Obwody RC

IR

I

C0 VC

t = 0, VC = 0

IIprawoKirchhoffa:

!E ⋅d!l = 0"∫

pocałymobwodziezamkniętym

IR +VC −V0 = 0

R dQ

dt+ Q

C−V0 = 0

Q =V0C 1− e−t RC( )⇒ I = dQ

dt=

V0

Re−t RC

Rozwiązanie:

V0

V0R

t = RC (stałaczasowa)

Czas,poktórymprądspadniedo37%prądumaksymalnego,I≈37%Imax.

Obwody RC ze źródłem napięcia przemiennego

I

C0 ~ V =V0 cosωt

V =V0 cosωt

I =V0

R2 + 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2cos(ωt +φ)

tanφ = 1

ωCR

ω = 1 Hz

C = 1 F

R = 1 Ω

V0 = 1 V

prądwyprzedzawfazienapięcie

Obwody LC

!E ⋅d!l = −

dΦB

dt"∫ = −L dIdt

PrawoFaraday’a:

pocałymobwodziezamkniętym

QC

= −L dIdt

d 2Qdt2 + Q

LC= 0

Równanierównoważnerównaniuoscylatoraharmonicznegoprostego

rozwiązanie Q = Qmax cos ω0t +φ( )

ω0 =

1LC

Częstośćkątowadrgańwłasnychukładu

Drgania w obwodach LC

Zakładającbrakstratenergiinaoporze(R=0),występujeoscylacyjnawymianaenergiimiędzykondensatoremicewką.

Drgania w obwodach LC

Obwody LC – oscylacje energii

U E = 1

2CVC

2 = Q2

2C=

Qmax2

2Ccos2 ω0t +φ( )

U B = 1

2LI 2 = 1

2L dQ

dt⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

= 12

Lω02Qmax

2 sin2 ω0t +φ( ) = Qmax2

2Csin2 ω0t +φ( )

Energiazmagazynowanawkondensatorze:

Energiazmagazynowanawcewce:

Obwody RLC

WrzeczywistychobwodachLCzawszewystępujestrataenergiinaoporzeR:

!E ⋅d!l = −

dΦB

dt"∫ = −L dIdt

PrawoFaraday’a:

pocałymobwodziezamkniętym

QC+ IR = −L dI

dt

d 2Qdt2 + R

LdQdt

+ QLC

= 0Równanierównoważnerównaniutłumionegooscylatoraharmonicznego

rozwiązanie Q = Qmaxe−Rt 2 L cosωt

ω = 1

LC− R

2L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2Przyrelatywniesłabymtłumieniuczęstośćdrgańukładuwynosi

Obwody RLC – słabe drgania tłumione

Q = Qmaxe−Rt 2 L cosωt

ω = 1

LC− R

2L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

Qmax

Q

0

Qmaxe−Rt 2 L

−Qmaxe−Rt 2 L

obwiedniaamplitudy

R2 < 4L

C

Słuszneprzywarunku:

Obwody RLC – krytyczne i silne drgania tłumione

Q = Qmaxe−Rt 2 L

R2 = 4L

C,Tłumieniekrytyczne:

ω = 1

LC− R

2L⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

Silnetłumienie: R2 > 4L

C

dlawiększychRoscylacjeniewystępują

R2 < 4L

CSłabetłumienie:

1– silnetłumienie2–krytycznetłumienie3– słabetłumienie

Qmax

Q

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

!E ⋅d!l = −

dΦB

dt"∫ = −L dIdt

PrawoFaraday’a:

pocałymobwodziezamkniętym

d 2Qdt2 + R

LdQdt

+ QLC

=V0 cosωt

Równanierównoważnerównaniutłumionegooscylatoraharmonicznegozsiłąwymuszającą

Rozwiązaniestacjonarnenanatężenieprądu:I=dQ/dt

I =V0

R2 + ωL− 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2cos(ωt −φ)

V =V0 cosωt

tanφ =

ωL− 1ωC

R Χ =ωL− 1

ωCReaktancja: Z = R2 +Χ 2Impedancja:

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

φ > 0⇒ωL > 1

ωC⇒ Prądjestopóźnionywzględemnapięciaźródła(wpływindukcyjności)

φ < 0⇒ωL < 1

ωC⇒ Prądwyprzedzawfazienapięcieźródła(wpływpojemności)

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

I =V0

R2 + ωL− 1ωC

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2cos(ωt −φ)

tanφ =

ωL− 1ωC

R

Imax

PrądImaxosiągawartośćmaksymalnąV0/Rdlaczęstotliwości: ω = 1

LC

Dlaczęstotliwościrezonansowej: Χ = 0,Z = R, φ = 0 prądinapięciesąwfazie

Obwody RLC ze źródłem napięcia przemiennego

ω → 0⇒ Imax → 0

ω →∞⇒ Imax → 0

ω = 1

LC⇒ Imax =

V0

R

Imax

− Imax

t T = 2π

ω

wpływpojemności

wpływindukcyjności

rezonans

ω 1 LC

V0

R

φ < 0 φ > 0

φ = 0 Imax

Dobroć obwodu RLC

ω ω0

V0

R

0.7

V0

RΔω

Q =

ω0

Δω

Dobroćobwodurezonansowego:

Δω = R

L

def.

Q = 1

RLC

Imax

Dobroć obwodu RLC Obwodyrezonansowesąużywanedoselektywnegowybieraniasygnałówodanejczęstotliwości.Jeślidobroćobwodujestwysoka,tooznacza,żeobwódmawyższą„selektywność”częstotliwościrezonansowej.Wykorzystujesiętowodbiornikachradiowychdowyborukonkretnejstacjiradiowej,nadającejsygnałnaokreślonejczęstotliwościnośnej.

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/serres.html

Faleradiowewysyłanenaczęstotliwościachnośnychsąmodulowaneamplitudowo(AM).Wmodulacjizakodowanajestinformacja(głosspikeraradiowego,muzyka).

Równania Maxwella

https://www.youtube.com/watch?v=O8OUH0pPyoI

Równania Maxwella

Prawo Gaussa dla pola elektrycznego

φE =!E ⋅d!A =

zamknietapowierzchnia

"∫Qwew

ε0

Strumieńpolaelektrycznegoprzezdowolnąpowierzchnięzamkniętąjestrównycałkowitemuładunkowizawartemuwewnątrz(Qwew)obszaruograniczonegotąpowierzchniąipodzielonegoprzezprzenikalnośćdielektrycznąpróżni(ε0).

Strumieńpolaelektrycznegojesttakisamdlawszystkichzaznaczonychpowierzchni!

Równania Maxwella

Prawo Gaussa dla pola magnetycznego

φB =!B ⋅d!A =

zamknietapowierzchnia

"∫ 0

Strumieńpolamagnetycznegoprzezdowolnąpowierzchnięzamkniętązawszejestrównyzeru!Monopolemagnetycznenieistnieją!

Strumieńpolamagnetycznegoprzezwszystkiepowierzchniezamkniętewynosizero!

Równania Maxwella

Prawo Faraday’a

!E ⋅d!l

po konturzezamknietym

"∫ = − ddt

!B ⋅d!A

powierzchniaograniczona konturem

∫

Zmiennywczasiestrumieńpolamagnetycznegoprzezdowolnąpowierzchnięotwartąindukujesiłęelektromotorycznąwkonturzeograniczającymtępowierzchnię.Innymisłowyzmiennewczasiepolemagnetyczneindukujewirowepoleelektryczne.

d l

d l

Równania Maxwella

Prawo Ampera + poprawka Maxwella

!B ⋅d!l

po konturzezamknietym

"∫ = µ0I + .....

Prądelektrycznyindukujewirowepolemagnetyczne.

Powierzchniaograniczonakonturem

KonturzamkniętyzłożonyzmałychodcinkówodługościΔl

Maxwelldoszedłdowniosku,żewtymrównaniuczegośbrakuje….

Równania Maxwella

Prawo Ampera + prąd przesunięcia

!B ⋅d!l

po konturzezamknietym

"∫ = µ0(I + ε0

ddt

!E ⋅d!A

powierzchniaotwarta

∫ )prądprzewodzenia

prądprzesunięcia

!B ⋅d!l"∫ = µ0(I + I przesuniecia )

I przesuniecia = ε0

ddt

!E ⋅d!A

powierzchniaotwarta

∫

Prądelektrycznyorazzmiennystrumieńpolaelektrycznegoindukująwirowepolemagnetyczne.

Równania Maxwella

!B ⋅d!A =

zamknietapowierzchnia

"∫ 0

!E ⋅d!A =

zamknietapowierzchnia

"∫Qwew

ε0ε r

!B ⋅d!l

po konturzezamknietym

"∫ = µ0µr (I + ε0ε r

ddt

!E ⋅d!A

powierzchniaotwarta

∫ )

!E ⋅d!l

po konturzezamknietym

"∫ = − ddt

!B ⋅d!A

powierzchniaotwarta

∫

ε r ,µrdodanedorównańbyuwzględnićobecnośćmaterii

względneprzenikalnościelektrycznaimagnetyczna: