Univerzitet u Novom SaduPrirodno-matematicki fakultet

Departman za matematiku i informatiku

Nenad Teofanov

Odabrane teme elementarnematematike

Skripta

2015, Novi Sad

SADRŽAJ

Sažetak

Sadržaj1 Prvo predavanje - kompleksni brojevi, istorijska perspektiva 3

1.1 Ars Magna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Kubna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Aritmetika kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Dve magije kompleksnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Korenovanje kao višeznačna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Vežbe i pitanja za ponavljanje gradiva . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deo 82.1 Teorema Kantor - Šreder - Bernštajn . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Dirihleov princip i princip bijekcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Uvodni pojmovi kombinatorike, II deo 143.1 Princip bijekcije i Dirihleov princip, II . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Princip proizvoda i pravilo zbira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 Skupovi i njihova granična vrednost I 194.1 Kvantifikatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Istorijski komentar: slaba Goldbahova hipoteza . . . . . . . . . . . 22

5 Skupovi i njihova granična vrednost II 245.1 Indeksirane familije skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Neka svojstva simetrične razlike skupova . . . . . . . . . . . . . . . 275.3 Granična vrednost skupova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6 Struktura skupa realnih brojeva 296.1 Supremum i Dedekindova aksioma kompletnosti . . . . . . . . . . . 29

7 Dedekindova konstrukcija 307.1 Operacije i poredak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.2 Kompletnost skupa R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Svojstvo kompaktnosti 328.1 Topološki prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.2 Metrika i norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.3 Dodatak - tačke nagomilavanja skupova i nizova . . . . . . . . . . . 348.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2

1 Prvo predavanje - kompleksni brojevi, istorijska perspektiva

1 Prvo predavanje - kompleksni brojevi, istorijskaperspektiva

U predavanju se osvrćemo na hronologiju postepenog uvodjenja koncepta kom-pleksnog broja. Posebno ćemo izdvojiti direktne posledice pojedinih zaključaka.Koristimo uobičajene oznake za skupove brojeva.

1.1 Ars MagnaCentralna ličnost naše priče je -Dirolamo Kardano, renesansni lik koji je, izmedju

ostalog, svojoj burnoj biografiji godine 1545. dodao objavljivanje knjige Ars Magna1.Ovo delo je, uz Bombelijevu knjigu L’Algebra objavljenu 1572. godine, najznačajnijematematičko izdanje od antičkih vremena do kraja XVI veka.

U knjizi Ars Magna, Kardano je objavio izvodjenje formula za rešenje opštealgebarske jednačine trećeg i četvrtog stepena. Zanimljivo, u formulama se javljaju"fiktivna"i "nemoguća"rešenja koja danas ne smatramo ni fiktivnim ni nemogućim.Konkretno, Kardanova epoha ne poznaje nulu kao broj, niti negativne brojeve. Ipak,upravo na osnovama Ars Magne, Bombeli izvodi aritmetičke operacije negativnimbrojevima, pa čak i pravila manipulisanja veličinama kod kojih se pod korenom nalazinegativan broj.

U nastavku ćemo koristiti savremene oznake uz napomenu da u Kardanovovreme notacija nije bila razvijena, te su se postupci i formule navodili opisno.

Smatra se da je koren iz negativnog broja prvi put eksplicitno naveden u rešenjuproblema podele broja 10 na dva dela čiji proizvod daje 40. Kardano rešenje smatrabeskorisnim, ali ga ipak navodi:

x1,2 = 5 ±√

−15.

1.2 Kubna jednačinaFormula za rešenja kvadratne jednačine bila je poznata od VII veka (ako ne

i ranije) kada je izložena u radu indijskog matematičara Bramagupte. Pogodnimsmenama opšta jednačina trećeg stepena koja ima barem jedno pozitivno rešenjemože se svesti na jedan od oblika x3 + mx = n ili x3 = mx + n, za neke pozitivnebrojeve m i n. S obzirom da su se negativna rešenja sve do druge polovine XVIveka smatrala fiktivnim/neupotrebljivim, jednačina oblika x3 + mx + n = 0 se nijeni rešavala.

Pri tome, oblik x3 = mx + n je teži za rešavanje i, razumljivo, odgovarajućaformula je pronadjena nešto kasnije nego formula za rešavanje jednačine x3 +mx =n. U modernoj notaciji, za x3 = mx + n rešenje koje je Kardano objavio glasi

x = 3

√n

2+√(n

2

)2−(m

3

)3+ 3

√n

2−√(n

2

)2−(m

3

)3.

Na primer, rešenje jednačine x3 = 15x + 4 (posmatrane u Bombelijevoj algebriiz 1572. godine) je

x = 3√

2 +√

−121 + 3√

2 −√

−121.

1Preciznije, Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis

3

1.3 Aritmetika kompleksnih brojeva

Zanimljivo, rešenja ove jednačine su realna. Jedno od njih, x = 4 je Bombeli izveomanipulišući gornjom formulom (preostala dva rešenja su −2 ±

√3). To je prvi

primer računa u kojem se algebarske operacije izvode nad izrazima kod kojih sejavlja negativna potkorena veličina.

Luka Pačoli je u drugoj polovini XV veka tvrdio da kubne jednačine oblikax3 + mx = n ili x3 = mx + n nije moguće rešiti tada poznatim metodama.Ipak, izgleda da je del Fero još krajem XV veka rešio jednačinu x3 + mx = n, amoguće je da je postojala beležnica u kojoj je del Fero izveo formule za rešenjeoba problema. U to vreme znanja su se sakrivala od "neupućenih"i česti su bili"matematički dvoboji"u kojima je pobednik odnosio slavu. Povodom jednog takvogdvoboja Tartalja je otkrio formule koje će biti objavljene u Kardanovoj Ars Magni.Čak je poznato da se to desilo 12. i 13. februara 1535. godine2. Iako je Tartaljasvoje otkriće ljubomorno čuvao, Kardano je nekako uspeo da ga nagovori da muotkrije tajnu formulu. Nakon dugotrajnog odlaganja, Tartalja je, verovatno dobivšinešto zauzvrat, otkrio Kardanu formulu, uz uslov da je ovaj ne objavi. Ipak, Kardanoje, nakon uvida u del Ferovu beležnicu, koju je nakon del Ferove smrti preuzeo jedanod njegovih učenika odlučio da prekrši obećanje dato Tartalji, što mu ovaj nikadnije oprostio.

Za nas je važno da napomenemo da Kardanove formule u opštem slučaju dajuveoma komplikovan izraz i da su, sa praktičnog stanovišta, odgovarajući iterativnipostupci nalaženja približne vrednosti korena često efikasniji od upotrebe formula.Na primer, x = 1 je očigledno rešenje jednačine x3 = 5x − 4, a Kardanova formuladaje

x = 3√

−2 +√

−17/27 + 3√

−2 −√

−17/27.

Ipak, formule objavljene u Ars Magni predstavljaju prvo veliko otkriće u algebrinakon viševekovne stagnacije. Pri tome, njima se, kao što je više puta rečeno, uvodiračun sa izrazima kod kojih je potkorena veličina negativna.

Pouka: Premda se uvodjenje kompleksnih brojeva motiviše rešavanjem jednačinex2 + 1 = 0, kao što smo videli, kubna jednačina je odigrala značajniju ulogu u tojepizodi matematičke povesti.

Račun sa veličinama koje sadrže korene iz negativnih brojeva je stagnirao višeod sto godina nakon objavljivanja Ars Magne. O tome svedoči i prepiska Hajgensa iLajbnica iz 1673. godine u kojoj Hajgens iskazuje čudjenje i nevericu nad jednakošću√

1 +√

−3 +√

1 −√

−3 =√

6.

1.3 Aritmetika kompleksnih brojevaVeć smo napomenuli da je prve korake u razvoju aritmetike kompleksnih brojeva

učinio Bombeli. U stvari, on je značajno unapredio notaciju i od opisnog objašnja-vanja prešao na simbole. Slovo R je koristio za kvadratni koren, radix quadraticus,a R3 za kubni koren, radix cubus, p je simbol sabiranja, m oduzimanja, a zagradeuokviruju izraz na koji se odnosi posmatrana operacija. Tako je u Bombelijevojalgebri √

4 +√

6 ! R⌊4pR6⌋,3√

2 +√

0 − 121 ! R3⌊2pR⌊0m121⌋⌋.

2Reforma štarog", julijanskog kalendara je izvršena 1582. godine.

4

1.4 Dve magije kompleksnih brojeva

Tokom XVIII veka objavljeno je mnogo formula u kojima se javljaju kompleksnibrojevi. Najslavnija je, svakako, Ojlerova formula eix = cos x + i sin x, x ∈ R, izkoje sledi, na primer, de Muavrova formula (cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx,n ∈ Z. Oznaku i =

√−1 uveo je Ojler 1748. godine.

Naziv imaginarni broj za koren negativnog broja je u vezi sa široko rasprostranje-nim mišljenjem da se ove veličine javljaju samo tokom izvodjenja računskih operacijai nekako se poništavaju na kraju računa. Evo ilustrativnog primera.

Dokazati da je proizvod zbira kvadrata dva cela broja jednak zbiru kvadrata dvacela broja. Važi:

(a2 + b2)(c2 + d2) = (a + bi)(a − bi)(c + di)(c − di)= (a + bi)(c + di)(a − bi)(c − di) = u2 + v2,

gde je u = ac − bd, v = ad + bc.Tek sa geometrijskom interpretacijom kompleksnih brojeva afirmišu se Bom-

belijevi postupci sabiranja i množenja kompleksnih brojeva. Time se (u XIX veku)otvaraju vrata za sistematsko proučavanje kompleksnih brojeva. Pozicioniranje kom-pleksnih brojeva u koordinatnom sistemu koristili su Vesel i Argan, no tek je Gaus1831. godine tu ideju produbio i definisao aritmetiku kompleksnih brojeva3. Ot-prilike u isto vreme, Hamilton razvija aritmetiku kompleksnih brojeva posmatrajućikompleksan broj kao uredjen par realnih brojeva, pa se element skupa kompleksnihbrojeva z ∈ C identifikuje sa odgovarajućim izrazom a + ib, a, b ∈ R.

Podsetimo se, algebarske operacije kompleksnim brojevima se uvode na očekivannačin, pri čemu se deljenje realizuje racionalisanjem imenioca. Detalje ostavljamoza vežbu. Ovo se odnosi i na polarnu reprezentaciju, z = reiϕ, r ≥ 0, ϕ ∈ (−π, π].Predstavljanje kompleksnih brojeva u ravni omogućava fromulisanje jednostavnegeometrijske interpretacije zbira i proizvoda kompleksnih brojeva.

Nije teško dokazati da skup kompleksnih brojeva sa operacijama sabiranja imnoženja ima strukturu polja. Za razliku od polja realnih brojeva, u kojem postojitotalno uredjenje, u polju kompleksnih brojeva nije moguće uvesti relaciju totalnogporetka.

1.4 Dve magije kompleksnih brojevaOsvrnućemo se samo na magiju izračunavanja korena pojedinih brojeva i na

magiju rešavanja algebarskih jednačina.Skup realnih brojeva nije dovoljan da obuhvati veličinu čiji je kvadrat jednak

nekom negativnom broju. Tu je situacija slična onoj koja nastupa kada se ustanovida skup razlomaka ne obuhvata veličinu čiji je kvadrat jednak broju 2, na primer. Uoba slučaja se postojeća struktura na konzistentan način proširuje do nove struktureunutar koje postoji rešenje posmatranog problema. U iskušenju smo da pomislimokako će se ista priča ponoviti pri pokušaju da za neki posebno odabran kompleksnibroj odredimo veličinu koja pomnožena sa sobom daje taj broj. Medjutim, to seneće desiti. Kakav god kompleksni broj z da izaberemo, uvek postoji kompleksnibroj ω tako da je ω2 = z. U stvari, ako je z = a + ib, onda je ω2 = z za

ω = ±

(√12

(a +

√a2 + b2

)+ i

√12

(−a +

√a2 + b2

)).

3Smatra se da je Gaus prvi upotrebio naziv kompleksni broj

5

1.4 Dve magije kompleksnih brojeva

Na primer, za z = i formula daje ω = ±√

22 (1+i). Primetimo da postupak možemo

da nastavimo i nadjemo υ ∈ C za koje je υ2 = ω.Dakle, u ovom novom sistemu, skupu kompleksnih brojeva svaki broj ima kva-

dratni koren (ima ih, u stvari, dva). Ovo je samo početak magije. Umesto kva-dratnog korena može se posmatrati ma koji realan koren kompleksnog broja (izuzevnule, kada se posmatra negativan koren). Pri tome se realan koren definiše kao štoje to uradjeno u skupu realnih brojeva. Štaviše, nakon preciznog uvodjenja stepe-novanja kompleksnog broja kompleksnim brojem, o čemu se studenti upoznaju nakursevima kompleksne analize, ispostavlja se da je rezultat kompleksnog korenova-nja kompleksnog broja takodje kompleksan broj. Prva magija je dakle zatvorenostu odnosu na korenovanje - svojstvo koje nemaju ni racionalni ni realni brojevi.

Korenovanje kompleksnih brojeva imalo je ulogu u konstrukciji pravilnog 17-stranog poligona (heptadekagon) šestarom i lenjirom koju je dao 19-ogodišnji Gaus1796. godine.

Druga magija izražava se fundamentalnom teoremom algebre:

Teorema 1.1. Svaki kompleksni polinom pozitivnog stepena ima onoliko nula kolikije njegov stepen.

Zainteresovani čitalac može da prouči dokaz u [4]. U dokazu se koristi: ne-prekidnost polinoma, Vajerštrasova teorema o neprekidnim funkcijama, činjenica daza svaki kompleksan broj z postoji njegov n−ti koren, to jest w ∈ C takav da jewn = z, n ∈ N i D’Alamberova lema koja tvrdi da, ako je P (z) polinom i P (z0) = 0,onda u svakoj okolini tačke z0 postoji w tako da važi: |P (w)| < |P (z0)|.

Ekvivalentno tvrdjenje glasi: Svaki nekonstantni polinom sa kompleksnim koe-ficijentima ima barem jednu nulu u polju kompleksnih brojeva.

Ova teorema ima dugu istoriju, a konačno je dokazana tokom XIX veka. Di-rektna posledica fundamentalne teoreme algebre je faktorisanje polinoma na linearnečinioce, slično rastavljanju celih brojeva na proste činioce (što se naziva fundamen-talnom teoremom aritmetike). Naime, svaki polinom Pn(z) stepena n ∈ N se možepredstaviti kao proizvod tačno n faktora

Pn(z) = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zn),

pri čemu su kompleksni brojevi zk, k = 1, 2, . . . , n rešenja jednačine Pn(z) = 0. Pritome, neki od brojeva zk mogu da budu jednaki.

U polju realnih brojeva proizvoljna kvadratna jednačina drugog stepena ne morada ima rešenja u tom polju, odnosno odgovarajući polinom drugog stepena ne morada ima nule (korene) u skupu R (faktorizaciju na linearne činioce). Nasuprot tome,u polju kompleksnih brojeva svaki polinom stepena n sa kompleksnim koeficijentimaima n korena (jednakih ili različitih) u polju kompleksnih brojeva.

Ars magna sadrži formule za korene polinoma drugog, trećeg i četvrtog stepena.Za polinom petog stepena ne samo da nije postojala odgovarajuća formula u tojknjizi, nego je tek fundamentalnom teoremom algebre dokazana egzistencija korenau polju C, dakle otprilike 3 veka nakon objavljivanja Ars Magne.

Konačno, rezultati teorije grupa impliciraju da se koreni opšte algebarska jed-načina stepena n ≥ 5 ne mogu dobiti formulom pomoću koeficijenata, algebarskihoperacija i korenovanja. Ovaj rezultat je poznat u algebri kao Abel-Rufini teoremakoju je Abel dokazao 1823. godine. Nezavisno od Abela, istu teoremu je dokazaoGaloa, a objavljena je posthumno 1846. godine, 14 godina nakon njegove smrti.

6

1.5 Korenovanje kao višeznačna funkcija

Čitaocu skrećemo pažnju na filozofski problem. Formula za koren alegebarskejednačine nije pronadjena jer nije ni mogla biti pronadjena. Potraga za rešenjemnekog problema podrazumeva sasvim drukčiji pristup nego dokazivanje da taj istiproblem ne može biti rešen.

1.5 Korenovanje kao višeznačna funkcijaUporedjujući odgovarajuće razvoje u stepeni red, Ojer je 1740-tih godina izveo

formulu eix = cos x + i sin x, x ∈ R (formula je objavljena u Ojlerovom udžbeniku1748. godine).

Iz ove formule sledi da je eksponencijalna funkcija periodična sa periodom 2πikao i da je

(cos x + i sin x)n = einx = cos nx + i sin nx, n ∈ N.

Prema tome, za zadato n ∈ N, jednačina zn = 1 ima n različitih rešenja ukompleksnoj ravni:

zk = cos 2πk

n+ i sin 2πk

n, k = 0, 1, . . . , n − 1. (1)

Ove tačke u kompleksnoj ravni leže na jediničnoj kružnici i mogu se intepretiratikao temena pravilnog n-tostranog poligona.

Tako, jednačina zn − 1 = 0 ima n kompleksnih rešenja. Ovo je poseban slučajfundamentalne teoreme algebre.

Činjenica da jednačina zn = ω za zadati broj ω ∈ C i ceo broj n ≥ 2 imaviše rešenja znači da je funkcija f : ω 7→ ω1/n višeznačna. Opštije, stepenovanjekompleksnog broja kompleksnim brojem je višeznačna funkcija, što sledi iz polarnereprezentacije kompleksnog broja i periodičnosti eksponencijalne funkcije. Ovo jeu oštrom kontrastu sa stepenovanjem/korenovanjem realnih brojeva. Prema tome,svojstva koja su posledica jedinstvenosti ovih operacija u skupu realnih brojeva (ja-sno, u slučaju kada su one dobro definisane), u opštem slučaju ne važe za kompleksnebrojeve. Tu spadaju na primer formule (ab)x = axbx, (ax)y = axy, koje važe kadaa, b, x, y ∈ R, ali ne važe za sve a, b, x, y ∈ C.

Na kraju navodimo da se kompleksni brojevi suštinski primenjuju u algebarskoj ianalitičkoj teoriji brojeva, realnoj analizi (teoriji brojevnih i stepenih redova, nesvoj-stvenih integrala,...), teoriji funkcija kompleksne promenljive, kao i u oblastima izvančiste matematike: teoriji upravljanja, dinamici fluida, elektromagnetizmu, signalnojanalizi, kvantnoj mehanici...

1.6 Vežbe i pitanja za ponavljanje gradiva1. Razjasniti sledeće paradokse:

a) −1 = i · i =√

−1√

−1 =√

(−1)(−1) =√

1 = 1.b) Iz e2πik = 1, k ∈ Z, sledi e = ee2πik = e1+2πik, pa je

e = e1+2πik = (e1+2πik)1+2πik = e1+4πik−4π2k2, ∀k ∈ Z.

Kako je e4πik = 1, k ∈ Z, dobija se

e = ee−4π2k2⇒ 1 = e−4π2k2

, ∀k ∈ Z.

7

LITERATURA

Dobijena formula je tačna samo za k = 0. Za k = 1, na primer, dobijase e4π2 = 1.

2. Utvrdi gradivo uz pomoć sledećih pitanja.

a) Kako se zove najznačajnije Kardanovo matematičko delo, kada je obja-vljeno i po čemu je naročito poznato?

b) Kako se zove Bombelijeva knjiga i po čemu je ona značajna?c) Po čemu se posebno razlikuje polje kompleksnih brojeva u odnosu na po-

lja racionalnih i realnih brojeva (što smo u tekstu nazvali prvom magijomkompleksnih brojeva)?

d) Kako glase Ojlerova formula i fundamentalna teorema algebre?e) Izvesti formulu (1) za rešenja jednažine zn = 1.

f) Po čemu je specifično korenovanje, odnosno stepenovanje kompleksnihbrojeva? Navesti primer koji ilustruje tu specifičnost.

Literatura[1] M. Aigner, G. M. Ziegler, Proofs from the Book, Springer, Berlin, 2009.

[2] M. Božić, Pregled istorije i filozofije matematike, Zavod za udžbenike, Beograd,2010.

[3] R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics, OxfordUniversity Press, 1996.

[4] I. Kleiner, Excursions in the History of Mathematics, Birkhäuser, Basel, 2012.

2 Uvodni pojmovi kombinatorike, I deoU predavanju se osvrćemo na osnovne principe kombinatorike i njihovu primenu

na rešavanje elementarnih kombinatornih problema.Predmet kombinatorike je, grubo govoreći, prebrajanje svih mogućih rasporeda

nekih objekata ili odredjivanje broja svih mogućih načina na koje se mogu izvršitineke aktivnosti. Odavde sledi da su kombinatorne ideje i postupci sveprisutni.

Smatra se da su poznati pojmovi injektivnog, sirjektivnog i bijektivnog presli-kavanja kao i pojam skupa. Podsetimo se, skup se opisuje nekim svojstvom kojeposeduju njegovi elementi: A = {x | P (x)}. Takodje smatra se da su poznati poj-movi unije, preseka i razlike dva skupa. U slučaju A ⊂ X, komplement skupa A uX, u oznaci Ac čine elementi skupa X koji ne pripadaju skupu A.

Neprazni skupovi A i B su ekvipotentni ako postoji bijektivno preslikavanjeizmedju njih. U tom slučaju se koristi oznaka A ∼ B i lako se dokazuje da je ∼relacija ekvivalencije. Klasa ekvivalencije kojoj pripada skup A je kardinalni brojskupa A, u oznaci cardA.

Za konačne skupove, kardinalni broj se identifikuje/poistovećuje sa brojem ele-menata tog skupa. Uz izuzetak prvog poglavlja, posmatraćemo konačne skupove.

8

2.1 Teorema Kantor - Šreder - Bernštajn

2.1 Teorema Kantor - Šreder - BernštajnNeka je cardA = n i cardB = m, n, m ∈ N. Preslikavanje f : A → B može da

bude injektivno ako i samo ako je n ≤ m, a sirjektivno ako i samo ako je n ≥ m.Odavde sledi da, ako postoje injektivna preslikavanja f : A → B i g : B → A, ondaje n = m, pa postoji bijekcija izmedju A i B.

Ova činjenica nije očigledna za skupove proizvoljne kardinalnosti. O tome govoriteorema Kantor - Šreder - Bernštajna. Teorema je dokazana u periodu 1887. - 1897.godine4

Teorema 2.1. Dati su neprazni skupovi A i B. Ako postoji injektivno preslikavanjef : A → B i injektivno preslikavanje g : B → A, onda postoji bijekcija izmedjuskupova A i B.

Dokaz. Bez ograničenja se pretpostavlja da je A ∩ B = ∅. Skup slika preslikavanjaf je f(A) ⊂ B, a skup slika preslikavanja g je g(B) ⊂ A.

Primetimo da iz A \ g(B) = ∅ sledi da je g bijekcija, pa se tu dokaz završava.Slično, iz B \ f(A) = ∅ sledi da je f bijekcija.

Injektivnost preslikavanja f i g omogućava primenu tehnike koju nazivamo"guraj-vuci".

1. korak: "Guranje unapred"5

Svaki element a ∈ A "guramo unapred"tako što mu pridružujemo jedinstvenoodredjen niz {xn(a)} ⊂ A ∪ B definisan sa:

x1(a) = a, x2(a) = f(a), x3(a) = g(f(a)), x4(a) = f(g(f(a))), . . .

Svaki element tog niza, izuzev x1(a) je sledbenik elementa a.Takodje, ako je xm(a) ∈ {xn(a)}, prethodnici elementa xm(a) su članovi niza

xk(a), k = 1, 2, . . . , m − 1, m.Može da se desi da je a = xm(a) za neki prirodan broj m > 1, pa je takav niz

periodičan i x1(a) = xm(a) je tako sledbenik elementa xm−1(a). Svaki elementperiodičnog niza se u njemu pojavljuje beskonačno mnogo puta, pa je tako listanjegovih prethodnika beskonačna.

Primetimo da, pri tome, xm(a) ∈ A ako i samo ako je m neparan broj, axm(a) ∈ B ako i samo ako je m paran broj.

Na sličan način se svaki element b ∈ B "gura unapred"pomoću jedinstvenoodredjenog niza {yn(b)} ⊂ A ∪ B:

y1(b) = b, y2(b) = g(b), y3(b) = f(g(b)), y4(b) = g(f(g(b))), . . . .

2. korak: U ovom koraku se svaki element skupa A∪B "vuče unazad". Neka jea proizvoljan element skupa A. Formira se jedinstvena lista prethodnika elementaa ∈ A na sledeći način. Ako a ∈ A \ g(B), on je jedini element te liste (i sam jesvoj prethodnik). U suprotnom slučaju, dobija se lista njegovih prethodnika:

a, g−1(a), f−1(g−1(a)), g−1(f−1(g−1(a))), . . . ,

koja može biti konačna ili beskonačna.Dakle, moguć je tačno jedan od sledeća tri slučaja:

4Istorijat ove teoreme se može pročitati na: http://en.wikipedia.org/wiki/Schröder-Bernstein_theorem

5engl. push forward

9

2.1 Teorema Kantor - Šreder - Bernštajn

a) Lista prethodnika elementa a ∈ A je konačna i poslednji element te listepripada skupu A.

b) Lista prethodnika elementa a ∈ A je konačna i poslednji element te listepripada skupu B.

c) Lista prethodnika elementa a ∈ A je beskonačna.

U slučaju a) to znači da postoji a ∈ A i niz {xn(a)} tako da postoji (neparan)broj m ∈ N za koji važi:

a = x1(a), f(a) = x2(a), g(f(a)) = x3(a), f(g(f(a))) = x4(a), . . . a = xm(a)

i, pri tome, a ∈ A \ g(B). Kažemo još da a vodi poreklo iz skupa A.U slučaju b) to znači da postoji b ∈ B i niz {yn(b)} tako da postoji (paran) broj

m ∈ N za koji važi:

b = y1(b), g(b) = y2(b), f(g(b)) = y3(b), g(f(g(b))) = y4(b), . . . a = ym(b)

i, pri tome, b ∈ B \ f(A). Tada a vodi poreklo iz skupa B.Na sličan način se formira lista prethodnika proizvoljnog elementa b ∈ B, a

moguć je tačno jedan od sledeća tri slučaja:

d) Lista prethodnika elementa b ∈ B je konačna i poslednji element te listepripada skupu B.

e) Lista prethodnika elementa b ∈ B je konačna i poslednji element te listepripada skupu A.

f) Lista prethodnika elementa b ∈ B je beskonačna.

U slučaju d) to znači da postoji b ∈ B i niz {yn(b)} tako da postoji (neparan)broj m ∈ N za koji važi:

b = y1(b), g(b) = y2(b), f(g(b)) = y3(b), g(f(g(b))) = y4(b), . . . b = ym(b)

i, pri tome, b ∈ B \ f(A).U slučaju e) to znači da postoji a ∈ A i niz {xn(a)} tako da postoji (paran)

broj m ∈ N za koji važi:

a = x1(a), f(a) = x2(a), g(f(a)) = x3(a), f(g(f(a))) = x4(a), . . . b = xm(a)

i, pri tome, a ∈ A \ g(B).3. korak: Uvodimo skupove AA, AB , A∞, BA, BB , i B∞, pomoću pojma sled-

benika:

AA = {a ∈ A \ g(B)} ∪ {a ∈ A | a je sledbenik nekog elementa skupa A \ g(B)},

AB = {a ∈ A | a je sledbenik nekog elementa skupa B \ f(A)},

A∞ = A \ (AA ∪ AB),BB = {b ∈ B \ f(A)} ∪ {b ∈ B | b je sledbenik nekog elementa skupa B \ f(A)},

BA = {b ∈ B | b je sledbenik nekog elementa skupa A \ g(B)},

B∞ = B \ (BA ∪ BB).

Važi:

10

2.1 Teorema Kantor - Šreder - Bernštajn

X a ∈ AA ako i samo ako važi a) prethodnog koraka.

X a ∈ AB ako i samo ako važi b) prethodnog koraka.

X a ∈ A∞ ako i samo ako važi c) prethodnog koraka.

X b ∈ BB ako i samo ako važi d) prethodnog koraka.

X b ∈ BA ako i samo ako važi e) prethodnog koraka.

X b ∈ B∞ ako i samo ako važi f) prethodnog koraka.

Na ovaj način je izvršena particija skupova A i B, to jest skup A je disjunktnaunija skupova AA, AB i A∞:

A = AA ⊔ AB ⊔ A∞,

a skup B je disjunktna unija skupova BA, BB i B∞:

B = BA ⊔ BB ⊔ B∞.

4. korak: Posmatramo restrikcije preslikavanja f na skupove AA i A∞ i presli-kavanja g−1 na skup AB .

Tvrdimo da su tako definisana preslikavanja bijekcije:

f |AA : AA → BA , g−1 |AB : AB → BB , f |A∞ : A∞ → B∞ .

Najpre, f |AA: AA → BA je injektivno preslikavanje. Svaki element a ∈ AA

vodi poreklo iz skupa A odakle sledi da f(a) takodje vodi poreklo iz skupa A,odnosno f(a) ∈ BA. Dakle, preslikavanje je dobro definisano i injektivno. Preostajeda se dokaže da je f |AA

: AA → BA sirjekcija.Neka je b ∈ BA. Na osnovu e) postoji a ∈ A \ g(B) tako da je b element niza

koji je nastao "guranjem unapred"elementa a. Prema tome, postoji a ∈ A tako daje f(a) = b. Pošto b vodi poreklo iz skupa A, to važi i za a, odnosno a ∈ AA.

Čitaocu ostavljamo za vežbu da dokaže da je f |A∞ : A∞ → B∞ dobro defini-sano preslikavanje koje je bijekcija.

Posmatrajmo sada g−1 |AB: AB → BB . Jasno, g−1 je injektivno preslikavanje

definisano na g(B). Ako a ∈ AB , to znači da je a barem jednom "povučen u-nazad", to jest AB ⊂ g(B). Takodje b ∈ B za koje je g(b) = a vodi poreklood istog elementa b ∈ B od kojeg vodi poreklo element a, odakle sledi da jeg−1 |AB

: AB → BB dobro definisano preslikavanje. Preostaje da se dokaže da jeto preslikavanje sirjektivno.

Neka b ∈ BB i neka je a ∈ g(B) element skupa A za koji važi g(b) = a, to jestg−1(a) = b. Pošto b vodi poreklo iz skupa B, to važi i za a, odnosno a ∈ AB .

5. korak: Na osnovu prethodnih razmatranja sledi da je funkcija h : A → Bdefinisana sa:

h(x) =

f(a), ako a ∈ AA

g−1(a), ako a ∈ AB

f(a), ako a ∈ A∞,

bijekcija, čime je teorema dokazana.

11

2.2 Dirihleov princip i princip bijekcije

2.2 Dirihleov princip i princip bijekcijeNeka skup A ima n elemenata, |A| = n, a skup B neka ima m elemenata,

|B| = m. Posmatramo funkciju f : A → B. Važi:

a) f može da bude injekcija ako i samo ako je n ≤ m;

b) f može da bude bijekcija ako i samo ako je n ≥ m.

Odavde sledi princip bijekcije: Dva neprazna skupa su iste kardinalnosti ako i samoako postoji bijekcija izmedju njih.

Poenta ovog principa je da je moguće utvrditi |A| = |B| bez odredjivanja njihovekardinalnosti.

Činjenica da iz |A| > |B| (za konačne skupove A i B) sledi da ne postojiinjektivno preslikavanje iz skupa A u skup B se naziva Dirihleov princip. Popularnaformulacija ovog principa glasi: Ako je n + 1 golub smešten u n kaveza, onda se ujednom od tih kaveza nalaze barem dva goluba.

U nastavku se dokazuje Dirihleova teorema o aproksimaciji.Poznato je da se svaki realan broj može aproksimirati nekim racionalnim brojem

sa proizvoljnom preciznošću. Ovo svojstvo se ponekad naziva gustinom skupa Q uskupu R.

U dokazu sledećeg tvrdjenja, koje govori o aproksimaciji realnih brojeva razlom-cima, koristi se Dirihleov princip.

Teorema 2.2. Neka je α proizvoljan iracionalan broj. Tada za svaki prirodan brojn ≥ 2 postoje p ∈ Z i q ∈ N, q < n tako da važi:

|qα − p| ≤ 1n

.

Primetimo da teorema važi i u slučaju da je α proizvoljan realan broj.

Dokaz. Podsetimo se definicije funkcije "najveći ceo deo": ⌊·⌋ : R → Z je definisanasa x 7→ ⌊x⌋ ako i samo ako je ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1.

Dakle, za zadato α ∈ R \ Q važi α ∈ (⌊α⌋, ⌊α⌋ + 1). Odavde sledi da, kada jen = 2 za q = 1 i p = ⌊α⌋ ili p = ⌊α⌋ + 1 važi: |α − p| ≤ 1

2 .Neka je n ≥ 3. Posmatrajmo skup

A = {0, 1, α − p1, 2α − p2, . . . , (n − 1)α − pn−1} ,

gde je pk = ⌊kα⌋, k = 1, 2, . . . , n − 1.Važi: cardA = n + 1 i kα − pk ∈ (0, 1) za sve k = 1, 2, . . . , n − 1.Primetimo da kα − ⌊kα⌋ nije racionalan broj ni za jedno k = 1, 2, . . . , n − 1.Neka je

B ={[

0,1n

],

[1n

,2n

],

[2n

,3n

], . . .

[n − 1

n, 1]}

.

Iz cardB = n i A ⊂ [0, 1], na osnovu Dirihleovog principa sledi da postoji baremjedan element skupa B koji sadrži barem dva elementa skupa A.

Ako je taj interval [0, 1n ] i ako je jedan od tih elemenata jednak nuli, a drugi

kα − pk za neko k = 1, 2, . . . , n − 1, onda tvrdjenje sledi za q = k i za p = pk.Ako je taj interval [ n−1

n , 1] i ako je jedan od tih elemenata jednak jedinici, adrugi kα − pk za neko k = 1, 2, . . . , n − 1, onda tvrdjenje sledi za q = k i zap = pk + 1.

12

2.2 Dirihleov princip i princip bijekcije

U svim ostalim slučajevima, u nekom od intervala, elemenata skupa B, postojebarem dva broja oblika: kα − pk i lα − pl za neke k, l = 1, 2, . . . , n − 1, pri čemuje, na primer, 1 ≤ k < l ≤ n − 1. Tada je

|kα − pk − lα − pl| = |(l − k)α − (pk + pl)| < 1/n,

pa tvrdjenje teoreme važi za q = l − k < n − 1 i p = pk + pl.

Direktna posledica Dirihleove teoreme je da za proizvoljan iracionalan broj αpostoji racionalan broj p/q, p ∈ Z i q ∈ N, q < n tako da važi:

|α − p

q| ≤ 1

qn.

Iz q ∈ N, q < n, sledi:

Posledica 2.3. Neka je α proizvoljan iracionalan broj. Tada postoji racionalan brojp/q tako da važi: ∣∣∣∣α − p

q

∣∣∣∣ <1q2 . (2)

Napomena 2.4. Na primer, za α = π i n = 150, sigurno postoji razlomak p/q čijije imenilac q manji od 150 i |π − p/q| < 1/150q. U V veku je kineski matematičarZu Chongzhi aproksimirao π sa 355/113. Ovaj razlomak aproksimira broj π satačnošću većom od 10−6. Primetimo da Dirihleova teorema procenjuje ovu razlikusa |π − 355/113| < 1/16950 < 0, 0000589971.

Sledeći razlomak koji preciznije aproksimira π je 52163/16604, koji još uvek dajetačnost na 6 decimalnih mesta. Sedam decimalnih mesta broja π daje 86953/27678,a osam 102928/32763.

Navedimo još jednu posledicu Dirihleove teoreme.

Teorema 2.5. Neka je α proizvoljan iracionalan broj. Tada postoji beskonačnomnogo racionalnih brojeva p/q za koje važi (2).

Dokaz. Pretpostavimo suprotno. To znači da postoji konačno mnogo razlomakapk

qk, k = 1, 2, . . . , m za koje važi (2). Pošto je α iracionalan, sledi da je∣∣∣∣α − pk

qk

∣∣∣∣ > 0, k = 1, 2, . . . , m,

pa postoji indeks k0 ∈ {1, 2, . . . , m} za koji je∣∣∣∣α − pk

qk

∣∣∣∣ ≥∣∣∣∣α − pk0

qk0

∣∣∣∣ = ε > 0, k = 1, 2, . . . , m.

Na osnovu posledice Arhimedovog principa sledi da postoji n0 ∈ N tako da važi:∣∣∣∣α − pk

qk

∣∣∣∣ ≥ ε >1n0

, k = 1, 2, . . . , m.

Na osnovu Dirihleove teoreme za ovako izabran broj n0 postoji racionalan broj p/q,p ∈ Z i q ∈ N, q < n, za koji važi:∣∣∣∣α − p

q

∣∣∣∣ ≤ 1qn0

<1q2 ,

13

LITERATURA

pa je pq = pl

qlza neki indeks l ∈ {1, 2, . . . , m}.

Ovo je kontradikcija sa izborom broja n0, jer iz 1qn0

≤ 1n0

sledi∣∣∣∣α − pl

ql

∣∣∣∣ ≤ 1qn0

≤ 1n0

.

Tvrd—enje je dokazano.

Napomena 2.6. Važi i obratno tvrdjenje koje ovde nećemo dokazivati, to jestmože se dokazati da je α iracionalan broj ako i samo ako postoji beskonačno mnogoracionalnih brojeva p/q za koje važi (2), videti [1].

Literatura[1] Judith D. Sally and Paul J. Sally, Jr., Roots to Research: A Vertical Develop-

ment of Mathematical Problems AMS, 2007.

[2] http://www.topologywithouttears.net/

3 Uvodni pojmovi kombinatorike, II deoU nastavku prethodnog predavanja navode se osnovni principe kombinatorike.Za n ∈ N, koristiće se notacija n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 ("en faktorijel",

proizvod prirodnih brojeva manjih od ili jednakih sa n, 0! = 1).

3.1 Princip bijekcije i Dirihleov princip, IIPodsetimo se principa bijekcije: Dva neprazna skupa su iste kardinalnosti ako i

samo ako postoji bijekcija izmedju njih.Prvi primer ilustruje primenu principa bijekcije na ispitivanje jednakosti |A| = |B|

bez odredjivanja kardinalnosti skupova A i B.Primer 1. Posmatra se skup nenegativnih celih brojeva manjih od milion. Kojih

brojeva u tom skupu ima više: onih kod kojih je zbir cifara 22 ili onih kod kojih jezbir cifara 32?

Umesto da odredimo kardinalnost oba skupa i da ih tako uporedimo, koristićemoprincip bijekcije. Pri tome, ako broj ima manje od šest cifara dopisaćemo mu sa levestrane poreban broj nula tako da dobijemo šestocifren broj: 3204 = 003204. Nekaje a1a2a3a4a5a6 broj takav da je a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 22. Posmatrajmobroj b1b2b3b4b5b6 definisan sa bk = 9 − ak, k = 1, 2, . . . , 6. Lako se dokazuje daje ovim uspostavljena bijekcija izmedju skupa brojeva manjih od milion kod kojih jezbir svih cifara jednak 22 i onih kod kojih je taj zbir jednak 32, pa su ti skupovi istekardinalnosti.

Sledeći primeri ilustruju Dirihleov princip.Primer 2. Da li je moguće izmedju bilo kojih 100 celih brojeva izabrati 15 tako

da razlika bilo koja dva izabrana broja bude deljiva sa 7?Odgovor: "Kavez"je ovde svojstvo "ostatak pri deljenju sa 7". Tako da se 100

brojeva rasporedjuje u 7 kaveza. Znači da postoji kavez sa 15 ili više brojeva. Unjemu su brojevi koji daju isti ostatak pri deljenju sa 7 pa je razlika bilo koja dvaod njih deljiva sa 7.

14

3.2 Princip proizvoda i pravilo zbira

Primer 3. Na jednom ostrvu živi 510 foka i svaka od njih ima barem 10 brkova,ali ne više od 30. Dokazati da postoji barem 25 foka sa istim brojem brkova.

Odgovor: "Kavez"je, naravno, broj brkova, pa foke rasporedjujemo u 21 kavez.Ako u svaki kavez smestimo najviše 24 foke, izvan kaveza će ih ostati najmanje 6foka (21 · 24 = 504). Dakle, bar u jednoj grupi postoji barem 25 foka.

Zadaci za vežbu

a) U kantini se nalazi 95 stolova oko kojih je rasporedjeno ukupno 465 stolica.Da li u svakoj raspodeli stolica oko stola postoji barem jedan sto sa 6 stolica?

b) Proizvodjač tri sorte jabuka ih pakuje u gajbe tako da se u svakoj gajbi nalazisamo jedna sorta. Prodavnici je jutros isporučeno 25 gajbi. Dokazati dapostoji barem 9 gajbi sa istom sotrom jabuka.

c) Izabrano je 27 različitih neparnih brojeva manjih od 100. Dokazati da postojedva broja koja u zbiru daju 102.

d) Na zabavi je bilo 15 ljudi. Neki od njih su se rukovali sa nekima. Dokazatida su se barem dve osobe rukovale sa istim brojem ljudi.

U poslednjem zadatku "kavez"je broj ljudi sa kojima se pojedini učesnik rukovao.Takvih kaveza ima 15. Razlikujemo dva slučaja. Ako kavez broj 14 nije prazan,znači da se barem jedan učesnik rukovao sa svima, pa je u tom slučaju kavez 0prazan. Drugi slučaj je da je kavez 14 prazan. Prema tome, 15 učesnika trebasmestiti u 14 kaveza, što znači da su se barem dve osobe rukovale sa istim brojemučesnika.

Ova podela na moguće slučajeve koristi se i u sledećem zadatku.Dokazati da u grupi od 6 ljudi postoje tri osobe koje se medjusobno poznaju

(svako poznaje preostale dve osobe) ili postoje tri osobe od kojih nijedna ne poznajedruge dve.

3.2 Princip proizvoda i pravilo zbiraNeka su dati skupovi A i B, |A| = n, |B| = m.Princip ili pravilo proizvoda glasi: broj različitih načina da se formira uredjeni

par (a, b) tako da je a ∈ A, b ∈ B, jednak je n · m, odnosno |A × B| = n · m.

15

3.2 Princip proizvoda i pravilo zbira

Primer 4. Koliko različitih automobilskih registracija je moguće formirati od 3cifre i dva slova azbuke? Kako glasi odgovor u slučaju da nije dozvoljeno ponavljanjeslova ni cifara kod jedne registracije?

Odgovori su 30 ·30 ·10 ·10 ·10 = 900000 i 30 ·29 ·10 ·9 ·8 = 626400 respektivno.

Primer 5. Šifra na sefu je odredjena petocifrenim brojem, pri čemu i prva ciframože biti 0. Koliko ima šifri koje čine rastući niz?

Da bi cifre činile rastući niz, moraju biti različite. Izračunajmo koliko ima šifarasa različitim ciframa. Iz principa proizvoda sledi da ih ima 10·9·8·7·6 = 30240. Sadatreba odrediti koliko šifara ima cifre poredjane u rastući niz. Primetimo sledeće: zasvaki izbor 5 različitih cifrara, od svih mogućih rasporeda samo jedan je rastući.Takvih rasporeda ima 120, pa zaključujemo da je odgovor 30240/120 = 252.

Zadaci Neka su dati skupovi A i B, |A| = n, |B| = m.

a) Koliko ima različitih funkcija f : A → B?

b) Koliko ima različitih injektivnih funkcija f : A → B?

c) Dokazati da je kardinalnost partitivnog skupa P(A) skupa A (skupa kojegčine svi podskupovi skupa A) jednaka sa 2n.

Označimo elemente skupa A sa ak, k = 1, 2, . . . , n, a elemente skupa B sabj , j = 1, 2, . . . , m. Kako se, za utvrdjeno k, svakom elementu ak može pridružitielement bj na m načina, iz pravila proizvoda sledi da postoji mn različitih funkcijaf : A → B. Na sličan način, vodeći računa o uslovu injektivnosti zaključujemo dapostoji m(m − 1) · · · (m − n + 1) različitih injektivnih funkcija f : A → B.

Za rešenje zadatka c) kombinuje se princip bijekcije i pravilo proizvoda. Posma-tra se skup X uredjenih n−torki sastavljenih od cifara 0 i 1. S obzirom da svakakomponenta može da bude nula ili jedinica iz pravila proizvoda sledi |X| = 2n. Unastavku se definiše bijekcija izmedju skupa X i P(A).

Neka je B ⊂ A i neka je f : P(A) → X definisana na sledeći način: f(B) =(α1, α2, . . . , αn) gde je αk = 1 ako ak ∈ B, a αk = 0 ako ak ∈ B, k = 1, 2, . . . , n.Jasno, f je bijekcija čime je tvrdjenje dokazano.

Pretpostavimo sada da su A i B disjunktni. Princip ili pravilo zbira glasi: brojrazličitih načina da se iz unije disjunktnih skupova izabere jedan element jednak jen + m, odnosno

A ∩ B = ∅ =⇒ |A ∪ B| = n + m.

Zadaci

a) Koliko ima celih brojeva izmedju 0 i 1000 koji sadrže tačno jednu cifru 6?

b) Koliko ima celih brojeva izmedju 0 i 1000 koji sadrže barem jednu cifru 6?

c) Koliko ima neparnih celih brojeva izmedju 100 i 1000?

16

3.2 Princip proizvoda i pravilo zbira

d) Koliko ima petocifrenih telefonskih brojeva koji počinju na 21, ako poslednjetri cifre moraju biti medjusobno različite i medju njima ne smeju da budu cifre0, 2 i 5 i osim toga, poslednja cifra ne sme da bude 1?

e) Na polici se nalazi 15 knjiga iz matematike, 12 knjiga iz ekonomije i 10 knjigaiz umetnosti. Na koliko načina je moguće izabrati dve knjige iz različitihoblasti?

Odgovor a) Neka je Sk ukupran broj k−tocifrenih brojeva koji koji sadrže tačnojednu cifru 6, k = 1, 2, 3. Tako je S1 = 1, S2 = 8+9 = 72 i S3 = 81+72+72 = 225,pa je odgovor 243.

b) Ovde se koristi činjenica da je odgovor jednak razlici kardinalnog broja skupaP , svih brojeva i izmedju 0 i 1000 (isključujući 0 i 1000) i kardinalnog broja skupaS onih brojeva izmedju 0 i 1000 koji ne sadrže cifru 6.

Jasno, |P | = 999. Skup S delimo na disjunktnu uniju jednocifrenih, dvocifrenihi trocifrenih brojeva koji ne sadrže cifru 6. Tako je |S| = 8 + 72 + 648 = 728.Odgovor je: |P | − |S| = 271.

c) Zadatak ćemo uraditi na dva načina, koristeći princip zbira i princip proizvoda.Sa jedne strane, ako je Sk trocifren broj koji se završava cifrom k ∈ {1, 3, 5, 7, 9},onda je rešenje

|S1| + |S3| + |S5| + |S7| + |S9| = 5 · 90 = 450.

Sa druge strane, princip proizvoda daje isti odgovor 9 · 10 · 5 = 450.d) I ovaj zadatak je moguće rešiti na (barem) dva načina. Principom proizvoda,

polazeći od pete cifre, dobija se odgovor 6 · 6 · 5 = 180. Princip zbira koristimooduzimajući od ukupnog broja telefonskih brojeva koji mogu da se formiraju izboromtri različite cifre iz skupa {1, 3, 4, 6, 7, 8, 9} one kod kojih je poslednja cifra jednaka1. Rešenje je 7 · 6 · 5 − 6 · 5 = 180.

U slučaju kada A i B nisu disjunktni, važi princip ili pravilo uključenja-isključenja:

(A ∩ B = C, |C| = p ≥ 0) =⇒ |A ∪ B| = n + m − p.

Neka je B \ C razlika skupova B i C. Jasno, |B \ C| = m − p, jer su B \ C iC disjunktni. Važi A ∪ B = A ∪ B \ C. Skupovi A i B \ C su disjunktni pa je

|A ∪ B| = |A ∪ B \ C| = |A| + |B \ C| = n + m − p.

Primer 6. U grupi od 100 studenata, 60 sluša matematiku, 75 istoriju, a 45oba predmeta. Koliko studenata sluša matematiku ili istoriju (barem jedan od ovihpredmeta)?

Odgovor Označimo sa M skup studenata koji slušaju matematiku, a sa H skupstudenata koji slušaju istoriju. Važi:

|M ∪ H| = |M | + |H| − |M ∩ H| = 60 + 75 − 45 = 90.

Primer 7. Koliko ima načina da se sve cifre poredjaju tako da na prvoj pozicijibude cifra veća od 1, a na poslednjoj (desetoj) poziciji bude cifra manja od 7?

Odgovor Uvodimo oznaku X za skup svih mogućih rasporeda cifara i S za skuprasporeda cifara koje ispunjavaju uslov zadatka. Jasno, |X| = 10! = 3628800, a |S|se traži. Iz pravila zbira sledi |S| = |X| − |Sc|, pa ćemo odrediti |Sc|, kardinalnibroj skupa svih rasporeda kod kojih je prva cifra 0 ili 1 ili je poslednja cifra 7, 8 ili

17

LITERATURA

9. Sada se koristi pravilo uključivanja-isključivanja. Neka je A skup rasporeda kodkojih je prva cifra 0 ili 1. Važi |A| = 2 · 9! = 725760. Neka je B skup rasporedakod kojih je poslednja cifra 7, 8 ili 9. Važi |B| = 3 · 9! = 1088640. Takodje,|Sc| = |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|. Kako je |A ∩ B| = 2 · 8! · 3 = 241920, dobijase

|S| = 3628800 − (725760 + 1088640 − 241920) = 2056320.

Pravilo uključenja-isključenja se lako proširuje na tri i više skupova. Za triproizvoljna konačna skupa A, B i C važi:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

U slučaju tri skupa, zadaci uključenja-isključenja se grafički mogu prikazati Ve-novim dijagramima i rešavati upisivanjem odgovarajućih kardinalnih brojeva na odre-djeno mesto.

Zadaci

a) Izmedju 200 anketiranih osoba, 110 prati sport, 120 komedije, a 85 drame.Dalje, 50 gleda drame i sport, 70 komedije i sport, 55 komedije i drame, a30 osoba prati sve tri vrste programa. Koliko anketiranih osoba ne gleda nijedan od navedenih programa?

b) Izmedju 100 studenata, 50 sluša hemiju, 53 matematiku, a 42 fiziku. Dalje,15 sluša hemiju i fiziku, 20 fiziku i matematiku, 25 matematiku i hemiju, a5 studenata slušaju sva tri predmeta. Koliko studenata sluša barem jedan, akoliko njih ne slušaju nijedan od ovih predmeta? Koliko studenata sluša samomatematiku (a ne hemiju niti fiziku)? Koliko studenata sluša fiziku ili hemijuali ne i matematiku?

Literatura[1] J. A. Anderson, Diskretna matematika sa kombinatorikom, Računarski fakultet,

Beograd, 2005.

[2] B. Kisačanin, Mala matematika, Univerzitet u Novom Sadu, Stylos, Novi Sad,1995.

18

4 Skupovi i njihova granična vrednost I

[3] R. Tošić, Kombinatorika, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 1999.

4 Skupovi i njihova granična vrednost IU predavanju se osvrćemo na operacije nad skupovima. Cilj predavanja je de-

finicija granične vrednosti skupova. Da bi se do cilja stiglo, najpre se podsećamoosnova kvantifikatorskog računa i operacija nad konačnom kolekcijom skupova.

4.1 KvantifikatoriNa ovom mestu se nećemo zadržavati na pojmu iskaza, formula i operacija sa

njima se čime su se studenti upoznali na kursu iz osnova matematičke logike iiskaznog računa. Ipak, imajući u vidu nastavak predavanja, podsetićemo se kvanti-fikatora koji u iskaze unose mogućnost ispitivanja beskonačnog broja slučajeva.

Svaka promenljiva veličina (varijabla) u matematičkim tvrdnjama ima odgovara-jući kvantifikator, eksplicitno ili implicitno naveden. Pri tome, promenljive uzimajuvrednosti iz nekog odredjenog skupa U .

Postoje dva tipa kvantifikatora: univerzalni koji se označava sa ∀ (čita se: svakiili za sve) i egzistencijalni koji se označava sa ∃ (čita se: postoji). Neka je U skupi P (x) formula. Formula (∀x ∈ U)(P (x)) je skraćeni zapis iskaza:

za svaki element x ∈ U iskaz P (x) je tačan.

Na primer, formula (∀x ∈ N)(x ≥ 1) je skraćeni zapis činjenice da je svakiprirodan broj veći od ili jednak sa 1. Slično, formula (∃x ∈ U)(P (x)) je skraćenizapis iskaza:

postoji element x ∈ U za koji je iskaz P (x) tačan.

Na primer, formula (∃x ∈ N)(x ≤ 1) je skraćeni zapis činjenice da postojiprirodan broj manji od ili jednak sa 1. Uz to, koristićemo i oznaku ∃� za skraćenizapis iskaza

postoji tačno jedan element x ∈ U za koji je iskaz P (x) tačan.

Na primer, formula (∃�x ∈ N)(x = 1) je skraćeni zapis činjenice da postojitačno jedan prirodan broj koji je jednak sa 1.

Negacija (univerzalnog) tvrdjenja (∀x ∈ U)(P (x)) je (egzistencijalno) tvrdjenje(∃x ∈ U)¬(P (x)) gde je ¬(P (x)) negacija iskaza P (x). Dakle, iskaz ¬(∀x ∈U)(P (x)) je istinit ako postoji kontraprimer, element y ∈ U za koji je istinitanegacija iskaza P (x). Slično, negacija tvrdjenja (∃x ∈ U)(P (x)) je tvrdjenje (∀x ∈U)¬(P (x)). Da parafraziramo: pri komutiranju negacije i kvantifikatora, menja setip kvantifikatora.

Često se u iskazima pojavljuje više kvantifikatora i u tom slučaju neophodnoje razumeti smisao iskaza u zavisnosti od redosleda kvantifikatora. Posebno trebaimati u vidu da, u opštem slučaju, komutiraju samo kvantifikatori istog tipa. Naprimer, iskaz

(∀x ∈ N)(∀y ∈ N)(x + y = y + x)

je ekvivalentan iskazu

(∀y ∈ N)(∀x ∈ N)(x + y = y + x)

19

4.1 Kvantifikatori

kao i

(∃x ∈ N)(∃y ∈ N)(x + y = 2) ⇐⇒ (∃y ∈ N)(∃x ∈ N)(x + y = 2).

Situacija je drukčija u slučaju da u iskazu figuriše više kvantifikatora različitog tipa.Na primer, iskazi Svaka osoba ima majku i Postoji majka svih osoba očevidnonisu ekvivalentni. Ako je U skup ljudi, a M(x, y) označava iskaz "y je majka odx", skraćeni zapisi iskaza iz prethodne rečenice su respektivno (∀x ∈ U)(∃y ∈U)(M(x, y)) i (∃y ∈ U)(∀x ∈ U)(M(x, y)).

Sa jedne strane, iskaz postoji y ∈ U tako da za sve x ∈ U važi P (x, y), značida postoji vrednost promenljive y ∈ U za koju je iskaz P (x, y) istinit, bez obzirana vrednost promenljive x ∈ U . Pri tome,

(∃y ∈ U)(∀x ∈ U)P (x, y) =⇒ (∀x ∈ U)(∃y ∈ U)P (x, y).

Na primer ako je U skup prirodnih brojeva i P (x, y) oznaka za iskaz y ≤ x, pret-hodna implikacija znači da, ako postoji prirodan broj manji ili jednak od svakogprirodnog broja onda za svaki prirodan broj postoji neki prirodan broj koji je odnjega manji ili jednak.

Sa druge strane, iskaz za sve x ∈ U postoji y ∈ U tako da važi P (x, y) značida iskaz P (x, y) može biti istinit ako promenljiva y ∈ U uzima pogodno izabranuvrednost u zavisnosti od proizvoljne unapred zadate vrednosti promenljive x ∈ U .U tom slučaju, postoji funkcija f : U → U takva da je P (x, f(x)) istinit iskaz.

Do sada smo posmatrali kvantifikatore koji uzimaju vrednost iz unapred po-znatog skupa U . Takvi kvantifikatori se nazivaju ograničeni ili vezani kvantifikatori.Postoje i formule sa kvantifikatorima ∀x, ∃x koje su tačne bez obzira koji univerzalniskup je skup vrednosti promenljive x. Takve formule se nazivaju valjane formule.6Na primer formula

(∀x)(∀y)P (x, y) ⇐⇒ (∀y)(∀x)P (x, y)

je valjana formula.U sledećoj tabeli navodimo istinitost iskaza P (x, y) u zavisnosti od redosleda

kvantifikatora.

iskaz tačan je ... netačan je ...(∀x)(∀y)P (x, y) kada je P (x, y) tačan kada postoji par x, y(∀y)(∀x)P (x, y) za svaki izbor x, y za koji je P (x, y) netačan.(∀x)(∃y)P (x, y) kada za svaki x postoji y kada postoji x za koji je

za koje je P (x, y) tačan P (x, y) netačan za sve y(∃x)(∀y)P (x, y) kada postoji neki x za koji je kada za svaki x postoji y

P (x, y) tačan za sve y za koje je P (x, y) netačan(∃x)(∃y)P (x, y) kada postoji par x, y kada je P (x, y) netačan(∃y)(∃x)P (x, y) za koji je P (x, y) tačan za svaki izbor x, y

U nastavku komentarišemo negacije iskaza u kojima figurišu dva kvantifikatora.Podsetimo se Goldbahove hipoteze:Svaki paran prirodan broj veći od 2 jednak je zbiru dva prosta broja.

6engl. universaly valid formulas

20

4.1 Kvantifikatori

Ako sa E označimo skup parnih brojeva većih od 2, a sa P skup prostih brojeva,Goldbahova hipoteza glasi: za svako x ∈ E postoji p ∈ P i postoji q ∈ P tako daje x = p + q. S obzirom da kvantifikatori istog tipa komutiraju, prethodni iskaz jeekvivalentan sa: za svako x ∈ E postoje p, q ∈ P tako da je x = p + q. Da bismoistakli zavisnost promenljivih p i q od izbora elementa x ∈ E, možemo reći da zasvako x ∈ E postoje funkcije p(x) i g(x) iz E u P tako da važi x = p(x) + q(x).

Kako glasi negacija Goldbahove hipoteze? Polazimo od negacije celog iskaza:¬ (za svako x ∈ E postoje p, q ∈ P tako da je x = p + q)⇐⇒ postoji x ∈ E ¬ (postoje p, q ∈ P tako da je x = p + q)⇐⇒ postoji x ∈ E tako da za svaki izbor p, q ∈ P ¬ (x = p + q)

⇐⇒ (∃x ∈ E)(∀p, q ∈ P )(x = p + q).

Negacija Goldbahove hipoteze dakle tvrdi da postoji kontraprimer: paran broj xveći od 2 koji nije zbir dva prosta broja.

Negacija iskaza sa nizom kvantifikatora se svodi na promenu tipa svakog kvan-tifikatora ne menjajući njihov redosled i negaciju iskaza koji sledi nakon niza kvan-tifikatora.

Do danas Goldbahova hipoteza nije dokazana niti opovrgnuta. Matematičari surešavali i nešto slabija tvrdjenja, kao što je, na primer:

Goldbahova hipoteza ima najviše konačno mnogo kontraprimera.Za vežbu ćemo napisati ovo tvrdjenje koristeći kvantifikatore, a zatim ćemo

negirati dobijeni iskaz.Znači, postoji prirodan broj n (n ∈ N) takav da za svako x ∈ E postoje p, q ∈ P

tako da je x ≤ n ili x = p + q. U ovoj verziji smo najpre naveli sve kvantifikatore.Druga verzija glasi: postoji n ∈ N takav da za svako x ∈ E ako je x > n onda

postoje p, q ∈ P tako da je x = p + q.Treća verzija je: postoji n ∈ N takav da za svako x ∈ En, gde je En skup

prirodnih brojeva većih od n, postoje p, q ∈ P tako da je x = p + q.Kako bi mogla da glasi negacija rečenice Goldbahova hipoteza ima najviše ko-

načno mnogo kontraprimera? Ovde se koristi prva verzija. Negacija glasi: za sven ∈ N postoji x ∈ E tako da za sve p, q ∈ P važi x > n i x = p + q. Ovaj iskazkazuje da postoji kontraprimer koji je veći od bilo kojeg unapred zadatog broja n.(Koristili smo De-Morganove zakone.)

