有 限 元 法

雷晓燕 编著

中 国 铁 道 出 版 社2 0 0 0 年·北京

(京 )新登字 063 号

内 容 简 介

本书介绍了有限元法的基本概念和原理 ,讨论了弹性力学平面问题、空

间问题、薄板弯曲、壳体问题、结构动力学问题的各种单元 , 以及求解塑性、

弹塑性耦合、应变软化、粘塑性和蠕变问题的有限元法。本书还介绍了当前

国内外通用的大型有限元程序系统。最后给出了平面问题有限元计算程序

FE M TWO 的使用说明、算例及源程序 , 可用于教学。

本书可作为工科院校非力学专业本科生及研究生的教材 , 也可作为工

程技术人员和教师的参考书。

图书在版编目 (CIP)数据

有限元法/ 雷晓燕编著 . - 北京 : 中国铁道出版社 ,2000.10 ISBN 7-113-03823-9

Ⅰ. 有⋯ Ⅱ. 雷⋯ Ⅲ. 有限元法 Ⅳ.0241.82

中国版本图书馆 CIP 数据核字 (2000)第 39165 号

书 名 : 有限元法

作 者 : 雷晓燕

出版发行 : 中国铁道出版社 (100054 , 北京市宣武区右安门西街 8 号 )

责任编辑 : 江新锡

封面设计 : 马 利

印 刷 : 中国铁道出版社印刷厂

开 本 : 850×1168 1/ 32 印张 : 10.25 字数 : 262 千

版 本 : 2000 年 10 月第 1 版 2000 年 10 月第 1 次印刷

印 数 : 1～1000 册

书 号 : ISBN 7-113-03823-9/ O·77

定 价 : 25.00 元

版权所有 盗印必究

凡购买铁道版的图书 , 如有缺页、倒页、脱页者 ,请与本社发行部调换。

F I N I T E E L E M E N T M E T H OD

Xiaoyan Lei

Depart ment of Civil Engineering,

East China Jiaotong University,

330013 , N anchang , P. R. CHI NA

China Railway Publishing House

2000 Beijing

�China Railway Publishing House

All righ ts reserued .No part of this publication may be reproduced ,

stored in a retrieval system or transmitted by any means , elect ronic,

mechanical , photocopying or otherwise without the prior permission

of the publisher .

First published in October 2000 by China Railway Publishing House

(100054 , 8 , You′anmen West street , Xuanwu District , Beijing , P .R .

China)

ISBN : 7-113-03823-9/ O·77

Executive Editor : Xinxi Jiang

RMB:25 .00Yuan

前 言

有限元技术的巨大进展同计算机硬件和软件的迅速

发展相结合 , 为通用有限元程序的研制提供了一个广阔

的基础。科学家经过多年的开发工作 ,目前已有大量有

限元程序问世。有限元法已广泛地应用于研究、生产和

设计单位 , 成为解决工程实践中各种复杂问题必不可少

的工具。到 80 年代中期 ,大约有 500 个面向用户及几千

个面向研究的有限元程序系统。前、后处理软件包超过

200 个。全世界估计有20 000多个有限元用户 ,他们每年

大约花费 5 亿美元 ,用于有限元分析。有限元法仍在发

展和完善之中 , 未来的几年对有限元分析来说是激动人

心的。如今 ,《有限元法》已成为工科大学本科和研究生

的必修课 , 且出版了相应的教科书。但作者在长期的教

学实践中感到 , 目前的教材要么太深太专业化以致使学

生望而生畏 , 要么过于简单而不能解渴。为非力学专业

高年级本科生和研究生提供深度适中的教科书正是作者

编写本书的目的。在阐述有限元法的基本概念和原理时

尽量采用熟知的力学方法 ,而避免深奥的数学推导。但

书中对收敛性、Wilson 非协调元、剪切锁死、零能模式、弹

塑性耦合、应变软化和粘塑性等一些深层次的问题也作

了较详细的讨论。书中各章末尾附有大量习题 , 这是本

·1·

书的另一特色。

本书内容包括有限元法的基本概念和原理 , 弹性力

学平面问题 ,空间问题 ,薄板弯曲 , 壳体 , 结构动力学 , 塑

性 ,弹塑性耦合 ,应变软化 ,粘塑性和蠕变问题的有限元

法。本书还介绍了当前国内外通用的大型有限元程序系

统。最后给出了平面问题有限元计算程序 FEMTWO 的

使用说明、算例及源程序 ,可用于教学。全书内容约需 60

学时 ,如删除“壳体问题”和“非线性有限元法”中的部分

内容作为本科教学 ,则需 48 学时。

本书可作为工科院校非力学专业本科生及研究生的

教材 ,也可作为工程技术人员和教师的参考书。

书中内容取材力求新颖、适中、联系实际。希望能给

读者一些启发。尽管如此 ,限于作者水平 , 错误和不当之

处还请读者批评指正。

雷晓燕

2000.1

·2·

Preface

The great progress of finite element technology has gone along

with the rapid development of computer hardware and software,

which offers a wide field for the research of a universal finite element

program. After many years of development , a large number of finite

element programs have been made. The finite element method has

been widely applied in the fields of research , construction and design

and has become a necessary tool to solve complicated problems in en-

gineering practice. Up to the mid 1980s, there were about 500 fi-

nite element program systems serving users , and thousands serving

research. They dealt with more than 200 packages of prior and post

processing. By estimate, there are about 20 , 000 users of finite ele-

ment , who spend about 500 million US dollars each year in finite el-

ement analyses. Finite element method is still under development

and improvement. It will be exciting for finite element analyses in

fu ture years. Now“Finite Element Method”has become a required

course for undergraduate and postgraduate students in the universi-

ties of technology. Some textbooks have been published as well. But

from many years of teaching , the author thinks that presen t teach-

ing materials are either too abst ruse for students to understand , or

too simple to satisfy students’needs. The main purpose of compiling

this book is to provide a proper textbook for senior undergraduate

and postgraduate students whose majors are not mechanics. To

achieve this , the author adopts well known mechanical methods in

explaining the general concepts and principles of finite element

method, and avoids abstruse mathematical reasoning. However ,

·1·

some difficult poin ts such as convergence, Wilson non - consistent

element , shear locking , zero energy mode, coupling of elasticity and

plasticity, strain softening , and visco - plasticity have been dis-

cussed comprehensively in this treatise. There are many exercises at

the end of each chapter , which is another distinguishing feature.

This book includes these contents: the general concepts and

principles of finite element method , plane problem of elasticity me-

chanics , spatial problem , thin plate with bending , shell , st ructural

dynamics, plasticity , coupling of elasticity and plasticity , st rain

softening , visco - plasticity and finite element method of creep prob-

lem. I t also int roduces large finite element program systems, which

are being used curren tly at home and abroad. At the end, the book

gives inst ructions of finite element program F EMTWO for plane

problems, calculating examples and source programs, which can be

used in teaching. It needs about 60 class hours for teaching the

whole conten ts. If deleting part of the content from“ Shell P rob-

lem” and“ Non-linear finite element method” for undergraduate

teaching only, it needs 48 class hours.

The book can be used as a textbook for undergraduate and post-

graduate students majoring in engineering in the universities and col-

leges of technology.Engineers , technicians and teachers can also use

it as a reference book.

The author tries to adopt new and appropriate materials con-

nected with practice for the book , hoping to give some inspiration to

readers. Even so , being due to author’s limitation’s , the author

welcome critical comments.

Xiaoyan Lei

January.1 , 2000

·2·

目 录

第一章 有限元法的基本概念 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.1 引 言 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.2 弹性力学基本量和基本方程的矩阵表示 2⋯⋯⋯⋯⋯

1.3 平面问题 3 结点三角形单元 7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.4 变温应力的计算 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.5 有限元解的收敛性和误差估计 23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 28⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第二章 平面问题的较精密单元 30⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.1 面积坐标 30⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.2 确定插值函数的几何方法 34⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.3 6 结点三角形单元 40⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.4 4 结点矩形单元 49⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.5 等参数单元 57⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.6 等参数单元的数学分析 63⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.7 等参数单元的力学分析 67⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.8 Wilson 非协调元 71⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.9 高斯积分法 75⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.10 等参数单元计算中数值积分阶次的选择 81⋯⋯⋯⋯

习 题 86⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第三章 空间问题及轴对称问题 90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.1 四面体单元 90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.2 空间等参数单元 97⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.3 轴对称问题 107⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·1·

第四章 薄板弯曲问题 123⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.1 薄板弯曲理论 123⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.2 基于薄板理论的非协调板单元 127⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.3 位移和转动分别独立插值的板单元 139⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 145⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第五章 壳体问题 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1 平板单元 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.2 超参数壳体单元 157⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 166⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第六章 结构动力学问题 167⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.1 动力问题有限元法的基本概念 167⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.2 质量矩阵和阻尼矩阵 171⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.3 直接积分法 174⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.4 振型叠加法 182⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.5 解的稳定性 190⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 195⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第七章 非线性有限元法 196⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.1 非线性有限元方程组的解法 196⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.2 塑性问题 201⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.3 弹塑性耦合与应变软化 212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.4 粘塑性 蠕变问题 216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.5 算 例 221⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

习 题 223⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第八章 有限元软件系统概述 225⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8.1 引 言 225⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·2·

8.2 评价有限元程序的因素 225⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8.3 大型有限元程序系统介绍 226⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

第九章 平面问题有限元计算程序 FEMTWO 252⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9.1 平面问题有限元计算程序 TWO 使用说明 252⋯⋯⋯

9.2 算 例 256⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

附录 :平面问题有限元计算源程序 F EMTWO.FOR 269⋯⋯⋯⋯

内容索引 303⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

参考文献 309⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·3·

Contents

Chapter 1. Elementary concepts of finite element method 1⋯⋯

1.1 Int roduction 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.2 vMatrix expressions for basic variables and

elementary equations of elasticity mechanics 2⋯⋯⋯⋯

1.3 vTriangular elements of plane problems with

3 nodes 7⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.4 vComputation of stresses resulted from

temperature changing 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

1.5 vConvergence and error estimation of finite

element solu tions 23⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 28⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Chapter 2. More accurate elements of plane problems 30⋯⋯⋯

2.1 Area coordinates 30⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.2 vGeomet ric scheme of determining interpolation

functions 34⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.3 Triangular elements with 6 nodes 40⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.4 Rectangular elements with 4 nodes 49⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.5 Isoparametric elements 57⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.6 Mathematics analyses of isoparamet ric elements 63⋯⋯

2.7 Mechanics analyses of isoparametric elements 67⋯⋯⋯

2.8 Wilson non - consisten t element 71⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.9 Gauss in tegration 75⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

2.10 �Determining order of numerical in tegration in

computation of isoparametric elements 81⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 86⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·4·

Chapter 3. Spatial and axisymmetric problems 90⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.1 Tet rahedral elements 90⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.2 Spatial isoparametric elements 97⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3.3 Axisymmet ric problem 107⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 121⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Chapter 4. Problem of thin plates in bending 123⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.1 Theory of thin plates in bending 123⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.2 vNon-consistent plate elements based on theory of

thin plates 127⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

4.3 vPlate elements with independently interpolating

displacement and rotation 139⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 145⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Chapter 5. Shell problem 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.1 Elements of plane plates 146⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

