8/10/2019 Nuevas Propiedades de toda las funciones Reales.

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PROCEEDINGSO F THE

N AT I O N A LA C A D E M YO FS C I E N C E SVo l u m e8 O C TO B E R1 5 ,1 9 2 2 N u m b e r1 0

NEW P R O P E RT I E SO F A L L R E A L FUN C TI O NS

B y H E N RYBLUMBERG

DEPARTMENTOF MATHEMATICS,UNIVERSITYO F I L L I N O I S

Communica t ed J u n e 1 0 ,1 9 2 2

I n m af o r m e r p a p e r l t h e a u t h o r c o m m u n i c a t e da n u m b e r o f p r o p e r t i e s o fe v e r y r e a l f u n c t i o n f ( x ) ,w h i c h w e r e s t a t e d i n t e r m s o f t h e s u c c e s s i v es a l t u sf u n c t i o n s a s s o c i a t e dw i t h a g i v e n f u n c t i o n .Th e p r e s e n t r e s u l t s

d o n o t i n v o l v e t h e s e s a l t u s f u n c t i o n s a n d a r e d i r e c t q u a l i f i c a t i o n so f f ( x ) . S i n c e f ( x ) i s . e n t i r e l yu n r e s t r i c t e d ,e x c e p t ,o f c o u r s e ,t h a ti t i s d e f i n e d - e v e n t h i s r e s t r i c t i o nm a y b e p a r t i a l l yd i s p e n s e d w i t h -a n d t h e r e f o r e f i n i t ef o re v e r y r e a lx , t h e s e q u a l i f i c a t i o n sa r e c o n s e q u e n c e so f n o t h i n g e l s e t h a n t h a t f ( x )i s a f u n c t i o n .A n e w l i g h ti s t h u s t h r o w nu p o n t h e n a t u r e o f a f u n c t i o n .

T h e n e w p r o p e r t i e s a r e o f t w o k i n d s ,d e s c r i p t i v ea n d m e t r i c ; t h e f o r m e ra r e c o n c e r n e dw i t h d e n s i t y a n d t h e l a t t e rw i t h m e a s u r e( L e b e s g u e ) .

F o r t h e s a k e ,o f g r ea t e r c on cr e t e ne s s , we d i s c u s s ,f o r t h e m o s t p a r t ,p l a n a r s e t sa n d r e a l ,s i n g l e - v a l u e df u n c t i o n s o f t w o r e a lv a r i a b l e s .

1 . D e s c r i p t i v eP r o p e r t i e s . - W e s a y t h a t a p l a n a r s e t S i s a n I - r e g i o n( = o p e n s e t ) i f e v e r y p o i n t o f S i s a n i n n e r p o i n t o f S . We d e l w i t hb i n a r y r e l a t i o n sT b e t w e e nI - r e g i o n sa n d p o i n t s . 1 9 ? P s h a l lm e a n t h a tt h e I - r e g i o nI h a s t h e r e l a t i o nT t o t h e p o i n t P . T h e r e l a t i o n% i s s a i dt o b e c l o s e d i f t h e r e l a t i o n s h i p sI 9 ?P , a n d l i m P n P i m p l y IT P .

n - - .

B y a n e ig h b o r h o o d o f a p o i n t P , we u n d e r s t a n d a n I - r e g i o nc o n t a i n i n gP ; b y a p a r t i a ln e i g h b o r h o o d o f P , a n I - r e g i o no f w h i c h P i s a n i n n e ro r a b o u n d a r yp o i n t .

