OEKIVANA VRIJEDNOST I VARIJANSA PREKIDNE SLUAJNE PROMJENLJIVE Oekivana vrijednost Oekivana vrijednost za neku sluajnu promjenljivu ima isto znaenje kao i aritmetika sredina za neko obiljeje. Oekivana vrijednost sluajne promjenljive X oznaava se sa E(X). 1 1 2 21( ) ...nn n i iiEX x p xp xp x p== + + + = Oekivana vrijednost naziva se jo matematiko oekivanje ili, jednostavno,oekivanje od X. U praktinim istraivanjima, pojam oekivana vrijednost sluajne promjenljive X najee se poistovjeuje sa aritmetikom sredinomosnovnog skupa. Zbog toga moemo i napisati sljedeu jednakost: ( )XEX = =, odnosno oekivana vrijednost jednaka je aritmetikoj sredini populacije. Varijansa prekidne sluajne promjenljive Mjera disperzije rasporeda vjerovatnoe sluajne promjenljive naziva se varijansa sluajne promjenljive.Varijansa sluajne promjenljive oznaava se sa Var X, ili 2Xoili 2oi dobija se na osnovu obrasca: | | | |2 22( ) ( ) ( ) o = = = X i iiVarX EX EX x EX p Ako oekivanu vrijednost sluajne promjenljive E(X) oznaimo sa X i shvatimo kao aritmetiku sredinu osnovnog skupa (odnosno populacije), zakljuujemo da se formula za varijansu moe napisati u obliku:2 2( )X i X iix p o = . Varijansa sluajne promjenljive moe se jednostavnije izraunati pomou radne, alternativne formule, na analogni nain kao i varijansa rasporeda frekvencija: | | | |2 22 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )X i i XVarX EX EX EX EX xp o = = = = tj. kao oekivanje kvadrata sluajne promjenljive minus kvadrat njenog oekivanja. Jedna od vanih primjena navedenih karakteristika je u transformaciji sluajne promjenljive X sa oekivanom vrijednou E(X) i standardnom devijacijom Xo u sluajnu promjenljivu Z sa oekivanom vrijednou 0 i standardnom devijacijom jednakom 1.Takva sluajna promjenljiva Z naziva se standardizovana sluajna promjenljiva.( )XX EXZo= ( ) 0 EZ = Var Z = 1 MODELI PREKIDNIH RASPOREDA VJEROVATNOE Model rasporeda vjerovatnoe emo formulisati u vidu opteg algebarskog izraza, tj. formule koja daje vezu izmeu pojedinih vrijednosti koje uzima sluajna promjenljiva X i odgovarajuih vjerovatnoa.Takva funkcionalna veza:

( )i ip f x = i = 1, 2, ..., n,na kondenzovan nain sadri cijeli raspored vjerovatnoe i naziva se model rasporeda.Osnovni znaaj modela rasporeda je u tome to se na njima bazira cjelokupno statistiko zakljuivanje.Najpoznatiji modeli prekidnih rasporeda vjerovatnoe su: binomni, hipergeometrijski, Poisson-ov i uniformni. U okviru modela neprekidnih rasporeda vjerovatnoe, u statistikoj praksi najee se koriste: normalan, Student-ov, 2_(hi kvadrat) i Snedecor-ov (Fisher-ov) raspored Poisson-ov raspored Ukoliko je vjerovatnoa uspjeha p veoma mala (najee se uzima da je p 0,05) i kada je n>20, umjesto binomnog modela moemo koristiti Poisson-ov model, kao zadovoljavajui nain aproksimiranja vjerovatnoa. Poisson-ov raspored se moe koristiti da bi se odredila vjerovatnoa broja javljanja nekog dogaaja u jedinici vremena ili prostora.Potrebno je, meutim, da su ispunjena sljedea tri uslova: 1. Broj javljanja dogaaja je nezavisan od jedne do druge jedinice vremena ili prostora. 2. Vjerovatnoa javljanja nekog dogaaja je proporcionalna duini odreene jedinice vremena ili prostora. 3. Vjerovatnoa istovremenog javljanja dva ili vie dogaaja u sasvim maloj jedinici vremena ili prostora je zanemarljivo mala. Poisson-ov raspored