5.2 Superparamet ric shell elements 157⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 166⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Chapter 6. Structural dynamics problem 167⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.1 vElementary concepts of finite element method of

dynamic problems 167⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.2 Mass matrix and damping matrix 171⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.3 Direct integration formulation 174⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.4 Modal superposition formulation 182⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

6.5 Stability of solutions 190⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 195⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Chapter 7. Nonlinear finite element method 196⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.1 vAlgorithm of solving nonlinear finite element

equations 196⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.2 Plastic problems 201⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.3 vCoupling of elasticity with plasticity and st rain

softening 212⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·5·

7.4 Viscoplastic and creep problems 216⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

7.5 Examples 221⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Exercises 223⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Chapter 8. Layout of software system of finite elements 225⋯⋯

8.1 Int roduction 225⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8.2 Evaluation of factors on finite element programs

225

⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

8.3 Int roduction of larger finite element programs 226⋯⋯

Chapter 9. �Finite element program FEMTWO for

plane problems 252⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9.1 vInstructions of finite element program T WO

for plane problems 252⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

9.2 Examples 256⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Appendix : lSource file of finite element program FEMTWO

for plane problems 269⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

Subject Index 303⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

References 309⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

·6·

主 要 符 号

ae 单元结点位移向量

a,�a, ä 系统结点位移、速度和加速度向量

p 体力向量

B 应变矩阵

c( k)粘性系数

C 系统阻尼矩阵

dε, dεe , dεp , dεv p应变增量、弹性应变增量、塑性应变增量、粘塑性

应变增量

dσ应力增量

D, De p , Dp 弹性矩阵、弹塑性矩阵、塑性矩阵

E 弹性模量

Et切线模量

f = - Q 系统结点荷载向量

f (ε,εp , w p )应变空间屈服函数

F(σ,εp ,κ)屈服函数

Fe 单元结点力向量

G 剪切模量

H′=dσsdεp

塑性模量

i 迭代步

珒i ,珒j ,珗k 笛卡尔坐标系单位向量

I 单位矩阵

J2 第二应力不变量

J3 第三应力不变量

ke 单元刚度矩阵

·1·

K 系统总刚度矩阵

KT 切线刚度矩阵

li , m i , ni 方向余弦分量

m 荷载增量步

M 系统总质量矩阵

N 插值函数矩阵

珔p 面力向量

Q 塑性势函数

Qe 单元结点荷载向量

Q 系统结点荷载向量

sx , sy , sz 偏应力分量

T 转换矩阵

u , v , w 位移分量

u 单元内任意一点的位移向量

w p 塑性功

x , y , z 笛卡尔坐标系

x域内任一点坐标向量

λ坐标转换矩阵

Г边界

Δa,Δε,Δσ增量位移、增量应变、增量应力向量

Δtcri t临界时间步长

Δtm = tm + 1 - tm 时间增量

珋εp等效塑性应变

εe单元应变向量

�ε,�εc ,�εe ,�εv p应变率、蠕变应变率、弹性应变率、粘塑性应变率向量

θ(0�θ�1 )欧拉法系数

κ硬化参数

ξ,η,ζ局部坐标系

П系统总位能

·2·

ρ质量密度

σm =13

(σx +σy +σz )平均应力

σs 材料单向屈服应力

珋σ有效应力

σ0 初应力向量

σe单元应力向量

�σ应力率

μ泊松比

φ(κ)内摩擦角

�i 固有振型向量

Φ固有振型矩阵

ψ有限元方程误差向量

Ω域内

·3·

第一章 有限元法的基本概念

1.1 引 言

在工程

际问题抽象成它们应遵循的基本方程 ( 常微分方程或偏微分方

程 ) 和相应的边界条件。对于大多数的工程技术问题 , 由于物体

的几何形状和载荷作用方式是很复杂的 , 除了少数方程性质比较

简单、且几何边界相当规则的少数问题之外 , 试图按经典的弹性

力学和塑性力学方法获得解析解是十分困难的 , 甚至是不可能

的。为了克服这种困难 , 有两条解决途径 : 一是引入简化假设 ,

将方程和边界条件简化为能够处理的问题 , 从而得到它在简化状

态下的解答。这种方法只在有限的情况下是可行的 , 因为过多的

简化将可能导致不正确的甚至错误的解答。另一条解决途径就是

数值解法 , 如有限差分法 , 边界元法 , 有限元法和离散元法等。

对于非线性问题 , 有限元法更为有效 , 且已经出现了许多通用程

序。

有限单元法的理论基础是变分原理。最常用的变分原理有最

小势能原理、最小余能原理和混合变分原理。采用不同的变分原

理 ,将得到不同的未知场变量。当采用最小势能原理时 , 必须假设

单元内位移场函数的形式。这种以位移作为基本未知量的分析方

法称作位移法。当采用最小余能原理时 ,必须假设应力场的形式。

这种方法称为应力法。当采用混合变分原理 , 例如基于 Hellinger

- Reissner 变分原理的混合板单元 , 就必须同时假设某些位移和

某些应力 ,因而这种方法称为混合法。当用有限元法处理瞬态问

题时 , 常用的变分原理是 Hamilton 原理。进行静力分析时 , 对大

多数问题 , 应用位移法较简单。因此 , 这种方法得到了广泛的应

用。

·4·

有限单元法处理弹性力学问题的基本思路是 :

(1 )离散化 将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定

数量的有限小的单元集合体。单元之间只在结点上互相联系 , 亦

即只有结点才能传递力。

(2 )单元分析 根据弹性力学的基本方程和变分原理建立

单元结点力和结点位移之间的关系。

(3 )整体分析 根据结点力的平衡条件建立有限元方程、引

入边界条件、解线性方程组以及计算单元应力。

有限元法的主要优点是 : ①概念浅显 , 易于掌握 , 既可以从直

观的物理模型来理解 ,也可以按严格的数学逻辑来研究 ; ②适应性

强 ,应用范围广 , 不仅能成功地分析具有复杂边界条件、非线性、非

均质材料、动力学等难题 , 而且还可以推广到解答数学方程中的其

它边值问题 ,如热传导、电磁场、流体力学等问题 ; ③已经出现了许

多大型结构分析通用程序 , 如 SAP, NASTRAN , ASKA , ADINA,

ANSYS, ABAQ US 等 , 可以直接应用。这些优点 , 使有限单元法

得到了广泛的应用和发展。

1.2 弹性力学基本量和基本方程的矩阵表示

弹性体在载荷作用下 , 体内任意一点的应力状态可用应力分

量来表示 ,用向量的形式可写成[ 6 ]

平面问题 :σ= {σx σy τx y }T

轴对称问题 :σ= {σr σz τrz σθ}T

空间问题 :σ= {σx σy σz τy z τz x τx y }T

弹性体在载荷作用下 ,还将产生位移和变形 , 即弹性体位置的

移动和形状的改变。弹性体内任一点的位移可由沿坐标轴方向的

位移分量来表示。它的向量形式是

平面问题 : u = { u v } T

轴对称问题 : u = { u w} T

空间问题 : u = { u v w} T

弹性体内任意一点的应变 , 可以用应变分量来表示。应变的

·5·

向量形式是

平面问题 :ε= {εx εy γxy }T

轴对称问题 :ε= {εr εz γrz εθ}T

空间问题 :ε= {εx εy εz γyz γz x γxy }T

弹性体的基本方程有平衡方程、几何方程与本构方程 , 此外还

有边界条件。

1. 平衡方程

LTσ+ p = 0 在 Ω域 ( 1.1)

其中 L 是微分算子。

平面问题 : L =

��x

0

0��y

��y

��x

( 1.2 a)

轴对称问题 : L =

��r

0

0��z

��z

��r

1r

0

( 1.2 b)

·6·

L =

��x

0 0

0��y

0

0 0��z

0��z

��y

��z

0��x

��y

��x

0

( 1.2 c)

p 为体积力向量

平面问题 : p= { X Y } T

轴对称问题 : p= { X Z} T

空间问题 : p= { X Y Z} T

2. 几何方程

在小位移和小变形的情况下 ,略去位移导数的高次幂 , 则应变

向量和位移向量间的几何关系有

ε= Lu 在 Ω域 ( 1.3)

3. 本构方程

弹性力学中应力—应变之间的转换关系也称本构方程。对于

各向同性的线弹性材料 ,应力应变关系的矩阵形式为

σ= Dε ( 1.4 )

其中

平面应力问题 : D =E

1 - μ2

1 μ 0

1 0

对 称1 - μ

2

( 1.5 a)

轴对称问题 :

·7·

D = E( 1 - μ)( 1 + μ) (1 - 2μ)

1μ

1 - μ0

μ1 - μ

1 0μ

1 - μ

1 - 2μ

2( 1 - μ)0

对 称 1

( 1.5 b)

空间问题 :

D =E( 1 - μ)

(1 + μ) (1 - 2μ)·

1μ

1 - μμ

1 - μ0 0 0

1μ

1 - μ0 0 0

1 0 0 0

1 - 2μ

2 (1 - μ)0 0

对 称1 - 2μ

2( 1 - μ)0

1 - 2μ2( 1 - μ)

( 1.5 c)

D 称为弹性矩阵。

本构方程的另一种形式是

ε= Cσ ( 1.6 )

其中 , C 是柔度矩阵。

弹性体 Ω的全部边界为Г。其中在一部分边界上作用着已

知的外力 , 这部分边界称为力的边界 , 用 Гσ 表示 ; 另一部分边界

上弹性体的位移已知 ,这部分边界称为位移边界 ,用 Гu 表示。这

两部分边界构成弹性体的全部边界 ,即 Гσ + Гu = Г。

4. 面力边界条件

设弹性体边界外法线为 珗n , 其方向余弦为 nx , ny , n z , 则面力

·8·

边界条件可表示为

珔p = nσ 在 Гσ 上 ( 1.7)

其中 , n为方向余弦矩阵

平面问题 : n =nx 0 ny

0 ny nx( 1.8 a)

空间问题 : n =

nx 0 0 0 nz ny

0 ny 0 nz 0 nx

0 0 nz ny nx 0

( 1.8 b)

珔p 为面力向量

珔p = { X 珡Y 珔Z} T

5. 位移边界条件

已知弹性体边界上的位移为珔u , 则用矩阵形式表示的位移边

界条件为u =珔u 在 Гu 上 ( 1.9)

6. 虚功方程

虚功方程 ,或位移变分方程 ,或最小势能原理(等价于平衡微分方

程和应力边界条件) , 反映了物体处处满足静力平衡的要求。而虚余

功方程 ,或应力变分方程 ,或最小余能原理(等价于几何微分方程和位

移边界条件 ) ,它反映了物体处处满足位移连续的要求。在位移法中 ,

用到的是虚功方程。虚功方程用矩阵表示的形式为

∫Ωδε

TσdΩ =∫

ΩδuT pdΩ+∫

ГσδuT珔pdГ (1.10)

式中 Ω——— �弹性体的内部区域 ;

