Números, O levantar do véu - mat.uc.ptmat1042/docs/am/RelatorioAM1Final.pdf · Números, O levantar do véu Trabalho realizado no âmbito da disciplina Actividades Matemáticas

Números,

O levantar do

véu

Trabalho realizado no âmbito da disciplina Actividades Matemáticas do 1º Ano do

Mestrado em Ensino da Matemática no 3º Ciclo do ensino Básico e no ensino

Secundário

Trabalho realizado por:

Ana Silva

Nuno Pena

Actividades Matemáticas

2 | P á g i n a

Conteúdo Conteúdo ....................................................................................................................................... 2

Introdução ..................................................................................................................................... 3

História dos Números .................................................................................................................... 4

Milhares, Biliões e outros Ziliões ............................................................................................... 4

Como se escrevem os números ................................................................................................ 6

O sistema na Babilónia .......................................................................................................... 6

O sistema Grego .................................................................................................................... 6

O sistema Romano ................................................................................................................ 7

O sistema Egípcio .................................................................................................................. 7

Números hindu-árabes .......................................................................................................... 8

Números noutras bases ........................................................................................................ 8

Espécies de números ............................................................................................................. 9

Alguns números “especiais” .................................................................................................. 9

FORMAS DE NÚMEROS: ARITMÉTICA E ÁLGEBRA FEITAS COM GEOMETRIA ............................. 10

Os padrões geométricos proporcionam bonitas demonstrações ........................................... 10

Noves fora nada ...................................................................................................................... 10

As cores revelam padrões ....................................................................................................... 11

Números quadrados ................................................................................................................ 12

Números triangulares.................................................................................................................. 14

Números poligonais .................................................................................................................... 18

Conclusão .................................................................................................................................... 21

Bibliografia/ Webgrafia: .............................................................................................................. 22


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Introdução Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Actividades Matemáticas com o

objectivo de promover conteúdos programáticos relacionados com a história do número,

desde o aparecimento da palavra “número” até ao relacionar de outras palavras com números

e quantidades, de padrões criados por determinados números e por vezes dos padrões

associados aos números quando estes são coloridos. Para além de promover estes conteúdos

matemáticos expositivamente também criamos actividades lúdicas para que a recepção desses

conteúdos matemáticos por parte dos alunos seja facilitada e realizada da forma mais atractiva

possível por todos da forma mais diversa possível.


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História dos Números

Ao longo da história, número e números têm tido uma grande influência na nossa

cultura e na nossa linguagem. Há muitas palavras associadas aos números, por exemplo,

bicicleta tem duas roas, um tripé tem três pés, um octogenário já viveu 8 décadas, etc.

A história dos números começa antes da nossa própria história. Certas aves são

capazes de se aperceber se foi retirado algum ovo do seu ninho. Provavelmente terão uma

ideia primária sobre o número de ovos que lá deveria estar. Dantzig descreve uma experiência

em que os corvos reconhecem até quatro homens

A palavra “número” é de origem indo-europeia e significa “porção” ou “parte” e parece

estar originalmente ligada à divisão da terra.

Actualmente utilizamos o sistema decimal mas há sinais da utilização de base 20 e 60 e

existem também muitas palavras associadas a números em diversas línguas como são

exemplos “unifica” para 1, “Twilight” para 2, “Trivium” as 3 artes liberais: Gramática, Retórica

e Lógica, “Quadrivium” para a Aritmética, a Música, a Geometria e a Astronomia, etc.

Destacamos também mais alguns exemplos que nos cativaram tais como os números de 7 a

10, Setembro, Outubro, Novembro e Dezembro que devem os seus nomes ao facto de

corresponderem ao sétimo, oitava, nono e décimo mês do antigo calendário romano. Também

se sabe que em alguns hotéis não existe o quarto com o número 13 por causa da

triscaidecafobia1. Todos nos lembrados do “Centurião” das histórias do Asterix que era

composto por cem soldados romanos.

Milhares, Biliões e outros Ziliões Cerca de 1484 N. Chuquet inventou as palavras bilião, trilião, …, nonilião para denotar

a 2ª, 3ª, …, 9ª potência do milhão. Em meados do século XVII outros aritméticos usaram os

mesmos nomes mas de forma distinta, para a 3ª, 4ª, … 10ª potência de um milhar.

Actualmente os europeus utilizam o sistema de Chuquet o os americanos a outra forma.

Em 1991 a Conferência Geral de Pesos e Medidas recomendou o uso de prefixos

numéricos indicados a seguir (onde os nomes dos números estão no sistema americano):

1 Temor ou fobia ao número treze.


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Designar-se-á por Zilião qualquer uma das palavras terminadas em ilião com o

� � é�� ilião a valer 10� no sistema europeu e 10�� no sistema americano. Os nomes

dos primeiros 9 Ziliões são: Milhão; Bilião; Trilião; Quadrilião; Quintilião; Sextilião; Septilião;

Octilião; Nonilião; Centilião (para o 100º Zilião).

Podemos obter os nomes para todos os Ziliões desde o 10º até ao 999º combinando

partes das colunas apropriadas da seguinte tabela e substituindo a vogar terminal por ilião.

Regra do “XiliYiliZilião”: designa o (1000000X+1000Y+Z)º usando o �� é��

Zilião quando necessário para marcar posição. Por exemplo, o Zilião de ordem um Milhão e

três designa-se por “milinilitrilião”.

A seguir apresentamos a tabela de nomes para as potências de 10.


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Como se escrevem os números

O sistema na Babilónia Muitos dos conhecimentos sobre a Mesopotâmia chegaram até nós em placas de

barro. Supõe-se que por volta de 2500 a.C. existiam já escolas de escribas, que preparavam os

jovens para as diferentes tarefas exigidas por uma burocracia complexa. A matemática da

Mesopotâmia tinha fundamentalmente um conteúdo e uma conceptualização que podemos

chamar aritmético-algébrica, em termos actuais. Foi evidenciado que as operações envolvidas

não podiam ser operações com números, mas operações concretas sobre figuras geométricas,

ainda que de carácter intuitivo.

No séc. XXI a.C. começa a ser utilizado nos textos matemáticos o sistema de

numeração posicional sexagésimal com os números escritos da direita para a esquerda. Foi por

intermédio da placa de Larsa que se pôde concluir que os babilónios usavam um sistema de

numeração posicional de base 60. Os babilónios utilizavam a escrita cuneiforme constituída

por apenas dois símbolos: (=1) e (=10). Não tinham um símbolo para o zero, deixavam

algumas vezes espaços em branco, mas nunca esse espaço em branco aparecia no fim; no

período selêucida, em vez de espaços em branco, aparece o símbolo “dois triângulos

sobrepostos” mas que também nunca é utilizado no fim da representação do número.

Também não tinha vírgula sexagésimal.

O sistema Grego Os gregos utilizavam as próprias letras do alfabeto para representar os números, o

problema inicial é que tinham apenas 24 letras e precisavam de 27 o que levou ao

reaparecimento de três novas letras (para representar o 6, o 90 e o 900). Eles utilizavam o

seguinte sistema:


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O sistema Romano O sistema de numeração romana era baseada num outro sistema semelhante utilizado

pelos Etruscos donde provinham originalmente as letras I, V, X, L, C, D e M.

Exemplo:

O sistema Egípcio Os documentos originais de conteúdo matemático egípcio não são muitos,

destacando-se os seguintes: papiro de Rhind, o papiro de Moscovo, papiro de Kahum, papiro

de Berlim e o Rolo das Matemáticas Egípcias. O papiro de Rhind, era escrito da direita para a

esquerda e na parte interior do rolo. Contém cálculos com números inteiros e fracções

unitárias, e problemas (87 problemas). O papiro de Moscovo é anterior ao papiro de Rhind,

cerca de 2 séculos antes e contém 25 problemas, quase todos semelhantes com os do papiro

de Rhind. O conteúdo do papiro inclui cálculos com números inteiros e fracções unitárias.

Dizem respeito à distribuição de broas de pão ou canecas de cerveja. Provavelmente o papiro

destinava-se à iniciação dos escribas na arte do cálculo, teria uma função análoga à de um

manual escola.

Os egípcios utilizavam um sistema de numeração de base 10, do tipo repetitivo. Para

os números de 1 a 9 repetiam um pequeno traço vertical e depois tinham símbolos para as

diferentes potências de 10, desde 10 até

escrevia-se da direita para a esquerda. Observemos a tabela dos hieróglifos.

Exemplo:

Números hindu-árabes É o sistema de numeração utilizado actualmente. Forma

dígitos, o 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 e é vulgarmente conhecido como sistema de notação árabe.

No entanto a sua origem é hindu tendo sido transmitida à Europa por intermédio de

académicos árabes.

Números noutras bases Pode-se definir um sistema de numeração semelhante ao hi

base um outro qualquer número natural N. No sistema de base N, a representação zxyw

significa:


Papiro de Rhind



diferentes potências de 10, desde 10 até 10�. Estes símbolos eram os hieróglifos e o número

se da direita para a esquerda. Observemos a tabela dos hieróglifos.

É o sistema de numeração utilizado actualmente. Forma-se por justaposição de dez

4, 5, 6, 7, 8 e 9 e é vulgarmente conhecido como sistema de notação árabe.


se definir um sistema de numeração semelhante ao hindu-árabe usando para

tro qualquer número natural N. No sistema de base N, a representação zxyw

�� ,


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s símbolos eram os hieróglifos e o número

se por justaposição de dez

4, 5, 6, 7, 8 e 9 e é vulgarmente conhecido como sistema de notação árabe.


árabe usando para

tro qualquer número natural N. No sistema de base N, a representação zxyw


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onde os dígitos z, x, y e w variam entre 0 e N-1. Hoje em dia, os computadores utilizam o

sistema binário mas o sistema octal (de base 8) e o sistema hexadecimal (de base 16) podem

ser facilmente convertidos para o sistema binário.

Exemplos de números binários:

Espécies de números Existem os números naturais 1, 2, 3, …, as fracções ou números racionais, os números

irracionais e alguns dos quais não se podem escrevem como fracções, os números algébricos,

os números negativos, os números complexos e os números transcendentes.

Alguns números “especiais”


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FORMAS DE NÚMEROS: ARITMÉTICA E ÁLGEBRA FEITAS COM GEOMETRIA

Os padrões geométricos proporcionam bonitas demonstrações Podemos aprender aritmética escrevendo apenas linhas de números. Observemos a

figura abaixo.

Fig. 1 - Números e Cores (que revela as classes residuais em colunas)

Se se escreverem linhas apenas com dois números, a coluna à esquerda contém os

números pares, enquanto que a coluna à direita contém os números ímpares.

As colunas de números formam conjuntos dos números que deixam o mesmo resto

quando divididos pelo número de números de cada linha. A estes conjuntos chamamos de

classes residuais.

Na figura apresentada distingue-se as classes residuais pela cor. Por exemplo, a sexta

coluna (roxa) na sexta secção, contém os números iguais a um múltiplo de 6 mais 5, isto é, os

números que são congruentes com 5 módulo 6.

Uma das muitas contribuições de Carl Friedrich Gauss (1777-1855) para a teoria dos

números foi a aritmética das classes residuais. Dois números dizem-se congruentes módulo �

quando a sua diferença for divisível por �.

Noves fora nada Para fazer a prova dos nove, é preciso somar todos os seus dígitos subtraindo 9

sempre que possível. Para verificar adições, subtracções e multiplicações deitam-se os noves

fora, repetidamente e as operações que se pretende verificar devem permanecer válidas.

Por exemplo, deitando noves fora em 239 e 4649, obtém-se 5 em cada caso; então no

produto destes dois números dever-se-á obter 5 � 5 � 25 2 � 5 � 7, o que está de acordo

com o resultado 239 � 4649 � 1111111 7. De modo semelhante se pode testar a conta

127 � 9721 � 1234567, que ficará para exercício.

Suponha-se agora que se pretende verificar que:

2�� 1 � 4294967297 � 641 � 6700417


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As somas dos dígitos dos dois factores são 11 e 25 e as somas dos dígitos destes são 2

e 7, respectivamente; o produto de 2 por 7 dá o número 14, cujos dígitos somam 5. A soma

dos dígitos do número maior é 59, o qual tem dígitos que somam 14, e então, noves fora, 5.

Contudo, esta concordância não garante que o número maior seja realmente igual ao

produto dos outros dois. O teste não detecta os erros cometidos, por exemplo, na ordenação

dos dígitos. No entanto, fica assegurado que exceptuando uma eventual troca de 0 por 9, e

vice-versa, nenhum outro erro de escrita num só dígito pode ter sido cometido.

As cores revelam padrões Construindo uma das secções da Fig.1 com as peças coloridas de outra secção, obtém-

se padrões regulares desenhados pelas classes residuais. Se o comprimento de uma linha for

ímpar, então os números ímpares e os pares formam um padrão axadrezado.

Se o módulo, isto é, o número de colunas, não for um múltiplo de 3, as classes

residuais módulo 3 aparecem em tiras diagonais.

As classes residuais módulo 4 formam colunas ou diagonais, ou (quando o

comprimento da linha for um número par isolado, da forma 4� � 2, divisível por 2, mas não

por 2�, por ex. 6 ou 10) um desenho que faz lembrar o movimento dos cavalos num jogo de

xadrez.

O movimento dos cavalos é visível com a classe residual módulo5 quando o

comprimento da linha é congruente com &2 módulo5, como se observa na imagem abaixo.


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Números quadrados

Se juntarmos todas as primeiras colunas das secções da Fig.1, obtém-se a tabela de multiplicação cuja diagonal principal é constituída pelos números quadrados, como se pode observar na figura seguinte:

1111 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4444 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9999 12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16161616 20 24 28 32 36 40

5 10 15 20 25252525 30 35 40 45 50

6 12 18 24 30 36363636 42 48 54 60

7 14 21 28 35 42 49494949 56 63 70

8 16 24 32 40 48 56 64646464 72 80

9 18 27 36 45 54 63 72 81818181 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100100100100

Pode notar-se na figura seguinte que os números quadrados se localizam em parábolas.

Para os antigos Gregos, gnómon (conhecedor) era uma peça que podia juntar-se a uma figura para produzir uma figura da mesma forma, mas de tamanho maior, o que teve a sua origem na forma do gnómon de de um relógio de sol (conhecedor do tempo).


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Os gnómons da figura abaixo ajustam-se uns aos outros, mostrando que a soma dos primeiros � números ímpares é igual ao � � é�� número quadrados, ��. A adição de mais um gnómon ilustra a identidade.

�� '2� � 1( � '� � 1(�


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Números triangulares

Os números triangulares constroem-se com a junção de um gnómon em forma de

linha.

Denota-se por Δ* o n-ésimo número triangular.

Se pusermos dois números triangulares de lado � justapostos obtemos um rectângulo de lado � e � � 1.

O Δ* tem tamanho �� '� � 1(. Vejamos a justificação na seguinte demonstração

algébrica, por indução:

Para � � 1 vem �� . 1'1 � 1( � �

� . 2 � 1 e que é verdadeiro.

Vamos agora supor que é verdadeiro para � � 1, ��,ã�: 1 � 2 � / � '� � 1( � 1

2 '� � 1(� � 12 . �� 1

2 �

Adicionando � aos membros obtemos:

012 �� 1

2 �1 � � 12 . �� 1

2 � � 12 �'� � 1(

Como determinar a soma de qualquer progressão aritmética, ou sequência de �

números equiespaçados 2, 3, 4, … , �, �, �?

Podemos utilizar o “método de tubo de órgão” onde a soma de � números

equiespaçados, cujos primeiro e último termos são 2 e �, respectivamente, é igual a � vezes a

sua média aritmética, ou seja:

� � 2 � �2


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A soma dos primeiros � números

ímpares é ��.

Exemplo:

62�2 �� ,�� ,�� 5 � 21 8��: 7 � 5 � 212 � 81

Curiosamente, a soma de números ímpares dá números quadrados ou cúbicos.

Podemos verificar através de uma actividade mas também podemos observar na

próxima figura que a soma dos primeiros números ímpares a começar por 1 dá números

quadrados. Se em cada linha começarmos pelo número ímpar não utilizado na linha anterior

obtemos os números cúbicos.

A justificação para este método reside no facto de 2 � � � 3 � � � 4 � � � /, onde

2 é o primeiro termo, 3 o segundo termo, …, � o penúltimo e por último o �.


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Como podemos observar na próxima figura, a soma de dois números triangulares

consecutivos é um número quadrado.

Para melhor observarmos, temos o número em versão triângulo colorido com os dois

números triangulares coloridos de modo diferente e a versão em que o triângulo é formado

por números ímpares consecutivos.

Simbolicamente podemos representar por:

Δ* � Δ* � � 1 � 2�. . �� 1 � 2�. . �'� � 1( � 1 � 3 � 5�. . �'2� � 1(

Vejamos também as seguintes relações entre números triangulares:

3Δ* � Δ*:� � Δ�* 3Δ* � Δ* � � Δ�* �


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Facilmente observamos pela figura abaixo que um número quadrado é congruente

com 1 módulo 8.

'2� � 1(� � 8Δ* � 1 � Δ*:� � 6Δ* � Δ* �

Exercícios: Criar um quadrado de lado 6.


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Números poligonais

Os números poligonais podem ser de vários tipos e obtêm-se adicionando os primeiros

� termos de uma progressão aritmética apropriada começada por 1. O número de lados do

polígono correspondente a cada tipo de números é igual à diferença comum entre dois termos

da respectiva progressão somando-lhe dois. Ou seja,

;<'=>( � ?* � ?*:� � 2

Vejamos exemplos para os polígonos conhecidos.

Números de contagem, números triangulares e números quadrados, já foram

visitados neste trabalho.

1, 2, 3, 4, 5, …

Exemplo 1: Temos a progressão aritmética ?*: 1, 1, 1, 1, 1…, tomemos � � 4, então

;<'=>( � ?@ � ?@:� � 2 � 2. Então o polígono tem 2 lados, como facilmente observamos na

imagem em cima (lado esquerdo e direito) bem como os números de contagem.

1, 3, 6, 10, 15, …

Exemplo 2: Temos a progressão aritmética ?*: 1, 2, 3, 4, 5 … tomemos � � 3, então

;<'=>( � ?� � ?�:� � 2 � 3 Então o polígono tem 3 lados, como facilmente observamos na

imagem em cima (base, lado superior esquerdo e direito) bem como os números triangulares.

1, 4, 9, 16, 25, …


;<'=>( � ?A � ?A:� � 2 � 9 � 7 � 2 � 4 Então o polígono tem 4 lados, como facilmente

observamos na imagem em cima (lado inferior esquerdo e direito bem como lado superior

esquerdo e direito) bem como os números quadrados.

Números pentagonais

1, 5, 12, 22, 35, …


;<'=>( � ?� � ?�:� � 2 � 5 Então o polígono tem 5 lados, como facilmente observamos na

imagem em cima onde também estão os números pentagonais.


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Números hexagonais

1, 6, 15, 28, 45, …

Exemplo 5: Temos a progressão '?*( � 1, 5, 9, 13, 17, … tomemos � � 3, então

;<'=>( � ?� � ?�:� � 2 � 9 � 5 � 2 � 6 Então o polígono tem 6 lados, como facilmente

observamos na imagem em cima onde também estão os números hexagonais.

Os nomes destes números poligonais resultam dos arranjos feitos pelos desenhos e já

eram estudados no tempo de Pitágoras (540 a.C.).

Questão: O terceiro elemento à direita de cada sucessão é divisível por três e o quinto

elemento por cinco, será que o sétimo será divisível por sete?

Podemos construir os números poligonais �<'*( juntando a um número de ordem

imediatamente anterior, �'<:�('*( e o número triangular Δ*:�. Ou seja:

�<'*( � �'<:�('*( � Δ*:�, B C 1, � C 1

Outras formas de construção:

Esta forma foi observada por nós e constituída à com base nos triângulos, ou números

triangulares:

�<'*( � 'B � 3(��'*:�( � ��'*(, B C 3, � C 1

NOTA: Coloca-se B C 3 por uma questão de uniformização dos nomes, isto é, quando

B � 4, falamos dos números quadrados, B � 5, falamos dos números pentagonais, etc.

Outra forma é:

• � � Δ*:� � Δ* é o � � é�� número triangular;

• Δ* � Δ*:� � � � 2Δ*:� � �� é o � � é�� número quadrado;

• �� Δ*:� � � � 3Δ*:� � �� '3� � 1( é o � � é�� número pentagonal;

• � � 4Δ*:� � �'2� � 1( é o � � é�� número hexagonal;

E por aí sucessivamente. O número poligonal com p lados e n bolhas em cada lado é

igual a:

� � 'B � 2(Δ*:� � 12 B�'� � 1( � �'� � 2(


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Como podemos ver nas figuras acima e, já tínhamos observado anteriormente que o

� � é�� número hexagonal pode ser escrito como uma combinação de números

triangulares. Contudo, apenas os números triangulares com um número ímpar de “bolhas” de

cada lado são também hexagonais.

Também podemos verificar que a cada número pentagonal é igual a um terço de um

número triangular.

Alguns autores também falam do “números hexagonais” para representar as figuras

das imagens abaixo. (mas para distinguir dos anteriores vamos chamava-lhes como chamava

Martin Gardner, os Hexanúmeros).

O � � é�� hexanúmero é:

DEFG � 1 � 6Δ*:� � 1 � 3� � 3��

Os hexanúmeros são congruentes com 1 módulo 6.

Os números quadrados centrados são sempre congruentes com 1 módulo 4 pois estes

podem-se decompor numa soma de dois quadrados consecutivos, dos quais um é par e o

outro é ímpar. (podemos observar os números quadrados centrados nas próximas figuras.


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Conclusão Este relatório que serviu-nos de base para a realização da apresentação do

PowerPoint. Também criamos uma ficha de trabalho/ actividades que foi evoluindo à medida

que as ideias e a criatividade fluía e se interligava. Houve exercícios que nos estimularam e

despertaram uma curiosidade para saber qual o efeito que produzirá sobre os colegas que

resolverão essas actividades e que simultaneamente fomos testando afim de aferir a sua

eficácia pedagógica. De uma forma geral estamos extremamente satisfeitos com todas as

actividades criadas e de alguma forma surpreendidos com alguns dos resultados produzidos

fruto, de alguma da nossa criatividade.


22 | P á g i n a

Bibliografia/ Webgrafia:

http://demonstrations.wolfram.com/PolygonalNumbers/ [12-Fev-2011; 12:47]

http://www.esec-povoa-lanhoso.rcts.pt/ESPLv5/projectos/babylonian_numerals%5B1%5D.jpg

[13-Fev-2011; 19:52]

Conway, John H., Guy, Richard K., O Livro dos números, Universidade de Aveiro – Gradiva.

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