( )!xePX xx= = x = 0, 1, 2, ... 0 > Poisson-ov raspored ima samo jedan parametar . Numeriki, predstavlja prosjean broj javljanja nekog dogaaja u jedinici vremena ili prostora.Zanimljivo je da parametar istovremeno predstavlja aritmetiku sredinu i varijansu Poisson-ovog rasporeda, tj: 2( )XEX o = =. Hipergeometrijski raspored Neka u skladitu rezervnih dijelova ima N artikala, od kojih je M ispravnih i N-M neispravnih. Biramo na sluajan nain n artikala iz skladita.Ako se izbor rezervnih dijelova vri sa vraanjem artikala u kutije prije sljedeeg izvlaenja, tada sluajna promjenljiva X koja oznaava broj ispravnih artikala meu n izabranih ima Binomni raspored. Meutim, ako se rezervni dijelovi ne vraaju u kutije iz kojih se biraju, onda se sastav artikala u skladitu mijenja prije svakog novog izbora, to znai da rezultati biranja nisu vie nezavisni dogaaji. Treba pronai raspored sluajne promjenljive X koja oznaava broj ispravnih dijelova meu n izabranih bez vraanja, pri emu je N n s.Broj svih moguih izbora n artikala iz skladita sa N artikala jednak je ||.|

\|nN.Povoljni su oni ishodi koji sadre x ispravnih i n-x neispravnih.Broj povoljnih ishoda jednak je ||.|

\|||.|

\|x nM NxM Binomni raspored Najee korieni prekidni raspored u primijenjenoj statistici jeste binomni raspored. Posmatrajmo sukcesivno izvoenje nekog eksperimenta u kome se jedno izvoenje naziva opit. Pretpostavimo da su u svakom pojedinom opitu mogua samo dva, uzajamno iskljuiva, ishoda, koje emo arbitrarno nazvati uspjeh i neuspjeh. Ova dva termina (uspjeh i neuspjeh) se koriste samo radi razgraniavanja dva mogua ishoda i ne oznaavaju "kvalitet" nekog dogaaja. Takav opit koji moe produkovati samo dva ishoda naziva se Bernoulli-jev opit, po vajcarskom matematiaru J. Bernoulli-u, koji je dao veliki doprinos teoriji vjerovatnoe. Nas, meutim, nee interesovati samo jedan Bernoulli-jev opit, ve niz nezavisnih, ponovljenih Bernoulli-jevih opita.Takav niz opita naziva se Bernoulli-jev proces, ukoliko su ispunjeni sljedei uslovi: (1)Svaki opit rezultira u jednom od dva mogua ishoda, koje tehniki klasifikujemo kao uspjeh (U) i neuspjeh (N). (2)Vjerovatnoa uspjeha, p = P (U), konstantna je od opita do opita. Vjerovatnoa neuspjeha, P(N) = 1 p, oznaava se sa q,tako da je p + q = 1. (3)Opiti su nezavisni, odnosno bilo koji ishod da se realizuje u nekom opitu nee imati uticaja na vjerovatnou ishoda u bilo kom drugom opitu. Ukoliko izvrimo n ponovljenih Bernoulli-jevih opita, tada broj uspjeha moe iznositi 0, 1, 2, . . . , n.Binomni raspored

( ) (1 ) | |= |\ .x n xnPx p px za x = 0, 1, 2, ..., n n = broj opita p = vjerovatnoa uspjeha u svakom opitu Aritmetika sredina (preciznije reeno, oekivana vrijednost), varijansa i standardna devijacija binomnog rasporeda dobijaju se na osnovu sljedeih formula: Aritmetika sredina ( )XEX np = = Varijansa 2(1 )Xnp p npq o = = Standardna devijacija Xnpq o= NEPREKIDNA SLUAJNA PROMJENLJIVA Modeli neprekidnih rasporeda vjerovatnoe mogu pruiti odgovarajuu aproksimaciju vjerovatnoa prekidne sluajne promjenljive. Osim toga, veliki broj pojava moe uzeti ma koju vrijednost iz nekog konanog ili beskonanog intervala, odnosno po svojoj prirodi moraju se tretirati kao neprekidne promjenljive.Navedene promjenljive teorijski mogu uzeti bilo koju vrijednost u nekom intervalu, iako je u praksi broj tih vrijednosti konaan zbog nesavrenih mjernih instrumenata. Matematika funkcija oznaena sa f(x) naziva se funkcija gustine vjerovatnoe (ili raspored vjerovatnoe) neprekidne sluajne promjenljive X. Osnovne karakteristike funkcije gustine vjerovatnoe su analogne onima kod prekidnih. 1. Funkcija gustine nikada nije negativna, tj. ( ) 0 f x >. 2. Ukupna povrina ispod krive gustine vjerovatnoe uvijek je jednaka 1. Budui da se radi o neprekidnoj krivi, umjesto znaka za sabiranje moramo koristiti integral, tj: ( ) 1Df x dx =}, gdje je D oblast definisanosti X (npr. X < < +). Uniformni raspored (diskretna ravnomjerna raspodjela) Jedan od najjednostavnijih prekidnih rasporeda, koji je posebnu primjenu naao u kompjuterskoj simulaciji i igrama na sreu, jeste uniformni raspored. Njegova osnovna karakteristika je da svaka vrijednost sluajne promjenljiveima jednaku vjerovatnou da se ostvari. Uniformni raspored

