Embed Size (px)
Citation preview
UN
IVER
SIT
AS
STUDIORUM
ZAG
RA
BIE
NSIS
MDCLXIX
Obrada informacija – Zadaci za domacu zadacu 3.Akademska skolska godina 2007./2008.
Sveuciliste u Zagrebu, Fakultet Elektrotehnike i racunarstva,
Zavod za elektronicke sustave i obradbu informacija
Uputa
Ovi zadaci koje je potrebno rijesiti za domacu zadacu ujedno su i zadaci kakve mozete ocekivatina pismenom zavrsnom meduispitu. Drugi meduispit se sastoji od 5 zadataka i pise se 120 minuta.
Zbog velikog broja zadataka svaki student za domacu zadacu mora rijesiti samo manji diozadataka, i to ovisno o zadnjoj znamenci maticnog broja:
Znamenka 0: zadatke 1, 4, 5, 8, 9, 10a, 13, 16, 17, 20a, 21c, 22, 23, 25b, 26, 27, 28, 32,33c, 34a, 35a, 35c, 37, 39, 40, 41
Znamenka 1: zadatke 2, 4, 7, 8, 9, 10b, 12, 15, 19, 20b, 21a, 23, 24b, 25c, 26, 27, 29b, 31,33d, 34b, 35a, 35d, 36, 38, 40, 41
Znamenka 2: zadatke 3, 4, 6, 8, 9, 10c, 11, 16, 19, 20c, 21d, 23, 24a, 25a, 26, 27, 30, 32,33a, 34c, 35b, 35d, 37, 39, 40, 41
Znamenka 3: zadatke 1, 4, 5, 8, 9, 10d, 13, 14, 18, 20d, 21e, 22, 23, 25b, 26, 27, 28, 31,33b, 34a, 35b, 35c, 36, 38, 40, 41
Znamenka 4: zadatke 2, 4, 7, 8, 9, 10d, 12, 16, 17, 20e, 21a, 23, 24a, 25c, 26, 27, 29a, 32,33c, 34b, 35a, 35c, 37, 39, 40, 41
Znamenka 5: zadatke 3, 4, 6, 8, 9, 10c, 11, 15, 19, 20f, 21c, 23, 24b, 25a, 26, 27, 30, 31,33d, 34c, 35a, 35d, 36, 38, 40, 41
Znamenka 6: zadatke 1, 4, 5, 8, 9, 10b, 13, 16, 19, 20g, 21b, 22, 23, 25b, 26, 27, 28, 32,33a, 34a, 35b, 35d, 37, 39, 40, 41
Znamenka 7: zadatke 2, 4, 7, 8, 9, 10a, 12, 16, 18, 20h, 21b, 23, 24b, 25c, 26, 27, 29b, 31,33b, 34b, 35b, 35c, 37, 38, 40, 41
Znamenka 8: zadatke 3, 4, 6, 8, 9, 10a, 11, 14, 19, 20d, 21c, 23, 24a, 25a, 26, 27, 29a, 32,33c, 34c, 35a, 35d, 36, 39, 40, 41
Znamenka 9: zadatke 1, 4, 5, 8, 9, 10b, 13, 16, 18, 20c, 21a, 22, 23, 25b, 26, 27, 28, 31,33d, 34a, 35a, 35c, 36, 38, 40, 41
Bez obzira sto je za domacu zadacu potrebno rijesiti samo dio zadataka svakako je dobropregledati i ostale zadatke, te ovisno o vremenu, rijesiti barem neke od njih.
Zadaci iz zadnje skupine su nesto tezi i prvenstveno su namijenjeni studentima koji zeleznati vise. Na meduispitu se nece pojaviti zadaci iz zadnje skupine!
Uvod u digitalnu obradu slike
1. Definirajte digitalnu sliku. Sto je domena, a sto kodomena? Kako kodomena izgleda za sive slike,a kako za slike u boji? Navedite neke primjere!
2. Sto je snaga zracenja (jakost svjetlosti) svjetlosnog izvora, a sto je luminancija? Definirajte We-berov kontrast i Weberov koeficijent.
3. Sto je perspektivna projekcija? Ako znate da je udaljenost lece od mreznice 17mm, te da pro-matramo objekt velicine 15m na udaljenosti od 100m, izracunajte velicinu slike predmeta namreznici.
Osnove digitalne geometrije
Definicija 1.1. (Voronoi susjedstvo) Neka je G skup tocaka u RN . Voronoi susjedstvo u Gsvakog elemeta g ∈ G je skup
NG(g) =v ∈ RN |∀h ∈ G, ||v − g|| ≤ ||v − h||
.
Pojednostavljeno, Voronoi susjedstvo tocke g je skup svih tocaka prostora cija najbliza tockaje upravo g. Odaberemo li za skup G diskretne tocke u ravini s cjelobrojnim koordinatama, dakleG = Z2 i g = (g1, g2), Voronoi susjedstva su kvadrati, odnosno (v1, v2) ∈ R2|max(|v1 − g1|, |v2 −g2|) ≤ 1
2.Neka je M neki skup i neka je ρ binarna relacija na M . Za dva elementa iz c, d ∈ M kazemo
da su u ρ-susjedstvu ako je (c, d) ∈ ρ. Kada razmatramo digitalne prostore, dakle za M = ZN , odposebnog znacaja su dvije binarne relacije:
Definicija 1.2. (αN susjedstvo) Za dvije tocke c, d ∈ ZN kazemo da su u αN susjedstvu ako isamo ako c = d i |cn − dn| < 1 za 1 ≤ n ≤ N . Pisemo (c, d) ∈ αN .
Definicija 1.3. (ωN susjedstvo) Za dvije tocke c, d ∈ ZN kazemo da su u ωN susjedstvu ako i
samo ako∑N
n=1 |cn − dn| = 1. Pisemo (c, d) ∈ ωN .
Za dvodimenzionalne digitalne slike α2 susjedstvo naziva se i 8-susjedstvo, dok se ω2 susjedstvonaziva 4-susjedstvo.
Definicija 1.4. (Granica) Neka su O i Q dva podskupa od ZN . Granica izmedu skupova O i Qje skup
∂(O,Q) =(c, d)|c ∈ O, d ∈ Q, (c, d) ∈ ωN
.
Stavak 1.1. (O granici u dvodimenzionalnoj slici) Neka je A neprazan pravi podskup od Z2.Neka je O α2-komponenta od A i neka je Q ω2-komponenta od A takve da granica ∂(O,Q) nijeprazna. Tada postoje dva jednoznacno definirana podskupa I (unutarnji dio, eng. interior) i E(vanjski dio, eng. exterior) od Z2 sa sljedecim svojstvima:
1. O ∈ I i Q ∈ E,
2. ∂(O,Q) = ∂(I, E),
3. I ∪ E = Z2 i I ∩ E = ∅,
4. I je α2-povezan podskup od Z2 i E je ω2-povezan podskup od Z2, i
5. svaki ω2-put koji povezuje element iz I s elementom iz E prolazi kroz granicu ∂(O,Q).
Uocite razliku izmedu podskupa i komponente. α2 povezan podskup od A je bilo koji skupα2 povezanih tocaka u A. α2-komponenta od A je skup α2 povezanih tocaka takav da ne postojetocke u A koji nisu u α2-komponenti i koje mogu biti α2-povezane s komponentom.
Stavak je bitan jer pokazuje da za kvadratnu mrezu Z2 moramo koristiti dvije razliciterelacije susjedstva, α2 i ω2, jednu za objekt i drugu za pozadinu. U protivnom granica izmeduobjekta i pozadine ne bi bila dobro definirana, odnosno postojao bi put koji spaja objekt i pozadinu,a koji ne prolazi kroz granicu!
4. Definirajte 4-susjedstvo i 8-susjedstvo te navedite svojstva funkcije udaljenosti. Neka su zadanedvije tocke u slici, p = (1, 2) i q = (14, 5). Skicirajte cetiri i osam susjedstva obje tocke. Pronaditenajkracu 4-putanju i 8-putanju koja spaja p i q. Sto mozete reci o jedinstvenosti najkracih puta-nja?
5. Promatramo krug S = (x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 9. Gaussova digitalizacija G skupa S je skup svihtocaka (p, q) ∈ Z2 koje se nalaze u S. Nacrtajte sve tocke koje cine Gaussovu digitalizaciju skupaS. Takoder za svaku od tocaka (p, q) ∈ G skicirajte Voronoi susjedstvo NZ2(p, q). Zadovoljavaju lisve tocke iz pripadnih Voronoi susjedstva jednadzbu x2 + y2 < 9?
6. Definirajte funkciju udaljenosti, odnosno navedite koja svojstva mora zadovoljiti svaka funkcijaudaljenosti. Ako su p = (p1, p2) i q = (q1, q2) dvije tocke iz R2 za svaku od navedenih funkcijaispitajte jesu li navedena svojstva zadovoljena:
a) d4(p, q) = |p1 − q1|+ |p2 − q2|
b) de(p, q) =√(p1 − q1)2 + (p2 − q2)2
c) d8(e, q) = max|p1 − q1|, |p2 − q2|
7. Oznacimo sa p = (p1, p2) i q = (q1, q2) dvije tocke iz Z2. Definirajte 4-udaljenost d4(p, q), 8-udaljenost d8(p, q) i Euklidsku udaljenost de(p, q) za tocke p i q u ravnini. Za tocku p = (0, 0)skicirajte sve tocke q za koje vrijedi:
a) d4(p, q) < 5
b) de(p, q) < 5
c) d8(p, q) < 5
8. Oznacimo sa p = (p1, p2) i q = (q1, q2) dvije tocke iz R2. Pokazite da 4-udaljenost d4, 8-udaljenostd8 i Euklidska udaljenost de zadovoljavaju nejednadzbu
d8(p, q) ≤ de(p, q) ≤ d4(p, q) ≤ 2d8(p, q), ∀p, q ∈ R2.
9. Neka na slici 1. tocke oznacene sivom bojom cine objekt A dok tocke oznacene bijelom bojom cinetocke pozadine A. Za obje digtalne slike na slici 1. odredite je li objekt A osam ili cetiri povezan,te je li pozadina A osam ili cetiri povezana. Neka je za desnu digitalnu sliku i, k, l, f ∈ O i nekaje j ∈ Q. Odredite granicu ∂(O,Q) i ispitajte vrijedi li stavak 1.1. o granici. Pokazite da zatako odabrane O i Q zamjena relacije α2 s relacijom ω2 cini stavak 1.1. netocnim.
m k l f
c j i
Slika 1.: Dvije digitalne slika na mrezi dimenzija 7× 7
Dvodimenzionalna Fourierova transformacija
10. Izracunajte 2D Fourierovu transformaciju te skicirajte amplitudnu karakteristiku slijedecih pros-torno kontinuiranih 2D signala (iskoristite separabilnost):
a) f(x, y) = sinc(x) sinc(y)
b) f(x, y) = e−|x|−|y|
c) f(x, y) = sin(x− y) + sin(x+ y)
d) f(x, y) = e−x2−y2
11. Promatramo prostorno kontinuirani signal f(x, y) : R2 → R. Pokazite da ako f(x, y) mozemozapisati u obliku produkta f(x, y) = f1(x)f2(y) tada je
f(x, y) ⃝−−• F (ω1, ω2) = F1(ω1)F2(ω2),
gdje je F1(ω1) 1D Fourierova transformacija signala f1(x) : R → R i F2(ω2) 1D Fourierova tran-sformacija signala f2(x) : R → R.
12. Neka je f(x, y) prostorno kontinuirani signal i neka je f(x, y) ⃝−−• F (ω1, ω2) 2D Fourierov tran-sformacijski par i neka je σ ∈ R. Pokazite da je 2D Fourierova transformacija signala f(x− σy, y)tada F (ω1, ω2 − σω1).
13. Neka je f(x, y) prostorno kontinuirani signal i neka je f(x, y) ⃝−−• F (ω1, ω2) 2D Fourierov tran-sformacijski par i neka je g(x, y) rotirani signal f(x, y) za kut θ u smjeru kazaljke na satu, odnosnog(x, y) = f(x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ). Izrazite spektar G(ω1, ω2) signala g(x, y) pomocuspektra F (ω1, ω2) i kuta rotacije θ.
14. Definirajte 2D linearnu konvoluciju i navedite teorem o konvoluciji za prostorno kontinuirane sig-nale. Neka su f(x, y) : R× R → R i g(x, y) : R× R → R prostorno diskretni signali. Oznacimo saf(x, y) ⃝−−• F (ω1, ω2) i g(x, y) ⃝−−• G(ω1, ω2) dva Fourierova transformacijska para. Ako je
f(x, y) =
e−xe−2y, 0 ≤ x, 0 ≤ y
0, inacei g(x, y) =
e−2xe−y, 0 ≤ x, 0 ≤ y
0, inace
izracunajte f(x, y) ∗∗ g(x, y) koristeci teorem o konvoluciji.
15. Definirajte 2D linearnu konvoluciju i navedite teorem o konvoluciji za prostorno diskretne signale.Neka su f(x, y) : Z × Z → R i g(x, y) : Z × Z → R prostorno diskretni signali. Oznacimo saf(x, y) ⃝−−• F (ω1, ω2) i g(x, y) ⃝−−• G(ω1, ω2) dva Fourierova transformacijska para. Ako je
f(x, y) =
2−x3−y, 0 ≤ x, 0 ≤ y
0, inacei g(x, y) =
3−x2−y, 0 ≤ x, 0 ≤ y
0, inace
izracunajte f(x, y) ∗∗ g(x, y) koristeci teorem o konvoluciji.
16. Neka je f(x, y) : R×R → R prostorno kontinuirani signal zadan izrazom f(x, y) = rect(x+ 12 , y+
12 ).
Izracunajte:
a) f(x, y) ∗∗ f(x, y)
b) f(x, y) ∗∗ f(x,−y)
c) f(x, y) ∗∗ f(−x, y)
d) f(x, y) ∗∗ f(−x,−y)
17. Neka su f(x, y) = f1(x)f2(y) i g(x, y) = g1(x)g2(y) dvije prostorno kontinuirane separabilne funk-cije. Pokazi da njihovu 2D linearnu konvoluciju mozemo racunati kao produkt dvije 1D linearnekonvolucije, odnosno da vrijedi
f(x, y) ∗∗ g(x, y) =(f1(x) ∗ g1(x)
)(f2(y) ∗ g2(y)
).
18. Neka su f(x, y) = f1(x)f2(y) i g(x, y) = g1(x)g2(y) dvije prostorno diskretne separabilne funk-cije. Pokazi da njihovu 2D linearnu konvoluciju mozemo racunati kao produkt dvije 1D linearnekonvolucije, odnosno da vrijedi
f(x, y) ∗∗ g(x, y) =(f1(x) ∗ g1(x)
)(f2(y) ∗ g2(y)
).
19. Neka je f(x, y) = f1(x)f2(y) prostorno kontinuirana separabilna funkcija i neka je g(x, y) prostornokontinuirana neseparabilna funkcija. Pokazi da vrijedi
f(x, y) ∗∗ g(x, y) =(f1(x) ∗ g(x, y)
)∗f2(y) =
(f2(y) ∗ g(x, y)
)∗f1(x).
Linearni prostorno nepromjenjivi sustavi
Do sada ste se uglavnom susretali sa sustavima koji procesiraju vremenske signale. Od posebnevaznosti su bili linearni vremenski nepromjenjivi sustavi, odnosno LTI sustavi (eng. linear time-invariant). Kada govorimo o digitalnoj obradi slike umjesto vremenske nepromjenjivosti bitna jeprostorna nepromjenjivost. Neka je g(x, y) odziv sustava S na pobudu f(x, y), dakle g(x, y) =S(f(x, y)
). Sustav S je prostorno nepromjenjiv ako
∀x0, y0 : S(f(x+ x0, y + y0)
)= g(x+ x0, y + y0). (1)
Ako je sustav S jos i linearan govorimo o linearnim prostorno nepromjenjivim sustavima ili LSIsustavima (eng. linear space-invariant).
Promatramo LSI sustav s poznatim impulsnim odzivom h(x, y) i poznatom prijenosnomfunkcijom H(ω1, ω2). Kada govorimo o LSI sustavima impulsni odziv sustava se jos naziva i PSF(eng. point spread function). Opticka prijenosna funkcija ili OTF (eng. optical transfer function je
OTF =H(ω1, ω2)
H(0, 0)(2)
dok je modulacijska prijenosna funkcija ili MTF (eng. modulation transfer function)
MTF =∣∣∣H(ω1, ω2)
H(0, 0)
∣∣∣. (3)
Primijetite da su izrazi za OTF (2) i MTF (3) dobrno definirani samo za sustave ciji impulsniodziv zadovoljava uvjet
∫∫R2 h(x, y) dxdy = 0.
20. Za svaki od navedenih kontinuiranih 2D sustava ispitajte jesu li prostorno nepromjenjivi:
a) S(f(x, y)
)= 2f(x, y) + f2(x, y)
b) S(f(x, y)
)= 2f(x, y) + 3
c) S(f(x, y)
)= 2f(x, y) + 2x+ 2y
d) S(f(x, y)
)= 2f(x, y) + f(y, x)
e) S(f(x, y)
)= f(x+ y, x− y)
f) S(f(x, y)
)= f(x+ 1, y)− f(x− 1, y)
g) S(f(x, y)
)= f(x, y + 1)− f(x, y − 1)
h) S(f(x, y)
)= f(x+ 1, y + 1)− f(x− 1, y − 1)
21. Za svaki od navedenih kontinuiranih 2D sustava ispitajte jesu li linearni, prostorno nepromjenjivii imaju li memoriju:
a) S(f(x, y)
)=
∫ x
0
f(χ, y) dχ
b) S(f(x, y)
)=
∫ x
−∞f(χ, y) dχ
c) S(f(x, y)
)=
∫ x
0
∫ y
0
f(χ, υ) dχdυ
d) S(f(x, y)
)=
∫ 2+x
2−x
∫ 2+y
2−y
f(χ, υ) dχdυ
e) S(f(x, y)
)=
∫ x+2
x−2
∫ y+2
y−2
f(χ, υ) dχdυ
22. Impulsni odziv kontinuiranog 2D sustava je h(x, y) = rect(x, y). Odredi i skiciraj modulacijskuprijenosnu funkciju i opticku prijenosnu funkciju.
23. Za svaki od navedenih diskretnih 2D sustava ispitajte jesu li linearni i prostorno nepromjenjivi:
a) S(f(x, y)
)=
+∞∑i=x
+∞∑j=y
f(i, j)
b) S(f(x, y)
)=
0∑i=−x
0∑j=−y
f(i, j)
24. Ispitaj je li zadani impulsni odziv diskretnih 2D sustava separabilan te odredi i skiciraj modulacij-sku prijenosnu funkciju i opticku prijenosnu funkciju.
a) h(x, y) =
1 8 18 62 81 8 1
b) h(x, y) =
1 8 18 64 81 8 1
Napomena: Podcrtani uzorak impulsnog odziva je uzorak za (x, y) = (0, 0). Uzorci koji nisunavedeni su jednaki nuli. Elementi u retku imaju istu vrijednost nezavisne varijable y, dok elementiu stupcu imaju istu vrijednost varijable x. Vrijednost x se povecava s pomakom od lijeva na desnodok se vrijednost y povecava s pomakom prema gore.
25. Parcijalna derivacija funkcije f(x, y) : R2 → R je definirana izrazom
∂
∂xf(x, y) = lim
h→0
f(x+ h, y)− f(x, y)
h.
Kada radimo s prostorno diskretnim signalima f(x, y) : Z2 → R derivaciju mozemo aproksimiratikonacnom diferencijom. Ako je funkcija f(x, y) zadana slikom 2. izracunaj svaku od zadanihaproksimacija.
a) ∂∂xf(x, y) ≈ f(x+ 1, y)− f(x, y)
b) ∂∂xf(x, y) ≈ f(x, y)− f(x− 1, y)
c) ∂∂xf(x, y) ≈
12
(f(x+ 1, y)− f(x− 1, y)
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Slika 2.: Ulazna slika kratke vertikalne linije (sve ostale vrijednosti su nula)
26. Dva sustava koja aproksimiraju parcijalnu derivaciju primjenjujemo na ulaznu digitalnu sliku pri-kazanu na slici 2. cetiri puta uzastopce kako bi aproksimirali cetvrtu derivaciju. Ako su sustavi
g(x, y) = S1
(f(x, y)
)= f(x, y)− f(x− 1, y)
i
g(x, y) = S2
(f(x, y)
)=
1
2
(f(x+ 1, y)− f(x− 1, y)
)za svaki od sustava skiciraj rezultat. Je li doslo do pomaka cetvrte derivacije u odnosu na pocetnusliku? Objasnite! Koji uvjet mora zadovoljiti LSI sustav da do pomaka ne dode?
27. Za sustave S1 i S2 iz zadatka 26 odredi prijenosne funkcije te pripadne amplitudne i fazne karak-teristike. Mozete li faznu karakteristiku povezati s pomakom odziva u odnosu na pobudu?
Uputa: Odredite grupni prostorni pomak koji odgovara negativnoj derivaciji fazne karakteristike.Usporedite vrijednost grupnog prostornog pomaka s pomakom uocenim izmedu rezultata i slike.
28. Odredite odziv LSI sustava s zadanim impulsnim odzivom
h(x, y) =
1 11 −1
na pobudu
f(x, y) =
1 2 32 3 23 2 1
.
Napomena: Podcrtani uzorak je uzorak za (x, y) = (0, 0). Uzorci koji nisu navedeni su jednakinuli. Elementi u retku imaju istu vrijednost nezavisne varijable y, dok elementi u stupcu imaju istuvrijednost varijable x. Vrijednost x se povecava s pomakom od lijeva na desno dok se vrijednost ypovecava s pomakom prema gore.
29. Odredi odziv LSI sustava s zadanim impulsnim odzivom h(x, y) koji aproksimira Laplaceov ope-rator ako je ulazna slika
f(x, y) =
0 0 0 0 11 0 0 0 10 1 0 0 10 0 1 0 10 0 0 1 1
.
Oznacite na dobivenoj matrici sve granice izmedu tocaka u kojima rezultat mijenja predznak. Stomozete zakljuciti o polozaju tih granica?
a) h(x, y) =
0 −1 0−1 4 −10 −1 0
b) h(x, y) =
−1 −1 −1−1 8 −1−1 −1 −1
30. Kada detektiramo rubove u slici mozemo koristiti Sobelov operator dimenzija 3 × 3. Izracunaj
odzive Sobelovih operatora
sx(x, y) =
1 0 −12 0 −21 0 −1
i sy(x, y) =
1 2 10 0 0−1 −2 −1
za sliku
f(x, y) =
1 2 3 5 52 3 5 5 43 5 5 4 35 5 4 3 25 4 3 2 2
.
Oznacimo li odzive sa gx(x, y) = f(x, y) ∗∗ sx(x, y) i gy(x, y) = f(x, y) ∗∗ sy(x, y) gradijent u toccije dan izrazom √
g2x(x, y) + g2y(x, y),
dok je smjer dan izrazom
arctangy(x, y)
gx(x, y).
Izracunajte gradijent i smjer za tocku (x, y) = (0, 0).
Otipkavanje i kvantizacija
31. Neka je 2D kontinuirani prostorni signal intenziteta opisan funkcijom
f(x, y) = sin(ω1x+ θ1) + cos(ω2y + θ2) + 2,
gdje je 0 ≤ x ≤ 4 i 0 ≤ y ≤ 4. Izracunajte minimalne potrebne prostorne frekvencije otipkavanjaza signal. Dolazi li do preklapanja spektra prilikom otipkavanja signala prostornom frekvencijomf = 1 po x i po y smjeru? Neka su frekvencije ω1 = ω2 = 2π i faze θ1 = θ2 = 0.
32. Neka je 2D kontinuirani prostorni signal intenziteta opisan funkcijom
f(x, y) = sin(ω1x+ θ1) cos(ω2y + θ2) + 1,
gdje je 0 ≤ x ≤ 4 i 0 ≤ y ≤ 4. Izrazite minimalne potrebne prostorne frekvencije otipkavanja zasignal f(x, y) preko parametara signala ω1, ω2, θ1 i θ2. Ako znate da su frekvencije ω1 = ω2 = π/2i faze θ1 = θ2 = 0 dolazi li do preklapanja spektra prilikom otipkavanja signala prostornomfrekvencijom f = 1 po x i po y smjeru?
33. Kontinuirani 2D signal ima spektar Fk(ω1, ω2) koji je jednak jedinici za podrucje oznaceno slikom,dok je za sve ostale vrijednosti kontinuiranih kruznih frekvencija ω1 i ω2 spektar jednak nuli. Zakoje vrijednosti razmaka uzorkovanja ∆x i ∆y nece doci do preklapanja spektra? Ako znate da jespektar dobivenog diskretnog signala opisan izrazom
Fd(Ω1,Ω2) =1
∆x∆y
+∞∑i=−∞
+∞∑j=−∞
Fk
(Ω1 + 2πi
∆x,Ω2 + 2πj
∆y
)skicirajte pripadni spektar diskretnog signala za ∆x = 1
2 i ∆y = 12 .
a)
ω1
ω2
2π−2π
2π
−2π
4π−4π
4π
−4π
b)
ω1
ω2
4π−4π
4π
−4π
2π−2π
2π
−2π
c)
ω1
ω2
4π−4π
4π
−4π
2π−2π
2π
−2π
d)
ω1
ω2
4π−4π
4π
−4π
2π−2π
2π
−2π
Transformacije slike
Kada govorimo o transformacijama slike sliku mozemo predstaviti matricom. No pri tome jepotrebno obratiti paznju na dimenzije slike. Ako kazemo da razmatramo sliku dimenzija N×M toznaci je slika siroka N tocaka i visoka M tocaka, a ako kazemo da promatramo matricu dimenzijaN × M to znaci da matrica ima N redaka (visina matrice) i M stupaca (sirina matrice). Dakleako promatramo sliku dimenzija 3× 4 to je slika1
f(x, y) =
1 2 3 45 6 7 89 10 11 12
, (4)
a jedna moguca pripadna matrica F dimenzija 4× 3 bi bila
F =
9 5 110 6 211 7 312 8 4
. (5)
Za tako odabranu matricu F element u retku x i stupcu y je upravo f(x, y).
1Podcrtani uzorak slike je uzorak za (x, y) = (0, 0). Elementi u retku imaju istu vrijednost nezavisnevarijable y, dok elementi u stupcu imaju istu vrijednost varijable x. Vrijednost x se povecava s pomakomod lijeva na desno dok se vrijednost y povecava s pomakom prema gore.
Ako u zadacima nije tocno naveden koordinatni sustav koji se koristi (polozaj ishodista iorijentacija osi) smijete ga slobodno odabrati. Takoder, ako nije navedena konvencija kako se slikareprezentira u matricnom obliku smijete odabrati reprezentaciju koja vam najvise odgovara. Uoba slucaja obavezno navedite sto ste odabrali !
34. Ispitajte unitarnost zadane matrice:
a) C3 =
1√3
1√3
1√3
1√2
0√2
−1√2
1√6
−2√6
1√6
b) S3 =
1√6
2√6
1√6
1√2
0√2
−1√2
1√3
−1√3
1√3
c) W3 =
1 1 1
1 −12 − j
√32 −1
2 + j√32
1 −12 + j
√32 −1
2 − j√32
35. Koristenjem izraza WNFWT
M izracunajte dvodimenzionalnu diskretnu Fourierovu transformacijuu M ×N tocaka slike F:
a) F =
1 0 00 1 00 0 1
, N = M = 3
b) F =
0 0 10 1 01 0 0
, N = M = 3
c) F =
1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0
, N = 3, M = 6
d) FT =
0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 01 0 0 0 0 0
, N = 6, M = 3
36. Neka je F matrica dimenzija N×M koja reprezentira sliku. Zelimo li izracunati dvodimenzionalnudiskretnu Fourierovu transformaciju u M ×N tocaka mozemo koristiti izraz
G = WNFWTM .
Odredite za koji kompleksni broj c ∈ C vrijedi
F = c(WHN )TGWH
M .
37. Definirajte 1D Karhunen-Loeve transformaciju. Zadana je autokorelacijska matrica
R =
4 0 −20 2 0−2 0 4
.
Odredi svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore zadane autokorelacijske matrice. Ako je Tmatrica ciji stupci su normirani svojstveni vektori matrice R izracunaj THRT. Je li dobivenamatrica dijagonalna?
Poboljsanje slike
38. Navedite impulsni odziv jednostavnog filtra za usrednjavanje na prozoru dimezija N ×M . Zastose za N i M gotovo uvijek odabiru neparni brojevi? Odredite rezultat filtriranja filtrom za usred-njavanje dimenzija 3× 3 ako je zadana ulazna slika
f(x, y) =
1 2 3 42 3 4 33 4 3 24 3 2 1
.
39. Navedite definiciju median filtra. Odredite rezultat filtriranja median filtrom dimenzija 3× 3 akoje zadana ulazna slika
f(x, y) =
1 2 3 42 3 4 33 4 3 24 3 2 1
.
40. Histogram vrijednosti kontinuirane 2D slike f(x, y) : R2 → ⟨0, 1⟩ mozemo opisati izrazom
hf (i) =
2− 2i, i ∈ ⟨0, 1⟩0, inace
.
Odredite funkciju koju je potrebno primjeniti na sliku kako bi dobili sliku g(x, y) : R2 → ⟨0, 1⟩ shistogramom
hg(i) =
2i, i ∈ ⟨0, 1⟩0, inace
.
Segmentacija slike
41. U ovom zadatku cete pokusati primjeniti usporedbu s pragom s ciljem segmentacije slike. Na slici3. prikazani su slike brojeva 0, 1, i 2 te slova A, B, C, a, b i c dimenzija 5×8. Brojevi upisani na slicisu vrijednosti slike koje su dobivene iz idealnih slika dodavanje aditivnog suma cije karakteristikenisu poznate, dok je sivom bojom oznacen zeljeni rezultat segmentacije. Usporedba s pragomzahtijeva odabir neke vrijednosti t praga koja se koristi za klasifikaciju tocaka slike prema izrazu
g(x, y) =
1, f(x, y) ≥ t
0, inace. (6)
a) Postoji li jedna vrijednost praga t takva da primjenom istog praga na svaku sliku dobijemozeljeni rezultat? Postoji li takva vrijednost ako svaku sliku promatramo posebno?
b) Ako definiramo pogresku kao ukupni broj krivo klasificiranih tocaka odredite vrijednost pragat koja daje najmanju pogresku.
c) Za odabranu vrijednost praga odredite kontingencijsku tablicu2.
Napomena: Zadatak rjesite upotrebom racunala! Ako nemate pristup racunalu umjesto svihznakova odaberite dva te napravite zadatak za odabrana dva znaka.
2Kontingencijska tablica je tablica u koju se redom upisuju: broj tocaka koje su klasificirane kao znaki to jesu (TP), broj tocaka koje su klasificirane kao znak a to nisu (FP), broj tocaka koje su klasificiranekao pozadina a to nisu (FN) i broj tocaka koje su klasificirane kao pozadina i to jesu (TN).
2
5
4
6
7
7
0
7
1
8
3
3
2
5
5
3
0
7
0
1
5
8
3
2
0
5
4
8
2
7
6
4
8
7
3
2
1
0
2
3
3
0
7
1
4
3
3
6
1
5
7
4
7
4
5
5
8
3
2
0
1
4
4
2
3
2
0
4
3
3
6
5
0
2
3
7
0
7
1
8
3
3
2
5
5
3
0
7
0
1
5
8
3
2
0
5
4
8
6
3
2
0
4
7
3
broj 0 broj 1 broj 2
6
5
4
6
7
3
0
3
1
8
3
3
6
1
1
3
4
3
0
1
5
4
3
6
0
1
8
4
6
7
6
4
8
3
3
6
5
4
6
7
7
4
7
1
4
7
3
2
5
5
3
0
7
0
1
5
8
3
2
4
1
4
8
2
7
6
0
8
7
3
2
5
4
6
7
7
0
7
1
4
3
3
2
5
5
3
0
3
0
1
5
8
3
2
0
1
4
8
2
7
2
0
4
7
3
slovo A slovo B slovo C
2
5
4
6
3
3
0
7
1
4
3
7
2
1
5
3
0
3
4
1
1
4
7
2
4
1
4
4
6
7
6
4
8
3
3
6
5
4
6
7
7
4
3
5
4
7
3
2
1
5
3
0
3
4
1
1
8
3
2
0
5
4
4
2
7
6
4
4
3
3
2
5
4
6
3
3
0
7
1
4
3
7
2
1
5
3
0
3
4
1
1
8
3
2
0
5
4
4
2
7
2
4
4
3
3
slovo a slovo b slovo c
Slika 3.: Prikaz brojeva i slova u slikama dimenzija 5× 8
Zadaci za one koji zele znati vise
42.∗ Definirajte funkciju udaljenosti, odnosno navedite koja svojstva mora zadovoljiti svaka funkcijaudaljenosti. Ako su p = (p1, p2, p3) i q = (q1, q2, q3) dvije tocke iz R3 za svaku od navedenihfunkcija ispitajte jesu li navedena svojstva zadovoljena:
a) de(p, q) =√(p1 − q1)2 + (p2 − q2)2 + (p3 − q3)2
b) d6(p, q) = |p1 − q1|+ |p2 − q2|+ |p3 − q3|
c) d18(p, q) = maxd26(p, q), ⌈d6(p, q)/2⌉
d) d26(p, q) = max|p1 − q1|, |p2 − q2|, |p3 − q3|
43.∗ Oznacimo sa p = (p1, p2, p3) i q = (q1, q2, q3) dvije tocke iz R3. Definirajte 6-udaljenost d6, 26-udaljenost d26 i Euklidsku udaljenost de za tocke p i q u trodimenzionalnom prostoru. Pokazite da6-udaljenost d6, 26-udaljenost d26 i Euklidska udaljenost de zadovoljavaju nejednadzbu
d26(p, q) ≤ de(p, q) ≤ d6(p, q) ≤ 3d26(p, q), ∀p.q ∈ R3.
44.∗ Oznacimo sa p = (p1, p2, p3) i q = (q1, q2, q3) dvije tocke iz Z3. Definirajte 18-udaljenost d18 i26-udaljenost d26 za tocke p i q u trodimenzionalnom prostoru. Pokazite da vrijedi
d26(p, q) ≤ d18(p, q) ≤ de(p, q)
za svaki par (p, q) iz Z2 takav da je Euklidska udaljenost de(p, q) =√3.
45.∗ Euklidska metrika de je racunalno zahtijevna te se u nekim primjenama koriste odgovarajuceaproksimacije. Oznacimo sa (p, q) ∈ Z2 par tocaka i neka je ρ slijed poteza potrebnih da kraljapremjestimo iz p u q. Neka je la,b(ρ) = am + bn, gdje je m broj vodoravnih ili okomitih pokreta,a n broj dijagonalnih pokreta kralja, dok su a, b ∈ R takvi da 0 < a ≤ b ≤ 2a. Pokazite da je
da,b(p, q) = minρ
la,b(ρ)
metrika. Takoder pokazite da (1, b)-putna udaljenost d1,b (eng. (1, b)-chamfer distance) najbolje
aproksimira Euklidsku udaljenost de za b = 1√2+
√√2− 1 te da za apsolutnu pogresku aproksi-
macije na mrezi velicine (k + 1)× (k + 1) vrijedi
|de − d1,b| ≤( 1√
2−√√
2− 1)k.
46.∗ Pokazite da (3, 4)-putnu udaljenost (eng. (3, 4)-chamfer distance) izmedu tocki p i q iz Z2 mozemoracunati kao
d3,4(p, q) =1
3d4(p, q) +
2
3d8(p, q).
47. Definirajte histogram prvog i drugog reda te navedite izraze za momente i centralne momente.Odredite histogram prvog reda i histogram drugog reda uz pomak (4, 1) za zadanu sliku 4..
48. Definirajte histogram prvog i drugog reda te navedite izraze za momente i centralne momente.Odredite histogram prvog reda i histogram drugog reda uz pomak (1, 1) za zadanu sliku 5..
49.∗ Impulsni odziv filtra za Gaussovo zamucenje ili usrednjavanje (eng. Gaussian blur) moze se opisatiizrazom
h(x, y) =1
2πσxσye− x2
2σ2x− y2
2σ2y .
0
2
0
3
2
1
1
3
3
2
0
3
2
2
1
0
0
1
0
0
3
1
0
0
0
1
2
2
Slika 4.: Ulazna slika za zadatak 47
0
2
0
3
2
1
1
3
3
2
0
3
2
2
1
0
Slika 5.: Ulazna slika za zadatak 48
Zelimo li realizirati diskretno Gaussovo zamucenje potrebno odabrati devijacije σx i σy te podrucjena kojem racunamo odziv. U programima za obradu slike parametar koji se zadaje jest polumjermaske za filtriranje r s time da je tipicno σx = σy. Uz zadani r > 0 dimenzije maske N × Nmozemo odabrati tako da je N = 2⌈r⌉ + 1, odnosno x i y poprimaju cjelobrojne vrijednosti izintervala −2⌈r⌉,−2⌈r⌉ + 1, . . . ,−1, 0, 1, . . . , 2⌈r⌉. Devijacije σx i σy odabiremo tako da vrijediσx = σy ≤ r/3 (obicno se uzima jednakost).
a) Pokazite da odabir N = 2⌈r⌉+1 uvijek rezultira impulsnim odzivom filtra s neparnim brojemuzoraka i po x i po y osi. Objasnite zasto je to bitno!
b) Pokazite da impulsni odziv poprima najvecu vrijednost za (x, y) = (0, 0). Odredite gornjugranicu omjera vrijednosti uzoraka impulsnog odziva u (0, 0) i (0, 2⌈r⌉) te (0, 0) i (2⌈r⌉, 2⌈r⌉)ako je σx = σy ≤ r/3. Objasnite zasto smo ogranicili raspon devijacija.
c) Pokazite da je impulsni odziv separabilan, odnosno da vrijedi h(x, y) = hx(y)hy(y) te da jehx(x) = hy(x).
d) Zelimo li primijeniti dani filtar na ulaznu sliku f(x, y) mozemo racunati f(x, y) ∗∗ h(x, y)ili mozemo iskoristiti separabilnost odziva i racunati
(f(x, y) ∗ hx(x)
)∗hy(y). Odredite broj
operacija zbranja i mnozenja za svaki od postupaka. Koji je postupak efikasniji?
e) Odredite rezultat filtriranja uz r = 1 ako je zadana ulazna slika
f(x, y) =
1 2 3 42 3 4 33 4 3 24 3 2 1
.
50.∗ Neka je zadana prostorno kontinuirana slika odredena s vrijednostima intenziteta f(x, y). Defini-rajte gradijent u tocci, njegov iznos i smjer. Navedite neke gradijentne operatore koje koristimo zaestimaciju gradijenta na prostorno diskretnim slikama. Za navedene gradijentne operatore odrediteiznos gradijenta i smjer gradijenta za digitalnu sliku 6.. Je li odziv isti za vodoravne, okomite idijagonalne linije? Kako odziv ovisi o odabranom operatoru? Koje aproksimacije se koriste za po-jednostavljenje izraza kada zelimo realizirati estimaciju iznosa gradijenta u cjelobrojnoj aritmetici?Kako te aproksimacije utjecu na odziv za razlicite linije sa slike 6.?
51.∗ Opisite model degradacije slike. Navedite prijenosnu funkciju Wienerovog filtra. Odredite prije-nosnu funkciju i impulsni odziv Wienerovog filtra za sliku poznate autokorelacijske funcije
RXX(∆x,∆y) = e−2|∆x|−2|∆y|
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Slika 6.: Ulazna slika sa cetiri linije (linije se nastavljaju)
uz nekorelirani aditivni bijeli sum za koji je SNN (ω1, ω2) = 16. Neka je prijenosna funkcija degra-dacije
H(ω1, ω2) = (2 + jω1)(2 + jω2).
Uputa: Koristite separabilnost 2D Fouirerove transformacije. Za jednodimenzionalnu Fourierovutransformaciju je
e−ax µ(x) ⃝−−• 1
a+ jωi e−a|x| ⃝−−• 2a
a2 + ω2,
gdje je a pozitivna realna konstanta.
