Eletromagnetismo Newton Mansur

O campo Elétrico

E

1

q1

Q

EQF

O campo elétrico obedece o princípio de superposição, isto é, se dois

campos elétricos, de duas cargas diferentes, forem aplicados no mesmo

ponto, o campo elétrico total será a soma vetorial dos dois.

rr

qkE ˆ

2

1

Lei de

Coulomb

x

y

z

𝑟 1

𝑟 2

𝑥2 𝑥1

𝑦1

𝑦2

𝑧2

𝑧1

𝑟 21

𝑟 21 𝑟 21 = 𝑟 2 − 𝑟 1

𝑟 1 = 𝑥1𝑥 + 𝑦1𝑦 + 𝑧1𝑧 𝑟 2 = 𝑥2𝑥 + 𝑦2𝑦 + 𝑧2𝑧

= 𝑥2 − 𝑥1 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧

𝑟 21 =𝑟 21𝑟 21

=𝑥2 − 𝑥1 𝑥 + 𝑦2 − 𝑦1 𝑦 + 𝑧2 − 𝑧1 𝑧

𝑥2 − 𝑥12 + 𝑦2 − 𝑦1

2 + 𝑧2 − 𝑧12

𝐸21 =1

4𝜋𝜀0

𝑞1𝑟 2 − 𝑟 1 2

𝑟 21

Se temos N cargas aplicando Campo Elétrico

no ponto em r2

𝐸𝑇 = 1

4𝜋𝜀0

𝑞𝑛𝑟 2 − 𝑟 𝑛 2

𝑟 2𝑛

𝑁

𝑛=1

𝑟 2𝑛 𝑟 2𝑛

𝑟 𝑛

• Cálculo de Campo Elétrico Elementos Contínuos

23

22322

cos

z+R

dqzk=

r

dqzk=

r

z

r

dqk=θ

r

dqk=dEz

q r z

R

2r

dqk=dE

23

222

322 z+R

Qzk=E

z+R

dqzk=dE zz

x

y

z

• Linhas de Carga

𝑑𝐸𝐿 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝐿𝑑𝑙

𝑅2𝑎 𝑅

𝜆 = 𝜌𝐿 𝑅

𝑎 𝑅

𝑑𝑞= 𝜌𝐿𝑑𝑙

𝑑𝐸𝐿

𝑑𝐸𝐿 𝑎 𝑅

𝑅

𝑑𝑞= 𝜌𝐿𝑑𝑙

𝐸𝐿 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝐿𝑑𝑙

𝑅2𝑎 𝑅

z

r

R r

z

dz

Campo elétrico de um fio fino

q

z’

q

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝑑𝑞

𝑅2 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑧 𝑅 = 𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 2

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 22

𝑑𝐸𝜌 = 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 =1

4𝜋𝜀0

𝑟𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 23

2 =

1

4𝜋𝜀0

𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 22

𝑟

𝑅

𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 =1

4𝜋𝜀0

𝑧 − 𝑧′ 𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 23

2 =

1

4𝜋𝜀0

𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 22

𝑧 − 𝑧′

𝑅

𝑑𝐸𝑟

𝑑𝐸𝑧

𝑑𝐸

𝐸𝑧 =𝜆

4𝜋𝜀0

𝑧 − 𝑧′ 𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 23

2

𝑧2

𝑧1

=𝜆

4𝜋𝜀0[−

1

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 2]𝑧2𝑧1

𝐸𝜌 =𝑟𝜆

4𝜋𝜀0

𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 23

2

𝑧2

𝑧1

=𝑟𝜆

4𝜋𝜀0[−

𝑧 − 𝑧′

𝑟2 𝑟2 + 𝑧 − 𝑧′ 2]𝑧2𝑧1

z

ρ

r ρ

z

dz

Campo elétrico de um fio

fino

q

z’

q

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝑑𝑞

𝑟2

𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑧

𝑟 = 𝜌2 + 𝑧 − 𝑧′ 2

𝑑𝐸𝜌

𝑑𝐸𝑧

𝑑𝐸

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜌2𝜆𝜌𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃=

1

4𝜋𝜀0

𝜆𝑑𝜃

𝜌

𝑑𝐸𝜌 = 𝑑𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝑑𝐸𝑧 = 𝑑𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑧 − 𝑧′

𝜌 𝑑𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑑𝜃𝑑𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 =

𝑑𝑧

𝜌

𝑐𝑜𝑠𝜃 =𝜌

𝑟 𝑐𝑜𝑠2𝜃 =

𝜌2

𝑟2

𝑐𝑜𝑠2𝜃

𝜌2=

1

𝑟2

𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑧 = 𝜆𝜌𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 =𝜆𝜌𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠2𝜃

=1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃

𝜃2𝜃1

𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝜌−𝑐𝑜𝑠𝜃

𝜃2𝜃1

z

r

r

+ + + + + + + + + + + + + + + + + +

Campo elétrico de um fio fino

a b

L

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝛼2

−𝛼1

𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃

𝛼2

−𝛼1

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝑟𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧23

2

𝑏

−𝑎

𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝑧 − 𝑧′ 𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧23

2

𝑏

−𝑎

𝛼1 𝛼2

𝐸𝜌

𝐸𝑧

𝑎 + 𝑏 = 𝐿

z

r

r

+ + + + + + + + + + + + + + + +

Campo elétrico de um fio fino

a b

L

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝛼2

𝛼1

𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃

𝛼2

𝛼1

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝑟𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧23

2

𝑏

𝑎

𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝑧 − 𝑧′ 𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧23

