Методические документы, разработанные для обеспечения образовательного процесса

Содержание учебно-методической работы преподавателей техникума направлено на реализацию следующих этапов:

- анализ профессиональной деятельности специалиста: выявление основных трудовых функций и профессиональных умений.

- обновление содержания образования – отражение в содержании обучения прогнозов развития отрасли, на которую ориентирована специальность.

- совершенствование профессиональной практической подготовки специалистов, моделирование профессиональной деятельности в учебном заведении.

Методическая работа преподавателей включает:

- рассмотрение и утверждение учебно-программной документации, корректировку программ по изучаемым дисциплинам;

- участие в проведении педагогических конференций, семинаров, методических недель, открытых уроков, внеклассных мероприятий;

- выполнение опытнических и исследовательских работ;

- посещение, взаимопосещение уроков, их анализ и обмен опытом;

- изучение и внедрение инновационных форм и методов организации учебной деятельности, современных педагогических технологий;

- написание по всем учебным дисциплинам и профессиональным модулям методических разработок и рекомендаций, учебных пособий и других методических материалов (образовательный маршрут, КОС, кейс, электронное пособие, лекции, экзаменационный материал и др.).

Методические разработки преподавателя высшей квалификационной категории Соболевой Татьяны Михайловны по учебной дисциплине

«Математические методы»

1

Министерство образования и науки Калужской областиГосударственное бюджетное образовательное учреждение среднего

профессионального образования Калужской области «Калужский техникум электронных приборов»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОП.02 Математические методы

Образовательный цикл «общепрофессиональные дисциплины и дисциплины профессионального цикла

(программирование в компьютерных системах)»

основной профессиональной образовательной программыпо специальности

230115 Программирование в компьютерных системах

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ

Калуга, 2013

2

Составитель:Соболева Т.М., преподаватель ГБОУ СПО «КТЭП»

Учебно-методический комплекс по дисциплине Математические методы составлен в соответствии с требованиями к минимуму результатов освоения дисциплины, изложенными в Федеральном государственном стандарте среднего профессионального образования по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, утвержденном приказом Министерства образования и науки РФ от «___»_____20___ г. №______

Учебно-методический комплекс по дисциплине (далее УМКД) Математические методы входит в образовательный цикл «Общепрофессиональные дисциплины и дисциплины профессионального цикла (программирование в компьютерных системах)»ОПОП и является частью основной профессиональной образовательной программы Математические методы по специальности 230115 Программирование в компьютерных системах, разработанной в соответствии с ФГОС СПО третьего поколения.

Учебно-методический комплекс по дисциплине Математические методы адресован студентам очной формы обучения.

УМКД включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания по самостоятельному изучению тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля, а также вопросы и задания по промежуточной аттестации.

3

СОДЕРЖАНИЕ

Наименование разделов стр.

1. Введение 6

2. Образовательный маршрут 8

3. Содержание дисциплины

3.1. ….

3.2. ….

9

4. Контроль и оценка результатов освоения учебной

дисциплины

11

5 Глоссарий 12

6. Информационное обеспечение дисциплины 13

4

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Учебно-методический комплекс по дисциплине Математические методы создан Вам в помощь для работы на занятиях, при выполнении домашнего задания и подготовки к текущему и итоговому контролю по дисциплине.

УМК по дисциплине включает теоретический блок, перечень практических занятий, задания для самостоятельного изучения тем дисциплины, вопросы для самоконтроля, перечень точек рубежного контроля.

Приступая к изучению новой учебной дисциплины, Вы должны внимательно изучить список рекомендованной основной и вспомогательной литературы. Из всего массива рекомендованной литературы следует опираться на литературу, указанную как основную.

По каждой теме в УМК перечислены основные понятия и термины, вопросы, необходимые для изучения (план изучения темы), а также краткая информация по каждому вопросу из подлежащих изучению. Наличие тезисной информации по теме позволит Вам вспомнить ключевые моменты, рассмотренные преподавателем на занятии.

Основные понятия, используемые при изучении содержания дисциплины, приведены в глоссарии.

После изучения теоретического блока приведен перечень практических работ, выполнение которых обязательно. Наличие положительной оценки по практическим необходимо для получения зачета по дисциплине, поэтому в случае отсутствия на уроке по уважительной или неуважительной причине Вам потребуется найти время и выполнить пропущенную работу.

В процессе изучения дисциплины предусмотрена самостоятельная внеаудиторная работа, включающая решение задач, углубленную проработку тем, составление информационных таблиц.

Содержание рубежного контроля (точек рубежного контроля) разработано на основе вопросов самоконтроля, приведенных по каждой теме.

По итогам изучения дисциплины проводится дифференцированный зачет.

В зачетную книжку выставляется дифференцированная оценка. Зачет выставляется на основании оценок за практические работы и точки рубежного контроля.

В результате освоения дисциплины Вы должны уметь: составлять простейшие математические модели задач, возникающих в

практической деятельности людей; выбирать и обосновывать наиболее рациональный метод и алгоритм

решения задачи, а также оценивать сложность выбранного алгоритма; разрабатывать алгоритмы и программы для решения различных

практических задач с применением математических методов.

5

В результате освоения дисциплины Вы должны знать: основные понятия и принципы моделирования; основные методологические подходы к решению математических задач,

возникающих в ходе практической деятельности людей; основные методы решения детерминированных задач и задач в условиях

неопределённости, возникающих в практической деятельности людей.

В результате освоения дисциплины у Вас должны формироваться общие компетенции (ОК):

Название ОК Результат, который Вы должны получить послеизучения содержания дисциплины

ОК 1 - Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

Понимание роли математического аппарата в программировании.

ОК 2 - Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

Умения применять математический аппарат в решении профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3 - Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

Развитие аналитического мышления.

ОК 4 - Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Умение ориентироваться в многообразии моделей объектов естествознания и методов их решения.

ОК 5 - Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

Умение осуществлять поиск нужной информации в различных источниках.

6

ОК 6 - Работать в коллективе и в команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Умение эффективно распределять объём работы между участниками решения конкретной задачи.

ОК 7- Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

Навыки доводить решение поставленной задачи до получения нужного результата и его интерпретация.

ОК 8 - Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

Расширение круга представлений о возможностиприменения математического аппарата для решения общепрофессиональных задач.

ОК 9 - Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Умение составлять математические модели содержательных задач и применять для их решения численные методы.

ОК 10 - Исполнять воинскую обязанность, в том числе с применением полученных профессиональных знаний (для юношей).

Умение применять приобретённые навыки составления программ на алгоритмы численных методов в военной сфере (для юношей)

Содержание дисциплины поможет Вам подготовиться к

последующему освоению профессиональных компетенций в рамках

профессионального МДК 01.02 Прикладное программирование, входящего в

ПМ.01 Разработка программных модулей программного обеспечения

компьютерных систем

В таблице приведены профессиональные компетенции, к освоению которых готовит содержание дисциплины.

Название ПК Результат, который Вы должны получить послеизучения содержания дисциплины

ПК 1.1 - Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент.

Умение составлять математические модели оптимизационных задач

7

ПК 1.2 - Осуществлять разработку кода программного продукта на основе готовых спецификаций на уровне модуля.

Умение использовать алгоритмы на графахпри составлении программ.

ПК 2.4 - Реализовывать методы и технологии защиты информации в базах данных.

Умение использовать алгоритмы математических методов при составлении программ.

ПК 3.4 - Осуществлять разработку тестовых наборов и тестовых сценариев.

Умение использовать алгоритмы математических методов при составлении программ.

Внимание! Если в ходе изучения дисциплины у Вас возникают трудности, то Вы всегда можете к преподавателю прийти на дополнительные занятия, которые проводятся согласно графику. Время проведения дополнительных занятий Вы сможете узнать у преподавателя, а также познакомившись с графиком их проведения, размещенном на двери кабинета преподавателя.

В случае, если Вы пропустили занятия, Вы также всегда можете прийти на консультацию к преподавателю в часы дополнительных занятий.

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ МАРШРУТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Таблица 1Формы отчетности, обязательные для сдачи Количество

практические занятия 10Точки рубежного контроля 4Итоговая аттестация (при наличии) Дифференцированный

зачёт

Желаем Вам удачи!

8

Раздел 1. Основы моделирования

Тема 1.1 Основы моделирования

Основные понятия и термины по теме: математическая модель, оптимизационная задача, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности, многокритериальные задачи.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Введение. Математические модели и их виды.2. Основные принципы построения моделей. Понятие оптимизационной задачи.3. Основные понятия: решение, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности.4. Классификация задач, возникающих в практической деятельности и подходы к их решению.5. Методы решения многокритериальных задач.

Краткое изложение теоретических вопросов:1. Введение. Математические модели и их виды.Человек всегда принимал решения и всегда хотелось, чтобы они былиправильными, оптимальными.Предмет математические методы тесно переплетается с математическиммоделированием, исследованием операций, так как в исследовании операций иматематическое моделирование практически всегда используются математические методы решения задач, моделирования систем и анализа их характеристик. Исследование операций – это использование математических и оличественных методов для обоснования решения. Исследование операций решает типичные экономические задачи:1. План снабжения предприятия сырьем.Задача. Имеется n предприятий, m баз с ресурсами, запасы каждой базыограничены. Требуется разработать план снабжения предприятия сырьем приминимальных расходах при перевозке.2. Закладка дороги.

9

Задача. Имеется заданное количество рабочих, машин, транспорта. Требуетсяспланировать строительство дороги в минимально возможные сроки.3. Продажа сезонных товаров.Задача. Для реализации сезонных товаров создается сеть временных торговыхточек. Требуется определить их число, размещение, запасы, количествоперсонала для получения максимальной прибыли.4. Контроль продукции.Задача. Выпускается определенный вид продукции. Для контроля качестваорганизуется выборочная проверка. Требуется определить размер партии иправила проверки при минимальных расходах на контроль.

2. Основные принципы построения моделей. Понятие оптимизационной задачи.Математической моделью задачи называется совокупность математических соотношений, описывающих суть задачи.Составление математической модели включает: выбор переменных задачи составление системы ограничений выбор целевой функции

Постановка задачи оптимизации в общей форме. Пусть имеется некоторая операция О, на успех которой можно влиять, выбираянекоторым способом, решение Х, эффективность операции характеризуется однимпоказателем W → max. Когда все условия операции О определены заранее,то все факторы, от которых зависит успех операции делятся на две категории:заданные, заранее известные факторы α; зависящие от нас элементырешения, которые образуют решения х.Показатель эффективности зависит от обеих групп факторов и выражается формулой:W = W(α, x), (*)в общем случае α, x – векторы (совокупность чисел). Если зависимость (*)известна, то прямая задача решена.

10

Обратная задача формулируется так: при заданном комплексе условий αтребуется найти такое решение х = х*, которое обращает показательэффективности W в max.W* = max{W(α, x)}, где W*- мах. W* - этомаксимальное значение эффективности при найденном оптимальном решении х*.

3. Основные понятия: решение, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности.Оптимальное решение.Оптимизация – это выбор наилучшего решения. Математическая теория оптимизациивключает в себя фундаментальные результаты и численные методы, позволяющиенаходить наилучший вариант из множества возможных альтернатив без их полногоперебора и сравнения.Принятие оптимальных решений базируется на «трех китах»: Математической модели; Исходных данных. Решение задачи на компьютере; Математическое моделирование имеет два существенных преимущества: даетбыстрый ответ на поставленный вопрос, предоставляет возможность широкогоэкспериментирования, осуществить которое на реальном объекте зачастуюневозможно. Для решения оптимизационных задач используются количественныеметоды решения. Применяют математический аппарат разной степени сложности:простые алгебраические уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения,дифференциальные уравнения в частных производных.Алгоритмы задач принятия решений настолько сложны, что без компьютера решитьих невозможно.Исходные данные определяют успех дела в целом. Основные понятия и определения оптимизации.Операция – это мероприятие, направленное на достижение какой-то цели.

11

РЕШЕНИЕ – это определенный набор зависящих от нас параметров и действий.ОПТИМАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ – это решение более предпочтительное перед другими понекоторому критерию.ЭЛЕМЕНТЫ РЕШЕНИЯ – это те параметры, которые образуют решение задачи.ПОКАЗАТЕЛЬ ЭФФЕКТИВНОСТИ – это некоторые количественные критерии, по которымсравнивают решения между собой, его называют целевой функцией. Обозначается4. Классификация задач, возникающих в практической деятельности и подходы к их решению.

Общая классификация оптимизационных моделей и методов.