Гσ———面力已知的边界 ;

δu———虚位移 ,

δu = {δu δv δw} T

δε———虚应变

δε= {δεx δεy δεz δγy z δγz x δγx y }T

在有限元法中 ,常以虚功相等为条件找出一组作用在若干个

结点上的等效集中荷载 Q 去代替体力 p和面力珔p 的作用 ,即

·9·

δaT Q =∫ΩδuT pdΩ+∫

ГσδuT pdГ (1.11 )

其中

δa = {δu1 δv1 δw1 δu2 δv2 δw2 ⋯}T

Q = { X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2⋯ }T

7. 最小位能原理

最小位能原理的泛函总位能 П采用矩阵表达形式为

П =∫Ω

12εT σdΩ -∫

ΩuT pdΩ -∫

ГσuT珔pdГ (1.12)

最小位能原理告诉我们 , 在所有区域内满足几何关系 ( 1.3 )

式 ,在边界上满足给定位移条件 (1.9 ) 的可能位移中 , 真实位移使

系统的总位能取驻值。进一步还可证明在所有可能位移中 , 真实

位移使系统的总位能取最小值。

泛函总位能 П取驻值的条件是它的一次变分为零 ,即

δП= 0 (1.13)

1.3 平面问题 3 结点三角形单元

由于三角形单元对复杂边界有较强的适应能力 , 因此很容易

将一个二维域离散成有限个三角形单元 ,如图 1.1 所示。

1.3.1 单元位移模式及插值函数

典型的 3 结点三角形单元结点编码为 i , j , m , 以逆时针方向

编码为正向。每个结点有 2 个位移分量 ,如图 1.2 所示。

ai =ui

v i ( i , j , m )

每个单元有 6 个结点位移 ,即 6 个结点自由度。

单元结点位移向量为

ae =

ai

aj

am

= { ui v i u j vj um vm }T

·01·

图 1 �.1 二维域离散 图 1 �.2 3 结点三角形单元

在第 1.2 节中已经看到 , 如果弹性体的位移分量是坐标的已

知函数 ,就可以用几何方程求得应变分量 , 从而用本构方程求得应

力分量。但是 ,如果只是已知弹性体中某几个点 ( 例如结点 ) 位移

分量的数值 ,是不能直接求得应变分量和应力分量的。因此 , 为了

能用结点位移表示应变和应力 ,首先必须假定一个位移模式 , 也就

是假定位移分量为坐标的某种简单函数。

3 结点三角形单元位移模式选取一次多项式

u = α1 + α2 x + α3 y

v = α4 + α5 x + α6 y(1.14)

在 i , j , m 三点 ,有

ui = α1 + α2 x i + α3 y i v i = α4 + α5 x i + α6 yi

uj = α1 + α2 x j + α3 y j v j = α4 + α5 x j + α6 yj

um = α1 + α2 x m + α3 ym vm = α4 + α5 x m + α6 ym

运用克来姆法则求解上述线性方程组可求得α1 ,α2 , ⋯α6 , 再

代回 (1.14) ,整理以后 , 得

u = Ni ui + N j uj + N m um

v = N i v i + N j v j + N m vm(1.15)

其中

Ni =1

2 A( ai + bi x + ci y) ( i , j , m) (1.16)

·11·

称插值函数 , ai , bi , ci 为与坐标有关的系数 ,

ai = x j ym - x m y j

bi = y j - ym

ci = - x j + x m

( i , j , m ) (1.17)

A 为三角形 ij m 的面积

A =12

1 x i yi

1 x j yj

1 x m ym

插值函数 Ni 还可写成

N i =

1 x y

1 x j yj

1 x m ym1 x i yi

1 x j yj

1 x m ym

( i , j , m)

从上式可以看出

( N i ) i = 1 , ( N i ) j = 0 , ( Ni ) m = 0 ( i , j , m )

或

Ni ( P) = δiP =1 i = P

0 i≠ P

图 1.3 插值函数

N i ( x , y )

的几何意义

还可证明

N i + Nj + N m = 1

Ni ( x , y )的几何意义可从图 1.3 看出。由此

容易得到

∫∫A

Ni d xd y = �A

∫i j N i d s =12

li j

(1.14) 式的矩阵形式为

·21·

u = Nae (1.18 )

其中 , N 为插值函数矩阵或形函数矩阵

N =N i 0 N j 0 N m 0

0 Ni 0 Nj 0 Nm(1.19)

确定了单元位移后 ,利用 ( 1.3) 式即可求得单元的应变

ε= Lu = LNae =〔Bi Bj Bm〕ae

= Bae (1.20)

B 为应变矩阵 , 其分块子矩阵是

Bi =1

2 A

bi 0

0 ci

ci bi

( i , j , m) (1.21)

单元应力可以根据本构方程求得 , 将 ( 1.20 ) 式代入 ( 1.4 ) 式

中 ,则有

σ= Dε= DBae = sae (1.22)

其中

s = DB = D〔Bi Bj Bm〕=〔si sj sm〕 (1.23)

s称为应力矩阵。将平面应力或平面应变的弹性矩阵代入

(1.23 ) ,可以得到计算平面应力或平面应变问题的单元应力矩阵。

s 的分块矩阵为

si = DBi =E0

2 (1 - μ20 ) A

bi μ0 ci

μ0 bi ci

1 - μ02

ci1 - μ0

2bi

( i , j , m)

(1.24)

其中 , E0、μ0 为材料常数 ,对于平面应力问题 :

E0 = E μ0 = μ (1.25)

对于平面应变问题 :

E0 =E

1 - μ2 , μ0 =

μ1 - μ

(1.26)

应力矩阵 s 和应变矩阵 B 都是常量矩阵 ,由此而计算出的单

·31·

元中各点的应力是相同的。

1.3.2 单元刚度矩阵

为了获得单元刚度矩阵 ,现在来导出用结点位移表示结点力

的表达式。假想在单元 ijm 中发生了虚位移 , 相应的结点虚位移

为δae , 引起的虚应变为 δε。因为每一个单元所受的荷载都已经

移置到结点上 ,所以该单元所受的外力只是结点力 Fe , 这时虚功

方程 (1.10) 成为

(δae ) T Fe t =∫∫Ω

eδεTσtd xd y (1.27)

其中 , t 为单元厚度。

将 (1.20) 、( 1.22 )两式代入 ( 1.27 )式 , 得

(δae ) T Fe t = (δae ) T∫∫Ω

eBT DBtd xd yae

由于虚位移可以是任意的 ,因此有

Fe = keae (1.28)

其中

ke =∫∫Ω

eBT DBtd xd y (1.29)

称为单元刚度矩阵。它的元素表明该单元的各结点沿坐标方向发

生单位位移时引起的结点力。

将应变矩阵 B 和弹性矩阵 D 代入 ( 1.29 )式 ,即得到平面问题

3 结点三角形单元刚度矩阵 ,写成分块形式如下

ke =

ki i ki j kim

kj i kj j kjm

km i kmj km m

(1.30)

其中

krs =∫∫Ω

eBTr DBs td xd y =

E0 t

4 (1 - μ20 ) A

·41·

br bs +1 - μ0

2crcs μ0 brcs +

1 - μ02

crbs

μ0 crbs +1 - μ0

2br cs crcs +

1 - μ02

brbs

( r = i, j , m; s = i, j , m ) (1.31)

单元刚度矩阵具有如下性质 :

(1 )由 krs的表达式可见 , krs = kTsr ;

(2 ) ke 为奇异矩阵 ;

(3 ) ke 的元素取决于单元的形状、大小、方位和弹性常数 , 而

与单元的位置无关 ,即 , 不随单元或坐标轴的平行移动而改变 ;

(4 )平面图形相似的单元 , 若材料性质和厚度相同 , 则他们具

有相同的单元刚度矩阵。

1.3.3 单元等效结点荷载

由 (1.11) 式得到单元等效结点荷载

Qe = Qep + Qe珔p (1.32)

其中

Qep =∫Ω

eNT ptdΩ (1.33)

为由体积力而产生的单元等效结点荷载 ,

Qe珔p =∫Гeσ

NT珔ptdГ (1.34)

为由面力而产生的单元等效结点荷载。

1 .均质等厚单元的自重

单元的单位体积重量为ρ,如图 1.4 所示。根据(1.33)式 ,现有

p = { 0 - ρ} T

自重产生的等效结点荷载是

Qep = -13ρtA {0 1 0 1 0 1} T (1.35)

2 .单元 ij 边上沿 x 方向作用均布荷载 , 如图 1.5 所示。这时

边界上的面力为

·51·

珔p = { q 0 } T

单元等效结点荷载为

Qe珔p =12

qlt{1 0 1 0 0 0 }T

(1.36)

其中 , l 为 ij 边的长度。

图 1 b.4 三角形单元作用体积力 图 1 �.5 i j 边上作用均布荷载

1.3.4 整体平衡方程

在位移有限元法中 , 求解结点位移的方程是平衡方程。为了

说明整体平衡方程的建立 , 现在来考虑图 1.6 所示问题上任意一

结点 i 的平衡。结点 i 承受由实际荷载转化过来的等效结点荷载

Q,其分量为 Xi 和 Y i。同时 ,结点 i 还承受相邻单元施加给它的

结点力 , 用∑eFe 表示。∑

e表示对那些环绕结点 i 的所有单元求

和。结点力 Fe 的分量为 U i 和 V i , 它与结点位移间的关系如

(1.28) 式。由结点 i 的平衡条件 ,得

Xi = ∑e

U i Y i = ∑e

V i (1.37)

写成矩阵的形式 ,则有

Qi = ∑eFei ( i = 1 ,2 ,⋯ , n ) (1.38)

其中 , n 为结点总数。将 (1.28) 式代入 (1.38) 中 ,并集合所有结点

的平衡方程 ,得到

Ka= Q (1.39 )

·61·

其中

K = ∑eke Q = ∑

eQe (1.40)

K 为总刚度矩阵。

我们也可利用最小位能原理建立结构的整体平衡方程 ,为此 ,

将 (1.20) 、( 1.22 )两式代入 ( 1.12 )式 , 则有

П=12

aT Ka - aT Q (1.41 )

其中 K 为总刚度矩阵 , Q 为总结点荷载向量 ,见式 ( 1.40 ) ,按下

式计算

Q = ∑eQep + ∑

eQe珔p (1.42)

离散形式的总位能 П 的未知变量是结构的结点位移 a, 由

(1.13 ) 式 ,

δП=�П�a

= 0 (1.43 )

得到

Ka= Q

图 1.6 三结点三角形单元结点 i 的平衡

1.3.5 引入边界条件

结构的计算模型必须是几何不变的 ,否则结构的位移状态将

是不确定的。因此任一计算模型都含有一定数量的约束 ,至少含

·71·

有消除刚体位移的约束。

在位移有限元法中 , 位移边界条件是强迫边界条件。通常结

构受位移约束的状态有两种 :零位移约束和非零位移约束。对它

们的处理方法有所不同 ,现分述于下 :

