipotezlerin denetlenmesi için yararlanılan

yöntemlere hipotez testleri denilmektedir.


Kuramsal olarak varsayılan ya da önceden yapılmış

bir dizi gözleme dayanarak ortaya atılan

gerçekleşmesi mümkün olabilen önermeye hipotez

denir.


Örnek veriler, toplum ortalaması ya da başka bir

parametre hakkında sonuç çıkarmak için hipotez

testlerinde kullanılır.


Hipotez testlerinde genel olarak parametrenin

• belli bir değere eşit olup olmadığı

• belli bir değerden az ya da yüksek olup olmadığı

• birden fazla toplum söz konusu ise incelenen

değişkene ait parametrenin toplumlara göre değişip

değişmediği

• vb. şeklinde kurulan hipotezler örnek veriler ile test

edilir.


Hipotez testlerinde birbirinin tamamlayanı olan

ayrık iki hipotez kullanılır.

1- Sıfır Hipotezi (Null Hypothesis)

2- Karşıt Hipotez (Alternative Hypothesis)


Sıfır hipotezine eşitlik, farksızlık ya da yokluk

hipotezi denir. İncelenen değişkenin toplumdaki,

parametresinin değişmediği, belirli bir değere eşit

olduğu vb. şeklinde formüle edilir. H0 ile gösterilir.


Karşıt hipotez, incelenen değişkenin toplumdaki

parametresinin değiştiği, belirli bir değere eşit

olmadığı vb. şeklinde formüle edilir ve H1 ile

gösterilir.


H0 ve H1 hipotezleri parametre türüne (Ortalama,

Oran, İlişki Katsayısı, Regresyon Katsayısı vb.),

çalışma planına (tek grup, iki grup, paralel,

çapraz…), dağılım tipinin dikkate alınıp

alınmamasına göre farklı biçimlerde kurulur.


Örnek 1: Gebelikte sigara kullanımının düşük

doğum ağırlığına neden olduğu araştırılmak

isteniyor.

Araştırma öncesinde ise gebelikte sigara kullanan

bayanların 2500 gr.dan daha düşük ağırlığa sahip

doğum yaptıkları ileri sürülüyor.


İleri sürülen bu hipotezin test edilmesi için

kurulacak sıfır ve karşıt hipotezler nelerdir, nasıl

formüle edilir?


Örnek 1’de bahsedilen araştırmanın yapılacağı

Toplum

“gebeliği esnasında sigara kullanan tüm hamile

bayanlar”

olarak tanımlanabilir.


Bu topluma ait

Parametre

“sigara kullanan hamile bayanlara ait ortalama

doğum ağırlığı”

şeklinde ifade edilir.


Örnek 1’de ileri sürülen hipotez ise sigara kullanan

gebelerin 2500 gr. dan daha düşük ağırlığa sahip

doğum yaptıkları idi.


Bu durumda;

H0 Sigara kullanımı düşük doğum ağırlığına neden

olmaz.

H1 Sigara kullanımı düşük doğum ağırlığına neden olur.


Kurulan hipotezleri sembolik olarak gösterimi

aşağıdaki gibidir.

H0: μ = 2500 gr.

H1: μ < 2500 gr.


Örnek 2: Bir yerleşim yerinin su ihtiyacını

karşılamak üzere doğal bir akarsudan su sağlanarak

baraj kurulmak ve bu barajdan su ihtiyacının

karşılanması planlanıyor.

Ancak akarsuyun pH seviyesinin nötr olmadığı yani

7’ye eşit olmadığı iddia ediliyor.



Toplum

“akarsuyun kaynağından kurulacak baraja kadar

geçtiği tüm noktalardaki suyun pH değerleri”



Bu topluma ait

Parametre

“akarsuyun tüm noktalardaki pH değerlerinin

ortalaması”



Örnek 2’de ileri sürülen hipotez ise akarsuyun pH

seviyesinin nötr olmadığı yani 7’ye eşit olmadığı idi.


Bu durumda

H0

Akarsuyun pH seviyesi nötrdür.

H1

Akarsuyun pH seviyesi nötr değildir.




H0: μ = 7

H1: μ ≠ 7


Örnek 3: Sigara ve alkol kullananların sistolik kan

basınçlarının normal seviye olarak kabul edilen

120mm/Hg’den daha yüksek olduğu, sigara ve alkol

kullanımının hipertansiyon hastalığının en önemli

etkenleri arasında yer aldığı iddia ediliyor.


