Notas de Clase Teoría ElectromagnØtica · 2017. 7. 19. · Notas de Clase Teoría ElectromagnØtica Neil Anais Torres López, MSc. Francisco J. Racedo Niebles, ... Facultad de Ciencias

Notas de ClaseTeoría Electromagnética

Neil Anais Torres López, MSc.Francisco J. Racedo Niebles, Ph.D.

Facultad de Ciencias BásicasFísica

Barranquilla2010

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA

NEIL TORRES LÓPEZ FRANCISCO RACEDO NIEBLES

ISBN: 978-958-8123-82

UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

RECTORA ANA SOFIA MESA DE CUERVO

VICERECTOR ADMINISTRATIVO Y FINANCIEROFREDDY DÍAZ

VICERECTOR DE DOCENCIA FERNANDO CABARCAS CHARRIS

VICERECTORA DE INVESTIGACIÓN, EXTENSIÓN Y PROYECCIÓN SOCIAL RAFAELA VOS OBESO

DECANO FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS LUÍS CARLOS GUTIÉRREZ MORENO

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN

PORTADA

IMPRESIÓN

TIRAJE300 LIBROS

EL MATERIAL DE ESTA PUBLICACIÓN NO PUEDE SER REPRODUCIDO SIN LA AUTORIZACIÓN DE LOS AUTORES Y EDITORES. LA RESPONSABILIDAD DEL CONTENIDO DE ESTE TEXTO CORRESPONDE A SUS AUTORES.

IMPRESO Y HECHO EN COLOMBIA

©UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO BARRANQUILLA, 2010

CHRISTIAN VEIGT

Índice general

Prólogo VII

1. Ecuaciones de Maxwell 31.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Carga Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5. Polarización y Desplazamiento Eléctrico . . . . . . . . . . . . 101.6. Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.7. Magnetización y Campo Magnético . . . . . . . . . . . . . . . 231.8. Ley de Inducción de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.9. Corriente de Desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.10. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.11. Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.11.1. Caso Electrostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.11.2. Caso Magnetostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. Electrostática en el Vacío 352.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2. Potencial Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2. Solución de la Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . 402.3.3. Solución de la Ecuación de Laplace . . . . . . . . . . . 45

2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5. Problemas Varios de los Capítulos 1 y 2 . . . . . . . . . . . . 57

iii

iv ÍNDICE GENERAL

3. Electrostática en la Materia 613.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. Dieléctricos Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.3. Dieléctricos Lineales Isotrópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4. Dieléctricos Lineales Isotrópicos Homogéneos (l; i; h) . . . . . . 63

3.4.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.4.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.5. Cavidad. �De�niciones�de E y D: . . . . . . . . . . . . . . . 733.6. Energía Electrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.6.1. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.8. Problemas Varios Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4. Campos y Corrientes Estacionarios 854.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2. Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.3. Magnetostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.3.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.4. Potencial Escalar Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5. Problemas con Valores en la Frontera . . . . . . . . . . . . . . 92

4.5.1. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5.2. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6. Potencial Vectorial Magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.7. Inductancia y Energía Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.7.1. Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.8. Energía Magnetostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.10. Problemas Varios Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5. Ondas Electromagnéticas 1095.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2. Ecuación de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.3. Ondas E.M. Planas en un Diléctrico (l; i; h) . . . . . . . . . . 111

5.3.1. Solución de la Ecuación de Onda . . . . . . . . . . . . 1125.4. Ondas E.M. Planas en un Conductor (l; i; h) . . . . . . . . . . 1165.5. Potenciales Retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5.1. Solución de Ecuaciones de Onda . . . . . . . . . . . . . 1215.6. Flujo de Potencia E.M. y Vector de Poynting . . . . . . . . . . 123

ÍNDICE GENERAL v

5.7. Uso de los Campos Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.8. Flujo de Energía en una Onda E.M. Plana . . . . . . . . . . . 1275.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

6. Propagación de Ondas E.M. 1316.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.2. Condiciones en la Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.3. R. y R. en la Frontera de dos Medios no Conductores. I.N. . . 1366.4. R. y R. en la Frontera de dos Medios no Conductores. I.O. . . 1406.5. Re�exión en un Plano Conductor. I.N. . . . . . . . . . . . . . 144

7. Lineas de Transmisión y Guias de Onda 1497.1. Existencia y De�nición de modo en una Linea de Transmisión 150

7.1.1. Lineas de Transmisión Sin Perdidas . . . . . . . . . . . 1507.1.2. Lineas de Transmisión Con Perdidas . . . . . . . . . . 151

7.2. Caracteristicas de el Modo TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . 1517.3. Cable de Transmisión Coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587.4. Análisis de Lineas de Transmisión . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5. Guias de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.6. Modos TM en Guias de Onda Rectangulares . . . . . . . . . . 1697.7. Modos TE en Guias de Ondas Rectangulares . . . . . . . . . . 171

7.7.1. La longitud de onda de corte . . . . . . . . . . . . . . . 1727.7.2. La velocidad de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1727.7.3. La Longitud de Onda de la Guia . . . . . . . . . . . . 173

7.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8. Formulación Covariante de las Ecuaciones de Maxwell 177

8.1. Teória de la Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . 1778.2. Conservación de la Carga en la Formulación Covariante . . . . 183

8.2.1. Conservasión de la Carga Eléctrica . . . . . . . . . . . 1838.3. Formulación Covariante para la Ecuación de Onda para los

Pontenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.4. Forma del Campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.4.1. Transformación de Campos Entre Sistemas Inerciales . 1968.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

vi ÍNDICE GENERAL

A. Expresiones Matemáticas Importantes 201A.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201A.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202A.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203A.5. Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204A.6. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Agradecimientos 207

Prólogo

Los tiempos han cambiado, y hoy el interés principal se centra en los orígenes,propiedades y naturaleza de los campos electromagnéticos, es decir, de lascantidades eléctricas y magnéticas vectoriales que se de�nen en función deltiempo y de la posición en el espacio. Las fuerzas y sus conceptos relacionados,tales como la energía, no ha dejado desde luego de tener importancia y esconveniente iniciar el estudio con las fuerzas y de�nir los vectores de campo enfunción de ellas. Sin embargo, la intensión principal consiste en expresar lasdiscrepancias de los fenómenos en función de los campos de una manera tancompleta como sea posible. Este énfasis sobre los campos ha demostrado serde gran utilidad, y resulta ahora difícil de imaginar cómo se hubiera podidodesarrollar la teoría electromagnética hasta su actual nivel sin el uso de loscampos.Estas Notas constituyen el contenido del curso de Teoría Electromagnéticaque se imparte en la Especialización en Física General y en el pregrado enFísica de la Universidad del Atlántico. El curso comienza con la presentaciónde las ecuaciones de de Maxwell, luego se aplican para el espacio libre y paramedios con propiedades eléctricas y magnéticas bien de�nidas, se culmina re-solviendo las ecuaciones para llegar las ondas electromagnéticas y su propoa-gación en diferentes medios. Para una mejor compresión del desarrolo de estecurso es necesario tener muy claro los conocimientos básicos del analisis vec-torial, un resumen de lo que necesita se presenta en el apéndice A. Se suponeademás que el estudiante está familiarizado con los aspectos y los fenómenoselementales de la Electricidad y del Magnetismo: Ley de Coulomb, Inducciónelectromagnética, campos magnéticos creados por corriente eléctricas, fuerzade Lorenz, etc. Sin embargo se revisaran algunos conceptos básicos.Es necesario aclarar que temas muy importantes como el Método de Ima-genes para la solución de problemas electrostáticos y la teoria de radiacion

vii

viii PREFACE

por cargas puntuales seran desarrollados como trabajo independiente de losestudiantes.Estas notas están diseñadas tomado como fuente varios autores y así facilitarel trabajo para los estudiantes, pero los autores agradecen cualquier sugeren-cia por parte de colegas y estudiantes para mejorarlas.

NEIL TORRES LÓ[email protected]

FRANCISCO RACEDO [email protected]

Barranquilla, Mayo 10 de 2010

PREFACE 1

...Faraday visualizaba líneas de fuerza que atravesaban todo el espaciodonde los matemáticos sólo veían centros de fuerza que actuaban a distancia;Faraday veía un medio donde ellos únicamente veían distancia; Faraday buscóla fuente de los fenómenos a partir de acciones reales que se llevaban a caboen el medio, mientras aquéllos quedaron satisfechos con haberla encontradoen el poder de acción a distancia de los �uidos eléctricos.- J. C. Maxwell,Tratado de Electricidad y Magnetismo

2 PREFACE

Capítulo 1

Ecuaciones de Maxwell

1.1. Introducción

Las cuatro ecuaciones que se van estudiar, denominadas ecuaciones de Maxwell,representan una generalización de algunas observaciones experimentales. Sinembargo, la aplicabilidad a cualquier situación puede ser veri�cada. Comoresultado del extenso trabajo experimental, se sabe ahora que las ecuacionesde Maxwell se aplican a casi todas las situaciones macroscópicas y se usangeneralmente, como la conservación del momentum, como principio guía.

1.2. Carga Eléctrica

La carga eléctrica es una propiedad fundamental y característica de laspartículas elementales que forman la materia. Todo material está compuestofundamentalmente por protones, neutrones y electrones, y dos de estas partícu-las tienen carga.Existen dos y sólo dos tipos de carga, la positiva que reside en los protones yla negativa que reside en los electrones; los neutrones no tienen carga. Cadaelectrón y protón, en valor absoluto, la carga elemental e = 1;60217733 �10�19C. La carga eléctrica está �cuantizada�, es decir toda carga existenteen la naturaleza es un múltiplo entero de la carga elemental.Es una observación experimental que la carga no puede crearse ni destruirse;la carga total en un sistema cerrado no puede cambiar, desde un punto devista macroscópico las cargas pueden reagruparse y combinarse en distintasformas; sin embargo, se puede establecer que la carga neta se conserva en

3

4 CAPÍTULO 1. ECUACIONES DE MAXWELL

un sistema cerrado; esto se conoce como el Principio de Conservación de laCarga y está determinado por la Ecuación de Continuidad que se deduce acontinuación.Se sabe que la densidad de corriente está relacionada con la densidad volumétri-ca de carga por:

J = �v (1.1)

donde v es la velocidad de desplazamiento de los portadores de carga. Porotro lado se tiene que la corriente que atravieza una super�cie S es

I =

ZZS

J�bn da (1.2)

Considerando una super�cie cerrada S arbitraria que limita a un volumenV , la corriente será

I = �Z ZS; cerrada

J�bn da (1.3)

el signo menos se debe a que bn es la normal hacia afuera y se desea considerarque I es positiva cuando el �ujo neto de carga es del exterior al interior deV . Utilizando el teorema de la divergencia se tiene

I = �Z ZS; cerrada

J�bn da = �ZZZV

r � J dv (1.4)

además

I =dQ

dt=

d

dt

ZZZV

� dv (1.5)

de la dos últimas ecuaciones se llega a

�ZZZ

V

r � J dv = ddt

ZZZV

� dv =)ZZZ

V

�r � J+@�

dv

�dv = 0.

Como V es un volumen arbitrario, entonces

r � J+@�dv= r � (�v) + @�

dv= 0 Ecuación de Continiudad (1.6)

1.3. LEY DE COULOMB 5

Figura 1.1: Sistema de dos cargas puntuales q y q0

1.3. Ley de Coulomb

Hacia �nes del siglo XVIII las ténicas experiementales de la ciencia lograronsu�ciente perfeccionamiento para hacer posible observaciones re�nadas delas fuerzas entre cargas eléctricas. Los resultados de estas observaciones, queeran extremadamente discutidas en aquella epoca, pueden resumirse en tresexpresiones:� Hay dos y sólo dos tipos de carga, conocidas ahora como positiva y negativa.� Dos cargas puntuales ejercen entre sí fuerzas que actúan sobre la línea quelas une y que son inversamente proporcionales del cuadrado de su distanciade separación.� Estas fuerzas son también proporcionales al producto de las cargas, sonrepulsivas para cargas del mismo tipo, y actractivas para cargas de tipos con-trarias.Las dos últimas expresiones, con la primera como preámbulo, se conocencomo Ley de Coulomb en honor a Charles Augustin Coulomb, quien fueuno de los destacados estudiantes de electricidad del siglo XVIII.Esto se puede expresar, utilizando la �gura 1.1, como

Fq0 = kqq0

r2br = k

qq0r

r3(1.7)

La constante de proporcinalidad k es k = 8;98755 � 109Nm2C�2, también


Figura 1.2: Sitema de n cargas puntuales que interaccionan con la carga q0:

puede expresarse como, k = 14��0

; donde �0 es la permitividad eléctrica delespacio libre, �0 = 8;854187817� 10�12C2N�1m�2. Ahora sepuede escribir laley de Coulomb de la siguiente manera

Fq0 =1

4��0

qq0r

r3(1.8)

Cuando se tiene un sistema de cargas puntuales q1; q2; � � � ; qi; � � � ; qn, comoel que se muestra en �gura 1.2, se puede hallar la fuerza sobre la carga q0

superponiendo la n fuerzas

Fq0 =nXi=1

1

4��0

qiq0rir3i

= q0nXi=1

1

4��0

qirir3i

(1.9)

Se de�ne el campo eléctrico E como la fuerza por unidad de carga

Fq0 = q0E (1.10)

comparando con la ecuación 1.9 se llega a

E =1

4��0

nXi=1

qirir3i

=1

4��0

nXi=1

qibrir2i

(1.11)

1.4. TEOREMA DE GAUSS 7

Figura 1.3: Distribución continua de carga en un volumen V0, donde �t es la densi-dad volumétrica de carga eléctrica, también se puede dar el caso de estar distribuidaen una super�cie o un hilo.

Para una distribución contínua de carga, como en la �gura 1.3, se tiene que

E =1

4��0

ZZZV0

�tbrdvr2

(1.12)

1.4. Teorema de Gauss

En esta sección se demostrará queZ ZS; cerrada

E� da =Q�0=1

�0

Xi

qi (1.13)

dondeQ =Xi

qi es igual a la carga total contenida en un volumen V limitado

por la super�cie cerrada S; como se muestra en la �gura 1.4Se utiliza la ecuación 1.11 para escribirZ Z

S; cerrada

E� da = 1

4��0

Xi

qi

Z ZS; cerrada

bri � dar2i

(1.14)


Figura 1.4: Una super�cie cerrada S que limita un volumen V , donde reside unacarga eléctrica neta Q:

Figura 1.5: Evaluación del teorema de Gauss en el caso en que la carga qi estédentro de la super�cie cerrada S.

1.4. TEOREMA DE GAUSS 9

Figura 1.6: Evaluación del teorema de Gauss cuando la carga qi esté en el exteriorde la super�e cerrada S:

Considerando el caso en que qi esté dentro de la super�cie cerrada S, ver�gura 1.5

bri�dar2i

= da cos�r2i

= �area ? a rir2i

= d

este es elemento de ángulo sólido substendido por da a partir de qi.Por lo tanto Z Z

S; cerrada

bri � dar2i

=

Z ZS; cerrada

d = 4� (1.15)

Considerando el caso en que qi esté en el exterior de la super�cie cerrada S,como se observa en la �gura 1.6En este caso tenemos dos elementos de área da1 y da2 cada uno de los cualessubstiende el mismo ángulo sólido d respecto a la carga qi. Sin embargo,para da2 el sentido es hacia qi, mientras que para da1 es alejarse de qi. Porconsiguiente, las contribuciones de da1 y da2 son iguales y opuestas, o sea

da1 � brir2i1

= d = �da2 � brir2i2

(1.16)

por lo que la integral total Z ZS; cerrada

bri � dar2i

= 0 (1.17)


tomando los resultados obtenidos en las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.17 escribi-mosZ Z

S; cerrada

E�da = 1

4��0

XDentro

qi

Z ZS; cerrada

bri � dar2i

=1

�0

XDentro

qi =Q

�0(1.18)

pero se sabe que

Q =

ZZZV

�tdv

donde V es el volumen limitado por la super�cie cerrada S, entoncesZ ZS; cerrada

E�da = 1�0

ZZZV

�tdv (1.19)

Utlizando el teorema de la divergencia, se llega a:Z ZS; cerrada

E�da = 1�0

ZZZV

�tdv =

ZZZV

r � E dv.

Como V es un volumen arbitrario, se puede escribir

r � E =�t�0

(1.20)

1.5. Polarización y Desplazamiento Eléctrico

Hasta ahora, no se ha considerado el caso en que intervienen dieléctricos. Unmaterial dieléctrico ideal es el que no contiene cargas libres. Sin embargo,todos los medios materiales se componen de moléculas, éstas a su vez secomponen de entes cargados ( núcleos y electrones atómicos), y las moléculasde los dieléctricos son de hecho afectadas por la presencia de un campoeléctrico.El campo eléctrico produce una fuerza sobre cada partícula cargada, siendoimpulzadas las partículas de carga positiva en la dirección del campo, y lasnegativas en dirección opuesta, de modo que las partes positivas y negativas

1.5. POLARIZACIÓN Y DESPLAZAMIENTO ELÉCTRICO 11

Figura 1.7: El centro de la carga positiva sufre un desplazamiento d con respectoal centro de la carga negativa en la misma dirección del campo eléctrico externo,una con�guración como esta constituye un dipolo eléctrico.

de cada molécula se desplazan en sus posiciones de equilibrio en direccionesopuestas, conformamdo así los dipolos eléctricos, como el que se muestra enla �gura 1.7, a los cuales se le de�ne el momento dipolar eléctrico como

p =qd (1.21)

No obstante, estos deplazamientos están limitados (en la mayoría de los casosa fracciones muy pequeñas de un diámetro molecular) por intensas fuerzasrestauradoras que se forman por el cambio de la con�guración de la carga dela molécula. El efecto total desde el punto de vista macrocópico se visualizacon mayor claridad como un desplazamiento de toda la carga positiva enel dieléctrico con relación a la carga negativa. Se dice que el diléctrico estápolarizado.Se de�ne el vector polarización eléctrica como el promedio de los dipolos porunidad de volumen. Por ejemplo si se tienen N moléculas en un volumen Vde momento dipolar p, entonces la polarización es

P =Np

V(1.22)

Cuando la polarización es uniforme, la densidad promedio de carga positivaes numéricamente igual a la densidad de carga negativa y por lo tanto ladensidad de carga es cero. Cuando P no es uniforme las densidades de cargapositiva y negativa no se cancelan resultando así una densidad de carga neta,denominada �p: densidad de carga ligada o de polarización.


Cuando en un material hay tanto la densidad de carga libre � y la densidadde carga ligada �p, la densidad de carga total es

�t = �+ �p (1.23)

Por lo tanto la ecuación 1.20 se puede escribir como

r � (�0E) = �+ �p (1.24)

Se encontrará ahora la relación entre �p y la polarización P; se de�nen dosdensidades de carga �+ y �� como las que representan la carga total positivay la carga total negativa por unidad de volumen, respectivamente. Esto es �+

representa todos los núcleos atómicos en la unidad de volumen del materialy, semejantemente, �� tine en cuenta todos los electrones.En el estado no polarizado, cada elemento de volumen del dieléctrico es elec-tricamente neutro, por tanto

�+0 + ��0 = 0 (1.25)

donde el subíndice 0 representa las densidades en la con�guración no polar-izada.Suponiendo, que como consecuencia de la polarización la carga positiva se de-splaza

�!� +(x; y; z) y la negativa

�!� �(x; y; z). La carga positiva que atraviesa

un elemento de área da es �+0�!� +� da y así el aumento de carga positiva en

el elemento de volumen �v durante el proceso de polarización es

�Z Z�S; cerrada

�+0�!� +� da

donde �S es la super�cie cerrada que limita a �v. Análogamente, el de-splazamiento de la carga negativa aumenta la carga (disminuye la carga neg-ativa) Z Z

�S; cerrada

��0

��!� �� da

Por lo que el aumento total de la carga por el elemento de volumen �v,teniendo en cuenta la ecuación 1.23, es


�Qp = �ZZ�S

�+0

��!� + ��!� �

�� da = �

ZZZ�v

r �h�+0

��!� + ��!� �

�idv =

�r �h�+0

��!� + ��!� �

�i�v

y como podemos identi�car a P como

P =�+0

��!� + ��!� �

�lo cual quiere decir que �p =

�Qp�v, entonces

�p = �r �P (1.26)

Al remplazr en la ecuación 1.24, se obtiene r � (�0E) = ��r �P o sea

r � (�0E+P) = �

donde � es la densidad de carga libre. Es conveniente de�nir el vector De-splazamiento Eléctrico

D = �0E+P (1.27)

de tal manera quer �D = � (1.28)

esta es la llamada Ley de Gauss en forma diferencial, es una de las cuatroecuaciones de Maxwell.A continuación se analiza otra consecuencia de la ley de Coulomb, para locual se calcula la integral de línea del campo eléctrico producido por unsistema de cargas puntuales desde el punto 1 hasta el punto 2 de la �gura1.8

2Z1

E�dl = 1

4��0

nXi=1

qi

2Z1

bri � dlr2i

=1

4��0

nXi=1

qi

2Z1

drir2i= � 1

4��0

nXi=1

qi

�1

ri2� 1

ri1

�(1.29)

Este resultado nos indica que la integral de línea es independiente del camino,cuando ri2 = ri1 se tiene que I

E�dl =0


Figura 1.8: Trayectoria arbitaria entre los puntos 1 y 2 para comprobar que elcampo eléctrico, producido por un sistema de cargas puntuales, es consevativo.

entonces aplicando el teorema de StokesZZS

(r� E) � dl = 0

y como S es una super�e arbitraria, obtenemos

r� E =0 (1.30)

o sea el campo eléctrico dado por la ley de Coulomb es consevativo. Porconsiguiente se puede escribir

E = �r� (1.31)

donde � es la función potencial, además se observa que

2Z1

E�dl = �2Z1

r� � dl = �2Z1

d� = � (�2 � �1)


Figura 1.9: Dipolo eléctrico, el potencial se calcula para puntos que cuplen quer >> d:

comparando con la ecuación 1.29 se llega a

� =nXi=1

qi4��0ri

(1.32)

expresión que representa el potencial para un sistema de cargas puntuales enun punto exterior P , ri representa la distancia de i� �esima carga qi al puntoP . Similarmente como se procedió par el campo eléctrico para extender laexpresión anterior al caso de una distribución continúa de carga, con densidadde carga �t

� =1

4��0

ZZZV0

�tdv

r(1.33)

Ejemplo: Potencial de un dipolo eléctricoSe considera que el punto P de la �gura 1.9 se encuentra alejado del dipoloes decir r >> d. El potencial viene expresado por

� = q4��0

�1r1� 1

r2

�= q

4��0

�r2�r1r1r2

�


Figura 1.10: Diagrama para calcular las fuerzas entre corrientes.

De la �gura 1.9 podemos aproximar: r2 � r1 � d cos � y r1r2 � r2; entonces

� = q4��0

d cos �r2

como

p = qd =) � = p cos �4��0r2

= p�br4��0r2

;

por lo tanto

�dipolo =p � r4��0r3

(1.34)

1.6. Ley de Ampère

Ampère estudió las fuerzas entre corrientes cerradas, atendiendo a ese re-sultado podemos escribir que la fuerza entre elementos in�nestecimales, ver�gura 1.10, es

d (dF1) =�04�I1I2

[dl1 � (dl2 � r)]r3

(1.35)

1.6. LEY DE AMPÈRE 17

Figura 1.11: Manera como se calcula la inducción magnética B en un punto Pproducido por circuito �lamentario.

donde d (dF1) es la fuerza sobre el elemento de corriente I1dl1 debido alelemento de corriente I2dl2, �0 = 4� � 10�7NA�2. La fuerza total sobre elelmento I1dl1 es

dF1 = I1dl1 �Ic

�04�

Idl� rr3

(1.36)

De�nimos la inducción magnética B como

dF1 = I1dl1 �B (1.37)

entonces

B =�04�

Ic

Idl� rr3

(1.38)

donde la integral debe realizarse sobre un circuito completo y se obtiene lainducción magnética en un punto P , como se ilustra en la �gura 1.11Considerando que la corriente I está constituida por portadores de carga qcon velocidad v que pasan por el área A en un tiempo dt, como se ilustra enla �gura1.12

(�Av) dl = Idl = (�Adl) v = qv

por lo que se puede escribirIdl =qv (1.39)


Figura 1.12: Portadores de carga q y velocidad v que atrviesan un área A en eltiempo dt:

Por lo que la fuerza magnética será

Fm = qv �B (1.40)

En una región donde exista tanto campo magnético como campo eléctrico,la fuerza total llamada fuerza de Lorentz.

F =q (E+ v �B) (1.41)

Regresando a la ecuación 1.38, se tiene

r �B =�04�

IC

Ir��dl� rr3

�(1.42)

Si se utiliza la idéntidad vectorial

r� (F�G) = G� (r� F)� F� (r�G)

para este caso se tiene


Figura 1.13: Circuito cerrado que produce una inducción magnética B en el puntoP .

r��dl� r

r3

�= r

r3�r�dl�dl �r�

�rr3

�como dl no depende de las coordenadas r�dl = 0; por lo que la ecuación1.42 se convierte en

r �B = ��04�

IC

Idl �r�� rr3

�(1.43)

pero se puede veri�car que r��rr3

�= 0; se obtiene

r �B =0 (1.44)

conocida como la ley de Gauss para el megnetísmo, en su forma diferencial;esta es otra de las cuatro ecuaciones de Maxwell.Se procede ahora a la evaluación del rotacional deB, considerando un circuitocerrado que produce una inducción magnética B en el punto P , como elmostrado en la �gura 1.13Sea el angulo sólido substendido por el punto P y el circuito. Suponiendoque se produce un desplazamiento d� del punto P ; el cambio de ángulo sólidod debido a este desplazamiento, lo podemos considerar como la suma de losángulos sólidos substendidos por los rectangulos formados por dl y �d�; osea


d =X (�d��dl)�( rr )

r2�! �d� �

IC

dl�rr3=r�d�

como se puede apreciar debe ser evaluado en el punto P y además

r = �IC

dl�rr3

introducciendo este resultado en la ecuación 1.38, se llega a

B = ��0r�I

4�

�= ��0r�m (1.45)

O sea que la inducción magnética se escribe como el negativo del gradientede una cantidad escalar. La cantidad �m = I

4�se denomina potencial escalar

magnético. Para este caso r�B = 0, pero este resultado no es general,como se vera a continuación.Utilizando la ecuación 1.45 se tieneI

C

B�dl = ��0I4�

IC

r�dl = ��0I4�

IC

d = ��0I4��

donde � es la varación del ángulo sólido al realizarse la integración. Puedensuceder dos casos:Primer Caso. Suponiendo que el camino de integración es el mostrado enla �gura 1.14En tal caso el ángulo inicial es el mismo �nal, entonces� = 0, de tal maneraque utilizando el teorema de stokesI

C

B�dl =0 =ZZS

(r�B) � bndade donde se deduce que r�B = 0Segundo Caso. Suponiendo que la trayectoria de integración envuelve a lacorriente, por simplicidad se supone que partimos de A y llegas a B, comose muestra en la �gura 1.15En el punto A : = 2� y en B, = �2�. Lo cual conduce a que


Figura 1.14: El camino C de integración no enlaza la corriente I

Figura 1.15: El camino C de integración enlaza la corriente I


Figura 1.16: Espira circular de corriente, se considra un dipolo magnético.

� = (�2�)� 2� = �4�

De al manera que se obtiene IC

B�dl = �0I (1.46)

donde I es la corriente encerrada por la trayectoria C: Por otro lado se sabe

que I =ZZS

Jt � bnda, siendo Jt la densidad de corriente total, de tal maneraque I

C

B�dl =ZZS

(r�B) � bnda = �0

ZZS

Jt � bndaConcluyendo entonces

r�B = �0Jt (1.47)

esta ecuación se conoce como la Ley de Ampère, en su forma diferencial.Ejemplo. Dipolo magnético.El potencial escalar magético debido a una espira de corriente, �gura 1.16,se expresa como:

1.7. MAGNETIZACIÓN Y CAMPO MAGNÉTICO 23

�m =I4�= I

4�

�S cos �r2

�entonces

�m =(IS) � r4�r3

(1.48)

De�nimos el momento dipolar magnético como

m =IS (1.49)

de donde se llega a�m =

m � r4�r3

(1.50)

similar a la expresión de la ecuación 1.34 del dipolo eléctrico, es por esto queen este caso se habla de dipolo magnético.

1.7. Magnetización y Campo Magnético

Toda materia consiste fundamentalmente en átomos y cada átomo consiteen electrones en movimiento. Estos cicuitos de electrones, cada uno de loscuales está con�nado a un sólo átomo, son las que llamaremos corrientesatómicas. De tal manera que se tienen dos clases de corrientes: i: Una corri-ente verdadera que consiste en trasporte de carga, esto es, el movimiento deelectrones libres o de iones cargados y ii: Corriente atómicas, que son corri-entes puras que circulan sin dar origen a transporte de carga; sin embargo,ambas clases de corrientes pueden producir campo magnético.Una corriente I que circula alrededor de una trayectoria que encierra un áreavectorial diferencial dS, de�ne el momento dipolar magnético

m =IdS (1.51)

Si hay n dipolos por unidad de volumen y se considera el volumen �v, elmomento dipolar magnético total es

mtotal =

n�vXi=1

mi (1.52)

Se de�ne la magnetizaciónM como el momento dipolar megnético por unidadde volumen

M = l��m�v�!0

1

�v

n�vXi=1

mi (1.53)


Figura 1.17: Varios dipolos magnéticos de momento m enlazados por ele lementode trayectoria dl:

La �gura 1.17 muestra varios dipolos magnéticos m que forman un ángulo� con el elemento de trayectoria dl, cada momento consta de una corrienteI que circula alrededor del área dS. Se está considerando por lo tanto unvolumen pequeño dS cos �dl o sea dS�dl dentro del cual hay ndS�dl dipolosmagnéticos. Al cambiar una orientación arbitraria a este alineamiento parcial,la corriente ligada que cruza la super�cie encerrada por la trayectoria (haciala izquierda cuando se recorre en la dirección bul ) se ha incrementado en Ipara cada uno de los ndS�dl dipolos. Entonces

dIm = nIdS�dl =M�dl

por lo tanto

Im =

IC

M�dl

o también

Im =

ZZS

Jm � bndaentonces I

C

M�dl =ZZS

Jm � bnda

1.7. MAGNETIZACIÓN Y CAMPO MAGNÉTICO 25

y aplicando el teorema de stokesZZS

(r�M) � bnda = ZZS

Jm � bndade donde se llega a

Jm =r�M (1.54)

Jm se denomina densidad de corriente de magnetización o ligada. Como sesabe de la ecuación 1.47

r�B = �0Jt y Jt = J+ Jmpudiendose escribir que:

r��B�0

�= J+ Jm = J+r�M

o sea que

r��B�0�M

�= J

de�nimos (para que se siga cumpliendo la ecuación rotacional) el vector In-tensidad del campo magnético como

H =B

�0�M (1.55)

Se puede escribir la ley de Ampère para caulquier medio de la siguientemanera

r�H = J (1.56)

en este caso J es la densidad de corriente libre o no ligada. De las ecuaciones1.44 y 1. 55 se llega a

r �B =0 = �0 (r �H+r �M)

entoncesr �H = �r �M (1.57)

Haciendo una analogia con la ecuación 1.26 se puede de�r la cantidad �mcomo la densidad de polo magnético como:

�m = �r �M (1.58)

yr �H =�m (1.59)


Figura 1.18: Diagrama que ilustra la ley de Faraday.

1.8. Ley de Inducción de Faraday

Los resultados de un gran número de experiemntos pueden resumirse asociadouna f.e.m. con el cambio de �ujo magnético. Este resultado se conoce comola ley de Faraday que dice:Todo �ujo magnético variable en el tiempo que atraviesa un circuito, induceen este una f.e.m. proporcional a la rapidez de variación del �ujo magnético.

" = �d�mdt

(1.60)

teniendo como referencia la �gura 1.18

�m =

ZZS

B�bnda y " = IC

E�dl

pudiendo escribir la ley de Faraday comoIC

E�dl = � d

dt

ZZS

B�bnda (1.61)

donde C es la curva que limita la super�cie S. Si se aplica el teorema deStokes se escribe entonces

1.9. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO 27

IC

E�dl = �ZZS

@B@t�bnda = ZZ

S

(r� E) b�ndade tal manera que

r� E = �@B@t

(1.62)

esta ecuación es la ley de Faraday en su forma diferencial, y es otra de lascuatro ecuaciones de Maxwell.

1.9. Corriente de Desplazamiento

Maxwell encontró que existía una contradicción entre la ley de Ampère(ecuación 1.56) y la ecuación de continuidad (ecuación 1.6), lo que lo condu-jo a introducir un término llamado corriente de desplazamiento, esto lo hizoteoricamente sin ninguna experimentación y fue comprobada muchos añosdespués. Se vera a continuación dicha contradicción.Como se sabe la divergencia de un rotacional es cero y de las ecuaciones 1.56y 1.6 se tiene:

r� (r�H) = 0 =r � J = �@�@t6= 0

Maxwell resolvió esta contradicción cuando introdujo un término adicional ala ley de Ampère

r�H = J+ Jd (1.63)

Al calcular la divergencia a esta ecaución

r� (r�H) =r � J+r � Jd = 0

ahora partiendo de la ecuación de continuidad (ecuación 1.6)

r � Jd = �r � J =@�@t

Usando la ecuación 1.28 se escribe

@�@t=r�@D

@t

de tal manera


r � Jd =r�@D@t

o sea que se puede escribir que

Jd =@D

@t(1.64)

densidad de corriente de desplazamiento. Remplazando en la ecuación 1.63

r�H = J+@D

@t(1.65)

es conocida como la ley de Ampère-Maxwell en su forma diferencial y es laúltima de las ecuaciones de Maxwell.

