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NOTAS DE FISICA NIVEL 9o GRADOCAPITULO VECTORES

MATIAS ENRIQUE PUELLO CHAMORRO.

FEBRERO DE 2013

2 Matıas Enrique Puello Chamorro

INDICE GENERAL

1. GENERALIDADES 11.1. ¿Que es la Fısica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Conceptos, leyes, modelos y teorıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Otros conceptos basicos de la Fısica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. MAGNITUDES VECTORIALES Y ESCALARES 52.1. Vectores y escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3. Propiedades de los vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1. Igualdad entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2. Multiplicacion de un escalar por un vector . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4. Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5. Diferencia entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. Componentes rectangulares de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7. Suma de vectores por componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8. Vectores Unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.9. Producto escalar entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.9.1. Expresion analıtica del modulo de un vector . . . . . . . . . . 142.9.2. Expresion analıtica del angulo de dos vectores . . . . . . . . . 142.9.3. Propiedades del producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.9.4. Interpretacion geometrica del producto punto . . . . . . . . . 15

2.10. Producto vectorial entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.10.1. Problemas selectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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INTRODUCCION

La ensenanza de las Ciencias Naturales a nivel de la basica secundaria, contiene unos ejestematicos denominados entorno fısico, que tienen como objetivo ilustrar a los estudiantesdesde el punto de vista cientıfico, con las teorıas necesaria para que puedan dar una expli-cacion sobre el por que de los fenomenos naturales que se observan en la cotidianidad.

En el primer capitulo se estudia la historia de la fısica, haciendo un recorrido desde la masremota antiguedad hasta nuestros dias, de tal manera que se pueda apreciar como la fısicaa evolucionado, pasando de ser una filosofıa natural y especulativa a ser una ciencia de vitalimportancia en el desarrollo de la humanidad.

En el capitulo dos se estudian una serie de terminos de uso comun en fısica, por un ladopara enriquecer el vocabulario tecnico y por el otro para entender con mayor facilidad lostemas tratados. Aquı se estudia tambien las magnitudes fısicas, su clasificacion, los estanda-res o patrones de medidas, ası como los diferentes sistemas de medidas, involucrados en elproceso de la medicion.

En el capitulo tres se trabajan las magnitudes Escalares y Vectoriales, ya que en la fısicaexisten magnitudes de caracter vectorial a las cuales se les debe enunciar su medida y direc-cion para que queden bien definidas.

En el capitulo cuatro se estudian los conceptos mas elementales de la mecanica clasica, parapoder describir perfectamente el movimmiento de los cuerpos sin indicar las causas del porque se mueven los cuerpos.

En el capitulo cinco se estudian los conceptos mas elementales sobre la electricidad, de talmanera que se pueda entender con facilidad el uso y la aplicacion de la electricidad en lacotidianidad.

Es de anotar que esta teorıa se debe desarrolla desde la experimentacion de tal manera queel estudiante tenga la oportunidad de vivir los procesos de la cincia.

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CAPITULO 1

GENERALIDADES

1.1. ¿Que es la Fısica?

En terminos muy generales, la Fısica es el estudio del Universo material, es una ciencia queestudia los constituyentes de la materia y sus interacciones mutuas, explica sus propiedadesy los fenomenos que se observan en el universo. Los fısicos tratan de describir los fenomenosde la manera mas sencilla y precisa y, para tal fin, han desarrollado un vocabulario apro-piado y buscan comprender el universo por medio de un conjunto de principios y leyes lomenos numeroso posible. Como ciencia fundamental, la Fısica ha incorporado la matematicacomo parte de su lenguaje, ha ido desarrollando su propia estructura conceptual, sus leyes ymetodos instrumentales de analisis, que le han permitido explicar los componentes basicos dela materia, sus interacciones y los fenomenos naturales a diferentes escalas. Por otra parte,la Fısica tambien ha contribuido al diseno y construccion de dispositivos que han favorecidoenormemente el bienestar de la humanidad, como microchips, equipos de rayos laser, etc.

La Fısica sirve de apoyo a otras ciencias como la quımica, que estudia la forma en que losatomos se combinan para formar moleculas y como e stas se combinan a su vez para formarlas distintas formas globales en que aparece la materia; tambien a la biologıa que estudiauna estructura mas complicada como es la materia viva.

