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O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB
Ana Maria Roque [email protected]
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 2
PFCM 2010/2011 ESE/IPS
Observando o PMEB tendo a simetria por horizonte
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Que imagens têm ou não têm simetria?
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Simetria: Que significado?
Serão as mãos simétricas?
Será a nossa cara simétrica?
Serão os bonecos simétricos?
Afinal, de que falamos quando falamos em simetria?
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Quando a imagem de uma figura, através de uma isometria diferente da identidade, coincide com a figura original, então a figura tem simetria. (Serra, 1993)
Simetria: Que significado? A noção de simetria, sendo essencial em Matemática,
não é exclusiva deste campo
Simetria é uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeição. (Serra, 1993, p. 304, cit. Weyl)
A noção de simetria é deveras importante em Matemática, nas artes visuais e em diversas ciências como a Cristalografia e a Física. (Oliveira, 1997, p. 70)
Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias
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Simetria: Estabilizando um significadoFalar de simetria é falar de simetria de uma figura.
Figura: um subconjunto de pontos do plano ou do espaço. Exs: Recta, rectângulo, esfera, desenho artístico,...
(Bastos, 2006)
Não tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) são simétricas...
... embora possa perguntar-se se a boneca (uma figura) tem simetria.
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Simetria de uma figura: Estabilizando um significado
Simetria de uma figura F é uma particularidade dessa figura. Significa que existe uma isometria T do plano que deixa a figura invariante, isto é, tal que T (F ) = F. (adaptado de Bastos, 2006)
Simetria de uma figura não é o mesmo que simetria axial de uma figura: a figura pode ter simetrias que não sejam axiais
Manutenção da congruência e da posiçãoO transformado da figura através da isometria coincide com a figura original: as figuras são geometricamente iguais e além disso ocupam a mesma posição no plano, mesmo que haja pontos que não coincidam com as suas imagens.
Podem alguns ou todos os pontos da figura mudar de posição, mas a figura, como um todo, fica invariante. (Veloso, 1998, p. 182)
Invariante significa globalmente invariante
Focando-nos nas figuras do plano
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Analisar a simetria de uma figura remete para investigar se há isometrias (diferentes da identidade) que a deixam invariante
Isometria: Transformação geométrica que preserva as distâncias; as figuras do plano são transformadas noutras geometricamente iguais.
Quatro tipos fundamentais de isometrias:— Rotação
— Translação
— Reflexão
— Reflexão deslizante
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
75º
.ORotação
O peixe da esquerda “rodou” no sentido contrário aos ponteiros do relógio (sentido positivo), descrevendo um ângulo de vértice O e amplitude 75 graus.
Rotação de centro O e amplitude 750
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Rotação
.O
750
.O
3600
O
75º
.
Centro de rotação: pode ser um ponto da figura
1800 (meia volta)
Centro de rotação: pode ser um ponto que não pertence à figura
.O.O
2700
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Rotação de centro O e amplitude α é uma transformação geométrica tal que:•qualquer que seja o ponto P do plano, a distância de O a P é igual à distância de O à imagem de P (P’ ); •a amplitude do ângulo orientado definido por P, O e P’ é igual a α.
Rotação de centro O e amplitude 900
FF
Rotação
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Numa translação todos os pontos de uma figura se “deslocam” na mesma direcção, no mesmo sentido e a mesma distância.
Translação
u
v
Translação associada ao vector
u
Translação associada ao vector
v
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Translação associada ao vector é uma transformação geométrica em que cada ponto O do plano é transformado num outro ponto O’ (imagem de O) em que O’ = O +
Revisitando isometrias a propósito de simetria
u
Translação
u
FTranslação da figura F
associada ao vector u
u
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Cada ponto de uma figura e a sua imagem estão sobre uma recta perpendicular ao eixo de reflexão e a igual distância desse eixo.
É como se o peixe e a estrela se estivessem “a ver ao espelho”...
Reflexão Os eixos de reflexão podem, ou não ter pontos em comum com a(s) figura(s)
eixo de reflexão
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão de eixo s é a transformação geométrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O’ (imagem de O) de tal modo que:•a recta s é perpendicular a [O O’] e passa pelo ponto médio de [O O’] (ou s é a mediatriz de [O O’]; •se O pertence a s, a sua imagem coincide com O.
Reflexão
Reflexão da figura F de de eixo s
s
F
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Revisitando isometrias a propósito de simetria
Reflexão deslizanteTransformação geométrica que resulta da composição de uma reflexão de eixo s com uma translação cujo vector tem direcção paralela a s.
O’’ imagem de O através da reflexão deslizante associada a s e ao vector
s
u
u
F
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Retomando a ideia de simetria de uma figura
De entre as aplicações mais interessantes das transformações e grupos de transformações estão as relacionadas com questões de simetria. Existindo muitas espécies de simetrias no plano e no espaço (...). (Oliveira, 1996, p. 187)
— Simetria de reflexão (ou simetria axial)
— Simetria de rotação (ou simetria rotacional)
—Simetria de translação
—Simetria de reflexão deslizante
Há uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. (Serra, 1993, p. 305)
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Simetria de reflexão de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão que deixa a figura globalmente invariante
Como a reconhecemos? Várias hipóteses...
Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exactamente;
Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a junção da parte reflectida com a não reflectida seja exactamente igual à figura toda;
Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exactamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrário (com a parte de baixo do papel virada para cima);
...
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Simetria de reflexão de uma figura
Por vezes a simetria de reflexão é designada por simetria axial; o eixo de reflexão também se pode designar por eixo de simetria ou linha de simetria. (Serra, 1993, p. 305)
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria ? eixos de simetria ? eixos de simetria? eixos de simetria ? eixos de simetria
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Simetria de reflexão de uma figura
Eixo de simetria?
1 eixo de simetria 6 eixos de simetria 0 eixos de simetria2 eixos de simetria 4 eixos de simetria
Eixo de simetria de uma figura: Recta (sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira…) que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexão da outra metade. Caso contrário, a recta não é eixo de simetria.
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Figura com simetria rotacional Figura sem simetria rotacional
Simetria rotacional de uma figura
Existe, pelo menos, uma rotação com uma amplitude superior a 00
e inferior a 3600 que deixa a figura globalmente invariante. Só neste caso se admite também uma simetria rotacional associada a um ângulo de 3600.
Se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, através da rotação, coincida com a figura original.
Como a reconhecemos?
(ou qualquer outro tipo de simetria)
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Simetria rotacional de uma figura
Que simetrias rotacionais tem a figura?
C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura “roda”)
C
Ângulo da simetria rotacional: ângulo orientado que descreve o “movimento” da figura.
Três quartos de volta (270º)
Uma volta inteira (360º)
Um quarto de volta (90º)
Meia volta (180º)
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Simetria de translação de uma figura
Existe, pelo menos, uma translação que deixa a figura globalmente invariante
Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distância e
uma dada direcção (identificadas pelo vector da translação) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original
Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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Simetria de reflexão deslizante de uma figura
Existe, pelo menos, uma reflexão deslizante que deixa a figura globalmente invariante
Como a reconhecemos? Se, por exemplo, depois de desenharmos a figura em papel transparente, de
virarmos o papel ao contrário “em torno” de uma determinada recta e de o deslocarmos segundo a direcção dessa recta, conseguirmos que o transformado da figura coincida com a figura original.
Se a figura for infinita, existe essa possibilidade…
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Em busca de simetrias de figuras
O estudo das simetrias das figuras constitui uma aplicação muito interessante das isometrias que permite desenvolver o conhecimento matemático destas transformações geométricas e fornecer, consequentemente, ferramentas que podem ser muito úteis na resolução de problemas geométricos. (...)
Potencialidades
(Bastos, 2006, p. 11)
Conhecimento matemático
Resolução de problemas
Conhecimento matemático
Comunicação e raciocínio
Conexões matemáticas
O conceito de simetria pode ser também a base para actividades de descrição e classificação de figuras geométricas, de argumentação/demonstração (…)
A análise de objectos artísticos ou de cristais através dassuas simetrias são actividades que estabelecem ligações entre a matemática e outros domínios do saber (...)
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Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?D C
BA
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90º
B
CD
Simetrias de polígonos
Que simetrias existem num quadrado?
Simetrias de reflexão
Simetrias rotacionais
4 Com centro no ponto de encontro das diagonais do quadrado e amplitudes 900, 1800, 2700 e 3600.
4Eixos de simetria: 2 rectas que contêm as diagonais do quadrado e 2 rectas que passam pelos pontos médios de lados opostos
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Simetrias de polígonos
Exemplo de material de apoio à exploração de simetrias em polígonos
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Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Exemplos de rosáceas Figuras compostas por diversos
módulos geometricamente iguais que se repetem por rotação. O centro de rotação é sempre o mesmo ponto, a amplitude da rotação é sempre a mesma e a divisão entre 3600 e a medida desta amplitude é exacta.
Rosáceas
Existe sempre um ponto do plano que é fixo para o grupo de simetria da figura (conjunto das transformações de simetria da figura).
Têm sempre simetrias rotacionais, podendo ter também simetrias de reflexão.
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Que simetrias existem nestas rosáceas?
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura
•
Identificar
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 31
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Que simetrias existem nestas rosáceas?
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Simetria de reflexão 2 eixos de simetria – lado/lado
Simetria rotacionalR rotação de 1800
R2 rotação de 3600 (identidade)
R rotação de 600
R2 rotação de 1200
R3 rotação de 1800
R4 rotação de 2400
R5 rotação de 3000
R6 rotação de 3600 (identidade)
Só simetria rotacional
•
Simetria de reflexão e simetria rotacional
Identificar
• assinala o centro de simetria (ou centro de rotação) da figura
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Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Motivo simples
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Exemplo de um recurso tecnológico de apoio à construção de rosáceas: o scratch
Simetrias na arte decorativa: o caso das rosáceas
Motivo simples
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Exemplos de frisos
As barras cinzentas ou os motivos incompletos, indicam que a figura se prolonga indefinidamente para a esquerda e para a direita
Figura infinita caracterizada por apresentar sempre simetrias de translação com a mesma e uma só direcção.
No friso, o grupo de simetria fixa uma recta.
Pode haver outras simetrias para além das de translação
Friso
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 35
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Identificar
recta horizontal
Nomenclatura adoptada
recta vertical
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
u
v
De translação. Por exemplo, translações associadas aos vectores e .
De reflexão de eixo horizontal
Identificar
u
v
recta horizontal
Nomenclatura adoptada
recta vertical
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 37
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Identificar
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 38
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Que simetrias existem neste friso?
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
De reflexão de eixo horizontal
De reflexão de eixos verticais
De translação da figura associadas a vectores com a
direcção de e comprimento múltiplo do deste vector.
u
Identificar
u
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A partir de um motivo simples podem-se construir frisos muito diversos usando isometrias
Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Motivo simples
Construir
[A´, B’, C’, D’] imagem do motivo simples através de uma reflexão de eixo r.
A’ B’
C’D’
[A’´, B’’, C’’, D’’] imagem de [A´, B’, C’, D’] através de uma translação de vector paralelo ao eixo de reflexão (recta r).
A’ B’
C’D’
A’’B’’
C’’D’’
Nota: O motivo simples é, por vezes, designado por módulo
r
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Construir (continuação)
Obtém-se o friso
Simetrias do friso: de translação e de reflexão deslizante
Através de translações sucessivas da figura
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 41
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Investigar
Investigar que tipos de frisos existem (...) [é] perceber que “estruturas” de frisos existem e, para isso, devemos investigar que grupos de simetria podem ter os frisos (...) [trata-se] de procurar uma classificação dos frisos baseada nos respectivos grupos de simetria. (Veloso, 1998, p. 202)
Que tipos de frisos há?
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 42
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 1: gerado por translação
Investigar
Tipo 2: gerado por reflexão de eixo horizontal e translação
Motivo simples
Motivo composto
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 43
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 3: gerado por reflexão de eixo vertical e translação
Tipo 4: gerado por reflexão de eixo horizontal, reflexão de eixo vertical e translação
InvestigarMotivo simples
Motivo composto
Motivo composto
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 44
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 5: gerado por rotação de 1800 e translação
InvestigarMotivo simples
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 45
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 6: gerado por reflexão deslizante e translação
Investigar
Motivo simples
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 46
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Simetrias na arte decorativa: o caso dos frisos
Tipo 7: gerado por reflexão de eixo vertical, reflexão deslizante e translação
Há apenas sete tipos de frisos...
InvestigarMotivo simples
Motivo composto
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 47
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Simetria: A busca de equilíbrio, harmonia, beleza... (Alcazar, Sevilha)
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 48
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Bibliografia e outros materiais consultados
Bastos, R. (2006). Notas sobre o Ensino da Geometria do Grupo de Trabalho de Geometria da APM – Simetria. Educação Matemática, 88, 9-11.
Bastos, R. (2007). Notas sobre o ensino da Geometria: Transformações geométricas. Educação e Matemática, 94, 23-27.
Deledicq, A. & Raba, R. (1997). Le monde des pavages. Paris: ACL- Éditions.
Devlin, K. (2002). Matemática: A ciência dos padrões. Porto: Porto Editora.
Hargittai, I. & Hargittai, M. (1994). Symmetry: A unifying concept. Bolinas, California: Shelter Publications.
Haylock, D. (2001). Mathematics explained for primary teachers. London: Sage.
Musser, G., Burger, W. (1997). Mathematics for elementary teachers: A contemporary approach (4ª ed.). Upper Saddle River: Prentice-Hall.
Oliveira, A. (1997). Transformações geométricas. Lisboa: Universidade Aberta.
Serra, M. (1993). Discovering geometry: An inductive approach. Berkeley: Key Curriculum Press.
Veloso, E., Bastos, R. & Figueirinhas, S. (2009). Notas para o ensino da Geometria: isometrias e simetria com materiais manipuláveis. Educação e Matemática, 101, 23-28.
Veloso, E. (1998). Geometria. Temas actuais. Lisboa: Instituto de Inovação Educacional
Adaptação da conferência apresentada por Ana Maria Boavida no Encontro BragançaMat 11 (Abril 2011) 49
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Bibliografia e outros materiais consultados
Documentos não publicadosConjunto de slides elaborados por Ana Maria Boavida para a conferência Revisitando simetrias e isometrias no plano... a propósito do PMEB realizada no âmbito do PFCM da Universidade de Évora (Julho de 2010).
Conjunto de slides sobre Simetrias de uma figura e isometrias no plano elaborados por Ana Maria Boavida, Fernanda Matias, Margarida Rodrigues e Sílvia Machado para a Formação de Professores Acompanhantes do PMEB: Geometria promovida pela DGIDC (Setembro 2009) .
Conjunto de slides sobre isometrias e simetria de uma figura no plano elaborado por Lina Brunheira, professora acompanhante do Plano da Matemática II (Fevereiro de 2011).
Conjunto de slides sobre Simetria e frisos elaborados pela equipa do Programa de Formação Contínua em Matemática para professores dos 1º e 2º ciclos da Universidade de Évora (2008/2009).
Siteshttp://www.apm.pt/formacao/tgs_2008/index.htmlhttp://www.atm.org.uk/resources/
http://www.atractor.pt/simetria/matematica/index.htmlhttp://illuminations.nctm.org/ActivityDetail.aspx?ID=168http://mathstitch.com/Rosettes__Friezes_and_Wallp.html
O “mundo” da simetria Reflectindo sobre desafios do PMEB
15º EREPM, 30/4/2011- Bragança
Ana Maria Roque [email protected]