ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τ M ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ …me.math.uoa.gr/dipl/dipl_tzioti.styliani.pdfΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ

KAI ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ – ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ & ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

Διαπανεπιστημιακό – Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών

“ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ”

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ

ΜΕΣΩ ΤΗΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΤΖΙΩΤΗ ΣΤΥΛΙΑΝΗ

Επιβλέπων καθηγητής: Φιλίππου Γεώργιος

Ιούνιος 2008

2

3

Ευχαριστίες

Η παρούσα διπλωματική εργασία γράφτηκε στα πλαίσια της ολοκλήρωσης

των σπουδών μου στο Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών, με τίτλο «Διδακτική και

Μεθοδολογία των Μαθηματικών». Θα ήθελα να απευθύνω θερμές ευχαριστίες στον

επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Γεώργιο Φιλίππου για την πολύτιμη βοήθειά του, κατά

τη διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας εργασίας. Ευχαριστώ επίσης και τους κ.

Θεοδόσιο Ζαχαριάδη και Νικόλαο Κλαουδάτο για τις συμβουλές τους ως μέλη της

τριμελούς επιτροπής μου. Επίσης ευχαριστώ ολόψυχα την διευθύντρια του σχολείου

στο οποίο χρειάστηκε να χορηγήσω τα τεστ και να εφαρμόσω τη διδακτική

παρέμβαση που σχεδίασα, καθώς και την συνάδελφο μαθηματικό, διδάσκουσα των

τμημάτων στα οποία δίδαξα κατά τη διάρκεια της παρέμβασης.

Την εργασία αυτή την αφιερώνω στον αγαπημένο μου σύζυγο και στην

μητέρα μου, που μου συμπαραστάθηκαν με κάθε δυνατό τρόπο κατά την διάρκεια

των σπουδών μου στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα.

4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ …………………………………………………………….. 6

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ …………………………………………………… 7

ΠΕΡΙΛΗΨΗ …………………………………………………………………………..... 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ I: ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ …………………………………………………...... 11

Εισαγωγή ………………………………………………………………………... 11

Σκοπός και ερευνητικά ερωτήματα………………………………….................... 13

Αναγκαιότητα – Σημαντικότητα της έρευνας ……………………….................... 15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II: ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ ………………………...... 19

Περίληψη ………………………………………………………………………... 19

Η έννοια της συνάρτησης και οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές ………………………………………… 19

Η θεωρία των προτύπων και η έννοια της συνάρτησης …………….................... 22

Η επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος και η έννοια της συνάρτησης …………………………......................................... 23

Η Μάθηση μέσω της ΕΜΠ ……………………………………………………… 30

Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία …………………………………………………. 32

Εννοιολογικοί ορισμοί …………………………………………………………... 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ III: ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ …………………………………………………… 36

Α΄ ΜΕΡΟΣ: ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 36

Μέσα συλλογής δεδομένων ……………………………………………………... 37

Διαδικασία εκτέλεσης της έρευνας ……………………………………………… 38

Βαθμολόγηση γραπτών δοκιμίων ……………………………………………….. 39

Β΄ ΜΕΡΟΣ: Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ……….. 41

Διαδικασία πειραματικής εφαρμογής της διδακτικής παρέμβασης …………….. 42

Η 1η φάση της διδακτικής παρέμβασης ……………………………..................... 42



5


Συλλογή δεδομένων ……………………………………………………………... 48

Αξιολόγηση της διδακτικής παρέμβασης ………………...................................... 48

Στατιστικές τεχνικές …………………………………………………………….. 49

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV: ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ………………………………………………… 52

Περίληψη ………………………………………………………………………... 52

Α΄ ΜΕΡΟΣ: ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΩΝ ΓΙΑ

ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ …………………………….. 52

Ανάλυση ποιοτικών δεδομένων ……………………………………..................... 60

Παρατηρήσεις επί των συνεντεύξεων …………………………………………… 63

Β΄ ΜΕΡΟΣ: Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΤΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ ……………………….. 67

Η Αξιολόγηση της Διδακτικής Παρέμβασης ……………………………………. 67

Αποτελέσματα της τελικής αξιολόγησης ……………………………………….. 75

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ – ΣΥΖΗΤΗΣΗ ………………………………… 83

Περίληψη ………………………………………………………………………... 83

Οι παρανοήσεις των μαθητών σχετικά με την έννοια της συνάρτησης ………… 83

Η διδακτική παρέμβαση και η επίδρασή της ……………………………………. 85

Συζήτηση ………………………………………………………………………... 87

Εισηγήσεις για περαιτέρω έρευνες ……………………………………………… 89

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. – Το διαγνωστικό τεστ ………………………………………… 93

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. – Η Διδακτική Παρέμβαση ………………………………………. 98

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. – Φύλλα Εργασίας και Διαγωνίσματα ………………………….... 114

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ. – Γεωμετρικά σχήματα …………………………………………... 140

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε. – Χάρτες ………………………………………………………….. 141

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ. – Προβλήματα για προαιρετικές επεκτάσεις …………………...... 143

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ …………………………………………………….. 147

6

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ

Πίνακας 1

Συντελεστές συσχέτισης γνώσης ορισμού συνάρτησης με συνιστώσες

ικανότητας αναπαράστασης (διαγνωστικό τεστ) ……..........................

56

Πίνακας 2

Η μεταβολή της ικανότητας αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ

ανάλογα με τη γνώση του ορισμού της συνάρτησης (διαγνωστικό

τεστ) …………………………………………………………………..

57

Πίνακας 3

Συγκρίσεις της ικανότητας ΕΜΠ, ΚΜΠ, αναπαράστασης, μετάβασης

από μία αναπαράσταση σε μία άλλη και μαθηματικής επίδοσης

(διαγνωστικό τεστ) ……………………………………………………

59

Πίνακας 4

Λανθασμένες απαντήσεις στις ερωτήσεις του διαγνωστικού τεστ …...

61

Πίνακας 5

Συντελεστές συσχέτισης γνώσης ορισμού συνάρτησης με συνιστώσες

ικανότητας αναπαράστασης στο τελικό τεστ …………………………

76

Πίνακας 6

Η μεταβολή της ικανότητας αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ

ανάλογα με τη γνώση του ορισμού της συνάρτησης (τελικό τεστ) …..