(1 )零位移约束

设某一结点沿某约束方向位移为零 ,用 am = 0 表示。在程序

设计时 ,只要将总刚度矩阵 K 中与零结点位移相对应的对角元素

改为 1,其它元素改为 0,在荷载列阵中将与零结点位移相对应的

元素改为 0,即 :

k11 k12 ⋯ 0 ⋯ k1 n

k21 k22 ⋯ 0 ⋯ k2 n

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

0 0 ⋯ 1 ⋯ 0

⋯ ⋯ ⋯ ⋯

kn1 kn2 ⋯ 0 ⋯ knn

a1

a2

⋯

am

⋯

an

=

Q1

Q2

⋯

0

⋯

Qn

(1.44)

用这种方法引入零位移约束 , 不改变原来方程的阶数和结点

未知量的顺序。

(2 )非零已知位移约束

已知某一结点沿某约束方向位移为珔am , 即 am =珔am 。在程序

中只须对第 m 个方程作如下修改 : 一是将主对角线元素 km m乘以

大数α(α视计算机表示的大数的能力而定 , 例如 α可取 1020左右

的量级 ) , 二是将 Qm 用αkm m珔am 值取代 ,即

k11 k12 ⋯ k1 n

k21 k22 ⋯ k2 n

⋯ ⋯ ⋯

km 1 km 2 αkm m km n

⋯ ⋯ ⋯

kn1 kn2 ⋯ knn

a1

a2

⋯

am

⋯

an

=

Q1

Q2

⋯

αkm m珔am

⋯

Qn

(1.45)

经过修改后的第 m 个方程为

·81·

km 1 a1 + km 2 a2 + ⋯ + αkm m am + ⋯ + km m an = αkm m珔am

由于 αkm m m km j ( j≠ i ) , 方程左端的 αkm m珔am 项比其它项要大得

多 ,因此近似得到αkm m am≈αkm m珔am

则有 am =珔am

这个方法使用简单 ,适用于任何给定位移 ( 给定零位移或非零

位移 )。方程阶数不变 , 结点位移顺序不变 ,程序编制方便 , 因此在

有限元方法中经常采用。

1.3.6 3 结点三角形单元的解题步骤

3 结点三角形单元的解题过程可分为

(1 )建立由三角形单元组成的离散化模型 , 网格划分 , 单元编

号 ,结点编号 ;

(2 )形成单元刚度矩阵 , 一般分两步进行

第一步按 (1.17)式计算出各个单元的 bi , ci ( i , j , m)和 A 值;

第二步按 (1.30)和(1.31)式形成单元刚度矩阵 ;

(3 )形成总刚度矩阵〔12〕

。

在获得了各个单元的刚度矩阵 ke 以后 , 就可按 (1.40 )建立整

体刚度矩阵 K。但在实际计算时 , 则是采用“对号入座”后“同序

号迭加”的方法进行。现结合图 1.7 中的结构加以说明。

图 1.7 结点的总体编码和局部编码

图 1.7 表示结点的两种编码 :

一是结点整体编码 , 图 1.7 ( a )。六个结点的整体编码为 1 ,

2 , 3 , 4 , 5 , 6。

·91·

二是结点的局部编码 ,图 1.7 ( b) 、( c)。每个单元的三个角点

按反时针方向的顺序各自编码为 i , j , m。

由图 1.7 看出 ,四个单元的局部编码与整体编码的对应关系为

单元Ⅰ : i , j , m—1 , 2 , 3

单元Ⅱ : i , j , m—2 , 4 , 5

单元Ⅲ : i , j , m—5 , 3 , 2

单元Ⅳ : i , j , m—3 , 5 , 6

单元刚度矩阵 ke 是 6×6 阶矩阵 ,它的分块形式为 (1.30 ) , 其

中的子块是按结点局部编码排列的。

总刚度矩阵 K 是 12×12 阶矩阵 ,其中的子块是按照结点整

体编码排列的。

形成整体刚度矩阵可分为两步进行 :

第一步 ,把单元刚度矩阵 ke 扩大成单元的贡献矩阵 Ke。这

一步又包含两个内容 :

第一个内容是阶数扩大—由 6×6 阶的 ke 扩大为 12×12 阶

的 Ke ;

第二个内容是子块“搬家”—把 ke 中按局部编码排列的 9 个

子块“搬家”,变为 Ke 中按总码排列的 9 个子块。 Ke 中的其余子

块则用零子块来填充。

以单元Ⅱ为例 , 局部 i , j , m 对应于总码 2 , 4 , 5 , 按照这个对

应关系搬家后 ,可得出单元Ⅱ的贡献矩阵 K2 如下整体码→1 2 3 4 5 6 ↓

1

2

3

4

5

6

k2i i k2i j k

2im

k2j i k2j j k2jm

k2mi k2m j k2m m

i

j

m

↑

(1.46)

i j m ←———局部码

·02·

用同样的方法可得出其它单元的贡献矩阵 K1 , K3 , K4。

第二步 ,把各个单元的贡献矩阵叠加 ,即得出整体刚度矩阵

K。

K =

k1i i k1ij k1im 0 0 0

k1j i k1j j + k

2ii + k

3m m k

1j m + k

3mj k

2i j k

2i m + k

3mi 0

k1m i k1mj + k3j m k1m m + k3jj + k4i i 0 k3ji + k4ij k4i m

0 k2ji 0 k2j j k

2jm 0

0 k2mi + k3i m k3ij + k4ji k2m j k2m m + k3ii + k4j j k4j m

0 0 k4mi 0 k4mj k4m m

(1.47)

在实际计算中 , 以上两个步骤是穿插进行的 , 即按照“对号入

座 ,边搬家 , 边累加”的方法集成。

(4 )按 ( 1.32 )至 ( 1.34 )式形成单元等效结点荷载向量。

(5 )形成总结点荷载向量 , 方法同步骤 (3 )。

(6 )按 ( 1.44 )和 ( 1.45 )式引入位移边界条件。

(7 )解线性代数方程组 , 得到结点位移 a。

(8 )根据 ( 1.22 )式计算单元应力。

(9 )整理计算成果。

1.3.7 例 题

图 1.8 为一固端深梁受集中力 P 作用 , 试用 3 结点三角形单

元求跨中位移 (平面应力问题 , 取 E 为常量 , μ=16

, t = 1 )

解 :利用对称性 , 仅需考虑左半部结构。单元编号、结点编号

如图 1.8。

(1 )计算 bi , ci

单元① :

bi = yi - ym = 0 bj = ym - yi = 1 bm = y i - y j = - 1

ci = x m - x j = - 1 cj = x i - xm = 0 cm = x j - x i = 1

·12·

图 1.8 受集中力作用的固端深梁

单元②

bi = yi - ym = 0 bj = ym - yi = - 1 bm = y i - y j = 1

ci = x m - x j = 1 cj = x i - xm = 0 cm = x j - x i = - 1

(2 )计算单元刚度矩阵 ke

ki i①

=18 E35

512

0

0 1 >ki j

①=

18 E35

0 -5

12

-16

0

kim ① =18 E35

-5

125

12

16

- 1

kj j① =18 E35

1 0

05

12

kjm①

=18 E35

- 1 1

512

-5

12

km m①

=18 E35

1712

-7

12

-712

1712

·22·

k① = k② =18 E35

512

0 0 -5

12-

512

512

1 -16

016

- 1

1 0 - 1 1

512

512

-5

12

对 称1712

-7

12

1712

(3 )形成总刚度矩阵

K = 18 E35

1712

-1712

- 1512

-512

16

0 0

1712

1 -512

512

- 1 0 0

1712

0 0 -712

-512

512

1712

-712

016

- 1

1712

0 - 1 1

1712

512

-5

12

对 称1712

-7

12

1712

(4 )形成总结点荷载向量

Q = X1 Y1 X 2 -P2

X3 Y3 X4 0T

(5 )由于 u1 = v1 = u2 = u3 = v3 = u4 = 0 , 在考虑了边界条件

以后 ,得到有限元方程如下

·32·

18 E35

1712

- 1

- 11712

v2

v4=

-P2

0

解上述方程 ,得到

v2 = - 1.367816PE

, v4 = - 0.965517PE

最后得结点位移为 :

a = 0 0 0 - 1.367816 PE

0 0 0 - 0.965517PE

T

1.4 变温应力的计算

在弹性力学中曾经指出 ,求解变温作用的位移、应变和应力所

用到的平衡方程、几何方程和外荷载作用的问题相同 , 所不同的只

是本构方程。例如在平面应力问题中 , 当变温为 T 时 , 其本构方

程为

εx =σxE

- μσyE

+αT

εy =σyE

- μσxE

+ αT

γx y =2 (1 + μ)

Eτxy

也可写成如下矩阵的形式

σ= D(ε- ε0 ) (1.48 )

其中 ε0 = αT{1 1 0}T。

由此可见 , 如果我们以 (ε - ε0 )取代外荷载作用下的 ε,便可

得到形式相同的本构方程。

下面用最小位能原理推导变温问题的有限元方法。按照建立

有限元的步骤 ,首先还是进行区域剖分建立求解结点位移的离散

模型 ;然后分片插值 ,构造单元的位移模式 ,并建立相应的单元应

·42·

变矩阵、应力矩阵和单元的能量泛函 ;再由能量泛函的极值条件导

出求解结点位移的有限元方程 ;再由单元结点位移求出单元应变 ,

再由变温问题的本构方程 (1.48 ) 式求出单元的变温应力。

单元的位移模式仍可取一般的表示形式

u = Nae

由于几何方程相同 ,单元应变与结点位移之间的关系仍为

ε= Bae

将上式代入 (1.48) 式 ,便可得到单元的本构方程为

σ= DBae - Dε0 (1.49 )

若不考虑外力 ,则变温作用下单元的位能为

ПeP }=

12∫Ωe (ε - ε0 )

T D(ε - ε0 ) dΩ

=12

( ae ) T ke ( ae ) - ( ae ) T Qet +12∫Ωeε0

T Dε0 dΩ

(1.50 )

其中

ke =∫ΩeBT DBdΩ (1.51)

Qet =∫ΩeBT Dε0 dΩ (1.52)

总位能为

Пp =12

aT Ka - aT Qet +12 ∑e∫Ωeε

T0 Dε0 dΩ (1.53)

其中

K = ∑e

ke Qt = ∑e

Qet

根据能量泛函极值条件 ,有

δΠp =�Пp�a = 0

即

Ka= Q

这就是求解变温引起结点位移的有限元方程。从以上推导过程可

·52·

以看出 ,变温问题的有限元计算与外荷载作用问题类似。如果把

变温引起的 (ε- ε0 )和 Qet 分别替换外荷载引起的ε和 Q

e, 变温问

题的有限元计算过程便和外荷载作用问题完全一样。为此 , Qet 在

有限元文献中称为变温引起的等效结点荷载。需要注意 , 变温作

用与结点荷载 Qet 的作用只是在求结点位移时才等效 , 而在求单

元应力时 ,应当用变温的本构方程 ( 1.48 )式计算。

对于平面应力问题中的常应变单元 , 其变温等效结点荷载和

应力公式不难从式 (1.52) 和 (1.49) 得到

Qet =α( T i + T j + Tm ) E t

6( 1 - μ){ bi ci bj cj bm cm }

T

(1.54)

