Notas de apoyo para el curso Primera Edición, agosto …oscardelatorretorres.com/catedras/fcca/investigacion_operaciones/... · 2 Repaso de conceptos geométricos, matemáticos y

Derechos de autor: Dr. Oscar Valdemar De la Torre Torres. (Registro en trámite)

Investigación de operaciones

Notas de apoyo para el cursoPrimera Edición, agosto de 2012

Dr. Oscar Valdemar De la Torre Torres

Facultad de Contaduría y Ciencias Administrativas

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo(Cuna de héroes, crisol de pensadores…)

Investigación de operaciones: Notas del profesor para el alumnoPágina: 2


Uso de estas notas del profesor

Por favor, dese el tiempo de leer esto. Le tomará , a lo mucho, diez minutos.

El objetivo de las presentes es hacer que su aprendizaje sea ameno y simple y que no sienta usteduna presión psicológica tal que solo se enfoque en obtener una buena nota para su promedio o, en elpeor de los casos, simplemente aprobar la materia para continuar con su licenciatura.

Como lo apreciará tanto en la clase introductoria al curso como en el plan de trabajo del mismopublicado en el sitio que previamente le indicaron, la finalidad del profesor y de las presentes es queusted enfoque sus energías a solamente aprender, estudiar, hacer el trabajo que le asignen yaprovechar el tiempo de clase. Por tanto, estos apuntes tienen un diseño simple pero que se buscasea pedagógico para usted. Adicional a lo ameno que se busca redactar, durante el contenido verádefiniciones que se resaltarán y que será su obligación aprender y memorizar. Tenga usted laconfianza de que no le será complicado recordarlos durante clase. Sin embargo, el conocer estosconceptos le garantizará tener una buena respuesta tanto en las pruebas de control como en lasevaluaciones parciales ya que dichas definiciones y conceptos serán preguntados en las mismas. Porejemplo:

“La Filosofía, como lo señalan los académicos de la Universidad de La Sapienza, se define como‘El conjunto de concepciones sobre los principios y las causas del ser de las cosas, del unive rso ydel hombre”, situación consistente con su origen etimológico ‘Philos’, que significa amigo y‘Sophia’ que significa sabiduría…”

Después del párrafo, usted verá algo así:

Filosofía: El conjunto de concepciones sobre los principios y las causas del ser de las cosas, deluniverso y del hombre.

También podrán venir definiciones, comentarios o fórmulas durante el contenido que no puedensepararse como una definición independiente pero q ue, sin embargo, usted nunca debe olvidar y quese señalan con un fondo gris ya que son clave para su aprendizaje:

Para la definición de contenidos:

“… Como se puede apreciar, gracias a la iniciativa de George Washington y Lafayette, Luis XVIapoyó la independencia de Estados Unidos y mandó a la ruina económica a Francia. Esta ruinageneró la revolución francesa que llevaría a Napoléon Bonaparte al poder. Es entonces que elasenso de Napoléon como emperador y su invasión a España, fue el principal acontec imientohistórico europeo que motivó la independencia de México …”

Este concepto difícilmente lo olvidará al estar resaltado y, a su vez, será la respuesta de unapregunta de prueba de control en clase o examen del tipo:

FCCA-UMSNH Página: 3


¿Cuál fue el principal acontecimie nto histórico europeo, adicional a muchos otros suscitados en laNueva España, que motivó la independencia de México?

Usted ya sabe la respuesta (NOTA: la pregunta en un examen puede venir de diversas formas yredacciones, con respuestas de opción múltiple, completar, etc. Este es un simple ejemplo de lecturade las presentes notas)

Para la definición de fórmulas:

“Por tanto, con la derivación previamente empleada, el área de un círculo se define como:

Fórmula 1 área de un círculo:2A r

El Dr. De la Torre espera que estas notas sean de su provecho. No se deje impresionar si cree que esmucho material para estudiar. Ya verá usted que la carga de materia es amena y fácil de llevar.

Es importante señalar que las presentes son una parte fundamental de la materia pero en ningúnmomento se está afirmando que son la única fuente que debe usted estudiar y repasar. En muchasocasiones se revisarán temas y se harán comentarios que pueden no venir en estas líneas y que, s inembargo, pueden preguntarse en las pruebas de control o examen. Por tanto, se le sugiere llevar suspropias notas a mano en clase, asistir a la misma y poner atención a todos los comentarios eindicaciones hechos por el profesor para evitar omisiones.

Dr. Oscar De la Torre.



Contenido

Uso de estas notas del profesor ..................................................................................... 2

1 Introducción a la investigación de operaciones ........................................................ 6

2 Repaso de conceptos geométricos, matemáticos y estadísticos aplicados al análisi smicroeconómico. ........................................................................................................... 8

2.1 Tipos de funciones por sus gráficas y su dimensión. .................................................. 12

2.2 Los elementos de una gráfica (vértices, límites, intersecciones). ................................ 14

2.3 Funciones lineales. ................................................................ ................................... 152.3.1 La pendiente de una función lineal. ................................................................ ........................... 162.3.2 Rectas paralelas y rectas perpendiculares................................. ................................................. 16

2.4 Funciones cuadráticas. ................................ ............................................................. 172.4.1 Propiedades de la función cuadrática ................................ ........................................................ 192.4.2 La forma cuadrática para resolver una función de este tipo en problemas de optimización. ... 20

2.5 Funciones exponenciales................................ .......................................................... 22

2.6 Condiciones que debe cumplir una función ....................... ¡Error! Marcador no definido.2.6.1 ¿Cuándo se considera como “definida” una función?.................... ¡Error! Marcador no definido.2.6.2 Unicidad................................ .......................................................... ¡Error! Marcador no definido.

2.7 El concepto de continuidad. ................................................................ ..................... 23

2.8 Tipos de funciones comúnmente utilizadas en la Microeconomía y la Economía de laempresa. ................................................................ ............................................................ 24

2.9 Recordemos el concepto de pendiente, tomemos la autopista y vayamos directo alconcepto de derivada................................. ................................................................ ......... 30

2.9.1 Optimización de funciones univariadas................................. ..................................................... 39

2.10 Cálculo diferencial y optimización multivariados. ................................ ...................... 442.10.1 Derivadas parciales de orden superior................................................................. .................. 47

2.11 Optimización multivariada sin restricciones. ............................................................. 48

2.12 Optimización multivariada con restricciones. ............................................................ 502.12.1 Optimización multivariada con restricciones de igualdad. ................................ .................... 502.12.2 Optimización multivariada con el método de los multiplicadores de Lagrange. ................... 52

2.13 Elementos básicos de álgebra lineal para la resolución microeconómicos deoptimización con más de dos variables y restricciones de igualdad y desigualdad. ................ 55

2.13.1 Vectores y matrices (álgebra matricial)................................. ................................................. 56

2.14 Resolución de sistemas de ecuaciones con álgebra lineal. ................................ ......... 64

2.15 Manejo de las restricciones de desigualdad. ............................................................. 67



3 Retomando la selección racional de los agentes económicos. ................................ 69

3.1 La elección racionalmente limitada del consumidor. ................................................. 69

3.2 La elección limitadamente racional del productor ¿cómo debemos acostumbrarnos aelegir en nuestra empresa? ................................................................ ................................. 74



1 Introducción a la investigación de operaciones

La investigación de operaciones es una disciplina que surge de las operaciones militares. Enconcreto, su aplicación inmediata surge cuando los ejércitos aliados buscaban determinar técnicasmatemáticas que les permitiese tene r una ventaja estratégica en la batalla. Por ejemplo, la formaen que se deberían organiz ar las filas y formaciones y cuál debería ser la secuencia de tiro para sermás eficaces en los objetivos militares.

El caso más concreto del empleo de la investigación de operaciones tuvo en la ingeniería militar esla formación que, gracias al uso del radar, deberían tener las embarcaciones inglesas para reducirsu gasto bélico en la persecución de submarinos y barcos enemigos. Otro uso que se dio en laguerra era el relativo a conocer cuál debiese ser la ubicación exacta de los puestos deabastecimiento de gasolina y provisiones, de tal forma que se diera una atención inmediata y abajo costo y consumo de gasolina a las diferentes líneas de batalla.

Uno de los mayores maestros de esta disciplina, que no la ejerció como tal , fue Lee Sun Tzu, quienes conocido por ser un estratega de la guerra y quien hablaba claramente de la necesidad de ungeneral de planear su ruta de guerra y la forma en cómo establecería sus rutas de abastecimientopara lograr la victoria.

La Investigación de Operaciones recibe su nombre precisamente de la investigación científica quese hizo para mejorar las operaciones militares, de tal forma que esta tuviese los mejoresresultados para los ejér citos aliados. La misma fue ampliamente estudiada por matemáticos en lasprincipales universidades de Estados Unidos e Inglaterra como fueron Oxford, Harvard, Princetono el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) y sus modelos de conocimiento prontocomenzaron a tener una aplicación en la vida civil y en la planeación de las empresas.

En el contexto de la materia usted será capaz de estudiar técnicas matemáticas para la toma dedecisiones, siendo la optimización la más estudiada, seguida por las cuatro aplicaciones másimportantes de la misma: la toma de decisiones para asignar recursos de manera que incrementelas utilidades de su empresa o reduzca los costos, la forma de determinar de mejor manera lasrutas de distribución de su cadena de logíst ica para ser más eficiente en sus entregas y, laadministración de inventarios y la manera de establecer el mejor lugar de una serie de sucursales,bodegas o centros de distribución.

A su vez, se le dará a usted algunos conceptos de los conceptos de simul ación, a efecto de queusted pueda probar que las decisiones que ha tomado en consideración son las más pertinentes.

Como puede usted apreciar, el proceso de toma de decisiones, desde la perspectiva que lorevisaremos, emplea algo conocido como “modelos d e optimización”. Es decir, usted determinarácuáles serán los niveles de producción o de asignación de recursos de su empresa, a efecto de



incrementar un beneficio como puede ser las utilidades de su empresa u organización. Para lograreste tipo de decisio nes, usted deberá responder preguntas como las que se presentan en elsiguiente tipo de problema:

“Usted trabaja en la empresa mimollete.com en la que usted vende molletes a toda la ciudad através de internet, garantizando, como en algunas empresas de pizza, que si su orden de molletesno llega en 30 minutos, es gratis. A su vez, usted produce tres lí neas de mollete: a) el hawaiiano hy b) el mexicano m a . Cuando usted tuvo una reunión con su personal de producción y de ventas,llegó a la formulación de la siguiente función mate mática que le dice cuánto gana en total por laventa de todos los productos, en donde y mh son el número de molletes de cada tipomencionado1:

2 2$70 $47.8utilidades U h m

La pregunta que usted debe responderse sería ¿cuánto debo de producir del mollete hawaiiano hy cuánto del mexicano m para obtener el máximo nivel de utilidades en mi empresa?”

Preguntas como la de mimolle te.com se responden a través de modelos matemáticos que seresuelven con técnicas de cálculo. Existen muchas de ellas y no las veremos todas. Eso se ladejamos a nuestros amigos matemáticos. Sin embargo, ellos nos hicieron una serie de regalos quenos será de utilidad como son el método de los multiplicadores lagrangeanos, el método Newton -Raphson y el Newton o, el más reciente, el método simplex de Danzig. Como se mencionó, existenmuchos más de ellos pero quizá los dos más adecuados son el de los multipli cadores lagrangeanosy el simplex, ya que son de aplicación general y son los más adoptados.

A gusto del autor de este documento, podría tener una mayor aplicación el método de Lagrangepero este requiere de cálculo. En honor a la verdad el cálculo no es difícil como no lo plantea latelevisión o la rumorología popular. En realidad, su concepción intuitiva es muy simple y, si lacomprendemos, nos puede llevar a aplicaciones mucho más simplificadas y comprensibles. Es poreso que en este curso veremos la re solución de modelos de optimización, como el demimollete.com, en donde emplearemos cálculo y en donde veremos lo sencillo que es y lo útil quenos será en la optimización.

Por ello, iniciaremos estudiando los elementos de cálculo pero lo haremos de una m anera simple yllevadera, de tal forma que usted disfrute de estudiar cálculo y vea que, contrario a la creenciapopular, el mismo nos simplifica la vida.

1 ¿Cómo sacamos la fórmula de utilidades U? De momento eso no debe preocuparle. Eso se responde en lamateria de microeconomía o en Economía I dentro de su programa de estudios.



2 Elementos matemáticos para resolver un problema deoptimización: revisión de los conceptos matemáti cos que danfundamento teórico a los multiplicadores de Lagrange .

2.1 Concepto de función y los tipos más comunes de funciones en lasciencias administrativas.

Como se ha visto, el modelado matemático de un problema de optimización se concreta en unaecuación o una función matemática.

Función matemática: Es una regla que se asigna a cada objeto de un conjunto llamado rangoexactamente un elemento de otro conjunto llamado dominio.

Dominio: Es el conjunto de valores que puede transformar una función.

Rango: Los valores que puede tomar el dominio de una función.

Para ilustrar la idea piense en X como el dominio e Y como el rango de la siguiente funciónilustrada:

Por tanto, usted puede pensar en una función como una regla (o una batidora) que procesa losdatos o cantidades del dominio y los transforma en los valores del rango (meto naranjas, leche yharina y sale masa de pan) :

Normalmente, una función se denota, de manera resumida, c omo ( )f x . Esto es, en virtud de sudominio. Por ejemplo: suponga que el dominio X se transforma con una función dada por



( ) 2 3( )f x x

Esto sería, en palabras, que la función del dominio X se da por 2 más tres veces el valor deldominio X.

Ahora que hemos revisado el concepto de función será de interés plantearse ¿para qué esnecesario saberlo y ver todo este sub apartado?

Usted como administrador de una empresa se verá en la necesidad de tomar decisiones sobrealguna situación particular de su empresa, la cual se modela de manera matemática a través deuna función que, por lo general, su área de producción, de mercadotecnia o la finan ciera leproporcionan. Esta función debe ser optimizada y es necesario recordar de qué se trata.

Ya que visitamos el concepto de función, es de necesidad observar que existen muchos tipos defunciones en la matemática. Sin embargo, no todas estas se aplic an para resolver problemasadministrativos como los que estudiaremos, así que solo hablaremos de las tres func iones máscomunes como son la lineal, la cuadrática y la exponencial . Dejando otros casos de interés comoson las funciones logarítmicas y las rec íprocas para su curiosidad personal. Por tanto, dicho esto yantes de entrar al concepto de derivada que es una técnica demasiado sencilla de comprender yaplicar una vez que usted comprenda el concepto de pendiente, será de necesidad distinguir lasdiferencias y similitudes entre una función lineal, una cuadrática y una exponencial .

2.2 Condiciones que debe cumplir una función

2.2.1 ¿Cuándo se considera como “definida” una función?