77

Πίνακας 7

Συγκρίσεις της ικανότητας ΕΜΠ, ΚΜΠ, αναπαράστασης, μετάβασης

από μία αναπαράσταση σε μία άλλη και μαθηματικής επίδοσης

(τελικό τεστ) …………………………………………………………..

78

Πίνακας 8

Συγκρίσεις της γνώσης του ορισμού, της γραμμικής ως πρότυπο, της

ικανότητας αναπαράστασης, της ΕΜΠ και ΚΜΠ μεταξύ

διαγνωστικού και τελικού τεστ ……………………………………….

79

7

ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ

Διάγραμμα 1

Μη συνεχόμενη γραμμή που είναι συνάρτηση (έργο 3 i) ……

54


Παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ΄χ (έργο 3 ii) ………....

54


Μη συνεχόμενη γραμμή που δεν είναι συνάρτηση (έργο 3 iii)

54


Πίνακας τιμών συνάρτησης (έργο 3 iv ) ……………………..

54


Πίνακας τιμών όπου δύο χ αντιστοιχούν στο ίδιο ψ (έργο 3 v)

54


Πίνακας τιμών όπου το ίδιο χ αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά

ψ (έργο 3 vi) ……………………………………………….....

54


Διασκορπισμένα σημεία που αντιστοιχούν σε συνάρτηση

(έργο 3 vii) ……………………………………………………

55


Διασκορπισμένα σημεία που δεν αντιστοιχούν σε συνάρτηση

(έργο 3 viii) …………………………………………………...

55


Μετάβαση από τύπο σε πίνακα τιμών (έργο 4) ………………

55


Μετάβαση από γραφική παράσταση σε τύπο (έργο 5) ………

55


Μετάβαση από πίνακα τιμών σε τύπο (έργο 6 i) ……………..

55


Επίδοση των μαθητριών στο τεστ της 2ης φάσης της

διδακτικής παρέμβασης ………………………………………

68


Επίδοση των μαθητριών στο ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα

68


Συμβάντα κατά τη διάρκεια της παρέμβασης ………………..

69

8


Επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης στα δύο τεστ ..

80


Η γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο στα δύο τεστ …………..

81


Η ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα στον τύπο της

συνάρτησης στα δύο τεστ …………………………………….

81


Η ικανότητα ΚΜΠ στα δύο τεστ ……………………………..

81

9

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Έχει προκύψει από έρευνες ότι μαθητές που παρακολούθησαν ένα

παραδοσιακό Αναλυτικό Πρόγραμμα (Α.Π.) ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη

κατανόηση των συναρτήσεων και είχαν δυσκολίες και σημαντικές παρανοήσεις στην

έννοια της συνάρτησης. Διαπιστώθηκε επίσης, ότι τα κριτήρια στα οποία βασίζονται

οι μαθητές, για να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι, εξαρτώνται

περισσότερο από τυπικά παραδείγματα που λειτουργούν ως πρότυπα (prototypes) και

από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Αυτό

αποτελεί την αιτία πολλών παρανοήσεων.

Είναι αξιοσημείωτο ότι πολλοί ερευνητές θεωρούν ως βασικό στόχο της

εκπαίδευσης την ανάπτυξη της ευφυΐας του μαθητή, ένα στόχο που προωθείται μέσω

της επίλυσης μαθηματικού προβλήματος (ΕΜΠ). Επιπλέον, το ουσιαστικό

χαρακτηριστικό στην κατασκευή της μαθηματικής γνώσης είναι η δημιουργία

σχέσεων, πράγμα που αποτελεί αφετηρία για την ΕΜΠ. Έτσι, αφού οι συναρτήσεις

είναι τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις

μεταξύ μεταβλητών, τότε οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ.

Με βάση τις πιο πάνω παραδοχές διαμορφώθηκαν οι σκοποί της παρούσας

μελέτης που ήταν: Πρώτον, να εντοπίσει και να καταγράψει τις παρανοήσεις που

έχουν οι μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου στην Ελλάδα στην έννοια της συνάρτησης και

δεύτερον, να αναπτύξει και να εφαρμόσει πειραματικά μια διδακτική παρέμβαση με

βάση την ΕΜΠ, η οποία να συντελεί στην βελτίωση του επιπέδου κατανόησης της

έννοιας αυτής.

Στο πρώτο μέρος της έρευνας έγινε η διερεύνηση των παρανοήσεων μέσω

ενός διαγνωστικού τεστ, που δόθηκε απροειδοποίητα σε 48 μαθήτριες της Γ΄

Γυμνασίου ιδιωτικού σχολείου των Βορείων Προαστίων της Αττικής στην αρχή της

σχολικής χρονιάς. Στο δεύτερο μέρος, με βάση τα ευρήματα του διαγνωστικού τεστ,

σχεδιάστηκε και δοκιμάστηκε πειραματικά μία διδακτική παρέμβαση σε 49

μαθήτριες της Β΄ Γυμνασίου του ίδιου σχολείου, βασισμένη στη διδασκαλία μέσω

της ΕΜΠ. Η παρέμβαση κράτησε 15 διδακτικές περιόδους και εστιάστηκε στην

έννοια της συνάρτησης και σε ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων ψ=αχ, ψ=αχ+β και

ψ=α/χ. Το επόμενο σχολικό έτος χορηγήθηκε στις μαθήτριες που παρακολούθησαν

την διδακτική παρέμβαση το ίδιο τεστ με το διαγνωστικό, ώστε να ελεγχθεί η

10

επίδραση της παρέμβασης στην κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης.

Από το διαγνωστικό τεστ, διαπιστώθηκε ότι οι μαθήτριες της Γ΄ Γυμνασίου

δεν γνωρίζουν τον ορισμό της συνάρτησης και ότι η γραμμική συνάρτηση λειτουργεί

για αυτές ως πρότυπο. Προκειμένου να αναγνωρίσουν αν μία γραφική παράσταση ή

ένας πίνακας τιμών είναι ή όχι συνάρτηση δεν καταφεύγουν στον ορισμό, αλλά

αναφέρονται σε ιδιότητες της γραμμικής συνάρτησης και σε συσχετίσεις του τύπου

συνάρτηση-τύπος. Τέλος, η ικανότητά τους στην επίλυση και κατασκευή

μαθηματικού προβλήματος βρίσκεται σε ιδιαίτερα χαμηλό επίπεδο, ακόμα και των

μαθητριών με υψηλή επίδοση στα μαθηματικά.

Κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης ήταν φανερό ότι οι μαθήτριες

χρησιμοποιούσαν τη γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο. Ταυτόχρονα προέκυψε ότι

κατά την επίλυση προβλημάτων οι συμμετέχουσες έδιναν περισσότερη προσοχή στην

εφαρμογή αλγορίθμων και διαδικασιών και λιγότερο στην εννοιολογική κατανόηση.

Επιπλέον, στα πρωτότυπα προβλήματα οι μαθήτριες επιστράτευαν στρατηγικές

επίλυσης μαθηματικού προβλήματος, όπως η πινακοποίηση των δεδομένων, η

αναφορά σε ένα παλαιότερο παρόμοιο πρόβλημα και η διατύπωση και ο έλεγχος

εικασιών.

Τέλος, από το τελικό τεστ διαπιστώθηκε ότι οι μαθήτριες που διδάχθηκαν την

πειραματική παρέμβαση είχαν καλύτερη επίδοση σε όλα τα έργα, αλλά η διαφορά

δεν ήταν στατιστικά σημαντική, παρά μόνο στην ικανότητα ΕΜΠ. Παρατηρήθηκε

επίσης, βελτίωση στην ικανότητα ΚΜΠ. Η επίδοση των μαθητριών στην μετάβαση

από τον τύπο στον πίνακα τιμών ήταν σημαντικά υψηλότερη στο διαγνωστικό τεστ,

κάτι που πιθανόν αποτελεί ένδειξη ότι στις μαθήτριες που συμμετείχαν σε αυτό η

διαδικαστική γνώση υπερείχε της εννοιολογικής.

Η διδακτική παρέμβαση έδωσε στις μαθήτριες την δυνατότητα να εμπλακούν

ενεργητικά σε δραστηριότητες μάθησης και όχι να είναι απλοί δέκτες πληροφοριών.

Ωστόσο, η επίδραση της διδακτικής παρέμβασης δεν φάνηκε να είναι σημαντική.

Εικάζεται ότι δύο ήταν οι βασικές αιτίες: πρώτον, ότι οι μαθήτριες αντιμετώπισαν

την παρέμβαση σαν ένα ευχάριστο διάλειμμα από τα μαθήματά τους, αφού ήταν

δεδομένο πως δεν επρόκειτο να αξιολογηθούν και δεύτερον, ότι η εξοικείωση με

έναν τέτοιο τρόπο διδασκαλίας επέρχεται όταν εφαρμόζεται συστηματικά και όχι

αποσπασματικά.

11

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης έννοια του αναλυτικού

προγράμματος των σχολικών μαθηματικών. Η κατανόησή της σε βάθος είναι

αναγκαία προϋπόθεση για να μπορούν οι μαθητές να ανταποκριθούν με επιτυχία στις

απαιτήσεις της Άλγεβρας, της Ανάλυσης και του Απειροστικού Λογισμού

υψηλότερου επιπέδου, χρησιμοποιώντας τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις τους.

Παράλληλα, έρευνες έχουν δείξει ότι η ικανότητα επίλυσης μαθηματικού

προβλήματος (ΕΜΠ) συσχετίζεται θετικά με την κατανόηση των εννοιών. Η

παρούσα μελέτη εξέτασε τις παρανοήσεις που έχουν οι μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου

της Ελλάδας σχετικά με την έννοια της συνάρτησης, συσχέτισε τις παρανοήσεις που

εντοπίστηκαν με την ΕΜΠ και την ΚΜΠ και πρότεινε μέθοδο διδασκαλίας για την

αποφυγή των παρανοήσεων αυτών.

Εισαγωγή

Ο Eisenberg (αναφορά στον Hitt, 1998) δηλώνει ότι η ιδέα να βοηθήσουμε

τους μαθητές να αναπτύξουν την έννοια της συνάρτησης πρέπει να είναι ένας από

τους κύριους στόχους του Αναλυτικού Προγράμματος (Α.Π.). Η επιτυχία του στόχου

αυτού δεν είναι εύκολη, δεδομένης της ποικιλίας των αναπαραστάσεων που

σχετίζονται με την έννοια αυτή. Ένα πρώτο βήμα για την επίτευξη του στόχου αυτού

θα μπορούσε να είναι η πραγματοποίηση έρευνας με στόχο τη διερεύνηση των

παρανοήσεων και δυσκολιών αυτών, μέσω της εμπλοκής των μαθητών σε

προβληματικές καταστάσεις, που η επίλυσή τους στηρίζεται ή εμπλέκει την έννοια

της συνάρτησης. Με βάση τα αποτελέσματα μίας τέτοιας έρευνας θα μπορούσαμε να

οδηγηθούμε στην ανάπτυξη διδακτικών παρεμβάσεων που θα βοηθήσουν τους

μαθητές να ξεπεράσουν τις δυσκολίες αυτές. Σ’ αυτήν την προσπάθεια εντάσσεται

και η παρούσα έρευνα που επιδιώκει να εντοπίσει τα γνωστικά εμπόδια που

συναντούν οι μαθητές όταν διαπραγματεύονται την έννοια της συνάρτησης, πώς αυτά

τα εμπόδια επηρεάζουν την ικανότητά τους να επιλύουν αλλά και να κατασκευάζουν

μαθηματικά προβλήματα και αν η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ βοηθάει στην

12

υπέρβαση των εμποδίων αυτών. Τα μαθηματικά προβλήματα που δόθηκαν στους

μαθητές κατά τη διάρκεια της παρέμβασης, ήταν είτε προβλήματα που βρίσκονταν

στα σχολικά βιβλία (προβλήματα ρουτίνας), είτε προβλήματα τα οποία οι μαθητές

δεν έχουν αντιμετωπίσει πιο πριν (πρωτότυπα προβλήματα).