La instrumentacion desarrollada por la fı sica, como microscopios comun y electronico, equi-pos de rayos X etc., tambie n contribuyen al desrrollo de la Quımica y la Biologıa. Por otraparte, la Matematica constituye parte del lenguaje de la Fısica para expresar sus leyes yobtener resultados teoricos; recıprocamente, la solucion de los problemas planteados por laFısica ha sido una fuente enriquecedora del desrrollo de la Matematica. La Fısica es basicapara las distintas ingenierı as, pues en cierta forma, estas son aplicaciones de ciertas ramasde la Fı sica.

1.1.1. Conceptos, leyes, modelos y teorıas

Las ciencias naturales se basan en un conjunto de conceptos, leyes, modelos y teorıas a travesde los cuales expresan sus resultados. En esta seccion se presenta el significado de cada unode estos terminos.

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El concepto es una idea de una cantidad fısica que se utiliza para analizar un fenomenofısico. El concepto puede corresponder a propiedades basicas de la materia, como carga ymasa; o a propiedades globales de ella como temperatura y presion, o a la descripcion de laubicaci on en el espacio y en el tiempo, como la posicion y la velocidad.

Las leyes son relaciones matematicas que los fısicos establecen entre cantidades fısicas,mediante experimentos o analisis teo rico. Una ley puede expresar como interactuan loscuerpos de acuerdo a alguna propedad fundamental que ellos posean; por ejemplo, la ley deCoulomb determina la fuerza con que interactuan electricamente dos particulas en reposo oa bajas velocidades. Tambien una ley puede predecir como es el movimiento de un cuerpo oen que forma evoluciona su estado ante una interaccion, como en el caso de la segunda leyde Newton que determina la aceleracion que adquiere un cuerpo cuando se conocen su masay la fuerza neta que se ejerce sobre el.

El principio en cambio, es mas amplio que la ley, es un enunciado muy general respecto delcomportamiento de la naturaleza. Por ejemplo, la conservacion de la energıa es un principio,por cuanto tiene validez en cualquier campo de la fısica; no ocurre lo mismo con la tercera leyde Newton que es totalmente valida entre cuerpos con bajas velocidades pero falla cuandolas velocidaes de los cuerpos se aproximan a la velocidad de la luz.

El modelo es la representacion de un sistema fısico para sinplificar el analisis. Constituyeuna imagen mental de la manera como opera un sistema fısico. Por ejemplo, en la fısicanewtoniana el modelo de partıcula es la representacion de un cuerpo cuyas dimensionesson mucho menores que las dimensiones del espacio donde dicho cuerpo se mueve. En elmismo contexto, un cuerpo rıgido es un conjunto de muchas partıculas donde la distanciaentre una y otra permanece constante a traves del tiempo. Por lo general, un modelo fısicolleva asociado un modelo matematico cuyas propiedades matematicas reflejan las propiedadesfısicas del sistema real.

Una teorıa recurre a principios, conceptos y modelos y a hipotesis iniciales, (postulados),para deducir consecuencias especıficas o leyes, que rijan una diversidad de fenomenos. Porejemplo, la torıa de la gravitacion universal de Newton, se baso en las observaciones deT.Brahe y en la llamadas leyes de J.Kepler y pudo explicar algunos fenomenos como porque caen los cuerpos, el movimiento de los planetas alrededor del sol, por que se presentanlas mareas, etc.Una buena teorıa debe tratar de cumplir los siguientes propositos:

I Relacionar hechos independientes en un esquema logico

I Sugerir nuevas relaciones que estimulen la imaginacion hacia el descubrimiento decaminos insospechados y

I Predecir nuevos fenomenos y solucionar problemas de caracter practico.

El sistema fısico es la parte del universo que se estudia y se caracteriza por ser un conjuntode partıculas o cuerpos que interactuan mutuamente, poseen una estructura definida y pro-piedades fısicas especı ficas, como masa, carga electrica etc. El sitema presenta un conjuntode propiedades que estan sujetas a medicion y se llaman observables. Ejemplos de observa-bles son la velocidad, la masa y la energıa cinetica de una partıcula, de las cuales debe elestudiante tener alguna idea.

