NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL:

DEFINICION: Sea T :E−→F una transformación línea. La imagen de T, escrito Im T, es el conjunto de las imágenes de los puntos de E en F.

ℑT= {u∈ F :T ( v )=u paraalgún v∈E }

El núcleo de T, escrito como KerT , es el conjunto de elementos de E que se aplican en 0∈F

KerT= {v∈E :T (v )=0}

Teorema:Sea T :E−→F una aplicación o transformación lineal. Entonces la imagen de T es un sub espacio de F y el núcleo de T es un sub espacio de E.

Ejemplo:

Sea T:R2 R3, la aplicación proyección en el plano xy: T(x,y,z)=(x;y;0). Claramente la imagen de T es el plano xy

imT={(a ,b ,0 ): a ,b∈ R }

podemos observar que el nucleo de T es el eje z

ker T={(0,0 , c ) :c∈ R }

Ejemplo 2:

Hallar el núcleo e imagen o recorrido de la Transformación Lineal

T :R3→R2, definida por T (x1 ; x2 ; x3 )=(x1−2 x2; x2+3x3 )

Debemos hallar todos los vectores (x1; x2 ; x3 ) tal que T (x1 ; x2 ; x3 )=(x1−2 x2; x2+3x3 ) sea

el vector 0

Podemos observar que nos encontramos ante los siguientes sistemas de ecuaciones:

x1−2 x2=0

x2+3x3=0

Formamos una matriz aumentada:

A=[1 −2 0 00 1 3 0]

Multipliquemos entonces 2da fila por 2 y sumémoslo a la 1ra fila

[0 (2 )+1 1 (2 )+(−2 ) 3 (2 )+0 00 1 3 0]=[1 0 6 0

0 1 3 0]Observar que a cada columna corresponde a las incógnitas x1; x2; x3

Ahora formemos ecuaciones con x1; x2 en función de x3

x1+6 x3=0…………(1)

x2+3x3=0…………(2)

Sea x3=t=¿> (1 ) x1=−6 t∧ (2 ) x2=−3t

La solución del sistema (x1; x2 ; x3 )=(−6 t ;−3 t ; t ) para cualquier escalar t∈K

El núcleo de T el subespacio unidimensional (una dimensión R) en R3 generado t (−6 ;−3 ;1 )

¿=¿el núcleo del vector es (−6 ;−3 ;1 )

La imagen o recorrido de la transformación lineal es:

T=[x1

x2

x3]=[ x1−2x2

x2+3x3 ]=x1(10)+x2(−2

1 )+x3(03)La imagen de T es el espacio columna de la matriz formada por los vectores:

(10);(−21 );(0

3)=A[1 −2 00 1 3]

Como las dos primeras columnas de la matriz A son independientes,

¿=¿ laℑ (T )=R2 ,(10);(−2

1 )

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

Cualquier Transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por medio de una matriz.

TEOREMA:

Sea T :Rn→Rm una transformación lineal. Entonces existe una matriz única m×n; tal que:

AT ( x)=T (x), para todo x∈ Rn

REPRESENTACIÓN MATRICIAL CANÓNICA:

Sea T :Rn→Rm una transformación lineal y sea W={w1; w2; w3 ;…;wn } base canónica para

Rn. La matriz AT dem×n con T (w j ) como j−esimo vector columna es la representación

matricial canónica de T; la notación j−esimo lo utilizaremos para denotar un determinado número finito de vectores: 2 ;3 ;…;n vectores.

Si AT es la representación matricial canónica de una transformación lineal T :Rn→Rm,

entonces la matriz canónica es: AT ( x)=T ( x ) para todo vector columna.

Ejemplo:

Hallar la representación matricial canónica AT para la transformación lineal:

T :R4→R3; Transformación que parte de un espacio tetradimensional (4 dimensiones) y llega otro espacio de tres dimensional, definida por:

T (x1 ; x2 ; x3; x4 )=(x1−2 x2+2 x4 ; x1+x3−x4 ; 4 x1−2x2+3 x3−x4 )

La base para formar la matriz es la canónica (w1; w2 ;w3 ;w4 ); donde w1=(1 ;0 ;0 ;0 )

w2=(0 ;1 ;0 ;0 ) ;w3= (0 ;0 ;1 ;0 );w4=(0 ;0 ;0 ;1 )

Escribimos los vectores como vector columna,; siendo la matriz canónica de la Transformación T; AT es la matriz de orden 3×4; cuyas columnas son:

(1000);(

0100);(

0010);(

0001)

En (1000); x1=1; x2=0; x3=0; x4=0 ;T (

1000)=( 1−2 (0 )+2(0)

1+0−04 (1 )−2 (0 )+3 (0 )−0)=(1

14)

En (0100); x1=0 ; x2=1; x3=0; x4=0 ;T (

0100)=( 0−2 (1 )+2(0)

0+0−04 (0 )−2 (1 )+3 (0 )−0)=(−2

0−2)

En (0010); x1=0 ; x2=0 ; x3=1; x4=0 ;T (

0010)=( 0−2 (0 )+2(0)

0+1−04 (0 )−2 (0 )+3 (1 )−0)=(0

13)

En (0001); x1=0 ; x2=0 ; x3=0 ; x4=1 ;T (

0001)=( 0−2 (0 )+2(1)

0+0−14 (0 )−2 (0 )+3 (0 )−1)=( 2

−1−1)

Luego la matriz transformada es:

AT=[1 −2 0 21 0 1 −14 −2 3 −1]

REPRESENTACIONES MATRICIAL AT RESPECTO A LAS BASES B y B '

Sean las bases ordenadas B=(b1;b2;b3;…; bn ) para Rn y B'=(b '1 ;b '2 ;b '3 ;…;b 'n ) para Rm

Sean T :Rn→Rm una transformación lineal y sean B y B’ bases ordenadas por Rn y Rm

respectivamente. Sea AT la matriz de m×n cuyo j-esimo vector columna es vector ordenado

columna T (b j ) respecto a la base B’.

Esta Matriz AT es la representación matricial de T respecto a las bases B y B’

Tenemos para cada x de Rn

AT XB=T (X)B; donde X B y T (X )B; son vectores coordenados columna para x respecto a B y B’

Para determinar la representación matricial de T :Rn→Rm respecto a las bases ordenadas B y B’:

a. Forma la matriz partida = [(b ' 1;b ' 2;b ' 3;…;b 'n /T (b1 ) ;T (b2 );T (b3 ) ;…;T (bn )) ]

b. Usamos la reducción de Gauss-Jordan para obtener la matriz partida [ I ∕ AT ]; donde I es

la matriz identidad de orden m×n y AT es la representación matricial deseada.

Ejemplo:

Sea T :R3→R3 la Transformación lineal se define de la siguiente manera:

T (x1 ; x2 ; x3 )=(2 x1−x2+2x3 ;x1+x2;3 x1−x2−x3 )

Hallar la representación matricial AT , respecto a las bases ordenadas B y B’ donde:

B=( (1 ;0 ;0 ) , (1;1 ;1 ) , (1 ;−1;1 )) y B ' ( (1 ;1;2 ) , (1 ;2;1 ) , (2;1 ;1 ) )

Para formar la matriz partida, hallamos primero los T (b¿¿ j)¿ en la base B

Para T [100]=¿>x1=1 ;x2=0; x3=0 ;T [111]=¿>x1=1 ;x2=1 ; x3=1

T [ 1−11 ]=¿> x1=1; x2=−1 ; x3=1

Apliquemos la Trasformación lineal definida T (x1 ; x2 ; x3 )=(2 x1−x2+2x3 ;x1+x2;3 x1−x2−x3 )

T b1[100]=[2 (1 )−0+2(0)1+0

3 (1 )−0−0 ]=[213];T b2[111]=[2 (1 )−1+2(1)1+1

3 (1 )−1−1 ]=[321]

T b3[ 1−11 ]=[2 (1 )+1+2(1)

1−13 (1 )+1−1 ]=[503]

Debemos hallar el vector coordenado de uno, respecto a la base ordenada, formando luego la matriz partida, con los vectores B’ en forma de columna.

[(b '1 ;b '2 ;b '3/T (b1 ) ;T (b2) ;T (b3 )) ]

[1 1 2 ⋮ 2 3 51 2 1 ⋮ 1 2 02 1 1 ⋮ 3 1 3 ]

Utilizando la reducción de Gauss Jordan, tenemos:

La 1ra fila multiplicamos por -1 y sumada a la 2da fila

Y

La 1ra fila multiplicamos por -2 y sumada a la 3ra fila

[ 1 1 2 ⋮ 2 3 51 (−1 )+1 1 (−1 )+2 2 (−1 )+1 ⋮ 2 (−1 )+1 3 (−1 )+2 5 (−1 )+01 (−2 )+2 1 (−2 )+1 2 (−2 )+1 ⋮ 2 (−2 )+3 3 (−2 )+1 5 (−2 )+3]

