UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO

EE540 – TEORIA ELETROMAGNÉTICA

Reflexão e RefraçãoProf. Lucas Heitzmann Gabrielli

Condições de fronteira(Cheng 3-9, 6-10, 7-5; Sadiku 5.9, 8.7)

Possuímos as soluções do tipo ondas planas para a equação de onda em meios homogêneos.Um método para a solução de problemas homogêneos por partes é utilizar as soluções de ondasplanas em cada região homogênea e garantir que nas fronteiras elas obedeçam as equações deMaxwell, de modo a obtermos uma solução para o problema completo.

Veremos a seguir quais são essas condições de fronteiras (ou de contorno) que devem serrespeitadas pelos campos elétrico e magnético de acordo com as equações de Maxwell.

Campo elétrico tangencial

𝜀1, 𝜇1

𝜀2, 𝜇2

𝐚𝑡𝐚𝑠

𝐚𝑛2

𝑎

𝑏2

𝑏2

∮𝐿

𝓔 ⋅ d𝐋 = − ∂∂𝑡 ∫

𝑆

𝓑 ⋅ d𝐒 ⇒

⇒ 𝑎(𝐚𝑡 ⋅ 𝓔2 − 𝐚𝑡 ⋅ 𝓔1) = −𝑎𝑏2

∂∂𝑡(𝐚𝑠 ⋅ 𝓑1 + 𝐚𝑠 ⋅ 𝓑2) ⇒ … ⇒

⇒ 𝐚𝑛2× (𝓔1 − 𝓔2) = 0

Campo magnético tangencial

𝜀1, 𝜇1

𝜀2, 𝜇2

𝐚𝑡𝐚𝑠

𝐚𝑛2

𝑎

𝑏2

𝑏2

∮𝐿

𝓗 ⋅ d𝐋 = ∫𝑆

𝓙 ⋅ d𝐒 + ∂∂𝑡 ∫

𝑆

𝓓 ⋅ d𝐒 ⇒

⇒ 𝑎(𝐚𝑡 ⋅ 𝓗2 − 𝐚𝑡 ⋅ 𝓗1) = 𝑎

𝑏/2

∫−𝑏/2

𝐚𝑠 ⋅ 𝓙 dℓ + 𝑎𝑏2 𝐚𝑠 ⋅ ∂

∂𝑡(𝓓1 + 𝓓2) ⇒ … ⇒

⇒ 𝐚𝑛2× (𝓗1 − 𝓗2) = 𝓙𝑠

Campo magnético normal

𝜀1, 𝜇1

𝜀2, 𝜇2

𝐚𝑡𝐚𝑠

𝐚𝑛2

𝐴

𝐴

𝑏2

𝑏2

∮𝑆

𝓑 ⋅ d𝐒 = 0 ⇒

⇒ 𝐴(𝐚𝑛2⋅ 𝓑1 − 𝐚𝑛2

⋅ 𝓑2) = 0 ⇔

⇔ 𝐚𝑛2⋅ (𝓑1 − 𝓑2) = 0

Campo elétrico normal

𝜀1, 𝜇1

𝜀2, 𝜇2

𝐚𝑡𝐚𝑠

𝐚𝑛2

𝐴

𝐴

𝑏2

𝑏2

∮𝑆

𝓓 ⋅ d𝐒 = ∫𝑉

𝜌 d𝑉 ⇒

⇒ 𝐴(𝐚𝑛2⋅ 𝓓1 − 𝐚𝑛2

⋅ 𝓓2) = 𝐴

𝑏/2

∫−𝑏/2

𝜌 dℓ ⇒ … ⇒

⇒ 𝐚𝑛2⋅ (𝓓1 − 𝓓2) = 𝜌𝑠

Correntes e cargas superficiais

As condições de contorno envolvendo as componentes normais de 𝓓 e tangenciais de 𝓗envolvem densidades superficiais de carga 𝜌𝑠 e corrente 𝓙𝑠.

