Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of mathematics ...arfa.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/04/Kelompok-3-Metode... · Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of mathematics FMIPA

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of mathematics FMIPA UNS

OPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE

Dwi Suraningsih (M0110021), Marifatun (M0110053),Nisa Karunia (M0110061)

I. PendahuluanLatar Belakang. Dalam kehidupan sehari-hari disadari maupun tidak, sebenar-nya manusia selalu melakukan opimasi untuk memenuhi kebutuhan hidupnya.Akan tetapi, optimasi yang dilakukan oleh masyarakat awam lebih banyakdidasar oleh intuisi daripada teori optimasi yang kita pelajari di bangku sekolah.Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan terbaik,maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan.

Fungsi multivariabel yaitu fungsi yang mengandung lebih dari satu macamvariabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum/minimum) dari sebuah fungsimultivariabel dapat diperoleh dengan menggunakan konsep diferensial par-sial. Pada umumnya pemodelan nonlinear tanpa kendala berbentuk:

minimumkan: = ( , , … , ).

Atau Pada masalah optimasi untuk fungsi lebih dari satu variabel, masalahminimisasi mempunyai bentuk:

minimumkan = ( ) dengan = ⋮ ∈ .

Masalah maksimisasi dapat ditinjau lewat metode minimisasi karena:maksimum ( ) = −minimum(− ( )).dimana ( , , … , ) adalah fungsi objektif. Pada permasalahan pro-gram nonlinear tanpa kendala, kondisi penting untuk x* agar menjadi lokalminimum dari ( , , … , ).a. ( , , … , ). dapat diturunkan (differensiable) pada x*.b. ∇ ( ) = 0 sebuah titik stationer (stationery point) pada x*.c. ∇ definit positif (kondisi untuk maksimum adalah sama, kecuali

matriks Hessian (∇ ) dari f(x*) harus definit negatif).

Pada beberapa kasus tertentu, kondisi di atas dulit dipenuhi meskipun ( )tetap mempunyai titik optimum. Dalam hal ini dapat digunakan metodeunconstrained optimization technique. Metode unconstrained optimizationtechnique dibagi menjadi dua yaitu metode penyelidikan langsung danmetode gradien. Dalam hal ini hanya akan dibahas mengenai metodepenyelidikan langsung (metode Univariata/One At A Time).

Perumusan Masalah. Berdasarkan latar belakang yang telah disampaikandapat dirumuskan masalah sebagai berikut :1. bagaimana algoritma atau langkah-langkah dalam metode Univariate dan2. bagaimana menerapkan metode Univariate dalam suatu kasus.

Tujuan. Tujuan dari penulisan makalah ini adalah1. menjelaskan algoritma atau langkah-langkah dalam metode Univariate dan2. menerapkan metode Univariate dalam suatu kasus.


2. PembahasanMetode Univariate. Dalam metode Univariate, perubahan dilakukan padasatu variabel tahap bertahap dengan menganggap variabel lainnya tetap. Mula– mula variabel pertama dirubah pada titik awal untuk mendapat titik .Kemudian sebagai titik awal dipakai untuk merubah variabel kedua untukmendapatkan dengan menganggap variabel pertama, ketiga, dan seterus-nya tetap. Proses ini dilanjutkan sampai didapat dalam perubahan variabelke . Dan satu siklus proses iterasi telah selesai. Prosedur ini dilanjutkansampai tidak ada lagi perubahan fungsiobjektif untuk arah dari satu siklus.{Skema iterasi dari unconstrained minimization methods terlampir}

AlgoritmaAlgoritma atau langkah – langkah dari metode ini dapat dinyatakan sebagai :1. Menentukan titik awal dengan = 02. Menentukan arah pencarian (descent direction)

= (1, 0, 0, … , 0) = 0, , 2 , …(0, 1, 0, … , 0) = 1, + 1, 2 + 1, …⋮(0, 0, 0, … , 1) = − 1, 2 − 1, 3 − 1, …dengan adalah banyaknya variabel dari fungsi ( , , … , ). Misal: jikadiketahui suatu fungsi ( , , ), maka diperoleh = 3. Berarti= 100 , = 010 , = 001 , = , =dan seterusnya berulang sampai iterasi berhenti.

3. Menentukan apakah berkurang dalam arah atau − . Dalam langkahini, perlu diambil panjang dan menghitung := ( )= ( + )= ( − ) Jika < , maka adalah arah yang tepat untuk meminimumkan

dari . Jika < , maka − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan

dari .4. Menentukan optimum panjang langkah ∗ dengan meminimumkan fungsi( ± ). Di mana nilai ∗ adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.