We h a v e t h e f o l l o w i n gL e m m aI . I f ? i s a c l o s e dr e l a t i o n ,t h e nt h ep o i n t sf o rw h i c h ( a )N R Pf o r

e v e r yn e i g h b o r h o o dN o fP , a n d b )a p a r t i a ln e i g h b o r h o o dN , e x i s t ss u c h t h a tR, i . e . ,N< a l i s f a l s e )c o n s t i t u t ea n o n - d e n s e i . e . ,n o w h e r ed e n s e )s e t .A n i m p o r t a n t e x a m p l eo f a c l o s e d r e l a t i o na p p e a r s i n c o n n e c t i o n w i t h

2 8 3

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MA THEMA T I C S : H . BLU M B E R G

a f u n c t i o n .L e tz

= f ( x ,y ) b e a n y g i v e n o n e - v a l u edf u n c t i o n o f t h e t w or e a lv a r i a b l e sx a n d _ y ,a n d l e tf b e d e f i n e d f o rt h e e n t i r eXY p l a n e . L e t9 = 9 R r 1 r , ,w h e r er i < r 2 a r e t w o r e a ln u m b e r s ,b e d e f i n e d a s f o l l o w s :1 9 r Z r ,Pi f a n d o n l y i f a n i n f i n i t es e q u e n c e o fp o i n t s P n o f t h e I - r e g i o nI e x i s t ss u c ht h a t l i m P n = P , l i m f ( P. )e x i s t s ,a n d r i_ l i m f ( P, , )g r 2 ;h e r e P , P , ,

a Xn o n - * - O D e x -*3

x ,y ) , x . ,y n )a n df ( P ) ,f ( P. )= f ( x ,y ) , f ( x n ,y n ) .D e f i n i t i o n .T h e f u n c t i o n f ( x ,y ) i s s a i dt o b e d e n s e l v a p p r o a c h e da t

t h e p o i n t ( ,7 ) o r i n o t h e r w o r d s , t h e p o i n t ( , f ,r q ) )o f t h e s u r f a c ez = f ( x , y )i s s a i dt o b e d e n s e l y a p p r o a c h e d , i f f o re v e r y p o s i t i v ee t h e r e

e x i s t sa p l a n a rn e i g h b o r h o o dN o f ( Q ,t 7s u c h t h a t t h e p o i n t s o f N f o rw h i c hI f x ,y ) f ( , r q )< e f o r m a d e n s e s e t i n N .D e f i n i t i o n .An e x h a u s t i b l e s e t ( = s e t o f f i r s t c a t e g o r y , a c c o r d i n g

t o B a i r e )i s t h e su m o f N 0n o n - d e n s e s e t s ; a r e s i d u a ls e t , t h e c o m p l e -m e n t ( w i t hr e s p e c t t o t h e XY p l a n e )o f a n e x h a u s t i b l e s e t . 2

By t h e a i d o f L e m m aI a n d t h e c l o s e dr e l a t i o n9 r 1 r 2 ,we p r o v eT h e o r e mI . F o r e v e r yr e a lf u n c t i o nf ( x ,y ) w h a t s o e v e r ,t h ep o i n t so f t h e

s u r f a c ez = f ( x ,y ) t h a ta r ed e n s e l ya p p r o a c h e df o r m a r e s i d u a ls e t . C o n -- v e r s e l y ,g i v e na n y r e s i d u a ls e tR w h a t s o e v e r ,a f u n c t i o nf ( x ,y ) e x i s t st h a ti sd e n s e l ya p p r o a c h e da t a n d o n l ya t t h ep o i n t so fR .

T h e f o l l o w i n gd e f i n i t i o no f d e n s e a p p r o a c hi s e q u i v a l e n t :T h e f u n c t i o nf ( x ,y ) i s s a i dt o b e d e n s e l y a p p r o a c h e da t P = ( , 7 ) i f , f o re v e r y p a r t i a ln e i g h b o r h o o dN , o fP , t h e s e to fp o i n t s o ft h e s u r f a c ez = f ( x ,y )c o r r e s p o n d -i n g t o t h e p o i n t so fN< h a s ( , , f ,7 ) )a s a l i m i tp o i n t . By t h e u s e o f t h i sd e f i n i t i o n ,we g e t t h e f o l l o w i n gt h e o r e m , w h i c h i s e q u i v a l e n t t o T h e o r e mI , b u t w h i c h s h o w sb e t t e r ,p e r h a p s , t h e r e m a r k a b l ed e g r e e o f m i c r o s c o p i cs y m m e t r y a n u n c o n d i t i o n e d f u n c t i o n p o s s e s s e s .