Notas de Fısica Nivel 9o Grado 3

Los sistemas fısicos se pueden clasificar de la siguiente manera:

a) Microsistemas que comprenden las partıculas elementales, los nucleos, los atomos,las moleculas y partıculas especiales como los fotones. Del estudio de estos sistemas seocupa esencialmente la Mecanica Cuantica, la Fısica Atomica y Molecular, la FısicaNuclear y la Fısica de Partıculas Elemetales. Las longitudes a escala nuclear se consi-deran del orden de 10−15m (Fermi) y a escala atomica del orden de 10−10m (Angstrom)

b) Los Sitemas macroscopicos a escala astronomica y cosmolo gica: estan cons-tituidos por planetas, estrellas y galaxias etc. Estos sistemas son estudiados por laAstronomıa, la Astrofısica y la Cosmologıa; a este nivel las distancias van desde elorden de los megamteros hasta miles de millones de anos luz.

c) Los sistemas macroscopicos a escala humana, como una varilla metalica, untermometro, un automovil, una lente, una bobina, el cuerpo humano, una maquina oun puente, etc. El estudio de estos macrosistemas basado en la observacion y la experi-mentacion, permitio la deduccion de las leyes en que se basan la Mecanica newtonianay las teorıas clasicas de la Termodinamica y del Electromagnetismo.

El entorno o alrededores del sistema es todo lo que ejerce alguna influencia sobre el (esdecir, lo que interactua con el sistma) y puede hacer que cambien algunas de sus propiedades.Por ejemplo, si estudiamos las propiedades de un gas en un tubo de ensayo provisto de une mbolo, y le acercamos una llama para calentarlo, podemos suponer que el sistema es elgas, mientras que el tubo, la llama y el embolo constituyen el entorno.

1.2. Otros conceptos basicos de la Fısica Newtoniana

En esta seccion se establecen otras definiciones fundamentales en la Fısica Clasica, como sonla de partıcula, marco de referencia, sistemas y observadores inerciales. Tambien se describenlas propiedades del tiempo y el espacio en Mecanica Clasica.

La mecanica es la ciencia que estudia el movimiento, de los cuerpos y las interaccionesresponsables de este. Para ello se basa en la observacio n y en la experimentacion y, conla ayuda de la matematıca, desarrolla modelos y establece leyes que involucra en un cuerpoteorico, que le ha permitido explicar de manera satisfactoria, una amplia gama de fenomenosfı sicos, como la caıda libre de los cuerpos en cercanıas de la Tierra.

El tiempo en Mecanica Clasica se considera una variable escalar independiente que fluyeuniformentemente en un sentido, o sea que no puede ´´retrocederse la pelıcula”para apreciarun hecho del pasado y no se ve afectado por los fenomenos fısicos (absoluto).

El espacio en Mecanica Clasica es el definido por la geometrıa de Euclides, no se ve afectadopor los cuerpos inmersos en el, o por los feno menos fısicos que allı tengan lugar. Se considerahomogeneo e isotropico. La homogeneidad implica que las leyes fundamentales de la Fısicase conservan bajo traslaciones y rotaciones en el espacio, es decir, las relaciones o ecuacionesmatematicas que expresan las leyes fısicas, tienen la misma forma en cualquier lugar delespacio euclidiano. Analogamente, la isotropıa implica que las mencionadas relaciones oecuaciones son invariantes en cualquier direccion dentro de este espacio. Estas caracterısticasse expresan diciendo que el espacio es absoluto, hecho tratado por Newton en la Principia:


q el espacio absoluto, por su propia naturaleza, sin relacion con nada externo, permanecesiempre igual e inmovil q.

La partıcula es un medelo fısico muy fundamental. En la Mecanica Newtoniana la partıcu-laun objeto material (dotado de masa) cuyas dimensiones, forma, orientacion en el espacioy constitucion interna se consideran indetectables; en consecuencia se puede tratar como unpunto en el espacio euclidiano.