Bu amaçla yapılacak olan bir araştırmada ileri

sürülen bu hipotezin test edilmesinde kullanılacak

sıfır ve karşıt hipotezler nelerdir, nasıl formüle

edilirler?



Toplum

“sigara ve alkol kullanan tüm yetişkin bireyler”



Bu topluma ait

Parametre

“sigara ve alkol kullanan tüm yetişkin bireylerin

ortalama sistolik kan basıncı”



Örnek 3’de ileri sürülen hipotez sigara ve alkol

kullananların sistolik kan basınçlarının

120mm/Hg’den daha yüksek olduğu idi.


Bu durumda

H0

Sigara ve alkol kullananların sistolik kan basıncı

ortalaması normaldir.

H1

Sigara ve alkol kullananların sistolik kan basıncı

ortalaması yüksektir.




H0: μ = 120 mm/Hg

H1: μ > 120 mm/Hg


Örnek 1 Örnek 2 Örnek 3

H0: μ = 2500 H0: μ = 7 H0: μ = 120

H1: μ < 2500 H1: μ ≠ 7 H1: μ > 120

Herhangi bir değişimi, farklılığı, eşitsizliği,

bağımlılığı vb. ifadeleri içeren önermeler her zaman

karşıt hipotezde belirtilir.


Sıfır ve karşıt hipotezden hangisi seçmeliyiz?

Hangi hipotezin doğru olduğuna nasıl karar

vermeliyiz?


Örnek 1’deki araştırmada sigara kullanan 18 gebe

doğuma kadar takip edilmiş ve doğum sonrası

bebeklerin doğum ağırlıkları elde edilmiş ve

ortalama olarak 2395 gr. bulunmuş olsun.

Bu değer H1 hipotezini kabul etmemiz için yeterli

midir?


Örnek 2’deki araştırmada akarsu yatağı boyunca 40

farklı noktadan alınan su örneklerinin laboratuvar

ortamında pH değerleri hesaplanıp ortalaması 7.4

olarak bulunsun.

Acaba bu değer H1 hipotezini kabul etmemiz için

tek başına yeterli midir?


Örnek 3’deki araştırmada sigara ve alkol kullanan

20 bireyin sistolik kan basınçlarının ortalaması

149mm/Hg olarak elde edilsin.

Acaba bu değer H1 hipotezini kabul etmemiz için

tek başına yeterli midir?


Örnekten elde edilen değerleri kullanarak sıfır ya da

karşıt hipotezden birinin doğru olduğuna karar

verirken hata yapma olasılığımız her zaman vardır.

NEDEN?


Çünkü deneyi tekrarladığımızda farklı örnekten

farklı ortalama sonuçları bulmamız olasıdır.

Bu durumda gerçekte sıfır hipotezi doğru iken

örneklem hatası nedeniyle karşıt hipotezi doğru

kabul edebiliriz ya da tam tersini yapabiliriz.


Gerçekte doğru olan hipotezi kabul etmeyip yanlış

olan hipotezi doğru olarak kabul etme olasılığına

yanılma payı denir.

İki tip yanılma payı vardır ve bunlara I. tip ve II. tip

hata denir.


I. Tip Hata: H0 hipotezi doğru iken, H0 hipotezinin

ret edilmesine I. tip hata denir. 𝜶 ile gösterilir.

II. Tip Hata: H1 hipotezi doğru iken H0 hipotezinin

kabul edilmesine II. Tip hata denir. 𝜷 ile gösterilir.


Gerçekte Doğru Olan Hipotez

H0 H1

Örnekten Elde Edilen

Sonuca Göre Kabul Edilen

Hipotez

H0

Doğru Karar

𝜷 (II. Tip Hata)

H1

𝜶 (I. Tip Hata)

Doğru Karar


Hipotezlerin Testlerinde Hataların Kontrolü

Bir hipotez testinde hata yapma riskini kabul etmek

zorundayız çünkü karar kuralı örnek veriye

dayanmaktadır.

Ancak 𝛼 ve 𝛽 hatalarını kontrol altında tutmak

mümkündür.


Öncelikli olarak her iki hatayı da olabildiğince küçük

tutmak doğru karara varmak için önemlidir.

𝛼 ve 𝛽 hatalarının her ikisinin birden kontrol

altında tutulması uygun örnek büyüklüğünün

planlaması ile mümkündür.


Öncelikli olarak hangi hatayı kontrol altına

almalıyız?