T h e o r e m1 ' . W i t h e v e r yf u n c t i o nf ( x , y )w h a t s o e v e r ,t h t e r ei s a s s o c i a t e dar e s i d u a ls e t R - d e p e n d e n to n f - o f t h eXY p l a n es u c h t h a ti f P = ( U ,q ) i sa p o i n t o fR a n d N < , a p a r t i a ln e i g h b o r h o o do fP , t h e n( ,7 ,f ,a ) )i s a l i m i tp o i n t o ft h es e to fp o i n t s x ,y ,f ( x , y ) )f o rw h i c h x ,y ) i s i n N . , .

D e f i n i t i o n .T h e f u n c t i o n f i s s a i dt o b e i n e x h a u s t i b l ya p p r o a c h e da t t h e p o i n tP i f e v e r y n e i g h b o r h o o do f P c o n t a i n s ,f o r e v e r y e > 0 , a ni n e x h a u s t i b l e s e t o f p o i n t s - i . e . ,a s e t t h a t i s n o t e x h a u s t i b l e - a t w h i c h fd i f f e r sf r o mf ( P )b y l e s st h a n e .

I f M i s a n y p l a n a r s e t , w e u s e ,i n c o n n e c t i o n .w i t h a p p r o a c h ,t h e e x -p r e s s i o n v i a M t o d e s i g n a t et h a t x , y ) i s r e s t r i c t e dt o r a n g e i n M.T h u s f i s i n e x h a u s t i b l ya p p r o a c h e da t P v i a M m e a n s t h a t f o re v e r yn e i g h b o r h o o dN o fP a n d e v e r y e > 0 , t h e s e t MN , w h i c hi s t h e a g g r e g a t eo fp o i n t sc o m m o n t o M a n d N , c o n t a i n s a n i n e x h a u s t i b l es e t o f p o i n t sa tw h i c hf d i f f e r sf r o mf ( P )b y l e s st h a n e .

We h a v e t h e f o l l o w i n gT h e o r e mI I . F o r e v e r yf u n c t i o nf ( x ,y ) ,t h e r ee x i s t si n t h e XY p l a n ea

2 8 4 P R O C .N . A . S .

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r e s i d u a ls e t R - d e p e n d e n to n f - s u c h t h a ti f P i s a p o i n to fR , a n d N < , ap a r t i a ln e i g h b o r h o o do fP , t h ef u n c t i o n f i s i n e x h a u s t i b l y ,a n d t h e r e f o r ed e n s e l ya p p r o a c h e da t P v i aR N , T .

W i t h t h e a i d o f T h e o r e mI I we p r o v eT h e o r e m I I I . W i t h e v e r yf u n c t i o n f ( x , y ) t h e r ei s a s s o c i a t e d - n o t

u n i q u e l y ,h o w e v e r - ad e n s e s e tD o f t h eXY p l a n e ,s u c h t h a t fi s c o n t i n u o u si f x ,y ) r a n g e s o v e rD .

2 . G e n e r a l i z a t i o n s . - T h ec o n s i d e r a t i o n sa n d t h e o r e m s o f S e c t i o n 1a p p l y n o t o n l y t o f u n c t i o n s o f n r e a lv a r i a b l e s ,b u t t o e v e r y s p a c eS t h a ts a t i s f i e st h e f o l l o w i n gf o u r c o n d i t i o n s :

( 1 ) S i s m e t r i c ; 't h a t i s t o s a y ,w i t h e v e r y p a i ro f e l e m e n t s P . a n d Qo f S t h e r e i s a s s o c i a t e d a n o n - n e g a t i v e , r e a ln u m b e r Q ( F r e c h e t ' s6 c a r t )i n s u c h a w a y t h a t i f P , Q a n d R a r e t h r e e e l e m e n t so fS , t h e n '

a )PQ = Q P ; b )P Q = 0 , when a n d o n l y when P = Q ; a n d c )P Q + Q R 2P Q .( 2 ) S i s c o m p i e t e( v o l l s t a i n d i g ); 4t h a t i s t o s a y ,i f {P 1 ,P 2 , . . . , P