Catatan : Pemakaian tanda + atau – pada fungsi ( ± ) bergantung pada

atau − yang merupakan arah penurunan nilai fungsi obyektif . Minimum ∗ diperoleh dengan menggunakan konsep minimum lokal

yaitu ′( ) = 0 dan ′′( ) > 0 yang berarti ∗ merupakan titikminimum.

5. Mencari = ± ∗ dan = ( )6. Mengambil nilai baru untuk = + 1 dan kembali ke langkah 2.

Hal ini dilanjutkan sampai tak ada perubahan yang berarti dari nilai fungsiobjektif atau dengan kata lain iterasi STOP ketika nilai dari> dan > .


Contoh KasusMinimumkan ( , ) = − + 2 + 2 + dengan titik awal (0,0) dan= 0.1 menggunakan metode univariate.

Penyelesaian:{Gambar Plot dan Contour Plot terlampir}Iterasi k = 0Step 1 : titik awal = (0,0)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = 0= ( + ) = ( , 0) = 0.102 >= ( − ) = (− , 0) = −0.9996 <

Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari .Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan( − ) = (− , 0) = − + 2

min − + → − + 2 = 0−1 + 4 = 0=Karena ′′( ) = (−1 + 4 ) > 0, maka = adalah titik minimum.

Step 5 : ambil = − = −0.250 dan = ( ) = − .

Iterasi k = 1Step 1 : titik awal = (−0.25,0)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = − = −0.125= ( + ) = − , = −0.1399 <= ( − ) = − , − = −0.1099 >

Jadi, adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari .Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan( + ) = (−0.25, ) = − 1.5 − 0.125

min − 1.5 − 0.125 → ′( ) = − 1.5 − 0.125 = 02 − 1.5 = 0= 0.75karena ′′( ) = (2 − 1.5) = 2 > 0, maka = 0.75 titik minimum.

Step 5 : ambil = + 0.75 = −0.250.75 dan = ( ) = −0.6875.

Iterasi k = 2Step 1 : titik awal = (−0.25, 0.75)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −0.6875= ( + ) = −0.6723 >= ( − ) = −0.7023 <

Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari .Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan


( − ) = (−0.25, ) = 2 − 1.5 − 0.6875min 2 − 1.5 − 0.6875 → 2 − 1.5 − 0.6875 = 04 − 1.5 = 0= 0.375

Step 5 : ambil = + 0.375 = −0.250.75 dan = ( ) = 0.6875.

Iterasi k = 3Step 1 : titik awal = (−0.625, 0.75)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −0.96875= ( + ) = (−0.625,0.76) = −0.97615 <= ( − ) = (−0.625,0.74) = −0.96115 >

Jadi, adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari(penyelesain arah positif)

Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan( + ) = − 0.75 − 0.96875sehingga diperoleh ∗ = 0.375

Step 5 : menghitung = + 0.375 = −0.6251.125 .

Iterasi k = 4Step 1 : titik awal = (−0.625, 1.125)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.10938= ( + ) = (−0.615,1.125) = −1.10168 >= ( − ) = (−0.635,1.125) = −1.10168 <

Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari(penyelesaian arah negatif)

Step 4 : menentukan optimum panjang ∗ dengan meminimumkan( − ) = 2 − 0.75 − 1.10938sehingga diperoleh ∗ = 0.1875

Step 5 : hitung = − ∗ = (−0.8125, 1.125).Iterasi k = 5Step 1 : titik awal =( -0.8125,1.125)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.17969= ( + ) = (−0.8125, 1.135) = −1.18334 <= ( − ) = (−0.8125, 1.115) = −1.17584 >

Jadi, adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari(penyelesaian arah positif).

Step 4 : ( + ) = − 0.375 − 1.17969diperoleh ∗ = 0.1875

Step 5 : hitung = + ∗ = (−0.8125, 1.3125)Iterasi k = 6Step 1 : titik awal = (−0.8125, 1.3125)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.21484


= ( + ) = (−0.8025, 1.3125) = −1.21089 >= ( − ) = (−0.8225, 1.3125) = −1.21839 <Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari

(penyelesaian arah negatif)Step 4 : ( − ) = 2 − 0.375 − 1.21484

diperoleh ∗= −0.09375Step 5 : hitung = − ∗ = (−0.90625, 1.3125)Iterasi k = 7Step 1 : titik awal = ( −0.90625,1.3125)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.23242= ( + ) = (−0.90625,1.3225) = −1.2342 <= ( − ) = (−0.90625, 1.3025) = −1.23045 >


Step 4 : ( + ) = − 0.1875 − 1.23242diperoleh ∗= 0.09375

Step 5 : hitung = + ∗ = (−0.90625, 1.40625)Iterasi k = 8Step 1 : titik awal = ( −0.90625,1.40625)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.24121= ( + ) = (−0.89625,1.40625) = −1.23914 >= ( − ) = (−0.91625,1.40625) = −1.24289 <

Jadi, − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan dari(penyelesaian arah negatif).

Step 4 : ( − ) = 2 − 0.1875 − 1.24121diperoleh ∗ = 0.046875

Step 5 : hitung = − ∗ = ( −0.953125, 1.40625)Iterasi k = 9Step 1 : titik awal = (−0.953125,1.40625)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.24561= ( + ) = (−0.953125,1.41625)) = −1.24644 <= ( − ) = (−0.953125,1.39625) = −1.24457 >


Step 4 : ( + ) = − 0.09375 − 1.24561diperoleh ∗ = 0.046875

Step 5 : hitung = + ∗ = ( −0.953125, 1.45313)Iterasi k = 10Step 1 : titik awal x10=( -0.953125,1.45313)Step 2 : arah pencarian U10= 10Step 3 : = ( ) = −1.2478= ( + ) = (−0.943125,1.45313) = −1.24667 >= ( − ) = (−0.963125,1.45313) − 1.24854 <


Jadi, − adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah negatif).

Step 4 : ( − ) = 2 − 0.09376 − 1.2478diperoleh ∗ = 0.02344

Step 5 : hitung = − ∗ = (− 0.976565, 1.45313)Iterasi k = 11Step 1 : titik awal = (−0.976565, 1.45313)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.2489= ( + ) = (−0.976565,1.46313) = −1.24927 <= ( − ) = (−0.963125,1.45313) − 1.24833 >Jadi, adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah positif).

Step 4 : ( + ) = − 0.04687 − 1.2489diperoleh ∗ =0.023435

Step 5 : hitung = − ∗ = (− 0.976565, 1.47657)Iterasi k = 12Step 1 : titik awal = (− 0.976565, 1.47657)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.24945= ( + ) = (−0.966565,1.47657) = −1.24878 >= ( − ) = (−0.986565,1.47657) − 1.24972 <Jadi, − adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah negatif).

Step 4 : ( − ) = 2 − 0.04688 − 1.24945diperoleh ∗ = 0.01172

Step 5 : hitung = − ∗ = (−0.988285, 1.47657)Iterasi k = 13Step 1 : titik awal = (− 0.976565, 1.47657)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.24973= ( + ) = (−0.988285,1.48657) = −1.24986 <= ( − ) = (−0.988285,1.46657) = −1.24939 >Jadi, adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah positif).

Step 4 : ( + ) = − 0.02343 − 1.24973diperoleh ∗ = 0.011715

Step 5 : hitung = + ∗ = (−0.988285, 1.48828).Iterasi k = 14Step 1 : titik awal = (− 0.976565, 1.47657)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.24986= ( + ) = (−0.978285,1.48828) = −1.24943 >= ( − ) = (−0.998285, 1.48828) = −1.2499 <Jadi, − adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah negatif).


Step 4 : ( − ) = 2 − 0.02342 − 1.24986diperoleh ∗ = 0.005855

Step 5 : hitung = − ∗ = (−0.99414, 1.48828).

Iterasi k = 15Step 1 : titik awal = (−0.99414,1.48828)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.24993= ( + ) = (−0.99414,1.49828) = −1.24995 <= ( − ) = (−0.99414,1.47828) = −1.24971 >Jadi, adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah positif).

Step 4 : ( + ) = − 0.01172 − 1.24993diperoleh ∗ = 0.00586

Step 5 : hitung = + ∗ = (−0.99414, 1.49414).

Iterasi k = 16Step 1 : titik awal = (−0.99414, 1.49414)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.2499= ( + ) = (−0.98414,1.49414) = −1.2496 >= ( − ) = (−1.00414,1.49414) = −1.2499 <Jadi, − adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah negatif).Step 4 : ( − ) = 2 − 0.01172 − 1.24997

diperoleh ∗ = 0.00586Step 5 : hitung = − ∗ = (−1. , 1.49414).Iterasi k = 17Step 1 : titik awal = (−1. , 1.49414)Step 2 : arah pencarian = 01Step 3 : = ( ) = −1.24997= ( + ) = (−1. ,1.50414) = −1.24998 <= ( − ) = (−1. ,1.48414) = −1.24975 >Jadi, adalah arah yang tepat untuk menurunkan dari(penyelesaian arah positif).Step 4 : ( + ) = 2 − 0.01172 − 1.24997

diperoleh ∗ = 0.00586Step 5 : hitung = + ∗ = (−1. , 1.5).Iterasi k = 18Step 1 : titik awal = (−1. , 1.5)Step 2 : arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = −1.25= ( + ) = (−1. ,1.50414) = 0.4062 >= ( − ) = (−1. ,1.48414) = −1.2498 >Iterasi STOP. Sehingga diperoleh ∗ = (−1. , 1.5) dan ( ∗) = −1.25


Minimumkan ( , ) = ( − ) + (1 − ) dengan titik awal (0,0) dan= 0.1 menggunakan metode univariate.

Penyelesaian:{Gambar Plot terlampir}Iterasi k = 0Step 1 : menentukan titik awal = (0,0)Step 2 : menentukan arah pencarian = 10Step 3 : = ( ) = 0= ( + ) = (0.1, 0) = 0.81 >= ( − ) = (−0.1, 0) = 1.21 >Iterasi STOP, sehingga diperoleh ∗ = (0,0) dan ( ∗) = 0


3. PenutupKesimpulan. Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan adalah:Algoritma metode Univariate dapat dinyatakan sebagai:1. Menentukan titik awal dengan = 02. Menentukan arah pencarian (descent direction)

= (1, 0, 0, … , 0) = 0, , 2 , …(0, 1, 0, … , 0) = 1, + 1, 2 + 1, …⋮(0, 0, 0, … , 1) = − 1, 2 − 1, 3 − 1, …dengan adalah banyaknya variabel dari fungsi ( , , … , ).Misal : jika diketahui suatu fungsi ( , , ), maka diperoleh = 3.

Berarti = 100 , = 010 , = 001 , = , = dan seterusnya berulang

sampai iterasi berhenti.3. Menentukan apakah berkurang dalam arah atau − . Dalam langkah

ini, perlu diambil panjang dan menghitung := ( )= ( + )= ( − ) Jika < , maka adalah arah yang tepat untuk meminimumkan

dari . Jika < , maka − adalah arah yang tepat untuk meminimumkan

dari .4. Menentukan optimum panjang langkah ∗ dengan meminimumkan fungsi( ± ). Di mana nilai ∗ adalah nilai minimum dari fungsi tersebut.

Catatan : Pemakaian tanda + atau – pada fungsi ( ± ) bergantung pada

atau − yang merupakan arah penurunan nilai fungsi obyektif . Minimum ∗ diperoleh dengan menggunakan konsep minimum lokal

yaitu ( ) = 0 dan ( ) > 0 yang berarti ∗ merupakan titikminimum.

5. Mencari = ± ∗ dan = ( )6. Mengambil nilai baru untuk = + 1 dan kembali ke langkah 2.Hal ini dilanjutkan sampai tak ada perubahan yang berarti dari nilai fungsiobjektif atau dengan kata lain iterasi STOP ketika nilai dari >dan > .

Dari contoh kasus 1, diperoleh minimum dengan ∗ = (−1. ,1.5) dan ( ∗) =−1.25. Sedangkan dari contoh kasus 2, diperoleh minimum dengan ∗ = (0,0)dan ( ∗) = 0.


LAMPIRAN – LAMPIRAN

ya tidak

Skema 1. Iterasi dari unconstrained minimization methods

Gambar 1. Plot fungsi ( , ) = − + 2 + 2 + sebelum iterasi.

Tentukan ( )Tentukan vektor

baru

Tentukan ( )

Ambilk=k+1

Ambil =dan STOP

Ambil k=0

Kekonvergenandipenuhi?


Gambar 2. Contour plot fungsi ( , ) = − + 2 + 2 + sebelumiterasi.

Gambar 3. Contour plot fungsi ( , ) = − + 2 + 2 + setelah iterasi.

Gambar 4. Plot fungsi ( , ) = ( − ) + (1 − ) sebelum iterasi.

Documents

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of mathematics ...arfa.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/04/Kelompok-3-Metode... · Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of mathematics FMIPA