Daha önemli olan, daha yüksek maliyetli sonuçlar

ortaya çıkarabilen hata kontrol altına alınmalıdır.


Hipotezler kurulurken eşitlik, farksızlık, yokluk

durumları sıfır hipotezinde yer alır.

İddia edilen, araştırılan, mevcut durumun tersini ya

da değişimini ortaya koyan hipotez ise alternatif

hipotezde yer alır.


Dolayısıyla 𝛼 hatası yapılması yani mevcut durum

değişmemişken, eşitlik ya da farksızlık var iken,

bunu yok gibi gösterip alternatif hipotezin kabul

edilmesi daha maliyetli sonuçlar ortaya koyabilir.


Örneğin yeni geliştirilen bir ilacın hipertansiyonu

düşürdüğü iddia edilsin. Bu durumda sıfır hipotezi,

ilacın tansiyonu düşürmediğini yani sonucun

değişmediğini, eşit olduğunu içerir. Alternatif

hipotez ise ilacın değişime neden olduğunu

hipertansiyonu düşürdüğünü gösterir.


Gerçekte ilaç işe yaramıyor, hipertansiyonu

düşürmüyorsa ve örnekten elde edilen verilerden

şansa bağlı olarak düşürdüğü tespit edilip alternatif

hipotez kabul edilirse ne olur?

I. Tip hata olur, ilaç üretilmeye başlanır ve yüksek

maliyetli bir hata yapılmış olur.


Bu örnekten de anlaşılacağı üzere ilk kontrol altına

alınması gereken hata birinci tip hatadır.

Bu nedenle I. Tip hata genel olarak 0.05 ya da daha

küçük seçilir. Bunun anlamı, sıfır hipotezi doğru

iken sıfır hipotezini ret etme olasılığı %5 ya da daha

az olmalıdır.


Birinci tip hatanın daha önemli bir hata olduğu

kabul edilmekle birlikte ikinci tip hata da önemli bir

hatayı oluşturmaktadır.

İkinci tip hata ise belirlenen bir örnek büyüklüğü ile

kontrol altına alınabilir. Bu durum ise testin gücü ile

ilişkilidir.


Örnek 1’de acaba örnekten hesapladığımız

ortalama değer kaç olsun ki biz H0 hipotezini kabul

ya da ret edelim.

Bu kritik değeri bulmak için bir dağılım varsayımı

yapılır ve I. tip hata değeri belirlenir.


Bu örnekte normal dağılım varsayımı kullanarak bir

kritik değer (A) elde edilir. Eğer örnekten elde

edilen ortalama değer bu kritik değerden küçükse

H0 ret edilir, büyük ya da eşitse H0 kabul edilir.




ya da ret edelim. Bu kritik değeri bulmak için bir

dağılım varsayımı yapılır ve I. tip hata değeri

belirlenir.


Bu örnekte normal dağılım varsayımı kullanarak iki

kritik değer (A1 ve A2) elde edilir. Eğer örnekten

elde ettiğimiz ortalama bu iki değer arasındaysa H0

kabul edilir, eğer A1’den küçük ya da A2’den büyük

ise H0 hipotezi ret edilir.




ya da ret edelim. Bu kritik değeri bulmak için bir

dağılım varsayımı yapılır ve I. tip hata değeri

belirlenir.


Bu örnekte normal dağılım varsayımı kullanarak bir

kritik değer (A) elde edilir. Eğer örnekten elde

edilen ortalama değer bu kritik değerden büyükse

H0 ret edilir, küçük ya da eşitse kabul edilir.


Bir hipotez testinde, test istatistiğinin sonucu H0 ve

H1 varsayımlarının oluşturulmasına göre

değerlendirilir.

H0:μ=μ0 iken H1:μ>μ0 ya da H1:μ

Eğer ret bölgesini belirten α olasılığı dağılımın sağ

ya da sol ucunda yer alıyorsa bu teste tek yönlü test

adı verilir.


Eğer H0:μ=μ0 iken H1:μ=μ0 formüle edilmiş ise test

istatistiğinin değerlendirilmesi farklılık gösterir. Bu

durumda ret bölgesi dağılımın her iki ucunda α/2

olarak ele alınır.

Bu teste de iki yönlü test adı verilir.


Documents

Nokta ve Aralık Tahmini - Anadolu Üniversitesi...Örnek 3: Sigara ve alkol kullananların sistolik kan basınçlarının normal seviye olarak kabul edilen 120mm/Hg [den daha yüksek