La inercia segun Newton q es una tendencia innata de la materia por la cual todo cuerpocontinua en su estado presente, sea este de reposo o de movimiento uniforme hacia adelanteen una lınea recta q. En otros terminos, la inercia de una partıcula es la propiedad que estatiene de conservar su estado de reposo o de movimiento uniforme.La masa inercial de la partıcula es una medida cuantitativa de su inercia, y como tal, es

una propiedad intrınseca de aquella.

Sistema de referencia Se entiende por sistema de referencia como una “porcion”delespacio donde definimos propiedades que son propias de tal porcion. Tambien podriamosdecir, que es un conjunto de convenciones usadas por un observador para determinar laposicion de una partıcula en el espacio, como tambien medir otras magnitudes fısicas.

El sistema (o marco) de referencia es inercial, si en el una partıcula libre de todainfluencia externa se mueve con una velocidad constante o permanece en reposo.

CAPITULO 2

MAGNITUDES VECTORIALES YESCALARES

2.1. Vectores y escalares

Si nos dicen que un coche circula durante una hora a 60 (kmh

) no podemos saber en que lugarse encontrara al cabo de ese tiempo porque no sabemos la direccion en la que ha viajado.

Hay muchas magnitudes fısicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificaruna direccion para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anteriorse movıa hacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes.

Por supuesto hay tambien muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la di-reccion. Ası, diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente estamagnitud.

I Son escalares las magnitudes que se describen con un valor y una unidad.

I Son vectoriales las magnitudes que se describen usando un valor, una unidad y unadireccion.

Las magnitudes vectoriales se representan a traves de vectores, que tienen las siguientescaracterısticas:

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2.2. Vectores

En matematicas, un vector es un elemento de una estructura algebraica llamada espaciovectorial, que esencialmente es un conjunto de elementos con un conjunto de axiomas quedebe satisfacer cada uno de ellos.

Un vector se representa graficamente como un trazo dirigido y se simboliza mediante letrasmayusculas o minusculas, con una flecha sobre la letra o escrita en negrita, como R o ~R

En Fısica existen muchas magnitudes que son vectores y por ello es muy importante que elestudiante conozca y sepa aplicar las operaciones basicas entre vectores.

2.3. Propiedades de los vectores

2.3.1. Igualdad entre vectores

Dos o mas vectores son iguales si:

a) apuntan en la misma direccion

b) si sus magnitudes son iguales.

En la figura 2, ~a = ~b = ~c = ~d independien-temente de la ubicacion de los vectores en elespacio. Figura 2

2.3.2. Multiplicacion de un escalar por un vector

Un vector puede multiplicarse por un numero puro o por un escalar. La multiplicacion porun numero puro cambia en esencia la magnitud del vector, como muestra la figura 3 . Si elnumero es negativo se invierte ademas la direccion.Cuando un vector que representa una cantidad fısica se multiplica por un escalar, el vectorse convierte en una nueva cantidad fısica diferente.Por ejemplo si la aceleracion (~a) se multiplica por la masa (m) un escalar se obtiene un nuevo

vector igual al vector fuerza (~F ).En general el resultado de multiplicar un vector por un escalar λ es un vector, de magnituddistinta y de direccion igual (o contraria) al vector original. En la figura 3 se muestra que


~B = 2~b y ~D = −2

3~d

Figura 3

2.4. Suma de vectores

Podemos sumar vectores de dos maneras: matematicamente o graficamente.

Supongamos que tenemos los vectores ~A = (1, 2) , ~B = (3, 1) .

Para conocer el vector suma ( ~A+ ~B) solo tenemos que sumar, respectivamente, las compo-nentes X y las componentes Y :

~A+ ~B = (1+3, 2+1) = (4, 3)

Para sumar vectores graficamente utilizamos la llamada regla del paralelogramo.

La suma de vectores se ilustra con el siguiente ejemplo.

Consideremos un viajero que en un principio parte desde el punto P en el orıgen O del sistemacoordenado figura 4 y llega hasta el punto Q. (Por definicion, el primer desplazamiento del

viajero es la distancia dirigida desde P hasta Q y lo hemos representado por el vector ~A).

A continuacion, el viajero se mueve desde Q hasta R y su segundo desplazamiento se repre-senta por ~B.