En algunos momentos se tiene que observar que la función puede no existir o tener a l menos unnúmero real como rango. Para poder completar esta afirmación, es necesario observar los dostipos de números o campos más empleados en la Economía:

Números reales: Se denotan con ℝy comprenden todos los números positivos y negativos contodos los decimales. Este tipo de números son todos aquellos con los que habitualmentetrabajamos como puede ser 1, 2.757394083, 9.1010, -1’029,756,922.0303083081308310823, etc.Algunos otros números que se encuentran en este conjunto son los números naturales ( ℕ), queson los que se utilizan para contar (1,2,3,4,etc.), los números racionales positivos y negativos (quese denotan con ℚ) que se obtienen como cocientes o divisiones (ejemplo 1/3=3.3333333…), losnúmeros irracionales que son cocientes o divisiones so lo de números enteros y el cero (0).

Números complejos: Se utilizan normalmente para resolver raíces cuadradas de números

negativos ( 1 ) y estos se utilizan solo en modelos económicos demasiado complejos.



Para ilustrar una idea genérica sobre la organización de los números reales se tiene la siguienteilustración:

Ilustración 1 Conceptualización aproximada de los números reales.

Otra forma de definir que una función existe, es que su rango o conju nto resultados lleve anúmeros definidos Es decir que sean números y no ∞. Por tanto, toda función que lleve a valoresdivididos entre cero es una función indefinida.

Ahora, la función puede no siempre ser definida y tampoco ser siempre indefinida. A vec es, enEconomía usted se topará con funciones como esta:

21( )f x

x

Gráfica 1 Ejemplo de función indefinida.

Observe usted cómo, cuando x=0, la función ( )y f x es indefinida.

Números complejos

Números Reales (hasta donde casi siempre llegamos en la Economía)

Números racionales

Números irracionales

cero

Números naturales ℕ

ℚℝ

-3 -2 -1 0 1 2 30

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100ejemplo de función indefinida

X

Y



Sin embargo, en la vida real usted no trabajará con todos los números reales existentes y enocasiones deberá trabajar con fragmentos de estos y aplicar una función, lo cual le permite haceroperaciones y análisis numérico como puede ser una derivada o una optimización.

Por tanto:

Función indefinida: Aquella que en un elemento o número del dominio tiene un valor real que noes infinito.

2.2.1.1 Determinación del dominio de una función.

Como se pudo ver con el ejercicio previo, por cuestiones matemáticas puede darse el caso de queuna función se divida entre cero o que esta de un resultado que no es un número real.

Por tanto, no siempre se dará la oportunidad de hacer análisis en toda la función y se debe definircon qué valores del dominio es apropiado trabajar. Por ejemplo, s uponga usted que la gráfica 4 serefiere al nivel de “utilidad” o satisfacción que tiene una persona por solo consumir undeterminado alimento. Esto es, conforme más consume, tiene menor satisfacción.

Es lógico pensar que es solo de interés la parte derec ha de la gráfica dado el problema económicoplanteado. Sin embargo, no podrá trabajar con el cero. Por tanto, el dominio de la función se dapor todos los valores arriba y abajo del cero o, si quiere apegarse más a su problema económico, alos valores arriba del cero.

2.2.1.2 Tipos de intervalos en el dominio.

Como tema natural a la afirmación anterior es de necesidad introducir el concepto de intervalo.Este no es más que fijar los límites (a y b) que puede o no tocar el dominio.

Los intervalos pueden ser de tr es tipos:

Cerrados: Esto implica que los valores del dominio pueden contener todos los númerosreales entre a y b, incluyendo a los propios a y b. Estos se denotan como: [ , ]a b .

Abiertos: Esto implica que los valores del dominio pueden contener todos los númerosreales entre a y b, excluyendo a los propios a y b. Estos se denotan como: ( , )a b .

Semiabiertos: Esto implica que los valores del dominio pueden contener todos l osnúmeros reales entre a y b, y ya sea solo a o solo b. Estos se denotan como: [ , )a b si se

incluye a todos los valores entre a y b pero no se incluye a b o ( , ]a b si se incluye a todoslos valores entre a y b pero no se incluye a a.



Para dar una representación de lo anterior, se tiene la siguiente ilustración:

Ilustración 2 Los tres tipos de intervalo en el dominio de una función.

2.2.2 Unicidad

Otro criterio que toda función debe c umplir es el denominado “unicidad”. Quizá en problemas deotras ciencias podrá ser aceptable. Sin embargo, en Economía, en especial cuando llegamos apuntos de optimización se debe tener siempre un mismo valor en el rango en la función para cadavalor en el dominio:

Gráfica 2 Criterio de la recta vertical

2.3 Tipos de funciones por sus gráficas y su dimensión.

Para fines de modelado matemático, una gráfica es la representación geométrica de un conjuntode puntos que relacionan el rango con el conjunto de valores de su dominio. Por ejemplo, lagráfica presentada para la función indefinida relaciona el dominio de los valores x y el rango quetoman los valores y.

La dimensión de una gráfica depende del número de variables que se inv olucran en el análisis.Existen dos tipos de variables. La primera de ellas corresponde al rango de una función, y lasegunda corresponde a variables independientes o causales que corresponden al dominio.

Sin embargo, puede darse en caso de tener modelos tridimensionales cuya variable dependienteahora es función de otras dos. Esto sería: ( , )z f x y y se representa de la siguiente forma en elsiguiente ejemplo:

2 2( )( , ) x yz f x y x e



Gráfica 2-3 Función tridimensional.

Con lo anterior, baste a usted con saber cómo determinar la dimensión gráfica que genera unafunción.

Lo que aquí se quiere presentar, junto con la definición de la dimensión de una función y de laecuación en cuestión, es que la gráfica, de ser factible hacerla, le ayudará a usted a comprendermejor el fenómeno económico o social estudiado, en especial el modelo microeconómico. Lasgráficas pueden ser puntos, líneas (o rectas), superficies (o plano s) y cuerpos (tienen volumen).Con esto, usted recordará las siguientes definiciones:

Punto: Es uno de los entes geométricos fundamentales junto con la recta o el plano (superficie) yes una figura geométrica adimensional (tiene dimensión cero ya que no t iene longitud, área ovolumen) que describa una posición en el espacio respecto un sistema de coordenadas.

Línea o recta: Es una sucesión de puntos de una sola dimensión. Es decir esta se puede formar deun conjunto de puntos uno después del otro y solo t iene una dimensión: longitud.

Superficie o plano: Es una sucesión infinita de puntos o rectas que tiene dos dimensiones: longitudy altura.

Cuerpo: Es una sucesión de puntos y rectas (y en ocasiones superficies) que tiene tresdimensiones: longitud, altu ra y fondo.

En los diferentes problemas administrativos, usted se enfrentará a las gráficas del fenómenodescrito y, de las mismas, usted derivará conclusiones o establecerá la resolución de problemas alrevisarlas. En otras ocasiones, como puede ser una función que depende de cinco variables (por

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

X

Función tridimensional X*exp(-X2-Y2)

Y

Z



ejemplo 2 3( , , , , ) 3 2 224z

f x y z p q x y p q ), usted será incapaz de tener una gráfica

simple por lo que solo deberá hacer un análisis numérico o, al menos deberá optimizarlo yresolverlo con la matemática.

2.4 Los elementos de una gráfica (vértices, límites, intersecciones).

Retomemos una gráfica de dos dimensiones:

Gráfica 2-4 Ejemplo de una gráfica con intersección al eje.

Gráfica 2-5 Ejemplo de una gráfica de una función que interseca a otra.

Observe la que la misma tiene señalados el vértice, que es el punto donde se encuentra el máximovalor de un pico o un valle en una función. En este caso, es un “pico”. La intersección puede ser el

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-100

-80

-60

-40

-20

0

X

Y

Vértice

Intersección

0 5 10 15 20 25 30 35 40-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800



punto que toca la función el eje x o aquél en que toca a otra función. Los dos casos se presentaronen las gráficas anteriores.

2.5 Funciones lineales.

Es la función más simple, en muchas ocasiones la más socorrida y la q ue nos ayudará a sentar lasbases de la derivación, en específico con el concepto de pendiente de una recta. Una función lineales aquella que tiene una forma funcional dada por:

Fórmula 1 Forma funcional de una función lineal.

( )f x x

Esta, como se mencionó previamente, la intersección, se da por y la pendiente por . Laintersección no requiere definición ya que previamente se explicó de manera gráfica y su noción,para este caso, aplica solo para la intersección con el eje y.

Para dar una idea del concepto de intercepción y pendiente, recuerde usted la recta de regresión(ese tema lo verá en Estadística y Econometría).

Como puede observar en la gráfica, según lo plantea la ecuación de la regresión, la funcióninterseca a Y en Y=0.0012. Por tanto, dicha intercepción (α) es el valor de y mencionado.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

4

Número de la observación

Va

lor

delr

esid

ual

Residuals

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

4

Ingreso (PIB)

Co

nsu

mo

(INE

GI)

Datos de Consumo e Ingreso

C = 0.001.2+0.18* YDatosRegresión lineal



2.5.1 La pendiente de una función lineal.

La Pendiente de una función se da por la razón de cambio del valor de la función (Y) dado elcambio en el valor de X.

Fórmula 2 Fórmula de la pendiente.

( ) cambio en y( ) cambio en x

f xpendientex

Por ejemplo, vea usted la ecuación de la recta de regresión de la gráfica 2. Esta da un valor de0.18 . Esto significa que, por cada cambio (unitario o decimal) de x, y cambiará en 0.18. Esto

es:

( )y

y f xx

2.5.2 Rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Antes de pasar a revisar el otro tipo de función, será necesario revisar cómo, a la luz de lapendiente, se puede definir una recta como paralela o perpendicular.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto se denota como.

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x

La recta 1 ( 1 ( )f x ) será igual a la recta 2 ( 2( )f x ) si y solo si (que se denota como ) sus

pendientes, dadas por los valores βde cada caso , son iguales. Véase una gráfica de ejemplo ycómo la pendiente es la misma a pesar de la diferencia en las intersecciones.

Gráfica 2-6 Ejemplo de dos rectas paralelas.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 5 10 15 20 25 30 35

Y1

Y2



Ahora, dos rectas son perpendiculares si estas tienen pendiente diferente y esta, en el punto enque se intersecan, forman un ángulo de 90°:

2.6 Funciones cuadráticas.

El otro tipo de función que se empleará será la cuadrática la cual se caracteriza por ser de segundogrado. Es decir, uno de sus términos está elevado al cuadrado. Por tanto, la forma general delpolinomio que caracteriza u na función cuadrática es el siguiente:

Fórmula 3 Forma funcional de la función cuadrática.2( )f x xa xb c

La gráfica de una función cuadrática se da de la siguiente forma:

Gráfica 2-7 La representación de una función cuadrática.

10 5 5 10

10

5

5

10

y 7 x2

10



Aquí es importante señalar la influencia que tienen los coeficientes , ,a b c . El coeficiente adetermina el grado de concavidad de dicha curva. Es decir qué tan amplia y hacia dónde (arriba oabajo) debe ser la apertura de la parábola en cuestión. En la plataforma Moodle se le dio acceso auna animación titulada “Animación del comportam iento de una función cuadrática archivo”. En lamisma usted pude cambiar los valores de los coeficientes como usted prefiera.

Para ilustrar esto el efecto de los coeficientes y la estrecha relación entre una función lineal y unacuadrática, así como el comportamiento de la función cuadrática, cambie los valores de lasiguiente manera:

Gráfica 2-8 La relación entre la función lineal y la cuadrática (vea tabla de valores de coeficientes a continuación).

Algunas consideraciones que debe tener presente son que la influencia conjunta de loscoeficientes b y c hacen que el vértice de la parábola se mueva de izquierda a derecha y haciaabajo teniendo como límite a c. Para ilustrar esto, parte de la paráb ola del centro en la gráfica 16 yreplique una parábola invertida (línea roja invertida que logrará seleccionando la opción “show”).Después, siga usted con la animación cambiando solo los valores de b (partiendo los valores de lasgráficas anteriores). Esto lleva a las siguientes formas y su respectiva tabla de resultados:

10 5 5 10

10

5

5

10

yx

10 2

a b c Resultado al que se llega Gráfica

2 0.5 0

Se llega a la forma funcional propia de unafunción lineal interceto-pendiente conintersección en el eje y de 2 y pendiente 0.5. Izquierda

2 0.5 0.5

Se llega a una función cuadrática con mismaintersección y pendiente anterior pero tambiéncon grado de concavidad de 0.5 (parábola abiertahacia arriba). Centro

2 0.5 -2

Se llega a una función cuadrática con misma laintersección y pendiente anterior pero tambiéncon grado de concavidad de -1 (parábola abiertahacia abajo). Derecha

10 5 5 10

10

5

5

10

y x2

2 x

10 2

10 5 5 10

10

5

5

10

y 2 x2 x10 2



Gráfica 2-9 Cambio de posición en el vértice de la parábola con diferentes valores de b y c.

Note cómo cambios en b y c llevan a diferentes puntos sobre la parábola espejo (roja). Esto lleva aobservar que b indica el desplazamiento a la derecha o izquierda del vértice alrededor de unaparábola original y cómo c indica el punto más alto, en el eje y, al que puede llegar dicho vértic e.

2.6.1 Propiedades de la función cuadrática

A continuación, dadas las características previamente vistas en la función cuadrática, se tienen lassiguientes propiedades:

El dominio de la función son todos los números reales ℝ. Si a>0, la parábola abre hacia arriba, si a<0, la parábola abre hacia abajo. El vértice de la parábola se puede determinar por:

,2 2b b

fa a

El eje de simetría se da por:

2ba

Las intersecciones con el eje x se encuentran con la forma cuadrática próxima a exponer.

10 5 5 10

10

5

5

10

y2 x2 5 x335

y 335 2 x2

y 5 x2

335

a b c Resultado al que se llega Gráfica

0.5 5 2Se llega a una función cuadrática cuyo vértice sedesplazó a la izquierda y hacia abajo. Izquierda

0.5 -5 2Se llega a una función cuadrática cuyo vértice sedesplazó a la derecha y hacia abajo. Centro

0.5 -5 0.5

El valor máximo al que puede aspirar el vértice dela función cuadrática si esta tienedesplazamientos dado el valor de b se da ahorapor 0.5 Derecha

10 5 5 10

10

5

5

10

y2 x 25 x335

y3352 x2 y

335

5 x2

10 5 5 10

10

5

5

10

y2 x25 x335

y 3352 x 2 y

335

5 x2



2.6.2 La forma cuadrática para resolver una función de este tipo en problemas deoptimización.

Ahora ¿Cómo puede usted hacer para obtener los valores de x que llevan a un nivel determinadoen y? como veremos más adelan te, cuando usted resuelve un problema de optimización de unasola variable y utiliza derivación para lograrlo, observará en algunas ocasiones que, al aplicar unaderivada a la función que gobierna el fenómeno económico a optimizar, esta le podría llevar a unaderivada dada por una forma funcional cuadrática:

2yax bx c

x

Veremos en optimización que el valor óptimo de una función se encuentra cuando el valor de laderivada es de cero:

2 0y ax bx cx

Para ilustrar obtener el valor de x, se emplea algo que se revisó en álgebra llamado fórmulacuadrática. Esta se da por:

Fórmula 4 Fórmula cuadrática para derivar valores de x en una función de segundo grado.