Usando os vetores de polarização 𝐏1 e 𝐏2 podemos encontrar a densidade de carga superficialde polarização em cada meio:

𝐚𝑛2⋅ (𝜀0𝐄1 − 𝜀0𝐄2) = 𝜌𝑠 + 𝜌𝑠𝑝1

+ 𝜌𝑠𝑝2

𝜌𝑠𝑝𝑖= 𝐚𝑛𝑖

⋅ 𝐏𝑖

𝓙𝑠 [A/m] : densidade superficial de corrente elétrica𝜌𝑠 [C/m2] : densidade superficial de carga

Incidência normal em condutor perfeito(Cheng 8-6)

Campo incidente de um meio sem perdas:

𝐄𝑖 = 𝐚𝑥𝐸0𝑒−𝑖𝛽1𝑧 𝐇𝑖 = 𝐚𝑦𝐸0𝜂1

𝑒−𝑖𝛽1𝑧

A condição de campo tangencial contínuo implica em 𝐄 = 0na interface, portanto o campo refletido deverá ter a mesmapolarização do campo incidente e sinal oposto, com propagaçãoem sentido −𝑧:

𝐄𝑟 = −𝐚𝑥𝐸0𝑒𝑖𝛽1𝑧 𝐇𝑟 = 𝐚𝑦𝐸0𝜂1

𝑒𝑖𝛽1𝑧

Assim:

𝐄1 = 𝐄𝑖 + 𝐄𝑟 = −𝐚𝑥𝑖2𝐸0 sin(𝛽1𝑧)

𝐇1 = 𝐇𝑖 + 𝐇𝑟 = 𝐚𝑦2𝐸0𝜂1

cos(𝛽1𝑧)

𝐄𝑖

𝐚𝑘𝑖

𝐇𝑖

𝐄𝑟

𝐚𝑘𝑟

𝐇𝑟

𝐄2 = 0

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜎2 → ∞

Onda estacionáriaA superposição das onda incidente e refletida formam uma onda que não transmite potência,pois a densidade de potência incidente é igual à refletida:

𝐏𝑚𝑖= |𝐸0|2

2𝜂1𝐚𝑧 𝐏𝑚𝑟

= −|𝐸0|22𝜂1

𝐚𝑧 𝐏𝑚 = ℜ{𝐄1 × 𝐇∗1} = 0

Essa superposição não é uma onda propagante, mas sim estacionária, resultado da superposiçãode duas ondas planas iguais propagando-se em sentidos opostos. Fica clara essa conclusão aoanalisarmos os campos instantâneos (considerando 𝐸0 ∈ ℝ por simplicidade):

𝓔1 = ℜ{𝐄1𝑒𝑖𝜔𝑡} = 𝐚𝑥2𝐸0 sin(𝛽1𝑧) sin(𝜔𝑡)

𝓗1 = ℜ{𝐇1𝑒𝑖𝜔𝑡} = 𝐚𝑦2𝐸0

𝜂 cos(𝛽1𝑧) cos(𝜔𝑡)

Em quê resulta a condição de fronteira para o campo magnético?

Incidência em condutor perfeito: polarização perpendicular(Cheng 8-7.1)

𝐚𝑘𝑖

𝐇𝑖

𝐄𝑖

𝐚𝑘𝑟 𝐇𝑟

𝐄𝑟

𝐄2 = 0𝜃𝑖

𝜃𝑟

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜎2 → ∞

Consideramos inicialmente o caso onde o campo elétrico tempolarização perpendicular ao plano de incidência e versor depropagação 𝐚𝑘𝑖

= 𝐚𝑥 sin 𝜃𝑖 + 𝐚𝑧 cos 𝜃𝑖:

𝐄𝑖 = 𝐚𝑦𝐸0𝑒−𝑖𝛽1𝐚𝑘𝑖 ⋅𝐫 = 𝐚𝑦𝐸0𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑖+𝑧 cos 𝜃𝑖)

Para a onda refletida mantemos a polarização e escrevemos oversor de propagação 𝐚𝑘𝑟

= 𝐚𝑥 sin 𝜃𝑟 − 𝐚𝑧 cos 𝜃𝑟:

𝐄𝑟 = 𝐚𝑦𝐸0𝑟𝑒−𝑖𝛽1𝐚𝑘𝑟 ⋅𝐫 = 𝐚𝑦𝐸0𝑟𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑟−𝑧 cos 𝜃𝑟)

Utilizando a condição de campo elétrico tangencial nulo em 𝑧 = 0:

𝐸0𝑒−𝑖𝛽1𝑥 sin 𝜃𝑖 + 𝐸0𝑟𝑒−𝑖𝛽1𝑥 sin 𝜃𝑟 = 0 ⇔ { 𝐸0𝑟 = −𝐸0𝜃𝑟 = 𝜃𝑖

Ondas transversais elétricasPara os campos totais temos:

𝐄1 = 𝐄𝑖 + 𝐄𝑟 = −𝐚𝑦𝑖2𝐸0 sin(𝛽1𝑧𝑧)𝑒−𝑖𝛽1𝑥𝑥

𝐇1 = 1𝜂1

(𝐚𝑘𝑖× 𝐄𝑖 + 𝐚𝑘𝑟

× 𝐄𝑟) = −2𝐸0𝜂1

[𝐚𝑥 cos 𝜃𝑖 cos(𝛽1𝑧𝑧) + 𝐚𝑧𝑖 sin 𝜃𝑖 sin(𝛽1𝑧𝑧)] 𝑒−𝑖𝛽1𝑥𝑥

onde 𝛽1𝑧 = 𝛽1 cos 𝜃𝑖 e 𝛽1𝑥 = 𝛽1 sin 𝜃𝑖.

Essas expressões mostram que o campo é estacionário na direção normal à interface, de modoque não há potência propagando-se em 𝑧 uma vez que as componentes 𝐚𝑦 e 𝐚𝑧 dos camposestão defasadas 90°.

Na direção 𝑥 há transmissão de potência e propagação com velocidade de fase 𝑢1𝑥 = 𝜔𝛽1𝑥

= 𝑢1sin 𝜃𝑖

e comprimento de onda 𝜆1𝑥 = 𝜆1sin 𝜃𝑖

.

Como o campo elétrico é perpendicular à direção de propagação, essa onda é do tipo transversalelétrica (TE). Ainda, suas frentes de onda são planos normais a 𝐚𝑥, porém sua amplitude variana direção 𝑧, caracterizando uma onda plana não-uniforme.

Incidência em condutor perfeito: polarização paralela(Cheng 8-7.2)

𝐚𝑘𝑖

𝐄𝑖

𝐇𝑖

𝐚𝑘𝑟 𝐄𝑟

𝐇𝑟

𝐄2 = 0𝜃𝑖

𝜃𝑟

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜎2 → ∞

Para o caso de polarização paralela:

𝐄𝑖 = (𝐚𝑥 cos 𝜃𝑖 − 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑖) 𝐸0𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑖+𝑧 cos 𝜃𝑖)

𝐄𝑟 = (𝐚𝑥 cos 𝜃𝑟 + 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑟) 𝐸0𝑟𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑟−𝑧 cos 𝜃𝑟)

Novamente aplicamos a condição de campo elétrico tangencial(componentes na direção 𝑥) nulo em 𝑧 = 0:

𝐸0 cos 𝜃𝑖𝑒−𝑖𝛽1𝑥 sin 𝜃𝑖 + 𝐸0𝑟 cos 𝜃𝑟𝑒−𝑖𝛽1𝑥 sin 𝜃𝑟 = 0 ⇔

⇔ { 𝐸0𝑟 = −𝐸0𝜃𝑟 = 𝜃𝑖

Ondas transversais magnéticasOs campos totais resultam em:

𝐄1 = −2𝐸0 [𝐚𝑥𝑖 cos 𝜃𝑖 sin(𝛽1𝑧𝑧) + 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑖 cos(𝛽1𝑧𝑧)] 𝑒−𝑖𝛽1𝑥𝑥

𝐇1 = 𝐚𝑦2𝐸0𝜂1

cos(𝛽1𝑧𝑧)𝑒−𝑖𝛽1𝑥𝑥

onde, novamente, 𝛽1𝑧 = 𝛽1 cos 𝜃𝑖 e 𝛽1𝑥 = 𝛽1 sin 𝜃𝑖.

Novamente temos uma onda estacionária na direção 𝑧 que não transmite potência, enquanto em𝑥 há propagação com velocidade de fase igual ao caso de polarização perpendicular.

Essa onda é também plana não-uniforme, mas neste caso é apenas o campo magnético que épolarizado perpendicularmente à direção de propagação, caracterizando uma onda transversalmagnética (TM).

Exercício: calcule o vetor de Poynting complexo para ambos os casos de incidência oblíqua everifique as conclusões obtidas a respeito da potência transmitida.