1. По характеру взаимосвязи между переменными –

а) линейные, когда функциональные связи в системе ограничений

и целевая функция – линейные функции;

б) нелинейные, когда хотя бы один из элементов в системе

ограничений или целевая функция имеет нелинейный вид.

2. По характеру изменения переменных –

а) непрерывные, когда значения каждой из управляющих

переменных могут заполнять сплошь некоторую область

действительных чисел;

б) дискретные, когда все или хотя бы одна переменная могут

принимать только целочисленные значения.

3. По учету фактора времени –

а) статические, когда моделирование и принятие решений

осуществляются в предположении о независимости от времени

элементов модели в течение периода времени, на который принимается

планово-управленческое решение; когда наперед известно состояние

изучаемой системы и если система неизменна во времени по

параметрам.

12

б) динамические, когда необходимо учитывать фактор времени;

когда неизвестно наперед состояние изучаемой системы и если система

изменяется во времени по параметрам.

4. По наличию информации о переменных –

а) детерминированные (в условиях полной определенности), когда

информационное состояние «лица, принимающего решение»

соответствует единственному «физическому» состоянию исследуемого

объекта, то такую задачу называют определенной или

детерминированной;

б) стохастические (в условиях неполной определенности; частично

неопределенные или задачи в условиях риска), когда информационное

состояние «лица, принимающего решение» соответствует множеству

различных «физических» состояний исследуемого объекта, т.е. «лицо,

принимающее решение», знает помимо множества еще и вероятности

их физических состояний;

в) задачи в условиях неопределенности (задача теории игр), когда

«лицо, принимающее решение», не знает априорные вероятности

пребывания объекта в каждом из «физических» состояний.

5. По числу критериев оценки альтернатив –

а) простые, однокритериальные задачи, когда реальной ситуации

можно сопоставить единственную целевую функцию.

б) сложные, многокритериальные задачи (задачи векторной

оптимизации), которые экономически приемлемо свести с помощью

специальных процедур к однокритериальной задаче;

многокритериальные задачи больше соответствуют реальности, так как

человек в своей деятельности чаще всего преследует сразу несколько

целей, соответственно, оптимизационные модели в таких случаях

содержат несколько целевых функций; в таких задачах важно учитывать

13

мнение «лица, принимающего решение», который может свести

несколько критериев к одному критерию или воспользоваться методом

последовательных уступок.

5. Методы решения многокритериальных задач.Предполагается, что m≥2, при m=1 задача оптимизации является однокритериальной (скалярной).

Задачи оптимизации, в которых имеется не одна, а несколько целевых функций (критериев), получили название многокритериальных задач оптимизации.

Критерии Fi(X), i=1,2, . . . , m, образуют векторный критерий F(X)=(F1, F2, . . . , Fm). Поэтому в литературе также используют термин "векторная оптимизация".

Пусть X1∈D, тогда

F1(X1) – локальная оценка решения X1 по 1 – му критерию или критерию F1;

F2(X1) – локальная оценка решения X1 по 2 – му критерию или критерию F2;

..

Fm(X1) – локальная оценка решения X1 по m – му критерию или критерию Fm;

Развитие методов решения задач векторной оптимизации идёт по трём направлениям:

Методы решения

многокритериальных задач

Методы построения обобщённых крите-риев оптимальности

Методы последо-вательной оптими-зации

Методы сужения области D

.Краеугольным понятием в многокритериальной оптимизации является – Парето-оптимальная (недоминируемая) альтернатива, т.к. поиск приемлемой ("оптимальной") альтернативы, являющейся решением многокритериальной задачи, следует выполнять на множестве недоминируемых альтернатив. Пусть имеются два решения X1 и X2. Говорят, что решение X1 лучше (предпочтительнее, эффективнее, доминирует) решения X2, если Fi(X1)<=Fi(X2) для всех i=1,m, и хотя бы для одного j - го критерия выполняется строгое неравенство Fi(X1)<Fi(X2) или решение X2

называется доминируемым, если существует решение X1, не хуже чем X2, т.е.

14

для любой оптимизируемой функции Fi, I=1, 2, …, m, Fi(X2)Fi(X1) при максимизации функции Fi,Fi(X2)Fi(X1) при минимизации Fi.В многокритериальных задачах оптимального проектирования возникает необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых в аддитивный, мультипликативный или минимаксный критерии оптимальности, метод последовательных уступок, для сужения множества Парето. Оценивают важность частных критериев Fi(X) с помощью коэффициентов i:f(X)= ifi(X) – аддитивный критерий;

f(X)=

m

ii Xf i

1

)( – мультипликативный критерий.

Практические занятия – не предусмотрено

Задания для самостоятельного выполненияОсновы моделирования:1. Построение математических моделей объектов естествознания.2. Построение аналитических моделей.3. Построение вероятностных моделей.

Форма контроля самостоятельной работы:Групповая форма контроля и взаимоконтроль.Метод контроля – наблюдение.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Математические модели и их виды.2. Основные принципы построения моделей. 3. Понятие оптимизационной задачи.4. Основные понятия: решение, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности.5. Методы решения многокритериальных задач.

Раздел 2. Детерминированные задачи

Тема 2.1 Линейное программированиеОсновные понятия и термины по теме: целевая функция, условия-ограничения, область допустимых решений, оптимальное решение, свободные переменные, базисные переменные.План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):

15

1. Общий вид задачи линейного программирования. Форма записи ЗЛП2. Сведение произвольной задачи к основной ЗЛП.3. Геометрическая интерпретация ЗЛП.4. Симплекс-метод с естественным базисом.5. Симплекс-метод с искусственным базисом.6. Транспортная задача и задачи, приводимые к ТЗ.Краткое изложение теоретических вопросов:1. Общий вид задачи линейного программирования. Форма записи ЗЛП.

Задача линейного программирования в общем виде: дана система ограничений: АХ В, X 0, где А - матрица, Х и В - столбцы (возможно, разной длины). Дана линейная целевая функция: f = (с, х). Требуется определить компоненты вектора X, удовлетворяющие системе ограничений, при которых данная целевая функция принимает минимальное значение.

Определения. Решение называется допустимым в задаче линейного программирования, если оно удовлетворяет условиям: АХ В, Х 0.

Если существует хоть одно допустимое решение, то задача называется допустимой.

Вектор Х, который дает минимум целевой функции среди всех допустимых решений, называется оптимальным решением.

Если существует оптимальное решение, то говорят, что задача поставлена корректно.

2. Сведение произвольной задачи к основной ЗЛП.Любую задачу линейного программирования можно свести к КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ, т.е. к основной ЗЛП:

АХ = В, Х 0, f = (с, х) -> min.Но при решении задачи нельзя механически заменять знак

неравенства на знак равенства, т.к. после этого система, скорее всего, не будет иметь решения.

В задачах нет ограничения на количество неизвестных. За счет введения дополнительных неизвестных исходную систему неравенств легко свести к эквивалентной ей системе уравнений.

3. Геометрическая интерпретация ЗЛП.

Графический метод решения задачи линейного программирования.Решим ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ пример . Его удобно применять, когда в задаче 2 (реже 3) неизвестных. В этом случае сначала строим

16

область допустимых решений и в результате получаем многоугольник (многогранник). Затем можно действовать двумя способами. Во-первых, можно найти значения целевой функции в каждой из вершин и выбрать наименьшее. Во-вторых, можно нарисовать линии уровня целевой функции (это будут параллельные прямые) и с помощью них определить нужную нам вершину.

0

80210120

90215115

ix

xx

xx

или

0

8212

621

ix

xx

xx

Надо найти точку, в которой целевая функция имеет максимум. Для этого необходимо начертить график функции f = 0, т.е. 7х1 + 5х2 = 0 и сдвигать его параллельно в сторону увеличения функции f до тех пор, пока он все еще будет пересекать наш многоугольник (пересекаться с областью решений). Итак, самое оптимальное решение - точка (2;4), f = 340.

4 Симплекс-метод с естественным базисом. Симплекс-метод с искусственным базисом.

СИМПЛЕКС – МЕТОД. Будем исследовать задачу линейного программирования в КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ:

АХ = В, Х 0, f = (с, х) -> min. При этом пусть A - матрица размером r*n, где r - число

независимых уравнений, n-число переменных, r<n, rang(А)=r.Заданная система имеет бесконечно много решений, при этом

множество решений системы образует пространство размерности n-r. Чтобы его описать, надо выбрать n-r свободных переменных, тогда оставшиеся r переменных будут называться базисными и выражаться через свободные переменные.

Договоримся, что свободные переменные имеют номера с r+1 до n-ого, т.е. базисными переменными являются x1,...,xr.

Выразив базисные переменные через свободные, линейную систему

сведем к виду:Если свободным переменным придать значение, равное 0, то

получим решение: (b1,b2,...,br,0,0,...,0).В каком случае этот набор будет допустимым решением задачи?

Так как хi должны быть неотрицательными, то и все bi должны быть

17

nrnrrrrr

nnrr

nnrr

xaxabx

xaxabx

xaxabx

...

...............................................

...

...

11,

211,222

111,111

неотрицательными. Такое решение задачи называется базисным решением. Базисных решений много. Геометрический смысл базисного решения состоит в том, что это координаты одной из вершин многогранника допустимых значений в n-мерном пространстве. Если задача корректна, то одно из базисных решений задачи будет оптимальным. Следовательно, перебирая все вершины и вычисляя значение целевой функции в каждой из них, мы можем найти решение задачи. Однако, данный процесс очень трудоемок: для нахождения одного базисного решения придется решать систему уравнений r*n (а количество базисных решений равно числу сочетаний из n по r, т.е. весьма велико).

Симплекс-метод служит для облегчения процесса перебора: он заключается в последовательном переборе части базисных решений. Перебираются не все решения подряд, а только такие, что на каждом последующем шаге значение целевой функции становится лучше.

Алгоритм симплекс-метода:1. Заполняем исходную таблицу (считается, что исходный базис

найден).2. Ищем в нижней строке максимальный положительный элемент

(кроме 0). Если таких нет, то задача решена. Пусть j - максимальное положительное число в нижней строчке.

3. В j-том столбце ищем положительные коэффициенты аkj (если таких нет, то задача не имеет решения). Во вспомогательный столбец заносим bk/аkj. Пусть минимальный элемент во вспомогательном столбце находится в i-й строке. На пересечении разрешающего столбца (j) и разрешающей строки (i) находится разрешающий элемент aij.

4. Заполняем новую таблицу в следующем порядке:a) заголовок;b) первый столбец (вместо хi пишем хj);c) единичные столбцы;d) разрешающую строку (делим на аij);e) остальные строчки по порядку.

5. Возвращаемся к пункту 2.

ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА симплекс-преобразования: (пункт 4e)

имеет вид:

18

ij

mjilmlml a

aaaa *

5. Транспортная задача и задачи, приводимые к ТЗ.

Классическая транспортная задача ЛП формулируется следующим образом. Имеется m пунктов производства (поставщиков) и n пунктов

потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:

- объем производства (запас) i-го поставщика, i=1, m ;

- объем потребления (спрос) j-го потребителя, i=1, n ;

- стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукта от i-го поставщика к j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос всех потребителей был бы выполнен и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна. Математическая модель транспортной задачи имеет вид

Транспортная задача, в которой суммарные запасы

и суммарные потребности

совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае - открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой.

В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные

потребности, т.е.

19

вводится фиктивный n+1 потребитель, потребности которого

В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные

запасы, т.е.

вводится фиктивный m+1 поставщик, запасы которого

Стоимость перевозки единицы груза как до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки единицы груза от фиктивного поставщика

полагают равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится.

Прежде чем решать транспортную задачу, необходимо проверить, к какой модели она принадлежит, и если необходимо, то привести ее к закрытой модели. Основные свойство транспортной задачи. Математические модели любых транспортных задач ЛП обладают общими чертами, а именно,

1) коэффициенты целевой функции неотрицательны (стоимости перевозок не могут быть отрицательными величинами);

2) коэффициенты правых частей ограничений неотрицательны (запасы и потребности продукта);

3) коэффициенты в ограничениях принимают только два значения, это нули и единицы.

20

Практические занятия 1. Решение ЗЛП симплекс-методом.2. Решение транспортной задачи. Метод потенциалов.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Ознакомление с обучающей программой DANTZIG _1.2. Ознакомление с обучающей программой DANTZIG _2.

Форма контроля самостоятельной работы:Фронтальная форма контроля.Метод – практический контроль.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Общий вид задачи линейного программирования. Форма записи ЗЛП2. Сведение произвольной задачи к основной ЗЛП.3. Геометрическая интерпретация ЗЛП.4. Симплекс-метод с естественным базисом.5. Симплекс-метод с искусственным базисом.6. Транспортная задача и задачи, приводимые к ТЗ.