2

𝑏

𝑎

𝛼1

𝛼2

𝐸𝜌

𝐸𝑧

+ + + + + + + + + + + + + + + +

Campo elétrico de um fio fino

L/2 L/2

Para o Fio Infinito

z

r

r

𝛼

𝐸𝜌

𝛼

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝛼

−𝛼

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝜆𝑑𝑧

𝑟2 + 𝑧23

2

𝐿2

−𝐿 2

𝐸𝑧 = 0

𝐸𝜌 =1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝜋2

−𝜋 2

=1

4𝜋𝜀0

𝜆

𝑟2 =

1

2𝜋𝜀0

𝜆

𝑟

• Superfície de Carga

𝑑𝐸𝑆 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑆𝑑𝑆

𝑅2𝑎 𝑅

𝜍 = 𝜌𝑆 𝑅

𝑎 𝑅

𝑑𝑞 = 𝜌𝑆𝑑𝑆

𝑑𝐸𝑆

𝑑𝐸𝑆 𝑎 𝑅

𝑅

𝑑𝑞 = 𝜌𝑆𝑑𝑆

𝐸𝑆 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑆𝑑𝑆

𝑅2𝑎 𝑅

Campo elétrico de um

disco

q r z

x

dE dEz

x

y

z

𝐸𝑆 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑆𝑑𝑆

𝑟2𝑎 𝑟

𝜍 = 𝜌𝑆

Campo elétrico de um

disco

x

dx

dΦ

𝑑𝑆 = 𝑥𝑑Φ𝑑𝑥

𝑑𝑆 = 𝑥2𝜋𝑑𝑥

Campo elétrico de um

disco

23

222222 4

1

4

1

z+x

dqz

πεz+x

z

z+x

dq

πε=dE

00

z

σ2πxdx=dq

2

3

22 )(

2

4

1

zx

xdxz

πε=dE

0

z

2200

2200

220

11

2ε

1

2ε

2

32ε z+Rz

z=

z+x

z=

z+x

xdxz=dE

RR

z

q r z

x

dE dEz

x

y

z

xdx2π=dS

Campo elétrico de um disco muito perto do centro

220

11

2ε z+Rz

z=Ez

x

y

z

Campo elétrico de um Plano infinito

Campo elétrico de um disco muito longe do centro

220

11

2ε z+Rz

z=Ez

x y

z

Campo elétrico de uma carga pontual

2

22 2

11

11

z

R

zz+R

2

0 2

11

11

2ε z

R

zz

zEz

2

0

2

2

0

2

0

1

ε44ε4ε z

Q

z

R

R

Q

z

R

z

Plano de Carga

y

x

𝑑𝐸

𝜌 Φ

𝑅

𝑎 𝑅

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝑑𝑞

𝑅2𝑎 𝑅

𝑑𝑞 = 𝜌𝑠𝑑𝑆 𝑄 = 𝜌𝑠𝑑𝑆

𝑎 𝜌

𝑎 𝑧 𝑅 = −𝜌𝑎 𝜌 + h𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝑆 = 𝜌𝑑Φ𝑑𝜌 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝜌𝑑Φ𝑑𝜌

𝜌2 + h2−𝜌𝑎 𝜌 + h𝑎 𝑧

𝜌2 + h2

𝑅 = 𝜌2 + h2

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝜌𝑑Φ𝑑𝜌

𝜌2 + h23

2 −𝜌𝑎 𝜌 + h𝑎 𝑧

z

Plano de Carga Infinito

𝑑𝐸𝑧

y

x

𝑑𝐸

𝜌 Φ

𝑅

𝑎 𝜌

𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝜌𝑑Φ𝑑𝜌

𝜌2 + h23

2 −𝜌𝑎 𝜌 + h𝑎 𝑧

𝑑𝐸𝜌

𝐸𝜌 = 0

𝑑𝐸𝜌

𝑑𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝜌ℎ𝑑Φ𝑑𝜌

𝜌2 + h23

2 𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝜌𝑑Φ𝑑𝜌

𝜌2 + h23

2

∞

0

2𝜋

0

𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑠ℎ

2𝜀0

𝜌𝑑𝜌

𝜌2 + h23

2

∞

0

𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑠ℎ

2𝜀0−

1

𝜌2 + h2∞0

𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑠2𝜀0

𝑎 𝑧

z Plano de Carga

𝑑𝐸𝑧

y

x

𝑑𝐸

𝑦

Φ

𝑅

𝑎 𝑦 𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝐸 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2 −𝑥𝑎 𝑥 − 𝑦𝑎 𝑦 + h𝑎 𝑧

𝑑𝐸𝑦 𝑑𝐸𝑥 = −

1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2 𝑎 𝑥

𝑑𝐸𝑦 = −1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2 𝑎 𝑦

𝑑𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠ℎ𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2 𝑎 𝑧

𝑥

𝑎 𝑥

𝑑𝐸𝑥

z Plano de Carga

𝑑𝐸𝑧

y

x

𝑑𝐸

𝑦

Φ

𝑅

𝑎 𝑦 𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝐸𝑦

𝑑𝐸𝑥 = −1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥𝑎 𝑥

𝑥

𝑎 𝑥

𝑑𝐸𝑥

𝐸𝑥 = −𝜌𝑠

4𝜋𝜀0

−1

𝑥2 + 𝑦2 + h2

𝑦2

𝑦1

𝑑𝑦𝑥2𝑥1

𝑎 𝑥

𝐸𝑥 =𝜌𝑠

4𝜋𝜀0𝑙𝑛 𝑦 + 𝑥2 + 𝑦2 + h2

𝑥2𝑥1

𝑦2𝑦1

𝑎 𝑥

z Plano de Carga

𝑑𝐸𝑧

y

x

𝑑𝐸

𝑦

Φ

𝑅

𝑎 𝑦 𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝐸𝑦

𝑥

𝑎 𝑥

𝑑𝐸𝑥

𝑑𝐸𝑥 = −1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠𝑥𝑑𝑥

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑦𝑎 𝑥

𝐸𝑥 = −𝜌𝑠

4𝜋𝜀0

𝑥𝑦

𝑥2 + h2 𝑥2 + 𝑦2 + h2

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥𝑦2𝑦1

𝑎 𝑥

Lâmina de carga infinita

𝐸𝑥 = −𝜌𝑠

2𝜋𝜀0

1

2𝑙𝑛 𝑥2 + h2

𝑥2𝑥1

𝑎 𝑥

𝑦1 → −∞ 𝑦2 → +∞

𝐸𝑥 = −𝜌𝑠

2𝜋𝜀0

𝑥

𝑥2 + h2

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑥 𝑎 𝑥

z Plano de Carga

𝑑𝐸𝑧

y

x

𝑑𝐸

𝑦

Φ

𝑅

𝑎 𝑦 𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝐸𝑦

𝑑𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠ℎ𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2 𝑎 𝑧

𝑥

𝑎 𝑥

𝑑𝐸𝑥 𝑑𝐸𝑧 =

𝜌𝑠ℎ

4𝜋𝜀0

1

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑎 𝑧

𝑑𝐸𝑧 =𝜌𝑠ℎ

4𝜋𝜀0

𝑦

𝑥2 + h2 𝑥2 + 𝑦2 + h2

𝑦2𝑦1

𝑑𝑥𝑎 𝑧

z Plano de Carga

𝑑𝐸𝑧

y

x

𝑑𝐸

𝑦

Φ

𝑅

𝑎 𝑦 𝑎 𝑧

ℎ

𝑑𝐸𝑦

𝑥

𝑎 𝑥

𝑑𝐸𝑥

Lâmina de carga infinita

𝑦1 → −∞ 𝑦2 → +∞

𝑑𝐸𝑧 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑠ℎ𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2 𝑎 𝑧

𝑑𝐸𝑧 =𝜌𝑠ℎ

4𝜋𝜀0

1

𝑥2 + 𝑦2 + h23

2

𝑥2

𝑥1

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑎 𝑧

𝑑𝐸𝑧 =𝜌𝑠ℎ

4𝜋𝜀0

𝑦

𝑥2 + h2 𝑥2 + 𝑦2 + h2

𝑦2𝑦1

𝑑𝑥𝑎 𝑧

𝑑𝐸𝑧 =𝜌𝑠ℎ

4𝜋𝜀0

2

𝑥2 + h2𝑑𝑥𝑎 𝑧 𝐸𝑧 =

𝜌𝑠ℎ

4𝜋𝜀0

2

𝑥2 + h2𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

𝑎 𝑧 =𝜌𝑠ℎ

2𝜋𝜀0

1

ℎ𝑡𝑎𝑛−1

𝑥

ℎ

𝑥2𝑥1

𝑎 𝑧

𝑥1 → −∞ 𝑥2 → +∞ 𝐸𝑧 =𝜌𝑠

2𝜋𝜀0𝜋𝑎 𝑧 =

𝜌𝑠2𝜀0

𝑎 𝑧

• Volume de Carga

𝐸𝑉 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑉𝑑𝑉

𝑅2𝑎 𝑅

𝜌 = 𝜌𝑉

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧 𝜃

𝑟 = 𝑝 − 𝑅 𝐸 =

1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑉𝑑𝑉

𝑟2𝑎 𝑟

𝑝 = 𝑝𝑧

𝑅 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧

𝑟 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑝 − 𝑧 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

1

𝑟2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑉 𝑧 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

𝑝 − 𝑧

𝑟

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

1

𝑟2𝑝 − 𝑧

𝑟𝑑𝑉 𝑧

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑟 = 𝑝 − 𝑅 𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧

𝜃 𝐸𝑧 =

𝜌𝑉4𝜋𝜀0

1

𝑟2𝑝 − 𝑧

𝑟𝑑𝑉 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑧

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

𝑟 = 𝑝 − 𝑅

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

1

𝑟2𝑝 − 𝑧

𝑟𝑑𝑉 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2

𝑎

−𝑎

𝑎

−𝑎

𝑎

−𝑎

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• Campo Elétrico de uma esfera