Incidência normal em interface dielétrica(Cheng 8-8; Sadiku 10.8)

Consideramos agora uma interface entre 2 meios dielétricos semperdas. Nesse caso devemos incluir a onda transmitida para o meio2 e considerar a condição de fronteira entre as 3 ondas planas.

𝐄𝑖 = 𝐚𝑥𝐸0𝑒−𝑖𝛽1𝑧 𝐇𝑖 = 𝐚𝑦𝐸0𝜂1

𝑒−𝑖𝛽1𝑧

𝐄𝑟 = 𝐚𝑥𝐸𝑟0𝑒𝑖𝛽1𝑧 𝐇𝑟 = −𝐚𝑦𝐸𝑟0𝜂1

𝑒𝑖𝛽1𝑧

𝐄𝑡 = 𝐚𝑥𝐸0𝑡𝑒−𝑖𝛽2𝑧 𝐇𝑡 = 𝐚𝑦𝐸0𝑡𝜂2

𝑒−𝑖𝛽2𝑧

Para obter 𝐸𝑟0 e 𝐸𝑡0 é preciso utilizar 2 condições de fronteira nainterface, especificamente as continuidades dos campos elétrico emagnético tangenciais (uma vez que não existe corrente superficialna interface dielétrica).

𝐄𝑖

𝐚𝑘𝑖

𝐇𝑖

𝐄𝑡

𝐚𝑘𝑡

𝐇𝑡

𝐄𝑟

𝐚𝑘𝑟

𝐇𝑟

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜇2, 𝜀2

Reflexão e transmissãoNa interface em 𝑧 = 0:

⎧{⎨{⎩

𝐄𝑖 + 𝐄𝑟 = 𝐄𝑡

𝐇𝑖 + 𝐇𝑟 = 𝐇𝑡⇔

⎧{{⎨{{⎩

𝐸0 + 𝐸0𝑟 = 𝐸0𝑡

𝐸0 − 𝐸𝑟0𝜂1

= 𝐸𝑡0𝜂2

⇔

⎧{{⎨{{⎩

𝐸0𝑟 = 𝜂2 − 𝜂1𝜂2 + 𝜂1

𝐸0

𝐸0𝑡 = 2𝜂2𝜂2 + 𝜂1

𝐸0

Definimos então o coeficiente de reflexão Γ e o coeficiente de transmissão 𝜏:

Γ = 𝐸0𝑟𝐸0

= 𝜂2 − 𝜂1𝜂2 + 𝜂1

𝜏 = 𝐸0𝑡𝐸0

= 2𝜂2𝜂2 + 𝜂1

Note que 𝜏 = 1 + Γ e Γ pode ser positivo ou negativo, indicando uma possível inversão de fasena onda refletida.

As expressões anteriores são válidas mesmo no caso de meios com perdas (não usamos o fato de𝛽𝑛 ou 𝜂𝑛 serem reais em momento algum), tornando ambos coeficientes complexos.

Razão de onda estacionáriaO campo total no meio 1 pode ser escrito como:

𝐄1 = 𝐄𝑖 + 𝐄𝑟 =

= 𝐚𝑥𝐸0𝑒−𝑖𝛽1𝑧 (1 + Γ𝑒𝑖2𝛽1𝑧) =

= 𝐚𝑥𝐸0 [𝜏𝑒−𝑖𝛽1𝑧 + 𝑖2Γ sin(𝛽1𝑧)]

Vemos que ele é composto por uma parcela propagante e uma estacionária, contudo, devido àparcela propagante a magnitude do campo não atinge zero a distâncias específicas da interface.

A relação entre as magnitudes máxima e mínima do campo é chamada razão de ondaestacionária (SWR), e é dada por:

|𝐄1| = |𝐸0‖1 + Γ𝑒𝑖2𝛽1𝑧| ⇒ 𝑆 = max |𝐄1|min |𝐄1| = 1 + |Γ|

1 − |Γ|

Como 0 ≤ |Γ| ≤ 1 o valor de 𝑆 é sempre maior ou igual a 1.

PotênciaPodemos calcular a potência transmitida no caso sem perdas em cada meio:

𝐏𝑚1 = 12ℜ{𝐄1 × 𝐇∗

1} = 𝐚𝑧|𝐸0|22𝜂1

(1 − Γ2)

𝐏𝑚𝑡 = 12ℜ{𝐄𝑡 × 𝐇∗

𝑡} = 𝐚𝑧|𝐸0|22𝜂2

𝜏2

Sabendo que a potência transmitida deve ser a mesma:

Γ2 + 𝜂1𝜂2

𝜏2 = 1

Vemos também que essas são as frações de potência transmitida e refletida em relação àpotência incidente:

𝐚𝑧 ⋅ 𝐏𝑚𝑡𝐚𝑧 ⋅ 𝐏𝑚𝑖

= 𝜂1𝜂2

𝜏2 − 𝐚𝑧 ⋅ 𝐏𝑚𝑟𝐚𝑧 ⋅ 𝐏𝑚𝑖

= Γ2

Incidência normal em interfaces múltiplas(Cheng 8-9; Balanis 5.5)

A solução para o problema de reflexão emmúltiplas interfaces pode ser determinada comono caso anterior utilizando-se a continuidade doscampos em ambas as interfaces.

Mostramos porém agora um método alternativoque facilita a análise quando o númerode interfaces aumenta e que é análogo àtransformação de impedâncias em linhas detransmissão.

Começamos definindo a impedância para umaonda plana com propagação na direção 𝑧:

𝑍(𝑧) = 𝐚𝑥 ⋅ 𝐄(𝑧)𝐚𝑦 ⋅ 𝐇(𝑧) = −

𝐚𝑦 ⋅ 𝐄(𝑧)𝐚𝑥 ⋅ 𝐇(𝑧) [Ω]

𝑧 = −𝑑

𝐸+1

𝐚𝑘+1

𝐻+1

𝐸−1

𝐚𝑘−1

𝐻−1

𝐸+2

𝐚𝑘+2

𝐻+2

𝐸−2

𝐚𝑘−2

𝐻−2 𝐸+

3

𝐚𝑘+3

𝐻+3

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜇2, 𝜀2 𝜇3, 𝜀3

Transformação de impedânciaPara o meio 3 é fácil ver que a impedância de onda é a mesma que a impedância intrínseca domeio, i.e., 𝑍(𝑧) = 𝜂3, para 𝑧 > 0.

No meio 2 a impedância pode ser calculada a partir do coeficiente de reflexão:

𝑍(𝑧) = 𝜂2(𝑒−𝑖𝛽2𝑧 + Γ23𝑒𝑖𝛽2𝑧)(𝑒−𝑖𝛽2𝑧 − Γ23𝑒𝑖𝛽2𝑧) = 𝜂2

𝜂3 + 𝑖𝜂2 tan(−𝛽2𝑧)𝜂2 + 𝑖𝜂3 tan(−𝛽2𝑧), −𝑑 < 𝑧 < 0

onde Γ23 = 𝜂3−𝜂2𝜂3+𝜂2

. Essa equação mostra como varia a impedância de onda ao longo dapropagação e é análoga à transformação de impedâncias em linhas de transmissão.

Em particular, na interface em 𝑧 = 𝑑 a impedância de onda vista á direita será:

𝑍(−𝑑+) = 𝜂2𝜂3 + 𝑖𝜂2 tan(𝛽2𝑑)𝜂2 + 𝑖𝜂3 tan(𝛽2𝑑) ⇔ 𝐚𝑦 ⋅ 𝐇2(−𝑑) = 𝐚𝑥 ⋅ 𝐄2(−𝑑)

𝑍(−𝑑+)

Imediatamente obtemos o coeficiente de reflexão total encontrado pela onda no meio 1:

Γin =𝐸−

1𝐸+

1=

𝑍(−𝑑+) − 𝜂1𝑍(−𝑑+) + 𝜂1

Incidência oblíqua em interface dielétrica(Cheng 8-10; Sadiku 10.9)

𝐚𝑘𝑖

𝐚𝑘𝑟𝐚𝑘𝑡

𝜃𝑖

𝜃𝑟 𝜃𝑡

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜇2, 𝜀2

Consideramos finalmente o caso de incidência oblíqua em interfacedielétrica.

A partir dos cenários anteriores já sabemos que as componentesdas constantes de propagação nas direções tangenciais à interfacedeverão ser iguais. Assim:

𝛽1 sin 𝜃𝑖 = 𝛽1 sin 𝜃𝑟 = 𝛽2 sin 𝜃𝑡 ⇔

⇔⎧{⎨{⎩

𝜃𝑟 = 𝜃𝑖𝑛1 sin 𝜃𝑖 = 𝑛2 sin 𝜃𝑡

onde 𝑛𝑗 = √𝜇𝑗𝑟𝜀𝑗𝑟 = 𝑐√𝜇𝑗𝜀𝑗 é o índice de refração do meio 𝑗 ∈{1, 2}. Essas relações são as Leis de Snell para reflexão e refração,respectivamente.

Note que essas valem para qualquer polarização de onda incidente.

Reflexão totalDa Lei de Snell para refração: sin 𝜃𝑡 = 𝑛1

𝑛2sin 𝜃𝑖

Se 𝑛1 > 𝑛2 existe um ângulo de incidência para o qual o ângulo de transmissão atinge 𝜋2 . Esse

ângulo é chamado de ângulo crítico 𝜃𝑐, pois para 𝜃𝑖 > 𝜃𝑐 a expressão anterior não resulta em umângulo 𝜃𝑡 real.

𝜃𝑖 > 𝜃𝑐 = arcsin 𝑛2𝑛1

⇒ sin 𝜃𝑡 = 𝑛1𝑛2

sin 𝜃𝑖 > 1

Nessa situação ocorre a reflexão total. Matematicamente:

𝐚𝑘𝑡= 𝐚𝑥 sin 𝜃𝑡 + 𝐚𝑧 cos 𝜃𝑡 = 𝐚𝑥

𝑛1𝑛2

sin 𝜃𝑖 ± 𝐚𝑧𝑖√(𝑛1𝑛2

)2

sin2 𝜃𝑖 − 1 ⇒

⇒ 𝑒−𝑖𝛽2𝐚𝑘𝑡 ⋅𝐫 = 𝑒−𝛼2𝑧𝑧𝑒−𝑖𝛽2𝑥𝑥

com 𝛽2𝑥 = 𝛽2𝑛1𝑛2

sin 𝜃𝑖 e 𝛼2𝑧 = 𝛽2√𝜇1𝜀1𝜇2𝜀2

sin2 𝜃𝑖 − 1, resultando em uma onda evanescentetransmitida para o meio 2.

Polarização perpendicular

𝐄𝑖 = 𝐚𝑦𝐸0𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑖+𝑧 cos 𝜃𝑖)

𝐇𝑖 = (−𝐚𝑥 cos 𝜃𝑖 + 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑖)𝐸0𝜂1

𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑖+𝑧 cos 𝜃𝑖)

𝐄𝑟 = 𝐚𝑦𝐸0𝑟𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑟−𝑧 cos 𝜃𝑟)

𝐇𝑟 = (𝐚𝑥 cos 𝜃𝑟 + 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑟) 𝐸0𝑟𝜂1

𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑟−𝑧 cos 𝜃𝑟)

𝐄𝑡 = 𝐚𝑦𝐸0𝑡𝑒−𝑖𝛽2(𝑥 sin 𝜃𝑡+𝑧 cos 𝜃𝑡)

𝐇𝑡 = (−𝐚𝑥 cos 𝜃𝑡 + 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑡)𝐸0𝑡𝜂2

𝑒−𝑖𝛽2(𝑥 sin 𝜃𝑡+𝑧 cos 𝜃𝑡)

Em 𝑧 = 0 usamos as condições de continuidade dos campostangenciais:

𝐚𝑦 ⋅ (𝐄𝑖 + 𝐄𝑟 − 𝐄𝑡) = 0 𝐚𝑥 ⋅ (𝐇𝑖 + 𝐇𝑟 − 𝐇𝑡) = 0

𝐚𝑘𝑖

𝐇𝑖

𝐄𝑖

𝐚𝑘𝑟 𝐇𝑟

𝐄𝑟𝐚𝑘𝑡

𝐇𝑡

𝐄𝑡

𝜃𝑖

𝜃𝑟 𝜃𝑡

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜇2, 𝜀2

Reflexão e refração perpendicularesÉ simples obtermos novamente as Leis de Snell e os coeficientes de reflexão e transmissão paraincidência oblíqua com polarização perpendicular:

Γ⊥ = 𝐸0𝑟𝐸0

= 𝜂2 cos 𝜃𝑖 − 𝜂1 cos 𝜃𝑡𝜂2 cos 𝜃𝑖 + 𝜂1 cos 𝜃𝑡

𝜏⊥ = 𝐸0𝑡𝐸0

= 2𝜂2 cos 𝜃𝑖𝜂2 cos 𝜃𝑖 + 𝜂1 cos 𝜃𝑡

Novamente é válida a relação 1 + Γ⊥ = 𝜏⊥.