Тема 2.2 Нелинейное программирование

Основные понятия и термины по теме: целевая функция, условия-ограничения, область допустимых решений, оптимальное решение.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Общий вид задач нелинейного программирования.2. Методы их решения.

Краткое изложение теоретических вопросов:1. Общий вид задач нелинейного программирования.

В общем виде задача НП состоит в определении max/min значения

f (x1, x2, … xn) (1)

при условии, что ее переменные удовлетворяют соотношениям

gi(x1, x2, …, xn) £ bi (i = 1, k)

21

gi(x1, x2, …, xn) = bi (i = k + 1, m),

где f и gi некоторые известные функции n переменных, а bi — заданные числа.

Имеется в виду, что в результате решения задачи будет определена точка Х* = (х1*, х2*, … хn*), координаты которой удовлетворяют соотношению (2), причем для всякой другой точки, отвечающей условиям (2), выполняется

F* (x*1, x*2, … x*n) > f (x1, x2, … xn)

Если f и gi — линейные функции, то это будет задача линейного программирования.

Соотношения (2), образующие систему ограничений, включают в себя и условия неотрицательности переменных, если таковые имеются. Последние могут быть заданы и отдельно.

В евклидовом пространстве En система ограничений (2) определяет ОДР. В отличие от задачи ЛП она не всегда является выпуклой.

Если определена ОДР, то нахождение решения задачи НП сводится к определению такой точки этой области, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня: f (x1, x2, … xn) = h, причем эта точка может находиться как на границе ОДР, так и внутри нее.

2. Методы решения ЗНП.Геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования

При числе переменных не более двух задачу НП можно решить геометрическим способом.

Процесс нахождения решения задачи НП (1), (2) с использованием ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1. Находят ОДР задачи, определяемую соотношением (2); если она пуста, то задача не имеет решения.

2. Строят гиперповерхность f (x1, x2, … xn) = h.

3. Определяют гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня или устанавливают неразрешимость задачи из-за неограниченности функции (1) сверху (снизу) на множестве допустимых решений.

4. Находят точку ОДР, через которую проходит гиперповерхность наивысшего (наинизшего) уровня, и определяют значение функции (1).

Метод множителей Лагранжа

22

Математическая постановка. Рассмотрим частный случай общей задачи НП (1), (2), предполагая, что система ограничений (2) содержит только уравнение, отсутствуют условия неотрицательности переменных, и f (X1, X2 …Xn) и qi(X1, X2,…Xn) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными.

f (X1, X2 …Xn) ® max (min)

qi (X1, X2,…Xn) = bi (I = 1, m).

Это так называемая задача на условный экстремум или классическая задача оптимизации.

Чтобы найти решение этой задачи, вводят набор переменных l1, l2,…ln, называемых множителями Лагранжа, составляют функцию Лагранжа.

f (X1, X2 …Xn, l1, l2,…ln) = f (X1, X2 …Xn) +

находят частные производные.

и рассматривают систему n + m уравнений.

с n+m неизвестными Х1, Х2,…Хn, ln, l1, l2,… lm.

Всякое решение этой системы уравнений определяет точку Х* = (Х1*, Х2, … Хn), в которой может иметь место экстремум функции f (x1, x2,…xn).

Следовательно, решив систему уравнений, получают все точки, в которых функция f (x1, x2,…xn) может иметь экстремальные значения.

Таким образом, определение экстремальных точек задачи НП методом множителей Лагранжа включают следующие этапы:

1. Составляют функцию Лагранжа.

2. Находят частные производные от функции Лагранжа по переменным Х1 и l1 и приравнивают их нулю.

3. Решая полученную систему уравнений, находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум.

4. Среди точек, подозрительных на экстремум, находят такие, в которых достигается экстремум, а вычисляют значения целевой функции в этих точках.

Практические занятия Графический метод решения ЗНП. Метод множителей Лагранжа.

Задания для самостоятельного выполнения

23

1. Изучение методов решения задач с нелинейными ограничениями: методы штрафных функций, методы барьерных функций.2. Ознакомление с обучающей компьютерной программой ROZEN.

Форма контроля самостоятельной работы:Фронтальная форма контроля.Метод – устный фронтальный опрос.

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Общий вид задач нелинейного программирования.2. Графический метод решения ЗНП. 3. Метод множителей Лагранжа.

Тема 2.3 Динамическое программирование

Основные понятия и термины по теме: шаговое управление, управление операцией в целом, оптимальное управление, выигрыш на данном шаге, выигрыш за всю операцию, аддитивный и мультипликативный критерии.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Основные понятия динамического программирования: шаговое управление, управление операцией в целом2. Оптимальное управление, выигрыш на данном шаге, выигрыш за всю операцию, аддитивный и мультипликативный критерии.3. Идея метода динамического программирования.

Краткое изложение теоретических вопросов:1. Основные понятия динамического программирования: шаговое управление, управление операцией в целом.

Динамическое программирование (динамическое планирование) –

это раздел математического программирования, который изучает

совокупность приёмов и методов, позволяющих находить оптимальные

решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и

выработке оптимальной стратегии для последующих решений.

24

Задачи динамического программирования являются многоэтапными,

поэтому термин «динамическое программирование» не столько

определяет особый тип задач, сколько характеризует методы

нахождения решения отдельных классов задач математического

программирования.

В общем случае задача динамического программирования

формулируется следующим образом. Пусть данная физическая

система находится в некотором начальном состоянии и является

управляемой. Благодаря осуществлению некоторого управления

(некоторой операции) указанная система переходит из

начального состояния в конечное состояние При этом

качество каждого из реализуемых управлений характеризуется

соответствующим значением функции Задача состоит в том,

чтобы из множества возможных управлений найти такое

при котором функция принимает экстремальное значение

Можно выделить два класса задач, к которым методы динамического

программирования применяются наиболее удачно.

Первый класс – это задачи планирования деятельности

экономического объекта (предприятия, отрасли и т.п.) с учётом

изменения потребности в производимой продукции во времени.

Второй класс задач – задачи оптимального распределения ресурсов

между различными направлениями во времени.

2. Оптимальное управление, выигрыш на данном шаге, выигрыш за всю операцию, аддитивный и мультипликативный критерии.

Наибольшей эффективности методы динамического

программирования достигают там, где по самому существу задачи

приходится принимать решения по этапам.

Рассмотрим основные теоретические аспекты решения задач

методом динамического программирования. Будем считать, что

состояние рассматриваемой системы на k-ом шаге

определяется совокупностью чисел

25

которые получены в результате реализации управления

обеспечивающего переход системы из состояния в

состояние

Будем предполагать, что состояние в которое перешла

система зависит от данного состояния и выбранного

управления и не зависит от того, каким образом система перешла

в состояние

Далее, будем считать, что если в результате реализации го шага

обеспечен определённый доход, также зависящий от исходного

состояния системы и выбранного управления

равный то общий доход за шагов составляет

где

Таким образом, сформулированы два условия, которым должна

удовлетворять рассматриваемая задача динамического

программирования. Первое условие обычно называют условием

отсутствия последействий, а второе – условием аддитивности целевой

функции задачи оптимизации.

Задача оптимизации в этом случае состоит в отыскании оптимальной

стратегии управления, т.е. такой совокупности управлений

в результате реализации которых система за шагов переходит из

начального состояния в конечное и при этом функция дохода

принимает наибольшее значение. Оценивают важность частных критериев Fi(X) с помощью коэффициентов i:f(X)= ifi(X) – аддитивный критерий;

f(X)=

m

ii Xf i

1

)( – мультипликативный критерий.

26

3. Идея метода динамического программирования.

Динамическое программирование обычно придерживается двух подходов к решению задач:

нисходящее динамическое программирование: задача разбивается на подзадачи меньшего размера, они решаются и затем комбинируются для решения исходной задачи. Используется запоминание для решений часто встречающихся подзадач.

восходящее динамическое программирование: все подзадачи, которые впоследствии понадобятся для решения исходной задачи, просчитываются заранее и затем используются для построения решения исходной задачи. Этот способ лучше нисходящего программирования в смысле размера необходимого стека и количества вызова функций, но иногда бывает нелегко заранее выяснить, решение каких подзадач нам потребуется в дальнейшем.

Практические занятия Простейшие задачи, решаемые методом динамического программирования

Задания для самостоятельного выполнения1. Подготовка сообщений на тему: «Область применения динамического программирования».2. Проработка темы «Принцип оптимальности и уравнение Р. Беллмана».3. Ознакомление с обучающей программой BELLMAN.

Форма контроля самостоятельной работы:1. Фронтальная форма контроля. Метод –устный фронтальный опрос.2. Групповая форма контроля и взаимоконтроль. Метод контроля – наблюдение.3. Фронтальная форма контроля.

27

Метод –практический контроль.

Вопросы для самоконтроля по теме: 1. Основные понятия динамического программирования: шаговое управление, управление операцией в целом2. Оптимальное управление, выигрыш на данном шаге, выигрыш за всю операцию, аддитивный и мультипликативный критерии.3. Идея метода динамического программирования.

Тема 2.4 Алгоритмы на графах

Основные понятия и термины по теме: граф, вершины, ребра, неоиентированные ребра, ориентированные ребра, матрица смежности, списки инцидентности.План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Методы хранения графов в памяти ЭВМ.2. Задача о нахождении кратчайших путей в графе и методы её решения.

Краткое изложение теоретических вопросов:1. Методы хранения графов в памяти ЭВМ.

Представление графа в ЭВМ. Пусть дан смешанный граф (содержит ориентированные рёбра и неориентированные):

Смешанный граф.

Известно несколько способов представлений графа G=(V, Е) в памяти компьютера.

1. Матрица смежности. Матрица смежности - это матрица размером n×n, в которой cij=1, если существует ребро из i в j и cij=0 в противном случае. Например, для вышеприведенного графа матрица смежности будет иметь следующий вид:

1 2 3 4 5

28

1 0 1 1 0 02 1 0 0 1 13 1 1 0 0 14 1 1 1 0 15 0 1 0 1 0

Для неориентированного графа справедливо cij=cji и матрица называется симметрической. Представление в виде матрицы смежностей удобно для тех алгоритмов на графах, которым часто нужно знать, есть ли в графе данное ребро, ибо время, необходимое для определения наличия ребра, фиксировано. Основным преимуществом матрицы смежности является тот факт, что за один шаг можно получить ответ на вопрос "существует ли ребро из v в w?". Недостаток этого способа заключается в том, что способ пригоден только для простых графов.

2. Массив ребер. Массив ребер – это массив, в котором ребра хранятся парами вершин, которые они соединяют. Это наиболее понятный, но достаточно неудобный способ хранения графа. Однако у него есть один большой плюс - при таком способе представления легко вводить дополнительные характеристики ребер. Например, чтобы сохранить веса ребер, достаточно сделать массив размером Mx3 и в дополнительную ячейку для каждого ребра записать его вес. Например, для графа, приведенного на рис.6 массив ребер будет следующий: (1,2), (1,3), (2,1), (2,4), (2,5), (3,1), (3,2), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (5,2), (5,4). Если априорно известно, что граф не ориентированный, то включая описание (v, w) не включается описание (w, v).

3. Списки инцидентности. Для каждой вершины графа создаются три списка:

v 0: только неориентированные ребра, инцидентные вершине;

v +: исходящие ребра;

v -: входящие ребра.

Ели граф ориентирован, то для каждой вершины v достаточно списков v + и v -. Если граф неориентированный, то достаточно списков v 0.

Например,

29

10: (1,2),(1,3)1+: 1-: 20: (2,1), (2,4), (2,5)2+: 2-: (3,2)30: (3,1)3+: (3,2), (3,5)3-: (4,3)40: (4,2), (4,5)4+: (4,1), (4,3)4-: 50: (5,4), (5,2)5+: 5-: (3,5)

4. Списки смежности. Представляет собой структуру данных, которая для каждой вершины графа хранит список смежных с ней вершин. Список представляет собой массив указателей, i-ый элемент которого содержит указатель на список вершин, смежных с i-ой вершиной. Список смежности более эффективен по сравнению с матрицей смежности, так как исключает хранение нулевых элементов. Например (рис.):

1: 2,32: 1,4,53: 1,2,54: 1,2,3,55: 1,4

2. Задача о нахождении кратчайших путей в графе и методы её решения.Пусть дан граф, дугам которого приписаны веса. Задача о

нахождении кратчайшего пути состоит в нахождении кратчайшего пути от заданной начальной вершины до заданной конечной вершины, при условии, что такой путь существует.