2 42

b b acxa

Para ilustrar esto, téngase la siguiente parábola que dad por:

22 4 2 0y

x xx

10 5 5 10

10

5

5

10

y 2 x24 x2



Quizá aquí usted recordará la condición de unicidad y podría sentirse tentado a creer que este tipode función no cumple con la misma. Sin embargo, también recuerde que la unicidad aplica cuandose tienen dos valores de y para un solo valor de x y no al revés. Dos valores de x que llevan aunmismo valor de Y. Por tanto, esta función sí cumple con el criterio de unicidad.

Para obtener el objetivo logrado (es decir, determinar el valor de x que lleva a y=0) se aplica laforma cuadrática:

2( 4) 4 4 2 2 4 16 16 4 0 4 0 12 2 4 4 4

x

Si se revisa la gráfica anterior, se aprecia que efectivamente x=1 lleva a y=0.

Ahora suponga usted que está modelando el impacto financiero que determina producirdeterminada cantidad de piezas de una computadora. Suponga que e se impacto se da por la

siguiente expresión 22 4 2y x x . Aquí los valores negativos implican comprar las piezas enlugar de producirlas, lo que impacta en el costo final y el margen de beneficio.

Por tanto, usted observa que comprar determinada cantidad x de piezas le incrementa el beneficiodado por la fórmula anterior o producir dicha cantidad x o más también le incrementa el margen.¿Por qué es esto? Simple si usted compra mucho, tiene mejores costos. Si usted produce muchohay un punto donde tiene márgenes negativos pero, posterior a ello, sus costos fijos se prorrateany tiene márgenes de beneficio positivos. Por tanto usted quiere responder ¿Cuánto de debecomprar o se debe producir de determinada pieza para llegar a un margen de costos de cero? Esdecir, llegar al equilibrio financiero.

Para responder esto, simplemente utilice la formula cuadrática:

2( 4) 4 4 2 2 4 16 162 2 4

4 32 4 5.65654 4

9.6565 2.41424

1.65680.4142

4

x

x

x

x

Esto es y por redondeo, producir tres o más piezas le podría generar márgenes de equilibrio ycomprar una o más piezas le podría llevar al mismo resultado. La decisión final entre producir 3 o



más o comprar una o más dependerá de usted. Simplemente aquí se le dice ¿cuánto producir ocomprar en cada caso?

2.7 Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son aquellas que tienen una forma funcional dada por:

Fórmula 5 Forma funcional de una función exponencial.

( ) xf x b

En términos más sencillos, una función exponencial se da por:

Las tres partes de la misma son.( )( ) f xf x b

Y=f(x) es la función o valor de la variable dependiente. b es la base de la función. x es el exponente (número o función como se vio previamente).

La expresión anterior simplemente significa que una función exponencial es una base b que puedeelevarse a una potencia o exponente y este exponente puede ser un simple número o el resultadode una función. La g ráfica de una función exponencial puede ser como sigue:

Gráfica 2-10 Una función exponencial

Un ejemplo de este tipo de función es el crecimiento poblacional que puede modelarse con unacurva como la anterior.

0 20 40 60 80 100t0

200

400

600

800

1000Nt r 0.050, N010.0



Una función exponencial puede también ser creciente o decreciente. Es decir, el términoexponencial puede ser positivo o negativo, lo que tiene un impacto en el comportamiento dedicha función. Por ejemplo, un caso de expon ente negativo se puede dar por:

Gráfica 2-11 Función exponencial decreciente.

La función exponencial, como veremos en breve, es la base de lo que se conoce comoprogresiones geométricas . Por tanto, el término función exponencial y función geométrica esprácticamente lo mismo. Cuando usted lea “es una función geométrica” o “tiene uncomportamiento geométrico” se refiere simplemente a un comportamiento exponencial como elque se está revisando.

2.8 El concepto de continuidad.

El concepto de continuidad es de vital importancia en el modelado matemático y su presenciadetermina si una función determinada puede ser diferenciada. Es decir, si tiene derivada o no.Para ilustrar de manera gráfica el concepto se tiene la siguiente grá fica que sale de la animaciónde Mathematica presentada en su plataforma Moodle y que se titula “Grafica de existencia delímites y continuidad archivo”:



Gráfica 2-12 la gráfica de una función por partes y los intervalos en los que es continua y los valores de x donde no loes.

Por ejemplo, usted puede ver que, cuando 2c , la función no tiene valor ya que no hay ningunadefinida para ese punto específico (vea bien la función por partes). Es entonces que la función esdiscontinua en ese punto. Ahora, observe usted cuando 0c . Aquí si existe un punto definido.Sin embargo, este es totalmente diferente en valor de la función cuando la sucesión se aproximapor la izquierda ( (2,0)ix ) y lo es también cuando se aproxima por la derecha ( (0,3)ix 0029).

Cuando el valor de la función cambia drásticamente. Es decir, hay un salto de un punto a otrodentro de la sucesión de valores en x, se dice que la función tampoco es continua.

2.9 Tipos de funciones comúnmente utilizadas en la Microeconomía y laEconomía de la empresa.

Una de las principales situaciones que se presentan cuando uno revisa de manera introductoria losconceptos de microeconomía es lo relativo a conceptos como las curvas de indiferencia o lascurvas de isocostos e isocuantas. En la mayoría de los libros de microec onomía y Economía deempresa se exponen descripciones intuitivas del concepto. Sin embargo, su grado de simplicidadllega al punto en el que no se logra hilar el concepto de optimización con la esencia de las mismas.Para exponer esto y en consistencia con el tema de funciones previamente descrito, se leexpondrán las gráficas de los principales tipos de función que revisaremos en el presente curso yse harán interpretaciones, netamente intuitivas, de su significado.

fx2 x32 x 2log x 2 2 x 03 x 0

x21 0 x 3

cos x x 3

limx2

fxD.N.E

2.a6 4 2 2 4 6

x

3

2

1

1

2

3

y



En primera insstancia se revisará el tipo más simple de función existente: la lineal. Recuerde ustedla forma general de una función lineal univariada:

( )f x x

Ahora vea usted una función lineal multivariada en donde existen dos variables:

1 2( , )f x y x y

En la siguiente gráfica se le presenta una función de demanda para el caso univariado y para elcaso multivariado:

( ) 3 0.6f x x

( , ) 3 0.6 0.4f x y x y

Gráfica 2-13 Una función de demanda lineal univariada y el caso multivariado.

En la gráfica de la derecha usted puede observar lo que ha aprendido de otros cursos deEconomía, conforme el precio baja, la demanda del artículo (Q) se incremental Ahora, en la gráficade la derecha se le presenta el caso de dos artículos en donde se relacionan las diferentescombinaciones de precio y cantidad demandada en los dos artículos. De esa gráfica, es necesariodestacar dos cosas. La primera de ellas es el plano en el eje x en donde se presenta en nivel deprecio que se relaciona con el nivel de artículos demandados. La segunda es el mapa de rectas demúltiples colores que se exponen en el plano x,y. Ese plano identifica los diferentes niveles de

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

QArtículo 1

Función lineal univariada -Demanda de un artículo- 3-(0.6*QArtículo 1)

Pre

cio

-6-4

-2 02

46

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5

0

5

10

QArtículo 1

Función lineal multivariada -Demanda de dos artículos- 3-(0.6*QArtículo 1)-(0.4*QArtículo 2)

QArtículo 2

Pre

cio



demanda (artículos o de Q) que se logran tanto en el artículo 1 como en el 2, los cuales llevan almismo nivel de precio. Observe cómo opera ahora un código de colores. En donde, como undiagrama de temperatura, mientras más roja sea la línea, mayor será el precio y la combinación dela demanda conjunta (Q) de los artículos 1 y 2 se encontrará más a la izquierda.

Ahora revisemos otro caso muy común, el de una función cuadrática. Recuerde usted la formageneral de la misma:

2( )f x xa xb c

Ahora se le presenta usted el ejemplo de la función de utilidad o beneficio de un inversionista (enbreve revisaremos un poco más sobre el co ncepto) la cual se puede modela r con una funcióncuadrática. Para ello se le presentan los siguientes casos tanto u nivariado como multivariado:

2( ) 0.9 6 3f x x x 2 2( , ) 0.9 0.9 6 7 3f x y x y x y

Las mismas se grafican a continuación:

Gráfica 2-14 Una función de utilidad cuadrática univariada y el caso multivariad o. El caso de una función de utilidad.

En la parte izquierda se observa cómo la utilidad lograda en la empresa por producir dos bienes seda por la siguiente cantidad óptima de cada uno de ellos:

-6 -4 -2 0 2 4 6

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

QArtículo 1

Función cuadrática univariada -Utilidad del individuo- 3-(0.6*QArtículo 1)-(0.9*(x 2))

Pre

cio

-6-4

-20

24

6 -6

-4

-2

0

2

4

6

-150

-100

-50

0

50

QArtículo 2

Función cuadrática multivariada -Utilidad del individuo- 3-(0.6*x)-(0.4*y)-(0.9*(x2))-(0.9*(y2)

QArtículo 1

Pre

cio



6 3.333...2 2( 0.9)

x

x

ba

73.3889

2 2( 0.9)y

y

ba

Es decir, en la gráfica de la izquierda, se llega al máximo de la función cuando la empresa produce

3.333 unidades del bien en estudio. A su vez, en la gráfica de la derecha, se presenta la función deutilidad del mismo agente pero ahora debe de decidir cuá nto del artículo 1 y cuánto del 2 se debe

producir para maximizar el nivel de utilidades. Según la resolución simple que se hizo empleandolas propiedades de la función cuadrática, se tiene que debe producir 3.333 del artículo 1 y 3.3889

del 2 respectivamente. Esto se puede apreciar a simple vista en la gráfica, en donde el puntomáximo (vértice de la campana o paraboloide) se encuentra en el centro de una serie de elipses

concéntricas en el plano x,y. Estas elipses tienen la misma interpretación de las curvas dedemanda previamente revisadas. El código de colores es el mismo. Mientras más rojas sean las

elipses, mayor será la utilidad de la empresa al producir el artículo 1 y el 2. En el centro de todasesas elipses se ubica el lugar geométrico del máximo buscado y el resto de elipses denotan todas

las posibles combinaciones de artículo 1 y 2 que llevan al mismo nivel de satisfacción o utilidad.Por ejemplo, siguiendo la lógica presentada, usted podrá apreciar que la el ipse color marrón

presenta todas las posibles combinaciones de los dos artículos que llevan a un mismo nivel deutilidad, el cual es superior al de las combinaciones de artículo 1 y2 que se encuentran en la elipse

amarilla o en las azules.

Estas elipses son lo que en visitas posteriores conoceremos como curvas de indiferencia, ya que le

será indeferente al agente elegir en e sas posibles combinaciones de artículo 1 y 2, dado que le

presenta la misma satisfacción o beneficio. Usted verá las mismas en la mayoría de los libros de

microeconomía y en buena parte de este curso como sigue:



Gráfica 2-15 Mapa de curvas de indiferencia (cortes de nivel de la función de utilidad) para el caso multivariado de lafunción de utilidad.

Note cómo efectivamente el punto que maximiza la utilidad es el dado por (3.333…,3.3889) y de

ahí emanan múltiples curvas de indiferencia que reportan menor satisfacción. Esta concepción la

veremos a mayor detalle cuando estudiemos la elección racional del consumidor.

Por último, y haciendo a un lado la función exponencial que tiene interpretaciones gráficas

similares, veamos una función cúbica como puede ser el ejemplo de una función de producción o

generación de beneficios en una empresa:

3 2( ) 0.3 0.9 3f x x x 3 3 2 2( , ) 0.3 0.3 0.9 0.9 3f x y x x x y

x

yCurvas de indiferencia

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6



Gráfica 2-16 Una función de utilidad cúbica univariada y el caso multivariado. El caso de una función de producción.

En la parte izquierda de la gráfica se expone el caso univariado en donde el incremento en laproducción del artículo 1 merma los n iveles de beneficios o producción de la empresa, hasta elpunto en que genera una reducción de su estructura de costos que le permitirá tener utilidadespositivas. Afortunadamente, el punto en donde se tienen pérdidas, para este ejemplo de función,es en los valores negativos, por lo que la producción máxima de la empresa se logra en 3.89.

En la parte derecha se puede apreciar el caso multivariado así como las múltiples curvas deisocuantas que se presentan en la siguiente gráfica:

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

QArtículo 1

Función cúbica univariada -Producción- 3-(0.6*QArtículo 1)-(0.9*(x2))

Pre

cio

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Función cúbica multivariada -Producción- 3-(0.6*x)-(0.4*y)-(0.9*(x2))-(0.9*(y2)

QArtículo 1

QArtículo 2

Pre

cio



Gráfica 2-17 Mapa de curvas de isocuantas (cortes de nivel de la función de producción) para el caso multivariado dela función de utilidad.

Dichas curvas de isocuantas, al igual que las curvas de indiferencia, representan las diferentescombinaciones de los artículos 1 y 2 que llevan al mismo grado de producción. En la misma seaprecia el punto donde se maximiza la producción con dichos artículos.

Una vez que visitamos las aplicaciones prácticas que tiene el conocer varios tipos de funciones enmicroeconomía, revisaremos ahora los conceptos de derivada que nos ayudará en dos cuestionesprácticas de suma importancia: c alcular de una manera más directa el concepto de elasticidad yllevar a cabo problemas de optimización.

2.10 Recordemos el concepto de pendiente, tomemos la autopista yvayamos directo al concepto de derivada.

El concepto de derivada es más sencillo de lo que el nombre o, al menos, la creencia general lopresenta. Para conectarlo bien se debe de tener presente el concepto de pendiente como uncambio en el valor de la variable dependiente dado el cambio presentad o en la variableindependiente. Esto es:

x

yCurvas de isocuanta

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6



yx

Ahora, recuerde usted que el valor de y no es más que el resultado de la función ( )f x y por loque a pendiente se puede expresar como sigue:

( )y f xx x

Posterior a esto, podemos definir el cambio en y o en la función como ( ) ( ) ( )f x f x x f x .Esto nos permite expresar la pendiente como 2:

( ) ( ) ( )y f x f x x f xx x x

Esto implica que la pendiente de la derivada se da en función de valores discretos de ( )f x x ,( )f x y x pero no siempre se conoce la magnitud de x o la de ( )f x x . Esto lleva a la

limitante de que no se pueden calcular pendientes cuando se desconocen estos puntos. Para exponerel concepto de derivada, imagine usted una función cuadrática. Cuando usted quiera calcular lapendiente en diferentes puntos de la misma observará que esta cambia. Un ejemplo se da en lasiguiente secuencia de gráficas:

2 Si usted observa detenidamente la expresión que se le da hasta la derecha, ob servará que coincide conalgo llamado “cociente incremental”, el cual es un concepto propio de los libros de análisis matemático ycálculo. Esto es así porque dicho cociente incremental no es más que una pendiente. Es decir, es una formafuncional que se puede, a su vez, aplicar a funciones ( )f x , de tal forma que estas se transformen defunciones originales a funciones generales de pendiente, lo que es la esencia de la derivada.