Desarrollando esta operación, tenemos:

[1 1 2 ⋮ 2 3 50 1 −1 ⋮ −1 −1 −50 −1 −3 ⋮ −1 −5 −7]

Sumamos la 2da fila con la 3ra fila

[ 1 1 2 ⋮ 2 3 50 1 −1 ⋮ −1 −1 −5

0+0 1−1 −1−3 ⋮ −1−1 −1−5 −5−7]Operando:

[1 1 2 ⋮ 2 3 50 1 −1 ⋮ −1 −1 −50 0 −4 ⋮ −2 −6 −12]

Multipliquemos la 3ra fila por −14

[ 1 1 2 ⋮ 2 3 50 1 −1 ⋮ −1 −1 −5

0(−14 ) 0(−1

4 ) −4 (−14 ) ⋮ −2(−1

4 ) −6(−14 ) −12(−1

4 )]

Desarrollando

[1 1 2 ⋮ 2 3 50 1 −1 ⋮ −1 −1 −5

0 0 1 ⋮ 12

32

3 ]Multipliquemos la 2da fila por -1 y sumamos con la 1ra fila

[0 (−1 )+1 1 (−1 )+1 −1 (−1 )+2 ⋮ −1 (−1 )+2 −1 (−1 )+3 −5 (−1 )+50 1 −1 ⋮ −1 −1 −5

0 0 1 ⋮12

32

3 ]

[1 0 3 ⋮ 3 4 100 1 −1 ⋮ −1 −1 −5

0 0 1 ⋮ 12

32

3 ]…(puntos suspensivos)

[1 0 0 ⋮ 32

−12

1

0 1 0 ⋮ −12

12

−2

0 0 1 ⋮12

32

3 ]

MATRIZ DE CAMBIO DE BASE

El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.

TEOREMA: Sean B=(b1;b2;b3;…; bn ) y B '=(b '1 ;b '2 ;b '3 ;…;b ' n ) bases ordenadas de un

espacio vectorial V. La matriz C de cambio de base respecto a las base B, B’ , que satisfacen la ecuación:

CVB=V B '

Se halla la matriz cambio de base reduciendo la matriz aumentada:

[b ' 1;b ' 2;b ' 3;…;b ' n/b1 ;b2 ;b3 ;…;bn ] a [ I /C ], los elementos de B’, se convierten a matriz

identidad, y los elementos de B as{i convertidos forman la matriz C de cambio de base.

Esta matriz C es invertible y su inversa es la matriz cambio de base respecto a B’, B.

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES PROPIOS DIAGONALIZACIÓN DE UNA MATRIZ

DEFINICION DE VALOR PROPIO:

Sea A una matriz de orden n×n, matriz cuadrada. Supongamos que c es un vector distinto de cero en Rn y λ un número (puede ser cero), tal que:

A x=λ x

Ax es un múltiplo escalar de x. Entonces x se llama un vector propio de A y λ es un valor propio de A

Los valores propios y los vectores propios solo están definidos para matrices cuadradas. El valor propio es un número y el valor propio es un vector.

Ejemplo:

Suponemos que la matriz A=[−1 20 3 ], entonces v=[12] es un vector propio que

correspondiente al valor propio 3 y que cumple la siguiente igualdad:

[−1 20 3] [12]=[−1+4

0+6 ]=[36]=3 [12]=3 v

A los valores propios se le denominan también eigenvalores, donde “eigen” es una palabra alemán y significa propio.

También w=[10] es un vector propio correspondiente al valor propio −1, ya que:

[−1 20 3] [10]=[−1+0

0+0 ]=[−10 ]=−1[10]=3 v

Supongamos que deseamos encontrar todos los valores propios de una matriz cuadrada de orden n×n . Sabemos que: A x=λx

A esta ecuación la multiplicamos por la matriz identidad del mismo orden n×n; en ambos lados encontraremos un polinomio en λ

Ax=λ x

AI x=λIx=¿>AI=A

A x=λ / x

0=λIx−Ax por la propiedad simétrica de la igualada, tenemos.

λIx−Ax=0−−→ factorizando x

( λI−A ) x=0

λ es un valor propio de la matriz A<---->( λI−A ) x=0 tiene una solución no trivial

( λI−A ) x es singular (determinante igual a cero)<---->det( λI−A )=0