El desplazamiento unico que lleva al viajero directamente desde P hasta R es el que se harepresentado por ( ~A + ~B), se definine como la suma o resultante de los desplaza-

mientos ~A y ~B, se representa por


( ~A+ ~B) = ~D

Para hacer nuestro ejemplo mas concreto, podemos suponer que θ = 135o y que los modulosde ~A y ~B son respectivamente, PQ = A = 2,24m y QR = B = 3,16m.

El modulo de ( ~A+ ~B) por su puesto, no serıa 5,40m; este se puede encontrar calculando ladistancia PR, la cual se determina mediante el teorema del coseno, ası:

(PR)2 = (D)2 = (A)2 + (B)2 − 2AB cos θ

Para A = 2,24m y B = 3,16m, remplazando en (2) se obtiene

(D)2 = (2,24m)2 + (3,16m)2 − (2) (2,24m) (3,16m) cos 135o = 25m2

D =√

25m2 = 5m

La direccion del vector ~D se puede determinar calculando el angulo que este vector formacon algun eje o vector de referencia, por ejemplo, el angulo α de la figura 4.

El procedimiento por el cual se ha encontrado el desplazamiento resultante de ~A y ~B cons-tituya el metodo del paralelogramo para sumar vectores.

Figura 5


La suma de vectores descrita para los desplazamientos, es aplicable a todo tipo de vectoresy ella es conmutativa y asociativa. Esto quier decir que si ~V1, ~V2 y ~V3 son vectores, entoncesse verifica que

~V1 + ~V2 = ~V2 + ~V1 y

(~V1 + ~V2) + ~V3 = ~V1 + (~V2 + ~V3).

En general, si vamos a sumar varios vectores, se coloca uno a continuacion del otro, conser-vando sus respectivas direcciones; entonces el vector resultante esta dirigido desde el origendel primero hasta el extremo del ultimo.Por ejemplo vamos a sumar los vectores ~A = (−1, 4) , ~B = (3, 6) , ~C = (−2,−3) y ~D = (5, 5):

~A+ ~B + ~C + ~D = (−1 + 3− 2 + 5, 4 + 6− 3 + 5) = (5, 12)

2.5. Diferencia entre dos vectores

El negativo de un vector cualquiera ~B denotado por (− ~B) es otro vector de igual modulo

que ~B pero tiene direccion opuesta a este.La diferencia ~A− ~B es la suma de ~A con el negativo de ~B, esto es,

~A− ~B = ~A+ (− ~B)

Se deduce entonces que para encontrar la diferencia entre ~A y ~B, primero se encuentra − ~By luego se suma este con ~A.

En la figura 6 se ha representado la diferencia entre los vectores ~A y ~B

~D = ~A− ~B = ~A+ ( ~−B)

Figura 6

(D)2 = (A)2 + (B)2 − 2AB cos θ

En la figura 6 se han representado graficamente la diferencia de dos vectores, en un parale-logramo, dos de cuyos lados contiguos son los vectores. La diferencia ~A− ~B se dirige desdeel inicio de ~A hasta el extremo de − ~B.


2.6. Componentes rectangulares de un vector

Es muy comun que representemos un vector utilizando los valores de sus componentes.Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectarlosobre los ejes de un sistema de coordenadas situado en el origen del vector. Como indica lafigura 7

Figura 7

La magnitud de las componentes del vector~A son:

Ax = A× cos θ

Ay = A× senθ

Las cantidades Ax y Ay se denominan componentes rectangulares de ~A.

El modulo de ~A puede obtenerse a partir de sus componentes como puede deducirse de lafigura 7, en donde se tiene que

A =√

(Ax)2 + (Ay)2

y la direccicion se expresa obteniendo el angulo θ el cual viene dado por

θ = tan−1

(Ay

Ax

)Ejemplo Ejercicio componente de un vector

Segun la figura determine las componentes rectangulares del vector ~A cuya magnitud es de3 cm

Cuando hayas practicado un poco, prueba a representar los siguientes vectores:

I (3.5, 3.0)

I (-2.0, 4.5)

I (-3.0, -3.0)


I (0, 5)

I (5.0, -2.5)

I (3.2, 0)

I (2.5, 2.5)

I (2.0, -2.0)

2.7. Suma de vectores por componentes

Cuando se trata de sumar varios vectores resulta menos laborioso hacerlo apartir de suscomponentes. Supongamos que vamos a sumar los vectores ~A y ~B

~A = ~Ax + ~Ay

~B = ~Bx + ~By

segun la fıgura las componentes del vector resultante ~R es

Rx = Ax +Bx

Ry = Ay +By

podemos escribir que las componentes rectangulares en x e y de la resultante son

Rx =∑

Comp(x)

Ry =∑

Comp(y)


El modulo de la resultante viene dado por

R =√

(Rx)2 + (Ry)2

y su direccion se determina calculando el angulo θ que ~R forma con el eje x, a partir de

θ = tan−1

(Ry

Rx

)

2.8. Vectores Unitarios

Los vectores unitarios son vectores cuya magnitud es uno (1) y se usan para representar ladireccion de un vector.

| ı | = | | = 1

Los vectores unitarios presentan las siguientes caractrısticas:

1. No tienen ningun sentido fısico, es decir, son adimensionales.

2. Un vector se puede expresar en funcion de los vectores unitarios. Por ejemplo el vector~A expresado en funcion de los vectores unitarios en el plano cartesiano es

~A = Axı+ Ay

3. Un vector unitario en la direccion del vector ~A se expresa como

a =Axı+ Ay √A2

x + A2y

Ejemplo Vector posicion de una partıcula

Una partıcula se mueve en el plano (x, y) desde la posicion P1 en (−3,−5) m hasta la posicionP2 en (10, 2)m.


(a) Dibujar y escribir los vectores de posicion.

(b) Calcular la variacion de la posicion de la partıcula,

(c) Calcular magnitud de la variacion y

(d) su direccion.

Solucion

a) En el esquema se dibuja el diagrama vectorial.

Por definicion del vector posicion de P1 es

~r1 = x1i+ y1j

segun la grafica se tiene que

~r1 = −3i− 5j

de igual manera para el punto P2 el vector posicion

~r2 = x2i+ y2j

segun la grafica se tiene que

~r2 = 10i+ 2j

b) La variacion de la posicion es la diferencia entre las posiciones del objeto, esto es laposicion final menos la posicion inicial denotada por

∆~r = ~r2 − ~r1

∆~r = (10i+ 2j)− (−3i− 5j) = 13i+ 7j

c) Magnitud

| ∆~r |=√

132 + 72m = 14, 8m

d) Direccion

tan θ =7

13=⇒ θ = (28, 3)o


2.9. Producto escalar entre vectores

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un numero real que resulta almultiplicar el producto de sus modulos por el coseno del angulo que forman.

~A · ~B = AB cosα

Aplicando vectores unitarios a las componentes de un vector, se tiene

~A · ~B = (Axı+ Ay + Azk) · (Bxı+By +Bzk)

Pero por definicion se tiene

ı · ı = · = k · k = 1

ı · = ı · k = · k = 0

Desarrollando el producto punto se obtiene la expresion analıtica del producto punto

~A · ~B = AxBx + Ay By + Az Bz

Ejemplo Producto punto entre dos vectores

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son:

(1, 12, 3) y (4,−4, 1)

(1, 12, 3) · (4,−4, 1) = 1 · 4 + 1

2· (−4) + 3 · 1 = 4− 2 + 3 = 5

2.9.1. Expresion analıtica del modulo de un vector

A =| ~A |=√~A ~A =

√AxAx + Ay Ay + Az Az =

√A2

x + A2y + A2

z

Hallar el valor del modulo de un vector de coordenadas ~A = (−3, 2, 5) en una base ortonormal

A =| ~A |=√

(−3)2 + (2)2 + (5)2 =√

9 + 4 + 25 =√

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2.9.2. Expresion analıtica del angulo de dos vectores

cos θ =AxBx + Ay By + Az Bz√

A2x + A2

y + A2z

√B2

x +B2y +B2

z

Determinar el angulo que forman los vectores ~A = (1, 2,−3) y ~B = (−2, 4, 1).

