3

САПР в электрофизике.

Часть Ι. Основы автоматизации проектирования.

Глава 1. Введение в проблему.

1.1 Мотивация развития САПР

Дисциплина САПР, так же как аналогичное научное направ-

ление, возникло сравнительно недавно: в 60х-70

х годах прошлого

столетия (и тысячелетия), но, тем не менее, сравнительно быстро

нашло признание и успешно внедряется в практику во всех разви-

тых странах мира, хотя следует отметить, что ввиду новизны этой

проблемы и разнообразных сфер её внедрения, представление о ней

не всегда однозначны даже среди специалистов. В зарубежной

практике это направление определяется как CAD-Computer Aided

Design (разработка с помощью компьютера), у французов принято

сокращение CAO. Эти сокращения часто применяются для обозна-

чения пакетов прикладных программ, используемых разработчика-

ми в различных аспектах научно-технической деятельности (Auto

CAD, P-CAD, Mat CAD и т.п.). Разработки крупных программных

комплексов связана с так называемой CASE-технологией

(Computer Aided Software Engineering). Все эти направления можно

рассматривать как составные части общей проблемы автоматизи-

рованного проектирования.

Чтобы понять основные причины интенсивного развития ав-

томатизированного проектирования, необходимо определить зада-

чи, решаемые в процессе проектирования.

Как правило, под проектированием (на первый взгляд) пони-

мается изготовление чертёжно-конструкторской документации

(кульман, карандаш, калька и т.п.). Безусловно, изготовление чер-

тежей трудоёмкий, рутинный и длительный процесс, но он являет-

ся лишь завершающим этапом проектирования. Хотя автоматиза-

ция проектирования начиналась со стремления кардинально изме-

нить процедуру изготовления чертёжно-конструкторской докумен-

тации. Однако следует отметить, что существует понятие функ-

циональное проектирование, составляющее основу проектирова-

ния. Оно включает в себя решение трудоемких задач, связанных с

определением принципов построения объектов проектирования и

оценки свойств на основе исследования процессов их функциони-

4

рования. Автоматизация функционального проектирования пред-

полагает решение этих задач с помощью функциональных матема-

тических моделей, объектов проектирования на МИКРО, МАКРО и

МЕТА уровнях. Именно об этом проектировании в основном будет

идти речь в дальнейшем. Вопросы машинной графики, машинной

геометрии и т.п. рассмотрены в смежных разделах.

В самом общем виде под автоматизацией проектирования

можно понимать технологию использования вычислительной тех-

ники для оказания помощи проектировщику при выработке, моди-

фикации, анализе и оптимизации проектных решений, как говорил

Норберт Винер: «отдайте человеку человеческое, а вычислитель-

ной машине машинное. В этом и должна, по-видимому, заключать-

ся разумная линия поведения при организации совместных дейст-

вий людей и машин».

Существует два научных направления смежных с САПР и так

же базирующихся на использовании различных средств вычисли-

тельной техники. Начальный этап разработки новых изделий и по-

иска новых принципов связан с так называемыми АСНИ автомати-

зированными системами для научных исследований. Эта стадия

научного поиска существовала всегда и являлась лидером в деле

использования автоматизированных систем для изучения новых

идей и использования новых принципов. АСНИ предваряет непо-

средственное проектирование, являясь более универсальным эта-

пом, поскольку значимые результаты этой деятельности могут

быть использованы при проектировании в различных областях тех-

ники, являясь составной и очень важной на современном этапе ча-

стью научного поиска. В современном понимании это связывают с

модным словом инновации (раньше использовалось слово внедре-

ние). С другой стороны на завершающем этапе процесса создания

новых изделий, так же связанным с интенсивным (в современных

условиях) использованием вычислительной техники находятся так

называемые системы АПП - автоматизации производственных

процессов. Они включают две функционально-различных и взаи-

модополняющих системы АСТПП - автоматизированные системы

технологической подготовки производства и АСУТП - автоматизи-

рованные системы управления технологией производства.

Таким образом, весь цикл создания новых изделий может

быть представлен в виде последовательности следующих этапов, в

5

основе технологии каждого из которых находятся средства вычис-

лительной техники.

АСНИ САПР АПП

АСТПН АСУТП

В американской литературе в связи с вышесказанным упот-

ребляется сокращение CAD/CAM, где CAM- Computer Aided

Manufacturing. Это лишний раз указывает, что использование

средств вычислительной техники на всех этапах от научного поис-

ка до изготовления готовых изделий является основной тенденцией

научно-технического прогресса на современном этапе.

Лидером подобного подхода являются разработчики элек-

тронной техники, точнее микроэлектронной техники, где разработ-

ка и изготовление схем высокой степени интеграции представляет

замкнутый цикл на основе автоматизированных систем- от разра-

ботки принципиальных схем, их моделировании и оптимизации,

разработки конструкции до технологической подготовки и изго-

товлении готовых изделий.

Выделение автоматизированного проектирования в отдель-

ную дисциплину, как самостоятельного научно-технического на-

правления, связанно со значительными изменениями, произошед-

шими при подходе к технологии проектирования, значительному

усложнению этой технологии в связи с появлением широкого спек-

тра новейших технологических средств, математического и про-

граммного обеспечения, ориентированного, в том числе и на изго-

товлении чертёжно-конструктивной документации.

Предмет автоматизации проектирования на современном эта-

пе включает следующее:

-формализация проектных процедур;

-структурирование и формализация процессов проектирова-

ния;

-разработка моделей проектируемых объектов;

-разработка методов и алгоритмов проектных задач;

- способы построения технических средств;

6

- разработка входных языков проектирования;

- и т.п.

Говоря о САПР, следует отметить, что с одной стороны это

узко специализированная система. Так САПР электроники отлича-

ется от САПР радиотехники и приборостроения, не говоря уже о

САПР машиностроения и такой узко специализированной системы

автоматизированного проектирования, как разработка пульта

управления пилота самолета. Очень специфично проектирование

ядерно-энергетических систем и электрофизических установок.

В тоже самое время, отмечая специфику автоматизации про-

ектирования в различных областях техники, необходимо подчерк-

нуть, что ряд основополагающих положений теории и практики

САПР носит универсальный характер, что связанно, прежде всего с

тем, что основой любой системы автоматизации проектирования

являются средства вычислительной техники, являющиеся универ-

сальным инструментом и требующим их подробного изучения.

Проблемы использования и принципы построения технических

средств, структура программного обеспечения, как универсально-

го, так и специализированного, выбор инструментальных средств

разработки прикладных программ, принципы разработки матема-

тической модели входных языков носят в значительной степени

универсальный характер и практически не зависят от области при-

менения.

В связи с этим в изучении автоматизации проектирования

можно выделить два уровня:

-изучения общих, универсальных составляющих САПР, не

зависимых от области применения;

-специализированные разделы, отражающие специфику кон-

кретной предметной области;

Всеобщий интерес к автоматизации проектирования и интен-

сивное его развитие начинается с 60х

годов прошлого столетия,

связан с двумя основными факторами: кризисом в традиционных

методах проектирования и революционными событиями, происхо-

дящими в электронике и вычислительной технике. Именно в этот

период очень своевременно сформировалась новая база, которая

позволила преодолеть критическую ситуацию, сложившуюся к то-

му времени в проектировании.

7

Следует отметить, что хотя автоматизированное проектиро-

вание и представляет одно из основных направлений научно-

технического прогресса конца 20 го

века, оно не связанно с какими

то фундаментальными открытиями или новыми достижениями

именно в этой области, а целиком и полностью обязано колоссаль-

ным технологическим достижениям в смежной области-области

новых информационных технологий. Развитие этого направления

показало, что не всегда даже очень заманчивые идеи (как то сверх-

проводимость или термоядерный синтез) могут привести к поло-

жительным практическим результатом, а вдумчивое осознание со-

временных технологических возможностей позволяет решить важ-

нейшие проблемы современности.

Как указывалось выше первая (и основная) причина появле-

ния САПР связана с кризисом в проектировании - из-за несоответ-

ствия традиционных методов проектирования новым потребностям

проектировщиков, постоянно усложняющимся объектами проекти-

рования, появление понятия сложной технической системы

(С.Т.С.). Так, в среднем, по сравнению с 50-ми годами сложность

объектов проектирования в 60х

-70х

годах увеличилась в 5-6 раз.

Так документация на современный самолёт того времени по весу

была примерно равна весу самого самолёта. Очень серьёзные изме-

нения, потребовавшие современно новых подходов к проектирова-

нию происходили в электронике, что связано с колоссальным уве-

личением степени итерации интегральных микросхем (ИМС) (пе-

реход от отдельных транзисторов 50х годов к 100 и более миллио-

нов транзисторов в одной ИМС) и появлением микропроцессоров,

степень интеграции в которых приближается к одному миллиарду.

Характерный случай, указывающий на тенденцию значитель-

ного усложнения объектов разработки, произошёл на кафедре

электрофизических установок МИФИ в 70х

годах прошлого столе-

тия. Кафедра, на коммерческой основе, выпускала небольшие ли-

нейные электронные ускорители для промышленности и медици-

ны.

Для оснащения ускорителей необходимым вспомогательным

оборудованием - электронными системами управления, пультами

операторов и придания установкам современного дизайна была

предпринята попытка привлечь для решения этих задач разработ-

чиков из ГДР. Однако, после составления совместного технико-

8

экономического обоснования, выяснилось, что стоимость вспомо-

гательного оборудования втрое превышает стоимость основной

части установки-самого ускорителя, совместное предприятие не

состоялось.

Ситуация с усложнением объектов проектирования и появле-

ние СТС привел к ряду проблем, требующих оперативного реше-

ния.

Значительно увеличились сроки проектирования. Так состав-

ление проекта нового торгового судна требовало 2-4 года, самолёта

4-6 лет, ЭВМ 3-4 года. Создание крупного ускорителя от 4 до 10

лет. Причём подготовки предварительных соображений (предпро-

ектные исследования очень важный этап проектирования) занимал

от 2х до 4

х лет.

В качестве примера ниже приводятся сроки сооружения

крупнейших ускорителей того времени

Ускоритель Годы создания

Синхрофазотрон 10 ГэВ (Дубна) 1952-1957

Проточный синхротрон 26 ГэВ (CPS, ЦЕРН) 1955-1959

Электронный синхротрон 1,3 ГэВ (Томск) 1958-1965

Электронный синхротрон 7,2 ГэВ (DESY

zzzzzzzzzzzzz)

1959-1964

Проточный синхротрон 76 ГэВ (Протвино) 1961-1967

Линейный ускоритель электронов 22 ГэВ (Стэн-

фарт, США)

1962-1966

Мезонная фабрика 75-100 МэВ, 100-800Мэв

(Лос-Алиное, США)

1962-1972

Проточный синхротрон 200-500 ГэВ (Батавиа,

США)

1968-1972

Супер протонный ускоритель SPS, 400 ГэВ

(ЦЕРН)

1970-1976

Увеличение времени, затрачиваемого на проектирование, са-

мо по себе не желательно, так как значительно увеличиваются сро-

ки ввода новых изделий в эксплуатацию, более того в ряде облас-

тей техники (в частности в электроники) было невозможно тради-

ционными методами создавать новою продукцию. Как следствие

9

увеличение сроков проектирования является и то, что идеи, зало-

женные в проекте, за время его разработки устаревают ещё до вво-

да в эксплуатацию новых изделий, что связанно с опережающими

темпами роста научно-технического прогресса. Если 50-е годы

прошлого столетия жизненный цикл эксплуатации разработок рав-

нялся профессиональной жизни разработчика-человека, то к 60-70

годам время разработки зачастую превышало время эксплуатации и

к моменту создания (выпуска) изделий они оказывались устарев-

шими. Типичным примером такой ситуации явилась выпускаемая в

Советском Союзе единая система вычислительных машин - ЕСВМ.

Таким образом, одновременно с увеличением сроков проектирова-

ния происходит сокращение времени их жизни.

Ещё одним фактором, приведшим к кризису проектирования

в связи с появлением СТС, явилось значительное увеличение лиц

занятых в разработке проектов (конструкторов, чертёжников, ко-

пировщиков и т.п.) и невысокая престижность конструкторского

труда, ввиду рутинного характера большинства проектных проце-

дур. Что в свою очередь приводило к значительному удорожанию

проектов.

Вследствие этих причин в цикле создания новой техники: на-

учное исследование-проектирование-производство узким местом

явилось не отсутствие научных достижений и даже не изготовле-

ние, а медленное освоение имеющихся научных достижений через

проектирование.

Вторая причина связанна с появлением САПР, позволившая

преодолеть кризисные явления этого развития новой технологиче-

ской базы проектирования, в связи с появлением и бурным разви-

тием новейших информационных технологий на базе средств вы-

числительной техники.

Чтобы понять суть перемен, произошедших в проектирова-

нии и место новых информационных технологий в этом процессе,

необходимо рассмотреть детально виды деятельности, присутст-

вующие в этом процессе. На рис. 1 представлен набор

10

Рис.1. Различные виды деятельности в КБ

11

разновидностей этой деятельности и взаимосвязь между ними. В

нижней части рисунка представлены виды работ, необходимые для

выполнения задачи проектирования и их процентное соотношение.

Из этого рисунка следует, что весь процесс проектирования пред-

ставляется как чередование творческих и формальных (рутинных)

видов деятельности, причём последние составляют большую его

часть (>>90%). К ним относятся – расчёты, хранение, поиск, обра-

ботка информации и результатов экспериментов, а так же изготов-

ление технической документации.

Большой ассортимент технических средств современной вы-

числительной техники, развитие программного обеспечение, авто-

матизация программирования, неограниченные ресурсы вычисли-

тельных систем, интеллектуальные интерфейсы и т.п. предостав-

ляют возможность проектировщикам перенести на компьютер ру-

тинные виды деятельности, значительно повысив эффективность

проектирования.

1.2 Основные этапы становления автоматизированного проек-

тирования

Таким образом, автоматизация проектирования с помощью

средств вычислительной техники, основной путь, на котором пре-

одолеваются противоречивые трудности, связанные с сокращением

сроков проектирования при одновременном увеличении сложности

разработок.

Целью автоматизированного проектирования является объе-

динение конструктора и ЭВМ в единую команду для решения за-

дач, способную приходить к поставленным целям в задачах проек-

тирования более эффективно, чем каждая из них, работающих по

отдельности. Принципы, лежащие в основе этого разделения, а так

же многие другие принципы автоматизированного проектирования

(о которых будет сказано ниже) находятся в зависимости от по-

следних достижений в области новых информационных техноло-

гий.

Основные задачи, которые ставятся при переходе на автома-

тизированное проектирование следующие:

-Сократить сроки проектирования;

12

-Снизить материальные затраты на проектирование;

-Повысить качество проектирования;

-Сократить количество конструкторов и чертёжников, заня-

тых на рутинных операциях;

Хотя автоматизация проектирования - основной путь разви-

тия проектирования, но этот путь не тривиален и не всегда все по-

ставленные цели достигаются одновременно:

-На смену кульману приходят достаточно дорогие техниче-

ские средства, мощные рабочие станции, устройства графического

ввода-вывода чертежей, соответствующее программное обеспече-

ние и многое другое;

-Математическая постановка задач для большинства проект-

ных процедур не очевидна, а их последующая алгоритмизация тре-

бует разработки оригинальных методов, что в значительной мере

определяет содержание теории САПР.

Перечисление проблем, возникающих при внедрении САПР,

можно продолжить, но, несмотря на эти трудности, успешное вне-

дрение в практику проектирования подтверждает реальность реше-

ния перечисленных проблем.

Уже на ранних стадиях развития новых методов проектиро-

вания успешно решались эти задачи в станкостроении, электрон-

ной техники, судостроении и т.п. Впечатляющие достижения де-

монстрируют зарубежные фирмы. Так фирма Boeing способна в

течение года запустить в производство новый авиалайнер (к при-

меру, отечественный авиалайнер ТУ 234 запускался в производство

в течении пяти лет).

Можно выделить несколько последовательных этапов разви-

тия САПР, тесно связанных с динамикой развития средств вычис-

лительной техники и методов её использования.

Начальный этап связан с использованием вычислительной

машины при решении сложных математических задач, возникаю-

щих при проектировании. На этом этапе важнейшую роль играло

развитие методов вычислительной математики и её внедрение в

инженерную практику.

Развитие методов проектирования тесно связанно с развити-

ем методики использования вычислительной техники. Решение

инженерных математических задач на компьютере (так же как и

решение любых других задач) строится по следующей схеме

13

1. Математическая формулировка задачи.

2. Разработка алгоритма.

3. Выбор численных методов решения задачи.

4. Кодирование алгоритма (программирование).

5. Перфорация (запись программы на различные носители

устройств ввода вывода компьютера).

6. Отладка программы и её тестирование.

7. Решение задачи.

8. Обработка результатов.

На начальном этапе использования компьютеров только 7й

пункт выполнялся без участия человека оператора или программи-

ста, а эффективность использования компьютеров была крайне

низкой.

Решающую роль в переходе на новый уровень использования

компьютеров, имеющий важное значение в автоматизации проек-

тирования, явилась тенденция к универсализации задач и разработ-

ка единых подходов к целому классу расчётно-проектных проце-

дур. На начальном этапе этот подход связан с реализацией модуль-

ного программирования созданием библиотек по специальности в

виде подпрограмм функций и процедур, как на системном уровне,

так и в виде внешних процедур, собираемых на стадии компонов-

ки.

Были разработаны библиотеки как для широкого круга при-

менений, как например библиотеки научных подпрограмм на фор-

тране фирмы IBM, так и более специализированные библиотеки

для различных научно-технических приложений.

Основная задача, которая ставилась на этом этапе, по воз-

можности, избавить разработчика от рутины алгоритмизации и ко-

дирования задачи, т.е. исключить ручной труд на этапах 2-5.

Математическая постановка задачи, безусловно, определяется

разработчиком. Широкая универсализация задач, позволяющая аб-

страгироваться от деталей алгоритмизации и программирования

(кодирования) увеличивает накладные расходы на ресурсы компь-

ютеров, что при современных темпах развития технических

средств не актуально. Гораздо более актуальным является то об-

стоятельство, что большинство универсальных библиотек не учи-

тывает особенности конкретных приложений и в ряде случаев бы-

ли не пригодны для практики.

14

На этом же этапе автоматизации проектирования успешно

решались задачи новых способов оформления технической доку-

ментации, оперативной обработки и отображения результатов про-

ектирования. Это связанно с созданием и быстрым совершенство-

ванием специализированных пассивных и интерактивных уст-

ройств и систем машинной графики – графопостроителей, дигитай-

зеров, разнообразных специализированных дисплеев и т.п.. Одно-

временно развивается специализированное программное обеспече-

ние машинной графики и её более высокая степень - машинная

геометрия. Лидерами этого направления были ведущие фирмы

США. Так уже в 1963 сотрудники МТИ (Массачузетского техноло-

гического института) представили доклад, в котором демонстриро-

вали возможности формирования изображения на экране и мани-

пулирование им в реальном масштабе времени, что явилось нача-

лом интерактивной машинной графики (ИМГ). И уже к концу 60х

годов (прошлого столетия). Крупнейшие американские концерны

(General Motors, IBM, Lochhead, MC Donal Douglas) включились в

создание ИМГ. К началу 70х

годов появилось несколько поставщи-

ков САПР\АПП.

На этом этапе дальнейшее развитие автоматизации проекти-

рования виделось в дальнейшем увеличении мощности компьюте-

ров и развитии специализированной периферии. Однако довольно

быстро выяснились ограниченные возможности этого подхода при

проектировании сложных технических систем, требующих систем-

ного подхода.

Как выразился известный специалист в области информаци-

онных технологий академик Моисеев П.П.: «Простое наращивание

вычислительной мощности без качественного изменения всей её

информационной основы, без надлежащей организации человече-

ского труда не может быть ожидаемого эффекта, а напротив при-

водит к «вавилонскому столпотворению»»

Наглядный пример «вавилонского столпотновения» - ситуа-

ция, сложившаяся на американской фирме Boeing. В 1970 году на

фирме был проведён тщательный анализ результатов около 700

расчётных работ с использованием ЭВМ. Результаты были оше-

ломляющими. Каждое второе решение расчётной задачи было не-

верным. В большинстве случаев это не было обнаружено своевре-

менно и результаты пошли в качестве исходных данных в решение

15

других задач. Дополнительные затраты на устранение каждой

ошибки составляли от 2 х до 15 человекомесяцев.

Как показал анализ причин ошибок, они были связанны от-

нють не с низким качеством компьютерных программ, а с низким

качеством технической культуры использования вычислительной

техники в проектировании. Из-за отсутствия четкой организации

вычислений, из-за путанице в передаче информации, из-за ошибок,

внесенных в результаты самими исполнителями. Именно подобно-

го сорта обстоятельства привели к необходимости системного под-

хода к автоматизации проектирования, т.е. к переходу на новый

этап систем автоматизированного проектирования.

1.3. Определение структуры и принцип построения

САПР.

По существу современный САПР представляет систему про-

ектирования, в которой произведено рациональное, на данном эта-

пе развития технических и программных средств ЭВМ распределе-

ние функций между людьми (проектировщиками) и средствами

вычислительной техники. При этом вся процедура проектирования

рассматривается с системных позиций, как единый процесс, начи-

нающийся с разработки технического задания и заканчивающийся

изготовлением технической документации, подготовленной для

запуска на изготовление изделия в производство. ГОСТом введено

следующее определение САПР: «САПР-это комплекс средств АПР

(автоматизированного проектировании), взаимосвязанных с необ-

ходимыми подразделениями проектной организации или коллекти-

вом специалистов, выполняющих АПР».