1( ) PX xn= =

x = 1, 2, ... , n n = broj razliitih vrijednosti koje X moe uzeti Aritmetika sredina i varijansa uniformnog rasporeda date su sljedeim formulama: 1( )2nEX+= 22112Xno=. Funkcija rasporeda ove sluajne promjenljive je: = ) (X P110nx NORMALAN RASPORED Za sluajnu promjenljivu X kaemo da ima normalan raspored ako je karakteriu neprekidne vrijednosti, a njena funkcija gustine vjerovatnoe ima sljedei izraz Normalan raspored

( )2 2/ 21( )2xf x e oo t = x < 2, varijansa t distribucije jednaka je df/(df 2). to je broj stepeni slobode df vei, to se t distribucija vie pribliava Z distribuciji.(1 - o)100% interval povjerenja za aritmetiku sredinu populacije , u sluaju kada nije poznata standardna devijacija populacije o, uz pretpostavku da je populacija normalno rasporeena, dat je sa: /2 sx tno

u kojem je / 2to vrijednost t distribucije sa n 1 stepeni slobode i za vjerovatnou o/2. Mjere centralne tendencijeMjere centralne tendencije predstavljaju sintezu vrijednosti numerikih obiljeja ijom se upotrebom omoguava statistika analiza sa manjim brojem pokazatelja koji opisuju bitne karakteristike jedinica statistikih skupova. 5DESKRIPTIVNE STATISTIKE MJERE Na osnovu originalnih numerikih podataka ili rasporeda frekvencija mogu formulisati odgovarajui pokazatelji koji e na sintetizovan nain opisati posmatrane podatke.Takvi pokazatelji nazivaju se deskriptivne statistike mjere. Ukoliko se odnose na rasporede frekvencija nazivaju se jo pokazatelji rasporeda frekvencija.Smisao ovih mjera je da:a) jednim brojem opiu bitne karakteristike posmatranih podataka, i b) da omogue poreenje izmeu vie statistikih serija.Deskriptivne mjere klasifikujemo u etiri grupe:1)mjere centralne tendencije rasporeda (srednje vrijednosti), 2)mjere varijabiliteta (disperzije ili rasprenosti), 3)mjere oblika rasporeda, i4)relativno uee (proporciju).Deskriptivne statistike mjere opisuju originalne numerike podatke ili statistike serije (odnosno rasporede frekvencija), kako na nivou skupa, tako i na nivou uzorka Deskriptivne mjere koje se izraunavaju na osnovu svih podataka skupa nazivaju parametri skupa, a deskriptivne mjere koje se odnose na uzorak nazivaju se statistikama uzorka. Aritmetika sredina Aritmetika sredina je u praksi najee koriena mjera centralne tendencije. Popularno se jo naziva prosjek. Aritmetika sredina Prosta aritmetika sredina Za skupZa uzorak = 1ixN

