ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

• Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείωνπεριλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυσηγίνεται λίγο πιο πολύπλοκη από το γεγονός ότι τα προβλήματα 2D περιγράφονται απόΜ.Δ.Ε. που αναφέρονται σε πολύπλοκα γεωμετρικά πεδία.

Επίλυση 1D προβλήματος Διακριτοποίηση και επίλυση πάνω σε μιαγραμμή

Επίλυση 2D προβλήματος Διακριτοποίηση και επίλυση μέσα σε έναεπίπεδο που περικλείεται από ένακαμπύλη Γ

• Τα πεπερασμένα στοιχεία δύο διαστάσεων είναι διδιάστατα απλά γεωμετρικά σχήματαπου χρησιμοποιούνται για να προσεγγίσουν ένα διδιάστατο γεωμετρικό χωρίο καθώςκαι τη λύση της άγνωστης μεταβλητής στο χωρίο αυτό.

• Επομένως, στα 2D προβλήματα έχουμε σφάλματα που υπείσερχονται:α) λόγω της προσέγγισης της άγνωστης μεταβλητήςβ) λόγω της προσέγγισης του φυσικού πεδίου επίλυσης

Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων είναιότι μπορεί να αναπαραστήσει πολύπλοκες γεωμετρίες με απλά γεωμετρικά σχήματα .

Έστω η Μ.Δ.Ε.

11 12 21 22 0u u u u

a a a a a u fx x y y x y

Τα βήματα που πρέπει να εφαρμόσουμε ώστε να επιλυθεί το πρόβλημα με τη μέθοδοτων Πεπερασμένων Στοιχείων είναι:

1. Διακριτοποίηση του πεδίου επίλυσης με Πεπερασμένα Στοιχεία2. Εξαγωγή ασθενούς μορφής της Μ.Δ.Ε.3. Εξαγωγή καταλλήλων συναρτήσεων βάσης4. Εφαρμογή του μοντέλου των Πεπερασμένων Στοιχείων σε κάθε στοιχείο5. Σύνθεση του συνολικού προβλήματος από τους τοπικούς πίνακες σε κάθε στοιχείο6. Επιβολή οριακών συνθηκών7. Επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων8. Επεξεργασία και παρουσίαση αποτελεσμάτων

1. Διακριτοποίηση πεδίου επίλυσης με Πεπερασμένα Στοιχεία

• Στα 2D προβλήματα υπάρχουν παραπάνω από ένα απλά γεωμετρικά σχήματα πουμπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν στοιχεία.

• Η μορφή των συναρτήσεων παρεμβολής εξαρτάται από το σχήμα του στοιχείου και τοναριθμό των κόμβων σ’ αυτό.

• Η διαδικασία της αναπαράστασης του φυσικού πεδίου επίλυσης με πεπερασμέναστοιχεία ονομάζεται κατασκευή πλέγματος (mesh generation).

• H επιλογή του στοιχείου που θα χρησιμοποιηθεί, ο αριθμός των στοιχείων και ηπύκνωση τους εξαρτάται από: α) τη γεωμετρία του πεδίου επίλυσης, β) το πρόβλημαπου μελετάται και γ) το βαθμό ακρίβειας που απαιτείται στους υπολογισμούς.

• Οι βασικοί κανόνες που πρέπει να τηρούνται κατά την κατασκευή του πλέγματος γιαεπίλυση με FEM είναι:α) Επιλογή στοιχείων (αριθμός, σχήμα, είδος) ώστε η γεωμετρία του πεδίου επίλυσης να

μπορεί να αναπαρασταθεί με την επιθυμητή ακρίβεια

β) Η πύκνωση των στοιχείων θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε οι περιοχές μέσα στο πεδίοστις οποίες υπάρχει μεγάλη κλίση (παράγωγος) να μπορούν να αναπαρασταθούν μεακρίβεια. Στις περιοχές αυτές θα πρέπει να χρησιμοποιούμε είτε περισσότερα στοιχεία,είτε στοιχεία υψηλότερης τάξης.