Η έννοια της συνάρτησης είναι ουσιαστική για την άλγεβρα και

συγκαταλέγεται ανάμεσα στις πιο σημαντικές έννοιες των μαθηματικών

(O’Callaghan, 1998). Οι συναρτήσεις εμφανίζονται με ποικίλες αναπαραστάσεις

όπως είναι οι ισότητες, οι πίνακες τιμών και οι γραφικές παραστάσεις (Fey, 1984).

Έρευνες με συμμετέχοντες μαθητές που παρακολούθησαν ένα παραδοσιακό Α.Π.

έδειξαν ότι οι μαθητές ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη κατανόηση των

συναρτήσεων (Dreyfus & Eisenberg, 1983).

Σύμφωνα με τους Artigue & Didirem (1997) τα κριτήρια που εφαρμόζουν οι

μαθητές ώστε να αποφανθούν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι εξαρτώνται


από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Έτσι,

το ίδιο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την

αναπαράστασή του. Έχει γίνει σημαντική συζήτηση σχετικά με τη διάκριση ανάμεσα

στην έννοια, έτσι όπως ορίζεται από τον τυπικό ορισμό και στην εικόνα της έννοιας,

έτσι όπως αναπαρίσταται στο νου του ατόμου ως αποτέλεσμα των διαδικασιών

μάθησης (Vinner, 1983).

Η Thompson (1985) ισχυρίζεται ότι στόχος της εκπαίδευσης είναι να

αναπτύξει την ευφυΐα μέσω της ΕΜΠ και ότι το ουσιαστικό χαρακτηριστικό στην

κατασκευή της μαθηματικής γνώσης είναι η δημιουργία σχέσεων. Το χαρακτηριστικό

αυτό είναι το σημείο αφετηρίας για την ΕΜΠ. Επεκτείνοντας τον ισχυρισμό αυτό ο

O’ Callaghan (1998) συμπεραίνει ότι αφού οι συναρτήσεις είναι τα μαθηματικά

εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις μεταξύ μεταβλητών,

τότε οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ. Οι Blake, Hurley & Arenz (1995)

ισχυρίζονται ότι η σκέψη που αναπτύσσουν τα παιδιά όταν έρχονται αντιμέτωπα με

ένα πρόβλημα καθώς και η εύρεση της λύσης του προβλήματος είναι πολύ

σημαντικότερη από τα παραδοσιακά μαθηματικά, όπου οι μαθητές μαθαίνουν να

υπολογίζουν και να απομνημονεύουν ανούσια πράγματα.

Οι Grabinger & Dunlap (2002) διαπίστωσαν ότι οι μαθητές μέσω της

13

παραδοσιακής μεθόδου διδασκαλίας δεν έχουν καταφέρει να αποκτήσουν την

ικανότητα να ρυθμίζουν ή να τροποποιούν τη γνωστική τους δραστηριότητα. Οι

μαθητές δεν μπορούν να οικοδομήσουν ή να αναπτύξουν τη μάθησή τους χωρίς να

γενικεύσουν κάτι μέσω της ενεργού εμπλοκής τους. Η λύση του προβλήματος,

καταλήγουν οι Grabinger & Dunlap (2002), δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργή

εμπλοκή.

Όμως, σύμφωνα με τον Polya (1957), ο λύτης δεν αρκεί να βρει την λύση του

προβλήματος, αλλά έχοντας μπροστά του τη λύση, είναι ωφέλιμο να διερευνήσει τη

μέθοδο που τον οδήγησε σε αυτή, να δει τη σκοπιμότητά της και να προσπαθήσει να

τη χρησιμοποιήσει για άλλα προβλήματα. Αν, λοιπόν, λάβουμε υπόψη και τον

ορισμό της ΚΜΠ του Silver (1994), ο οποίος αναφέρει ότι η ΚΜΠ περιλαμβάνει την

υποβολή νέων προβλημάτων και ερωτήσεων με στόχο την διερεύνηση μιας δοσμένης

κατάστασης, όπως και την αναδιατύπωση ενός προβλήματος κατά τη διάρκεια

επίλυσής του, συμπεραίνουμε ότι η ικανότητα ΕΜΠ σχετίζεται με την ικανότητα

ΚΜΠ. Η ΚΜΠ είναι μία σημαντική συνιστώσα του αναλυτικού προγράμματος των

μαθηματικών και πρέπει να είναι η καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας, όμως,

παρά τη συμβολή της στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, δεν της έχει δοθεί η

πρέπουσα προσοχή από τη μαθηματική κοινότητα (English,1997a). Τέλος, η ΚΜΠ

είναι ένα βήμα παραπάνω σε σχέση με την κατανόηση μιας έννοιας, αφού, σύμφωνα

με την English (1997b), συμβάλει στην ανακάλυψη πολλών στοιχείων σχετικών με

την κατανόηση και τις δεξιότητες του ατόμου που κατασκευάζει-υποβάλει το

πρόβλημα.

Σκοπός και ερευνητικά ερωτήματα

Στην Ελλάδα, η έννοια της συνάρτησης εισάγεται στην Β΄ Γυμνασίου μέσω

προβλημάτων αναλόγων ποσών. Στην ίδια τάξη γίνεται και η διαπραγμάτευση της

γραμμικής συνάρτησης και της συνάρτησης αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Είναι

χαρακτηριστικό ότι η γραμμική συνάρτηση ψ=αχ+β δεν αντιμετωπίζεται ως μία

συνάρτηση που παίρνει διαφορετικές μορφές, ανάλογα με τις τιμές των α και β, αλλά

αρχικά γίνεται η μελέτη της συνάρτησης ψ=αχ των αναλόγων ποσών και στη

συνέχεια, σε ξεχωριστή ενότητα, γίνεται η μελέτη της συνάρτησης ψ=αχ+β. Η μελέτη

αυτών των συναρτήσεων περιορίζεται στην κατασκευή του πίνακα τιμών και της

14

γραφικής παράστασης της κάθε συνάρτησης. Η συνάρτηση δευτέρου βαθμού

εισάγεται στην επόμενη τάξη, ενώ αναλυτική μελέτη των συναρτήσεων γίνεται στην

Α΄ Λυκείου.

Ο πρώτος σκοπός της έρευνας ήταν να εντοπίσει και αναλύσει τις δυσκολίες

που συναντούν μαθήτριες της Γ΄ Γυμνασίου ιδιωτικού σχολείου των Βορείων

Προαστίων της Αττικής στην έννοια της συνάρτησης και να συσχετίσει τις δυσκολίες

αυτές με την ικανότητά τους να επιλύουν και να κατασκευάζουν μαθηματικά

προβλήματα σχετικά με την έννοια αυτή. Ο απώτερος σκοπός της έρευνας ήταν να

αναπτύξει και εφαρμόσει σε μαθήτριες της Β΄ Γυμνασίου του ίδιου ιδιωτικού

σχολείου μία διδακτική παρέμβαση με βάση την ΕΜΠ. Κριτήριο επιτυχίας της

παρέμβασης θεωρήθηκε η βελτιωμένη επίδοση των υποκειμένων στο ίδιο δοκίμιο,

όταν στις αρχές της επόμενης σχολικής χρονιάς θα ήταν μαθήτριες της Γ΄

Γυμνασίου. Δηλαδή ο βαθμός στον οποίο θα αποφεύγονταν οι παρανοήσεις και τα

σφάλματα που διαπιστώθηκαν αρχικά. Ειδικότερα, τα ερευνητικά ερωτήματα της

έρευνας ήταν τα εξής:

1. Σε ποιο βαθμό οι μαθητές της Γ΄ τάξης του Γυμνασίου γνωρίζουν τον

ορισμό της έννοιας της συνάρτησης;

2. Πώς συσχετίζεται η γνώση του ορισμού της συνάρτησης με την ικανότητα

αναπαράστασης μίας συνάρτησης;

3. Υπάρχει σχέση ανάμεσα στο επίπεδο γνώσης του ορισμού της

συνάρτησης και στην ικανότητά αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ;

4. Όταν οι μαθητές μπορούν να αναπαραστήσουν μία συνάρτηση είναι σε

θέση να επιλύσουν και ένα σχετικό μαθηματικό πρόβλημα;

5. Σε ποιο βαθμό η γραμμική συνάρτηση αποτελεί πρότυπο για τους μαθητές

και πώς αυτό συσχετίζεται με την ΕΜΠ;

6. Μπορούν οι μαθητές να επιλύουν και να κατασκευάζουν μαθηματικά

προβλήματα; Η ικανότητα ΕΜΠ συσχετίζεται με την ικανότητα ΚΜΠ;

7. Η διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης μέσω της ΕΜΠ βοηθάει τους

μαθητές να κατανοήσουν τον ορισμό της συνάρτησης, να βελτιώσουν την

ικανότητα αναπαράστασης μίας συνάρτησης, να έχουν καλύτερη επίδοση

στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ και να μη χρησιμοποιούν την γραμμική

συνάρτηση ως πρότυπο;

15

Αναγκαιότητα – Σημαντικότητα της έρευνας

Παλαιότερες έρευνες έχουν αναδείξει τις δυσκολίες που συναντούν μαθητές

του Γυμνασίου, αλλά και πρωτοετείς φοιτητές, στην έννοια της συνάρτησης και

ειδικότερα όταν καλούνται να διαπραγματευτούν τις διαφορετικές αναπαραστάσεις

της έννοιας αυτής (Artigue & Didirem, 1997; O’Callaghan, 1998; Zachariades,

Christou & Papageorgiou, 2001). Δυσκολίες με την έννοια της συνάρτησης και τις

αναπαραστάσεις της φαίνονται να έχουν ακόμα και καθηγητές των μαθηματικών

μέσης εκπαίδευσης. Οι δυσκολίες αυτές, αφορούν τόσο στην κατανόηση των

διαφορετικών αναπαραστάσεων (Hitt, 1998), όσο και σε ότι έχει να κάνει με την

κατάλληλη οργάνωση της διδασκαλίας όταν καλούνται να την διδάξουν (Llinares,

2000). Όμως, από την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας φάνηκε ότι αυτές οι

παρανοήσεις-δυσκολίες σε λίγες έρευνες έχουν συσχετιστεί με την ΕΜΠ, και σχεδόν

καθόλου με την ΚΜΠ. Έτσι, θεωρήθηκε αναγκαίο, εφόσον οι προαναφερόμενες

δυσκολίες έχουν παρατηρηθεί είτε άτυπα, από τις εμπειρίες μάχιμων καθηγητών

μέσης εκπαίδευσης, είτε τυπικά, μέσα από έρευνες που έχουν πραγματοποιηθεί και

στον ελλαδικό χώρο, να συσχετιστούν με την ικανότητα των μαθητών Γυμνασίου

στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ.

Έχει παρατηρηθεί ότι τα μαθηματικά προβλήματα δυσκολεύουν τους

μαθητές, διότι δεν μπορούν να τα επιλύσουν αλγοριθμικά, πράγμα που έχουν

συνηθίσει να κάνουν σε άλλες ασκήσεις. Αν η δυσκολία αυτή συνδυαστεί με τον

ισχυρισμό ότι η Άλγεβρα είναι κατά κύριο λόγο η μελέτη μοτίβων και σχέσεων

(Thorton, 2001), τότε προβάλλει η ανάγκη να διερευνηθεί ο συσχετισμός των

δυσκολιών στην έννοια της συνάρτησης με την ικανότητα ΕΜΠ. Επιπλέον, είναι

ενδιαφέρον να διερευνηθεί σε τι επίπεδο η ΚΜΠ, ως μία ανώτερη νοητική

λειτουργία, μπορεί να φτάσει στους μαθητές Γυμνασίου.

Η παρατήρηση και διαπίστωση, όμως, κάποιων δυσκολιών δεν αρκεί για να

δώσει λύσεις. Η Cramer (2001) ισχυρίζεται ότι ανεξαρτήτως της ηλικίας των

μαθητών, τα μαθηματικά θα πρέπει να ενσωματωθούν σε προβλήματα που

περιλαμβάνουν συγκεκριμένα μοντέλα. Επίσης, συμπληρώνει ότι οι μαθητές θα

πρέπει αρχικά να μάθουν να χρησιμοποιούν μη τυπική μαθηματική γλώσσα για να

περιγράφουν μοτίβα και συναρτησιακές σχέσεις, πριν αρχίσουν να χρησιμοποιούν

την συμβολική-τυπική μαθηματική γλώσσα. Οι μαθητές θα πρέπει να αποκτήσουν

16

την ικανότητα να εντοπίζουν τις ομοιότητες και τις διαφορές αυτών των

προβλημάτων. Επομένως, θεωρήθηκε απαραίτητο να διερευνηθεί αν μία διδακτική

παρέμβαση για την έννοια της συνάρτησης, οργανωμένη με βάση την ΕΜΠ, που θα

εξοικειώνει τους μαθητές με το συναρτησιακό τρόπο σκέψης, βοηθάει τους μαθητές

να κατανοήσουν την έννοια της συνάρτησης χωρίς να τους οδηγεί σε παρανοήσεις,

κάνοντας ευκολότερη τη μετάβαση στα πιο τυπικά μαθηματικά.

Η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ εντάσσεται σύμφωνα με τους Grabinger &

Dunlap (2002) στα περιβάλλοντα ενεργού μάθησης, γνωστά ως REALs (Rich

Environments for Active Learning). Στα περιβάλλοντα αυτά χρησιμοποιούνται

διαδικασίες μάθησης που αντί απλώς να μεταφέρουν τη γνώση στους μαθητές, τους

εμπλέκουν σε μία συνεχή συνεργατική διαδικασία οικοδόμησης και ανασχηματισμού

της κατανόησης ως μίας φυσικής συνέπειας των εμπειριών τους και της

αλληλεπίδρασής τους με το περιβάλλον. Πιο συγκεκριμένα, η μάθηση μέσω της

επίλυσης προβλήματος είναι η μάθηση που αποκτιέται από την προσπάθεια

κατανόησης και ανάλυσης ενός προβλήματος.

Οι Grabinger & Dunlap (2002) αναφέρονται στην άποψη της Scardamalia και

των συνεργατών της, που πιστεύουν ότι οι παθητικοί και ανώριμοι μαθητές έχουν

συγκεκριμένα χαρακτηριστικά που τους εμποδίζουν στο να γίνουν επιδέξιοι λύτες

προβλημάτων. Ένα πρώτο χαρακτηριστικό είναι ότι οι μαθητές όταν καλούνται να

επιλύσουν προβλήματα, έχουν την τάση να σκέφτονται ενότητες των μαθηματικών

και όχι τους στόχους του προβλήματος και έτσι δεν μπορούν να διακρίνουν τη σχέση

της διαδικασίας μάθησης με τη ζωή τους. Πράγματι, συχνά διαπιστώνουμε ότι οι

μαθητές όταν τους δίνεται ένα πρόβλημα δεν σκέφτονται στρατηγικές επίλυσης του

προβλήματος, αλλά προσπαθούν να δουν αν όσα έχουν διδαχθεί στα πρόσφατα

μαθήματα μπορούν να εφαρμοστούν στο συγκεκριμένο πρόβλημα χωρίς να

προσπαθούν να κατανοήσουν το πρόβλημα αυτό. Ένα δεύτερο χαρακτηριστικό των

μαθητών είναι ότι εστιάζουν σε επιφανειακά χαρακτηριστικά ενός προβλήματος και

δεν εξετάζουν το πρόβλημα σε βάθος. Ο Greer (1997) υποστηρίζει ότι όταν τα παιδιά

απαντούν σε λεκτικά προβλήματα δεν λαμβάνουν υπόψη τους την κοινή λογική και

τις ευλογοφανείς ρεαλιστικές καταστάσεις, αλλά απαντούν επιφανειακά με λέξεις-

κλειδιά. Τρίτο χαρακτηριστικό αποτελεί το γεγονός ότι οι μαθητές σταματούν να

εργάζονται πάνω στο πρόβλημα μόλις το επιλύσουν, χωρίς να ανατρέξουν στα

βήματα επίλυσης που εφάρμοσαν και έτσι να βεβαιωθούν ότι το έχουν κατανοήσει.

17

Τέλος, θεωρούν ότι η μάθηση είναι αθροιστική και δεν επιδιώκουν να εμπλουτίσουν

και να μεταφέρουν την ήδη υπάρχουσα γνώση τους. Οι Vosniadou-Verschaffel

(2004) αναφέρουν σχετικά ότι η προϋπάρχουσα γνώση βάζει περιορισμούς στον

τρόπο με τον οποίο ερμηνεύουμε τις πληροφορίες. Αν προσπαθήσουμε να

κατανοήσουμε μία γνώση που είναι ριζικά διαφορετική από την προϋπάρχουσα

γνώση, τότε οδηγούμαστε σε παρανοήσεις. Έτσι, για να είναι σε θέση οι μαθητές να

αντικαταστήσουν την εικόνα της έννοιας που έχουν στο μυαλό τους με επιστημονικά

αποδεκτές απόψεις, θα πρέπει να νοιώσουν δυσαρέσκεια για τις ήδη υπάρχουσες

γνώσεις, οι νέες έννοιες να είναι κατανοητές και να εμφανιστούν αρχικά εύλογες.

Σύμφωνα με τους Grabinger & Dunlap (2002) η διδασκαλία μέσω της επίλυσης

προβλήματος εξαλείφει αυτές τις αδυναμίες, ενθαρρύνοντας την αυτοκατευθυνόμενη

μάθηση. Είναι αναγκαίο, λοιπόν, να διερευνηθεί αν μία τέτοιας μορφής διδασκαλία

συμβάλλει όντως στην εξάλειψη των παρανοήσεων και αδυναμιών.

Ο O’Callaghan (1998) συμφωνεί με την άποψη ότι η έννοια της συνάρτησης

είναι ‘‘το κλειδί της Δυτικής κουλτούρας’’ και συνεχίζει πως οι Harel & Dubinsky

(1992) θεωρούν ότι οι συναρτήσεις είναι κεντρικής σημασίας για τη διδακτική των

μαθηματικών. Επομένως, σύμφωνα με την Cramer (2001), από τη στιγμή που οι

μαθητές εισάγονται στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου, είναι καλό να έχουν

πολλαπλές εμπειρίες ανακάλυψης μοτίβων. Οι εμπειρίες αυτές θα τους βοηθήσουν

στο μέλλον να μεταπηδήσουν στη μελέτη της συνάρτησης (NCTM, 1989) και θα

κάνει πιο ομαλή τη μετάβαση από την Αριθμητική στην Άλγεβρα και στη συνέχεια

στην Ανάλυση.

Έχουν πραγματοποιηθεί αρκετές έρευνες με σκοπό τη διερεύνηση των

παρανοήσεων στην έννοια της συνάρτησης (Dreyfus & Eisenberg, 1983; Boers-van

Oosterum, 1990; Kieran, 1990; Schwarz & Dreyfus, 1995; Zachariades, Christou,&

Papageorgiou, 2001). Επίσης, υπάρχουν προτάσεις διδασκαλίας με στόχο να

ξεπεραστούν οι δυσκολίες που οι μαθητές συναντούν στην έννοια της συνάρτησης

(Haimes, 1996; Quinn, 1997; Llinares, 2000;Thomas, 2000; Cramer, 2001;

Manouchehri, 2001). Οι περισσότερες από τις προτάσεις αυτές, όμως, έχουν

εφαρμοστεί είτε σε λίγους μαθητές (μελέτη περίπτωσης), είτε ως ένα πρόγραμμα

ξεχωριστό από το ισχύον Αναλυτικό Πρόγραμμα.

Είναι γεγονός ότι όταν ο καθηγητής καλείται να διδάξει μαθηματικές έννοιες

όπως αυτή της συνάρτησης, βρίσκεται απέναντι σε ένα δίλημμα. Από τη μία μεριά,

18

σύμφωνα με τον Llinares (2000), η ανάγκη οι μαθητές να επιτύχουν μία σε βάθος

κατανόηση των μαθηματικών εννοιών, οδηγεί τον καθηγητή στο να υιοθετήσει μία

κατασκευαστική προσέγγιση στη μάθηση. Από την άλλη μεριά, ένα αναλυτικό

πρόγραμμα που στοχεύει στο χειρισμό διαδικασιών καθώς και η μεγάλη ποσότητα

της ύλης που πρέπει να καλυφθεί σε συγκεκριμένο χρόνο, οδηγούν τον καθηγητή

στην άποψη ότι δεν είναι αναγκαίο οι μαθητές να μάθουν το γιατί (know what-

εννοιολογική κατανόηση), αλλά να επικεντρωθούν περισσότερο στη διαδικαστική

γνώση (know how), δηλαδή στο να μάθουν οι μαθητές το πώς πρέπει να κάνουν κάτι,

χωρίς να ξέρουν το γιατί.

Θεωρήθηκε, λοιπόν, σημαντικό να διερευνηθεί αν η διδασκαλία της

συνάρτησης μέσω της επίλυσης προβλήματος μπορεί να εφαρμοστεί στις

πραγματικές συνθήκες του ελληνικού σχολείου και να συντελέσει στην κατανόηση

της έννοιας της συνάρτησης. Για να εξεταστεί, όμως, αν η διδασκαλία μέσω της

ΕΜΠ είναι καλύτερη από την παραδοσιακή διδασκαλία, δεν αρκεί η πειραματική

εφαρμογή μίας διδακτικής παρέμβασης, αλλά είναι αναγκαία και η εκτίμηση των

αποτελεσμάτων. Πιο συγκεκριμένα, πρέπει να εξεταστεί αν μετά από μία τέτοια

παρέμβαση, οι μαθητές έχουν κατανοήσει την έννοια της συνάρτησης, δεν έχουν την

γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο και είναι σε θέση να επιλύουν και να

κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα. Για να απαντηθούν τα πιο πάνω

ερωτήματα κρίθηκε αναγκαίο να αξιολογηθεί συγκριτικά το αποτέλεσμα της

διδακτικής παρέμβασης με ένα δοκίμιο.

Η παρούσα έρευνα επιχείρησε να εντοπίσει τις παρανοήσεις των μαθητών

στην έννοια της συνάρτησης, οι οποίες θεωρούνται σημαντικές για τη μετάβαση από

την Άλγεβρα στην Ανάλυση. Η διδασκαλία μέσω της επίλυσης μαθηματικού

προβλήματος είναι ένας τρόπος που συμβάλει στην αποφυγή των παρανοήσεων

αυτών, αφού εμπλέκει τους μαθητές στη διαδικασία της μάθησης και τους μετατρέπει

από απλούς δέκτες σε «δημιουργούς» της γνώσης. Έτσι, η έρευνα αυτή εξέτασε κατά

πόσον η μέθοδος διδασκαλίας επηρεάζει την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών

και αν η γνώση που αποκτούν παραμένει ενεργή σε βάθος χρόνου. Άλλοι παράγοντες

που θεωρείται ότι επηρεάζουν την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών όπως, οι

πεποιθήσεις των καθηγητών των μαθηματικών και τα συναισθήματα των παιδιών για

τα μαθηματικά αλλά και για τον διδάσκοντα, δεν εξετάστηκαν σε αυτή την έρευνα.