Можно дать много практических интерпретаций задачи о кратчайших путях. Например, вершины могут соответствовать городам и каждая дуга - некоторому пути, длина которого представлена весом дуги. Мы ищем кратчайшие пути между городами. Вес дуги может соответствовать стоимости (или времени) передачи информации между

30

вершинами. В этом случае мы ищем самый дешевый (или самый скорый).

Данная задача может быть разбита на две: 1. Для начальной заданной вершины найти все кратчайшие пути от

этой вершины к другим; 2. Найти кратчайшие пути между всеми парами вершин.

Рассмотрим алгоритм решения для задачи: Необходимо найти путь от s - начальной вершины до t - конечной

вершины. Каждой вершине присваиваем пометки I(Xi). 1. I(s) = 0, I(Xi) равно бесконечности для всех Хi не равных s и

считать эти пометки временными. Положить р = s. 2. Для всех Хi, пренадлежащих Г(р) и пометки которых временны,

изменить пометки по следующему правилу: I(Xi) = min[I(Xi), I(p) + c(p, Xi)]3. Среди всех вершин с временными пометками найти такую, для

которой I(Xi*) = min[I(Xi)]4. Считать пометку вешины Хi* постоянной и положить р = Хi*. 5. Если р = t, то I(р) является длинной кратчайшего пути, если нет,

перейти к шагу 2. Как только все пометки расставлены, кратчайшие пути получают,

используя состношение I(Xi') + c(Xi',Xi) = I(Xi) (1).

Пример решения задачи.

Рассмотрим граф, изображенный на рисунке. Требуется найти все кратчайшие пути от вершины Х1 ко всем остальным вершинам. Матрица весов приведена ниже.

Решение:

I(X1)=0*, I(Xi)=∞, Xi≠X1, p=X11) Г{X1}=Г(X1)={X2,X7,X9}

31

I(X2)=min[∞, 0*+10]=10I(X7)=min[∞, 0*+3]=3I(X8)=min[∞, 0*+6]=6I(X9)=min[∞, 0*+12]=12min[I(X2), I(X3), I(X4), I(X5), I(X6), I(X7), I(X8), I(X9)]=3X7:I(X7)=3*, p=3

2) Г{X7}=Г(X7)={X2,X4,X6,X9}I(X2)=min[10, 3*+2]=5I(X4)=min[∞, 3*+4]=7I(X6)=min[∞, 3*+14]=17I(X9)=min[12, 3*+24]=12min[I(X2),I(X3),I(X4),I(X5),I(X6),I(X8),I(X9)]=5X2:I(X2)=5*, p=5

3) Г{X2}=Г(X2)={X3,X9}I(X3)=min[∞, 5*+18]=23I(X9)=min[∞, 5*+13]=12min[I(X3),I(X4),I(X5),I(X6),I(X8),I(X9)]=6X8:I(X8)=6*, p=6

4) Г{X8}=Г(X8)=[X5,X6,X9]I(X5)=min[∞, 6*+23]=29I(X6)=min[17, 6*+15]=17I(X9)=min[12,6*+5]=11min[I(X3),I(X4),I(X5),I(X6),I(X9)]=7X4:I(X4)=7*, p=7

5) Г{X4}=Г(X4)={X3,X5,X6}I(X3)=min[23, 7*+25]=23I(X5)=min[29, 7*+5]=12I(X6)=min[17, 7*+16]=17min[I(X3),I(X5),I(X6),I(X9)]=11X9:I(X9)=11*, p=11

6) Г{X9}=Г(X9)={X6}I(X6)=min[17, 11*+9]=17min[I(X3),I(X5),I(X6)]=12X5:I(X5)=12*, p=12

7) Г{X5}=Г(X5)={X6}I(X6)=min[17, 12*10]=17min[I(X3),I(X6)]=17X6:I(X6)=17*, p=17

8) Г{X6}=Г(X6)={X3}I(X3)=min[23, 17*+20]=23X3:I(X3)=23*, p=23

32

Все вершины имеют пометки.

Найдём кратчайший путь, например, (Х1,Х2). Вершина Х2 имеет пометку 5*. Полагая в соотношении (1) Хi =

Х2, получаем I(X2')+с(Х2', Х2) = I(X2) = 5. Единственной такой вершиной является Х7. Далее применяем ещё

раз соотношение (1) и получаем путь (Х1,Х7,Х2) и т. д.

Практические занятия 1. Задача о максимальном потоке и алгоритм Форда-Фалкерсона.2. Решение задач.

Задания для самостоятельного выполненияОтработка на практике методов хранения графов в памяти ЭВМ.

Форма контроля самостоятельной работы:Фронтальная форма контроля.Метод – устный фронтальный опрос.

Вопросы для самоконтроля по теме: 1. Методы хранения графов в памяти ЭВМ.2. Задача о нахождении кратчайших путей в графе и методы её решения.

Раздел 3. Задачи в условиях неопределённости

Тема 3.1 Системы массового обслуживания

Основные понятия и термины по теме: случайный процесс, граф состояний, поток событий, вероятность состояния.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Основные понятия теории марковских процессов: случайный процесс, граф состояний, поток событий, вероятность состояния.

33

2. Уравнения Колмогорова, финальные вероятности состояний.3. Схема гибели и размножения.4. Понятие о системах массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания.

Краткое изложение теоретических вопросов:1. Основные понятия теории марковских процессов: случайный процесс, граф состояний, поток событий, вероятность состояния.

Среди множества видов случайных процессов большое теоретическое и практическое значение имеют процессы, обладающие следующим свойством:

Для каждого момента времени tį вероятность любого состояния системы в будущем (при t > ti) зависит только от ее состояния в настоящем (при t = ti) и не зависит от того, когда и каким образом система пришла в это состояние (т.е. как развивался процесс в прошлом).

Впервые это свойство было сформулировано русским математиком Марковым А.А. в 1906 году, и впоследствии это свойство стало принято называть марковским свойством, а случайные процессы, обладающие этим свойством, стали называть Марковскими процессами.

Имеется немало определений марковского процесса, приведем одно из этих определений.

Случайный процесс X(t) называется марковским, если для любых n моментов времени t1 < t2 < ...< tn из отрезка [О,Т] условная функция распределения «последнего» значения X(tn) при фиксированных значениях X(t1), X(t2), ..., X(tn-1) зависит только от X(tn-1), т.е. при заданных значениях х1, x2, …, xn справедливо соотношение

P{X(tn) xn/X(t1) = x1, X(t2) = x2, …, X(tn-1) = xn-1} == P{X(tn) xn/X(tn-1) = xn-1}

Применительно к случайным марковским процессам, различают марковские цепи, марковские последовательности, марковские процессы с конечным и бесконечным числом состояний, а также смешанные марковские процессы.

При анализе случайных марковских процессов с дискретными пространствами состояний удобно пользоваться наглядной геометрической схемой графом состояний. Графы состояний изображают возможные состояния системы с указанием (в виде стрелок) возможных переходов из состояния в состояние.

При этом для случая дискретного пространства состояний и дискретного времени (цепь Маркова) у стрелок проставляются соответствующие вероятности переходов. Такой граф состояний

34

(1)

называют размеченным, а величины Pij означают вероятности переходов из i-го состояния в j-e состояние.Для случайных марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем вместо переходных вероятностей Рij у стрелок указываются плотность вероятностей переходов ij.2. Уравнения Колмогорова, финальные вероятности состояний.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Финальные вероятности состояний

Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем, подразумевается, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под действием простейших потоков событий (потоков вызовов, потоков отказов, потоков восстановлений и т.д.). Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским.

Итак, на систему, находящуюся в состоянии , действует простейший поток событий. Как только появится первое событие этого потока,

происходит «перескок» системы из состояния в состояние (на графе

состояний по стрелке ).

Для наглядности на графе состояний системы у каждой дуги проставляют интенсивности того потока событий, который переводит

систему по данной дуге (стрелке). - интенсивность потока событий,

переводящий систему из состояния в . Такой граф называется размеченным. Для нашего примера размеченный граф приведен на рис.

Размеченный граф состояний системы. На этом рисунке -

интенсивности потока отказов; - интенсивности потока восстановлений. Предполагаем, что среднее время ремонта станка не зависит от того, ремонтируется ли один станок или оба сразу. Т.е.

35

ремонтом каждого станка занят отдельный специалист. Пусть система находится в состоянии S0. В состояние S1 ее переводит поток отказов первого станка. Его интенсивность равна

где - среднее время безотказной работы первого станка.

Из состояния S1 в S0 систему переводит поток «окончаний ремонтов» первого станка. Его интенсивность равна

где - среднее время ремонта первого станка.

3. Схема гибели и размножения.

Если состояния системы образуют цепь: каждое состояние, кроме исходного и последнего, связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями; крайние состояния связаны с одним соседним. Такая схема процесса, протекающего в системе, называется схемой «гибели и размножения», а сам процесс –процессом «гибели и размножения».

Если в такой системе все потоки, переводящие систему из состояния в состояние Пуассоновские, то процесс называется Марковским случайным процессом «гибели и размножения». Термин ведет начало от биологических задач, процесс описывает изменение численности популяции. Переход из состояния в состояние происходит в момент гибели или рождения особи.

На практике значительная часть систем может описываться в рамках схемы «гибели и размножения». Рассмотрим эту схему в общем виде и решим соответствующую систему алгебраических уравнений для нахождения предельных вероятностей состояний системы в стационарном режиме.

На рис. представлен граф состояний системы, описываемой процессом «гибели и размножения».

4. Понятие о системах массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания.Системой массового обслуживания называется система, процесс функционирования которой является, по сути, процессом обслуживания, который состоит в предоставлении той или иной услуги,

36

определяемой из функционального назначения системы. Объект обслуживания в СМО называется требованием или заявкой. Общепринятое графическое представление простейшей СМО имеет вид:

Процесс функционирования СМО включает в общем случае следующие этапы:

1) приход (поступление) требования;

2) ожидание (при необходимости) в очереди;

3) обслуживание в приборе;

4) уход требования из системы.

Изучение любой системы, в том числе и СМО, предполагает ее формализацию (описание), т.е. определение параметров системы, необходимых и достаточных для анализа характеристик ее функционирования.

Для формализации любой СМО необходимо описать:

1) процесс поступления заявок в систему;

2) процесс обслуживания заявок в системе;

3) дисциплину обслуживания.

Пусть t1, t2, t3, ... , tk, ... — моменты поступления в систему 1-го, 2-го, 3-го, ..., k-го, ... требований:

Обозначим через tk = tk — tk-1 промежуток времени между моментами прихода (k—1)-го и k-го требований, который называется интервалом прихода k-го требования (k = 1, 2, 3, ...).

Если интервалы прихода всех заявок являются постоянными, т.е. , то такой поток называется детерминированным илирегулярным. Однако, как правило, интервалы прихода tk являются случайными величинами, и соответствующий поток заявок называется стохастическим или случайным. Очевидно, что регулярный поток является частным случаем случайного потока.

Для описания стохастического потока (стохастического процесса поступления) заявок необходимо задать функцию распределения случайного в общем случае интервала прихода для каждой заявки. Поток заявок, для которого функции распределения интервалов прихода всех заявок одинаковы, т.е. называется рекуррентным. Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода (t ) всех заявок распределены по одному и тому же закону.

37

Важная характеристика любого потока — это его интенсивность, которая обозначается через l(t) и определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если интенсивность поступления l(t) не зависит от времени, т.е. l(t) º l, то такой поток называется стационарным.

Величина а, обратная интенсивности l (а=1/l), определяет среднее значение интервалов прихода или средний интервал поступления заявок.

Если в каждый момент времени t1, t2, t3, ... поступает только одна заявка, то такой поток называется ординарным, в противном случае — групповым (могут приходить одновременно две или более заявок). В дальнейшем рассматриваются только рекуррентные, стационарные и ординарные потоки.

Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга или другими словами момент поступления очередной заявки не зависит от того, когда пришла последняя заявка и от того, сколько их пришло.

При анализе СМО важное место занимает так называемый простейший поток. Простейшим называется поток, в котором интервалы поступления заявок распределены по экспоненциальному закону.

Практические занятия Решение задач на определение вероятностей состояний, финальных вероятностей состояний.

Задания для самостоятельного выполнения

1. Вычисление вероятностей перехода в однородных марковских цепях с дискретным временем.

2. Вычисление вероятностей перехода в однородных марковских цепях с непрерывным временем.

