ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ-ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΩΝ-ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΔΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ – ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

“ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Η έννοια της συνάρτησης και το επίπεδο κατανόησής της

από μαθητές της Β΄ Λυκείου.

Μεταπτυχιακός φοιτητής: ΦΑΛΑΓΚΑΡΑΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ

Επιβλέπων Καθηγητής: ΖΑΧΑΡΙΑΔΗΣ ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ

ΑΘΗΝΑ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2012

2

3

€

Η παρούσα Διπλωματική Εργασία

Εκπονήθηκε από τον Φαλαγκάρα Αριστείδη του Ευθυμίου (ΑΜ:Α200911)

στα πλαίσια των σπουδών

για την απόκτηση του

Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης

που απονέμει το

Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

«Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών»

Εγκρίθηκε την 29/11/2012 από Εξεταστική Επιτροπή αποτελούμενη από

τους :

Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα Υπογραφή

1) Θεοδόσιος Ζαχαριάδης (επιβλέπων Καθηγητής)

Καθηγητής

…………….

2) Δέσποινα Πόταρη

Αναπλ. Καθηγήτρια

………..…

3) Παναγιώτης Σπύρου

Αναπλ. Καθηγητής

………...…

4

5

στον πατέρα μου Ευθύμιο

στη μητέρα μου Μαρία

στον αδερφό μου Γιώργο

6

7

Ευχαριστώ:

Τον καθηγητή κ. Θεοδόσιο Ζαχαριάδη για τη βοήθεια , τις διορθώσεις και τις

παρατηρήσεις του. Η συμβολή του ήταν καθοριστικής σημασίας για την όσο

το δυνατόν αξιοπρεπέστερη εικόνα της συγκεκριμένης εργασίας.

Την αναπληρώτρια καθηγήτρια κ. Δέσποινα Πόταρη και τον αναπληρωτή κα-

θηγητή κ. Παναγιώτη Σπύρου που δέχθηκαν να είναι μέλη της εξεταστικής ε-

πιτροπής.

Τους διδάσκοντες του μεταπτυχιακού προγράμματος, με τη βοήθεια των ο-

ποίων συμμετείχα στη ‘συζήτηση’ που αφορά στη φύση των Μαθηματικών

και στις δυσκολίες κατανόησής τους.

Τον ομότιμο καθηγητή κ. Ευστάθιο Γιαννακούλια για το χρόνο πού διέθεσε

να διαβάσει και να διορθώσει το σύντομο ιστορικό σημείωμα.

Τους μαθητές του 4ου Λυκείου Περιστερίου που συμμετείχαν στην έρευνα.

8

9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9

Περίληψη 11

Εισαγωγή 13

Κεφάλαιο 1

1. Η ιστορική διαδρομή διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης 15

Κεφάλαιο 2

2. Θεωρητικό Πλαίσιο 26

2.1 Πλατωνισμός- Εμπειρισμός 26

2.2. Η άποψη του J.Piaget για το σχηματισμό της γνώσης 28

2.3 Η έννοια του σχήματος (Schema) 30

2.4 Τρείς θεωρίες για τη μάθηση των Μαθηματικών βασισμένες στις

απόψεις του J.Piaget.

31

2.4.1 Η θεωρία APOS 32

2.4.2 Η θεωρία της A.Sfard 34

2.4.3 Η θεωρία των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών 36

2.5 Εικόνα έννοιας και Ορισμός έννοιας 45

2.6. Ανάλυση της συνάρτησης ως διαδικασιοέννοια 46

Κεφάλαιο 3

3. Η συνάρτηση στα σχολικά βιβλία 48

3.1 Η έννοια της συνάρτησης στο Γυμνάσιο 48

3.2 Η έννοια της συνάρτησης στο Λύκειο 53

3.3 Η εικόνα της έννοιας στα βιβλία του Γυμνασίου 58

3.4.Η εικόνα της έννοιας στα βιβλία της Α΄ & Β΄ Λυκείου 59

Κεφάλαιο 4

4. Η έρευνα 62

4.1 Στόχοι της έρευνας 62

4.2 Μεθοδολογία έρευνας 62

4.2.1 Συμμετέχοντες 62

4.2.2 Ερευνητικά εργαλεία 62

4.2.3 Συλλογή δεδομένων 63

4.2.4 Ανάλυση δεδομένων 63

Κεφάλαιο 5

5. Παρουσίαση και ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών 66

5.1 Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 1ου

μαθητή 66

5.2 Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 2ου

μαθητή 83

5.3 Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 3ου

μαθητή 92

5.4 Οι απαντήσεις και η ανάλυση των απαντήσεων του 4ου

μαθητή 99

Κεφάλαιο 6

6. Συμπεράσματα- Συζήτηση 107

6.1 Το επίπεδο κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης 107

6.2 Οι απαντήσεις των μαθητών σε σχέση με τα βασικά συστατικά της

έννοιας της συνάρτησης

107

6.3 Γιατί δεν επεκτάθηκε η εικόνα της έννοιας που είχε σχηματιστεί

στο Γυμνάσιο;

110

6.4 Προτάσεις 114

Βιβλιογραφία 121

Παράρτημα Α. 128

10

11

Περίληψη

Αντικείμενο της εργασίας είναι η μελέτη της κατανόησης της έννοιας της συνάρ-

τησης από μαθητές της Β΄ Λυκείου. Ειδικότερα, η εργασία περιλαμβάνει μία συνοπτική

ανασκόπηση της ιστορικής εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης, τον τρόπο με τον ο-

ποίο η έννοια παρουσιάζεται στα σχολικά βιβλία του Γυμνάσιου και του Λυκείου, και

μία έρευνα για το επίπεδο κατανόησης της έννοιας από μαθητές της Β Λυκείου. Για τη

μελέτη του επιπέδου κατανόησης των μαθητών χρησιμοποιείται η θεωρία των Τριών

Κόσμων των Μαθηματικών του D.Τall, διότι παρέχει ένα επαρκές ερμηνευτικό πλαίσιο

της διαδικαστικής αντίληψης της έννοιας σε ολόκληρο το εύρος των αναπαραστάσεών

της. Από τη μελέτη προέκυψε ότι οι μαθητές αντιλαμβάνονται την έννοια κυρίως σαν

εξίσωση με δύο αγνώστους τόσο στην αλγεβρική όσο και στην γραφική αναπαράσταση.

Ο τρόπος με τον οποίο χειρίζονται την έννοια είναι πιο κοντά στην εικόνα πού σχημα-

τίστηκε στο Γυμνάσιο. Διαπιστώθηκε περιορισμένη αντίληψη του συμβόλου f αλλά και

ελλιπής γλωσσική ανάπτυξη. Η μαθηματική αιτιολόγηση των παιδιών σε σχέση με τις

μεταβολές της γραφικής παράστασης της έννοιας καθοδηγούνταν σε σημαντικό βαθμό

από την εποπτεία.

Λέξεις κλειδιά

Συνάρτηση, γραφική παράσταση συνάρτησης, διαδικασία, διαδικασιοέννοια,

met-before, εικόνα έννοιας

Abstract

The subject of this paper is the study of understanding the concept of function by stu-

dents of the second grade of Lyceum. In particular, the paper includes a brief over-

view of the historical evolution of the concept of function, the manner in which the

concept is presented in textbooks of Gymnasium and Lyceum, and a survey on the

level of understanding the concept of function from students of B Grade of Lyceum.

The theory of the Three Worlds of Mathematics Tall has been used in order to probe

the level of understanding on behalf of the students, because it provides an adequate

interpretive framework of procedural understanding of the concept across the various

representations of the function. The analysis showed that students understand the

concept mainly as an equation with two unknowns in both the algebraic and the

graphic representation. The way they handle the concept is closer to the image

formed in Gymnasium. A limited understanding of the symbol f and poor language

development was discovered. The mathematical justification of students in relation to

changes in the graphical concept of guided largely by their intuitions.

Key words

Function, graphic representation of function, process, procept, met-before, concept

image.

12

13

Εισαγωγή

Η συνάρτηση είναι μια έννοια η οποία γεννήθηκε το 17ο αι. για να καλύψει,

αρχικά τις ανάγκες της Επιστημονικής Έρευνας της εποχής και κατέληξε να είναι μία

από τις κεντρικότερες έννοιες των σύγχρονων Μαθηματικών. Οι Μαθηματικοί της

αναγέννησης και μέχρι τις αρχές του 19ου

αι. ενδιαφέρονταν κυρίως να ποσοτικο-

ποιήσουν και να μετρήσουν φυσικά φαινόμενα όπως ταχύτητα, θερμοκρασία κ.α. Τα

εργαλεία που είχαν κληρονομήσει από τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά, όπως η έν-

νοια του λόγου ή η μέθοδος της εξάντλησης του Ευδόξου-Αρχιμήδη, δεν επαρκούσαν

για να αντιμετωπίσουν αυτές τις νέες προκλήσεις διότι δεν ήταν σχεδιασμένα για τέ-

τοιου είδους «έργα». Για το «έργο» αυτό χρειάστηκε να ανακαλυφθεί ο Απειροστικός

Λογισμός από τους Newton και Leibniz και να εισαχθεί η έννοια της συνάρτησης από

τον Euler, η οποία όμως ακολούθησε μία εξελικτική πορεία πού ολοκληρώθηκε στις

αρχές του 20ου

αι.

Η συνάρτηση είναι μια από τις σημαντικότερες αλλά και από τις δυσκολότε-

ρες έννοιες με τις οποίες έρχονται σε επαφή οι μαθητές κατά τη διάρκεια της δευτε-

ροβάθμιας και τριτοβάθμιας εκπαίδευσής τους. Το γεγονός αυτό φανερώνεται από το

πλήθος των ερευνητικών εργασιών που έχουν πραγματοποιηθεί και οποίες ασχολού-

νται με τη φύση των δυσκολιών πού αντιμετωπίζουν οι μαθητές. (Γαγάτσης& Ηλία,

2003).Οι δυσκολίες σχετίζονται τόσο με την πολυπλοκότητα της έννοιας όσο και με

την επιστημολογία της συνάρτησης. Παρακολουθώντας την πορεία διαμόρφωσης του

ορισμού της έννοιας παρατηρούμε ότι είναι συνυφασμένη με τη διαδρομή που ακο-

λούθησε η θεμελίωση των Μαθηματικών σε στέρεες βάσεις, έτσι ώστε να απαλλα-

χθούν από την επίδραση διαισθητικών αντιλήψεων. Στα τέλη του 19ου

αι. υπήρξε η

αυστηρή θεμελίωση συνόλου των πραγματικών αριθμών από τον R. Dedekind(1831-

1916),G.Cantor (1845-1918) και G. Peano (1858-1932) στην βάση του απλούστερου

και πιο στοιχειώδες σύνολο των φυσικών αριθμών ,το οποίο με τη σειρά του, στις αρ-

χές του 20ου

αι., θεμελιώθηκε στην έννοια του συνόλου, παρέχοντας έτσι τη δυνατό-

τητα ώστε ο μεγάλος όγκος των Μαθηματικών να βασίζεται στη θεωρία συνόλων

(Eves,1969). Προϊόν της εξελικτικής πορείας της έννοιας της συνάρτησης είναι οι

πολλοί αποδεκτοί ορισμοί. Υπάρχουν ορισμοί πού αντιμετωπίζουν τη συνάρτηση ως

σχέση εξάρτησης, κανόνα αντιστοίχισης, διατεταγμένο ζεύγος. Καθένα ένας από αυ-

τούς αντανακλά στις διαφορετικές περιόδους εξέλιξης της έννοιας και στον τρόπο με

τον οποίο αντιλαμβάνονταν τη συνάρτηση κάθε φορά. Οι διαφορετικοί ορισμοί εξυ-

πηρετούν διαφορετικές ανάγκες, με πιο γενικό και πιο πρόσφατο αυτόν του διατεταγ-

μένου ζεύγους ο οποίος αποδείχτηκε και ο λιγότερο κατάλληλος για την εισαγωγή της

έννοιας της συνάρτησης στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση.

Σημαντική πηγή δυσκολίας για την κατανόηση της έννοιας είναι το γεγονός

ότι μπορεί να αναπαρασταθεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Οι βασικές αναπα-

ραστάσεις της είναι: λεκτικά, πίνακας τιμών ,αλγεβρικός τύπος, γραφική παράσταση.

Η κατάκτηση της έννοιας απαιτεί οι διαφορετικές αναπαραστάσεις να αντιμετωπίζο-

νται ως διαφορετικές όψεις του ίδιου αντικειμένου. Αυτό επιτυγχάνεται με τη δημι-

ουργία συνδέσεων μεταξύ αυτών των αναπαραστάσεων. Η συνάρτηση πέρα από τις

διαφορετικές όψεις ,εμπεριέχει υποέννοιες όπως πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών, τιμή

της συνάρτησης, μεταβλητές (ανεξάρτητη και εξαρτημένη) οι οποίες έχουν τις δικές

τους δυσκολίες να κατανοηθούν. Άλλες έννοιες πού εμπλέκονται στη έννοια της συ-

νάρτησης είναι ο αριθμός ως μέγεθος και η σχέση εξάρτησης μεταξύ δύο μεγεθών, η

συμμεταβολή, η ποσότητα, η αναλογία. (M. Wilson,1991).

Η χρησιμότητα της διδασκαλίας της έννοιας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση

δεν έγκειται στο γεγονός ότι είναι πολύπλοκη και επομένως μία χρήσιμη πνευματική

14

άσκηση. Όπως αναφέρουν οι Chazan &Yerushalmy (2003) ο χαρακτήρας της σχολι-

κής Άλγεβρας καθορίζεται σε μεγάλο βαθμό από την επιλογή της βασικής έννοιας

πάνω στην οποία θα στηριχθεί η δόμηση των Σχολικών Αναλυτικών Προγραμμάτων:

στην εξίσωση ή στη συνάρτηση. Η στρατηγική επιλογή να προσεγγιστεί η Άλγεβρα

μέσα από την εξίσωση έχει ως συνέπεια η διδασκαλία να περιορίζεται σε μεθόδους

απλοποίησης και παραγοντοποίησης αλγεβρικών εκφράσεων, επίλυσης εξισώσεων

και ανισώσεων μίας μεταβλητής, και επίλυσης συστημάτων με εξισώσεις δύο μετα-

βλητών με την ελπίδα ότι η κατάκτηση αυτών των παραπάνω ικανοτήτων θα επιτρέ-

ψει στους μαθητές να τις εφαρμόσουν και σε διαφορετικά πλαίσια. Η προηγούμενη

προσέγγιση δημιουργεί ένα περιβάλλον οπού ευνοείται η διδασκαλία επίλυσης απο-

μονωμένων τύπων προβλημάτων. Αντίθετα εάν επιλεγεί η συνάρτηση ως κεντρική

έννοια της Άλγεβρας αλλάζει η οπτική όσο αφορά τη ερμηνεία των συμβόλων πού

χρησιμοποιούμε αλλά και τον τρόπο επίλυσης προβλημάτων. Έτσι στη συναρτησιακή

προσέγγιση της σχολικής άλγεβρας

τα γράμματα ερμηνεύονται ως μεταβλητές παρά σαν άγνωστοι .

οι αλγεβρικές εκφράσεις ερμηνεύονται ως κανόνες αντιστοίχισης συ-ναρτήσεων.

το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ως ο χώρος πού παρουσιάζο-νται τα αποτελέσματα υπολογιστικών διαδικασιών παρά ως τα σημεία

από ένα σύνολο λύσεων.

το σύμβολο ίσον ερμηνεύεται ως η απόδοση ονόματος σε μία συγκε-κριμένη υπολογιστική διαδικασία (f(x)=..) και σαν μία ένδειξη ταυτό-

τητας μεταξύ δύο υπολογιστικών διαδικασιών.

(Chazan & Yerushalmy, 2003)

Με δεδομένη την πολυπλοκότητα και τη σημαντικότητα της έννοιας, στη συ-

γκεκριμένη εργασία θα προσπαθήσουμε να ερμηνεύσουμε τον τρόπο που αντιλαμβά-

νονται την έννοια της συνάρτησης 4 μαθητές της Β Λυκείου υπό το φώς της θεωρίας

των Τριών Κόσμων των Μαθηματικών του D. Τall: του Ενσαρκωμένου (Embodied),

του Συμβολικού (Proceptual) και του Αξιωματικού (Formal) κόσμου. Θα γίνει προ-

σπάθεια να συγκριθεί η εικόνα της έννοιας πού έχουν σχηματίσει οι μαθητές σε σχέ-

ση με τους διαφορετικούς ορισμούς πού έχουν διδαχθεί αλλά και σε σχέση με τις επι-

μέρους έννοιες πού απαρτίζουν τη συνάρτηση, όπως πεδίο ορισμού και σύνολο τι-

μών.

15

Κεφάλαιο 1 Η ιστορική διαδρομή διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης είναι μία από τις θεμελιώδης έννοιες των μοντέρ-

νων Μαθηματικών, η οποία διατρέχει όλες τις περιοχές του αντικείμενου (Eiseberg,

1991). Είναι τόσο αρχαία όσο και τα Μαθηματικά, εφόσον ανάγεται στην τάση του

ανθρώπου να κάνει συσχετίσεις μεταξύ των μεγεθών (Σπύρου&Γαγάτσης,2008). Α-

κολούθησε μία μακριά εξελικτική πορεία, η ολοκλήρωση της οποίας πραγματοποιή-

θηκε μόλις πρόσφατα στα μέσα του 20ου

αι.. Η πορεία καθορίστηκε από τις ανάγκες

της μαθηματικής έρευνας της εκάστοτε εποχής (Malik,1980) και «όχι από κάποια α-

χρείαστη τάση αφηρημένης μαθηματικής γενίκευσης» (Νεγρεπόντης, Γιωτόπουλος ,

Γιαννακούλιας, 1987).

Οι Βαβυλώνιοι, οι Σουμέριοι και η συνάρτηση

Η χρήση συναρτησιακών σχέσεων μπορεί να ανιχνευθεί σε βάθος χιλιετιών,

στους πρώτους κιόλας ανθρώπους, εφόσον η διαδικασία της αρίθμησης είναι μία α-

ντιστοιχία μεταξύ των αντικειμένων και των αριθμών, όπως και οι τέσσερις βασικές

πράξεις που είναι συναρτήσεις δυο μεταβλητών (Ponte,1992). Με μία πιο ευρύτερη

οπτική ως συναρτήσεις μπορούν να θεωρηθούν οι πίνακες πού είχαν συντάξει οι

Σουμέριοι για τον υπολογισμού των πολλαπλασίων κάποιου αριθμού και οι οποίοι

συνδυάζονταν συχνά από ένα πίνακα αντιστρόφων και ένα πίνακα τετραγώνων (Van

Der Waerden, 2007).Αλλά και οι πίνακες των Βαβυλωνίων πού περιείχαν τους αντι-

στρόφους, τα τετράγωνα, τους κύβους, τις τετραγωνικές ρίζες, κυβικές ρίζες κα

(Kleiner1989,Ponte1992). Επιπλέον οι Βαβυλώνιοι είχαν πινακοποιήσει αστρονομι-

κές παρατηρήσεις σχετικές με τη θέση των πλανητών σε αντιστοιχία με το χρόνο

(Kleiner 1989,Σπύρου & Γαγάτσης,2008). Τα δεδομένα αυτά αξιοποιήθηκαν αργότε-

ρα από Έλληνες αστρονόμους. Δεν μπορούμε όμως να ισχυριστούμε ότι η έννοια της

συνάρτησης ήταν παρούσα στα Βαβυλωνιακά μαθηματικά από το γεγονός και μόνο

ότι ασχολήθηκαν με κάποιες συναρτήσεις.

Οι Έλληνες και η συνάρτηση

Η έννοια της συνάρτησης με τη μορφή του πίνακα τιμών απαντάται και στα

ελληνικά μαθηματικά, ιδίως στους πίνακες για τα μήκη χορδών των αντίστοιχων τό-

ξων ενός κύκλου, πού πρώτος συνέταξε ο Ίππαρχος (150 π.Χ.) στο έργο του Περί των

εν κύκλω ευθειών για τον υπολογισμό του χρόνου ανατολής και δύσης των απλανών

αστέρων και ζωδίων(Van Der Waerden, 2007). Αντίστοιχους πίνακες είχε καταρτίσει

και ο Πτολεμαίος (150 μ.Χ.) στην Αλμαγέστη ,ο οποίος υπολόγισε με μεγάλη ακρίβεια

τα μήκη των χορδών των τόξων 1ο , 2

ο ως το 180

ο κατασκευάζοντας ουσιαστικά πί-

νακα που αντιστοιχεί στον πίνακα τιμών της συνάρτησης του ημιτόνου (Kleiner 1991,

Van Der Waerden, 2007).

Γενικά η έννοια της συνάρτησης δεν είχε συνειδητοποιηθεί από τους Αρχαί-

ους Έλληνες Μαθηματικούς ,και επομένως δεν συμμετείχαν στην ανάπτυξη της έν-

νοιας, κυρίως για δύο λόγους. Πρώτον γιατί το ενδιαφέρον τους ήταν στραμμένο σε

γεωμετρικά σχήματα όπως τρίγωνα και κωνικές τομές, η μελέτη των οποίων δεν α-

παιτούσε την εισαγωγή της ,(Νεγρεπόντης,κ.α.1987) όπως θα συνέβαινε στην περί-

πτωση πού θα μελετούσαν γενικές καμπύλες. Αντίστοιχα ο Boyer(1959) αναφέρει:

«Οι Έλληνες γεωμέτρες ασχολούνταν κυρίως με τη μορφή παρά με την μεταβολή με

αποτέλεσμα να μην αναπτυχθεί η έννοια της συνάρτησης». Μόνο ο Αρχιμήδης πλη-

σίασε την έννοια της συνάρτησης εφόσον «στο έργο του περί σφαίρας και κυλίνδρου

Α΄ ορίζει τα αξιώματα κυρτότητας για μία καμπύλη, και επομένως βρίσκεται πολύ

κοντά στο γενικό ορισμό της κυρτής συνάρτησης» (Νεγρεπόντης,κ.α., 1987). Ο δεύ-

τερος λόγος είναι η κυριαρχία της έννοιας του λόγου. Η έννοια της συνάρτησης είναι

στενά συνδεμένη με την ανάγκη για μέτρηση, όμως στα αρχαία Ελληνικά Μαθηματι-

16

κά κυριαρχούσε η έννοια του λόγου η οποία δεν παρέπεμπε άμεσα στη μέτρηση

(Σπύρου&Γαγάτσης, 2008). Είναι χαρακτηριστικό ότι μέσω του λόγου και των ανα-

λογιών εκφράστηκαν μαθηματικές σχέσεις πού σήμερα τις θεωρούμε ως συναρτησια-

κές (Kleiner,1989). Παράδειγμα είναι η σχέση της διαμέτρου με το εμβαδό του κύ-

κλου και η οποία σήμερα εκφράζεται μέσα από τη σχέση Ε=πρ2 ενώ στα Στοιχεία του

Ευκλείδη (300 πχ) δίνεται μέσα από την αναλογία:

«Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα.» (ΒιβλίοΧΙΙ , πρόταση 2)

δηλ ο λόγος των εμβαδών δύο κύκλων είναι ίσος με το λόγο των τετραγώνων

των διαμετρών τους. Με τη χρήση της έννοιας του λόγου εκφράστηκε από τους Πυ-

θαγόρειους ίσως και ο πρώτος μαθηματικός νόμος της φυσικής: η σχέση του μήκους

μίας μεταλλικής χορδής με τον παραγόμενο ήχο (Kleiner,1989).

Οι Άραβες ,οι Ινδοί και η συνάρτηση

Οι Άραβες αλλά και οι Ινδοί θεωρούσαν τους εαυτούς τους πρωτίστως αστρο-

νόμους και δευτερευόντως μαθηματικούς, με συνέπεια να αντιμετωπίζουν τα μαθη-

ματικά ως εργαλείο για την μελέτη της αστρονομίας. Επομένως ήταν αναπόφευκτη η

ενασχόλησή τους με την τριγωνομετρία (Eves, 1953) και έμμεσα με την έννοια της

συνάρτησης. Οι Ινδοί Μαθηματικοί ,από τον 7ο

αιώνα με τον Βραχμαγκούπτα έως τον

12ο αιώνα με τον Μπασκάρα , προσέγγισαν την έννοια της συνάρτησης έμμεσα, στο

πλαίσιο της μελέτης της αστρονομίας, όπου συνέταξαν πίνακες όχι χορδών όπως οι

Έλληνες μαθηματικοί, αλλά πίνακες μισών χορδών ,υπολογίζοντας έτσι στη πραγμα-

τικότητα τα ημίτονα των αντίστοιχων γωνιών (Eves, 1953). Ομοίως και οι Άραβες

μαθηματικοί συνέταξαν πίνακες υπολογισμού των ημιτόνων με μεγαλύτερη πυκνό-

τητα (ανά 15΄΄ της μοίρας), συγκεκριμένα ο Abul-Wefa (940-998) ο οποίος και εισή-

γαγε για πρώτη φορά τη συνάρτηση εφαπτομένη.

Η μελέτη της κίνηση και η συνάρτηση

Στην ιστορική πορεία της ανάπτυξης των Μαθηματικών θα ξανασυναντήσου-

με τις συναρτησιακές σχέσεις το 13ο και 14

ο αιώνα, στο Παρίσι και την Οξφόρδη,

στην προσπάθεια των δύο κύριων σχολών της Φυσικής Φιλοσοφίας να μελετηθεί η

κίνηση, και ιδιαίτερα η επιταχυνόμενη κίνηση «μέσα από τα μαθηματικά και την πο-

σοτική διατύπωση των νόμων της κίνησης» (Γιαννακούλιας 2007, Kleiner 1989). Ε-

κεί τέθηκαν για πρώτη φόρα τα προβλήματα εκείνα, που για τη λύση τους είναι απα-

ραίτητο να επινοηθεί η έννοια της συνάρτησης. Για την επίτευξή του στόχου της πο-

σοτικοποίησης φυσικών μεγεθών οι μαθηματικοί και φιλόσοφοι της εποχής ‘μετακι-

νήθηκαν’ από την αρχαιοελληνική έννοια του λόγου στην έννοια του ratio, δηλαδή

«σε μία υπολογιστική σχέση με αριθμητικό αποτέλεσμα, καθόσον η αναγέννηση βλέ-

πει τις φυσικές οντότητες ως res extensa «μεγέθη εκτατά και μετρούμενα»(Σπύρου&

Γαγατσης,2008). Η ταχύτητα είναι ένα τέτοιο φυσικό μέγεθος που για να μετρηθεί θα

χρησιμοποιηθεί ο λόγος της απόστασης προς το χρόνο. Σύμφωνα με τους φιλοσόφους

της εποχής η ταχύτητα είναι ποιότητα στην οποία πρέπει να αποδοθεί μια αριθμητική

τιμή, η ένταση (Intensio) ή πλάτος (latitudo), και για το σκοπό αυτό πρέπει να μελετη-

θεί η σχέση πού υπάρχει ανάμεσα στην ένταση της ποιότητας και μίας αμετάβλητης

μορφής, της έκτασης(extensio) ή μήκους (longitudo), δηλ της απόστασης ή του χρόνου

(Γιαννακούλιας,2007). Αναπτύχθηκε έτσι η θεωρία των Latitude of forms, όπου ως

form μπορεί να θεωρηθεί οποιαδήποτε ποιότητα που επιδέχεται κάποια μεταβολή

(Boyer,1959). Στο πλαίσιο αυτό οι ερευνητές του Κολεγίου του Merton της Οξφόρ-

δης απέδειξαν τον «κανόνα της μέσης ταχύτητας του Merton»: Μία ομαλά επιταχυνό-

μενη ή επιβραδυνόμενη κίνηση είναι ισοδύναμη, όσον αφορά το διάστημα που διανύε-

ται σε δοθέντα χρόνο, με μια ομαλή κίνηση στην οποία η ταχύτητα είναι ίση καθ’ όλη τη

διάρκεια, με τη στιγμιαία ταχύτητα στο μέσον του χρόνου της ομαλά επιταχυνόμενης ή

17

επιβραδυνομένης κίνησης. Στο Παρίσι ο γάλλος σχολαστικός Nikola Oresme (1320-

1382) για να οπτικοποιήσει τη μεταβολή στη θεωρία των latitude of forms χρησιμο-

ποίησε τη γεωμετρία και αναπαράστησε την ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με μία

γραφική παράσταση, η οποία ήταν η πρώτη γραφική αναπαράσταση ενός νόμου της

φυσικής (Kleiner,1993).«Ουσιαστικά ανέπτυξε την ιδέα της αναπαράστασης της συ-

ναρτησιακής σχέσης μεταξύ ταχύτητας και χρόνου από μία καμπύλη» (Γιαννακούλι-

ας,2007). Με την αναπαράσταση της κίνησης των σωμάτων έδωσε και μία γεωμετρι-

κή απόδειξη του θεωρήματος της μέσης ταχύτητας. Ο Oresme χρησιμοποιεί ένα είδος

συστήματος συντεταγμένων όπου η οριζόντια γραμμή αναπαριστούσε το «μήκος-

longitude» της ποιότητας (το χρόνο) και αντιστοιχεί στην τετμημένη, ενώ η κατακό-

ρυφη γραμμή την ένταση ή latitude της μορφής ( τη ταχύτητα) και αντιστοιχεί στην

τεταγμένη, καταφέρνοντας έτσι να παραστήσει γεωμετρικά τη μεταβολή, και συγκε-

κριμένα τη μεταβολή της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο. Η ιδέα του Oresme

λειτούργησε θετικά για την ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας ,στην οποία η

εξίσωση μίας καμπύλης αποτελούσε για το Fermat την «ειδική ιδιότητά της», χωρίς

όμως ο Oresme να διαθέτει την οπτική της εξίσωσης στη γεωμετρική αναπαράσταση

της μεταβολής της ταχύτητας, αλλά μία θεώρηση περισσότερο συνεπή στην παράδο-

ση των Αρχαίων οι οποίοι θεωρούσαν τους αριθμούς ως διακριτούς και τα γεωμετρι-

κά μεγέθη ως συνεχή (Boyer,1959). Γενικά η προσέγγιση της έννοιας της συνάρτη-

σης από τους μαθηματικούς του μεσαίωνα δεν περιλάμβανε την πτυχή της έννοιας ως

αριθμητική εξάρτηση μίας ποσότητας σε μία άλλη όπως στον Descartes (Cajory,

1980).

O Galileo Galilei (1564-1642) (Γαλιλαίος) χρησιμοποίησε τα Μαθηματικά με

καινοτόμο τρόπο στη μελέτη φυσικών φαινομένων, μεταφράζοντας νόμους Φυσικής

στη γλώσσα των Μαθηματικών. Παρόλο που κινήθηκε εντός του πλαισίου της θεω-

ρίας λόγων μεγεθών του Ευδόξου, κατάφερε να ξεφύγει από τη στατικότητα των Αρ-

χαίων Ελληνικών Μαθηματικών και να τα εισάγει στην μελέτη της κίνησης, συνδέο-

ντας με σχέση λόγου την απόσταση με το χρόνο, ποσοτικοποιώντάς έτσι την κίνηση

με αριθμούς. Ο Γαλιλαίος απέρριψε την Αριστοτελική άποψη ότι τα βαρύτερα σώμα-

τα πέφτουν γρηγορότερα σε σχέση με τα ελαφρύτερα και διατύπωσε το 1604 τον νό-

μο για την πτώση των σωμάτων. Σε επιστολή στον Paulo Sarpi γράφει «οι αποστάσεις

που διανύει ένα σώμα που κινείται με φυσική κίνηση είναι ανάλογες με τα τετράγωνα

των χρόνων», εκφράζοντας τη συναρτησιακή σχέση s=1/2gt2 ,όχι με τη σύγχρονη έν-

νοια της συνάρτησης, αλλά ως αναλογία s1/s2=t12/t1

2 πιστός στο πνεύμα του Ευδόξου

(Γιανακούλιας,2007) πού όμως περιέχει την συνειδητοποίηση της κίνησης ως σχέση

μεταξύ μεταβλητών μεγεθών.

Η ανάπτυξη της συμβολικής Άλγεβρας και η συνάρτηση

Σημαντικό ρόλο στην πορεία προς την διαμόρφωση της έννοιας της

συνάρτησης διαδραμάτισε ο François Vieta (1540-1603) δίνοντας ώθηση στην ανά-

πτυξη της συμβολικής Άλγεβρας. Τα γράμματα στην άλγεβρα είχαν ήδη χρησιμοποι-

ηθεί από τους Regiomontanus(1436-1476),Michael Stiffel(1487-1567) και Jerolamo

Cardano(1501-1576) όμως ο Vietta ήταν αυτός πού τα ενσωμάτωσε στην Άλγεβρα ως

οργανικό της κομμάτι. Διαχώρισε τις γνωστές ποσότητες (γνωστοί παράμετροι) από

τις άγνωστες ποσότητες (άγνωστες μεταβλητές) σε μία εξίσωση, αναπαριστώντας τις

πρώτες με τα σύμφωνα της αλφαβήτου και με τα φωνήεντα τις γνωστές ποσότητες

(Νεγρεπόντης, Eves).Χρησιμοποίησε το ίδιο γράμμα για να υποδηλώσει τις δυνάμεις

μίας ποσότητας π.χ. τα σημερινά x, x2, x

3…ως Α , Α quadratum , A cubum ή A , Aq

Ac (Eves,1953). Διαχώρισε την Αριθμητική ( logistica numerosa) από την Άλγεβρα

(logistica speciosa),επιτρέποντας στην Άλγεβρα υπολογισμούς με γράμματα και όχι

μόνο με αριθμούς. Με συνέπεια να δώσει τεράστια ώθηση στην πορεία προς την α-

18

νάπτυξη της αναλυτικής γεωμετρίας και του Απειροστικού Λογισμού, επιτρέποντας

τις έννοιες της μεταβολής (variation ) και της συνάρτησης να εισέλθουν στην αλγε-

βρική σκέψη (Boyer, 1959).Ο Vietta ήταν ο πρώτος πού εισήγαγε αλγεβρικούς μετα-

σχηματισμούς στην τριγωνομετρία εκφράζοντας συνnθ ως συνάρτηση του συνθ για

n=0….9 αλλά και στη Γεωμετρία, συνεισφέροντας με αυτόν τον τρόπο στην έρευνα

σχετικά με τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας, δείχνοντας ότι τόσο η τριχο-

τόμηση μίας γωνίας όσο και ο διπλασιασμός του κύβου εξαρτώνται από τη επίλυση

τριτοβάθμιας εξίσωσης.

Η αναλυτική Γεωμετρία και η συνάρτηση

Η ουσιαστική εισαγωγή της Άλγεβρας στην Γεωμετρία πραγματοποιήθηκε με

την ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμετρίας .Την Αναλυτική Γεωμετρία την ανακά-

λυψαν, ο Rene Descartes (1596-1650) και ο Pierre de Fermat (1601-1665) σχεδόν

ταυτόχρονα και ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, εκκινώντας όμως από διαφορετικές

αφετηρίες. Ο Descartes στο έργο του Discours de la methode pour bien conduire sa

raison et chercher la varite dans le science (1637 ) και στο παράρτημα la Geometrie

παρουσιάζει μια γεωμετρική μέθοδο, τη μέθοδο των συντεταγμένων (αναλυτική γεω-

μετρία) με την οποία ένα γεωμετρικό πρόβλημα μετατρέπεται σε αλγεβρικό και αντί-

στροφα. Η ανάπτυξη της κινηματικής από τους επιστήμονες της εποχής του 17ου

αι.(Γαλιλαίος, Κέπλερ) και η χρήση των μεταβλητών μεγεθών για την περιγραφή δι-

αφορετικών κινήσεων, επηρέασε τον Descartes ώστε να εισάγει με την καρτεσιανή

γεωμετρία τη γενική έννοια του μεταβλητού μεγέθους (Γιαννακούλιας, 2007). Η με-

ταβλητή x στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά αντιστοιχούσε στο μήκος ενός ευθυ-

γράμμου τμήματος, το x2 στο εμβαδό ενός τετραγώνου πλευράς x και το x

3 στον όγκο

ενός κύβου ακμής x3. O Descartes όμως μέσω της αναλογίας

2

1 x

x x αντιλαμβάνο-

νταν το x2 ως το μήκος της τετάρτου αναλόγου το οποία και εύκολα κατασκευάζεται ,

έτσι το γεωμετρικό αντίστοιχο του x2 δεν είναι το τετράγωνο αλλά η παραβολή (Γι-

αννακούλιας, Eves). Στη geomertie ο Descartes αντιμετωπίζει γεωμετρικά προβλήμα-

τα παρόμοια με αυτά των Αρχαίων και προσπαθεί να τα επιλύσει. με τη βοήθεια της

Άλγεβρας. Αυτό το καταφέρνει με την επινόηση του Καρτεσιανού συστήματος συ-

ντεταγμένων όπου σε έναν άξονα σημειώνει το μήκος x και στη συνέχεια υπό συγκε-

κριμένη γωνία σημειώνει το αντίστοιχο μήκος y.Με τον τρόπο αυτό καταφέρνει να

αντιστοιχίσει τα σημεία του επίπεδου με τις συντεταγμένες του, μετατρέποντας έτσι

το γεωμετρικό πρόβλημα σε αλγεβρικό καθώς οι καμπύλες πλέον είναι γεωμετρικοί

τόποι σημείων πού οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωση.( Eves, Γιαννα-

κούλιας, Νεγρεπόντης). Σε αντίθεση με τον Descartes ο οποίος προσπαθούσε να βρει

την εξίσωση της καμπύλης, ο Fermat διέθετε την εξίσωση και μελετούσε την καμπύ-

λη, λειτουργώντας συμπληρωματικά ο ένας με τον άλλον σε σχέση με τις δύο πτυχές

της Αναλυτικής Γεωμετρίας. Η εισαγωγή της Άλγεβρας στη Γεωμετρία και οι μέθο-

δοι του Vietta ήταν γνωστοί στο Fermat ο οποίος και τις εφάρμοσε στην Αναλυτική

Γεωμετρία.

Μέχρι το 17ο αιώνα η έννοια της συνάρτησης αναπτύχθηκε κυρίως μέσα από

την μελέτη των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των λογαριθμικών συναρτήσεων

καθώς επίσης από την ανάπτυξη της συμβολικής άλγεβρας. Οι μαθηματικοί της προ-

ηγούμενης περιόδου , παρόλο πού οι ίδιοι δεν είχαν συνείδηση της έννοιας της συ-

νάρτησης, με τις ανακαλύψεις τους προλείαναν το έδαφος για την ανάδυση της. Μέ-

χρι εκείνη τη στιγμή η έννοια της συνάρτησης είχε εμφανιστεί ως πίνακας τιμών, λε-

κτικά, ως γραφική παράσταση αλλά και κινηματικά. Η αναλυτική έκφραση της έν-

νοιας εμφανίζεται στο τέλος του 17ου

αι. με την ανακάλυψη της Αναλυτικής Γεωμε-

τρίας .

19

Η γέννηση του Απειροστικού Λογισμού και η συνάρτηση.

Ταυτόχρονα με την κυοφορία της έννοιας της συνάρτησης ολόκληρη η προη-

γούμενη περίοδος υπήρξε και περίοδος κυοφορίας του Απειροστικού Λογισμού, του

οποίου η ανάπτυξη θα καθιστούσε επιτακτική την ανάγκη για την εισαγωγή της έν-

νοιας τη συνάρτησης. Ο Απειροστικός Λογισμός ανακαλύφθηκε από τον Isaac New-

ton (1642-1727) κάπου μεταξύ του 1665 και 1666, όπως ο ίδιος λέει, και ανακοινώ-

θηκε το 1669 σε ένα στενό κύκλο φίλων του με την πραγματεία De Analysi per

Equationes Numero Terminorum Infinitas ,όπου πρωτοπαρουσιάζεται εν μέρει η αρχή

των fluxion (ροή) που αντιστοιχεί στην σημερινή έννοια της παραγώγου ή του ρυθμού

μεταβολής. Το 1671 εμφανίστηκε στην πραγματεία του Methodus fluxionum et

sererum ifinitarum (δημοσιεύτηκε το 1739) ολοκληρωμένη η μέθοδος των ροών

(Method of fluxions ) και τα fluents (ρεόντα) (Γιανακούλιας, Cajori) που είναι οι με-

ταβλητές ποσότητες και αντιστοιχούν στις σημερινές εξαρτημένες μεταβλητές αλλά

και στο σημερινό ολοκλήρωμα . Η μέθοδος των ροών (fluxions) του Newton δεν ήταν

Απειροστικός Λογισμός συναρτήσεων διότι η μέθοδός του εφαρμόζεται σε ρέοντα

(fluents) και όχι σε συναρτήσεις. Τα ρέοντα είναι οι μεταβαλλόμενες ποσότητες οι

οποίες αναπαριστώνται γεωμετρικά ως η τεταγμένη ενός σημείου πού «ρέει» κατά

μήκος μίας καμπύλης (Kleiner, 1993) σε συνάρτηση πάντοτε με το χρόνο. Οι μετα-

βλητές, τόσο η τετμημένη όσο και η τεταγμένη, μεταβάλλονται σε συνάρτηση με το

χρόνο. «Η μέθοδος των ροών θεωρούνταν ως βολικές διαδικασίες για τη επίλυση γε-

ωμετρικών προβλημάτων. Παρόλο πού τα αποτελέσματα συνήθως εκφράζονταν σε

αλγεβρική μορφή, βασίζονταν κυρίως στη γεωμετρία των αρχαίων παρά σε αριθμητι-

κές αντιλήψεις» (Βoyer,1949) Η έννοια της συνάρτησης στον Newton είχε άμεση

σχέση με γεωμετρικές ή μηχανικές ιδέες δηλ πχ η λογαριθμική συνάρτηση αντιστοι-

χούσε στο εμβαδό της υπερβολής.

Η κυριότερη συνεισφορά του Newton σε σχέση με την έννοια της συνάρτησης

ήταν η άποψη του ότι όλες οι συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με δυναμο-

σειρές, οπότε με αυτό τον τρόπο μπορούσαν να εκφραστούν υπερβατικές συναρτή-

σεις ως άπειρο άθροισμα δυνάμεων του x και κατά συνέπεια θα μπορούσαν να παρα-

γωγιστούν όρο με όρο. (Kleiner,1989) Παράλληλα με τον Newton και ο Gottfried W.

Leibniz(1646-1716) έφτασε στην ανακάλυψη του Απειροστικού Λογισμού.

Η λέξη συνάρτηση (function) χρησιμοποιήθηκε από τον Leibniz για πρώτη φορά το

1673 στο χειρόγραφο (Methodus tangentium inversa, seu de functionibus) για να ο-

νομάσει οποιοδήποτε μέγεθος πού σχετίζεται με μία καμπύλη και μεταβάλλεται από

σημείο σε σημείο όπως το μήκος της υποεφαπτομένης ή της υποκαθέτου τα οποία

ονομάζει «γραμμές που εκπληρώνουν κάποια «λειτουργία» function σε σχέση με την

καμπύλη» ( Βασάκος,2010). Η χρήση του όρου συνάρτηση από το Leibniz είναι δια-

φορετική από τη σημερινή χρήση. Είναι χαρακτηριστικό ότι στο σύστημα συμβόλων,

τους διαφορικούς λόγους ο Leibniz τους θεωρούσε πηλίκα και τα ολοκληρώματά του

ως αθροίσματα και όχι όρια συγκεκριμένων συναρτήσεων με τη σύγχρονη σημασία

(Boyer,1959). Τόσο ο Newton όσο και ο Leibniz ανέπτυξαν αλγορίθμους για να αντι-

μετωπίσουν προβλήματα όπως η εύρεση εφαπτομένης μία καμπύλης, εμβαδά κάτω

από μία καμπύλη κ.α., τα οποία βασίζονταν στην αναπαράσταση των καμπυλών με

εξισώσεις και όχι με συναρτήσεις.

Σύμφωνα με τον Child (1920) o Leibniz λίγο πριν το τέλος της ζωής του πρέ-

πει να είχε φτάσει στην αλγεβρική έννοια της συνάρτησης γεγονός πού προκύπτει

από την αλληλογραφία του Leibniz με τον John Bernoulli. Στις 2 Σεπ. του 1694 σε

ένα γράμμα του στο Leibnitz, ο Bernoulli περιγράφει τη συνάρτηση ως : «μία ποσότη-

τα που σχηματίζεται από απροσδιόριστες και σταθερές ποσότητες» και το 1698 σε ένα

άρθρο του για ισοπεριμετρικά προβλήματα ο Bernoulli πάλι γράφει «συνάρτηση τε-

20

ταγμένων» (function of ordinates) και ο Leibniz του απαντάει «χαίρομαι πού χρησι-

μοποιείς τον όρο συνάρτηση με το δικό μου τρόπο» (O’Connor,Robertson,2005).

Ενώ το 1718 o John Bernoulli στο “Memoires de l'Academie des Sciences de

Paris” ορίζει τη συνάρτηση ως « μία ποσότητα πού συντίθεται με οποιοδήποτε τρόπο

από μία μεταβλητή και κάποιες σταθερές» (on apelle ici fonction d’une grandeur vari-

able, une quantite composee de quelque maniere que ce soit de cette grandeur variable

et de constants) (Cajory,1980 ) χωρίς να εξηγεί τι σημαίνει να συντίθεται με οποιο-

δήποτε τρόπο αλλά από τα συμφραζόμενα μπορούμε να υποθέσουμε ότι εννοούσε μία

αλγεβρική έκφραση .(Kleiner,1993).

Ένας σαφής ορισμός για την έννοια της συνάρτησης δόθηκε από τον James

Gregory(1638-1675) στο Vera Circuliet Hyperbolae Quadrarura (1667),αλλά αγνοή-

θηκε από τους μαθηματικούς της εποχής ίσως διότι οι συναρτήσεις την εποχή εκείνη

παριστάνονταν με σειρές ,και ήταν ο εξής: «συνάρτηση είναι μία ποσότητα πού προ-

κύπτει από άλλες ποσότητες με μία σειρά από αλγεβρικές πράξεις ή με κάθε άλλη

νοητή πράξη» , όπου με την τελευταία φράση εννοούσε, όπως ο ίδιος επεξήγησε, ότι

είναι αναγκαίο να προσθέσει κανείς στις πράξεις της Άλγεβρας και μία άλλη πράξη,

αυτή που μας περνάει στο όριο (Suzuki,2002).

Η συνάρτηση ως αναλυτική έκφραση

Μπορούμε να πούμε ότι η έννοια της συνάρτησης ήταν αποτέλεσμα της ανά-

πτυξης της κινηματικής από τους επιστήμονες των αρχών του 17ου

αι. (Γαλιλαίου,

Κέπλερ), και της εισαγωγής της γενικής έννοιας του μεταβλητού μεγέθους από τον

Decartes. Το αποτέλεσμα ήταν η αντικατάσταση της γλώσσας των μαθηματικών από

τη γλώσσα της μηχανικής, και η κυριαρχία της γεωμετρικής αναπαράστασης. Στο

πλαίσιο αυτό ο J.Napier (1550-1617) όρισε τη λογαριθμική συνάρτηση χρησιμοποιώ-

ντας ευθύγραμμες κινήσεις σημείων.O Απειροστικός Λογισμός του Newton μελετού-

σε μεγέθη ,που σχετίζονταν με την κίνηση (όπως ταχύτητα και επιτάχυνση) ,σε συ-

νάρτηση με το χρόνο. Ενώ για τον Leibniz , τουλάχιστον αρχικά, η συνάρτηση ήταν

σχέση ανάμεσα σε ευθύγραμμα τμήματα, πού σχετίζονταν με σημεία μίας καμπύλης.

Τα έξι ευθύγραμμα τμήματα πού σχετίζονται με τη λέξη «συνάρτη-

ση» στην μελέτη της παραβολής κατά τον Leibniz

PO= Τεταγμένη , AO=τετμημένη , PT= εφαπτομένη ,

OT= υποεφαπτομένη , PN = κάθετος , ON= υποκάθετος

21

Μετά από αυτή τη μακριά περίοδο πού υπήρξε προπαρασκευαστική για την έννοια

της συνάρτησης ο Euler(1707-1783) το 1748 στο έργο του Ιntroductio in analysin

infinitorum, πραγματοποιεί το διαχωρισμό της Ανάλυσης από τη Γεωμετρία με την

αντικατάσταση της έννοιας της γεωμετρικής μεταβλητής από την έννοια της συνάρ-

τησης. Στο έργο αυτό έδωσε τον ορισμό της συνάρτησης ως αναλυτική έκφραση (αλ-

γεβρικό τύπος) απαλλάσσοντας έτσι την έννοια από τη γεωμετρικά και κινηματικά

στοιχεία. Ο ορισμός είναι ο εξής:

« Συνάρτηση μίας μεταβλητής ποσότητας είναι μία αναλυτική έκφραση πού συ-

ντίθεται με οποιοδήποτε τρόπο από μία μεταβλητή ποσότητα και αριθμούς ή σταθερές

ποσότητες».

Ο Euler δεν ορίζει την έννοια αναλυτική έκφραση αλλά από τα συμφραζόμε-

να ο αναγνώστης καταλαβαίνει ότι εννοεί μία αλγεβρική έκφραση πού αποτελείται

από τις τέσσερις γνωστές πράξεις υπονοώντας έτσι ότι αναλυτική έκφραση είναι ο

αλγεβρικός τύπος (Kleiner 1989). Μέχρι εκείνη τη στιγμή οι τριγωνομετρικές συναρ-

τήσεις θεωρούνταν από τους μαθηματικούς της εποχής ως ευθύγραμμα τμήματα πού

σχετίζονταν με τον κύκλο. Ο Euler στην παραπάνω εργασία αντιμετωπίζει τις τριγω-

νομετρικές συναρτήσεις ως αριθμητικούς λόγους και συνδέει τη λογαριθμική συνάρ-

τηση με τη εκθετική, εισάγοντας έτσι τη σύγχρονη συναρτησιακή αντίληψη για τις

προαναφερθείσες συναρτήσεις. Χαρακτηριστικά ο Kleiner αναφέρει ότι σε αυτό το

έργο παρόλο πού μελετάει τριγωνομετρικές και λογαριθμικές συναρτήσεις δεν υπάρ-

χει ούτε ένα γεωμετρικό σχήμα. Στο «introductio» η έννοια της συνάρτησης γίνεται

κεντρική για την ανάλυση εφόσον το αντικείμενο πλέον της μελέτης δεν είναι οι κα-

μπύλες και οι ιδιότητες τους αλλά ιδιότητες συναρτήσεων με την αλγεβρική τους

μορφή. Σύμφωνα με το Hawkins: «Αν και η έννοια της συνάρτησης δεν προέρχεται

από τον Euler, ήταν αυτός που της έδωσε προεξάρχοντα ρόλο, αντιμετωπίζοντάς την

Ανάλυση ως μία τυπική θεωρία των συναρτήσεων» (στο Kleiner,1993). Έτσι η συ-

νάρτηση παίρνει τη μορφή του υπολογιστικού εργαλείου πού είναι απαραίτητο για

την Ανάλυση. Πέρα από τον ορισμό της έννοιας στον Εuler ανήκει και ο συμβολι-

σμός y= f(x).

Η συνάρτηση και το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής

Στο μεταξύ ο Jean-Baptiste le Rond D’Alembert(1717-1783) στην προσπάθειά

του να μοντελοποιήσει την κίνηση της παλλόμενης χορδής καταλήγει στο συμπέρα-

σμα ότι η συνάρτηση πού την περιγράφει είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης 2 2

2

2 2

y ya

t x, με a σταθερό όπου το y αντιπροσωπεύει την απομάκρυνση από τη

θέση ισορροπίας , x απόσταση από την αρχή, και t τον χρόνο. Η λύση πού έδωσε εί-

ναι: y=φ(x+t)+φ(x-t), όπου φ(x) αυθαίρετη συνάρτηση πού εκφράζει την αρχική θέση

της χορδής. Ο D’Alembert ισχυρίσθηκε ότι η λύση πού βρήκε για τη διαφορική εξί-

σωση ήταν η πιο γενική, έχοντας όμως στο μυαλό του ότι η φ πρέπει να δίνεται από

ένα αλγεβρικό τύπο. Πάνω σε αυτό τον ισχυρισμό ξεκίνησε ένα διάλογος μεταξύ Eu-

ler, D’Alembert, Bernoulli σχετικά με τη φύση της έννοιας της συνάρτησης, όπου

στην πραγματικότητα αποτυπώνονται οι αντιλήψεις πού επικρατούσαν σχετικά με

την έννοια αλλά και οι δυσκολίες στη διαμόρφωση της έννοιας. Την εποχή πού δια-

μορφώνονταν η έννοια και κατά συνέπεια και ο ορισμός της, δεν υπήρχε καθολική

συμφωνία για το τι ακριβώς περιλαμβάνεται στην έννοια της συνάρτησης και δη της

συνάρτησης ως αναλυτική έκφραση. Ο Euler ταξινομούσε τις συναρτήσεις χρησιμο-

ποιώντας τους όρους συνεχής ,μικτή και ασυνεχής συνάρτηση με διαφορετική όμως

σημασία από τη σημερινή. Η κλάση των συνεχών αποτελούνταν από συναρτήσεις πού

22

δίνονταν από ένα μοναδικό αλγεβρικό τύπο, οι μικτές από συναρτήσεις με πολλούς

κλάδους ενώ η κλάση των ασυνεχών περιλάμβανε τις μικτές και τις συναρτήσεις των

οποίων το γράφημα είναι μία καμπύλη αυθαίρετα σχεδιασμένη(O’Connor, Robertson,

2005). Αντίθετα οι μαθηματικοί της εποχής δεν θεωρούσαν ως συναρτήσεις τις πολύ-

κλαδες καθώς επίσης ότι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ήταν ολόκληρο το R με

εξαίρεση ίσως ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων. Μια επιπλέον πεποίθηση η οποία

σχετίζεται με τη συνάρτηση και το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής είναι η εξής:

Αν δύο αναλυτικές εκφράσεις συμφωνούν σε ένα διάστημα τότε συμφωνούν παντού.

Η συζήτηση πού ξεκίνησε μεταξύ Euler ,D’Alembert, D.Bernoulli με αφορμή το πρό-

βλημα της παλλόμενης χορδής, και πού στην ουσία αφορούσε τη φύση της έννοιας

της συνάρτησης είχε ως αποτέλεσμα την επέκταση της έννοιας ώστε να περιλάβει και

τις πολύκλαδες συναρτήσεις αλλά και τις συναρτήσεις πού σχεδιάζονταν αυθαίρετα

και που μπορεί να μην υπήρχε αλγεβρικός τύπος για τις εκφράσει.

Το 1755 ο Euler στο έργο του «Institutiones calculi differentialis» διατυπώνει

ένα πιο αφηρημένο ορισμό πού φανερώνει τη θεώρηση της συνάρτησης ως σχέση

εξάρτησης:« αν μερικές ποσότητες εξαρτώνται από πολλές ποσότητες, ώστε όταν οι

δεύτερες μεταβληθούν μεταβάλλονται και οι πρώτες , τότε οι πρώτες ποσότητες καλού-

νται συναρτήσεις των πρώτων , έτσι αν το x συμβολίζει μία μεταβλητή ποσότητα, τότε

όλες οι ποσότητες πού με οποιοδήποτε τρόπο καθορίζονται από αυτή καλούνται συναρ-

τήσεις του x». Με αυτό τον ορισμό μπορούν να συμπεριληφθούν και συναρτήσεις πού

δεν είναι δυνατόν να εκφραστούν αναλυτικά και κατά συνέπεια «ο Euler φτάνει στο

σύγχρονο γενικό ορισμό της συνάρτησης» (Νεγρεπόντης,κ.α.1987).

Ο ισχυρισμός του Fourier και η συνάρτηση

Η συζήτηση πού διεξήχθη μεταξύ των μαθηματικών του 18ου

αι. σχετικά με τη

φύση της έννοιας ως προς το εύρος των μαθηματικών αντικειμένων πού μπορούν να

χαρακτηριστούν ως συναρτήσεις συνεχίστηκε και τον 19ο

αι. Ο επόμενος σταθμός

στην πορεία της διαμόρφωσης της έννοιας της συνάρτησης ήταν το πρόβλημα της

διάδοσης της θερμότητας στο έργο του J. Fourier (1768-1830), Analitique de la

Chalier το οποίο υποβλήθηκε στη Γαλλική Ακαδημία το 1807 και δημοσιεύθηκε το

1822, όπου ένα από τα ερωτήματα πού τέθηκαν ήταν τι επιτρέπουμε να περιλαμβάνει

η έννοια συνάρτηση (Davis & Hersch,1981). Ο ισχυρισμός του Fourier ήταν ο εξής:

«κάθε συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα μπορεί να γραφεί ως άπειρο άθροισμα

συναρτήσεων του ημιτόνου και του συνημίτονου».

Ο ισχυρισμός του Fourier αποδείχθηκε λάθος ως προς το εύρος των συναρτή-

σεων που καλύπτει, εφόσον ο J. Dirichlet το 1829 έθεσε τους περιορισμούς πού πρέ-

πει να ικανοποιεί μία συνάρτηση ώστε να παριστάνεται με σειρά Fourier ,όμως έθεσε

σημαντικά ερωτήματα ως προς την φύση της έννοιας της συνάρτησης ,τα οποία σύμ-

φωνα με τον Kleiner (1993) είναι :

α Είναι δυνατόν μία πολύκλαδή συνάρτηση να παρασταθεί από μία άλλη με

μοναδική αλγεβρική έκφραση( Δηλαδή μία ασυνεχής συνάρτηση κατά Euler να πα-

ρασταθεί από μία συνεχή) .

β. Μία μη περιοδική συνάρτηση να μπει παρασταθεί ως ένα άθροισμα περιο-

δικών συναρτήσεων σε ένα κομμάτι του πεδίου ορισμού της.

γ. συναρτήσεις το γράφημα των οποίων είναι παρουσιάζει γωνιακά σημεία ή

άλματα παριστάνονται από «λείες» συναρτήσεις όπως το ημίτονο και το συνημίτονο.

Έτσι για πρώτη φορά εμφανίζεται το πεδίο ορισμού ως σημαντικό συστατικό

της έννοιας της συνάρτησης καθώς ανατρέπεται η πεποίθηση των μαθηματικών του

18ου

αι. ότι δύο συναρτήσεις με ίδια αναλυτική έκφραση σε ένα διάστημα θα συμφω-

νεί σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

23

Ο σύγχρονος ορισμός της έννοιας από τον J. Dirichlet

Η απόδειξη των ισχυρισμών του Fourier απαιτούσε την ουσιαστική κατανόη-

ση της έννοιας της συνάρτησης αλλά και των βασικών εννοιών σχετικές με αυτή ό-

πως συνέχεια , σύγκλιση. Ο Johann Dirichlet (1805-1859) διαγιγνώσκοντας την ανε-

πάρκεια του ορισμού της έννοιας πρότεινε νέο ορισμό:

H μεταβλητή y είναι συνάρτηση της μεταβλητής x, ορισμένη σε ένα διάστημα a

24

εκφραστούν μέσα από αυτές, η οποία παίρνει το όνομα της ανεξάρτητης με-

ταβλητής, ενώ οι άλλες ποσότητες πού εκφράζονται μέσω της ανεξάρτητης

μεταβλητής, είναι εκείνες πού ονομάζονται συναρτήσεις αυτής της μεταβλη-

τής».

Ο ορισμός είναι πιο γενικός σε σχέση με τους ορισμούς πού έδωσαν οι προη-

γούμενοι μαθηματικοί, σαφώς όμως δεν περιλαμβάνει την έννοια του πεδίου ορισμού

αλλά δεν είναι απαλλαγμένος από την έννοια της μεταβλητής και κατά συνέπεια την

αναφορά στο χρόνο. Η αντίληψη όμως της έννοιας της συνάρτησης από τον Cauchy

δεν έχει το αντίστοιχο εύρος της αντίληψης του Dirichlet, εφόσον ταξινομεί της συ-

ναρτήσεις σε απλές ( α+χ, α-χ, αχ, α/χ . χα , logx , sinx) και σε μικτές (συνθέσεις α-

πλών) ( Κleiner, 1989) από όπου φαίνεται ότι η αντίληψή του για την έννοια είναι

πολύ κοντά σε αυτή του Euler δηλαδή συναρτήσεις αναλυτικές πού είναι συνεχείς και

διαφορίσιμες. Ο Cauchy αναφερόμενος στο διαχωρισμό των συναρτήσεων εκ μέρους

του Euler ως συνεχή και ασυνεχή δείχνει ότι η συνάρτηση x, x 0

f (x)x, x 0

μπο-

ρεί να γραφεί ως 2

f (x) x αλλά και ως

2

2 2

0

f (x)2 x

dtx t

καταδεικνύοντας έτσι

ότι η ταξινόμηση πού έκανε ο Euler δεν έστεκε εφόσον μια πολύκλαδη συνάρτηση

μπορούσε να δοθεί και με μια αναλυτική έκφραση.

Οι συναρτήσεις «τέρατα»

Ο ορισμός του Dirichlet δεν έγινε αποδεκτός άμεσα από όλους τους μαθημα-

τικούς της εποχής διότι «για ορισμένους φάνηκε πολύ ευρύς όπως π.χ. Lebesgue,και

για άλλους κενός περιεχομένου όπως π.χ. Baire &Borel, ενώ αποδεκτός ήταν από τον

Hadamard» (Kleiner,1989). Ο ορισμός του Dirichlet είναι τόσο ευρύς πού έδωσε τη

δυνατότητα για την εμφάνιση των συναρτήσεων «τεράτων». Η πρώτη «αφύσικη» συ-

νάρτηση ήταν η συνάρτηση 0-1 του ίδιου του Dirichlet, την οποία και ο ίδιος δεν θε-

ωρούσε τυπικό παράδειγμα συνάρτησης αλλά μία ακραία περίπτωση. Όμως στα μα-

θηματικά πολλές φορές η ανακάλυψη των ακραίων περιπτώσεων καταλήγει να είναι

ο κανόνας. Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης, ο εψιλοντικός ορισμός του ορίου, της

συνέχειας και της παραγώγου συνέτειναν στην ανακάλυψη περισσότερων συναρτή-

σεων «τεράτων» όπως αυτή του Weierstrass, η οποία είναι συνεχής και πουθενά δια-

φορίσιμη, ανατρέποντας έτσι πεποίθηση ότι όλες οι συνεχείς συναρτήσεις είναι πα-

ραγωγίσιμες. Η κατεύθυνση αυτή του ορισμού δεν άρεσε στον Poincare οποίος θεω-

ρούσε αυτού του είδους τις συναρτήσεις «άχρηστες» σε αντίθεση με τις συνηθισμένες

τις οποίες θεωρούσε «έντιμες» υπό την έννοια ότι εξυπηρετούν κάποιο σκοπό. Η μό-

νη χρησιμότητα κατά τον Poincare των συναρτήσεων «τεράτων» ήταν η προσπάθεια

ανάδειξης ελαττωμάτων στη σκέψη των προγενέστερων μαθηματικών.

Η συνάρτηση και η θεωρία συνόλων

«Η εισαγωγή των εννοιών μετρικός χώρος και τοπολογία έδωσαν τη δυνατό-

τητα να συνειδητοποιηθεί ότι οι ιδιότητες της έννοιας της συνάρτησης εξαρτώνται

από τοη δομή των συνόλων στα οποία ορίζεται. Αυτό οδήγησε στις έννοιες του πεδί-

ου ορισμού και συνόλου τιμών, ανεβάζοντας την έννοια σε υψηλότερα

επίπεδα.(Malik,1980). Η ανάπτυξη της θεωρίας συνόλων τον 20ο αι έθεσε τις προϋ-

ποθέσεις για το σύγχρονο ορισμό της έννοιας. «Το 1917 ο Καραθεωδορή όρισε τη

συνάρτηση ως κανόνα αντιστοίχισης από ένα σύνολο Α σε σύνολο των πραγματικών

αριθμών.(Malik,1980). Ενώ το 1939 οι Bourbaki μετά τον ορισμό του διατεταγμένου

ζεύγους το 1921 από τον Kuratowski ως σύνολο «απαλλαγμένο από τη χρονική διά-

25

ταξη του πρώτου στοιχείου από το δεύτερο στοιχείο [(a,b){a,{a,b}]» (Σπύ-ρου&Γαγάτσης, 2008 ) όρισαν τη συνάρτηση ως σύνολο διατεταγμένων ζευγών:

Έστω Ε και F δύο σύνολα , τα οποία μπορεί είναι ή να μην είναι διακριτά. Μία

σχέση μεταξύ ενός μεταβλητού στοιχείου x του Ε και μία μεταβλητή y ενός στοιχείου y

του F καλείται συναρτησιακή σχέση στο y εάν , για όλα τα x E , υπάρχει ένα μοναδικό

yF το οποίο είναι στη δοσμένη σχέση με το x. Ονομάζουμε συνάρτηση την πράξη με

την οποία σχετίζεται με κάθε στοιχείο x E το στοιχείο y F το οποίο είναι στη δοσμέ-

νη σχέση με το x, το yονομάζεται η τιμή της συνάρτησης στο στοιχείο x ,και η συνάρτη-

ση λέγεται ότι είναι καθορισμένη από τη δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Δύο συναρτησι-

ακές σχέσεις καθορίζουν την ίδια συνάρτηση. (Kleiner 1989) .

Συνοψίζοντας για τη εξέλιξη της συνάρτησης έχουμε.

α. Η έννοια αναπτύχθηκε βαθμιαία μέσα από την καθημερινή εμπειρία και από την

ενασχόληση αρχικά με μεμονωμένες συναρτήσεις, χωρίς να είναι συνειδητά σχηματι-

σμένη η έννοια της συνάρτησης.

β. οι μαθηματικοί του 18ου

– 19ου

αι. θεωρούσαν ως συναρτήσεις τις συνεχείς, λείες

και όχι σταθερές καμπύλες , οι οποίες εκφράζονταν με μία αναλυτική έκφραση.

γ. Η έννοια της συνάρτησης αρχικά ήταν σε αντιστοιχία με τις ανάγκες της καθημε-

ρινής ζωής ή των προβλημάτων της φυσικής. Έντονος ήταν ο διαδικαστικός χαρα-

κτήρας της συνάρτησης συνδεδεμένος με την αλλαγή σε σχέση με τον χρόνο. Οι αρ-

χικοί ορισμοί της έννοιας ήταν περισσότερο προσανατολισμένοι προς την σχέση ε-

ξάρτησης ενώ αργότερα εμφανίστηκε η απαίτηση για το μονοσήμαντο της τιμής της

εξαρτημένης μεταβλητής .

26

Κεφάλαιο 2 Θεωρητικό πλαίσιο

2.1 Πλατωνισμός – Εμπειρισμός

Τα βασικά ερωτήματα πού καθορίζουν τo αντικείμενο της γνωσιολογίας είναι

τρία:

Ποιο είναι το αντικείμενο της γνώσης;

Έχουμε τη δυνατότητα να αποκτήσουμε γνώση;

Ποια είναι η πηγή της γνώσης ; Οι Αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι παρουσίασαν τις πρώτες ορθολογικές αναλύ-

σεις των νοητικών φαινομένων που βασίζονται στη λογική ανάλυση και συστηματική

παρατήρηση. Οι προσωκρατικοί φιλόσοφοι από τα 600-500 π.Χ. ανέπτυξαν διάφορες

εξηγήσεις των νοητικών φαινομένων που προκύπτουν από ένα μείγμα μεταφυσικών

θεωριών και εμπειρικών παρατηρήσεων (Bοσνιάδου,2004). Οι πληροφορίες πού έ-

χουμε για τις απόψεις των προσωκρατικών φιλοσόφων προέρχονται είτε από απο-

σπάσματα διασωθέντων κειμένων είτε από σχόλια του Αριστοτέλη και του Θεόφρα-

στου (Curd, 2007). Κύρια επιδίωξή τους ήταν να εξηγήσουν τον κόσμο με όρους που

να προέρχονται από τις αρχές πού διέπουν τον ίδιο τον κόσμο. Κύριο εργαλείο σε αυ-

τή τους την προσπάθεια τους ήταν η λογική και όχι οι αισθήσεις, παρόλο που χαρα-

κτηρίστηκαν αισθησιοκράτες. Χρησιμοποίησαν λογικές μεθόδους όπως η αναγωγή, η

επαγωγή και η αναλογία για να φτάσουν στην ουσία του κόσμου. Στο πλαίσιο αυτό

εμφανίστηκαν οι πρώτες γνωσιοθεωρητικές ιδέες (Σπύρου,2009) και δημιούργησαν

τις σταθερές πάνω στις οποίες οικοδομήθηκε η φιλοσοφία του Πλάτωνα και ο Κόσμος

των Ιδεών του.

Πλατωνισμός

Ο Δ. Αναπολιτάνος (1985) αναφέρει ότι η βασική αρχή πού καθοδηγούσε την

σκέψη των φιλοσόφων την εποχή του Πλάτωνα ήταν: εφόσον ο κόσμος των φαινομέ-

νων υπόκειται σε συνεχείς αλλαγές, για να μπορέσουμε να ταχτοποιήσουμε τον κό-

σμο μέσα μας πρέπει να αναζητήσουμε κάποιες αναλλοίωτες σταθερές πάνω στις ο-

ποίες να βασίζονται τα φαινόμενα. Τις αναλλοίωτες αυτές σταθερές ο Πλάτων τις ο-

νομάζει Ιδέες. Ο κόσμος των φαινομένων αποτελεί ένα ατελές αντίγραφο του κόσμου

των Ιδεών, όπου τα εμπειρικά αντικείμενα οφείλουν την ‘παρασιτική’ τους ύπαρξη

στο γεγονός ότι προσεγγίζουν μία Πλατωνική Ιδέα. Δηλαδή «οι Ιδέες παριστάνουν

την ουσία των πραγμάτων, είναι το πραγματικό»(Βοσνιάδου, 2004) και όχι αυτό που

αντιλαμβανόμαστε μέσα από τις αισθήσεις μας .Οι Ιδέες, σύμφωνα με τον Πλάτωνα,

είναι ακριβείς, άχρονες και ανεξάρτητες από το γνώστη. Εφόσον οι Ιδέες είναι ανε-

ξάρτητες από το γνώστη ανακύπτει το εξής ερώτημα: Πως προσεγγίζονται οι Ιδέες; Ο

Πλάτωνας για να αντιμετωπίσει το πρόβλημα τις προσέγγισης αυτού του Ιδεατού

Κόσμου από το γνώστη χρησιμοποιεί την άποψη ότι η γνώση είναι ανάμνηση. Η θε-

ωρία αυτή αναπτύσσεται στο διάλογο «Μένων», όπου γίνεται εμφανής η θέση του

Πλάτωνα ότι η γνώση είναι έμφυτη στον άνθρωπο. Κατά τον Πλάτωνα «η ψυχή , και

ιδιαίτερα η νόηση, είναι αιώνια, άφθαρτη και ικανή να προσεγγίσει τον κόσμο των

Ιδεών» (Βοσνιάδου,2005) σε αντίθεση με το σώμα πού είναι φθαρτό και επομένως

εφήμερο. Έτσι το σύνολο όλων των γνώσεων υπάρχουν στην ψυχή του γνώστη. Στην

πραγματικότητα δεν μαθαίνει κάτι καινούριο, απλώς «θυμάται» κάτι το οποίο βρί-

σκεται ήδη στην ψυχή του, περιμένοντάς τον να το ανακαλύψει. Έτσι η γνώση μιας

Ιδέας είναι άμεση, δηλαδή δεν χρειάζεται κάποιου είδους διαμεσολαβητή μεταξύ αυ-

τής και του γνώστη. Παρόλα αυτά μερικές φορές είναι απαραίτητη, η εμπειρία μέσω

27

των αισ