NUMERE REALE

Cât de bogată este mulțimea numerelor reale?Ce sunt intervalele?

Rădulescu Andreea Iancu Narcisa Măriuța CosminStroe Elvis Budulan Georgiana

INTERVALE

Teoremă: ORICĂRUI NUMĂR REAL ÎI CORESPUNDE UN PUNCT DE PE O DREAPTĂ (AXA NUMERELOR)

OBS! Teorema este valabilă pentru orice mulțime de numere învățate.Numerelor reale -3; 2; ;5,3 li se asociază

u0 25‒3 5,32

A B C D

52punctele geometrice A,B,C,D situate pe axa numerelor.

Reciprocă: ORICĂRUI PUNCT DE PE AXA ÎI CORESPUNDE UN NUMĂR REAL.

OBS! Reciproca nu este adevarată pentru nici o altă mulțime de numere învățată! (ℕ,ℤ,ℚ)

0 0,5

u

Concluzie: Teorema si reciproca ne demostrează faptul că în R există atâtea numere câte puncte geometrice are o dreapta. De aici rezultă bogația numerelor aflate în R.

CONTRAEXEMPLU: punctului geometric M aflat la mijlocul primului segment unitate îi corespunde numărul 0,5 care nu este natural, deci lui M nu îi corespunde un număr natural.

M

1

Obs!!! Între două puncte de pe o dreaptă (oricât de apropiate ar fi) există numere REALE!

Pentru a demonstra este suficient să considerăm una din mediile cunoscute, de exemplu media aritmetică:Dacă 𝑎 < 𝑏 sunt cele două numere se știe că:

2

ba

Aplicație: Scrieți două numere reale între 6

1

5

1

O altă soluție:

90

15

30

5

6

1

5) 3)

90

18

30

6

5

1

6) 3) ⇒ 1

6< 1

690

; 1790

< 1

5

și𝑎 < < 𝑏

Intervale

Dacă a și b sunt abscisele punctelor A, respectiv B, atunci intervalului închis [a,b] îi corespunde pe axă mulțimea punctelor segmentului [AB]

𝑥 ∈ [𝑎 ; 𝑏] ⇔ M ∈ [AB] A M B

��

��

x

Numerele a și b se numesc capetele intervalului [a;b] și se află în interval.

Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea [𝑎 ; 𝑏] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} se numește interval închis de capete 𝑎 și 𝑏

1) Intervalele mărginite:

][

Definiția 1:

A BM

��

x ��

Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea (𝑎 ; 𝑏) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 < 𝑏} se numește interval deschis de capete 𝑎 și 𝑏.

Definiția 2:Analog, interpretarea geometrică a intervalului deschis este un segment deschis.

𝑥 ∈ (𝑎 ; 𝑏) ⇔ M ∈ (AB)Obs: 1. Capetele intervalului deschis nu se află în interval 𝑎, ∉ ( ; ) deoarece propozițiile < < și 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏< <𝑎 𝑏 𝑏

sunt false. 2. ( ; ) 𝑎 𝑏 ∪ { ;𝑎 𝑏} = [ ;𝑎 𝑏]

( )

Folosind diferite semne de inegalitate în definiția intervalului obținem și altfel de intervale mărginite:

Definiția 2: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea [𝑎 ; 𝑏) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} se numește interval închis la stânga și deschis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏Definiția 3: Fie 𝑎 și 𝑏 două numere reale, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimea (𝑎 ; 𝑏] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} se numește interval deschis la stânga și închis la dreapta de capete 𝑎 și 𝑏

[��

��

]��

��

2) Intervalele nemărginite:

- ∞

𝑎

Fie 𝑎 un număr real, cu 𝑎 < 𝑏.Mulțimile (‒∞ ; 𝑎] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤ 𝑎};(‒∞ ; 𝑎) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 < 𝑎}(𝑎 ; ∞] ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≥ 𝑎} ; (𝑎 ; ∞) ≝ {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 > 𝑎}se numesc intervale nemărginite

Definiția 3:Interpretarea geometrică:

un astfel de interval este o semidreaptă

∞(‒∞ ; 𝑎 ] (𝑎 ; ∞]

Obs: Cu ajutorul noțiunii introduse se poate scrie ℝ sub formă de interval: ℝ = (‒∞ ; ∞

)