cos θ =1 (−2) + 2 4 + (−3) 1√

(1)2 + (2)2 + (−3)2√

(−2)2 + (4)2 + (1)2=−2 + 8− 3√

14√

21=

3

7√

6


θ = cos−1

(3

7√

6

)= 79,92o

2.9.3. Propiedades del producto punto

1. Conmutativa

~A · ~B = ~B · ~A

2. Asociativa

k · ( ~A · ~B) = (k · ~A) · ~B

3. Distributiva

~A · ( ~B + ~C) = ( ~A · ~B) + ( ~A · ~C)

4. El producto escalar de un vector no nulo por sı mismo siempre es positivo.

~A 6= 0⇒ ~A · ~A > 0

2.9.4. Interpretacion geometrica del producto punto

El producto de dos vectores no nulos es igual al modulo de uno de ellos por la proyecciondel otro sobre el.

cosα =OM

A=⇒ OM = A · cosα

~A · ~B = A ·B · cosα

~A · ~B = (A · cosα) ·B~A · ~B = OM ·B

OM es la proyeccion escalar del vector ~A sobre el vector ~B.


Ejemplo Producto punto entre dos vectores

Dados los vectores ~A = (2,−3, 5) y ~B = (6,−1, 0)

hallar:

1. Los modulos de ~A y ~B·

2. El producto escalar de ~A y ~B·

3. El angulo que forman.

2.10. Producto vectorial entre vectores

El producto cruz o producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya direccion es per-pendicular a los dos vectores y su sentido serıa igual al avance de un sacacorchos al girardesde el vector ~A hacia el vector ~B.

~C = ~A× ~B

Su modulo es igual a:

|~C| = AB sinα

Donde A y B es la magnitud de los vectores y α es el angulo entre los vectores ~A y ~B, ladireccion de ~C esta dada por la regla de la mano derecha o del tornillo derecho, ~C es unvector perpendicular al plano formado por ~A y ~B.

El producto vectorial se calcula resolviendo el siguiente determinante:

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣Ay Az

By Bz

∣∣∣∣∣ i−∣∣∣∣∣Ax Az

Bx Bz

∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣Ax Ay

Bx By

∣∣∣∣∣ k


Luego resolviendo el determinante el producto cruz entre los vectores ~A y ~B es

~A× ~B = (AyBz − AzBy )i− (AxBz − AzBx)j + (AxBy − AzBx)k

El producto cruz aplicado a vectores unitarios, se obtiene que:

i× i = j × j = k × k = 0

i× j = k

j × k = i

k × i = j

Ejemplo Producto cruz entre dos vectores

Calcular el producto cruz de los vectores ~A = (1, 2, 3) y ~B = (−1, 1, 2).

~A× ~B =

∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

1 2 3

-1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣2 3

1 2

∣∣∣∣∣ i−∣∣∣∣∣ 1 3

-1 2

∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣ 1 2

-1 1

∣∣∣∣∣ k~A× ~B = i− 5 j + 3 k

2.10.1. Problemas selectos

1. Un vector de 5 unidades se orienta en direccion positiva del eje x, y otro de 3 unidades seorienta en 230o. Determine la suma y la resta de estos vectores, grafica y analıticamente.

2. Si ~A = 4i + 3j y ~B = −i + 5j, calcular su producto escalar, vectorial y el angulo queforman los vectores. Dibujar todos los vectores.

3. Para los siguientes vectores: ~V1 = 2i+3j , ~V2 = −3i+1,5j+2k y ~V3 = 2,5i−7j−5k,calcular la magnitud y direccion de cada vector.

4. Para los vectores del problema 3 calcular:

a) su suma

b) 3~V2 − ~V1

Dibujar los vectores y los resultados.

5. Para los vectores del problema 3, calcular

a) el producto escalar entre cada par de vectores,

b) el producto vectorial entre cada par.


6. El vector ~F1 tiene una magnitud de 5 unidades y el vector ~F2 tiene una magnitud de10 unidades. Ambos vectores forman un angulo de 120o entre si. Calcular su productoescalar y vectorial.

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NOTAS DE F ISICA NIVEL 9o GRADO CAPITULO … · La ensenanz~ a de las Ciencias Naturales a nivel de la ... En el capitulo dos se estudian una serie de t erminos de ... de Newton que