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 5.460

f0.731.547

f xx2 4 x5



Gráfica 2-18 Secuencia del cambio de la pendiente de una función ante diferentes valores de x.

Note usted cómo en diferentes puntos iniciales de x, en relación a un valor fijo de x (línea negra),la pendiente (cuyo valor se marca con una letra “k” roja) es diferente. En este caso específico, dadoque ya apreció que la pendiente de la función en diferentes valores de x cambia para esta función yen base al hecho de que usted puede no siempre conocer o definir con reglas claras el valor de xque debe utilizar, usted podría plantearse ¿Cómo puedo hacer para tener una forma de calcular lapendiente que parte de un punto x, independientemente de la función ( )f x utilizada, el valor queadopte x y desconociendo en valor de x ?

La respuesta es muy sencilla: Se utiliza una derivada, la cual podemos definir de manera muysimple o intuitiva como sigue:

Derivada: Es una función o regla generas que se deriva de la función ( )f x original y que nosservirá para calcular la pendiente de una función en cualquier valor de x y partiendo de que x esinfinitamente pequeño.

Analicemos detenidamente esta definición: La derivada es una función que sale de la funciónoriginal ( )f x . Como podemos o no conocer el verdadero valor de x y queremos tener una reglageneral para calcular pendientes, lo que se hace es suponer que el valor de x se aproxima a cero (o

0x ). Es decir, tiene un valor infinitamente pequeño.

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 0.700 f 1.658.878

f xx2 4 x 5

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 3.280

f 3.646.310

f xx2 4 x 5



Para darse una idea de ¿qué tan pequeño? Diga usted ¿cuál es el número que sigue del cero?Ciertamente no es el 1 ya que 0.1 es más pequeño y está entre cero y 1 (se dice 0.1 [0,1] en donde es un símbolo que sign ifica “pertenece a”. En este caso pertenece al intervalo de númerosformado por el cero y el uno). ¿Entonces será 0.1 el que sigue? Pues tampoco ya que 0.01 seencuentra en la misma situación del 0.1 Usted puede seguir de manera infinita a valores como

5'000,000.001 10 y aún así no llegar a la respuesta. Entonces, aunque no conocemos el valorverdadero de ese número que sigue del cero, sabemos que existe (como nuestro hombre racional).Por lo tanto ese número recibe el nombre de infinitésima o mónada y se denota como x osimplemente dx (ya es a gusto de usted). Entonces, si decimos que x se adopta un valorinfinitamente pequeño, lo que estamos implicando es que 0 ox x x . Es decir, laderivada, a nuestros ojos no es más que una pendiente común y corriente en donde se cambia xpor x . Esto es:

( ) ( ) ( )y f x f x x f xx x x

Bien podría preguntarse ahora como no conocemos el verdadero valor de x ¿qué podemos hacerentonces para calcular la pendiente ya que x va en el denominador? Para responder eso se aplicandos cosas que aquí no se revisarán pero que son muy sencillas de comprender y que se dejan para sulectura complementaria en la bibliografía de Tan (2005): el límite y el cociente incremental de unafunción. Para usted será solo de interés trabajar con una serie de formulitas generales que Newton,Leibniz y otros matemáticos han derivado que se llaman reglas de derivación.

Para poder comprenderlas, metamos un poco más de notación. Hasta ahora hemos dicho que laderivada se da por la expresión anterior:

( ) ( ) ( )y f x f x x f xx x x

Hemos dicho que el numerador no es más que el cambio en y o el cambio en el valor de la función.Si se ha definido al cambio en x de manera infinita o infinitesimal, se puede hacer lo propio con elcambio en y:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y f x f x x f x y f x f xx x x x x x

Si usted aprecia, lo que está hasta la derecha no es más que la notación general de cualquierderivada que puede usted leer en cualquier libro de cálculo, o en libros más técnicos de economía,econometría, Estadística o microeconomía, por citar algunos casos. Ya que se tiene la definición dederivada y su notación, esperando haya quedado claro el concepto, es necesario reafirmarlo demanera visual para comprender ¿por qué se dice que el valor de x es infinitamente pequeño (

0 ox x x )? Vea usted la siguiente gráfica:



Gráfica 2-19 La pendiente de una función a la que el cambio de x se convertirá en un valor infinitamente pequeño(gráfica 1 de secuencia).

Entre el punto Q y el P hay una variación en x ( x ) que se denota en el eje de las x con una líneaverde que lleva la letra “h”. Note también que entre los dos puntos hay una recta café a la que, como

cualquier línea recta, se le puede calcular una pendiente (( ) ( )f x x f x

x

). El valor de la

misma se presenta con la anotación “secant slope” que, en español significa “pendiente de lasecante3”. También puede apreciar el valor de 2.328h x . ¿Qué pasa si hacemos más chico elvalor de h a 1h x ? Se tendría la siguiente línea:

Gráfica 2-20 La pendiente de una función a la que el cambio de x se convertirá en un valor infinitamente pequeño(gráfica 2 de secuencia).

3 Secant= secante, slope=pendiente.

Q

P

P 4.328, 18.7316h 2.328

secant slope 6.328

h1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35tangent to y x2 at Q 2, 4

Q P

P 3, 9.h1

secant slope5.

h1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35

tangent to y x2 at Q 2, 4



Note cómo cambió la pendiente. Ahora si se pone este valor h x x , se llega a la siguientegráfica.

Gráfica 2-21 La pendiente de una función al que el cambio de x se convertirá en un valor infinitamente pequeño(gráfica 2 de secuencia).

Usted podrá preguntarse ¿Y para qué tanto trabajo al hacer que h x x ? Muy simple, si ustedno conoce el valor de x o la función tiene pendientes cambiantes en todos los valores de x (comoen la secuencia de gráficas anterior), usted tendrá la seguridad de que, aunque el valor de x le seadesconocido, siempre es el mismo y para usted será const ante a la luz del cálculo diferencial. Por lotanto, como un valor x que puede ser conocido o desconocido y uno de x , le sirven paracalcular pendientes que es lo que nos interesa, podemos tomar a x y aplicar una serie de reglasgenerales logradas por los matemáticos previamente mencionados. Estas reglas se llaman reglas dederivadas y algunas de las más comunes son:

Regla del exponente (es la más útil):1n nd x n x

dx

Ejemplo: 2 2d

x xdx

.

Regla de la constante (La más simple):

0d cdx

Ejemplo: 3.1416 0ddx

.

Regla de la suma o de la resta:

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx

Q

P

P2.00001, 4.00004h0.00001

secant slope4.00001

h1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35tangent to y x2 at Q 2, 4



Ejemplo:2 2( ) [ 3 2] 3 2

2 3 0 2 3

d d d d df x x x x x

dx dx dx dx dxx x

.

Regla del producto:

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x g x f xdx dx dx

Ejemplo:2 2 2

2 2

[2 3 ] 2 3 3 2

2 3 3 4 6 12

d d dx x x x x xdx dx dx

x x x x x

.

Regla del cociente o división:

2( ) ( ) '( ) ( ) '( )( ) ( )

d f x g x f x f x g xdx g x g x

Ejemplo:

2 22 2

2 2

2 3

2

3 2 2 (3 )2 3 4 2 3[ ]

3 (3 ) 3

12 6 2 43

d dx x x xd x x x x xdx dxdx x x x

x x xx

Estas son las reglas de derivación que más podrían presentársenos de momento a lo largo de laspresentes notas. Usted puede apreciar que prácticamente la dos reglas más utilizadas son la de laconstante o la del exponente y que reglas como la de la suma no son más que separar por partes otérminos la suma, resta, multiplicación o división y utilizar la del exponente y la constante (recuerde

que 1 1 1 01 1 1 1 1d dx x x xdx dx

).

Ya que se tiene claro el concepto de derivada como equivalente a una pendiente dond e la variaciónen x es infinitamente pequeña, se procede a revisar el concepto de optimización de funcionesunivariadas.

2.10.1 Notación alternativa para la derivada y fundamentos para la derivación parcial.

La derivada tiene diferentes notaciones para ser expresada. De entre las más comunes se tienen lassiguientes:

Notación de Newton: ( )d f xdx

Notación de Leibniz: ( )f xx

Notación de Lagrange: '( )f x



Las tres formas representan lo mismo. Es decir, la primera derivada de la función de x o ( )f x .Veamos un ejemplo:

3

3 3 3 3 1 2

( )

3 3

f x xd

x x x x xx dx x

Note usted, en las notaciones planteadas, el denominador. Esto le dice que se está derivandorespecto a “x”. Es decir se está calculando la pendiente de la función dado un cambio infinitesimalen x y no otra variable. Esto es de importancia ya que usted podría tener la siguiente función amanera de ejemplo:

2 3y z

Claramente el valor de x depende del de z y, si usted quiere determinar la razón de cambio opendiente dado un cambio infinitesimal en x, observará que no existe ninguna x en la función. Portanto, se sobreentenderá que, cuando cambia x en una función que no tiene “’s”, no cambia lafunción y, por tanto, la pendiente de la misma es cero. Esto es:

2 3 0zx

2.11 Derivadas de orden superior.

Así como una función cuadrática es de segundo orden, una derivada de segundo orden no es másque la segunda derivada. Una de tercero es la tercera y así sucesivamente. Tengamos el siguiente

ejemplo con 3( )f x x :

3 23x xx

La segunda derivada de esa función se anotaría de la siguiente manera:

Notación de Newton:2

( )d f xdx

Notación de Leibniz:2

( )f xx

Notación de Lagrange: ''( )f x

La tercera derivada sería como sigue:



Notación de Newton:3

( )d f xdx

Notación de Leibniz:3

( )f xx

Notación de Lagrange: 3 ( )f x

Las derivadas de orden superior (n) se denotarían como sigue:

Notación de Newton: ( )nd f x

dx

Notación de Leibniz: ( )n

f xx

Notación de Lagrange: ( )nf x

Para el ejemplo de 3( )f x x tendríamos las siguientes segunda, tercera y cuarta derivada

Segunda derivada: Primero se calcula a la función la primera derivada y al resultado se le vuelve acalcular la primera derivada para obtener la segunda. Es decir se calcula la derivada de la derivada.

2

3 3 23 6y y

x x x xx x x x

Tercera derivada: Primero se calcula a la función la primera derivada y al resultado se le vuelve acalcular la primera derivada para obtener la segunda y luego se calcula otra derivada al resultadode la segunda derivada para obtener la tercera. Es decir se calcula la derivada de la derivada.

3 2 2

3 3 2 23 3 6 6x x x x xx x x x x x x

Cuarta derivada: Primero se calcula a la función la primera derivada y al resultado se le vuelve acalcular la primera derivada para obtener la segunda y luego se calcula otra derivada al resultadode la segunda derivada para obtener la tercera. Es decir se calcula la derivada de la derivada.

3 3 3 2 24 3 2 23 3 6 6

6 0

x x x x x xx x x x x x x x x

x



Note usted cómo la cuarta derivada ya no aplicó la regla del exponente sino la correspondiente ala derivada de una constante, la cual es cero. Si usted buscara derivadas de orden superior,seguiría calculando una derivada al resultado de una anterior de manera recursiva. Por ejemplo lasexta derivada es la derivada resultante de aplicar el resultado de 5 derivadas previas a la funciónoriginal.

Ahora que hemos revisado de manera completa el concepto de derivada, ya estaremos enposibilidades de pasar al concepto de optimización empleando cálculo que es de las aplicacionesmás útiles de la derivada.

2.12 Optimización univariada.

2.12.1 Optimización de funciones univariadas.

¿Recuerda usted que una de las razones que orilló a matemáticos como Newton y Leibnitz ainventar el concepto de derivada fue el hecho de que la pendiente de una función es cambiante endiferentes valores de x? Ya que queda claro el concepto de derivada como pendiente , veamos elcaso en donde 2( )f x x que, aplicando las reglas de la derivada (usted investigue cuál o cuáles),

nos lleva a4 2'( ) 2f x x xx

. Si usted grafica primero la función original ( ( )f x ) en un plano

cartesiano y la derivada ( '( )f x ) en otro, llegará a la siguiente gráfica:

Gráfica 2-22 Optimización de una función cuadrática (el caso de un valor de x que no es óptimo).

A la izquierda se presentan todos los valores de la función original ( 2( )f x x ), dados los valores

de x. A la derecha se presentan los valores de la derivada ( 2'( ) 2f x x xx

). Por ejemplo,

cuando x=5, 2 2( ) 5 25f x x y el valor de su derivada se da por '( 5) 2( 5) 10f .

4 A partir de este punto se puede utilizar las siguientes notaciones como equivalentes:

( ) ( ) '( )df x f x f xx dx

En donde al primer caso se le conoce como “notación de newton” y a '( )f x como notación de Lagrange dequien hablaremos un poco más en breve.



Estos se exponen y se marcan de manera respectiva ¿qué pasa si ahora hacemos que x tome lossiguientes valores: 5, -2,2,0.5,-0.5,0?

La respuesta se presenta a continuación en la siguiente tabla y secuencia de gráficas:

Note usted cómo, cuando x=0, el valor de la pendiente o de la derivada es cero. Si usted graficaesto, llegaría al siguiente caso:

Gráfica 2-23 Optimización de una función cuadrática (el caso del valor de x que es óptimo).

Como puede usted apreciar en la función original, el valor mínimo (u óptimo) se da cuando x=0. Esdecir, su la función de costos de su empresa fuera cuadrática ( 2( )f x x ), el punto de producciónóptimo de la misma sería cuando no produjera. Es decir x=0, ya que ahí no incurre en costos. Portanto, el óptimo que minimizaría sus costos se daría por x=0. Nota también cómo en el mismo elvalor de la primera derivada es cero. O sea '(0) 0m f . Cuando se llega a valores de cero en laderivada, los puntos que se dan como el caso de x=0 y f(x)=0 se denominan puntos de inflexión.Estos puntos de inflexión no siempre resultan ser el punto óptimo; son simplemente puntos decambio de comportamiento. Un ejemplo sería el siguiente caso en donde se llega a un punto dondela derivada es de cero pero aquí no se maximiza ni se minimiza la función como en la gráficaanterior:

X f(x) f'(x)5 25 10

-2 4 -42 4 4

0.5 0.25 1-0.5 0.25 -1

0 0 0



Gráfica 2-24 El punto de inflexión de una función que no tiene óptimos.

