Upload
adisaa-salcin
View
238
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
opca algebra
Citation preview
Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim
naukamaCime se bavi algebra?
Amela Muratovic-Ribic
30. septembar 2015
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Cime se bavimo?
Algebra se bavi rjesavanjem algebarskih jednacina.
Algebarski izraz je ime za jednu ili vise algebarskih velicina, recimobrojeva ili slovnih simbola, koji su medusobno povezani znakovimakao +,−, ·, :,
√i td., kao i zagradama raznih vrsta radi definisanja
redosljeda algebarskih operacija.
Primjer
2 · a + (b − 3 · c) · (d ÷ a + 4)
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Cime se bavimo?
Algebra se bavi rjesavanjem algebarskih jednacina.
Algebarski izraz je ime za jednu ili vise algebarskih velicina, recimobrojeva ili slovnih simbola, koji su medusobno povezani znakovimakao +,−, ·, :,
√i td., kao i zagradama raznih vrsta radi definisanja
redosljeda algebarskih operacija.
Primjer
2 · a + (b − 3 · c) · (d ÷ a + 4)
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Cime se bavimo?
Algebra se bavi rjesavanjem algebarskih jednacina.
Algebarski izraz je ime za jednu ili vise algebarskih velicina, recimobrojeva ili slovnih simbola, koji su medusobno povezani znakovimakao +,−, ·, :,
√i td., kao i zagradama raznih vrsta radi definisanja
redosljeda algebarskih operacija.
Primjer
2 · a + (b − 3 · c) · (d ÷ a + 4)
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Jednacine i identiteti
Jednacina je odnos jednakosti dva algebarska izraza, koja postajeispunjena poslije uvrstavanja samo odredenih vrijednosti umjestonjihovih slovnih simbola.
Primjer
Tako se npr. odnos jednakosti f (x) = g(x) izmedu dvije funkcijeiste promjenljive naziva jednacina sa jednom nepoznatom, ako vazisamo za odredene vrijednosti te nepoznate.
Razlika izmedu jednacine, jednakosti i identiteta?Ukoliko je jednakost ispunjena za proizvoljne vrijednostipromjenljive x , onda se ona zove identitet, odnosno kaze se da jeidenticki ispunjena i pise f (x) ≡ g(x).Jednakost je relacija (odnos) i moze biti ispunjena ili ne.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Jednacine i identiteti
Jednacina je odnos jednakosti dva algebarska izraza, koja postajeispunjena poslije uvrstavanja samo odredenih vrijednosti umjestonjihovih slovnih simbola.
Primjer
Tako se npr. odnos jednakosti f (x) = g(x) izmedu dvije funkcijeiste promjenljive naziva jednacina sa jednom nepoznatom, ako vazisamo za odredene vrijednosti te nepoznate.
Razlika izmedu jednacine, jednakosti i identiteta?Ukoliko je jednakost ispunjena za proizvoljne vrijednostipromjenljive x , onda se ona zove identitet, odnosno kaze se da jeidenticki ispunjena i pise f (x) ≡ g(x).Jednakost je relacija (odnos) i moze biti ispunjena ili ne.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Jednacine i identiteti
Jednacina je odnos jednakosti dva algebarska izraza, koja postajeispunjena poslije uvrstavanja samo odredenih vrijednosti umjestonjihovih slovnih simbola.
Primjer
Tako se npr. odnos jednakosti f (x) = g(x) izmedu dvije funkcijeiste promjenljive naziva jednacina sa jednom nepoznatom, ako vazisamo za odredene vrijednosti te nepoznate.
Razlika izmedu jednacine, jednakosti i identiteta?
Ukoliko je jednakost ispunjena za proizvoljne vrijednostipromjenljive x , onda se ona zove identitet, odnosno kaze se da jeidenticki ispunjena i pise f (x) ≡ g(x).Jednakost je relacija (odnos) i moze biti ispunjena ili ne.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Jednacine i identiteti
Jednacina je odnos jednakosti dva algebarska izraza, koja postajeispunjena poslije uvrstavanja samo odredenih vrijednosti umjestonjihovih slovnih simbola.
Primjer
Tako se npr. odnos jednakosti f (x) = g(x) izmedu dvije funkcijeiste promjenljive naziva jednacina sa jednom nepoznatom, ako vazisamo za odredene vrijednosti te nepoznate.
Razlika izmedu jednacine, jednakosti i identiteta?Ukoliko je jednakost ispunjena za proizvoljne vrijednostipromjenljive x , onda se ona zove identitet, odnosno kaze se da jeidenticki ispunjena i pise f (x) ≡ g(x).Jednakost je relacija (odnos) i moze biti ispunjena ili ne.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Glavne velicine
U algebarskim izrazima glavne velicine su one po kojima sealgebarski izrazi klasifikuju. Njih treba utvrditi u svakompojedinacnom slucaju.
Kod funkcija glavne velicine su nezavisne promjenljive.
Ostale velicine, koje jos nisu zamjenjene brojevima suparametri koje u nekim slucajevima nazivamo i koeficijenti.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Glavne velicine
U algebarskim izrazima glavne velicine su one po kojima sealgebarski izrazi klasifikuju. Njih treba utvrditi u svakompojedinacnom slucaju.
Kod funkcija glavne velicine su nezavisne promjenljive.
Ostale velicine, koje jos nisu zamjenjene brojevima suparametri koje u nekim slucajevima nazivamo i koeficijenti.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Glavne velicine
U algebarskim izrazima glavne velicine su one po kojima sealgebarski izrazi klasifikuju. Njih treba utvrditi u svakompojedinacnom slucaju.
Kod funkcija glavne velicine su nezavisne promjenljive.
Ostale velicine, koje jos nisu zamjenjene brojevima suparametri koje u nekim slucajevima nazivamo i koeficijenti.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Klasifikacija izraza
Algebraski izrazi1 Cijeli racionalni izrazi su oni kod kojih se glavne velicine samo
sabiraju, oduzimaju i mnoze ukljucujuci i stepenovanje.ax3 − 2x + a
2 Razlomljeni racionalni izrazi sadrze i dijeljenje glavnih velicina i
cijelih racionalnih izraza. 2x2−3x+4
3 Iracionalni izrazi se odlikuju po korjenovanju cijelih ili
razlomljenih racionalnih izraza.√
x+ax−b .
Transcedentni izrazi sadrze algebarske izraze tj. racionalne iiracionalne izraze sa glavnim velicinama u eksponentu, podznakom logaritma ili kao argument neke trigonometrijskefunkcije. ex + a, log10(2x + 3), sin(x2 − 2).
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Klasifikacija izraza
Algebraski izrazi1 Cijeli racionalni izrazi su oni kod kojih se glavne velicine samo
sabiraju, oduzimaju i mnoze ukljucujuci i stepenovanje.ax3 − 2x + a
2 Razlomljeni racionalni izrazi sadrze i dijeljenje glavnih velicina i
cijelih racionalnih izraza. 2x2−3x+4
3 Iracionalni izrazi se odlikuju po korjenovanju cijelih ili
razlomljenih racionalnih izraza.√
x+ax−b .
Transcedentni izrazi sadrze algebarske izraze tj. racionalne iiracionalne izraze sa glavnim velicinama u eksponentu, podznakom logaritma ili kao argument neke trigonometrijskefunkcije. ex + a, log10(2x + 3), sin(x2 − 2).
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Klasifikacija izraza
Algebraski izrazi1 Cijeli racionalni izrazi su oni kod kojih se glavne velicine samo
sabiraju, oduzimaju i mnoze ukljucujuci i stepenovanje.ax3 − 2x + a
2 Razlomljeni racionalni izrazi sadrze i dijeljenje glavnih velicina i
cijelih racionalnih izraza. 2x2−3x+4
3 Iracionalni izrazi se odlikuju po korjenovanju cijelih ili
razlomljenih racionalnih izraza.√
x+ax−b .
Transcedentni izrazi sadrze algebarske izraze tj. racionalne iiracionalne izraze sa glavnim velicinama u eksponentu, podznakom logaritma ili kao argument neke trigonometrijskefunkcije. ex + a, log10(2x + 3), sin(x2 − 2).
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Algebarske jednacine
Algebarska jednacina je ona koja kao funkcije f (x) i g(x) imasamo algebarske tj. racionalne i iracionalne funkcije.
Svaka algebarska jednacina moze se algebarskimtransformacijama svesti na normalni oblik
P(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . . + a1x + a0 = 0, an 6= 0
koja ima iste korjene kao polazna jednacina, ali ponekad inekoliko prekobrojnih.
Obicno uzimamo an = 1 i n se naziva stepen jednacine.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Algebarske jednacine
Algebarska jednacina je ona koja kao funkcije f (x) i g(x) imasamo algebarske tj. racionalne i iracionalne funkcije.
Svaka algebarska jednacina moze se algebarskimtransformacijama svesti na normalni oblik
P(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . . + a1x + a0 = 0, an 6= 0
koja ima iste korjene kao polazna jednacina, ali ponekad inekoliko prekobrojnih.
Obicno uzimamo an = 1 i n se naziva stepen jednacine.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Algebarske jednacine
Algebarska jednacina je ona koja kao funkcije f (x) i g(x) imasamo algebarske tj. racionalne i iracionalne funkcije.
Svaka algebarska jednacina moze se algebarskimtransformacijama svesti na normalni oblik
P(x) = anxn + an−1x
n−1 + . . . + a1x + a0 = 0, an 6= 0
koja ima iste korjene kao polazna jednacina, ali ponekad inekoliko prekobrojnih.
Obicno uzimamo an = 1 i n se naziva stepen jednacine.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Svodenje na normalni oblik
Primjer
Rijesiti jednacinux3
x − 1=
1
x − 1.
Normalni oblik ove jednacine je x4 − x3 − x + 1 = 0. Rjesenja sukubni korjeni od 1 u kompleksnim brojevima. Medutim x = 1 jerjesenje normalnog oblika, ali ne i polazne jednacine.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Sistem jednacina
Sistem jednacina ima u sebi vise nepoznatih ili vise jednacina.
Svaki sistem algebarskih jednacina se takode moze svesti nanormalan oblik
P1(x , y , . . . , z) = 0
P2(x , y , . . . , z) = 0
...
Pm(x , y , . . . , z) = 0.
gdje su Pi (x , y , . . . , z) polinomi po x , y , . . . , z .
Stepen sistema je maksimalni stepen polinoma Pi .
Ako je stepen sistema jednak 1 tada se sistem (jednacina)naziva linearan, a u suprotnom nelinearan.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Sistem jednacina
Sistem jednacina ima u sebi vise nepoznatih ili vise jednacina.
Svaki sistem algebarskih jednacina se takode moze svesti nanormalan oblik
P1(x , y , . . . , z) = 0
P2(x , y , . . . , z) = 0
...
Pm(x , y , . . . , z) = 0.
gdje su Pi (x , y , . . . , z) polinomi po x , y , . . . , z .
Stepen sistema je maksimalni stepen polinoma Pi .
Ako je stepen sistema jednak 1 tada se sistem (jednacina)naziva linearan, a u suprotnom nelinearan.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Sistem jednacina
Sistem jednacina ima u sebi vise nepoznatih ili vise jednacina.
Svaki sistem algebarskih jednacina se takode moze svesti nanormalan oblik
P1(x , y , . . . , z) = 0
P2(x , y , . . . , z) = 0
...
Pm(x , y , . . . , z) = 0.
gdje su Pi (x , y , . . . , z) polinomi po x , y , . . . , z .
Stepen sistema je maksimalni stepen polinoma Pi .
Ako je stepen sistema jednak 1 tada se sistem (jednacina)naziva linearan, a u suprotnom nelinearan.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Sistem jednacina
Sistem jednacina ima u sebi vise nepoznatih ili vise jednacina.
Svaki sistem algebarskih jednacina se takode moze svesti nanormalan oblik
P1(x , y , . . . , z) = 0
P2(x , y , . . . , z) = 0
...
Pm(x , y , . . . , z) = 0.
gdje su Pi (x , y , . . . , z) polinomi po x , y , . . . , z .
Stepen sistema je maksimalni stepen polinoma Pi .
Ako je stepen sistema jednak 1 tada se sistem (jednacina)naziva linearan, a u suprotnom nelinearan.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Sistemi jednacina
Primjer
2x2y + z3 − 2 + xz = 0
ima stepen 3 pa je ovo nelinearna jednacina sa vise nepoznatih.
Primjer
ax + by = 1
2x − 4y = 0
ima stepen jedan i predstavlja linearni sistem jednacina.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Cime se bavi algebra?
Linearna algebra se bavi rjesavanjem sistema linearnihjednacina i sire.
Algebra se bavi rjesavanjem jedne nelinearne jednacine i sire.
Algebarska geometrija bavi se rjesavanjem sistema nelinearnihjednacina i sire.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Cime se bavi algebra?
Linearna algebra se bavi rjesavanjem sistema linearnihjednacina i sire.
Algebra se bavi rjesavanjem jedne nelinearne jednacine i sire.
Algebarska geometrija bavi se rjesavanjem sistema nelinearnihjednacina i sire.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Cime se bavi algebra?
Linearna algebra se bavi rjesavanjem sistema linearnihjednacina i sire.
Algebra se bavi rjesavanjem jedne nelinearne jednacine i sire.
Algebarska geometrija bavi se rjesavanjem sistema nelinearnihjednacina i sire.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Kako rjesiti trascedentne jednacine?
Transcedentne jednacine se obicno rjesavaju trazenjem pribliznogrjesenja tj. numerickim metodama, a direktno ih je moguce rijesitiukoliko se mogu sa smjenama svesti na algebarske jednacine.
Primjer
Rijesiti eksponencijalnu, znaci transcedentnu jednacinu,
2x−1 = 8x−2 − 4x−2.
Ova jednacina je2x
2=
23x
64− 22x
16.
Smjena y = 2x daje algebarsku jednacinu y3 − 4y2 − 32y = 0, cijarjesenja su y1 = 8, y2 = −4 i y3 = 0. Rjesavanje y = 2x daje samojedan realan korijen x = 3.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Kako rjesiti trascedentne jednacine?
Transcedentne jednacine se obicno rjesavaju trazenjem pribliznogrjesenja tj. numerickim metodama, a direktno ih je moguce rijesitiukoliko se mogu sa smjenama svesti na algebarske jednacine.
Primjer
Rijesiti eksponencijalnu, znaci transcedentnu jednacinu,
2x−1 = 8x−2 − 4x−2.
Ova jednacina je2x
2=
23x
64− 22x
16.
Smjena y = 2x daje algebarsku jednacinu y3 − 4y2 − 32y = 0, cijarjesenja su y1 = 8, y2 = −4 i y3 = 0. Rjesavanje y = 2x daje samojedan realan korijen x = 3.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Generalna rjesenja jednacina prvog i drugog stepena
Generalno rjesenje
ax = b, a 6= 0, x =b
a;
Generalno rjesenje
ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
x1/2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a
ima dva rjesenja.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Generalno rjesenj jednacine treceg stepena u C
Kardanov metod: Neka je normalni oblik jednacineax3 + bx2 + cx + d = 0. Nakon dijeljenja sa a i smjene y = z + b
3ajednacina postaje
y3+3pq+2q = 0, odnosno u svedenom obliku y3+p∗y+q∗ = 0
gdje je
q∗ = 2q =2b3
27a3− bc
3a2+
d
ai p∗ = 3p =
3ac − b2
3a2.
Rjesenje je
y =3
√−q +
√q2 + p3 +
3
√−q −
√q2 + p3.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Generalno rjesenje za jednacinu cetvrtog stepena
Poznato je i generalno rjesenje za jednacinu cetvrtog stepena
x4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.
Korjeni ove jednacine se poklapaju sa korjenima jednacine
x2 + (b + A)x
2+
(y +
by − d
A
)= 0
pri cemu je y bilo koji korjen kubne jednacine
8y3 − 4cy2 + (2bd − 8e)y + e(4c − b2)− d2 = 0
i A = ±√
8y + b2 − 4c .
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Jednacine petog stepena i vise
Mi ne znamo da nademo generalno rjesenje za jednacinu petogstepena ili viseg ( sto ne znaci da rjesenje ne postoji ali ga jos nikonije otkrio).
Ove jednacine je moguce rijesiti u specijalnim slucajevima.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Razvoj apstraktne algebre
U devetnaestom vijeku fizicari pocinju da koriste jednacine i uapstraktnijem smislu izucavajuci odredene fizikalne pojave.Npr. ako camac prelazi rijeku brzinom ~v i stigne u tacku A,kolikom brzinom tece rijeka?
~v + ~x = ~A, ~x =?
Jednacinaa ∗ x = b
moze se promatrati u slucaju kada su npr.1 a, b i x matrice , a operacija ∗ sabiranje ili mnozenje matrica.2 Koeficijenti a i b mogu biti i funkcije sa operacijom sabiranja,
mnozenja ili kompozicije funkcija.3 Moze biti slaganje vektora i td.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Razvoj apstraktne algebre
U devetnaestom vijeku fizicari pocinju da koriste jednacine i uapstraktnijem smislu izucavajuci odredene fizikalne pojave.Npr. ako camac prelazi rijeku brzinom ~v i stigne u tacku A,kolikom brzinom tece rijeka?
~v + ~x = ~A, ~x =?
Jednacinaa ∗ x = b
moze se promatrati u slucaju kada su npr.1 a, b i x matrice , a operacija ∗ sabiranje ili mnozenje matrica.2 Koeficijenti a i b mogu biti i funkcije sa operacijom sabiranja,
mnozenja ili kompozicije funkcija.3 Moze biti slaganje vektora i td.
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Generalizacija u algebri
Dolazi do potrebe rjesavanja jednacina, ne samo u realnimbrojevima, nego i u drugim skupovima sa drugacijimoperacijama.
Razvoj apstraktne algebre u kojem se obliku ona i danaspojavljuje.
Znaci, sada smatramo da koeficijenti i glavna velicinapripadaju skupu S na kome je definisana operacija ∗ i zanimanas da li mozemo uvijek rijesiti neku algebarsku jednacinu natom skupu.
Primjer
Jednacina 3x = 5 nema rjesenje u skupu prirodnih i cijelih brojeva.Ova jednacina ima rjesenje u skupu racionalnih, realnih ikompleksnih brojeva funkcija
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Generalizacija u algebri
Dolazi do potrebe rjesavanja jednacina, ne samo u realnimbrojevima, nego i u drugim skupovima sa drugacijimoperacijama.
Razvoj apstraktne algebre u kojem se obliku ona i danaspojavljuje.
Znaci, sada smatramo da koeficijenti i glavna velicinapripadaju skupu S na kome je definisana operacija ∗ i zanimanas da li mozemo uvijek rijesiti neku algebarsku jednacinu natom skupu.
Primjer
Jednacina 3x = 5 nema rjesenje u skupu prirodnih i cijelih brojeva.Ova jednacina ima rjesenje u skupu racionalnih, realnih ikompleksnih brojeva funkcija
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama
Generalizacija u algebri
Dolazi do potrebe rjesavanja jednacina, ne samo u realnimbrojevima, nego i u drugim skupovima sa drugacijimoperacijama.
Razvoj apstraktne algebre u kojem se obliku ona i danaspojavljuje.
Znaci, sada smatramo da koeficijenti i glavna velicinapripadaju skupu S na kome je definisana operacija ∗ i zanimanas da li mozemo uvijek rijesiti neku algebarsku jednacinu natom skupu.
Primjer
Jednacina 3x = 5 nema rjesenje u skupu prirodnih i cijelih brojeva.Ova jednacina ima rjesenje u skupu racionalnih, realnih ikompleksnih brojeva funkcija
Amela Muratovic-Ribic Opca algebrasa primjenama u informacionim i kompjuterskim naukama