Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Данная книга представляет собой переработанный вариант учебного пособия «Численные методы» тех же авторов, вышедшего в 1987 году. Добавлен материал, относящийся к решению систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами, решению задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, методу сопряженных градиентов. Видоизменено изложение оптимального линейного итерационного процесса и рассмотрен многосеточный итерационный метод — один из наиболее применяемых в настоящее время методов решения сеточных краевых задач.

Содержание Предисловие 7 Введение 8 1 Погрешность результата численного решения задачи 17 § 1. Источники и классификация погрешности 17 § 2. Запись чисел в ЭВМ 21 § 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 22 § 4. О вычислительной погрешности 25 § 5. Погрешность функции 27 § 6. Обратная задача 32 2 Интерполяция и численное дифференцирование 35 § 1 Постановка задачи приближения функций 36 § 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа 39 § 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа 43 § 4. Разделенные разности и их свойства 43 § 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями 45 § 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами 48 § 7. Уравнения в конечных разностях 51 § 8. Многочлены Чебышева 58 § 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы 62 § 10. Конечные разности 65 § 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом 68 § 12. Составление таблиц 71 § 13. О погрешности округления при интерполяции 74 § 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция 75 § 15. Численное дифференцирование 76 § 16. О вычислительной погрешности формул численного

дифференцирования 83

§ 17. Рациональная интерполяция 84 3 Численное интегрирование 86 §1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных

коэффициентов 86

§ 2. Оценки погрешности квадратуры 89

§ 3. Квадратурные формулы Ньютона— Котеса 94 § 4. Ортогональные многочлены 99 § 5. Квадратурные формулы Гаусса 106 § 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных

формул 113

§ 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций 116 § 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на

равные части 119

§9. О постановках задач оптимизации 124 § 10. Постановка задачи оптимизации квадратур 129 §11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы 130 § 12. Примеры оптимизации распределения узлов 137 § 13. Главный член погрешности 140 §14. Правило Рунге практической оценки погрешности 144 § 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка

точности 148

§ 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае 150 § 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим

выбором шага 157

4 Приближение функций и смежные вопросы 164 § 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве 164 § 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы,

возникающие при его практическом построении 166

§ 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье

171

§ 4. Быстрое преобразование Фурье 175 § 5. Наилучшее равномерное приближение 178 § 6. Примеры наилучшего равномерного приближения 181 § 7. О форме записи многочлена 187 § 8. Интерполяция и приближение сплайнами 191 5 Многомерные задачи 201 § 1. Метод неопределенных коэффициентов 202 § 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация. 203 § 3. Примеры регуляризации 206 § 4. Сведение многомерных задач к одномерным 212 § 5. Интерполяция функций в треугольнике 220 § 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной

сетке 222

§ 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования 225 § 8. Метод Монте-Карло 232 § 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных

методов решения задач 236

§ 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло 239 § 11. О выборе метода решения задачи 243

6 Численные методы алгебры 250 § 1. Методы последовательного исключения неизвестных 253 § 2. Метод отражений 262 § 3. Метод простой итерации 265 § 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ 268 § 5. δ2 -процесс практической оценки погрешности и ускорения

сходимости 271

§6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов 275 § 7. Метод Зейделя 285 § 8. Метод наискорейшего градиентного спуска 290 § 9. Метод сопряженных градиентов 294 § 10. Итерационные методы с использованием спектрально-

эквивалентных операторов 300

§11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация

304

§ 12. Проблема собственных значений 315 § 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR-

алгоритма 320

7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации 324 § 1. Метод простой итерации и смежные вопросы 326 § 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений 330 § 3. Методы спуска 336 § 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей

размерности 341

§ 5. Решение стационарных задач путем установления 345 § 6. Как оптимизировать ? 352 8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных

дифференциальных уравнений 360

§ 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора 361 § 2. Методы Рунге— Кутта 363 § 3. Методы с контролем погрешности на шаге 369 § 4. Оценки погрешности одношаговых методов 371 § 5. Конечно-разностные методы 376 § б. Метод неопределенных коэффициентов 379 § 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных

задачах 383

§ 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов 388 § 9. Особенности интегрирования систем уравнений 396 § 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка 409 §11. Оптимизация распределения узлов интегрирования 412 9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенных

дифференциальных уравнений 417

§ 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка

417

§ 2. Функция Грина сеточной краевой задачи 423 § 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи 428 § 4. Замыкания вычислительных алгоритмов 436 § 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого

порядка 444

§ 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка

449

§ 7. Нелинейные краевые задачи 455 § 8. Аппроксимации специального типа 461 § 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений 473 § 10. Построение численных методов с помощью вариационных

принципов 476

§ 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае

485

§ 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения 488 10 Методы решения уравнений в частных производных 495 § 1. Основные понятия теории метода сеток. 497 § 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач 505 § 3. Принцип замороженных коэффициентов 521 § 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями 524 § 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения 528 § 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений 543 § 7. Решение параболических уравнений с несколькими

пространственными переменными 566

§ 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений 580 11 Численные методы решения интегральных уравнений 599 §1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла

квадратурной суммой 599

§ 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное

604

§ 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода 608 Заключение 617 Список литературы 622 Предметный указатель 627

Предметный указатель Алгоритм ненасыщаемый, 65 Аппроксимация, 379 дифференциального уравнения

разностной схемой, 379 Большое число, 23 Валле-Пуссена теорема, 179 Вариация, 522 Верная цифра, 23

Весовая функция, 89 Восполнение, 559 Выделение весовой функции, 151 Гарантированные оценки

погрешности на классе функций, 232

Главный член погрешности, 140 Дивергентность разностной схемы,

527 Дискретные коэффициенты Фурье,

173 Дифференцирование численное, 76 Замыкание алгоритма, 437 нерегулярное, 437 регулярное, 437 Значащие цифры, 23 Интегрирование осциллирующих функций, 116 системы уравнений, 396 Интерполирование, 36 с кратными узлами, 49 Интерполяционная формула Лагранжа, 41 Ньютона, 46 для интерполирования назад, 69 для интерполирования вперед, 69 Интерполяция, 36 квадратичная, 72 линейная, 71 тригонометрическая, 173 Итерационные методы построения

многочлена наилучшего равномерного приближения с использованием спектрально эквивалентных операторов, 300

Квадратуры Гаусса, 106 Грегори, 143 Лобатто, 111 Ньютона—Котеса, 94 Ромберга, 149 Симпсона, 88 Филона, 117 Эйлера, 142 обобщенные, 122 прямоугольников, 86 составные, 122 трапеций, 87 Количество арифметических

операций, 41 Конечно-разностное уравнение, 51 Конечно-разностные

методы, 376 схемы, 376 Ленточная структура, 257 Линейная оценка погрешности, 28 Линейное разностное уравнение, 52 Мажорирующее разностное

уравнение, 488 Матрица Грама, 167 ортогонализации, 100 отражений, 262 Мера обусловленности матрицы, 305 системы, 305 погрешности аппроксимации, 504 Метод Адамса, 378 Гаусса, 253 Зейделя, 290 Монте-Карло, 232 Ньютона решения нелинейных

уравнений, 330 Ритца, 477 Рунге—Кутта, 363 Эйлера, 363 вариационно-разностный, 479 верхней релаксации, 290 вилки, 336 квадратного корня, 259 конечных элементов, 558 наименьших квадратов, 203 наискорейшего спуска, 290 неопределенных коэффициентов, 39,

202 оврагов, 342 оптимальный, 63 парабол, 336 покоординатного спуска, 288 пристрелки, 429 прогонки, 430 проекционно-разностный, 561 простой итерации, 265, 326 регуляризации, 205

релаксации, 289 сверхрелаксации, 290 секущих, 335 сопряженных градиентов, 294 спуска, 336 стрельбы, 449 суммарной аппроксимации, 579 циклической прогонки, 434 штрафа, 340 Методы интерполяционные, 376 экстраполяционные, 376 Многочлен наилучшего

равномерного приближения, 178 Многочлены Лагерра, 104 Лежандра, 104 Чебышева, 58 второго рода, 104 первого рода, 104 Эрмита, 104 Якоби, 103 наименее уклоняющиеся от нуля, 60 Наилучшее равномерное

приближение, 178 Недетерминированный метод, 242 Некорректные задачи, 608 Неравенство Бесселя, 169 Чебышева, 233 ε-неравенство, 537 Неустойчивость, 35 Неявная схема, метод, 376, 530 Норма энергетическая, 555 Нормы векторов и матриц, 250 эквивалентные, 266 Область зависимости, 498 сходимости метода, 358 Обобщенное решение, 562 Обратная интерполяция, 76 Обратный ход метода Гаусса, 254

прогонки, 431 Обусловленность матрицы системы, 305 системы, 305 Однородные схемы, 469 Односторонние формулы численного

дифференцирования, 80 Одношаговые методы численного

интегрирования, 371 Оператор расщепляющийся, 573 Оптимальные квадратуры, 129 Оптимальный линейный итерационный процесс,

279, 283 по порядку итерационный процесс,

42, 63 Оптимизация методов, 63 оценки погрешности

интерполирования, 63 распределения узлов интегрирования.

131 скорости сходимости итерационного

процесса, 275 Ортогональная система, 99 Ортогональные многочлены, 101 Ортонормированная система

элементов, 101 Остаточный член формулы Лагранжа,

43 Очень большое число. 23 Параметр регуляризации, 611 Переобуславливатель, 301 Планирование эксперимента, 37 Плохо обусловленные системы, 307 Повышение порядка точности

разностной схемы, 419 Погрешность абсолютная, 22 аппроксимации дифференциального

уравнения разностной схемой, 504, 534

вычислительная, 17 квадратуры на классе функций, 129

математической модели, 17 метода, 17 на классе задач, 63 на шаге, 371 неустранимая, 17 относительная, 22 предельная, 27 Порядок метода, 329 погрешности аппроксимации, 380 Почти собственные значения, 270 Преобразование Фурье быстрое, 175 дискретное, 173 Принцип замороженных

коэффициентов, 521 Проблема собственных значений полная, 315 частичная, 315 δ2-процесс ускорения сходимости,

273 Прямое произведение формул

интегрирования, интерполирования, дифференцирования, 219

Прямой ход метода Гаусса, 254 прогонки, 431 Разности вперед, 65 высшего порядка, 65 конечные. 65 назад, 65 разделенные, 43 центральные, 65 Разностная схема, 377 экономичная, 568 Ряд Фурье дискретный, конечный,

173 Сеточная функция Грина, 423 Сжатое отображение, 326 Симметризация системы уравнений,

276 Система жесткая, 398 Слой, 530

Согласованные нормы, 501 Спектральная эквивалентность, 300 Спектральный признак устойчивости,

506, 515 Сплайн, 191 интерполяционный, 197 локальный, 198 Стандартные программы, 47 Строго нормированное пространство,

165 Схема Эйткена, 47 Схемы, точные на решениях

специального вида, 461 Сходимость, 501 Таблица разделенных разностей. 45 Теорема Валле-Пуссена, 179 Чебышева, 179 Точки чебышевского альтернанса,

179 Триангуляции, 558 Тригонометрическая интерполяция,

173 Узел внутренний, 544 граничный, 544 нерегулярный, 551 приграничный, 544 регулярный, 551 сетки, 543 Узлы интерполяции, 36 Уравнения в конечных разностях, 51 Условие α, 386 сильной минимальности, 565 Устойчивость, 503 безусловная, 532 по начальным данным, 535 условная, 532 Формула Абеля, 467 Ромберга, 149 Симпсона, 88 Филона, 117

прямоугольников, 86 с кратными узлами, 96 трапеций, 87 Формулы Адамса, 363, 378 Грегори, 143 численного дифференцирования, 76 Функция сильно растущая, 23 Характеристическое уравнение, 55 разностной схемы, 384 Хорошо обусловленная (поставленная)

краевая задача, 448

обусловленные системы, 307 Шаблон, 507 Шаг таблицы, 65 Экстраполяция, 36 Элемент наилучшего приближения,

165 Элементарный треугольник, 558 Энергетическое неравенство, 538 тождество, 537 Явная схема, 376, 529 Явный метод, 376, 529