σ= DBae - EαT1 - μ

{1 1 0} T (1.55)

对于平面应变问题 , 只须将E

( 1 - μ2)替代 E ,

μ1 - μ

替代μ和

(1 + μ)α替代α,便可得到相应的 Qet 和σ计算公式。

实际工作中 ,温度因素往往是和外荷载共同作用的 ,而这两种

作用因素引起的位移场的有限元分析过程是相似的 ,它们所采用

的离散化模型、单元位移模式、N、B、s、K 的公式和有限元方程完

全是一样的 ,不同的只是对应的等效结点荷载向量的求解。对于

温度作用 ,还得先求解其变温场 ,而变温场所采用的网格 ,单元形

态、插值函数又与位移场的相同。因此 ,对于结构在变温和荷载两

种因素共同作用下的应力分析问题可以采用同一种网格 ,编写连

贯的一套程序 ,既可求出变温场 ,又可求出位移场 ,最后求出两种

因素产生的应力。

1.5 有限元解的收敛性和误差估计

1.5.1 有限元解的收敛准则

有限元解的精度从表面上看 ,它取决于离散化模型逼近原结

·62·

构的程度 ,而从实质分析 ,它依赖于有限元所建立的位移模式逼近

真实位移形态的状况。因此要使有限元解收敛于真解 ,关键在于

位移模式的选择。下面介绍选择位移模式必须满足的准则。

(1 )完备性准则 如果出现在泛函 ( 1.12 ) 式中场函数的最

高阶导数是 m 阶 ,则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的

试探函数至少是 m 次完全多项式。或者说试探函数中必须包括

本身和直至 m 阶导数为常数的项。

单元的插值函数满足上述要求时 ,我们称单元是完备的。

(2 )协调性准则 如果出现在泛函 ( 1.12) 式中的最高阶导

数是 m 阶 , 则试探函数在单元交界面上必须具有 Cm - 1连续性 , 即

在相邻单元的交界面上应有函数直至 m - 1 阶的连续导数。

当单元的插值函数满足上述要求时 ,我们称单元是协调的。

简单地说 ,当选取的单元既完备又协调时 , 有限元解是收敛

的 ,即当单元尺寸趋于零时 ,有限元解趋于真正解。我们称这种单

元为协调单元。当单元选取的位移模式满足完备性准则但不完全

满足单元之间的位移及其导数连续条件时 ,称为非协调单元。

需要指出的是 :当泛函中出现的导数高于一阶 (例如板壳问

题 ,泛函中出现的导数是 2 阶 )时 ,则要求试探函数在单元交界面

上具有连续的一阶或高于一阶的导数 ,即具有 C1 或更高的连续

性 ,这时构造单元的插值函数比较困难。在某些情况下 , 可以放松

对协调性的要求 ,只要这种单元能通过分片试验 , 有限元解仍然可

以收敛于正确的解答。这种单元就是非协调元。

1.5.2 收敛准则的物理意义

为了从物理意义上加深对收敛准则的理解 , 我们以平面问题

为例加以说明。

在平面问题中 ,泛函 Πp 中出现的是位移 u 和 v 的一次导数 ,

即εx ,εy ,γx y ,因此 m = 1。收敛准则 1 要求插值函数或位移函数

至少是 x , y 的一次完全多项式。我们知道位移及其一阶导数为

常数的项是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模

·72·

式。所以完备性的要求由插值函数所构成的有限元解必须能反映

单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求 , 那么赋予

结点以单元刚体位移 ( 零应变 )或常应变的位移值时 , 在单元内部

将产生非零或非常值的应变 , 这样有限元解将不可能收敛于真正

解。

有限单元法中构造位移函数的核心是选择插值函数 N i ( x ,

y) , 下面讨论要使位移模式满足完备性准则 , 插值函数 N i ( x , y )

需要满足一些什么条件 ?

对于具有 d 个结点的单元 , 位移模式的一般表达式为

u = ∑d

i = 1

N i ui ( u , v ) (1.56)

根据完备性的要求 ,上式两边的 u 和 ui 必须为下列形式

u = A + Bx + Cy + ⋯

ui = A + Bx i + Cyi + ⋯ ( i = 1 , 2 , ⋯ , d)

将其代入 (1.56) 式的两边后 ,则有

u �= A + Bx + Cy + ⋯

= N 1 ( A + Bx1 + Cy1 + ⋯ ) + N2 ( A + Bx2 + Cy2 + ⋯ ) + ⋯

N d ( A + Bx d + Cyd + ⋯ )

= A ∑d

i = 1

Ni + B ∑d

i = 1

N i x i + C ∑d

i = 1

N i yi + ⋯

为了使 A , B , C 为任意常数时上述等式都能成立 , 则要求

∑d

i = 1

N i = 1 ,∑d

i = 1

Ni x i = x ,∑d

i = 1

N i yi = y (1.57)

上式就是完备性准则要求插值函数 Ni ( x , y ) 必须满足的条件。

其中 ,第一式是保证位移模式具有刚体位移项的条件 , 而第二、三

式则是保证位移模式具有常应变项的条件。

应该指出 ,在 Bazeley 等人开始提出上述收敛准则时 , 是要求

在单元尺寸趋于零的极限情况下满足完备性收敛准则。如果将此

收敛准则用于有限尺寸的单元 ,将使解的精度得到改进。

对于平面问题 ,协调性要求是 C0 连续性 ,即要求位移函数 u, v

·82·

的零阶导数 ,也就是位移函数自身在单元交界面上是连续的。

如果在单元交界面上位移不连续 , 则将发生两相邻单元在公

共边界上互相脱离或互相嵌入的现象。因此 , 倘若边界上位移不

连续 ,有限元解就不可能收敛于真正解。

可以看到常应变 3 结点三角形单元的位移模式既满足完备性

要求 ,也满足协调性要求 , 因此采用这种单元 ,解是收敛的。

应当指出 , 对于二、三维弹性力学问题 , 泛函中出现的导数是

一阶 ( m = 1 ) , 对近似的位移函数的连续性要求仅是 C0 连续性 ,

这种只要求函数自身在单元边界连续的要求很容易得到满足。

1.5.3 收敛速度和误差估计

若单元的插值函数是完备而协调的 , 当单元尺寸不断缩小而

趋于零时 ,有限元解将趋于真正解。在有些情况下 , 如果用于有限

元场函数近似解的多项式能精确地拟合真正解 , 则在有限数目的

单元划分 (甚至仅仅是一个单元 ) 的条件下 ,也能得到精确的解答。

例如真正解是二次函数 , 若有限元的插值函数也包括了二次的完

全多项式 ,则有限元解就能得到精确的解答。

以上论述可以帮助我们决定有限元解的收敛速度。因为精确

解总可以在域内一点 i 的邻域内展开为一个多项式 , 例如平面问

题中的位移 u 可以展开为

u = ui +�u�x i

Δx +�u�y i

Δy + ⋯ (1.58)

如果在尺寸为 h 的单元内 , 有限元解采用 p 阶完全多项式 ,则

它能局部地拟合上述 Taylor 展开式直到 p 阶。由于Δx,Δy 是 h 的

量级 ,所以位移解 u的误差是 0 ( hp + 1 )。例如平面问题采用 3 结点

三角形单元 ,插值函数是线性的 , 即 p = 1 , 所以 u 的误差是 0( h2 ) ,

并可预计收敛速度也是 0 ( h2 ) 的量级 , 也就是说将有限元网格进一

步细分 ,使所有单元尺寸减半 ,则 u的误差是前一次网格划分误差

的14。

·92·

类似的论证可以用于应变和应力误差及收敛速度的估计。例

如应变是由位移的 m 阶导数给出的 , 则它的误差是 0 ( hp - m + 1

) ,

当平面问题采用 3 结点三角形单元时 , p = m = 1 , 则应变的误差

估计是 0( h)。

在上面的讨论中 ,虽然形式上对误差做出了量级上的估计 , 但

实际上并不能对有限元解的误差做出具体的估计。而后者往往是

实际分析工作所需要的。为此 ,一般可以通过两种途径来解决 :

(1 )选择一个已知解析解的相同类型的问题 , 求解域尽可能和

实际分析的问题相近 , 并采用相同形式的单元和差不多的网格划

分 ,用此问题有限元解的误差可以估计实际问题的误差。

(2 )利用以上讨论中关于收敛速度的量级估计 , 采取外推的方

法求解校正的解答。因为当泛函取极值时 , 如有限元的插值函数

满足完备性和协调性的要求 ,则单元尺寸 h→0 时 , 有限元解应是

单调收敛的。因此 , 如第一次网格划分的解答是 u1 ,然后将各单

元尺寸减半作为第二次的网格划分 ,得到解答为 u2。若已知收敛

速度是 0( hr) ,则可由下式预测精确解

u1 - uu2 - u

=0 ( h r )

0 ( ( h/ 2)r)

(1.59)

若是平面问题采用 3 结点三角形单元 ,则 r = 2 ,上式可写作

u1 - uu2 - u

=0 ( h

2)

0 ( ( h/ 2)2)

= 4

即可推得精确解

u =13

( 4 u2 - u1 )

但是需要注意的是 , 以上所讨论的误差仅是离散误差。即一

个连续的求解域被划分成有限个子域 ( 单元 ) ,由单元的试探函数

近似整体域的场函数所引起的误差。

另一主要误差是计算机有限的有效位数 (字长 ) 所引起的 ,它

包含舍入 (四舍五入 ) 误差和截断 ( 原来的实际位数被截取为计算

机允许的有限位数 )误差。前者带有概率的性质 ,主要靠增加有效

·03·

位数 (如采用双精度计算 )和减少运算次数 (如采用有效的计算方

法和合理的程序结构 )来控制。后者除与有效位数直接有关外 ,还

与结构 (最终表现为刚度矩阵 ) 的性质有密切关系。例如结构在不

同方向的刚度相差过于悬殊 ,可能使最后的代数方程组成为病态 ,

从而使解答的误差很大 ,甚至导致求解失败。

另外还必须指出 ,位移有限元法得到的位移解总体上不大于

真正解 ,即解具有下限性质〔2〕。

习 题

1.1 证明 3 结点三角形单元的插值函数满足

∑i

Ni = 1 ,∑i

Ni x i = x 和∑i

Ni yi = y

1.2 写出图 1.9 所示三角形单元的插值函数 N i , Nj , N m 及

应变矩阵。

1.3 图 1.9 中单元在 jm 边作用有沿 x 方向线性分布的面

荷载 ,试求等效结点荷载向量。

1.4 以平面问题常应变三角形单元为例 , 证明单元刚度矩阵

的任何一行 (或列 ) 元素总和为零。

1.5 证明常应变三角形单元发生刚体位移时 , 单元中将不产

生应力。

1 .6 图1.10为一刚性基础上的三角形水坝 , 受齐顶水压力

图 1 z.9 图 1 �.10

·13·

作用 ,试将它分成四个单元 , 建立结构的整体有限元方程 ( 按平面

应变问题计算 ,取 E 为常量 ,μ=16

, t = 1)。

1.7 为什么有时非协调单元反而比协调单元具有更高的精

度 ?

·23·

第二章 平面问题的较精密单元

2.1 面 积 坐 标

面积坐标是自然坐标系的一种。自然坐标不同于直角坐标

系 ,它是无因次的有界限的局部坐标 , 坐标的绝对值不超过 1 , 其

形式随描述物体的几何图形不同而不同。例如 , 一维直杆单元的

自然坐标 ξ往往取杆轴为其坐标方向 , 杆长中点为其原点 , 该杆

单元内任意点 k 的自然坐标值ξ在 - 1 和 + 1 之间变化 , 如图 2.1

( a) 所示。二维矩形单元的两个自然坐标方向往往分别平行于矩

形的两邻边 , 原点取在矩形的形心 , 该矩形单元内任意点 k 的二

个自然坐标值ξ和η也是在 - 1 和 + 1 之间变化 , 如图 2.1 ( b) 所

示。

图 2.1 一维和二维自然坐标

应用这类自然坐标作为离散化模型中单元的局部坐标进行单

元分析是很方便的 , 因为用它去描述单元各种量的公式将适用于

任一个同类单元 , 具有通用化、规格化的特点。为此 , 在有限元的

单元分析中一般都采用这类自然坐标作为单元的局部坐标〔6〕

。

现在的问题是 ,对于三角形单元 , 是否也可以用这类自然坐标

作为单元的局部坐标呢 ? 其自然坐标的形式又是怎样的呢 ? 答案

是肯定的。从自然坐标的无因次和其量值不超过±1 的特点 , 可

·33·

以推知 , 描述单元内任意点位置的自然坐标是取该点某种几何量

在直角坐标系中的表示值与单元内该几何量最大值的比值为量值

的。例如前述的一维杆单元和二维矩形单元的自然坐标是用长度

比为其量值。至于三角形单元 , 则可取其面积比为其量值。图

2.2 所示某一三角形单元 ij m , P 为单元内任意一点 , 它和三个顶

点相接构成三个子三角形 Pj m , Pmi , Pij。将这三个子三角形的

面积 Ai , Aj , Am 与整个大三角形 ijm 面积 A 的比值就是描述 P

点的三个自然坐标值 ,若用记号 Li ( P) , L j ( P) , Lm ( P)表示 , 则有

L i ( P) =ΔPj mΔi j m

=AiA

, L j ( P) =ΔiP mΔi j m

=A jA

Lm ( P) =Δi jPΔi jm

=A mA

( 2.1)

这种以面积比为量值的自然坐标称之为面积坐标。

图 2.2 三角形单元面积坐标

显然 ,这三个面积坐标并不是

完全独立的 , 由于 Ai + Aj + Am =

A ,所以有关系式

L i + L j + Lm = 1 ( 2.2)

因此 Li , L j , Lm 中只有两个是

独立变量。

这种面积坐标 , 只限于描述三

角形单元内部任意点的位置 , 因此

它只能作为单元的局部坐标。根据它的定义 , 就知道它是一种大

小不超过 1 的无因次坐标。以 Li 为例 , 当 P 点和 i 点相重时 , Ai

= A ,故 L i = 1; 当 P 点落在 jm 边上任一点时 , Ai = 0 , 则有 Li =

0; 当 P 点落在单元内平行于 jm 边任一条线上时 ,它将根据 P 点

到 jm 边的垂矩和 i 点到 j m 边垂距的比值决定 Li 的大小 , 显然 ,

位于同一条平行于 j m 边的线上任意点的 Li 值将相同。由此可

知 , L i 的等值线将是一组平行于 j m 边的线 , 它的大小是从 0 到

1。正如图 2.2 中虚线所示的 L i = 0 ,14

,12

,34和 1 的等值线。当

·43·

然 , Li 的这些特点也将适用于 L j 和 Lm。

掌握面积坐标的上述特点 ,极易写出三个结点的面积坐标值 ,

如

结点 i : Li ( i ) = 1 , Lj ( i) = 0 , Lm ( i ) = 0

结点 j : Li ( j ) = 0 , Lj ( j) = 1 , Lm ( j ) = 0

结点 m: L i ( m) = 0 , Lj ( m ) = 0 , Lm ( m) = 1

若引用 Kronecker 记号 ,上面表达式可综合为 :

Li ( P) = δiP ( i , j , m ) ( 2.3)

其中 , P = i , j , m

面积坐标只适合于单元分析而不能用于整体分析 , 整体离散

化模型分析是在整体直角坐标系中进行的 , 因此还必须建立面积

坐标和整体坐标之间的关系。由式 ( 2.1 ) 可知 Li = A i/ A , 其中

A i 是三角形 Pjm 的面积 , 其三个结点的整体坐标分别为 P ( x ,

y) , j ( x j , yj ) , m( xm , ym ) ,有

A i �=12

1 x y

1 x j y j

1 x m ym

=12〔( x j ym - x m y j ) + ( y j - ym ) x + ( xm - x j ) y〕

将式 (1.17) ai , bi , ci 公式代入 ,得

Ai =12

( ai + bi x + ci y)

故 L i =AiA

=1

2 A( ai + bi x + ci y)

同理得 , L j =AjA

=1

2 A( aj + bj x + cj y)

Lm =AmA

=1

2 A( am + bm x + cm y)

( 2.4)

若用矩阵表示上式 ,则有

·53·

Li

Lj

Lm

=1

2 A

ai bi ci

aj bj cj

am bm cm

1

x

y

( 2.5)

这就是用直角坐标表示面积坐标的表示式。如将式 ( 2.4 ) 与式

(1.16 ) 相比便可知道 3 结点三角形单元的插值函数 Ni , Nj , N m

就是面积坐标 L i , L j , Lm 。

为了得到用面积坐标表示整体直角坐标的关系式 , 则可由式

(2.5 )导出其逆算式 :

1

x

y

=1

2 A

ai bi ci

aj bj cj

am bm cm

- 1Li

Lj

Lm

( 2.6)

容易验证

2 A

ai bi ci

aj bj cj

am bm cm

- 1

=

1 1 1

x i x j x m

y i yj ym

再代入式 (2.6 ) , 便得

1

x

y

=

1 1 1

x i x j xm

yi y j ym

Li

Lj

Lm

( 2.7)

或展开为

1 = L i + L j + Lm = ∑i , j , m

L i

x = L i x i + Lj x j + Lm xm = ∑i , j , m

Li x i

y = Li yi + Lj y j + Lm ym = ∑i , j , m

L i yi

( 2.8)

这就是用面积坐标表示直角坐标的代数算式。它还表明 , 在

3 结点三角形单元中若取面积坐标 L i , L j , Lm 为插值函数 , 则由

其构造的位移模式将是满足完备性准则的 (见 1.4 节 ) 。

现在介绍一些面积坐标函数对直角坐标的求导和求积分公式。

·63·

当面积坐标函数对直角坐标求导时 ,可应用下列公式

��x

=�

�Li�L i�x

+��L j

�Lj�x

+�

�Lm�Lm�x

=1

2 Abi

��L i

+ bj��L j

+ bm�

�Lm

��y

=��L i

�Li�y

+�

�Lj�L j�y

+�

�Lm�Lm�y

=1

2 Aci

��L i

+ cj�

�Lj+ cm

��Lm

( 2.9)

当求面积坐标的幂函数在三角形单元上的面积分值时 , 可应

用下列积分公式 :

�A

Lai L

bj L

cm d xd y =

a !b !c !( a + b + c + 2) !

2 A (2.10)

从上式可推得

�A

L i d xd y 昁=1 !0 !0 !

( 1 + 0 + 0 + 2 ) !2 A =

A3

( i , j , m ) (2.11)

�A

L2i d xd y =

2 !0 !0 !( 2 + 0 + 0 + 2 ) !

2 A =A6

( i , j , m ) (2.12)

�A

L i L j d xd y =1 !1 !0 !

( 1 + 1 + 0 + 2 ) !2 A =

A12

( i , j , m ) (2.13)

求面积坐标的幂函数在三角形单元某一边界上的线积分值

时 ,可应用下列积分公式

∫i j

Lai Lbj d s =

a !b !( a + b + 1) !

l i j ( i , j , m ) (2.14)

其中 l i j为 ij 边的长度。

2.2 确定插值函数的几何方法

本节介绍一种简便的求插值函数的方法 , 它先由 N i = δi P 的

条件用几何方法构造 Ni 函数 ,然后再用位移模式的完备性和协调

性条件作为校核。

设单元内具有 d 个结点 , P 为任意一个结点号 ( P = 1 , 2 , ⋯ ,

·73·

i ,⋯ , d)。欲求 N i ( x , y ) , 可作一组 ( m 条 )不通过 i 结点而通过

其它所有结点的不可约代数曲线 Fk ( x , y ) = 0 ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) ,

并按下式确定 Ni ( x , y ) :

N i ( x , y) , =∏

m

k = 1

Fk ( x , y )

∏m

k = 1

Fk ( x i , yi )(2.15)

注意到当结点 P≠ i 时 , P 结点是位于某条 ( 设其编号为 k)

上述所作代数曲线上 ,故有 Fk ( x P , yP ) = 0; 而 i 结点是不通过上

述任一条代数曲线的 , 故 Fk ( x i , yi ) ≠0 ( k = 1 , 2 , ⋯ , m ) , 由此可

知 ,式 ( 2.15 )能满足条件 :

图 2.3 4 结点矩形单元

Ni ( P) = N i ( x P , yP ) =δiP =1 当 P = i

0 当 P≠ i(2.16)

按式 ( 2.15 ) 求出 N 1 , N2 , ⋯ , N i , ⋯ N d 后 , 还应检查位移模

式的完备性和协调性条件是否满足。如果全部满足了 , 则由这些

Ni 构造的位移模式是可以采用的。

关于位移模式的完备性条件 ,曾在第一章 1.4 中作过介绍 , 对

于 u = ∑d

i = 1

N i u i ( u , v ) 的位移模式 , 其完备性条件如式 ( 1.57)

所示 ,即

∑d

i = 1

N i = 1 ,∑d

i = 1

Ni x i = x ,

∑d

i = 1

N i yi = y ( 2.17 )

下面举列说明由上述方

法确定插值函数的步骤。

例1 求图 2.3 所示 4

结点矩形单元 ( R4 单元 ) 的

插值函数。

欲求 Ni 可作两条直线

x - a = 0 和 y - b = 0 通过

·83·

其它结点 j , m , p , 而不通过结点 i , 代入式 (2.15) 得

N i = _( x - a) ( y - b)

( x i - a) ( yi - b)=

( x - a) ( y - b)( - a - a) ( - b - b)

=14

(1 -xa

) ( 1 -yb

) =14

(1 -1a

x -1b

y +1ab

x y)

同理 ,可求得 N j , N m , N p 的表达式分别为

Nj 7=( x + a) ( y - b)( x j + a) ( y j - b)

=( x + a) ( y - b)

( a + a) ( - b - b)

=14

( 1 +xa

) (1 -yb

) =14

( 1 +1a

x -1b

y -1ab

xy)

N m X=( x + a) ( y + b)

( x m + a) ( ym + b)=

( x + a) ( y + b)( a + a) ( b + b)

=14

(1 +xa

) ( 1 +yb

) =14

(1 +1a

x +1b

y +1ab

x y)

Np /=( x - a) ( y + b)

( xp - a) ( yp + b)=

( x - a) ( y + b)( - a - a) ( b + b)

=14

( 1 -xa

) (1 +yb

) =14

( 1 -1a

x +1b

y -1ab

xy)

用式 (2.17)对上述的 N i ( i , j , m , p) 作完备性检查 , 结果表明 , 上

述构造的插值函数是满足完备性准则的。

最后检查一下位移协调条件。

以任一边 ij 为例进行分析。根据位移模式 u = ∑4

1

N i ui 和 v

= ∑4

1

N i v i 有

( u) i j = ( N i ) i j ui + ( N j ) i j uj + ( N m ) i j um + ( N p ) i j up ( u , v )

因 ( N m ) i j = ( Np ) i j = 0 , ( Ni ) i j =12

( 1 -xa

) ,

( Nj ) i j =12

( 1 +xa

)

故 ( u ) i j 4= ( Ni ) i j ui + ( N j ) i j uj

=12

( 1 -xa

) ui +12

( 1 +xa

) uj ( u , v )

·93·

图 2.4 3 结点三角形单元

由此可得知 , ij 边上任一

点的位移仅仅是 x 的线性函

数。若 ij 是两个 R4 单元的公

共边界 , 由于在连接的结点 i

和 j 上具有相同的位移 , ij 边

上位移又是线性变化 , 则完全

可以保证两单元在该边界的位

移处处相等、满足位移协调条

件。

同理可证单元 j m 边、mp 边、pi 边也满足协调条件。

因此上面所求的插值函数是正确的。

例 2 求图 2.4 所示 3 结点三角形单元 ( T3 单元 ) 的插值函

数

本例将采用面积坐标分析 ,因为在三角形单元中用面积坐标

建立有关的代数曲线方程最为简单。

欲求 N i ,作一根直线 L i = 0 通过其它结点 j , m 而不通过结

点 i , 由式 (2.15) 有

Ni =L i

( L i ) i=

L i1

= L i

同理有

Nj �=L j

( L j ) j=

L j1

= L j

N m =Lm

( Lm ) m=

Lm1

= Lm

注意到 ∑i , j , m

Ni = ∑i , j , m

L i = L i + L j + Lm = 1 , ∑i , j , m

N i x i =

∑i , j , m

L i x i = x ,∑i , j , m

N i yi = ∑i , j , m

Li y i = y ,和 u = ∑i , j , m

Ni ui ( u , v ) 是

线性模式 ,则其完备性准则和位移协调条件均得到满足 , 故上面求

得的插值函数是正确的。

例 3 求图 2.5 所示 6 结点三角形单元 ( T6 单元 ) 的插值函

·04·

图 2.5 6 结点三角形单元

数。

本例仍采用面积坐标分析。

设单元的六个结点中 , 三个

在角点 ,三个在三边的中点 , 极易

得到它们的面积坐标值 , 如图中

括号内的数值所示。

欲求 Ni , 作两条直线 Li = 0

和 ( Li -12

) = 0 通过其它结点 j ,

m ,1 ,2 ,3 而不通过结点 i , 由式

(2.15) 有

N i =L i ( L i -

12

)

( L i ) i ( Li ) i -12

=L i ( L i -

12

)

1 (1 -12

)= L i (2 L i - 1)

同理可得 , N j = L j (2 Lj - 1 ) , N m = Lm (2 Lm - 1 )。

欲求 N 1 ,可作出两条直线 L j = 0 和 Lm = 0 通过其它结点 i ,

j , m , 2 , 3 而不通过结点 1 , 由式 ( 2.15 )有

N1 =L j Lm

( L j ) 1·( Lm )1=

Lj Lm12·

12

= 4 L j Lm

同理可得 N2 = 4 Lm Li , N3 = 4 Li Lj。

现在用式 (2.17) 检查一下其是否满足完备性准则。

∑ Ni �= Ni + N j + N m + N 1 + N2 + N3 = 〔L i (2 L i - 1 ) + L j (2 Lj - 1 ) + Lm (2 Lm - 1)

+ 4 Lj Lm + 4 Lm L i + 4 L i L j〕

= 2( Li + L j + Lm )2

- ( Li + L j + Lm )

= 2 - 1 = 1

∑ N i x i E= ∑i , j , m

N i x i + ∑3

i = 1

Ni x i

= ∑i , j , m

L i (2 Li - 1 ) x i

·14·

+ ( 4 L j Lm x1 + 4 Lm Li x2 + 4 L i L j x3 )

将

x1 =x j + x m

2 x2 =

xm + x i2

x3 =x i + x j

2

代入上式 ,得

∑ Ni x i �= x i〔Li ( 2 Li - 1) + 2 Lm L i + 2 L i L j〕 + x j〔Lj ( 2 Lj - 1) + 2 L j Lm + 2 L i L j〕

+ x m〔Lm ( 2 Lm - 1) + 2 Lm Li + 2 Lj Lm〕

= x i〔2 L2i - L i + 2 L i ( 1 - Li )〕

+ x j〔2 L2j - Lj + 2 Lj ( 1 - L j )〕

+ x m〔2 L2m - Lm + 2 Lm ( 1 - Lm )〕

= ∑i , j , m

Li x i = x

类似可推证

∑ Ni y i = ∑i , j , m

L i y i = y

这说明所求的插值函数符合完备性要求。

最后分析一下由这些插值函数构造的位移模式是否满足协调

条件。

以 j m 边为例 ,按 u = ∑ N i ui ( u , v ) 有( u) jm 曃= ( N i ) jm ui + ( Nj ) jm uj + ( N m ) j m um

+ ( N1 ) jm u1 + ( N2 ) j m u2 + ( N 3 ) jm u3

注意到 ( N i ) j m = ( N2 ) jm = ( N3 ) jm = 0 ,故有

( u ) j m = ( Nj ) jm uj + ( N m ) j m um + ( N1 ) jm u1

= ( 2 L2j - L j ) j m uj + ( 2 L2m - Lm ) jm u m

+ ( 4 L j Lm ) jm u1 ( u , v )

显然 ,这是面积坐标的二次函数式 , 也是整体直角坐标的二次

式。若 j m 是两个 T6 单元的公共边 , 由于在连接的结点 j , m , 1

上具有相同的位移 , jm 边上位移又是二次式 , 则完全可以保证两

单元在该边界上位移处处相等 ,满足位移协调条件。

·24·

同理可证得单元 m i 边、ij 边也满足协调条件。

以上例题说明 ,用这种几何的方法去构造插值函数比较简单 ,

广泛应用于求解仅以结点位移本身 (不包括其偏导数 ) 为基本未知

量的各类单元的插值函数。这种方法也称“划线法”。

2.3 6 结点三角形单元

在 2.2 中我们已经导出了 T6 单元的插值函数公式为

N i = Li ( 2 L i - 1 ) ( i , j , m)

N1 = 4 L j Lm (1 ,2 ,3 ; i , j , m )(2.18)

其位移模式为 :

u = ∑ N i ui = ∑i , j , m

Ni ui + ∑3

i = 1

N i ui ( u , v )

或用矩阵表示为 : u =u

v= Nae (2.19)

其中

ae B=〔ui v i uj v j u m vm u1 v1 u2 v2 u3 v3〕T (2.20)

N =N i 0 N j 0 N m 0 N1 0 N2 0 N3 0

0 N i 0 N j 0 N m 0 N1 0 N2 0 N3(2.21)

这个位移模式是面积坐标的二次式 ,也是直角坐标的二次式。

它与真实位移函数的泰勒多项式相比 , 缺少了三次及其以上的多

项式 ,其误差为 0( h3

) , 这比 T3 单元的误差小 , 故其精度较高。此

外 ,它满足完备性准则和位移协调条件 , 所以用它分析平面问题

时 ,其解答的收敛性是有保证的。

现在讨论这种单元的各种基本矩阵的形成。

(1 )单元的等效结点荷载向量

对于 T6 单元 ,由于位移模式是非线性的 , 推导荷载向量时不

能用简单的方法 (如将分布荷载所作虚功用其合力所作虚功代替 ,

运用力矩等效求等效荷载 ) 直接得到 , 而应严格地按普遍公式

(1.33) 、( 1.34 )进行计算。

例如 ,计算单元的自重 W 所对应的等效荷载 ,可将其体力向量

·34·

p =〔X Y〕T = 0 , - WAt

T

代入公式 ( 1.33 ) , 得

Qep �=�A

NT ptd xd y

=�A

Ni 0 Nj 0 N m 0 N 1 0 N 2 0 N3 0

0 Ni 0 Nj 0 N m 0 N 1 0 N 2 0 N3

T

· 0

-WA t

td xd y

= -WA�

A

〔0 N i 0 N j 0 N m 0 N1 0 N2 0 N3〕Td xd y

利用积分公式 (2.11) 、( 2.12 )、(2.13) ,可求得 :

�A

N i d xd y =�A

L i (2 Li - 1 ) d xd y = 2×A6

-A3

= 0 ( i , j , m)

�A

N1 d xd y =�A

4 L j Lm d xd y = 4 ×A

12=

A3

( 1 , 2 , 3)

代入上面求 Qep 的算式 ,即得 :

Qep = -W3〔0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1〕

T(2.22)

也就是 Xi = Xj = X m = X1 = X2 = X3 = Y i = Y j = Y m = 0 ,

Y1 = Y2 = Y3 = -W3

这就表明和 T6 单元自重 W 对应的等效荷载是作用在结点

1 , 2 , 3 的竖向集中荷载 , 大小均为单元重量 W 的三分之一 , 方向

沿 y 轴负向 (与自重同向 ) 。

又例如 ,计算单元任一边 ( 如 ij 边 ,设其边长为 l) 上受线性面

力荷载所对应的等效荷载 ,则可将其面力向量写成 p =〔X Y〕T

=〔qL i 0〕T

( 见图 2.6)。代入式 (1.34)可得

Qep �=∫i j

N i 0 N j 0 N m 0 N1 0 N2 0 N3 0

0 N i 0 N j 0 N m 0 N1 0 N2 0 N3

T

·qL i

0td s

·44·

图 2.6 6 结点三角形单元受线性

面力荷载作用

= qt∫i j〔N i 0 N j 0 N m 0 N1 0 N2 0 N3 0〕T

L i d s

在 ij 边上 , ( Lm ) i j = 0 , 则由 ( 2.18 ) 式可知 , ( N m ) i j = ( N1 ) i j =

( N2 ) i j = 0 故

Qep = qt∫i j〔Ni 0 Nj 0 0 0 0 0 0 0 N3 0〕

TL i d s

根据积分公式 (2.14) ,可求得 :

∫i j

N i L i d s �=∫i j

L2i ( 2 L i - 1) d s

= 2×3 !0 !

