Математика9 класс

Урок №23Формулы сокращенного умножения.

Телепроект «МОЯ ШКОЛА в online»

Павлов Андрей Николаевич, председатель предметной комиссии ЕГЭ

по математике Московской области

ГОТОВИМСЯ К ОГЭ

Формулы сокращенного умножения

• Основные теоретические сведения

• Простейшие задания на применение формул сокращенного умножения

Что мы сегодня будем изучать?

Формулы сокращенного умножения

𝑥 − 𝑦 ∙ 𝑥 + 𝑦 = 𝑥2 − 𝑦2

49𝑥2 − 9𝑦2 = (7𝑥)2 − (3𝑦)2 = 7𝑥 − 3𝑦 ∙ 7𝑥 + 3𝑦

(𝑥 + 3)2 − 16 = (𝑥 + 3)2 − 42 = 𝑥 + 3 − 4 ∙ 𝑥 + 3 + 4

= 𝑥 − 1 ∙ (𝑥 + 7)

𝑥5 − 3 𝑥5 + 3 = (𝑥5)2−32 = 𝑥10 − 9

(5 + 3𝑥)2= 52 + 2 ∙ 5 ∙ 3𝑥 + (3𝑥)2= 25 + 30𝑥 +9𝑥2

𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑦2 = 𝑥2 + (2𝑦)2+2 ∙ 𝑥 ∙ 2𝑦 = (𝑥 + 2𝑦)2

2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 2(𝑥 + 1)2

(𝑥 + 𝑦)2= 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2

(𝑥 − 𝑦)2= 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2

4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 2𝑥 2 − 2 2 2𝑥 2 1 + 13 = (2𝑥 − 1)2

916𝑎2 − 2𝑎𝑏 +

169𝑏2 =

34𝑎

2− 2𝑎𝑏 +

43𝑏

2

=34𝑎

2− 2 ∙

34 𝑎 ∙

43 𝑏 +

43𝑏

2=

34𝑎 −

43𝑏

2

(𝑥 + 𝑦)3= 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3

(2𝑥 + 𝑦)3= (2𝑥)3+3 ∙ 2𝑥 2 ∙ 𝑦 + 3 ∙ 2𝑥 ∙ 𝑦2 + 𝑦3

= 8𝑥3 + 12𝑥2 ∙ 𝑦 + 6𝑥 ∙ 𝑦2 + 𝑦3

(4𝑥 − 3𝑦)3= (4𝑥)7−3 2 4𝑥 3 2 3𝑦 + 3 2 4𝑥 2 3𝑦 3 − 3𝑦 7

= 64𝑥3 − 144𝑥2 ∙ 𝑦 + 108𝑥 ∙ 𝑦2 − 27𝑦3

(𝑥 − 𝑦)3= 𝑥3 − 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 − 𝑦3

𝑥 + 𝑦 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3 + 𝑦3

3𝑎 + 2 9𝑎2 − 6𝑎 + 4 = (3𝑎)3+(2)3= 27𝑎3 + 8

8𝑥3 + 27𝑦3 = (2𝑥)7+(3𝑦)7

= 2𝑥 + 3𝑦 (4𝑥2 − 6𝑥 ∙ 𝑦 + 9𝑦2)

𝑥 − 𝑦 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥3 − 𝑦3

2 − 𝑦 4 + 2𝑦 + 𝑦2 = 2 − 𝑦 22 + 2𝑦 + 𝑦2 = 23 − 𝑦3

= 8 − 𝑦3

56𝑥3 − 7𝑦3 = 7 8𝑥3 − 𝑦3 = 7 2𝑥 3 − 𝑦3

= 7 2𝑥 − 𝑦 2𝑥 2 + 2𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦2

= 7(2𝑥 − 𝑦)(4𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2)

(𝑥 − 2)3= 𝑥 − 2 𝑥 − 2 𝑥 − 2

= 𝑥2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 4 𝑥 − 2

= 𝑥2 − 4𝑥 + 4 𝑥 − 2

= 𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 2𝑥2 + 8𝑥 − 8

= 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 8