GISELE POLYANA RODRIGUES PEREIRA

O ENSINO DAS CNICAS ATRAVS DE ESTUDOS

CONTEXTUALIZADOS AT SUA CONCEPO NA

GEOMETRIA ANALTICA: PARBOLA

LAVRAS - MG

2013

GISELE POLYANA RODRIGUES PEREIRA

O ENSINO DAS CNICAS ATRAVS DE ESTUDOS

CONTEXTUALIZADOS AT SUA CONCEPO NA GEOMETRIA

ANALTICA: PARBOLA

Trabalho de Concluso de Curso apresen-tado Universidade Federal de Lavras,como parte das exigncias do Programa dePs-Graduao Profissional em Matem-tica, rea de concentrao em Matemtica,para a obteno do ttulo de Mestre.

Orientador

Dr. Agnaldo Jos Ferrari

LAVRAS - MG

2013

Ficha Catalogrfica Elaborada pela Diviso de Processos Tcnicos da

Biblioteca da UFLA

Pereira, Gisele Polyana Rodrigues.

O ensino das cnicas atravs de estudos contextualizados at sua

concepo na geometria analtica : parbola / Gisele Polyana Rodrigues Pereira. Lavras : UFLA, 2013.

1 p. : il.

Dissertao (mestrado) Universidade Federal de Lavras, 2013.Orientador: Agnaldo Jos Ferrari.

Mestrado Profissional em Matemtica.

Bibliografia.

1. Parablico. 2. Coordenada polar. 3. Rotao de eixo. 4.

Ensino Mdio. 5. Material didtico. 6. Formao de professores. I. Universidade Federal de Lavras. II. Ttulo.

CDD 373.133

GISELE POLYANA RODRIGUES PEREIRA

O ENSINO DAS CNICAS ATRAVS DE ESTUDOS

CONTEXTUALIZADOS AT SUA CONCEPO NA GEOMETRIA

ANALTICA: PARBOLA

Trabalho de Concluso de Curso apresen-tado Universidade Federal de Lavras,como parte das exigncias do Programa dePs-Graduao Profissional em Matem-tica, rea de concentrao em Matemtica,para a obteno do ttulo de Mestre.

APROVADO em 13 de maro de 2013.

Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa UFLA

Dra. Grasiele Cristiane Jorge UNICAMP

Dr. Agnaldo Jos FerrariOrientador

LAVRAS - MG

2013

As pessoas mais importantes de minhavida, minha famlia.

DEDICO

AGRADECIMENTOS

A Deus, por me ter mostrado que a f e a persistncia so peas fundamen-

tais na construo de um sonho e que vencer nossas dificuldades nos faz crescer

espiritualmente e nos permite ir alm do que poderamos imaginar quando estva-

mos no incio da caminhada;

A quem mais amo, meu marido Cleibe, que sempre me apoiou e incentivou

nesta caminhada;

Ao meu filho Pedro Henrique e a minha sobrinha e afilhada Julia que so

a alegria do meu viver;

Aos meus pais; Sebastio e Lenir, minhas irms; Eveline e Jaqueline e

meu cunhado Alex, pelo carinho e empenho;

Maria, pela dedicao e todos da minha famlia que sempre estiveram

ao meu lado;

Universidade Federal de Lavras (UFLA) e ao Departamento de Cincias

Exatas (DEX), pela oportunidade concedida para a realizao do mestrado;

Aos professores do Departamento de Cincias Exatas da UFLA, pelos en-

sinamentos transmitidos;

Ao professor Agnaldo Jos Ferrari pela pacincia, amizade e dedicao,

pois os conhecimentos e experincias por ele repassados foram de grande impor-

tncia no cumprimento desta etapa e para o meu crescimento profissional;

s professoras Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa e Dra.

Grasiele Cristiane Jorge, pela disposio em servir;

A amiga Adriana, pela amizade e por suas contribuies sempre que pre-

cisei;

A todos os meus colegas do mestrado, em especial, Neder, Rodnei, Eli-

sngela, Amanda e Lucia, pelo companheirismo;

coordenadora do Plo Educao e Integrao Marlene Naves Car-

doso, Liliane Pereira e Freitas e diretora da Escola Estadual Carmelita Carvalho

Garcia, Maria Aparecida Pinheiro Cardoso, pela compreenso nos momentos de

dificuldade.

RESUMO

As cnicas so utilizadas atualmente em astronomia, engenharia, arquite-tura, fsica e em vrias outras reas. Porm, o estudo das cnicas fica restringidoao Ensino Mdio, e na maioria dos casos, nem no Ensino Mdio trabalhado. Emmuitos livros didticos encontrados nas escolas, o ensino das cnicas se restringea memorizao de frmulas sem o entendimento das propriedades e conceitos portrs delas. Apolnio foi o primeiro a se aprofundar no estudo das cnicas. Keplerestabeleceu que as rbitas dos planetas fossem elpticas, e desde ento o uso daelipse ganhou importncia na astronomia. Ela tambm utilizada para construode alguns tipos de refletores e nas cmaras de sussurros, que utilizam suas propri-edades de reflexo nos focos. No mtodo de navegao LORAN (long-range navi-gation) e na descrio da trajetria de uma partcula-alfa sujeita ao campo eltricogerado por um ncleo atmico, utilizado o conceito de hiprbole. Na fabricaode antenas parablicas, faris de automveis, refletores, entre outros, utilizado oconceito de parbola. Sugerimos que para o ensino de cnicas deve-se dar enfasea visualizao, utilizando material concreto e da partir para as definies. Paraisso foram apresentadas algumas atividades interessantes para se trabalhar na salade aula. No Captulo 5 foi apresentado uma parte sobre transformaes de coor-denadas mais voltada para cursos de graduao. Deseja-se com isso levar o alunodo Ensino Mdio a se interessar e entender as cnicas.

Palavras-chave: Parablico. Coordenada polar. Rotao de eixo.

ABSTRACT

Conics are currently used in astronomy, engineering, architecture, physicsand many other areas. However, the study of conics is restricted to high schooland, in most cases, not even then. Conics are taught, in many textbooks, only bymemorizing formulas, without understanding the properties and concepts behindthem. Apollonius was the first to deepen in the study of conics. Kepler esta-blished that the planets orbits were elliptical and, since then, ellipses have gainedimportance in astronomy. It is also used in the construction of reflectors and whis-pering chambers, which use its properties of reflection in the focus. The hyperbolemethod is used in the LORAN navigation method (long-range navigation) and inthe description of an alpha-particle subject to an electrical field generated by anatomic nucleus. The parabola is used in the fabrication of satellite dishes, headlights, reflectors, among others. The parabolas are models of various types of mo-vements and are vastly used in physics. We suggest that conics must be taught ina manner of easer visualization using concrete material and, after this, teach thedefinitions. In order to do this, we bring some interesting activities to work with inthe classroom. We also bring, in chapter 5, a portion on coordinate transformationsfocusing on graduate courses. With this we aim at leading the high school studentto be interested in and understand conics.

Key-words: Parabolic. Polar coordinate. Axis rotation.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Seco cnica (Parbola) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 2 Grfico da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Figura 3 Lanamento oblquo de uma bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 4 Parbola por meio da sua definio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 5 Distncias da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 6 Medida da diretriz ao vrtice e foco ao vrtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Figura 7 Parbola com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Figura 8 Parbola com concavidade para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 9 Parbola com concavidade para a direita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Figura 10 Parbola com concavidade para a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 11 Parbola com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 12 Parbola com concavidade para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 13 Parbola com concavidade para a direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 14 Parbola com concavidade para a esquerda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Figura 15 Construo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 16 Construo da parbola para o lado direito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 17 Construo da parbola para o lado esquerdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Figura 18 Esboo rudimentar da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 19 Corte na madeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 20 Mesa de bilhar parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 21 Molde com medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 22 Haste de madeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Figura 23 Disco de madeira com hastes fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 24 Colagem do papel carto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

Figura 25 Refletor pronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Figura 26 Posio dos refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 27 Posies dos refletores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

Figura 28 Corte no cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Figura 29 Corte no cone de massinha de modelar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 30 Caracterstica da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 31 Construo da Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Figura 32 Construo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 33 Esboo da Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Figura 34 Esboo da parbola com concavidade para a direita . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Figura 35 Esboo da parbola com concavidade para a esquerda . . . . . . . . . . . . . 49

Figura 36 Esboo da parbola com concavidade para cima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 37 Esboo da parbola com concavidade para baixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Figura 38 Esboo da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 39 Incidncia dos raios solares sobre os receptores parablicos . . . . . . . . 56

Figura 40 Captadores de energia solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 41 Representao da funo quadrtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 42 Curva parablica na gua que jorra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 43 Objeto lanado de forma oblqua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Figura 44 Antenas parablicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 45 Faris de carro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 46 Igreja de So Francisco (Belo Horizonte- Minas Gerais - Brasil) . . . . 60

Figura 47 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 48 Pontos em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Figura 49 Alguns pontos marcados em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Figura 50 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Figura 51 Elipse em coordenada cartesiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

Figura 52 Parbola em coordenada cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Figura 53 Hiprbole em coordenada cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Figura 54 Equao polar das cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Figura 55 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

Figura 56 Hiprbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Figura 57 Esboo rudimentar da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Figura 58 Translao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 59 Rotao de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Figura 60 Eixos com rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 61 Rotao de eixos na parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 62 Novo sistema de eixos v1 e v2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Figura 63 Esboo da elipse com rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

ANEXO

Figura 1 Ponte pnsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura 2 Grfico da funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura 3 Trajetria de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura 4 Parbola de vrtice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Figura 5 Superfcie de uma antena parablica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Figura 6 Esboo da parbola com concavidade voltada para cima . . . . . . . . . . 100

Figura 7 Esboo de uma parbola e uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Figura 8 Pontos P1 e P2 na parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Figura 9 Esboo da parbola com regies marcadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Figura 10 Esboo da parbola com vrtice V e foco F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Figura 11 Esboo da parbola com concavidade voltada para cima . . . . . . . . . . 104

Figura 12 Esboo da parbola com concavidade voltada para esquerda . . . . . . . 104

Figura 13 Esboo da parbola com concavidade voltada para baixo . . . . . . . . . . 105

Figura 14 Esboo da parbola com concavidade voltada para direita . . . . . . . . . 105

Figura 15 Carrinho movendo sobre um arco de parbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

Figura 16 Esboo da parbola y =x2 +3x e reta y = 2kx . . . . . . . . . . . . . . . . . .108Figura 17 Esboo da parbola com duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Figura 18 Trajetria do pulo do grilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Figura 19 Regio hachurada limitada pela reta r e pela parbola . . . . . . . . . . . . . 112

Figura 20 Grficos de funes quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Figura 21 Grficos de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Figura 22 Grficos de funes quadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

SUMRIO

1 INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 FUNDAMENTAO HISTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 PARBOLA, DEFINIES E ABORDAGEM USUAL . . . . . . . . . . . 21

4 PROPOSTAS DE ABORDAGENS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1 A Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Deduo da frmula da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

4.3 Aplicaes da parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4.1 Cnicas em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4.2 Cnicas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5 TRANSFORMAES DE COORDENADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.1 Translao de eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.2 Rotao dos eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3 A equao geral do 2o grau em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Rotao de eixos usando a lgebra linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ANEXO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

12

1 INTRODUO

Os professores da atualidade tm um grande desafio, que o de ensinar a

matemtica em um mundo dominado pela alta tecnologia. Portanto, devem modi-

ficar suas aes e tcnicas para que possam ensinar matemtica de forma que ela

fique mais interessante para os alunos.

As cnicas so curvas especiais em que se podem destacar a elipse, a pa-

rbola e a hiprbole. Elas foram estudadas a fundo no sculo III pelo matemtico

grego Apolnio. Atualmente elas so aplicadas na geometria, astronomia, por

meio dos movimentos elpticos dos planetas, na fsica, na ptica, por meio de

telescpios espaciais, na engenharia, na arquitetura e nas novas tecnologias, por

meio de antenas parablicas ou hiperblicas.

No ensino bsico, as cnicas s aparecem no terceiro ano do Ensino M-

dio, sendo quase sempre trabalhadas somente com centro na origem, esquecendo-

se assim das cnicas com centros em outros pontos e que as cnicas tambm po-

dem estar rotacionadas. As elipses e as hiprboles so trabalhadas por meio dos

parmetros a, b e c e as parbolas do parmetro p. No ensino superior elas voltam

a ser estudadas em clculo, para a construo de superfcies no espao, em geo-

metria analtica, com enfoque nas equaes analticas e lgebra linear, onde feita

uma ligao delas com vetores e matrizes.

Objetiva-se com este estudo despertar o gosto pela matemtica, tornando-

a real e mais simples para os alunos, utilizando materiais concretos e de interesse

dos mesmos. Quer-se com isso explorar as cnicas e suas aplicaes partindo de

materiais concretos e chegando s suas equaes. Para tanto, foi elaborado um

material didtico que pode oferecer alternativas para professores de matemtica da

educao bsica, podendo se estender at a graduao.

Este trabalho est dividido em trs partes. As elipses so tratadas por

Adriana de Sousa Sabino Melo, as hiprboles por Neder do Carmo Pereira Habib,

e eu trato neste texto as parbolas. Os trs trabalhos tm algumas partes comuns,

que sero citadas abaixo.

O segundo captulo traz um histrico das cnicas comum aos trs traba-

lhos.

13

O terceiro captulo traz como as cnicas so comumente trabalhadas no

Ensino Mdio. Essa parte individual e cada trabalho traz somente a cnica espe-

cfica.

O quarto captulo comea com propostas de abordagens e atividades con-

textualizadas para o ensino de cada cnica, que individual para cada trabalho. No

fim do captulo mostrou-se um pouco sobre coordenadas polares, parte esta que

comum aos trs trabalhos.

O quinto captulo, comum aos trs trabalhos, vem com a parte de trans-

formaes de coordenadas usando a geometria analtica e a lgebra linear. Este

captulo destinado aos cursos de graduao, j que os alunos do Ensino Mdio

no tm pr-requisitos para esse captulo. Em anexo segue um banco de questes

como material para professores na elaborao de suas aulas.

14

2 FUNDAMENTAO HISTRICA

Neste captulo ser feito um relato da histria das cnicas por meio dos

sculos mostrando o desenvolvimento do estudo das mesmas.

Egpcios e babilnios, h mais de 3000 anos, utilizavam a geometria nas

regies inundveis dos vales do Nilo, Tigre e Eufrates, na demarcao das terras

a fim de organizar o plantio e facilitar a cobrana de impostos. Durante o perodo

Helnico (400 a.C. - 476 d.C), Alexandre Magno construiu Alexandria em 331

a.C., que em pouco tempo transformou-se no centro mais suntuoso e cosmopolita

do mundo. Depois da morte de Alexandre, o imprio se dividiu em trs imprios.

Ptolomeu ficou com o governo do Egito, escolheu Alexandria como sua capital e

l construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber, cabendo

a Euclides o Departamento de Matemtica. Apolnio, que foi um dos maiores

estudiosos das cnicas, nasceu em Perga e estudou em Alexandria onde ficou por

um bom tempo (RODRIGUES FILHO, 2007).

Para Youssef (2005), Menaecmus, astrnomo e gemetra grego foi o pri-

meiro a utilizar duas curvas: a parbola e a hiprbole. No sculo IV a.C., ele

solucionou o problema da duplicao do cubo que consistia em encontrar um

cubo cujo seu volume fosse igual a dois, utilizando-se dessas duas curvas. Conse-

quentemente, a elipse surgiu mais tarde quando se seccionou uma superfcie cnica

perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o nome seces cnicas.

Segundo Lopes (2011), para alguns historiadores a origem do estudo das

cnicas no muito clara, mas tudo leva a crer que elas originaram-se no problema

da duplicao do cubo.

Hipcrates de Chios (470 - 410 a.C.) mostrouque esse problema (a duplicao do cubo) sereduzia em encontrar curvas com proprieda-des expressas na proporo contnua entre doissegmentos. Esse processo consistia em deter-minar mdias proporcionais entre duas gran-dezas dadas, ou seja, dados os segmentos a e b,encontrar dois outros x e y tais que a

x= x

y= y

b.

15

Hipcrates afirmou que para b = 2a, a propor-o contnua traduzia a soluo do problemada duplicao do cubo, pois isolando e elimi-nando y, conclui-se que x3 = 2a3. Isto equi-vale, na notao atual, resolver simultanea-mente quaisquer duas das trs equaes x2 =ay; y2 = 2ax e xy = 2a2 que representam par-bolas nos dois primeiros casos e hiprbole noterceiro.Mas a descoberta dessas curvas se deu por Me-naechmus (380 - 320 a.C.) por volta de 360 ou350 a.C.. Ele construiu as curvas com essaspropriedades algbricas e consequentementemostrou que o ponto de interseo delas da-ria as mdias proporcionais desejadas. A des-coberta da elipse parece ter sido feita tambmpor ele como um simples subproduto dessa suapesquisa(LOPES, 2011, p. 33-34).

Para Venturi (1949), foi Apolnio quem introduziu os nomes elipse e hi-

prbole. J a parbola, provavelmente, foi nomeada por Arquimedes.

As seces cnicas eram conhecidas haviacerca de um sculo e meio quando Apolnioescreveu seu clebre tratado sobre essas cur-vas. [...] O tratado sobre Cnicas de Apol-nio derrotou todos os Rivais no campo das sec-es cnicas, inclusive As cnicas de Euclides(BOYER, 2010, p. 99).

De acordo com Boyer (2010), Apolnio foi o primeiro a mostrar que as

trs seces no eram obtidas necessariamente de trs cones diferentes, mas pode-

riam ser encontradas variando o ngulo de inclinao do plano da seco. Esse fato

foi relevante para identificar e relacionar os trs tipos de curvas. Apolnio tambm

provou que o cone pode ser oblquo ou escaleno, no precisando ser reto e que as

propriedades das curvas no se modificam de acordo com o cone de origem.

Ainda para Boyer (2010), Apolnio poderia ter partido de qualquer cone

e ter obtido as mesmas curvas, ou seja, qualquer seo plana de qualquer cone

poderia servir de curva base em sua definio.

16

Menaecmus afirmava que cada seco cnica era encontrada em um for-

mato diferente de cone. Assim, as cnicas eram tratadas de forma separada. So-

mente com Apolnio houve a unificao das mesmas (BORDALLO, 2011).

De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como

reto ou de revoluo (retngulo) quando o ngulo formado entre as geratrizes que

pertencem a um dado plano que passa pelo vrtice do cone e pelo centro da circun-

ferncia da base reto; obtusngulo, quando este ngulo obtuso e acutngulo,

quando agudo. Arquimedes deu nomes de Orthotome para parbola, que sur-

gia do cone retngulo, Oxythome para a elipse, que surgia do cone acutngulo e

Amblythome para a hiprbole que surgia do cone obtusngulo.

Segundo Youssef (2005), Apolnio de Perga (262 - 190 a.C.) escreveu

um importante documento sobre as cnicas. Neste documento, acrescentou aos

estudos de Menaecmus vrias proposies, mas de forma puramente geomtrica.

Pode-se destacar uma proposio sobre a posio do plano secante em relao ao

eixo de rotao ou geratriz de uma superfcie cnica de revoluo.

Para Boyer (2010), o cone de duas folhas surgiu quando Apolnio fez uma

reta de comprimento indefinido que passava por um ponto fixo mover-se sobre uma

circunferncia de um crculo que no coplanar ao ponto de origem, passando por

todos os pontos dessa circunferncia, a reta mvel dar origem superfcie de um

cone duplo. Com isso surge o segundo ramo da hiprbole.

Apolnio foi o autor que mais contribuiu para o estudo das cnicas. Ele

escreveu oito livros, dos quais os quatro primeiros apresentam resultados de outros

matemticos anteriores e os quatro ltimos apresentam resultados desenvolvidos

por ele mesmo. Apolnio o primeiro a unificar as seces cnicas e afirmar que

elas poderiam ser obtidas a partir de um nico cone. Ele tambm duplicou o cone

e da a hiprbole passa a ter duas folhas (QUARANTA, 2008).

Segundo Bordallo (2011), Pappus fez um comentrio sobre todos os ma-

temticos gregos de seu tempo em sua obra Coleo Matemtica. Ele contribuiu

para o estudo das cnicas com seus resultados sobre foco, diretriz e excentricidade.

E de acordo com a variao da excentricidade ele define cada curva.

Boyer (2010, p. 101) afirma as cnicas eram conhecidas como lugares

slidos, pois as cnicas no eram definidas como sees planas, mas sees de

17

figuras tridimensionais. Apolnio usava o cone para obter as cnicas, mas o dis-

pensou logo que possvel. A partir do cone ele desenvolveu uma propriedade plana

fundamental (symptome) para a seco e a partir da iniciou um estudo somente no

plano, baseado nessa propriedade.

Seja ABC uma seco triangular de um conecircular oblquo (Fig.9.3) e seja P qualquerponto sobre uma seco HPK cortando todosos elementos do cone. Prolongue HK at en-contrar BC em G e por P passa-se um planohorizontal que corta o cone no crculo DPEe o plano HPK na reta PM. Trace-se DME,um dimetro do crculo perpendicular a PM.Ento a semelhana dos tringulos MEK eKCG tem-se ME

MK= CG

KG. Agora, da proprie-

dade do crculo tem-se PM2 = DM.ME; logoPM2 = (HM.BG

HG)(MK.CG

KG). Se PM = y, HM = x

e HK = 2a, a propriedade na sentena pre-cedente equivale equao y2 = kx.(2a x),que reconhecemosmo a equao de uma elipsecom H como vrtice e HK como eixo maior.De modo semelhante, Apolnio obteve paraa hiprbole o equivalente da equao y2 =kx(x+2a). Essas formas so facilmente redu-tveis s formas de nome acima, bastando to-mar k = b

2

a2 e l =2b2a

. Depois de Apolnio terobtido de um estudo esteriomtrico do cone arelao bsica entre o que chamaramos hojeas coordenadas planas um ponto da curva - da-das pelas trs equaes y2 = lx b2x2

a2, y2 = 1x

e y2 = lx+ b2x2

a2obteve outras propriedades a

partir das equaes no plano, sem mais refe-rncia ao cone. Em particular, Apolnio co-nhecia as propriedades da hiprbole referida sassntotas como eixos, dadas para a hiprboleequiltera, pela equao xy = c2.

18

No podia saber, claro, que um dia essa re-lao, equivalente lei de Boyle, seria funda-mental no estudo dos gases, ou que seu estudoda elipse seria essencial para a moderna astro-nomia (BOYER, 2010, p. 101-102).

Figura 9.3 Cortes no cone

Ainda para Boyer (2010), Apolnio provou que quando um ramo de uma

hiprbole intersecta os dois ramos de outra hiprbole, o outro ramo da primeira

hiprbole no intersectar nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, tambm

se uma hiprbole encontra uma segunda hiprbole com sua concavidade em sen-

tido oposto em um nico ponto, o outro ramo da primeira no encontrar o outro

ramo da segunda.

De acordo com Venturi (1949, p. 20), Kepler foi fortemente influenciado

pelo livro As Cnicas de Apolnio. Em 1609 ele mostra uma fundamental lei

da Astronomia: os planetas descrevem rbitas elpticas em torno do Sol, com o

Sol ocupando um dos focos. Kepler tambm introduziu a palavra foco, que vem

do latim focus que significa fogo, lareira. O livro As Cnicas tambm traz outra

aplicao em que Galileu (1632) desprezando a resistncia do ar diz que a trajetria

de um projtil uma parbola.

Para Quaranta (2008), Kepler (1571 - 1630) tambm apresenta as cnicas

de forma unificada usando a hiprbole para medies do fenmeno de reflexo.

Ele tambm mostra pela primeira vez a parbola como limite de uma elipse ou

hiprbole. Na construo da parbola ele utiliza a mesma distncia dos pontos at

o foco e at a diretriz. Ele tambm afirma que a parbola tem o segundo foco no

infinito, que at ento no era utilizado na geometria.

19

Apolnio em As Cnicas no trata de aspectos que atualmente nos pa-

recem to fundamentais. Por exemplo, ela trata dos focos das cnicas apenas indi-

retamente e nem tinha nomes para os mesmos (BOYER, 2010).

Segundo Youssef (2005), Apolnio tambm investigou o movimento dos

planetas e baseado nos egpcios, acreditava que os planetas giravam em torno do

sol em rbitas circulares. Somente em 1609, Kepler conclui que os planetas giram

em rbitas elpticas. Apolnio nunca poderia imaginar que as cnicas estudadas

por ele seriam utilizadas 1800 anos depois para descrever as rbitas planetrias e

nem que belos projetos arquitetnicos teriam esses formatos.

Afirma Boyer (2010, p. 104) que Apolnio diz que o assunto um da-

queles que parecem dignos de estudos por si mesmos. Ele sequer imaginava que

futuramente seus estudos seriam importantes na dinmica terrestre e mecnica ce-

leste, e que eles possibilitariam a viagem de ida e volta lua.

No pensamento de Boyer (2010), os estudos de Apolnio eram to seme-

lhantes aos atuais que muitas vezes ele antecipa a Geometria Analtica de Descar-

tes. Seus mtodos no so diferentes do uso de sistemas de coordenadas. Nos es-

tudos gregos as equaes so determinadas pelas curvas, mas as curvas no eram

determinadas por equaes. Para os gregos, as equaes no eram suficientes,

eram necessrias construes.

Para Bordallo (2011), Fermat e Descartes, no sculo XVII criam separada-

mente a Geometria analtica, que mais utilizada atualmente. Com a chegada da

Geometria analtica surge uma nova opo, na qual alguns optaram por ela, outros

no, e ainda alguns utilizaram as duas concepes em conjunto. O estudo sinttico

das cnicas, sem a utilizao da Geometria analtica contribuiu para a Geometria

projetiva. A contribuio de Fermat s cnicas encontrada principalmente no

seu tratado Ad locos Planos et Solidos Isagoge, onde Fermat utilizou mudanas

de coordenadas para descobrir que tipo de lugar correspondia a uma equao de

primeira ou segunda ordem. Ele tambm mostrou que equao do segundo grau

corresponde a uma cnica, um par de retas ou uma reta contada duas vezes.

Segundo Quaranta (2008), Descartes inicia uma nova forma de classifica-

o das curvas por meio de equaes. Conhecendo as propriedades geomtricas

de uma curva, ele representava todos os pontos da mesma por meio de equaes.

20

A caracterizao bifocal, que permite as construes das cnicas, comea a ganhar

fora a partir do sculo XVI, com Kepler, Descartes e Van Schooten, que utilizam

construes mecnicas dessas curvas. Tambm por meio de retas, da geometria

projetiva e por meio de equaes analticas surgem outras caracterizaes. Para o

ensino das cnicas os mtodos mais utilizados so a caracterizao analtica e o

uso dos focos, alm da usual obtida por meio do cone.

De acordo com Venturi (1949), o marco zero da geometria analtica o

tratado de Fermat. Foi Fermat quem descobriu as equaes da reta, da circun-

ferncia e as equaes mais simples da elipse, da parbola e da hiprbole. Para

simplificar as equaes do 2o grau ele utilizava a rotao dos eixos. Ele tambm

descobriu que se a equao envolve trs incgnitas, ela no pode ser de um ponto

ou uma curva, mas sim de uma superfcie.

Segundo Bordallo (2011), Philippe de La Hire, no sculo XVII, tornou

a fragmentar as cnicas, dando o primeiro passo na direo ao tratamento pura-

mente focal que presente no ensino das cnicas atualmente, em seu livro Nou-

velle mthode en gometrie pour lessection setles superfcies coniques de 1673.

Ele comea o seu trabalho tratando cada curva separadamente, introduzindo as

propriedades caractersticas e sua definio focal. Dandelin, no sculo XIX, ten-

tou unificar as cnicas novamente, mostrando que as sees do cone que geram

cada cnica coincidem com a definio focal.

O estudo das curvas feito pelos gregos fica em posio desfavorvel em

relao flexibilidade e extenso do tratamento moderno. Os antigos no tinham

noo da utilizao dessas curvas no mundo que os cercava. Os inventores mo-

dernos da geometria analtica tinham sua disposio a lgebra da Renascena,

enquanto que Apolnio manejava a lgebra geomtrica trabalhando com o instru-

mento mais rigoroso e menos manejvel (BOYER, 2010).

As cnicas estudadas desde a antiguidade esto presentes, no mundo atual,

em vrios ramos do dia-a-dia. Apesar das vrias caracterizaes discutidas pelos

autores, mal sabiam seus inventores da importncia que elas teriam futuramente.

21

3 PARBOLA, DEFINIES E ABORDAGEM USUAL

Neste captulo apresentaremos uma anlise de como as parbolas so abor-

dadas nos livros didticos de ensino mdio, na maioria dos casos de forma bem

resumida e apenas manipulando frmulas.

Carneiro(2007) diz que a parbola deve ser apresentada para os alunos do

Ensino Mdio primeiramente no primeiro ano no estudo das funes quadrticas

como abordadas no eixo temtico II: Funes Elementares e Modelagem, tema 5:

Funes, tpico 10: Funo quadrtica, habilidades 10.1 a 10.5: 10.1. Identificar

uma funo quadrtica a partir de sua representao algbrica ou grfica. 10.2. Re-

presentar graficamente funes quadrticas. 10.3. Identificar os intervalos em que

uma funo quadrtica positiva ou negativa. 10.4. Resolver situaes-problema

que envolvam as razes de uma funo quadrtica. 10.5 Resolver problemas de

mximos e mnimos que envolvam uma funo quadrtica.

Carneiro(2007) relata ainda que a parbola tambm deve ser trabalhada

com maior aprofundamento no terceiro ano do Ensino Mdio com o eixo tem-

tico IX: Geometria e Medidas, temas 22: Construes Geomtricas, Tpico 46:

Lugares geomtricos, habilidade: 46.2. Reconhecer a parbola como um lugar

geomtrico, e tambm no tema 23: Geometria Analtica, Tpico 48: Elipse, hipr-

bole e parbola, nas habilidades 48.3 e 48.4: 48.3. Equao cartesiana da parbola.

48.4. Relacionar as propriedades da parbola com instrumentos ticos e antenas.

Para Quaranta et al. (2007), o ensino das cnicas ficou restrito ao Ensino

Mdio, apesar de ter uma importncia histrica. Sendo abordado de forma anal-

tica e trabalhado somente com manipulao e memorizao de frmulas, levando

os alunos e at os professores a no quererem trabalhar com as cnicas. Assim,

no fcil transmitir esses conhecimentos e sua importncia.

Em uma pesquisa a vrios livros didticos verificou-se que alguns trazem

um pequeno resumo histrico e tratam as cnicas de forma analtica resumindo-se

a manipulao de frmulas.

Youssef(2005) diz que se pode obter a parbola seccionando uma superf-

cie cnica de revoluo por um plano paralelo geratriz, como mostra a Figura

1.

22

Figura 1 Seco cnica (Parbola)

Em seu livro didtico,Smole et al. (2010) mostram que ao estudar a fun-

o quadrtica os alunos vero que seu grfico uma parbola, como mostra o

exemplo:

Figura 2 Grfico da parbola

Tambm o lanamento oblquo de uma bola, de um projtil ou de uma

pedra pode descrever uma parbola.

23

Figura 3 Lanamento oblquo de uma bola

Considere o plano , a reta r e o ponto F / r como na Figura 4. Aoconjunto de todos os pontos de com mesma distncia em relao d e F, de-

nominamos parbola.

Figura 4 Parbola por meio da sua definio

dPd = dPF

dQd = dQF

24

dV d = dV F

dRd = dRF

Segundo Youssef(2005), pode-se tambm definir parbola como um lugar

geomtrico dos pontos de que so equidistantes de um ponto F e de uma reta r

desse plano. Veja na Figura 6 a parbola e alguns de seus pontos:

Figura 5 Distncias da parbola

De acordo com a Figura 6 os elementos de uma parbola so:

a) F o foco da parbola;

b) A reta r a diretriz da parbola;

c) A reta e, perpendicular a r, passando pelo foco, o eixo da parbola, tambm

chamado de eixo de simetria;

d) A distncia p entre o foco e a diretriz o parmetro da parbola;

e) O ponto V o vrtice da parbola e est no ponto mdio entre o foco e o ponto

M, em que o eixo cruza a diretriz da parbola. Como V um ponto da parbola,

tem-se, pela definio:

V F =V M = p2

25

ou, ainda,

FM = p

Chama-se excentricidade de uma parbola ao nmero real positivo que

definido como o quociente entre a distncia da diretriz ao ponto da parbola e a

distncia do ponto da parbola ao foco.

Como, na parbola estas distncias so sempre iguais tem-se que a excen-

tricidade sempre igual a 1.

Figura 6 Medida da diretriz ao vrtice e foco ao vrtice

Alguns poucos livros trazem o desenvolvimento da frmula da parbola,

e muitas vezes o professor no a repassa para os alunos. Nesse captulo as infor-

maes esto como na maioria dos livros didticos, sem demonstraes e maiores

explicaes. Essas informaes estaro no captulo 4 onde sero demonstradas as

frmulas.

A equao reduzida da parbola depende da posio em que ela se en-

contra em relao aos eixos do sistema cartesiano, assim pode-se estabelecer a

propriedade comum dos pontos P(x,y) que a ela pertencem.

26

No que se segue apresentamos alguns casos especiais:

1) Para posies em que a diretriz r paralela ao eixo das abscissas, com vrtice

V (x0,y0) e parmetro p, tem-se duas equaes reduzidas:

i) Quando a parbola tm concavidade voltada para cima, tem-se:

(x x0)2 = 2p(y y0)

Figura 7 Parbola com concavidade para cima

ii) Quando a parbola tm concavidade voltada para baixo, tem-se:

(x x0)2 =2p(y y0)

27

Figura 8 Parbola com concavidade para baixo

2) Para posies em que a diretriz r paralela ao eixo das ordenadas, com vrtice

V (x0,y0) e parmetro p, tem-se tambm duas equaes reduzidas:

i) Quando a parbola tem concavidade voltada para a direita, tem-se:

(y y0)2 = 2p(x x0)

Figura 9 Parbola com concavidade para a direita

28

ii) Quando a parbola tem concavidade voltada para a esquerda, tem-se:

(y y0)2 =2p(x x0)

Figura 10 Parbola com concavidade para a esquerda

Existem alguns casos em que o vrtice V da parbola coincide com a ori-

gem O(0,0) dos eixos cartesianos, ou seja, x0 = 0 e y0 = 0. Neste caso, as equaes

reduzidas so:

x2 = 2py

Figura 11 Parbola com concavidade para cima

29

x2 =2py

Figura 12 Parbola com concavidade para baixo

y2 = 2px

Figura 13 Parbola com concavidade para a direita

30

y2 =2px

Figura 14 Parbola com concavidade para a esquerda

Aps a apresentao do contedo, todos os livros didticos que analisamos

trazem uma lista de exerccios explorando as equaes e os elementos fundamen-

tais da parbola.

Alguns livros trazem atividades concretas e interessantes utilizando par-

bolas que poderiam ser usadas como motivao das aulas de matemtica.

31

4 PROPOSTAS DE ABORDAGENS

Neste captulo apresenta-se uma proposta para o ensino das parbolas uti-

lizando materiais concretos e demonstrando as frmulas. Traz-se tambm, no fim

do captulo, uma parte sobre coordenadas polares que pode ser importante no es-

tudo das parbolas.

4.1 Parbola

De acordo com Carneiro(2007), a matemtica uma ferramenta funda-

mental na resoluo de problemas do cotidiano. Nela desenvolvem-se estruturas

abstratas fundamentadas em modelos concretos; raciocnios formais ajudam a con-

cluir sobre a possibilidade ou no da ocorrncia de certos padres e suas proprie-

dades no modelo original.

Para Felix et al. (2008, p.3), os educadores sempre devem se questionar:

Como e em que medida nossa prtica pedaggica est contribuindo para a forma-

o do indivduo?. s vezes deixa-se de perceber que uma pequena mudana de

abordagem pode ajudar a melhorar o aprendizado dos alunos. Os professores s

vezes expem os contedos de Matemtica de forma rgida, mostrando apenas axi-

omas, definies, postulados e proposies o que prejudica a absoro de alguns

conceitos.

Segundo Carneiro (2007), a matemtica possui uma forte ligao com as

outras disciplinas: o conhecimento matemtico no s para os matemticos, ele

tem abrangncia em outras reas de conhecimento. O pensamento matemtico no

deve ser aprendido apenas por aqueles que vo se dedicar a Matemtica, mas sim,

por todos os alunos.

Sugere-se que haja uma interdisciplinaridade com as aulas de artes para

construo de materiais concretos, para facilitar o entendimento e motivar os alu-

nos.

CARNEIRO (2007) diz que, seus tpicos so norteadores, um roteiro,

sendo que cada escola pode escolher o caminho a seguir para adequar s suas

32

necessidades, fazendo uma distribuio do tempo adaptando-o ao seu projeto pe-

daggico.

Como motivao para o ensino da parbola, Mendes (2012) sugere a cons-

truo de uma mesa de bilhar montando uma das tabelas no formato do arco de

uma parbola e, no foco desse arco, coloca-se a caapa. Quando o jogador tacar a

bola na direo da parbola, em sentido paralelo s duas laterais retas, a bola cai

direto na caapa.

Proposta 1: Construo da mesa de bilhar parablica

Objetivos: Confeco de uma mesa de bilhar com um dos lados em

formato parablico para uma abordagem prtica da propriedade de reflexo.

Pblico alvo: Alunos do Ensino Mdio.

Materiais necessrios para o molde: Cartolina ou Kraft, dois percevejos,

pedao de barbante.

Materiais necessrios para a mesa: A mesa de bilhar com um dos

lados em formato parablico pode ser confeccionada com materiais distintos

escolha do grupo de alunos, como por exemplo, papelo, madeira, MDF, isopor,

e nos mais diferentes tamanhos, podendo uma bola de gude, por exemplo, fazer o

papel de bola de bilhar. Pano de algodo ou feltro para cobrir a mesa. Para a borda

da mesa pode-se usar o emborrachado conhecido por EVA ou madeirite.

Recomendaes metodolgicas: Pode ser indicado como trabalho em

grupo. Discusso com os alunos sobre como confeccionar a mesa. Caso a mesa

for feita de madeira, ou MDF recomenda-se que o professor j leve o molde cor-

tado e furado para no precisar levar materiais perigosos para os alunos.

Dificuldades previstas: Desenho e corte preciso da mesa.

Construo:

1) Molde da parbola

Para construir a mesa de sinuca deve-se construir a parbola como nos ensina

Barroso (2010). Primeiramente traa-se uma reta r e marca-se um ponto F (F / r).

33

Em seguida, corta-se um pedao de barbante de comprimento AB, idntico a altura

do esquadro (Figura 16). Utilizando dois percevejos, se fixa uma das pontas do

barbante no ponto F e a outra no ponto A do esquadro (Figura 15). Apoiando

um lpis no esquadro e esticando o barbante, faz se o traado de uma metade da

parbola, puxando o esquadro para a direita (Figura 16). Para fazer a outra parte

da parbola, repetir os passos acima com o esquadro invertido (Figura 17).

Figura 15 Construo da parbola

Figura 16 Construo da parbola para o lado direito

34

Figura 17 Construo da parbola para o lado esquerdo

Afirma Souza (2008) que para entender porque esta maneira de construir

a parbola funciona deve-se verificar que, considerando a ponta do lpis como o

ponto P, a distncia PB sempre ser igual a PF , vendo que:

AP+PF = AB,

em que AB o comprimento do barbante. Mas,

AP+PB = AB,

em que AB o cateto do tringulo ABC. Ento,

PF = PB

Logo, P pertence parbola.

Anton et al. (2000) trazem uma outra maneira de esboar a parbola, de

acordo com a Figura 18. Ela pode ser esboada a partir de sua equao padro,

seguindo quatro passos bsicos:

Passo 1: Verifique se o eixo de simetria est em cima do eixo x ou do eixo y. Se

a equao tiver um termo y2 o eixo de simetria est sobre o eixo x, se a equao

tiver um termo x2 o eixo de simetria est sobre o eixo y.

Passo 2: Encontre a abertura da parbola. Se o eixo de simetria estiver em cima

do eixo x, a parbola abre-se para a direita se os coeficientes de x forem positivos,

35

para a esquerda. Se os coeficientes forem negativos, se o eixo de simetria estiver

sobre o eixo y, a parbola abre-se para cima se os coeficientes de y forem positivos

e para baixo se forem negativos.

Passo 3: Agora encontre o valor de p e faa uma caixa medindo p unidades a

partir da origem sobre o eixo de simetria na direo da abertura da parbola e p

unidades, para cada lado do eixo de simetria.

Passo 4: Tendo a caixa como guia faa a parbola de modo que seu vrtice esteja

na origem e que algum ponto da parbola esteja nos cantos da caixa como mostra

a figura abaixo:

Figura 18 Esboo rudimentar da parbola

2) Construo da mesa de bilhar

Aproveita-se o desenho da parbola feito acima para a construo da mesa de

sinuca parablica. Com uma parbola desenhada num papel, de um tamanho ade-

quado, pega-se um pedao de MDF (ou isopor, papelo) e transfere-se o desenho

da parbola para ele. Corta-se o MDF (isopor, papelo) com a serra e fura-se o

focos com a furadeira (Figura 19). Cobre-se o MDF com um tecido de algodo

verde. Com madeirite (ou EVA), faz-se uma parede em volta da base da mesa. Para

36

test-la coloca-se uma bola na mesa e com um taco joga-se a bola na direo da

parbola em trajetria paralela as duas laterais retas, ento a bola cair no buraco

(Figura 20).

Figura 19 Corte na madeira

Figura 20 Mesa de bilhar parablica

De acordo com os modelos matemticos, a bola seguir em sentido 100%

retilneo se e somente se o taco e a mesa estiverem em planos paralelos, ou seja,

se o taco ficar perfeitamente horizontal mesa. Se a bola seguir girando em sen-

tido horrio ou anti-horrio, viajar em trajetria quase retilnea se o taco estava

paralelo mesa no momento da tacada. O atrito provocado pelo giro da bola no

equador, no alterar sua trajetria (MENDES, 2012).

37

Proposta 2: Construo dos refletores parablicos

Objetivos: Mostrar a propriedade refletora das parbolas.

Pblico alvo: Alunos do terceiro ano do ensino mdio.

Pr-requisitos: Trabalhar com escala.

Materiais necessrios: Rgua graduada, lpis, cola, tesoura, papel-carto,

disco de madeira (ou papelo) de aproximadamente 70 cm de dimetro e 1,5 cm

de espessura, placas de madeira (ou papelo) de 1,5 cm de espessura, serra de

madeira (ou tesoura), pregos, martelo e arame.

Recomendaes metodolgicas: Se for utilizar madeira lev-la j cor-

tada. Se for utilizar papelo pode ser utilizado cola e no pregos e martelo.

Dificuldades previstas: Alguns alunos podem no ter habilidade sufici-

ente para trabalhar com os materiais necessrios.

Construo:

1) Construo das hastes

Organize os alunos em grupos de no mximo 4 componentes. Faa um molde

em forma de parbola de acordo com as medidas da Figura 21. Retire 2 cm da

extremidade mais estreita do molde, isso ajuda para que as hastes no se sobrepo-

nham. Depois, coloque o molde em cima das placas de madeira e corte 8 hastes

iguais(Figura 22).

2) Montagem do refletor

Marque oito setores iguais no disco de madeira e no centro do disco faa uma cir-

cunferncia de 4 cm de dimetro (figura 23). Fixe as hastes sobre as marcas do

disco de madeira (figura 23), veja que as hastes so colocadas a partir da circunfe-

rncia do centro do disco. No centro do disco, fixe um pedao de arame medindo

70 cm. Ponha o papel carto em cima da estrutura montada e marque com um lpis

onde se deve recortar. Assim que recortar cole o papel carto sobre cada haste da

estrutura (figura 24). Mea no arame 53cm a partir do papel carto e dobre o que

sobrar formando uma argola. O arame ficar na vertical em relao ao disco de

madeira, o arame ser o foco da superfcie parablica (figura 25). Prenda a estru-

38

tura em uma base de 1m de altura, logo estar pronto o refletor. Construa mais um

refletor seguindo novamente os passos acima.

Figura 21 Molde com medidas

Figura 22 Haste de madeira

39

Figura 23 Disco de madeira com hastes fixas

Figura 24 Colagem do papel carto

Figura 25 Refletor pronto

40

Coloque os refletores um de frente para o outro de modo que seus eixos

de simetria fiquem alinhados (figura 26) ou usando um ou dois obstculos para

refletir o som (figura 27). Para se comunicar usando os refletores as pessoas devem

ao falar colocar a boca bem perto do foco e, ao ouvir, o ouvido tambm deve estar

perto do foco.

Figura 26 Posio dos refletores

Figura 27 Posies dos refletores

Dante (2010) ressalta que considerando um cone circular reto pode-se

seccion-lo por um plano paralelo geratriz. Esta seco cnica conhecida como

parbola. Isto motiva nossa prxima atividade.

Proposta 3: Parbola obtida a partir do cone de papel

Objetivos: Desenvolver a viso espacial do aluno e ampliar o raciocnio

lgico dando mais significado ao contedo.

Pblico alvo: Alunos do ensino mdio.

41

Materiais necessrios: Planificao do cone, tesoura, cola e rgua.

Recomendaes metodolgicas: Devemos trabalhar em grupo, entre-

gando para cada uma planificao do cone, ressaltando as caractersticas da elipse,

hiprbole e parbola. Utilizando o cone, mostre as curvas por meio dos cortes fei-

tos no mesmo. Durante o trabalho faa algumas perguntas relacionando as cnicas

com contedos estudados anteriormente. Deixe tambm que os alunos dem suas

opinies, interferindo se necessrio e tirando as dvidas que forem surgindo.

Dificuldades previstas: Alguns alunos podem no ter muita habilidade

para montar o cone.

Construo:

Com a planificao em mos, os alunos devero montar o cone. Depois

devero achat-lo e fazer um risco com a rgua paralela a geratriz do cone e cortar

o cone no risco. Ao voltar o cone a sua forma normal eles vero a parbola no

corte como mostra a Figura 28.

Figura 28 Corte no cone

Ressalta Carneiro(2007) que as propostas curriculares matemticas con-

tidas no CBC (Currculo Bsico Comum) sugerem que as atividades melhorem a

criatividade dos alunos tanto do ensino fundamental como mdio, e tambm que o

professor use o espao em sala de aula para os alunos sanarem suas dvidas e faze-

rem observaes e relatos escritos ou orais sobre as matrias. Em todos os nveis

de ensino o professor deve levar os alunos a justificar os processos e concluso

dos problemas, mesmo que no tenha instrumentos formais para isso. No ensino

42

fundamental as justificativas so muitas vezes intuitivas, j no Ensino Mdio, deve

se focar mais nas justificativas formais, levando o aluno a uma linguagem mais

rigorosa, no esquecendo as metodologias aplicadas no ensino fundamental.

Segundo Quaranta et al.(2007), para se aprender matemtica, especial-

mente geometria o aluno deve passar por todas as etapas de explorao concreta,

experimentao, resoluo de problemas, elaborao de conjecturas, justificativas

informais e provas. Cita tambm que de acordo com Guimares, Belfort e Belle-

main(2002), estas etapas no somuito bem assimiladas pelos alunos, embora seja

super natural vista por quem j as superou.

Alm da planificao do cone pode-se trabalhar tambm com cones de

massinha de modelar e cort-los em ngulos diferentes de modo que o aluno visu-

alize as trs cnicas.

Proposta 4: Parbola obtida a partir do cone feito com massa de modelar

Objetivos: Desenvolver a viso espacial do aluno e ampliar o raciocnio

lgico dando mais significado ao contedo.

Pblico alvo: Alunos do ensino fundamental.

Materiais necessrios: Massinha de modelar e lmina.

Recomendaes metodolgicas: O professor deve cortar o cone para evi-

tar ferimentos nos alunos. Faa perguntas relacionadas ao contedo e deixe que os

alunos dem suas opinies.

Dificuldades previstas: Alguns alunos podem no ter habilidade para

moldar o cone.

Construo:

O professor deve pegar o cone e cort-lo de modo que o corte seja paralelo

a geratriz do cone. No corte aparecer a parbola (figura 29).

Pode-se, no Ensino Fundamental, ao apresentar as planificaes das figu-

ras espaciais, levar o aluno a fazer cortes no cone para que desde ento conhea a

parbola. Isso levar o aluno a comear a ter uma viso sobre a parbola.

43

Figura 29 Corte no cone de massinha de modelar

Souza (2008) apresenta outra forma de construir a parbola utilizando r-

gua e compasso.

Proposta 5: Construo da parbola usando rgua e compasso.

Objetivo: Fazer um esboo da parbola.

Pblico alvo: Alunos do ensino mdio.

Pr-requisitos: Conceito de reta perpendicular.

Materiais necessrios: Folha de papel, rgua, compasso e lpis.

Recomendaes metodolgicas: Trabalhar em grupos.

Dificuldades previstas: Alguns alunos no tero habilidade suficiente

para trabalhar com compasso e rgua.

Construo:

Considerem a Figura 30, se F o foco e d a diretriz, logo P um ponto

da parbola de foco F e diretriz d, e PF = PG.

Para termos vrios pontos de uma parbola, usaremos rgua e compasso.

Marque o foco F e trace a diretriz d. Agora trace por F uma reta r perpendicular

a d, o ponto de interseo das retas d e r o ponto D. O parmetro o segmento

DF , marque o ponto mdio de DF este ponto ser o ponto V , vrtice da parbola.

Em cada ponto A da semirreta V F , trace uma reta s, perpendicular a r, faa com

compasso uma circunferncia de centro F e raio AD, esta circunferncia corta a

reta s nos pontos P e P, estes pontos pertencem parbola, pois, por construo:

44

Figura 30 Caracterstica da parbola

PF = PF = AD.

Figura 31 Construo da parbola

Percorrendo todos os pontos A da reta pode-se traar a parbola (Figuras

32 e 33).

Ribeiro (2010) diz que existe uma equao especifica para a parbola de-

pendendo da localizao relativa entre a diretriz e os eixos x e y e a posio do

45

Figura 32 Construo da parbola

Figura 33 Esboo da Parbola

foco em relao diretriz.

46

4.2 Deduo da frmula da parbola

muito importante para a aprendizagem dos alunos a demonstrao da

frmula da parbola e no somente apresent-la de forma pronta. Lehmann(1966)

traz a seguinte definio para lugar geomtrico:

Definio 1: O conjunto dos pontos, cujas coordenadas satisfaam uma

equao do tipo f (x,y) = 0, se chama grfico da equao ou lugar geomtrico.

Qualquer ponto cujas coordenadas satisfaam a equao f (x,y) = 0 per-

tence ao grfico da equao.

Lehmann (1966) ressalta ainda que o importante que se as coordena-

das de um ponto satisfazem uma equao, esse ponto pertence ao grfico dessa

equao e reciprocamente, se um ponto est sobre o grfico de uma equao suas

coordenadas satisfazem a equao. Isto , evidentemente, o enunciado de uma

condio necessria e suficiente. Como as coordenadas dos pontos de um lugar

geomtrico esto restringidas por sua equao tais pontos esto localizados, em

geral, em posio tais que, tomadas em conjunto, formem um trao definido cha-

mado curva, grfico ou lugar geomtrico.

De acordo com CBC (CARNEIRO,2007), demonstrar fatos geomtricos

um instrumento formativo muito importante no Ensino Mdio. Portanto, a habi-

lidade de argumentar usando a linguagem matemtica na demonstrao dos fatos

s se adquire praticando com bastante pacincia e que pode ser conquistada por

todos os alunos.

Lehmann(1966) afirma que a equao da parbola deduzida a partir de

sua definio como o lugar geomtrico de um ponto que se move de acordo com

uma lei especfica.

Pela definio,parbola o lugar geomtrico dos pontos que equidistam

de um ponto fixo chamado de foco, e de uma reta tambm fixa chamada diretriz

(ponto no pertencente reta).

Pode-se representar uma parbola pelas coordenadas do vrtice V (x0,y0),

as coordenadas do foco F(x0 +p2 ,y0), a reta focal l : y y0 = 0 ou seja l : y = y0 e

47

a diretriz paralela ao eixo y e o foco e, direita de r, ento, a reta r paralela ao

eixo y, a equao de r dada por r : x = x0 p2 .Considere-se um ponto P(x,y) qualquer pertencente parbola. Logo seu

esboo ser:

Figura 34 Esboo da parbola com concavidade para a direita

Ento,tem-se

d(P,r) = d(P,F)

.

Como

d(P,r) =

x x0 +

p

2

48

e

d(P,F) =

[

x (x0 +p

2)]2

+(y y0)2,

tem-se

(x x0)+

p

2

2=

(

[

x (x0 +p

2)]2

+(y y0)2)2

(x xo)2 + p(x xo)+p2

4= (x xo)2 p(x xo)+

p2

4+(y yo)2

Logo a equao da parbola ser:

(y yo)2 = 2p(x x0)

possvel obter as outras trs equaes da parbola de forma anloga. So

elas:

(a) diretriz paralela ao eixo y e foco esquerda da diretriz.

Os elementos sero:

Vrtice: V = (x0,y0),

Foco: F = (x0 p2 ,y0),Reta focal: l : y = y0,

Diretriz: r : x = x0 +p2

Logo, a equao ser: (y y0)2 =2p(x x0)

49

Figura 35 Esboo da parbola com concavidade para a esquerda

(b) diretriz paralela ao eixo x e foco acima da diretriz.

Os elementos sero:

Vrtice: V = (x0,y0),

Foco: F = (x0,y0 +p2 ),

Reta focal: l : x = x0,

Diretriz: r : y = y0 p2Logo, a equao ser: (x x0)2 = 2p(y y0)

50

Figura 36 Esboo da parbola com concavidade para a cima

(c) diretriz paralela ao eixo x e foco abaixo da diretriz.

Vrtice: V = (x0,y0),

Foco: F = (x0,y0),

Reta focal: l : x = x0 p2 ,Diretriz: r : y = y0 +

p2

Logo, a equao ser: (x x0)2 =2p(y y0)

Figura 37 Esboo da parbola com concavidade para a baixo

51

Com relao s sees cnicas tem-se:

Teorema: (Propriedade foco-diretriz das C-nicas) Suponha que um ponto P move-se noplano determinado por um ponto fixo (cha-mado de foco) e uma reta fixada (chamada dediretriz), sendo que o foco no est situado nadiretriz. Se um ponto move-se de tal maneiraque a distncia ao foco, dividida pela distn-cia diretriz uma constante e (chamada deExcentricidade), ento a curva descrita peloponto uma seo cnica. Alm disso, a c-nica uma parbola se e = 1, uma elipse se0 < e < 1 e uma hiprbole se e > 1 (ANTONet al., 2000, p. 165).

Kindle(1976) diz que as sees cnicas so divididas em trs classes, de

acordo com sua excentricidade e as cnicas mudam seu formato e suas proprieda-

des, quando e < 1, uma elipse, quando e = 1 uma parbola e se e > 1 uma

hiprbole.

importante ressaltar para os alunos que a excentricidade da parbola

sempre igual a um, pois a distncia da reta diretriz ao ponto da parbola e a

distncia do ponto da parbola ao foco sempre igual, logo o quociente 1.

Deve-se tambm mostrar aos alunos que nem sempre as parbolas esto

na forma padro (paralelas aos eixos x ou y). Como os alunos do Ensino Mdio

no tm pr-requisitos para trabalhar com a rotao dos eixos, podendo trabalhar

com equaes de retas, distncia entre pontos, distncia entre reta e ponto e outros

conceitos j vistos anteriormente. Veja o exemplo abaixo:

Exemplo 1: Determine a equao da parbola P que tem vrtice V = (6,3) ediretriz l : 3x5y+1 = 0 e faa um esboo.

Primeiramente calcula-se a distncia do vrtice V a reta diretriz l.

d(V,l) =

3.65.(3)+1

32 +(5)2

=

18+15+19+25

=

3434

Logo,

52

d(V,l) =

34

Agora, encontra-se a equao da reta r perpendicular a diretriz que passa

pelo vrtice. Esta equao tem a forma y = mx+n.

Sabe-se que o produto dos coeficientes angulares de duas retas perpendi-

culares 1. Ento, a equao da diretriz y =35

x+15

. Assim, tem-se35.m =1,

logo, m =35

. Como a reta r passa pelo vrtice, tem-se 3 =53.6+n, ou seja,

3 =10+n. Assim, n = 7 e portanto a equao da reta r r : y =53

x+7.

Como o foco pertence a essa reta, tem-se que as coordenadas do foco so

F(x,x+7).

Pela definio da parbola tem-se que

d(V,F) = d(V,l)

(x6)2 +(

53

x+7 (3))2

=

34

Elevando ao quadrado, tem-se:

(x6)2 +(

53

x+7 (3))2

= 34

donde obtm-se:

x2 12x+27 = 0

Resolvendo esta equao, obtm-se: x1 = 9 e x2 = 3

53

O foco no pode ter abscissa x = 3, pois esta abscissa que pertence a r se

encontra na diretriz. Logo o foco tem abscissa x = 9. Ento, o foco F = (9,8).Considerando P(x,y) um ponto qualquer da parbola, tem-se:

d(P,l) = d(P,F)

3.x5.y+134

=

(9 x)2 +(8 y)2

Elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade obtm-se:

(3x5y+1)234

= (9 x)2 +(8 y)2

=9x2 15xy+3x+25y2 15xy5y+1+3x5y

34

= 8118x+ x2 +64+16y+ y2

Resolvendo, obtm-se:

25x2 30xy9y2 +618x554y4929 = 0

Logo, a equao da parbola ser:

25x2 +30xy+9y2 618x+554y+4929 = 0,

cujo esboo apresentado na Figura 38.

54

Figura 38 Esboo da parbola

A partir das construes e definies mostradas anteriormente, deve-se

aplicar questes atraentes para que os nossos alunos aprendam e adsorvam as

ideias, assim montamos um Banco de Questes (ANEXO A).

4.3 Aplicaes da parbola

Deve-se sempre mostrar para os alunos as possveis aplicaes da par-

bola.

Segundo Wagner (1997), as antenas que captam sinais do espao e os espe-

lhos dos telescpicos astronmicos devem ser parablicos para capturar os sinais

recebidos que so muito fracos como as ondas de rdio ou luz por exemplo. A rea

decaptura deve ser grande e concentr-los num nico foco para que sejam amplia-

dos. Ento, a superfcie receptora (antena ou espelho) deve receber todos os sinais

e direcion-los para um nico ponto aps a reflexo.

55

Na fsica, quando uma luz refletida de umponto P sobre uma superfcie, o ngulo entre oraio incidente e a reta tangente em P igual aongulo entre o raio de partida e a reta tangenteem P. Por consequncia, se uma superfcierefletora tem sees transversais parablicascom um foco e eixo em comum, ento se tema partir do teorema 3.4.4 que todo raio de luzentrando em paralelo ao eixo ser refletidopelo foco (Figura 3.4.31 a); inversamente seuma fonte de luz estiver localizada no foco,ento os raios refletidos sero paralelos aoeixo (Figura 3.4.31 b). Este princpio usadoem certos telescpios para refletir os raios deluz aproximadamente paralelos, de estrelas eplanetas de um espelho parablico para umalente no foco; e os refletores parablicos deuma lanterna e os faris de um carro utilizameste principio para formar um feixe paralelode raios de luz a partir de uma lmpadalocalizada no foco. O mesmo principio ptico aplicado aos sinais de radares e ondassonoras, o qual explica a forma de muitasantenas(ANTON, 2000, p. 165).

Figura 3.4.31Fonte: (ANTON, 2000, p. 160).

56

Teorema 3.4.4 (propriedade de reflexo daparbola) A reta tangente em um ponto Psobre a parbola faz ngulos iguais com a retaque passa por P paralela ao eixo de simetria ecom a reta que passa por P e o foco. (ANTON,2000, p. 165).

Figura 3.4.30(a)Fonte: (ANTON, 2000, p. 160).

Para Ribeiro (2010),a utilizao domstica da energia solar est aumen-

tando porque renovvel e no agride o meio ambiente. Clulas fotovoltaicas e os

fornos solares so exemplos de sua utilizao. Nelas existem cerca de 10000 espe-

lhos de forma parablica, convergindo, assim, os raios do Sol para o chamado foco

do espelho. Essa formao tem capacidade para atingir temperaturas superiores a

3000oC.

Figura 39 Incidncia dos raios solares sobre os receptores parablicos

57

Figura 40 Captadores de energia solar

A parbola muito estudada no tema funes, pois ela a representao

de uma funo quadrtica.

Figura 41 Representao da funo quadrtica

58

Pode-se perceber as parbolas em vrios lugares do cotidiano:

1) Nos bebedouros pblicos, a gua que jorra descreve uma curva parab-

lica.

Figura 42 Curva parablica na gua que jorra

2) Qualquer objeto lanado de forma oblqua em uma regio com algum

campo gravitacional, como por exemplo, a nossa superfcie terrestre.

Figura 43 Objeto lanado de forma oblqua

59

3) Aplicaes na engenharia de telecomunicaes nas antenas parablicas;

Figura 44 Antenas parablicas

4) Engenharia automobilstica no formato dos faris dos carros;

Figura 45 Faris de carro

60

5) Engenharia arquitetnica muito utilizada por alguns arquitetos e enge-

nheiros, como Oscar Niemeyer, no projeto da "Igrejinha"da Pampulha (figura 50).

Figura 46 Igreja de So Francisco (Belo Horizonte - Minas Gerais - Brasil)

4.4 Coordenadas polares

Em geral, os alunos do Ensino Mdio utilizam somente o sistema de coor-

denadas cartesianas. Deve-se introduzir outros sistemas de coordenadas no Ensino

Mdio, entre eles o sistema de coordenadas polares. Para alguns, pode parecer

desnecessrio considerar outro sistema diferente do sistema cartesiano. Mas em

muitos casos o uso dessas coordenadas representa muitas vantagens sobre as coor-

denadas cartesianas.

Segundo Kindle (1976), para determinar a posio de um ponto P ao invs

de usar como referncia dois eixos ortogonais, s vezes mais fcil localiz-lo em

funo da distncia dele a um ponto fixo O e do ngulo que a direo OP forma

com uma reta fixa que passa por O as coordenadas desse sistema denominam-se

coordenadas polares.

Para Lehmann (1966), trace o segmento OP e designe sua longitude por

r (Figura 47). Considerando um segmento AO, onde A um ponto qualquer do

plano, chamemos ao ngulo AOP. Evidentemente a posio do ponto P com

relao ao eixo polar e ao plo determinada quando se conhecem r e . Em

particular r se chama vetor raio e ngulo polar, ngulo vetorial ou argumento de

P. As coordenadas polares de P se escrevem (r,).

61

Figura 47 Coordenadas polares

Chama-se r de coordenada radial de P e de coordenada angular (ou n-

gulo polar) de P (ANTON et al., 2000).

De acordo com Jnior (1973) chamaremos de o menor ngulo positivo

medido no sentido anti-horrio em graus ou em radianos de AO para OB, e de r a

distncia orientada positivamente, OP. Mas s vezes preciso que r e tenham

valores positivos ou negativos. Se negativo e r positivo, traamos o ngulo =

AB, medidos a partir de OA, no sentido horrio e marcamos P sobre OB de modo

que OP = r. Se r negativo construmos = AB, prolongando OB at o plo B e

marcamos P sobre OB a uma distncia r de O. Um par de coordenadas polaresdetermina somente um ponto, mas um ponto pode ser determinado de vrias ma-

neiras. Outra forma de representar (r,+2n) onde est dado em radianos e n

um nmero inteiro ou (r,+n) onde n um nmero inteiro mpar qualquer.

Figura 48 Pontos em coordenadas polares

62

Lehmann (1966) traz um exemplo de pontos em coordenadas polares est

representado na figura 52, onde esto traados os pontos P1(4, 6 ), P2(6,2), P3(7,75o)e P4(5, 74 ).O ngulo polar 2 (em P2) significa 2 radianos que equivale a 114

o35,5

(aproximadamente).

Figura 49 Alguns pontos marcados em coordenadas polares

Fonte: (LEHMANN, 1966).

O plo tem infinitas representaes no sistema polar (0,), pois so todos

os valores de tais que r = f () = 0, que do as direes das tangentes no plo.

Considerando o plo como a origem do sistema cartesiano, e o eixo polar

como a parte positiva do eixo x tem-se as seguintes relaes:

63

Figura 50 Coordenadas polares

cos =x

r x = rcos (1)

sen =y

r y = rsen (2)

Pelo Teorema de Pitgoras tem-se que:

r2 = x2 + y2

E da provm que r =

x2 + y2 ento:

sen = yx2 + y2

e

cos = xx2 + y2

Dividindo (2) por (1) tem-se que:

64

y

x=

rsen

rcos

tg =y

x

= arctg(y

x

)

Para traar o grfico de curvas em coordenadas polares deve-se, de acordo

com Lehmann (1966), seguir os seguintes passos:

a) Determinao das interseces com o eixo polar e com o eixo de 90o;

b) Determinao da simetria da curva com respeito ao eixo polar, ao eixo

a 90o e ao plo;

c) Determinao da extenso do lugar geomtrico;

d) Clculo das coordenadas de um nmero suficiente de pontos para obter

um grfico adequado, e

e) Traar o grfico.

Para determinar as interseces com o eixo polar basta fazer = 0o e para

fazer a interseco com o eixo de 90o, basta fazer = 90o.

Para fazer a simetria explica Kindle (1976) nos casos em que a substitui-

o de por - no altera a equao, curva simtrica em relao ao eixo polar.

Quando substitumos por , e a equao continua a mesma, a curva sim-trica em relao reta = . E a curva simtrica em relao ao plo quando

substitumos r por r ou por + e a equao no se modifica.Sobre a determinao da extenso do lugar geomtrico Ayres Jnior (1973)

diz que a equao polar r = f () representa curva fechada quando r um nmero

real e finito para qualquer , mas quando existem valores para os quais uma das

variveis torna a outra infinita a curva no fechada.

Segundo Anton et al. (2000), deve-se escolher valores conhecidos para ,

calcular os valores correspondentes de r, ento, marcar os pontos (r,) no sistema

65

de coordenadas polares e ento traar o grfico.

4.4.1 Cnicas em coordenadas cartesianas.

(1) A elipse

A elipse o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja soma de suas

distncias a dois pontos fixos F1 e F2 constante o maior que a distncia entre eles.

PF1 +PF2 = 2a

Figura 51 Elipse em coordenada cartesiana

Os elementos de uma elipse so:

Focos: so os pontos F1 e F2.

Distncia focal: a distncia entre os focos (2c = F1F2).

Eixo maior: o segmento A1A2 = 2a, que passa pelos focos (2a > 2c).

Centro: o ponto O, ponto mdio de A1A2.

Eixo menor: o segmento B1B2 = 2b, perpendicular a A1A2 passando por O.

66

Excentricidade (e): a razo e =c

a, sendo 0 < e < 1.

Se a excentricidade e for prxima de 1, o formato da elipse ser mais achatado, se

e for prximo de 0, o seu formato ser prximo ao de uma circunferncia.

Em uma elipse: a2 = b2 + c2.

As equaes de uma elipse so dadas por:

i) Focos no eixo das abscissas e centro (0,0)

x2

a2+

y2

b2= 1

ii) Focos no eixo das ordenadas e centro (0,0)

x2

b2+

y2

a2= 1

(2) A parbola

A parbola o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja distncia a

uma reta r dada igual distncia a um ponto fixo F no pertencente a r.

PF = PH

Os elementos de uma parbola so:

Focos: o ponto F .

Diretriz: a reta r.

Eixo de simetria: reta perpendicular a r, que passa por F .

Vrtice: a interseco da parbola com o eixo de simetria.

Parmetro da parbola: a distncia de p entre o foco e a diretriz.

As equaes de uma parbola so dadas por:

67

Figura 52 Parbola em coordenada cartesiana

i) Eixo de simetria sobre o eixo x (F(c,0))

y2 = 4cx ou y2 = 2px

ii) Eixo de simetria sobre o eixo x (F(c,0))

y2 =4cx ou y2 =2px

iii) Eixo de simetria sobre o eixo y (F(0,c))

x2 = 4cy ou x2 = 2py

iv) Eixo de simetria sobre o eixo y (F(0,c))

x2 =4cy ou x2 =2py

(3) A hiprbole

A hiprbole o lugar geomtrico dos pontos de um plano cuja diferena,

em mdulo, de suas distncias aos focos F1 e F2 constante e menor que a distncia

entre eles.

|PF1 PF2|= 2a

Os elementos de uma hiprbole so:

68

Figura 53 Hiprbole em coordenada cartesiana

Focos: so os pontos F1 e F2.

Distncia focal: a distncia entre os focos (2c = F1F2).

Vrtices: So os pontos A1 e A2, interseces de F1F2 com a hiprbole.

Eixo real: o segmento A1A2 = 2a.

Centro: o ponto O, ponto mdio de A1A2.

Eixo imaginrio: o segmento B1B2 = 2b.

Excentricidade (e): a razo e =c

a, sendo e > 1.

Se e est prximo de 1, os ramos da hiprbole sero mais fechado. Se e for um

nmero tendendo ao infinito, os ramos da hiprbole sero mais abertos.

Em uma hiprbole: c2 = a2 +b2.

As equaes de uma hiprbole so dadas por:

i) Focos no eixo das abscissas

x2

a2 y

2

b2= 1

ii) Focos no eixo das ordenadas

x2

b2 y

2

a2= 1

69

As assntotas de uma hiprbole so as retas y = ba

x, das quais a hiprbole fica

cada vez mais prxima, sem toc-las.

4.4.2 Cnicas em coordenadas polares.

Anton et al. (2000) deduz as equaes polares para as cnicas. Suponha-

mos que a diretriz esteja a direita do foco (Figura 54).

Sabendo quePF

PD= e, temos que

PF = ePD,

e como PF = r e PD = d rcos, segue que

r

d rcos = e

.

Assim,

d

r rcos

r=

1e

d

r=

1e+ cos

ed = r+ ercos

ed = r(1+ ecos)

r =ed

1+ ecos

.

70

Figura 54 Equao polar das cnicas

Assim, para os demais casos temos o seguinte resultado:

Teorema: Se uma seo cnica com excentricidade e est posicionada em um

sistema de coordenadas polares, de modo que seu foco est no plo e a diretriz

correspondente est a d unidades do plo, ento a equao da cnica tem uma das

quatro formas possveis, dependendo da sua orientao:

r =ed

1+ ecos(diretriz direita do polo)

r =ed

1 ecos (diretriz esquerda do polo)

r =ed

1+ esen(diretriz acima do polo)

r =ed

1 esen (diretriz abaixo do polo)

71

Ainda para Anton et al. (2000) na elipse precisa-se determinar a distncia

do foco aos vrtices. Sendo r0 a distncia do foco at o vrtice mais prximo e r1a distncia at o vrtice mais afastado, temos que: r0 = ac, r1 = a+c, somandoas duas temos: a = 12(r1 + r0) e subtraindo temos: c =

12(r1 r0). Agora multipli-

cando r0.r1 = a2 c2 = b2, logo b =

r0r1. Da mesma maneira que na elipse, na

hiprbole tem-se que: r0 = ca, r1 = a+c, somando as duas temos: a= 12(r1r0)e subtraindo tem-se: c= 12(r1+r0). Agora multiplicando r0.r1 = c

2a2 = b2, logob =

r0r1.

Figura 55 Elipse

Figura 56 Hiprbole

72

Exemplo:

a) Esboce o grfico de r =2

1 cos em coordenadas polares. (ANTON,2000, p. 167).

Soluo: A equao do tipo r =ed

1 ecos , ento d = 2 e e = 1. Assim,o grfico uma parbola com o foco no plo e a diretriz 2 unidades a esquerda do

plo. Ento, a parbola abre-se a direita ao longo do eixo polar e p = 1. Ento o

esboo :

Figura 57 Esboo rudimentar da parbola

73

5 TRANSFORMAES DE COORDENADAS

Este captulo apresenta um estudo voltado para a graduao, onde aborda-

mos as rotaes e translaes de eixos coordenados. No fim do captulo mostramos

a rotao de eixos utilizando a lgebra linear.

Quando se trabalha com cnicas, muitas vezes a escolha certa dos eixos

conduz a uma forma mais simples da equao. possvel simplificar essa equao

de duas maneiras, pela translao de eixos e/ou pela rotao de eixos.

Para Lehmann (1966) uma transformao uma operao pela qual uma

relao, expresso ou figura se transforma em outra seguindo uma lei dada. Ana-

liticamente, a lei se expressa por uma ou mais equaes chamadas equaes de

transformaes.

5.1 Translao de eixos coordenados

De acordo com Kindle (1976) sendo OX e OY os eixos originais e OX

e OY os eixos transladados, respectivamente paralelos aos primeiros. Conside-

rando (h,k) a nova origem do novo sistema e seja P um ponto qualquer do plano,

com (x,y) as coordenadas dos eixos originais e (x,y) as coordenadas nos novos

eixos.

Figura 58 Translao de eixos

74

Determinando-se x e y em funo de x, y, h e k, temos:

x = MP = MM+MP = h+ x

e,

y = NP = NN+NP = k+ y

Logo, as frmulas para transformao so: x = x+ h e y = y+ k, isto ,

x = xh e y = y k.

5.2 Rotao dos eixos coordenados

A rotao dos eixos coordenados consiste em manter a origem fixa e girar

os eixos em um determinado ngulo.

Lehmann (1966) traz o seguinte resultado,

Teorema 1: Se os eixos coordenados giram um ngulo em torno de sua origem

como centro de rotao, e as coordenadas de um ponto qualquer P antes e depois da

rotao so (x,y) e (x,y) respectivamente, as equaes de transformao do sis-

tema original ao novo sistema de coordenadas esto dadas por: x= xcosysen,y = xsen+ ycos.

Demonstrao: Sejam X e Y os eixos originais e X e Y os novos eixos. A partir

do ponto P traa-se a ordenada AP correspondente ao sistema X ,Y , a ordenada AP

correspondente ao sistema X ,Y , e a reta OP. Seja o ngulo POA = = r. Por

trigonometria tem-se:

75

Figura 59 Rotao de eixos

x = OA = rcos(+) (1)

y = AP = rsen(+) (2)

x = OA = rcos,y = AP = rsen (3)

De (1) tem-se:

x = OA = rcos(+) = rcoscos rsensen

.

Se nesta ltima equao substituir-se os valores dados por (3), obtemos a

primeira equao de transformao

x = xcos ysen

Analogamente, de (2)

76

y = rsen(+) = rsencos+ rcossen

De (3), tem-se a segunda equao de transformao:

y = xsen+ ycos

Para as aplicaes ser necessrio girar os eixos coordenados somente por

um ngulo suficientemente grande para fazer coincidir um dos eixos coordenados

com uma reta dada fixa qualquer, ou para fazer que seja paralelo a ela em um plano

coordenado. Assim podemos restringir, em geral, os valores do ngulo de rotao

ao intervalo dado por 0o 2

(LEHMANN, 1966).

J Ayres Jnior (1973) apresenta outra maneira de encontrar as equaes

de rotao, mantendo a origem fixa, e os eixos coordenados girando em sentido

anti-horrio um ngulo , e se um ponto P tem coordenadas (x,y) no sistema OXY

e (x,y) no novo sistema tem-se:

Figura 60 Eixos com rotao

77

x = OM = ON MN = ON RQ

= OQcosQPsen

= xcos ysen

y = MP = MR+RP = NQ+RP

= OQsen+QPcos

= xsen ycos

De acordo com Camargo et al.(2005) sendo P(x,y) um ponto do plano

. Quando rotaciona-se radianos no sentido anti-horrio, obtm-se um ponto

P(u,v) tal que{

x = ucos vseny = usen+ vcos

,

onde P = P. Resolvendo esse sistema temos{

u = xcos+ ysen

v =xsen+ ycos,

que so as expresses das novas coordenadas em relao s antigas. Pode-se es-

crever matricialmente por[

x

y

]

= M.

[

u

v

]

ou

[

u

v

]

= M1.

[

x

y

]

,

onde M a matriz mudana de base M =

[

cos sensen cos

]

que ortogonal, ou

78

seja, M1 = Mt .

Exemplo: (LEHMANN, 1966, p. 141-142) Por uma rotao dos eixos

coordenados, transformar a equao 9x2 24xy+ 16y2 40x 30y = 0 em outrade modo que desaparea o termo xy. Traar seu lugar geomtrico em ambos os

sistemas de eixos coordenados.

Soluo: Se na equao substituirmos os valores de x e y dados pelas equa-

es de transformaes do Teorema 1, obtem-se

9(xcosysen)224(xcosysen)(xsen+ycos)+16(xsen+ycos)240(xcos ysen)30(xsen+ ycos) = 0

Na qual, depois de desenvolv-la e colocar os termos comuns em evidn-

cia tem-se:

(9cos2 24cossen + 16sen2)x2 + (14sencos + 24sen2 24cos2)xy +(9sen2+24sencos+16cos2)y2(40cos+30sen)x+(40sen30cos)y=0 (3)

Como na equao transformada devem desaparecer os termos xy, iguala-

se o coeficiente de xy em (3) a zero e obtm-se:

14sencos+24sen224cos2 = 0

Agora, como sen(2) = 2sencos e cos(2) = cos2 sen2 pode-se es-crever

7sen(2)24cos(2) = 0,

de onde tem-se:

tg(2) =247

79

.

Pelo Teorema 1, o ngulo est no primeiro quadrante, de maneira que 2

estar no primeiro ou no segundo quadrante, em que o cosseno e a tangente tem o

mesmo sinal. De maneira semelhante, sen e cos sero positivos.

Portanto, temos que:

tg(2) =2tg

1 tg2 =247

logo,

24tg2+14tg24 = 0

Dividindo ambos os membros por 2:

12tg2+7tg12 = 0

Tomando tg = x, temos

12x2 +7x12 = 0

Resolvendo esta equao polinomial do segundo grau, obtemos

tg = x =725

24

Como tg positiva, temos:

tg =34=

sen

cos

Assim,

sen =34

cos

80

Sabendo-se que sen(2) = 2sencos, substituindo o valor encontrado

acima tem-se sen(2)= 2.34

cos2=32

cos2. Da, como tg(2)=247

e que tg(2)=

sen(2)cos(2)

, segue que:

sen(2)cos(2)

=247

.

Assim,32

cos2

cos(2)=

247

212

cos2 = 24cos(2) cos(2) = 72

cos2.18 cos(2) =

716

cos2 cos2sen2= 716

cos2 cos2(1cos2)= 716

cos2 32cos2

16 = 7cos2 25cos2 = 16 cos2 = 1625

Tem-se que:

tg(2) =247

sen(2)cos(2)

=247

32

sen(2)

cos(2)=

247

32

1625

cos(2)=

247

2425

cos(2)=

247

24cos(2) = 7.2425

cos(2) = 725

Para efetuar a simplificao da equao (3), necessita-se dos valores de

sen e cos, que podem ser obtidas pelas seguintes frmulas:

sen =

1 cos(2)2

=

1 725

2=

35

cos =

1+ cos(2)2

=

1+725

2=

45

Se substituir estes valores de seno e cosseno na equao (3), tem-se:

(

144288+14425

)

x2+

(

168+21638425

)

xy+

(

81+288+25625

)

y2(32+18)x+(2424)y = 0.

81

A qual se reduz na equao transformada y2 2x = 0, que o lugar geo-mtrico de uma parbola, conforme figura abaixo:

Figura 61 Rotao de eixos na parbola

5.3 A equao geral do 2o grau em R2

De acordo com Anton et al. (2000), a equao da forma

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0

recebe o nome de equao polinomial de segundo grau em x e y. O termo Bxy

chamado termo misto. Se a equao no tiver o termo misto, ou seja, B = 0,

ento a equao do tipo Ax2 +Cy2 +Dx+Ey+F = 0 e, neste caso, o grfico

ser possivelmente uma seco cnica degenerada que est na posio padro ou

transladada. Agora, se a equao tiver o termo misto, ou seja, B 6= 0, o grfico serpossivelmente uma cnica rotacionada de sua orientao-padro.

Lehmann (1966) afirma que para transformar a equao polinomial do se-

gundo grau que apresenta o coeficiente B diferente de zero, por rotao de eixos,

82

tem-se as seguintes equaes de transformao por rotao:

x = xcos ysen

, e

y = xsen+ ycos

,

dadas no Teorema 1. Substituindo na equao polinomial geral do segundo grau

tem-se:

A(xcos ysen)2 +B(xcos ysen)(xsen+ ycos) +C(xsen+ycos)2 +D(xcos ysen)+E(xsen+ ycos)+F = 0.

Se desenvolver-se e colocar-se os termos comuns em evidncia, obtem-se

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+E y+F = 0 (2)

em que

A = Acos2+Bsencos+Csen2,

B = 2(CA)sencos+B(cos2 sen2,C = Asen2Bsencos+Ccos2,D = Dcos+Esen,

E = EcosDsen,F = F.

Se na equao (2) desejamos eliminar o termo xy, o coeficiente de B deve

anular-se. Portanto, devemos ter

2(CA)sencos+B(cos2 sen2) = 0

.

Por meio das frmulas trigonomtricas do ngulo duplo, esta ltima equao pode

ser escrita da forma:

(CA)sen2+Bcos2 = 0 (4)

83

Se A 6= C, pela Equao (4) temos tg2 = BAC . Se A = C, ento pela Equao

(4) temos: Bcos2 = 0. Como B 6= 0, por hiptese, segue que

cos2 = 0 (5)

O ngulo de rotao restringido ao intervalo 0o 2

, de maneira que o

intervalo de variao para 2 0o 2 . Portanto, da equao (5), temos que =

4.

Lehmann (1966) ainda traz a seguinte definio.

Definio 1: Se um dos coeficientes A ou C igual a zero, a equao (4) re-

presenta uma parbola ou um dos casos degenerados. Se A e C tm o mesmo

sinal, a equao (4) representa uma elipse ou um dos casos degenerados. Se A e

C tm sinais contrrios, a equao (4) representa uma hiprbole ou um dos casos

degenerados.

Segundo Ayres Jnior (1973), a equao (2), j transformada chamada

de forma semi-reduzida da equao do 2o grau.

Lehmann (1966) traz o seguinte resultado:

Teorema 2: A equao geral de segundo grau r