( 3 + 0 + 1 ) !l -

2 !0 !( 2 + 0 + 1 ) !

l =l

6,

∫i j

N j L i d s =∫i j

Li Lj ( 2 L j - 1) d s

= 2 ×1 !2 !

( 1 + 2 + 1 ) !l -

1 !1 !( 1 + 1 + 1 ) !

l = 0

∫i j

N3 L i d s =∫i j4 L

2i Lj d s = 4×

2 !1 !(2 + 1 + 1) !

l =l3

代入求 Qep 式中 ,即得

Qep =qtl2

13

0 0 0 0 0 0 0 0 023

0T

(2.23)

这就表明 , 和 T6 单元 ij 边上线性水平面力荷载对应的等效

荷载是结点 i 和 3 的 x 向集中荷载 , 其大小分别为该面力荷载合

·54·

力qtl2的

13和

23

, 方向同面力荷载 ,沿 x 正向。

(2 )单元的应变和应力矩阵

将单元的位移模式 u = ∑ Ni ui ( u , v ) 代入应变的公式 ,便可得到 :

ε=

εx

εy

γx y

=

�u�x

�v�y

�u�y

+�v�x

=

∑�N i�x

ui

∑�N i�y

v i

∑�N i�y

ui +�N i�x

v i

= Bae

(2.24)

其中 B=〔Bi Bj Bm B1 B2 B3〕

Bi =

�N i�x

0

0 �Ni�y

�N i�y

�N i�x

( i , j , m , 1 , 2 , 3) (2.25)

B 的元素利用式 (2.9 )可得 ,如

�Ni�x

=1

2 A〔bi ( 4 L i - 1) + bj·0 + bm·0〕=

bi (4 Li - 1 )2 A

( i , j , m)

�Ni�y

=1

2 A〔ci ( 4 L i - 1) + cj·0 + cm·0〕=

ci ( 4 L i - 1)2 A

( i, j , m )

�N1�x

�=1

2 A〔bi·0 + bj·4 Lm + bm·4 L j〕

=4 ( bj Lm + bm L j )

2 A (1 ,2 ,3 ; i , j , m)

�N1�y

�=1

2 A〔ci·0 + cj·4 Lm + cm·4 L j〕

=4( cj Lm + cm Lj )

2 A ( 1 , 2 , 3; i , j , m)

代入式 (2.25) 得

·64·

Bi =1

2 A

bi ( 4 L i - 1) 0

0 ci ( 4 L i - 1 )

ci (4 L i - 1) bi (4 Li - 1 )

( i , j , m) (2.26)

B1 =1

2 A

4 ( bj Lm + bm L j ) 0

0 4( cj Lm + cm L j )

4 ( cj Lm + cm Lj ) 4( bj Lm + bm L j )

(1 ,2 ,3 ; i , j , m) (2.27)

上式表明 , 应变矩阵 B 元素是面积坐标的一次式 , 因而也是

直角坐标的一次式 ,故 T6 单元有线性应变元之称。

将应变公式代入求应力公式 ,可得 :

σ [=〔σx σy τx y〕T

= Dε

= DBae = sae (2.28)

其中 s 旀=〔si sj sm s1 s2 s3〕 (2.29)

si = DBi ( i , j , m; 1 , 2 , 3)

对于平面应力问题 ,将 D 的公式 ( 1.5 a )和 Bi 的公式 ( 2.26)

和 (2.27) 代入可得

si =E

4 (1 - μ2) A

( 4 L i - 1)

2 bi 2μci

2μbi 2 ci

(1 - μ) ci (1 - μ) bi

( i , j , m )

(2.30)

si �=E

4( 1 - μ2 ) A

·

8( bj Lm + bm Lj ) 8μ( cj Lm + cm L j )

8μ( bj Lm + bm L j ) 8 ( cj Lm + cm Lj )

4( 1 - μ) ( cj Lm + cm Lj ) 4( 1 - μ) ( bj Lm + bm L j )

( 1 , 2 , 3; i , j , m) (2.31)

上式表明 ,应力矩阵 s元素都是面积坐标的一次式 , 因而也是

直角坐标的一次式 , 所以 T6 单元中的应力沿任何方向都是线性

变化的。

·74·

(3 )单元刚度矩阵

在 1.3 中已导出了单元结点力和结点位移的普遍关系式 Fe

= keae ( 1.28 ) 和 单 元刚 度 矩 阵普 遍 式 ke =�A

BT DBd xd yt

(1.29)。它们也适用于 T6 单元 , 只须明确式中各个矩阵所表示

的具体内容就可 ,如

Fe =〔U i Vi U j V j Um V m U1 V1 U2 V2 U3 V3〕T

ae 如式 (2.20) 所示 , ke 为 12×12 方阵 , 它可用下式计算 :

ke =�A

BT sd xd yt (2.32)

将 B 的表达式和 s 的表达式代入 ( 2.32 ) 式并用积分公式

(2.10) 进行积分。即可直接导出 T6 单元 ke 的公式。鉴于其形

式过于冗长 , 不便于应用 , 这里就不予列出。下面介绍一种利用

T3 单元的刚度公式来表示 T6 单元刚度的方法 , 为了区别“两类

单元的 B、s、k记号 , 我们约定 ,这些记号在右上端带撇的 (即 B′、

s′、k′)对应于 T3 单元 ,而不带撇的对应于 T6 单元。

将式 (2.26) 、( 2.27 )的 Bi , 、B1 公式和式 (1.21) 表示 T3 单元

的 B′i 公式对比 ,可得 :

Bi 敩= (4 Li - 1 ) B′i ( i , j , m ) ( a)

s1 = (4 Lm B′j + L jB′m ) ( 1 , 2 , 3; i , j , m ) ( b)

将式 (2.30) 、( 2.31 )的 si , s1 公式和式 (1.24)表示 T3 单元的

si′公式对比 , 可得 :

si k= (4 Li - 1 ) s′i ( i , j , m) ( c)

s1 = 4 ( Lms′j + Ljs′m ) (1 ,2 ,3 ; i , j , m ) ( d)

设 T3 单元刚度矩阵的子矩阵公式记为

k′rs = B′Tr DB′s t A ( r , s = i , j , m) ( e)

将式 ( a)、( b)、( c)、( d) 代入 ( 2.32 ) , 利用积分公式 ( 2.10 ) 和

关系式 ( e )便可得到 6 结点三角形单元的刚度矩阵

·84·

ke =

k′ii

- kji′3

k′jj 对

- k′mi3

- k′mj3

k′m m 称

04k′mj

3

4k′jm3

43

( 2k′ii - k′mj - k′jm )

4k′mi3

04k′im

343

( k′ji + k′ij )43

( 2k′jj - k′im - k′mi)

4k′j i3

4 k′ij3

043

( k′mi + k′im )43

( k′mj + k′jm )43

( 2k′m m - k′j i - k′ij )

(2.33)

式中的 k′rs ( r , s = i , j , m ) 是 T3 单元刚度矩阵的子矩阵 , 见

式 (1.31) 。

图 2.7 简支梁受均布荷载

在单元分析的基础上 ,

容易进行整体分析 , 其方法

完全象 1.3 所述的那样 , 将

单元的有关矩阵集合为结构

总刚度矩阵 , 建立整体的结

点平衡方程组 , 然后求解结

点位移。

下面分析几个算例。一

般地讲 , 在结点数目大致相

同的情况下 , 用 T6 单元计

算平面问题的精度远高于 T3 单元 , 因此在满足大致相同的精度

条件下采用 T6 单元的数目可比 T3 单元数目少得多。另一方面 ,

用 T6 单元计算的成果也比较容易整理 , 在用绕结点平均法整理

应力时 ,对边界结点处的应力无须进行推算 , 表征性就很好。当然

T6 单元也有缺点 ,即列出一个结点的平衡方程将牵涉到较多的结

点 ,因而造成总刚度矩阵 K 元素分布具有较大的带宽 , 将占用较

大的计算机的容量和耗费较多的机时。

例 1 简支梁受均布荷载

考察如图 2.7 所示的简支梁 , 计算右边的一半。采用如图

2.7 所示的网格。

用绕结点平均法整理了 x = 0 截面处的弯曲应力 σx 和挤压

·94·

应力σy。整理的结果分别见表 2.1 及 2.2。可见精度是非常高

的。

表 2.1 在 x=0 截面处的 σx ( N/ m2

)

结点坐标 y( m ) 1 �.5 1 �.0 0 R.5 0 �- 0 �.5 - 1 S.0 - 1 �.5

有限单元解 - 272 �.7 - 180 \.5 - 89 �.2 - 0 �.6 89 �.1 179 S.6 271 �.2

函数解 - 272 �.0 - 179 \.5 - 89 �.2 0 �.0 89 �.2 179 S.5 272 �.0

误差 - 0 �.7 - 1 3.0 0 R.0 - 0 �.6 - 0 �.1 0 *.1 - 0 �.8

表 2.2 在 x =0 截面处的 σy ( N/ m2 )

结点坐标 y( m ) 1 �.5 1 �.0 0 R.5 0 �- 0 �.5 - 1 S.0 - 1 �.5

有限单元解 - 10.0 - 9 3.1 - 7 {.7 - 5 �.0 - 2 �.5 - 0 S.8 0 r.6

函数解 - 10.0 - 9 3.3 - 7 {.4 - 5 �.0 - 2 �.6 - 0 S.7 0 �

误差 0 �.0 0 �.2 - 0 {.3 0 �.0 0 �.1 - 0 S.1 0 r.6

例 2 对心受压的圆筒

图 2.8( a)示一圆筒 ,内半径为0.3 m , 外半径为0.6 m ,弹性模

量 E = 2×1010

N/ m2

, 泊松比 μ= 0.167 , 每米长度内的荷载如图

所示 , 作为平面应变问题进行计算。由于对称 , 只计算四分之一 ,

网格如图 2.8( b) 所示。用绕结点平均法整理了 y = 0 截面上的

σy ,结果列于表 2.3。

表 2.3 在 y= 0 截面上的 σy ( N/ m2

)

结点坐标 x ( m ) 0 �.30 0 �.35 0 >.40 0 �.45 0 �.50 0 �.55 0 ^.60

有限单元解 - 43.6 - 27 H.0 - 14 �.0 - 5 �.0 2 �.8 9 *.5 16 �.0

函数解 - 47.5 - 27 H.3 - 14 �.2 - 5 �.2 2 �.4 9 *.3 13 �.9

误差 3 �.9 0 �.3 0 R.2 0 �.2 0 �.4 0 *.2 2 r.1

例 3 对心受压圆柱

图 2.9 ( a ) 中的圆柱 , 半径为6 cm , 弹性模量 E = 2×l06

N/

cm2

,泊松比 μ= 0.167 , 每厘米长度内承受的荷载如图所示 , 作为

·05·

图 2.8 对心受压圆筒

平面应变问题进行计算。由于对称 , 只计算四分之一 , 网格如图

2.9( b)所示。用绕结点平均法整理了 y = 0 的截面上的 σy , 结果

如表 2.4 所示。

图 2.9 对心受压圆柱

·15·

表 2.4 在 y=0 截面上的 σy ( N/ cm2

)

结 点 坐 标 x(cm)

0 |0 I.6