Números complejos

Introducción

Resolver las ecuaciones:

Los números complejos en forma binómica se escriben:

Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria.

• Si b = 0 tenemos un número real• Si a = 0 tenemos un número imaginario puro

Dos números complejos son iguales, si sus partes reales e imaginarias son iguales respectivamente.

Un número complejo conjugado de otro tiene igual su parte real y opuesta su parte imaginaria:

Unidad 5. Números complejos 1º BCNS/BT

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Operaciones con números complejos en forma binómica (I)

- Suma y resta de números complejos: se suman o restan las partes reales y las imaginarias entre sí:

- Producto de números complejos: se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta

- Cociente de números complejos: se racionaliza el denominador, e.d., multiplicando numerador y denominador por el complejo conjugado del denominador.

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Operaciones con números complejos en forma binómica (II)

- Potencias de números complejos: se hacen desarrollando la potencia del binomio y teniendo en cuenta las potencias de i.

Ejercicios1. 2. 3. Calcular x e y para que : 4. Calcular: 5. Calcular:

6.

7.

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Representación gráfica de un número complejo

Sobre unas coordenadas cartesianas se representa en el eje de abscisas la componente real y en el de ordenadas la componente imaginaria.

Asociamos a cada número complejo un vector, cuyo origen es el origen de coordenadas, O, y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a,b), al que llamamos afijo del número complejo.

- El módulo de un número complejo es el módulo del vector que le representa.

- El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con el vector que representa al número complejo.

Para saber cual de los dos ángulos que cumplen la condición es el argumento, se miran los signos de a y de b y se escoge el ángulo del cuadrante que corresponde con esos signos.

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Forma trigonométrica y polar de un número complejo

A partir de un número complejo en forma binómica, se calcula su módulo y su argumento para expresarle en forma polar y trigonométrica.

Forma trigonométrica: Forma polar o módulo argumental:

Ej. 8: Escribir en las 3 formas posibles los siguientes complejos:

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Producto de complejos en forma polar

El producto de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos.

Demostración:

Ej. 9: Calcular:•

•

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Cociente de complejos en forma polar

El cociente de dos números complejos en forma polar es otro número complejo que tiene por módulo el cociente de los módulos y por argumento la resta de los argumentos.

Demostración:

Ej. 10: Calcular:•

•

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Potencias de números complejos en forma polar

La potencia n-ésima de un número complejo es otro número complejo que tiene por módulo la potencia n-ésima del módulo y por argumento, n veces el argumento del complejo dado.

Ej. 11: Calcular: Sol.:

Ej. 12: Calcular: Sol.:

Ej. 13: Calcular: Sol.:

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Fórmula de Moivre

Si expresamos la fórmula en forma trigonométrica: , que para r = 1,

resulta:

Ej. 14: Comprobar la fórmula de Moivre para n = 2.

Desarrollando llegamos a:

Resultados que ya hemos visto en trigonometría.

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Raíces de números complejos en forma polar

Las raíces n-ésimas de un número complejo son n números complejos,

que tienen de módulo la raíz n-ésima del módulo y por argumento

dando valores a la k se obtienen todas las soluciones.

Ej. 15: Calcular: Sol.:

Ej. 16: Calcular:

Sol.:

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Teorema fundamental del álgebra

Toda ecuación algebraica de grado n, con coeficientes reales o complejos, tiene n raíces ó soluciones.

Ej. 17: Resolver:

Sol.

Sol.

Sol.

Ej. 18: Encuentra una ecuación que tenga por raíces: Z1 = 2, Z2 = 1 -4i, Z3 = -3 y Z4 = 1 + 4i

Sol.:

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Ejercicios

19. Dado el número complejo z = 1 – 2i, se pide:• ¿Qué valor ha de tener x para que 3x – 2i = z?• Calcula el opuesto de su conjugado.• Calcula el conjugado de su opuesto.

20. Calcular: • (2 + 3i) (1 – 2i)• - 3 (4 + i)• 2i ( 3 – 4i)• (2 + i) (2 – i)• (4 + 5i) (4 + 5i)

•

•

21. Expresa el número en forma trigonométrica y polar.

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En esta unidad hemos aprendido:

•Qué es un número complejo•Operaciones con números complejos en forma binómica•Representación gráfica de números complejos•Forma trigonométrica y polar de un número complejo•Producto y cociente de complejos en forma polar•Potencias y raíces de números complejos en forma polar•Teorema fundamental del álgebra