Методы математической физики - Семинары № 3-4. …mmph.narod.ru/doc/Sem3.pdf · Методы математической физики - Семинары

Методы математической физики

Методы математической физикиСеминары № 3-4. Колебания струны: музыкальная акустика,

корректность задачи.

Мих. Дмитр. Малых

Физический факультет МГУ

2012/13 уч. г., версия от 17 сентября 2012 г.

mailto:[email protected]

Методы математической физикиСпектральный состав звука

Вопрос № 1.

Спектральный состав звука,издаваемого струнами


Запись звука

При записи звука, издаваемого колеблющейся струной, внекотором месте записывают колебания давления воздуха напластинку или какое-либо другое тело. Результат представляетсобой график некоторой быстро осциллирующей функции отвремени (график звукового сигнала). Раньше эту функциюзаписывали аналоговым образом прямо на пластинки, теперь,оцифровав, в звуковые файлы.


Sonic Visualiser

Для исследования спектрального состава музыкальных записейудобно использовать Sonic Visualiser, свободнораспространяемый The Centre for Digital Music, Queen Mary,University of London.

http://www.sonicvisualiser.org

http://www.sonicvisualiser.org


Нота До на рояле

Файл YC7-FC3-L-16.wav Запустить

В файл YC7-FC3-L-16.wavзаписан звук, возникающийпри сильном ударе поклавише До первой октавы(с3) фортепиано.


Спектральный состав звука

Согласно методу Фурье профиль струны колеблется по закону

𝑦 =

∞∑𝑛=1

𝐴𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡+ 𝜃𝑛) sin(𝜋𝑛

𝑙𝑥),

поэтому эта функция должна быть сложена из колебаний счастотами, образующими гармонический ряд

𝜔𝑛 =𝜋𝑎

𝑙𝑛, 𝑛 = 1, 2, . . . ;

скажем иметь вид

𝑓(𝑡) =∑

𝐵𝑛 sin(𝜔𝑛𝑡+ 𝜃𝑛),

обычно предполагают, что величина амплитуды 𝐵𝑛 𝑛-ойгармоники пропорциональна амплитуде соответствующейгармоники струны 𝐴𝑛.


Восприятие звука

Частота первой гармоники, имеющей обычно наибольшуюамплитуду, воспринимается в нашем сознании как высотазвука, его основной тон. Прочие же гармоники, или обертона,воспринимаются как призвуки, окрашивающие основной тон;эту окраску обычно называют тембром звука.


Ноты

В акустике высоту звука указывают в герцах, в музыке – припомощи нот. При принятой ныне равномерной темперации нотедо первой октавы отвечает частота в 261,63 герца, ноте доследующей октавы отвечает частота в 2 раза большая,интервал между ними делят на 12 частей, именуемыхполутонами, увеличивая частоту каждый раз в 12

√2 раз,

обозначая части как до диез, ре, ре диез и так далее. При этомв логарифмической шкале октава делится на равные части.


Зоны

Согласно опытам, поставленным Н.А. Гарбузовым в МГК, мывоспринимаем как звук одного и того же названия целуюобласть близких частот (зон), эта полоса частот колеблется впределах ±1

8 тона даже у профессиональных исполнителей. [1]


Оконное преобразование Фурье

Для выделения набора частот синусоид для заданного сигнала𝑓(𝑡) строят график модуля функции

𝐹 (𝑡, 𝜔) =

𝑡+𝑇∫𝑡−𝑇

𝑓(𝜏)𝑒𝑖𝜔𝜏𝑑𝜏

в осях 𝑡 (в секундах) и 𝜔 (в герцах). Этот график называютспектрограммой или сонограммой, а само преобразование –оконным преобразованием Фурье с тем, чтобы подчеркнуть егосвязь с преобразованием Фурье (𝑇 = ∞) и указать, что длявычисления образа 𝐹 в точке 𝑡0 нужно знать сигнал 𝑓 не привсех 𝑡 но лишь в окне [𝑡0 − 𝑇, 𝑡0 + 𝑇 ].


При больших 𝑇 ...

При достаточно больших значениях параметра 𝑇 образ имеетярко выраженные максимумы при тех 𝜔, которые отвечаютчастотам синусоид, слагающих 𝑓 .Для того, чтобы убедится в этом, достаточно вычислитьинтеграл

𝑇∫−𝑇

sin𝜔0𝜏𝑒𝑖𝜔𝜏𝑑𝜏 =

sin(𝜔0 − 𝜔)𝑇

𝜔 − 𝜔0+

sin(𝜔0 + 𝜔)𝑇

𝜔 + 𝜔0

С ростом 𝑇 первый член, функция Sinc, будет иметь один всеболее и более выраженный максимум, а второй членнакладывать на нее колебания, амплитуда которых не можетрасти.


Сонограмма звука рояля (нота до первой октавы)

Файл YC7-FC3-L-16.wav Запустить

Основной тон – нота до(261,4 герца);первый обертон дает доследующей октавы,второй – соль,третий – до 3-ей октавы,четвертый – ми,пятый – соль.


Обертона звука рояля (нота до первой октавы)

Первые пять обертонов даютв качестве призвуков нотымажорного трезвучия, чтопридает всему звукуприятный оттенок,называемый обычнополнотою. Наоборот, шестойобертон попадает где-томежду ля и ля диезом, чтопридает звуку неприятныйоттенок, возникает диссонанс.


Борьба со старшими обертонами

При изготовлении музыкальных инструментов стремятся таквозбуждать колебания струны, чтобы этот обертон (7гармоника) не был слышен. В рояле для этого ударяютмолоточком не в центре струны, а на расстоянии 1

7 от концаструны, то есть в узел 7-ой гармоники.


Мат. модель удара молоточком

На семинаре № 1 удар молоточком толщины 2𝛿 по струне вточке 𝑥 = 𝑐 мы описали начально-краевой задачей⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

𝜕2𝑢𝜕𝑡2

= 𝑎2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 (0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0)𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0,

𝑢|𝑡=0 = 0, 𝑢𝑡|𝑡=0 =

{𝑣, |𝑥− 𝑐| < 𝛿0, |𝑥− 𝑐| > 𝛿


Решение по методу Фурье

Коэффициенты Фурье профиля начальных скоростей:

𝜓𝑛 =2

𝑙

𝑐+𝛿∫𝑐−𝛿

𝑣 sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥 =

4𝑣

𝜋

1

𝑛sin

𝜋𝑛𝑐

𝑙sin

𝜋𝑛𝛿

𝑙,

Решение:

𝑢 =

∞∑𝑛=1

𝜓𝑛

𝜔𝑛sin𝜔𝑛𝑡 sin

𝜋𝑛𝑥

𝑙, (𝜔𝑛 ∼ 𝑛).

Анимация: Файл Task-1.xws Запустить


Объяснение правила борьбы со старшими обертонами

Для того, чтобы 7-ая гармоника не была слышна, ударяют вкрайний узел 7-ой гармоники, то есть 𝑐 = 𝑙

7 , поскольку тогда

sin𝜋𝑛𝑐

𝑙= sin

𝜋𝑛

7= 0

и в сумме

𝑢 =4𝑣𝑙

𝜋2𝑎

∞∑𝑛=1

1

𝑛2sin

𝜋𝑛𝑐

𝑙sin

𝜋𝑛𝛿

𝑙sin

𝜋𝑛

𝑙𝑥 sin𝜔𝑛𝑡,

7-ой член отсутствует.


Сглаживание начального профиля

Поскольку мгновенный профиль начальных скоростей выбранразрывным, задача не имеет классического решения. Кажется,что сглаживание начальных условий может существенноулучшить модель задачи.Про мгновенный профиль скоростей, придаваемых струнеударом в точке 𝑥 = 𝑐 молоточком малой ширины 2𝛿, суверенностью можно сказать следующее: скорость равна нулювне молоточка, то есть при |𝑥− 𝑐| ≥ 𝛿, имеет единственныймаксимум 𝑣 при 𝑥 = 𝑐 и распределена симметричноотносительно 𝑥 = 𝑐.


Старшие гармоники

В разложении решения в ряд Фурье

𝑢 =

∞∑𝑛=1

𝐴𝑛 sin𝜔𝑛𝑡 sin𝜋𝑛

𝑙𝑥

амплитуды старших гармоник меняются радикально, посколькудля гладких функций 𝜙 коэффициенты Фурье убываютбыстрее любой степени 1/𝑛.Это и гарантирует существование классического решения.


Оценки для коэффициентов Фурье

По теореме о среднем коэффициент Фурье

𝜓𝑛 =2

𝑙

∫ 𝑐+𝛿

𝑐−𝛿𝜓(𝑥) sin

𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥 =

2

𝑙sin

𝜋𝑛𝜉𝑛𝑙

∫ 𝑐+𝛿

𝑐−𝛿𝜓(𝑥)𝑑𝑥

где 𝜉𝑛 – точка отрезка (𝑐− 𝛿, 𝑐+ 𝛿). По теореме о конечныхприращениях

sin𝜋𝑛𝜉𝑛𝑙

− sin𝜋𝑛𝑐

𝑙

≤ 𝜋𝑛

𝑙𝛿,

поэтому 𝜓𝑛 отличается от «среднего» коэффициента

𝜓𝑛 =4

𝑙sin

𝜋𝑛𝑐

𝑙

∫ 𝑐+𝛿

0𝜓(𝑥)𝑑𝑥

на величину

4𝜋𝑣

(𝛿

𝑙

)2

𝑛.


Младшие гармоники

Если толщина молоточка мала, то и амплитуды младшихгармоник в разложении решения в ряд Фурье

𝑢 =

∞∑𝑛=1

𝐴𝑛 sin𝜔𝑛𝑡 sin𝜋𝑛

𝑙𝑥

мало отличаются от вычисленных выше амплитуд гармоникдля разрывной 𝜓.В тех задачах, в которых важен не мгновенный профильструны, а спектральный состав ее колебаний, все равно, какименно распределяется начальная скорость от точки удара ккраям молоточка и можно довольствоваться решением в видеряда Фурье, которое называют обобщенным решениемуравнения колебаний.


Музыкальный диктант

Оконные преобразования Фурье позволяют выделятьсинусоиды в записях музыкальных произведений, нужно лишьбрать 𝑇 много большим периода колебаний струн, но многоменьше интервала между нажатиями нот. В этом случае научастках времени длины 2𝑇 график будет представлять собойсумму конечного числа синусоид и лишь в момент нажатияновых клавиш на графике 𝐹 будет появляться «грязь», саммомент нажатия можно опять же определить с точностью довеличины порядка 𝑇 .


Сонограмма первого такта ноктюрна Г. Форе.

Файл Faure.mp3 Запустить

Любопытно отметить, что впервой четверти первоготакта ми бемоль второйоктавы отсутствует в нотах,но появляется вспектрограмме как обертон кми бемоль первой октавы.

Методы математической физикиКорректность задачи

Вопрос № 2.

Корректность задачи овозбуждении колебанийструны


Классическое решение

ОпределениеКлассическим решением задачи⎧⎨⎩

𝜕2𝑢𝜕𝑡2

= 𝑎2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 (0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0)𝑢|𝑡=0 = 𝜙(𝑥), 𝑢𝑡|𝑡=0 = 𝜓(𝑥)𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0

называют функцию, котораядважды непрерывно дифференцируема функцию в области{0 < 𝑥 < 𝑙 и 𝑡 > 0} и там удовлетворяет уравнению𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2𝑢𝑥𝑥 инепрерывна вмести со своими первыми производными взамыкании этой области {0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙 и 𝑡 ≥ 0} и на границахудовлетворяет указанным начальным и граничнымусловиям.


Корректность задачи и метод Фурье

ОпределениеЗадача называется корректной по Адамару, если

ее решение единственно,ее решение существует иее решение устойчиво относительно малых измененийвходных данных.

Хотя метод Фурье позволяет конструктивно находить решениязадачи, сказанное выше в его обоснование не даетвозможности судить о ее корректности: мы пока не доказали,во-первых, что эта задача не допускает другого решения,которое не было бы суперпозицией гармоник, во-вторых, чторяды Фурье доставляют классическое решение этой задачи, ана примерах убедились в обратном.


Единственность решения

ТеоремаЗадача о колебаниях струны допускает не более одногоклассического решения.

Для доказательства следует рассмотреть разность 𝑤 двухклассических решений и, вычислив производную по 𝑡выражения

𝐸(𝑡) =

𝑙∫0

(𝑤2𝑡 + 𝑎2𝑤2

𝑥)𝑑𝑥,

доказать, что𝑙∫

0

(𝑤2𝑡 + 𝑎2𝑤2

𝑥)𝑑𝑥 = 0.


Существование решения

ТеоремаПусть начальные функции удовлетворяют след. условиям:

функция 𝜙 дважды непрерывно дифференцируема наотрезке 0 < 𝑥 < 𝑙 и имеет на нем кусочно-непрерывнуютретью производную,функция 𝜓 непрерывно дифференцируема на том жеотрезке и имеет на нем кусочно-непрерывную вторуюпроизводную, ина концах этого отрезка верно

𝜙(0) = 𝜙(𝑙) = 𝜙′′(0) = 𝜙′′(𝑙) = 𝜓(0) = 𝜓(𝑙) = 0.

Тогда задача о возбуждении колебаний струны корректнопоставлена.


Доказательство теоремы существования

Существенную часть доказательства этой теоремы составляетобоснование сходимости рядов Фурье и возможности ихпочленного дифференцирования. См. [2], гл. VII, §2-4.По ходу доказательства получается, что единственноеклассическое решение можно найти по методу Фурье.


Об условиях теоремы существования

Предположение о гладкости начальных данных кажутся вполнеестественными, равно как и условия

𝜙(0) = 𝜙(𝑙) = 𝜓(0) = 𝜓(𝑙) = 0,

означающие лишь, что в начальный момент концы струнынеподвижны. Условие же

𝜙′′(0) = 𝜙′′(𝑙) = 0

запрещает струне искривляться возле точек закрепления.Принципиально ли оно или является дефектом доказательства?


Метод Фурье и метод Даламбера

Проблемы с обоснованием сходимости получающихся рядовтипичны для метода Фурье, который в дальнейшем будетраспространен на куда более сложные задачи.Метод Даламбера, заметно менее общий и бесполезный, напр.,для задач музыкальной акустики, позволяет в данном случаевзглянуть на эту проблему с другой стороны.


Корректность задачи и метод Даламбера

ТеоремаЕсли функция 𝜙, заданная на отрезке 0 < 𝑥 < 𝑙, допускаетдважды дифференцируемое нечетное 2𝑙-периодическоепродолжение на всю вещественную ось 𝑂𝑥, то задача⎧⎨⎩

𝜕2𝑢𝜕𝑡2

= 𝑎2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 , (0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0)𝑢|𝑡=0 = 𝜙, 𝑢𝑡|𝑡=0 = 0,𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0.

имеет и притом единственное классическое решение, котороедается формулой Даламбера

𝑢 =𝜙(𝑥− 𝑎𝑡) + 𝜙(𝑥+ 𝑎𝑡)

2.


Доказательство существования решения

Функция

𝑢 =𝜙(𝑥− 𝑎𝑡) + 𝜙(𝑥+ 𝑎𝑡)

2

удовлетворяет уравнению колебаний и начальным условиям,если 𝜙 является 2-жды дифференцируемой функцией на всейвещественной прямой. На концах отрезка 0 < 𝑥 < 𝑙 верно

𝑢|𝑥=0 =𝜙(−𝑎𝑡) + 𝜙(𝑎𝑡)

2= 0

в силу нечетности продолжения, и

𝑢|𝑥=𝑙 =𝜙(𝑙 − 𝑎𝑡) + 𝜙(𝑙 + 𝑎𝑡)

2=𝜙(𝑙 − 𝑎𝑡− 2𝑙) + 𝜙(𝑙 + 𝑎𝑡)

2

=𝜙(−(𝑎𝑡+ 𝑙)) + 𝜙(𝑙 + 𝑎𝑡)

2= 0

в силу его 2𝑙-периодичности.