1.10. Ecuaciones de Maxwell

Las ecauciones básicas del electromagnetismo se pueden resumir en las lla-madas ecuaciones de maxwell, deducidas en este capítulo.

TABLA 1.1ECUACIONES DE MAXWELL

N� Nombre Expresión N� de la Ec.1 Ley de Gauss- Caso eléctrico r �D = � 1. 282 Ley de Faraday r� E = �@B

@t1. 62

3 Ley de Gauss- Caso magnético r �B =0 1. 444 Ley de Ampère Maxwell r�H = J+@D

@t1. 65

Existen otras expresiones complementarias

TABLA 1.2RELACIONES ENTRE LOS VECTORES DE CAMPO

N� Expresión N� de la Ec.1 D = �0E+P 1. 272 H = B

�0�M 1. 55

1.11. CONDICIONES DE FRONTERA 29

Figura 1.19: Condiciones de frontera electrostáticas para los medios 1 y 2, se hatomodo el vector normal bn el que se dirige del medio 1 al medio 2.1.11. Condiciones de Frontera

1.11.1. Caso Electrostático

Al aplicar la ley de Gauss para el pequeño cilindro, mostrado en la �gura1.19 Z Z

cilindro

D�bnda = Q

La altura del cilindro es muy pequeño, lo su�ciente para que la base superioresté en el medio 2 y la base superior esté en el medio 1, de tal manera queno contribuye a la integral y además

Q = ��S + 12(�1 + �2)�v

como �v �! 0, se escribe que Q = ��S; carga en la super�cie de separaciónentre los medios intesectada por el cilindro; por lo que la integral queda:

(D1 � bn1 +D2 � bn2)�S = ��S

entonces(D2 �D1) � bn = � (1.66)


donde bn es el vector unitario normal que va del medio 1 al medio 2, como seseñala en la fgura 1.19; pudiendose escribir entonces

D2n �D1n = � (1.67)

Esto quiere decir que, la dicontinuidad en la componente normal de D estádeterminada por la densidad super�cial de carga libre en la super�cie deseparación.Apliquemos ahora la condición para campo electrostáticoI

C

E�dl =0

a la trayectoria mostrada en la �gura 1.19; se debe considerar que el anchoes muy pequeño y no contribuye a la integral, o seaI

C

E�dl = E2 ��l2 + E1 ��l1 = 0 =) E2t�l � E1t�l = 0

lo que conduce aE1t = E2t (1.68)

la componente tangencial del campo eléctrico es continua al atravesar unasuper�cie de separación, también se acostumbra a escribir en la forma

bn� (E2 � E1) = 0 (1.69)

1.11.2. Caso Magnetostático

Aplicando la ley de Gauss, para el caso magnético, al pequeño cilindro de la�gura 1. 20, en forma similar como se procedió para el caso eléctrico:Z Z

S; cerrada

B�bnda = 0 =) B2n�S �B1n�S = 0;

concluyendo queB2n = B1n (1.70)

1.12. PROBLEMAS 31

Figura 1.20: Condiciones de frontera magnetostáticas para los medios 1 y 2, se hatomodo el vector normal bn el que se dirige del medio 1 al medio 2.La componente normal de la inducción magnética es continua cuando atraviesauna super�cie de separación. También se puede escribirbn � (B2 �B1) = 0 (1.71)

Aplicando ahora la ley de Ampère a la trayectoria rectangular de la �gura1.20: I

C

H�dl =I =) H2t�L�H1t�l = K�l

donde K es la componente de la corriente supercial normal al plano de latrayectoria, de donde

H2t �H1t = K (1.72)

o también bn� (H2 �H1) = K (1.73)

La discontinuidad de la componente tangencial de H es igual a la densidadsuper�cial de corriente.

1.12. Problemas

1. Una partícula de masa m y carga positiva q se mueva en un plano perpen-dicular a una inducción magnética B uniforme. Demostrar que la partícula


se mueve en una circunferencia con módulo de la velocidad constante y elradio de la circunferencia dado por

r = mvqB

2. Una partícula de carga de carga q y masa m mueve con una velocidadv0 (según el eje +X) entra en una región donde hay un campo magnético(según el eje +Y ). Mostrar que, si la velocidad v0 es su�cietemente grandecomo para que el cambio de dirección sea despreciable y la fuerza magnéticase pueda considerar constante y paralela al eje Z, la ecuación de la trayectoriade la partícula es

z =�

qB2v0m

�x2

3. En una cierta región hay un campo eléctrico (según el eje +Y ) y unomagnético (según el eje +X), ambos uniformes. Se inyecta una partícula,con carga q y masa m, con velocidad v0 paralela al campo magnético.a. Escribir la ecuación de movimiento de la partícula en coordenadas

rectangulares.b. Mostrar, por sustitución directa, que las cmponentes de la velocidad

al tiempo t son

vx = v0vy =

�EB

�sin�qBm

�t

vz = ��EB

� �1� cos

�qBm

�t�

c. Del resultado precedente, obtener las coordenadas de la partícula altiempo t, si parte del origen.d. Hacer un grá�co de la trayectoria.

4. Un dipolo eléctrico de momento p está dentro de un campo eléctrico Euniforme. Demostrar que el torque sobre el dipolo viene dado por

�= p� E

5. Hallar las componentes rectangulares del campo eléctrico producido porun dipolo eléctrico.6. Se da una línea recta in�nitamente larga cargada con densidad de cargauniforme �, por unidad de longitud. Por integración directa, hallese el campoeléctrico a una distancia r de la línea.

1.12. PROBLEMAS 33

7. Una distribución de carga esférica tiene una densidad de carga volumétricaque es función únicamente de r, la distancia al centro de la distribución. Enotras palabras � = � (r). Si � (r) es como se indica a continuación, determineseel campo léctrico en función de r.

a. � (r) =�

Arsiendo A una costante, para 0 � r � R0; para r > R

b. � (r) =��0; constante, para 0 � r � R

0; para r > R8. Un alambre conductor recto lleva una corriente I, hallar por integracióndirecta el campo de inducción magnética B a una distancia R del alambre.9. Una esprira circular de radio R lleva una corriente I, hallar la inducciónmagnética B en puntos sobre el eje de la espira.10. Se dá un circuito de corriente que tiene forma de un hexágono regular delado a. Si el circuito conduce una corriente I, hállese la inducción magnéticaen el centro del hexágono.11. Se dá una franja delgada de metal de anchura ! y muy larga. La corrienteen la franja es lo largo de su longitud; la corriente total es I. Hállesea. La inducción magnética en el plano de la franja a una distancia b del

borde más próximo.b. La inducción magnética a una distancia d por encima de la franja,

perdedicular a la recta que pasa por centro de la franja a lo largo de ella.12. Utilizando la ley de Ampère, hállese la inducción magnética a una dis-tancia r del centro de un cilindro largo de radio R que conduce una corrienteI: Hágase esto tanto para r > R, como para r < R, donde R es el radio delcilindro.13. Un gran número de vueltas muy próximas a unas con otras, de un alambre�no, se enrrollan en una sola capa sobre la super�cie de una esfera de maderade radio R, con los planos de las vueltas perpendiculares al eje de la esfera ycubriendo completamente su super�cie. Si la corriente en el enrrollado es I,determinese la inducción magnética en el centro de la esfera.14. Un toroide se enrrolla uniformente, tiene N vueltas de alambre por lasque pasa una corriente I. El radio interior del toroide es a, el exterior, b.a. Hállese la inducción magnética en puntos interiores al devanado toroidal.b. Hállese la relación b

aque permitirá que B en el anillo no varie en más

del 25%:15. Una varilla metálica de longitud l gira respecto a un eje, que pasa y esperpendicular a la varilla, con una velocidad angular !: El plano de rotación


de la varilla es perpendicular a un campo magnético uniforme de inducciónmagnética B: ¿Cuál es la f:e:m: inducida entre los extremos de la varilla?.

Capítulo 2

Electrostática en el Vacío

2.1. Introducción

En la situación estática las derivadas con respecto al tiempo son nulas. Par-tiendo de las ecuaciones de Maxwell 1.28 y 1.62 se tiene

r �D =� (2.1)

r� E = 0 (2.2)

además en el vacío la polarización es cero, P = 0 y de la ecuación 1.27D = �0E, la ecuación 2.1 se convierte en

r � E = �

�0(2.3)

Las condiciones de frontera 1.66 y 1.69 toman la forma de

bn � (E2 � E1) = �

�0(2.4)

bn� (E2 � E1) = 0 (2.5)

A continuación se dan algunos ejemplos que se pueden resolver facilmenteutilizando algunos de las ecuaciones anteriores.Ejemplo: Campo de un plano cargadoConsiderando un plano in�nito cargado uniformente con densidad de carga� por unidad de área, �gura 2.1. Por simetría E es normal al plano de igual

35

36 CAPÍTULO 2. ELECTROSTÁTICA EN EL VACÍO

Figura 2.1: Plano in�nito cargado, divide el espacio en dos regiones la región 1 yla región 2:

magnitud en ambos lados del plano., por consiguiente bn �E2 = E y bn �E1 =�E, ahora de la ecuación 2.4 se tiene que 2E = �

�0, de tal manera que

E =�

2�0(2.6)

Ejemplo: Campo fuera de una distribución esférica de cargaSe supone que � es independiente de los ángulos o sea � = � (r), donde r es ladistancia medida desde el centro de la distribución. Por simetría E está en ladirección radial mostrada el �gura 2.2 y su magnitud E depende solamentede r. Si calculamos la integral de super�cie sobre una esfera de radio r; E esparalela al elemento de área bnda, entoncesZ ZS; cerrada

E�bnda = E

Z ZS; cerrada

da = 4�r2E =

ZZZV

r � Edv = 1�0

ZZZV

�dv =

Q�0

Aquí hemos hecho uso del teorema de la divergencia y la ecuación 2.3 Q esla carga total de la esfera. Por lo tanto

E =Q

4��0r2(2.7)

2.2. POTENCIAL ELÉCTRICO 37

Figura 2.2: Distribución de carga esfericamente simétrica con densidad volumétricadependiente de r; � = � (r)

Este resultado es el mismo que el de una carga puntual Q ubicada en el centrode la distribución; por lo que podemos inducir que el campo fuera de unadistribución de carga esféricamente simétrica es igual a que todo la carga selocalizara en el centro de la distribución.

2.2. Potencial Eléctrico

Teniendo en cuenta la ecuación 2.2, r� E = 0 entonces

E = �r� (2.8)

cuando se conoce la distribución de carga se puede escribir la expresión delpotencial dada por la ecuación 1.33

� (r) =1

4��0

ZZ Ztodo elespacio

� (r) dv

r(2.9)

el potencial es medido en voltios y el campo E es medido en voltios/metro.Por otro lado, una super�cie donde el potencial es constante � (r) = cte: sedenomina super�cie equipotencial. Como E = �r� y el gradiente siempre esperpendicualr a la super�cie � (r) = cte:, entonces como el campo eléctrrico


Figura 2.3: Líneas de campo y super�cies equipotenciales, las líneas de campo sonperpendiculares a las super�es equipotenciales.

es tangente a las líneas de campo en cada punto, estas son perpendicularesa las super�cies equipotenciales. Un ejemplo se muestra en la �gura 2.3Se de�ne un conductor como una región donde las cargas se pueden moverbajo la acción de un campo eléctrico externo. Considerando la situación deequilibrio electrostático, el campo en el interior de un conductor debe sernulo, de no ser así habría movimiento de las cargas del conductor hacia lasuper�cie. De aquí se deduce que el potencial en el interior de un conductoren equilibrio electrostático es constante; por lo que la super�cie conductoraserá una super�cie equipotencial y el campo debe ser entonces perpendiculara la super�cie conductora.Al aplicar la ley de Gauss a la super�cie punteada dentro del un conductorcomo en la �gura 2.4 ZZ

S

E�bnda = Q

�0= 0 (2.10)

por lo tanto Q = 0 en el interior de S, como S es una super�cie cualquiera enel interior del conductor, se puede concluir que en condiciones de equilibrio

2.3. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE 39

Figura 2.4: Conductor en equuilibrio electrostático.

electrostático, en el interior de un conductor, la carga neta es nula; por loque de existir carga esta debe residir en la super�cie.Aplicando la condición de frontera, ecuación 2.4, en una super�cie conductorade la �gura 2.5E1 = 0 y E2 = E, el cual es paralelo a bn o sea bn � E2 = E, entonces de laecuación 2.4 se obtiene

�0E = � = ��0bn �r� (2.11)

donde se ha hecho uso de la ecuación 2.8. De la ecuación 2.11 se aprecia queuna vez conocida � (r) se puede conocer la densidad super�cial de carga �en la super�e conductora.

2.3. Ecuaciones de Poisson y Laplace

2.3.1. Introducción

Se puede obtener una ecuación diferencial para el potencial combinado lasecuaciones para el campo electrostático:

r � E =�

�0(2.12)

E = �r� (2.13)


Figura 2.5: El medio 1 es el conductor y medio 2 es el espacio libre.

donde � es la densidad volumétrica de carga, � es potencial y E es el campoeléctrico. Al combinar las ecuaciones 2.12 y 2.13 se llega a:

r � r� = r2� = � �

�0(2.14)

denominada la ecuación de Poisson, cuya solución se comprobará que es

� (r) =1

4��0

ZZZ�

rdv

Todo el espacio

(2.15)

Cuando en la región la densidad de carga es nula, � = 0, la ecuación 2.14 seconvierte el la ecuación de Laplace:

r2� = 0 (2.16)

2.3.2. Solución de la Ecuación de Poisson

Se utiliza el denominado teorema de Green, el cual se obtiene partiedo de lasiguiente expresión:

r � (�r) = �r2+r� � r (2.17)


Figura 2.6: Hueco esférico en todo el espacio, de super�cie � radio R, el vectorunitario normal bn va hacia el punto P , centro del hueco esféricodonde� y son funciones arbitrarias. Ahora por el teorema de la divergencia:Z ZS; cerrada

�r � bnda = ZZZV

r � (�r) dv =ZZZ

V

��r2+r� � r

�dv

(2.18)intercambiando � y en la ecuación 2.18 y restando se obtieneZ Z

S; cerrada

(�r�r�) � bnda = ZZZV

��r2�r2�

�dv (2.19)

expresión conocida como el teorema de Green.Aplicado al caso que = 1

r, donde se hace in�nito en el origen. Se escoge

un punto P en el que se está interesado como centro de un hueco esférico deradio R (�gura 2.6) y se aplica la ecuación 2.19 excepto en la esferaSe aprecia que r2 = r2

�1r

�= 0, puesto que 1

res una solución de la

ecuación de Laplace (ecuación 2.16)


De la �gura 2.6 se observa lo siguiente:

r � bnda = �ddrda =

da

r2(2.20)

y

r� � bnda = �@�@rda (2.21)

remplazando en la ecuación 2.19Z Zesfera �

�da

r2+

Z Zesfera �

�@�

@r

�da

r= �

ZZZV

r2�

r(2.22)

donde � es la super�cie del hueco esférico y V es el volumen de todo el espacioexcepto el del hueco esférico. Como en la super�cie de la esfera r = R, sepuede escribir queZ Z

esfera �

�da

r2=1

R2

Z Zesfera �

�da =1

R24�R2� (2.23)

donde � es el valor medio de � en la super�cie del hueco esférico. Similar-mente. Z Z

esfera �

�@�

@r

�da

r= 4�R

�@�

@r

�(2.24)

por lo que la ecuación 2.22 se convierte en

4�� + 4�R

�@�

@r

�= �

ZZZV

r2�

rdv (2.25)

Como se quiere obtener el valor de � en cualquier punto P; se hace lo sigu-iente: R �! 0; � �! �P y l��m

R�!04�R

�@�@r

�= 0; V �! Todo el espacio (T:E);

por lo que la ecuación 2.25 se convierte en

� (r) = � 1

4�

ZZZT:E

r2�

rdv (2.26)

si el potencial satisface la ecuación de Poisson , entonces la ecuación 2.26 esidéntica a la ecuación 2.15


Figura 2.7: Se ilustra una super�cie S0 que encierra el volumen V 0 del cual cono-cemos �, mientras que en el exterior de S0 se desconoce la distribución de carga,conociendo el valor del potencial en S0:

Solución para una Región Finita

Se ha visto hasta ahora que se puede calcular �; si conocemos la densidadvolumétrica de carga en todos los puntos del espacio. En muchos problemas,sin embargo, � es conocida solamente dentro de cierto volumen �nito, quees rodeado por una super�cie exterior de la cual se conoce la distribuciónde carga, se mostrará ahora que, si el potencial es conocido en la super�cielimitadora y la densidad volumétrica de carga en conocida dentro de la regiónlimitada, podemos aún encontrar �.Regresando a la ecuación de Poisson, ecuación 2.14, se observa que se puedeescribir la solución general como la suma de una solución especial de laecuación inhomogenea (ecuación 2.14) y la solución general de la ecuaciónhomogenea (ecuación 2.16).Hasta aquí las condiciones de limites arbitrarios puede ser satisfecha con lasolución general escogida apropiadamente de la ecuación 2.16, mientras quela ecuación 2.14 será satisfecha por la inclusión de la solución particular.Se puede demostrar utilizando el teorema de Grenn , ecuación 2.19. La nuevasituación se observa en la �gura 2.7, donde el pequeño hueco esférico que


rodea a P es temporalmente excluida de V: Ahora en S 0

r = d

drbr = � r

r3(2.27)

y en la ecuación 2.19, S consiste en � más S 0, procediendo como antes, sellega aZ Zesfera �

�da

r2+

Z Zesfera �

1

r

�@�

@r

�da+

Z ZS0; cerrada

��rr3� r�

r

��bnda = �ZZZ

V 0

r2�dv

r

(2.28)donde V 0 es igual a V menos el volumen del hueco esférico. Esto lleva a:

4��+4�R

�@�

@r

�= �

ZZZV 0

r2�dv

r+

Z ZS0; cerrada

��r

r3+r�r

��bnda (2.29)

ahora como R �! 0, � �! �P = �; V 0 �! V y S 0 �! S, donde S esla super�cie total que rodea a V: Utlizando las ecuaciones 2.14 y 2.29 seconvierte en:

� =1

4��0

ZZZV

�dv

r+1

4�

Z ZS; cerrada

��r

r3+r�r

�� bnda (2.30)

Se puede obtener el resultado previo, ecuación 2.15 a partir de ecuación 2.30,permitiendo que V encierre todas las cargas. Una vez que se aleje lo su�cientede todas las cargas encerradas, apareceran como cargas puntuales de modoque para r muy grande. � s 1

ry jr�j s 1

r2. entonces en la integral de

super�cie, el integrando s 1r3, mientras que el área s r2, así que toda la

integral s 1r, que se acerca a cero cuando r �! 1. Por consiguiente la

contribución de la integral de super�cie desaparecerá y se llega a la ecaución2.15Aunque la ecuación 2.30 nos facilita en principio calcular � en cualquierpunto dentro del volumen V , este no es siempre el camino conveniente pararesolver un problema dado, en muchos problemas se exige encontrar el po-tencial dentro de una región limitada cuando la carga no está presente en laregión. En esta última circustancia, especialmente, la ecuación más apropia-da para resolver es la ecuación 2.16, porque su solución general es necesariapara resolver la ecuación 2.14. En la siguiente item consideramos algunosmétodos para resolver la eccuación 2.16


2.3.3. Solución de la Ecuación de Laplace

Se utilizará el denominado método de separación de variables para resolverla ecuación 2.16, en coordenadas rectangulares y esféricas, quedando comoejercicio su solución en coordenadas cilíndricas, también aplicaremos cadauna de estas soluciones a un problema especí�co de electrostáticas con con-condicones en la frontera.. Se hará uso de las expresiones del laplaciano encada uno de los sistemas de coordenadas y se encontraran algunas ecuacionesdiferenciales especiales, de las cuales tomaremos sus soluciones ya vistas encursos de matemáticas.

Coordenadas Rectangulares

Como es sabido el laplaciano en coordenadas cartesianas viene dado por

r2� (x; y; z) =@2�

@x2+@2�

@y2+@2�

@z2(2.31)

entonces, la ecuación a solucionar es

@2�

@x2+@2�

@y2+@2�

@z2= 0 (2.32)

suponiendo una solución de la forma

� (x; y; z) = X (x)Y (y)Z (z) (2.33)

remplazando la ecuación 2.33 en la ecuación 2.32 se obtiene

1

X

d2X

dx2+1

Y

d2Y

dy2+1

Z

d2Z

dz2= 0 (2.34)

para que se cumpla esta ecuación es necesario que cada sumando sea igual auna constante, o sea

1

X

d2X

dx2= �2;

1

Y

d2Y

dy2= �2;

1

Z

d2Z

dz2= 2 (2.35)

donde�2 + �2 + 2 = 0 (2.36)


las soluciones para cada una de las ecuciones en la expresión 2.35 se puedenescribir como

X (x) = a1e�x + a2e

��x (2.37)

Y (y) = b1e�y + b2e

��y (2.38)

Z (z) = c1e z + c2e

� z (2.39)

De la ecuación 2.36, las constantes �; � y todas no pueden ser reales, nitodas imaginarias; por consiguiente algunas de las funciones X; Y; Z vari-an sinusoidalmente con el argumento y otras varian exponencialmente. Lasolución general de la ecuación 2.32 es de la forma

� (x; y; z) =Xi

�a1ie

�ix + a2ie��ix

� �b1ie

�iy + b2ie��iy

� �c1ie

iz + c2ie� iz

�(2.40)

todas las constantes se obtienen con condiciones en la frontera

Ejemplo:Tira Semi-in�nita

Este es un problema de dos dimensiones donde � = � (x; y) ; de tal maneraque se asume que = 0 y (2.6) se convierte en �2 + �2 = 0. Así que � = i�,donde se asume que � > 0; por lo que (2.10) se convierte en

� (x; y) =Xn

�A1ne

i�nx + A2ne�i�nx

� �B1ne

�ny +B2ne��ny

�(2.41)

Las condiciones de frontera para este problema son

en x = 0 � (0; y) = 0 (2.42)

en x = L � (L; y) = 0 (2.43)

en y = 0 � (x; 0) = f (x) (2.44)

en y �! 1 � (x;1) = 0 (2.45)

Donde f (x) es alguna función dada, y puede ser producida por una distribu-ción apropiada de la carga exterior de la tira. Aplicando las condiciones en lafrontera adecuadamente, primero en la ecuación 2.45 se obtiene que B1n = 0,para cualquier n y haciendo A1nB2n = An y A2nB2n = Bn la solución 2.45toma la forma

� (x; y) =Xn

�Ane

i�nx +Bne�i�nx

�e��ny (2.46)


Figura 2.8: Tira semi-in�nita, para un problema bidimensional de solución de laecuación de Laplace.

aplicando ahora la condición 2.42 se llega a

� (0; y) =Xn

(An +Bn) e��ny = 0 (2.47)

entonces Bn = �An, la solución toma la forma

� (x; y) =Xn

(2iAn) sin (�nx) e��ny (2.48)

aplicando la condición de frontera 2.43 se llega a

� (L; y) =Xn

(2iAn) sin (�nL) e��ny (2.49)

de donde sale que �nL = n�, osea �n =n�L; n = 1; 2; 3; :::, haciendo Cn =

2jAn; lo que conduce a:

� (x; y) =Xn

Cn sin�n�xL

�en�yL (2.50)


donde se ha replazado a 2iAn simplemente por An. Aplicando la últimacondición de frontera 2.44

� (x; 0) = f (x) =Xn

Cn sin�n�xL

�(2.51)

conocida f (x) se puede determinar An aprovechando la ortogonalidad desin�n�xL

�R L0f (x) sin

�m�xL

�dx =

PnCn

R L0sin�m�xL

�sin�n�xL

�dx

=P

nCn12L�mn =

12LAm

(2.52)

entonces

Cm =2

L

Z L

0

f (x) sin�m�x

L

�dx (2.53)

conocida la constante Cm se introduce como Cn en la ecuación 2.40 ypodemos calcular � (x; y) en cualquier punto de la tira.

Coordenadas Esféricas

Para este caso la ecuación de Laplace viene expresada como

r2� (r; �; �) =1

r2 sin �

�@

@r

�r2 sin �

@�

@r

�+

@

@�

�sin �

@�

@�

�+

@

@�

�1

sin �

@�

@�

��= 0

(2.54)Utilizando nuevamente el método de separación de variables y tomando comosolución a

� (r; �; �) = R (r)� (�) (�) (2.55)

introduciendo esta ecuación 2.54 se tiene

1

R

d

dr

�r2dR

dr

�+

1

� sin �

d

d�

�sin �

d�

d�

�+

1

sin2 �

d2

d�2= 0 (2.56)

como el primer sumando depende unicamente de r, podemos escribir

1

R

d

dr

�r2dR

dr

�= � 1

� sin �

d

d�

�sin �

d�

d�

�� 1

sin2 �

d2

d�2= � (2.57)

donde � es la constante de separación, entonces

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr� �R = 0 (2.58)


esta ecuación diferencial es de la forma: x2y00 + pxy0 + qy = 0, donde p y qson constantes, denominada ecuación de Euler. En este caso p = 2 y q = ��;la ecuación indicial es: m (m� 1) + 2m � � = 0, o sea m2 + m � � = 0;entonces los exponentes son 1

2

��1�

p1 + 4�

�, por consiguiente la solución

general de 2.58 es

R (r) = Ar�12+p�+ 1

4 +Br�12�p�+ 1

4 (2.59)

para garantizar que R (r) tenga un valor en r = 0 y también para cuando

r �! 1; entonces �12+q�+ 1

4= n, n entero no negativo, entonces � =

n (n+ 1); por lo que la solución 2.59 se escribe como

R (r) = Arn +Br�n�1 (2.60)

De la ecuación 2.57 deducimos que

1

d2

d�2= �n (n+ 1) sin2 � � sin �

�

d

d�

�sin �

d�

d�

�(2.61)

pudiendose escribir entonces

1

d2

d�2= ��; � cte. (2.62)

entoncesd2

d�2+ � = 0 (2.63)

Suceden tres casos:1. Si � = 0 =) (�) = C1�+C2 la cual no cumple que (�+ 2�) = (�) ;condición de univaluada.2. Si � < 0 =) � = ��2; � 2 Re =) d2(�)

d�2� �2(�) = 0 =) (�) =

C1e�� + C2e

�� que tampoco cumple con la condición de univaluada.3. Si � > 0 =) � = m2;m 2 Re =) d2(�)

d�2+ m2(�) = 0 =) (�) =

A�eim�, para que cumpla la condición de univaluada se tiene que(�+ 2�) =

A�eim(�+2�) = A�e

im�ejm2� = A�eiml� = (�), si eim2� = 1 =) cosm2� +

i sinm2� = 1 =) m es un enteroPor lo que la solución toma la forma:

(�) = A�eim� (2.64)


m es entero, porque nos garantiza que la solución de 2.63 cumple la condiciónde univaluada unicamente cuando � se aumenta en 2�.De la ecuación 2.61 se deduce que

�m2 = �n (n+ 1) sin2 � � sin ��

d

d�

�sin �

d�

d�

�(2.65)

entonces

sin �d

d�

�sin �

d�

d�

�+�n (n+ 1) sin2 � �m2

�� = 0 (2.66)

Haciendo el siguiente cambio de variable: u = cos �, se llega a

�1� u2

� d

du

��1� u2

� d�du

�+��1� u2

�n (n+ 1)�m2

�� = 0 (2.67)

Pudiendose escribir como:�1� u2

� d2�du2

� 2ud�du+

�n (n+ 1)� m2

(1� u2)

�� = 0 (2.68)

esta es la �Ecuación Asociada de Legendre�cuya solución son las �FuncionesAsociadas de Legendre�:

Pmn (u) =

�1� u2

�m2dmPn (u)

du2(2.69)

donde se tomam = 0; 1; 2; :::; n y los Pn (u) son los �Polinomios de Legendre�que vienen dados por:

Pn (u) =1

2nn!

dn

dun�u2 � 1

�n(2.70)

Para valores negativos de m, se puede aplicar la identidad:

P�mn (u) = (�1)m (n�m)!

(n+m)!Pmn (u) (2.71)

Se acostumbra escribir la solución de la parte angular de la ecuación deLaplace �(�) (�) ; teniendo en cuenta las respectivas soluciones como:

Y mn (�; �) = Ceim�Pm

n (cos �) (2.72)


obtenidas a partir de dos conjuntos de funciones ortogonales,�eim�; 0 � � < 2�

y fPm

n (cos �) , 0 � � < �g ; son ortogonales sobre la esfera unidad y se les lla-ma �Armónicos Esféricos� . El coe�ciente C, real, se elige de tal manera quelos Y m

n , constituyan un sistema ortonormal de funciones:Z 2�

0

d�

Z �

0

sin �Y m�n (�; �)Y m0

n0 (�; �) d� = �nn0�mm0 (2.73)

de donde se puede obtener el valor de C; dado por:

C = (�1)m�(2n+ 1) (n�m)!

4� (n+m)!

� 12

(2.74)

de tal manera que los armónicos esféricos se escriben como:

Y mn (�; �) = (�1)

m

�(2n+ 1) (n�m)!

4� (n+m)!

� 12

eim�Pmn (cos �) (2.75)

para valores negativos de m se usa la identidad:

Y m�n (�; �) = (�1)m Y �m

n (�; �) (2.76)

Cuando el potencial � es independiente de � (simetría alrededor del eje Z),entonces m = 0 y la ecuación 2.67 se convierte en�

1� u2� d

du

��1� u2

� d�du

�+�1� u2

�n (n+ 1)� = 0 (2.77)

entoncesd

du

��1� u2

� d�du

�+ n (n+ 1)� = 0 (2.78)

o sea �1� u2

� d2�d�2

� 2ud�du+ n (n+ 1)� = 0 (2.79)

que es la denominada Ecuación de Legendre, cuya solución son los denomi-nados Polinomios de Legendre, vistos anteriormente.

�(�) = Pn (u) =1

2nn!

dn (u2 � 1)n

dun(2.80)

Ahora podemos decir que la solución de la ecuación de Laplace en coorde-nadas esféricas, con simetría alrededor del eje Z, es

� (r; �) =1Xn=0

�Anr

n +Bnr�n�1�Pn (cos �) (2.81)


Figura 2.9: Líneas de campo eléctrico después de introducir la esfera conductoradescargada. La dirección inicial del campo es E0buz:

Ejemplo

Esfera sólida conductora descargada dentro de un campo eléctrico inicial-mente uniforme E0 (�gura 2.9)Las condiciones de frontera son las siguientes

E (r; �) jr�!1 = �r� (r; �) jr�!1 = E0 = E0buz (2.82)

o sea

� (r; �) jr�!1 = �E0z + cte = �E0r cos � + cte: (2.83)

� (r; �) jr=R = �0 (2.84)


Desarrollando la ecuación 2.81 se llega a

� (r; �) = A0+B0r+A1r cos �+

B1r2cos �+

1

2

�A2r

2 +B2r3

��3 cos2 � � 1

�+ :::

(2.85)Aplicando la condición de frontera 2.83 se ve que: A1 = �E0 y An = 0 paran � 2:Ahora el término B0r�1 produce un campo radial que es compatible con unconductor esférico que tiene una carga total neta, en este problema la esferaestá descargada por lo tanto B0 = 0Al tener en cuenta la condición de frontera 2.84, se observa que el potencialdebe ser independiente de la coordenada �, entonces los dos términos en queinterviene cos � se eliminan, pero los términos con potencias inversas mayoresque r2 no pueden eliminarse entre sí debido a que contienen funciones deLegendre diferentes, o sea que Bn = 0, para n � 2. Por lo tanto la soluciónqueda:

� (r; �) = A0 � E0r cos � +B1r2cos �; r � R (2.86)

entonces� (R; �) = �0 =) A0 = �0 y B1 = E0R

3 (2.87)

Por lo tanto la solución de�nitiva para este problema es

� (r; �) = �0 � E0r cos � +E0R

3

r2cos � (2.88)

El campo eléctrico correspondiente es

E (r; �) = �r� (r; �) = �bur �@�@r

�� bu� 1

r

�@�

@�

�(2.89)

una vez calculado el gradiente y organizando los términos se llega a

E (r; �) = burE0�1 + 2R3r3

�cos � � bu�E0�1� R3

r3

�sin � (2.90)

Evaluando el campo eléctrico en la super�cie de la esfera

E (R; �) = bur3E0 cos � (2.91)

o sea perpendicular a la super�cie esférica, como era de esperarse, por con-siguiente la densidad super�cial es

� (�) = �0E (R; �) = 3�0E0 cos � (2.92)


y la carga total en la esfera conductora es

Q =

Z Zesfera

� (�) da = 3�0R2E0

Z 2�

0

d�

Z �

0

sin � cos �d� = 0 (2.93)

como se habia dicho en el enunciado del problema.

Ejemplo

Problema con simetría esférica. En este caso � = � (r), o sea que @�@�=

@�@�= 0, la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas se convierte en

1r2

ddr

�r2 d�

dr

�= 0 =)

r2 d�dr= cte = �A =)

d�dr= � A

r2=)

� (r) =A

r+B (2.94)

A y B son constantes que se determinan con las condiciones de frontera.

Ejemplo

Condensador esférico. Considerando dos conductores esféricos concétricos,y asumiendo que la esfera interior tien una carga q y que la exterior está aun potencial �b, como se muestra en la �gura 2.10Tomamdo como solución la del ejemplo anterior, ecuación 2.94, se tiene que

r� =d�drbur = �E = �A

r2bur (2.95)

Aplicando la ley de Gauss para la esfera de radio r = a, se tieneZ Zesfera Sa

E�bnda = Aa2

Z Zesfera Sa

da = Aa24�a2 = 4�A = q

�0=) A = q

4��0

Por lo que la solución quedará como

� (r) =q

4��0r+B (2.96)

2.4. PROBLEMAS 55

Figura 2.10: Condesador esférico de radio interior a y radio exterior b:

ahora en r = b, � = �b =q

4��0b+B =) B = �b� q

4��0b, remplazando en 2.96

se tiene

� (r) =q

4��0

�1

r� 1b

�+ �b (2.97)

El potencial en la esfera de radio r = a será

�a =q

4��0

�1

a� 1b

�+ �b (2.98)

La capacitancia se de�ne como la razón de la carga en la esfera interior y ladiferencia de potencial, o sea de 2.98

C =q

�a � �b=4��0ab

b� a(2.99)

Si b �! 1 entonces C �! 4��0a que dá la fórmula de la capacitancia parauna esfera aislada. Las unidades de �0 es F

my la de C Faradio (F ).

2.4. Problemas

1. Demostrar la unicidad de la solución de la ecuación de Laplace


Figura 2.11: Tubo de sección rectangular del problema 7.

2. Un conductor cilídrico de radio a in�nitamente largo y recto tiene unacarga � por unidad de longitud. Encuentre el potencial a una distancia R deleje del cilindro.

3. Un condensador está hecho de dos grandes placas conductoras paralelascada una de área A, las cuales están separadas por una distancia pequeña d.La diferencia de potencial entre las placas es ��. Encuentre la densidad decarga � y �� en la super�cie de las placas. Demuestre que la capacitancia esC = �0A

d: No tenga en cuenta el efecto en los bordes de las placas.

4. .Una distribución esférica de carga se caracteriza por una densidad de cargaconstante � para r � R. Para radios mayores que R, la densidad de carga esnula. Hallese el potencial solucionando la ecuación de Poisson. Veri�que esteresultado evaluando la integral dada por la ecuación 2.15.

5. Encuentre el potencial electrostático, �, dentro de un cubo de lado L,con un vertice en el origen y en el primer octante. No hay carga dentro delcubo. El potencial sobre la cara z = 0 tiene valor �0 y el potencial en todaslas otras caras es cero.

6. Resolver la forma bidimensional de la ecuación de Laplace expresadaen coordenadas polares (R; �) (cilíndricas para z = 0) por el método deseparación de variables. Demostrar que la solución general puede estar escritacomo

2.5. PROBLEMAS VARIOS DE LOS CAPÍTULOS 1 Y 2 57

� (R; �) = A0 lnR +B0 +1P

n=�1n6=0

Rn (An cosn�+Bn sinn�)

7.Aplicar el resultado del problema anterior para encontrar el potencial de unconductor cilíndrico in�nito descargado y puesto a tierra, en un campo eléc-trico inicialmente uniforme y perpendicular al eje del cilindro. Hallar ademásel campo eléctrico para puntos fuera del cilíndro y la densidad super�acialde carga.8. Encontrar el potencial � (x; y) en cualquier punto de un tubo de secciónrectangular que se muestra en la �gura 2.11, con las condiciones de fronteradadas en la misma �gura.Respuesta:

� (x; y) =1Pn=0

An sin�n�ax� sinh(n�a y)sinh(n�a b)

donde

An =2a

R a0sin�n�ax�f (x) dx

9. Una esfera conductora de radio R que tiene una carga total Q se coloca enun campo eléctrico inicialmente uniforme E0. Hállese el potencial y el campoeléctrico en todos los puntos exteriores a la esfera.10. Considere dos cilindros coaxiales. El cilindro interior de radio a y a unpotencial �a, el segundo cilindro de radio b > a y a un potencial �b. Calcularel potencial y el campo eléctrico en la región entre los cilindros.

2.5. Problemas Varios de los Capítulos 1 y 2

1. Una esfera conductora de radio R tiene una carga Q uniformente distribui-da. Calcule el campo eléctrico y el potencial en puntos r > R y r < R. Hagaun gá�co de cada una de estas funciones para 0 � r <1:2. Tres cargas se disponen en forma lineal. La carga �2q se coloca en elorigen, y dos cargas cada una de +q se colocan en (0; 0; l) y (0; 0;�l), re-spectivamente. Hállese una expresión relativamente simple para el potencial� (r) válida para distancias jrj � l:3. Dado un cilindro circular recto de radio R y longitud L que tiene una den-sidad volumétrica de carga uniforme �0: Calcular el potencial electrostáticoen un punto sobre el eje del cilindro y externo a la distribución de carga.


4. Dada un región del espacio en que el campo eléctrico es paralelo al eje Xen todos los puntos. Demostrar que el campo eléctrico es independiente de yy z en esta región. Si no hay carga en esta región, demostrar que el campotambién es idependiente de x:5. Dos cáscaras conductoras esféricas de radios a y b se disponen concén-tricamente y se cargan a los potenciales �a y �b respectivamente. Si b > a,hállese el potencial en puntos entre las cáscaras, y en los puntos r > b:6. Dos cáscaras cilíndricas largas de radios a y b se disponen coaxialmentey se cargan a los potenciales �a y �b, respectivamente. Si b > a, hállese elpotencial en puntos entre las cáscaras cilíndricas.7. Hallar la solución a la ecaución de Laplace en el interior de una regiónrectangular 0 � x � 2; 0 � y � 3, sujeta a las siguiente condiciones defrontera

� (x; 0) = � (0; y) = 1 Voltio� (2; y) = � (x; 3) = 0

8. Un dipolo de momento p tiene la dirección del eje +Z y está situado enel origen de coordenadas. Un segundo dipolo de momento p está centrado enel punto (a; 0; a) y señala hacia el origen. Calcular la fuerza sobre el segundodipolo.9. Hállese el potencial de un cuadrupolo axial: cargas puntuales q, �2q, qestan colocadas en el eje Z a distancias l; 0;�l del origen. Hállese el potencialsólo a las distancias r � l, y demuéstre que este potencial es proporcional auno de los armónicos de zona [Pn (cos �)].10. Un electrodo de forma hiperbólica (xy = 4) está colocado por arriba deuna esquina puesta a tierra de ángulos rectos como en la �gura 2.12. Calcule� y E en el punto (1; 2; 0) cuando el electrodo se conecta a una fuente de 20V:

2.5. PROBLEMAS VARIOS DE LOS CAPÍTULOS 1 Y 2 59

Figura 2.12: Digrama para el problema 10.


Capítulo 3

Electrostática en la Materia

3.1. Introducción

Como aún se sigue en electrostática, las ecauciones de Maxwell que se uti-lizaran serán:

r �D =� y r� E = 0,

y se puede continuar usando

E = �r�.

El potencial sin embargo no necesariamente satisface la ecuación de Poisson,porque se debe utilizar la ecuación general

D = �0E+P,

combinando estas ecuaciones queda que

��0r2� +r �P = �.

en general P es una función de E y por lo tanto de �:

P = P (E) = P (�r�) :

Existen materiales, denominados dieléctricos, que se pueden polarizar por laacción de un campo eléctrico externo y quedan con polarización permanente.

61

62 CAPÍTULO 3. ELECTROSTÁTICA EN LA MATERIA

3.2. Dieléctricos Lineales

En estos casos las componentes de P son directamente proporcionales a laprimera potencia de las componentes de E. En general la relación es

Px = �0��xxEx + �xyEy + �xzEz

�Py = �0

��yxEx + �yyEy + �yzEz

�Pz = �0

��zxEx + �zyEy + �zzEz

� (3.1)

Los materiales descritos por la ecuación 3.1 se denominan diléctricos lineales.Como se puede observar P no es paralelo a E y por lo tanto D tampoco esparalelo a E. Los coe�cientes de proporcionalidad �ij son conocidos como lascomponetes del tensor suceptibilidad eléctrica.

3.3. Dieléctricos Lineales Isotrópicos

Se aumirá que el diléctrico es lineal y en cada punto del diléctrico suspropiedades eléctricas son independientes de la dirección de E, con esta nue-va condición el dieléctrico es isotrópico. En este caso P es necesariamenteparalelo a E, y la realción será:

P =�e�0E (3.2)

donde �e se denomina suceptibilidad eléctrica.Combinando las ecuaciones 1.27 y 3.2 queda

D =(1 + �e) �0E =�e�0E =�E (3.3)

donde�e = 1 + �e permitividad relativa (3.4)

� = �e�0 Permitividad eléctrica (3.5)

De la ecuación 3.3 se puede ver que D es paralelo a E. Puesto quer �D =�,entonces se puede escribir, teniendo en cuenta la ecuación 3.3,

r �D =� =r� (�E) = �r� (�r�),o sea

r� (�r�) = �� (3.6)

En este caso � varia de un punto a otro dentro del dieléctrico, o sea

� = � (x; y; z)

Debe entonces asumirse otra condición para simpli�car la ecuación 3.6

3.4. DIELÉCTRICOS LINEALES ISOTRÓPICOSHOMOGÉNEOS (L; I;H)63

3.4. Dieléctricos Lineales Isotrópicos Homogé-neos (l; i; h)

Se asumirá que las propiedades eléctricas son independientes de la posición,estos materiales eléctricamente se denominan homogéneos. Generalmente losgases, líquidos y algunos sólidos caen en esta catergoria. En este caso � es unaconstante característica del material. Por lo que la ecuación 3.6 se convierteen:

r �r� =r2� = ��

(3.7)

obteniendose así la ecuación de Poisson, cambiando la constante �0 por �. Porlo que se puede utilizar la solución de esta ecuación en el vacío simplementehaciendo el cambio de la constante �0 por �.Usando la ecuación 3.3 y las condiciones de frontera dadas por las ecuaciones1.66 y 1.69, se pueden expresar completamente en términos de E.

bn � (�2E2 � �1E1) = � (3.8)

bn� (E2 � E1) = 0 (3.9)

En la ecuación 3.8, la componente normal de E no es continua en la super�ciede separción de los dos medios diléctricos, mientras que la componente tan-gencial si es continua en la super�cie de separación. La situación se muestraen la �gura 3.1, donde E2 no es paralelo a E1 y la dirección de E cambia enla frontera; se dice entonces que las líneas de campo eléctrico se refractan alpasar la frontera.Un caso interesante es cuando en la super�cie de separación entre un mediodieléctrico y el vacío, y además � = 0. Si se usa la condición de frontera dadapor la ecución 1.66, tomando el medio 2 como el vacío, queda

bn � (�0E2 �D1) = bn � [�0E2 � (�0E1 +P1)] = 0,o sea bn � (E2 � E1) = bn � P1

�0(3.10)

Es necesario recalcar que E está determinado por todas las cargas; entoncespor analogía en el caso de D en la ecaución 1.66. se puede interpretar laecuación 3.10, diciendo que la discontinuidad en la componente normal de Eproviene de la densidad de carga ligada, dada por


Figura 3.1: Comportamiento del campo eléctrico cuando pasa de un medio a otro.

�p�0= bn � P

�0,

o sea�p = bn �P =Pn (3.11)

Pudiendose concluir que la densidad de carga ligada en la interface entre undiléctrico polarizado y el vacío es de magnitud igual a la componente normalde la polarización.

3.4.1. Ejemplo 1

Campo eléctrico producido por de una carga puntual dentro de undieléctrico l; i; h:Considerando una carga puntual +q en un dieléctrico l; i; h de extensiónin�nita, caracterizado por una permitividad relativa o constante dieléctrica�e:

Si la carga +q se situara en el vacío, el campo eléctrico sería radial. Perocomo E;D y P, en cada punto, son todos paralelos entre sí, la naturaleza


Figura 3.2: Carga puntual +q dentro de un medio dieléctrico l; i; h:

radial del campo no cambia por la presencia del dieléctrico. Si se aplica laley de Gauus, ecuación 1.28, e integrando ambas partes sobre la esfera de

radio r de la �gura 3.2, se tieneZZ Z

esfera

r �Ddv =ZZ Z

esfera

�dv = q;

aplicando el teorema de la divergencia se llega aZ ZS; cerrada

D�bnda = q,

entonces

4�r2D = q,

entonces

D = q4�r2

.

Se puede escribira ahoraD =

qr

4�r3(3.12)

como


D =�E =�0�eE;

entonces

E =qr

4��0�er3(3.13)

y además

P = �0 (�e � 1)E,

se tiene que

P =qr (�e � 1)4��er3

(3.14)

En la ecuación 3.13 se puede apreciar que el campo eléctrico es menor en unfactor �e de lo que sería si no existiera medio dieléctrico.A continuación se hara un análisis más detallado de la situación; como elcampo eléctrico tiene su origen tanto en la carga libre como la ligada. Lacarga libre es solamente +q y la ligada viene dada por las ecuaciones 1.26 y3.11

�p = �r �P y �p = P�bnsobre la super�cie del dieléctrico en contacto con la carga puntual. Se puedeapreciar en la ecuación 3.14 que

r �P =0, ya que r��rr3

�= 0:

La carga puntual es un punto en el sentido macroscópico, realmente, es grandetomando como base una escala molecular, y se le puede asignar un radio b,que �nalmente se hará tender a cero.

Qp = l��mb!04�b2 (P�bn)r=b = l��m

b!04�b2

hqr(�e�1)4��er3

� (�bur)ir=b

= � (�e�1)q�e

; ahora la

carga total será: Q = Qp + q = q�e: Puede verse ahora más claramente por

qué el campo eléctrico es un factor �e menor de lo que sería sin la existenciadel medio dieléctrico.


Figura 3.3: Un campo eléctrico se distorciona por la presencia de una esfera diléc-trica, aquí se muestran las líneas de campo eléctrico.


3.4.2. Ejemplo 2

Esfera sólida diléctrica dentro de un campo eléctrico inicialmenteuniforme E0 (�gura 3.3)El campo eléctrico se puede expresar como E = buzE0; se supondrá que eldiléctrico es l; i; h y que se caracteriza por una constante diléctrica �e; ademásno tiene cargas libres; por lo tanto el potencial eléctrico dentro y fuera de laesfera satisface la ecuación de Laplace.

r2� = 0 (3.15)

Además por simetría se observa que � = � (r; �). Tomando la solución general(2.42); para puntos fuera de la esfera

�1 (r; �) =1Xn=0

�Anr

n +Bnr�n�1�Pn (cos �) r � a (3.16)

y para puntos dentro de la esfera

�2 (r; �) =1Xn=0

�A0

nrn +B

0

nr�n�1

�Pn (cos �) r � a (3.17)

entonces

�1 (r; �) = A0 +B0r�1 + A1r cos � +B1r

�2 cos � + � � �

y

�2 (r; �) = A00 +B

00r�1 + A

01r cos � +B

01r�2 cos � + � � �

Como en el caso de la esfera conductora solamente se necesitan los términosescritos. No se necesita el término r�1 ( en ambos casos) puesto que supresencia implicaría carga neta en la esfera, o sea

B0 = B00 = 0:

Como aparecen las constantes A0 y A00 para los potenciales, que al calcular

el campo se anulan, podemos hacerlos cero sin pérdida de generalidad o sea

A0 = A00 = 0:


Una condición de frontera será:

�1 (r; �) jr�!1 = �E0r cos � = A1r cos � =) A1 = �E0 (3.18)

Para �2 (r; �) el término que contiene r�2 implicaría que el potencial en elcentro de la esfera fuera in�nito y sería posible si existe un dipolo eléctricoen el centro de la esfera y en realidad este no es el caso; o sea

B01 = 0:

Por todo lo anterior los potenciales toman la forma:

�1 (r; �) = �E0r cos � +B1r�2 cos �; r � a (3.19)

�2 (r; �) = A0

1r cos �; r � a (3.20)

Aplicando la condición de frontera:

E1t = E2t =) E1� jr=a = E2� jr=a =) �1r@�1@�jr=a = �1

r@�2@�jr=a

entonces

�E0a sin � +B1a�2 sin � = A

01a sin �;

al simpli�car llegamos a

E0a�B1a2= �A0

1a (3.21)

Para el vector desplazamiento eléctrico la condición de frontera, al no existircarga libre en la super�cie de la esfera, se convierte en:

D1n = D2n =) D1r jr=a = D2r jr=a =) ��0 @�1@r jr=a = �e�0@�2@rjr=a

entonces

�0E0 cos � + 2B1�0a3cos � = �e�0A

01 cos �,

al simplicar queda

�E0 �2B1a3

= �eA0

1 (3.22)


De las ecuaciones 3.21 y 3.22 se obtiene las constantes B1 y A01 :

B1 =(�e � 1)(�e + 2)

a3E0 (3.23)

A0

1 = � 3E0�e + 2

(3.24)

de tal manera que las soluciones para los potenciales se pueden escribir de laforma:

�1 (r; �) = �E0�1�

��e � 1�e + 2

�a3

r3

�r cos �; r � a (3.25)

�2 (r; �) = ��3E0�e + 2

�r cos �; r � a (3.26)

Las componentes del los campo eléctricos vienen dadas por:

E1r = �@�1@r= E0

h1 + 2

��e�1�e+2

�a3

r3

icos �

E1� = �1r@�2@�= �E0

h1�

��e�1�e+2

�a3

r3

isin �

r > a (3.27)

E2r = �@�2@r=�3E0�e+2

�cos �

E2� = �1r@�2@�= �

�3E0�e+2

�sin �

r < a (3.28)

Se comprueba a continuación que el campo eléctrico dentro de la esfera dieléc-trica es paralelo al campo inicial. A partir de la �gura 3.4 se tiene que:

E0 = E0 cos �bur � E0 sin �bu� (3.29)

por otro lado

E2 =

�3E0�e + 2

�cos �bur�� 3E0

�e + 2

�sin �bu� = � 3

�e + 2

�(E0 cos �bur � E0 sin �bu�)

(3.30)por lo tanto

E2 =3E0�e + 2

(3.31)

Además se puede apreciar que E1 no es perpendicular a la super�cie esférica,como sucede en el caso de la esfera conductora.


Figura 3.4: Esquema de los vectores en coordenadas esféricas.

El vector desplazamiento eléctrico viene dado por

D1r = �0E1r = �0E0

h1 + 2

��e�1�e+2

�a3

r3

icos �

D1� = �0E1� = ��0E0h1�

��e�1�e+2

�a3

r3

isin �

r > a (3.32)

D2r = �e�0E2r = �e�0

�3E0�e+2

�cos �

D2� = �e�0E2� = ��e�0�3E0�e+2

�sin �

r < a (3.33)

Las líneas de campo para el vector desplazamiento eléctrico se ilustra en la�gura 3.5La polarización en la esfera se encuentra de la siguiente manera:

Pr = D2r � �0E2r =3�e�0E0�e+2

cos � � 3�0E0�e+2

cos �

entonces

Pr =(�e�1)(�e+2)

3�0E0 cos � = �0 (�e � 1)E2rP� = D2� � �0E2� = �0

(�e�1)(�e+2)

(�3E0 sin �) = �0 (�e � 1)E2�.


Figura 3.5: Líneas de campo para el vector D:

3.5. CAVIDAD. �DEFINICIONES�DE E Y D: 73

Por lo tanto el vector polarización se escribe como:

P = 3�0

��e � 1�e + 2

�E0 (3.34)

lo cual comprueba que para un diléctrico l; i; h la polarización es paralela alcampo que la produce.Ahora se puede expresar E2 en términos de P como:

E2 =3E0(�e+2)

= E0 +3E0(�e+2)

� E0 = E0 ��e�1�e+2

�E0

entonces

E2 = E0 �P

3�0(3.35)

O sea que el campo dentro de la esfera es menor que el que existía inicial-mente; se puede decir que hay un campo denominado �campo interno� cuyaexpresión es:

Eint = �P

3�0(3.36)

esta situación se ilustra en la �gura 3.6

3.5. Cavidad. �De�niciones�de E y D:

Los dos ejemplos anteriores ilustran la importancia que tienen las cargasligadas en la super�cie de separación entre un medio dieléctrico y el vacío. Sise considera el problema de calcular el campo dentro de una cavidad hechadentro de un dieléctrico se puede observar que es bastante complicado, y elgrado de complicación depende de la forma de la cavidad. Sin embargo paracasos especiales los campos dentro de la cavidad son exactamente iguales a losvalores de D y E en el dieléctrico. Siempre estos resultados fueron sugeridospor el uso de las de�niciones experimentales de estos vectores, porque comose verá ellos indican la manera como determinar los vectores en el dieléctricopor medio de mediciones hechas en la cavidad.La primera cavidad se muestra en la �gura 3.7, es un pequeño cilindro rectocuya altura es muy pequeña comparada con el radio de la base y está hechode manera que su base es perpendicular al campo del dieléctrico. Si se con-sidera un punto cerca del centro de la cavidad, las orillas estaran demasidolejos para afectar los campos, así que Dc (en la cavidad) será paralelo a D


Figura 3.6: Aquí se ilustra la situación dentro de la esfera diléctrica.

Figura 3.7: Cavidad dentro de un medio dieléctrico en forma de cilindro recto depequeña altura, el campo eléctrico en el dieléctrico es paralelo a su eje.

3.5. CAVIDAD. �DEFINICIONES�DE E Y D: 75

(en el dieléctrico). Puesto que por construcción las unicas componentes sonlas componentes normales, que son continuas, de acuerdo a la ecuación 1.67se tiene que Dc = D,entonces

Ec =Dc

�0= D

�0.

Si ahora se imagina una pequeña carga de prueba �q colocada en la cavidady se mide la fuerza F sobre ella, se tiene

F =�qEc = �qD�0,

de tal manera que

D = �0F�q,

por lo tanto en principio se puede medir D en el dieléctrico, midiendo lafuerza sobre una pequeña carga de prueba.Ahora es vez de la cavidad anterior se supondrá una cavidad alargada enforma de aguja hecha con el eje paralelo a E; como se ve en la �gura 3.8.Cerca del centro de la cavidad los efectos de las esquinas seran desprecia-bles y Ec (dentro de la cavidad) será paralelo a E (en el dieléctrico). Puestoque solamente se tienen componentes tangenciales, por contrucción, y soncontinuas de acuerdo a la ecuación 1.69, de tal manera que

Ec = E:

La medida de la fuerza en la carga de prueba colocada en esta cavidad permiteescribir

E = Ec =F�q.

Por lo tanto para este tipo de cavidad se está en capacidad de conseguir ladeterminación de E en el dieléctrico.


Figura 3.8: Cavidad alargada en forma de aguja en un medio dieléctrico, hechaparalela al campo eléctrico.

3.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA 77

3.6. Energía Electrostática

En esta sección el objetivo es calcular la energía requerida para establecer unacon�guración de carga dada, comensado por calcular el trabajo W necesariopara mover una carga puntual q1 desde un punto a hasta otro b dentro delcampo eléctrico producido por una carga puntual q2:

W = �bZ

a

F�dl = �q1bZ

a

E�dl = � q1q24��0

bZa

dr

r2=q1q24��0

�1

rb� 1

ra

�= Ub � Ua

(3.37)donde U es la energía potencial del sistema de las dos cargas, rb y ra son lascorrespondientes separaciones. Si no se tiene en cuenta la constante aditivase puede escribir la energía potencial debido a dos cargas puntuales como,

U12 =q1q24��0r12

(3.38)

donde r12 es la distancia de separción.La energía total para un sistema de cargas puntuales será

Ue =12

Xi

Xj 6=i

Uij =12

Xi

Xj 6=i

qiqj4��0rij

= 12

Xi

qiXj 6=i

qj4��0rij

Recordando la ecuación 1.32, la última sumatoria es �i, el potencial eléctricoen qi debido a las demás cargas, o sea

Ue =1

2

Xi

qi�i (3.39)

como la carga eléctrica se clasi�ca en libre y ligada la ecuación 3. 39 se escribecomo

Ue = Ue; libre + Ue; ligada =1

2

Xi(f)

qi(f)�i +1

2

Xi(b)

qi(b)�i (3.40)

la primera sumatoria se hace sobre las cargas libres y la segunda sobre lascargas ligadas. Es así como se puede dividir la energía de la distribuciónde carga, en una asociada a la distribución de crga libre y una asociada ala distribución de carga ligada. Es necesario recalcar que �i es el potencialdebido a todas las cargas.


Considerando sólo la carga libre y suponiendo una distribución continua dedensidad �, se tiene

Ue; libre =1

2

ZZZV

��dv (3.41)

Usando las ecuaciones 1.28 y 3.41 queda

Ue; libre =1

2

ZZZV

�r �Ddv (3.42)

Usando el hecho que

E = �r�

y además

r� (�D) = �r �D+D �r� = �r �D� E �D,

de la ecuación 3. 42 se llega a

Ue; libre =12

ZZZV

E �Ddv + 12

ZZZV

r� (�D) dv

= 12

ZZZV

E �Ddv + 12

Z ZS; cerrada

�D�bnda (3.43)

Para una distribución �nita de carga y para puntos lejanos de ella, se cumpleque

� s 1r; jDj s 1

r2, Area s r2,

entonces

Z ZS; cerrada

�D�bnda s 1r! 0, si r !1,

3.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA 79

convirtiendose la ecuación 3.43 en

Ue; libre =1

2

ZZ ZT:E

E �Ddv (3.44)

Ahora la energía por unidad de volumen viene dada por

ue;f =1

2E �D : Densidad de energía electrostática (libre) (3.45)

Este es un resultado general, en el caso de que D =�E, la ecuación 3.45 seconvierte en

ue;f =1

2E �D =

1

2�E2 =

D2

2�(3.46)

Se tratará ahora la energía asociada a las cargas ligadas, y asumiendo unadistribución continua de densidad �p = �r �P. Similarmente como en elcaso anterior, se puede decir que,

Ue; ligada =12

ZZZV

�p�dv =

�12

ZZZV

�r �Pdv = �12

ZZ ZDiel�ectrico

P � Edv(3.47)

la densidad de energía asociada a la polarización será:

ue;b �1

2P � E = �1

2�0�eE

2 (3.48)

El factor 12en las expresiones anteriores se debe a que el cálculo se hace por

grupo de cargas.Un caso muy interesante es el de un grupo de cargas en presencia de uncampo eléctrico externo, o sea

U 0e; libre =Xi(f)

qi(f)�ext: !ZZZ

Vf

��ext:dv =

ZZZVf

D � Eext:dv (3.49)

U 0e; ligado =Xi(b)

qi(b)�ext: !ZZZ

Vb

�p�ext:dv = �ZZZ

Vb

P � Eext:dv (3.50)

donde �ext: y Eext: son producidos por un sistema externo de cargas.


Figura 3.9: Dipolo eléctrico permanente.

3.6.1. Ejemplo 3

Energía de un dipolo eléctrico permanente en un campo eléctricoexternoConsiderando un dipolo eléctrico permanente con la la carga positiva en laposición r+dr y la negativa en r, como se muestra en la �gura 3.9; el momentodipolar eléctrico será p =qdr, utilizando la primera parte de la ecuación 3.50

U 0e; dipolo = �q�ext: (r) + q�ext: (r+dr) = q [�ext: (r+dr)� �ext: (r)] (3.51)

entoncesU 0e; dipolo = qd�ext: = qdr �r�ext: = �p � Eext: (3.52)

Ahora, utilizando la segunda parte de la ecuación 3.50

U 0e; dipolo = �ZZ Z

dipolo

P � Eext:dv = �Eext: �ZZ Z

dipolo

Pdv = �p � Eext: (3.53)

igual que el resultado anterior.

3.7. PROBLEMAS 81

3.7. Problemas

1. Dos medios dieléctricos con constantes dieléctricas �1 y �2 se separan poruna super�cie plana. No hay carga libre en la super�cie de separación. Hálleseuna relación entre los ángulos �1 y �2, siendo éstos los ángulos que formanuna recta arbitraria de desplazamiento eléctrico con la normal a la super�cieen cada uno de los respectivos medios.2. Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas una distanciad. El espacio entre ellas contiene un material diléctrico de constante �e. Ladensidad de carga libre es � en una placa y �� en la otra. Hallar el valor de Pen el dieléctrico y la densidad de carga ligada en la super�cie del dieléctricoen contacto con la placa cargada positivamente.3. Considerando el ejemplo 2 demostrar que el campo eléctrico producido,en el centro de una esfera dieléctrica, por la carga ligada super�cial es exac-tamente � P

3�0, como lo predice la ecuación 3.36.

4. Dos cargas puntuales q y �q están inicialmente en el vacío separadas unadistancia a. Una losa de dieléctrico de espesor d < a se introduce en mediode las dos, con las caras perpendiculares a la línea que une a las cargas.Demostrar cualitativamente que la fuerza sobre q es incrementada.5. Se tiene un condensador esférico de radio interno a y radio externo b;elespacio entre las esferas conductoras se llena con dieléctrico de la siguientemanera: un dieléctrico de constante �1 entre a y c y otro de constante �2entre c y b. Demostrar que la capacitancia es

C = 4��0

h1�1a� 1

�2b+ 1

c

�1�2� 1

�1

�i�16. Demostrar que si la densidad de carga libre es cero, la densidad de cargaligada en un dieléctrico (l; i; h) es siempre cero.7. Evaluando la ecuación 3.44 en la región entre las placas de un condensadorde placas paralelas y que está a una diferencia de potencial ��, demostrarque la energía almacenada es 1

2C (��)2 :

8. Una esfera conductora de radio R en el vacío, tiene carga q uniformentedistribuida en su super�cie. Demostrar que la energía electrostática de ladistribución es q2

8��0R:

9. Una varilla delgada de dieléctrico de sección A se extiende sobre el ejeX, desde x = 0 hasta x = L. La polarización de la varilla es a lo largo desu longitud y está dada por Px = ax2 + b. Hállese la densidad volumétrica


de carga ligada y la carga ligada super�cial en cada extremo. Demuestreexplicitamente que la carga ligada total se anula en este caso.10. Un cubo de dieléctrico de lado L tiene una polarización radial dadapor P =Ar, siendo A una constante, y r =buxx + buyy + buzz. El origen decoordenadas está en el centro del cubo. Hállese todas las densidades de cargaligada, y demuéstrese explicitamente que la carga total se anula.11. Demuéstrse la siguiente relación entre la polarización P y las densidadesde carga ligada �p y �p, para una muestra de dieléctrico de volumen V ysuper�cie S: ZZZ

V

Pdv =

ZZZV

�prdv +

Z Zcerrada; S

�prda

Aquí r =buxx + buyy + buzz es el vector posición desde cualquier origen �jo.[Sugerencia: desarrollese r� (xP)]12. Un conductor cilíndrico largo de radio a, que tiene una carga � por unidadde longitud, se sumerge en un medio dieléctrico de permitividad constante �.Hállese el campo eléctrico a una distancia r > a del eje del cilindro.13. Un cilindro dieléctrico largo de radio a y constante dieléctrica �e se colocaen un campo eléctrico uniforme E0. El eje del cilindro se orienta normalmentecon la dirección de E0: El cilindro no tiene cargas libres, determínese el campoeléctrico en puntos interiores y exteriores al cilindro.14. Dos placas conductoras paralelas están separadas por una distancia dy se mantienen a la diferencia de potencial ��. Se pone entre las placasuna plancha dieléctrica, de constante �e y de espesor t < d. determínese losvectores E y D en el dieléctrico y también en el vacío entre el dieléctrico yuna placa. Despreciese los efectos de borde debido a la tamaño �nito de lasplacas.15. Dos placas conductoras paralelas se encuentran separadas por una distan-cia d y se mantienen a la diferencia de potencial ��. Una plancha dieléctrica,de constante dieléctrica �e y de espesor d, se ajusta entre las placas; sin em-bargo ésta no llena completamente el volumen que hay entre dichas placas.Hállese el campo eléctrico en el dieléctrico y en la regió de vacío entre lasplacas. Hállese la densidad de carga � en la parte de la placa en contacto conel dieléctrico y en contacto con el vacío. Hállese �p sobre la super�cie de laplancha dieléctrica.16. Una esfera conductora de radio R �ota sumergida a la mitad en un mediodieléctrico líquido de permitividad �1. La región por encima del líquido es un

3.8. PROBLEMAS VARIOS CAPÍTULO 3 83

gas de permitividad �2. La carga libre total sobre la esfera es Q. Hálleseun campo eléctrico radial del inverso del cuadrado que saisfaga todas lascondiciones de frontera y determínese las densidades de carga libre, ligaday total en todos los puntos sobre la super�cie de la esfera. Formúlese unargumento para demostrar que este campo eléctrico es el existente.17. Un campo eléctrico uniforme E0 se forma en un medio de constantedieléctrica �e. Demuéstrese que el campo en una cavidad esférica en el medioes:

E = 3�eE02�e+1

18. Se dá una distribución esférica de carga de radio R y densidad uniformede carga �0. Determínese la energía de la distribución de dos formas (a)Por integración directa de la ecuación 3.41 (b) Por una integración sobre elcampo, ecuación 3.44.