1ix xn= Ponderisana aritmetika sredina Za skup Za uzorak = 1i ix fN

1i ix x fn= Aritmetika sredina je pod uticajem svih vrijednosti obiljeja (ukljuujui i ekstremno velike i ekstremno male vrijednosti obiljeja) zato to se izraunava na osnovu posmatranja svih jedinica. U sluaju postojanja izrazito ekstremnih vrijednosti, aritmetika sredina predstavlja iskrivljeni prikaz onoga to sadre podaci o posmatranim jedinicama. Iz tog razloga aritmetika sredina nije najbolja mjera centralne tendencije koju treba u takvom sluaju primijeniti. Mjere varijacije Varijabilitet predstavlja rasprenost podataka u seriji. Utvruje se pomou odgovarajuih mjera varijacije koje, kao i mjere lokacije, mogu da budu pozicione i izraunate u odnosu na neku srednju vrijednost (najee aritmetiku sredinu) skupa ili uzorka.Kao apsolutne mjere varijabiliteta, koje istovremeno predstavljaju pozicione mjere varijacije, koriste se interval (razmak) varijacije i interkvartilna razlika. Od relativnih mjera varijacije najiru upotrebu imaju: koeficijent varijacije i standardizovano odstupanje. - < z < + Apsolutne mjere varijacijeVarijansa Varijansa pokazuje prosjek kvadrata odstupanja svih podataka od njihove aritmetike sredine. Ukoliko podaci nisu grupisani, odnosno ako su date vrijednosti obiljeja X: x1, x2, x3,..., xN, varijansa skupa se izraunava na sljedei nain: 2 211( )NiixNo == a za podatke grupisane u vidu distribucije frekvencija: ( )2211ki iif xNo == jer odstupanja moramo ponderisati njihovim frekvencijama. Varijansa se moe izraunati i na jednostavniji nain, koristei tzv. radni obrazac: 22 2 1ki iix fNo == . Varijansa uzorka predstavlja prosjek zbira kvadrata odstupanja svih vrijednosti obiljeja jedinica u uzorku od aritmetike sredine uzorka. Kod negrupisanih podataka izraunava se na sljedei nain: 22( )1ix xsn = Standardna devijacija Standardna devijacija predstavlja prosjeno odstupanje svih pojedinanih podataka od njihove aritmetike sredine. Standardna devijacija se moe izraunati direktno iz varijanse, odnosno kao pozitivna vrijednost kvadratnog korijena varijanse, tj: 2o o = + za skup, ili 2s s = + za uzorak Ukoliko nije prethodno izraunata varijansa u skupu, standardna devijacija se moe izraunati na osnovu podataka o odstupanjima od aritmetike sredine, na sljedei nain:

ili direktno iz podataka:2 211NiixNo == . Standardna devijacija skupa na osnovu grupisanih podataka u vidu rasporeda frekvencija izraunava se na sljedei nain: Kada raspolaemo rasporedom frekvencija uzorka, standardna devijacija uzorka se moe izraunati jednostavnije, pomou "radne formule": 2 21i if x nxsn=. Relativne mjere varijacije Za razliku od mjera varijacije koje su izraene u apsolutnim jedinicama vrijednosti obiljeja, relativne mjere izraene su u procentima ili u jedinicama standardne devijacije.Ove mjere omoguavaju da se uporeuje varijabilitet numerikih serija podataka koji su izraeni u razliitim jedinicama mjere, ali sa razliitim aritmetikim sredinama. Najee koriene relativne mjere varijacije su: koeficijent varijacije i standardizovano odstupanje. Koeficijent varijacije predstavlja relativni odnos standardne devijacije i aritmetike sredine. Izraunava se na sljedei nain: Kv = o Standardizovano odstupanje predstavlja mjeru odstupanja nekog pojedinanog podatka od aritmetike sredine izraena u jedinicama standardne devijacije. Izraunava se na sljedei nain: Z = iX o UZORAKE DISTRIBUCIJE Uzoraka distribucija odreene statistike predstavlja distribuciju vjerovatnoe svih moguih vrijednosti koje ta statistika moe da uzme, a koje se dobiju izraunavanjem iz svih uzoraka iste veliine, sluajno izabranih iz posmatrane populacije. Uzoraka distribucija aritmetike sredine X Uzoraka distribucija aritmetike sredine X predstavlja distribuciju vjerovatnoe svih moguih vrijednosti koje sluajna promjenljiva X moe da uzme, a koje se dobiju izraunavanjem iz svih uzoraka veliine n, sluajno izabranih iz posmatrane populacije. Standardna greka aritmetike sredine uzorake distribucijestandardna greka aritmetike sredine i oznaava se sa Xo. Standardna greka aritmetike sredine izraava prosjek odstupanja aritmetikih sredina uzoraka od aritmetike sredine populacije. U sluaju uzoraka sa ponavljanjem izraunava se na osnovu izraza: nXoo = Kod uzoraka bez ponavljanja iz konanih skupova, iji broj elementa N je poznata veliina, standardna greka aritmetike sredine izraunava se na osnovu izraza: 1XN nNnoo= Potkorijena veliina 1 Nn Nnaziva se korektivni (popravni) faktor za konane skupove i oigledno je da korekciju standardne greke vri u manjoj ili veoj mjeri s obzirom na veliinu uzorka, odnosno s obzirom na odnos veliine uzorka i veliine osnovnog skupa n/N ( )= =NiixN121 o( )= =kii ix fN121 o