Prawo powszechnego ciążenia Newtona

r

M

m

FMm = G Mm

r 2

FmM = G Mm

r 2

G = 6.67 ×10−11 Nm2

kg 2

Stałagrawitacji

Wielkość siły grawitacji z jaką przyciągają się wzajemnie ciała na Ziemi

M = 100kg m = 50kg

Fgr Fgr

r = 10m

Ts Ts

Mg mg

Nm = mg N M = Mg

Fgr = G Mm

r 2 ≈ 3.3×10−9 N µS ≈ 0.03

Współczynniktarciastatycznego(stal-lód)

Ts,max = µS N M = 30N Ts,max = µS Nm = 15N

Fgr ≪Ts,max grawitacjajestnajsłabsząsiłąwprzyrodzie

stalowekulenalodzie

Ziemska siła grawitacji

r = RZ + h

MZ ≈ 6×1024 kg

m

FMZ m = G

MZ m

Rz + h( )2 = maRZ

RZ ≈ 6.37 ×106 m

NamałejwysokościhnadpowierzchniąZiemi:

a = G

MZ

Rz + h( )2 ≈h≪Rz

GMZ

Rz2 = g

g = G

MZ

Rz2

h

a = G

MZ

Rz + h( )2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

przy

spie

szen

ie z

iem

skie

(m/s

2 )

9.5

9.55

9.6

9.65

9.7

9.75

9.8

9.85

ZmianyprzyspieszeniaziemskiegowrazzwysokościąnadpowierzchniąZiemi

a = G

MZ

Rz + h( )2

h≪ Rz ⇒ a ≈ g = GMZ

Rz2

bliskopowierzchniZiemi

W jaki sposób zważono Ziemię? Waga torsyjna Cavendisha (2 połowa XVIII w.)

FragmentfIlmuBBC:Gravityandme,całyfilmnastronie:https://www.youtube.com/watch?v=aNeR_fHcQSs

Promień Ziemi znany był już od starożytności

Eratostenes (276 – 194 p.n.e) – Ziemia jest kulą

http://keyah.asu.edu/lessons/Eratosthenes/KM4.html

7!

360!= 800 km

x⇒ x ≈ 40 000km

obwódZiemi RZ = 40 000km

2π≈ 6370km

promieńZiemi

Aleksandria

Siena(obecnieAsjut)

promieniesłonecznewtrakcieprzesilenialetniego(22czerwca)

https://pl.wikipedia.org/wiki/Przyspieszenie_ziemskie

Zmiany wartości przyspieszenie ziemskiego na powierzchni Ziemi

Wartośćprzyspieszeniaziemskiego(g)niejeststałąwielkościąnapowierzchniZiemi,takjaktowynikazPrawaPowszechnegoCiążeniaNewtona:

–wpływnatomakilkaczynników:

Zmiany wartości przyspieszenie ziemskiego na powierzchni Ziemi

•  RuchobrotowyZiemi

Antarktyda

Fg

T Fg −T = mad

G

MZ mRZ

2 − mgeff = mad

geff = G

MZ

RZ2 − ad

geff = G

MZ

RZ2 −ω 2r

geff = G

MZ

RZ2 − 2π

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

r

Nabiegunachad=0bor=0;Narównikuad=0.0338m/s2bor=RZ,T=1dzień

RuchobrotowyZiemiodpowiadaw50%zazmianywartościg,zaresztęodpowiadafakt,żeZiemianiejestjednorodnąkulą.

antarktyda

Kształt Ziemi – geoida (kształt jaki miałaby Ziemia gdyby w całości wypełnić ją wodą)

https://www.youtube.com/watch?v=ThcMzqlSwYo

Nafilmie–kolorypokazująwartośćsiłygrawitacji,kształtZiemizdefiniowanyjestprzezpowierzchnięprostopadłądokierunkusiłygrawitacji

Przyciąganie grawitacyjne wewnątrz Ziemi

F = G M 'm

r 2

Zakładając,żeZiemiajestjednorodnąkulą:

r

WewnątrzZiemi(jednorodnejkuli)naciałodziałasiłagrawitacyjna,którapochodzitylkoodpowłokwewnętrznych.Całkowitasiłaodpowłokinazewnątrzjestzerowa.

M’ M ' = ρZ

43πr3

F = 4

3πGρZ m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

r

!F = −k

!r

F

Siłagrawitacjibędziesięzachowywałajaksiłasprężystości.Jeżelinaciałodziałatylkosiłasprężystości,będzieonooscylowałowokółpołożeniarównowagi(tutajśrodkaZiemi)-pokażemytonawykładziedotyczącymruchuoscylacyjnego.

https://www.extremetech.com/extreme/187291-to-the-core-how-can-we-travel-to-the-center-of-the-earth/2

Zmiany wartości siły grawitacji dla jednorodnej kuli

dystansodśrodka

wartośćbezwzględn

asiły F ∝ 1

r 2 F ∝ r

P. G. Hewitt, Fizyka wokół nas, PWN

Grawitacyjna energia potencjalna

M m

!FMm = −G Mm

r 2 r

0 r1 r2

Jakąpracęwykonasiłagrawitacjipodczasprzesunięciaciałazodległościr1dor2:

W =

!FMm ⋅

r1

r2

∫ rdr = −GMm 1r 2 r ⋅

r1

r2

∫ rdr = −GMm 1r 2 ⋅

r1

r2

∫ dr = −GMm − 1r

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ r1

r2 = GMmr2

− GMmr1

W = −ΔEp = − Epr2

− Epr1( )Pracawykonanaprzezsiłękonserwatywną:

Ep = −G Mm

rEnergiapotencjalna:

rdr

Ep ∝

1r

Ep

Grawitacyjna energia potencjalna

Dlamałychwysokościnapowierzchniąenergiapotencjalnarośnieprawieliniowozwysokością!czyliEp=mgr

Siłagrawitacjiskierowanazawszewkierunkuniższejenergiipotencjalnej

Fgr

II prędkość kosmiczna dla Ziemi

Drugaprędkośćkosmicznatominimalnaprędkość,jakąnależynadaćobiektowi,abyopuściłnazawszedaneciałoniebieskie,poruszającsiędalejruchemswobodnym.

vuc

JakąminimalnąprędkośćtrzebanadaćciałubyopuściłoZiemięnazawsze?

Emech =

12

mvuc2 −G

MZ mRZ

= 12

mvr2 −G

MZ mr

=r→∞

0

napowierzchni wdowolnejodległościr

nieskończeniedaleko(przyzałożeniu,żeciałozatrzymałosięnieskończeniedaleko,v=0)

vuc =

2GMZ

RZ

≈11.2 kms

12

mvuc2 = G

MZ mRZ

CzyobecnaprędkośćsondyVoyager1jestwystarczającabyuciecznaszegoukładusłonecznego?

https://voyager.jpl.nasa.gov/mission/status/

≈61200km/h

≈2.15×1010km

vuc =

2GM⊙

R≈12700 km

h

Czarna dziura

Czarnadziuratogwiazda,zktórejprędkośćucieczkijestwiększaniżprędkośćświatławpróżni,c=3×108m/s.

2GM

R≥ c

DladanejmasyM,promieńponiżej,któregogwiazdastajesięczarnądziurą,nazywasiępromieniemSchwarzschilda:

RS =

2GMc2

DlaSłońce,którecharakteryzujesięmasąM!≈2×1030kg,promieńSchwarzschildawynosi:

RS =

2GM⊙

c2 ≈ 3 kmadlaZiemi:

RS =

2GMZ

c2 ≈ 8.9 mm

SferaopromieniuRSotaczającaczarnądziuręnazywasięhoryzontemzdarzeń-oddzielaonaobserwatoraodzdarzeń,októrychniemożeonnigdyotrzymaćżadnychinformacji.

Dowody na istnienie czarnych dziur

Dowodynaistnienieczarnychdziuropierająsięnakilkutypachobserwacji,takichjakanalizapromieniowaniarentgenowskiegoukładówpodwójnych,soczewkowanegrawitacyjneświatłapochodzącegozodległychgalaktykorazruchwidocznychciałwokółichniewidzialnychpartnerów.Taostatniametodadostarczyłanajwięcejdowodówistnieniaczarnychdziur.M.in.dostępnedanewskazują,żewcentrumnaszejgalaktyki(DrogiMlecznej)znajdujesięczarnadziuraomasierównej4mlnmasSłońca.

dyskakrecyjny,wizjaartystyczna

https://en.wikipedia.org/wiki/Accretion_disk#/media/File:Accretion_disk.jpg

FizykadlaszkółwyższychTom1byOpenStax

Artystyczna wizja czarnych dziur

filmInterstellar,https://www.youtube.com/watch?v=YdSz12Glhlw

I prędkość kosmiczna dla Ziemi

Pierwszaprędkośćkosmicznatonajmniejszapoziomaprędkość,jakąnależynadaćciałuwzględemprzyciągającegojeciałaniebieskiego,abyciałotoporuszałosiępozamkniętejorbicie.

Fgr = Fdosrodkowa

G

MZ mRZ

2 = mvorb

2

RZ

vorb

Fgr

m

MZ

RZ

vorb = G

MZ

RZ

≈ 7.9 kms

Prędkość międzynarodowej stacji kosmicznej (ISS)

h=405km vorb = G

MZ

RZ + h≈ 7.68 km

s

DanezGoogle:

https://www.heavens-above.com/IssHeight.aspx

Wahaniawwysokościsatelity:

Energia mechaniczna ciała na orbicie

r Emech =

12

mvorb2 −G

Mmr

Emech =

12

G Mmr

−G Mmr

Emech = − 1

2G Mm

r= 1

2Ep

Dlamiędzynarodowejstacjikosmicznej(ISS,m=419ton,r=Rz+405km)energiamechanicznawynosi:Emech≈-1.3×1010J.

Dlaczego grawitacja jest siłą długo-zasięgową?

FizykadlaszkółwyższychTom1byOpenStax

AlbertEinstein,OgólnaTeoriaWzględności:grawitacjatozakrzywienieczasoprzestrzeni.

Fale grawitacyjne

FragmentfIlmuBBC:Gravityandme,całyfilmnastronie:https://www.youtube.com/watch?v=aNeR_fHcQSs