По своему назначению основные подсистемы, входящие в

структуру САПР могут подразделятся на:

-Проектирующие, имеющие объектную ориентацию и реали-

зующие определённый этап (стадию) проектирования.

-Обслуживающие, имеющие общесистемное применение и

обеспечивающих поддержку функционирования проектирующих

систем, а так же оформление, передачу и вывод полученных ре-

зультатов.

Средства автоматизации проектирования можно сгруппиро-

вать по видам обеспечения, которое включает в себя следующее:

16

Математическое обеспечение (МО), основа которого - алго-

ритмы, по которым разрабатывается программное обеспечение.

Элементы МО в САПР чрезвычайно разнообразны. Среди них -

принципы построения функциональных моделей, методы решения

алгебраических и дифференциальных уравнений и т.п.

Разработки МО - самый сложный этап создания САПР. По

назначению и способам реализации МО САПР делится на 2 части:

математические методы и построенные на их основе математиче-

ские модели, описывающие объекты проектирования;

- Формализованное описание технологии автоматизированно-

го проектирования.

Программное обеспечение (ПО) - совокупность всех про-

грамм и эксплуатационной документации к ним, необходимых для

выполнения автоматизированного проектирования.

Имеется две части ПО:

-Общесистемное ПО предназначено для организации функ-

ционирования технических средств, т.е. для планирования и управ-

ления вычислительным процессом.

-Специальное (прикладное ПО) реализует математическое

обеспечение для непосредственного выполнения проектных проце-

дур обычно (на современном этапе имеет форму пакетов приклад-

ных программ (ППП), на каждый из которых обслуживает опреде-

ленный этап процесса проектирования. ППП представляют некото-

рую операционную среду, работающую под управлением ОС со

своими специфическими системными и обрабатывающими про-

граммами, а так же специализированное ПО, реализующее кон-

кретные проектные процедуры.

В настоящее время разработано большое количество ППП,

реализующих САПР в разнообразных областях науки и техники - в

электроники, машиностроении, математике и т.п.

Информационное обеспечение (ИО) -основу информацион-

ного обеспечения САПР составляют данные, которыми пользуется

проектировщик в процессе проектирования. Они могут быть пред-

ставлены в виде документации на различных носителях, содержа-

щих сведения справочного характера.

Различают следующие способы ведения информационного

фонда САПР: использование файловых систем и использование

17

баз, банков данных, создание информационных программ адапте-

ров.

Техническое обеспечение – это совокупность взаимосвязан-

ных и взаимодействующих технических средств, предназначенных

для выполнения автоматизированного проектирования.

Лингвистическое обеспечение – это специальные языковые

средства (языки проектирования), предназначенные для описания

процедур автоматизированного проектирования и проектных ре-

шений– входные языки пакетов прикладных программ. Сюда же

следует отнести традиционные инструментальные средства опера-

ционных систем - традиционные (императивные) языки програм-

мирования.

Методическое обеспечение включает входящие в САПР до-

кументы, регламентирующие порядок её эксплуатации, включая

описание ППП.

Организационное обеспечение –инструкции, приказы, штат-

ное расписание, квалификационные требования и др. документы,

регламентирующие организационную структуру подразделений

проектной организации.

Основные принципы построения САПР

-САПР-это человеко-машинная система. Тесное взаимодейст-

вие человека и ЭВМ в процессе проектирования - один из принци-

пов построения и эксплуатации САПР. В настоящее время и, по

крайне мере, в ближайшие годы создание САПР «не угрожает» мо-

нополии человека при принятии узловых решений в процессе про-

ектирования. Человек должен решать в САПР задачи, формализа-

ция которых не достигнута и решаются на основе опыта и интуи-

ции человека.

-САПР - иерархическая система - она реализует комплексный

подход к автоматизации всех уровней проектирования.

Следует особо подчеркнуть целесообразность комплексного

характера САПР, т.к. автоматизация проектирования на одном из

уровней при сохранении старых форм проектирования не даёт за-

метного суммарного эффекта.

-САПР-совокупность информационно согласованных подсис-

тем, что означает - все или большинство последовательностей за-

дач проектирования обслуживается информационно согласован-

ными программами. Две программы называются информационно

18

согласованными, если все те данные, которые представляют собой

объект переработки в обеих программах, входят в числовые масси-

вы, не требующие изменений при переходе из одной программы к

другой. Плохая информационная согласованность превращает

САПР в совокупность программ. При этом из-за неучёта в подсис-

темах многих факторов, оцениваемых в других подсистемах, сни-

жает качество проектных решений.

-САПР - открытая и развивающаяся система, т.к. имеется как

минимум две причины, по которым она изменяется во времени:

а) Разработка такой сложной системы, как САПР, занимает

продолжительное время и экономически выгодно вводить отдель-

ные её части по мере готовности;

б) Прогресс в вычислительной техники и развитие вычисли-

тельных методов приводит к накоплению более совершенных ме-

тодов автоматизации проектирования и необходимость замены

старых.

В связи с этим открытость системы предполагает замену от-

дельных блоков системы без глобальной переделки системы в це-

лом.

-САПР - специализированная система с максимальным ис-

пользованием унифицированных модулей. Требование высокой

эффективности и универсальности, как правило, противоречивы.

Высокой эффективности достигают за счёт специализации. При

этом число САПР растёт, растет и их стоимость. Что бы снизить

стоимость, целесообразно включить в их состав недорогие унифи-

цированные модули.

§ 1.4 Особенности САПР ЭФУ

Имея общие базовые принципы разработки автоматизирован-

ных систем проектирования и традиционный набор видов обеспе-

чения, использующих достижения современных (на данном этапе

развития) информационных технологий, каждое направление про-

ектирования разнообразных технических устройств имеет свои ха-

рактерные и весьма значительные особенности. Эти особенности

связанны, прежде всего, с особенностями математического, про-

граммного, лингвистического, информационного и т.п. видов обес-

печения, отражающих специфику предметной области и типов раз-

рабатываемых изделий. Специфика конкретной предметной облас-

ти разработки обычно отражается в операционной среде пакетов

19

прикладных программ автоматизированного проектирования. Так

на САПР электроники ориентированны такие широко известные

пакеты как P-CAD, OrCAD, MicroCap, Electronics Work Bench и т.п.

Большую популярность и массовое распространение получи-

ли ППП AutoCAD фирмы Autodesk RF. Эта мощная операционная

среда, включающая в себя большое количество общеинженерных

приложений, ориентированных, в основном, на машиностроение,

архитектуру и строительство. Существует большое количество

ППП, ориентированных на определенные более узкие области тех-

ники: САПР в авиастроении, кораблестроении и т.п.

В большинстве проектных организаций общеинженерного

профиля большая часть времени тратится на изготовление чертёж-

но-конструкторской документации, т.е. на черчение. В связи с этим

именно эта часть работы изначально понималась проектированием

и требовала разработки и внедрения новых технологий с использо-

ванием машинной графики, машинной геометрии, создания спе-

циализированных пассивных и интерактивных устройств ввода-

вывода, систем машинной графики и автоматизированных рабочий

мест (АРМ) конструктора.

Разработка программного обеспечения для поддержки этих

устройств явилась необходимым атрибутом для создания в даль-

нейшем пакета прикладных программ автоматизации проектирова-

ния (САD).

Методы расчёта в большинстве общеинженерных дисциплин

хорошо изучены, стандартизированы, их результаты, как правило,

представлены в виде таблиц, номограмм и т.п. Даже в вакуумной

технике основные элементы вакуумных систем определенны стан-

дартами. Выбор типа вакуумных прокладок, размеры фланцев и

необходимое количество болтов и их размеры для обеспечения на-

дёжного уплотнения определяется из таблиц и нет потребности ни

в прочностных и иных расчётах.

Характерным является проектирование в электронике (мик-

роэлектронике) и электротехнике, где основными расчётными со-

отношениями являются компонентные законы Ома и топологиче-

ские уравнения Кирхгоффа, а конструирование в основном связан-

но с оптимизацией расположения элементов с целью уменьшения

длинны соединяющих проводников и проблемы теплоотвода.

20

Как правило, выше перечисленные изделия выпускаются

массово (крупными сериями), а жёсткие требования стандартов

связанны с жёсткими требованиями к разработке конструкторской

документации.

Особенности автоматизации проектирования в электрофизике

связанны с особенностями этого класса установок.

С самого начала разработка ускорителей и других установок

электрофизики потребовали проведения сложных вычислительных

работ большого объема с привлечением мощных вычислительных

систем. С другой стороны не существовало, как токовой, промыш-

ленности по производству подобных установок. Разработки, как

правило, проводились (и проводятся) физическими исследователь-

скими институтами и хотя отдельные типы ускорителей для про-

мышленности и медицины получили достаточно широкое распро-

странение и выпускаются рядом зарубежных фирм, общепринятых

стандартов на них пока не существует. Среди наиболее характер-

ных особенностей этих установок с точки зрения конструкторской

разработки можно отметить следующее:

Мелкосерийность - для промышленности и медицины уско-

рители выпускаются некоторыми фирмами в единичных экземпля-

рах, либо небольшими сериями (в пределах десятков штук).

Крупные исследовательские ускорительные комплексы уни-

кальны и неповторимы. Это с одной стороны объясняет их высо-

кую стоимость, а с другой отсутствие в необходимости стандарти-

зации.

Очень большое количество принципов ускорения - и как

следствие большое количество типов ускорителей. Это электроста-

тические, линейные, индукционные мощные импульсные на основе

генераторов Аркадыва-Маркса, линейные высокочастотные, и са-

мые разнообразные циклические ускорители. В них ускоряются

самые разнообразные частицы на различные энергии для различ-

ных целей.

Сложность теории ускорителей. Каждый тип ускорителей

предусматривает свою методику расчёта и требует серьезной науч-

но-исследовательской проработки и большого объема компьютер-

ного численного моделирования. Важнейшее значение при проек-

тировании ЭФУ связанно с решением задач синтеза- выбора опти-

мальных вариантов на различных уровнях проектирования - от вы-

21

бора типа установки и круга решаемых на ней задач до оптимиза-

ции отдельных компонент выбранной установки.

Большое количество общеинженерных систем: Это вакуум-

ная система, система компоновки, установки и юстировки, система

автоматизации измерений и управления, энергетическая система и

т.п.

Проектирование этих подсистем не имеет непосредственного

отношения к САПР ЭФУ и решается в смежных областях техники,

имеющих свои системы автоматизированного проектирования. Од-

нако наряду с перечисленными подсистемами, проектирование ко-

торых достаточно хорошо проработано и существуют соответст-

вующие системы автоматизированного проектирования, рассмат-

риваемые нами установки имеют четыре подсистемы, характерные

только для них и не имеют аналогов проектирования это: уско-

ряющая, фокусирующая, инжектирующая подсистемы и каналы

транспортировки заряженных пучков

Проектирование этих подсистем связанно с решением задач

синтеза ускоряющих и фокусирующих элементов, через анализ

граничных задач электромагнитостатики и электродинамики резо-

наторных и волноводных структур. Показателем эффективности

работы разрабатываемых элементов установок является выходной

ток ускоряемых заряженных частиц, определяемый их уравнения-

ми движения в ускоряюще-фокусирующих и транспортирующих

электромагнитных полях, создаваемых этими подсистемами. Осо-

бую сложность представляют так называемые самосогласованные

задачи, в которых ускоряемый ток и заряд частиц оказывают за-

метное влияние на ускоряюще-фокусирующие поля.

В связи с этим под САПР ЭФУ (или САПР ускорителей за-

ряженных частиц) будем понимать стадию предпроектных иссле-

дований, связанную с разработкой математических моделей, их

анализом и синтезом для решения вышеперечисленных задач, т.е.

разработки ускоряюще-фокусирующих и транспортирующих сис-

тем пучков заряженных частиц.

Разработка компьютерных программ для решения перечис-

ленных задач была начата с конца 50х годов прошлого века во всех

крупных ускорительных центрах мира. Эти работы были, как пра-

вило, связаны с созданием национальных ускорительных центров.

Однако ориентация этих программ на определённые технические

22

средства, операционные среды и различные версии языков про-

граммирования того времени затрудняли переместимость про-

граммных продуктов и использования их в других центрах. В даль-

нейшем, в связи со стандартизацией инструментального программ-

ного обеспечения и унификаций операционных систем, эти трудно-

сти были преодолены. Наиболее известным примером ускоритель-

ного САПР является, разработанный в Европейском центре ядер-

ных исследований (ЦЕРН, Швейцария) фундаментальный про-

граммный комплекс MAD, получивший широкое распространение

в мире, подробно и качественно документированный, однако для

разработки небольших установок, которые используются в при-

кладных задачах для самых разных целей в промышленности, ме-

дицине, сельском хозяйстве и т.п. ППП MAD является с одной сто-

роны избыточным, а с другой не всегда удовлетворяет специфиче-

ским требованиям различных установок.

В связи с этим в настоящее время в практике проектирования

ускорителей используются узкоспециализированные ППП, о кото-

рых будет сказано в дальнейшем.

Фактически, все разработанные и разрабатываемые про-

граммные продукты при проектировании небольших установок

прикладного характера ориентированны на две задачи:

-Расчет электромагнитных полей в ускоряющих и фокуси-

рующих системах, а так же программы расчёта тепловых полей в

этих системах. Эти программы имеют обширную сферу примене-

ния, выходящую за пределы электрофизики и разрабатываются

специалистами из смежных областей.

-Расчёт динамики ускоряемых частиц в выбранных структу-

рах (и оптимизация структур через анализ динамики). При необхо-

димости учитывается влияние электромагнитных составляющих

пучка на ускоряющее поле. Это, как правило, узкоспециализиро-

ванные программы, ориентированные на определенный класс уста-

новок.

23

Глава 2. Общесистемные вопросы САПР, цели и задачи проек-

тирования.

2.1 Краткие сведенья о системном анализе

Системный анализ-это самостоятельное научное направле-

ние, которое интенсивно развивается с середины прошлого столе-

тия. Появление его связанно с рядом новых проблем, одной из ко-

торых является и проектирование, при решении которых оказались

не приемлемы традиционные по тем временам методы.

Уже к концу XIX века стало резко увеличиваться число ком-

плексных проектов и задач, требующих участия специалистов раз-

личных областей знаний. Постоянное усложнение объектов проек-

тирования, развитие науки, появление проблем большой начальной

неопределённости, которые невозможно было решить с помощью

формальных математических методов прошлого столетия, требова-

ло развития новых подходов при их решении.

Не меньшее влияние на развитие этого направления в науке

вызвало возникновение мировых глобальных проблем, связанных с

необратимыми катастрофическими последствиями развития циви-

лизации - экология и разрушение природных балансов, энергетика

и захоронение ядерных отходов и т.п.

В этих задачах всё большее место стал занимать собственно

процесс постановки задачи, возросла роль человека, как носителя

целостного восприятия, сохранение целостности при расчленении

проблемы для облегчения её решения, роль методов активизации

интуиции и опыта специалистов различных областей знаний, при-

нимающих участие при решении сложной проблемы.

Для решения подобных комплексных проблем стало широко

использоваться понятие «система», и на определенной стадии раз-

вития научных знаний теория систем сформировалась в самостоя-

тельную науку, имеющую непосредственное отношение к САПР. В

30-е годы XX века возникла теория открытых систем Л.Фон Берта-

налафи. Важный вклад в становление системных представлений

внес в начале XX века А.А.Богданов, предложивший всеобщую

организационную науку тектологию. Потребности практики, почти

одновременно со становлением теории систем, привели к возник-

новению направления, названного исследование операций. Это на-

24

правление возникло в связи с задачами военного характера. Пред-

метом исследований операций является разработка методов анали-

за целенаправленных действий (операций) и объективная сравни-

тельная оценка решений (поиск оптимальных решений).

В 60-е годы XX века широкое распространение получил тер-

мин «системотехника», предложенный профессором Темниковым

из МЭИ, как эквивалент американского «system engineering» (бук-

вальный перевод - системная инженерия), который используется в

основном в применении системных методов только в технических

приложениях (систематология, аналогичный термин, используе-

мый в философской литературе).

В первые годы становления теории систем наибольшее рас-

пространение получил термин системный подход, который исполь-

зовался как методологическое направление философии, так и в

прикладном смысле, как синоним комплексный подход.

Наиболее конструктивным из направлений системных иссле-

дований в настоящее время считается системный анализ, зани-

мающийся приложением методов и моделей теории систем для

принятия решений. Впервые понятие системный анализ было

предложено в 1948 г. корпорацией RAND (мозговой центр мини-

стерства обороны США) в связи с задачами военного управления.

Применяется в тех случаях, когда задача (проблема) не может быть

сразу представлена и решена с помощью формальных математиче-

ских методов. При этом основное внимание уделяется процессу

постановки задачи и использование не только формальных, но и

методов качественного анализа. Опирается на основные понятия

теории систем и философские концепции, лежащие в основе обще-

системных закономерностей.

Рассмотрим некоторые из основных понятий теории систем,

которые могут быть нам полезны в дальнейшем: что такое система

или сложная техническая система, о которой мы уже упоминали

раньше?

Существует несколько десятков определения этого понятия,

когда хотят охарактеризовать исследуемый или проектируемый

объект, как нечто целое (единое), сложное, о котором невозможно

сразу дать представление, показав его, изобразив практически или

описав математическим выражением. Тем не менее, можно опреде-

лить что система (большая система, система большого масштаба,

25

СТС и т.п.). Эта совокупность двух или более элементов, удовле-

творяющих следующим условиям:

-Наличие большого количества взаимосвязанных и взаимо-

действующих между собой элементов, обладающих свойством со-

вместимости;

-Поведение каждого элемента влияет на поведение целого;

-Поведение элементов и их взаимодействие в целом взаимо-

связаны;

- Сложность функций, выполняемых системой;

- Возможность разбиения системы на подсистемы, цели

функционирования которых подчинены общей цели.

-Наличие управления (часто имеющего иерархическую

структуру), разветвленной информационной сети интенсивных по-

токов информации;

- Наличие взаимодействия с окружающей средой ( внешней)

и функционирование в условиях воздействия внешних факторов;

При формальном подходе к сложной системе элементом счи-

тается объект, не подлежащий дальнейшему расчленению. Внут-

ренняя структура элемента не подлежит изучению. Любая сово-

купность элементов сложной системы может рассматриваться как

подсистема. Обычно подсистемой является некоторая самостоя-

тельно функционирующая часть системы. Правильное выделение

подсистемы в СТС часто способствует упрощению расчётов при

исследовании и обеспечивает большую наглядность при интерпре-

тации результатов.

Основное свойство системы - это самоорганизация (лобили-

зация) или можно сказать устойчивость. В широком смысле слова

под этими словами понимается способность системы возвращаться

в состояние равновесия после того, как она была из этого состоя-

ния выведена под влиянием внешних сил или способность после

воздействия внешней среды путем последовательного изменения

своих свойств придти к некоторому устойчивому состоянию (пред-

полагается, что воздействие оказывается в некоторых допустимых

пределах.)

Осознание всех выше перечисленных проблем позволило

американскому математику Р. Акроффу назвать их основным ис-

точником интеллектуальной революции, вызывающей смену эпох.

Уходящую эпоху он назвал веком машин, а наступающую веком

26

систем. Появление этого направления в науке привело к развитию

специфических направлений в математике-теории массового об-

служивания, теории игр, исследования операций, математическое

программирование, дискретная математика, значительно расшири-

лась сфера применения теории вероятностей и математической ста-

тистики.

2.2 Блочно-иерархический подход - основной метод исследо-

вания сложных систем.

Блочно-иерархический подход не является каким то неожи-

данным изобретением. Он явился естественной реакцией человече-

ства на сложность в исследовании и описании различных больших

по объему, многокомпонентных с большим количеством связей

объектов. Его фрагменты в виде блок-схем алгоритмов, структур-

ных схем различных технических объектов и т.п. традиционно ис-

пользовались для облегчения понимания и разработки в инженер-

ной практике.

Дело в том, что описание технических объектов, должно быть

согласованно (по сложности) с возможностями восприятия челове-

ка. Однако выполнить это требование в рамках одного описания, не

расчленяя его на некоторые составные части, удается лишь для

простых изделий. В СТС, как правило, требуется структурирование

описаний и соответствующее расчленение представлений о проек-

тируемом объекте на иерархические уровне и аспекты. Это позво-

ляет распределить работы проектирования между подразделениями

проектной организации, что способствует повышению эффектив-

ности и труда проектировщиков.

Разделение описаний по степени детализации отображаемых

свойств и характеристик объектов лежит в основе блочно-

иерархического подхода к проектированию и приводит к появле-

нию иерархических уровней (уровней абстрагирования) в пред-

ставлении о проектируемом объекте.

На каждом уровне используются свои понятия систем и эле-

ментов. При этом элементы верхнего уровня иерархии являются

системами для нижнего уровня. Подобное разбиения продолжается

вплоть до получения на некотором уровне элементов, описание ко-

торых дальнейшему расчленению не подлежит. Такие элементы

27

называются базовыми. Таким образом, в основе блочно-

иерархического подхода используются 2 принципа:

-Принцип иерархичности, означающий структурирование

представлений об объектах проектирования по степени детализа-

ции описаний;

- Принцип декомпозиции (блочности)- разбиение представ-

лений каждого уровня на ряд составных частей (блоков) с возмож-

ностями раздельного (не блочного) проектирования объектов.

Кроме расчленения описаний по степени подробности, ото-

бражение свойств проектируемого объекта, порождающей иерар-

хические уровни (которые иногда называют горизонтальные уров-

ни) используется декомпозиция описаний объекта по характеру

отображаемых свойств, что приводит к появлению ряда, т.н. аспек-

тов описаний.

В соответствии с ЕСКД вводится функциональный, конст-

рукторский и технологический аспекты, которые считаются верти-

кальными уровнями. Решения задач проектирования на этих уров-

нях называют соответственно функциональным, конструкторским

и технологическим проектированием.

Функциональный аспект связан с отображением основных

принципов функционирования, характера физических и информа-

ционных процессов, протекающих в объекте и находит отображе-

ние в принципиальных электрических, кинематических, пневмати-

ческих и т.п. схемах и сопровождающих их документах.

Конструкторский аспект связан с реализацией результатов

функционального аспекта, т.е. определением геометрических форм

и их взаимным расположением в пространстве (принципиальная

электрическая (логическая) схема - функциональный аспект, пе-

чатная плата, реализующая эту схему - конструкторский аспект).

Технологический аспект связан с описанием методов и

средств изготовления конструкции.

Все перечисленные аспекты тесно взаимосвязаны. И хотя ос-

новные идеи разработки определяются функциональным аспектом,

удачное конструктивное решение в значительной степени опреде-

ляет перспективы внедрения разработки. Ещё большее значение,

особенно на современном этапе, имеет технологический аспект.

Использование новейших технологических достижений может зна-

28

чительно повлиять как на функциональный, так и на конструктор-

ский аспекты.

Внутри каждого аспекта, возможно, своё специфическое вы-

деление иерархических уровней.

В рамках рассмотренной блочно-иерархической структуры

возможны два подхода к проектированию, которые и реализуются

на практике.

Если решение задачи высоких иерархических уровней предшеству-

ет решению задач более низких уровней, то проектирование назы-

вается нисходящим. Если раньше выполняются этапы, связанные с

нижними иерархическими уровнями (т.е. проектирование идет от

готовых базовых элементов не подлежащих расчленению и разра-

ботке), проектирование называют восходящих.

При всех преимуществах блочно-иерархического подхода к

проектированию, позволяющему решать задачи большой размер-

ности, основным недостатком как нисходящего, так и восходящего

проектирования является то, что на каждом этапе работа ведется с

доконца не определёнными объектами, а решения принимаются в

обстановки неполной информации. При проектировании сверху

вниз, может оказаться, что базовых элементов на самом нижнем

уровне не существует в природе, а их разработка весьма проблема-

тична. Проектирование от базовых элементов (снизу вверх) может

привести к тому, что подойдя к самому верхнему уровню оказыва-

ется, что невозможно удовлетворить техническому заданию на раз-

рабатываемое изделие.

Тем не менее, более разумной альтернативы блочно-

иерархическому подходу не существует, поэтому он является ос-

новным методом разработки сложных технических систем.

29

2.3. Жизненный цикл сложной технической системы

(ГОСТ 22487-77)

Если рассматривать проектирование в широком смысле сло-

ва, то оно носит пространственно-временной характер. Основные

этапы проектирования и задачи, решаемые на этих этапах, принято

называть маршрутами проектирования, определяющими жизнен-

ный цикл сложной технической системы, который включает сле-

дующую последовательность этапов и проектных процедур.

1. Предпроектные исследования.

2. Техническое задание.

3. Техническое предложение.

4. Эскизный проект.

5. Технический проект.

6. Рабочий проект.

7. Изготовление опытного образца.

8. Опытная эксплуатация.

9. Изготовление серийного образца.

10. Промышленная эксплуатация.

11. Модернизация

Предпроектные исследования - выполняются заказчиком от

момента появления идеи до того, как будут сформулированы кон-

кретные задачи проектирования. Это этап научно-

исследовательской работы (НИР) - поиск принципиальных воз-

можностей построения системы, исследование новых принципов,

технических средств, обоснование общих решений.

Техническое задание - так же формулирует заказчик. Уста-

навливается основное назначение изделия, тактикотехнические ха-

рактеристики, показатели качества и техникоэкономические требо-

вания, предъявляемые к изделию, определение этапов разработки.

При отсутствии стандартов на изделие разработки технических ус-

ловий (ТУ) (для серийного и массового производства) определяют-

ся технические требования, правила приемки, методы контроля

(испытаний), транспортировки и хранения, указания по эксплуата-

ции, гарантии поставки и т.п.

Техническое предложение - предэскизное проектирование

выполняет разработчик, содержит:

30

-Технико-экономическое обоснование, определение стоимо-

сти разработки.

-Выяснение вариантов возможных решений.

-Проверка на патентную чистоту и конкурентоспособность

(если аналогов нет, то обязательна заявка на изобретение, если не

конкурентоспособна- не следует разрабатывать).

Эскизный проект - подлежит разрабатыванию, если это пре-

дусмотрено техническим заданием. Разрабатывается с целью уста-

новления принципиальных (конструкторских, схемных и др.) ре-

шений, дающих общее представление о принципах работы изделия

и включает следующие работы:

-Выполнение вариантов возможных решений (их конструк-

тивные разработки);

-Предварительное решение вопросов установки и транспор-

тировки изделий;

-Изготовление и испытание макетов с целью проверки прин-

ципов работы ( натурные испытания) и т.д. и т.п.

Технический проект - включает совокупность конструктор-

ских документов, содержащих окончательные технические реше-

ния, дающие полное представление об устройстве изделия и ис-

ходных данных для разработки технической документации.

Технический проект может предусматривать разработку ва-

риантов отдельных частей изделия. В этом случае выбор опти-

мального варианта производится на основе испытания опытных

образцов изделия. Разрабатывается если это предусмотрено техни-

ческим заданием и состоит:

-разработка конструкторских решений изделия и его состав-

ных частей;

-выполнение необходимых расчётов;

-выполнение необходимых схем: принципиальных схем, схем

соединения и т.п.;

-анализ конструкции на технологичность;

-разработка, изготовление и испытание макетов;

Рабочий проект (рабочая документация)- совокупность кон-

структорских документов, необходимых для изготовления и испы-

тания опытного образца. Объем и содержание рабочей документа-

ции определяются видом изделия (деталь, сборная единица, ком-

31

плекс и т.д.) и масштабом производства - опытное, серийное, мас-

совое.

7,8,9,10,11-этапы жизненного цикла СТС, хотя и не являются

непосредственными этапами проектирования, тем не менее, тесно с

ним связанны. Прохождение этих этапов, как правило, приводит к

очередной итерации процедуры проектирования или отдельных её

частей.

Так недостатки, выявленные на этапе опытной эксплуатации

(8) (что вполне естественно) приводят к необходимости вносить

изменение в проект, проводя дополнительные проектные работы.

Промышленная эксплуатация так же имеет временные огра-

ничения по причинам, рассмотренным в главе 1. В связи с этим на-

ступает новый этап проектирования, связанный с модернизацией

изделия.

2.4.Формализация процесса проектирования

Введение, автоматизации в процедуру проектирования на ос-

нове средств вычислительной техники, т.е. кибернизация проекти-

рования требует точного формального алгоритма этой процедуры.

Очень часто процедура проектирования представляется как изго-

товление чертежно - технической документации, что на самом де-

ле является лишь завершающим этапом этого процесса - вершиной

«айсберга». Этому этапу предшествует решение ряда гораздо более

сложных задач, которые приходится выполнять проектировщикам.

Независимо от способа проектирования (автоматизированное

или неавтоматизированное) и предметной области объектов проек-

тирования, процедура проектирования включает ряд традиционных

(обязательных) этапов. На рисунке 2.1. в рамках рассмотренного

выше блочно-иерархического подхода, представлена блок-схема

проектирования на отдельном уровне иерархии.

После получения технического задания от предшествующего

уровня иерархии наступает этап проектирования, который называ-

ется синтез технических объектов. Он включает в себя выбор

структуры объекта - структурный синтез, создание модели объекта

и выбор его параметров (параметрический синтез).

Если среди вариантов структуры изделия ищется не любой

приемлемый вариант, а наилучший (в некотором смысле) задачу

32

Рис. 2.1. Кибернетическая схема проектирования.

синтеза называют структурной оптимизацией. Выбор параметров

структуры, оптимальных с позиции некоторого критерия при за-

Формулировка ТЗ

Выбор структуры

Создание модели

Выбор исходных

значений парамет-

ров

Методы анализа

Получено тре-

буемое проект-

ное решение

Выбор способа

улучшения

проекта

Оформление доку-

ментации

Нижний уровень иерархии

Корректировка ТЗ

Изменение в струк-

туре

Модификация

Предыдущий уровень иерархии

син

тез ст

ру

кту

рн

ый

п

арам

етр

ичес

ки

й

Ан

али

з

нет

да

33

данной структуре объекта называют параметрической оптимизаци-

ей.

Следующий этап проектирования называется анализ техниче-

ских объектов. На этом этапе происходит исследование свойств

выбранной структуры объекта проектирования (его модели) при

различных внутренних параметрах.

Синтез и анализ находятся в диалектическом единстве и не

могут существовать друг без друга.

Результаты анализа определяют завершающий этап проекти-

рования - изготовление технической документации.

Если проектное задание не достигнуто, то выбирается способ

его достижения. Наиболее простой вариант улучшения проекта -

изменение внутренних параметров выбранной структуры объекта

(параметрический синтез). Ежели эти изменения не приводят к же-

лаемому результату, необходимо изменять структуру объекта

(структурный синтез). Ежели и этот способ не приводит к удовле-

творению Т.З. необходимо обращаться на верхний уровень иерар-

хии проекта с целью облегчения технического задания.

Завершающий этап проектирования - изготовление

- технической документации.

Таким образом, процедура проектирования включает три ос-

новных этапа: синтез технических объектов, их анализ и изготов-

ление технической документации. Причем первые две задачи нахо-

дятся в тесном взаимодействии и в рамках автоматизированного

проектирования их основу составляет математическое моделирова-

ние.

Синтез технических объектов нацелен на создание новых ва-

риантов объекта проектирования и представляет наиболее слож-

ную математическую задачу, основанную на разделах математики,

ориентированных на вычислительные методы требующих очень

больших ресурсов вычислительных систем. Наиболее проблемным

является структурный синтез. Основу параметрического синтеза

составляют методы математического программирования (методы

оптимизации), которые интенсивно развиваются на протяжении

последних десятилетий.

Анализ технических объектов - это изучение их свойств. Ре-

зультаты анализа должны ответить на вопрос, какими свойствами

обладает исследуемый объект, насколько хорошо он удовлетворяет

34

предъявляемым требованиям, но непосредственно не содержит в

себе рецептов относительно того, что нужно сделать, что бы улуч-

шить объект и выполнить проектное задание. Но несмотря на такой

пассивный характер результатов анализа, роль задачи анализа ве-

лика, поскольку результаты этого анализа составляют основу реа-

лизации задач синтеза. Задачи синтеза связанны с выбором опти-

мальной стратегии изменения параметров (или структуры) объекта

с целью получения результатов, удовлетворяющих техническому

заданию (в простейшем случае переборные алгоритмы). Оценка

результатов синтеза проводится с помощью методов анализа. Т.е.

синтез осуществляется через анализ и невозможен без него. Обыч-

но различают два основных метода анализа технических объектов:

Одновариантный анализ (или детерминированный), который

включает следующие разновидности:

-анализ статических состояний (без учёта изменений пара-

метров во времени);

-анализ переходных процессов;

-анализ стационарных видов колебаний;

-анализ частотных характеристик;

-анализ устойчивости.

Многовариантный анализ заключается в исследовании объек-

та в некоторой окрестности отображаемой точки и он связан с изу-

чением влияний случайных факторов и внешней среды на работу

объекта проектирования и включает, как правило, две задачи:

-анализ чувствительности выходных параметров к изменени-

ям внутренней и внешней среды;

-статический анализ, основу которого составляют методы

теории вероятностей и математической статистики.

Более подробно методы анализа и синтеза будут рассмотрены

в дальнейшем.

35

Глава 3. Математическое обеспечение САПР (методы многова-

риантного анализа)

Вопросы математического обеспечения представляют цен-

тральную и наиболее сложную часть автоматизации проектирова-

ния. Необходимость современных подходов к проектированию по-

требовало как расширения сферы использования и развития тради-

ционных разделов математики, так и разработку новых, ориентиро-

ванных на реализацию с помощью средств современной вычисли-

тельной техники. Все основные этапы в САПР- анализ, синтез и

изготовление технической документации связаны с использовани-

ем современных математических методов.

Математическое обеспечение САПР имеет иерархическую

структуру и в определённой степени соответствует иерархии задач

проектирования сложных технических систем.

Можно выделить два уровня математического обеспечения

САПР по аналогии с двумя уровнями (универсальным и специали-

зированным) различных видов обеспечения САПР. Нижний уро-

вень средств математического обеспечения отражает специфику

предметной области и используется при анализе разрабатываемых

технических систем. Так при расчёте электронных схем основу ма-

тематического обеспечения определяют законы теории электриче-

ских цепей - это законы Ома, Кирхгофа, а так же теория графов и

ряд традиционных разделом математики, дифференциальные урав-

нения, линейная алгебра и т.п. Если говорить о САПР ЭФУ, то

здесь основной аппарат управления Максвелла, законы релятиви-

стской механики, разнообразные дифференциальные и интеграль-

ные уравнения и т.п. Естественно, что каждый из перечисленных

фундаментальных законов физики и математических методов их

реализации имеет свои специфические особенности для различных

предметных областей, которые и отражаются в особенностях мате-

матического обеспечения САПР этих областей. Именно этим осо-

бенностям и будет посвящена вторая часть этого учебного пособия

– методическое обеспечение САПР ЭФУ.

Однако наряду с вышеуказанным имеется ряд математиче-

ских методов, которые используются на верхних уровнях иерархии

и имеющих достаточно универсальный характер. К таким методам

прежде всего относятся методы, применяемые для решения задач

36

синтеза - различные разделы математического программирования,

вычислительная геометрия и геометрическое моделирование и т.п.

При анализе технических объектов достаточно универсаль-

ными являются методы многовариантного анализа - статистиче-

ский анализ (метод Монте-Карло). Этот вид анализа определяется

как имитационное моделирование.

Эти методы и будут рассмотрены в настоящей главе, но вна-

чале следует определиться с понятиями модели и моделирования,

основополагающими понятиями САПР.

3.1. О моделях и моделировании

Под моделью принято понимать такой материальный или аб-

страктный объект, который в процессе изучения заменяет объект

оригинал, сохраняя важнейшие типичные его черты.

Что касается моделирования, то современные словари дают

следующее определение этому термину: «моделирование- исследо-

вание каких-либо явлений, процессов или систем путём построения

и изучения их моделей, использование этих моделей для определе-

ния или уточнения характеристик или рационализации способов

вновь конструируемых объектов». А если совсем коротко, то по-

строение модели и исследование объектов на их моделях называет-

ся моделированием.

С незапамятных времен при изучении сложных процессов,

явлений, конструирования новых сооружений человек применяет

модели. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для

исследования, нежели реальный объект.

Существует несколько приёмов моделирования, которые

можно условно объединить в две большие подгруппы: материаль-

ное (предметное) и идеальное (абстрактное) моделирование.

К материальному относятся такие способы моделирования,

при которых исследование ведется на основе модели, воспроизво-

дящей основные геометрические, физические, динамические и

функциональные характеристики изучаемого объекта.

Основными разновидностями материального моделирования

является физическое и аналоговое моделирование.

Физическим моделированием принято называть моделирова-

ние, при котором реальному объекту противопоставляется его уве-

37

личенная или уменьшенная копия, допускающая исследование (как

правило, в лабораторных условиях) с помощью последовательного

перенесения свойств изучаемых процессов и явлений на объект на

основе использования теории размерности физических величин и

теории подобия.

Физическое моделирование широко используется в науке и

технике как способ разработки и экспериментального изучения на

моделях разнообразных механизмов, самолетов (в аэродинамиче-

ской трубе), судов, тепловых установок и т.п. Этот вид моделиро-

вания применяется и при разработки установок в электрофизике.

Так, при проектировании 20-ти километрового протонного синхро-

трона в Протвино, в Радиотехническом институте была создана его

уменьшенная (100 метровая) копия, на которой применялись эле-

менты конструкции разрабатываемой установки.

Преимущества физического моделирования перед натурным

экспериментом заключается в том, что условия реализации процес-

са-модели могут значительно отличаться от условий, свойственных

оригиналу и их выбирают из удобства и простоты исследования.

Аналоговое моделирование основано на аналогии процессов

и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинако-

во описываемых формально (одними и теми же математическими

уравнениями). Наиболее простой пример изучение механических

колебаний с помощью электрической схемы, описываемой теми же

дифференциальными уравнениями. Электрическое моделирование

лежит в основе работы машин непрерывного действия - так назы-

ваемых аналоговых или моделирующих машин (например, диффе-

ренциального анализатора, электрического анализатора и др.). Мо-

делью какого-либо процесса при таком «машинном моделирова-

нии» можно, очевидно, с равным основанием называть как про-

грамму этого процесса, так и саму машину. В 60х годах прошлого

века на кафедре ЭФУ МИФИ для исследования динамики частиц в

линейных ускорителях использовалась аналоговая машина γ (гам-

ма). Однако справедливости ради следует отметить, что этот вид

моделирования для подобных задач в современных условиях пол-

ностью вытеснен цифровым компьютерным моделированием, об-

ладающим гораздо большей точностью и достаточно высоким бы-

стродействием (основное достоинство аналоговой машины). По

этим же причинам утратили актуальность и так называемые гиб-

38

ридные вычислительные системы - объединение аналоговых и

цифровых машин.

Необходимо отметить, что в обоих типах материального мо-

делирования (физического и аналогового) модели являлись мате-

риальным отражением исходного объекта и были связаны с ними

своими геометрическими, физическими и другими характеристи-

ками, причем процесс исследования был тесно связан с материаль-

ным воздействием на модель, т.е. состоял в натурном эксперименте

с ней. Таким образом, предметное моделирование по своей приро-

де является экспериментальным.

От предметного моделирования принципиально отличается

идеальное (абстрактное), которое основано не на материальной, а

на идеальной аналогии, мыслимой. Идеальное моделирование но-

сит теоретический характер. Различают два вида идеального моде-

лирования: интуитивное и знаковое.

Под интуитивным моделированием понимается моделирова-

ние, основанное на интуитивном представлении об объекте иссле-

дования, не поддающимся формализации, либо не нуждающимся в

ней. В этом смысле жизненный опыт каждого человека может счи-

таться его индивидуальной моделью окружающего мира. Этот вид

моделирования особенно развит у музыкантов, учёных, шахмати-

стов.

Знаковым называют моделирование, использующее в качест-

ве моделей знаковые преобразования какого-либо вида: схемы,

графики, чертежи, формулы, наборы символов и т.п., а так же

включающее набор знаков, по которым можно оперировать с вы-

бранными знаковыми образованиями и их элементами.

Важнейшим видом знакового моделирования является мате-

матическое моделирование, при котором исследование объекта

осуществляется посредством модели, сформулированной на языке

математики, и использованием тех или иных математических мето-

дов. Классическим примером математического моделирования яв-

ляется описание и исследование законов механики И. Ньютона

средствами математики.

3.2. Математическое моделирование.

39

Математическое моделирование есть приближенное описание

какого-либо класса явлений внешнего мира с помощью математи-

ческих моделей, под которой понимается совокупность математи-

ческих объектов (чисел, символов, переменных, векторов, мно-

жеств и т.п.) и отношений между ними, которые адекватно отобра-

жают основные свойства проектируемых объектов.

В общем виде математическая модель может быть представ-

лена в виде зависимости (далеко не всегда функциональной):

X=F(X,Q)

где Y- вектор выходных параметров;

X-вектор входных (внутренних) параметров (параметров

элементов);

Q- вектор внешних параметров.

Даже если существует функция F(X,Q), это ещё не означает,

что она известна проектировщику. В большинстве случаев связь

между внутренними (входными) параметрами и внешними (выход-

ными) параметрами задается в алгоритмической форме, например

через численное решение системы уравнений для некоторых пара-

метров, которые характеризуют состояние объекта и не относятся к

перечисленным выше параметрам (выходным, внутренним и внеш-

ним). Они называются фазовыми переменными (как бы промежу-

точные параметры). Вектор фазовых переменных задаёт точку в

пространстве, называемым фазовым. Фазовые переменные, непо-

средственно характеризующие запасы энергии в элементах систе-

мы именуют переменными состояния. Выходные параметры при

таком подходе имеют смысл функционалов, зависимостей фазовых

переменных от времени (фазовые переменные возникают только

при анализе моделей).

В зависимости от характера отображаемых свойств проекти-

руемого объекта модели можно разделить на структурные (связан-

ные, прежде всего с геометрическим моделированием) и функцио-

нальные. Структурные модели отображают только структурные (в

частном случае геометрические) свойства объекта. Структурные

модели обычно используются в случаях, когда задачи структурного

анализа удается ставить и решать, абстрагируясь от особенностей

физического процесса в объекте.

Наибольшую группу представляют так называемые функцио-

нальные модели. Они, в основном, ориентированны на методы ана-

40

лиза. Традиционными и давно разрабатываемыми являются теоре-

тические. Их получают на основе изучения физических закономер-

ностей, структура уравнений и параметры моделей определяют фи-

зическим толкованием. Они основаны, как правило, на функцио-

нальных физических законах. Так, например, методы математиче-

ской физики включают те уравнения, которые применяются для

построения и изучения математических моделей, описывающих

большие классы физических явлений. Теоретические модели по

своей структуре разделяют на линейные и нелинейные (в зависи-

мости от линейности или нелинейности входящих в них уравне-

ний), непрерывные или дискретные (в зависимости от непрерывно-

сти или конечной счётности их решений), динамические или стати-

ческие (имеется или нет зависимость от времени).

К сожалению, не всегда условия применимости моделей и

методов могут быть найдены и исследованы строгими методами.

Часто применимость того или иного компонента математиче-

ского обеспечения зависит от конкретных условий, многообразие

которых не поддаётся исчерпывающему учёту и классификации.

Особый класс математических функциональных моделей со-

ставляют так называемые имитационные, которые иногда называ-

ются формальными или даже эвристическими. Развитие этого на-

правления моделирования связанно с разработкой сложных техни-

ческих систем и ограничениями традиционных теоретических мо-

делей. Эти модели получают на основе проявления свойств моде-

лируемого объекта во внешней среде, модель типа «чёрный ящик».

Ниже об этих моделях будет сказано более подробно.

В соответствии с иерархической структурой сложных техни-

ческих систем (элемент, подсистема, система) математические мо-

дели разделяются на три уровня: низшего (микро), среднего (мак-

ро) и высшего.

На низшем уровне, называемом так же уровнем проектирова-

ния базовых элементов или микроуровне, математические модели

должны отражать процессы, протекающие, в общем случае, в трех-

мерной сплошной среде. Они представляют собой дифференциаль-

ные уравнения в частных производных и часто называются распре-

делёнными моделями. Они основаны на известных фундаменталь-

ных физических законах (уравнения Ламе для механики упругих

сред, Навье-Стокса для гидравлики, уравнения теплопроводности-

41

термодинамики, уравнения Максвелла- электромагнитные поля). В

качестве фазовых переменных в этих уравнениях выступают на-

пряжённости полей и плотности потоков. Точное решение этих

уравнений (аналитическое) удаётся получить лишь для ограничен-

ного числа частных случаев, поэтому основная задача, возникаю-

щая при моделировании, состоит в построении приближённой дис-

кретной модели. Для этого используются методы конечных разно-

стей, конечных элементов или интегральных граничных элементов.

Так как получаемая при дискретизации пространства аппроксими-

рующая система алгебраических уравнений имеет очень высокий

порядок, то при моделировании достаточно сложных технических

объектов приходится принимать ряд допущений и переходить к

моделированию на среднем (макро) уровне.

Элементами этого уровня являются объекты, которые на

микроуровне рассматриваются как системы. Математические мо-

дели на данном уровне представляют обыкновенные дифференци-

альные уравнения, в частных случаях статических задач они пре-

вращаются в алгебраические и трансцедентные уравнения. В каче-

стве фазовых переменных выступают токи и напряжения в элек-

трической системе (вместо плотности тока и напряженности по-

лей), в механической системе аналогами этих переменных являют-

ся силы и скорости, в гидравлической системе массовые расходы и

давление, а в тепловых - тепловые потоки и температура.

Математическую модель системы на этом уровне получают

объединением компонентных и топологических уравнений.

Законы функционирования элемента подсистемы задаются

компонентными уравнениями, связывающими, как правило, разно-

образные фазовые переменные, относящиеся к данному элементу.

Компонентные уравнения могут быть линейными или нели-

нейными, алгебраическими, обыкновенными дифференциальными

уравнениями или интегральными.

Связь между однородными фазовыми переменными, относя-

щимися к различным элементам подсистемы, задается топологиче-

скими уравнениями, получаемыми на основании сведений о струк-

туре системы.

В большинстве технических систем можно выделить три типа

простейших элементов (компонент):

42

Элемент типа R- элемент диссипации энергии. На этом эле-

менте, как правило, происходит преобразование энергии в тепло-

вую (электрические сопротивления) трения в механических систе-

мах, вязкость в жидкостях и газах и т.п.

Элемент C и L, в которых происходит накопление потенци-

альной и кинетической энергии.

Для каждой физической подсистемы характерны свои зако-

ны, однако для простейших элементов форма выражающих их

уравнений оказывается одинаковой.

Так, например, для электрической подсистемы фазовыми пе-

ременными являются токи I и напряжения U, а компонентные

уравнения для простейших элементов выглядят следующим обра-

зом:

Для сопротивления (законы Ома) I=U/R;

Для ёмкости I=C(dU/dt), где С-

электрическая ёмкость;

Для индуктивности U=L(dI/dt), где L-

электрическая индуктивность.

Топологические уравнения в большинстве случаев базируют-

ся на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Так, для электрической подсистеме связь между отдельными

элементами этой подсистемы устанавливается на основании зако-

нов Кирхгоффа.

Уравнения первого закона Кирхгоффа устанавливает равен-

ство нулю суммы токов в узлах системы, т.е. 0pК

кI (уравнения

равновесия), где Ik ток в к-ой ветви; p- множество номеров ветвей,

инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгоффа видно, что сумма

падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произ-

вольному контуру равна нулю, т.е. 0qj

jU (уравнение непре-

рывности), где j-номер ветви; Uj- падение напряжения на j-й ветви

схемы, входящей в контур; q- множество номеров ветвей, входя-

щих в рассматриваемый контур.

43

Аналогичные компонентные и топологические уравнения

можно привести и для механических, гидравлических (пневматиче-

ских) и тепловых систем.

Модели высшего уровня или модели технических систем, ко-

торые так же называют информационными, применяемые для

сложных устройств и комплексов (вычислительные комплексы,

радиолокационные станции, ускорительные комплексы и т.п.),

функционирование которых рассматривается как цепь событий,

происходящих в дискретные моменты времени и заключающихся в

изменении состояний элементов.

Для построения математических моделей высшего уровня

широко используют математическую логику, теорию массового

обслуживания, методы теории автоматического управления, тео-

рию графов и т.п. Очень широкое применение на этом уровне име-

ет упоминавшееся ранее имитационное моделирование, что пред-

ставляет собой дословный перевод английского выражения

«Simulatiom modeling». Как легко убедиться, перевод сделан не

слишком хорошо, так как в нем содержится тавтология(любое мо-

делирование- есть имитация). Однако этот термин в отечественной

практике так широко распространился, что хоть он и неудачен, но

маловероятно, что он претерпит изменение.

Суть метода имитационного моделирования состоит в том,

что процесс функционирования сложной системы представляется в

виде определенного алгоритма, который и реализуется на ЭВМ. По

результатам реализации могут быть сделаны те или иные выводы

относительно исходного процесса.

Наряду с широко используемыми, традиционными методами

математического моделирования (теоретическими) большая роль

при проектировании отводится и этому виду, причём его появле-

ние, как указывалось выше, связанно с возрастающими сложностя-

ми объектов, процессов, явлений, ввиду отсутствия в настоящее

время математического аппарата, пригодного для исследования.

Кроме того, реальные системы подвержены влиянию различных

случайных факторов. Учёт этих факторов аналитическим путём

представляет весьма большие трудности, зачастую непреодолимые

при большом их числе. Этот вид моделирования реализуется на

компьютере и отображает внутренние и внешние взаимосвязи мо-

делируемого сложного объекта.

44

Имитационное моделирование можно трактовать как резуль-

тат объединения двух подходов: дедуктивного и индуктивного. Де-

дуктивный подход или подход «сверху вниз» предполагает опреде-

ление структуры модели на основе знания физических законов

(традиционные теоретические модели), которым подчиняются про-

исходящие в системе процессы и построение системы с последую-

щим уточнением параметров. Индуктивный же подход, или подход

«снизу вверх» оперирует с экспериментальными данными типа

«вход-выход» не используя знания внутренних свойств системы.

Типичным примером такого подхода служит экспериментирование

с моделью на основе метода Монте-Карло (который рассматрива-

ется ниже). При этом имитационное моделирование представляет

собой численный эксперимент сродни физическому эксперименту.

В ходе эксперимента варьируются экзогенные (внешние) парамет-

ры модели, результаты представляются в статистическом смысле,

что неизбежно при работе со сложной системой. Основные свойст-

ва системы и состояние её параметров определяются на основе

длительного наблюдения и набора соответствующих статистиче-

ских закономерностей.

Поскольку статистическое моделирование является одним из

основных приемов имитационного моделирования, носит универ-

сальный характер (его идея очень проста и независима от приложе-

ний), широко применяется в техники и физики ниже будет более

подробно рассмотрена его методика.

Немного о требованиях, предъявляемых к математическим

моделям. Среди общих требований, которые не зависят от типа мо-

делей и вида моделирования, следует отметить следующие:

Точность математической модели - свойство, определяющее

степень совпадения предсказанных с помощью модели выходных

параметров объекта с истинными значениями этих параметров. Ко-

личественная оценка точности затруднена по следующим причи-

нам:

-Реальная модель, как правило, обладает множеством выход-

ных параметров. Поэтому возникает необходимость сведения век-

тора параметров к скалярному представлению с помощью не всегда

достаточно обоснованных методов;

- Модель составляется, как правило, для многократного ис-

пользования, при анализе различных вариантов объекта. Однако

45

характер проявления тех или иных свойств объекта зависит от осо-

бенностей взаимодействия с внешней средой и другими объектами.

- Истинное значение (которое предполагается заранее извест-

ным) обычно отождествляется с экспериментом, однако погреш-

ность экспериментов может оказаться соизмеримой с погрешно-

стями модели, а часто и превышает их.

Экономичность - отождествляется прежде всего затратами

машинного времени при реализации на компьютере. Несмотря на

постоянный рост современных вычислительных систем, потреб-

ность задач (в том числе и проектных) так же возрастает, зачастую

превышая возможности машин, в связи с этим разработчикам при-

ходится заботится об экономичности алгоритмов.

Степень универсальности модели связана с тем, что разра-

ботка модели и её адаптация к вычислительной среде достаточно

длительный и дорогостоящий процесс, поэтому расширение сферы

приложения модели повышает эффективность разработки и снижа-

ет стоимость разработанного программного продукта.

Требования точности, универсальности и экономичности мо-

дели достаточно противоречивы и требуют принятия оптимальных

решений в каждом конкретном случае.

Кроме перечисленных, существует ряд специфических требо-

ваний к математическим моделям различных типов. Так, например,

требования к традиционным теоретическим моделям определены в

курсах вычислительной математики (это корректность, устойчи-

вость, сходимость, обусловленность и т.п.) где с ними можно под-

робно ознакомиться.

46

3.3 О методах многовариантного анализа.

Методы многовариантного анализа являются в некотором

смысле надстройкой над одновариантных моделях, которые отра-

жают специфику конкретных предметных областей. В этом смысле

многовариантный анализ достаточно универсален, а его методы

практически не зависят от конкретных приложений.

В задачи этого вида анализа входит определение допустимых

отклонений внутренних параметров проектируемых объектов от их

номинальных значений (полученных с помощью одновариантного

анализа) и именующих случайный (стохастический) характер.

Именно такого вида отклонения определяют надежность ра-

боты установки и точность поддержания её выходных характери-

стик. Этот вид анализа предполагает изучение случайных событий

и процессов, происходящих в различных системах проектируемых

изделий и использование аппарата теорий случайных процессов,

математической статистики для оценки их влияния.

При проектировании электрофизических установок и ускори-

телей указанные отклонения параметров от их номинальных значе-

ний могут значительно понизить эффективность использования

пучка и даже привести к его потере.

Исследование влияния малых отклонений внутренних (и

внешних параметров) на выходные характеристики разрабатывае-

мых изделий предполагает:

а) Исследование характера (типа) отклонений этих парамет-

ров;

б) Знание статистических характеристик случайных (стохас-

тических) отклонений.

По типу все отклонения могут быть систематические и слу-

чайные. Систематические отклонения - постоянные во времени и

пространстве. Например снижение напряжения на установке за

достаточно длительный промежуток времени. Учёт таких отклоне-

ний не представляет больших трудностей и связан с анализом чув-

ствительности входного параметра к изменению внутренних, опре-

деляемых в оновариантной модели объекта и в дальнейшем рас-

сматриваться не будет.

Случайные отклонения могут быть пространственными (по-

стоянными во времени) например отклонения в параметрах эле-

ментов электронных схем (допуски на сопротивления, конденсато-

47

ры и т.п.), неточности в изготовлении ячеек ускоряющих волново-

дов и т.п.

Временные отклонения могут разделяться например на мед-

ленные, импульсные (постоянные в пределах одного импульса),

внутриимпульсные и т.п.

Что же касается статистических характеристик, то при массо-

вом производстве радиодеталей, механической обработке на ме-

таллолетунных станках) отклонения, как правило, усечённому (в

пределах допуска) закону Гаусса.

Различают следующие методы расчёта допусков:

1)Метод наихудшего случая;

2)Метод граничных испытаний;

3)Метод моментов;

4)Метод натурных испытаний;

5)Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Ниже будет дана краткая характеристика первых четырёх ме-

тодов. Метод Монте-Карло, который получил очень широкое рас-

пространение в физических исследованиях и техники и не только в

аспекте допусков будет рассмотрен более подробно.

1.Метод наихудшего случая характеризуется следующими

требованиями: выходной параметр должен находится в пределах

установленного поля допусков при наиболее неблагоприятных со-

четаниях погрешностей. Существует два способа расчёта погреш-

ностей этим методом:

Первый состоит в том, что погрешность внутренних парамет-

ров определяется арифметическим или квадратичным суммирова-

нием частичных отклонений, вызванного действием каждого дес-

табилизирующего фактора в отдельности. По этим суммарным по-

грешностям определяется погрешность выходного параметра.

При втором способе отдельно определяется частичная по-

грешность выходного параметра за счёт погрешностей внутренних,

вызванных влиянием каждого воздействующего фактора в отдель-

ности. Результирующая погрешность выходного параметра опре-

деляется суммированием частичных погрешностей. Например, при

ускорении релятивистских электронных сгустков в линейном элек-

тронном ускорителе с помощью дифференциального волновода

неточность при изготовлении четырёх основных размеров волно-

48

вода приводит к сдвигу сгустков по фазе ∆Qi. Этот сдвиг одно-

значно изменяет набираемую энергию.

В первом случае учёт этих изменений может быть произведён

следующим образом:

∆

Q ∆Q1+∆Q2+∆Q3+∆Q4

или ∆

Q (∆Q12+∆Q2

2+∆Q3

2+∆Q4

2)

1/2

При этом изменения (отклонения) в набираемой энергии оце-

ниваются как

∆W=ƒ(∆

Q )

Во втором же случае

∆W=

4

1i

ƒ(∆Qi)

Следует отметить, что оба способа дают одинаковые резуль-

таты только при линейной зависимости параметров. Для нелиней-

ных зависимостей при втором способе получаются меньшие по-

грешности выходного параметра.

Основные недостатки этого метода следующие:

1) необоснованно арифметическое и квадратичное

суммирование погрешностей параметров. Квадра-

тичное суммирование частичных погрешностей

внутренних параметров справедливо только при

нормальном законе распределения погрешностей;

2) Отсутствует количественная оценка попадания вы-

ходного параметра в поле допусков;

3) Невозможно оценить случаи появления крайних и

средних значений выходного параметра;

4) Не позволяет определить причину выхода параметра

из поля допуска если на него влияют несколько фак-

торов;

Однако этот метод очень прост и позволяет быстро оце-

нить (хотя и грубо) верхний предел допустимых отклонений внут-

ренних и внешних параметров изделия.

49

2 Метод граничных испытаний. В этом методе обычно фик-

сируются параметры ряда элементов. Параметры других элементов

варьируются с учётом требований к фиксируемым параметрам.

Из двух варьируемых параметров один, имеющий наиболь-

шее влияние (степень влияния характеризуется частной производ-

ной) является основным.

Проводился ряд расчётов, при которых фиксируются ряд зна-

чений одного из параметров и в широких пределах проводится из-

менение основного параметра. С помощью этих расчётов опреде-

ляются допустимые (граничные) значения изменений этих пара-

метров.

По результатам расчётов строятся графики. По одной из осей

всегда откладывается значения основного параметра, по другой-

второй изменяемый параметр. Графики представляют область ус-

тойчивости работы, внутри которой значения выходного параметра

соответствуют требуемым.

По графикам выбирают номинальные значения и допустимые

отклонения основного и варьируемого параметров так, что бы ве-

личины выходного параметра находились внутри области устойчи-

вости.

Этот метод используется в практике расчёта ускорителей для

определения устойчивости частиц в фазовом пространстве элек-

тромагнитных полей.

Достоинство метода состоит в том, что он позволяет опреде-

лить область устойчивости работы и выбрать номинальные значе-

ния внутренних параметров оптимальным образом.

Существенный недостаток метода заключается в том, что он

позволяет провести исследование при одновременном изменении

только двух элементов. В реальных условиях погрешность выход-

ного параметра является функцией погрешностей всех внутренних

параметров. Поэтому значения погрешностей выходного параметра

получаются приближёнными.

3. При анализе методом моментов постулируют нормальный

закон распределения погрешностей внутренних и выходного пара-

метров. Исходными являются характеристики закона распределе-

ния внутренних параметров.

Расчёт точности по методу моментов сводится к определению

среднего значения (математического ожидания) определяемого вы-

50

ходного параметра и его среднего квадратического отклонения или

дисперсии

γ=φ(mx 1,mx 2

,…,mx n),

где mx iматематическое ожидание исходных параметров, γ-

математическое ожидание выходной функции, а дисперсия

Dy=

n

i 1

(∂φ/∂xi)m*Dx i ,

где (∂φ/∂xi)m производная функции по i-му параметру в точке

математического ожидания этого параметра.

Этот метод дает точные результаты только для линейных за-

висимостей и при нормальном распределении погрешностей. Для

нелинейных зависимостей даже при нормальном законе распреде-

ления имеют место значительные ошибки.

4. Натурные испытания - этот эмпирический метод оценки

параметров. В качестве модели используются несколько образцов.

На каждом образце измеряют уровень параметра. Результаты изме-

рений обрабатываются статистически.

Этот метод требует больших затрат и на этапе проектирова-

ния неприменим.

3.4 Метод статистических испытаний

(Метод Монте-Карло)

Перечисленные выше методы оценки допустимых отклоне-

ний внутренних и внешних параметров от их номинальных значе-

ний широко используется в практике проектирования и играют

важную роль при предварительной (грубой) оценке допусков.

Наиболее эффективным и современным методом является

метод Монте-Карло, который получил в последнее время очень

широкое распростронение благодаря широкому внедрению компь-

ютерных технологий, поскольку его применение требует компью-

теров очень высокой производительности. Этот метод имеет гораз-

до более широкие области применения при проектировании (ана-

лизе и синтезе математических моделей) нежели расчёт допусков, о

чём будет сказано ниже. Именно с этим методом, прежде всего,

связанно понятие имитационного моделирования.

51

Наибольшее распространение метод Монте-Карло получил в

исследованиях по физике, в теории массового обслуживания, в

теории игр и т.п.

Название метода произошло от города Монте-Карло (княже-

ство Монако), известного своими казино, ибо одним из простейших

приборов для генерирования случайных чисел (основы метода

Монте-Карло) является рулетка.

Официальной датой рождения методов под общим названием

Монте-Карло считают 1949 год, когда появилась статья с названи-

ем «метод Монте-Карло» (Metropolis N., Ulam S., the Monte Carlo

method, I. Amer. Stutistical assoc 1949, 44, №247,335-341.). Создате-

лями этого метода считают американских математиков Дж. Нейма-

на и С. Ульма. В Советском Союзе первые статьи о методе Монте-

Карло были опубликованы в 1955-56 годах. Возникновение этого

метода связанно с именами Дж. Неймана, Г.Кана, Э.Ферми и др.

выдающихся учёных. Все они в 40x

годах работали в Лос Аломосе

над Манхэтенским проектом. Разработки и широкое использование

этого метода явилось важным инструментом при реализации про-

екта. Хотя теоретические основы метода Монте-Карло были из-

вестны намного раньше, однако до появления вычислительной тех-

ники метод не мог считаться универсальным численным методом

ввиду трудоёмкости ручного моделирования.

Можно выделить два основных направления применения ме-

тода Монте-Карло.

Во-первых, для исследования влияния случайных факторов,

естественным образом присутствующих в структуре объекта. Учёт

этих факторов в рамках имитационного моделирования имеет

очень важное значение при проектировании.

В дальнейшем будет более подробно рассмотрена методика

методов Монте-Карло для решения подобных задач.

Во-вторых, этот метод стал активно использоваться для ре-

шения детерминированных задач, т.е. задач, модели которых не

содержат элемент случайности. В этом проявляется универсаль-

ность этого метода. Решение таких задач достигается построением

вспомогательных вероятностных моделей, куда в качестве пара-

метров входят подлежащие определению постоянные величины.

В настоящее время созданы вероятностные модели для реше-

ния различных математических задач. В их числе: вычисление ин-

52

тегралов, решение систем линейных алгебраических уравнений,

краевых задач для уравнений эллиптического и параболического

типов, обращение матриц, нахождение собственных значений и

собственных векторов матриц, вычисление кратных интегралов,

решение задач поисковой оптимизации и др.

Поскольку основной идеей при решении детерминированных

задач методом Монте-Карло является замена детерминированной

задачи эквивалентной статистической, то естественно, что при та-

кой замене вместо точного решения задачи получается приближён-

ное, погрешность которого уменьшается с увеличением числа ис-

пытаний.

В качестве примера применения метода Монте-Карло для

решения детерминированных задач рассмотрим методику вычис-

ления интегралов (площадей, объёмов).

Допустим, требуется вычислить определённый интеграл

функции y=ƒ(x)

J= 1

0

ƒ(x)dx

Если пределы изменения функции и аргумента произвольные,

то путём соответствующей нормировки всегда можно добиться,

что бы величина x изменялась в пределах [0,1] (см. рис. 3.1) и

функция )(xf так же изменялась в пределах [0,1], при 10 x

Рис 3.1

y1

x

η

ζ

1

1

o

53

Практически, требуется вычислить площадь под кривой, изо-

бражённой на рисунке (площадь ограниченна кривой y=ƒ(х), осью

абсцисс и прямыми x=0 и x=1).

Для решения этой задачи необходимо иметь два независимых

датчика случайных чисел, которые выдают две последовательности

случайных чисел х и y, равномерно распределённых в интервале

[0,1]. Пусть в квадрат 1,1 попала случайная точка o с координатами

[ζ,η]. Если для этой точки выполняется условие

ƒ(ζ)>η,

то точка попала под кривую y=ƒ(x).

Проделав этот эксперимент N раз и определив количество то-

чек (L), для которых выполняется это условие, получим

L/N≈P= 1

0

ƒ(x)dx

Таким образом, задача решена, хотя, в принципе при решении

этой задачи можно обойтись одним датчиком случайных чисел.

Однако наибольшее значение метод Монте-Карло приобрёл в

САПР при исследовании влияния случайных факторов (временных

или пространственных) непременно имеющих место при работе

любого изделия. Он является основным методом многовариантного

анализа в настоящее время.

Рассмотрим несколько примеров использования этого метода

в рамках имитационного моделирования.

1. Определение допусков на номинальные параметры

элементов электронных схем, входящих в состав

разнообразных приборов (измерителей, генераторов,

систем уравнения и т.п.). Предположим, что номи-

нальное значение выходного параметра U требуется

поддерживать с точностью не хуже 1% от его номи-

нала. U можно рассчитать, зная параметры их эле-

ментов, используя модели теории электрических це-

пей, о которых говорилось выше.

U=ƒ(R1,R2,R3,….,Rn,C1,C2,C3,….,Cn,….. и т.п.)

Здесь U может представлять выходной импульс с определён-

ными техническими заданием параметрами (амплитуда, длитель-

ность, требования к фронтам и т.п.).

54

R1,….,Rn,C1,….,Cn-это сопротивления, конденсаторы и другие

электро радиотехнические элементы.

Возникает вопрос, как может повлиять на выходные характе-

ристики импульса отклонения в номинальных значениях парамет-

ров элементов схемы и какие, например, нужно брать сопротивле-

ния с 5 или 10 процентным разбросом от указанного номинала.

При большом количестве элементов, упомянутые выше мето-

ды (наихудшего случая, метод моментов) дают сильно завышенные

требования к допускам. Вычислить аналитически распределение U

(учитывая, что разброс в серийных элементах схемы, выпускаемых

миллионными тиражами, подчиняется нормальному закону) при

мало мальски сложной функции ƒ(х) невозможно.

В связи с этим, единственным приемлемым методом для ре-

шения этой задачи является метод Монте-Карло. В этом случае по-

ступают следующим образом. Считаем, что элементы, например

сопротивления R, случайные величины, имеющие распределения

Гаусса с математическим ожиданием МR, равным номинальному

значению, а среднеквадратическое отклонение связанно с точно-

стью изготовления каждого параметра (допуском, указанном на

рассматриваемый элемент) следующим образом

∆=3σ

Алгоритм расчёта допусков оказывается очень простым:

для каждого элемента разыгрывается значение параметра, затем

вычисляется значение U1. Повторив этот опыт N раз и получив зна-

чения U1, U2,….,UN, можно построить статистическое распределе-

ние (гистограмму) и приближенно расчетать

МU≈

N

j

jUN 1

1 математическое ожидание

DU≈ ])(1

[*1

12

1 1

2

N

j

N

j

jj UN

UN

дисперсия

2. В качестве ещё одного очень важного примера Мон-

те-Карло рассмотрим расчёт надёжности работы из-

делия.

Пусть мы хотим оценить время безотказной работы изде-

лия, предполагая, что известны характеристики безотказной работы

каждого элемента.

55

Если считать, что время безотказной работы каждого элемен-

та tn фиксированная величина, то вычислить время безотказной ра-

боты t изделия не составляет труда. Например, для изделия, схема-

тически изображённого на следующем рисунке,

в котором выход из строя одного элемента влечёт за собой

выход из строя всего изделия.

t=min(t1,t2,t3,t4)

А для изделия, схематически изображённого на следующем

рисунке

в котором один из элементов дублирован

t=min[t1;t2;max(t3,t4);t5]

так как если, например, элемент №3 выйдет из строя, то изделие

будет продолжать работать на элементе №4.

В действительности, время безотказной работы любого

элемента представляет случайную величину Qk.

Когда мы говорим, что срок службы электрической лам-

почки 1000 часов, то это лишь среднее значение MQ величины Q.

1 2 3 4

1 4 1

3

4

5

56

Всем известно, что одна лампочка может перегореть быстрее, а

другая (такая же) горит дольше.

Если известна плотность распределения вероятности Qk для

каждого из элементов изделия, то можно значительно точнее ре-

шить эту задачу используя метод Монте-Карло.

В самом деле для каждого элемента можно разыграть зна-

чение случайной величины k , пусть это будет tk, затем по соот-

ветствующей из вышеперечисленных формул можно вычислить t

случайной величины Q. Повторив этот опыт многократно (N раз)

можно считать, что

MQ≈

N

j

jtN 1

1

где tj значение t, полученное в j-ом опыте.

Необходимо отметить, что вопрос о распределении времени

жизни Qk для отдельных элементов не так уж прост: для наиболее

долговечных элементов организация эксперимента (по нахожде-

нию закона распределения ) затруднительна, так как нужно дож-

даться пока выйдет из строя достаточно много элементов.

Наибольшее распространение метод Монте-Карло получил

в ядерно-физических исследованиях. Достаточно напомнить, что

критическая масса урана в США была определена путём статисти-

ческого моделирования на электронной вычислительной машине

«Эниак».

Вероятностные законы взаимодействия отдельной элемен-

тарной частицы (нейтрона, фотона, мезона и др.) с веществом из-

вестны. Обычно требуется найти макроскопические характеристи-

ки процессов, в которых участвует огромное количество таких час-

тиц: плотности, потоки и т.п. Пожалуй чаще всего метод Монте-

Карла используется в нейтронной физике. В качестве примера рас-

смотрим простейший вариант задачи о прохождении нейтронов

сквозь металлическую пластинку.

Пусть на однородную бесконечную пластинку толщиной

h≥х≥0 падает поток нейтронов с энергией E0. Угол падения 900.

При столкновении с атомами вещества, из которого состоит пла-

стинка, нейтроны могут упруго рассеиваться или поглощаться.

Предположим, для простоты, что энергия нейтрона при рассеива-

57

нии не меняется и любое направление «отскока» нейтрона от атома

одинаково вероятно. На рисунке 3.2 изображены различные судьбы

нейтронов: нейтрон проходит сквозь пластинку (а), нейтрон по-

глощается (б), нейтрон отражается пластинкой (в).

Рис 3.2

Требуется вычислить вероятность прохождения нейтрона

сквозь пластинку р+, вероятность отражения нейтрона пластинкой

р- и вероятность поглощения нейтрона в пластинке р

0.

Взаимодействие нейтронов с веществом характеризуется в

рассматриваемом случае двумя постоянными sc , которые

называются сечением поглощения и сечением рассеяния. Индексы

с и s- это первые буквы английских слов capture (захват) и scatteriny

(рассеивание).

Сумма этих сечений называется полным сечением

sc

Физический смысл этих сечений следующий: при столкно-

вении нейтрона с атомом вещества вероятность поглощения равна

/c , а вероятность рассеивания /s .

Длинна свободного пробега нейтрона λ (то есть длинна пу-

ти от столкновения до столкновения) - это случайная величина.

Она может принимать любые положительные значения с экспонен-

циальной плотностью распределения вероятностей

а

б

h x

в

58

p(x)= xe

Средняя длинна свободного пробега (математическое ожи-

дание) []

M[λ]=1/

а формула для λ: λ= ln1

γ

Остается выяснить как выбирать случайное направление

нейтрона после рассеивания. Так как задача симметрична относи-

тельно оси х, то направление вполне определяется одним углом φ

между направлением скорости нейтрона и осью х. Как показано в [

] требование равной вероятности любого направления равносильно

требованию, что бы косинус этого угла μ=cos(φ) был равномерно

распределен в интервале (-1,+1), а формула для разыгрывания мо-

жет быть получена, используя преобразования, полученные в [ ]

μ=2γ-1,

которая и применяется для определения угла φ.

Перейдем непосредственно к построению схемы моделиро-

вания. Обозначим абсциссы двух последовательных столкновений

нейтрона с атомами через хk и xk-1 разыграем длину свободного

пробега k-го столкновения по формуле:

λk= -(1/ )ln γ

и вычислим абсциссу следующего столкновения

хk+1=xk+λk*μk,

где μk=cos (φk) – направление движения нейтрона после k-го

столкновения. Далее проверим условие прохождения нейтрона

сквозь пластину

хk+1>h

При удовлетворении этого условия расчёт траектории за-

канчивается и добавляется единица к счётчику прошедших частиц.

Если это условие не выполняется, то следует разыграть k+1 столк-

новений. Для этого выбираем очередное значение γ и проверяем

условие поглощения:

γ< p

59

при этом расчёт траектории прекращается и добавляется

единица к счётчику поглощённых частиц. В противном случае

электрон испытал рассеяния в точке хk+1 и разыгрывается новое

направление скорости движения нейтрона по формуле:

μk+1=2γ-1

по существу для k-го шага требуется три значения γ. На-

чальные значения всех траекторий можно выбрать следующие

х0=0 μ0=1

В результате N кратного расчёта траектории определяются

числа нейтронов N+

прошедших сквозь пластинку, N—

отразившихся от неё, N0- поглощенных веществом пластинку. Со-

ответственно вероятности определяются по формулам:

P+≈

N

N

P-≈

N

N

P0=

N

N 0

Блок схема программы представлена на рисунке 3.3, где j-

номер траектории (j=1,…,N),k- номер столкновения. На блок схеме

при проверке различных условий имеются два выхода обозначен-

ные 1, если условия выполняются и 0, если условия не выполняют-

ся

60

В приведенных примерах метод Монте-Карло применяется в зада-

чах самой разной направленности, однако во всех этих задачах

можно выделить общие характерные черты моделирования, единые

Ввод данных

j=1

K=0, x=0, μ=1

λk= - lg1

γ

xk+1=xk+λkμk

xk+1>h

1

стнов NN

xk+1<0

γ< /c

N-нов=N

-ст+1

N0

нов=N0

ст+1

μk+1=2γ-1

jнов=jст+1

jнов≤N

Kнов=Kст+1

Вычисление р+, р

-, р

0

0

1

0

1

Выдача результата

1

0

Рисунок 3.3.

61

для любого приложения, связанного с имитационным моделирова-

нием.

Общая структура моделирования методом Монте-Карло

чрезвычайно проста и может быть представлена в виде следующих

схем блоков (рис. 3.4.)

Рис 3.4 Блок схема алгоритма метода Монте-Карло

1

2

Сч 1

7

6

4

3

Сч 2

5

стоп

печать

62

Блок 1-ввод исходных данных - номинальных значений

внутренних и внешних параметров, дисперсии случайных величин

(законов распределений) числа испытаний.

Блок 2-генератор случайных (псевдослучайных, квазислу-

чайных) чисел.

Сч1-счётчик, определяющий количество случайных пара-

метров, необходимых при моделировании.

Блок 3-расчёт стационарной модели конкретного приложе-

ния (аналитика, системы линейных дифференциальных уравнений,

уравнения в частных производных и т.п.)

Блок 4- блок текущего построения гистограммы (статисти-

ческого распределения)\

Сч2- счётчик общего количества испытаний (задаваемого в

блоке 1).

Блок 5- блок сравнения, насколько удовлетворительно зна-

ние общего количества испытаний с точки зрения точности полу-

чаемых результатов, а так же насколько удовлетворительны задан-

ные требования к внутренним и внешним параметрам системы.

Блок 6-определение параметров, для которых заданные

требования к допустимым отклонениям их от номинальных значе-

ний нуждаются в коррекции.

Блок 7 формирует команду на изменение входных данных

(блок1)- изменение количества испытаний, изменение дисперсии

распределения параметра, обладающего наибольшим весом в дан-

ный момент и т.п.

Однако не все так просто, реализация рассмотренного алго-

ритма предполагает решение ряда вероятностно-статистических

задач.

1. Получение последовательности случайных чисел.

Успех и точность статистического моделирова-

ния зависят в основном от двух факторов: качест-

ва последовательности случайных чисел и выбора

оптимального алгоритма моделирования.

Исходным материалом для формирования случайных последова-

тельностей чисел с различными законами распределения служат

случайные числа хi, имеющие равномерное распределение в интер-

вале [0,1]. Таким образом, задача получения случайных чисел

обычно разбивается на две. Вначале получают последовательность

63

случайных чисел, имеющих равномерное распределение. Затем

одним из способов преобразования получают из последовательно-

сти равномерно распределенных чисел последовательность с нуж-

ным распределением.

Другими словами, случайные числа xi, как возможные зна-

чения случайной величины ζ, имеющей равномерное распределе-

ние в интервале [0,1] могут быть преобразованы в возможные зна-

чения yi случайной величины η, закон распределения которой тре-

буется.

Существуют два основных пути такого преобразования

случайных чисел. Один из них может быть назван прямым. Он со-

стоит в реализации некоторой операции над числом xi, формирую-

щей число yi, имеющий требуемый закон распределения. Другой

основывается на моделировании условий, соответствующей пре-

дельной теоремы теории вероятностей.

Рассмотрим сущность первого пути. Идея построения инте-

ресующей нас операции вытекает из следующей теоремы теории

вероятностей [*]: Если случайная величина η имеет плотность рас-

пределения ƒ(y), то распределение случайной величины

ζ=

0

ƒ(y)dy

является равномерным в интервале [0,1].

На основании этой теоремы можно придти к следующему

правилу. Что бы получить число, принадлежащее совокупности

случайных чисел yi, имеющей функцию плотности распределения

ƒ(y) необходимо разрешить относительно yi уравнение

iy

ƒ(y)dy=xi

Варианты реализации этого уравнения представлены в [**].

Геометрическая интерпретация преобразования и графиче-

ский способ получения случайных чисел с любым законом распре-

деления можно пояснить следующим образом.

На рис 3.4.5 F(x) необходимая нам интегральная функция

распределения случайной величины X. Если y является функцией

X, тоесть y=F(X), то 0≤y≤1. Поэтому для получения последова-

тельности случайных чисел, имеющих данную (интегральную)

64

функцию распределения F(X) необходимо каждое число y с выхода

датчика случайных чисел, который формирует числа с равномер-

ным законом распределения в интервале [0,1] подать на нелиней-

ное устройство (аналоговое или цифровое), в котором реализуется

функция, обратная F(x), т.е.

x=F1(y)

Реализуемая таким образом величина x , будет иметь функ-

цию распределения F(x). Эта процедура может быть использована

для графического способа получения случайных величин.

Так, для получения случайной величины x (рис 3.5.) берется

число y из последовательности равномерного распределения в ин-

тервале [0,1], которое откладывается на оси y, а на оси x считыва-

ется соответствующее число x0. Повторив неоднократно эту проце-

дуру получим набор случайных чисел, имеющих закон распределе-

ния F(x)

Таким образом, получение случайных чисел различных

распределений связанно с необходимостью получения случайных

равномерно распределенных чисел в интервале [0,1]. Без преувели-

чения можно сказать, что наличие простых и экономных способов

образования последовательности случайных чисел в интервале

[0,1] во многом определяет возможность практического использо-

вания метода Монте-Карло.

x

y

0

x0

y0

1

Рис 3.5

65

Напомним основные свойства равномерного распределе-

ния. Непрерывная случайная величина η имеет равномерные рас-

пределения в интервале [a,b], если её функция плотности равна

ƒ(y)=

0

1

ab при a≤y≤b (3.4.1)

Функция распределения случайной величины η

имеет вид

F(y)=

by

byaab

ay

ay

,1

,

,0

(3.4.2)

Математическое ожидание M[η] и среднее квадратичное

отклонение ση соответственно равны

M[η]=2

ba , ση=

32

ab (3.4.3)

В частном случае равномерного распределения в отрезке

[0,1] случайная величина η* имеет функцию плотности

ƒ(y)=

0

1

Функцию распределения

Вне этого интервала

При 0≤y≤1

Вне этого интервала

66

F(y)=

1

0

y (3.4.4)

а математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение

соответственно равны

M[η*]=

2

1, σ

*η=

32

1 (3.4.5)

Получение последовательности случайных чисел, равномер-

но распределенных в интервале [0,1].

Исторически сложилось два способа получения случайных

чисел, равномерно распределенных в интервале [0,1].

1. Таблица случайных чисел, которая практически

вышла из употребления в настоящее время.

2. Датчики случайных чисел, которые в свою оче-

редь подразделяются на:

a) Датчики, использующие физический способ ге-

нерирования (датчики истинно случайных чи-

сел);

b) Датчики, использующие алгоритмический спо-

соб получения, датчики так называемых псевдо-

случайных чисел.

При физическом способе получения случайных чисел один

из методов состоит в формировании для компьютера дискретной

случайной величины, которая может принимать только два значе-

ния 0 или 1 с вероятностями

P(zi=0)=1/2

P(zi=1)=1/2

Далее если рассмотреть бесконечную последовательность

z1,z2,z3…. как значения числа ζ* вида

ζ* =z1*2

1+z2*2

2+………+zn*2

n+…….,

,y<0

,0≤y≤1

,y>1

67

то можно доказать, что случайная величина ζ* заключённая в ин-

тервале [0,1] имеет равномерный закон распределения [*]. Отсюда

вытекает способ формирования равномерно распределенной слу-

чайной величины. Нужно взять бесконечную последовательность

независимых случайных величин zi и считать их двоичными знака-

ми некоторого числа ζ.

Строго говоря, на цифровой вычислительной машине полу-

чить последовательность возможных значений физической величи-

ны с равномерным распределением не представляется возможным

в силу ограниченного количества двоичных разрядов машинного

слова или, другими словами, членов ряда числа ζ*.

Предположим, что в выбранном нами компьютере числа

представляются k двоичными разрядами. Тогда количество несов-

падающих между собой чисел, каждое из которых можно записать

в k разрядную ячейку компьютера, равно 2k

. Поэтому приходится

вместо непрерывной совокупности случайных чисел с равномер-

ным распределением в качестве исходной использовать дискрет-

ную совокупность 2k

чисел с одинаковыми вероятностями появле-

ния любого из них.

Такое распределение иногда называют квазиравномерным,

а генераторы, использующие физические способы генерирования,

называют генераторами истинно случайных чисел. Однако следует

отметить, что расхождения в параметрах распределений (равно-

мерного и квазиравномерного) даже на 16ти

разрядной сетке срав-

нительно небольшое.

Если учесть, что оценить две основные характеристики

равномерного распределения математического ожидания (M) и

дисперсию (σ) можно используя следующее соотношение [*]:

M= )1

1(*2

1

k ,σ = k

2

11*

32

1

То можно получить следующую таблицу, в которой приво-

дятся измерения значения дисперсии квазиравномерного распреде-

ления σζ в зависимости от разрядности сетки и относительная

ошибка этого параметра (по отношению к точному значению σ)

68

K 2 3 5 10 15

σζ 0,3727 0,3274 0,2979 0,2889 0,2887

σζ/σ 1,290 1,140 1,030 1,001 1,000

То есть уже на 15-ти разрядах ошибка в оценке дисперсии

наблюдается в пятом знаке. Ошибка оценки математического ожи-

дания и того меньше.

На первых вычислительных машинах в качестве генерато-

ров истинно случайных чисел применялись специальные пристав-

ки, наиболее часто использующие либо радиоактивные источники,

в которых за равные интервалы времени регистрировалось количе-

ство испускаемых частиц (чётное z=0, нечётное z=1), либо шумы

электронных ламп (белый шум), в которых за равные промежутки

времени регистрировались превышения колебаний напряжения на

аноде над номинальных значением и так же чётные превышения

оценивались как z=0, а нечётные как z=1. В современных микро-

процессорах «привязка» производится к внутренним процессам

кристалла. Так в процессорах x86 сообщалось, что уже у МП

Pentium II появился генератор истинно случайных чисел. Основ-

ным недостатком генераторов истинно случайных чисел считается

невозможность воспроизведения одинаковых последовательностей

чисел, т.е. повторяемости одной и той же последовательности, что

бывает очень важным свойством генератора в процессе проектиро-

вания. Второй способ получения случайных последовательностей

связан с генерацией так называемых псевдослучайных чисел непо-

средственно на вычислительной машине с помощью специальных

алгоритмов.

Первый алгоритм для получения псевдослучайных чисел

был предложен Дж. Нейманом. Он назывался методом среднинно-

го квадрата. Алгоритм этого метода чрезвычайно прост. Берётся

четырехзначное число, возводится в квадрат, выбираются 4 цифры

из середины возведенного числа и эта процедура повторяется мно-

гократно. В качестве случайных чисел используются полученные

числа, умноженные на 104, т.е. получаются числа в интервале

[0,1].

69

Но этот алгоритм не оправдал себя, поскольку алгоритм

выдавал неравномерно большее число малых значений в получае-

мой последовательности.

В настоящее время разработано большое количество гене-

раторов псевдослучайных чисел. Практически во всех наиболее

распространённых языках программирования наряду с библиоте-

ками элементарных функций включаются генераторы псевдослу-

чайных чисел.

Однако, наряду с очевидными достоинствами этих генера-

торов - возможность многократного воспроизведения одних и тех

же последовательностей чисел, простота алгоритмов и способа их

реализации, основным, и весьма серьёзным недостатком такого

способа получения случайных чисел является ограниченность «за-

паса» псевдослучайных чисел. Имеется в виду повторяемость или

цикличность (периодичность) в последовательности случайных

чисел, которая наступает значительно раньше, чем генераторы ис-

тинно случайных чисел заполняет разрядную сетку компьютера.

Точные, аналитические методы оценки периодичности, как прави-

ло, отсутствуют, тем более что большинство генераторов исполь-

зуют эвристические алгоритмы. В связи с этим большое значение

приобретают методы экспериментальной проверки качества этих

алгоритмов. Хотя проверять качество генераторов истинно случай-

ных чисел так же целесообразно из-за возможных сбоев в аппара-

туре. Этот вопрос будет рассмотрен в дальнейшем. Предваритель-

но необходимо коснуться методов статистической обработки полу-

чаемых случайных последовательностей, которая предваряет про-

верку их качества.

Понятие статистического ряда и гистограммы.

Наиболее полное представление о последовательности слу-

чайных чисел дают их плотности распределения. Описание стати-

стических последовательностей представляется статистическим

рядом, а графически в виде гистограммы.

Предположим, что в нашем распоряжении результаты гене-

рации случайной величины X. Разделим весь диапазон наблюдае-

мых значений X на интервалы (или разряды) и подсчитаем количе-

ство значений mi, приходящее на каждый интервал (разряд). Это

число разделим на общее число генерируемых чисел n и найдем

частоту (вероятность) соответствующему данному разряду:

70

Pi*=

n

mi

Сумма частот должна быть равна единице, а их последова-

тельность представляется в виде таблицы, называемой статистиче-

ским рядом

i X1,x2 x2,x3 …………….. xi,xi+1 …………… xk,xk+1

Pi P1 P2 Pi*

Pk*

Если случайное число попадает на границу интервала, то

можно добавлять в каждый интервал по ½.

Число разрядов, из которых следует группировать стати-

стический ряд не должно быть слишком большим (при этом прояв-

ляются незакономерные колебания), при слишком малом числе

разрядов распределения оцениваются слишком грубо.

Практика показывает, что в большинстве случаев рацио-

нально выбирать число разрядов 10-20. Размер Случайной после-

довательности (количество случайных чисел) следует подбирать

таким образом, что бы в каждый подинтервал попадало не менее 10

чисел.

Статистический ряд оформляется графически в виде так на-

зываемой гистограммы (иногда в виде спектра или полигона) рис

. По оси абсцисс откладывают разряды, а по каждому из разрядов,

как на основании строится прямоугольник, площадь которого рав-

на частоте попадания случайной величины в данный разряд. Для

построения гистограммы необходимо частоту каждого разряда раз-

делить на его длину, а полученное число взять в качестве высоты

прямоугольника. Из способа построения гистограммы следует, что

полная площадь её равна единицы.

Гистограмма является основным объектом оценки качества

генераторов случайных (или псевдослучайных) последовательно-

стей чисел, при использовании критериев согласия.

Критерии согласия

Вопрос о качестве того или иного способа генерации слу-

чайных последовательностей равномерно распределенных чисел

является общим из основных (если не основным) при проведении

статистического моделирования.

Естественно возникает вопрос: объясняются ли естествен-

ные расхождения между теоретическим распределением и полу-

71

ченной (статистической) гистограммой случайными обстоятельст-

вами, связанными с ограниченным числом испытаний или они яв-

ляются существенными и связанны с низким качеством способа

генерации. Для ответа на этот вопрос служат так называемые «кри-

терии согласия».

Идея применения критериев согласия заключается в сле-

дующем: На основании данного статистического материала нам

предстоит проверить гипотезу Н, состоящую в том, что случайная величина X подчиняется некоторому определенному закону рас-пределения. Этот закон может быть задан в той или иной фор-ме: например, в виде функции распределения F(x) или в виде плотности распределения f(х), или же в виде совокупности веро-ятностей pi, где pi — вероятность того, что величина X попадет в пределы i-го разряда.

Рис.3.3.1

Так как из этих форм функция распределения F (х) являет-ся наиболее общей и определяет собой любую другую, будем формулировать гипотезу Н, как состоящую в том, что величина X имеет функцию распределения F (х).

Для того чтобы принять или опровергнуть гипотезу H, рас-смотрим некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами; напри-мер, в качестве U можно взять сумму квадратов отклонений тео-ретических вероятностей Pi от соответствующих частот р

*

i или же сумму тех же квадратов с некоторыми коэффициентами («ве-сами»), или же максимальное отклонение статистической функции

72

распределения F*(x) от теоретической F(x) и т. д. Допустим,

что величина U выбрана тем или иным способом. Очевидно, это есть некоторая случайная величина. Закон распределения этой случайной величины зависит от закона распределения слу-чайной величины X, над которой производились опыты, и от числа опытов п. Если гипотеза Н верна, то закон распределения величины U определяется законом распределения величины X (функцией F(x)) и числом п. Допустим, что этот закон распределения нам известен. В ре-зультате данной серии опытов обнаружено, что выбранная нами мера расхождения U приняла некоторое значение и. Спрашива-ется, можно ли объяснить это случайными причинами или же это расхождение слишком велико и указывает на наличие сущест-венной разницы между теоретическим и статистическим распре-делениями и, следовательно, на непригодность гипотезы H? Для ответа на этот вопрос предположим, что гипотеза Н верна, и вычислим в этом предположении вероятность того, что за счет случайных причин, связанных с недостаточным объемом опыт-ного материала, мера расхождения U окажется не меньше, чем наблюденное нами в опыте значение и, т. е. вычислим вероят-ность события:

U u.

Если эта вероятность весьма мала, то гипотезу Н следует отвергнуть как мало правдоподобную; если же эта вероятность значительна, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н.

Возникает вопрос о том, каким же способом следует вы-бирать меру расхождения U? Оказывается, что при некоторых способах ее выбора закон распределения величины U обладает весьма простыми свойствами и при достаточно большом п прак-тически не зависит от функции F(x). Именно такими мерами расхождения и пользуются в математической статистике в качестве критериев согласия.

Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критери-ев согласия— так называемый «критерий χ

2» Пирсона.

Предположим, что произведено п независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла определен-ное значение. Результаты опытов сведены в k разрядов и оформ-лены в виде статистического ряда:

73

Ii x1;x2 x2;x3 ……. xk;xk+1

pi*

p1* p2*

……. pk*

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные

данные с гипотезой о том, что случайная величина X имеет дан-ный закон распределения (заданный функцией распределения F (х) или плотностью f (х)). Назовем этот закон распределения «теоретическим».

Зная теоретический закон распределения, можно найти тео-ретические вероятности попадания случайной величины в ка-ждый из разрядов:

p 1 ,p 2 ,p 3 ,….. ,pk .

Проверяя согласованность теоретического и статистического рас-

пределений, мы будем исходить из расхождений между теорети-

ческими вероятностями pi и наблюденными частотами p*

i . Есте-

ственно выбрать в качестве меры расхождения между теоретиче-

ским и статистическим распределениями сумму квадратов откло-

нений (pi*

pi), взятых с некоторыми «весами» сi.

2*

1

ii

k

i

i ppcU

Коэффициенты ic («веса» разрядов) вводятся потому, что в общем

случае отклонения, относящиеся к различным разрядам, нельзя

считать равноправными по значимости. Действительно, одно и то

же по абсолютной величине отклонение рi* — рi может быть мало

значительным, если сама вероятность pi велика, и очень заметным,

если она мала. Поэтому естественно «веса» ci взять обратно про-

порциональными вероятностям разрядов рi

Далее возникает вопрос о том, как выбрать коэффициент пропор-

циональности.

К. Пирсон показал, что если положить

i

ip

nc

74

то при больших п закон распределения величины U обладает весь-ма простыми свойствами: он практически не зависит от функции распределения F(x) и от числа опытов п, а зависит только от числа разрядов k, а именно, этот закон при увеличении п приближается к так называемому “распределению χ

2*).

При таком выборе коэффициентов ci мера расхождения обычно

обозначается χ2:

k

i i

ii

p

ppn

1

2*2 )(

Для удобства вычислений (чтобы не иметь дела с дробными

величинами с большим числом нулей) можно ввести п под знак

суммы

и, учитывая, что n

mp i

i *

, где mi-число значений в i-м разряде,

привести формулу (7.6.3.) к виду:

k

i i

ii

np

npmU

1

22 )(

Распределение 2 зависит от параметра r, называемого числом

”степеней свободы” r равно числу

1) * Распределением χ2 с r степенями свободы называется распределение

суммы квадратов r независимых случайных величин, каждая из которых

подчинена нормальному закону с математическим ожиданием,

равным нулю, и дисперсией, равной единице. Это распределение ха-

рактеризуется плотностью

0

)2

(2

1

)(

21

2

2

ur

r

r

eur

Гukпри u > 0 при u<0

Где Г(α)

0

1 dtet t-неизвестная гамма-функция

75

разрядов k минус число независимых условий («связей»),

наложенных на частоты *

ip .

Примерами таких условии могут 6ыть

k

i

ip1

* 1 ,

если мы требуем только того, чтобы сумма частот была

равна единице (это требование накладывается во всех случаях);

x

k

i

ii mpx 1

*~ ,

Если мы подбираем теоретическое распределение с тем ус-

ловием, чтобы совпадали теоретическое и статическое средние

значения;

x

k

i

ixi Dpmx 1

*2* )~( ,

если мы требуем, кроме того, совпадения теоретической и

статистической дисперсий и т.д.

Для распределения χ2 составлены специальные таблицы

(см. табл 4 приложения). Пользуясь этими таблицами, можно для

каждого значения χ2 и числа степеней свободы r найти вероятность

.р того, что величина, распределенная по закону χ2, превзойдет это

значение. В табл. 4 входами являются: значение вероятности р и

чисел степеней свободы r. Числа, стоящие в таблице, представляют

собой соответствующие значения χ2.

Распределение χ2 дает возможность оценить степень согла-

сованности теоретического и статистического распределений. Бу-

дем исходить из того, что величина X действительно распределена

по закону F(x). Тогда вероятность р, определенная по таблице, есть

вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхо-

ждения теоретического и статистического распределений (7.6.4)

будет не меньше, чем фактически наблюденное в данной серии

опытов значение χ2. Если эта вероятность р весьма мала (настолько

мала, что событие с такой вероятностью можно считать практиче-

ски невозможным), то результат опыта следует считать противоре-

чащим гипотезе H о том, что закон распределения величины X есть

F(x). Эту гипотезу следует отбросить как неправдоподобную. На-

76

против, если вероятность р сравнительно велика, можно признать

расхождения между теоретическим и статистическим распределе-

ниями несущественными и отнести их за счет случайных причин.

Гипотезу H о том, что величина X распределена по закону F(x),

можно считать правдоподобной или, по крайней мере, не противо-

речащей опытным данным.

Таким образом, схема применения критерия χ2 к оценке со-

гласованности теоретического и статистического распределений

сводится к следующему:

1)Определяется мера расхождения χ2 по формуле (7.6.4).

2)Определяется число степеней свободы r как число разря-

дов k минус число наложенных связей s:

r = k — s.

3)По r и χ2 с помощью табл. 4 определяется вероятность то-

го, что величина, имеющая распределение χ2 с r степенями свобо-

ды, превзойдет данное значение χ2. Если эта вероятность весьма

мала, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная. Если эта ве-

роятность относительно велика, гипотезу можно признать не про-

тиворечащей опытным данным.

Насколько мала должна быть вероятность р для того, чтобы

отбросить или пересмотреть гипотезу, — вопрос неопределенный;

он не может быть решен из математических соображений, так же

как и вопрос о том, насколько мала должна быть вероятность собы-

тия для того, чтобы считать его практически невозможным. На

практике, если р оказывается меньшим чем 0,1, рекомендуется

проверить эксперимент, если возможно — повторить его и в слу-

чае, если заметные расхождения снова появятся, пытаться искать

более подходящий для описания статистических данных закон рас-

пределения.

Следует особо отметить, что с помощью критерия χ2 (или

любого другого критерия согласия) можно только в некоторых

случаях опровергнуть выбранную гипотезу H и отбросить ее как

явно несогласную с опытными данными; если же вероятность р

велика, то этот факт сам по себе ни в коем случае не может счи-

таться доказательством справедливости гипотезы Н, а указывает

только на то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

С первого взгляда может показаться, что чем больше веро-

ятность р, тем лучше согласованность теоретического и статисти-

77

ческого распределений и тем более обоснованным следует считать

выбор функции F(x) в качестве закона распределения случайной

величины. В действительности это не так. Допустим, например,

что, оценивая согласие теоретического и статистического распре-

делений

по критерию χ2, мы получили p = 0,99. Это значит, что с ве-

роятностью 0,99 за счет чисто случайных причин при данном числе

опытов должны были получиться расхождения большие, чем на-

блюденные. Мы же получили относительно весьма малые расхож-

дения, которые слишком малы для того, чтобы признать их прав-

доподобными. Разумнее признать, что столь близкое совпадение

теоретического и статистического распределений не является слу-

чайным и может быть объяснено определенными причинами, свя-

занными с регистрацией и обработкой опытных данных (в частно-

сти, с весьма распространенной на практике «подчисткой» опыт-

ных данных, когда некоторые результаты произвольно отбрасыва-

ются или несколько изменяются).

Разумеется, все эти соображения применимы только в тех

случаях, когда количество опытов n достаточно велико (порядка

нескольких сотен) и когда имеет смысл применять сам критерий,

основанный на предельном распределении меры расхождения при

n—> . Заметим, что при пользовании критерием χ2 достаточно

большим должно быть не только общее число опытов n, но и числа

наблюдений mi в отдельных разрядах. На практике рекомендуется

иметь в каждом разряде не менее 5—10 наблюдений. Если числа

наблюдений в отдельных разрядах очень малы (порядка 1—2),

имеет смысл объединить некоторые разряды.

Кроме критерия χ2, для оценки степени согласованности

теоретического и статистического распределений на практике при-

меняется еще ряд других критериев. Из них мы вкратце остановим-

ся на критерии А. Н. Колмогорова.

В качестве меры расхождения между теоретическим и ста-

тистическим распределениями А. И. Колмогоров рассматривает

максимальное значение модуля разности между статистической

функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической

функцией распределения:

)()(*max xFxFD

78

Основанием для выбора в качестве меры расхождения ве-

личины D является простота ее вычисления. Вместе с тем она име-

ет достаточно простой закон распределения. А.Н. Колмогоров до-

казал, что какова бы ни была функция распределения F(x) непре-

рывной случайной величины X, при неограниченном возрастании

числа независимых наблюдений n вероятность неравенства

nD

стремится к пределу

k

kk ep222)1(1)(

Значение вероятности p( ), подсчитанные по формуле

(7.6.5.) приведены в таблице 7.6.1.

Таблица 7.6.1.

Λ P(

λ)

λ P(

λ)

λ P(

λ)

0

,0

1,

000

0

,7

0,

771

1

,4

0,

040

0

,1

1,

000

0

,8

0,

544

1

,5

0,

022

0

,2

1,

000

0

,9

0,

393

1

,6

0,

012

0

,3

1,

000

1

,0

0,

270

1

,7

0,

006

0

,4

0,

997

1

,1

0,

178

1

,8

0,

003

0

,5

0,

964

1

,2

0,

112

1

,9

0,

002

0

,6

0,

864

1

,3

0,

068

2

,0

0,

001

Схема применения критерия А. Н. Колмогорова следую-

щая: строятся статистическая функция распределения F* (х) и

предполагаемая

79

Рис 7.6.2.

теоретическая функция распределения F (х), и определяется

максимум D модуля разности между ними (рис. 7.6.2).

Далее, определяется величина

nD

и по таблице 7.6.1 находится вероятность P(Х). Это есть ве-

роятность того, что (если величина X действительно распределена

по закону F(x)) за счет чисто случайных причин максимальное рас-

хождение между F* (х) и F (х) будет не меньше, чем фактически

наблюденное. Если вероятность P(Х) весьма мала, гипотезу следует

отвергнуть как неправдоподобную; при сравнительно больших Р(λ)

ее можно считать совместимой с опытными данными.

Критерий А. Н. Колмогорова своей простотой выгодно от-

личается от описанного ранее критерия χ2; поэтому его весьма

охотно применяют на практике. Следует, однако, оговорить, что

этот критерий можно применять только в случае, когда гипотети-

ческое распределение F(x) полностью известно заранее из каких-

либо теоретических соображений, т. е. когда известен не только

вид функции распределения F (х), но и все входящие в нее пара-

метры. Такой случай сравнительно редко встречается на практике.

Обычно из теоретически соображений известен только общий вид

функции F (х), а входящие в нее числовые параметры определяют-

ся по данному статистическому материалу. При применении кри-

терия χ2 это обстоятельство учитывается соответствующим умень-

шением числа степеней свободы распределения χ2. Критерий А. Н.

Колмогорова такого согласования не предусматривает. Если все же

применять этот критерий в тех случаях, когда параметры теорети-

80

ческого распределения выбираются по статистическим данным,

критерий дает заведомо завышенные значения вероятности Р(λ);

поэтому мы в ряде случаев рискуем принять как правдоподобную

гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными

данными.

81

Глава 4. Математическое обеспечение САПР-решение задачи

синтеза, методы оптимизации.

Введение в проблему.

Синтез системы - выбор определенного варианта (при-

нятие решения) - основная проблема проектирования. Применение

математических методов при решении этой задачи находит всё бо-

лее широкое применение в различных областях науки и техники.

Это сравнительно молодая область математики, ориентированная

на компьютерное моделирование, требующая высокопроизводи-

тельных средств вычислительной техники. Наибольший успех и

широкое внедрение в практику получило решение этих задач в

экономике (распределение ресурсов, транспортные задачи и т.д.).

Хотя математические модели в этой области сравнительно просты,

процедуры поиска оптимальных решений и их определение отнюдь

не тривиальны и потребовали оригинальных подходов. Именно в

связи с решением подобных задач известный советский математик,

академик Конторович Л.В. был удостоен Нобелевской премии по

экономике.

Вообще применение математических методов для обоснова-

ния решений во всех областях человеческой деятельности занима-

ется раздел научных методов под общим названием исследование

операций. Это междисциплинарное направление, возникновение

которого предшествовало становлению теории систем и тесно с

ней связанно.

Изначально, исследование операций возникло в связи с зада-

чами военного характера в министерства обороны США. Предме-

том исследования является разработка методов анализа целена-

правленных действий (операций) и объективная сравнительная

оценка полученных решений.

Распространение идей исследования операций совпали с развитием

методов математического программирования, которое в отличии от

классических математических методов включают некоторые сред-

ства постановки задачи, позволяют получать область допустимых

решений и различные варианты этих решений.

Особенности исследования операций заключаются в следующем:

а) предполагается разработка нескольких вариантов решений, не-

сколько путей достижения целей, отличных от традиционных;

82

б) при выборе решения допускается учет не только ко-

личественных, но и качественных критериев, что позволяет

обеспечивать большее соответствие решаемой задачи реаль-

ной действительности и большую объективность.

Основным математическим аппаратом исследования

операций является математическое программирование. Это

раздел теории оптимизации (теории экстремальных задач),

занимающийся изучением и решением задач минимизации

(максимизации) функций нескольких переменных на под-

множестве векторного пространства векторного пространства

заданного в виде системы уравнений или системы нера-

венств.

Математическое программирование включает следую-

щие разделы:

Линейное программирование применяется для простых

линейных задач с линейными ограничениями, нашло широ-

кое применение, главным образом в экономических задачах,

методы хорошо разработаны.

Дискретное программирование – применяется для цело-

численных решений.

Динамическое программирование – применяется для

многоэтапных задач (не оптимальность на каждом этапе мо-

жет привести к оптимальности в целом).

Нелинейное программирование - для нелинейных задач

с нелинейными ограничениями. Существует несколько раз-

новидностей нелинейного программирования – квадратичное,

аппроксимируемое квадратичными функциями, выпуклое

имеющее один оптимум в рассматриваемой области (унимо-

дальное), невыпуклое – наиболее сложны многоэкстремаль-

ные задачи.

Математическая постановка задачи

83

Цель всех методов – определить оптимальное решение,

то есть решение, которое по тем или иным признакам пред-

почтительнее перед другими. Параметры, совокупность кото-

рых образуют решения, называют элементами решения.

Для представления задачи в символическом виде обо-

значим множество возможных решений с помощью вектора

Х, каждую отдельную совокупность решений через х. Для

сравнения между собой различных решений выводится коли-

чественный критерий показатель эффективности w или целе-

вая функция.

Как правило, показатель эффективности зависит от двух

факторов:

w=w(α,x)

α – заданная заранее известные факторы (детерминирован-

ные или стохастические), x-одна из совокупностей проектных решений.

Задача выбора совокупности решений формируется следующим

образом. При заданном комплексе условий α найти такое решение

x=x*, которое обращает показатель эффективности W в максимум.

W*=max{W(α,x)}

xX

W* максимальное значение W(α,x) взятое по всем решениям из

множества возможных X.

В общем виде это классическая математическая задача нахождения

максимума функции или функционала (функционалом называется

величина, зависящая от вида функции), т.е. решение x включает не

только переменные, но и функции и в этом случае W(α,x) является

функционалом. Пример из ускорительной техники - выбор функ-

ции, описывающий изменения напряженности ускоряющего поля и

фазовой скорости электромагнитной волны по длине группирова-

ния с целью обеспечения минимального фазового и энергетическо-

го разброса сгустка ускоряемых заряженных частиц и максималь-

ного набора энергии пучком.

84

Описанная задача принадлежит к классу так называемых классиче-

ских математических вариационных задач, давно разрабатываемых

математиками. Что бы найти экстремум функции, необходимо про-

дифференцировать модель по всем переменным, приравнять каж-

дое уравнение к нулю и решить полученную систему (в простей-

шем случае правило Лопиталя - дифференцируем числитель и зна-

менатель и приравниваем нулю).

Однако использование классических методов вариационного ис-

числения в ряде случаев на практике затрудненно, а иногда и не-

возможно по ряду причин:

-Когда параметров много, задача решения системы напрямую мо-

жет оказаться непростой.

-Когда на элементы решения наложены ограничения. Экстремумы

часто достигаются отнюдь не в точках нулевых производных (та-

кой точки может не быть вообще, как в линейных задачах). Опти-

мум может находится на границе. При этом возникает многомерная

вариационная задача при ограничениях, трудно реализуемая тра-

диционными методами.

- В некоторых задачах функция W вообще не имеет производных,

например для целочисленного значения аргумента.

Все эти причины делают задачу поиска отнюдь не тривиальной, а

классические методы вариационного исчисления малоэффектив-

ными. Это и привело к появлению альтернативных, чисто машин-

ных (вычислительных) методов математического программирова-

ния. Методов, основанных на использовании модели, как средства

анализа и специальных процедур выбора параметров, как средства

автоматизированного поиска решения (самый примитивный спо-

соб-сканирование - тупой перебор).

Это не строгие, а так называемые эвристические методы, основан-

ные на здравом смысле, интуиции и аналогиях.

Но несмотря на перечисленные трудности представленная задача

находится ещё в пределах возможностей вариационного исчисле-

ния.

Всё вышеперечисленное применимо в случае одного единственно-

го критерия оптимальности W, на практике большинство задач не

может быть оценено с помощью одного критерия и такие задачи

называются многокритериальными.

85

Существует несколько подходов к решению многокритериальных

задач, что говорит о том, что ни один из них не является самодос-

таточным.

Один из наиболее распространённых подходов заключается в све-

дении нескольких критериев к одному - обобщенному и минимиза-

ции этого обобщенного критерия.

Используются два варианта этого подхода:

а) Мультипликативный критерий:

m

rk

k

r

j

j yyxF11

/

б) Аддитивный критерий (взвешенный аддитивный)

m

rk

kkj

r

j

j yayaxF11

)(

Здесь предполагается, что выходные параметры упорядочены:

первые r нужно уменьшать, а остальные m-r наоборот увеличивать,

а- весовой коэффициент, учитывающий относительный вклад соот-

ветствующего параметра в общую оценку эффективности. К недос-

таткам этих критериев относится неучёт технических требований,

предъявляемых к выходным параметрам. В результате возможно

перевыполнить требования Т.З. к одной группе параметров за счёт

недовыполнения требований Т.З. к другой - низкую стоимость

нельзя компенсировать плохой работоспособностью.

2. Максиминные (минимаксные) критерии оптимизации, исклю-

чающие недостатки предыдущих критериев.

В этом случаи для каждого из критериев yj вводится (различным

образом) запас работоспособности Zi и проводится максимизация

минимального из запасов

K=max min Zi (x)

Критерий имеет ограниченное применение, поскольку оптимизация

ведется только по одному параметру.

Большую ценность для разработчика представляют результаты оп-

тимизации по статистическим критериям, в которых целевой функ-

цией является вероятность выполнения всех заданных условий ра-

ботоспособности. Однако использование этих критериев требует в

процессе оптимизации многократного выполнения статистического

анализа методом Монте-Карло, что для достаточно сложных моде-

86

лей анализа требует использования компьютеров очень высокой

производительности.

4.2 Классификация методов решения задач оптимального проек-

тирования (нелинейное программирование).

В силу указанных выше причин задачам нелинейного программи-

рования в настоящее время уделяется значительное внимание.

Предложен ряд методов, позволяющих с определенной точностью

решения для специального класса задач. Однако, по-видимому, не-

возможно создать метод, позволяющий получить точное решение

общей задачи нелинейного программирования за конечное число

шагов. Таблица 4.2.1. представляет обобщенный вариант иерархи-

ческой структуры методов нелинейного программирования. Безус-

ловно, таблица не претендует на обобщение всех существующих на

сегодняшний день методов оптимизации в классе нелинейных за-

дач. Структура таблицы включает основные компонент общей за-

дачи нелинейного программирования и наиболее характерные ме-

тоды их реализации.

Каждый уровень классификации, приведенный в таблице, соответ-

ствует этапу расчёта, либо конкретному методу, применяемому на

данном этапе. Пунктирными вертикальными линиями разделены

этапы поиска, входящие в качестве составных элементов в проце-

дуру поиска более высокого уровня.

Общая задача невыпуклого программирования (верхний уровень

классификации) наиболее сложна и предполагает множество ло-

кальных оптимумов (max, min). При этом поиск направлен на вы-

явление глобального оптимума (2й уровень). В основе всех алго-

ритмов глобального оптимума лежат получение и использование

информации о расположении локальных оптимумов. Алгоритмы

поиска глобальных оптимумов различаются по способу генерации

начальных точек. Простейшим является так называемая последова-

тельность независимых испытаний или метод сканирования (обыч-

ный переборный алгоритм). Каждое испытание состоит из вычис-

ления в некоторой допустимой точке значения критерия оптималь-

ности и его сравнение со значением, полученным в предыдущих

точках. Последовательность испытаний может быть детерминиро-

87

ванной (например, обход узлов n-мерной сетки в пространстве кон-

структивных параметров) или стохастической.

Первый подход применим, если независимых переменных немного

и невелики пределы, в которых они могут изменяться. Алгоритм

прост, но даже при небольшом числе независимых переменных

может потребовать колоссальных затрат компьютерного времени.

Существуют методы ускорения этого алгоритма, в частности путем

построения вероятностных (стохастических) методов выбора на-

чальных точек.

Следующая группа методов поиска глобального оптимума (экстре-

мума) основана на использовании априорной информации (извест-

ной до опыта) о характере критерия оптимальности. Обычно эти

методы пригодны для специального класса задач, поскольку ука-

занная информация может быть получена на основе исследования

специфики проектируемого объекта. Наибольшее распространение

получили два априорных условия (критерия): Липшица и сепара-

бельности.

1. Критерий Липшица предлагает полный перебор на неравномер-

ной сетке (при выполнении условия Липшица в области G). Если

существует такая постоянная величина C, что для любых двух век-

торов X1, X2 G выполняется следующее условие (неравенство): 2121 )()( xxCxFxF

Это условие означает, что F(X) убывает и возрастает не быстрее

линейной функции с заданным коэффициентом C. По константе C0

фиксируем шаг и вычисляем значение функции.

88

Поиск глобального оптимума

Поиск локального оптимума

Выбор

началь-

ных то-

чек

Методы

опреде-

ления

длины

шага

Методы представле-

ния математической

модели

Методы определения на-

правления движения к

оптимуму (безусловная

оптимизация)

По

след

оват

ельн

ость

исп

ыта

ни

й с

ад

апта

ци

ей

Исп

ользо

ван

ие

ап

ри

ор

но

й и

нф

ор

мац

ии

По

след

оват

ельн

ость

нез

ави

си

мы

х и

спы

тан

ий

Пар

або

ли

чес

кая а

пп

ро

кси

мац

ия

«З

оло

тое

сеч

ени

е»

Фи

бо

наи

чи

Форми-

рование

обоб-

щенного

крите-

рия оп-

тималь-

ности

Форми-

рование

возмож-

ных на-

правле-

ний (ус-

ловная

оптими-

зация)

Стохасти-

ческий

Детермини-

рованный

Бар

ьер

ны

е ф

ун

кц

ии

Штр

афн

ые

фу

нкц

ии

Мет

од

пр

оек

ци

й в

пер

емен

но

й м

етр

ике

Ли

ней

но

е ло

кальн

ое

мо

дел

ир

ован

ие

Пр

оек

ци

он

ны

й г

рад

иен

тны

й м

ето

д

«О

вр

ажн

ый

»

Оц

енки

гр

ад

иен

ты

Слу

чай

но

го п

ои

ска

(слеп

ой

по

иск

)

Пер

емен

но

й м

етр

ики

Гр

ади

ентн

ый

Пр

ям

ой

Таблица4.2.1

89

2. Если выполняется условие сепарабельности, то есть удается вы-

делить отдельные группы параметров и применить поэтапную оп-

тимизацию по отдельным группам, используя принцип динамиче-

ского программирования, то задача существенно упрощается.

Наиболее общим и в то же время достаточно эффективным подхо-

дом к поиску глобального оптимума является последовательность

испытаний с адаптацией. В отличие от обычного подхода, при

адаптивном для восполнения недостающей априорной информации

активно используется текущая информация. Адаптация в данном

случае состоит в последовательном автоматическом совершество-

ваниия процедур поиска (сокращения числа испытаний по мере

накопления информации).

На разработку глобальных методов оптимизации направлены уси-

лия многих исследователей, однако имеющиеся к настоящему вре-

мени предложения, как из-за повышенной трудоемкости, так и из-

за недостаточной надежности определения глобального оптимума

(экстремума) еще не получили распространения. Гораздо в боль-

шей степени разработаны методы поиска локальных оптимумов,

которые с одной стороны составляют основу поиска глобально, а с

другой стороны имеют самостоятельное значение в случае унимо-

дальных функций.

F(x)

h0

x1пок x2 x2 пок x

x

90

Прежде чем переходить непосредственно к изучению методов по-

иска локальных оптимумов полезно ввести некоторые определения

и геометрические представления, облегчающие рассмотрение кон-

кретных процедур поисковой оптимизации унимодальных функ-

ций.

Если оптимизация ведется без учета статистического разброса па-

раметров, то соответствующих критерий называется детерминиро-

ванным критерием, а если разброс учитывается, критерий называ-

ется стахостическим. Если при реализации детерминированных

критериев вводится вероятностная модель поиска, такой метод на-

зывается стохастическим (стохастическая аппроксимация).

При рассмотрении поисковой оптимизации может быть полезно

введение некоторых геометрических представлений для исследуе-

мых функций. Геометрическое представление функции целесооб-

разно изображать в виде линий равного уровня, которые определя-

ются уравнением F(X) = a и являются геометрическим местом то-

чек в пространстве управляемых параметров, для которых значение

функции постоянно и равно a. Функция представляется в виде на-

бора линий равного уровня в диапазоне допустимых внутренних

параметров при размерности пространства n = 2 (два исследуемых

внутренних параметра). При размерности пространства n = 3 функ-

ция представляется в виде набора поверхностей с одинаковым зна-

чением функции, которые также называются поверхностям откли-

ка. При размерности пространства n > 3 имеют место так называе-

мые гиперповерхности отклика, не имеющие геометрической ин-

терпретации. Все дальнейшие рассмотрения будут представлены на

двумерных функциях, отображаемых на плоскости.

Ход процесса оптимизации на двумерной функции, отображаемой

линиями равного уровня, представляется траекторией поиска —

последовательностью отображаемых точек Xk (исходная точка X0,

Xk— промежуточная точка) в зaдaнную ε-окрестность X*, соеди-

ненных отрезками прямых.

Как следует из таблице 4.2.1. процедура поиска локального опти-

мума включает решение трех задач:

1) Выбор представления математической модели;

2) Выбор процедуры определения направления движения к экстре-

муму;

91

3) Определение длинны шага по выбранным направлениям движе-

ния.

Начало процедуры оптимизации этого уровня предполагает реше-

ние первой задачи, которая в приведенной классификации предпо-

лагает два способа представления математической модели разраба-

тываемого объекта.

Первый способ объединяет критерий оптимальности и ограничения

в один обобщенный критерий оптимальности, то есть сводит поиск

к задаче без ограничений. При приближении к границе допустимой

области или при выходе из неё обобщенный критерий начинает

резко возраст и поиск автоматически возвращается в допустимую

область. Таким образом снимаются ограничения и становятся воз-

можны для применения методы безусловной оптимизации. В таб-

лице представлены два способа сведения задач с ограничениями к

задачам без ограничений: метод штрафных функций и метод барь-

ерных функций (в случае функциональных ограничений).

В первом случае (штрафных, нежестких ограничений) вводится

функция θk(x)=0 внутри допустимой области параметров и θk(x)>0

если не выполняется хотя бы одно ограничение и рассматривается

как наложение штрафа.

Обобщенный критерий оптимальности имеет вид

( x )=W( x )+θk( x )

Где 2

1

)(,0max

m

i

kk xrx -как правило набор дельта функ-

ций

(rk>0-штрафной параметр, индекс k=1,2,… последовательные зна-

чения штрафного параметра соответствующие номеру задачи)

Иногда метод штрафных функций называют методом внешней

точки, так как поиск может находиться вне допустимой области.

В методе барьерных функций (или методе внутренней точки) поиск

может осуществляться только в пределах границ и создается как бы

барьер через который функции перейти не сможет:

92

m

i

ik xrxWx1

))(/1()()( По мере приближения к границе

области, какой-либо из элементов )(xi вектора ограничений

стремиться к ”0”, а функция

m

i

ikk xr1

))(/1( неограниченно

возрастает.

Наиболее наглядно этот метод можно продемонстрировать для

случая простых (прямых, не функциональных) ограничений. До-

пустим, что на управляющие параметры (аргументы) положены

ограничения bua i . Введем новую переменную

ab

abutgx i

i

2/)( , которая (как не сложно убедиться) при

приближении iU к границам a или b устремляется к бесконечности

и возвращает параметры в область допустимых значений.

Второй подход при выборе математической модели в процедурах

оптимизации и учёта ограничений основан на разделении этапов

определения убывания (увеличения) критерия оптимизации и кор-

рекции параметров процедуры в соответствии с ограничивающими

условиями на допустимую область поиска. Группа этих методов

(условная оптимизация) перечислена в таблице как методы воз-

можных направлений.

Следующие две задачи, которые необходимо решить для миними-

зации (или максимизации) целевой функции - это выбор направле-

ния движения к искомой точке и выбор шага, с которым необходи-

мо двигаться. Хотя по логике следовало бы начать с изучения ме-

тодов выбора направления движения, а затем уже выбирать каким

образом шагать в этих направлениях, мы начнем с последнего, че-

му есть ряд объяснений.

Во-первых, для одномерных задач выбор шага полностью опреде-

ляет процедуру оптимизации. Во-вторых, некоторые методы выбо-

ра шага являются составной частью многомерных задач оптимиза-

ции (т.е. являются основным алгоритмом оптимизации), что будет

рассмотрено в дальнейшем.

93

4.3. Методы одномерного поиска

Простейшим алгоритмом выбора шага является монотонное изме-

нение параметра x с заданным шагом h в сторону убывания крите-

рия оптимальности:

Т.е. khxxk 0 ,k=1,2……после того как F( x ) начинает возрас-

тать для некоторого 0k производится смена направления движения

в обратном направлении с одновременным уменьшением шага

вдвое:

212 00

hxx kk и т.д.

ii

p

i

i

k

hkxx

k

2)1(

1

00

Иногда этот метод называется методом дихотомии. Алгоритм

прост, но требует большого числа итераций в тех случаях, когда

начальная точка находится далеко от экстремума, а так же при по-

логой функции критерия оптимальности.

Гораздо более эффективны методы, при которых производится

рассмотрение всего диапазона поиска и двухстороннее его суже-

ние.

Поиск экстремума можно сравнить с поиском в озере самого глу-

бокого места. При каждом замере лотом получается новая инфор-

мация. Если в последующем замере глубина

Рис 4.3.1Интервал неопределенности

94

оказалась больше, чем в предыдущем, то полученная информация

полезна. Напротив, если в последующем замере получена меньшая

глубина, чем в предыдущем, то результат не дает полезной инфор-

мации и затраченные на его получение усилия были напрасными.

Разрабатывая методы поиска, стремятся найти экстремум как мож-

но быстрей, сделав как можно меньше бесполезных попыток.

Рис 4.3.2. Сужение интервала неопределенности путем вычисления

двух значений целевой функции

Задачу одномерной оптимизации можно поставить следующим

образом. Значения проектного параметра х должны быть заключе-

ны в интервале а х b. Приступая к решению задачи, мы ничего

не знаем о целевой функции, кроме того, что она унимодальная.

Интервал значений х, в котором заключен оптимум, будем назы-

вать «интервалом неопределенности». В начале процесса оптими-

зации этот интервал имеет длину b-а (рис. 4.3.1). Вычислив значе-

ния целевой функции М1 и М2 при значениях х1 и x2 в указанном

интервале, сузим интервал неопределенности (рис. 4.3.2). Сущест-

вует несколько способов систематического сужения интервала,

которые излагаются ниже.

Общий поиск

Очевидно, наиболее естественным способом сужения интервала

неопределенности для одномерной унимодальной функции являет-

ся деление его на несколько равных частей с последующим вычис-

Суженный

интервал

неопределен-

ности

Проектный

параметр

a x1 x2 b

Цел

евая

фу

нкц

ия

95

лением значений целевой функции в узлах полученной сетки (рис.

4.3.3). В результате интервал неопределенности сужается до двух

шагов сетки. Обычно говорят о дроблении интервала неопределен-

ности, которое характеризуется коэффициентом ƒ. Разделив интер-

вал неопределенности на N частей, получим N+1 узел, и тогда

1

2

Nf

Чтобы получить значение ƒ=0,01, потребуется вычислить целевую

функцию в 199 точках, а при ƒ=0,001 N=1999. Ясно, что эффектив-

ность этого метода при уменьшении интервала неопределенности

быстро падает. Сам собой напрашивается другой путь: чтобы

получить ƒ=0,01, вычислить

сначала функцию в 19 точках и получить ƒ=0,1, а затем, вычислив

еще 19 значений функции на сокращенном интервале неопределен-

ности, получить ƒ=0,01, сделав при этом всего 38, а не 199 вычис-

лений. Таким образом, при некоторой изобретательности эффек-

тивность поиска можно резко повысить.

Проектный

параметр

Цел

евая

фу

нкц

ия

a x1 x2 x3 x4 x5 b

96

Деление интервала пополам

Пользуясь тем же приемом, но вычисляя значения функции в по-

динтервалах неодинаковое число раз, можно дополнительно повы-

сить эффективность поиска. Вычисляя N значений функции на i

последовательно сужаемых интервалах, получим для коэф-

фициента дробления интервала неопределенности i

Nf

1

2

При таком методе поиска целевую функцию приходится вычис-

лять J раз, причем J = Ni. Весьма заманчиво найти оптимальное

значение N, при котором J при заданном ƒ минимально.

Рис. 4.3.4. Определение оптимального числа вычислений целевой

функции при применении метода деления интервала пополам.

С помощью соотношении i=J/N и выражения для интервала неоп-

ределенности можно найти J:

)2

1ln(

)/1ln(

N

fNJ

5,0

)1

ln(f

J

4,0

1 2 3 4 5 6

Число вычислений N

97

Рис. 6.9. Первый шаг при применении метода деления интервала

пополам.

Если нанести значения

f

J

1ln

на график (рис. 4.3.4), оказывается,

что минимум расположен где-то вблизи N=З. При этом на каждом

интервале f=0,5. Поскольку интервал неопределенности делится

каждый раз надвое, то метод и получил название метода деления

интервала пополам. На рис. 4.3.6. показано, как три первых вычис-

ленных значения функции позволяют сузить интервал неопреде-

ленности вдвое. Замечаем далее, что значение целевой функции в

середине нового интервала уже известно. Поэтому для завершения

поиска на следующем этапе потребуется вычислить только два

(вместо трех) значения целевой функции. Это преимущество рас-

сматриваемого метода сохраняется и в дальнейшем. В общем слу-

чае коэффициент дробления интервала неопределенности при N 3

составляет

2

1

2

1

N

f

Метод дихотомии

Выше предполагалось, что значения целевой функции вы-

числяются при постоянном приращении проектного параметра. Ес-

Проектный

параметр

Цел

евая

фу

нкц

ия

1 2 3

98

ли снять это ограничение, то эффективность поиска можно по-

высить. Как уже отмечалось, вычисление целевой функции в двух

точках

интервала неопределенности позволяет его сузить. Можно таким

образом выбрать эти точки, что интервал неопределенности будет

минимальным. На рис. 4.3.6. показаны обозначения, используемые

в этой схеме. Если значение целевой функции при х1 больше, чем

при х2, то новый интервал неопределенности равен Z1=z1+z2. В про-

тивном случае он определяется выражением Z2=z2+z3. Задача со-

стоит в том, чтобы одновременно минимизировать Z1 и Z2, удовле-

творив условиям

z1+z2+z3=Z,

z1>0,z2>0,z3>0

Из равенства можно исключить z2. Тогда

Z-z3=min, Z-z1=min

Так как величина Z задана, то правые части этих уравнений будут

тем меньше, чем больше z1 и z3. Следовательно, оптимум со-

ответствует условию

z1=z3=0,5Z

Но тогда z2=0, что противоречит условию z2>0

Пусть z2 имеет некоторое очень малое значение ε. Тогда из z1 и z3

вычтем по ε/2. В результате, после вычисления первой пары значе-

ний целевой функции при близких

Проектный

параметр

Цел

евая

фу

нкц

ия

z1 z2 z3

a x1 x2 b

99

Рис. 4.3.7. Метод дихотомии.

значениях х интервал неопределенности сузится, как показано на

рис.4.3.7, и коэффициент дробления будет равен

22

1 f

В пределе, при ε→0, f→1/2. В дальнейшем при использовании ме-

тода дихотомии выполняются те же операции, что и при ис-

пользовании метода деления интервала пополам. Отметим, однако,

что для достижения одинаковых сужений интервала неопределен-

ности метод дихотомии требует вычисления целевой функции в

точках на одну меньше.

Метод золотого сечения

Из каждых трех значений целевой функции, вычисленных в интер-

вале неопределенности, в дальнейшем используются только два, а

третье не дает дополнительной информации и в дальнейшем не ис-

пользуется. В методе золотого сечения целевая функция вычисля-

ется в точках интервала неопределенности, расположенных таким

образом, чтобы каждое вычисленное значение целевой функции

давало новую полезную информацию.

Цел

евая

фу

нкц

ия

Проектный

параметр

ε

100

Рис. 4.3.8. Обозначения, используемые в методе золотого сечения

Сущность этого метода состоит в следующем. Интервал неопре-

деленности делится на две неравные части так, что отношение дли-

ны большого отрезка к длине всего интервала равно отношению

длины меньшего отрезка к длине большего отрезка. На рис.4.3.8

показан интервал неопределенности Z, состоящий из отрезков z1 и

z2,. отношение длин которых определяется правилом золотого се-

чения

1

21

z

z

Z

z

Кроме того, z1+z3=Z. Из первого уравнения следует z2

1 =Zz2, Под-

ставляя сюда значение Z из второго уравнения и деля обе части на

z2

1 , получаем

011

2

2

1

2

z

z

z

z

Решая это квадратное уравнение, находим для положительного

корня значение

Цел

евая

фу

нкц

ия

Проектный

параметр

Z

z1 z2

x a b

101

618,02

51

1

2

z

z

На рис. 4.3.9 показано деление интервала неопределенности в

этом отношении и нанесены соответствующие значения целевой

функции, которые позволяют уменьшить интервал неопределен-

ности в 1/0,618 раза. На этой стадии еще не видны преимущества

метода золотого сечения по сравнению с методом дихотомии, од-

нако они явно проявляются при дальнейшем делении интервала,

так как оказывается, что одно из значений целевой функции, кото-

рое требуется вычислить на следующем шаге, уже известно.

Рис. 4.3.9. Метод золотого сечения

Поэтому, чтобы уменьшить неопределенность еще в 1/0,618 раза,

потребуется дополнительно вычислить только одно значение це-

левой функции в точке, определяемой правилом золотого сечения.

При n>2 эффективность метода золотого сечения выше, чем у ме-

тода дихотомии, так как при каждом последующем вычислении

целевой функции интервал неопределенности сокращается в

1/0,618 раза. После вычисления N значений целевой функции ко-

эффициент дробления интервала неопределенности составляет 1618,0 Nf

Цел

евая

фу

нкц

ия

Проектный

параметр

0,618 0,382

0,382 0,618

Новый интервал

неопределенности

102

Метод золотого сечения позволяет подметить интересную законо-

мерность: наибольшее сокращение последующих интервалов неоп-

ределенности достигается при вычислении целевой функции в точ-

ках, равноудаленных от его центра. Если поступать таким образом

и каждый раз, вычисляя целевую функцию, сокращать интервал

неопределенности, то будут справедливы следующие соотношения:

Z 2J = JJ ZZ 1 , 1<J<N

где ZJ— длина интервала неопределенности после вычиcления J-го

значения целевой функции. Отметим, что

золотого сечения существуют и другие методы поиска, основанные

на вычислении целевой функции в точках, расположенных симмет-

рично относительно центра интервала неопределенности. Для этих

точек справедливы те же соотношения.

Метод Фибоначчи

Хотя метод золотого сечения и обладает высокой эффективностью,

ясно, что он не является оптимальным при заданном числе вычис-

лений целевой функции. Если конструктору заранее известно, что

он сможет использовать лишь два значения целевой функции, то

он, конечно, предпочтет метод дихотомии, который позволяет

уменьшить интервал неопределенности сразу вдвое, а не в 1/0,618

раза, как метод золотого сечения. Если есть возможность в процес-

се поиска оптимума изменять расположение точек, в которых вы-

числяются значения целевой функции, то можно соединить пре-

имущества симметричного расположения точек, о которых гово-

рилось выше, с преимуществами метода дихотомии и построить

оптимальный алгоритм поиска. Пусть Zn — длина интервала не-

определенности после N-го шага. Условие симметрии имеет вид

ZJ-2=ZJ-1+ZJ, 1<J<N

а условие вычисления последнего значения целевой функции на

полученном методом дихотомии интервале δ записывается в виде

ZN-1=2ZN-ε

Из этих двух соотношений, возвращаясь назад, можно найти тре-

буемую величину любого промежуточного интервала неопре-

деленности и тем самым найти точки, в которых вычисляется це-

левая функция. Например,

ZN-3=ZN-2+ZN-1=(ZN-1+ZN)+ZN-1=5ZN-2ε

103

и ZN-4=8ZN-3ε,

Общее выражение для произвольного интервала неопределенности

имеет вид

ZN-K=FK+1ZN-FK-1ε

где коэффициенты FJ называются числами Фибоначчи и опреде-

ляются следующим образом:

F0=1, F1=l, Fk=Fk-1+Fk-2 при K = 2,3,…..

В табл. 6.1 приведены некоторые числа Фибоначчи. В общем слу-

чае величину последнего интервала неопределенности можно

выразить в виде

N

N

N

NF

F

FZ 21

В пределе при ε→0 нижняя граница определяется величиной наи-

меньшего интервала неопределенности, которую можно получить

при заданном числе вычислений целевой функции.

Таблица 6.1

Числа Фибоначчи

k Fk

0 1

1 1

2 2

3 3

4 5

5 8

6 13

7 21

8 34

9 55

10 89

11 144

12 233

13 377

14 610

15 987

16 1597

104

17 2584

18 4181

19 6765

20 10946

Применяя метод Фибоначчи, прежде всего решают, сколько значе-

ний целевой функции N может быть использовано. Затем, зная ве-

личину интервала неопределенности, выбирают распределение

этих значений N в нем. Так как Z1= Z0=1, то сначала вычисляют

целевую функцию в точках, расположенных на расстояниях Z2 от

противоположных концов исходного интервала. В этом случае

Z2= N

N

N

N

FF

F )1(1

где ε — наименьшее приращение х, при котором значения целевой

функции отличны друг от друга. На следующем шаге выбирают

величину смещений Z3 относительно Z2. В дальнейшем сохраняют

подходящее значение интервала и повторяют процесс до тех пор,

пока не будет вычислено N-е значение целевой функции.

Сравнение методов поиска по значениям коэффициента дробления

интервала неопределенности f1

Число вы-

числений

целевой

функции

Об-

щий

поиск

Деление

интерва-

ла попо-

лам

Метод

дихото-

мии

Метод

золото-

го се-

чения

Метод

Фибонач-

чи

1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0

2 0,667 - 0,500 0,618 0,500

3 0,500 0,500 - 0,382 0,333

4 0,400 - 0,250 0,236 0,200

5 0,333 0,250 - 0,146 0,125

6 0,286 - 0,125 0,090 0,077

7 0,250 0,125 - 0,056 0,048

8 0,222 - 0,0625 0,0345 0,0294

9 0,200 0,0625 - 0,0213 0,0182

10 0,182 - 0,0312 0,0132 0,0112

11 0,167 0,0312 - 0,00813 0,00694

12 0,154 - 0,0156 0,00502 0,00429

105

13 0,143 0,0156 - 0,00311 0,00256

14 0,133 - 0,00781 0,00192 0,00164

15 0,125 0,00781 - 0,00119 0,00101

16 0,118 - 0,00391 0,00073

3

0,000626

17 0,111 0,00391 - 0,00045

3

0,000387

18 0,105 - 0,00195 0,00028

0

0,000239

19 0,100 0,00195 - 0,00017

3

0,000148

20 0,095 - 0,000976 0,00010

7

0,0000913

4.4 Методы многомерного поиска

По традиции методы оптимизации в многомерном пространстве

можно разделить на регулярные и стохастические. В свою очередь

регулярные методы подразделяются на две большие группы- пря-

мые и косвенные. Прямые методы основаны на сравнении вычис-

ляемых значений целевой функции в различных точках, а косвен-

ные на использовании необходимых и достаточных условий мате-

матического определения максимума и минимума функций. Стра-

тегия прямых методов-постепенное приближение к оптимуму; при

использовании косвенных методов стремятся найти решение не

исследуя неоптимальные точки.

Метод покоординатного подъема

Логическим развитием рассмотренной выше методики одно-

мерного поиска было бы последовательное изменение каждого

проектного параметра до тех пор, пока не будет достигнут макси-

мум целевой функции. По завершении этой процедуры для всех

переменных можно вернуться к первой и посмотреть, нельзя ли

еще более усовершенствовать решение. Этот метод, называемый

методом покоординатного подъема, не всегда позволяет найти оп-

тимальное решение. На рис4.4.1,а показана двумерная целевая

функция, подходящая для решения задачи этим методом. Ее осо-

бенность состоит в том, что линии уровня близки по форме к ок-

ружностям или эллипсам, оси которых параллельны осям коорди-

нат. Если же эти оси наклонены к осям координат (рис.4.4.1, б), то

106

эффективность алгоритма снижается, так как для нахождения оп-

тимума приходится вычислять гораздо больше значений целевой

функции. Метод покоординатного подъема совершенно неприме-

ним, если линии уровня имеют точки излома (puc. 4.4.1.). Посколь-

ку линии уровня такого типа весьма часто встречаются в инженер-

ной практике, то прежде, чем воспользоваться указанным методом,

следует убедиться, что решаемая задача не имеет подобного недос-

татка. Несмотря на это, метод покоординатного подъема часто ис-

пользуют на первой стадии решения задачи, применяя затем более

сложные методы. К достоинствам метода покоординатного подъе-

ма следует отнести возможность использования простых алгорит-

мов одномерного поиска, таких, как метод золотого сечения.

107

Рис. 4.4.1. метод покоординатного подъема

Метод исключения областей

Зная из главы 4.3, насколько эффективно методы одномерного по-

иска позволяют сокращать интервал неопределенности (одномер-

ный или двумерный), можно попытаться применить ту же методи-

ку и к многомерному пространству. Один из наиболее очевидных

методов исключения областей называется методом касатель-

ной к линии уровня, так как в нем используются касательные к ли-

ниям уровня целевой функции.

Рис. 4.4.2. Метод исключения областей (касательной к ли-

нии уровня) в случае выпуклых линий уровня.

108

Продемонстрируем этот метод на примере двумерной целевой

функции, линии уровня которой показаны на рисх4.4.2. Пусть

произвольно выбранная точка пространства проектирования ле-

жит на линии уровня, проходящей несколько ниже пика, соот-

ветствующего оптимальному решению. Проведем через эту точку

касательную к линии уровня. Сделать это нетрудно, так как каса-

тельная должна лежать в плоскости линии уровня и быть перпен-

дикулярной локальному градиенту поверхности целевой функции.

Если целевая функция достаточно гладкая и унимодальная, то ка-

сательная к линии уровня разделит пространство проектирования

на две части, в одной из которых вероятность нахождения оптиму-

ма велика, а в другой мала. Пользуясь этим приемом в нескольких

удачно выбранных точках, для которых известны значения целевой

функции, можно существенно сузить область поиска. Однако

осуществление этого алгоритма связано с некоторыми трудностя-

ми. Если линии уровня вогнутые, а не выпуклые, то может оказать-

ся исключенной область, содержащая экстремум (рис. 4.4.3). Кроме

того, оставшаяся после нескольких исключений область неопреде-

ленности может иметь конфигурацию, мало пригодную для приме-

нения других алгоритмов.

Одним из методов исключения является метод сеточного поиска,

разработанный Мишке и дающий неплохие результаты. В этом случае

суженная область неопределенности представляет собой гиперкуб -

многомерный аналог квадрата или куба,- размеры которого можно оп-

ределить заранее. Благодаря этому метод Мишке является одним из

немногих методов многомерного поиска, эффективность которого

поддается измерению. Чтобы лучше понять сущность этого мето-

да, рассмотрим его

109

Рис.4.4.3 Метод исключения областей (касательной к линиям уров-

ня) в случае вогнутых линий уровня.

для случая пространства проектирования, определяемого двумя

переменными. Исходную область неопределенности в зависимо-

сти от размерности пространства отобразим на единичный квад-

рат, куб или гиперкуб. Это позволит вести поиск в нормирован-

ной области со стороной, равной единице. В гиперкубе постро-

им сетку, образованную попарно симметричными взаимно ортого-

нальными плоскостями, параллельными координатным направ-

лениям, вдоль которых изменяются проектные параметры. Эти

плоскости пересекаются по прямым, которые в свою очередь пе-

ресекаются в точках, называемых в дальнейшем узлами (рис.

4.4.4.). Вычислим значения целевой функции в узлах и в центре

куба. В случае М проектных параметров получим 2М+1

значений це-

левой функции, из которых выберем наибольшее. Примем соот-

ветствующий узел за центр гиперкуба меньших размеров и про-

должим исследование. Процесс продолжается до тех пор, пока не

будет достигнута требуемая степень сужения интервала неопре-

деленности. Если в области допустимых значений обозначить сте-

пень сужения вдоль какой-либо оси координат через r, то линей-

ное сужение для b-мерного гиперкуба будет равно f=rb, а число вы-

численных значений целевой функции

N=b(2M

)+1

Мишке рекомендует выбирать r в интервале значений 2/3<r<1. Он

отмечает так же, что в

110

Рис.4.4.4 Сеточный метод поиска.

случае трех и более переменных большую эффективность обеспе-

чивают не кубические, а звездообразные области.

Метод случайного поиска

Оригинальный подход, позволяющий обойти трудности применения

детерминированных методов в случае многомерного пространства,

предложен Бруксом и основан на случайном поиске. Пусть про-

странство проектирования представляет собой куб или гиперкуб со

стороной, равной единице, и разделено на кубические ячейки пу-

тем деления на 10 равных частей каждой стороны куба, соответст-

вующей одному из проектных параметров. При N=2 число ячеек

равно 100, при N=3 оно равно 1000; в общем случае при N изме-

рений число ячеек равно 10N. Вероятность того, что выбранная

наугад ячейка войдет в число 10% наиболее перспективных ячеек,

равна 0,1, так как при N=1 нас будет интересовать одна ячейка из

10, при N=2-одна из десяти лучших при общем количестве ячеек

100 и т. д. Вероятность того, что мы пропустим одну из 10% наи-

более перспективных ячеек, составит 0,9. Если случайным образом

выбрать две ячейки, то вероятность пропуска будет 0,92, т. е. 0,81.

Вообще вероятность нахождения по крайней мере одной ячейки из

наиболее перспективных, доля которых равна f, после N попыток

составит

P=1-(1-f)N

111

В табл. 4.4.1. указано, сколько ячеек надо выбрать случайным об-

разом, чтобы обеспечить заданную вероятность при заданной доле

наиболее перспективных ячеек. Из нее видно, что при случайной

выборке 44 ячеек вероятность достижения f=0,1 составит 99%. Это

очень неплохо, если вспомнить, что для 100%-ного обеспечения

целевую функцию в случае пяти переменных пришлось бы вычис-

лить 2 476 099 раз.

f Вероятность

0,80 0,90 0,95 0,99

0,1 16 22 29 44

0,05 32 25 59 90

0,01 161 230 299 459

0,005 322 460 598 919

Метод случайного поиска имеет два преимущества. Во-первых, он

пригоден для любой целевой функции независимо от того, является

она унимодальной или нет. Во-вторых, вероятность успеха при по-

пытках не зависит от размерности рассматриваемого пространства.

Хотя этот метод не позволяет непосредственно найти оптимальное

решение, он создает подходящие предпосылки для применения в

дальнейшем других методов поиска. Поэтому его часто применяют

в сочетании с одним или несколькими методами других типов.

Градиентные методы

Это наиболее часто применяемая группа методов косвенной мно-

гомерной оптимизации. Как известно, градиентом функции )(xF

векторного аргумента x (x1,x2,……xn) называется вектор, коорди-

наты которого служат частные производные по соответствующим

переменным:

),.......,(21 nx

F

x

F

x

FF

112

Известно, что вектор градиент совпадает с направлением наибыст-

рейшего возрастания целевой функции, тоесть локально наилуч-

шим является градиентное направление при максимизации или ан-

тиградиентное при минимизации. Методы поиска, в которых на-

правления движения от итерации xk

и xk+1

определяется градиен-

том, вычисленным в точке xk носят название градиентных методов.

Градиентные методы отличаются друг от друга способом выбора

шага вдоль вектора антиградиента. Простейшим способом движе-

ния из точки xk по антиградиенту с постоянным шагом h=const

(ступенчатый наискорейший подъем) тоесть:

Xk+1

=xk-h kF

При переходе через max начинается дробление шага. Иногда ха-

рактер функции бывает достаточно сложным и частные производ-

ные вычисляются приближенно:

).....,().........,( 2121 NNi

i

xxxFxxxxF

x

F

Основной недостаток метода - большой объем вычислений как зна-

чений самой функции, так и её производной на каждом шаге. В ря-

де случаев значительно более эффективным может оказаться так

называемый метод ”наискорейшего спуска”. В этом методе произ-

водная вычисляется только на первом шаге. Дальнейшее движение

осуществляется по этому направлению и величина шага рассчиты-

вается с помощью методов одномерной оптимизации до определе-

ния оптимального значения функции на данном направлении. За-

тем вычисляется градиент в полученной точке и процедура повто-

ряется. На рис 4.4.5. представлен ход процедуры поиска методом

градиента (1) и методом “наискорейшего спуска” (2) и хотя коли-

чество шагов во втором случае может быть больше, за счет мень-

шего количества вычислений градиента, он может оказаться более

эффективным.

113

Эффективность градиентных методов существенно снижается если

гиперповерхность постоянного уровня вытянута в каком-либо на-

правлении (овражная функция). При этом длинна шага может ока-

заться сравнимой с погрешностями вычисления функций. Для по-

вышения эффективности поиска наряду с градиентом используют

так же матрицу вторых производных (гессиана), с помощью кото-

рой удается выбирать направление поиска в большей мере соответ-

ствующего геометрии критерия оптимальности. Это значительно

увеличивает объем вычислений в том числе и за счёт увеличения

числа итераций.

СИМПЛЕКС-МЕТОД

Изложение этого метода начнем с пояснения того, что та-кое симплекс. Симплексом называется N-мерная замкнутая геометрическая фигура, ребра которой представляют собой прямые линии, пересекающиеся в N+1 вершине. В двумер-ном случае это треугольник, в трехмерном — тетраэдр. Схе-мы поиска с использованием симплексов основаны на слеже-нии за изменением значений целевой функции в их верши-нах. Главным в этих схемах является процесс отражения — нахождение вершины нового симплекса, расположенной симметрично относительно плоскости, проходящей через одну из сторон исходного симплекса. Выбор направления поиска вершины нового симплекса определяется положением той вершины исходного симплекса, в которой целевая функ-

x2

x1

1

2

114

ция имеет наихудшее значение (рис. 4.4.6.). Новая точка на-зывается «дополнением» наихудшей точки. Если в только что полученной вершине нового симплекса значение целевой функции оказывается худшим, то алгоритм предусматривает возврат в исходную точку — вершину прежнего симплекса. Затем осуществляется переход к той вершине прежнего сим-плекса, в которой целевая функция имеет следующее по ве-личине значение, и отыскивается точка, являющаяся её до-полнением. Такой алгоритм обеспечивает систематическое смещение центра симплекса в направлении экстремума целе-вой функции.

Известен и более сложный метод -метод Нелдера-Мида, в котором помимо поиска вершин новых симплексов про-изводится сжатие или растяжение их ребер. Этот алго-ритм обладает большей точностью и обеспечивает локальное пре-

образование пространства проектирования, при котором дос-

тигается минимум унимодальной функции вида

),.....,,( 21 NxxxFM

Рис. 4.4.6. Симплекс-метод в двумерном пространстве

x2

x1

Новый

симплекс

симплекс

Узел с наихудшим значением целевой

функции

Новая точка