3.8. Problemas Varios Capítulo 3

1. La carga total de polarización contenida en un volumen de material dieléc-trico polarizado es nula. Demuéstre esta a�rmación a partir de integrales desuper�cie y de volumen de las expresiones correspondientes. compruebe estehecho en el caso de un aislador sólido de radio b y longitud L, cuya basereposa sobre el plano XY . El dieléctrico es (l; i; h), y está sometido a uncampo dado por: E =buRR2 cos�+ buzz22. Una esfera dieléctrica de radio R tiene una densidad uniforme de cargalibre �0. Demostrar que el potencial en el centro de la esfera es: � (0) =(2�e+1)2�e

�0R2

3�0; �e es la constante dieléctrica.

3. Una esfera dieléctrica de radio R está polarizada de forma que P =bur dr ,siendo bur el vector unitario radial.(a) Calcular la densidad volumétrica de carga ligada(b) Calcular la densidad volumétrica de carga libre(c) Calcualar el potencial dentro y fuera de la esfera(d) Hacer la gra�ca de � (r) desde r = 0 a r !1

4. Se dá una cáscara esférica de dieléctrico (radio interior a y radio exteriorb) y una carga puntual q, in�nitamente separada, colóquese la carga puntualen el centro de la cáscara de dieléctrico. Determínese el cambio en la energíadel sistema.


5. Una concha cilíndrica (in�nita en la dirección Z) de un material dieléctricode constante dieléctrica �e, y radios interior y exterior a y b (b > a) respec-tivamente. Se introduce en un campo eléctrico uniforme E0 y perpendicularal eje del cilindro. El medio dentro y fuera de la concha es vacío (�e = 1).(a) Determinar el potencial y el campo eléctrico en cada uns de las tres

regiones: r < a; a < r < b; r > b:(b) Discutir los casos límites a! 0 y luego b!1:

Capítulo 4

Campos y CorrientesEstacionarios

4.1. Introducción

El caso estacionario que se tratará a continuación está determinado por lassiguientes condiciones J 6= 0, pero @J

@t= 0 y @�

@t= 0, la última expresión

implica que no hay acumulación de carga en la regiónPara la situación que se estudiará ahora las ecuaciones de Maxwell a utilizarson las siguientes

r �B = 0 y r�H = J (4.1)

4.2. Condiciones de Frontera

Partiendo de la primera de las ecuaciones de la expresión 4.1

Z Zcerrada S

B�bnda = ZZZV

r �Bdv = 0

tomando como super�cie el pequeño cilindro de la �gura 4.1, similarmentecomo se procedió en el caso eléctrico se tine que: B2n�S � B1n�S = 0,entonces

B2n = B1n (4.2)

85

86 CAPÍTULO 4. CAMPOS Y CORRIENTES ESTACIONARIOS

Figura 4.1: Condiciones de frontera para el caso magnético.

Esto quiere dedcir que la componente normal de la inducción magnética escontinua cuando atraviesa una super�cie de separación. También se puedeescribir como bn� (B2 �B1) = 0 (4.3)

Tomando en cuenta la segunda ecuación de la expresión 4.1IC

H�dl =ZZS

(r�H) �bnda = ZZS

J�bnda = I

tomando como la trayectoria C el rectangulo mostrado en la �gura 4.1H2t�l � H1t�l = K�l, donde K es la componente de la corriente super-�cial normal al plano de la trayectoria; de donde

H2t �H1t = K (4.4)

o también bn� (H2 �H1) = K (4.5)

La discontinuidad de la componente tangencial de H es igual a la densidadsuper�cial de corriente.


Hasta ahora se habia considerado solamente la situación estática, en la cualtodas las cargas están en reposo relativo y en particular se encuentra que esimposible que dentro de un conductor exista un campo eléctrico. Por otraparte al aplicar una diferencia de potencial a un conductor y suministrarleenergía continuamente produciendose un movimiento estable de carga eléc-trica, esto es, hay corriente eléctrica en el conductor. Este movimiento decarga implica la existencia de un campo eléctrico dentro del conductor.El campo eléctrico consevativo no puede abastecer de energía a las cargas enel circuito cerrado; por consiguiente en alguna parte del circuito deben estarlas fuentes de energía. Las más familiares de estas fuentes son las baterias;ellas abastecen de energía a las cargas a través de reacciones químicas, si bienno es inmediatamente evidente, son efectos esencialmente electromagnéticos.Por simplicidad se dará por sentado desde ahora, que no hay ninguno de estoscampos eléctricos no conservativos dentro de algunas regiones que estaranconsiderando, de modo que es válida la ecuación E = �r�, tal región seráel interior de un conductor con corriente.Por ahora, se va a considerar solamente el caso estacionario en el cual J 6= 0,pero @J

@t= 0 y @�

@t= 0, como se indica en al introducción no hay acumulación

de carga en la región. Entonces, por la ecuación de continuidad

r � J = 0 (4.6)

Si se recuerda, que las condiciones de frontera de la ecuación 4.3 se obtienen apartir de la ecuación r �B = 0; se puede escribir unas condiciones similarespara J en la super�cie de separación de dos medios

bn � (J2 � J1) = 0 (4.7)

También se tiene la de�nición de J, la corriente total a través de una super�cieS es

I =

ZZS

J�bnda (4.8)

La principal ley experimental en este campo es la ley de Ohm, la cual esválida bastante bien para metales y soluciones electrolitas, pero no es unarelación universal. Tal ley se expresa como

I =��

R(4.9)


Figura 4.2: Tramo de un conductor cilíndrico de sección A que lleva una corienteI a través de su longitud.

Donde I es la corriente, �� la diferencia de potencial entre los puntos delconductor en cuestión, y R es una factor de proporcionalidad llamado laresistencia del conductor y está medida en ohmios () y puede dependerde la temperatura, pero de otro modo puede considerarse constante y, enparticualr es independiente del campo. Es conveniente convertir la ecuación4.9 en otra en términos de J:Considerando el volumen cilíndrico pequeño en el conductor mostrado en la�gura 4.2. Experimentalmente se tien que R es proporcional a la longitud einversamente proporcioanl a el área de la sección transversal, esto es

R = �l

A=

l

gA(4.10)

El factor de proporcionalidad � es el llamado resistividad del material, y gla conductividad del mismo. Sustituyendo la ecuación 4.10 la ecuación 4.9,utilizando la ecuación 4.8 y el hecho que E = �r�; se tiene que:

IA= g

��l

�=) J = gE


donde E es el campo eléctrico dentro del conductor, si se toma el caso deconductores isotrópicos, la ley de Ohm se expresa como

J =gE (4.11)

Con el uso de la ecuación 4.11 se puede escribir ahora la ecuación 4.7 como

bn � (g2E2 � g1E1) (4.12)

Si comparamos la ecuación 4.12 con las ecuaciones para las condiciones defrontera para el campo eléctrico E dada por las siguientes expresiones:

bn� (�2E2 � �1E1) = 0 y bn� (E2 � E1) = 0Observamos que se tiene una situación similar; de aquí que las líneas decampo están refractadas cuando atraviesan el límite entre dos medios.También para un conductor homogéneo, se encuentra que:

r � J = 0 =)r� (gE) = 0 =) �gr �r� = 0 =)r2� = 0

lo que quiere decir que, para corriente estacionarias el potencial eléctricosatisface la ecuación de Laplace.Este hecho es la base de una forma experimental de resolver la ecuación deLaplace que establece los valores de � en el límite de una región conduc-tora. Entonces si se mide la magnitud y dirección de la corriente, se puededeterminar el campo eléctrico en toda la región por el uso de la ecuación4.11.El trabajo realizado por el campo eléctrico cuando una carga q es movi-da entre dos puntos, cuya diferencai de potencial es ��, esta determina-do por W = �q��. Para corrientes estacionarias, ésta energía consumidaaparece como calor, y la energía puede ser constantemente suministrada porlas fuentes externas para mantener el estado estacionario. Se puede tambiéntener ésta realción en términos de cantidades microscópicas. Si el trabajo Wes ejecutado en un tiempo t en el volumen de la �gura 4.2, la producción decalor por unidad de volumen y unidad de tiempo, w es:

w = WtAl= � q��

tAl=�IA

� ��

l

�= JE

usando la ecuación 4.11 se puede escribir

w = J � E = gE2 =J2

g(4.13)


Figura 4.3: Campo magnético producido por una bobina toroidal.

4.3. Magnetostática

Cuando los campos son constantes en el tiempo, las ecuaciones de Maxwellque se utilizaran serán las determinadas porr la ecuación 4.1.Si el problema posee su�ciente simetría, con frecuencia puede ser resueltomuy facilmente utilizando estas ecuaciones directamente.

4.3.1. Ejemplo 1

Campo magnético de una bobina toroidal.Suponiendo una corriente I que �uye a través de un conductor el cual esdevanado alrededor de un toro de sección transversal pequeña. En la �gura4.3 se muestra unas cuantas vueltas; el radio del circulo formado por el ejedel toro es R:Por simetría, H está dirigido a lo largo de la circunferencia concéntrica conel circulo axial y debe tener magnitud constante en esta circunferencia. Sicalculamos la integral de línea de H alrededor de la trayectoria llamada L yusando la ecuación 4.1 encontramosIL

H�dl =HIL

dl = HL = H2�R =

ZZS

(r�H) �bnda = ZZS

J�bnda = NI

4.3. MAGNETOSTÁTICA 91

Entonces

H =NI

2�R(4.14)

Si el diámetro de la sección transversal del toro es pequeño comparado con R,todas las trayectorias similares a través del toro tienen aproximadamente lamisma circunferencia por lo tanto H será aproximadamente constante sobrela sección transversal del toro.

Si calculamosILi

H�dl, encontramos HiLi = 0, puesto que no hay corriente

encerrada por la trayectoria, por consiguiente Hi = 0:Integrando sobre la trayectoria L0, encontramos también que H0L0 = 0 yH0 = 0, puesto que cada correinte que pasa en una dirección sale en ladirección contraria, dando una corriente total nula.Así se observa que el campo producido por una bobina toroidal eatá sola-mente dentro del toro, si hay vacío dentro del toro, se tiene que

B = �0H =�0NI

2�R(4.15)

De manera similar a lo visto en materiales dieléctricos, se puede de�nir unmaterial magnético lineal, isotrópico y homogéneo por la ecuación

M = �mH (4.16)

donde �m es suceptibilidad magnética. En el caso magnético M está es-crito como proporcional a H, más bien que a B. A M se denomina vectormagnetización. Se aclara además, que un material el cual es lineal, isotrópi-co y homgéneo es sus propiedades magnéticas no necesita ser así en suspropiedades eléctricas, y viceversa.Los materiales magnéticos más conocidos, tal como el hierro, no pueden serdescritos por la ecuación 4.16 y ellos tienen mucho más complicado el fun-cionamiento; la suceptibilidad magnética puede se negativa como positiva.Para el caso en que la ecuación sea satisfecha tenemos:

B = �0 (H+M) = �0 (1 + �m)H = �m�0H = �H (4.17)

donde �m = 1 + �m es la permeabilidad realitiva y � = �m�0 es la perme-abilidad absoluta.Si el toro es ahora llenado completamente con un material (l; i; h) magnéticoe I permanece constante, en la ecuación 4.14 observamos que H no varía,


mientras que B toma el valor de �m�0H. La proporción de los dos valoresde B, con o sin material magnético, es �m; este resultado es la base para unmétodo de como medir la permeabilidad magnética.

4.4. Potencial Escalar Magnético

Si J = 0, entonces r�H = 0 y se puede escribir que H = �r�m. Si adi-cionamos que B =�H; siendo � constante, se tiene también que

r �B = 0 = �r �H = ��r2�m.

así quer2�m = 0 (4.18)

Se puede concluir que en ausencia de corriente reales y materiales (l; i; h)magnético, H puede derivarse de un potencial escalar, el cual satisface laecuación de Laplace.De este resultado, muchos problemas magnéticos pueden ser resueltos ha-ciendo uso de su analogía aproximada con los problemas electroatáticos.Las condiciones de frontera serán las ecuaciones 4.2 y 4.4 con K = 0:

4.5. Problemas con Valores en la Frontera

Se va considerar dos casos(i) Material magnético lineal o �aproximadamente lineal�para el cual B =�H

(ii) Una pieza uniformente magnetizada para el que r �M = 0. Para amboscasos r �H = 0, por lo tanto se tiene que r2�m = 0 (ecuación de Lapace).De donde se puede deducir a H y además como H = �r�m y B = �H oB = �0 (H+M)

4.5.1. Ejemplo 2

Esfera de material magnético lineal de radio a y permeabilidad �,colocada en un campo magnético inicailmente uniforme B0:

4.5. PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA 93

Solución: Considerando a B0 = B0buz; la solución de la ecuación de Laplacees en este caso similar al problema de la esfera dieléctrica que se trato en elejemplo 2 del capítulo 3. de tal manera que las soluciones adecuadas seran

�m1 (r; �) = A1r cos � + C1r�2 cos � para r > a (4.19)

�m2 (r; �) = A2r cos � + C2r�2 cos � para r < a (4.20)

Una de las condiciones de frontera sera:

B = B0buz cuando r !1 =) H = B0�0buz cuando r !1;

de tal manera que

�m1 = �B0�0z cuando r !1 =) �m1 = �B0

�0r cos � cuando r !1;

comparando con la ecuación 4.19 se obtiene que:

A1 = �B0�0

(4.21)

Como �m2 y campo magnético asociado no pueden ser in�nitos en ningúnpunto (en particular r = 0). De la ecuación 4.20 se tiene que

C2 = 0 (4.22)

Remplazando las expresiones 4.21 y 4.22 en las ecuaciones 4.19 y 4.20 queda

�m1 (r; �) = �B0�0r cos � + C1r

�2 cos � r > a (4.23)

�m2 = A2r cos � r < a (4.24)

Aplicando las condiciones de frontera para r = a

H1� jr=a = H2� jr=a y B1r jr=a = B2r jr=a (4.25)

entonces��1r@�m1@�

�r=a

=��1r@�m2@�

�r=a

y �0��@�m1

@r

�r=a

= ��@�m2

@r

�r=a

entonces


�B0�0sin � + C1

a3sin � = A2 sin � y B0 cos � + 2�0

C1a3cos � = ��A2 cos �

entonces

A2 = �B0�0+C1a3

y B0 + 2�0C1a3= ��A2 (4.26)

Resolviendo el sistema de ecuaciones se llega a

C1 =

��0� 1�

(�+ 2�0)B0a

3 y A2 = �3B0

�+ 2�0(4.27)

Remplazando la ecuación 4.27 en 4.23 y 4.24

�m1 (r; �) = �B0�0r cos � +

B0a3 cos �

r2

��0� 1�

(�+ 2�0)(4.28)

y

�m2 (r; �) = �3B0r cos �

�+ 2�0(4.29)

Ahora

B1 = �0r�1 = ��0�bur @�m1@r

+ bu� 1r @�m1@�

�entonces

B1 (r; �) = bur �B0 cos � + 2B0a3 cos �r3

��0�1�

��0+2��+bu� ��B0 sin � + B0a3 sin �

r3

��0�1�

��0+2��

De tal manera que:

B1 (r; �) = (burB0 cos � � bu�B0 sin �) + ��0�1�

��0+2� �a

r

�3B0 (bur2 cos � + bu� sin �)

�nalmente se escribe

B1 (r; �) = B0buz +��0� 1�

��0+ 2� �a

r

�3B0 (bur2 cos � + bu� sin �) ; r > a (4.30)

Para puntos dentro de la esfera:


B2 (r; �) = ��r�m2 = ��bur @�m2@r

+ bu� 1r @�m2@�

�entonces

B2 (r; �) = ��bur 3B0 cos �(1+ 2�0

� )+ bu� 3B0 sin �(1+ 2�0

� )

�luego

B2 (r; �) =3

(1+ 2�0� )(burB0 cos � � bu�B0 sin �)

por consiguiente

B2 (r; �) =3B0buz�1 + 2�0

�

� ; r < a (4.31)

4.5.2. Ejemplo 3

Campo magnético producido por una esfera magnetizada unifor-mente. de magnetización M y radio a, cuando no están presentesotros campos magnéticos.Solución: Por la simetría del problema se puede considerar la magnetizaciónen la dirección del eje Z y como se ha comentado inicialmente en este casotambién se cumple que r2�m = 0 y H = �r�m, pudiendo decir que lasolución de la ecaución de Laplace más adecuada es:

�m1 (r; �) =1Xn=0

C1nr�(n+1)Pn (�) ; r > a (4.32)

�m2 (r; �) =

1Xn=0

A2nrnPn (�) ; r < a (4.33)

Para �m1 no se ha considerado potencias positivas de r, puesto que haríain�nito para puntos lejanos y para �m2 no se ha considerado potencias neg-ativas de r, puesto que se haría in�nito en el centro de la esfera.Aplicando las condiciones de frontera en r = a: H1� = H2� y B1r = B2r,entonces de la primera expresión se tiene que�

�1r@�m1@�

�r=a

=��1r@�m2@�

�r=a


entonces

1Xn=0

�� 1aC1na

�(n+1) dPn(�)d�

�=

1Xn=0

�� 1aA2na

n dPn(�)d�

�luego

1Xn=0

�C1na

�(n+1) � A2nan�a�1

dPn (�)

d�= 0 (4.34)

Utilizando la segunda condición de frontera

�0 (H1r)r=a = �0 (H2r +Mr)r=a

entonces

�0��@�m1

@r

�r=a

= �0��@�m2

@r+M cos �

�r=a

de donde

�0

1Xn=0

C1n (n+ 1) a�(n+2)

Pn (�) = ��01Xn=0

A2nnan�1Pn (�) + �0M cos �

�nalmente

C10a�2 +

1Xn=1

Pn (�)�C1n (n+ 1) a

�(n+2) + A2nnan�1��M cos � = 0 (4.35)

Como cada Polinomio de Legendre Pn (�) es una función distinta de �, sonademás linealmente independientes, entonces, para que las ecuaciones 4.34 y4.35 sean válidas, cada uno de los términos en que interviene un Pn (�) o dPn

d�

debe anularse individualmente.De la ecuación 4.34, para n = 0, dP0

d�= 0 y de la ecuación 4.35, para n = 0,

C10a�2 = 0 =) C10 = 0 y A20 es indeterminada; pero como A20 es el término

constante en el potencial; puede igularse a cero sin afectar a H y B.Para n = 1, de las ecuaciones 4.34 y 4.35 se tiene C11a�3 � A21 = 0 y2C11a

�3 + A21 �M = 0. Resolviendo este par de ecuaciones se obtiene

C11 =13Ma3 y A21 = 1

3M


Para todo n � 2, los únicos C1n y A2n compatibles con las ecuaciones 4.34 y4.35 son C1n = 0 y A2n = 0.En de�nitiva los potenciales quedaran

�m1 (r; �) =1

3M

�a3

r2

�cos �; r > a (4.36)

�m2 (r; �) =1

3Mr cos �; r < a (4.37)

Ahora

H1 (r; �) = �r�m1 (r; �) = �bur @�m1@r� bu� 1r @�m1@�

entonces

H1 (r; �) =1

3M�ar

�3(bur2 cos � + bu� sin �) ; r > a (4.38)

H2 (r; �) = �r�m2 (r; �) = �bur @�m2@r� bu� 1r @�m2@�

de donde

H2 (r; �) = �1

3M (bur cos � � bu� sin �) = �1

3Mbuz = �1

3M (4.39)

Para la inducción magnética B, se tiene B1 = �0H1 =)

B1 (r; �) =�0M

3

�ar

�3(bur2 cos � + bu� sin �) ; r > a (4.40)

y

B2 = �0 (H2 +M) = �0��13M+M

�entonces

B2 (r; �) =2

3�0M; r < a (4.41)

Las líneas de campo tanto de B como H se indican en la �gura 4.4


Figura 4.4: Líneas de campo de B y H para una esfera magnetizada uniformente;las líneas de B se cierran sobre si mismas, pero las de H nacen y mueren en lasuper�cie de la esfera donde se halla la �carga�magnética M�bn.4.6. Potencial Vectorial Magnético

Volviendo al caso más general para el cual J 6= 0, aquí se debe utilizar laecuación 4.1, como se observa facilmente no se puede introducir un potencialescalar. Sin embargo podemos en su lugar usar un potencial vectorial A; estose puede hacer basandose en el hecho que r� (r�A) = 0 y que r �B = 0,entonces se puede escribir que

B =r�A (4.42)

Ahora se tiene que ver como encontrarA, se debe suponer que se está tratan-do con situaciones en las cuales � es independiente de la posición. Entoncesde las ecuaciones 4.1 y 4.2 se tiene

�r�H =�J =r�B =r� (r�A) =r (r �A)�r2A (4.43)

Se puede demostrar que una función vectorial está completamente determi-nada si su rotacional y divergencia con conocidos en todos los puntos delespacio. Ya se tiene de�nido el r�A que dá B, por lo tanto se está librede escoger r �A de cualquier manera arbitraria y conveniente, puesto queno afectará la solución física como se describe en la ecuación 4.42. Esto esaproximadamente análogo al hecho que un potencial escalar pueda tener unaconstante escalar aditiva. Si se regresa ahora a la ecuación 4.43 se ve que una

4.6. POTENCIAL VECTORIAL MAGNÉTICO 99

buena escogencia esr �A = 0 (4.44)

convirtiendose la ecuación 4.43 en

r2A = ��J (4.45)

como las componentes r2Ax = ��Jx etc, satisfacen la ecuación de Poisson,pudiensose utilizar su solución ya estudiada anteriormente.

Ax =�

4�

ZZ ZT:E

Jxdv

r(4.46)

así que

A =�

4�

ZZ ZT:E

Jdv

r(4.47)

Este resultado muestra, que si son dados la distribución de las corrientes entodas partes se puede encontrar a A y a partir de él el valor de B en todaspartes.Como en el caso electrostático, se pueden presentar situaciones en que cono-cemos a J sólo en una región limitada del espacio y desconocemos la dis-tribución de las corrientes fuera de esa región. Se procede entonces de unamanera similar como se trató en elctrostática, es decir, cambiar la solucióngeneral de la ecaución de Laplace con solución especial de la ecuación 4.45,satisfaciendo la solución la condición 4.4.En esta etapa, es de interés ver que la solución que se obtuvo para A en laecuación 4.47 es realmente equivalente a la ley de Ampère, vista con anteriri-dad. Por simplicidad, daremos por sentado que para un medio no magnéticodonde � = �0 la ecuación 4.47 llega a ser

A =�04�

ZZZV

Jdv

r(4.48)

Discutiremos la situación simple mostrada en la �gura 4.5. Como un primerpaso se tranformará el intergrando de la expresión 4.48, para tal �n la sec-ción transversal de la región ocupada por la corriente Ise debe llamar S yconsiderando el pequeño elemento de longitud dl, entonces I = JS y si mul-tiplicamos por dl obtenemos Idl = J (Sdl) = Jdv, donde dv es el volumen


Figura 4.5: Elemento de corriente Idl; de un circuito �lamentario.

de la pequeña porción de cargas que conforman la corriente; puesto que J ydl son paralelos, se puede escribir

Jdv = Idl (4.49)

remplazando en la expresión 4.48

A =�0I

4�

IC

dl

r(4.50)

y por lo tanto de la expresión 4.42 se tiene

B =�0I

4�r�

IC

dl

r(4.51)

Dado que la operación rotacional envuelve derivadas con respecto a las coor-denadas (x; y; z) del punto P , en la �gura 4.5, en el cual se quiere encontrara B, y puesto que la integración está sobre las coordenadas (x0; y0; z0) del ele-mento de corriente Idl, se puede intercambiar las opreaciones en la ecuación4.51; esto dá

B =�0I

4�

IC

r��dl

r

�(4.52)

4.7. INDUCTANCIA Y ENERGÍA MAGNÉTICA 101

pero

r��dl

r

�=r�dlr

+r�1

r

��dl =r

�1

r

��dl (4.53)

puesto que r�dl = 0, por ser dl independiente de (x; y; z). También

r�1

r

�= �rr

r2(4.54)

y @r@x= x�x0

r, etc, porque r =

�(x� x0)2 + (y � y0)2 + (z � z0)2

� 12 ; por con-

siguienterr = r

r(4.55)

si se combina las expresiones 4.53 y 4.54. introduciendo 4.52 se encuentraque

B =�0I4�

IC

�� rr3

��dl = �0I

4�

IC

dl�rr3

lo cual es exactamente lo que se obtuvo originalmente de la Ley de Ampère,expresión conocida como ley de Biot-Savart.

4.7. Inductancia y Energía Magnética

El objetivo principal es obtener una expresión para la energía en un campomagnético estático; en este caso es mucha más di�cil de encontrar que para elcaso electrostático, de tal amnera que se tratará de simpli�car los resultados.Si se aplica la ley de Faraday para el siguiente caso: una coriente I1en uncircuito C1 que produce una inducción magnética B1, en todos los puntos delespacio, en particular en el circuito C2; al cambiar la corriente I1, tambiéncambia B1 y por lo tanto hay una fem inducida en el circuito C2. De talmanera que se escribe que

"2 =

IC2

E2 � dl2 = � @@t

ZZS2

B1 � bn2da2 = � @@t

ZZS2

(r�A1) � bn2da2 =� @@t

IC2

A1 � dl2 = � @@t

IC2

�I14�

IC1

dl1�dl2r12


entonces

"2 = �

24 �

4�

IC1

IC2

dl1 � dl2r12

35 @I1@t

(4.56)

donde se ha hecho uso de la expresión 4.50 y que el espacio es de permeabil-idad �. ahora podemos escribir

"2 =

IC2

E2 � dl2 = L12@I1@t

(4.57)

donde

L12 =�

4�

IC1

IC2

dl1 � dl2r12

(4.58)

L12 es llamada la inductancia mutua entre los circuitos C1 y C2: Es un factorpuramente geometrico y puede ser calculado por las con�guraciones de loscircuitos por medio de la ecaución 4.58.Cuando los subindices 1 y 2 se permutan en la ecuación 4.58 el resultado esel mismo, de tal manera el factor de proporcionalidad si se va a calcular lafem inducida en C1 debido a una corriente variable en C2, es

L21 = L12 (4.59)

aún cuando se tenga un solo circuito, la inducción producida por la corrientese presentará en el mismo circuito, luego un cambio en la corriente induceuna fem (fem autoinducida) en este, así que se puede escribir

"1 = �L11@I1@t

(4.60)

L11 es la llamada autoinductancia y de 4.58 es dada por

L11 =�

4�

IC1

IC1

dl � dl0r

(4.61)

excepto que ahora la ecuación 4.61 envuelve una doble integración sobre elmismo circuito.

4.8. ENERGÍA MAGNETOSTÁTICA. 103

Como puede verse en las integrales 4.58 y 4.61 el proceso de calcularlas sonalgunas veces di�ciles y entonces es conveniente usar otra relación que de lainductancia. cobinando la ley de Faraday y la expresión 4.57 obtenemos:

@�m2@t

= L12@I1@t

(4.62)

Si integramos 4.62 y usamos la condición que �m2 = 0 cuando I1 = 0,obtenemos �m2 = L12I1 o que

L12 =�m2I1

(4.63)

este resultado muestra que la inductancia mutua es igual al �ujo intersectadopor el circuito C2 por la corriente unidad en el circuito C1, y es fácil de usareste mismo tipo de relación, válido por supuesto, para la autoinductancia,que es:

L11 =�m1I1

(4.64)

se quiere ahora ilustrar el uso de 4.64 en el siguiente ejemplo.

4.7.1. Ejemplo 4

Autoinductancia de una bobina toroidal.Puesto que la inducción magnética dentro del toro es: B = �NI

2�R; si el diámetro

de la sección transversal es pequeño comparado con el radio del toro, B esaproximadamente constante sobre la sección transversal, por lo tanto el �ujototal a través de todas las vueltas es: �m = NBS = �SN2I

2�R; donde S es el

área de la sección transversal. De la expresión 4.64 se tiene que L11 = �mI,

entonces

L11 =�SN2

2�R(4.65)

4.8. Energía Magnetostática.

Se usará el término energía magnetostática para refereise a la energía de unadistribución de corrientes libres. Se encontrará el trabajo que debe realizarsepara establecer una corriente �nal If en una autoinductancia L: Cuando lacorriente tiene el valor I, la fem autoinducida es LdI

dt. Por de�nición la fem


es el trabajo por unidad de carga, cuando aumentamos la carga en Idt, laenergía magnética varía en

dUm = LdI

dtIdt = LIdI (4.66)

por lo tanto la energía total necesaria para llegar a la corriente �nal If es

Um =

IfZ0

LIdI =1

2LI2f (4.67)

Es conveneiente escribir el resultado en otra forma, al remplazar 4.61 en 4.67se obtiene

Um =12I2 �

4�

IC

IC

dl�dl0r= 1

2

IC

Idl�

24 �4�I

IC

dl0

r

35haciendo uso de 4.49 y 4.50 se obtiene

Um =1

2

ZZ ZT:E

J �Adv (4.68)

Se puede transformar este resultado de modo que la energía sea expresadaen términos de los campos. Tomando la siguiente expresión:

r� (H�A) = A �r�H�H �r�A = J �A�B �H

donde se ha utilizado la ecuaciones 4.1 y 4.42, por lo que la expresión 4.68puede ser escrita como

Um =12

ZZ ZT:E

B �Hdv + 12

ZZ ZT:E

r� (H�A) dv

= 12

ZZ ZT:E

B �Hdv +Z ZcerradaS!1

(H�A) �bnda (4.69)

4.9. PROBLEMAS 105

La última integral debe anularse por la mismos argumentos que se dieron enel caso electrostático, quedando entonces

Um =1

2

ZZ ZT:E

B �Hdv (4.70)

Se puede hablar tmabién de una densidad de energía magnetostática como

um =1

2B �H =

1

2�H2 =

B2

2�(4.71)

4.9. Problemas

1. La región entre las placas de un condensador plano-paralelo es llenadocon un medio de conductividad g. si la diferencia de potencial es mantenidaconstante, encuentre la corriente total entre las placas. Muestre también quela resistencia está relacionada con el valor de la capacitancia en el vacío C0por: R = �0

gC0.

2. Con la ayuda de la ecuación de continuidad y la ley de Ohm (ecuación4.11), demuestre que la ecuación que describe la densidad de carga en unconductor es @�

@t= �g�

�. Encuentre el tiempo requerido por una densidad

de carga prexistente dentro de un conductor para disminuir a 1ede su valor

inicial. ¿Qué le pasa a la carga?3. Un alambre in�nitamente recto y largo de radio a lleva una corrienteI distribuida uniformemente sobre su sección transversal. Demuestre que,las direcciones de H forman circulos concentricos con el eje del alambre.Demuestre que la magnitud de H fuera del alambre y a una distancia r desu eje es: I

2�r. También, encuentre H dentro del alambre.

4. Un cilindro in�nitamente largo, tiene permeabilidad �, está colocado enun campo magnético externo inicialmente uniforme y perpendicular al eje delcilindro. Encuentre B y H fuera y dentro del cilindro. EncuentreM y luegodemuestre que el factor de desmagnetizante es 1

2:

5. Se dá una bobina toroidal de doble devanado N1 y N2, radio medio R yárea transversal S. Demuestre que la inductancia mutúa en los dos devanadoses

L12 =�N1N2S2�R


6. Encuentre la energía magnética producida por un solenoide toroidal quelleva una corriente constante I, y de ese modo veri�car directamante que estaes igual a 1

2LI2:

7. Demuestre que el trabajo requerido para establecer una corriente I, en uncircuito C1 y una corriente I2 en un circuito C2 es:

Um =12L11I

21 + L12I1I2 +

12L22I

22

8. Si se aplica la fórmula um = 12B �H al interior de una esfera uniformemente

magnetizada, se encuentra um es negativo porque B yH son opuestos. ¿Cuáles la solución a esta di�cultad aparente?9. Una bobina toroidal de N vueltas, se enrrolla sobre una forma no mag-nética. Si el radio medio dela bobina es b y el radio de la sección de la formaes a. Demuestre que la autoinductancia de la bobina está dada por:

L = �0N2�b�

pb2 � a2

�10. Se dá una cascara esférica, radio interno R1, y radio externo R2, quese magnetiza uniformente en la dirección del eje Z. La magntización en lacascara esM0 =M0buz. Hallese el potencial escalar �m para puntos sobre eleje Z, tanto dentro como fuera de la cascara.11. Demuéstrese que el potencial vectorial magnético para dos alambres lar-gos rectos paralelos, que conducen una corriente de la misma intensidad I,en sentidos opuestos está dado por:

A =�0I2�ln�r2r1

� bndonde r1 y r2 son las distancias desde el punto del campo a los alambres, ybn un vector unitario paralelo a los alambres.12. Si J =kR2buz, en coordenadas cilíndricas (a) Halle H por medio de la leyde Ampère. (b) Demuestre que r�H = J

13. Se evidencia por la ecuación r �B = 0 que sólo cierta clase de camposvectoriales llenan el requisito de un campo de inducción magnética física-mente realizable. Veri�quese que:

B =�rr

��rG (r)

4.10. PROBLEMAS VARIOS CAPÍTULO 4 107

dondeG (r) es una solución de la ecuación de Laplace, es un campo magnéticoadecuado, y hállese la densidad de corriente J que lo produce.14. Se da el siguiente conjunto de conductores: un alambre recto in�nita-mente largo rodeado por una envolvente cilídrica delgada de metal (a unradio b) dispuesta coaxialmente con el alambre. Los dos conductores con-ducen corrientes de igual intensidad I, pero de sentidos contrarios. Hállese elpotencial vectorial magnético del sistema.15. Un circuito está formado por dos cáscaras cilíndricas coaxiales de rdiosR1y R2 (R2 > R1) y de longitud común L, conectados por placas de extremosplanos. La carga �uye hacia una cascara y regresa a la otra. ¿Cuál es laautoinductancia de este circuito?

4.10. Problemas Varios Capítulo 4

1. Dos espiras circulares pequeñas de alambre (de radios a y b), están enel mismo plano a una distancia r una de la otra. ¿Cuál es la inductanciamutua entre las espiras si la distancia r es su�cientemente grande de modoque pueda utilizarse la aproximación del dipolo magnético?2. Dos espiras circulares de corriente con ejes paralelos están a una distanciar una de la otra, que es su�cientemente grande como para que se puedautilizar la aproximación dipolar. Demuéstrese cómo deberá colocarrse una delas espiras relativa a la otra de modo que la inductancia mutua sea cero.3. Se dan dos circuitos, un alambre recto muy largo y un rectangulo dedimensiones h y d. El rectángulo está en un plano que pasa por el almabre;los lados de longitud h son paralleos al alambre y están a una distancia r yr + d de él. Calcúlese la inductancia mutua entre los dos circuitos.4. Demuéstrese que la fem en un circuito �jo C está dada por

� ddt

IC

A�dl

donde A es el potencial vectorial magnético.5. Similarmente que para el caso electrostático se puede de�nir:i) Densidad del polo magnético �m = �r �Mii) Densidad super�cial de la intensidad del polo magnético �m =M�bniii) Densidad de corriente de magnetización super�cial (esto es, una corrientede magnetización por unidad de longitud que �uye en una capa super�cial)Jm =M�bn:


Para una esfera de material magnético de radio R colocada en el origende coordenadas, cuya magnetización es M =(ax2 + b) bux; a y b constantes.Determinese cada una de las cantidades de�nidas inicialmente.

Capítulo 5

Ondas Electromagnéticas

5.1. Introducción

En este capítulo se tratará fundamentalmente de resolver las ecuaciones deMaxwell (en casos particulares) y observar que los campos eléctricos y mag-nético, así como los potenciales, satisfacen la ecuación de onda en sus difer-entes formas. Se estudiará las ondas electroomagnéticas planas en mediosdieléctricos y conductores.

5.2. Ecuación de Onda

Se hará el estudio para medios (l; i; h) en los que se cumple: D =�E, B =�H,J =gE, donde �; �; g son constantes y además el espacio es libre de cargas,� = 0:Partiendo de las ecuaciones de Maxwell estudiadas en Capítulo 1, la ley deAmpère Maxwell r�H = J+@D

@tse transforma en

r�B =�gE+��@E@t

(5.1)

La ley de Faraday queda igual

r� E = �@B@t

(5.2)

La ley de Gauss en el caso eléctrico r �D =� se transforma en

r � E = 0 (5.3)

109

110 CAPÍTULO 5. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

La ley de Gauss para el caso magnético quedaría igual

r �B = 0 (5.4)

Calculando el rotacional a la ecuación 5.1 se tiene:

r� (r�B) = �gr� E+ �� @@t(r� E)

remplazando la ecuación 5.2 y utilizando la idéntidad para el rotacional delrotacional (apéndice A) se puede escribir

r (r �B)�r2B = �g @B@t� ��@

2B@t2

al remplazar la ecuación 5.4 se llega a

r2B��@2B

@t2� �g

@B

@t= 0 (5.5)

Partiendo de la ecuación 5.2 y procediendo en forma similar se llega a

r2E��@2E

@t2� �g

@E

@t= 0 (5.6)

Para medios dieléctrico con conductividad g = 0 las expresiones 5.5 y 5.6 seconvierten en

r2B��@2B

@t2= 0 (5.7)

y

r2E��@2E

@t2= 0 (5.8)

Las ecuaciones 5.7 y 5.8 son de la forma de la ecuación de onda

r2f � 1

v2@2f

@t2= 0 (5.9)

y las ecuaciones 5.5 y 5.6 tienen la forma de la ecaución de onda amor-tiguada. De ahí se desprende que la velocidad de propagación de la ondaelectromagnética es

v =1p��

(5.10)

5.3. ONDAS E.M. PLANAS EN UN DILÉCTRICO (L; I;H) 111

para el espacio libre es la velocidad de la luz en el vacío v = c = 1p�0�0

=

2;99792458�108ms�1:Además se puede escribir la ecuación 5.10 de la formav = 1p

��= 1p

�e�0�m�0o sea

v =c

p�m�e

(5.11)

donde �m es la permeabilidad magnética relativa y �e es la permitividadeléctrica relativa o constante dieléctrica.

5.3. Ondas E.M. Planas en un Diléctrico (l; i; h)

Para este caso las ecuaciones 5.7 y 5.8 son las adecuadas para este caso. Detal manera que la solución para el campo eléctrico es de la forma:

E (r;t) = f1 (vt� r�bn) + f2 (vt+ r�bn) (5.12)

donde bn es un vector unitario en la dirección de propagación de la onda yr = buxx + buyy + buzz es el vector posición; f1 y f2 son funciones arbitariasde (vt� r�bn) y (vt+ r�bn) respectivamente. si se toma el caso que la onda sepropaga en la dirección +bn; las soluciones para los campos pueden escribirsecomo:

B = B0f (vt� r�bn) (5.13)

yE = E0f (vt� r�bn) (5.14)

para el caso de ondas transversales, donde B0 y E0 son las amplitudes de By E respectivamente y f es una función escalar arbitraria de (vt� r�bn) :Partiendo de la ecuación de Maxwell 5.2 se tiene

r� E =

��bux buy buz@@x

@@y

@@z

Eoxf Eoyf Eozf

�� (5.15)

Al evaluar la ecuación 5.15 queda

r� E = � (bn� E0) f 0 (vt� r�bn) (5.16)

Ahora calculando el segundo miembro de 5.2

�@B@t

= �B0@f

@t= �B0vf 0 (vt� r�bn) (5.17)


de tal manera que al igualar las ecuaciones 5.16 y 5.17 se llega a bn�E0 = vB0por lo tanto bn� E = vB (5.18)

pudienso concluir queB?bn y B?E (5.19)

tomando ahora la ecuación de Maxwell 5.3

r � E =@Ex@x+ @Ey

@y+ @Ez

@z= 0

o sea

� (E0xnxf 0 + E0ynyf0 + E0znzf

0) = 0

de tal manera que

(E0xnx + E0yny + E0znz) = 0 =) E0 � bn = 0o lo que es lo mismo bn � E = 0 (5.20)

lo que implica queE?bn (5.21)

Al combinar las ecuaciones 5.18, 5.19, 5.20 y 5.21 se concluye que

jbn� Ej = jvBj =) jEj = v jBj

y los vectores E;B y bn forman una base ortogonal.5.3.1. Solución de la Ecuación de Onda

La ecuación de onda a solucionar en forma detallada es de la forma

r2(x; y; z; t)� 1

v2@2

@t2(x; y; z; t) = 0 (5.22)

Utilizando el método de separación de variables se escribe

(x; y; z; t) = (x; y; z)T (t) (5.23)

remplazando en la ecuación 5.22, queda


T (t)r2 � v2d2Tdt2= 0

entoncesv2

r2 =

1

T

d2T

dt2= �!2 (5.24)

o sea

d2T

dt2+ !2T = 0 (5.25)

r2 +!2

v2 = 0 (5.26)

La ecuación 5.25 tiene como solución:

T (t) = a (!) exp (i!t) ; ! 6= 0; -1 < ! < +1 (5.27)

donde a (!) es una función arbitraria de !:La solución 5.27 representa una perturbación que varía sinusoidalmente enel tiempo con una frecuencia angular !: Por conveniencia se puede tomar! > 0 y la solución toma la forma

T (t) = a (!) exp (i!t) + a0 (!) exp (�i!t) ; 0 < ! < +1 (5.28)

La frecuencia angular está relacionada con la frecuencia � por ! = 2��:Introduciendo el número de onda k como k = !

v= 2� �

v= 2�

�; donde � = v

�

es la longitud de onda de la onda de frecuencia � y velocidad v:Se procederá ahora a resolver la parte independiente del tiempo (5.26) uti-lizando nuevamente el método de separción devariables:

(x; y; z) = � (x) � (y)� (z) (5.29)

al remplazar en la ecuación 5.26 se obtiene

�� d2�dx2+ ��d

2�dy2+ �� d

2�dz2+ k2�� = 0

entonces

1�d2�dx2+ 1

�d2�dy2+ 1

�d2�dz2+ k2 = 0


entonces

1

�

d2�

dx2= �k21 =)

d2�

dx2+ k21� = 0 (5.30)

1

�

d2�

dy2= �k22 =)

d2�

dy2+ k22� = 0 (5.31)

1

�

d2�

dz2= �k23 =)

d2�

dz2+ k23� = 0 (5.32)

donde

k2 =!2

v2= k21 + k22 + k23 (5.33)

Cada una de estas ecuaciones diferenciales tiene como solución:

� (x) = b1 (k1) exp (ik1x) ; �1 < k1 < +1 (5.34)

� (y) = b2 (k2) exp (ik2y) ; �1 < k2 < +1 (5.35)

� (z) = b3 (k3) exp (ik3z) ; �1 < k3 < +1 (5.36)

donde las funciones bi (ki) ; i = 1; 2; 3; son funciones arbitrarias de ki:La solución de la parte independiente del tiempo de la ecuación de onda sepuede escribir como

(x; y; z) = b1 (k1) b2 (k2) b3 (k3) exp i (k1x+ k2y + k3z)

o también

(x; y; z) = b (k1; k2; k3) exp i (k1x+ k2y + k3z)

donde

b (k1; k2; k3) = b1 (k1) b2 (k2) b3 (k3)

Es conveniente de�nir el vector de onda k en la dirección de propagación bncuyas componentes son (k1; k2; k3), por consiguiente

(r) = b (k) exp (ik � r) (5.37)

donde r =buxx+ buyy + buzz y k = !vbn:

Llevando 5.28 y 5.37 a 5.23 se obtiene la solución de la ecuación de onda:


(r; t) = a (!) b (k) exp [i (!t+ k � r)] + a0 (!) b (k) exp [�i (!t� k � r)]

una forma adecuada será

(r; t) = g (k; !) exp [i (!t+ k � r)] + h (k; !) exp [�i (!t� k � r)] (5.38)

donde g (k; !) = a (!) b (k) y h (k; !) = a0 (!) b (k) :La solución general se obtiene integrando sobre los valores permisibles de!; k1; k2 y k3

(r; t) =

1Z�1

dk

1Z0

d! g (k; !) exp [i (!t+ k � r)]+1Z

�1

dk

1Z0

d! h (k; !) exp [�i (!t� k � r)]

(5.39)donde dk = dk1dk2dk3Si (r; t) representa las componentes de los campos E y B, como físicamenteson admisibles la parte real, se puede escribir teniendo en cuenta la ecuación5.38

B (r;t) = ReB1 (k; !) exp [�i (!t+ k � r)]+ReB2 (k; !) exp [�i (!t� k � r)]

(5.40)

E (r;t) = ReE1 (k; !) exp [�i (!t+ k � r)]+ReE2 (k; !) exp [�i (!t� k � r)]

(5.41)

Aquí se toma el primer sumando el conjugado complejo de la ecuación 5.38.Se obtiene una solución general para E y B evaluando las integrales sobre!; k1; k2 y k3:Los primeros términos de 5.40 y 5.41 representa una onda plana transversalde frecuencia angular !, en la dirección +k y el segundo representa una ondaplana transversal de frecuencia angular !, en la dirección �k:Cuando se desea obtener soluciones para ondas planas, las cuales estánde�nidas como aquellas cuya amplitud es la misma en cualquier punto deun plano perpendicular a una dirección especi�ca; monocromáticas, o seaondas que están caracterizadas por tener una sola frecuencia; se escribe:

E1 (k; !) = E2 (k; !) = E0 y B1 (k; !) = B2 (k; !) = B0

donde

k =!vbn


En resumen se puede expresar los campos de la siguiente manera

E (r; t) = ReE0 exp��i!

�t� r�bn

v

��B (r; t) = ReB0 exp

��i!

�t� r�bn

v

�� en la dirección + bn (5.42)E (r; t) = ReE0 exp

��i!

�t+ r�bn

v

��B (r; t) = ReB0 exp

��i!

�t+ r�bn

v

�� en la dirección � bn (5.43)5.4. Ondas E.M. Planas en un Conductor (l; i; h)

Las ecuaciones para este caso son la 5.5 y 5.6; si restringimos el caso a ondastransversales en la dirección +bn y observando la ecuación 5.42, solución paradieléctricos, se puede escribir la solución de la forma

E (r; t) = G (r) exp (�i!t) (5.44)

remplazando el ecuación 5.6 se tiene

r2G (r) exp (�i!t) + !2

v2G (r) exp (�i!t) + i��!G (r) exp (�i!t) = 0

o sea

r2G (r) +�!2

v2+ i�g!

�G (r) = 0 =)r2G (r) + !2

�1v2+ i�g

!

�G (r) = 0

o también

r2G (r) +!2

�2G (r) = 0 (5.45)

donde

�2 =�1v2+ i�g

!

��1o sea

�2 =��+ i

�g

!

��1(5.46)

teniendo en cuenta la solución obtenida para medios dieléctricos se escribe:

G (r) = E0 exp�i�!�

�r�bn�

5.4. ONDAS E.M. PLANAS EN UN CONDUCTOR (L; I;H) 117

Al remplazar en 5.44 se tiene

E (r;t) = E0 exp

��i!

�t� r�bn

�

��(5.47)

Análogamente para el campo magnético B se obtiene

B (r;t) = B0 exp

��i!

�t� r�bn

�

��(5.48)

Comparando las ecuaciones 5.47 y 5.48 con la ecuación 5.42 se observa quela velocidad de fase en un conductor es �, un compllejo. El signi�cado físicode esta velocidad de fase compleja se verá a continuación.Como � es complejo se puede escribir:

1�= 1

vc+ ik; donde vc; k 2 Re

entonces

1�2= 1

v2c+ i2k

vc� k2 = ��+ i�g

!

donde se h a tenido en cuenta la ecuación 5.46. Por lo tanto

1v2c� k2 = �� y 2k

vc= �g

!

Al resolver este sistema de ecuaciones se llega a:

vc =!

g

r2�

�

"r1 +

g2

�2!2� 1# 12

(5.49)

y

k =

r��

2

"r1 +

g2

�2!2� 1# 12

(5.50)

Al remplazar el valor de 1�en las ecuaciones 5.47 y 5.48 se tiene

E (r;t) = E0 exp (�k!r�bn) exp ��i!�t� r�bnvc

��(5.51)

y para B

B (r;t) = B0 exp (�k!r�bn) exp ��i!�t� r�bnvc

��(5.52)


Figura 5.1: Representación de 1� en un plano complejo

Al observar las ecuaciones 5.51 y 5.52 se ve que las amplitudes decrecen ex-ponencialmente proporcionalmente a k, denominado coe�ciente de absorcióno extinción del medio. Además aparece la parte exp

h�i!

�t� r�bn

vc

�ique es

análoga a la que aparece en el caso de los medios dieléctricos exp��i!

�t� r�bn

v

��;

pero para el caso de los conductores vc no es constante si no que depende dela frecuencia de la onda.Ahora teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell y por analogia con elcaso de los dieléctricos se escribe:

r� E = �@B@t=) bn�E = �B =)jEj = � jBj

por lo que se puede escribir la ecuación 5.52 en la forma:

B (r;t) =1

�E0buB exp (k!r�bn) exp ��i!�t� r�bn

vc

��(5.53)

donde buB es un vector unitario en la dirección de B. Por otro lado como 1�

es un número complejo se puede representar como se señala en al �gura 5.1O sea:

1�= 1

vc+ ik =

q1v2c+ k2 (cos!� + i sin!�) =

q1v2c+ k2 exp (i!�)

5.5. POTENCIALES RETARDADOS 119

Remplazando en 5.53 queda

B (r;t) =

s1

v2c+ k2E0buB exp [�!k (r�bn)] exp ��i!�t� � � r�bn

vc

��(5.54)

Al comparar las ecuaciones 5.51 y 5.54 se observa que entre E y B hay unadiferencia de fase; en cambio en los dieléctricos están en fase.Ahora se puede concluir que la velocidad de fase compleja indica que:1. Absorción en el medio2. Una diferencia de fase entre los vectores eléctrico y magnético.

Se de�ne la distancia d (penetración de Skin) como la distancia que una ondaelectromagnética al entrar en un conductor disminuye en 1

ede su valor inicial.

De 5.50 se tine que:

d = 1!k= 1

!

q2��

�q1 + g2

!2�2� 1�� 1

2

El valor de la permitividad eléctrica en los conductores no es tan grandecomo en los dieléctricos, de tal manera que para algunos metales se cumpleque:

g!�� 1 =) d � 1

!

q2��

�g!�

�� 12 = 1

!

q2��

q!�g

quedando entonces

d �r

2

!�g(5.55)

5.5. Potenciales Retardados

Cuando se presentó el concepto de potencial vectorial magnético A, debidoa que r �B = 0, se obtuvo

B =r�A (5.56)

Si se sustituye la ecuación 5.56 en la forma diferencial de la ley de Faradayse obtiene

r� E = � @

@t(r�A) (5.57)

o sea

r��E+

@A

@t

�= 0 (5.58)


Puesto que la suma de las dos cantidades vectoriales entre paréntisis en alecuación 5.58 es irrotacional, puede expresarse como el gradiente de un es-calar. Para ser consistente con la de�nición de potencial eléctrico escalar �en electrostática, se escribe

E+@A@t= �r�

de lo cual se obtiene

E = �r�� @A

@t(5.59)

En el caso estático, @A@t= 0 y la ecuación 5.59 se reduce a E = �r�. Por

consiguiente, se puede determinar E usando solamente �, y B a partir deA usando la ecuación 5.56. Para campos variables en el tiempo E dependetanto de � como de A; es decir, la intensidad del campo eléctrico puedeser resultado de las acumulaciones de carga a través del término �r� yde campos magnéticos variables con el tiempo por medio del término �@A

@t.

Puesto que B también depende de A;E y B están acoplados.Sustituyendo las ecuaciones 5.56 y 5.59 en la expresión de la ley de Ampère-Maxwell (ecuación 1.65) y usando las relaciones H =B

�y D = �E. Se tiene

r�r�A =�J+ ��@

@t

��r�� @A

@t

�(5.60)

donde se ha supuesto un medio homogéneo. Recordando la identidad vectorialpara r�r�A, se puede escribir la ecuación 5.60 como:

r (r �A)�r2A = �J�r��@�

@t

�� @

2A@t2

o

r2A��@2A

@t2= ��J+r

�r �A+��@�

@t

�(5.61)

La de�nición de un campo vectorial requiere la especi�cación de su rotacionaly su divergencia. Aunque el rotacional deA se designó como B en la ecuación5.56, se tiene la libertad de elegir la divergencia de A: Sea

r �A+��@�@t= 0 (5.62)

5.5. POTENCIALES RETARDADOS 121

que hace nulo el segundo término del lado derecho de la ecuación 5.61 y éstase reduce a la forma más simple. Se tiene entonces

r2A��@2A

@t2= ��J (5.63)

La ecuación 5.63 es la ecuación de onda no homogénea para el potencialvectorial A. Se denomina ecuación de onda porque sus soluciones representanondas que se propagan con velocidad igual a 1p

��. Esto se verá mejor más

adelante donde se analiza la solución de la ecuación de onda. La relaciónentreA y � en la ecuación 5.62 se conoce como condición de Lorentz (o gaugede Lorentz) de los potenciales. En el caso de campos estáticos se reduce a lacondición r �A = 0.La ecuación de onda correspondiente al potencial escalar � es

r2�� @2�

@t2= ��

�(5.64)

que es la ecuación no homogénea para el potencial escalar �. De esta manerala condición de Lorentz en al ecuación 5.62 separa las ecuaciones de onda deA y �. Observe la similitud entre las ecuaciones 5.63 y 5.64 y la analogíaentre las cantidades: A � �;J �� y � � 1

�:

5.5.1. Solución de Ecuaciones de Onda

Considerando ahora la solución de la ecaución de onda no homogénea 5.64para un potencial escalar � debido a una distribución de carga � en unaregión �nita. Situando una carga puntual elemental �dv0 en el origen en elinstante t: A una distancia r lejos del origen se puede suponer una simetríaesférica (es decir, � depende únicamente de r y t, no de � ni de �). Pudiendoseescribir la ecuación 5.64 como

1

r2@

@r

�r2@�

@r

��

@2�

@t2= 0 (5.65)

Se introduce ahora una nueva función

� (r; t) =1

rU (r; t) (5.66)

que simpli�ca la ecuación 5.65 a

@2U

@r2� ��

@2U

@t2= 0 (5.67)


La ecuación 5.67 es una ecuación de onda unidimensional homogénea. Puedecomprobarse por sustitución directa que cualquier función de

�t� r

p��que

sea diferenciable dos veces será una solución de la ecuación 5.67. Se escribe

U (r; t) = f (t� rp��) (5.68)

La función a la nueva distancia r +�r en un instante posterior t+�t es

U (r +�r; t+�t) = f�t+�t� (r +�r)p��

�que es igual a f

�t� r

p��y conserva su forma si �t = �r

p�� = �r

v: la

cantidadv =

1p��

(5.69)

es la velocidad de propagación de la onda,una característica del medio. Apartir de las ecuaciones 5.66 y 5.68 se tiene

� (r; t) =1

rf�t� r

v

�(5.70)

Para determinar cuál debe ser la función f�t� r

v

�especí�ca, hay que obser-

var la expresión para una carga puntual estática � (t)�V 0 en el origen,

��(r) =� (t)�V 0

4��r(5.71)

Al comparar con la ecuación 5.70 y 5.71 se puede identi�car

�f�t� r

v

�=��t� r

v

��V 0

4��(5.72)

El potencial debido a una distribución de carga en un volumen V 0 es, haciendo�V 0 ! dv0, entonces

� (r; t) =1

4��

ZZZV 0

��t� r

v

�r

dv0 (5.73)

La ecuación 5.73 indica que el potencial escalar a una distancia r de la fuenteen un instante t depende del valor de la carga en un instante anterior

�t� r

v

�:

Por esta razón, � (r; t) en la ecuación 5.73 se denomina potencial escalarretardado.

5.6. FLUJO DE POTENCIA E.M. Y VECTOR DE POYNTING 123

La solución de la ecuación de onda no homogénea (ecuación 5.63) para elpotencial vectorial magnético A puede realizarse exactamente de la mismamanera que hicimos con �. La ecuación vectorial 5.63 de A puede descom-ponerse en tres ecuaciones escalares, cada una de éstas similar a la ecuación5.64 de �. El potencial vectorial retardado está expresado entonces por

A (r; t) =�

4�

ZZZV 0

J�t� r

v

�r

dv0 (5.74)

Los campos eléctrico y magnético derivados por diferenciación deA y � seránevidentemente funciones de

�t� r

v

�y, por consiguiente, retardados en el tiem-

po. Se requiere tiempo para que las ondas electromagnéticas se propagueny se sientan los efectos de las cargas y las corrientes variables en el tiempoen puntos distantes. En teoría de circuitos se ignora este efecto de retardotemporal y se supone una respuesta instantánea.

5.6. Flujo de Potencia E.M. y Vector de Poynt-ing

Las ondas E.M. transportan energía E.M. La energía se transporta por elespacio a puntos receptores distantes a través de las ondas E.M. A contin-uación se deriva una relación entre la razón de transferencia de tal energíay las intensidades de campos electricos y magnéticos asociados con la ondaE.M. que se propaga.Partiendo de la siguiente identidad vectorial

r� (E�H) = H� (r� E)� E� (r�H) (5.75)

y sustituir en las ecuaciones 1.62 y 1.65 correspondiente a la ley de Faradayy la ley de Ampère - Maxwell, respectivamente, se obtiene

r� (E�H) = �H�@B@t� E�@D

@t� E � J (5.76)

para un medio simple cuyos parámetros constitutivos �; � y g no cambiancon el tiempo se tiene

H�@B@t= H�@(�H)

@t= 1

2@(�H�H)

@t= @

@t

�12�H2

�;

E�@D@t= E�@(�E)

@t= 1

2@(�E�E)@t

= @@t

�12�E2

�;

E � J = E� (gE) = gE2


Se puede escribir entonces la ecuación 5.76 como sigue

r� (E�H) = � @

@t

�1

2�E2 +

1

2�H2

�� gE2 (5.77)

que es una relación de función puntual. Al integrar ambos lados sobre elvolumen que interesa se obtiene una forma integral de la ecuación 5.77Z Z

S; cerrada

(E�H) � bnds = � @

@t

ZZZV

�1

2�E2 +

1

2�H2

�dv �

ZZZV

gE2dv

(5.78)donde se aplicado el teorema de la divergencia para convertir la integral devolumen de r� (E�H) en la integral de super�cie cerrada de (E�H) :Se ve que el primero y el segundo término del lado derecho de la ecuación5.78 representan la razón de cambio temporal de la energía almacenada enlos campos eléctrico y magnético, respectivamente. El último término es lapotencia óhmica disipada en el volumen como resultado del �ujo de la den-sidad de corriente de conducción gE en presencia de un campo eléctrico E.Se puede entonces interpretar el lado derecho de la ecuación 5.78 como larazón de reducción de las energías eléctrica y magnética almacenadas, menosla potencia óhmica disipada en forma de calor en el volumen V . Esto debeser igual a la potencia (razón de energía) que sale del volumen a través desu super�cie, para ser consistente con la ley de la conservación de la energía.Por consiguiente, la cantidad (E�H) es un vector que representa el �ujo depotencia por unidad de área. De�nimos

S = E�H (5.79)

La cantidad S se conoce como el vector de Poynting, y es un vector dedensidad de potencia asociado con el campo electromagnético. La a�rmaciónde que la integral de super�cie de S sobre una super�cie cerrada, dada por ellado izquierdo de la ecuación 5.78, es igual a la potencia que sale del volumenencerrado, se conoce como teorema de Poynting. Esta a�rmación no estálimitada a ondas planas. Se puede escribir la ecuación 5.78 de otra manera:

�Z ZS; cerrada

S�bnds = @

@t

ZZZV

(ue + um) dv +

ZZZV

pgdv (5.80)

5.7. USO DE LOS CAMPOS COMPLEJOS 125

donde

ue =1

2�E2 = densidad de energía eléctrica (5.81)

um =1

2�H2 = densidad de energía magnética (5.82)

pg = gE2 =J2

g= densidad de potencia óhmica (5.83)

Dicho con palabras, la ecuación 5.80 establece que la potencia total que �uyehacia dentro de una super�cie cerrada en un instante cualquiera será iguala la suma de las razones de incremento de las energías eléctrica y magnéticaalmacenadas y de la potencia óhmica disipada dentro del volumen limitadopor la super�cie.

5.7. Uso de los Campos Complejos

Es conveniente con frecuencia obtener soluciones en forma compleja para laecuación de onda. Se debe siempre recordar, sin embargo, que se toma la partereal de una solución compleja para representar el campo en cuestión. Puestoque es inconveniente con frecuencia encontrar las partes reales, es mejor volvera escribir algunos resultados de modo que las soluciones complejas puedanser sustituidas en ellas directamente. Se hará esto solamente para camposarmónicos en el tiempo, es decir, son proporcionales a exp (�i!t).Identi�quemos a Ec yHc como las soluciones complejas, entonces los camposfísicamente aceptables son:

E (r; t) = Re [Ec (r;t)] = Re [Eo (r) exp (�i!t)] (5.84)

H (r; t) = Re [Hc (r;t)] = Re [Ho (r) exp (�i!t)] (5.85)

escribiendo la parte espacial en términos de sus componentes reales e imagi-narios

Eo (r) = Er (r) + iEi (r) y Ho (r) = Hr (r) + iHi (r)

donde Er (r) ;Ei (r) ;Hr (r) y Hi (r) son reales, entonces 5.84 y 5.85 llegan aser

E (r; t) = Er (r) cos!t+ Ei (r) sin!t (5.86)


H (r; t) = Hr (r) cos!t+Hi (r) sin!t (5.87)

Sustituyendo 5.86 y 5.87 en el vector de Poynting (ecuación 5.79)

S = [Er (r)�Hr (r)] cos2 !t+ [Ei (r)�Hi (r)] sin

2 !t+ f[Er (r)�Hi (r)] + [Ei (r)�Hr (r)]g sin!t cos!t

(5.88)

En muchas situaciones no se está interesado particualrmente en los valoresinstantáneos del �ujo de energía, porque con frecuencia �uctuan demasiadorápido para ser detectado por los instrumentos de medición. El promedio enel tiempo del �ujo de potencia es generalmente más signi�cativo.Por lo tanto

hSi = hE�Hi = 1

2f[Er (r)�Hr (r)] + [Ei (r)�Hi (r)]g (5.89)

puesto que hcos2 !ti =sin2 !t

�= 1

2y hsin!t cos!ti = 0:

Este resultado fundamental puede ser escrito en una forma más conveniente,puesto que:

H�c (r;t) = H

�o (r) exp (i!t) = [Hr (r)� iHi (r)] exp (i!t)

ahora se considera

Ec (r;t)�H�c (r;t) = f[Er (r)�Hr (r)] + [Ei (r)�Hi (r)]g

+i f[Ei (r)�Hr (r)]� [Er (r)�Hi (r)]g(5.90)

Comparando 5.89 con 5.90 se tiene

hSi = 1

2Re [Ec (r;t)�H�

c (r;t)] (5.91)

Asi se ve que en lo sucesivo el valor medio del vector de Poynting estarádado enteramente en términos de las soluciones complejas de las ecuacionesde Maxwell, de modo que se puede calcular esta importante cantidad direc-tamente sin necesidad de encontrar primero las parte reales de las solucionesde la ecuación de onda E.M.También, por medio de este procedimiento se puede llegar al promedio de lasdensidades de energía. Los resultados son:

huei =�1

2�E2

�=1

4�Ec (r;t) � E�c (r;t) (5.92)

5.8. FLUJO DE ENERGÍA EN UNA ONDA E.M. PLANA 127

humi =�1

2�H2

�=1

4�Hc (r;t) �H�

c (r;t) (5.93)

Ahora que se pueden obtener estos resultados importantes, ya no se necesitadistinguir entre campos reales y campos complejos, y no se escribe como Ecy Hc sino simplemente E y H:

5.8. Flujo de Energía en una Onda E.M. Plana

Primero se considera el caso de � = 0. De la ecuación 5.18 se puede escribir:

H =B�= 1

v�bn� E =p

��

�bn� E =q �

�bn� E;

por lo tanto de 5.91

hSi = 1

2

r�

�Re [E� (bn� E)] = 1

2

r�

�(E � E�) bn (5.94)

como E � E� es real, entonces usando 5.42 y 5.94

hSi = 1

2

r�

�jEoj2 bn = 1

2

r�

�jHoj2 bn (5.95)

Se observa entonces en la ecuación 5.95 que el �ujo de nergía debe ocurriren la dirección de propagación bn, es proporcional al cuadrado de l aplitud deEo o Ho. Ahora las ecuaciones 5.92 y 5.93 se convierten en

huei =1

4�E � E� = 1

4� jEoj2 =

1

4� jHoj2 = humi (5.96)

Así el promedio de las densidades de energía eléctrica y magnética son iguales.El promedio de la densidad de energía total es

hui = huei+ humi =1

2� jEoj2 =

1

2� jHoj2 (5.97)

lo cual facilita escribir 5.95 como

hSi = huip��bn = hui vbn = huiv (5.98)


o sea el promedio del �ujo de energía es igual al promedio de la densidad deenergia por la velocidad de propagaciónn de la onda.En un medio conductor en el cual g 6= 0, las amplitudes no son constantesy de acuerdo a 5.51 o 5.52 son proporcionales a exp (�k!r�bn). luego de 5.95y 5.96 se ve que ambos promedios del �ujo de energía y de la densidad deenergía también disminuiran exponencialmente con la distancia, esto es

hSi v exp (�2k!r�bn) y hui v exp (�2k!r�bn) (5.99)

En un medio conductor, por consiguiente, la intensidad de la onda (�ujo deenergía) y la densidad de energía se atenuan mientras la onda se propaga.Esta energía se pierde a causa del calor resistivo del medio en virtud de EfectoJoule.

5.9. Problemas

1. Deducir las ecuaciones 5.92 y 5.932. Se da la onda electromagnética:

E =buxEo cos! �p��z � t�+ buyEo sin ! �p��z � t

�donde Eo es una constante. Hállese el campo magnético B correspondientey el vector de Poynting.3. Dado un medio en que � = 0;J = 0;� = �0, pero donde la polarizaciónP es una función dada de la posición y el tiempo P = P (r;t). Demuestreseque las ecuaciones de Maxwell se obtienen correctamente a partir de una solafunción vectorial Z (el vector de Hertz), donde Z satisface la ecuación

r2Z� 1c2@2Z@t2

= �P�o

y

E =r� (r� Z)� 1�0P; B = 1

c2r�

�@Z@t

�4. Se da un medio en que � = 0;J = 0; � = �0; pero donde la magnetizaciónM (r) es una función dada. Demuéstrese que las ecuaciones de Maxwell seobtienen correctamente a partir de una sola función vectorial Y, en la queY satisface la ecuación

5.9. PROBLEMAS 129

r2Y� 1c2@2Y@t2

= ��0M

y donde

B =r� (r�Y) ; E = �r��@Y@t

�5. Demuestre que para una onda plana en el vacío

EH=q

�0�0= 377

Esta resistencia se llama impedancia del espacio libre.6. Encuentre el vector de Poynting sobre la super�cie de un alambre conduc-tor recto, muy largo (de radio b y conductividad g) por el que circula unacorriente continua I. Veri�que el teorema de Poynting.7. El campo E de una onda plana que se propaga en un medio dieléctricoestá dado por

E (z; t) = bux2 cos�108t� zp3

�� buy sin�108t� zp

3

� �Vm

�a. Determine la frecuencia y la longitud de onda de la ondab. ¿Cuál es la constante dieléctrica del medio?c. Encuentre el campo H correspondiente.

8. Encontrar la relación humihuei para una onda plana en un medio conductor.

Encontrar entonces las expresiones aproximadas para esta relación en loscasos límites de un aislante de un buen conductor,


Capítulo 6

Propagación de Ondas E.M.

6.1. Introducción

Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell halladas en el capítulo 5 se uti-lizarán ahora para resolver problemas de interés práctico, tales como prob-lemas con valores en la frontera, en este tipo de problemas, se combinansoluciones de la ecuación de onda homogénea de tal manera que saisfagan lascondiciones en la frontera adecuada.

6.2. Condiciones en la Frontera

Las condiciones en la frontera que deben satisfacerse por los campos electricosy magnéticos en una super�cie de separación entre dos medios, se deducende las ecuaciones de Maxwell exactamente igual como en el caso estático.La condición en la frontera más directa y universal se aplica a la inducciónmagnética B, que satisface la ecuación de Maxwell

r �B = 0 (6.1)

En una super�cie de separación entre dos medios puede construirse una su-per�cie como la mostrada en al �gura 6.1.El teorema de la divergencia puede aplicarse a la divergencia de B sobre elvolumen encerrado por su super�e, para obtenerZ Z

S; cerrada

B�bnda = ZZS1

B�bn1da1 + ZZS2

B�bn2da2 + ZZS3

B�bn3da3 = 0 (6.2)

131

132 CAPÍTULO 6. PROPAGACIÓN DE ONDAS E.M.

Figura 6.1: Una super�cie con forma de caja cilíndrica en la zona interfacial entredos medios puede utilizarse para obtener las condiciones de frontera sobre losvectores de campo

SiB está acotado, el que h tienda a cero hace que el último término se anule yS1 tienda a S2 geométricamente. Teniendo en cuenta las direcciones opuestasde bn1 y bn2, se concluye rápidamente que:

B1n = B2n (6.3)

exactamente como en el caso estático.La componente tangencial del campo eléctrico puede considerarse de unamanera igualmente simple. La ecuación es nuevamente una de las ecuacionesde Maxwell

r� E+@B@t

= 0 (6.4)

La integración de esta ecuación sobre la super�cie limitada por circuito rec-tangular como en la �gura 6.2, daZZ

S

(r� E) � bnda = �ZZS

�@B

@t

�� bnda (6.5)

y aplicando el teorema de Stokes al primer miembro se tiene que:

lE1t � lE2t + h1E1n + h2E2n � h1E01n � h2E

02n = �

ZZS

�@B

@t

�� bnda (6.6)

Si el circuito se encoge ahora dejando que h1 y h2 tiendan a cero, los últimoscuatro términos del primer miembro se anulan; así como el segundo miembro,

6.2. CONDICIONES EN LA FRONTERA 133

Figura 6.2: La trayectoria rectangular indicada sobre la zona interfacial entre dosmedios puede utilizarse para obtener las condiciones en la frontera sobre los vec-tores de campo.

siempre que @B@testé acotada. La ecuación resultante contiene l como factor

común; suprimiéndolo se tiene

E1t = E2t (6.7)

Por lo tanto, la componente tangencial de E debe ser continua al atravesarla super�cie de separación.La condición en la frontera de la componente normal del desplazamientoeléctrico es más compleja; sin embargo, también se deduce de una de lasecuaciones de Maxwell. La ecuación adecuada en este caso es

r �D = � (6.8)

Si se construye un volumen como el de la �gura 6.1 y se integra sobre estevolumen, se obtiene

ZZZV

(r �D) dv =ZZZ

V

�dv

Aplicando el teorema de la divergencia y dejando que h tienda a cero vemosque

(D1n �D2n)A = �A (6.9)


donde � es la densidad de carga super�cial en la super�cie de separación.El hecho de que, en general, � no sea cero, introduce alguna complejidaden esta condición en la frontera; sin embargo, observando que la carga debeconservarse, esto es, que

r � J = �@�@t

(6.10)

se hace posible algunas simpli�caciones. Si se integra esta ecuación como sehizo con 6.8 y escogemos la �gura 1, se obtiene

J1n � J2n = �@�

@t(6.11)

Si se considera únicamente la radición monocromática, la densidad de cargasuper�cial debe variar como exp (�i!t); por tanto, el segundo miembro dela ecuación 6.11 puede escribirse como i!�. Utilizando las relaciones consti-tutivas D =�E, J =gE se puede poner las ecauciones 6.9 y 6.11 en la forma

�1E1n � �2E2n = � (6.12)

g1E1n � g2E2n = i!� (6.13)

Puede observarse varios casos de interés práctico. Si � es cero, entonces

�1g1= �2

g2

que puede ser cierto para materiales apropiadamente elegidos o, en alternati-va, si g1 = g2 = 0, 0;1. El caso en que ambas conductividades sean in�nitasno es de gran interés; sin embargo, el caso en que ambas conductividadesse anulen tienen lugar aproximadamente en la frontera entre dos dieléctricosbuenos. Si � no es cero, lo que es tal vez un caso más común, entonces puedeeliminarse de las ecuaciones 6.12 y 6.13. El resulltado de esta eliminación es:�

�1 �g1i!

�E1n �

��2 �

g2i!

�E2n = 0 (6.14)

La ecuación 6.14 es útil, así como está, al proporcionar una condición en lafrontera; no obstante, aparece a veces al multiplicar por !2�1�2, que es:

�2 1E1n � �2 2E2n = 0 (6.15)

la constante de propagación dada por:

= !2��+ i!g� (6.16)

6.2. CONDICIONES EN LA FRONTERA 135

Un último caso interesante ocurre cuando una conductividad, digamos g2, esin�nita. en este caso E2n debe anularse y E1n = �

�1; para que 6.13 y 6.12 se

satisfagan.La condición de frontera �nal es la impuesta en la componente tangencialde la intensidad magnética, H. Esta condición en la frontera se obtiene inte-grando la ecuación de Maxwell

r�H =@D

@t+ J (6.17)

sobre el área encerrada por un circuito tal como el de la �gura 6.2. Si se haceesto y el circuito se escoge como antes, la condición en la frontera resultantees

H1t �H2t = K? (6.18)

dondeK? es la componente de la densidad super�cial de corriente perpendic-ular al sentido de la componente de H que se está confrontando. La idea deuna densidad super�cial de corriente es análoga a la densidad super�cial decarga (representa una corriente �nita en una capa in�nitesimal). La densidadsuper�cial de corriente es cero a menos que la conductividad sea in�nita; enconsecuencia, para conductividad �nita,

H1t = H2t (6.19)

Esto es, a menos que un medio tenga conductividad in�nita, la componentetangencial de H es continua. Si la conductividad del medio 2 es in�nita,entonces, como ya se ha demostrado, E2n = 0. Un resultado más generalpuede obtenerse considerando la ecuación de Maxwell 6.17

r�H2 �@D2

@t= J2 (6.20)

Usando las relaciones constitutivas y suponiendo que E2 varía con el tiempocomo exp (�i!t) se tiene

E2 =1

g2 � i!�2r�H2 (6.21)

Si se hace la suposición razonable de que H2 sea tanto acotada como deriv-able, entonces la ecuación 6.21 implica que E2 sea cero en un medio de


conductividad in�nita. Con las mismas suposiciones que se hicieron antes yutilizando 6.14 se obtiene

H2 =1

i!�2r� E2 (6.22)

y la anulación de E2 también implica que se anuleH2. SiH2 se anula entoncesla condición en la frontera sobre la componente tangencial de H en unasuper�cie de separación en el que un medio tiene conductividad in�nita es

H1t = K? (6.23)

Las condiciones en la frontera necesarias para resolver los problemas consid-erados en este capítulo ya se han obtenido; para su conveniente consulta sedan en la tabla 6.1 para g = 0; g =1 y g arbitraria

TABLA 6.1CONDICIONES EN LA FRONTERA PARA LOS VECTORES

DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO

g Et Dn Ht Bn

g1 = g2 = 0 E1t = E2t D1n = D2n H1t = H2t B1n = B2n

g2 =1E2t = 0E1t = 0

D2n = 0D1n = �

H2t = 0H1t = K?

B2n = 0B1n = 0

g1; g2 arb: 6=1 E1t = E2t

��1 � g1

i!

�E1n =�

�2 � g2i!

�E2n

H1t = H2t B1n = B2n

6.3. R. y R. en la Frontera de dos Medios noConductores. I.N.

Se analizará ahora la re�exión y refracción (R. y R.) de ondas planas conincidencia norma (I.N.) sobre una super�cie de separación de dieléctricos.Como se muestra en la �gura 6.3Aquí E1;H1 describen la onda incidente que avanza en la dirección +Z,E2;H2 describen la onda re�ejada que avanza en la dirección �Z, y E3;H3

describen la onda trasmitida.La super�cie de separación se toma coincidiendo con el plano XY en z = 0,con el medio 1 a la izquierda y el medio 2 a la derecha.Los campos eléctricos que se polarizan en al dirección de x, se describen por

6.3. R. Y R. EN LAFRONTERADEDOSMEDIOS NOCONDUCTORES. I.N.137

Figura 6.3: Re�exión y transmisión con incidencia normal

E1 = buxE10 exp [i (k1z � !t)]E2 = �buxE20 exp [i (k1z + !t)]E3 = buxE30 exp [i (k2z � !t)]

(6.24)

dondek1 = !

p�1�1 y k2 = !

p�2�2 (6.25)

Los campos magnéticos adecuados se obtienen de la ecuación de maxwell

r� E = �@B@t

(6.26)

De las ecuaciones 6.24 y 6.26 se obtiene que:

buy @Ex@z

= i!�H =buyi!�Hy (6.27)

En consecuencia los campos magnéticos respectivos serán:

H1 = buyq �1�1E10 exp [i (k1z � !t)]

H2 = �buyq �1�1E20 exp [�i (k1z + !t)]

H3 = buyq �2�2E30 exp [i (k2z � !t)]

(6.28)


Como las componentes normales de los campos se anulan, sólo las compo-nentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético necesitan consider-arse, y estos según la línea de conductividad cero de la tabla 6.1. Aplicandoestas condiciones en z = 0, se ve que

E10 + E20 = E30 yr�1�1(E10 � E20) =

r�2�2E30 (6.29)

Despejando de estas ecuaciones E20 y E30, se obtiene

E20 =

q�1�1�q

�2�2q

�1�1+q

�2�2

E10

E30 =2q

�1�1q

�1�1+q

�2�2

E10

(6.30)

Las ecuaciones anteriores determinan los campos eléctricos de las ondas re-�ejada y trasmitida en función de la onda incidente y de los parámetros quedescriben el medio; estas amplitudes a su vez determinan las amplitudes delos campos magnéticos por las ecuaciones 6.28.Es interesante aplicar los resultados obtenidos antes al caso de los materialesópticamente transparentes. Para dichos materiales, � es casi �0; en conse-cuencia, el índice de refracción está esencialmente dado por

n = vc=

p��

p�0�0

=q

��0

En función de n, tomando �1 = �2 = �0, la ecuación 6.30 se convierte en

E20E10

=n1 � n2n1 + n2

;E30E10

=2n1

n1 + n2(6.31)

La intensidad de la onda re�ejada es proporcional al vector de Poyntingre�ejado, y la intensidad trasmitida es proporcional al vector de Poyntingtrasmitido. El coe�ciente de re�exión Rn y el coe�ciente de trasmisión Tn sede�nen por

Rn =jhE2�H2ijjhE1�H1ij

=

�n1 � n2n1 + n2

�2(6.32)

Tn =jhE3�H3ijjhE1�H1ij

=

�2n1

n1 + n2

�2(6.33)

la demostración de estas expresiones se deja como ejercicio.Para una super�cie típica aire-vidrio, donde n2 = 1;5 y n1 = 1, los coe�cientesde re�exión y trasmisión son

6.4. R. Y R. EN LAFRONTERADEDOSMEDIOS NOCONDUCTORES. I.O.139

Figura 6.4: Re�exión y refracción, incidencia oblicua. El plano XZ es el planode incidencia. Los vectores H1 y H3 están dirigidos fuera del papel, y H3 haciadentro.

Rn = 0;04 y Tn = 0;96

Por lo tanto, como sería de esperar, toda la energía incidente o bien se re�ejao bien se trasmite; no hay lugar para almacenar energía en la super�cie deseparación.

Otro hecho interesante se obtiene al examinar la ecuación 6.31; es decir, sin1 > n2 la primera razón es positiva. Esto es precisamente el enunciadofamiliar de la óptica que indica que no hay cambio de fase en la re�exiónen un medio �menos denso� pero hay cambio de fase de � radianes en lare�exión de un medio �más denso�.


6.4. R. y R. en la Frontera de dos Medios noConductores. I.O.

Un caso más general es el de re�exión de ondas planas oblicuamente inci-dentes por una super�cie de separación diléctrica plana. La consideración deeste caso conduce a tres leyes ópticas bien conocidas: ley de Snell, ley dere�exión y la ley de Brewster que rige la polarización por re�exión.La situación general se describe en la �gura 6.4. Para simpli�car la siguientededucción se ha supuesto que los vectores de propagación k1;k2 y k3 soncoplanares y están en le plano XZ. Además, también se ha supuesto que losvectores de campo eléctrico E1;E2 y E3 están en este plano.Puede demostrarse que los vectores de propagación son siempre coplanares.El vector de campo eléctrico más general puede descomponerse en una com-ponente en el plano XZ (plano de incidencia) y otra perpendicular a esteplano. La re�exión y la transmisión de estas dos componentes están regidaspor distintas leyes. La elección anterior se hace para obtener la ley de Brew-ster. La deducción para el caso en que el campo eléctrico sea perpendicularal plano de incidencia se deja como ejercicio.Para el caso que nos ocupa los campos eléctrico de las ondas incidente, re�e-jada y transmitida están dadas por:

E1 = E10 exp [i (k1�r� !t)]E2 = E20 exp [i (k2�r� !t)]E3 = E30 exp [i (k3�r� !t)]

(6.34)

dondeE10 = E10 (bux cos �1 � buz sin �1)E20 = E20 (bux cos �2 + buz sin �1)E30 = E30 (bux cos �3 � buz sin �3) (6.35)

yk1 = !

p�1�1 (bux sin �1 + buz cos �1)

k2 = !p�1�1 (bux sin �2 � buz cos �2)

k3 = !p�2�2 (bux sin �3 + buz cos �3) (6.36)

La intensidad magnética de cada onda puede obtenerse, como en el caso deincidencia normal, de la ecuación de Maxwell

r� E = �@B@t

= i!H (6.37)


El rotacional de la ecuación 6.37 puede evaluarse a partir de la de�nición derotacional y las formas explicitas de los campos eléctricos como se dan en lasecuaciones 6.34. 6.35 y 6. 36. Sin embargo, el rotacional de los vectores dela forma general de las ecuaciones 6.34 ocurren tan frecuentemente que con-viene deducir una expresión general. Si A es una función vectorial arbitraria,entonces

r�A exp (ik � r) = exp (ik � r)r�A+r exp (ik � r)�A (6.38)

peror exp (ik � r) = ik exp (ik � r) (6.39)

en consecuencia

r�A exp (ik � r) = exp (ik � r)r�A+ik�A exp (ik � r) (6.40)

con esta identidad y la ecuación 6.37, y observando que cada uno de losvectores de 6.35 es constante, vemos que

H1 =k1�E10!�1

exp [i (k1�r� !t)]

H2 =k2�E20!�1

exp [i (k2�r� !t)]

H3 =k3�E10!�2

exp [i (k3�r� !t)]

(6.41)

Habiendo obtenido esta descripción matemática de las ondas, volvemos luegoa las condiciones en la frontera, en la super�cie de separación z = 0. Comola primera condición en la frontera que debe confrontarse, consideremos lacomponente tangencial (componente x) del campo eléctrico en z = 0. Lacontinuidad de esta componente del campo eléctrico da (ya que k1 = k2)

E10 cos �1 exp [i (k1x sin �1 � !t)] + E20 cos �2 exp [i (k1x sin �2 � !t)]= E30 cos �3 exp [i (k3x sin �3 � !t)]

(6.42)El factor común exp (�i!t) puede cancelarse de los tres términos, quedando

E10 cos �1 exp (ik1x sin �1)+E20 cos �2 exp (ik1x sin �2) = E30 cos �3 exp (ik3x sin �3)(6.43)

Cada término de la ecuación 6.43 depende de x a través de un factor expo-nencial. La unica forma de que la ecuación 6.43 puede satisfacer para todoslos valores de x es si los tres factores exponenciales son todos iguales, estoes, si

k1x sin �1 = k1x sin �2 = k3x sin �3 (6.44)


Este resultado puede dividirse en dos ecuaciones:

sin �1 = sin �2; k1 sin �1 = k3 sin �3 (6.45)

La primera de éstas ecuaciones equivale claramente a �1 = �2, que es laley de re�exión. Como k = !

p�� y n =

q��0�0

, la segunda ecuación puede

escribirse como n1 sin �1 = n2 sin �2, que es la ley de Snell. Por tanto, sehan obtenidos resultados importantes al aplicar la condición en la fronterasobre la componente tangencial del campo eléctrico. En esta condición enla frontera está contenida más información, como puede verse al utilizar laecuación 6.44 en la ecuación 6.43 y suprimir factores comunes para obtener:

E10 cos �1 + E20 cos �1 = E30 cos �3 (6.46)

La ecuación 6.46 tiene que ser satisfecha por E10; E20 y E30; además hayotras dos condiciones, obtenidas de la continuidad de la componente normaldel desplazamiento eléctrico y de la continuidad que tiene la componentetangencial de la intensidad magnética. Entonces para el desplazamiento setiene:

��1 sin �1E10 + �1 sin �1 = ��2 sin �3E30 (6.47)

mientras que para la intensidad magnética dá:r�1�1E10 �

r�1�1E20 =

r�2�2E30 (6.48)

Estas dos ecuaciones son realmente idénticas, como puede verse al escribir laecuación 6.47 en la forma

�r�1�1

p�1�1 sin �1E10 +

r�1�1

p�1�1 sin �1E20 = �

r�2�2

p�2�2 sin �3E30

(6.49)como

p�1�1 = n1

p�0�0, la ley de Snell hace posible la reducción de la

ecuación 6.49 a la forma 6.48.Ahora deben despejarse de las ecuaciones 6.46 y 6.47 E20 y E30 en funciónde E10. Esto se hace facilmente, con el resultado

E30E10

=2�1 sin �1 cos �1

�2 sin �3 cos �1 + �1 sin �1 cos �3(6.50)


para el campo eléctrico trasmitido y

E20E10

=�1 sin �1 cos �3 � �2 sin �3 cos �1�2 sin �3 cos �1 + �1 sin �1 cos �3

(6.51)

para el campo de la onda re�ejada. En la mayoría de los materiales dieléc-tricos � = �0 y n

2 = ��0. suponiendo que éste sea el caso y utilizando la ley

de Snell, la ecuación 6.51 se convierte en:

E20E10

=sin �3 cos �3 � sin �1 cos �1sin �3 cos �3 + sin �1 cos �1

(6.52)

Las identidades trigonométricas sin (�1 + �3) cos (�1 � �3) = sin �1 cos �1 +sin �3 cos �3 y sin (�1 � �3) cos (�1 + �3) = sin �1 cos �1 � sin �3 cos �3 reducenla ecuación 6.52 a

E20E10

= �tan (�1 � �3)

tan (�1 + �3)(6.53)

Si �1 = �3, entonces tan (�1 � �3) = 0 y no hay onda re�ejada. Desafortu-nadamente, esto puede tener lugar sólo si n1 = n2, esto es, si los dos mediosson ópticamente indistinguibles. Si por otra parte, �1 + �3 =

�2, entonces

tan (�1 + �3) es in�nita y la amplitud de la onda re�ejada es nuevamentecero. En este caso, los medios son ópticamente distinguibles. Como puededemostrarse que la otra polarización, E perpendicular al plano de inciden-cia, se re�eja parcialmente, la luz no polarizada que incide con un ángu-lo que satisfaga �1 + �3 =

�2se polarizará por re�exión. La ley de Snell,

n1 sin �1 = n2 sin �3, proporciona un medio para determinar el valor de �1.Usando �3 = �

2� �1 en la ley de Snell, se tiene n1 sin �1p = n2 cos �1p o

tan �1p =n2n1

(6.54)

La cantidad �1p se conoce como ángulo de Brewster; la relación entre éste ylos índices de refracción, como se da en la ecuación 6.54 se conoce como laley de Brewster.Las ecuaciones 6.50 y 6.51 son del conjunto conocido como ecuaciones deFresnel, que en su totalidad describen la re�exión y refracción de las ondaselectromagnéticas de dos polarizaciones posibles en una super�cie de sepa-ración plana de dieléctricos.De estas ecuaciones es sencillo obtener los coe�cientes de re�exión y trans-misión para la potencia; las cuales son

R =jhE2�H2ijjhE1�H1ij

=

��1 sin �1 cos �3 � �2 sin �3 cos �1�1 sin �1 cos �3 + �2 sin �3 cos �1

�2(6.55)


y

T =jhE3�H3ijjhE1�H1ij

=

q�2�2q�1�1

�2�1 sin �1 cos �1

�1 sin �1 cos �3 + �2 sin �3 cos �1

�2(6.56)

para una onda polarizada como la estudiada antes. Si los medios son dieléctri-cos con � = �0 y en consecuencia n

2 = ��0, entonces estas ecuaciones pueden

ponerse en las formas

R =tan2 (�1 � �3)

tan2 (�1 + �3)(6.57)

T =4 sin �3 cos

2 �1 sin �1sin2 (�1 + �3) cos2 (�1 � �3)

(6.58)

en cuyas formas dan las razones de las intensidades transmitidas y re�ejadaa la intensidad incidente. Como están escritas, las ecuaciones no parecencontener los índices de refracción; sin embargo, debe recordarse que �1 y �3se relacionan por la ley de Snell.

6.5. Re�exión en un Plano Conductor. I.N.

Consideremos ahora la re�exión y transmisión de las ondas planas que incidennormalmente a una super�cie plana entre un material conductor y uno noconductor. la situación es escencialmente la descrita por la �gura 6.3, con lacaracterística adicional de que g2, la conductividad del medio 2, no es cero.Los campos eléctrico y magnético E1; H1; E2 y H2 tienen las formas dadaspor las ecuaciones 6.24 y 6.28, es decir

E1 = buxE10 exp [i (k1z � !t)] ; H1 = buyq �1�1E10 exp [i (k1z � !t)]

E2 = buxE20 exp [�i (k1z + !t)] ; H2 = �buyq �1�1E20 exp [�i (k1z + !t)]

(6.59)La onda en el medio conductor tiene la forma

E3 = buxE30 exp [i ( 2z � !t)] ; H3 = buy 2!�2

E30 exp [i ( 2z � !t)]

(6.60) 2 está dada, sin embargo, por

2 = �2 + i�2 =p!2�2�2 + i!g2�2 (6.61)

6.5. REFLEXIÓN EN UN PLANO CONDUCTOR. I.N. 145

como en la ecuación 6.16. Alfa y beta están dadas por

� = �p��"1

2� 12

s1 +

�g2

!2�2

�# 12

; � =!g�

2�(6.62)

Nuevamente, las condiciones apropiadas en la frontera son continuidad de lascomponentes tangenciales de E y H. Los resultados son

E10 + E20 = E30 (6.63)r�1�1(E10 � E20) =

2!�2

E30 (6.64)

Como 2 es compleja, E20 y E30 no pueden ser ambas reales; este hechoindica que son posibles los corrimientos de fase distintos de cero y � paralas ondas re�ejadas y transmitida. Formalmente, las ecuaciones 6.63 y 6.64pueden resolverse para dar

E20 =1�� 2!�2

�q�1�1

1+� 2!�2

�q�1�1

E10

E30 =2

1+� 2!�2

�q�1�1

E10(6.65)

La semejanza aparente de estos resultados con los obtenidos en el caso dedieléctricos es engañosa, puesto que nuevamente debe observarse que 2 esun número complejo y, por tanto, da origen a corrimientos de fase.El caso especial de conductividad in�nita es particualrmente simple. en estecaso 2 es in�nito, reduciendo así las ecuaciones 6.65 a

E20 = �E10; E30 = 0 (g2 =1) (6.66)

de modo que toda la energía incidente se re�eja y no penetra energía en elconductor. el caso general es bastante engorroso; sin embargo, la siguienteaproximación para buenos conductores es relativamente directa y tiene algu-na utilidad. Para buen conductor

g2!�2� 1

En este caso,

�2 =

r!g2�22

y �2 =

r!g2�22

(6.67)


La amplitud del campo eléctrico re�ejada está dada por

E20 =1�

�1+i!�2

�q!g2�22

�1�1

1 +�1+i!�2

�q!g2�22

�1�1

E10 =1� (1 + i)

q�1g22�2�1!

1 + (1 + i)q

�1g22�2�1!

E10 (6.68)

Si junto con la ecuación 6.68 tenemos g2!�1

� 1, entonces los radicales dela ecuación 6.68 son partes dominantes del numerador y del denominador.Dividiendo numerador y denominador por (1 + i) veces el radical, se tiene

E20 = �1� (1�i)

2

q2�2!�1�1g2

1 + (1�i)2

q2�2!�1�1g2

E10 (6.69)

El reconocimiento del radical como una pequeña cantidad nos conduce a laaproximación

E20 = ��1� (2� i)

r2�2�1

!�1g2

�E10 (6.70)

El coe�ciente de re�exión se obtiene comparando el vector de Poynting re�e-jado con el vector de Poynting incidente. Como ambas ondas, la incidente yla re�ejada, están en el mismo medio, esto equivale a comparar el cuadradode la magnitud de E20 con el cuadrado de la magnitud de E10. Por tanto

R =jE20j2

jE10j2(6.71)

Utilizando la aproximación dada en 6.70, se obtine

R =

�1� (1� i)

r2�2!�1�1g2

� �1� (1 + i)

r2�2!�1�1g2

�(6.72)

con la misma aproximación que se usó antes, se ve que

R = 1� 2

s2

��2�1

��!�1g2

�(6.73)

tomado g2 = 5;6� 107 mhosm, el valor par el cobre, y suponiendo que �2 = �1

y �1 = �0, se ve que para f = 107Hz (longitud de onda 3 cm) R = 0;9997;

6.5. REFLEXIÓN EN UN PLANO CONDUCTOR. I.N. 147

para frecuencias más bajas, la situación es aún más cercana al caso de re-�exión perfecta. Sólo para la radiación de longitudes de onda muy cortas ladesviación de R de la unidad es importante en conductores buenos como elcobre, la plata y el aluminio. Como la penetración de Skin para estos mate-riales es pequeña, es fácil ver que las capas delgadas de buenos conductoresproporciona un blindaje excelente para radiofrecuencias.


Capítulo 7

Lineas de Transmisión y Guiasde Onda

En frecuncias bajas, consideramos que los elementos de circuitos localiza-dos esten ligador por conductores que no tienen otras propiedades eléctricasmas allá de una buena conductividad. en frecuencias mas elevedas. La longi-tud de estos conductores , más especi�camente. las dimensiones del sistema,se convierten en fracciones no despreciables de una longitud de onda, y la idi-alización de un circuito simple localizado puede llevar a errores graves. puedeser en ciertos casos, arreglado el modelo del circuito localizado asignando in-ductancias e capacitancias distribuidas en las conexiones de las demas partesdel sistema. Aquellos conceptos tienen su utilidad, mas deben ser usados concautela ya que, la verdad, es que esta cuestion se tranforma en un problemade campo electromagnético. Así mismo, es en general posible preservar partede simplicidades en el análisis de circuitos localizados usando impedanciaslocalizadas associadas a lineas de transmisión uniforme.

Una linea de transmisión transmision uniforme es un sistema de dos omas conductores que tienen identicas con�guraciónes de sus secciones retas,cualquierea que sea la posición de la sección a lo largo de la longitud de lalinea. Ejemplos practicos de lineas de trasmisión unifromes son los cablesparalelos. los cables coaxiales y las lineas de barra. Nuestro objetivo en estecapitulo es presentar los aspectos basicos que guian al análisis de de las lineasde transmisión.

149

150 CAPÍTULO 7. LINEAS DE TRANSMISIÓN Y GUIAS DE ONDA

7.1. Existencia y De�nición de modo en unaLinea de Transmisión

la con�guración de campo electromagnético para una linea de transmisióndada es, en princípio, determindada por la solución de las ecuaciones deMaxwell sujeta a las condiciones de contorno de�nidas para conductores lin-eales.

7.1.1. Lineas de Transmisión Sin Perdidas

Sim perdida signi�ca que los conductores tienen conductividad in�nita oque el dielectrico que los circunda es perfecto. Son importantes importanteslas siguientes caracteristísticas de la solución general sin perdida.

1. Es posible una in�nidad enumerable de con�guraciones de campo.Cada con�guración posible de campo es denominada modo de linea.

2. Si focalizamos la atención en un estado permanente senoidal, veri�-caremos que todo modo tiene una dependencia en z (z es la coodenada axial,esto es z es l l lamedida de la distancia a lo largo de una linea) de la formae� z y e z . Así mismo los modos son generalmente ondas en dirección �z:3. La constante de propagación , en general, es uan funcion de la geome-

tria de la linea de transmisión y frecuencia de estado permamente senoidal.Esta función es diferente para cada modo.

4. Una linea de transmisión para cierto modo dado, existe una frecuen-cia(usalmente denominada frecuencia de corte) en que � 0: abajo de estafrecuencia, es real positiva. Por arriba de esta frecuencia , es imaginar-ia positiva. Así mismo, la verdadera propagación de onda solo es posiblepor encima de la frecuencia de corte. un ánalisis elemental de una linea detransmision, ignorando los modos cuya frecuencia de corte sea menor que lafrecuencia de operación.

5. En toda linea de trasmisión sim perdidas hay un modo espacial en elcual los campos Ey H son transversales en el eje de la linea. Este modo esdonominado modo TEM, o modo transversal electromagnético. L frecuenciade corte de este modo es nula.

7.2. CARACTERISTICAS DE EL MODO TEM 151

7.1.2. Lineas de Transmisión Con Perdidas

una lnea de trasmisión con perdidas es aquella en que los conductorestienen condutividades �nita o que el dialectrico no sea perfecto. en los casoscotidianos esta es la condición vigente.

La solución exacta del problema de condiciones de contorno para unalinea de transmision con perdidad es muy conplicada y en la mayoria de loscasos no puede ser resualtas analiticamente. un modelo usal para atacar esteproblema de las lineas de transmisión con perdidas consiste en usar lo queviene hacer en realiad, un tratamiento de perturbaciones. La tecnica consisteadoptada consiste en resolver los campos como si la linea no tuviese perdidasy despues calcular las perdidas que ocurririan si los campos no disipativosfueran exactos.

7.2. Caracteristicas de el Modo TEM

Un modo con frecuencia de corte núla es un modo transversal electromag-nético (TEM ). Esto quiere decir que los campos Ey H son tranversales endirección de la linea de transmisión. Cuando la dirección axial es la direc-ción z, Hz = Ez = 0: Primero se escriben las ecuaciónes de Maxwell parauna región no conductora libre de fuentes. Aunque pudan ser convenientesmas adelante otros sistemas de coordenadas, no se pierde, en esta altura,cualquier generalidad adoptando coordenadas cartecianas ortogonales. Enterminos de las componentes, las ecuaciones de Maxwell de rotacionales, conHz = Ez = 0: son:

@Ey@z

= �@Hx

@t;�@Hy

@z= �

@Ex@t

(7.1)

@Ex@z

= ��@Hy

@t;�@Hx

@z= �

@Ey@t

@Ey@x

� @Ex@y

= 0;@Hy

@x� @Hx

@y= 0


Las ecuaciones 7.1 se combinan para dar:

@2Ex@z2

� ��@2Ex@t2

= 0 (7.2)

@2Ey@z2

� ��@2Ey@t2

= 0

@2Hx

@z2� ��

@2Hx

@t2= 0

@2Hy

@z2� ��

@2Hy

@t2= 0

Las soluciones de las ecuaciones 7.2 se dan de la forma:

f (z; t) = f+ (z � vt) + f� (z + vt) (7.3)

donde v = 1=p�� es la velocidad de propagación del modo TEM en

dirección z, las ondas representadas por f+y f�:La primera caracteristica del modo TEM es propagarse a lo largo de la

linea de transmisión con una velocidad v = 1=p�� y es independiente de la

geometría y de la frecuecia. La frecuencia de corte es nula.Veamos ahora las ecuaciones de onda vectoriales para regiones sin fuente:

r2E = ��@2E

@t2(7.4)

r2H = ��@2H

@t2

En el caso particular que se esta analizando, Hz = Ez = 0, son:

r2Ex = ��@2Ex@t2

(7.5)

r2Ey = ��@2Ey@t2

r2Hx = ��@2Hx

@t2

r2Hy = ��@2Hy

@t2


Y remplazando las ecuaciones 7.2 en 7.5 tenemos:

@2Ex@x2

+@2Ex@y2

= 0 (7.6)

@2Ey@x2

+@2Ey@y2

= 0

@2Hx

@x2+@2Hx

@y2= 0

@2Hy

@x2+@2Hy

@y2= 0

Así mismo, cada una de las ecuaciones de campo obedecen a la ecuaciónde Laplace bidimensional. Consecuentemente cada una de las componentesdel campo puden ser escritas como un gradiente de una función escalar. Paranuestra discusión, no es tante, es mas util observar que esto signi�ca que elcampo total E o el campo total H pueden ser escritos, cada cual, comoun gradiente de funciones escalares. Esto permite de�nir una diferencia depotencial de la siguiente manera:

V (z; t) =

ZC

E � dl =ZC

(�r�) � dl = �1 � �2 (7.7)

Donde el camino de integración en cualquier trayectoria, en planos transver-sales, del conductor 1 hasta 2. Fig 7.1 donde V depende de la posición dez y del instante t en que se da la integración. Denominaremos V (z; t) ladiferencia de pontencial entre dos conductores.Analogamente, podemos de�nir una corriente única:

I (z; t) =

IC�H�dl (7.8)

donde C� es cualquier contorno en un plano transversar y envuelve alconductor 1. Figura 7.2. (Para el conductor 2, obtenemos obtenemos elnegativo de la corriente alli de�nida) observe que la corriente de desplaza-miento es nula, en puntos donde Dz = 0:Desde ahora, mostramos apenas que es posible de�nir una diferencia de

pontencialV (z; t) y una unica corrienteI (z; t). estas magniturdes tienen lasdimensiones de un voltaje y una corriente, conforme es evidente. Es preciso,no estanto, abordar el respectivo signi�cado. Cdz


Figura 7.1: Vista de la sección recta de una linea de transmisión con con conduc-tores paralelos.


Figura 7.2: Vista de la sección recta una linea de transmisión de dos conductorescoaxiales.

Como paso preliminar, observamos que las ecuaciónes 9.1 son, formal-mente, aquellas las cuales obedecen a la forma de solución de ondas planasuniformes, con la condición adicional impuesta en las dos ultimas ecuacionesdel conjunto 9.1, se asemejan:

@E

@y=@Ey@x

e@H

@y=@Hy

@x(7.9)

Lo que abre las posibilidad de que los campos no sean uniformes sobre losplanos trasnversales. Este grado de libertad adicional es necesario para quelos campos puedan satisfacer las condiciones de contornos sin que se alterenlas implicaciones de las dos primeras ecuaciones de 7.1, que relacionan apenasel comportamiento temporal y espacial de los campos. Así mismo, usandolas ecuaciones 7.1, rescritas para el estado permanente senoidal. podemosinterpretar el problema sobre la corriente. Esta interpretación se escribe:


z0 + dz

E+ = E+T e�j�z (7.10)

H+ =1

�

�az � E+T

�e�j�z

E� = E�T ej�z

H� = �1�

�az � E+T

�ej�z

Donde el factor ej�z está implícito y en la onda se usa el índice T paraindicar que el campo es transversal. En otras palabras, estas ecuacionesa�rman que E+ y H+ estan en fase en el tiempo y son ortogonales en elespacio, con un modulo relativo dado por:Analogamente para los campos transversales que viajan en dirección neg-

ativa.jE+jjH+j = � =

r�

�(7.11)

Una vez que los vectores E+T e E�T son soluciones del mismo problema de

valores de contorno, los vectores E+ y E� son colineales. Esto hace que H+

y H� sean tambien colineales. las direcciones y la dependencia espacial realde los campos son determinadas por la geometria de la linea de transmisión.escribiendo ahora los vectores de campo en forma que evidencie de man-

era mas clara la dependencia espacial transversal. Para esto, escrivimos:

E+ =��E+�� e�j�+e�j�zg (x; y) = E+T0 (z)g (x; y) (7.12)

Donde la función escalar E+T0 contiene tadas las informaciones sobre laposición axial, la fase, y el modulo, y donde g (x; y) es una función vecto-rial adimensional, apropiadamente normalizada, las coordenadas transver-sales (x; y) contienen la información sobre la dirección y el módulo relativo.analogamente, podemos escribir:

E� = E�T0g (x; y) (7.13)

H+ =1

�E+T0az � g (x; y) (7.14)

H� = �1�E�T0az � g (x; y) (7.15)


Ahora, se muestran otra vez las funciones V (z; t) y I (z; t) de�nidas an-teriormente. de la ecuación 7.7, tenemos:

V (z) =

ZC

�E+T0 + E�T0

�g (x; y) � dl =ET

ZC

g (x; y) � dl =ETF1 (7.16)

donde:ET = E+T0 + E�T0 (7.17)ZC

g (x; y) � dl = F1 (7.18)

Analogamente de la ecuación 7.8 tenemos:

I (z) =

Ic0HT [az � g (x; y)] � dl =HTF2 (7.19)

donde:HT =

1

�

�E+T0 � E�T0

�(7.20)

F2 =

Ic0[az � g (x; y)] � dl (7.21)

Todavia, F1 Y F2 dependen apenas de la geometria de la linea de trans-misión. Rescribiendo los resultados de la forma;

V = V + (z) + V � (z) =�E+T (z) + E�T (z)

�F1

I (z) =F2�F1

�E+T (z)� E�T (z)

�F2

Estas ecuaciones son:

V (z) = V + (z) + V � (z)

I (z) =F2�F1

�V + (z)� V � (z)

�En donde vemos que:

I+ (z) =F2�F1

V (z) =1

Z0V (z) (7.22)

I� (z) = � F2�F1

V � (z) = � 1

Z0V � (z) (7.23)

Donde Z0 = (F1=F2) � tiene las dimensiones de una impedancia, cuyovalor es determinado por la geometria de la linea de transmisión y por mediodel dialéctrico. Esta impedáncia característica de la linea de transmisión.


Figura 7.3: Sección recta y vista longitudinal de una linea de transmisión coaxial.

7.3. Cable de Transmisión Coaxial

Como ejemplo especi�co de una linea de transmisión, vamos analizar unmodo TEM de estructura Coaxial sim perdidas que ve en la �gura 3. Encoodenadas cilindricas, las ecuación 9.1 son:

@E'@z

= �@Hr

@t;�@H'

@z= �

@Er@t

(7.24)

@Er@z

= ��@H'

@t;�@Hr

@z= �

@E'@t

@

@r(rE')� �

@Er@'

= 0;@

@r(rH')�

@Hr

@'= 0

Estas ecuaciones pueden ser combinadas de la misma forma que las ecua-

7.3. CABLE DE TRANSMISIÓN COAXIAL 159

ciones 7.1 para dar:

@2Er@z2

� ��@2Er@t2

= 0 (7.25)

@2E'@z2

� ��@2E'@t2

= 0

@2Hr

@z2� ��

@2Hr

@t2= 0

@2H'

@z2� ��

@2H'

@t2= 0

Las ecuaciones muestran que cada una de las componentes del campoobedece, individualmente, a una ecuación de onda; por esto, cada componentetiene la forma:

f (z; t) = f+ (z � vt) + f� (z + vt)

Como era el caso cuando se expreso en coodenadas cartesianas.Por otra parte, los otros resultados prévios muestran que E+y H+ son

campos en fase en el tiempo y ortogonales en el espacio. de modo que:

E+TH+T

= �;E�TH�T

= ��

De hay, la única parte nueva del problema es determinar el comportamien-to espacial transverso de los campos y la impedancia caracteristica de la linea.Podemos determinar el comportamiento espacial resolviendo directamenteel

conjunto de ecuaciones 7.24, lo que muestra que, en caso de los campos ten-gan dependencia de ', la unica solución posible tiene una formula k=r, dondek es una constante. Esto nos dice que los campos som:

E+r =k1r;H+

r =k3r

(7.26)

E+' =k2r;H+

' =k4r

Con expresiónes análogas en el caso de campos contaminantes en direcciónnegativa. Las condiciones de contorno Etan = 0, Hnormal = 0; exige quek2 = k3 = 0; con lo que resultan los campos:

E+r =k+

r;H+

r =1

�

k+

r(7.27)


Pero:

V + (z) =

ZC

k+

rdr = k+ ln

a

b= E+T (z)F1 (7.28)

I+ (z) =1

�

Ic0[az � ET ] � dl =

1

�

2�Z0

k+

rrd' =

2�k+

�=2�

�

V + (z)

ln ab

(7.29)

De la ecuación 7.29 y la ecuación 7.22 obtenemos:

F2F1=2�

ln ab

(7.30)

y:Z0 =

�

2�lna

b(7.31)

Y esta es la impedancia caracteristica de una linea de transmisión coaxialsin perdidas. Es a veces deseable tener una interpretación de circuito para Z0Recordando que la capacitancia por unidad de longitud de una estructuracoaxial es:

C =2��

ln ab

(7.32)

y la indutancia por unidad de longitud, es:

L = �ln a

b

2�(7.33)

Veamos que:rL

C=

vuut�ln a

b

2�2��ln a

b

=

s�

�

�ln a

b

2�

�2=

r�

�

�ln a

b

2�

�= Z0 (7.34)

entonces Z0 se interpreta como la razónq

LC. De hecho si huvieramos

empezado el analisis admitiendo que la linea de transmisión tiviera unacapacitancia y una inductancia L por unidad de longitud y que habia unvoltaje V y una corriente I, El problema pridria haber sido tratado como uncircuito distribuido (Figura 7.4), tendriamos lassiguientes ecuaciones:

@V

@z= �L@I

@t(7.35)

@I

@z= �C@V

@t

7.3. CABLE DE TRANSMISIÓN COAXIAL 161

Figura 7.4: Representacion de circuito distribuido de una linea de transmisión sinperdidas.

Estas ecuaciones, ha su vez , se combinan con:

@2V

@z2= LC

@2V

@t2(7.36)

@2I

@z2= LC

@2I

@t2

Son las ecuaciones de onda plana para V y I, con soluciones:

V (z; t) = V + (z � vt) + V � (z + vt) (7.37)

I (z; t) = I+ (z � vt) + I� (z + vt) (7.38)

donde:v =

1pLC

=1q

� ln(b=a)2�

2��ln(b=a)

=1p��

Como se obtuvo antes. La sustitución directa de estos resultados de lasecuaciones 7.35 iniciadas de :

V + (z; t)

I+ (z; t)=

rL

C= Z0


V � (z; t)

I� (z; t)= Z0

Lo que se esperaba. La facilidad con que obtuvimos este resultado porel metodo de los circuitos distribuidos hace que este sea un tratamiento ven-tajoso para cálculos de rutina. las lineas reales, nostanto. precisaremos teneruna comprensión debido de abordar los campos para entender las limitacionesde frecuencia impuestas en las lineas con perdidas.

7.4. Análisis de Lineas de Transmisión

El en análisis convencional de una linea transmisión se concidera el com-portamiento de la linea en un estado permanente senoidal. Con variacionestemporales de la forma ejwt, con las ecuaciones 7.36 tenemos:

@2V

@z2+ LC!2V (7.39)

@2I

@z2= LC!2I

y sactisfacen las soluciones:

V (z) = V +e�j�z + V �ej�z (7.40)

I (z) =1

Z0

�V +e�j�z � V �ej�z

�(7.41)

En el factor ej�z está implicito y donde:

� =2�

�=!

v= !

pLC = !

p�� (7.42)

Obtenemos la impedancia en cualquier punto a lo largo de la linea divi-diendo mienbro a mienbro las ecuaciones 7.40 y 7.41:

Z (z) =V (z)

I (z)= Z0

V +e�j�z + V �ej�z

V +e�j�z � V �ej�z(7.43)

Es conveniente modi�car la forma de esta ecuación diviendo el numeradory el donominador por V +e�j�z;entonces la ecuación es:

Z (z) = Z01 +

�V �

V +

�ej2�z

1��V �

V +

�ej2�z

= Z01 + �0e

j2�z

1� �0ej2�z(7.44)

7.4. ANÁLISIS DE LINEAS DE TRANSMISIÓN 163

Figura 7.5: Linea de transmisión ligada a un generador con una carga

Donde:

�0 =

�V �

V +

�(7.45)

Esta de�nicion implica que �0 es la razón entre las ondas de voltajere�ejada y incidente en z=0, siendo por lo tanto una caracteristica de cargaligada a la linea. Una vez que estas ondas esten necesariamente en fase enz = 0; �0 en general es compleja y de forma:

�0 = j�0j ej�0 (7.46)

donde �0 es la fase relativa de V� y V + en z = 0:

Las lineas de transmisión enlaza en general un generador a una carga,comforme se ve en la �gura 7.5. En este caso, es casi siempre deseable usar laposición de la carga en el origen del sistema de coordenadas z, y en tanto, zes negativo en todas las posiciónes a lo largo de la linea. Con esto se escribeen terminos de la variable s = �z, demodo que anortaremos s= distanciapositiva a la carga:En terminos de s, la ecuación 7.44 queda de la forma:

Z (s) = Z01 + �0e

�j2�s

1� �0e�j2�s(7.47)

El problema básico del análisis de una linea de transmisión esta en elmanejo y la interpretación de la ecuación 7.47. Una vez Z0 es una constantepara cualquier linea determinada, es conveniente de�nir una impedancia nor-


Figura 7.6: El Coe�ciente � en el plano complejo. j�0j�1

malizada Zn (s) como:

Z (s)

Z0= Zn (s) =

1 + �0e�j2�s

1� �0e�j2�s(7.48)

La ventaja de si usar esta impedancia normalizada está en la reducción detodos los problemas en un problema de una sola clase. En primer lugar.obsevese que Zn (s) es complejo y puede escribirse de la forma:

Zn (s) = r (s) + jx (s) (7.49)

examinando la ecuación 7.48 nos muestra que, si fueran posibles todos losvalores de j�0j, de cero a in�nito, los dominios de r (s) y de jx (s) irian de -1hasta +1. No entanto, si restringimos el análisis en caso de un generadordando potencia a una carga pasiva, donde la potencia media es Pmed previstaspor las ecucaciones 7.40 y 7.41:

Pmed = Re

�1

2V I�

�=jV +j2

2Z0� jV

�j2

2Z0� 0 (7.50)

Y por tanto tendremos:

j�0j =��V �

V +

�� 1

7.5. GUIAS DE ONDA 165

En estas condiciones, es evidente que el coe�ciente generalizado de re�exióndel voltaje es:

� = �0e�j2�s = �0e

j�e�j2�s (7.51)

Es una magnitud cuyo valor geométrico en plano complejo es un circulo deradio j�0j � 1: La �gura 7.6 ilustra un gra�co para �.

7.5. Guias de Onda

A medida que la frecuencia aumenta, el desempeño de las lineas de trans-misión ordinarias se torna progresivamente menos deseable. En particular lasperdidas se tornan mucho mayores. afortunadamente, es posible transmitirenergía electromagnética a través de estructuras, conocidas como guias deondas, cuyo desempeño se torna óptimo mas o menos en la misma frecuenciaen que a las lineas de transmisión ordinárias son seriamente deterioradas. Enesta sección, discutiremos los aspectos elementales de la teoria de guias deondas.Para nuestro objetivo, una guia de onda es un tubo conductor hueco,

con sección recta de forma arbitrária. Una guia de onda mas comunes enlas aplicaciones práticas son de secciónes rectangulares, con el largo igual ocerca al doble de la altura. Para mostrar que esta guia de onda permitirá lapropagación de ondas electromagnéticas, vamos a resolver la ecuaciones deMaxwell con las condiciones de contorno apropiada y mostrar que realmenteexiste una solución no trivial.

Considemos la guia de onda ilustrada en la �gura 7.7. En el interiorde la guias podemos suponer que esta completamente lleno de un dieléctri-co isotrópico, homogeneo y lineal de modo que las ecuaciones de Maxwell,pueden ser combinadas para dar con la ecuación vectorial de Helmholtz enE y en H. Así mismo, en caso de un medio sin perdidas, las ecuaciones 7.38dan:

r2E+ !2��E = 0 (7.52)

r2H+ !2��H = 0 (7.53)

En coordenadas cartecianas, estas ecuaciones son, en realidad, un conjuntode seis ecuaciones de Helmholtz escalares identicas, las componentes de E yH. Vamos escribir explicitamente la ecuación para Hz:

@2Hz

@x2+@2Hz

@y2+@2Hz

@z2+ !2��Hz = 0 (7.54)


Como se sabe, podemos resolver esta ecuación suponiendo que la soluciónsea un producto de forma:

Hz(x; y; z) = X (x)Y (y)Z (z) (7.55)

donde X (x) es una función solamente de la variable x, donde Y (y) es unafunción solamente de la variable y, donde Z (z) es una función solamente dela variable z:Utilizando esta información, vemos que la ecuación 7.54 puedeser escrita:

d2X

dx2(Y Z) +

d2Y

dy2(XZ) +

d2Z

dz2(Y X) + !2��XY Z = 0

Dividiendo 7.56 entre XY Z, tenemos:

1

X

d2X

dx2+1

Y

d2Y

dy2+1

Z

d2Z

dz2= �!2�� (7.56)

Esta ecuación, las variables estan separadas. Por esto, cada parte delprimer miembro debe ser igual a una constante. Así mismo, podemos escribirle ecuación 9.56 como:

�A2 �B2 + 2 = �!2�� (7.57)

Donde las constantes A2,B2 y 2 separan la ecuación diferencial parcial 9.54en tres ecuaciones diferenciales ordinárias, de forma:

d2X

dx2+ A2X = 0 (7.58)

d2Y

dy2+B2Y = 0

d2Z

dz2+ 2Z = 0

Las soluciones de estas ecuaciones son conocidas:

X = (C1senAx+ C2 cosAx) (7.59)

Y = C3senBy + C4 cosBy

Z = C5e z � C6e

� z

7.5. GUIAS DE ONDA 167

Figura 7.7: Coodenadas de una guia de onda rectangular.


Lo que signi�ca que:

Hz = XY Z = (C1senAx+ C2 cosAx)�(C3senBy + C4 cosBy)��C5e

z � C6e� z�

(7.60)

El examen de las ecuaciones vectoriales originales del Helmholtz en Ey H muestran que Ex; Ey;Ez; Hx y Hy; tienen todas, soluciones con formaidentica a 9.60 y, �C1; C2; C3; C4; C5 Y C6: Para encontrar una relación entrelas componentes de campo, es necesario volver a las ecuaciones de Maxwell:

r�H =j!�E;r� E = �j!�H

Las ecuaciones 7.2, escritas en terminos de las componentes cartecianas, son:

@Hz

@y� @Hy

@z= j!�Ex;

@Ez@y

� @Ey@z

= �j!�Hx (7.61)

@Hx

@z� @Hz

@x= j!�Ey;

@Ey@x

� @Ez@x

= �j!�Hy

@Hy

@x� @Hx

@y= j!�Ez;

@Ey@x

� @Ex@y

= �j!�Hz

En esta altura, retornamos a las ecuaciones 7.59 y obsevamos que la función Zes una suma de dos ondas caminantes, la primera en movimiento en direcciónde �z y en la segunda en dirección de +z.En vista de la linealiadad, es legitimo considerar las dos direcciónes de

movimiento separadamente. Por este, vamos a tratar las ondas hacia el eje+z y escribir la dependencia de z simplementemente como e� z para todaslas componentes del campo. Así mismo haciendo, @=@z es � , y el conjunto7.61 se transforma en:

@Hz

@y+ Hy = j!�Ex;

@Hz

@y+ Hy = �j!�Hx (7.62)

� Hx � @Hz

@x= j!�Ey;� Ex �

@Ez@x

= �j!�Hy

@Hy

@x� @Hx

@y= j!�Ez;

@Ey@x

� @Ex@y

� j!�Hz

7.6. MODOS TM EN GUIAS DE ONDA RECTANGULARES 169

combinando apropiadamente ecuaciones 7.62, obtenemos:

Ex = �

h2@Ez@x

� j!�

h2@Hz

@y

Ey = �

h2@Ez@y

+j!�

h2@Hz

@x

Hx = �

h2@Hz

@x� j!�

h2@Ez@y

HY = �

h2@Hz

@y� j!�

h2@Ez@x

Donde:h2 + 2 + !2�� = A2 +B2 (7.63)

Con estas ecuaciones se puede dar cuenta que son posibles dos clases espe-ciales de solución:1. Las soluciones para las ecuaciones Ez = 0; Hz 6= 0: En vista de las

componentes remanentes de campoE seran transversales a z, estas solucionesson denominadas los modos transversales eléctricos,ou modos TE.2. Las solcuiones para las ecuaciones Hz = 0; Ez 6= 0: En virtud de la

razon identica enunciada arriba, estas soluciones son denominadas los modostransversales magnéticos, ou modos TM.

7.6. Modos TM en Guias de Onda Rectangu-lares

En este caso, Hz = 0: las condiciones de contorno son Etan = 0 en x = 0y y = 0, x = a y y = b. Mas alla de esto, Ez tiene forma de la ecuación 7.60.Particularizada para una onda que se propaga en dirección positiva, esto es:

Ez = (C1senAx+ C2 cosAx) (C3senBy + C4 cosBy) e� z (7.64)

Con condiciones de contorno Ez = 0, en x = 0 o tambien en y = 0, vemosque inmediatamente que los terminos en coseno deben ser nulos y que Eztiene que ser dada por:

Ez = CsenAxsenBye� z (7.65)


Donde C = C1C3. Ahora, usando las condiciones de contorno Ez = 0 enx = a , tambien en y = b, veamos que deben ser:

senAa = 0

senBb = 0

Estas dos ecuaciones implican que:

Aa = m�; donde m = 1; 2; 3; :.. (7.66)

Bb = n�; donde n = 1; 2; 3; :..

Dondem y n no pueden ser nulos, pues la nulidad de alguno de ellos haria Ezidenticamente nulo y no habria campo.Habiendo determinado completamentela dependencia deEz en x y y, podemos insertarEz en las ecuaciones7.62 paraobtener las otras componentes del campo. No estanto una vez que apareceexplicitamente en las ecuaciones 7.62, es conveniente examinar previamentela naturaleza de este parametro.

En terminos de los valores explicitos de A y de B, la ecuación 7.63 nosqueda:

=

r�m�a

�2+�n�b

�2� !2�� (7.67)

Vemos entonces que es un número real para:

!2�� m�a

�2+�n�b

�2Esto quiere decir que una propaganción real de ondas solo ocurre cuando !es mayor que una frecuencia (angular) de corte, de�nida por:

!2c�� =�m�a

�2+�n�b

�2(7.68)

Desde que estamos procupados, primoldialmente, con una guia de onda co-mo una estructura propagadora de ondas, vamos a indicar explicitamente laforma imaginariamente pura esperada para ;escribiendo = j� donde:

� =

r!2��

�m�a

�2��n�b

�2(7.69)

Es la constante de desplazamiento de fase para una particular con�guraciónde campo de�nida por los enteros m y n.si introducimos los resultados en

7.7. MODOS TE EN GUIAS DE ONDAS RECTANGULARES 171

las ecuación 7.62, tenemos un conjunto �nal completo de ecuaciones quedescriben el campo vectorial de los modos TM. las ecuaciones resultantesson:

Ez = CsenAxsenBye�j�z (7.70)

Ex =�j�Ah2

C cosAxsenByye�j�z

Ey =�j�Bh2


Hx =j!�B

h2CsenAxsenByye�j�z

Hy = �j!�Ah2


Hz = 0

Donde:��

A =m�

a; m = 1; 2; 3; ::: (7.71)

B =n�

a; n = 1; 2; 3; :::

Las ondas asociadas a estos enteros m y n son designadas por modos TMmn:

7.7. Modos TE en Guias de Ondas Rectan-gulares

Deduciremos las ecuaciones para los modos TE (Ez = 0) de manerasemejante al anterior, exepto que como Ez = 0, debemos hacer que lascomponentesEx y Ey satisfacen la condición de contorno Etan = 0: Las


ecuaciones son:

Hz = CsenAxsenBye�j�z (7.72)

Hx =j�A

h2CsenAx cosByye�j�z

Hy =j�B

h2C cosAxsenByye�j�z

Ex =j!�B

h2C cosAxsenBye�j�z

Ey =�j!�Ah2

C cosAxsenBye�j�z

Ez = 0

Donde �;A;B y h2 son los mismos parametros de la onda de�nidos para losmodos TM.Otro grupo de parametros de onda, permite a los dos tipos de modos, es:

7.7.1. La longitud de onda de corte

�c =c

fc=

1p��fc

=2�

(m=a)2 + (n=b)2� 12

(7.73)

Donde la ultima igualdad es consecuencia de la ecuacion 9.68. Esta es lamayor longitud de onda (medido numero menor in�nito con mismo � y�) en que ocurre la propagación real de la onda. Las longitudes de ondamayores, los modos se tornan evanecentes. En terminos de la frecuencia decorte fc:

� = !p��

s1�

�fcf

�2=2�

�

s1�

�fcf

�2(7.74)

Donde � = c=f es una longitud de onda medida en el mismomedio ililimitado.

7.7.2. La velocidad de fase

vf =!

�=

!q!2�� (m�=a)2 � (n�=b)2

=cq1� fc

f

(7.75)

7.7. MODOS TE EN GUIAS DE ONDAS RECTANGULARES 173

Esta es la velocidad de propagación de un frente de onda de fase constante.Observe que, que la velocidad de fase no depende linealmente de la frecuncia,una señal de banda ancha se dispersará al pasar por una guia de onda. Esteno es el caso de las señales de banda estrecha, vimos que se puede aplicar ala noción de velocidad de grupo.

vg =1

d�=d!=

q!2�� (m�=a)2 � (n�=b)2

!��=c2

vf(7.76)

observe que vf � c para todo f � fc.

7.7.3. La Longitud de Onda de la Guia

�g =vff=2�

�=

2�q!2�� (m�=a)2 � (n�=b)2

=�r

1��fcf

�2 (7.77)

Observe que �g � � para todos las f � fc. Observe tambien que:

1

�2=1

�g+1

�f(7.78)

Pero hay una diferencia signi�cativa entre los modos TE Y TM. Recor-damos que los modos de TM cualquiera de las condiciones m = 0 y n = 0,nos llevara a un campo nulo. impecionando las ecuaciones7.72, en tanto,mostramos que no son m = 0; com n 6= 0, mas tambien m 6= 0; com n = 0.llevan las con�guraciones no nulas del campo en modos TE que son consider-adamente mas simples que las con�guraciones generales TEmn por ejemplo,com m = 1, n = 0, se tiene que: a)

Hz = C cos�x

ae�j�z (7.79)

Hx =j�a

�Csen

�x

ae�j�z

Ey = �j!�a�

Csen�x

ae�j�z

Hy = Ex = Ez = 0


Este es un caso especial que tiene importancia práctica particular, pues esposible projectar una guia de onda en cualquier propagación de ondas seconvierten en este modo, que es denominado modo dominante, designadoTE10. A continuación del campo es el correspondiente a la �gura 7.8.

7.8. Problemas

1. Pruebe que el modo TE00 no puede existir en una guía de onda rectan-gular. Sugerencia: Probar que para este modo Bz debería ser 0, por lo que setrataríade un modo TEM.2. Considere una guía de onda rectangular con dimensiones 2,28 cm y

1,01cm. Que modos TE se propagarán en la guía, si la frecuencia externaes 1; 70 � 107Hz? Que rango de frecuencias debería usar para excitar soloun modo TE? Cuales seráan las longitudes de onda correspondientes en elespacio libre?

3. Veri�car que la energía en un modo TEmn de una guí¬a rectangularviaja a la velocidad de grupo. Sugerencia: Calcular el promedio temporal del

7.8. PROBLEMAS 175

vector de Poynting y de la densidad de energía, integrar sobre una sección dela guía para obtener la energía por unidad de tiempo a través de la secciónpor un lado y por unidad de longitud por otro, y tomar el cociente.

4. Estudiar los modos TM para una guía de sección rectangular. Hallarel campo eléctrico longitudinal, frecuencias de corte y velocidades de fase yde grupo. Hallar el cociente entre las frecuencias de corte mas bajas para losmodos TE y TM.

5. Determine los modos de propagación posibles para una guía cuya sec-ción es un triángulo rectángulo isosceles de cateto a:

6. Calcule las frecuencias de corte para los modos TE y TM para unaguía cilíndrica.

7. Determine las frecuencias resonantes de una cavidad cilíndrica de radioa y altura h.


Capítulo 8

Formulación Covariante de lasEcuaciones de Maxwell

8.1. Teória de la Relatividad Especial

Postulados de Einstein

Einstein tenia tres posibilidades a seguir:a) las ecuaciones de Maxwell eran incorrectas(la teória apropiada del elec-

tromagnetismo era invariante respecto a las transformaciones de Galileo).b) la relatividad Galileana se aplicaba a la mecanica clásica, pero la elec-

tromagnetismo tenía un sistema de referencia privilegeado, o aquél en el queel éter lumínico estaba en reposo.c) Existía un principio de relatividad tanto para la mecánica clásica como

para el electromagnetismo, pero no era la relatividad galileana. Esto implica-ba que las leyes de la mecánica estaban necesitados de una modi�cación.Eistein eligió la tercera de las anteriores alternativas. la teória especial

de la relatividad está basada en dos postulados:1) Postulado de la relatividad: Las leyes de la naturaleza y los resultados

de todos los experimentos realizados en un sistema de referencia determinadoson independientes del movimiento de translación del sistema como conjun-to. es decir Z un conjunto triplemente in�nito de sistemas de referencia ycon velocidad constante en los cuales todos los fenomenos físicos ocurren demanera idéntica.2) Postulado de la constancia de la velocidad de la luz: La velocidad de

177

178CAPÍTULO 8. FORMULACIÓNCOVARIANTEDE LAS ECUACIONESDEMAXWELL

la luz no depende del movimiento de la fuente. Este postulado nos obliga auna reconsideración de nuestas ideas sobres el espacio y el tiempo.

