Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Danijela Matijevic

Obitelj Bernoulli

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveuciliste J.J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Danijela Matijevic

Obitelj Bernoulli

Diplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Tomislav Marosevic

Osijek, 2013.

Sadrzaj

Uvod 1

1. O obitelji Bernoulli 2

2. Najpoznatiji matematicari iz obitelji Bernoulli 5

2.1. Jacob Bernoulli (1654.-1705.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1. Znanstveni doprinos Jacoba Bernoullia . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Johann Bernoulli (1667.-1748.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Znanstveni doprinos Johanna Bernoullia . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Daniel Bernoulli (1700.-1782.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. Znanstveni doprinos Daniela Bernoullia . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Sukobi u obitelji Bernoulli 31

3.1. Jacob - Johann Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2. Johann – Daniel Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Sazetak 33

Summary 33

Literatura 34

Zivotopis 35

i

Uvod

Obitelj Bernoulli dala je rezultate od povijesnog znacaja za matematicku znanost. U tri

generacije bilo je 8 izvrsnih matematicara, medu kojima su najpoznatiji Jacob, Johann i

Daniel Bernoulli. Po njima nose imena mnogi pojmovi i poucci i cesto ni strucnjaci ne znaju o

kojem se od Bernoullija radi. Brojni su radovi o matematicarima obitelji Bernoulli, primjerice

[6, 2], a neizostavni su prilikom povijesnog pregleda razvoja matematike [1, 3, 9, 10, 11].

Rad je podijeljen u tri poglavlja: O obitelji Bernoulli, Najpoznatiji matematicari iz obitelji

Bernoulli i Sukobi u obitelji Bernoulli.

U prvom poglavlju govori se o obitelji Bernoulli i ukratko je prikazan zivot i rad pojedinih

clanova obitelji, vaznih matematicara.

U drugom poglavlju govori se o najpoznatijim clanovima iz obitelji Bernoulli, najuspjesnijim

matematicarima: o braci Jacobu i Johannu i Danielu Bernoulliu, Johannovom sinu. Premda

su se poceli skolovati u drugim podrucjima, dali su veliki doprinos u matematici. Jacob i

Johann bavili su se diferencijalnim jednadzbama i problemima varijacijskog racuna, koji pred-

stavljaju pocetak discipline funkcionalne analize. Johann je zasluzan za naziv integriranja.

Poznat je i po uvodenju separacije varijabli. Daniel se smatra utemeljiteljem matematicke

fizike.

U trecem poglavlju prikazana su neslaganja izmedu clanova obitelji Bernoulli: brace Jacoba

i Johanna Bernoullija te Johanna i njegovog sina Daniela. Posebno je poznat sukob izmedu

Jacoba i Johanna. Iako su radili na slicnim problemima, suradnja je prerasla u suparnistvo,

koje je ponekad prelazilo granice tolerancije. Njihovi sukobi cesto su izlazili u javnost. Mozda

je bas to i utjecalo da su obojica dala rezultate od povijesnog znacaja za matematicku

znanost. Johann je nastavio sa suparnistvom i prema svom sinu Danielu. Medutim, Daniel

nije bio takav, nema dokaza da je on kriv za neslaganje s ocem.

1

1. O obitelji Bernoulli

Obitelj Bernoulli vrlo je poznata u svijetu znanosti, posebno u matematici, jer je dala veliki

doprinos matematickoj znanosti. U tri generacije (Slika 1) bilo je 8 izvrsnih matematicara, a

od oko 120 potomaka svaki je u svojem poslu bio vrlo uspjesan. Istakli su se u pravu, medicini,

umjetnosti, knjizevnosti i tehnici. Obitelj je belgijskog podrijetla, no zbog protestantske

vjere, u strahu od katolika, preselili su se 1583. iz Antwerpena u Frankfurt, a zatim u Basel

u Svicarskoj, gdje su se trajno nastanili. Nicolaus Bernoulli (1623.-1708.) bio je trgovac.

U Baselu su mu se rodili sinovi Jacob (1654.-1705), Nicolaus (1662.-1716.) i Johann (1667.-

1748.) Nicolaus je imao sina Nicolausa I. (1687.-1759.) koji je bio matematicar. Matematicari

su bili i Johannovi sinovi, Nicolaus II. (1695.-1726.), Daniel (1700.-1782.) i Johann II. (1710.-

1790.). U trecoj generaciji, Johann III. (1744.-1807.) i Jacob II. (1759.-1789.), sinovi Johanna

II. takoder su bili matematicari.

Slika 1: Obitelj Bernoulli, imena matematicara su u plavim pravokutnicima.

Braca Jacob i Johann pripadali su prvoj generaciji koja je dala nekoliko velikih matematicara,

medu kojima je, uz spomenuta dva brata, najpoznatiji Daniel Bernoulli, Johannov sin. Po

njima nose imena mnogi pojmovi i poucci i cesto ni strucnjaci ne znaju o kojem se od

Bernoullija radi. Nijedan od njih nije se izravno skolovao za matematicara, ali dali su rezultate

od povijesnog znacaja za matematicku znanost. Daniel, najistaknutiji u sljedecoj generaciji

2

Bernoullijevih, smatra se utemeljiteljem matematicke fizike.

Vrlo je talentiran bio Nicolaus I., Jacobov i Johannov necak. Studirao je matematiku na

Sveucilistu u Baselu, diplomirao je 1704. godine, a 5 godina kasnije doktorirao je iz podrucja

primjene teorije vjerojatnosti odredenih pravnih pitanja. 1712. godine krenuo je na put po

Europi i posjetio Nizozemsku, Englesku i Francusku. 1716. godine zaposlio se u Padovi,

gdje se bavio geometrijom, diferencijalnim jednadzbama i teorijom vjerojatnosti. Suradivao

je s francuskim matematicarem Pierre Raymond de Montmortom1 i dao je vazan doprinos

u uvodenju St. Peterburskog paradoksa. 1722. godine, Nicolaus I. vratio se u rodni grad i

zaposlio na Sveucilistu u Baselu.

Napomena 1 (St. Peterburski paradoks)

O cemu se kod petrogradskog problema ili paradoksa radi? Petar i Pavao igraju

igru u kojoj imaju jednake izglede na dobitak (npr. bacanje novcica). Pavao plati

Petru 2n rubalja ako Petar dobije u n-toj partiji nakon n–1 prije toga izgubljenih

partija. U tom se trenutku igra zavrsava. Igra se dakle sve do prve dobivene

partije. Dakle, ako Petar dobije prvu partiju Pavao mu plati 2 rublja, ako Petar

prvu partiju izgubi, a dobije drugu Pavao mu plati 4 rublja itd. Zadatak pociva na

odredenoj Petrovoj okladi, dakle sumi koju bi trebao prije pocetka platiti Pavlu kao

nadoknadu za preuzimanje opisanih zajmova tako da igra bude pravedna. Kako

cemo vidjeti ta svota bi trebala biti beskonacno velika. Isto tako vjerojatnost da

Petar prvih n–1 partija izgubi, a n-tu dobije, je 1/2n. Dobitak je u tom slucaju

2n rubalja tako da je matematicko ocekivanje za Petra u slucaju n odigranih

partija 1/2n ·2n = 1. Jedan rubalj je, dakle, cijena za koju bi Petar mogao prodati

(prema ogranicenoj opravdanosti oklade) svoju priliku za dobitak u n-toj partiji,

poslije izgubljenih n–1 partija. Zato je ukupna srednja vrijednost Petrova dobitka

(matematicko ocekivanje?)

x1p1 + x2p2 + x3p3 + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + ...

beskonacno velika. Pa ipak, tesko je predstaviti nekoga tko bi na Petrovom mjestu

stavio makar samo 100 rubalja. U tome je sadrzan petrogradski paradoks. [11]

Matematikom se bavio i Nicolaus II., Johannov sin. Studirao je pravo i puno putovao.

Proucavao je uglavnom krivulje, diferencijalne jednadzbe i teoriju vjerojatnosti. Takoder,

pridonio je i dinamici fluida. 1726. godine dobio je posao na katedri za matematiku u St.

Petersburgu u Rusiji, ali iste godine umro je od vrucice.

Johann II. bio je najuspjesniji od trojice Johannovih sinova. Studirao je pravo i 1727. godine

je doktorirao sudsku praksu. Cak 4 puta osvojio je nagradu na Akademiji u Parizu. Bavio se

1Pierre Raymond de Montmort (1678.-1719.), francuski matematicar, poznat je po knjizi o vjerojatnosti i

igrama na srecu, ”Essay d’analyse sur les jeux de hazard” (Essay on the analysis of games of chance, 1708.).

3

teorijom topline i svjetlosti. Na temelju toga dobio je katedru iz matematike na Sveucilistu

u Baselu.

Pred Jacobom II. bila je velika matematicka karijera. Dobio je katedru iz matematike na Aka-

demiji u St. Petersburgu. Bavio se geometrijom i matematickom fizikom. Ozenio se unukom

Leonharda Eulera. Nazalost, njegov zivot zavrsio je tragicno, utopio se plivajuci u Nevi.

U trecoj generaciji, Johann III., sin Johanna II., bio je iznimno talentiran, nastavlja obiteljsku

tradiciju, studirao je pravo, a bavio se i astronomijom, bio je kraljevski astronom u Berlinu.

Medutim, zanimala ga je matematika. Radio je na teoriji vjerojatnosti. Njegov brat Daniel

II bio je asistent stricu Danielu, a radio je i kao profesor u Baselu. Njihov brat Jacob II. bio

je izvrstan matematicar, a posvetio se i eksperimentalnoj fizici.

Poznati matematicari Bernoulli pojavili su se u vrlo vaznom matematickom razdoblju, nakon

otkrica diferencijalnog racuna. Za to otkrice najzasluzniji su Leibniz2 i Newton3, medutim

Bernoullijevi i Euler najzasluzniji su za razvoj diferencijalnog racuna i njegovu primjenu u

fizici i ostalim podrucjima. Oba brata, Johann i Jacob neposredni su nastavljaci Leibnizovog

djela. Bili su njegovi najpoznatiji ucenici, a kako su matematicarima toga vremena Leib-

nizovi radovi na infinitezimalnom racunu bili vrlo nejasni, braca Bernoulli su prvi pokusali

razumjeti i primijeniti njegove teorije. Bavili su se diferencijalnim jednadzbama i problemima

varijacijskog racuna, koji predstavljaju pocetak discipline funkcionalne analize. Obojica su

komunicirala s Leibnizom, osobito Johann koji je zasluzan za naziv integriranja. Poznat je i

po uvodenju separacije varijabli.

Njihova otkrica prakticno cine sadrzaj matematike sto se danas predaje na tehnickim fakulte-

tima. U 19. stoljecu matematika krece drugim, novim stazama, a Bernoulli svoju genijalnost

preusmjeruju izvan matematike.

2Gottfried Wilhelm Leibniz (1646.-1716.), njemacki filozof, matematicar i fizicar, napisao je prve radove o

diferencijalnom i integralnom racunu ”Nova methodus pro maximis et minimis” u ”Acta eroditorum” (1684.)

i ”De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitrum” (1686.).3Isaac Newton (1642.-1727.), engleski matematicar, fizicar i astronom, jedan od najvecih znanstvenika u

povijesti. Otkrio je opci zakon gravitacije te tako postavio temelj modernoj astronomiji. Godine 1687. Newton

je napisao knjigu Matematicka nacela prirodne filozofije (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) u

kojoj je formulirao tri osnovna zakona gibanja.

4

2. Najpoznatiji matematicari iz obitelji Bernoulli

2.1. Jacob Bernoulli (1654.-1705.)

Jacob (Jacques) Bernoulli (Slika 2) roden je u Baselu (Svicarska) 27. prosinca 1654. go-

dine, a umro je 16. kolovoza 1705. godine. Njegov djed Jacob Bernoulli bio je farmaceut

iz Amsterdama, a u Basel se doselio 1622. godine. Njegov otac Nicolaus (1623.-1708.) bio

je ugledan gradanin Basela, clan gradskog vijeca i sudac, a majka Margaretha Schonauer

takoder potjece iz ugledne obitelji.

Slika 2: Jacob Bernoulli

Jacob Bernoulli je brat Johanna i stric Daniela Bernoullia. Pod utjecajem roditelja upisao

je studij filozofije i teologije te zavrsio 1671. na Sveucilistu u Baselu magisterij iz filozo-

fije, a 1676. doktorat iz teologije. Takoder je proucavao matematiku i astronomiju unatoc

protivljenju roditelja. Moze se reci da je on uveo tradiciju bavljenja matematikom.

Nakon toga posao je na put po svijetu. Prvo je otisao u Zenevu gdje je radio kao ucitelj. Zatim

je otputovao u Francusku i tamo proveo 2 godine sa sljedbenicima Descartesa4, pod vodstvom

Nicolasa Malebranchea5. 1681. godine otisao je u Nizozemsku, gdje je upoznao mnoge poznate

matematicare, ukljucujuci i Huddea6. Nedugo zatim otisao je u Englesku, gdje je upoznao

4Rene Descartes (1596.-1650.), francuski filozof, fizicar, matematicar i utemeljitelj analiticke geometrije,

tj. geometrije u kojoj se geometrijski problemi rjesavaju algebarskim metodama. Poznat je po uvodenju

pojma promjenjive varijable i upotrebi pravokutnog koordinatnog sustava. Najvaznija djela su mu Rasprava

o metodi (Discours de la methode, 1637) i Geometrija (La geometrie, 1637).5Nicolas Malebranche (1638.-1715.), francuski filozof i sljedbenik Descartesa.6Johannes (van Waveren) Hudde(1628.-1704.), nizozemski matematicar. Proucavao je maksimum i mini-

mum funkcija. Bavio se i teorijom jednadzbi.

5

Boylea7 i Hookea8. U to vrijeme bio je zainteresiran za astronomiju i napisao neuspjelu

Teoriju o kometima (1682.) i Teoriju o gravitaciji (1683.). Zatim se vratio u Svicarsku i

proucavao mehaniku na Sveucilistu u Baselu. Medutim, najvise ga je zanimala matematika

i teorijska fizika. Proucavao je djela poznatih matematicara tog vremena, Descartesovu La

Geometrie (1637.) i Van Schootenov9 latinski prijevod tog djela (1649.).

Takoder, proucavao je i radove Wallisa10 i Barrowa11 i postao je zainteresiran za infinitezi-

malnu geometriju. Jacob je poceo s objavljivanjem u casopisu Acta Eruditorum, osnovanom

u Leipzigu 1682. (Slika 3).

Slika 3: Casopis Acta Eruditorum

1684. godine ozenio se s Judith Stupanus. Imali su dvoje djece, sina nazvanog po djedu

Nicolaus i kcer, koji za razliku od mnogih clanova obitelji Bernoulli nisu pokazali zanimanje

za matematiku i fiziku.7Robert Boyle (1627.-1691.), engleski kemicar i fizicar. Smatra se utemeljiteljem moderne kemije. Postavio

je zakon ovisnosti plina o tlaku (Boyle-ov zakon), koji opisuje obrnuto proporcionalan odnos izmedju apso-

lutnog tlaka i volumena plina, pod uvjetom da je temperatura konstantna. Svojom knjigom”The Sceptical

Chemist“ mnogo je pridonio razvoju kemije.8Robert Hooke (1635.-1703.), engleski fizicar, matematicar i izumitelj. Prvi je utvrdio da se svaka tvar

grijanjem rasteze, postavio je kineticku hipotezu plinova, i formulirao osnovni zakon teorije elasticnosti

(Hookeov zakon).9Franciscus van Schooten (1615.-1660.), nizozemski matematicar. Njegovo najvaznije djelo je Exercitati-

ones Mathematicae Libri quinque (Five Books of Mathematical Exercises), objavljeno 1657. godine.10John Wallis (1616.-1703.) engleski matematicar, dao je znacajan doprinos geometriji, trigonometriji i

analizi beskonacnih nizova.11Isaac Barrow (1630.-1677.), engleski teolog i matematicar. Pridonio je razvoju infinitezimalnog racuna.

Proucavao je svojstva tangente.

6

O Jacobu Bernoulliu se ovako navodi u [16]:

Bernoulli je uvelike unaprijedio algebru, infitezimalni racun, varijacijski racun,

mehaniku, teoriju o nizovima i teoriju vjerojatnosti. Bio je samovoljan, tvrdoglav,

agresivan, osvetoljubiv, opsjednut osjecajem inferiornosti, iako cvrsto uvjeren u

svoje sposobnosti. S ovakvim karakteristikama on se nuzno morao sukobiti sa

svojim slicno raspolozenim bratom. On je ipak imao velik utjecaj na sve i kasnije.

2.1.1. Znanstveni doprinos Jacoba Bernoullia

Jacob Bernoulli bio je svicarski matematicar koji je prvi koristio pojam integral (u njego-

vom djelu iz 1690. godine pojam integral pojavljuje se po prvi put sa svojim integracijskim

znacenjem). Takoder, bavio se problemom lancanice, koristio je polarne koordinate i otkrio

izokrone. Osobito je poznat po teoriji vjerojatnosti kojoj je upravo on dao moderni oblik.

Jedno od prvih Jacobovih otkrica bila je metoda matematicke indukcije (1685.-1686.) kao

metoda matematickog dokazivanja. Njom se moze dokazati Bernoullijeva nejednakost :

(1 + x)n ≥ 1 + nx

koja potjece iz 1689. godine. On je dokazao da ta nejednakost vrijedi za cijele eksponente n i

realne brojeve x ≥ −1. Kasnije je nejednakost prosirena i na racionalne, pa cak i iracionalne

eksponente koji su veci od 1.

Jacobov prvi vazan doprinos bili su brosura o slicnostima logike i algebre objavljena 1685.,

rad o teoriji vjerojatnosti 1685. i o geometriji 1687. godine.

Njegov izvanredan uspjeh bio je podjela trokuta na cetiri jednaka dijela pomocu dva medusobno

okomita pravca (1687.). Ovo je objavljeno kao dodatak djelu La Geometrie (1695.). Prvi rad

o infinitezimalnom racunu napisao je 1691. godine. Takoder, u samo jednoj godini (1689.)

objavio je rad o beskonacnim redovima i zakon velikih brojeva, vazan u teoriji vjerojatnosti.

Teorija vjerojatnosti

Osam godina nakon Jacobove smrti objavljena je njegova studija o teoriji vjerojatnosti u

djelu Ars Conjectandi (Slika 4). Sadrzi njegovu teoriju permutacije i kombinacije, filozofski

pristup vjerojatnosti, definicije vjerojatnosti a priori i aposteriori, tzv. Bernoullijeve brojeve

pomocu kojih je izveo eksponencijalne nizove te Bernoullijev zakon velikih brojeva (Teorem

1), koji je objavljen 1689. godine. Takoder, sadrzi i teorijsku diskusiju vjerojatnosti kao broja

izmedu 0 i 1.

Ars Conjectandi se moze smatrati prvim kompletnim pregledom teorije vjerojatnosti i njime

teorija vjerojatnosti postaje zasebna matematicka disciplina, a sastoji se od cetiri dijela:

7

Slika 4: Ars Conjectandi, Jacob Bernoulli

• U prvom dijelu Jacob Bernoulli prosiruje Huygensove12 rezultate, tu razraduje i pojam

ocekivanja, a obradeni su pojmovi Bernoullijev pokus i Bernoullijeva raspodjela.

Promatramo slucajan pokus sa samo dva moguca ishoda (npr. bacanje novcica, pri

cemu su jedini moguci ishodi pismo i glava). Te ishode opcenito nazivamo uspjeh ili

neuspjeh, a takve pokuse Bernoullijevim pokusima. Opcenito, slucajni pokusi ovakvog

tipa modelirani su tzv. Bernoullijevom slucajnom varijablom koja je dana sljedecom

tablicom distribucije:

X =

(0 1

q p

), 0 ≤ p ≤ 1, p+ q = 1.

S p oznacavamo vjerojatnost uspjeha, a sa q = 1–p vjerojatnost neuspjeha. Nezavisno

ponavljanje Bernoullijevog pokusa zove se Bernoullijeva shema.

Primjer 1 Bacamo igracu kockicu: neka je uspjeh–pala je sestica

X =

(0 156

16

).

12Christian Huygens (1629.-1695.), nizozemski astronom, matematicar i teorijski fizicar. Pridonio je razvoju

modernog integralnog i diferencijalnog racuna. Prvi je otkrio izgled Saturnova prstena, postavio je zakon

centrifugalne sile, te formulirao valnu teoriju svjetlosti.

8

Binomna distribucija proizlazi iz nezavisnog ponavljanja istog slucajnog pokusa n puta,

n ∈ N. Ako nas u svakom ponavljanju zanima samo je li se neki dogadaj dogodio ili ne,

onda ovako izvodenje pokusa modeliramo Bernoullijevom slucajnom varijablom tako

da je P (X = uspjeh)= p i P (X = neuspjeh) = q. Ako takav pokus ponovimo n puta

i zanima nas broj realizacija uspjeha (a on je iz skupa {0, 1, . . . , n}), to modeliramo

slucajnom varijablom koja ima binomnu distribuciju.

Definicija 1 Neka je n ∈ N i p ∈< 0, 1 > . Za slucajnu varijablu koja prima vrijed-

nosti iz skupa {0, 1, . . . , n} s vjerojatnostima

pi = P{X = i} =

(n

i

)pi(1− p)n−i

kazemo da ima binomnu distribuciju s parametrima n i p i pisemo: X ∼ B(n, p).

Znacenje parametara u X ∼ B(n, p):

p je vjerojatnost uspjeha u jednom izvodenju pokusa

n je broj nezavisnih ponavljanja pokusa.

• Drugi dio posvecen je kombinatorici; u njemu se koriste pojmovi permutacija i kom-

binacija (kombinacije je uveo Pascal, permutacije Jacob Bernoulli). Tu se pojavljuju i

Bernoullijevi brojevi (Tablica 1) koji su nasli znacajnu primjenu u analitickoj teoriji

brojeva. Danas se primjenjuju [12] brojevi oblika Bn, gdje je

B0 = 1, B1 = −1

2, Bn = 0 ako je n neparan i veci od 1,

Bn+1 = − 1

n+ 2

n∑k=0

(n+ 2

k

)Bk,

za koje vrijedi:

x

ex − 1=

+∞∑n=0

Bn xn

n!.

U starijoj literaturi se moze naci definicija Bernoulijevih brojeva B∗n za koje vrijedi:

x

ex − 1+x

2− 1 =

+∞∑n=1

(−1)n−1B∗n x2n

(2n)!.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Bn 1 −12

16

0 − 130

0 142

0 − 130

0 566

B∗n16

130

142

130

566

6912730

76

3617510

43867798

174611330

Tablica 1: Bernoulijevi brojevi

9

• Treci dio Ars Conjectandi obraduje primjenu kombinatorike na vjerojatnost u igrama

na srecu gdje se ne opisuju pravila i ciljevi igre koja se analizira, vec predstavljaju

vjerojatnosti za probleme vezane uz pojedinu igru.

• U cetvrtom dijelu primjenjuje se vjerojatnost na donosenje odluka u ekonomskim pro-

blemima te se taj dio, koji nije zavrsen, smatra najvaznijim u tom djelu. Tu se uocava

da se vjerojatnost moze odrediti aposteriori iz promatranih frekvencija dogadaja.

Pokusava se odrediti gornja granica za broj pokusa potrebnih za procjenu vjerojat-

nosti i pokazano je da je taj broj vrlo velik.

Po Jacobu Bernoulliu nazvan je i teorem iz teorije vjerojatnosti, takozvani Bernoullijev

zakon velikih brojeva.

Promatra se dogadaj A koji se u n pokusaja ostvari nA puta. Teorem povezuje rela-

tivnu frekvenciju p(A) = nA/n ostvarivanja dogadaja A s apriornom vjerojatnoscu tog

dogadaja koji oznacavamo s p. Broj nA je zapravo slucajna varijabla, oznacimo je s X,

pa je tako p(A) = X/n.

Teorem 1 Bernoullijev (slabi) zakon velikih brojeva

Za vrlo veliki broj pokusa n i za proizvoljni δ > 0, vjerojatnost da razlika |Xn− p| bude

veca od δ, je iscezavajuce mala:

limn→+∞

P

{∣∣∣∣Xn − p∣∣∣∣ ≥ δ

}= 0 .

S porastom n, vjerojatnost da se relativna frekvencija X/n razlikuje od apriorne vjero-

jatnosti p, opada prema nuli. Bernoullijev teorem se moze napisati i ovako

limn→+∞

P

{∣∣∣∣Xn − p∣∣∣∣ < δ

}= 1 .

Dokaz se moze naci u [5]. 2

Pokazana je i sljedeca tvrdnja: ako se dva dogadaja A i B medusobno iskljucuju i pokus

nema drugih mogucih ishoda te ako je nakon m + n pokusa, m puta ispao A, a n puta

B, onda se za velik broj pokusa broj mn

priblizava omjeru pq

vjerojatnosti dogadaja A

i B (q = 1− p) :

limk→+∞

m

k −m=

p

q,

gdje je k = m + n ukupni broj pokusa.

Rezultate Jacoba Bernoullia dopunio je i pojednostavio Abraham de Moivre13.

13Abraham de Moivre (1667.-1754.), francuski matematicar, poznat po formuli koja povezuje kompleksne

brojeve i trigonometriju te po svojem radu na podrucju teorije vjerojatnosti. Napisao je knjigu o teoriji

vjerojatnosti, ”The Doctrine of Chances: a method of calculating the probabilities of events in play”. U

stvarnom zivotu primijenio je svoje teorije na razlicite kockarske igre.

10

Jacobov doprinos geometriji

Jacob Bernoulli je znacajno pridonio analitickoj i diferencijalnoj geometriji. Proucavao je

krivulje u ravnini i prostoru uz primjenu Leibnizova racuna. Proucavao je lancanicu (1691.),

odnosno krivulju ciji oblik poprimaju paukova mreza poslije kise, elektricni vodovi izmedu

dvaju stupova, celicna uzad viseceg mosta ili pak lanac slobodno ovjesen o dva svoja kraja

na istoj visini, koji je u ravnotezi i na kojeg djeluje uniformna gravitacijska sila (tezina)

(Slika 5).

Slika 5: Ovjeseni lanac tvori lancanicu

Slika 6: Konstrukcija grafa hiperbolne funkcije ch

Funkcija ch : R 7→ [1,+∞) je parna funkcija. Njezin graf naziva se lancanica i

dobije se tako da se ”zbroje” grafovi funkcija x 7→ 12ex i x 7→ 1

2e−x. (Slika 6) [8]

Jednadzba lancanice u pravokutnim koordinatama (s opcim parametrom a) glasi:

y =a

2(e

xa + e−

xa ) = a · ch x

a

11

Izvod jednadzbe lancanice moze se pogledati u [7].

Slika 7: Prikaz lancanice

Lancanica se koristi u arhitekturi (u konstrukciji mostova, lukova, itd.).

1694. godine Jacob Bernoulli objavio je u Acta Eruditorum clanak o lemniskati (Slika 8) i

nazvao je lemniscus, sto je latinski naziv za ”ukrasnu traku”. Medutim, nije znao da ju je

opisao Cassini14 14 godina ranije. Lemniskata je krivulja u obliku osmice, tj. geometrijsko

mjesto tocaka za koje vrijedi da je umnozak udaljenosti od dviju tocaka (fokusa) jednak

kvadratu polovice udaljenosti tih fokusa.

U pravokutnim koordinatama jednadzba lemniskate glasi:

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2)

U polarnim koordinatama njena jednadzba je:

r2 = a2 cos(2θ)

14Giovanni Domenico Cassini (1625. - 1712.), francuski astronom, matematicar i inzenjer talijanskog po-

drijetla. Otkrio je cetiri Saturnova satelita i tamnu liniju duz cijelog Saturnova prstena, nazvanu Cassinijeva

pukotina (1675.)

12

Slika 8: Prikaz lemniskate

Opca svojstva lemniskate opisao je Giovanni Fagnano15 1750. godine. Engleski matematicar

John Wallis uveo je simbol za beskonacnost 1655. godine, u Arithmetica Infinitorum. Lem-

niskata se moze dobiti transformacijom hiperbole, tj. inverzijom u odnosu na krug cije je

srediste u sredistu hiperbole.

Daljnja Jacobova istrazivanja odnose se na evolute i kaustike, prve logaritamske spirale

(spira mirabilis) i parabole (1692.), a kasnije epicikloide (1692.). Pripada mu i prva primjena

polarnih koordinata (Slika 9).

Slika 9: Prikaz polarnih koordinata

15Giovanni Francesco Fagnano dei Toschi (1715. - 1797.) bio je talijanski matematicar i svecenik.

13

Napomena 1 (O pojmovima evoluta i evolventa)

Geometrijsko mjesto svih sredista kruznica zakrivljenosti zovemo evoluta zadane krivulje.

Zadanu krivulju u odnosu na evolutu zovemo evolventa.

Slika 10: Parabola i njena evoluta–lijevo; Zakrivljenost grafa funkcije–desno

Zakrivljenost grafa funkcije f u tocki A (Slika 10) definirat cemo kao

K = lim_AB→0

∆ϕ_

AB,

gdje je_

AB duljina luka krivulje Γf izmedu tocaka A i B, a ∆ϕ kut izmedu normala na graf

Γf u tockama A i B.

Apsolutnu reciprocnu vrijednost zakrivljenosti grafa Γf u tocki A nazivamo radijus zakriv-

ljenosti u tocki A:

R =1

|K|.

Kruznica radijusa R koja “iznutra” dodiruje graf Γf u tocki A naziva se kruznica zakriv-

ljenosti.

Slika 11: Srediste kruznice zakrivljenosti

14

Napomena 2 (O pojmu kaustika)

Kaustika (Slika 12) je srcolika krivulja ili ploha na kojoj se nakon refleksije na sfernome

ili cilindricnome zrcalu s velikim otvorom sijeku zrake koje padaju na zrcalo usporedno s

optickom osi. Kaustika je krivulja koja nastaje u presjecistima reflektiranih zraka. Unutar

granica geometrijske optike predstavlja envelopu reflektiranih ili refraktiranih zraka svjetlosti

projiciranu na neku povrsinu. Leonardo DaVinci16 je napravio u 16.st. skice- konstrukcije

kaustika. Kaustike je prvi proucavao i predstavio Tschirnhaus17 1682. godine.

Slika 12: Kaustika

Inace, i Descartes se bavio transcendentnim krivuljama: logaritamskom spiralom (Slika 14)

i cikloidom. Prvi je opisao logaritamsku spiralu, krivulju kod koje je za svaku njenu tocku,

kut radij vektora s polarnom osi proporcionalan logaritmu duljine radij vektora.

Jednadzba logaritamske spirale u polarnim koordinatama je

R = aekϕ

16Leonardo DaVinci (1452.-1519.), talijanski slikar, arhitekt, kipar i matematicar.17Ehrenfried Walter von Tschirnhaus (1651.-1708.), njemacki matematicar, fizicar, lijecnik i filozof. Bavio

se teorijom kaustika.

15

Slika 13: Prikaz logaritamske spirale

U svakoj tocki logaritamske spirale moze se konstruirati kruznica zakrivljenosti koja joj se (u

danoj tocki) najbolje”priljubljuje”; a ako se spoje sredista svih kruznica, dobije se evoluta

logaritamske spirale koja je opet logaritamska spirala (Slika 14).

Slika 14: Evoluta logaritamske spirale opet je logaritamska spirala i obrnuto, evolventa loga-

ritamske spirale je logaritamska spirala.

16

Jacob je bio zadivljen logaritamskom spiralom i trebala je biti ucrtana na njegov nadgrobni

spomenik. No greskom, na spomeniku je Arhimedova spirala, a uz nju su zapisane rijeci:

Eadem mutata resurgo sto se prevodi kao Ustat cu opet isti, samo izmijenjen. (Slika 15).

Arhimedova spirala u polarnim koordinatama ima jednadzbu: r = aϕ.

Slika 15: Jacobov nadgrobni spomenik i Arhimedova spirala

1690. godine, Jacob je definirao izokronu (jos se zove tautokrona) (grc. tauto-isti, izo-jednaka,

a chrono-vrijeme), krivulju koja ima svojstvo da materijalna tocka koja po njoj klizi pod

gravitacijom, do zadane pozicije uvijek dolazi u istom vremenu, neovisno o pocetnoj poziciji

(Slika 16). To su proucavali takoder Huygens i Leibniz.

Slika 16: Kuglice se spustaju po izokroni, neovisno o pocetnoj poziciji u isto vrijeme ce doci

do dna.

17

U clanku objavljenom u Acta Eruditorum, povezao je problem odredivanja krivulje izokrone

s rjesavanjem nelinearne diferencijalne jednadzbe 1. reda koju je rijesio metodom separacije

varijabli. Tada prvi put koristi pojam integral, pri analiziranju ove krivulje opadanja te je

dokazao da je to semikubna parabola s vrhom prema gore: y3 = −ax2, a > 0 (Slika 17).

Slika 17: Semikubna parabola y3 = −x2

1701. godine rijesio je izoperimetricki problem. To su problemi kod kojih se u skupu svih

zatvorenih skupova tocaka ravnine koji imaju jednak opseg trazi onaj s najvecom povrsinom.

Tako je postao jedan od zacetnika racuna varijacija. Problemi racuna varijacija svode se na

diferencijalne jednadzbe.

2.2. Johann Bernoulli (1667.-1748.)

Johann Bernoulli (Slika 18) bio je svicarski matematicar, poznat i po imenima Jean ili John

Bernoulli. Roden je 6. kolovoza 1667. godine, a umro je 1. sijecnja 1748. godine u Baselu.

Bio je 10. dijete Nicolausa i Margarethe Bernoulli, Jacobov brat, otac Daniela Bernoullia i

Nicolausa II.

Roditelji su zeljeli da Johann preuzme obiteljski posao u trgovini. Kad je imao 15 godina

zaposlio se kod oca u trgovini zacinima, ali kao i njegov stariji brat Jacob nije to zelio raditi

te je 1683. upisao medicinu na Sveucilistu u Baselu, unatoc zelji za studijem matematike.

Od Jacoba je trazio poduke iz matematike. Doktorski rad iz medicine bila mu je primjena

matematike u medicini. Zajedno s Jacobom proucavao je Leibnizova djela i bili su medu pr-

vima koji su ih uspjesno primjenjivali. Vec iz 1689. godine potjece njegov prvi matematicki

rad. Zanimala ga je matematicka analiza, odnosno posljedice Leibnizovog diferencijalnog i

integralnog racuna. 1691. godine Johann je otisao u Zenevu gdje je predavao diferencijalne

jednadzbe. Zatim odlazi u Pariz i (1692.) za vrijeme boravka u Parizu se dopisivao s Le-

18

Slika 18: Johann Bernoulli

ibnizom, a za njega je to razdoblje znacajnih matematickih dostignuca. Napisao je brojne

radove iz matematike s vrlo vaznim rezultatima. U Parizu je napisao svoju prvu knjigu o

integralnom racunu Lectiones mathematicae de methode integralium.

1692. godine Johann je u Parizu upoznao Guillaume Francois Antoine de L’Hopitala18 (Slika

19) i poducio ga Newton-Leibnizovom infinitezimalnom racunu.

Slika 19: Guillaume Francois Antoine de L’Hopital

Johann Bernoulli i L’Hopital su potpisali ugovor po kojem L’Hopital ima pravo koristiti

Bernoullijeva otkrica. L’Hopital je izdao prvi udzbenik iz matematicke analize, odnosno

18Guillaume Francois Antoine de L’Hopital (1661.-1704.), francuski matematicar, bavio se infinitezimalnim

racunom.

19

infinitezimalnog racuna (Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes cour-

bes (1696.), (Analiza beskonacno malih velicina za proucavanje krivulja), ali bez spomena

Johanna Bernoullija (osim u zahvali u predgovoru), a vecinu posla otkrio je i razradio Ber-

noulli, u koje se ubraja i pravilo, danas poznato kao L’Hopitalovo pravilo, koje olaksava

izracunavanje mnogih limesa. To je pravilo zapravo otkrio Johann i dio je njegovih preda-

vanja de L’Hopitalu. Vazno je napomenuti da je de L’Hopital u svojoj knjizi ispravio vise

Johannovih pogresaka, kao sto je na primjer Bernoullijeva pogresna tvrdnja da je nepravi

integral od 1/x konvergentan.

Johann Bernoulli se ozenio Dorotheom Falkner, a 1695. godine kad im je dijete imalo 7

mjeseci odselili su u Nizozemsku. Stigli su u Groningen i tamo proveli 10 godina, gdje su

se susreli s brojnim teskocama. Te godine je postao, prema Huygensovoj preporuci, profesor

matematike na sveucilistu u Groningenu. Johann je bio ukljucen u brojne vjerske sukobe, a

njegova kcer, rodena 1697., umrla je kad je imala 6 tjedana, a i Johann se tesko razbolio.

1702. godine bio je optuzen od strane jednog studenta Sveucilista u Groningenu, Petrusa

Venhuysena, da slijedi Descartesovu filozofiju i da se time suprotstavlja kalvinskoj vjeri.

Johann Bernoulli postigao je veliki uspjeh u svom zivotu. Bio je najplodniji od svih Bernoul-

lia. Zivio je dugo i bio aktivan do kraja zivota. Osim u matematici dao je ozbiljan doprinos u

fizici, kemiji i astronomiji. Izabran je za suradnika na akademijama u Parizu, Berlinu, Lon-

donu. Bio je poznat kao”Arhimed tog doba“, a to je i upisano na njegov nadgrobni spomenik.

Njegovi sinovi, Nicolaus II., Daniel i Johann II. Bernoulli postali su matematicari.

2.2.1. Znanstveni doprinos Johanna Bernoullia

Johann Bernoulli rijesio je problem lancanice, koji je postavio njegov brat Jacob 1691. go-

dine. To je bilo njegovo prvo matematicko dostignuce, neovisno od njegovog brata, iako je

koristio Jacobove ideje pri postavljanju ovog problema. Johann je uzivao u cinjenici da je

bio u mogucnosti rijesiti taj problem, a njegov brat Jacob nije. U pismu Pierre de Remond

Montmortu od 29. rujna 1718., on se veselo prisjeca trijumfa od 27 godina ranije:

Nastojanja mog brata su bila bez uspjeha, sto se mene tice, imao sam vise srece,

jer ja sam pronasao kako to rijesiti u cijelosti. Kazem to bez hvalisanja, zasto

bih trebao skrivati istinu? Istina je da me proucavanje stajalo odmora za cijelu

noc. Bilo je to puno za te dane i tu mladu dob, s malo iskustva, ali sljedece jutro,

pun radosti, trcao sam s mojim bratom, koji se jos uvijek borio s ovim gordijskim

cvorom bez uspjeha, uvijek razmisljajuci kao Galileo, da je lancanica parabola.

Rekao sam mu: ”Stani! Prestani! Ne muci sebe vise pokusavajuci dokazati iden-

titet lancanice s parabolom, jer je u potpunosti netocno. Parabola doista sluzi u

izgradnji lancanice, ali su te dvije krivulje toliko razlicite da je jedna algebarska,

a druga transcendentna.”[19]

20

1694. godine bavio se istrazivanjem nizova, koristeci metodu parcijalne integracije. Inte-

gracija je promatrana kao inverzija derivacije i s ovim pristupom imao je veliki uspjeh u

rjesavanju diferencijalnih jednadzbi. On je sazeo nizove i otkrio teoreme za trigonometrijske

i hiperbolne funkcije, koristeci odgovarajuce diferencijalne jednadzbe. Za ovaj veliki doprinos

u matematici dobio je nagradu 1695. godine.

Bernoulli je takoder napravio vazan doprinos u mehanici sa svojim radom na kinetickoj

energiji. Prvi je koji je koristio termin”funkcija“ 1698. u objavljenom radu o krivuljama te ga

koristi u dopisivanju s Leibnizom. U jednom svom pismu Leibnizu kaze da je funkcija velicina

koja je na neki nacin formirana iz neodredenih i konstantnih velicina. Prvi koji je pojam

funkcije postavio kao temeljni matematicki pojam bio je Johannov ucenik Leonhard Euler

(Slika 20) (1707.-1783.), svicarski matematicar vrlo vazan u matematickom svijetu. Jedan

je od prvih matematicara koji su se bavili parcijalnim diferencijalnim jednadzbama. Uveo je

beta i gama funkciju (poznate i kao Eulerovi integrali), metodu Eulerovog multiplikatora u

rjesavanju diferencijalnih jednadzbi. Opcenito, smatra se najplodnijim matematicarem svih

vremena. U Introductio in analysin infinitorum funkciju definira ovako: Funkcija varijabilne

velicine je analiticki izraz (izraz formiran pomocu uobicajenih matematickih operacija) koji

je na bilo kakav nacin sastavljen od te varijabilne velicine i brojeva ili konstantnih velicina.

Bernoulli je predlozio da se koristi grcko slovo ϕ kao oznaka za funkciju od x, odnosno ϕ(x).

Euler je koristio oznaku f za funkciju od x, f(x). Prema Euleru se zove i poznata Eulerova

jednadzba: eix = cosx+ i sinx, iako ju je navodno ranije otkrio Bernoulli. Euler je na osnovi

rezultata brace Bernoulli o problemu brahistohrone razvio varijacijski racun.

Slika 20: Leonhard Euler

O svom ucitelju Johannu Bernoulliju Euler je pisao:” Iako me je radi zauzetosti

odlucno odbio kad sam ga zamolio da mi daje instrukcije, ipak mi je dao vrlo

21

koristan savjet koji se sastojao u tome da se jednostavno sam prihvatim teskih

matematickih knjiga i predano ih proucim. Kad bih se susreo s nekom zaprekom ili

teskocom, dopustio bi mi da slobodno dodem k njemu svake subote poslijepodne

i ljubazno mi objasnjavao sve teskoce na koje bih nailazio. Kada bih uklonio

jednu zapreku, istog casa preda mnom je iskrsnulo deset novih. To je bila najbolja

metoda za postizanje uspjeha u matematickoj znanosti.“ [4]

U svom dopisivanju Leibniz i Johann Bernoulli su raspravljali o nazivu i oznaci za integral.

Johann se zalagao za simbol I i naziv calculus integralis, a Leibniz za∫

i calculus summatoris.

Dogovorili su se kompromisno za Leibnizov simbol i Bernoullijev naziv.

1738. godine Johann je objavio knjigu Hydraullica, u isto vrijeme kad je objavljena knjiga

njegovog sina Daniela, Hydrodynamica.

Bernoulijeva diferencijalna jednadzba

Jacob se godinama bavio diferencijalnom jednadzbom, a 1696. godine rijesio je jednadzbu,

danas poznatu kao Bernoullijeva diferencijalna jednadzba:

y′ + p(x)y = q(x)yn, n 6= 1, n 6= 0.

Za n = 0 jednadzba prelazi u linearnu, a za n = 1 jednadzba se moze rijesiti separacijom

varijabli.

No, ta jednadzba se ranije spominjala prema Johannu koji ju je linearizirao genijalnom

supstitucijom z = y1−n.

Neka je z = y1−n. Tada je y = z1/(1−n) i y′ = 11−nz

n/(1−n)z′. Uvrstavanjem ovih vrijednosti u

Bernoullijevu jednadzbu dobivamo:

1

1− nzn/(1−n)z′ + p(x)z1/(1−n) = q(x)zn/(1−n).

Mnozenjem sa z1

1−n dobivamo linearnu diferencijalnu jednadzbu:

z′ + (1− n)p(x)z = (1− n)q(x).

Primjer 2 Odredimo opce rjesenje diferencijalne jednadzbe y′ − xy = −y3e−x2

.

Rjesenje:

Koristimo supstituciju

z =1

y2,

koristeci gornje formule dobivamo

z′ + 2xz = 2e−x2

.

22

U formulu za rjesenje linearne diferencijalne jednadzbe z = e−∫p(x)dx

[∫q(x)e

∫p(x)dxdx+ C

]uvrstavamo

p (x) = 2x, q (x) = 2e−x2

i dobivamo

z = e−∫2xdx

[∫2e−x

2

e∫2xdxdx+ C

],

z = e−x2

[∫2e−x

2

ex2

dx+ C

],

z = e−x2

(2x+ C)

Vracanjem u supstituciju z =1

y2dobivamo

1

y2= e−x

2

(2x+ C) .

Brahistohrona

Tipican problem varijacijskog racuna je problem brahistohrone kojeg je postavio Johann

1696. godine (grc. brachistos”najkraci“ i chronos

”vrijeme“). Brahistohrona je krivulja u

ravnini, koja spaja dvije tocke tako da tocka koja se po njoj giba pod utjecajem gravitacije

stigne iz jedne do druge u najkracem vremenu (Slika 21).

Slika 21: Brahistohrona

Primjer 3 Problem brahistohrone ili najkraceg vremena glasi: odredite krivulju po

kojoj ce teska materijalna tocka ispustena iz ishodista klizuci se bez trenja najbrze stici u

tocku A = (a, b) (Slika 22). Takva krivulja zove se brahistohrona.

Neka su (x(t), y(t)) koordinate materijalne tocke u trenutku t. Neka je s prijedeni put, v

brzina i m masa materijalne tocke. Konstantu gravitacije oznacit cemo s g. Prema zakonu

o ocuvanju energije vrijedi

23

Slika 22: Problem brahistohrone

1

2mv2 −mgx = 0,

odnosno,

v =√

2gx.

S druge strane je v = ds/dt pa nakon uvrstavanja i sredivanja imamo

dt =ds√2gx

.

Element duljine luka ravninske krivulje jednak je ds =√

1 + y′2dx pa je

dt =

√1 + y′2

2gxdx.

Integral daje ukupno vrijeme spustanja:

t = t(y) =1√2gx

a∫0

√1 + y′2

xdx.

Dakle, brahistrona je krivulja koja minimizira funkcional t.

Tim se problemom ranije bavio Galileo i dobio krivo rjesenje da je ta krivulja luk kruznice.

Johann je znao rijesiti problem, ali ga je 1696. postavio kao izazov drugim matematicarima.

Tako je dobiveno pet rjesenja - uz Johanna, problem su rijesili i Jacob te Newton, von Leibniz

i de L’Hopital. Newton je poslao svoje rjesenje problema i ono je bilo objavljeno, ali na njegov

zahtjev nepotpisano (na rjesavanje problema je primijenio varijacijski racun). No, orginalnost

rjesenja upucivala je na identitet autora. Kada je Bernoulli vidio rjesenje, komentirao je

24

rijecima:”Lava se prepoznaje po pandzama!“. Godinu dana kasnije, o toj temi su objavljeni

radovi obojice brace, kao i Leibnizova primjedba. Rjesenje problema brahistohrone je luk

obrnute krivulje cikloide.

Cikloida je krivulja koju opisuje tocka kruznice polumjera a kada se kruznica kotrlja bez

klizanja po pravcu, a pri tome je t kut za koji se kruznica zarotirala (Slika 23).

Za cikloidu, kao za objekt matematickog istrazivanja, se prvi zainteresirao Galilei te je

pronasao neka njena svojstva i dao joj ime. Njegov ucenik Toricelli je odredio povrsinu

cikloide, a nakon njega su ju dalje proucavali mnogi poznati matematicari. Cikloida je bila

vrlo zanimljiva i zbog toga sto su mnoga njezina svojstva bila poznata, te zato sto se pri-

mjena novih metoda u istrazivanju cikloide pokazala iznimno pogodnom zbog jednostavnosti

njezinih infinitezimalnih svojstava.

Parametarska jednadzba cikloide je

x = a(t− sin t)

y = a(1− cos t), t ∈ [0, 2π]

Slika 23: Cikloida

L’Hopitalovo pravilo

Nakon de L’Hopitalove smrti 1704. godine, Johann je snazno naglasavao da je on autor

L’Hopitalove knjige. Medutim, nisu mu vjerovali, sve do dokaza otkrivenih 1922. godine,

kad je u Baselu pronaden rukopis diferencijalnog racuna (koji je Johann pripremio za svog

pariskog ucenika de L’Hopitala). Tako poznato L’Hopitalovo pravilo (za slucaj limesa tipa 0/0

i sl.) ne nosi ime po Bernoulliju, iako bi to kao Johannovo otkrice zasluzilo. Inace L’Hopitalov

udzbenik izasao je samo u Francuskoj pet puta u narednih 75 godina. Latinski prijevod De

analysi indivisibilium izasao je u Becu 1764. godine.

U svom najjednostavnijem obliku L’Hopitalovo pravilo kaze da za funkcije f i g koje su

diferencijabilne na I\{c}, gdje je I otvoren interval koji sadrzi c vrijedi: ako je limx→c f(x) =

limx→cg(x) = 0 ili ±∞ i ako limx→cf ′(x)g′(x)

postoji i g′(x) 6= 0 za x ∈ I\{c}, onda je

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x).

25

Primjer 4 Primjena L’Hopitalovog pravila:

(a) neodredenost(00

)limx→0

ex − 1− xx2

= limx→0

ex − 1

2x= lim

x→0

ex

2=

1

2,

(b) neodredenost(∞∞

)limx→∞

lnx

x= lim

x→∞

1/x

1= 0.

2.3. Daniel Bernoulli (1700.-1782.)

Daniel Bernoulli (Slika 24), Johannov sin, roden je 8. veljace 1700. godine u Groningenu, a

umro je u Baselu 17. ozujka 1782. godine.

Kad je imao 5 godina, preselio se s obitelji u Basel, gdje se njegov otac zaposlio na mjesto

njegovog strica Jacoba. Johann je trazio od Daniela da se bavi trgovinom. Medutim, Daniel

je zelio studirati matematiku i pokazao je veliko zanimanje za diferencijalne jednadzbe.

Matematiku je ucio od brata Nicolausa. 1718. godine upisao je studij medicine u Heidelbergu.

Za vrijeme studija medicine, Daniel je proucavao ocevu teoriju o kinetickoj energiji. Ono sto

je saznao o ocuvanju energije, primijenio je na medicinska istrazivanja i napisao je doktorski

rad o mehanici disanja. Dakle, kao i njegov otac, Daniel je primijenio u medicini znanje iz

matematicke fizike.

Slika 24: Daniel Bernoulli

Nakon sto nije uspio dobiti posao na Sveucilistu u Baselu, Daniel je otisao u Veneciju. Tamo

se ozbiljno razbolio i nije bio u mogucnosti ici u Padovu na daljnje medicinske studije. 1724.

26

godine, u Veneciji je objavljen njegov prvi matematicki rad Exercitationes (Matematicke

vjezbe), uz pomoc Goldbacha. Nakon toga, ponuden mu je posao na katedri za matematiku

u St. Petersburgu. Njegovom bratu Nicolausu II. takoder je ponuden posao u St. Petersburgu

i tako su krajem 1725. godine obojica otputovala tamo. U roku od 8 mjeseci od Danielovog

zaposljavanja u St. Petersburgu njegov brat umro je od groznice. Nakon toga, Daniel je

razmisljao o odlasku u Basel i pisao ocu Johannu kako je nesretan u St. Petersburgu. Johann

je poslao jednog od svojih najboljih ucenika, Leonharda Eulera, da ode u St. Petersburg i

radi s Danielom.

Euler je stigao 1727. i to razdoblje do 1733. bilo je za Daniela najproduktivnije. Ovdje je

definirao jednostavne cvorove i frekvenciju titranja sustava, na temelju glazbenih instrume-

nata. Dokazao je da se pokreti zica glazbenih instrumenata sastoje od beskonacnog broja

harmonijskih titranja.

Unatoc znanstvenom napredovanju, Daniel nije zelio ostati u St. Petersburgu. Pokusavao je

u Baselu dobiti katedru iz matematike, ali nije uspio. 1733. godine napustio je St. Petersburg

i posjetio Hamburg, Nizozemsku i Pariz, prije povratka u Basel 1734. Iako je napustio St.

Petersburg, zapoceo je dopisivanje s Eulerom i razmjenjivali su ideje o titrajima.

Bernoullijev aktivan i mastovit um bavio se najrazlicitijim znanstvenim podrucjima.

Takvi siroki interesi su ga medutim sprjecavali da zavrsi neke svoje projekte. Po-

sebno je zalosno sto nije mogao pratiti brzi napredak matematike koji je poceo

sa uvodenjem parcijalnih diferencijalnih jednadzbi u matematicku fiziku. Ipak,

osigurao si je trajno mjesto u povijesti znanosti kroz svoj rad i otkrica u hidrodi-

namici, kinetickoj teoriji plinova, kroz novu metodu za izracunavanje vrijednosti

povecanja imovine i kroz demonstraciju da se najcesci pokret zica glazbenog ins-

trumenta sastoji od slaganja beskonacnog broja harmonijskih titranja. [16]

Najvazniji rad koji je Daniel napravio dok je bio u St. Petersburgu bila je knjiga pod nazivom

Hydrodynamica, objavljena 1738. godine.

Na natjecaju Pariske akademije 1737. godine dobio je nagradu na temelju rada iz nauticke

teme, za najbolji oblik brodskog sidra. 1748. poslao je Berlinskoj akademiji raspravu koja

pokazuje da je zbroj kineticke i potencijalne energije konstantan. 1750. godine zaposlio se

na katedri iz fizike i predavao fiziku u Baselu 26 godina, sve do 1776. godine.

2.3.1. Znanstveni doprinos Daniela Bernoullia

Daniel Bernoulli 1760-ih godina prvi uvodi tehnike diferencijalnog racuna u teoriju vjerojat-

nosti, a svoja otkrica primjenjivao je na pitanja osiguranja.

Ideju uvodenja diferencijalnog racuna u teoriju vjerojatnosti opisat cemo na primjeru. Uz-

mimo da imamo dvije urne s po n kuglica, u jednoj crvenih, u drugoj plavih. Neka se pokus

27

sastoji u istovremenom prebacivanju po jedne kuglice iz prve u drugu i druge u prvu urnu,

bez gledanja. Neka je r broj pokusa. Zanima nas koji je najvjerojatniji broj crvenih kuglica x

u prvoj urni nakon r pokusa. Metoda Daniela Bernoullia je da se za velike n promjena broja

kuglica neke boje za 1 moze shvatiti kao infinitezimalni porast ili smanjenje ukupnog broja

kuglica. Uzmimo da su x i r neprekidno promjenjljive velicine. Ukoliko je trenutno u prvoj

urni x crvenih kuglica, onda je vjerojatnost da se u nju stavi jedna crvena kuglica iz druge

urne jednaka n−xn, a da se iz nje izvadi crvena kuglica i prebaci u drugu urnu vjerojatnost

je xn. Neka je dx

dromjer prirasta broja crvenih kuglica u prvoj urni i prirasta broja pokusa.

Slijedi da jedx

dr=n− xn− x

n.

Ova diferencijalna jednadzba lako se rijesi metodom separacije varijabli:

dx

2x− n= −dr

n,

1

2ln(2x− n) = − r

n+ C1,

2x− n = Ce−2rn ,

x =n

2+C

2e−

2rn .

Kako je x(0) = n, slijedi n = n2

+ C2

tj. C = n, pa je

x(r) =n

2

(1 + e−

2rn

).

Dakle, za veliki broj kuglica n, broj crvenih kuglica u prvoj urni x nakon r pokusa se moze

procijeniti s n2

(1 + e−

2rn

).

Vazan rad koji je Daniel napravio u St. Petersburgu, bio je o vjerojatnosti i politickoj eko-

nomiji. 1738. godine napisao je rad u kojem uvodi pojam ”korisnosti” ishoda odluke. Ona je

subjektivna i odnosi se na procjenu subjektivne vrijednosti (korisnosti) za donositelja odluke,

a ne svodi se samo na proracun vjerojatnosti. Postulirao je S oblik krivulje korisnosti, kon-

kavnu funkciju ukupnog bogatstva donositelja odluke da bi objasnio zasto su ljudi opcenito

neskloni riziku te voljni pristati na nize naknade u zamjenu za sigurnost. Pretpostavlja raci-

onalnost donositelja odluke u smislu da ce donositelj odluke uvijek izabrati onu inacicu koja

mu donosi najvecu korisnost. U teoriji korisnosti pretpostavlja se da ljudi nisu skloni riziku

i da novo povecanje njihovog bogatstva donosi sve manji porast korisnosti.

Hidrodinamika

Danielova knjiga Hydrodynamica (Slika 25) temelji se na nacelu ocuvanja energije koje je

proucavao s ocem Johannom 1720. godine. Takoder, raspravljao je i o crpkama i drugim

strojevima za podizanje vode. U 13. poglavlju ove knjige potaknuo je pitanje pogona broda

28

Slika 25: Hydrodynamica

s pomocu reakcije vode. Utvrdio je utjecaj statickog stabiliteta na ljuljanje broda. Bavio

se istrazivanjem odnosa brzine strujanja fluida i tlaka. Prakticno rjesenje za to Bernoulli je

pronasao u nacinu da se cijev kojom struji neki fluid probije otvorenom slamkom. Ovisno o

tlaku fluida, visina njegovog stupca u slamci bi se mijenjala. Upravo na tom nacelu, lijecnici

Bernoullijevog vremena otkrili su da mogu mjeriti tlak krvi pacijentima, na nacin da im u

arteriju zabodu malu, na jednom kraju naostrenu staklenu cjevcicu. Ova metoda mjerenja

krvnog tlaka ostala je u upotrebi 170 godina.

U knjizi Hydrodynamica primijenio je zakone Newtonove mehanike na gibanje fluida (tekucina

i plinova) i smatra se osnivacem hidrodinamike. Izveo je osnovnu jednadzbu za gibanje fluida,

koja nosi naziv Bernoullijeva jednadzba i opisuje stacionarno strujanje tekucine, bez trenja.

Na svakom je mjestu vodoravne cijevi kojoj je tok stacionaran hidrodinamicki tlak (tj. zbroj

statickoga i dinamickoga tlaka) konstantan. Bernoullijeva jednadzba ekvivalentna je zakonu

ocuvanja energije.

Njegova matematicka i medicinska istrazivanja tijesno su povezana s pojedinim fizikalnim

problemima. Daniel je prvi koji je izracunao koliki je rad srca.

Bernoullijevo nacelo

To je nacelo hidrodinamike koje govori o strujanju nestlacivog fluida, a Daniel ga je opisao

1738. godine. Porast brzine strujanja fluida se dogada istodobno s padom tlaka u fluidu, ili

padom potencijalne energije fluida.

29

Kineticka teorija plinova

Vazno otkrice se pojavljuje u 10. poglavlju knjige Hydrodynamica, gdje Daniel raspravlja o

kinetickoj energiji plinova. Uveo je jednostavni kineticki model plinova, s tockastim cesticama

plina koje se elasticno sudaraju medusobno i sa stijenkama posude te na temelju toga je izveo

Boyle-Mariotteov zakon. Inace, kineticka teorija plinova objasnjava makroskopska svojstva

plinova, kao sto su tlak, temperatura i obujam, razmatrajuci njihov sastav i kretanja. Daniel

je tvrdio da se plinovi sastoje od velikog broja molekula, koje se stalno krecu u svim smjero-

vima te da njihovi udarci na stijenke spremnika stvaraju tlak, a da je toplina koju osjecamo

zapravo kineticka energija kretanja molekula. Uocio je povezanost brzine gibanja cestica i

temperature zraka te tako postao osnivacem kineticke teorije plinova. Ta teorija u pocetku

nije imala uspjeha, a tek nakon zakona o ocuvanju energije postaje opce prihvacena.

Na temelju eksperimentalnih dokaza proucavao je odredene zakone, koji su bili utvrdeni

godinama kasnije. Medu njima je i Coulombov zakon o elektrostatici, u kojem je opisano

djelovanje elektrostaticke sile, a govori da je”velicina elektrostaticke sile izmedu dva tockasta

naboja razmjerna umnosku velicine oba naboja i obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti

izmedu njih“. Daniel je napisao brojne radove tijekom boravka u Baselu. Sveukupno, osvojio

je 10 nagrada Francuske akademije, s temama iz astronomije i nautickim temama. 1740.

godine osvojio je zajedno s Eulerom nagradu za rad na Newtonovoj”teoriji morskih mijena“,

1743. i 1746. za radove o magnetizmu, 1747. za metodu odredivanja vremena na moru, 1751.

za rad o oceanskim strujama, a 1757. za prijedloge za smanjenje posrtanja i ljuljanja broda

na otvorenom moru.

Vazan doprinos Daniela je u razvoju matematicke fizike. Prihvatio je mnoge Newtonove

teorije. Radio je na mehanici i opet koristio nacelo ocuvanja energije.

30

3. Sukobi u obitelji Bernoulli

U ovom poglavlju prikazat cemo neslaganja izmedu clanova obitelji Bernoulli: najpoznatiji

su brace Jacoba i Johanna Bernoullija te Johanna i njegovog sina Daniela.

Mnoge matematicke ideje i dokazi teorema u povijesti izazvali su sukobe medu

matematicarima. Ponekad se radilo o sukobima oko prvenstva (”ja sam to prije

dokazao!”), ponekad oko tocnosti rezultata (”krivo si to dokazao!”), ponekad oko

autorstva (”ukrao si mi teorem!”). [1].

3.1. Jacob - Johann Bernoulli

Slika 26: Johann i Jacob rade na rjesavanju matematickog problema

Kao sto je spomenuto ranije, Jacob i Johann su bili vrlo uspjesni i poznati matematicari. Ja-

cob je osobito poznat po rezultatima iz teorije vjerojatnosti, kojoj je upravo on dao moderni

oblik. Johanna je vise zanimala matematicka analiza, odnosno posljedice von Leibnizovog di-

ferencijalnog i integralnog racuna. Ipak, oba su se brata bavila diferencijalnim jednadzbama i

problemima varijacijskog racuna. I premda su braca radila na slicnim problemima, suradnja

je prerasla u suparnistvo, koje je ponekad prelazilo granice tolerancije i razumijevanja. U

pocetku, Jacob i Johann su se slagali i Jacob je poucavao svog mladeg brata matematici.

Medutim, kako je vrijeme prolazilo, javila se odredena napetost i ljubomora. Mozda je tu

igrala ulogu i dobna razlika (Johann je bio deseto dijete), a mozda i razlicitost karaktera. Zna

se da je Johann bio bistriji, a Jacob temeljitiji. Johann se poceo hvaliti svojim uspjehom, a u

isto vrijeme je omalovazavao svog brata. Zbog toga je Jacob poceo podcjenjivati Johannove

sposobnosti i odnosio se prema njemu kao uceniku koji je sve naucio od njega. Osobito je

bilo ruzno kad su njihovi sukobi izlazili u javnost te kad su jedan drugoga podcjenjivali. No,

31

mozda je bas to suparnistvo i utjecalo da su obojica dala rezultate od povijesnog znacaja za

matematicku znanost.

1691. godine Johann je rijesio problem koji je postavio Jacob, o nalazenju formule lancanice,

tj. kosinusa hiperbolnog. U to vrijeme, braca su jos intenzivno suradivala, no ubrzo su se

krenuli sukobljavati. Jacob je radio na Sveucilistu u Baselu, a Johann nije mogao dobiti

posao tamo. Johann se hvalio svojim rezultatima, a Jacob ga je grubo napadao u tisku i

tvrdio kako ga je on svemu naucio. Kako su oba brata bila vrlo osjetljiva i zeljna priznanja,

sukob se sve vise pojacavao. Buduci da nije mogao dobiti mjesto u Baselu, Johann je odselio

u Nizozemsku. Kad je Jacob 1697. rijesio problem brahistohrone, koji je postavio Johann,

on je to pozdravio lijepim rijecima, no opet je doslo do velike svade u kojoj je Jacob izazvao

Johanna novim problemom slicnog tipa. Johann je rijesio i taj problem, a svada se pojacavala,

pa su iste godine Jacob i Johann prekinuli komunikaciju. Johann se nakon Jacobove smrti

vratio u Svicarsku i naslijedio njegovo profesorsko mjesto na Sveucilistu u Baselu.

Osjetljivost, razdrazljivost, uzajamna strast prema kritici i pretjerana potreba za

priznanja udaljili su bracu, od kojih je Jacob imao sporiji, ali dublji razum. [16]

3.2. Johann – Daniel Bernoulli

Johann Bernoulli bio je poznat po tome sto je bio vrlo ljubomoran. 1734. godine Daniel se

prijavio na natjecaj Pariske akademije, zajedno s ocem. Odluceno je da njih dvojica dijele

prvu nagradu. To mu otac nije mogao podnijeti, da mu je sin ocijenjen kao jednak njemu,

sto je rezultiralo svadom. Cak ga je otjerao iz obiteljske kuce. Daniel je ostao u Baselu, ali

vise nije imao toliko velik interes za matematiku, niti uspjeha kao u St. Petersburgu.

Zbog ljubomore prema sinu Danielu, Johann je uzeo sve ideje iz knjige svoga sina po

imenu Hydrodynamica te je to uvrstio u svoju knjigu Hydraullica i tako pokusao dobiti

prednost nad svojim sinom Danielom. Tvrdio je da je njegova knjiga Hydraullica od 1732.,

sto je bilo netocno. Naime, Daniel je zavrsio svoju knjigu Hydrodynamica 1734., a objavljena

je 1738., u isto vrijeme kad je objavljena i Hydraullica. Proucavanje povijesnih zapisa poka-

zalo je da su Johannove tvrdnje da je Hydraullica objavljena prije nego je njegov sin napisao

Hydrodynamica, lazne.

Nema dokaza da je Daniel kriv za neslaganje s ocem. Naprotiv, Daniel je pokusao popraviti

njihov odnos, tako da je na naslovnoj strani njegove knjige Hydrodynamica napisao”Daniel

Bernoulli, Johannov sin“. Jos jedan dokaz da Daniel nije bio ljubomoran na clanove svoje

obitelji, kao sto su bili Jacob i Johann, bila je cinjenica da je napravio zajednicki rad sa

svojim mladim bratom Johannom II.

32

Sazetak

Obitelj Bernoulli jedna je od najpoznatijh obitelji u svijetu znanosti i dala je rezultate od

povijesnog znacaja za matematicku znanost. Poznati matematicari Bernoulli pojavili su se

u vrlo vaznom matematickom razdoblju, nakon otkrica diferencijalnog racuna.

Jacob Bernoulli bio je svicarski matematicar, osobito poznat po teoriji vjerojatnosti, kojoj

je upravo on dao moderni oblik. Znacajno je pridonio analitickoj i diferencijalnoj geometriji.

Bavio se problemom lancanice. Takoder, koristio je polarne koordinate i otkrio izokrone.

Johann Bernoulli naucio je matematiku uz pomoc svog starijeg brata Jacoba. Prvi je koji je

koristio termin”funkcija“, a poznat je i po uvodenju separacije varijabli.

Daniel Bernoulli se smatra utemeljiteljem matematicke fizike, a uveo je i primjenu diferen-

cijalnog racuna u teoriju vjerojatnosti.

Iako su bili vrlo uspjesni, medusobno su se sukobljavali. Genijalnost Bernoullija nastavila

se tijekom 19. stoljeca, sve do danasnjih dana, samo sto kasnije vise nije bilo povijesno

istaknutijih matematicara.

Summary

The Bernoulli family is one of the best known family in the world of science, and they

have given the important results for the mathematical science. The greatest mathematicians

Bernoulli appeared in a very important mathematical period, after the discovery of the

differential calculus.

Jacob Bernoulli was a Swiss mathematician and he is best known for his theory of probability,

which he gave a modern form. He contributed significantly to the analytical and differential

geometry. He studied the catenary, and was an early user of polar coordinates and discovered

the isochrones.

Johann Bernoulli was studying mathematics with his older brother Jacob. He was the first

who used the term ”function”, and he is known for introducing the separation of variables.

Daniel Bernoulli is considered as the founder of mathematical physics, and introduced the

use of the calculus in probability theory.

Although they were very successful, they were in conflict. The genius of Bernoulli continued

during the 19th century, until today, only later was no more historically important mathe-

maticians.

33

Literatura

[1] F. M. Bruckler, Povijest matematike II, Odjel za matematiku, Osijek, 2007.

[2] B. Dakic, Jacob Bernoulli, MiS, br. 31., godina VII, 2005.

[3] H. Eves, Great moments in Mathematics (after 1650), The Mathematical Association

of America, 1983.

[4] G. Gers Isakovic, Povijest matematike za skolu, Skolske novine, Zagreb, 2003.

[5] Z. Glumac, Vjerojatnost i statistika – Uvod, Osijek, 2006.-2013.

http://www.fizika.unios.hr/~zglumac/uvs.pdf(listopad 2013.)

[6] I. Gusic, Matematicari Bernoulli, Matka 8 (1999. / 2000.) broj 29

[7] Z. Hanjs, Lancanica, MiS, br. 6., godina II, 2000.

[8] D. Jukic, R. Scitovski, Matematika I, Odjel za matematiku, Osijek, 2001.

[9] D. E. Smith, History of mathematics, Volume I, Dover Publications inc., New York,

1958.

[10] D. E. Smith, History of mathematics, Volume II, Dover Publications inc., New York,

1953.

[11] S. Znam i dr., Pogled u povijest matematike, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1989.

[12] http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html(rujan 2013.)

[13] http://library.thinkquest.org/22584/temh3007.html(rujan 2013.)

[14] http://www.math.wichita.edu/history/men/bernoulli.html(rujan 2013.)

[15] http://www.mathos.unios.hr/uvis/materijali.html(listopad 2013.)

[16] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/BiogIndex.html

(rujan 2013.)

[17] http://www2.stetson.edu/~efriedma/periodictable/html/B.html(rujan 2013.)

[18] http://e.math.hr/dvoboji/index.html(rujan 2013.)

[19] http://www.robertnowlan.com/pdfs/Bernoulli,%20Johann.pdf(rujan 2013.)

34

Zivotopis

Rodena sam 8. studenog 1983. godine u Dakovu. Zivim u Piskorevcima, gdje sam pohadala

Osnovnu skolu ”Matija Gubec”. Nakon njenog zavrsetka upisujem Opcu gimnaziju u Dakovu

koju sam zavrsila 2002. godine, te iste godine upisujem dodiplomski studij na Odjelu za ma-

tematiku u Osijeku Sveucilista J.J. Strossmayera u Osijeku, smjer matematika-informatika.

Udajom 2009. godine mijenjam prezime Misevic u Matijevic te 2010. i 2013. postajem maj-

kom dvojice prekrasnih djecaka, Marka i Antonia, koji su moj najveci uspjeh i nagrada.

35