Primer (tvrdjenje sa četiri uzastopna kvantifikatora) Za svaki prirodan broj n po-stoji prirodan broj m takav da za svaki x ∈ N postoje prirodni brojevi a1, a2, . . . , am

tako da važi: x = an1 +an

2 +· · ·+anm. Ovaj problem je poznat kao Varingov problem7

i govori da za svaki n ∈ N postoji m(n) ∈ N tako da je svaki prirodan broj jednaksumi od m(n) n−tih stepena nekih brojeva. Negacija glasi: Postoji n ∈ N takavda za svaki m ∈ N postoji x ∈ N takav da za sve prirodne brojeve a1, a2, . . . , am

važi x = an1 + an

2 + · · · + anm.

Vežba (tri promenljive i dva iskaza) Koristeći kvantifikatore napisati matema-tičkim simbolima iskaz: Ne postoji putnik koji je leteo nekom avio-linijom svakeavio-kompanije. U ovom primeru postoje tri promenljive: x koja označava putnika,y koja označava avio-liniju i z koja označava avio-kompaniju. Neka iskaz P (x, y)označava da je putnik x koristio avio-liniju y, a iskaz Q(y, z) da avio-liniju y nudiavio-kompanija z. Matematička formulacija navedenog iskaza glasi:

¬(∃x)(∀z)(∃y)(P (x, y) ∧ Q(y, z)).7Postavljen je 1770. godine. Iste godine Lagranž je dokazao da je svaki prirodan broj (uklju-

čujući i nulu) jednak sumi 4 potpuna kvadrata prirodnih brojeva.

21

4.2 Istorijski komentar: slaba Goldbahova hipoteza

Koristeći De Morganove zakone "pomeriti"negaciju do iskaza P i Q, a zatim formuluopisati "običnim"jezikom.

4.2 Istorijski komentar: slaba Goldbahova hipotezaNa margini pisma koje je poslao Leonhardu Euler-u 7. juna 1742. godine,

Christian Goldbach je pretostavio da se svaki broj veći od 2 može predstaviti kaozbir tri prosta broja: "aggregatum trium numerorum primarum". Pismo je, inače,napisano na neobičnoj mešavini nemačkog i latinskog jezika.

Ova pretpostavka je postala poznata kao Goldbahova hipoteza, a u medjuvre-menu je podeljena na jaku Goldbahovu hipotezu po kojoj se svaki paran broj većiod 4 može napisati kao zbir dva prosta broja i na slabu Goldbahovu hipotezu pokojoj se svaki neparan broj veći od 5 može napisati kao zbir tri prosta broja.

Slika 1: Goldbahovo pismo Ojleru datirano 7. juna 1742. godine

Jaka Goldbahova hipoteza implicira slabu jer, ako je broj veći od 5, kada odu-zmemo 3 dobićemo paran broj koji se, po jakoj hipotezi, može predstaviti kao zbirdva prosta broja, pa dodavanjem broja 3 dobija se tvrdjenje slabe Goldbahove hipo-teze. Sa druge strane, slaba Goldbahova hipoteza ne implicira jaku, jer nije izvesnoda će se oduzimanjem jednog prostog broja u reprezentaciji slabe hipoteze mogudobiti svi parni brojevi. Ipak, slaba Goldbahova hipoteza implicira da se parni brojevimogu napisati kao zbir ne više od 4 prosta broja. Pa tako, ako je slaba Goldbahovahipoteza tačna, dobija se poboljšanje rezultata Olivier Ramaré-a iz 1995. godine,koji je dokazao da se svaki paran broj može predstaviti kao zbir najviše 6 prostihbrojeva. Terence Tao, jedan od najznačajnijih savremenih matematičara, dokazao je2012. godine da je svaki broj razloživ na zbir najviše 5 prostih brojeva. Spomenimoi rezultat Lev Genrikhovich Shnirelman-a iz 1930. godine da se svaki prirodan brojmože napisati kao zbir ne više od 20 prostih brojeva.

Evo nekih primera: 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, 14 = 3+11 = 7+7,

22

4.2 Istorijski komentar: slaba Goldbahova hipoteza

16 = 3 + 13 = 5 + 11, 36 = 5 + 31 = 7 + 29 = 13 + 23 = 17 + 19,38 = 7 + 31 = 19 + 19, 46 = 3 + 43 = 5 + 41 = 17 + 29 = 23 + 23,54 = 7 + 47 = 11 + 43 = 13 + 41 = 17 + 37 = 23 + 31, kao i389965026819938 = 5569 + 389965026814369 (ovde ne postoji razlaganje pro-

stim sabircima koji su manji od 5 569),9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 13 = 3 + 3 + 7 = 3 + 5 + 5,15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5, 17 = 3 + 3 + 11 = 3 + 7 + 7 = 5 + 5 + 7...Ruski matematičar Ivan Vinogradov je dokazao da slaba Goldbahova hipoteza

važi za sve brojeve veće od nekog broja N , to jest da postoji konačno mnogobrojeva za koje je potrebno proveriti da li ta hipoteza važi. U tu svrhu koristio jemetodu kružnice.8 Vinogradov je procenio da je broj N reda veličine 106846168, a2002. godine nova procena je bila 101346. U poslednjih nekoliko godina smanjenaje na 10100, što je praktično neproverljivo. Slikovito rečeno 10100 je broj veći odproizvoda broja svih subatomskih čestica u Kosmosu i broja sekundi proteklih odnastanka Kosmosa.

Peruanski matematičar Harald Andrés Helfgott je 13. maja 2013. godine nainternet postavio naučni rad od 133 stranice u kojem tvrdi da je dokazao slabuGoldbahovu hipotezu. On je uspeo da pomeri granicu brojeva za koje je potrebnaprovera hipoteze na 1030, što je bilo moguće proveriti uz pomoć računara. Taj posaoje uradio Helfgott-ov saradnik David Platt. Na tu temu, Helfgott je u avgustu 2014.godine održao predavanje po pozivu na svetskom kongresu matematičara u Seulu,Koreja. U trenutku pisanja ovog predavanja (mart 2015. godine) u toku je proveraHelfgottovih naučnih radova.

Slika 2: Ivan M. Vinogradov Slika 3: Harald Helfgott

Napomenimo da je slaba Goldbahova hipoteza posledica Rimanove hipoteze,koja se smatra najvećim nerešenim matematičkim problemom.

8engl. circle method koja se naziva i Hardi-Litlvud-Vinogradova metoda kružnice, a kojomse pitanja o nekom skupu brojeva mogu preformulisati u pitanja o integralima nad kružnicama ukompleksnoj ravni.

23

LITERATURA

Literatura[1] Patrik Harli, Kratak uvod u logiku, Zavod za udžbenike, Beograd, 2012.

[2] M. Kurilić, diskusije na temu predavanja, mart-april 2014.

5 Skupovi i njihova granična vrednost IIDa je a element skupa A označava se sa a ∈ A. Takodje, a ∈ A je negacija

iskaza a ∈ A i znači da a nije element skupa A, to jest da mu ne pripada. Dakle,(a ∈ A) ⇐⇒ ¬(a ∈ A).

Skup se može zadati nabrajenjem elemenata, na primer, A = {1, 2, 3} je skupčiji su elementi 1, 2 i 3, ili navodjenjem svojstva koje elementi ispunjavaju:

A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 3}.

Element skupa može da bude skup, na primer, B = {1, 2, {1}} je skup čiji elementje skup {1}. Prazan skup, ∅, je skup koji nema elemenata, a skup koji sadržitačno jedan element se naziva singlton. Skup je konačan ako sadrži konačno mnogoelemenata, a beskonačan ako sadrži beskonačno mnogo elemenata.

Operacije sa skupovima se definišu na uobičajen način: A ⊂ B ako svaki elementskupa A pripada skupu B; A = B ako i samo ako je A ⊂ B i B ⊂ A. Razlikuskupova A \ B čine elementi koji pripadaju skupu A i ne pripadaju skupu B.

Presek skupova A i B, A ∩ B je skup čiji elementi su elementi koji pripadajuskupu A i skupu B, a unija skupova A i B, A ∪ B je skup čiji elementi su elementikoji pripadaju skupu A ili skupu B. Simetrična razlika skupova A i B, A△B unijaskupova A \ B i B \ A:

A△B = A \ B ∪ B \ A.

Skupovi A i B su disjunktni ako im je presek prazan skup.Ako su skupovi koji se posmatraju podskupovi nekog skupa U , onda je komple-

ment skupa A u odnosu na skup U , Ac skup U \ A.Skupovi, podskupovi nekog skupa U , sa unijom, presekom i razlikom čine Bulovu

algebru. Na ovom mestu se ne navodi definicija Bulove algebre, strukture defini-sane 1854. godine u knjizi Džordža Bula An Investigation of the Laws of Thought.Napominjemo samo da se uslovi Bulove algebre odnose na minimalni, maksimalnielement, identitet, komutativnost, asocijativnost, distributivnost, particiju i de Mor-ganove zakone koji u ovom kontekstu glase:

U \ (A ∪ B) = U \ A ∩ U \ B i U \ (A ∩ B) = U \ A ∪ U \ B.

Često je neophodno posmatrati indeksiranu familiju skupova, Uα, α ∈ A. To jefunkcija koja svakom indeksu, elementu skupa A, dodeljuje neki skup. Na primer,

Uα = {α}, α ∈ {1, 2},Uα = {α, −α}, α ∈ N,Uα = {α + r : 0 ≤ r ≤ 1}, α ∈ N.

U nastavku proučavamo svojstva indeksiranih familija skupova. Zatim se navodesvojstva operacije simetrične razlike. Konačno, uvode se pomovi limes inferior i limessuperior uz pomoć kojih se definiše granična vrednost indeksirane familije skupova.

24

5.1 Indeksirane familije skupova

5.1 Indeksirane familije skupovaOperacije na skupovima se na prirodan način generalizuju na indeksirane familije

skupova: ∩α∈A

Uα = {x : (∀α ∈ A)(x ∈ Uα)},

∪α∈A

Uα = {x : (∃α ∈ A)(x ∈ Uα)}.

Primer. Neka je α ∈ A = {1, 2, 3} i neka je Uα = {β ∈ N : β ≤ α}. Napisatidate skupove navodjenjem elemenata, a zatim odrediti: {Uα : α ∈ A},

∩α∈A Uα

i∪

α∈A Uα.Vežba. Dokazati distributivni zakon u slučaju indeksirane familije skupova:

(∪α∈AUα) ∩ B = ∪α∈A (Uα ∩ B) ,

(∩α∈AUα) ∪ B = ∩α∈A (Uα ∪ B) .

U sledećim zadacima se ilustruju složenije operacije sa indeksiranim familijamaskupova.

1. Dokazati de Morganove zakone u slučaju indeksirane familije skupova:

(∪α∈AUα)c = ∩α∈AU cα,

(∩α∈AUα)c = ∪α∈AU cα,

pri čemu važi: (∀α ∈ A)(Uα ⊂ U), pa je U cα = U \ Uα. Dakle, de Morganovi

zakoni se mogu zapisati i na sledeći način:

U \ ∪α∈AUα = ∩α∈A(U \ Uα) i U \ ∩α∈AUα = ∪α∈A(U \ Uα).

Dokaz prve jednakosti.

x ∈ (∪α∈AUα)c ⇔ x ∈ U ∧ x ∈ ∪α∈AUα

⇔ x ∈ U ∧ ¬(∃α ∈ A)(x ∈ Uα)⇔ x ∈ U ∧ (∀α ∈ A)(x ∈ Uα)⇔ (∀α ∈ A)(x ∈ U ∧ x ∈ Uα)⇔ (∀α ∈ A)(x ∈ U \ Uα)⇔ x ∈ ∩α∈AU c

α.

2. Za indeksirane familije skupova važi uopštenje svojstva distributivnosti:

(∪α∈AUα) ∩ (∪β∈BVβ) = ∪α∈A,β∈B (Uα ∩ Vβ) ,

(∩α∈AUα) ∪ (∩β∈BVβ) = ∩α∈A,β∈B (Uα ∪ Vβ) ,

gde je ∪α∈A,β∈B = ∪α∈A∪β∈B i ∩α∈A,β∈B = ∩α∈A ∩β∈B .

Dokaz prve jednakosti.

x ∈ (∪α∈AUα) ∩ (∪β∈BVβ) ⇔ (∃α ∈ A)(x ∈ Uα) ∧ (∃β ∈ B)(x ∈ Vβ)⇔ (∃α ∈ A)(∃β ∈ B)(x ∈ Uα ∧ x ∈ Vβ)⇔ (∃α ∈ A)(∃β ∈ B)(x ∈ Uα ∩ Vβ)⇔ x ∈ ∪α∈A,β∈B (Uα ∩ Vβ) .

25

5.1 Indeksirane familije skupova

Napomena: Obratimo pažnju da u slučaju da su skupovi indeksa jednaki, naprimer A = B = N prethodne relacije ne impliciraju

(∪n∈NUn) ∩ (∪n∈NVn) = ∪n∈N (Un ∩ Vn) ,

nego

(∪n∈NUn) ∩ (∪n∈NVn) = (∪n∈NUn) ∩ (∪m∈NVm) = ∪n∈N ∪m∈N (Un ∩ Vm) .

3. Pokazati da sledeće inkluzije mogu da budu striktne:

∪α∈N (Uα ∩ Vα) ⊂ ∪(α,β)∈N2 (Uα ∩ Vβ) ,

∩(α,β)∈N2 (Uα ∪ Vβ) ⊂ ∩α∈N (Uα ∪ Vα) .

Za dokaz je dovoljno posmatrati konačan skup indeksa {1, 2} i skupove U1 ={1, 2}, U2 = {3, 4}, V1 = {1, 3} i V2 = {2, 4}.

4. Pokazati da je ∩n∈NUn = U1 \ ∪n∈N(U1 \ Un).Dokaz. (⇒) Ako x ∈ ∩n∈NUn, onda x ∈ U1, pa preostaje da se pokažeda x ∈ ∪n∈N(U1 \ Un). Dokaz izvodimo kontradikcijom. Pretpostavimox ∈ ∪n∈N(U1 \ Un). Tada ∃n0 ∈ N tako da važi x ∈ U1 ∧ x ∈ Un0 . Odavdesledi da x ∈ Un0 pa prema tome x ∈ ∩n∈NUn, što je kontradikcija.(⇐) Neka x ∈ U1 \∪n∈N(U1 \Un), dakle x ∈ U1 ∧x ∈ ∪n∈N(U1 \Un). Dalje,

x ∈ ∪n∈N(U1 \ Un) ⇔ ¬(x ∈ ∪n∈N(U1 \ Un))⇔ ¬(∃n ∈ N)(x ∈ (U1 \ Un))⇔ (∀n ∈ N)¬(x ∈ U1 ∧ x ∈ Un))⇔ (∀n ∈ N)(x ∈ U1 ∨ x ∈ Un))⇔ x ∈ U1 ∨ (∀n ∈ N)(x ∈ Un)⇔ (∀n ∈ N)(x ∈ Un) ⇔ x ∈ ∩n∈NUn,

jer je x ∈ U1 netačan iskaz i (⊥ ∨ p) ⇔ p.

5. Familija skupova indeksirana nizom prirodnih brojeva, naziva se niz. Nizskupova Un, n ∈ N, je monotono opadajući niz skupova ako je Un ⊃ Un+1,n ∈ N. Ako je Un ⊂ Un+1, n ∈ N onda se niz skupova Un, n ∈ N nazivamonotono rastući niz skupova.Ako su Un i Vn monotono opadajući nizovi skupova onda važi

∩n∈N(Un ∪ Vn) = (∩n∈NUn) ∪ (∩n∈NVn) .

Dokaz. (⇐) Kako je

(∩n∈NUn) ∪ (∩n∈NVn) = ∩(n,m)∈N2 (Un ∪ Vm) ⊂ ∩n∈N (Un ∪ Vn) ,

ovaj smer sledi iz prethodnih razmatranja i u njemu se ne koristi uslov mono-tonosti.

26

5.2 Neka svojstva simetrične razlike skupova

(⇒) Neka važi x ∈ ∩n∈N(Un ∪ Vn). Pretpostavimo da x ∈ ∩n∈NUn i doka-žimo da tada mora da važi x ∈ ∩n∈NVn.

Dakle, ∃n0 ∈ N takav da važi x ∈ Un0 . Iz monotonosti niza {Un} sledi datada (∀m ∈ N) (m ≥ n0) (x ∈ Um).Nastavak dokaza izvodimo kontradikcijom. Ako ∃m0 ∈ N takav da x ∈ Vm0 ,onda (∀m ∈ N) (m ≥ m0) (x ∈ Vm).Moguća su dva slučaja: n0 ≥ m0 ili m0 ≥ n0. U prvom slučaju, x ∈Un0 ∪ Vn0 , a u drugom x ∈ Um0 ∪ Vm0 . Prema tome, x ∈ ∩n∈N(Un ∪ Vn),što je u kontradikciji sa uslovom zadatka.Zaključujemo da, ako x ∈ ∩n∈N(Un ∪ Vn) i ako x ∈ ∩n∈NUn onda x ∈∩n∈NVn, čime je tvrdjenje dokazano.

5.2 Neka svojstva simetrične razlike skupovaSasvim se lako pokazuje da je operacija simetrične razlike △ : (A, B) 7→ A△B

komutativna i asocijativna. Takodje, za A ⊂ U , A△∅ = A, A△U = Ac, A△A = ∅,(A△B)c = Ac△B, Ac△Bc = A△B...

Dokazati da važi "nejednakost trougla",

A△C ⊂ A△B ∪ B△C

i pronaći primer koji pokazuje da ova inkluzija može da bude striktna.Sledeće relacije pokazuju odnos operacije △ sa presekom i unijom:

(A△B) ∩ C = (A ∩ C)△(B ∩ C), (A△B) ∪ C = (A ∪ C)△(B ∩ Cc).

Konačno, za indeksirane familije skupova važi:

(∪α∈AUα) △ (∪β∈BVβ) ⊂ ∪α∈A,β∈B (Uα△Vβ) ,

∩α∈A,β∈B (Uα△Vβ) ⊂ (∩α∈AUα) △ (∪β∈BVβ) ,

(∩α∈AUα) △ (∩β∈BVβ) ⊂ ∪α∈A,β∈B (Uα△Vβ) .

Dokazati!

5.3 Granična vrednost skupovaU ovom odeljku posmatramo nizove skupova.

Definicija 5.1. Dat je niz skupova (Un)n∈N. Limes superior datog niza skupova,u oznaci lim sup Un, je skup čiji elementi pripadaju skupovima Um za beskonačnomnogo indeksa m ∈ N. Limes inferior datog niza skupova, u oznaci lim inf Un jeskup čiji elementi pripadaju svim skupovima datog niza izuzev eventualno skupovimaUm za neki konačan skup indeksa m ∈ N.

Dokazati da važi:

lim sup Un = ∩n∈N ∪k∈N Un+k−1, lim inf Un = ∪n∈N ∩k∈N Un+k−1.

Dokaz poslednje jednakosti. Neka x ∈ lim inf Un i neka je S = {n1, n2, . . . , nj},n1 < n2 < · · · < nj , konačan skup indeksa tako da važi x ∈ Um ⇔ m ∈ S. Trebada se dokaže da ∃n0 ∈ N tako da važi x ∈ ∩k∈NUn0+k−1.

27

LITERATURA

Ako se izabere n0 = nj + 1, onda x ∈ Un0+k−1 za svaki indeks k ∈ N, odaklesledi lim inf Un ⊂ ∪n∈N ∩k∈N Un+k−1.

Dokažimo obratnu inkluziju. Neka x ∈ ∪n∈N ∩k∈N Un+k−1, to jest, ∃n0 ∈ Ntako da važi x ∈ ∩k∈NUn0+k−1. Dakle, ako x ∈ Um onda je m < n0, što znači daje skup indeksa S takvih da x ∈ Um ako i samo ako m ∈ S konačan.

U sledećim zadacima se ispituje odnos uvedenih pojmova i operacija komple-mentiranja, preseka, unije i simetrične razlike.

1. (lim inf Un)c = lim sup U cn,

2. ∩n∈NUn ⊂ (lim inf Un) ⊂ lim sup Un ⊂ ∪n∈NUn,

3. lim inf Un ∪ lim inf Vn ⊂ lim inf(Un ∪ Vn),

4. lim sup(Un ∪ Vn) = lim sup Un ∪ lim sup Vn,

5. lim inf(Un ∩ Vn) = lim inf Un ∩ lim inf Vn,

6. lim sup(Un ∩ Vn) ⊂ lim sup Un ∩ lim sup Vn,

7. A△ lim inf Un ⊂ lim sup(A△Un),

8. A△ lim sup Un ⊂ lim sup(A△Un).

Definicija 5.2. Ako za dati niz skupova (Un)n∈N važi lim sup Un = lim inf Un

onda je taj skup granična vrednost niza skupova (Un)n∈N i kažemo da je taj nizkonvergentan.

Ako je (Vn)n∈N podniz niza (Un)n∈N, dokazati da je lim inf Un ⊂ lim inf Vn

i lim sup Vn ⊂ lim sup Un, odakle sledi da konvergencija niza skupova implicirakonvergenciju svakog njegovog podniza.

Ako je dati niz skupova (Un)n∈N monotono rastući, onda postoji granična vred-nost tog niza skupova i jednaka je ∪n∈NUn.

Ako je dati niz skupova (Un)n∈N monotono opadajući, onda postoji graničnavrednost tog niza skupova i jednaka je ∩n∈NUn.

Neka Un ⊂ U, ∀n ∈ N. Ako je (Un)n∈N konvergentan niz skupova pri čemu jenjegova granična vrednost skup A ⊂ U onda je (U c

n)n∈N konvergentan niz skupovapri čemu je njegova granična vrednost skup Ac.

Ako su granične vrednosti datih nizova skupova (Un)n∈N i (Vn)n∈N jednake saU i V respektivno, onda su granične vrednosti nizova (Un ∪ Vn)n∈N i (Un ∩ Vn)n∈Njednake sa U ∪ V i U ∩ V respektivno.

Literatura[1] S. Aljančić, Uvod u realnu i funkcionalnu analizu, Zavod za udžbenike, Beo-

grad, 2011.

[2] M. Kurilić, diskusije na temu predavanja, mart-april 2014.

[3] G. Lebanon, Probability: The Analysis of Data, Volume 1, CreateSpace Inde-pendent Publishing Platform, 2012.

[4] R. S. Strichartz, The Way of Analysis, Jones and Bartlett Publishers, 2000.

28

6 Struktura skupa realnih brojeva

6 Struktura skupa realnih brojevaCilj predavanja je definisanje i konstrukcija kompletnog linearno uredjenog polja.

Tako konstruisanu strukturu nazivamo poljem realnih brojeva čiji elementi su realnibrojevi. Kompletno linearno uredjenje je jedinstveno do na izomorfizam.

Skup realnih brojeva se konstruiše pomoću skupa racionalnih brojeva, pri čemupostoji nekoliko načina izvodjenja takve konstrukcije. Na ovom mestu se smatra dasu čitaocu poznata svojstva strukture racionalnih brojeva (Q, +, ·, 0, 1, ≤). Naime,polazi se od pretpostavke da je (Q, +, ·, 0, 1, ≤) totalno (linearno) uredjeno polje ida egzistencija racionalnih brojeva sledi iz egzistencije prirodnih brojeva. StrukturaQ = (Q, +, ·, 0, 1, ≤) je pri tome minimalno totalno uredjeno polje u smislu daproizvoljno totalno uredjeno polje F = (F, +F , ·F , 0F , 1F , ≤F ) sadrži izomorfnukopiju od Q, vidi [3]. Grubo rečeno, izomorfizam f izmedju struktura A i B jebijekcija koja očuvava strukturu.

6.1 Supremum i Dedekindova aksioma kompletnostiU totalno uredjenom polju (F, +, ·, 0, 1, ≤) se definiše apsolutna vrednost ele-

menta x ∈ F na sledeći način:

|x| ={

x, 0 ≤ x,−x, x ≤ 0.

Rastojanje elemenata x i y iz F je |x − y| ∈ F. Strogi poredak < je definisan sax < y ⇔ (x ≤ y ∧ x = y), x, y ∈ F. Niz (an)n∈N (preslikavanje skupa N u F ) jeKošijev niz u F ako važi

(∀ε ∈ F+)(∃n0 ∈ N)(∀n, m ∈ N)(n0 ≤ n =⇒ |an − an+m| < ε),

gde je F+ = {x ∈ F | 0 < x}.U nastavku se posmatraju podskupovi skupa F . Neka je A neprazan podskup

skupa F . Skup A je ograničen sa gornje strane ako postoji x ∈ F takav da zasve a ∈ A važi a ≤ x. Analogno se definiše pojam skupa koji je ograničen sadonje strane. Skup je ograničen ako je ograničen i sa gornje i sa donje strane.Element min A ∈ A ⊂ F je minimum skupa A ako je min A ≤ a za sve elementea ∈ A. Takav element je, ako postoji, jedinstveno odredjen. Analogno se definišemaksimalni element skupa A.

Definicija 6.1. Supremum skupa A, u oznaci sup A ∈ F je najmanje od svih gornjihograničenja skupa A, ako postoji. Dakle,

sup A = min{x ∈ F | (∀a ∈ A)(a ≤ x)}.

Definicija 6.2. Neka je (F, +, ·, 0, 1, ≤) totalno uredjeno polje. Polje F je (De-dekind) kompletno ako ispunjava Dedekindovu aksiomu, to jest uslov kompletnostikoji glasi: Svaki neprazan sa gornje strane ograničen skup u F ima supremum u F .

Polje racionalnih brojeva ne ispunjava uslov kompletnosti jer, na primer, skup{x ∈ Q | x2 < 2} koji je ograničen sa gornje strane nema supremum u Q.

29

7 Dedekindova konstrukcija

7 Dedekindova konstrukcijaNeka je (Q, +, ·, 0, 1, ≤) totalno uredjeno polje racionalnih brojeva.

Definicija 7.1. Skup A ⊂ Q je Dedekindov presek u Q ako važi:

1) A = ∅, A = Q,

2) Ako p ∈ A i q < p onda q ∈ A,

3) U skupu A ne postoji maksimum: Ako p ∈ A onda postoji q ∈ A takav da jep < q.

Neka je R = {A ⊂ Q | A je Dedekindov presek u Q}.

U skupu R neophodno je definisati operacije sabiranja i množenja i relacijuporetka. Zatim se proverava da li dobijena struktura ispunjava aksiome totalnouredjenog polja i, konačno, dokazuje se aksioma kompletnosti.

Osim toga, pokazuje se da tako uvedena struktura skupa R sadrži izomorfnukopiju od Q. U tom smislu svakom elementu q ∈ Q dodeljuje se skup

Aq = {x ∈ Q | x < q}.

Nije teško utvrditi da je ovako definisan skup Aq jedan Dedekindov presek, to jestelement skupa R. Štaviše, preslikavanje f : Q → R definisano sa f(q) = Aq jebijekcija.

U stvari, skupovi oblika Aq, q ∈ Q, igraju značajnu ulogu u nastavku.

7.1 Operacije i poredakDokazi tvrdjenja iznetih u ovom poglavlju se ostavljaju čitaocu za vežbu.Posmatra se R = {A ⊂ Q | A je Dedekindov presek u Q}.

• Za dva Dedekindova preseka A i B uvodi se relacija ≤ na sledeći način:

A ≤ B ⇔ A ⊂ B.

Ovako uvedena relacija je očigledno relacija poretka. Strogi poredak se dobijastrogom inkluzijom.

• Uvedeno uredjenje je totalno. Naime, iz ¬(A ≤ B) sledi da postoji p ∈ A ip ∈ B. Dalje, iz p ∈ B sledi da ∀q ∈ Q p ≤ q ⇒ q ∈ B. Neka je r ∈ Qtakav da r ∈ A. Tada je p < r pa važi r ∈ B. Odavde je B ≤ A.

• Za dva Dedekindova preseka A i B uvodi se operacija sabiranja + na sledećinačin:

A + B = {p + q | p ∈ A, q ∈ B}.

Najpre se dokazuje da je skup A+B jedan Dedekindov presek, odnosno da je+ dobro definisana operacija. Zatim se dokazuje da je (R, +) Abelova grupa.Neutralni element za sabiranje je A0.

30

7.2 Kompletnost skupa R

• Za dva Dedekindova preseka A i B operacija množenja · se uvodi najpre zapozitivne preseke. Neka je A0 < A i A0 < B. Tada je

A · B = {r ∈ Q| r ≤ p · q 0 < p, 0 < q, za neke p ∈ A, q ∈ B}.

U preostalim slučajevima množenje se definiše pomoću skupova −A i/ili −B,inverznih skupovima A i B s obzirom na sabiranje. Detalje ostavljamo zavežbu. Dokazuje da je (R \ A0, · ) Abelova grupa. Razumljivo, neutralnielement za množenje je A1.

• Posebno se dokazuje distributivnost množenja u odnosu na sabiranje kao islaganje relacije poretka i operacija sabiranja i množenja.

• Zaključuje se da je (R, +, ·, 0, 1, ≤) totalno uredjeno polje.

• Posebno se dokazuje da bijekcija f : Q → R definisana sa f(q) = Aq očuvavaporedak. Time je dokazano da R sadrži izomorfnu kopiju od Q.

• Označimo sa g izomorfizam iz prethodne rečenice. Izomorfna kopija od Q jegusta u R, to jest ako za x, y ∈ R važi x < y onda postoji racionalan broj qtakav da je x < g(q) < y.

7.2 Kompletnost skupa RU ovom poglavlju dokazujemo da je totalno uredjeno polje (R, +, ·, 0, 1, ≤) De-

dekind kompletno.

Teorema 7.2. Neka je S ⊂ R, S = ∅, ograničen sa gornje strane. Tada postojisup S ∈ R.

Dokaz. Elementi skupa S su Dedekindovi preseci, pa je logičan kandidat zasupremum skupa S unija tih preseka. Dakle, neka je s := ∪A∈SA. Najpre sedokazuje da s ∈ R, to jest da je s jedan Dedekindov presek.

1) Jasno, s = ∅ jer S nije prazan skup. Dalje, kako je S ograničen, to znači dapostoji B ∈ R takav da je (∀A ∈ S)(A ⊂ B). Kako B = Q jer je B Dedekindovpresek, sledi da postoji q ∈ Q i q ∈ B. Taj broj q ne pripada skupu s. Evo zašto.Ako pretpostavimo da q ∈ s onda postoji A ∈ S takav da je q ∈ A, pa je q ∈ B,što je kontradikcija. Dakle, s = Q.

2) Neka p ∈ s i neka je q < p. Tada postoji A ∈ S takav da je p ∈ A. Sobzirom da je A presek, sledi da q ∈ A, pa je q ∈ s.

3) Kada bi u s postojao maksimum q, onda bi, po definiciji, postojao A ∈ Stakav da q ∈ A, pri čemu bi q morao da bude maksimum tog skupa A jer je s njegovnadskup. Ovo je kontradikcija jer su svi elementi skupa S Dedekindovi preseci, tenijedan od njih nema maksimum.

Dakle, dokazali smo da je s ∈ R. Takodje, s je jedno gornje ograničenje skupa Sjer po konstrukciji A ∈ S ⇒ A ≤ s. Konačno, neka je B ma koje gornje ograničenjeskupa S i neka x ∈ s. Tada važi x ∈ A za neki element A ∈ S, pa iz A ⊂ B sledix ∈ B, to jest s ≤ B. Prema tome s = sup S, čime je teorema dokazana.

Neka su (R, +, ·, 0, 1, ≤) i (R, +, ·, 0, 1, ≤) dva kompletna totalno uredjena polja.Izomorfizam f : R → R je moguće definisati na sledeći način. Najpre, označimo saQ i Q izomorfne kopije polja racionalnih brojeva u R i R respektivno. Ovi skupovi

31

LITERATURA

su medjusobno izomorfni. Označimo sa g taj izomorfizam. Neka je f : R → Rdefinisana sa

f(A) = sup{g(q) | q ∈ Q, q < A}, ∀A ∈ R.

(Ovde se, jednostavnosti radi, identifikuje q ∈ Q sa Aq ∈ R. Ograničenost skupaA = {g(q) | q ∈ Q, q < A} se može dokazati na sledeći način. Iz A ∈ R sledi dapostoji M ∈ Q tako da važi A ≤ AM , pa iz a ∈ A sledi da postoji a ∈ A takav da jea = g(a), a < A ≤ AM pa je a ∈ AM = {g(q) | q ∈ Q, q < AM }, to jest skup Aje ograničen, odakle sledi da je f dobro definisano preslikavanje. Zatim se dokazujeda je f izomorfizam. Pri tome se, prilikom dokazivanja da f očuvava poredak,koristi činjenica da su Q i Q gusti u R i R respektivno. Detaljnjije razmatranje ovihpitanja izlazi van okvira kursa.

Literatura[1] E. D. Bloch The Real Numbers and Real Analysis, Springer, 2011.

[2] M. Kurilić, diskusije na temu predavanja, maj 2014.

[3] M. Rašković, N. Ikodinović, Priče o malim i velikim brojevima, Zavod za udžbe-nike, Beograd, 2010.

[4] R. S. Strichartz, The Way of Analysis, Jones and Bartlett Publishers, 2000.

[5] F. van de Bult, lecture notes 2009, http://math.caltech.edu/ ma108a/defreals.pdf

8 Svojstvo kompaktnostiU ovoj lekciji će se koristiti neka svojstva realnih brojeva sa kojima se čitalac već

upoznao tokom kursa iz uvoda u analizu.Na primer, važi Kantorov princip: Ako je {In}n∈N niz zatvorenih intervala za

koje važi In+1 ⊂ In, n ∈ N, onda postoji realan broj α koji pripada svim intervalima,to jest ∩n∈NIn = ∅.

8.1 Topološki prostorDefinicija 8.1. Okolina tačke x0 ∈ R je svaki podskup skupa R koji sadrži otvoreninterval (x0 − ε, x0 + ε) za neko ε > 0. Skup A ⊂ R je otvoren ako je on okolinasvake svoje tačke ili ako je prazan. Skup B ⊂ R je zatvoren ako je skup A = R \ Botvoren.

Definicija 8.2. a) Tačka a ∈ R je unutrašnja tačka skupa A ⊂ R ako je skupA okolina tačke a. Skup unutrašnjih tačaka skupa A naziva se unutrašnjostskupa A i označava se sa A◦.

b) Tačka a ∈ R je adherentna tačka skupa A ⊂ R ako u svakoj okolini tačkea postoji barem jedna tačka iz skupa A. Skup adherentnih tačaka skupa Anaziva se adherencija ili zatvaranje skupa A i označavamo sa A.

c) Tačka a ∈ R je tačka nagomilavanja skupa A ako u svakoj okolini tačke apostoji bar jedna tačka b ∈ A, b = a. Skup tačaka nagomilavanja skupa A(ili izvodni skup skupa A) označava se sa A′.

32

8.2 Metrika i norma

d) Tačka a ∈ R je izolovana tačka skupa A ako postoji barem jedna okolinatačke a koja osim tačke a ne sadrži ni jednu drugu tačku skupa A.

e) Tačka a ∈ R je rubna tačka skupa A ako u svakoj okolini tav cke a postojibar jedna tačka iz skupa A i bar jedna tačka iz skupa R \ A. Skup rubnihtačaka skupa A naziva se rub skupa A i označava se sa ∂A.

Definicija 8.3. Skup A ⊂ B ⊂ R je gust u skupu B ako je svaka tačka b ∈ Badherentna tačka skupa A, to jest ako je B ⊂ A.

Na osnovu navedenih definicija mogu se dokazati sledeća svojstva skupa realnihbrojeva kao topološkog prostora.

1) Neka je tačka a tačka nagomilavanja skupa A. Tada u svakoj okolini tačke apostoji beskonačno mnogo elemenata skupa A.

2) Svaka tačka nagomilavanja skupa A je i adherentna tačka skupa A. Obrnutone mora da važi.

3) Za svake dve tačke a, b ∈ R, a = b, postoje disjunktne okoline tih tačaka.

4) Skup A ⊂ R je zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja.

5) Svaki beskonačan i ograničen skup A ⊂ R ima barem jednu tačku nagomila-vanja u skupu realnih brojeva.

Neka je O kolekcija otvorenih skupova u R. Tada je ured—ena dvojka (R, O)topološki prostor u smislu sledeće definicije.

Definicija 8.4. Neka je X neprazan skup. Kolekcija O podskupova skupa X jekolekcija otvorenih skupova ako i samo ako važe sledeća tri uslova:

1) Prazan skup i skup X su otvoreni, to jest ∅, X ⊂ O;

2) Presek svaka dva otvorena skupa je otvoren skup, to jest ako O1, O2 ∈ Oonda važi: O1 ∩ O2 ∈ O;

3) Unija proizvoljno mnogo otvorenih skupova je otvoren skup, to jest za svakukolekciju {Oλ; : λ ∈ Λ} ⊂ O važi ∪λ∈ΛOλ ⊂ O .

Kolekcija O je topologija na skupu X, a ured—eni par (X, O) je topološki prostor.

Topologija u R koju čine otvoreni skupovi u smislu definicije 8.1 naziva se uobi-čajena topologija na R i označava se sa (R, Ouob).

U proizvoljnom skupu X, pa i u skupu R postoje i različite topologije. Na primer,antidiskretna (najgrublja) i diskretna (najfinija) topologija su date respektivno saO = {∅, X} i O = P(X), gde je sa P(X) označen partitivni skup skupa X, to jestu najfinijoj topologiji su otvoreni skupovi svi podskupovi skupa X.

8.2 Metrika i normaGotovo svi topološki prostori koji se proučavaju u klasičnoj matematičkoj analizi

(prostori brojeva, nizova, neprekidnih funkcija i slično), mogu da se posmatrajukao prostori u kojima je topološka struktura odred—ena nekom metrikom. Iz ovograzloga, u nastavku se definiše metrički prostor i njime odred—ena topologija.

Metrički prostor je par (X, d) gde je X neprazan skup, a d preslikavanje d :X × X → [0, ∞) za koje važe sledeći uslovi:

33

8.3 Dodatak - tačke nagomilavanja skupova i nizova

1. d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y,

2. Za sve x, y ∈ X važi d(x, y) = d(x, y),

3. Za sve x, y, z ∈ X važi nejednakost trougla: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Preslikavanje d je metrika na skupu X, a nenegativan broj d(x, y) je rastojanjetačaka x i y.

Na primer, lako se proverava da je (R, d) metrički prostor ako je metrika ddefinisana na uobičajeni način: d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ R.

U svakom metričkom prostoru se topologija, kao i svi prethodno uvedeni pojmovi,definiše preko otvorenih lopti. Preciznije, neka je dat metrički prostor (X, d), a ∈ Xi r > 0. Skup tačaka

L(a, r) = {x ∈ X|d(a, x) < r}

je otvorena lopta u (X, d) sa centrom u tački a i poluprečnikom r.Čitaocu ostavljamo da za vežbu pokaže da za proizvoljnu otvorenu loptu L(a, r)

u metričkom prostoru (X, d) važi:

∀x ∈ L(a, r))(∃ε = εx > 0)(L(x, ε) ⊂ L(a, r)).

Za neprazan skup A ⊂ X kažemo da je otvoren u metričkom prostoru (X, d)ako za svako a ∈ A postoji r > 0 tako da važi L(a, r) ⊂ A. Prazan skup je,po definiciji otvoren. Zatvoren skup se definiše kao komplement nekog otvorenogskupa metričkog prostora (X, d).

Na osnovu prethodnih razmatranja sledi da je otvorena lopta otvoren skup umetričkom prostoru.

Može se dokazati da je familija τ svi otvorenih skupova metričkog prostora(X, d) topologija metričkog prostora (X, d). Kaže se da je ta topologija indukovanametrikom d.

Ako X ima strukturu vektorskog prostora nad poljem realnih brojeva, onda sepreslikavanje ∥ · ∥ : X → [0, ∞) koje ispunjava uslove:

1◦ ∥x∥ = 0 ⇔ x = 0 ∈ X

2◦ ∥λ∥ = |λ|∥x∥, ∀λ ∈ R, ∀x ∈ X

3◦ ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥, ∀x, y ∈ X

naziva normom nad X, a uredjen par (X, ∥ · ∥) je normiran prostor.Svaki normirani prostor (X, ∥ · ∥) je i metrički prostor (X, d) sa metrikom d koja

je definisana na sledeći način:

d(x, y) = ∥x − y∥, za sve x, y ∈ X.

Dokaz ostavljamo čitaocu za vežbu.

8.3 Dodatak - tačke nagomilavanja skupova i nizovaU prethodnoj lekciji, o topološkom prostoru, navedena je definicija tačke nago-

molavanja skupa. S obzirom da je uveden i pojam tačke nagomolavanja niza, uovom dodatku navode se razmišljanja o sličnosti i razlici ovih pojmova. Radi jedno-stavnosti izlaganja, posmatra se prostor (X, τ) u kojem je topologija τ indukovanametrikom d.

34

8.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva

1. Ako je A ⊂ X i a ∈ X njegova tačka nagomilavanja, tada u svakoj okolinitačke a postoji beskonačno mnogo elemenata skupa A, pa stoga skup A ne možebiti konačan.

Dakle, skup tačaka nagomilavanja proizvoljnog konačnog skupa je prazan skup.(Za vežbu, napisati ovaj iskaz simbolima.)

2. Neka je {an} niz u X takav da je skup S = {an | n ∈ N} konačan. Tadapostoji a ∈ X tako da je am = a za beskonačno mnogo indeksa m ∈ N. Prematome, postoji (stacionaran) podniz datog niza koji konvergira ka a, to jest a je tačkanagomolavanja datog niza.

Primetimo da skup S nema tačku nagomolavanja!3. Neka je sada {an} niz u X takav da je skup S = {an | n ∈ N} beskonačan

i neka je a ∈ X tačka nagomilavanja datog niza. (Na primer, ako je dati nizograničen, onda on sigurno ima barem jednu tačku nagomolavanja.)

Dakle, (∀ε > 0)(∀n ∈ N)(∃m ∈ N)(d(a, am) < ε).Tipičan izbor, ε = 1/n, n ∈ N, daje konstrukciju podniza {ank

} različitihelemenata skupa S koji konvergira ka tački a. Po toj konstrukciji (i na osnovuArhimedovog principa) zaključuje se da se u svakoj okolini tače a nalazi beskonačnomnogo elemenata skupa S pa je a tačka nagomilavanja skupa S.

4. Sada se lako dokazuje tvrd—enje:Ako svaki niz elemenata skupa A sadrži konvergentan podniz i granica tog

podniza je elemenat skupa A onda svaki beskonačan podskup skupa A ima tačkunagomilavanja i ona pripada skupu A.

Dokaz: Primetimo da se u ovom tvrd—enju implicitno pretpostavlja da je Abeskonačan skup.

Neka je B beskonačan podskup skupa A. Tada postoji {bn} niz različitih ele-menata skupa B. Iz uslova teoreme sledi da postoji {bnk

} podniz niza {bn} kojikonvergira ka nekom elementu b ∈ A.

Da je b tačka nagomilavanja skupa B sledi iz prethodnih razmatranja. Naime,ako je O(b) proizvoljna okolina tačke b, onda postoji m ∈ N takav da je lopta sacentrom u b poluprečnika 1/m sadržana u O(b). Tada postoji k0 = k(m) ∈ N takavda se svi članovi niza {bnk

}, k ≥ k0 nalaze u toj lopti. Znači, proizvoljna okolinatačke b sadrži beskonačno mnogo elemenata skupa B, pa je b tačka nagomilavanjatog skupa.

8.4 Kompaktnost u skupu realnih brojevaPretpostavlja se da je čitalac upoznat sa strukturom skupa realnih brojeva i sa

njenim osnovnim svojstvima.Podsetimo se: Niz realnih brojeva (ili brojni niz) je funkcija a : N → R, koju

ćemo označavati sa {an}n∈N. Neka je n : N → N strogo rastući niz prirodnihbrojeva, tj. neka je

n1 < n2 < n3 < . . . nk−1 < nk < . . .

i neka je a : N → R brojni niz. Niz a ◦ n : N → R sa članovima ank, k = 1, 2, . . . ,

je podniz niza {an}n∈N. Označavaćemo ga sa {ank}k∈N, a oznaka {ank

}k∈N ⊂{an}n∈N se koristi kada želimo da istaknemo da je {ank

}k∈N podniz niza {an}n∈N.Element a ∈ R = R ∪ {−∞, ∞} je tačka nagomilavanja niza {an}n∈N ako postojipodniz {ank

}k∈N koji teži ka a, to jest takav da je limk→∞ ank= a.

35

8.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva

Teorema 8.5. Element a ∈ R je tačka nagomilavanja niza {an}n∈N ako i samoako u svakoj okolini elementa a ima beskonačno mnogo članova niza {an}n∈N.

Teorema 8.6. (Bolcano- Vajerštrasova teorema za nizove) Svaki ograničen niz imabarem jednu tačku nagomilavanja u R, to jest svaki ograničen niz ima barem jedankonvergentan podniz.

Definicija 8.7. Familija skupova {Aλ}λ∈Λ je pokrivač skupa A ako za svako a ∈A postoji λ0 ∈ Λ tako da važi a ∈ Aλ0 . Ako su pri tome skupovi Aλ, λ ∈Λ, otvoreni, tada se familija {Aλ}λ∈Λ naziva otvoreni pokrivač skupa A. Ako je{Aλ}λ∈Λ pokrivač skupa A, onda se svaka podfamilija familije {Aλ}λ∈Λ koja jetakodje pokrivač skupa A naziva potpokrivač datog pokrivača.

Definicija 8.8. Topološki prostor (X, O) je kompaktan ako i samo ako svaki otvorenpokrivač skupa X sadrži konačan potpokrivač.

Na primer, (R, Ouob) nije kompaktan topološki prostor, jer pokrivač {(−n, n)}n∈Nne sadrži konačan potpokrivač.

Neka je (X, O) topološki prostor i A ⊂ X. Uredjeni par (A, OA), gde je OA

kolekcija skupova dobijena presekom otvorenih skupova iz X i skupa A je topološkiprostor, koji se naziva topološkim potprostorom prostora (X, O). Kaže se da je(A, OA) snabdeven topologijom koju u A indukuje topologija iz X.

Sada konačno možemo definisati kompaktan skup.

Definicija 8.9. Skup A je kompaktan skup u prostoru (X, O) ako i samo ako jepotprostor (A, OA) kompaktan topološki prostor.

U proizvoljnom topološkom prostoru svaki konačan skup je kompaktan, pa akosa C(X) označimo kolekciju svih kompaktnih podskupova datog prostora, a sa K(X)kolekciju njegovih konačnih podskupova, onda je

K(X) ⊂ C(X) ⊂ P(X).

Definicija 8.10. Topološki prostor (X, O) je Hauzdorfov prostor ako i samo ako zasvake dve različite tačke x, y ∈ X postoje disjunktni otvoreni skupovi O1 i O2 takoda važi x ∈ O1 i y ∈ O2.

Drugim rečima, topološki prostor je Hauzdorfov ako u njemu svake dve tačkeimaju disjunktne okoline. Takav prostor je na primer (R, Ouob) i, opštije, svakimetrički prostor.

Kažemo da familija skupova ima osobinu konačnog preseka ako svaka njenakonačna podfamilija ima neprazan presek (barem jednu zajedničku tačku).

Konačno, navodimo ključnu teoremu o kompaktnim skupovima u R.

Teorema 8.11. Neka je A ⊂ R. Sledeći iskazi su ekvivalentni:

1. A je zatvoren i ograničen.

2. Svaki beskonačan podskup skupa A ima tačku nagomilavanja i ona pripadaskupu A (Bolcano– Vajerštrasovo svojstvo za skupove)

3. Svaki niz elemenata skupa A sadrži konvergentan podniz i granica tog podnizaje element skupa A.

36

8.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva

4. Svaki otvoren pokrivač skupa A sadrži konačan potpokrivač (Hajne– Borelovosvojstvo).

5. Svaka familija zatvorenih podskupova skupa A koja ima osobinu konačnogpreseka ima neprazan presek.

Skup A koji ima neku od gore navedenih osobina zove se kompaktan skup.U dokazu će se na više mesta koristiti činjenica da je neki skup zatvoren ako i

samo ako sadrži sve svoje tačke nagomilavanja/

Dokaz. Svojstvo (4) je, u stvari, karakterizacija kompaktnog skupa u R u smisludefinicijE 8.8 i 8.9.

(1) ⇒ (2) Neka je skup A ograničen i zatvoren. Ako je skup A konačan,onda on nema nijednu tačku nagomilavanja i tada trivijalno važi (2). Prema tome,pretpostavimo da je skup A beskonačan skup i da je skup S njegov beskonačanpodskup. Skup S je ograničen pa, na osnovu Bolcano–Vajerštrasove teoreme onima bar jednu tačku nagomilavanja, označimo je sa α ∈ R. Pošto je S podskup odA, to je α tačka nagomilavanja i za skup A, pa α ∈ A jer je A zatvoren.

(2) ⇒ (1) Pokazaćemo prvo da je skup A zatvoren, što je ekvivalentno saiskazom da skup A sadrži sve svoje tačke nagomilavanja. Neka je β ∈ R proizvoljnatačka nagomilavanja skupa A. Po definiciji tačke nagomilavanja to znači da, zaproizvoljno ε1 > 0, u skupu (β − ε1, β +ε1) ∩ A postoji barem jedna tačka a1 ∈ A ia1 = β. Neka je d1 = |a1 −β| > 0 i neka je ε2 = d1/2. U skupu (β −ε2, β +ε2)∩Apostoji barem jedna tačka a2 ∈ A i a2 = β. Naravno, a2 = a1. Nastavljajućipostupak, dobijamo beskonačan skup S = {a1, a2, . . . } ⊂ A, kojem je β tačkanagomilavanja skupa. Ona, po pretpostavci pripada skupu A. Prema tome, svetačke nagomilavanja skupa A pripadaju skupu A, to jest skup A je zatvoren.

Preostaje da se dokaže da je skup A ograničen podskup skupa R. Pretposta-vimo suprotno, to jest da A nije ograničen skup. Ideja dokaza je da se konstruišebeskonačan skup S ⊂ A, koji nema tačku nagomilavaja u skupu A, čime se dokbijakontradikcija. Neka je a1 proizvoljan element skupa A i neka je n1 prirodan brojza koji važi |a1| < n1. Pošto A nije ograničen, sledi da postoji a2 ∈ A za koji važin1 < |a2|, i neka je n2 ∈ N takav da važi |a2| < n2. Nastavljajući ovaj postupakizbora tačaka skupa A dobija se beskonačan skup prirodnih brojeva {n1, n2, . . . } ibeskonačan podskup S skupa A tako da važi

|a1| < n1 < |a2| < n2 < |a3| < n3 < . . .

Skup S očigledno nema nijednu tačku nagomilavanja u R, što je u suprotnosti sa(2).

Primetimo da iz ograničenosti skupa A sledi da on ne može da ima tačku na-gomilavanja koja je "fiktivni element", ±∞, pa pretpostavka β ∈ R u prvom deludokaza nije ograničenje.

(1) ⇒ (3) Neka je {an}n∈N proizvoljan niz elemenata skupa A. Iz ograničenostiskupa A sledi da je i niz {an}n∈N ograničen. Dokažimo najpre da on ima konver-gentan podniz. Neka je S = {an | n ∈ N} skup vrednosti članova niza {an}n∈N.Jasno, S ⊂ A.

Ako je skup S konačan, onda postoji elemenat a ∈ S takav da je ank= a za

beskonačno mnogo vrednosti n1 < n2 < n3 < . . . iz skupa N. To znači da je{ank

}k∈N konvergentan podniz niza {an}n∈N, pa je a tačka nagomilavanja datogniza, koja, pri tome, pripada skupu A.

37

8.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva

Ako je skup S beskonačan onda, na osnovu (2), sledi da S ima bar jednu tačkunagomilavanja u A, označimo je sa a. Po definiciji, u svakoj okolini tačke a nalazise beksonačno mnogo elemenata skupa S. Tako se u (a − 1, a + 1) nalazi baremjedan element an1 ∈ S. U okolini, (a − 1/2, a + 1/2) nalazi se barem jedan elementan2 ∈ S takav da je n1 < n2. Ovo je moguće jer se u (a − 1/2, a + 1/2) nalazibeskonačno mnogo elemenata skupa S. Nastavljajući ovaj postupak, zaključujemoda, za svako m ∈ N, postoji

anm ∈ (a − 1/m, a + 1/m) ∩ S

, pri čemu je n1 < n2 < · · · < nm−1 < nm. Tako je {anm}m∈N konvergentanpodniz niza {an}n∈N, a element a je tačka nagomilavanja datog niza koja pripadaskupu A.

(3) ⇒ (1) Dovoljno je da se dokaže (3) ⇒ (2), jer znamo da (2) ⇒ (1), patada (3) ⇒ (1) na osnovu tranzitivnosti implikacije.

Neka je B beskonačan podskup skupa A. Tada postoji niz {an}n∈N medjusobnorazličitih elemenata skupa B. Iz (3) sledi da postoji {ank

}k∈N konvergentan podnizniza {an}n∈N, čija je granična vrednost a element skupa A. To znači da se u svakojokolini tačke a ∈ A nalazi beskonačno mnogo elemenata skupa B, pa je a tačkanagomilavanja skupa B, odnosno važi (2).

(1) ⇒ (4) Neka je A ograničen i zatvoren skup. Ako je A konačan, cardA = n i{Oλ}λ∈Λ pokrivač skupa A, onda za svaki element ak ∈ A, k = 1, 2, . . . , n postojiλk ∈ Λ, k = 1, 2, . . . , n tako da važi ak ∈ Oλk

. Tada je {Oλk}λk∈Λ konačan

potpokrivač skupa A.Pretpostavimo sada da je A beskonačan skup i da on nema Hajne–Borelovo

svojstvo, što znači da postoji otvoreni pokrivač {Oλ}λ∈Λ koji ne sadrži konačanpotpokrivač. Iz ograničenosti skupa A sledi da postoji interval [a1, b1] takav daA ⊂ [a1, b1]. Posmatrajmo skupove

[a1, (a1 + b1)/2] ∩ A i [(a1 + b1)/2, b1] ∩ A.

Za barem jedan od tih skupova važi da {Oλ}λ∈Λ ne sadrži konačan potpokrivačtog skupa, jer bi u suprotnom skup A imao Hajne–Borelovo svojstvo. Neka je[a2, b2] izabran tako da je [a2, b2] = [a1, (a1 + b1)/2] ako {Oλ}λ∈Λ, pokrivač skupa[a1, (a1 + b1)/2] ∩ A ne sadrži konačan potpokrivač tog skupa, odnosno [a2, b2] =[(a1 + b1)/2, b1] u suprotnom slučaju. Jasno, ovako izabran interval [a2, b2] sadržibeskonačno mnogo elemenata skupa A.

Sada posmatramo skupove

[a2, (a2 + b2)/2] ∩ A i [(a2 + b2)/2, b2] ∩ A.

Za barem jedan od tih skupova, po konstrukciji važi da {Oλ}λ∈Λ ne sadrži konačanpotpokrivač tog skupa. Neka je [a3, b3] izabran tako da je [a3, b3] = [a2, (a2+b2)/2]ako {Oλ}λ∈Λ, pokrivač skupa [a2, (a2 + b2)/2] ∩ A ne sadrži konačan potpokrivačtog skupa, odnosno [a3, b3] = [(a2 + b2)/2, b2] u suprotnom slučaju. Nastavljajućipostupak, dobija se niz zatvorenih intervala {[an, bn]}n∈N na koji se može primenitiKantorov princip. Neka je α ∈ ∩n∈N[an, bn].

Neka je U(α) proizvoljna okolina tačke α i ε > 0 izabran tako da je (α −ε, α + ε) ⊂ U(α). Po konstrukciji, dužine intervala [an, bn], n ∈ N, teže ka nuli,odnosno, postoji n0 ∈ n ∈ N takav da je [an0 , bn0 ] ⊂ (α − ε, α + ε). Pošto seu intervalu [an0 , bn0 ] nalazi beskonačno mnogo elemenata skupa A, sledi da je αtačka nagomilavanja skupa A, a kako je A zatvoren skup, važi α ∈ A.

38

8.4 Kompaktnost u skupu realnih brojeva

Po definiciji pokrivača, postoji λ0 ∈ Λ tako da je α ∈ Oλ0 . Skup Oλ0 je otvorenskup, pa postoji ε0 > 0 takav da je (α − ε0, α + ε0) ⊂ Oλ0 . Za tako odabran brojε0 > 0 postoji m ∈ N tako da je [am, bm] ⊂ (α − ε0, α + ε0) ⊂ Oλ0 . To znači dapostoji konačan pokrivač skupa [am, bm]∩A, što je u kontradikciji sa konstrukcijomniza zatvorenih intervala {[an, bn]}n∈N.

Dakle, skup A ima Hajne–Borelovo svojstvo.(4) ⇒ (1) Neka skup A ima Hajne– Borelovo svojstvo. Ako je skup A konačan,

onda (1) trivijalno važi, pa stoga pretpostavljamo da je A beskonačan. Dokazaćemosvojstvo (2) iz kojeg sledi (1). Pretpostavimo da je S beskonačan podskup skupa Akoji nema tačku nagomilavanja u skupu A. To znači da za svaki element a ∈ A \ Spostoji okolina Oa za koju važi Oa ∩ S = ∅. Takod—e, ako s ∈ S, onda s nije tačkanagomilavanja skupa S, jer je S ⊂ A, pa postoji okolina Os ∩ S = {s}. Kako je

A ⊂(∪a∈A\SOa

)∪ (∪s∈SOs) ,

iz pokrivača koji se sastoji od skupova Oa, a ∈ A \ S i Os, s ∈ S, se ne možeizdvojiti konačan potpokrivač, što je u kontradikciji sa pretpostavkom da skup Aima Hajne- Borelovo svojstvo.

(4) ⇒ (5) Neka je {Fλ}λ∈Λ kolekcija zatvorenih podskupova skupa A kojaima svojstvo konačnog preseka. Napominjemo da se svi skupovi posmatraju utopološkom prostoru (A, OA), potprostoru prostora (R, Ouob). To znači da je, naprimer A otvoren skup u (A, OA), iako je on zatvoren skup u (R, Ouob).

Pretpostavimo da je ∩λ∈ΛFλ = ∅. Tada je

A = A \ (∩λ∈ΛFλ) = ∪λ∈Λ(A \ Fλ).

Dakle, {A \ Fλ | λ ∈ Λ} je otvoreni pokrivač skupa A, pa postoji konačan skupindeksa λk, k = 1, 2, . . . , n tako da je

A ⊂ ∪1≤k≤n(A \ Fλk).

Odavde sledi ∩1≤k≤nFλk= ∅, što je u kontradikciji sa pretpostavkom da {Fλ}λ∈Λ

ima svojstvo konačnog preseka.(5) ⇒ (4) Neka je {Oλ}λ∈Λ otvoreni pokrivač skupa A. Dakle, A ⊂ ∪λ∈ΛOλ

odakle sledi ∩λ∈Λ(A \ Oλ) = ∅. Pošto su skupovi A \ Oλ zatvoreni (u topološkomprostoru (A, OA)), sledi da postoji konačno mnogo indeksa = 1, 2, . . . , n tako da je∩1≤k≤n(A \ Oλk

) = ∅, jer bi u suprotnom familija {A \ Oλ | λ ∈ Λ} imala svojstvokonačnog preseka, pa bi bilo ∩λ∈Λ(A \ Oλ) = ∅. Dakle, A \ ∪1≤k≤nOλk

= ∅,odnosno A ⊂ ∪1≤k≤nOλk

, pa skup A ima Hajne–Borelovo svojstvo čime je teoremadokazaa.

Čitaocu za vežbu ostavljamo da, koristeći Hajne–Borelovo svojstvo, dokaže dasu zatvoreni intervali kompaktni skupovi u prostoru (R, Ouob).

39