𝑟 = 𝑝 − 𝑅

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

1

𝑟2𝑝 − 𝑧

𝑟𝑑𝑉 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2

𝑎2−𝑥2

− 𝑎2−𝑥2

𝑎

−𝑎

𝑎

−𝑎

𝑑𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧

x

y

z

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧 𝜃

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2

𝑎2−𝑥2−𝑦2

− 𝑎2−𝑥2−𝑦2

𝑎

−𝑎

𝑎

−𝑎

𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧 𝜃

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2

𝑎2−𝑧2−𝑦2

− 𝑎2−𝑧2−𝑦2

𝑎

−𝑎

𝑎

−𝑎

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧 𝜃

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝜌2 + 𝑝 − 𝑧 23

2

2𝜋

0

𝑎2−𝑧2

0

𝑎

−𝑎

𝜌𝑑𝜑𝑑𝜌𝑑𝑧

𝜌

𝑑𝜌

𝑑𝜑

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑧

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑝 − 𝑧 23

2

𝑎2−𝑧2−𝑦2

− 𝑎2−𝑧2−𝑦2

𝑎

−𝑎

𝑎

−𝑎

𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧

𝜃

𝐸𝑉 =1

4𝜋𝜀0

𝜌𝑉𝑑𝑉

𝑟2𝑎 𝑟

𝑟 = 𝑝 − 𝑅 𝑟2 = 𝑝2 + 𝑅2 − 2p𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

α

α

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑑𝑉

𝑟2𝑐𝑜𝑠𝛼𝑎 𝑧

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝑝 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟3𝑑𝑉𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑑𝑉

𝑟2𝑝 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑟𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑝2 + 𝑅2 − 2p𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃3

2 𝑑𝑉𝑎 𝑧

𝑑𝑉 = 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑𝑑𝑅 𝐸𝑧 =

𝜌𝑉4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑝2 + 𝑅2 − 2p𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃3

2 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧

𝜃 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

α

α

𝑑𝑉 = 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑𝑑𝑅

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑝 − 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑝2 + 𝑅2 − 2p𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃3

2

𝜋

0

2𝜋

0

𝑎

0

𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

𝑙 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑙 = −𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃 𝑙 = 1 → −1