γ) Όταν επιλέγεται μη ομοιόμορφο πλέγμα θα πρέπει να υπάρχει ομαλή διαβάθμιση τηςπύκνωσης από τις περιοχές υψηλής πύκνωσης στις περιοχές μικρότερης πύκνωσης. Σεπερίπτωση που χρησιμοποιούνται διαφορετικά στοιχεία σε διαφορετικές περιοχές μέσαστο πλέγμα, τα ‘μεταβατικά στοιχεία’ θα πρέπει να χρησιμοποιούνται μακριά από τιςπεριοχές με μεγάλες παραγώγους.

2. Εξαγωγή ασθενούς μορφής

Έστω η Μ.Δ.Ε.:

11 12 21 22 0u u u u

a a a a a u fx x y y x y

(1)

η οποία πρέπει να επιλυθεί στο φυσικό πεδίο Ω.Θέτουμε:

1 11 12 2 21 22,u u u u

F a a F a ax y x y

1 2(1) 0F F

a u fx y

1ο ΒΗΜΑ: Μηδενισμός ολοκληρώματος σταθμισμένου υπολοίπου

Αν Ωe είναι η περιοχή που αναφέρεται σε ένα στοιχείο τότε πολλαπλασιάζοντας με τιςσυναρτήσεις βάρους και ολοκληρώνοντας μέσα στο στοιχείο έχουμε:

1 2 0,e i

F Fw a u f d d dxdy

x y

(2)

2ο ΒΗΜΑ: Μείωση τάξης παραγώγου άγνωστης μεταβλητής

Ισχύει:

1 11 11 1

(w ) w w (w )w wi i i i

i i

F FF FF F

x x x x x x

1 11 11 1

(w ) w w (w )w wi i i i

i i

F FF FF F

y y y y y y

1 21 2

( ) ( )(2) 0

e e

i i i ii i

w w w F w FF F w a u w f dxdy dxdy

x y x y

(3)

Από το θεώρημα Gauss ή απόκλισης γνωρίζουμε ότι:

Gd n GdS

όπου το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο σύνορο Γτο θεμελιώδες μήκος τόξου κατά μήκος του συνόρου Γ

:n

:dS

Για 2D καρτεσιανή γεωμετρία: 1 2,x y x y x yx y x y i in n e n e G G e G e w F e w F e

(4)

1 2(4) ( ) ( )x x y y x i y iGd n GdS n G n G dS n w F n w F dS

1 2 1 2

11 12 21 22

11 12 21 22

(3) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( ) 0

e

e

i ii i i x i y

i ii i

i x y

w wF F w a u w f dxdy w F n w F n dS

x y

w wu u u ua a a a w a u w f dxdy

x x y y x y

u u u uw n a a n a a dS

x y x y

3ο ΒΗΜΑ: Υπολογισμός επικαμπύλιου όρου

Όταν σε ένα σύνορο γνωρίζουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής τότε έχουμε essentialοριακή συνθήκη και στο αντίστοιχο σύνορο δεν γράφεται η εξίσωση των πεπερασμένωνστοιχείων.

Όταν έχουμε πληροφορία για την τιμή της παραγώγου της μεταβλητής σε κάποιο σύνοροτότε έχουμε natural οριακές συνθήκες. Αν ορίσουμε:

Οπότε η εξίσωση (5) παίρνει την μορφή:

11 12 21 22( ) ( )n x y

u u u uq n a a n a a

x y x y

11 12 21 22( ) ( ) 0e

i ii i i n

w wu u u ua a a a w a u w f dxdy w q dS

x x y y x y

(5)

(6)

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής:

όπου ο πίνακας Β περιέχει τους διγραμμικούς όρους και το διάνυσμα τους γραμμικούς:

Ο τοπικός πίνακας Β είναι συμμετρικός όταν:

, ( )i iB w u l w

l

11 12 21 22( , u) ( ) ( )e

i ii i

w wu u u uB w a a a a w a u dxdy

x x y y x y

( )ei i i nl w w f dxdy w q dS

12 21a a

3. Τοπικό μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων

Για την προσέγγιση της άγνωστης μεταβλητής ισχύει:

όπου η τιμή της άγνωστης μεταβλητής στον κόμβο j και οι συναρτήσεις σχήματοςστο στοιχείο e.Χρησιμοποιώντας την Galerkin μέθοδο η τελική αλγεβρική εξίσωση σε κάθε στοιχείοπαίρνει τη μορφή:

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής:

ή

όπου

1

( , ) ( , y) ( , )n

e e ej j

j

u x y u x u x y

(7)

eju e

j

w

11 12 21 221

( ) ( )e e

nj j j ji i

i j i i nj

a a a a a dxdy fdxdy q dSx x y y x y

1

ne e e eij j i i

j

K u f Q

[ ] e e eK u F Q Τοπικό σύστημα μεθόδου FEM

11 12 21 221

( ) ( )

,

e

e

nj j j je i i

ij i jj

e ei i i i n

K a a a a a dxdyx x y y x y

f fdxdy Q q dS

4. Κατασκευή συναρτήσεων βάσης

Η προσέγγιση της άγνωστης μεταβλητής θα πρέπει να ικανοποιεί ορισμένα κριτήριαώστε η προσεγγιστική λύση να συγκλίνει στην πραγματική:1. Να είναι όσο παραγωγίσιμη όσο απαιτεί η ασθενής μορφή των FEM.2. Τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση της u να είναι πλήρη.3. Όλοι οι όροι στα πολυώνυμα πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητοι.

Στο πρόβλημα που περιγράφεται από την εξίσωση () η πιο απλή προσέγγιση που μπορεί ναχρησιμοποιηθεί είναι μια συνάρτηση γραμμική ως προς x και ως προς y. Δηλαδή:

Στην περίπτωση αυτή πρέπει να προσδιοριστούν τρεις σταθερές ci, i=1,2,3. Επομένως, τοστοιχείο θα πρέπει να ορίζεται επαρκώς από τρία σημεία. Απαιτείται δηλαδή η εισαγωγήτριγωνικών σημείων.

( , )eju x y

1 2 3( , y)eu x c c x c y

ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ι. Γραμμικά τριγωνικά στοιχεία

Παρεμβάλλουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής στις 3 κορυφές του τριγώνου.

Ισχύει:

Aπο το παραπάνω σύστημα προκύπτουν τελικά οι τιμές των συντελεστών c και με τηβοήθεια της σχέσης (Ι) υπολογίζουμε τελικά τις γραμμικές τριγωνικές συναρτήσεις βάσης:

Αρίθμηση:αντίθετη από την φορά των δεικτώνρολογιού

1 2 3( , y)eu x c c x c y

1 1 1 1 2 1 3 1

2 2 2 1 2 2 3 2

3 3 3 1 2 3 3 3

( , y )

( , y )

( , y )

e

e

e

u u x c c x c y

u u x c c x c y

u u x c c x c y

Σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους:c1, c2, c3

(Ι)

1 2 3 3 2 2 3 3 2

2 3 1 1 3 3 1 1 3

3 1 2 2 1 1 2 2 1

1( , y) ( ) ( ) (x ) y

21

( , y) ( ) ( ) (x ) y21

( , y) ( ) ( ) (x ) y2

x x y x y y y x xA

x x y x y y y x xA

x x y x y y y x xA

Γραμμικές τριγωνικέςσυναρτήσεις βάσης

όπου Α το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο ισούται με το μισό της ορίζουσας του συστήματος

1 1

2 2

3 3

11 1

12 2

1

x y

A D x y

x y

Τοπικό σύστημα συντεταγμένων

Χρησιμοποιώντας κατάλληλο μετασχηματισμό απεικονίζουμε το τριγωνικό στοιχείο σετοπικό σύστημα συντεταγμένων (ξ,η).Με τον παρακάτω μετασχηματισμό οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να αναπαρασταθεί ωςορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο.Μετασχηματισμός:

1 2 1 3 1

1 2 1 3 1

( ) ( )

(y ) (y )

x x x x x x

y y y y

Για την εξαγωγή των συναρτήσεων σχήματος στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων είτεαντικαθιστούμε τον παραπάνω μετασχηματισμό στην μορφή των συναρτήσεων όπωςπροέκυψαν χρησιμοποιώντας το global σύστημα συντεταγμένων, είτε θεωρούμε για τηνάγνωστη μεταβλητή την παρακάτω μορφή και ξεκινάμε την διαδικασία από την αρχή.

1 2 3( , )eu c c c

1 1

2 1 2

3 1 3

(0,0)

(1,0)

(0,1)

u u c

u u c c

u u c c

1 1

2 2 1

3 3 1

c u

c u u

c u u

(ΙΙ)

( )II 1 2 3(1 ) u u uu

Συναρτήσεις βάσης

1

2

3

1

Γραμμικές τριγωνικέςσυναρτήσεις βάσης στο

τοπικό σύστημα

ΙΙ. Τριγωνικά στοιχεία με τετραγωνικές συναρτήσεις

Αν χρησιμοποιήσουμε τις τετραγωνικές συναρτήσεις (δηλ. μέχρι 2ης τάξης όρους) ηπροσέγγιση της άγνωστης μεταβλητής μέσα σε ένα στοιχείο είναι:

ή

Χρειαζόμαστε δηλαδή 6 κόμβους ανά στοιχείο.

2 21 2 3 4 5 6( , y)u x a a x a y a x a xy a y 2 2

1 2 3 4 5 6( , )u c c c c c c

1 2 3

4 5 6

(1 )(1 2 2 ), (2 1), (2 1)

4 (1 ), 4 , 4 (1 )

Τετραγωνικές συναρτήσεις βάσης για τριγωνικά στοιχεία στο τοπικό σύστημα

1 1 2 1 2 4

2 43 1 3 6 4 1

3 5 62 45 1

3 66 1

(0,0) , (1,0)

(0,1) , (0.5,0)2 4

(0.5,0.5)2 4 4 4 4

(0,0.5)2 4

u u c u u c c c

c cu u c c c u u c

c c cc cu u c

c cu u c

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ

Ι. Γραμμικά τετραγωνικά στοιχεία Q44

1j j

j

u u

1 2 3 4( , )eu c c c c 1 2 3 4( , y)eu x a a x a y a xy ή

Στο τοπικό σύστημα τελικά έχουμε:

1 2

3 4

1 1(1 )(1 ), (1 )(1 )

4 41 1

(1 )(1 ), (1 )(1 )4 4

Α’ ΤΡΟΠΟΣ

Β’ ΤΡΟΠΟΣΠροκύπτουν ως γινόμενο των 1D γραμμικών συναρτήσεων:

1D συναρτήσεις στην ξ-κατεύθυνση1 2

1 1( ) (1 ), ( ) (1 )

2 2

1D συναρτήσεις στην η-κατεύθυνση1 2

1 1( ) (1 ), ( ) (1 )

2 2

1 1 1

2 2 1

3 1 2

4 2 2

1( , ) ( ) ( ) (1 )(1 )

41

( , ) ( ) ( ) (1 )(1 )41

( , ) ( ) ( ) (1 )(1 )41

( , ) ( ) ( ) (1 )(1 )4

2D συναρτήσεις στην ξ και η-κατεύθυνση:

ΙΙ. Τετραγωνικά στοιχεία με τετραγωνικές συναρτήσεις βάσης (Q9)9

1j j

j

u u

Α’ ΤΡΟΠΟΣΕπιβάλλοντας τις τιμές της μεταβλητής στους 9 κόμβους προκύπτει ένα σύστημα 9x9όπου υπολογίζουμε είτε τους συντελεστές global a1, a2,……..an, είτε τους localσυντελεστές c1, c2,……………..cn. Τελικά, με τη βοήθεια της σχέσης:

προκύπτουν οι συναρτήσεις βάσης στην global ή local μορφή αντίστοιχα.

21 2 3 4 5

2 2 2 2 26 7 8 9

( , y)u x a a x a y a xy a x

a y a x y a xy a x y

ή

21 2 3 4 5

2 2 2 2 26 7 8 9

( , )u c c c c c

c c c c

9

1j j

j

u u

Β’ ΤΡΟΠΟΣ

Προκύπτουν ως γινόμενο των 1D γραμμικών συναρτήσεων:

1D συναρτήσεις στην ξ-κατεύθυνση

1D συναρτήσεις στην η-κατεύθυνση

2 22

1 2 3( ) , ( ) 1 , ( )2 2

2 22

1 2 3( ) , ( ) 1 , ( )2 2

2 2 2 21 1 1 6 1 2

2 2 2 22 3 1 7 2 2

2 2 2 23 1 3 8 3 2

1 1( , ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) ( ) ( ) ( )(1 )

4 21

( , ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) ( ) ( ) (1 )(1 )41 1

( , ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) ( ) ( ) ( )(1 )4 2

2 2 2 24 3 3 9 2 3

2 25 2 1

1 1( , ) ( ) ( ) ( )( ), ( , ) ( ) ( ) (1 )( )

4 21

( , ) ( ) ( ) (1 )( )2

Υπολογισμός παραγώγων συναρτήσεων βάσης

• Όταν χρησιμοποιούμε το global σύστημα συντεταγμένων οι παράγωγοι των συναρτήσεωνως προς x και y προκύπτουν εύκολα με παραγώγιση των συναρτήσεων φ(x,y).

• Όταν χρησιμοποιήσουμε το τοπικό σύστημα συντεταγμένων (ξ,η) το οποίο προέκυψε απόμετασχηματισμό του global τότε για τον υπολογισμό των μερικώνπαραγώγων ως προς x και y θα πρέπει να εφαρμόσουμε τον κάνονα της αλυσιδας.Δηλαδή:

Επομένως, απομένει ο υπολογισμός των ποσοτήτων:

( , ) ( , )Jx y

Tα υπολογίζονται εύκολα αφού

τα είναι συνάρτηση των ξ, η στο τοπικό.

,i i

i

(1)i i i

x x x

(2)i i i

y y y

Άγνωστες ποσότητες

, , ,x x y y

( , ) ( , )Jx y Μετασχηματισμός: ( , ) ( , )x y x y με

Ισχύει:

d dx dyx y

d dx dyx y

(3)d dxx y

d dy

x y

Ισχύει:

x xdx d d

y ydy d d

x x

dx d

dy y y d

1

(4)

x x

d dx

d y y dy

1x x

x y

y y

x y

1(5)

x x

x yadj

y yJ

x y

προσαρτημένοςx y y x

J

Εύρεση προσαρτημένου πίνακα

1. Υπολογίζω τον πίνακα Β τα στοιχεία του οποίου προκύπτουν από την σχέση:

2. O ανάστροφος του Β είναι ο προσαρτημένος πίνακας (adjoint) που ψάχνουμε:

( 1)i jij ijM

στοιχείο που απομένει ή ορίζουσα ως προς ij

y y

Bx x

T

x x y x

adj By y y x

Άρα από τη σχέση (5) προκύπτει:

1

y x

x y

y xJ

x y

1 1,

1 1,

y x

x J y J

y x

x J y J

x y y xJ

όπου

Επομένως τελικά οι παράγωγοι των συναρτήσεων βάσης υπολογίζονται από τις σχέσεις:

1 1

1 1

i i i

i i i

y y

x J J

x x

y J J

και1 1

1 1

,

,

n nj j

j jj j

n nj j

j jj j

y yy y

x xx x

όπου γνωστές τιμές των x,y στουςκόμβους του στοιχειου

,j jy x