Форма контроля самостоятельной работы:1. Фронтальная форма контроля. Метод – устный фронтальный опрос.2. Фронтальная форма контроля. Метод – устный фронтальный опрос.

Вопросы для самоконтроля по теме:

38

1. Основные понятия теории марковских процессов: случайный процесс, граф состояний, поток событий, вероятность состояния.2. Уравнения Колмогорова, финальные вероятности состояний.3. Схема гибели и размножения.4. Понятие о системах массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания.

Тема 3.2 Имитационное моделирование

Основные понятия и термины по теме: имитационная модель, единичный жребий.План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Идея метода имитационного моделирования.

2. Единичный жребий и форма его организации.

3. Имитация процессов, проходящих во времени.Краткое изложение теоретических вопросов:1. Идея метода имитационного моделирования.Идея имитационного моделирования проста и интуитивно привлекательна. Она дает возможность экспериментировать с системами (существующими или предлагаемыми) в тех случаях, когда делать это на реальном объекте практически невозможно или нецелесообразно.

При имитационном моделировании динамические процессы объекта подменяются процессами, имитируемыми в абстрактной модели, но с соблюдением основных правил (режимов, алгоритмов) функционирования оригинала. В процессе имитации фиксируются определенные события и состояния или измеряются выходные воздействия, по которым вычисляются характеристики качества функционирования системы. Главным достоинством имитационного моделирования вследствие того, что целесообразность применения имитационного моделирования становится очевидной при наличии любого из следующих условий:

не существует законченной математической постановки задачи, либо еще не разработаны аналитические методы решения сформулированной математической модели;

аналитические методы имеются, но математические процедуры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование дает более простой способ решения задачи;

39

кроме оценки определенных параметров, желательно осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение некоторого времени;

имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью вследствие трудностей постановки экспериментов и наблюдения явлений в реальных условиях;

для долговременного действия систем или процессов может понадобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучения системы, поскольку явление может быть замедлено или ускорено по желанию исследователя.

Суть имитационного моделирования заключается в следующем:

воспроизведение с необходимой достоверностью поведения отдельных элементов системы в процессе реализации ею функции системы;

накопление статистических данных о поведении элементов; статистическая обработка этих данных для получения

статистических оценок количественных характеристик законов распределения оцениваемых показателей эффективности.

2. Единичный жребий и форма его организации.

Поясним понятие «жребия». Пусть в ходе процесса наступил момент, когда его дальнейшее развитие (а значит и результат) зависит от того, произошло или нет какое-то событие А? Например, попал ли в цель снаряд? Исправна ли аппаратура? Обнаружен ли объект? Устранена ли неисправность? Тогда нужно «бросанием жребия» решить вопрос: произошло событие или нет. Как можно осуществить этот жребий? Нужно привести в действие какой-то механизм случайного выбора (например, бросание монеты или игральной кости, или же вынимание жетона с цифрой из вращающегося барабана, или выбор наугад какого-то числа из таблицы). Нам хорошо знакомы некоторые механизмы случайного выбора (например, «пляска шариков» перед объявлением выигравших номеров «Спортлото»). Если жребий бросается для того, чтобы узнать, произошло ли событие А, его нужно организовать так, чтобы условный результат розыгрыша имел ту же вероятность, что и событие А. Как это делается—мы увидим ниже. Кроме случайных событий, на ход и исход операции могут влиять различные случайные величины, например: время до первого отказа технического устройства; время обслуживания заявки каналом СМО; размер детали; вес поезда, прибывающего на участок пути; координаты точки попадания снаряда и

40

т. п. С помощью жребия можно разыграть и значение любой случайной величины, и совокупность значений нескольких.Условимся называть «единичным жребием» любой опыт со случайным исходом, который отвечает на один из следующих вопросов:1. Произошло или нет событие Л?2. Какое из событий А1, А2, .. ., Аk произошло?3. Какое значение приняла случайная величина X?4. Какую совокупность значений приняла система случайных величин X1, Х2, .. ., Хk?

3. Имитация процессов, проходящих во времени.

Целью дискретного имитационного моделирования является воспроизведение взаимодействий, в которых участвуют компоненты, и изучение поведения и функциональных возможностей исследуемой системы. Для этого выделяются состояния системы и описываются действия, которые переводят ее из одного состояния в другое. Говорят, что система находится в определенном состоянии, когда все ее компоненты находятся в состояниях, совместимых с областью значений, описывающих это состояние характеристик. Таким образом, имитация – это динамический «портрет» состояний системы во времени, т. е. воспроизведение поведения системы во времени.

При дискретной имитации состояние системы может меняться только в моменты свершения событий. Так как состояние системы не изменяется между этими моментами, полный динамический портрет состояний системы может быть получен путем продвижения имитационного времени от одного события к другому.

В большинстве языков дискретной имитации используется механизм продвижения времени, основанный на поиске следующего ближайшего события.

Функционирование дискретной имитационной модели можно задать следующим образом: определяя изменения состояния системы, происходя-щие в момент свершения событий; описывая действия, в которых принимают участие элементы системы, или процесс, через который проходят элементы.

Взаимосвязь между понятиями событие, действие и процесс представлена на рис.

41

Практические занятия 1. Простейшие задачи, решаемые методом имитационного моделирования.1. Решение задач.Задания для самостоятельного выполнения-не предусмотрено

Форма контроля самостоятельной работы:

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Идея метода имитационного моделирования.

2. Единичный жребий и форма его организации.

3. Имитация процессов, проходящих во времени.

Тема 3.3 Прогнозирование

Основные понятия и термины по теме: прогноз, скользящее среднее , экспоненциальное сглаживание..

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Понятие прогноза.2. Количественные методы прогнозирования: скользящее среднее,

экспоненциальное сглаживание. 3. Качественные методы прогноза.Краткое изложение теоретических вопросов:

1. Понятие прогноза.

42

Большинство принимаемых предпринимателями решений относятся к будущим событиям, которые невозможно контролировать сегодня. Однако их оценка и предсказание необходимы для перспективного планирования бизнеса. При прогнозировании используются как накопленный опыт прошлого, так и текущие допущения относительно развития событий в будущем. Методы прогнозирования бывают количественные и качественные.

2. Количественные методы прогнозирования: скользящие, средние, экспоненциальные, сглаживание.

Количественные методы прогнозирования основываются на том, что тенденция развития событий в будущем связана с развитием ситуации в прошлом.

Прогнозирование на основе количественных методов заключается прежде всего в определении вида и параметров функций, описывающих неслучайные составляющие. Наиболее часто применяется следующие количественные модели прогнозирования. Методы скользящего среднего. Прогностическая модель для краткосрочных прогнозов, основанная на временных рядах. В этой модели среднее арифметическое фактических продаж, вычисленное для принятого числа последних прошедших временных периодов принимается за прогноз на следующий временной период. Метод взвешенного скользящего среднего. Эта модель работает подобно предыдущей модели, но в ней вычисляется не среднее, а средневзвешенное значение, которое и принимается за прогноз на ближайший временной период. Меньшие веса приписываются более отдалённым периодам, отражая тем самым уверенность в том, что прогнозируемый процесс в ближайший период не претерпит резких изменений. Экспоненциальное сглаживание. Также модель, использующая временные ряды и предназначенная для краткосрочных прогнозов. В этом методе объём продаж, спрогнозированный для последнего периода, корректируется на основе информации об ошибке прогноза в последнем периоде. Этот скорректированный за последний период прогноз и становится прогнозом на следующий период.

3. Качественные методы прогноза.Качественные методы прогнозирования используются при недостатке исходной информации, либо сложности ее применения и основываются на мнении экспертов.

Практические занятия – не предусмотрено

43

Задания для самостоятельного выполнения –не предусмотрено

Форма контроля самостоятельной работы:

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Понятие прогноза.2. Количественные методы прогнозирования: скользящие, средние,

экспоненциальные, сглаживание. 3. Качественные методы прогноза.

Тема 3.4 Теория игр

Основные понятия и термины по теме: игра, игроки, партия, выигрыш, ход, личные и случайные ходы, стратегические игры, стратегия.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Предмет и задачи теории игр.2. Основные понятия теории игр: игра, игроки, партия, выигрыш,

ход, личные и случайные ходы. 3. Стратегические игры, стратегия. 4. Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии.

Краткое изложение теоретических вопросов:1. Предмет и задачи теории игр.Довольно часто в своей практической деятельности человеку

приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решение в условиях, когда две или более стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие, например, при игре в шахматы, шашки или домино, относят к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника. Каков будет этот ответный ход, заранее неизвестно, поэтому говорят, что решение приходится принимать в условиях неопределенности. Цель игры - выигрыш одного из участников.

44

Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором имеется по крайней мере два участника (игрока), каждый из которых стремится к достижению собственных целей.

2. Основные понятия теории игр: игра, игроки, партия, выигрыш, ход, личные и случайные ходы.

Допустимые действия каждого из игроков, направленные на достижение некоторой цели, называются правилами игры.

Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Далее будем рассматривать только парные игры. В такой игре участвуют два игрока - A и B, интересы которых противоположны. Под игрой (процессом игры) будет понимать ряд действий со стороны A и B.

Количественная оценка результатов игры называется платежом.Парная игра называется игрой с нулевой суммой,

или антагонистической, если сумма платежей равна нулю, т.е выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В этом случае для полного задания игры достаточно указать одну из величин. Если, например, a – выигрыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = -a, поэтому достаточно рассматривать, например, a.

3. Стратегические игры, стратегия.Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих

выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации.

Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако, в принципе, возможно, что решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы.

Игра называется конечной, если у каждого игрока есть конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.

Стратегия игрока называется оптимальной, если она обеспечивает игроку максимальный выигрыш (или, что то же самое, минимальный проигрыш), при условии, что второй игрок придерживается своей стратегии.

Если игра повторяется много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, необходимо для каждого из игроков выбрать оптимальную стратегию.

45

4. Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии.

Парные игры с нулевой суммой. Решение в чистых стратегияхРассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m

личными стратегиями: A1, A2, …, Am. Пусть у игрока B имеется n личных стратегий. Обозначим их B1, B2, …, Bn. В этом случае игра имеет размерность mxn. В результате выбора игроками любой пары стратегий Ai,Bj ( ) однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш aij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш ( - aij) игрока В. Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Ai,Bj). Матрица А = (aij), , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Ai и Bj, называется платежной матрицей или матрицей игры.

Общий вид платежной матрицы приведен ниже:

A =

a11 a12 ... a1na21 a22 ... a2n

...am1 am2 ...

amn.

Платежную матрицу также часто представляют в виде таблицы (см. таблицу 1).

Таблица 1 - Общий вид платежной матрицыB

1B

2... Bn

A1a1

1a1

2...

A1n

A2a2

1a2

2...

A2n

... ... ... ... ...

Ama

m1a

m2...

Amn

Строки матрицы А соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго.

Эти стратегии называются чистыми.Итак, для игры с седловой точкой нахождение решения состоит в

выборе максиминной и минимаксной стратегий, которые и являются оптимальными.

46

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Например, в игре "Поиск" (пример 1) седловая точка отсутствует. В этом случае можно получить оптимальное решение, чередуя чистые стратегии. Смешанной стратегией игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2, …, Аm c вероятностями u1, u2, …, um.

Обычно смешанную стратегию первого игрока обозначают как вектор: U = (u1, u2, …, um), а стратегию второго игрока как вектор: Z = (z1, z2, …, zm). Очевидно, что:

ui ≥ 0, ,zj ≥ 0, ,

ui = 1, zj = 1.Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и

задавать вектором, в котором единица соответствует чистой стратегии.Оптимальное решение игры (или просто - решение игры) – это пара

оптимальных стратегий U*, Z*, в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры v. Цена игры удовлетворяет неравенству:

≤ v ≤ ,Справедлива следующая основная теорема теории игр.Теорема Неймана. Каждая конечная игра с нулевой суммой имеет

решение в смешанных стратегиях. Пусть U* = ( , , ..., ) и Z* = ( , , ..., ) - пара оптимальных

стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с вероятностью, отличной от нуля, то она называется активной.

Теорема об активных стратегиях. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры v, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий. Эта теорема имеет большое практическое значение - она дает конкретные модели для нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки. Рассмотрим игру размера 2x2. Такая игра является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение - это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.

Практические занятия

47

Методы решения конечных игр: сведение игры mxn к ЗЛП; численный метод – метод итераций

Задания для самостоятельного выполненияИзучение графического метода решения игр вида (2*n) и (2*m).Решение задач по теме: «Многошаговые игры (дерево решений)»Подготовка докладов по теме: «Дифференциальные игры преследования»Фазовые координаты и управление.Игры с движущимся объектом.Игры преследования.

Форма контроля самостоятельной работы:Наблюдение. Обсуждение изученных вопросов – «круглый стол».

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Предмет и задачи теории игр.2. Основные понятия теории игр: игра, игроки, партия, выигрыш,

ход, личные и случайные ходы. 3. Стратегические игры, стратегия. 4. Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии.

Тема 3.5 Теория принятия решений

Основные понятия и термины по теме: решение, условия определённости, неопределённости, риска.

План изучения темы (перечень вопросов, обязательных к изучению):1. Область применимости теории принятия решений.2. Принятие решений в условиях определённости, в условиях риска.3. Критерии принятия решений в условиях неопределённости.

Дерево решений.Краткое изложение теоретических вопросов:

1. Область применимости теории принятия решений.Теория принятия решений – область исследования, вовлекающая

понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и

психологии; изучает закономерности выбора людьми путей решения

48

разного рода задач, а также исследует способы поиска наиболее выгодных

из возможных решений.

2. Принятие решений в условиях определённости, в условиях риска.

Определенность понимается как такое состояние знания, когда лицо, принимающее решение, заранее знает конкретный исход для каждой альтернативы. Иначе говоря, лицо, принимающее решение, обладает исчерпывающим знанием состояния среды и результатов каждого возможного решения. Определенность имеет место в большинстве арифметических и алгебраических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Такие модели используются для поиска варианта распределения ресурсов, дающего, наибольшую отдачу по определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость), или наименьшему значению некоторого другого критерии (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.

Под риском следует понимать возможную опасность потерь, вытекающую из специфики тех или иных явлений природы и видов деятельности человеческого общества. Степень риска определяется величиной потерь при наступлении непредусмотренного события (математическим ожиданием величины потерь) в сравнении с вложенными средствами (затраченными усилиями). Степень риска можно квалифицировать как цену решения, принятого в ситуации опасности, т. е. как ожидаемую величину потерь в результате действия.

Риск – это историческая и экономическая категория. Как историческая категория, риск связан со всем ходом общественного развития и представляет собой осознанную человеком возможную опасность. Он возник на низшей ступени развития цивилизации и связан с появлением у человека чувства страха перед смертью, опасностью. Как экономическая категория, риск представляет собой событие, которое может произойти или не произойти. В случае, если оно произойдет, то возможны три экономических результата этого события: отрицательный (проигрыш, ущерб, убыток), нулевой, положительный (выигрыш, выгода, прибыль). В этой связи уместно говорить о многообразии рисков, возникающих в процессе деятельности и отдельного субъекта, и организаций, и общества в целом. Следовательно, и

49

классификация этих рисков представляет собой достаточно сложную проблему. Вместе с тем необходимо отметить, что именно классификация рисков наиболее полно освещена в работах как зарубежных, так и отечественных ученых-управленцев5. Поэтому лишь перечислим основные признаки классификации рисков.

1. В зависимости от рискового события все риски можно поделить на две большие группы: чистые и спекулятивные.

1). Чистые риски включают:

– некоторые из коммерческих рисков (имущественные, производственные, торговые);

– политические;

– природно-естественные;

– экологические;

– транспортные.

2). К спекулятивным рискам относятся финансовые риски, являющиеся частью коммерческих рисков.

2. В зависимости от основной причины возникновения (базисный или природный риск) риски делятся на: коммерческие, политические, природно-естественные риски, транспортные, экологические риски.

Коммерческие риски делятся на:

– имущественные;

– производственные;

– торговые;

– финансовые, которые подразделяются на два вида: риски, связанные с покупательной способностью денег (валютные, инфляционные и дефляционные риски, риски ликвидности), и риски, связанные с вложением капитала или инвестиционные риски

50

(биржевой риск, риск банкротства, селективный риск, а также кредитный риск).

3. Критерии принятия решений в условиях неопределённости. Дерево решений.

Условиями неопределённости считается ситуация, когда результаты принимаемых решений неизвестны. Неопределенность подразделяется на стохастическую (имеется информация о распределении вероятности на множестве результатов), поведенческую (имеется информация о влиянии на результаты поведения участников), природную (имеется информация только о возможных результатах и отсутствует о связи между решениями и результатами) и априорную (нет информации и о возможных результатах). Задача обоснования решений в условиях неопределённости всех типов, кроме априорной, сводится к сужению исходного множества альтернатив на основе информации, которой располагает лицо, принимающее решение (ЛПР). Качество рекомендаций для принятия решений в условиях стохастической неопределенности повышается при учете таких характеристик личности ЛПР, как отношение к своим выигрышам и проигрышам, склонность к риску. Обоснование решений в условиях априорной неопределенности возможно построением алгоритмов адаптивного управления.

Практические занятия – не предусмотрено

Задания для самостоятельного выполнения - не предусмотрено

Форма контроля самостоятельной работы:

Вопросы для самоконтроля по теме:

1. Область применимости теории принятия решений.2. Принятие решений в условиях определённости, в условиях риска,

в условиях.3. Критерии принятия решений в условиях неопределённости.

Дерево решений.

51

КОНТРОЛЬ И ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ

Текущий контроль

Перечень точек рубежного контроля

Охват тем(указать номера

тем, подлежащих контролю)

Форма контроля

Тест №1. . Математическая модель оптимизационной задачи. Задачи линейного программирования.

Темы 1.1 и 2.1 Проверка правильности

выполнения теста

Тест №2. Нелинейное программирование. Динамическое программирование.

Темы 2.2 и 2.3 Проверка правильности

выполнения теста

Тест №3. Теория игр. Тема 3.4 Проверка правильности

выполнения тестаКонтрольная работа по материалу курса.

Темы 1.1 -3.5 Проверка правильности выполнения

контрольной работы

Итоговый контроль по дисциплине

Вопросы к зачётуПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ

СТУДЕНТОВ К СДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ЗАЧЕТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

1. Математическая модель. Пример построения математической модели.

2. Классификация математических моделей и методов.3. Общая постановка задачи линейного программирования.

Графический метод решения ЗЛП.4. Канонический вид записи задачи линейного программирования.

Метод решения задачи линейного программирования.5. Общая постановка задачи нелинейного программирования.

52

6. Методы решения задач нелинейного программирования (Графический метод, метод множителей Лагранжа).

7. Основные понятия динамического программирования (шаговое управление, управление операцией в целом, оптимальное управление). Свойство аддитивности.

8. Критерий оптимальности Беллмана в задаче динамического программирования. Задача распределения ресурсов.

9. Транспортная задача (общая постановка). Метод нахождения опорного плана (метод северо-западного угла).

10. Метод наименьшей стоимости нахождения опорного плана при решении транспортной задачи. Метод потенциалов нахождения оптимального плана.

11. Задача о максимальном потоке в графе. Основные понятия: источник, сток, поток в сети, разрез транспортной сети, пропускная способность разреза, увеличивающие дуги.

12. Алгоритм построения максимального потока в графе. Теорема Форда-Фалкерсона.

13. Системы массового обслуживания. Основные понятия: граф состояния, поток событий, вероятность состояния, финальные вероятности. Система уравнений Колмогорова.

14. Процессы гибели и размножения. Нахождение финальных вероятностей состояний для процессов гибели и размножения.

15. Постановка задач теории игр. Основные понятия теории игр: игра, выигрыш, проигрыш, ход, стратегия, оптимальная стратегия, нижняя и верхняя цена игры.

16. Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии. Нахождение смешанных стратегий – сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.

17. Задача о нахождении кратчайших путей в графе и методы ее решения.

18. Задача коммивояжера и алгоритм ее решения.19. Постановка задачи теории принятия решений. Основные

понятия: матрица эффективности, матрица риска. Подходы к решению задач в различных условиях. Дерево решений.

20. Прогнозирование. Различные методы построения прогнозов (с помощью среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, трендовые модели).

53

Глоссарий

Алгоритм симплекс-метода - алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом, что значение целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение.

Выпуклое множество - множество, которое вместе с двумя принадлежащими ему точками обязательно содержит отрезок, соединяющий эти точки.

Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования - интерпретация зависимостей, имеющих место в задаче линейного программирования в виде геометрических фигур (точек, прямых, полуплоскостей, многоугольников) в декартовой системе координат.

Двойственные задачи линейного программирования - задачи линейного программирования, которые могут быть составлены из исходных задач линейного программирования согласно соответствующим правилам.

Дельта-метод - один из методов проверки опорного плана транспортной задачи на оптимальность.

Динамическое программирование - вычислительный метод решения экстремальных задач определенной структуры, представляющий собой направленный последовательный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму.

Дискретное программирование - раздел математического программирования, в котором на экстремальные задачи налагается условие дискретности переменных при конечной области допустимых значений.

Допустимая область задачи линейного программирования - множество опорных планов задачи линейного программирования.

Задача линейного программирования - характеризуется тем, что целевая функция является линейной функцией переменных, а область допустимых значений определяется системой линейных равенств или неравенств.

54

Задача о диете - возникает при составлении наиболее экономного (т.е. наиболее дешевого) рациона питания животных, удовлетворяющего определенным медицинским требованиям.

Задача о составлении плана производства - возникает при необходимости максимизации дохода от реализации продукции, производимой некоторой организацией, при этом производство ограничено имеющимися сырьевыми ресурсами.

Игра n лиц с постоянной суммой - игры, в которых принимает участие n игроков, существует n множеств стратегий и n действительных платежных функций от n переменных, каждая из которых является элементом соответствующего множества стратегий. Каждый игрок знает всю структуру игры и в своем поведении неизменно руководствуется желанием получить максимальный средний выигрыш.

Игра двух лиц с ненулевой суммой - игры, в которых сумма выирышей двух игроков после каждой партии не равна нулю.

Игра двух лиц с нулевой суммой - игры, в которых интересы двух игроков строго противоположны, т.е. выигрыш одного есть проигрыш другого.

Игра с нулевой суммой - игры, в которых сумма выигрыша игроков после каждой партии составляет ноль.

Исследование операций - наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

Линейное программирование - часть математического программирования, задачами которой является нахождение экстремума линейной целевой функции на допустимом множестве значений аргументов.

Обслуживающие системы - системы массового обслуживания, характеризующиеся входящим потоком требований, приборами обслуживания, очередью требований, выходящим потоком требований.

55

Симплекс-метод - последовательное улучшение плана задачи линейного программирования, позволяющее осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение.

Смешанные стратегии - стратегия случайного выбора хода игрока.

Стохастическое программирование - раздел математического программирования, задачами которого является решение экстремальных задач, в которых некоторые коэффициенты целевой функции и элементы матрицы ограничений являются случайными числами.

Теория игр - теория математических моделей принятия решений в условиях неопределенности, в условиях столкновения, конфликтных ситуациях, когда принимающий решение субъект (игрок), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в одной из которых он в действительности находится,о множестве решений, которые он может принять, и о количественной мере того выигрыша, который он мог бы получить, выбрав в данной ситуации данную стратегию.

Целевая фунция - функция в математическом программировании, для которой требуется найти экстремум.

Целочисленная задача - экстремальная задача линейного программирования, в которой на решение налагается целочисленность компонент.

Целочисленное программирование - раздел математического программирования, занимающийся разработкой методов решения частного случая задач дискретного программирования, когда на переменные наложено условие целочисленности.

Цена игры - величина выигрыша игрока.

56

ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ/МДК

Основные источники (для студентов)1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. –

М.: Высшая школа, 2001..2. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций. – М.:

Издательство «Экзамен», 2003.3. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. – М.: ФОРУМ:

ИНФРА-М, 2005.

Дополнительные источники (для студентов)

1. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. – М.: Издательство Московского университета, 1997.2. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986.3. Шишкин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели управления. – М.: Дело, 2000.4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.5. Филипс д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М.: Мир, 1984.6. Липски В. Комбинаторика для программистов. – М.: Мир, 1988.

ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСЫ1. http :// rudocs . exdat . com / docs / index -51640. html 2. www . emm . ostu . ru 3.http ://1 st . land . ru / products / Solution . htm

57

Фамилия Имя Отчество

Соболева Татьяна Михайловна

Преподаватель дисциплины

Математические методы

Название образовательного учреждения

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования Калужской области

«Калужский техникум электронных приборов»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ОП.02 Математические методыОбразовательный цикл «общепрофессиональные дисциплины

и дисциплины профессионального цикла(программирование в компьютерных системах)»

основной профессиональной образовательной программы по специальности

230115 «Программирование в компьютерных системах»

для студентов очной формы обучения

58

ГБОУ СПО «КТЭП»

Комплекс оценочных средств

учебной дисциплиныМатематические методы

основной профессиональной образовательной программы (ОПОП) по специальности СПО

230115 Программирование в компьютерных сетях

г.Калуга, 2012

59

УтверждаюДиректор ГБОУ СПО «КТЭП»Н.И.Некрашевич__________________________

подпись

«___»______________.20___ г.

Разработчики:

ГБОУ СПО «КТЭП» преподаватель Т.М. Соболева (место работы) (занимаемая должность) (инициалы, фамилия)

Эксперты от работодателя:

I. Паспорт комплекса оценочных средств (КОС)

Комплекс оценочных средств предназначен для оценки результатов освоенияОП.02. Математические методы

В результате оценки осуществляется проверка следующих объектов:

Таблица 1

ПКОбъекты

оцениванияПоказатели Критерии

Тип задания;№ задания

Форма аттестации

(в соответствии с учебным

планом)Входное

тестирование

Раздел 1 Основы моделирования

ПК 1.1ПК 1.2ПК 2.4ПК 3.4

Знания математические модели и их виды; основные принципы построения моделей, понятие оптимизационной задачи; сновных понятий: решение, множество возможных решений, оптимальное решение, показатель эффективности.

Соответствующее представление в области математического моделирования оптимизационных процессов

Зачет/незачет

Пятибалльная система оценивания

Практическое задание№1-3

Тест №1.

Текущий контроль в форме:- результатов тестирования;- результатов устного и письменного опроса.- защиты индивидуальных домашних заданий,

Представление о классификация задач, возникающих в практической деятельности и подходы к их решению.Грамотная применение методов решения многокритериальных задач.

60

Раздел 2 Детерминированные задачи

ПК 1.2ПК 2.4ПК 3.4

Знания постановки задачи в общем виде линейного программирования; нелинейного программирования; динамического программирования; алгоритмов на графах

Владение приемами составления математических моделей задач линейного программирования;нелинейного программирования; динамического программирования.

Представление о признаках классификации детерминированных задач.

Грамотное владение методами решения детерминированных задач.

Зачет/незачет

Пятибалльная система

оценивания

Практическое задание№1-5Тест №2.

Текущий контроль в форме:- результатов устного и письменного опроса.- защиты индивидуальных домашних заданий.

Раздел 3 Задачи в условиях неопределённости

ПК 1.1ПК 2.4ПК 3.4

Знания основных положений системы массового обслуживания; идеи имитационного моделирования;видов прогнозирования;основных положений теория игр; критериев теория принятия решений в условиях определённости, неопределённости, риска.

Владение основными понятиями теории Марковских процессов;приемами составления имитационных моделей; методами теории игр.

Представление о методах вычисления финальных вероятностей; о количественном и качественном прогнозировании; об области применимости теории принятия решений.

Грамотное применение теории графов при составлении математических моделей; применение методов теории игр при решении матричных игр в чистых и смешанных стратегиях.

Зачет/незачет

Пятибалльная система

оценивания

Практическое

задание №6-10Тест №3Контрольная работа.

Текущий контроль в форме:- результатов устного и письменного опроса.- защиты индивидуальных домашних заданий.

Выходное тестирование

Дифференцированный зачёт

61

заня тия

Содержание учебного материала по программе УД

Тип контрольного задания

З1 З2 З3 У1 У2 У3

Входное тестирование

Раздел 1 Основы моделирования

Тема 1.1Основы моделирования Тест №1.

Контрольная работа

Тест №1

Раздел 2 Детерминированные задачи

Тема 2.1Линейное программирование

Практич. Задание

№1Тест №2

Контрольная работа

Тест №2

Тема 2.2Нелинейное программирование Тест №3

Контрольная работа

Тест №3

Тема 2.3Динамическое программирование Тест №3

Контрольная работа

Тест №3

Тема 2.4Алгоритмы на графах

Контрольная работа

Раздел 3 Задачи в условиях неопределённости

Тема 3.1Системы массового обслуживания

Практич. Задание №4

Практич. Задание №

Тема 3.2Имитационное моделирование

Практич. Задание

№5

Практич. Задание №5

Тема 3.3Прогнозирование

Практич. Задание №6

Практич. Задание №6

Тема 3.4Теория игр

Практич. Задание

№7

Контрольная работа

Практич. Задание №7

Тема 3.5Теория принятия решений

Практич. Задание №8

Практич. Задание №8

Выходное тестирование

Всего: Дифференцированный зачёт

62

2. Комплект комплекса оценочных средств

2.1. Теоретические задания

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ № 1-10

1. Входное тестирование2. Самостоятельная работа: «Построение математических моделей объектов естествознания».3. Самостоятельная работа: «Построение аналитических моделей».4.Самостоятельная работа: «Построение вероятностных моделей».

5. Ознакомление с обучающей программой DANTZIG _1. 6. Ознакомление с обучающей программой DANTZIG _2. 7. Изучение методов решения задач с нелинейными ограничениями: методы штрафных функций, методы барьерных функций. 8. Ознакомление с обучающей компьютерной программой ROZEN. 9. Подготовка сообщений на тему: «Область применения динамического программирования». 10. Проработка темы «Принцип оптимальности и уравнение Р. Беллмана».

2.2. Практические задания

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ № 1-10

1. Задача о планировании производства.Один из цехов предприятия выпускает изделия двух видов: А и В. Для производства этих изделий требуются три вида сырья: S1, S2 и S3. На выпуск изделия А расходуется 10 кг S1, 20 кг S2 и 5 кг S3. На выпуск изделия В расходуется 5 кг S1, 20 кг S2 и 5 кг S3. Запасы ресурсов ограничены: за рабочую смену цех может израсходовать не более 250 кг S1, 500 кг S2 и 200 кг S3. Выпуск изделия А приносит предприятию прибыль в размере 200 денежных единиц (ден. ед.), изделия В - 200 ден. ед. Требуется составить оптимальный план работы цеха, т.е. найти, сколько изделий А и изделий В требуется выпускать, чтобы получить максимальную прибыль (при соблюдении ограничений на ресурсы). а) построив математическую модель; б) решив графически; в) решить симплекс-методом.

2. Транспортная задача

На три товарные базы А1, А2, А3 поступил однородный товар, который требуется четырем заказчикам В1, В2, В3, В4. Потребности заказчиков и запасы каждой базы в условных единицах, а так же тарифы (стоимость в рублях перевозки единицы груза с данной базы данному заказчику) указаны в таблице .Таблица - Условие транспортной задачи

63

Базы В1 В2 В3 В4 ЗапасыА1 3 8 7 11 160А2 14 3 1 8 400А3 9 5 16 7 240Потребности

180 200 190 230

Требуется спланировать оптимальный план перевозок.

3. Задача. Найти максимум функции F = 2x1+x2-x3+x4 -x5 при условиях x1+x2+x5=5, 2x1+x2+x4= 9, x1+2x2+x5=7, x1,x2,x3,x4 ,x5≥0. Указание: использовать симплекс метод.

4. Задача. Для производства продукции трёх видов A, B, C используются три различных вида

сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объёме не большем, чем 180, 210 и 236 кг. соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на 1 кг. продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице:

Вид сырья Нормы затрат сырья на единицу продукции

Изделие A Изделие B Изделие C

I 4 2 1

II 3 1 3

III 1 2 5

Цена 1 кг. продукции (т.р.)

10 14 12

Потратив 50 т.р. фирма может открыть производство 4-го вида продукции, нормы затрат сырья на единицу которого составляют 2, 4 и 3 кг. соответственно, а цена 1 кг. равна 18 т.р. При этом функциональность старых линий производства не нарушается. Определить, окупится ли открытие новой линии производства при таких предположениях.

5. Задача. Дана задача линейного программирования f(x) = ‹c,x›→max, c =

(c1,...,cn), Ax=b, b=(b1,...,bm). Доказать, что если эта задача имеет решение (f* < +∞), то f(x)=const для любых допустимых x.

6.Задача. Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется, по меньшей мере, 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный – 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум, и почему?

7.Задача Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы

сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

64

Требуется: 1.Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от

реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. 2.Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью

теорем двойственности. 3.Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. 4.На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: • проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска

при увеличении запасов сырья I и II видов на 8 и 10 единиц соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

• оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

8.Задача Характеристики ОЕ с одним входом и одним выходом заданы таблицей:

ОЕ

1 2 3 4 5 6 7 8

x 3 5 8 91

11

31

43

y 3 6 4 81

07

11

2

представить МПВ графически; выделить эффективные и неэффективные ОЕ; рассчитать графическим методом эффективность по входу и выходу для

одной неэффективной ОЕ

9.Задача 1. Найти максимум функции f(x,y)=xy при ограничениях (x-2)2+(y-3)2≤ 1.

Задача 2.Дана функция f(x,y) = x2-xy+y2+x-y и начальная точка x0=0, y0 = 0. Сделать два

шага по методу градиентного спуска при том, что α0=½.

Задача 3. Свести задачу о сетевом планировании (в которой требуется найти минимальное

время, за которое может быть реализован проект), заданную в виде графа работ, к общему виду транспортной задачи (транспортная сеть с промежуточными пунктами).

65

Задача 4.Пусть X – некоторое выпуклое множество в конечномерном пространстве Rn, а f(x)

– выпуклая непрерывно-дифференцируемая функция, определённая на всём Rn. Доказать, что выполнение для некоторого x0 из X и любых x из X неравенства ‹f'(x0), x-x0›≥0 является необходимым и достаточным условием того, что в x0 достигается глобальный минимум функции f(x) на множестве X.

1. Рассмотрим ситуацию, возникающую при слиянии двух фирм А и В. Их оценки относительно обсуждающихся в ходе переговоров вопросов показаны в таблице.

Пункты переговоров ФирмаА В

Название фирмы 10 20Местонахождение штаб-квартиры 30 30Назначение президента 10 20Назначение исполнительного директора 20 10Увольнение персонала 30 20

Постройте справедливое решение, используя процедуру «подстраивающийся победитель».

10.Задача 1.Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на

множестве 4,3,2,1N относительно кандидатов из множества 54321 ,,,, xxxxxA :

234151 : xxxxxP ;

243512 : xxxxxP ;

352143 : xxxxxP ;

243154 : xxxxxP .

Есть ли здесь победитель Кондорсе? Проанализируйте полученный результат.

Задача 2.Пусть ),( ГYXG , где edcbaX ,,,, , zyxwvY ,,,, и

ezdzdyczcycwbzbvaxavГ ,,,,,,,,, . Найдите максимальное паросочетание в G, пользуясь алгоритмом его построения.

66

Входной тест.

1. Отметьте правильный ответВычислите предел

2/5 1/9 1 0

2.Отметьте правильный ответНайдите f’(1) если f (x) = 5х + 4 ех

5+4 е -5+4 е 5 4 е

3.Отметьте правильный ответФормула Ньютона-Лейбница

b

a

,aFbFa

bxFdxxf

b

a

bFaFa

bxFdxxf ,

4. Отметьте правильный ответНайти все решения дифференциального уравнения y′=1+у2

tg (х+С) 1+у2+С

5.Отметьте правильный ответПризнак сходимости ряда

является признаком

Коши Даламбера

6.Отметьте правильный ответ

67

Как называется данная формула

b

a

nn yyyyn

abdxxf )2...2(

2)( 110

формула трапеций формула прямоугольников

7.Отметьте правильный ответКакое число является членом последовательности an=n2+2n+1 121 120 122

Тест №1.Математическая модель оптимизационной задачи.

Задача № 1

Укажите математическую модель задачи.

В трёх пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 20, 30 и 40 т. Этот груз необходимо перевезти в два пункта назначения в количествах, соответственно равных 40 и 50. Стоимости перевозок 1 т груза каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны, и задаются матрицей (в условных единицах):

Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок.

Варианты ответов:

1. Найти минимум функции

Z(x) = 3x11 + 5x12 + 7x13 + 4x21 + 6x22 + 10x23

при условиях:

x11 + x12 + x13 = 40,

x21 + x22 + x23 = 50,

x11 + x21 = 20,

x12 + x22 = 30,

x12 + x23 = 40,

xij ³ 0.

2. Найти минимум функции

Z(x) = 3x11 + 5x12 + 7x13 + 4x21 + 6x22 + 10x2

при условиях:

68

x11 + x12 + x13 £ 40,

x21 + x22 + x23 £ 50,

x11 + x21 £ 20,

x12 + x22 £ 30,

x12 + x23 £ 40,

xij ³ 0.

3. Найти минимум функции

Z(x) = 3x11 + 5x12 + 7x13 + 4x21 + 6x22 + 10x2

при условиях:

x11 + x12 + x13 ³ 40,

x21 + x22 + x23 ³ 50,

x11 + x21 ³ 20,

x12 + x22 ³ 30,

x12 + x23 ³ 40,

xij ³ 0.

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 2

Укажите стандартную форму записи для задачи:

Z(x) = -2x1 + x2 + 5x3 ® max

4x1 + 2x2 + 5x3 £ 12,

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18,

3x1 + 3x2 - 2x3 ³ 16,

x1, x2, x3 ³ 0.

Варианты ответов:

1. Z(x) = 2x1 - x2 - 5x3 ® min

4x1 + 2x2 + 5x3 £ 12,

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18,

3x1 + 3x2 - 2x3 ³ 16,

x1, x2, x3 ³ 0.

2. Z(x) = -2x1 + x2 + 5x3 ® max

4x1 + 2x2 + 5x3 £ 12,

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18,

-3x1 - 3x2 + 2x3 ³ -16,

x1, x2, x3 ³ 0.

69

3. Z(x) = -2x1 + x2 + 5x3 ® max

4x1 + 2x2 + 5x3 £ 12,

6x1 - 3x2 + 4x3 £ 18,

-6x1 + 3x2 - 4x3 £ -18,

-3x1 - 3x2 + 2x3 ³ 16,

x1, x2, x3 ³ 0.

4. Среди предложенных ответов нет правильных

Задача № 3

Указать решение задачи

Z(x) = 8x2 + 7x4 + x6 ® max

x1 - 2x2 - 3x4 - 2x6 = 12

4x2 + x3 - 4x4 - 3x6 = 12

5x2 + 5x4 + x5 + x6 = 25

xj ³ 0 (j = 1, 6)

1. X* = (32; 2; 27; 2; 0; 5)

2. X* = (24; 3; 8; 2; 0; 0)

3. X* = (25; 1; 23; 3; 4; 1)

4. X* = (23; 4; 0; 1; 0; 0)

Задача № 4

Решить методом искусственного базиса задачу линейного программирования

Z(x)=2x1 + 8x2 + 3x3 + 4x4 ® min

13x1 - 3x2 + 2x3 - 7x4 = 4,

7x1 - 2x2 + 2x3 - 4x4 = 1,

xj > = 0, j = 1, 2, 3, 4.

Варианты ответов.

1. min Z(x) = 24,

2. min Z(x) = 26,

3. min Z(x) = 30,

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 5

70

Используя двойственный симплекс-метод, найдите решения задачи

Z(X) = -4x1 - 7x2 - 8x3 - 5x4 ® max

x1 + x2 + 2x4 ³ 4

2x1 + x2 + 2x3 ³ 6

x1, x2, x3, x4 ³ 0

Варианты ответов:

1. max Z(X) = -29/2 при X* = (3; 0; 0; 1/2);

2. max Z(X) = -36 при X* = (2; 0; 1; 2);

3. max Z(X) = -57/2 при X* = (1; 2; 1; 1/2);

4. max Z(X) = -38 при X* = (2; 3; 1/2; 1)

Тест №2. Нелинейное программирование. Динамическое программирование.

Задача № 1.

Назовите одно из важных свойств выпуклых множеств:

1. Пересечение любого числа выпуклых множеств открыто;

2. Пересечение любого числа выпуклых множеств замкнуто;

3. Пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло;

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 2.

Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции L(x) = x1 + 2x2 при условиях:

Варианты ответов:

1. max L(x) = 5;

2. max L(x) = 7;

3. max L(x) = 12;

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 3.

Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции L(x) = x1x2 + x2x3 при условии

Варианты ответов:

71

1. max L(x) = 1;

2. max L(x) = 2;

3. max L(x) = 4;

4. max L(x) = 0.

Задача № 4.

Какие задачи можно решать методом динамического программирования?

Варианты ответов:

1. одношаговые;

2. одноступенчатые;

3. многошаговые;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 5

Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи:

В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставками. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k-го года выделяется ai

(k) тыс. руб., найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли.

Варианты ответов

1. Критерий при условиях

2. x(k) — состояние системы в начале k-го года, — управление

(k = 1, N);

Критерий ;

72

3. x(k) — состояние системы в начале k-го года,

— управление (k = 1, N);

;

4. Критерий при условиях

Тест №3. Теория игр.

Задача № 1

Основная теорема теории игр (теорема фон Неймана) утверждает:

1. в любой игре существует оптимальные стратегии;

2. в любой матричной игре существуют оптимальные стратегии;

3. в любой матричной игре существуют стратегии;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 2

Найти решение матричной игры

1. х* = , y* = , u = ;

2. х* = , y* = , u = -1;

3. х* = , y* = , u = -2;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 3

Решить графо-аналитическим методом игру

73

1. u = ;

2. u = ;

3. u = ;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 4

Решить матричную игру, заданную приведенной ниже матрицей, сведя ее к паре двойственных задач линейного программирования.

1. < х* = (3/5; 2/5; 0); y* = (4/5; 1/5; 0); u = -24/5 >;

2. < х* = (1/4; 0; 3/4); y* = (1/2; 1/2; 0); u = -2 >;

3. < х* = (3/7; 4/7; 0); y* = (2/5; 0; 3/5); u = 12/7 >;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Задача № 5

Построить игру, эквивалентную двойственной паре задач, одна из которых имеет следующий вид:

Z(x) = x1 + 2x2 + x3 ® max

при условиях

Варианты ответов.

1. П = ;

74

2. П = ;

3. П = ;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Выходной тест

Задача 1

Через сколько лет 1 руб., вложенный в банк, выплачивающий проценты по ставке j1 = 10 %, превратился в 1 000 000 руб.?

Варианты ответов:

1. через » 99 лет; 2. через » 200 лет; 3. через » 250 лет;

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача 2

Г-н Иванов положил 3 года назад 5 000 руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке j2 = 8 %. Год назад он положил еще 2 000 руб., а через 3 года 6 месяцев после этого снял со счета 3 500 руб. Еще через 6 месяцев он желает положить на свой счет такую сумму, чтобы еще через год на счету было 10 000 руб. Какую сумму он должен положить на свой счет в последний раз?

Варианты ответов:

1. 2 143,26 руб.; 2. 3 243,26 руб.; 3. 1 853,26 руб.;

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача 3

75

Укажите математическую модель задачи.

В трёх пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 20, 30 и 40 т. Этот груз необходимо перевезти в два пункта назначения в количествах, соответственно равных 40 и 50. Стоимости перевозок 1 т груза каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны, и задаются матрицей (в условных единицах):

Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок.

Варианты ответов:

1. Найти минимум функции

Z(x) = 3x11 + 5x12 + 7x13 + 4x21 + 6x22 + 10x23

при условиях:

x11 + x12 + x13 = 40,

x21 + x22 + x23 = 50,

x11 + x21 = 20,

x12 + x22 = 30,

x12 + x23 = 40,

xij ³ 0.

2. Найти минимум функции

Z(x) = 3x11 + 5x12 + 7x13 + 4x21 + 6x22 + 10x2 при условиях:

x11 + x12 + x13 £ 40,

x21 + x22 + x23 £ 50,

x11 + x21 £ 20,

x12 + x22 £ 30,

x12 + x23 £ 40,

xij ³ 0.

3. Найти минимум функции

Z(x) = 3x11 + 5x12 + 7x13 + 4x21 + 6x22 + 10x2 при условиях:

x11 + x12 + x13 ³ 40,

x21 + x22 + x23 ³ 50,

x11 + x21 ³ 20,

x12 + x22 ³ 30,

x12 + x23 ³ 40,

xij ³ 0.

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

76

Задача 4

Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции L(x) = x1 + 2x2 при условиях:

Варианты ответов:

1. max L(x) = 5; 2. max L(x) = 7; 3. max L(x) = 12;

4. Среди предложенных ответов нет правильных.

Задача 5

Найти решение матричной игры

1. х* = , y* = , u = ;

2. х* = , y* = , u = -1;

3. х* = , y* = , u = -2;

4. среди предложенных ответов нет правильных.

Контрольная работа.Задание №1

Вид сырья Нормы расхода сырья Запасы А В

I 2 5 432II 3 4 424III 5 3 528

Прибыль 34 50

Задание №2 Базы Потребители Запасы

ai В1 В2 В3 В4 В5А1 7 9 15 4 18 200А2 13 25 8 15 5 250А3 5 11 6 20 12 250

Потребности bj 80 260 100 140 120 700

Задание №3Партии товаров Объёмы товарооборота (тыс. руб.)

77

Р1 Р2 Р3П1 9,2 6 4П2 8,3 3,7 7,1П3 5 5,6 8

Вероятности pj 0,6 0,3 0,1Задание №4

Дуги (0;1) (0;2) (0;4) (1;5) (2;3) (3;4) (3;6) (4;5) (5;6)tij 6 10 16 12 4 2 10 2 2

Задание №5

Параметры СМО n I(авт/час)

t m

Значения 2 8 10 1

ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ

К СДАЧЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО ЗАЧЕТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

21. Математическая модель. Пример построения математической модели.

22. Классификация математических моделей и методов.23. Общая постановка задачи линейного программирования.

Графический метод решения ЗЛП.24. Канонический вид записи задачи линейного

программирования. Метод решения задачи линейного программирования.

25. Общая постановка задачи нелинейного программирования.26. Методы решения задач нелинейного программирования

(Графический метод, метод множителей Лагранжа).

78

27. Основные понятия динамического программирования (шаговое управление, управление операцией в целом, оптимальное управление). Свойство аддитивности.

28. Критерий оптимальности Беллмана в задаче динамического программирования. Задача распределения ресурсов.

29. Транспортная задача (общая постановка). Метод нахождения опорного плана (метод северо-западного угла).

30. Метод наименьшей стоимости нахождения опорного плана при решении транспортной задачи. Метод потенциалов нахождения оптимального плана.

31. Задача о максимальном потоке в графе. Основные понятия: источник, сток, поток в сети, разрез транспортной сети, пропускная способность разреза, увеличивающие дуги.

32. Алгоритм построения максимального потока в графе. Теорема Форда-Фалкерсона.

33. Системы массового обслуживания. Основные понятия: граф состояния, поток событий, вероятность состояния, финальные вероятности. Система уравнений Колмогорова.

34. Процессы гибели и размножения. Нахождение финальных вероятностей состояний для процессов гибели и размножения.

35. Постановка задач теории игр. Основные понятия теории игр: игра, выигрыш, проигрыш, ход, стратегия, оптимальная стратегия, нижняя и верхняя цена игры.

36. Антагонистические матричные игры: чистые и смешанные стратегии. Нахождение смешанных стратегий – сведение задач теории игр к задачам линейного программирования.

37. Задача о нахождении кратчайших путей в графе и методы ее решения.

38. Задача коммивояжера и алгоритм ее решения.39. Постановка задачи теории принятия решений. Основные

понятия: матрица эффективности, матрица риска. Подходы к решению задач в различных условиях. Дерево решений.

40. Прогнозирование. Различные методы построения прогнозов (с помощью среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста, трендовые модели).

Условия выполнения задания1. Место (время) выполнения задания - практические задания выполняются в рамках изучения учебной дисциплины на базе учебного заведения.2. Максимальное время выполнения задания: 90 мин.

79

Реализация рабочей программы дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» требует наличия лекционного кабинета, оборудованного компьютером, проектором и стационарным экраном.

Программное обеспечение: обучающие программы DANTZIG1, DANTZIG2 (Линейное программирование)ROZEN (Нелинейное программирование)BELLMAN (Динамическое программирование)

Основные источники: 4. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. –

М.: Высшая школа, 2001..5. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций. – М.:

Издательство «Экзамен», 2003.6. Партыка Т.Л., Попов И.И. Математические методы. – М.: ФОРУМ:

ИНФРА-М, 2005.

Дополнительные источники: 1. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. – М.: Издательство Московского университета, 1997.2. Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. – М.: Высшая школа, 1986.3. Шишкин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели управления. – М.: Дело, 2000.4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.5. Филипс д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. – М.: Мир, 1984.6. Липски В. Комбинаторика для программистов. – М.: Мир, 1988.

Интернет-ресурсы

1. http :// rudocs . exdat . com / docs / index -51640. html 2. www . emm . ostu . ru 3. http ://1 st . land . ru / products / Solution . htm

80