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

− 𝑝 − 𝑅𝑙

𝑝2 + 𝑅2 − 2p𝑅𝑙3

2

−1

1

2𝜋

0

𝑎

0

𝑅2𝑑𝑙𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

𝑢 = 𝑝 − 𝑅𝑙 𝑑𝑢 = −𝑅𝑑𝑙 𝑢 = 𝑝 − 𝑅 → 𝑝 + 𝑅

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑢

𝑅 𝑝2 + 𝑅2 − 2p𝑅𝑝 − 𝑢

𝑅

32

𝑝+𝑅

𝑝−𝑅

2𝜋

0

𝑎

0

𝑅2𝑑𝑢𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

𝑙 =𝑝 − 𝑢

𝑅 𝑑𝑙 =

−𝑑𝑢

𝑅

• Campo Elétrico de uma esfera

x

y

z

x y

z

𝑅

𝑟 𝑝

𝑑𝐸 𝑑𝐸𝑧

𝜃 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃

α

α

𝑑𝑉 = 𝑅2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑𝑑𝑅

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

𝑢

𝑅 𝑅2 − 𝑝2 + 2p𝑢3

2

𝑝+𝑅

𝑝−𝑅

2𝜋

0

𝑎

0

𝑅2𝑑𝑢𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

𝑢𝑑𝑢

𝑎 + b𝑢3

2 = 2𝑎 + 𝑏𝑢

2

𝑏2 𝑎 + b𝑢

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0

2 𝑅2 − 𝑝2 + 2𝑝𝑢

𝑅2𝑝2 𝑅2 − 𝑝2 + 2p𝑢

2𝜋

0

𝑎

0

𝑝 + 𝑅𝑝 − 𝑅

𝑅2𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0𝑝2

𝑅 + 𝑝

𝑅 + 𝑝−

𝑅 − 𝑝

𝑅 − 𝑝

2𝜋

0

𝑎

0

𝑅2𝑑𝜑𝑑𝑅𝑎 𝑧

𝐸𝑧 =𝜌𝑉

4𝜋𝜀0𝑝22.2𝜋

𝑎3

3𝑎 𝑧 =

𝜌𝑉43 𝜋𝑎

3

4𝜋𝜀0𝑝2𝑎 𝑧 =

1

4𝜋𝜀0

𝑄

𝑝2𝑎 𝑧

Transformação de Coordenadas

▪ Versor Vetor unitário, adimensional, que define direção e sentido de um vetor

x

y

𝐴

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦 𝐴 = 𝐴𝑎 𝐴

𝑎 𝐴

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

𝐴 𝑥 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥

𝐴 𝑦 = 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦

𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴𝑎 𝐴 = 𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝑎 𝑥 + 𝐴𝑦𝑎 𝑦

𝐴

𝑎 𝐴 =𝐴𝑥𝐴

𝑎 𝑥 +𝐴𝑦𝐴

𝑎 𝑦 𝜃

𝑎 𝐴 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑦

𝑎 𝐴 =𝐴

𝐴

▪ Representação vetorial em coordenadas cartesianas

𝑉 = 𝑉𝑥𝑎 𝑥 + 𝑉𝑦𝑎 𝑦 + 𝑉𝑧𝑎 𝑧

x

y

𝑉

𝑉𝑥

𝑉𝑦

𝑎 𝑥

𝑎 𝑦

z

𝑎 𝑧 𝑉𝑧

Transformação de Coordenadas

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑑𝑆 = 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑎 𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑎 𝑦 + 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑎 𝑧

𝑑𝑙 = 𝑑𝑥𝑎 𝑥 + 𝑑𝑦𝑎 𝑦 + 𝑑𝑧𝑎 𝑧

▪ Representação vetorial em coordenadas cilíndricas

Transformação de Coordenadas

𝜌 = 𝜌𝑥𝑎 𝑥 + 𝜌𝑦𝑎 𝑦

𝜌

𝜌

𝑧 𝑧

𝜑 𝜑

𝑧

𝑥

𝑦

𝜌 =𝜌𝑥𝑎 𝑥 + 𝜌𝑦𝑎 𝑦

𝜌

𝜌 = 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑎 𝑦

𝜑 = −𝑠𝑒𝑛𝜑𝑎 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑎 𝑦

𝑧 = 𝑎 𝑧

𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝜑𝑑𝜌𝑑𝑧

𝑑𝑙 = 𝑑𝜌𝜌 + 𝜌𝑑𝜑𝜑 + 𝑑𝑧𝑧

𝑑𝑆 = 𝜌𝑑𝜑𝑑𝑧𝜌 + 𝑑𝜌𝑑𝑧𝜑 + 𝜌𝑑𝜑𝑑𝜌𝑧

𝑎 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝜑𝜌 − 𝑠𝑒𝑛𝜑𝜑

𝑎 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝜑𝜌 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝜑

𝑎 𝑧 = 𝑧

▪ Representação vetorial em coordenadas esféricas

Transformação de Coordenadas

𝑟

𝑟

𝜃

𝜑

𝑟 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑎 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑𝑎 𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎 𝑧

𝑟 =𝑟𝑥𝑎 𝑥 + 𝑟𝑦𝑎 𝑦 + 𝑟𝑧𝑎 𝑧

𝑟 𝑟 = 𝑟𝑥𝑎 𝑥 + 𝑟𝑦𝑎 𝑦 + 𝑟𝑧𝑎 𝑧

𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑎 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑𝑎 𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑎 𝑧

𝜑 = −𝑠𝑒𝑛𝜑𝑎 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑎 𝑦

𝑎 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑𝜃 − 𝑠𝑒𝑛𝜑𝜑

𝜑 = −𝑠𝑒𝑛𝜑𝑎 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑎 𝑦

𝑎 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑𝑟 + 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝜑

𝑑𝑉 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃𝑑𝑟

𝑑𝑙 = 𝑑𝑟𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝜃 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝜑

𝑑𝑆 = 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝜃𝑟 + 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜑𝑑𝑟𝜃 + 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝜑