numerik-1

METODE NUMERIK

METODE NUMERIK adalah :Teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan /aritmatika biasa ( tambah,kurang,kali dan bagi)

METODE artinya CARA

NUMERIK artinya ANGKA

Jadi METODE NUMERIK artinya cara berhitung dengan menggunakan angka.

Metode Numerik hanya diperoleh solusi yang mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dikatakan solusi pendekatan. Solusi pendekatan jelas tidak sama dengan solusi sejati sehingga ada selisih antara kedua solusi tersebut. Selisih ini lah yang disebut dengan ERROR( galat/kesalahan )

= kesalahan = solusi sejati - solusi pendekatan

Kesalahan Relatif =

Perbedaan Metode Numerik dan Analisis Numerik

Metode Numerik : algoritma menyangkut langkah-langkah persoalan secara Numerik

Analisis Numerik : terapan matematika untuk menganalisis metode, hal utama yang ditekankan diantaranya adalah analisis galat

I. Akar Persamaan Non Linier

1

Metoda : (a). Bisection (b). Regulafasi ( False Position )

(c). Sekan(d). Iterasi Titik Tetap

II. Interpolasi Metoda perhitungan Poliom Interpolasi yaitu :

1. Polinom Lagrange

2. Polinom Newton

3. Polinom Newton Gregory : ( Forward & Backward)

III. Integral

Metoda : (a). Persegi Panjang(b). Trapesium(c). Simpson

Akar Persamaan Non Linier

METODE BISEKSI

f(x) = 0 menghitung akar dari f(x) , jika r akar f(x) f ( r) = 0

r x0 x2 x1

r f(x)

I xk+1 - xk I <

Yang mengandung akar dari f(x) = 0

PROSEDUR

20 xx

2

!x1 – x0!≤ !x1 – x0!≤ !x1 – x0!≤

akar

Selesai

1. Pilih interval awal [x0 , x1 ] tentukan nilai 2.

3. membuang interval yang tidak berguna tinjau f(x0). f(x2)

Jika f(x0). f(x2) > 0 maka x2 mengantikan x0

Jika f(x0). f(x2) = 0 maka STOP x2 akar

Jika f(x0). f(x2) < 0 maka x2 mengantikan x1

4. STOP. I x1 - x0 I < atau I f(x0) f(x2) I <

Metode Biseksi menjamin bahwa selalu berhasil menemukan akar yang kita cari. Hanya kelemahan dari metode tersebut bekerja sangat lambat karena slalu menentukan titik tengah x2 sebagai titik ujung interval berikutnya, padahal mungkin tadinya sudah mendekati akar.

20 xx

3

Mulai

Menentukan interval awal [x0, x1], menggunakan sketsa grafik atau tabel nilai !x1 – x0!≤ f(x0 )f(x2)>

0

akar

Selesai

x2 = [x0 + x1]/2

ya

tidak tidak tidak

ya ya

Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,1

Itera X0 X1 X2 f(X0) f(X2) f(X0)f(X2) I X0 – X1 I

4

x2 [x0 + x1]/2

f(x0 )f(x2)<0

si

1 1 2 1.5 -1 0,875 -0,875 1

2 1 1,5 1,25 -1 -0,297 0,297 0,5

3 1,25 1,5 1,375 -0,297 0,225 -0,067 0,25

4 1,25 1,375 1,312 -0,297 -0,053 0,016 0,125

Kerjakan f(x) = e x – 5x2 , = 0,01

Iterasi

X0 X1 X2 f(X0) f(X2) f(X0)f(X2) I X0 – X1 I

1 0 1 0,5 1 0,3987 0,3987 1

2 0,5 1 0,75 0,3987 -0,6955 -0,2773 0,5

3 0,5 0,75 0,625 0,3987 -0,0849 -0,0338 0,25

4 0,5 0,625 0,5625 0,3987 0,1730 0,0690 0,125

5 0,5625 0,625 0,5937 0,1730 0,0481 0,0083 0,0625

6 0,5937 0,625 0,6094 0,0481 -0,0174 -0,0008 0,0313

7 0,5937 0,6094 0,6016 0,0481 0,0156 0,0008 0,0157

8 0,6016 ,6094 0,6055 0,0156 -0,0009 -0,00001 0,0078

PROSEDUR METODE REGULAFASI

1. Pilih [ x0 , x1 ] yang memuat akar f(x) ;

5

2.

3. Tinjau f(x0). f(x2)

Jika f(x0). f(x2) > 0 maka x2 mengantikan x0

Jika f(x0). f(x2) = 0 maka STOP x2 akar

Jika f(x0). f(x2) < 0 maka x2 mengantikan x1

4. STOP , jika

(i) atau

(ii)

Lebih cepat dibandingkan dengan metode Biseksi

(X0 ,f(X0 ))

r X1

X0 X2

(X1 ,f(X1 ))Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,01

n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 ) f(X0 ) f(X2 )

6

1 1 2 -1 5 1,167 -0,578 0,578 0,167 0,4162 1,167 2 -0,578 5 1,253 -0,286 0,165 0,074 0,3743 1,253 2 -0,286 5 1,293 -0,131 0,037 0,032 0,3544 1,293 2 -0,131 5 1,311 -0,058 0,007 0,014 0,344

Kerjakan f(x) = e x – 5x2

n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 ) f(X0 ) f(X2

)

1 0 1 1 -2,2817 0,3047 0,8920 0,8920 0,69532 0,3097 1 0,8920 -1,1408 0,6098 -0,0192 -0,0171 0,9690 0,39023 0,3097 0,6098 0,8920 -0,0192 0,6034 0,0080 0,0071 0,9483 0,01054 0,6034 0,6098 0,0080 -0,0192 0,6052 0,0003 0 0,0030 0,00755 0,6052 0,6098 0,0003 -0,0096 0,6052 0,0000 0 0 0,0075

METODE SEKAN

PROSEDUR

1. Pilih x0 dan x1 sembarang, ( akar tidak harus ada di [x0 , x1 ]

2.

3.

4. STOP , jika

7

(i) atau

(ii)

x2 r

x0 x1

f(x )

Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,01

n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 )

1 2 3 5 23 1,722 2,384 0,139 0,4262 3 1,722 23 2,384 1,574 1,325 0,475 0,0863 1,722 1,574 2,384 1,325 1,917 4,128 0,113 0,2184 1,574 1,917 1,325 4,128 1,412 0,403 0,103 0,2635 1,917 1,412 4,128 0,403 1,357 0,142 0,292 0,0396 1,412 1,357 0,403 0,142 1,327 0,010 0,060 0,02278

8


n X0 X1 f(X0 ) f(X1 ) X2 f(X2 )

1 1 2 -0,4366 -12,6109 0,9641 -2,0250 0,0359 0,51802 2 0,9641 -12,6109 -2,0250 0,7659 -0,7821 0,6171 0,20563 0,9641 0,7659 -2,0250 -0,7821 0,6412 -0,1569 0,3349 0,16284 0,7659 0,6412 -0,7821 -0,1569 0,6099 -0,0196 0,2037 0,04885 0,6412 0,6099 -0,1569 -0,0196 0,6054 -0,0006 0,0558 0,00746 0,6099 0,6054 -0,0196 -0,0006 0,6052 0,0003 0,0077 0,000378

NEWTON RHAPSON

S (x0, f(x0))

x1

x0 f(x )

Persamaan garis singgung di S

Y – f(x0) = f ' (x0)( x - x0) ………………………..(*)

Garis singgung tersebut memotong sb – x di titik (x1 , 0)

Dari pers (*) – f(x0) = f ' (x0)( x - x0)

9

Dengan cara yang sama di peroleh bentuk umum :

k= 0,1,2,…

PROSEDUR NEWTON RHAPSON

1. Pilih x0 sebarang ;

2. Tentukan f(x0)

3. Untuk k = 0,1,2,….. Hitung berturut2 :

4. STOP , jika

(i)

(ii)

10

Contoh : f(x) = x3 – x – 1, = 0,1

n X0 f(X0 ) f’(X0 ) X1 f(X1 )

1 2 5 5 1 -1 12 1 -1 -4 0,75 -1,328 1,3283 0,75 -1,328 1,25 1,812 3,137 1,4164 1,812 3,137 4,436 1,105 -0,756 0,3905 1,105 -0,756 2,315 1,432 0,504 0,2966 1,432 0,504 3,296 1,279 0,187 0,1077 1,279 -0,187 2,837 1,345 0,088 0,052


n X0 f(X0 ) f’(X0 ) X1 f(X1 )

1 1 -2,2817 -7,2817 0,6867 -0,3706 0,62942 0,6867 -0,3706 -4,8799 0,6108 -0,0135 0,1105

11

3 0,6108 -0,0135 -4,2661 0,6053 -0,0001 0,00904 0,6053 -0,0001 -4,2212 0,6053 -0,0001 0

METODE ITERASI TITIK TETAP

PROSEDUR:

1. Susun persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x = g(x) 2. Bentuk menjadi 3. Tentukan sebarang , kemudian hitung yang dapat

konvergen ke akar sejati4. STOP

atau

Contoh : f(x) = x3 – x – 1

Iterasi1 2 -2 1,4422 0,55783 1,3467 0,09554 1,3289 0,01785 1,3255 0,00346 1,3249 0,00067 1,3248 0,00018 1,3247 0,00019 1,3247 0


Iterasi

12

1 1 - 7 0,6056 0,00082 0,7373 0,2627 8 0,6054 0,00023 0,6466 0,0907 9 0,6053 0,00014 0,6179 0,02875 0,6091 0,00886 0,6064 0,0027Sistem Persamaan Linier.(SPL)

Menentukan solusi SPL :

EliminasiSubstitusi Hasil (Jawab ) Eksak Metode Eliminasi Gauss JordanMetode Iterasi Gauss Seidel

Contoh : SPL2x + y = 4 ……..(1) x - y = -1……...(2)

Cara Eliminasi

2x + y = 4 2x - 2y = -2

3y = 6 y = 2 x = -1 + y = -1 +2 = 1 x = 1; y = 2

Substitusi(2) x = y -1(1) 2x + y = 4 2(y-1) + y = 4 2y – 2 + y = 4 3y = 6 y = 2

x = 1 ; y = 2

Eliminasi Gauss Yordan

13

x = 1 ; y = 2 Iterasi Gauss Seidel

Contoh : SPL2x + y = 4 ……..(1) x - y = -1……...(2)

;

Nilai awal x0 = 2 ; y0 = 0

Iterasi x y0 2 0 - -1 0,5 3 0,5 32 1,25 1,5 0,75 1,53 0,875 2,25 0,375 0,754 1,0625 1,875 0,1875 0,3755 0,9688 2,0625 0,0937 0,18756 1,0156 1,9688 0,0468 0,09377 0,9922 2,0156 0,0234 0,04688 1,0039 1,9922 0,0117 0,02349 0,9981 2,0039 0,0058 0,011710 1,0010 1,9981 0,0029 0,0058

Contoh : SPL4x - y + z = 7 ……..(1)4x - 8 y + z = -21……...(2)-2x + y + 5z = 15……...(3)

Eliminasi Gauss Yordan

14

x = 2 ; y = 4 ; z = 3

Iterasi Gauss Seidel

4x - y + z = 7 ……..(1)4x - 8 y + z = -21……...(2)-2x + y + 5z = 15……...(3)

; ;

Nilai awal x0 = 1 ; y0 = 2 ; z0 = 2

Iterasi x y z0 1,75 2 21 3,75 1,75 32 1,95 3,96875 2,98625345678910 2 4 3

Interpolasi Polinom

Diketahui (n + 1) titik berbeda , ……….

15

Tentukan polinom Pn(x) yang melalui semua titik tersebut sedemikian sehingga

Yi = Pn(xi) untuk i = 0,1,2,…, n, Yi dari fungsi matematika f(x) missal ln(x) , sin (x) dll

sedemikian sehingga yi = f(xi) sedangkan Pn(x) fungsi hampiran terhadap f(x), dengan yi

adalah nilai empiris diperoleh dari percobaan.

x=a x =b

Jika x0 < xk < xn maka yk = P (xk ) disebut nilai interpolasi

Jika x0 > xk atau xk > xn maka yk = P (xk ) disebut nilai ekstrapolasi

Interpolasi Linier

Adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus

16

Misal dua buah titik dan b, maka polinom yang menginterpolasi ke dua

titik tersebut adalah persamaan garis lurus p1(x) = a0 + a1 x

Contoh : (1)

Jika ln ( 9.0 ) = 2.1972 , ln (9.5) = 2.2513 maka ln ( 9.2 ) = ?

Jawab :

Bandingkan dengan nilai sebenarnya = 2,2192

Contoh : (2)

Berapa Perkiraan jumlah penduduk AS pada tahun 1968 berdasarkan data berikut

Tahun 1960 1970

Jumlah Penduduk ( Juta ) 179,3 203,2

Jawab :

Interpolasi Kuadratik

Melalui Tiga buah titik , dan

P2(x) = a0 + a1 x + a2 x2

a0 + a1 x0 + a2 x02 = y0

a0 + a1 x1 + a2 x12 = y1 gunakan Eliminasi Gauss

17

a0 + a1 x2 + a2 x22 = y2

Contoh :

Ln (8.0) = 2.0794 ; ln (9.0) = 2.1972 ; dan ln (9.5) = 2.2513

Ln ( 9.2) = ?

Jawab :

(8, 2.0794) a0 + 8 a1 + 64 a2 = 2.0794

(9, 2.1972) a0 + 9 a1 + 81 a2 = 2.1972

(9.5 , 2.2513) a0 + 9.5 a1 + 90.25 a2 = 2.2513

Dengan menggunakan Eliminasi Gauss diperoleh :

a0 = 0,6762 ; a1 = 0,2266 ; a3 = - 0,0064

maka polinom nya : P2(x) = 0,6762 + 0,2266 x - 0,0064 x2

Sehingga P2(9,2) = 2,2192

Interpolasi Kubik

Melalui Empat buah titik , , dan

P2(x) = a0 + a1 x + a2 x2

a0 + a1 x0 + a2 x02 + a3 x0

3 = y0

a0 + a1 x1 + a2 x12 + a3 x1

3 = y1 gunakan Eliminasi Gauss

a0 + a1 x2 + a2 x22 + a3 x2

3 = y2

a0 + a1 x3 + a2 x32 + a3 x3

3 = y2

Dengan cara yang sama untuk Interpolasi berderajat n

Metode perhitungan Poliom Interpolasi ( dengan tidak menggunakan cara di atas )

yaitu : 1. Polinom Lagrange

2. Polinom Newton


1. Polinom Lagrange

18

Dari persamaan yang diperoleh :

Bentuk Polinom Lagrange derajat 1 adalah

Sebut

Bentuk umum Polinom Lagrange derajat ≤ n untuk (n+ 1) titik

berbeda adalah

Dengan

Contoh :

Nilai yang berkorespondensi dengan y = adalah :

Xi 300 304 305 307

2.4771 2.4829 2.4843 2.4871

i = 0,1,2,3

Carilah:

19

Maka dengan menggunakan Rumus Polinomial Lagrange di peroleh :

Dengan :

Dengan mensubstitusikan : x = 301 dan

= 300 = 304 = 305 = 307

= 2.4771 = 2.4829 = 2.4843 = 2.4871

Maka di peroleh

2. Polinom Newton

Sehingga diperoleh :

.

20

Karena a0 , a1 ….. an merupakan nilai selisih terbagi maka Polinom Newton dinamakan

Polinom Interpolasi Selisih Terbagi Newton.

Dinyatakan dalam bentuk tabel berikut :

i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3

0 X0 f(X0)

f [X1, X0]

1 X1 f(X1) f [X2, X1 ,X0]

f [X2, X1] f [X3, X2 X1,X0]

2 X2 f(X2) f [X3, X2 X1]

f [X3, X2]

3 X3 f(X3)

Hitung f(9,2) dari nilai –nilai (x,y) pada tabel dengan polinom Newton derajat 3

Dinyatakan dalam bentuk tabel berikut :

i xi yi=f(xi) ST-1 ST-2 ST-3

0 8 2,079442

0,117783

1 9 2,197225 -0,006433

0,108134 0,000411

2 9,5 2,251292 -0,005200

0,097735

3 11,0 2,397895

21


Merupakan kasus khusus dari Polinom Newton untuk titik yang berjarak

sama.Sehingga rumus Polinomnya menjadi lebih sederhana, selain itu tabel selisih

terbaginya pun menjadi lebih mudah terbentuk , dan tabel tersebut hanya sebagai

Tabel Selisih saja , karena tidak ada proses pembagian dalam pembentukan elemen

tabel.

Ada 2 macam Tabel Selisih , yaitu -Tabel Selisih Maju ( Forward Difference) dan

-Tabel Selisih Mundur ( Backward Difference)

Karena itu ada 2 macam Polinom Newton Gregory yaitu :

- Forward Newton Gregory

- Backward Newton Gregory

1.Tabel Selisih Maju ( Forward Difference)

I xi yi=f(xi)

0 X0 f(X0) = f0

1 X1 f(X1)

22

2 X2 f(X2)

3 X3 f(X3)

, dimana h = x1 –x0

Bentuk umum

Rumus Polinom

Bentuk Umum Forward Newton Gregory

Karena titik berjarak sama xi =x0+ ih, i =0,1,2,…n

Dan nilai x yang diinterpolasi adalah x = x0+ sh atau

Sehingga Bentuk Umum Forward Newton Gregory

2.Tabel Selisih Mundur ( Backward Difference)

I xi yi=f(xi)

-3 X-3 f(X-3)

-2 X-2 f(X-2)

-1 X-1 f(X-1)

23

0 X0 f(X0)

Bentuk umum

Bentuk Umum Backward Newton Gregory

dimana

24

Integral Numerik

Misal f(x) > 0 yang terletak diantara interval [a,b]

secara numerik dipandang sebagai luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x)

;x=a, x=b & sumbu x

f(x)

a b

METODE ( Aproksimasi )

1. Persegi Panjang

Daerah integral di bagi-bagi menjadi n buah subinterval dengan lebar interval

sama.

a. Tinggi diambil dari Ujung Kiri SubInterval

h =

f(x) y0 y1 y2 y3

I II III IV

25

h h h h

a b

I = h

b. Tinggi diambil dari Ujung Kanan SubInterval

f(x) y1 y2 y3 y4

I II III IV

h h h h

a b

I = h

c. Tinggi diambil dari Titik Tengah SubInterval

f(x) y1 y2 y3 y4

I II III IV

h h h h

a b

I = h

Contoh :

Hitung

Dengan menggunakan Kalkulus dasar ;

26

Perhitungan dengan menggunakan Metode Persegi Panjang :

a. Tinggi diambil dari Ujung Kiri SubInterval

Daerah yang terbentuk adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 ,

garis x = 0 ,x = 4 dan sumbu x

Misal daerah dibagi menjadi 4 subinterval (n=4)

I = h

h = =1

I = 1 { f(0) + f(1) + f(2) + f(3) } = 1 { 0 + 1 + 4 + 9 } = 14

b. Tinggi diambil dari Ujung Kanan SubInterval




I = h

h = =1

I = 1 { f(1) + f(2) + f(3) + f(4) } = 1 { 1 + 4 + 9 + 16 } = 30

c. Tinggi diambil dari Titik Tengah SubInterval




Ambil nilai tengah antara subinterval

I = h

h = =1

27

I = 1 { f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) }

= 1 { 0,25 + 2,25 + 6,25 + 12,25} = 21

2. Trapesium


sama.

h =

f(x) y0 y1 y2 y3 y4

I II III IV

h h h h

a b

I = LI + LII + LIII + LIV =

= h/2

I =

Contoh :

Hitung




h = =1

I =

28

= ½ {f( 0) + 2.f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4) } = ½( 0 + 2 + 8 + 18 + 16)=22

3. Simpson


sama.( n adalah kelipatan dua )

h =

Pada Pendekatan Integral numerik menggunakan metode Simpson kita gunakan

pendekatan dengan cara trapesium dengan mengambil dua subinterval dengan

mengasumsikan pengambilan dua buah trapesium yang berdampingan kurva yang

terbentuk mendekati bentuk kurva parabola.Untuk itu perhitungan integral dengan

cara simpson tersebut hasil nya untuk kurva berpangkat kurang atau sama dengan

dua mendekati nilai sebenarnya ( perhitungan dengan kalkulus dasar )

f(x) y0 y1 y2 y3 y4

I II III IV

h h h h

a

2h 2h

Ih = ……..(1)

Untuk k = 2h

Ik = ……….(2)

Integral Trapesium .

I = Ih + c h2 ……….(3) I = Ih + c h2 = Ik + c k2

I = Ik + c k2 ………. (4) Ih - Ik= c (k2 - h2 )

error trapesium c = = =

29

Dari persamaan (3) jika di subtitusikan nilai c = diperoleh

I = Ih + .

= Substitusikan persamaan(1) dan (2)

I = -

I =

Contoh :

Hitung




h = =1

I =

= 1/3 {f(0) + 4f(1) + 2 f(2) + 4 f(3) + f(4) }

= 1/3 ( 0 + 4 + 8 + 36 + 16 )

I = 64/3 = 21,3333

Perhitungan integral dengan metode tersebut sangat mendekati nilai sebenarnya.

30

Documents

numerik-1