Transformaciónes de Lorents y sus concecuenciaas:

Obtenemos las formulas que permitan pasar de un sistema de referenciainercial a otro, es decir, fórmulas mediante las cuales dadas las coordenadasx; y; z; t de un cierto suceso en el sistema K; se puedan encontrar las coorde-nadas x0; y0; z0; t0 del mismo suceso en otro sistema inercial K�. En mecánicaclásica, dado que el tiempo es de naturaleza absoluta t = t0 (en los sistemasK y K 0) si ademas se alegen los ejes coordenados x; x0 coincidentes. y; zparalelos a y0; z0 respectivamente; el movimiento a lo largo de x; x0, entonceslas coordenadas y; z son iguales y0; z0 mientras que las coordenadas x; x0 di-�eren en las distancias recorrida por uno de los sistemas con relación al otro;si se elige como orígen de tiempo (t = t0 = 0) ; el instante en que coinncidenlos dos sistemas de coordenadas, la velocidad del sistema K 0 respecto a Kes �!v para t = t0 6= 0:

x = x0 + vt (8.1)

y = y0

z = z0

t = t0

Estas son las conocidas transformaciones de Galileo. esta transformaciónno deja invariantes los intervalos entre sucesos. las transformaciones relativis-tas las obtendremos, partiendo de las condiciones de que se deje invariantedichos intervalos.Si utilizamos la magnitud � = ict, el intervalo entre dos sucesoss se puede

considerar como distancia entre el correspondiente para de puntos de univer-so en un sistema de coordenadas cuadridimensional. Entonces la transfor-mación buscada debe conservar todas las distancias en el espaco de cuatrodimensiones (Espacio de Minkoski) x; y; z; � : Pero estas transformacionespueden ser sólo de translaciónes o rotaciones del sistema coordenado. Lastranslaciones carecen de interes, por que equivalen tan solo de un corrim-iento del origen de coordenadas espaciales y yacen cambio en el origen deltiempo. Las transformaciones buscadas deben poder expresarse matemática-mente como una rotación del sistema 4-dimensional x; y; z; � :[Toda rotación

8.1. TEÓRIA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 179

en el espacio 4-dimensional se puede descomponer en 6 rotaciones en losplanos xy; zy; xz; �x; �y; �z (las tres primeras transformacioens unícamentecoordenadas de espacio y corresponden a las rotaciones espaciales ordinar-ias)].Consideramos una rotación en el plano �x; por efecto la misma. las co-

ordenadas y; z no cambian. Si es el ángulo de rotación, la relación entrecoordenadas antiguas y nuevas de determinan por:

x = x0 cos � � 0sen (8.2)

� = x0sen � � 0 cos

Hallaremos la fórmula de transformacion para pasar de un sistema dereferencia inercial K de un sistema K 0 que se mueve respecto de K convelocidad v a lo largo del eje x:Solo varián las coordenadas x� y las transformación es de la forma �. Hay

que determinar el ángulo (puede depender unicamente de v). Consideremosel movimiento en el sistema K, del origen de coordenadas del sistema K�.En estas condiciones x0 = 0 y las ecuaciones 8.2 se reducen a:

x = ��sen (8.3)

� = � 0 cos

dividiendo una respecto a la otra tenemos:

x

�= � tan (8.4)

pero si remplazamos � = ict, en la ecuación 8.4, entonces:

x

ict= � tan (8.5)

Donde xtes la velocidad v de K�respecto a K. la ecuación 8.5 queda de

la forma:

) � tan = �ivc

(8.5)

tan =sen

cos = i

v

c


�nalmente las ecuación 8.5 tienen la forma:

sen =ivcq

1� v2

c2

(8.6)

cos =1q1� v2

c2

Remplazando 8.6 en 8.2 tenemos:

x = x01q1� v2

c2

� � 0ivcq

1� v2

c2

(8.7)

� = x0ivcq

1� v2

c2

+ � 01q1� v2

c2

y = y0; z = z0, Reduciendo las ecuaciones 8.8 anteriores tenemos:

x =x0 � iv

cq1� v2

c2

(8.8)

� =� 0 + iv

cq1� v2

c2

Pero � = ict; � 0 = ict0las ecuaciones 8.2 quedan �nalmente de la formasiguiente:

x =x0 + vt0q1� v2

c2

(8.9)

y = y0

z = z0

t =t0 + vx0

cq1� v2

c2

Fórmulas de transformaciones de Lorentz (para obtener x0; y0; z0; t0 enfuncíon de x; y; z; t hay que remplazarv por �v; por que el sistema K semueve con velocidad �v respecto del sistema K 0 ). En el límite cuandoc �! 1 se obtienen las transformaciones de Galileo. Se impone el límitede velocidad, es decir v � c:

8.1. TEÓRIA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL 181

Consecuencias

a) contracción de la longitud: supongamos una regla en reposo en elsistema K: Su longitud medida en el sistema K es l0 = x2�x1: Hallemos sulongitud en el sistema K 0 (en este caso hay que determinar las coordenadasde los extremos de la regla x2 y x1; en el mismo instante t0 se deben medirx02 y x

01) entonces de 8;9 tenemos:

x1 =x01 + vt0q1� �!v 2

c2

(8.10)

x2 =x02 + vt0q1� v2

c2

(8.11)

Restando las ecuaciones 8.10 y 8.11 obtemos el desplazamiento de la for-ma:

�x = l0 = x2 � x1 =�x0q1� v2

c2

(8.11)

Def: La longitud propia de una regla es su longitud en un sistema de ref-erencia en el que se encuentra en reposo. Su longitud en un sistema respecto

del que se mueve con velocidad v resulta reducida por el factorq1� v2

c2:

l0 medida en K; l medida en K 0: Entonces la longitud en terminos delfactor relativista tiene la forma::

l = l0

r1� v2

c2(8.12)

b) Dilatación del tiempo: supongamos que un reloj se encuentra enreposo en el sistema K 0 y consideremos dos sucesos que ocurren en unmismo puento x0; y0; z0 del espacio con relación a K 0. Sea �t0 = t02 � t01 eltiempo transcurridos entre estos dos sucesos en el sistema K 0. Determines eltiempo �t que transcurre entre ellos en el sistema de referencia K entoncesde la ecuación 8.9 tendremos:

t1 =t01 +

vc2x0q

1� v2

c2

(8.13)


t2 =t02 +

vc2x0q

1� v2

c2

(8.14)

restando las ecuaciones 8.13 y 8.14 obtendremos:

t2 � t1 = �t =�t0q1� v2

c2

(8.15)

Nota: Las transformaciones de Galileo son conmutables[ el resultado de dostrasformaciones de Galileo sucesivas (con diferentes velocidades v1y v2) nodependen del orden en que se aplican las transformaciones]; por el contrariolas transformaciones sucesivas depende del orden.

c) Transformaciones de velocidades: Determinemos las formulas queligan la velocidad de una particula material en un sistema de referencia conla velociadad de la misma particula en un segundo sistema de referencia.Supongamos que el sistema K 0 se mueve con relación al K con velocidad va lo largo del eje x. Sea vx = dx

dtla componente de la velocidad de la misma

particula en el sistema K; y v0x =dx0

dt0 la correspondiente componente de lavelocidad de la misma particula en el sistema K 0 de 1 tenemos: (tomandodiferenciales y recordando que la velocidad es constante.)

dx =dx0 + vdt0q1� v2

c2

(8.16)

dy = dy0

dz = dz0

dt =dt0 + v

c2dx0q

1� v2

c2

Dividiendo las ecuaciones a los dx; dy; dz de las ecuaciones 8.16 entre dt;tenemos que:

dx

dt=

dx0 + vdt0

dt0 + vc2dx0

(8.17)

dy

dt=

dy0q1� v2

c2

dt0 + vc2dx0

dz0

dt=

dz0q1� v2

c2

dt0 + vc2dx0

8.2. CONSERVACIÓNDE LACARGAENLAFORMULACIÓNCOVARIANTE183

Dividiendo y multiplicando el lado derecho entre dt0las tres ecuaciones8.17 obtenemos:

vx =v0x + v

1 + vc2v0x

(8.18)

vy =v0y

q1� v2

c2

1 + vc2v0x

vz =v0z

q1� v2

c2

1 + vc2v0x

Cuando c �!1 =) vx = v0x + v; vy = v0y; vz = v0z:En particular si la particula de mueve paralela al eje x, será vx = v; vy =

vz = 0: Entonces v0y = v0z = 0 y vx = v0:tenemos:

V =v0 + v

1 + cvc2

= c (8.19)

De la relatividad sabemos que todas las leyes de la naturaleza tienen quetener la misma forma en cualquier sistema de observadores inerciales. Estoquiere decir que las magnitudes físicas queden claramente de�nidas bajo lastransformaciones de Lorentz. Toda ley física es expresada como una igual-dad entre dos expresiones matematica, estas expresiones se puenden escribiren forma tensorial. Si una ley física se expresa de manera tensorial entocesse puede decir que son invarienates bajo las transformaciones de Lorenz, yaque los tensores conservan su forma bajo cualquier sistema coordenado. Lacondición su�ciente y necesaria para que una ley física sea covariante, es quese pueda escribir de forma tensorial.

8.2. Conservación de la Carga en la Formu-lación Covariante

8.2.1. Conservasión de la Carga Eléctrica

En mecánica las transformaciones de Lorentz se re�ereren a dos sistemasde referencia o�y o, moviendose o�con respetecto a o con velocidad �!v uni-forme a lo largo


La Carga electrica es una magnitud fundamental que caracteriza laspropiedades de la materia y su conservacion se observa en los fenomenosnaturales. rescribiendo la ecuación 1.6 es decir:

�!5: (��!v ) + @�

@t= 0

Este principio debe ser valido para cualquier sistema de referencia, en-tonces de�nimos el cuadrivector

�!J?(

�!r ; t) denominado densidad de corriente,donde el subindice ? denota en un sistema de coordena tetraortogonales paraun observador en un sistema de coordenadas inerciales S?. en cada punto�!r , y en cada tiempo t, se de�nen la funciones densidad de carga y densidadde corriente. En esa punto �!r , hay un campo de velocidades que describe elmovimiento de las particulas que dan lugar a

�!J? (

�!r ; t).De este modo señalaremos el vector densidad de corriente en el espacio

tridimensional señalado por S y se de�nira en el espacio m4. Tenemos las�!x 2 R4 con cordenadas x� en un sistema de Lorentz donde x� = (ct;�!r ),esto quiere decir que en cualquier punto �!r en un tiempo determinado t:segun los observadores en el sistema coordenado S, Asociado a un campoescalar �0 (

�!x ) : y formamos el cuadrivector:�!J (�!x ) = �0 (

�!x )�!u (�!x ) (8.20)


donde�!u (�!x ) es la componente u� (�!r ; t) � ( c; �!v (�!r ; t)) : el cuadrivec-tor velocidad �!u (�!x ) lleva información del movimiento de las particulas car-gadas que generan

�!J? (

�!r ; t).visto por un observador en S.A continuacion se muestran las componentes de

�!J (�!r ; t) :

J� (x�) � J� (�!r ; t) = �0�x��u��x��=��0�x�� c; �0

�x�� !v (�!r ; t)

�(8.21)

Luego:

J0 (x�) = �0 (�!r ; t) c y �!

J? (�!r ; t) = �0 (

�!r ; t) �!v (�!r ; t) (8.22)

Si tomamos �0 (�!r ; t) = � (�!r ; t), se tendrá:

J0 (x�) = � (�!r ; t) c y �!J? (

�!r ; t) = � (�!r ; t)�!v (�!r ; t) (8.23)

La función J0 representa el producto entre la densidad de corriente y c,del sistema de particula observada por S. las funciones J1; J2; J3 se asociana las densidades de corrientes dadas por el movimiento de las particulas enS:

Al cuadrivector J� (x�) se denominará Cuadrivector Densidad deCorriente, para que describa correctamente � y a

�!J? (

�!r ; t) deberá cumplirla condición geometrica:

��!J (�!x ) = 0 (8.24)

ó se denora en los sistemas coordenados de Lorentz:

@�J� (�!x ) = 0 (8.25)

O como relaciones en le sistema inercial S.

@0J0 + @1J

1 + @2J2 + @3J

30 =1

c

@

@t(�c) +

@Jx@x

+@Jy@y

+@Jz@z

= 0

donde se estable la ley de conservación de la carga electrica:

�!r :�!J? (�!r ; t) +@

@t� (�!r ; t) = 0 (8.26)


Así cualquier cuadrivector con divergencia nula en m4 podrá sevir pararepresentar densidades de carga y corrientes físicamente aceptables en lossistemas de referencias inerciales. Es decir que cumplan con la ley de con-servación de la carga electrica, podrá representarse en m4 como un campovectorial de la forma:

��!J = 0 (8.27)

La Matriz de Lorentz

Las transformaciones de Lorenz como una tranformación ortogonal. Toman-do la cuarta componente x4 = ict, entonces las transformaciones de Lorentz8;9 cambiando v �! �v pueden escribirse:

x01 =1p1� �2

x1 + 0x2 + 0x3 +i�p1� �2

x4 (8.28)

x02 = 0x1 + x2 + 0x3 + 0x4

x03 = 0x1 + 0x2 + 1x3 + 0x4

x04 = � i�p1� �2

x1 + 0x2 + 0x3 +1p1� �2

x4

la matriz de esta transformación es:

A =

2666641p1��2

0 0 i�p1��2

0 1 0 00 0 1 0

� i�p1��2

0 0 1p1��2

377775 (8.29)

En forma matricial las ecuaciones de 8.28 quedan de esta así:2664x01x02x03x04

3775 =266664

1p1��2

0 0 i�p1��2

0 1 0 00 0 1 0

� i�p1��2

0 0 1p1��2

3777752664x01x02x03x04

3775 (8.30)

Ahora: ¿Porque es necesario escribir las ecuaciones electromagnetica enforma covariante?. Las ecuaciones relativistas no cambian bajo las transfor-maciones de Lorenz. La teória de la relatividad especial nace de la elec-trodinamica, al buscar las ecuaciones que dejaban las ecuaciones invariantes


en dos sistemas(estas ecuaciones son las transformaciones de Lorentz) en-tonces la electrodinamica es relativista por si misma. Se necesita Colocarlas ecuaciones en forma covariante pro que facilita las soluciones de muchosproblemas.En general se puede expresar como:

X 0� = a�vXv (8.31)

donde:

a�v =

0BBBB@1 0 0 00 1 0 0

0 0 1p1��2

i�p1��2

� i�p1��2

1p1��2

1CCCCA (8.32)

Segun lo anterior las transformaciones:

x01 = x1 (8.33)

x02 = x2

x03 =x3 + iv

cx4p

1� �2

x04 =�iv

cx3 + x4p1� �2

Para comprobar lo anterior tenemos:

X 01 = a11X1 + a12X2 + a13X3 + a14X

04 = X1

Donde a11 = 1; a12 = a13 = a14 = 0:

Ecuaciones de Maxwell y la Fuerza de Lorentz

@jEJ = 4�� (8.34)

"ijk@jEk = �1

c

@Bi

@t(8.35)

@jBJ = 0 (3) (8.36)

"ijk@jBk =4�

cji +

1

c

@Ei@t

(8.37)


dpidt= q

�Ei +

1

c"ijkvjBk

�(8.38)

Ahora de�nimos el tensor antisimetrico, de segundo rango al que llamare-mos tensor de Minkowski de campo electromagnético que viene dado por:

F �v = @�Av � @vA� (8.39)

Miremos de donde salen las compenentes especiales de este tensor quetiene sus elementos diagonales son ceros:

F ij = @iAj � @jAi (8.40)

F ij =��il�

jm � �im�

jl

�@lAm

F ij = "kij"klm@lAm

F ij = �"kij"klm@lAm

F ij = �"kijBK

Por otra parte las componentes F i0 , tenemos:

F i0 = @iA0 � @0Ai (8.45)

F i0 = @i�� 1c

@Ai

@t

F i0 = �@i��1

c

@Ai

@tF i0 = Ei

Así podemos escribir el tensor de forma explicita:

F �v =

0BB@0 �Ex �Ey �EzEx 0 �Bz By

Ey Bz 0 �Bx

Ez �By Bx 0

1CCA (8.46)

8.3. Formulación Covariante para la Ecuaciónde Onda para los Pontenciales

Se de�ne el operador Laplace-Beltrami o Laplaciana:

� = d� + �d (8.47)

8.3. FORMULACIÓNCOVARIANTEPARALAECUACIÓNDEONDAPARALOS PONTENCIALES189

la función de este operador es de bajar o subir indices, donde d sube elindice y � lo baja, esto quiere desir que se de�ne una correspondencia entre:

��!A �! k�!J

Este operador pondrá en correspondencia a cuadrivector que tengan rantosiguales, esto es:

��!A = d��!A + �d

�!A = k

�!J (8.48)

donde la letra k es una constante arbitraria escogida de tal manera quesus unidades hacen que la ecuación 8.48 sea dimensionalmente correcta.Otra manera como se de�ne el operador Laplaciano en coodenadas de

Lorentz:

� = @�@� = @�@� =

1

c2@2

@t2�r2 (8.49)

Es evidente que que ��!A las derivadas segundas en las componentes de�!A

en los sistemas coordenados de Lorentz, que a su vez estaran relacionadas conlas componentes de

�!J que representan cargas y corrientes en los sistemas

de observadores inerciales. Por la anterio sabemos que�!A tiene informa-

ción sobre los potenciales electromagneticos�!A? (Ax; Ay; Az) y �, potencial

vectorial y escalar respectivamente.Ahora tomemos un campo vectorial

�!A tal que �

�!A = 0; esto representara

en los sistemas de coordenadas inerciales:

1

c

@A0

@t+@A1

@x+@A2

@y+@A3

@z= 0 (8.50)

Sí tomamos los pontenciales A1; A2; A3; como componentes Ax; Ay; Az querepresenten al potencial vector

�!A? en S y A0como �

ccomo potencial escalar

en S tenmos que la ecuación 8.50 queda de la siguiente forma:

�!r � �!A? + "0�0@�

@t(8.51)

y Podrán ser una pareja de funciones potenciales en S que cumplan conel gauge de Lorentz. se escribirá entonces:

@�@�A� = kJ� (8.52)


Reecribiendo la ecuación 8.52 tenemos que:�1

c2@2

@t2�r2

��

c;�!A?

�= k

��c;�!J�

(8.53)

Igualando los componentes 0, 1, 2, 3 se puede obtener que k = �0; yc = 1="0�0, y las ecuaciones de ondas para los potenciales validos en S son:

�!r2�� 1

c2@2�

@t2= � �

"0(8.54)

�!r2�!A? �1

c2@2�!A?

@t2= ��!J ? (8.55)

Con la condición ��!A = 0, que en S representan �;

�!A? un par del gauge

de Lorentz.

8.4. Forma del Campo electromagnético

El cuadrivector�!A (x) de�nido en m4 lleva informacion de los potenciales

que utilizan los observadores inerciales para de�nir los campos�!E Y

�!B en

su sistema de referencia. Tenemos las ecuaciones de Maxwell en el sistemaCGS:

"ijk@jEk = �1

c

@Bi

@t(8.56)

@jBj = 0 (8.57)

ahora de la ecuación 8.57 es claro que podemos escribir el campo mag-netico en función del potecial vectorial:

Bi = "ijk@jAk (8.58)

Si remplazamos esto en la ecuación 8.56 tenmos que:

8.4. FORMA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO 191

"ijk@jEk = �1c

@

@t"ijk@jAk (8.59)

"ijk@j

�Ek +

1

c

@

@tAk

�= 0

Ek +1

c

@

@tAk = @k�

Ek = @k��1

c

@

@tAk

Tenemos dos ecuaciones de Maxwell para los campos electrico y magneticoescritas en función del potencial vectorial.de z. rremplazando las ecuaciones 8.58 y 8.59 en la ecuación 8.37 tenemos:

"ijk@j"ijk@jAk =4�

cji +

1

c

@

@t

�@k��

1

c

@

@tAk

�(8.60)

(�il�jm � �im�jl) @j@lAm =4�

cji +

1

c

@

@t@i��

1

c

@2

@t2Ai

@i@jAj � @j@jAi =4�

cji +

1

c

@

@t@i��

1

c

@2

@t2Ak

1

c

@2

@t2Ai � @j@jAi =

4�

cji + @i

�1

c

@

@t�� @jAj

�Es claro que Aj y � estan completamente determinados. Hay que hacer

un �Gauge�:Ai �! Ai + @i�

� �! �� 1c

@

@t�

Sin que el campo eléctrico y magnético sufran cambio alguno. Haremosun Gauge de Lorentz, que consiste sismplemente en pedir que:

1

c

@

@t�� @jAj = 0 (8.61)

Con lo que tenenos que:

1

c

@2

@t2Ai � @j@jAi =

4�

cji (8.62)


�Ai =4�

cji (8.63)

Si derivamos la ecuación 8.61 con respecto del tiempo la condición deLorentz llegando a la siguiente ecuación:

1

c

@2

@t2�� @j

@

@tAj = 0 (8.64)

Retomando la ecuación 8.59:

@

@tAj = �c@�� cEj (8.65)

Y entonces:1

c

@2

@t2�� @j (�c@�� cEj) = 0

De la ecuacion de Maxwell 8.34 obtenemos:

1

c

@2

@t2�� c@j@�� 4�� = 0 (8.65)

�� = 4�� (8.66)

Formula Explicita de las Compontentes Covariantes

F�v = �� v�F � (8.67)

Entonces:

Fi0 = �i �0�F �

Fi0 = (��i ) �0�F �

Fi0 = �F i0

Fij = �i �j�F �

Fij = (��i ) �j�F �

Fij = F ij

Y explicitamente obtenemos:

F�v =

0BB@0 Ex Ey Ez�Ex 0 �Bz By

�Ey Bz 0 �Bx

�Ez �By Bx 0

1CCA (8.68)


Expresemos las ecuaciones de Maxwell en terminos de este tensor. Lasecuaciones de Maxwell se divienden en dos grupos; las ecuaciones correspon-dientes a la ley de Gaus y Ampére-Maxwell en el grupo de las inhomogeneas:

@jEJ = 4�� (8.69)

"ijk@jBk =4�

cji +

1

c

@Ei@t

(8.70)

Las conectivas que son la de Faraday y Biot-Savar:

"ijk@jEk = �1

c

@Bi

@t(8.71)

@jBJ = 0 (8.72)

Derivando una de las componentes particulares del el tensor de Minkowakiobtenemos una relación casual entre F �v y J� :

@�F�0 = @0F

00 + @jFj0 (8.73)

@�F�0 = 0 + @jE

j0

Usando la ley de Gaus:

@�F�0 = @jE

j0 = 4�� = 4�J0

c(8.74)

Si utilizamos otra componente obtenemos:

@�F�i = @0F

0i + @jFji (8.75)

@�F�i = �@0F i0 � @jF

ij

Sabiendo que:

F ij = �"ijkBk

F i0 = Ei

Se tienes que:@�F

�i = �@0Ei + @j"ijkBk (8.76)

@�F�i = �1

c

@

@tEi + "ijk@jBk (8.77)


De la ley de Ampére-Maxwell tenemos:

@�F�i =

4�

cJ i

Es evidiente que:

@�F�v =

4�

cJv (8.78)

Lo anterior son las expresiones de las ecuaciones de Maxwell pertenecientesal primer grupo.

Las ecuaciones de Maxwell que pertenecen al segundo grupo son ecua-ciones conectivas lo cual indica que son condiciones que los campos cumplenentre sí. Esto quiere decir que tienen que ser propiedades intrinsecas delTensor de Minkowski. Calculemos @�F �i y realizemos permutaciones ciclicasa este.

@ F �v = @ @�Av � @ @vA� (8.79)

@�F v = @�@vA � @�@ Av

@vF � = @v@ A� � @v@vA

Entonces sumemos de tal manera que:

@ F �v + @�F v + @vF � = 0

De forma reducida tenemos:

f@ F �vg = 0 (8.80)

Esta es una propiedad intrinseca del sensor y de hecho coinside con las


ecuaciones de Maxwell. Si � = i,v = j, = 0, entonces:

F ij = �"ijk@jBkr (8.81)

F i0 = Ei

@0F ij + @iF j0 + @jF 0i = 0

�1c"ijk

@

@tBk + @iEj � @jEi = 0

�1c"ijk

@

@tBk +

��il�

jm � �im�

jl

�@lEm = 0

�1c"ijk

@

@tBk + "kij"klm@

lEm = 0

"kji��1c

@

@tBk

�+ "kji"klm@

lEm = 0��1c

@

@tBk

�� "klm@

lEm = 0

Entonces tenemos la ley de Faraday expresada en la formulacion covari-ante:

"klm@lEm = �

1

c

@

@tBk (8.82)

Ahora si � = i,v = j, = k, entonces:

@kF ij + @iF jk + @jF ki = 0 (8.83)

�@k"ijlBl � @i"jklBl � @j"kilBl = 0�@k"ijl + @i"jkl + @j"kil

�Bl = 0

"ijk�@k"ijl + @i"jkl + @j"kil

�Bl = 0�

"ijk"ijl@k + "ijk"

jkl@i + "ijk"kil@j

�Bl = 0�

2�lk@k � 2�li@i + 2�lj@j

�Bl = 0�

2@l � 2@l + 2@l�Bl = 0

@lBl = 0

@lBl = 0

Y esta es la ley de Biot-Savart.


8.4.1. Transformación de Campos Entre Sistemas In-erciales .

sabemos que las componentes del campo electromagnetico en forma detesor es de la forma anterior. Ahora las componentes de F 0�v se puede hallarmediante:

F 0�v =X�;�

a��av�F�� (8.84)

Ejemplo 1:

F 041 =X�;�

a4�a1�F��

F 041 =X�

(a43a1�F3� + a44a1�F4�)

F 041 = (a43a11F31 + a44a11F41)

F 041 =� iv

cB2 + iE1q1� v2

c2

Si F 041 = iE 01; entonces:

E 01 =�vcB2 + E1q1� v2

c2

Ejemplo 2:

F 042 =X�;�

a4�a2�F��

F 042 =X�

(a43a2�F3� + a44a2�F4�)

F 042 = (a43a22F32 + a44a22F42)

F 042 =ivcB1 + iE2q1� v2

c2

Si F 042 = iE 02;entonces:

E 02 =ivcB1 + iE2q1� v2

c2


Ejemplo 3:

F 043 =X�;�

a4�a3�F��

F 043 =X�

(a43a3�F3� + a44a3�F4�)

F 043 = (a43a33F33 + a44a33F43)

F 043 =E3 �

�vc

�2E3

1� v2

c2

Si F 043 = iE 03, factorizando E3 tenemos:

E 03 = E3

De forma analoga se obtienen las componentes del campo magnetico.

B01 =

B1 +vcE2q

1� v2

c2

B02 =

B2 +vcE1q

1� v2

c2

B03 = B3

De las ecuaciones encontradas notamos que las componentes de E y Ben la dirección del movimiento no se afectan, pero las componentes transver-sales se modi�can. ( Las ecuaciones inversas se obtienen al cambiar las letrasprimadas por las no primadas y cambiar el signo que esta entre las dos ex-presiones del numerador)

Fuerza de Lorentz

Es la fuerza que actua sobre una carga en movimiento dentro de un campoelectromagnetico. Ahora vemos una derivación simple de está fuerza basan-donos en la transformación del vector campo electromagnetico.Consideremos una carga e moviendose con velocidad arbitraria v con

respecto a un sistema de referencia K. En el sistema de referencia que se


mueve con la carga permitamos que exista un campo eléctrico E 0 entoncesen el sistema de referncia K�esta actuando la fuerza:

F 0 = eE 0 (8.85)

El problema es encontrar la fuerza que actua sobre la carga en un sistemade referencia K. Para esto es necesario expresar el campo E 0 en terminosdel campo electromagnetico E, y la fuerza F 0 en terminos de la fuerza Fen el sistema de referencia K. La formula para las transformaciones defuerza pueden ser obtenidas así: encontramos primero la f´rmula para latransformación de las componentes de la fuerza de Minkowki. Esta fuerzade Minkowki es 4-vectores, y seis componentes se transforman de acuerdoa la formula general S�. En nuestro caso, en el sistema de referencia que semueve con la carga, la velocidad v�=0 y entonces F�4 = 0: para este caso:

F1 =F 01q1� v2

c2

F2 = F 02F3 = F 03

Las componentes de la fuerza de Minkowki están relacionados con lafuerza ordinaria F :En el sistema de referencia en movimiento de cargas v�=0 entonces:

F 01 = Fx;F 02 = Fy;F 03 = Fz (8.86)

En el sistema de referncia K, tenemos:

F1 =Fxq1� v2

c2

(8.87)

F2 =Fyq1� v2

c2

F3 =Fzq1� v2

c2


Encontrando que:

Fx = F 0x (8.88)

Fy = F 0y

r1� v2

c2

Fz = F 0z

r1� v2

c2

Combinando 8.87 y 8.88 y teniendo en cuenta la formula de transforma-ciones:

Ex = E 0x (8.89)

Ey =E 0y � v

cH 0zq

1� v2

c2

Ez =E 0z +

vcH 0yq

1� v2

c2

Hx = H 0x (8.90)

Hy =H 0y � v

cE 0zq

1� v2

c2

Hz =H 0z +

vcE 0yq

1� v2

c2

Encontramos las expresiones para las componentes de la fuerza:

Fx = F 0x = eE 0x = eE (8.91)

Fy = F 0y

r1� v2

c2= eE 0y

r1� v2

c2= e

�Ey �

vHz

c

�Fz = F 0

z

r1� v2

c2= eE 0z

r1� v2

c2= e

�Ez �

vHy

c

�La cual en forma vectorial se reducen a:

F = e

�E+

1

cv �H

�(8.92)


Es la expresión para la fuerza de Lorentz; es obtenida en una forma pura-mente matemática de las relaciones generales de la teoria de la relatividad.ahora escribamos la ecuación del movimiento:

dP�db� =

d

db� (mv�) = F� (8.93)

Para el caso del movimiento de una particula cargada en un campo elec-tromagnético externo:

dP

db� =�E+

1

cv �H

�(8.94)

8.5. Problemas

1. Demuestre la invariancia de gauge de las ecuaciones de Maxwell �tradi-cionales�y en su formulación covariante.

2. Demuestre que a partir de la formulación covariante dela electrodinámi-ca, puede llegarse a las ecuaciones de Maxwell usuales.

3. Revisar transformación de campos electromagnéticos.4. Demostrar que B2 � E2 y BiEi son invariantes bajo Lorentz. ¿Son

invariantes bajo cualquier transformación?.

5. Demuestre que a partir de las ecuaciones de Maxwell causales se puedellegar a la ecuación de continuidad:

@�J� = 0

6. Demuestre que esta ecuación de continuidad puede obtenerse comoconsecuencia de la invariancia de gauge de la acción. (Para que vean queimportante la invarianciade gauge: Si la Teoría Electromagnética es invariante de gauge, también

debe serlo su acción).

Apéndice A

Expresiones MatemáticasImportantes

Para el desarrollo del curso son necesarios algunos conocimientos de AnálisisVectorial, que se resumen a continuación

A.1. Gradiente

Sea (r) un campo escalar, el gradiente de en las diferentes coordenadases:Coordenadas rectangulares: (r) = (x; y; z)

r = bux@@x

+ buy @@y

+ buz @@z

(A.1)

Coordenadas cilíndricas: (r) = (R; �; z)

r = buR@@R

+ bu� 1R

@

@�+ buz @

@z(A.2)

Coordenadas esféricas: (r) = (r; �; �)

r = bur @@r

+ bu� 1r

@

@�+ bu� 1

r sin �

@

@�(A.3)

201

202 APÉNDICE A. EXPRESIONES MATEMÁTICAS IMPORTANTES

A.2. Divergencia

Sea F (r) un campo vectorial, la divergencia de F en las diferentes coorde-nadas es:Coordenadas rectangulares: F (r) = F (x; y; z)

r � F =@Fx@x

+@Fy@y

+@Fz@z

(A.4)

Coordenadas cilíndricas: F (r) = F (R; �; z)

r � F = 1R

@

@R(RFR) +

1

R

@F�@�

+@Fz@z

(A.5)

Coordenadas esféricas: F (r) = F (r; �; �)

r � F = 1r2

@

@r

�r2Fr

�+

1

r sin �

@

@�(F� sin �) +

1

r sin �

@F�@�

(A.6)

A.3. Rotacional

Sea F (r) un campo vectorial, el rotacional de F en las diferentes coordenadases:Coordenadas rectangulares: F (r) = F (x; y; z)

r� F =bux�@Fz@y

� @Fy@z

�+ buy �@Fx

@z� @Fz

@x

�+ buz �@Fy

@x� @Fx

@y

�(A.7)

Coordenadas cilíndricas: F (r) = F (R; �; z)

r� F =buR� 1R

@Fz@�

� @F�@z

�+bu��@FR

@z� @Fz@R

�+buz 1

R

�@

@R(RF�)�

@FR@�

�(A.8)

Coordenadas esféricas: F (r) = F (r; �; �)

r� F =bur 1r sin �

h@@�(sin �F�)� @F�

@�

i+ bu� 1r � 1

sin �@Fr@�� @(rF�)

@r

�+bu� 1r h@(rF�)@r

� @Fr@�

i (A.9)

A.4. LAPLACIANO 203

A.4. Laplaciano

Sea U (r) un un campo escalar o campo vectorial.Coordenadas rectangulares:

r2U =@2U

@x2+@2U

@y2+@2U

@z2(A.10)

Coordenadas cilíndricas:

r2U =1

R

@

@R

�R@U

@R

�+1

R2@2U

@�2+@2U

@z2(A.11)

Coordenadas esféricas:

r2U =1

r2@

@r

�r2@U

@r

�+

1

r2 sin �

@

@�

�sin �

@U

@�

�+

1

r2 sin2 �

@2U

@�2(A.12)

Atendiendo a ciertas propiedades que cumple el operador r a continuaciónse dan algunas idéntidades:

r (� + ) =r�+r (A.13)

r (�) = �r+r� (A.14)

r� (F+G) =r � F+r �G (A.15)

r� (F+G) =r� F+r�G (A.16)

r (F �G) = (F �r)G+(G �r)F+ F� (r�G) +G� (r� F) (A.17)

r� (�F) = �r � F+ F �r� (A.18)

r� (F�G) = G� (r� F)� F� (r�G) (A.19)

r� (r� F) = 0 (A.20)

r� (�F) = �r� F+r�� F (A.21)

r� (F�G) = Fr �G�Gr � F+(G �r)F� (F �r)G (A.22)

r� (r� F) =r (r � F)�r2F (A.23)

r� (r�) = 0 (A.24)

A continuación se dan dos teoremas muy utilizados en este curso

204 APÉNDICE A. EXPRESIONES MATEMÁTICAS IMPORTANTES

A.5. Teorema de la Divergencia

La integral de la divergencia de un campo vectorial F (r) sobre un volumenV es igual a la integral cerrada de super�cie de la componente normal delvector sobre la super�cie S que limita al volumen VZZZ

V

r � F (r) dv =Z Zcerrada S

F�bnda (A.25)

A.6. Teorema de Stokes

La integral de línea de un campo vectorial F (r) alrededor de una curvacerrada C es igual a la integral de la componente normal de su rotacionalsobre cualquier super�e S limitada por la curva C:I

C

F�dl =ZZS

(r� F) � bnda (A.26)

Bibliografía

[1] Wangsness Roald K. Introduction to Theoretical Physics. Classical Me-chanics and Electrodynamics. John Wiley & Sons. New York. 1963.

[2] Reitz john R., Milford Frederick J., Christy Robert W. Fundamentos dela Teoría Electromagnética. Cuarta edición. Addison Wesley Iberoameri-cana S.A. México 1996.

[3] Wangsness Roald K. Campos Electromagnéticos. Editorial Limusa S.A.,México. 1999.

[4] Tralli Nunzio. Classical Electromagnetic Theory. McGraw-Hill BookCompany, Inc. Tokyo. 1963.

[5] Levich B. G. Curso de física Teórica. Volumen 1. Teoría del campo Elec-tromagnético. Teoría de la Relatividad. Editorial reverté. S.A. Barcelona.España, 1974.

[6] Sadiku Matthew N.O. Electromagnetismo. Segunda edición. CECSA.México, 1998.

205

206 BIBLIOGRAFÍA

Agradecimientos

A la Facultad de Ciencias Básicas de la Universidad del Atlántico por permitirla publicación de estas Notas de clase para el uso en los Programas de Físicay Especialización en Física General.

207

Documents

Notas de Clase Teoría ElectromagnØtica · 2017. 7. 19. · Notas de Clase Teoría ElectromagnØtica Neil Anais Torres López, MSc. Francisco J. Racedo Niebles, ... Facultad de Ciencias