Условия теоремы существования

Для того, чтобы продолжение было 2-ждынепрерывно-дифференцируемой функцией, необходимо идостаточно, чтобы таковой был начальный профиль 𝑢 = 𝜙 наотрезке (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑙) и чтобы он удовлетворял условиям

𝜙(0) = 𝜙(𝑙) = 𝜙′′(0) = 𝜙′′(𝑙) = 0.

Это утверждение в одну сторону составляет существеннуючасть теоремы существовании решения и теперь вполнеочевидно, что условие 𝜙′′(0) = 𝜙′′(𝑙) = 0 не являетсяслучайным дефектом в доказательстве этой теоремы.Однако, может быть, в этом случае имеется классическоерешение, которое не может быть найдено методом Даламбера?


Обращение теоремы существования

Пусть теперь, наоборот, известно, что задача⎧⎨⎩𝜕2𝑢𝜕𝑡2

= 𝑎2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 , (0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0)𝑢|𝑡=0 = 𝜙, 𝑢𝑡|𝑡=0 = 0,𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0.

имеет классическое решение 𝑢. Это решение, будучи дваждыдифференцируемой как функцией 𝑥, можно разложить всходящийся ряд Фурье:

𝑢(𝑥, 𝑡) =

∞∑𝑛=1

𝑢𝑛(𝑡) sin𝜋𝑛𝑥

𝑙,

коэффициенты которого выражаются интегралами:

𝑢𝑛(𝑡) =2

𝑙

𝑙∫0

𝑢(𝑥, 𝑡) sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥.


Дифференциальное уравнение для коэффициентов

Этот ряд нельзя подставить в уравнение 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2𝑢𝑥𝑥, поскольку𝑢𝑥𝑥 всего лишь непрерывна и о поточечной сходимости ее рядаФурье нам ничего не известно.Однако коэффициенты 𝑢𝑛 отыскать все равно можно. Дляэтого умножим уравнение 𝑢𝑡𝑡 = 𝑎2𝑢𝑥𝑥 на 2

𝑙 sin𝜋𝑛𝑥𝑙 и

проинтегрируем от 0 до 𝑙.


Вычисления

Член 𝑢𝑡𝑡 даст

2

𝑙

𝑙∫0

𝑢𝑡𝑡 sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥 =

𝑑2𝑢𝑛𝑑𝑡2

.

Член 𝑢𝑥𝑥 даст

2

𝑙

𝑙∫0

𝑢𝑥𝑥 sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥 =

2

𝑙

𝑙∫0

𝜕𝑢𝑥𝜕𝑥

sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥

=2

𝑙𝑢𝑥 sin

𝜋𝑛𝑥

𝑙

𝑙𝑥=0

− 2

𝑙

𝜋𝑛

𝑙

𝑙∫0

𝜕𝑢

𝜕𝑥cos

𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥

=2

𝑙

𝜋𝑛

𝑙𝑢 cos

𝜋𝑛𝑥

𝑙

𝑙𝑥=0

+(𝜋𝑛𝑙

)2𝑢𝑛.


Задача Коши для коэффициентов

Из уравнения в ч.п. получается оду для коэффициентов:

��𝑛 +(𝜋𝑛𝑎

𝑙

)2𝑢𝑛 = 0.

Умножив начальные условия

𝑢|𝑡=0 = 𝜙, 𝑢𝑡|𝑡=0 = 0

на 2𝑙 sin

𝜋𝑛𝑥𝑙 и проинтегрируем от 0 до 𝑙, получим

2

𝑙

𝑙∫0

𝑢(𝑥, 0) sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥 = 𝜙𝑛,

2

𝑙

𝑙∫0

𝑢𝑡(𝑥, 0) sin𝜋𝑛𝑥

𝑙𝑑𝑥 = 0

то есть 𝑢𝑛(0) = 𝜙𝑛 и ��𝑛(0) = 0.


Всеобщность метода Фурье

Начальная задача для 𝑢 превращается в задачу Коши для 𝑢𝑛

{��𝑛 +(𝜋𝑛𝑎

𝑙

)2𝑢𝑛 = 0, 𝑢𝑛(0) = 𝜙𝑛, ��𝑛(0) = 0

которая имеет единственное решение

𝑢𝑛 = 𝜙𝑛 cos𝜋𝑛𝑎𝑡

𝑙.

Классическое решение, если оно вообще существует, даетсярядом Фурье

𝑢 =

∞∑𝑛=1

𝜙𝑛 cos𝜋𝑛𝑎𝑡

𝑙sin

𝜋𝑛𝑥

𝑙,

то есть метод Фурье приводит к верному решению всяки раз,как это решение существует.


Всеобщность метода Даламбера

Частичную сумму ряда Фурье можно преобразовать к

1

2

𝑁∑𝑛=0

𝜙𝑛

(sin

𝜋𝑛(𝑥+ 𝑎𝑡)

𝑙+ sin

𝜋𝑛(𝑥− 𝑎𝑡)

𝑙

)и переписать как

𝜙𝑁 (𝑥− 𝑎𝑡) + 𝜙𝑁 (𝑥+ 𝑎𝑡)

2,

причем частичные суммы

𝜙𝑁 (𝑥) =

𝑁∑𝑛=0

𝜙𝑛 sin𝜋𝑛𝑥

𝑙

сходятся к периодическому продолжению 𝜙(𝑥), еслипредположить, что эта функция удовлетворяет признакуДирихле.


Всеобщность метода Даламбера-2

Вывод: метод Даламбера приводит к верному решению всякираз, как это решение существует. Более того, еслипериодическое продолжение 𝜙(𝑥) имеет изломы, то задача неможет иметь классического решения.

Методы математической физикиЗаключение

Итог

На трех прошедших семинарах мы учились решатьначально-краевую задачу⎧⎨⎩

𝜕2𝑢𝜕𝑡2

= 𝑎2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 (0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0)𝑢|𝑡=0 = 𝜙(𝑥), 𝑢𝑡|𝑡=0 = 𝜓(𝑥),𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0.

Мы доказали ее корректность, научились выписывать решениедвумя методам и – методом Фурье и методом Даламбера.Познакомились со азами музыкальной акустики. Научилисьпользоваться системой компьютерной алгебры Giac исонографом Sonic Visualiser.

Методы математической физикиДомашняя работа

Домашняя работа

Выполненную домашнюю работу следует собрать в одинpdf-файл и послать по адресу [email protected], указав в темеписьма номер группы. В ответ придут замечания икомментарии. После одной такой итерации работа будетопубликована на сайте http://mmph.narod.ru.

mailto:[email protected]

http://mmph.narod.ru


Домашняя задача № 1

1. Какие условия теоремы существования классическогорешения нарушены в примерах № 1 и 2, рассмотренных напервом семинаре?2. Выполнены ли условия теоремы существованияклассического решения для задачи⎧⎨⎩

𝜕2𝑢𝜕𝑡2

= 𝑎2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 , (0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0)𝑢|𝑡=0 = sin2 𝜋𝑥

𝑙 , 𝑢𝑡|𝑡=0 = 0,𝑢|𝑥=0 = 𝑢|𝑥=𝑙 = 0.

?


Домашняя задача № 2

Файл Kolokol.mp3 Запустить

В этот файл записанколокольный звон. Чемпринципиально отличаютсяспектры струны и колокола,т.е. одномерного идвумерного объектов?


Ссылки

Музыкальная акустика. Под ред. Н.А. Грабузова. М.: Музгиз,1954.

Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции поматематической физики. Подойдет любое издание, напр., М.:«Наука», 2004 г.

Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математическойфизики. Изд-во МГУ, 1994.

Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математическойфизики. Подойдет любое издание, напр., 6-е изд. М., Изд-воМГУ, 1999.


Конец семинара № 3

c○ 2012 г., Михаил Дмитриевич Малых. Текст доступен на условиях лицензииCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.На слайде 23 использована запись фрагмента ноктюрна Г. Форе (Op. 33, no. 1) висполнении Ж.-Ф. Колара (Jean-Philippe Collard, запись 1973 г.).

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Documents

Методы математической физики - Семинары № 3-4. …mmph.narod.ru/doc/Sem3.pdf · Методы математической физики - Семинары