Usted puede apreciar que el valor de la derivada, graficado a la derecha, es de cero pero este puntono es un óptimo (no minimiza ni maximiza la función). Por tanto, este punto, para fineseconómicos, no es de utilidad alguno.

Recordemos que lo que nosotros queremos hacer como empresarios o productores es maximizarnuestra producción (beneficios) y, si llegamos a un punto en donde puede seguirse maximizando lafunción, como es el caso del punto graficado, entonces ese punto no es el que cumplirá con lapremisa de maximizar nuestra utilidad o producción. Por tanto, ese punto no nos interesa.

¿Qué hacer entonces? Se apela al criterio de la segunda derivada. Recuerde usted la segundaderivada y veamos para el caso de 2x :

2

22

'( ) 2

''( ) 2 2

x f x xx

x f x xx x

La interpretación intuitiva de la segunda derivada es muy simple: si la derivada es la razón decambio de la función original ( )f x , entonces la segunda derivada es la razón de cambio de larazón de cambio. Es decir, dice cómo cambia l a pendiente.

Para ilustrar esto tenga usted la siguiente gráfica de la función de utilidad de un a persona que nosdice cuántas hamburguesas produzcamos en un negocio para maximizar nuestras utilidades (

2( ) 4 5f x x x ):



Note cómo el punto donde se presenta el máximo (x=2) tiene una primera derivada de:

2

2

'( ) 4 5 2 4

'(2) (2 ) 4 0

f x x x xx

f

y una segunda derivada de:

22 4 5 ''( ) ( 2 4) 2

''(2) 2

x x f x xx x

f

La gráfica nos dice que el valor de x=2 es el óptimo de la función, que su derivada valuada en esepunto es de cero y su segunda derivada vale -2, es decir, el valor de la segunda derivada es diferentede cero. Por lo tanto, se puede llegar a la siguiente serie de pasos para obtener el óptimo de unafunción univariada:

1. Calcular la primera derivada de la función original '( )f x .2. Aplicar un poco de álgebra elemental al igualar la derivada a cero.3. Obtener el valor óptimo de ( *x ) al despejar el valor de x en la función planteada con el paso

anterior.4. Calcular la segunda derivada de la función original ''( )f x .5. Evaluar la segunda derivada con el valor óptimo dado por *x .a) Si el valor de la segunda derivada es diferente de cero, se llegó al óptimo.b) Si el valor de la segunda derivada es igual a cero, no se llegó al óptimo y, por lo tanto, el

problema de optimización no tiene solución.

Para dar idea de esto sigamos el ejemplo an terior en donde la función es 2'( ) 4 5f x x x .Sigamos los pasos como se expusieron anteriormente:

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 0.000 f 2.009.000

f 2.000.000f 2.002.000

f xx2 4 x 5



1. Se determina la primera derivada de la función original:2( ) '( ) 4 5 2 4f x f x x x x

x x

2. Se iguala la primera derivada a cero:2 4 0x

3. Se despeja x:2 4 0

4 22

x

x

4. Se calcula la segunda derivada de la función original:2

( ) ''( ) 2 4 2f x f x xx x

5. Se evalúa la segunda derivada con el valor de * 2x . Se puede apreciar que, como lasegunda derivada es una constante (2), el valor buscado se da por.

''(2) 2 0f 6. Como el valor de la segunda derivada es diferente de cero, se concluye que el valor de x=2

nos lleva a maximizar las utilidades del empresario.

En términos del problema planteado, podemos observar que, si la función de utilidad2( ) 4 5f x x x nos modelaba las ganancias percibidas con la cantidad de hamburguesas que

producimos. Podemos observar que dos hamburguesas nos podrían llevar a la máximaproductividad, observando que producir 3, ya no nos generaría la misma cantidad de beneficios quela primera y la segunda.

Esto es muy sencillo de corroborar. Si usted evalúa la satisfacción lograda al consumir 1,2 y 3hamburguesas, observaría los siguientes niveles de utilidad es:

Ahora, aquí la primera derivada tiene otra aplicación adicional a l ser un instrumento para derivar elnivel de hamburguesas que nos genera la máxima satisfacción: Nos indica el beneficio marginal(adicional ya sea positivo o negativo) que nos genera el producir una hamburguesa más de las queactualmente hemos consumido. Por ejemplo, sea la primera derivada de la función de satisfacción

por el consumo de hamburguesas ( ) 2 4f x xx

y si ya hemos consumido una hamburguesa

(x=1), entonces el beneficio adicional que obtendríamos por consumir una hamburguesa más sería:

( ) 2(1) 4 2f xx

x U(x)1 82 93 8



2.13 Cálculo diferencial y optimización multivariados.

El algoritmo o serie de pasos de optimización previamente visto resulta muy sencillo ya que seresuelve con simplemente calcular la primera derivada de la función ( )f x original, igualarla a ceroy despejar la variable de interés. Una vez que se verifica que se llegó a un óptimo con el criterio dela segunda derivada, el problema está resuelto.

Sin embargo, la vida cotidiana nos presenta elecciones más amplias en el sentido de que no siemprese elige por la cantidad de un bien a consumir o producir, sino más bien debemos destinar nuestrosrecursos limitados a varios de ellos con la finalidad de lograr el mismo objetivo planteado:maximizar la utilidad (satisfacción) o la pro ducción (beneficios) o, en su caso, minimizar los costos.

Esto implica aplicar los criterios de primera y segunda derivada pero empleando elementos decálculo multivariado. Quizá usted recuerde el nombre en sus clases de matemáticas y le parece muycomplejo pero, en términos intuitivos, no lo es. Las reglas de derivación previamente vistas siguenteniendo aplicación. Lo único en donde usted debe tener cuidado es en el manejo que le da a otrasvariables cuando deriva. Para dar un ejemplo de esto, téng ase la siguiente función:

2 2 2( , , )f x y z x y z

¿Recuerda usted que la derivada no es más que una pendiente y que una pendiente no es más que elcambio en el valor de la función ( )f x dado el cambio en la variable dependiente x al cualdefinimos como x al suponer que era tan pequeño como ese número teórico que sigue del cerollamado infinitésima?

Pues ahora apelaremos a un concepto llamado derivación parcial que, como su nombre lo dice, noes más que calcular la derivada o cambio del valor de la función ( , , )f x y z , dados los siguientesposibles cambios:

a) El cambio de ( , , )f x y z dado uno en x y suponiendo que el valor de las otras variables(z, y) permanece constante.

b) El cambio de ( , , )f x y z dado uno en y y suponiendo que el valor de las otras variables(x, z) permanece constante.

c) El cambio de ( , , )f x y z dado uno en z y suponiendo que el valor de las otras variables(x, y) permanece constante.

Para ilustrar el concepto de derivada parcial téngase la siguiente gráfica que usted puede consultaren la plataforma moodle:



Gráfica 2-25 Las derivadas parciales de una función de dos variables f(x,y).

Observe usted la línea verde y a roja. El primer caso representa la derivada parcial de la función2 2( , ) 4f x y x y respecto de x. Véalo usted si representamos la función multivariada solo en

el plano x,z:

Gráfica 2-26 La noción intuitiva de la derivada parcial respecto a x de una función f(x,y).

Ahora se puede tener la derivada parcial respecto a y como sigue:



Gráfica 2-27 La noción intuitiva de la derivada parcial respecto a y de una función f(x,y).

Como puede ver por las gráficas previas, el concepto de derivada parcial es consistente con el dederivada simple que vimos previamente, por lo que las reglas de derivación siguen siendo lasmismas ¿qué es lo único que cambia? Que las otras variables respecto a las que no se deriva seinterpretarán como una constante o número más. Veamos el ejemplo planteado.

Como nueva notación se tiene que la derivada parcial respecto a x se denota como ( , , )xf x y z y la

derivada parcial respecto a y como ( , , )yf x y z ,(note el subíndice de la “ f ”). Con esta nueva

notación, se pueden plantear las derivadas parciales respecto a x como:

2 2( , ) ( 4) 2 0 0xf x y x y xx

¿Qué pasó aquí? Simplemente al término 2y se le dio la interpretación de ser una constante máscomo fue el caso del 4. Recuerde que vimos esto en el tema de la derivada. Esto es así ya que estáderivando respecto a x (por eso se le señaló con rojo el término x que indica que se está derivandola función original respecto a “x”). Por tanto, la derivada parcial respecto a x de la función que nosinteresa es simplemente -2x y los otros términos nos son indiferentes al darles el tratamiento deconstantes comunes y corrientes en donde opera la regla de la derivada de una constante.

Ahora veamos la derivada parcial respecto a y:

2 2( , ) ( 4) 0 2 0 2yf x y x y y yy

Usted puede apreciar que se aplicó la misma lógica que con la deriv ada respecto a x. Solo parareforzar la mecánica de la derivación parcial, una d e las trampas en las que comúnmente se caecuando se deriva parcialmente es ignorar la multiplicación de variables en algún término. Porejemplo, sea la función multivariada com o sigue:



2 2 2 2( , ) 3 4f x y x y x y

Por favor centre su atención en el término 2 23x y . Una de las trampas más comunes es decir que laderivada respecto a x, y o z en ese término es o simplemente x, y o z o, peor aún, que es cero. Veausted bien el término y verá que de entrada al 3 se le debe dar su lugar como constante, al igual quea la y o a la x cuando se deriva respecto a x o y. Esto es:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

x

y

f x y x y x y x x y x xy

f x y x y x y y x y x x y

x

y

¿Aprecia usted la diferencia? Cuando se tiene un término otras variables diferentes a la que seemplea para derivar (x o y según sea el caso), esas variables se tratan como constantes o números y,por tanto se aplica la regla de la potencia a la parte que tiene la variable que se deriv a.

2.13.1 Derivadas parciales de orden superior.

Así como existen primeras, segundas o terceras derivadas para funciones de una sola variable,también existen segundas derivadas parciales o derivadas parciales de orden superior (tercera,cuarta, etc.). Siguiendo nuestro ejemplo, observamos que, a diferencia del caso univariado endonde a la primera derivada solo le corresponde una segunda derivada, se tienen dos segundasderivadas parciales para cada derivada parcial. P or ejemplo, la segunda derivada parcial que no esmás que la derivada parcial respecto a x o y de la derivada parcial de x se denotaría ya sea por

( , )fxx x y o por ( , )fxy x y y sería como sigue:

2 2 2 2 2 2

2 2

2

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

( , ) ( 2 6 ) 2 6

( , ) ( 2 6 ) 6 (2 ) 12

x

x

x

yx

f x y x y x y x x y x xy

f x y

x

x

y

x xy y

f x y x xy x y xy

Siguiendo la misma mecánica, las segundas deriv adas parciales de la derivada parcial de y sedarían por:



2 2 2 2 2 2

2

2 2

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

( , ) ( 2 6 ) 2 6 (2 ) 2 12

( , ) ( 2 6 ) 6

y

y

y

x

y

f x y x y x y y x y x x y

f x y x x y x y xy

f x y x x

y

x

xy

y

Ya que hemos visto el concepto de derivada parcial y que su mecánica es igual de simple que laderivada empleada en cálcul o univariado, ahora podemos proceder al tema de optimizaciónmultivariada que es el que motiva este repaso matemático. Antes de entrar al tema, es de necesidadobservar que los problemas de optimización que comúnmente resolvemos pueden o no tenerrestricciones. En la vida real siempre las tienen. Por ejemplo, en el ejemplo de la producción dehamburguesas, Usted tal vez maximice su satisfacción consumiendo 3 hamburguesas pero solotiene presupuesto para 2 a lo mucho o quizá su nutriólogo o entrenador la sugirier on comer a lomucho 1.5 hamburguesas, lo que representa otra restricción adicional a su presupuesto para solo doshamburguesas. Esto le implica que no maximice del todo su función de utilidad por lo que ustedllegara a un máximo restringido. En un primer caso, revisaremos la optimización multivariada conla ausencia de restricciones y luego visitaremos una técnica muy simple que nos ayudará aincorporar restricciones de manera simple y manejable con los conceptos de cálculo que hemosvisto.

2.14 Optimización multivariada sin restricciones.

Ahora que tenemos los elementos de cálculo multivariado necesarios para seguir con nuestramateria, recordemos los pasos para optimizar con una sola variable y replanteemos los pasos quehay que seguir con optimización multiv ariada, los cuales no son muy diferentes a lo que realmentese ocupa:

1. Calcular las derivadas parciales de la función.2. Igualar cada derivada parcial a cero.3. Emplear álgebra y despejar las variables de interés resolviendo el sistema de ecuaciones.4. Calcular las segundas derivadas parciales.5. Aplicar la siguiente fórmula para determinar si los valores que se obtuvieron en el paso

anterior son óptimos o puntos de inflexión:

( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))xx yy xy yxD x y f x y f x y f x y f x y

Esto implica que se deben sustituir los valores de *x e *y logrados en el paso 3 en lascuatro segundas derivadas parciales que se obtuvieron o sea,

( , ), ( , ), ( , ), ( , )xx xy yx yyf x y f x y f x y f x y y dichos valores sustituirlos en la función anterior.

a) Si el valor de ( , )D x y es mayor a cero ( ( , ) 0D x y ), entonces se tiene un punto óptimob) Si el valor de ( , )D x y es menor o igual a cero, entonces se tiene un punto de inflexión y no

se puede optimizar la función.



Sigamos con el ejemplo de la función 2 2( , ) 4f x y x y utilizada como ejemplo y

determinemos los valores óptimos *x e *y que maximizan la misma:

1. Se tienen las siguientes primeras y segundas derivadas parciales previamente determinadas:

2 2

2 2

( , ) ( 4) 2

( , ) ( 2 ) 2

( , ) ( 2 ) 0

( , ) ( 4) 2

( , ) ( 2 ) 0

( , ) ( 2 ) 2

x

x

y

y

x

x

x

y

yy

f x y x y x

f x y x

f x y x

f x y x y y

f x y y

f x y

x

x

y

y

x

yy

2. Se igualan a cero todas las primeras derivadas parciales y se plantea el sistema deecuaciones a resolver:

( , ) 2 0

( , ) 2 0x

y

f x y x

f x y y

3. Se resuelve el sistema de ecuaciones y se llegan a los valores óptimos *x e *y buscados:

2 02 0

* 0

* 0

xy

x

y

NOTA: En este punto se deberían aplicar las técnicas de resolución de sistemas deecuaciones que usted vio en el tema de álgebra elemental en el contexto de su materia dematemáticas. Sin embargo, el ejemplo es muy sencillo, por un lado y nos brincaremos estaexplicación para problemas más completos ya que revisaremos un elemento fundam ental deálgebra lineal (álgebra matricial) que nos permitirá resolver sistemas de ecuacionessencillos como este o casos más grandes y complejos de una manera muy simple ymanejable.

4. Se sustituyen los valores óptimos logrados en las cuatro segundas deriv adas parciales y sedetermina el valor de ( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))xx yy xy yxD x y f x y f x y f x y f x y :



( *, *) (0,0) 2

( *, *) (0,0) 0

( *, *) (0,0) 0

( *, *) (0,0) 2

x x

x x

x x

y y

x x

y y

y y

y y

f x y f

f x y f

f x y f

f x y f

( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

( 2 2) (0 0)xx yy xy yxD x y f x y f x y f x y f x y

5. Se presenta la siguiente conclusión:

( , ) 4 0 * e * son óptimos.D x y x y

Como se puede observar en la gráfica y con los resultados de esta derivación numérica de losvalores óptimos, los valores de x=0 e y=0 maximizan la función de utilidad.

Este ejemplo que se ha presentado, como se dijo al inicio del ejercicio, no incorpora restricciones.Ahora veremos el caso en el que al agente económic o optimizador tiene restricciones depresupuesto y de índole diversa que no le permitirán, posiblemente, aspirar al valor máximo de lafunción de utilidad. A pesar de ello, el mismo buscará tener la mayor satisfacción posible dadasestas restricciones.

2.15 Optimización multivariada con restricciones.

2.15.1 Optimización multivariada con restricciones de igualdad.

Cuando tenemos la presencia de restricciones en e l problema de optimización, tal es el caso deelegir cuánto de dos productos producir dada la restricción del presupuesto con el que se cuenta, sepresentan dos tipos de restricciones. El primero de ellas es las restricciones de igualdad y, elsegundo, las de desigualdad.

En un primer caso veremos las restricciones de igualdad como es el caso de un problema dado porla siguiente minimización de una función multivariada del costo de producir dos bienes diferentes:

2 2Minimizar ( , ) 2f x y x y

Sujeto a:

* * 1x y

Esto se interpreta como que uno debe buscar las proporciones (tanto por 1, que multiplicadas por100 dan x%) que minimicen los costos forzando a que la proporción óptima del presupuestodestinada al bien 1 ( *x ) mas la proporción óptima destinada al dos ( *y ) sea 1.

Para ilustrar la idea se tiene la gráfica de la función (incorporando restricciones que en este primerángulo no se distinguen):



Gráfica 2-28 Representación tridimensional de la función de costos.

En la misma se señala el punto óptimo en donde * 0x y * 0y . En el mismo se minimiza la

función sin restricción alguna y se presenta un punto rojo en el niv el óptimo2 2* ( , )* 2( *) ( *)z f x y x y . Este se puede apreciar en un cambio de perspectiva o ángulo de

visualización. Es decir, viendo la gráfica desde abajo:

Gráfica 2-29 La misma función cuadrática de costo vista desde abajo.

En la misma gráfica se presentan una serie de cortes de nivel (una serie de líneas o círculos) quecorresponden a los diferentes niveles de función multivariada. A cada color le corresponde un nivel

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6-4

-20

24

60

20

40

60

80

100

120

x

x 2 2.0+y 2

y

-6

-4

-2

0

2

4

6-6

-4

-2

0

2

4

6

0

20

40

60

80

100

120

x

x 2 2.0+y 2

y



de ( , )f x y . Por ejemplo, los círculos azules corresponden a todos los puntos x e y en donde se

tiene el mismo valor de ( , )f x y .También se coloca un círculo verde que corresponde al mínimo

nivel de al ( , )f x y al que se puede aspirar si ahora se incorpora el efecto de la restricción dada por

* * 1x y . En el centro se dicha gráfica encuentra el punto óptimo *z que no incorpora larestricción en su valor (punto rojo). Sin embargo, se tiene la restricción previamente mencionada de

* * 1x y . Por lo tanto, en la siguiente gráfica, se presentan tanto el óptimo (mínimo) global

(punto rojo) al que se puede aspirar con la función da da sin incorporar la restricción planteada, asícomo al mínimo local o relativo al que se llega incorporando el efecto de la restricción (puntoverde). El mismo se da por valores de * 1/ 3 * 2 / 3x e y .

Gráfica 2-30 Representación en dos dimensiones de la función multivariada de costo. Es decir, presentando loscortes de nivel de f(x,y) en el plano x e y.

Las nociones gráficas que se han presentado permiten llegar a una resolución s imple del problemadescrito. Sin embargo, hay una forma numérica mucho más simple de utilizar y esta es el método delos multiplicadores de Lagrange (el de la notación '( )f x para la derivada).

2.15.2 Optimización multivariada con el método de los multiplicadores de Lagrange.

La misma se resuelve con una función auxiliar conocida como función de Lagrange o funciónlagrangeana. Esta se expresa de la siguiente forma:

Fórmula 6 La función lagrangeana.

L( , , ) ( , ) ( , ) x y f x y g x y

En la función anterior ( , )f x y no requiere de mayor introducción. En nuestro ejemplo es2 2( , ) 2f x y x y . Sin embargo, es una variable más o variable “espejo” o “sombra”, llamada

x

y

x2 2.0+y 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6



multiplicador lagrangeano que, como su nombre lo dice, multiplica la función dada por la (las)restricción (es) planteadas al problema de optimización y permite que esta sea manipulada. A suvez, ( , )g x y es la función dada por la restricción planteada e igualada a cero. Misma que seincorpora a la función a optimizar, mejor conocida como función objetivo.

Para exponer este sencillo método de resolución se sigue con el ejemplo planteado:

2 2Minimizar ( , ) 2f x y x y

Sujeto a:* * 1x y

En la expresión anterior, se plantearían las siguientes dos definiciones:

2 2( , ) 2

( , ) 1

( , ) 1 0

f x y x y

g x y x yó

g x y x y

Por lo tanto se puede plantear la ecuación lagrangeana L( , , )x y como sigue:

2 2L( , , ) 2 (1 )x y x y x y

Como se aprecia, gracias al multiplicador lagrangeano, ahora se pueden incorporar las funcionesde las restricciones dentro de la función original y con esto se logran los valores óptimos ex yque respetarán las restricciones impuestas. La forma de resolver esto es logrando las derivadasparciales respecto a las tres variables de interés ( , ,x y ) y resolviendo el sistema de ecuacionessimultáneas dado por las primeras derivadas parciales e n cada caso. Esto sería, para el ejemplo5:

2 2 2 2L( , , )2 (1 ) 2 4

x y d dx y x y x y x y x

x dx dx

2 2 2 2L( , , ) 2 (1 ) 2 2x y d dx y x y x y x y yy dx dx

5 Otra forma de denotar una derivada, en especial en derivación parcial, sería con la notación de Leibniz

como este caso de derivada parcial respecto a x:( , , , )f x y z

x



2 2 2 2L( , , )2 (1 ) 2 1

x y d dx y x y x y x y x y

dx dx

Con las derivadas parciales anteriores se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

L( , , ) 4

L( , , ) 2

L( , , )1

x y xx

x y yy

x yx y

Recordando que, para lograr los puntos óptimos en el caso de problemas univariados, se necesitaigualar a cero la primera derivada, se hará lo mismo en las tres ecuaciones y se planteará elsistema de la siguiente manera:

4 02 01 0

xy

x y

La resolución del mismo se hace con métodos revisados en el curso de álgebra. Dado que, enbreve, visitaremos un método mucho más sencillo de resolución de ecuaciones a través de álgebralineal (propiamente dicho álgebra matricial), a usted se le presentan solo los resultados de losvalores óptimos de este problema a los que el productor puede aspirar con la finalidad deminimizar sus costos dada la restricción impuesta:

1 4 4 1*4 3 12 31 4 4 2*2 3 6 3

x

y

2.15.2.1 Consideraciones adicionales a la optimización multivariada y al número derestricciones.

Hasta el momento se ha resuelto un problema multivariado relativamente sencillo al tener lafunción a optimizar dos variables y una restricción. Sin embargo, usted se puede topar conproblemas más amplios como este:

maximizar ( , , , )f x y z k



Sujeto a:

1

1

x y z k c

x y

Este llevaría a una ecuación lagrangeana del tipo:

1 1 2( , , , ) ( , , , ) ( ) (1 )L x y z k f x y z k x y z k c x y

En la expresión anterior, se tienen ahora dos multiplicadores lagrangeanos ( 1 y 2). Uno por

cada restricción. Con esta lógica, usted puede plantear problemas más amplios complejos. Sinembargo, es importante observar que el problema se puede resolver por medio de losmultiplicadores lagrangeanos siempre y cuando la función a optimizar (en optimización sedenomina la función objetivo) es continua o diferenciable (eso lo vimos antes). La única limitanteinicial es que usted deberá hacer r n derivadas parciales, en donde r es el número derestricciones (en el caso de este último ejemplo 2) impuestas al problema de optimización y n elnúmero de variables o bienes.

En este sentido es de necesidad observar que, cuanto más restricciones se impongan al problema,se corre el riesgo de no llegar a una solución factible o, peor aún, de malgastar energía en unmétodo de optimización cuando el resultado es un solo punto que se puede deducir explorando lafunción y las restricciones. Respecto a llegar o no a una solución óptima, dado el número derestricciones no se hablará mucho. Sin embargo, es de interés resaltar esta situación para queusted la tenga presente.

2.16 Elementos básicos de álgebra lineal para la resolución deoptimización con más de dos variables y restricciones de igualdad ydesigualdad.

Hasta el momento, los ejemplos planteados han tenido solo dos bienes a consumir o producir yhan incorporado restricciones de igualdad como * * 1x y . Sin embargo ¿cómo sería laresolución del problema de optimización si estuviéramos haciendo la selección óptima de losniveles de consumo o de producción de, digamos 5 bienes? De entrada el método de losmultiplicadores lagrangeanos sería igual de potente solo que usted haría, suponiendo que solopone una restricción, 5 1 6 derivadas parciales mismas que igualaría a cero y plantearía comoun sistema de ecuaciones:

2 2 2 2Maximizar ( , , , ) 4 3f w x y z w x y z xy wz

Sujeto a:



* * * * 1w x y z

Esto nos lleva a la siguiente ecuación lagrangeana:

2 2 2 2Maximizar L( , , , ) 4 3 1w x y z w x y z xy wz w x y z

Resolviendo las derivadas parciales:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

( , , , ) 4 3 1 2 3

( , , , )4 3 1 2 4

( , , , ) 4 3 1 2 4

( , , , )

f w x y z w x y z xy wz w x y z w zw w

f w x y zw x y z xy wz w x y z x y

x xf w x y z w x y z xy wz w x y z y x

y yf w x y z

wz z

2 2 2

2 2 2 2

4 3 1 2 3

( , , , ) 4 3 1 1

x y z xy wz w x y z z w

f w x y z w x y z xy wz w x y z w x y z

Cada derivada parcial se iguala a cero y se plantea como un sistema de ecuaciones:

2 3 02 4 0

2 4 02 3 0

1

w zx y

y xz w

w x y z

¿Cuál podría ser una forma sencilla de resolver esto, es decir, obtener los valores óptimos de w, x,y, z?

Para problemas más complejos con más variables recurrimos a álgebra lineal, en específico a una desus técnicas conocidas como álgebra matricial, l a cual usted revisó en la materia de matemáticas yque repasaremos brevemente aquí.

2.16.1 Vectores y matrices (álgebra matricial).

2.16.1.1 El concepto de vector.

Un vector es un conjunto de números o variables (o escalares) ordenados en filas o columnas.Cuando se habla de un vector columna se habla de eso, de una columna y viceversa. Ahora, losvectores tienen dimensiones (como nuestras gráficas y problemas planteados) y cada número en



el vector, representa un valor de cada variable. Por ejemplo, suponga usted que ti ene tresvariables x=14, y=20 y z=7. El vector renglón que formaría con el mismo sería de dimensión (1x3):

14 20 7x y z v

Aunque no haremos mucho uso de la representación gráfica de vectores y matrices, se le presenta acontinuación la posición geométrica de este vector:

Gráfica 2-31 Representación geométrica del vector renglón de 3 dimensiones.

Ahora, cuando se trabaja con vectores fila o vectores columna (como será nuestro caso) se dice queel vector, para el ejemplo que nos atañe, tiene una dimensión de (3x1)

14

207

x

yz

v

La representación gráfica del mismo es igual que la anterior. Por tanto, un vector columna o renglóntiene una dimensión dada por (número de renglones X número de columna s) o ( X )n m . Ahora,en términos de notación, es importante que usted observe algo de relevancia: los vectores (la letraque los identifica) se hacen diferentes de las variables por el hecho de que se denotan con letraslatinas minúsculas y en negrita. Las matrices, próximas a definir, se denotarán también con negritay letras mayúsculas. Note como, para el caso del vector del ejemplo, no es lo mismo decir v que v .La primera se lee como “la variable v” que no es más que un escalar. Es decir un solo número (ovector columna o renglón de dimensión 1x1). Lo segundo que se lee como “el vector” por tanto,cuando, a partir de ahora, hablemos de vectores y matrices, los denotaremos con negrita y letraslatinas y as variables seguirán siendo letras sin estar en negrita.

1313.5

1414.5

15

19

19.520

20.5

216

6.5

7

7.5

8

XY

Z



2.16.1.2 El concepto de matriz.

Ahora que se ha definido el concepto de vector, estamos en condiciones de estudiar el de matriz. Entérminos muy intuitivos, así como un vector es un conjunto de escalares o variables, una matriz esun conjunto de vectores. Por ejemplo, podemos juntar tres vectores fila que nos indiquen elconsumo de x=computadoras, y= tablets y z=reproductores de Mp3 de una compañía decomputadoras en los últimos 4 años medidos en millones de unidades:

4 5 10

5 6 11

7 11 1710 17 20

V

Esta matriz V tiene, como se dijo previamente, varios vectores renglón que representan los nivelesde ventas de cada uno de los tres artículos en el año 1 al 4, ordenados de ar riba hacia abajo. Por lotanto se dice que esta matriz tiene una dimensión de 4x3. Es decir, los cuatro años con lasobservaciones de tres variables o, dicho de otra forma, la unión de 4 vectores de (1x3). Larepresentación gráfica de esta matriz no es más que la representación de las observaciones de losniveles de ventas de los tres artículos durante los cuatro años:

Gráfica 2-32 Representación geométrica de la matriz de 4x3.

Otra utilidad muy relacionada al objetivo principal de esta materia es utilizar matrices y vectorespara plantear el sistema de ecuaciones de un problema de optimización multivariada como el delejemplo anterior:


Sujeto a:

* * * * 1w x y z

4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

20

10

12

14

16

18

20

X

Y

Z



Este nos llevó a un sistema de ecuaciones como este:

w x y z

2 3 0 2 0 0 3 02 4 0 0 2 4 0 0

2 4 0 0 4 2 0 02 3 0 3 0 2 0 0

1 0 0 1

w z w zx y x y

y x x yz w w z

w x y z w x y z

Una de las bendiciones del álgebra matricial es que el mismo puede plantearse de manera matricialy hacer muy simple los pasos a seguir para la resolución de casos como este. Para ello, seránecesario hacer una breve revisión de las operaciones matriciales más comunes.

2.16.1.3 Transposición de matrices.

La transposición de matrices es una operación simple que consiste en simplemente “girar o rotarde vertical a horizontal (y viceversa) para cambiar de orden el vector o matriz original. Porejemplo, sea un vector de a dimensión n x m 6 , el vector transpuesto, que se denota como 'a ,sería ahora de dimensión n x m :

2' 2 7

7

a a

A su vez, sea una matriz B de dimensión n x m 7 , la matriz transpuesta, que se denota como 'B ,sería ahora de dimensión n x m :

8 98 14 2

' 14 79 7 3

2 3

B B

2.16.1.4 Suma-resta de vectores y/o matrices.

Ya que definimos el concepto de vector y de matriz , podemos hacer operaciones con los mismos.La más simple de ellas (todas lo son) se llama suma o resta de vectores o matrices. A este respectoes importante señalar que solo se puede realizar dicha operaci ón si las dimensiones de estosvectores o columnas son las mismas. Es decir, si tienen el mismo número de renglones y columnas .En casos que esto se cumple, operaciones como estas son permitidas:

6 A partir de ahora, para simplificar la explicación, siempre que se hable de dimensiones de un vector o unamatriz, se denotará con n el número de renglones y con m el número de columnas. Siempre.7 A partir de ahora, para simplificar la explicación, siempre que se hable de dimensiones de un vector o unamatriz, se denotará con n el número de renglones y con m el número de columnas. Siempre.



89 27 , 54 36 89 54 27 36 143 63

2 8 2 8 2 8 10

3 , 4 3 4 3 4 76 3 6 3 6 3 9

1 5 2 2 1 5 2 27 2 , 0 8 7 2 0 8

9 3 7 4 9 3 7 4

g z g z

a b a b

A B A B1 2 5 2 2 77 0 2 8 7 10

9 7 3 4 16 7

1 5 9 2 2 217 2 10 , 0 8 25

9 3 15 7 4 37

1 5 9 2 2 21 1 2 5 2 9 21 3 7 30

7 2 10 0 8 25 7 0 2 8 10 25 79 3 15 7 4 37 9 7 3 4 15 37

C Y

C Y 10 3516 7 52

La peculiaridad de estas operaciones es que los vectores o m atrices tienen la misma dimensión ypueden sumarse (o restarse en su defecto). Cuando la suma se puede realizar gracias a la dimensión,lo que procede es sumar cada entrada (numero) o escalar correspondiente. Por ejemplo, en el vectorg al que se le suma el z, el escalar 11g 8 se suma al escalar 11z se llega a la suma 89+54=143. Lo

propio sucede con los escalares 12g y 12z que dan la suma 27+36=63.

Esta misma serie de operaciones se realizan en todos los vectores o matrices. Por ejemplo en lasuma de matrices A+B, los escalares 23a y 23b llevan a la suma 2+8=10.

En virtud de que la suma de vectores o mat rices se realiza escalar por escalar, se debe tener demanera imperiosa que las matrices o vectores sumados sean de las mismas dimensiones por lo queoperaciones como estas son imposibles de hacer en álgebra lineal o en la matricial debido a que lasdimensiones de los vectores o las matrices no coinciden:

8 Esto es, el número que se encuentra en el renglón 1 y la columna 1, es decir el 89 que se encuentra en esaposición.



(?) (no se puede)

(no s

[89], 54 36 89 54 36

2 2 88

3 , 3 44

6 6

1

e puede)

(?)

(?)

(?) (no se puede)(

5 2 1 2 5

7 2 , 0 7 0 29 3 ?)7 9 7 3

1 5

g z

a b

A B

z

a b

C

g

A B

9 1 2 5 2 92 2

7 2 10 , 7 7 2 4 1

(?)

(?) (no se puede)(?) (?) (?)

07 4

9 3 15 9 3 15

C YY

2.16.1.5 Multiplicación de vectores o matrices por escalares.

Ahora se verá otra operación muy común que es la multiplicación de una matriz o un vector por unescalar k. La lógica de la misma es muy simple: Esta puede efectuarse en cualquier vector o matrizde cualquier dimensión. Lo único que aplica es que el escalar se multiplica por cada una de lasentradas o escalares del vector o matriz. Vea usted este ejemplo:

2 1 5 9

5, 3 , 7 2 10 ,6 9 3 15

2 2 2 5 105 3 3 5 3 5 15

6 6 6 5 30

1 5 9 1 5 9 1 5 5 5 9 55 7 2 10 7 2 10 5 7 5 2 5 10 5

9 3 15 9 3 15 9 5 3

k

k k

k k

a B

a a

B B5 25 45

35 10 50

5 15 5 45 15 75

Por tanto, la multiplicación de un escalar k por una matriz o un vector sí es factible.

2.16.1.6 Producto punto o interior: Multiplicación de vectores por matrices, vectores porvectores o matrices por vectores (el orden de los factores sí altera el producto).

La multiplicación entre vectores y matrices sí es factible. Sí es posible sí y solo sí se cumple estaregla de oro:

“Sean una matriz (o vector) A (a) de dimensión 1 1n x m y otra matriz (o vector) B (b) de 2 2m x n, la multiplicación se puede llevar a cabo si el número de columnas de A (a) es igual al número derenglones de B (b). Es decir si 1 2m m ”



Por ejemplo, sí es posible hacer estas multiplicaciones:

58 14 2

2 7 , , 89 7 3

12

8 14 22 7

9 7 3

2 8 7 9 2 14 7 7 2 2 7 3 26 30 15

58 14 2 8 5 14 8 2 12 176

89 7 3 9 5 7 8 3 15 137

12

a B c

a B

B c

8 9' ' 5 8 12 14 7 5 8 8 14 12 2 5 9 8 7 12 3 176 137

2 3

5 5 2 5 7 10 358 2 7 8 2 8 7 16 56

12 12 2 12 7 24 84

8 9 8 2 9 78 14 2 2

' ' 2 7 14 7 14 2 79 7 3 7

2 3

c B

c a

B a

79

7 722 2 3 7 25

Como usted puede apreciar, sí es posible realizar la multiplicación de matrices o vectores siempre ycuando las dimensiones interiores ( 1 2ym m ) son iguales. El hecho de que las dimensionesinteriores sean iguales es el que le da el nombre a la multiplicación de vectores y matrices de“producto punto” o “producto interior”.

2.16.1.7 La matriz de identidad y la inversión de matrices.

La inversión de matr ices es una de las operaciones más útiles para efectos de optimización sinembargo, en muchas ocasiones, su interpretación es poco comprendida. En realidad esto dista deser así si lo vemos de la siguiente perspectiva: En aritmética y álgebra tradicional c onocemos elescalar o número 1. Sin embargo, cuando decimos 1 en álgebra lineal decimos algo diferente. Deentrada decimos que se trata de una matriz de dimensión 1x1 que tiene unos en las entradas.Ahora piense usted en un vector de 3x1 de unos. Esto serí a:



11

1

1

A su vez piense en una matriz de 3x2 de unos:

1 11 1

1 1

1

Existe una matriz especial que equivale a decir “1” en álgebra lineal. Esta se llama matrizidentidad, denotada por I , que consiste en una matriz cuadrada de dimensión n x n que tieneunos en la diagonal9:

1 0 0 0

0 1 0 00 0 0

0 0 0 1

I

¿De qué nos sirve saber esto? Muy simple. Viajemos, de momento, de regreso al álgebratradicional y piense en la siguiente igualdad dada la variable a :

1 1aa

Ahora, como hemos dicho que el 1 solito en álgebra lineal se expresa con la matriz identidad ( I ),suponga ahora que no tenemos una variable a sino una matriz A cuadrada de dimensionesn x n . Esto nos lleva a expresar la igualdad anterior en términos matriciales como:

IA IA

Note que el términoIA

puede expresarse como 1A . Este se conoce como La inversa de la

matriz A . Que no es más que dividir a la matriz identidad I entre A . Cuando hablemos de lainversa de una matriz, simplemente se habla de hacer la división previamente mencionada.

9 La diagonal de una matriz no es más que los escalares (de izquierda a derecha ) que tienen el número de filay de columna igual por ejemplo, el escalar que está en la fila 1 y la columna 1 ( 11i ) o el que está en la fila 2 y

la columna 2 ( 22i ) o el que está en la fila n y la columna n ( nni ).



Por ejemplo, téngase la siguiente matriz:

8 0 2

9 7 36 5 14

0.1239 0.0149 0.0209

0.1612 0.1493 0.0098 0 2

0.0045 0.0597 0.08369 7 3

6 5 14

-1

D

ID

Dado que este repaso matemático tiene el objetivo de reforzar los conocimientos enMicroeconomía y simplificar la exposición, nos enfocaremos solo a las nociones intuitivas, dejandola mecánica del cálculo de la inversa de una matriz para los libros especializados en Álgebra lineal,Álgebra matricial, Economía matemática o Matemática para economistas y administradores endonde podrá usted consultar la mecánica que se sigue para realizar la inversión de una matriz 1A. Hay varios métodos, siendo el método Gauss -Jordan el más revisado aunque el autor de laspresentes líneas sugiere que mejor investigue un método llamado de cofactores el cuál leimplicará aplicar determinantes y es muy sencillo de comprender. Eso se le deja para investigaciónpersonal si así lo considera prudente y necesario. Si no, con que comprenda las intuiciones de lainversión de una matriz es suficiente ya que la computadora u ordenador harán el trabajo porusted.

11 12

2

11 12 13 11 12 13

21 21 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11 22 33 12 23 13 31 22 1

1 22

31 32

31 21 32 13 12 23 331 21 12

det( ) det

8 0 2

det 9 7 36 5 14

a a a a a aA

a aa a

a a

a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a a aa a aaa a

8 0

9 76

8 0 2

9 7 36 5 14

8 7 14 3 0 2 6 7 2 5 3 14

5

6 9 75 9 6 08 0

2.17 Resolución de sistemas de ecuaciones con álgebra lineal.

Ahora que vimos las principales nociones de álge bra matricial y lineal podremos regresar a laresolución de sistemas de ecuaciones como los que tenemos cuando resolvemos problemas deoptimización con restricciones de igualdad. Recordemos que tuvimos el siguiente problema:




Sujeto a:

* * * * 1w x y z

Esto nos lleva a la siguiente ecuación lagrangeana:

2 2 2 2Maximizar L( , , , ) 4 3 1w x y z w x y z xy wz w x y z

A su vez, esta nos condujo al siguiente sistema de ecuaciones:

w x y z

2 3 0 2 0 0 3 0

2 4 0 0 2 4 0 02 4 0 0 4 2 0 0

2 3 0 3 0 2 0 01 0 0 1

w z w z

x y x yy x x y

z w w zw x y z w x y z

Para ello, las agrupamos en diferentes columnas correspondientes a las diferentes variables:

2 0 0 3 00 2 4 0 00 4 2 0 0

3 0 0 2 0 00 1

w zx y

x y

w x y

w zw x y z

z

Como vimos en el tema de la multiplicación de matrices por vectores, la matriz que formamos en laparte izquierda (números negros) puede factorizarse como una multiplicación del tipo:

2 0 0 3 1 0

0 2 4 0 1 00 4 2 0 1 0

3 0 0 2 0 01 1 1 1 0 1

w

zx

y

Ahora démosle un nombre a la matriz y a los dos vectores:



2 0 0 3 1 0

0 2 4 0 1 00 4 2 0 1 03 0 0 2 0 0

1 1 1 1 0 1

w

zxy

A x = b

Lo que nos interesa es descubrir los valores de las variables que están en el vector x . Para ello,como hemos simplificado, de manera considerable, todo el sistema de ecuaciones en solo tressimples variables, podremos utilizar el álgebra tradicional para despejar x y obtener los valores delas variables dentro del mismo:

1

A x b

Ix b A bA

Ya que hicimos este despeje, ahora hacemos las operaciones matriciales correspondientes:

1

1* 2 0 0 3 1 0

* 0 2 4 0 1 0* 0 4 2 0 1 0

* 3 0 0 2 0 01 1 1 1 0 1

* 0.200 0.1 0.1 0.4 0.2* 0.25 0.0417 0.2083 0.25 0.25

* 0.25 0.2083 0.0417 0.25 0.25* 0

w

zx

y

wz

xy

x A b

0 0.2 0 0.1 0 0.1 0 0.4 0 0.2 10 0.25 0 0.0417 0 0.2083 0 0.25 0 0.25 1

0 0.25 0 0.2083 0 0.0417 0 0.25 0 0.25 1.3 0.15 0.15 0.1 0.3 0 0.3 0 0.15 0 0.15

0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 1

0 0.1 0 0.3 1

0.5 0 0.25 0 0.25 0 0.5 0 0.5 1

* 0.2

* 0.25* 0.25

* 0.30.5

w

zx

y



En base a esta simple operación matricial, se tienen los valores óptimos de las variables buscadascon * 0.2w , * 0.25z , * 0.25x y * 0.3y . Usted puede apreciar que estos valores ópt imosde las cuatro variables cumplen con la restricción planteada:

* * * * 1

0.2 0.25 0.25 0.3 1

w z x y

Si este problema hubiese sido la selección óptima del nivel de producción que debe dedicarse acuatro artículos diferentes ( , , ,w z x y ) de tal forma que se maximicen los beneficios, los nivelesóptimos de producción serían 20% en el producto w , 25% en el producto z , 25% en el x y 30%en el y .

2.18 Manejo de las restricciones de desigualdad.

Para ilustrar ¿Qué se hace con este tipo de restricciones y para qué sirven? Modifiquemos elejemplo anterior un poco:


Sujeto a:

* * * * 1w x y z *, *, *, * 0w x y z

Note usted la segunda restricción que pide que los valores óptimos de las variables buscadas seanmayores o iguales a cero. El signo > o <, así como los signos ,son signos de desigualdad. Paramanejar estas restricciones se sigue utilizando el multiplicador lagrangeano pero ahora de maneraiterativa. Ilustremos un poco planteando la ecuación lagrangeana de este nuevo problema. Notecómo solo se incorporan a la misma las restricciones de igualdad y la segunda se deja fuera 10.

2 2 2 2Maximizar L( , , , ) 2 4 6 1w x y z w x y z xy wz w x y z

A su vez, esta nos condujo a sus derivadas parciales y al siguiente sistema de ecuaciones:

10 Hay otra forma que contempla la incorporación de variables ficticias o dummy pero esta no será revisadaya que no siempre es efectiva y termina en un proceso iterativo similar a este.



( , , , ) 4 3

( , , , ) 2 4

( , , , ) 2 4

( , , , )2 6

( , , , ) 1

L w x y z w zw

L w x y z x yx

L w x y z y xy

L w x y zz w

zL w x y z w x y z

4 3 0 2 3 02 4 0 2 4 0

2 4 0 2 4 02 6 0 2 6 0

1 0 1

w z w zx y x y

y x y xz w z w

w x y z w x y z

El mismo lleva a la siguiente resolución matricial:

4 0 0 3 1 00 2 4 0 1 0

0 4 2 0 1 06 0 0 2 0 0

1 1 1 1 0 1

wz

xy

A x = b

1

1* 4 0 0 3 1 0 0.067* 0 2 4 0 1 0 0.4333* 0 4 2 0 1 0 0.4333* 6 0 0 2 0 0 0.2

1 1 1 1 0 1 0.8667

wzxy

x A b

Note cómo el valor óptimo del producto w es negativo, lo cual es una clara violación a larestricción *, *, *, * 0w x y z . ¿Qué se hace? Se iguala a cero “a raja tabla” el valor de w , seelimina de la función objetivo y se corre de nuevo todo el proceso. Si con el nuevo problema deoptimización se siguen teniendo niveles óptimos negativos, estos se igualan a cero hasta llegar auna sola variable que concentrará el 100% de nivel de producción óptima; siendo niveles de ceroen las otras. Veamos ahora cómo se replantearía de nuevo el problema (para fines de exposición



solo plantearemos la función objetivo y la solución matricial final observando que usted ya conocetodo el procedimiento):

2 2 2 2Maximizar ( , , , ) 0 4 3(0)f w x y z x y z xy z

Sujeto a:

* * * * 1w x y z *, *, *, * 0w x y z

2 2 2Maximizar L( , , , ) 4 1w x y z x y z xy x y z 1

1* 2 4 0 1 0 0.5* 4 2 0 1 0 0.5* 0 0 2 0 0 0

1 1 1 0 1 1

zxy

x A b

Si observamos que * 0w dado que forzamos su valor a cero en virtud de que violó la restricciónde no negatividad en el primer intento, con este resultado tendríamos los siguientes valoresóptimos: * 0, * 0.5 50%, * 0.5 50%, * 0w z x y . Y con esto tenemos un resultado quecumple con las dos restricciones planteadas.

Ahora que se dominan los elementos matemáticos fundamentales para la optimización podremosrevisar, ya de manera sintética y más simple, los conceptos como elasticidades y l a forma en que elconsumidor y el productor realizan la toma de decisiones pero, en específico, propondremos lasguías en cómo deberá usted tomar decisiones óptimas en su empresa u organismo a la luz de lamicroeconomía.

3 Retomando la selección racional de los agentes económicos.

3.1 La elección racionalmente limitada del consumidor.

Ahora regresaremos a la selección óptima de los agentes y revisaremos, brevemente, la manera encómo suponen los economistas teóricos que los individuos realizaríamos nuestro proce sodecisorio (o de toma de decisiones) si fuéramos personas racionales en los términos previamenterevisados. Para plantear la idea, supóngase que u na profesionista tiene una función de satisfaccióno de utilidad ( , )U x y en donde x e y son el nivel de consumo en alimentación y placer e y elnivel de inversión en su educación. Cierto es que los individuos debemos alimentarnos para saciar



nuestras necesidades fisiológ icas pero también debemos prepararnos y, sobre todo, cultivarnos 11

para ser mejores personas, tener más éxito material y personal y podamos generar mejoresempresas que generen más riqueza; no las empresas mediocres que tenemos en nuestra ciudadque hacen lo mismo que el de enfrente. Entonces, siendo nosotros como nuestra amiga racionalque quiere ser profesionista exitosa e independiente, preocupada por su futuro y el de suEconomía, debemos decidir cuánto destinar de nuestro presupuesto al rubro de educaci ón y c alrubro de comida. ¿Con qué función modelamos esto? A diferencia de la función e ingresos, costosy producción, no la podemos derivar directamente de la experiencia. Es decir, aquí aprenderemosa derivar esas funciones a partir de la información qu e la economía o nuestro mercado objetivonos proporcione. Sin embargo, en el caso de los consumidores o inversionistas, el derivar unafunción de utilidad es algo más complicado por lo que los economistas hacen muchos supuestos yestablecen formas funciona les aproximadas.

El caso de este ejemplo no será la excepción por lo que plantearemos una función objetivo demanera discrecional dada por:

2 2( , ) 12.5 11.5U x y x y x y

La gráfica en tres dimensiones de la misma se daría por la siguiente:

11 Albert Einstein siempre dijo que “La educación es eso que nos queda cuando se nos olvida lo queaprendimos cuando fuimos a la escuela” por lo que un servidor espera que usted no solo se “capacitetécnicamente” leyendo y estudiando sobre las materias de su curso sino también de otras cosas comomúsica clásica, popular o considerada de calidad; literatura, arte plástico, arte culinario, deportes ajeno s alfútbol soccer y otras cosas más sustanciales que la T.V. o el cine comercial. Claro está, esto se le deja a surespetable consideración.



Gráfica 3-1 Representación tridimensional de la función de utilidad de una consumidora racional.

Note que, en la parte inferior, se presentan las curvas de nivel que aquí tienen la interpretación deser las curvas de indiferencia, que, como se definieron previamente, corresponden a lasdiferentes combinaciones de gasto en educación y en comida -ocio que le dan a nuestra agente elmismo nivel de satisfacción.

A su vez, nótense los puntos rojos y verde en la superficie. El primero de ellos es la combinación decomida-ocio y educación que maximizaría la utilidad o satisfacción sin considerar la restricción delpresupuesto.

Ahora, como en la vida cotidiana estamos sujetos a nuestro presupuesto para decidir, laprofesionista deberá imponer una restricción presupuestaria de los niveles de comida-ocio yeducación que debe adquirir así como niveles positivos en estos ( , 0x y ). Por lo tanto, suproblema de selección óptima se reduce al siguiente planteamient o:

2 2Maximizar ( , ) 12.5 11.5U x y x y x y

Sujeto a:

-5

0

5

-5

0

5

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

x

x (2.5e1/2.0)+y (2.3e1/2.0)-x2 2.0-y2

y



1

, 0

x y

x y

Al resolver el mismo llegamos al nivel de consumo óptimo representado con el punto verde en lagráfica 3-1. El mismo se obtiene con el algoritmo de optimización con restricciones de desigualdadpreviamente visto:

Paso 1: Plantear la ecuación lagrangeana incorporando solo las restricciones de igualdad.

2 2( , ) 12.5 11.5 1L x y x y x y x y

Paso 2: Se hacen las derivadas parciales y se plantea el sistema de ecuaciones.

2 2

2 2

2 2

( , ) 12.5 11.5 1 2 12.5

( , ) 12.5 11.5 1 2 11.5

( , )12.5 11.5 1 1

L x y x y x y x y xx

L x y x y x y x y yy

L x yx y x y x y x y

2 0 12.5 0

0 2 11.5 0

1 1

2 0 1 12.50 2 1 11.5

1 1 0 1

x

y

x y

xy

A x = b

Paso 3: Se resuelven los niveles óptimos despejando x .

1

1* 2 0 1 12.5 0.75

* 0 2 1 11.5 0.251 1 0 1 11

x

y

x = A b

Como los niveles óptimos de x e y son positivos, no habrá necesidad de eliminar las variablesque tengan niveles de consumo negativos. Esto nos lleva a observar que hemos concluido nuestroproblema y que hemos encontrado los niveles de consumo óptimo dados por nivel de consumo en



comida y placer de 25% (0.25) con nivel de consumo en ocio de 75% (0.75). Esto se aprecia en lassiguientes gráficas:

Gráfica 3-2 Representación tridimensional de la selección óptima de una consumidora racional .

En la gráfica inferior se aprecia el máximo no restringido (punto rojo), el cual corresponde al puntorojo de la función de utilidad, se aprecian diferentes curvas de indiferencia que irradian alrededordel punto óptimo sin restricciones y se aprecian t anto el punto verde como óptimo restringido y larecta negra inclinada que relaciona las diferentes combinaciones de x e y que cumplen con lallamada restricción presupuestaria. Note usted cómo los niveles de consumo óptimo de nuestraagente estudiada cumplen con las restricciones impuestas y maximizan su satisfacción. ¿Cómocomprobamos esto en términos gráficos? Note la curva de indiferencia verde que interseca a larecta presupuestal. Esa curva de indiferencia corresponde al máximo nivel de satisfacción outilidad asequible dado el presupuesto con que se cuenta para consumir. Por tanto, el puntodonde la curva de indiferencia y la recta presupuestal tocan, es el óptimo para nuestraconsumidora racional. El mismo lo derivamos matemáticamente y con facilidad a través delprocedimiento anterior.

-5

0

5

-5

0

5

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

x

x (2.5e1/2.0)+y (2.3e1/2.0)-x2 2.0-y2

y

x

y

x (2.5e1 /2.0)+y (2.3e1 /2.0)-x2 2.0-y2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6



A partir de este punto, usted comenzará a notar que la selección óptima de todos nuestrosagentes es muy similar. Al menos en su lógica. Términos como curva de indiferencia setransformarán en curvas de isocuantas o d e isocostos en el caso de la Economía de la empresapero la lógica de selección óptima es la misma.

3.2 La elección limitadamente racional del productor ¿cómo debemosacostumbrarnos a elegir en nuestra empresa?

Ahora veremos el caso de un agente productor racional que busca ya sea maximizar sus ingresos,minimizar sus costos o maximizar sus beneficios o productividad. El principal de estos tresobjetivos será, por lo general y a la luz de la aplicación de la microeconomía en la Economía de laempresa, la maximización de los beneficios de la empresa. Si usted recuerd a, los beneficios secuantifican restando a los ingresos los costos, por lo que es de necesidad contar con funcionespara ambos casos, es decir, funciones de ingresos y funciones de costos. En breve hablaremos unpoco más sobre la función de ingresos, para exponer la selección racional del productor oempresario, nos limitaremos a realizar un ejercicio de optimización como el visto para ver cómodebe elegir este agente en el supuesto de un m ercado de competencia perfecta12.

Suponga usted que una productora de bebidas no alcohólicas debe elegir entre tres posiblesproductos que ya comercializa, de tal manera que maximice sus ganancias o producciónresolviendo el siguiente problema dada una fun ción de producción ( , , )P x y z :

2 2 2Maximizar P( , , ) 2 0.5 1.6 12.5 11.5 3.8x y z x y z xy yz xz

Sujeto a:1

, , 0, , 0.25

x y zx y zx y z

Note usted que ahora se incorpora una nueva restricción de desigualdad (la tercera) que seestableció el productor al querer evitar el concentrar en un solo producto más del 25%. Esto loestablece así dado que busca recuperar, aunque sea de largo plazo, la inversión en la capacidadinstalada de las tres líneas de producción (supondremos que tiene maquinaria y equipo para cadalínea).Como usted puede observar, fuera de la tercera restricción, la productora debe resolver unproblema geométrica y matemáticamente igual al del consumidor. Lo único que cambia realmenteson la interpretación y la nomenclatura. En un sub apartado posterior profun dizaremos. Aquíresaltaremos solo el común denominador que existe en la metodología. Las curvas de corte de

12 Concepto que revisaremos en breve.



nivel que se denominan “curvas de indiferencia” en la selección óptima del consumidor, aquí sedenominan “curvas de isocuantas” ya que determinan las diferentes combinaciones de niveles deproducción en diferentes bienes que generan el mismo nivel de productividad o ganancias en laempresa. A su vez, la recta presupuestaria propia del consumidor se denomina “recta deisocostos” ya que relaciona las diferentes combinaciones límite o restringidas permitidas quellevarán al a inversión del total de costos permitidos. Veamos la representación gráfica en tresdimensiones de la selección óptima del problema planteado si ignoramos z y la tercerarestricción, es decir, si suponiendo que solo tenemos dos líneas de producción. Esto es así debidoa que deberíamos representar en cuatro dimensiones el problema original:

Gráfica 3-3 Selección óptima de una productora racional.

Note usted cómo la maximización, al igual que en el problema del consumidor, se da en el puntodonde la recta de isocostos ase tangencia con una de las curvas de isocuantas, la cual lleva al nivelde productividad máxima permitida dada las restricciones planteadas.

-6 -4-2 0

24 6

-5

0

5

-150

-100

-50

0

50

x

x 5.0+y 3.0-x 2 2.0-y2 (1.0/2.0)

y

x

y

x 5.0+y 3.0-x2 2.0-y2 (1.0/2.0)

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6



¿Cómo derivamos la combinación óptima en las diferentes líneas de producción que maximizará laproductividad o ganancias dadas las restricciones planteadas? Regresemos a nuestro problemaoriginal a resolver:

2 2 2Maximizar P( , , ) 2 0.5 1.6 12.5 11.5 3.8x y z x y z xy yz xz

Sujeto a:1

, , 0

, , 25%

x y zx y z

x y z

El primer paso para la resolución se logra planteando la ecuación lagrangeana incorporando sololas restricciones de igualdad . Recuerde que las de desigualdad se logran con el método iterativopreviamente planteado:

2 2 21 1Maximizar L( , , , ) 2 0.5 1.6 12.5 11.5 3.8 1x y z x y z xy yz xz x y z

Lo que sigue es obtener las derivadas parciales respecto a cada variable:

1

1

1

1

L( , , , ) 4 12.5 3.8

L( , , , )12.5 11.5

L( , , , ) 3.2 11.5 3.8

L( , , , ) 1

x y z x y zx

x y zy x z

yx y z z y x

zx y z x y z

Ahora se plantea de manera matricial el sistema de ecuaciones igualado a cero para resolverlo:

1

1

1

4 12.5 3.8 0

12.5 11.5 03.8 11.5 3.2 0

0 1

x y z

x y zx y z

x y z



1

4 12.5 3.8 1 0

12.5 1 11.5 1 03.8 11.5 3.2 1 0

1 1 1 0 1

x

yz

A x = b

Se resuelve el sistema de ecuaciones en forma matricial.

1

1

1

* 4 12.5 3.8 1 0 27.88%* 12.5 1 11.5 1 0 47.89%

* 3.8 11.5 3.2 1 0 24.23%* 1 1 1 0 1 5.7921

xy

z

x = A b

Como se puede apreciar, los valores óptimos cumplen con la segunda restricción ( , , 0x y z ). Sinembargo, los valores óptimos de x e y no cumplen con la tercera restricción ( , , 25%x y z ). Loque se hace en este caso es lo mismo que se hizo en el problema anterior con la restricción de nonegatividad: Se igualan al límite superior de 25% las variables que violan esta restricción y se correde nuevo el problema. Como se trata de tres variables y dos son las que incurren en la violación, elproblema termina aquí estableciendo los siguientes resultados:

* 25%* 25%

* 50%

xy

z

Como se destinó 25% al valor óptimo de x e y , el remanente de la recta presupuestaria:

* 100% ( * *) 100% (25% 25%)z x y

Se destina al bien z . Entonces, dada la función de producción ( , , )P x y z y las restricciones fijadaspor el productor, se observa que la combinación óptima de inversión de recursos en las líneas debienes estudiados se da por el vector previo.

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Notas de apoyo para el curso Primera Edición, agosto …oscardelatorretorres.com/catedras/fcca/investigacion_operaciones/... · 2 Repaso de conceptos geométricos, matemáticos y