Como o coeficiente de reflexão depende da diferença das impedâncias intrínsecas e do ângulo deincidência, é possível que ele seja nulo sem que as impedâncias sejam iguais. O ângulo em queesse fenômeno ocorre é chamado ângulo de Brewster.

𝜂2 cos 𝜃𝐵⊥ = 𝜂1 cos 𝜃𝑡 = 𝜂1√1 − (𝑛1𝑛2

)2

sin2 𝜃𝐵⊥ ⇔

⇔ sin 𝜃𝐵⊥ =√√√√

⎷

1 − 𝜇1𝜀2𝜇2𝜀1

1 − (𝜇1𝜇2

)2

Polarização paralela

𝐄𝑖 = (𝐚𝑥 cos 𝜃𝑖 − 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑖) 𝐸0𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑖+𝑧 cos 𝜃𝑖)

𝐇𝑖 = 𝐚𝑦𝐸0𝜂1

𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑖+𝑧 cos 𝜃𝑖)

𝐄𝑟 = (𝐚𝑥 cos 𝜃𝑟 + 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑟) 𝐸0𝑟𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑟−𝑧 cos 𝜃𝑟)

𝐇𝑟 = −𝐚𝑦𝐸0𝑟𝜂1

𝑒−𝑖𝛽1(𝑥 sin 𝜃𝑟−𝑧 cos 𝜃𝑟)

𝐄𝑡 = (𝐚𝑥 cos 𝜃𝑡 − 𝐚𝑧 sin 𝜃𝑡) 𝐸0𝑡𝑒−𝑖𝛽2(𝑥 sin 𝜃𝑡+𝑧 cos 𝜃𝑡)

𝐇𝑡 = 𝐚𝑦𝐸0𝑡𝜂2

𝑒−𝑖𝛽2(𝑥 sin 𝜃𝑡+𝑧 cos 𝜃𝑡)

Em 𝑧 = 0 usamos as condições de continuidade dos campostangenciais:

𝐚𝑥 ⋅ (𝐄𝑖 + 𝐄𝑟 − 𝐄𝑡) = 0 𝐚𝑦 ⋅ (𝐇𝑖 + 𝐇𝑟 − 𝐇𝑡) = 0

𝐚𝑘𝑖

𝐄𝑖

𝐇𝑖

𝐚𝑘𝑟 𝐄𝑟

𝐇𝑟𝐚𝑘𝑡

𝐄𝑡

𝐇𝑡

𝜃𝑖

𝜃𝑟 𝜃𝑡

𝑥

𝑧𝑦

𝜇1, 𝜀1 𝜇2, 𝜀2

Reflexão e refração paralelasNovamente obtemos as leis de Snell e os coeficientes de reflexão e transmissão:

Γ∥ = 𝐸0𝑟𝐸0

= 𝜂2 cos 𝜃𝑡 − 𝜂1 cos 𝜃𝑖𝜂2 cos 𝜃𝑡 + 𝜂1 cos 𝜃𝑖

𝜏∥ = 𝐸0𝑡𝐸0

= 2𝜂2 cos 𝜃𝑖𝜂2 cos 𝜃𝑡 + 𝜂1 cos 𝜃𝑖

Nesse caso a relação entre os coeficientes é 1 + Γ∥ = 𝜏∥cos 𝜃𝑡cos 𝜃𝑖

.

O ângulo de Brewster para o caso da polarização paralela é:

𝜂1 cos 𝜃𝐵∥ = 𝜂2 cos 𝜃𝑡 = 𝜂2√1 − (𝑛1𝑛2

)2

sin2 𝜃𝐵∥ ⇔

⇔ sin 𝜃𝐵∥ =√√√√

⎷

1 − 𝜇2𝜀1𝜇1𝜀2

1 − (𝜀1𝜀2

)2

Para o caso de materiais não magnéticos ou com mesmas permeabilidades: 𝜃𝐵∥ = arctan 𝑛2𝑛1

.

Exercícios sugeridos

Cheng:

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• P.8-25

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• P.8-34

• P.8-41

• P.8-46

Sadiku:

• P 10.48

• P 10.58

• P 10.60