i s a r e g u l a rs e q u e n c e o f e l e m e n t s o f S - i n o t h e r w o r d s , f o re v e r y e >0t h e r e e x i s t sa n i n t e g e rn 4s u c h i h a t P j , < e f o r X > n 4a n d > n e - t h e r e

e x i s t sa l i m i te l e m e n t i . e . ,a n e l e m e n t w i t h t h e p r o p e r t y l i m P, , P 0 ) .( 3 )S c o n t a in s a d e n u m e r a b l es u b s e t t h a t i s d e n s e i n S .( 4 )S . h a s n o i s o l a t e dp o i n t s .We m a y t h u s s t a t e t h e f o l l o w i n gt h e o r e m - t h ed e f i n i t i o n so ft h e t e r m s f o r

S m a y b e o b t a i n e d a f t e rs l i g h ta n d e v i d e n t m o d i f i c a t i o n sf r o m t h o s ef o r t h e p l a n e .

T h e o r e mI V . L e t S b e a n y c o m p l e t e ,m e t r i cs p a c e c o n t a i n i n ga d e n s e ,d e n u m e r a b l es u b s e ta n d w i t h o u ti s o l a t e dp o i n t s ;a n d f ( P ) ,a n y r e a lf u n c t i o nd e f i n e df o rt h ee l e m e n t sP o fS . T h e n t h e r ee x i s t sa r e s i d u a ls e tR , s u c h t h a t

i f P i s a p o i n to fR , a n d N< a p a r t i a ln e i g h b o r h o o d o fP , t h e f u n c t i o nf i si n e x h a u s t i b l ya n d t h e r e f o r ed e n s e l ya p p r o a c h e da t P v i aR N , . A l s o t h e r ee x i s t sa d e n s e s u b s e tD o fS s u c h t h a tf ( P )i s c o n t i n u o u si f r a n g e s o v e rD .

As p a r t i c u l a r e x a m p l e so f a c o m p l e t e , m e t r i c s p a c e ,w i t h a d e n s e ,d e -n u m e r a b l es u b s e t a n d w i t h o u t i s o l a t e dp o i n t s ,w e m e n t i o n :

( a ) E u c l i d e a nn - s p a c ew h e r et h e c a r tb e t w e e nt w o p o i n t si s t h e e u c l i d e a nd i s t a n c eb e t w e e nt h e m .

b ) A p e r f e c ts u b s e t o f e u c l i d e a n s p a c e . c ) H i l b e r ts p a c e ,t h a t i s ,t h e e n s e m b l e o f s e q u e n c e s x i ,x 2 , . . xU . )

o fr e a ln u m b e r sw i t h c o n v e r g e n t Z x 2 . T h e 6 c a r tb e t w e e n t w o p o i n t sn1 x I ,x 2 , . . . x , , . . . ) a n d y l , y 2 , . . . y 2 , . . . ) i s d e f i n e dt o b e

y( l ) 2 ( X 2 y c n2 d )F u n c t i o n s p a c e : S c o n s i s t so f a l l r e a l ,c o n t i n u o u s f u n c t i o n s f ( x )

2 8 5O L . 8 , 1 9 2 2 MA THEMA T I C S : H . BLUMBERG

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2 8 6 M AT H E M AT I C S :H . B L U M B E R G P R O C .N . A . S .

d e f i n e df o r0 _ x . 1 . Th e 6 c a r tb e t w e e nf i ( x )a n d f 2 ( x )i s d e f i n e d t o b em a x j f i ( x ) - f 2 ( x ) I .

T h e a s s u m p t i o nt h a t f i s s i n g l e - v a l u e dm a y a l s ob e d r o p p e d w i t h o u ti n v a l i d a t i n gT h e o r e m sI a n d I I -Theorem I I I , o f c o u r s e i m p l i e ss i n g l e -v a l u e d n e s sb y i t s v e r y n a t u r e . We t h u s g e t t h e f o l l o w i n gg e n e r a l i z a t i o no fT h e o r e mI ( a n d a s i m i l a ro n e f o rT h e o r e mI I ) .

T h e o r e mI a .L e t f ( x ,y ) b ea n y r e a lf u n c t i o nd e f i n e df o rt h e e n t i r eXYp l a n e a n d t a k i n ga t e v e r yp o i n ta t l e a s to n e v a l u e - t h e n u m b e ro fv a l u e sm a yc h a n g e ,h o w e v e r ,f r o m p o i n tt o p o i n ta n d v a r y f r o m z t o c , t h ec a r d i n a ln u m -b e ro f t h ec o n t i n u u m . T h e n t h ep o i n t s x ,y ) s u c ht h a te v e r ys u r f a c e p o i n t x ,y , f ( x ,y ) )i s d e n s e l ya p p r o a c h e db y t h es u r f a c ez = f ( x ,y ) c o n s t i t u t ear e s i d u a ls e t .

3 . M e t r i c P r o p e r t i e s . - A s i n t h e c a s e o f S e c t i o n1 , we d i s c u s si n t h i ss e c t i o np l a n a r s e t sa n d f u n c t i o n s o f t w o v a r i a b l e s .

L e t S b e a n y p l a n a r s e t ; P , a p o i n to fS ; C r ,a c i r c l ew i t h P a s c e n t e ra n dr a s r a d i u s ;m ( C Q ) ,t h e a r e a o f C r ,a n d m , ( S C , ) ,t h e e x t e r i o rL e b e s g u em e a s -u r e o f t h e p o r t i o no fS i n C r . T h e n i f

l i m m e ( S C r )r - * o m ( C r )

e x i s t sa n d i s e q u a l t o k , we s a y t h a t t h e e x t e r i o rm e t r i c d e n s i t y o f S a tt h e p o i n t i s k . We h a v e t h e f o l l o w i n g

T h e o r e mV . ' L e t S b ea n y p l a n a rs e t . T h e nt h ep o i n t so fS a tw h i c ht h ee x t e r i o rm e t r i cd e n s i t yo f S i s 5 1 - i . e . ,t h e p o i n t sw h e r e t h e e x t e r i o rm e t r i c d e n s i t y e i t h e rd o e s n o t e x i s to r d o e s e x i s ta n d i s l e s st h a n 1-c o n s t i t u t ea s e t o f z e r om e a s u r e ( L e b e s g u e ) .

D e f i n i t i o n .N , i s s a i dt o b e a n o n - v a n i s h i n gp a r t i a ln e i g h b o r h o o do fP , i f t h e e x t e r i o rm e t r i c d e n s i t yo fN < a t P i s O. We h a v et h e f o l l o w i n gl e m m a ,w h i c hc o r r e s p o n d st o L e m m aI f o rt h e d e s c r i p t i v ep r o p e r t i e s :

L e m m aI I . L e t 9 ?b ea c l o s e dr e l a t i o na s i n L e m m aI . T h e p o i n t sP f o rw h i c h ( a )N 9 ?P f o re v e r yn e i g h b o r h o o do fP a n d b )a n o n - v a n i s h i n gp a r t i a ln e i g h b o r h o o dN , e x i s t ss u c h t h a tN , 9 RP i . e . ,N , 9 eP i s f a l s e )c o n s t i t u t e- as e t o f z e r om e a s u r e .

By t h e a i d o f t h i sl e m m a we p r o v eT h e o r e mV I . L e t f ( x ,y ) b e a n y r e a l ,o n e - v a l u e df u n c t i o nd e f i n e di n t h e

e n t i r ep l a n e . T h e n t h e r ee x i s t si n t h eXY p l a n ea s e t Z - d e p e n d e n to n f -o fm e a s u r ez e r o ,s u c h t h a ti f a ) x ,y ) i s a n y p o i n to ft h eXY p l a n en o t b e -l o n g i n gt o Z ; b )N < , a n y n o n - v a n i s h i n gp a r t i a ln e i g h b o r h o o do f x ,y ) ;a n d

c )S , a n y s p h e r ew i t h x ,y ,f ( x ,y ) )a s c e n t e r ;t h e nt h e r ei s a t l e a s to n e p o i n to ft h es u r f a c ez = f ( x ,y ) l y i n gi n t h es p h e r eS a n d h a v i n g a s p r o j e c t i o nu p o nt h eXY p l a n ea p o i n ti n N , .

T h i s t h e o r e m b e c o m e sf a l s ei f we o m i t t h e r e s t r i c t i o nt h a t t h e p a r t i a ln e i g h b o r h o o dN ' s h a l lb e n o n - v a n i s h i n g .

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MA THEMA T I C S : H .B L UMBERG

By m e a n so f L e m m aI I , we p r o v e a l s oT h e o r e mV I I . T h e s e to fp o i n t sP a t w h i c hf i s i n e x h a u s t i b l ya p p r o a c h e d

a n d f o r w h i c h a n o n - v a n i s h i n gp a r t i a ln e i g h b o r h o o de x i s t sv i a w h i c h f i se x h a u s t i b l ya p p r o a c h e dc o n s t i t u t ea s e to fm e a s u r ez e r o .

D e f i n i t i o n .f i s s a i dt o b e n e g l e c t a b l ya p p r o a c h e da t t h e p o i n t P-=v i a M i f a s p h er e S e x i s t sw i t h ( ,, f , n ) )a s c e n t e r ,s u c h t h a t t h e p r o -j e c t i o nu p o n t h e XY p l a n e o f t h e s e to fp o i n t s c o m m o nt o S a n d t h e s u r f a c ez f ( x ,y ) h a s a s e to fm e a s u r ez e r o i n c o m m o nw i t h M.

T h e f o l l o w i n gt h e o r e mg e n e r a l i z e sT h e o r e mV I .T h e o r e mV I I I . L e t z = f x ,y ) b ea n y r e a l ,o n e - v a l u e df u n c t i o nd e f i n e d

i n t h eXY p l a n e . T h e n t h ep o i n t sP o f t h eXY p l a n e t h a tp o s s e s sa n o n -v a n i s h i n gp a r t i a ln e i g h b o r h o o dv i a w h i c h f i s n e g l e c t a b l ya p p r o a c h e da t Pc o n s t i t u t ea s e to fz e r om e a s u r e .

D e f i n i t i o n .f i s q u a s i - c o n t i n u o u s 6a t P i f f o r e v e r y e t h e s e t o fp o i n t s Q f o rw h i c h I f Q )- f ( P ) < e h a s 1 a s e x t e r i o rm e t r i c d e n s i t y a t P .

We h a v e t h e f o l l o w i n gt h e o r e m , w h i c h g e n e r a l i z e st h e o r e mV I I I .T h e o r e mI X . f i s q u a s i - c o n t i n u o u se x c e p ta t t h ep o i n t s o fa s e to fm e a s u r e

z e r o .C o n c l u d i n gR e m a r k s . - A si n t h e c a s e o f t h e d e s c r i p t i v ep r o p e r t i e s ,t h e

m e t r i c t h e o r e m s m a y b e e x t e n d e d t o m a n y - v a l u e df u n c t i o n s .T h e o r e mV I I I , f o re x a m p l e ,when t h u s g e n e r a l i z e dr e a d s a s f o l l o w s :L e t z = f ( x ,y )b e a n y r e a l ,s i n g l e -o r m a n y - v a l u e df u n c t i o nd e f i n e di n t h e e n t i r eXYp l a n e . T h e n t h e p o i n t s x , y ) o ft h eXY p l a n e f o rw h i c h a s u r f a c ep o i n t x ,y , f ( x ,y ) ) a n d a n o n - v a n i s h i n gp a r t i a ln e i g h b o r h o o dN< e x i s ts u c h t h a t x ,y ,f ( x ,y ) )i s n e g l e c t a b l ya p p r o a c h e dv i aN < c o n s t i t u t ea s e to fz e r om e a s u r e .

T h e m e t r i c p r o p e r t i e sh o l d f o r f u n c t i o n s o f a s i n g l ev a r i a b l ea n d , i ng e n e r a l , f o rf u n c t i o n s o f n v a r i a b l e s .E x t e n s i o n t o N o s p a c e ,t o f u n c t i o ns p a c e a n d t o m o r e g e n e r a ls p a c e s w o u l dr e q u i r ea s a t i s f a c t o r yd e f i n i t i o n .o fm e a s u r e f o r s u c h s p a c e s ; 7i t i s n o t o u r p u r p o s e i n t h i sp a p e r t o e n t e r .u p o n s u c h q u e s t i o n s .

. I n s t e a do f p r o j e c t i n g t h e s u r f a c ep o i n t s o f z = f ( x ,y ) u p o n t h e XYp l a n e ,we m a y p r o j e c t t h e m u p o n t h e X - a x i s a n d t h u s o b t a i n o t h e r p r o p -e r t i e s . F o r e x a m p l e , l e t u s d e f i n et h e r e l a t i o n s h i pT , r , r 7 r , r 4 - b e t w e e nI - r e g i o n sa n d p o i n t so f t h e X - a x i s - - a s f o l l o w s :I 9 Z , r , r 4t i f t h e s u r f a c ep o i n t s h a v i n g x - c o o r d i n a t e si n I h a v e a l i m i tp o i n t i n t h e r e c t a n g l ex = tr i . y . r 2 , r 3 < z . r 4 . 9 J ? r i T, T Vi s c l o s e d . By a p p l y i n g L e m m a I It o t h i sc l o s e dr e l a t i o n ,we o b t a i n t h e f o l l o w i n gr e s u l t :L e t z = f ( x ,y ) b ea n y s i n g l e -o r m a n y - v a l u e df u n c t i o nd e f i n e di n t h ee r n t i r eXY p l a n e . L e t

t b ea p o i n to ft h eX - a x i s o f t h ef o l l o w i n gc h a r a c t e r :a s u r f a c ep o i n t( , - , )a n d a p a r t i a ln o n - v a n i s h i n g ( l i n e a r )n e i g h b o r h o o dN< o f t e x i s ts u c h t h a t% 7 7 ,r ) i s n o t a l i m i tp o i n to fs u r f a c ep o i n t sh a v i n gx - c o o r d i n a t e si n N < .T h e t o t a l i t yo fp o i n t st i s o fm e a s u r ez e r o .

S i m i l a rr e s u l t sm a y b e o b t a i n e d f o ro t h e r m e t r i c p r o p e r t i e sa n d a l s oi n .

V O L , .8 , 1 9 2 2 2 8 7

8/10/2019 Nuevas Propiedades de toda las funciones Reales.

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MA T H E M AT I C S . C . N . M O O R E

t h e c a s e o f t h e d e s c r i p t i v ep r o p e r t i e s .I n t h e c a s e o f a f u n c t i o n o f n -v a r i a b l e s ,we m a y p r o j e c tu p o na n ( n - 1 ) s p a c e ,a n ( n - 2 ) s p a c e ,e t c .

Th e p r o o f s o f t h e p r e c e d i n g t h e o r e m sa r e c o n t a i n e d i n a p a p e r t h a t h a sb e e n o f f e r e dt o t h e Tr a ns a c t io nso f t h eA m e r i c a nM a t h e m a t i c a lS o c i e t y .

1A n n . M a t h .P r i n c e t o n ,1 8 ,1 9 1 7 ( 1 4 7 ) .2 F o r t h e t e r m i n o l o g yc f . D e n j o y , J . M a t h . , P a r i s ,s e r . 7 ,1 , 1 9 1 5 ( 1 2 2 - 1 2 5 ) .3 C f .f o re x a m p l e ,F r c h e t ,R e n d . C i r c .M a t h .P a l e r m o ,2 2 ,1 9 0 7 ,p . 1 ; a n d R a u s d o r f f ,

G r u n d z i s g ed e rM e n g e n l e h r e ,1 9 1 4 ,p . 2 1 1 .4 H a u s d o r f f ,1 . c . ,p . 3 1 5 .6 F o r t h e s e w h e r eo n l y m e a s u r a b l es e t sa r e a d m i t t e d c f . ,f o re x a m p l e , d e l a V a l l e

P o u s s i n ,C o u r s d ' A n a l y s e ,2 , 1 9 1 2 ,p . 1 1 4 . F o r t h e l i n e a rc a s eo f g e n e r a l( n o tn e c e s -s a r i l ym e a s u r a b l e )s e t sc f . B l u m b e r g ,B u l l .A m e r .M a t h .S o c . ,2 5 ,1 9 1 9 ( 3 5 0 ) .6 C f .D e n j o y ,B u l l .S o c .M a t h .F r a n c e ,4 3 ,1 9 1 5 ( 1 6 5 ) .7 I n t h i sc o n n e c t i o n c f . G t e a u x , I b i d . ,4 7 ,1 9 1 9 ( 4 7 ) .

G E N E R A L I Z E DL IMI TS I N G E N E R A LANALYSIS

By C H A R I E sN . Moo E

D I P A R T M E N To F M AT H 1 m AT I C s ,U N I v E R S I T YO rC I N C I N N AT IC o m m u n i c a t e dJ u l y1 5 ,1 9 2 2

I t i s w e l lk n o w n t h a t t o e a c h o f t h e v a ri o u s m e t h o d sf o r s u m m i n gd i v e r g e n t s e r i e st h e r e c o r r e s p o n d sa n a n a l o g o u sm e t h o df o rs u m m i n gd i -v e r g e n t i n t e g r a l s .I t i s r e a d i l y -s e e n t h a t s i m i l a rm e t h o d sm a y b e u s e d f o ro b t a i n i n gt y p e s o fg e n e r a l i z e dd e r i v a t i v e so fa f u n c t i o na t a p o i n tw h e r et h eo r d i n a r y d e r i v a t i v ef a i l st o e x i s t . L i k e w i s e ,i n a n y o t h e r c a s e i n A n a l y s i sw h e r ew e w i s h t o a s s o c i a t ea l i m i tw i t h a v a r i a b l et h a t o s c i l l a t e s ,w e w i l ln a t u r a l l yb e l e dt o m a k e u s e o f m e t h o d st h a t h a v e b e e n t r i e do u t i n t h ec a s e o f d i v e r g e n t s e r i e s .

I t w o u l db e m a n i f e s t l y p o o r e c o n o m yo f t i m e a n d t h o u g h t t o e l a b o r a t ef o re a c h o f t h e s e s p e c i a lt h e o r i e ss u c h f u n d a m e n t a lr e s u l t sa s a r e c o m m o nt o t h e m a l l ,i f t h e s er e s u l t sc a n b e o b t a i n e d i n o n e c e n t r a lt h e o r y t h a t i n -c l u d e sa l l t h e o t h e r s .A c c o r d i n gt o a p r i n c i p l eo f g e n e r a l i z a t i o nf o r m u -l a t e db y E . H . Moore a n d s t a t e db y h i m o n s e v e r a lo c c a s i o n s , 't h e e x i s -t e n c e o fs u c h a g e n e r a lt h e o r y i s i m p l i e d b y t h e a n a l o g i e sf o u n da m o n g t h ev a r i o u s s p e c i a lt h e o r i e s .I t i s n a t u r a l t o d e s i g n a t et h i sg e n e r a lt h e o r y a st h e t h e o r y o fg e n e r a l i z e dl i m i t si n G e n e r a lA n a l y s i s .

I t i s t h e p u r p o s eo f t h ep r e s e n t c o m m u n i c a t i o nt o i l l u s t r a t et h e n a t u r ea n d u s e f u l n e s so ft h i st h e o r y b y o u t l i n i n gt h e p r o o f o fa t h e o r e mi n i t w h i c hi s - ag e n e r a l i z a t i o no f o n e o f t h e i m p o r t a n t t h e o r e m si n t h e t h e o r y - o fd i -v e r g e n t s e r i e s . T h i s l a t t e rt h e o r e m i s t h e K n o p p - _ h n e e - F o r dt h e o r e m 2w i t h r e g a r dt o t h e e q u i v a l e n c eo f t h e C e s k r oa n d H o l d e rm e a n s o f o r d e r k

2 8 : 8 P R O C .N . A .S .