19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II

ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ

Περίληψη

Από την ανασκόπηση της βιβλιογραφίας φαίνεται ότι με τη διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης μέσω της ΕΜΠ είναι δυνατόν να επιτευχθεί τόσο η καλύτερη κατανόηση της έννοιας όσο και η ανάπτυξη της ικανότητας ΕΜΠ. Το συμπέρασμα αυτό προέκυψε από έρευνες που έχουν δείξει ότι σε ένα παραδοσιακό Α.Π. οι μαθητές ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη κατανόηση των συναρτήσεων, η εννοιολογική γνώση υπολειπόταν της διαδικαστικής και δεν μπορούσαν να εφαρμόσουν τη γνώση τους στην επίλυση προβληματικών καταστάσεων (Boers-van Oosterum, 1990; Kieran, 1990). Επίσης παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές είχαν δυσκολία στο να μεταβαίνουν από τη μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία άλλη και να αναγνωρίσουν κατά πόσο μία σχέση μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την αναπαράστασή της (Schwarz & Dreyfus, 1995; Artigue & Didirem, 1997). Ακόμα, ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών υποστηρίζουν ότι οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ και ότι η ΚΜΠ συμβάλει στην ανακάλυψη πολλών στοιχείων σχετικών με την κατανόηση και τις δεξιότητες του ατόμου που κατασκευάζει-υποβάλει το πρόβλημα (English, 1997; O’ Callaghan, 1998). Τέλος, οι Grabinger & Dunlap (2002) ισχυρίζονται ότι οι μαθητές δεν μπορούν να οικοδομήσουν ή να αναπτύξουν τη μάθησή τους χωρίς να γενικεύσουν κάτι μέσω της ενεργού εμπλοκής τους και καταλήγουν ότι η λύση προβλήματος δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργή εμπλοκή.

Στο κεφάλαιο αυτό συνοψίζονται τα αποτελέσματα ερευνών που αναφέρονται στην έννοια της συνάρτησης και τις δυσκολίες των μαθητών με την έννοια αυτή, τη θεωρία των προτύπων, την επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος και τη σχέση της με την έννοια της συνάρτησης, τη μάθηση μέσω της ΕΜΠ και την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία.

Η έννοια της συνάρτησης και οι δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές

Σύμφωνα με τον Youschkevitch (1977) οι απόψεις σχετικά με το πότε

ανακαλύφθηκε η έννοια της συνάρτησης ποικίλουν. Άλλοι θεωρούν τον Καρτέσιο ως

τον πρώτο που επινόησε την έννοια της συνάρτησης με την εισαγωγή των

συντεταγμένων, άλλοι πάλι επισημαίνουν σημεία συναρτησιακής σκέψης στα

μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων. Είναι γεγονός πάντως ότι ο κλασικός ορισμός

της συνάρτησης αποδίδεται είτε στον Dirichlet (1837), είτε στον Lobatchevsky

(1834), αν και αυτή η άποψη μπορεί να θεωρηθεί ανακριβής, αφού η γενική έννοια

της συνάρτησης ως σχέση μεταξύ δύο συνόλων διατυπώθηκε πολύ νωρίτερα, περί τα

20

μέσα του 18ου αιώνα.

Οι βασικές περίοδοι εξέλιξης της έννοιας της συνάρτησης μέχρι τα μέσα του

19ου αιώνα, είναι οι εξής (Youschkevitch, 1977, σελ. 39):

1. Αρχαιότητα: η περίοδος όπου η μελέτη συγκεκριμένων περιπτώσεων

αλληλεξάρτησης δύο ποσοτήτων δεν οδήγησε στις έννοιες των

μεταβλητών και των ποσοτήτων.

2. Μεσαίωνας: η περίοδος όπου αυτές οι γενικές έννοιες αρχικά

εκφράστηκαν γεωμετρικά και μηχανικά, αλλά κάθε συγκεκριμένη

περίπτωση αλληλεξάρτησης δύο ποσοτήτων ορίστηκε με προφορική

περιγραφή ή με ένα γράφημα, όχι πάντως με τύπο.

3. Η Μοντέρνα περίοδος: η περίοδος όπου άρχισαν να αναδύονται

αναλυτικές εκφράσεις των συναρτήσεων.

Φαίνεται ότι η μαθηματική σκέψη στην Αρχαιότητα, παρά το προχωρημένο

επίπεδο που είχε φτάσει σε πλείστους τομείς, δεν οδηγήθηκε σε μία γενική έννοια της

συνάρτησης. Είναι χαρακτηριστικό ότι στο πεδίο των εφαρμογών της εποχής, και

ιδιαίτερα στην αστρονομία, ο κύριος στόχος ήταν η πινακοποίηση των συναρτήσεων,

που τότε τις αντιλαμβάνονταν ως σχέσεις μεταξύ συνόλων. Ακόμα και στα τέλη του

16ου αιώνα μ.Χ. οι συναρτήσεις παριστάνονταν είτε προφορικά, είτε με γράφημα, είτε

με πίνακες τιμών. Η εισαγωγή του τύπου της συνάρτησης έγινε αργότερα και ήταν

μία επανάσταση για την εξέλιξη των μαθηματικών (Youschkevitch, 1977).

Ο Gerson (2008) υποστηρίζει ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ του μαθηματικού

ορισμού μίας έννοιας και του τρόπου με τον οποίο ένας μαθητής κατανοεί την έννοια

αυτή. Η εικόνα της έννοιας της συνάρτησης μπορεί να περιλαμβάνει τη διαδικασία

παραγωγής στοιχείων - «βάζεις έναν αριθμό και σου βγάζει κάποιον άλλο» ή ότι «αν

φέρεις κάθετη στον άξονα χ΄χ τέμνει τη γραφική παράσταση το πολύ σε ένα σημείο».

Μπορεί επίσης η έννοια της συνάρτησης για μερικούς μαθητές να ταυτίζεται με το

σύμβολο «f(χ)». Είναι πολύ πιθανό η εικόνα μίας έννοιας στο μυαλό του μαθητή να

μην περιλαμβάνει τον μαθηματικό ορισμό της έννοιας. Ο Gerson (2008) συνεχίζει

διατυπώνοντας την άποψη ότι οι μαθητές συχνά δυσκολεύονται κατά τη μετάβαση

από μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία άλλη. Είναι δε αξιοσημείωτο ότι,

ακόμα και όταν οι μαθητές μπορούν να μεταβούν με ευκολία από τη μία

αναπαράσταση στην άλλη, συχνά δυσκολεύονται να μεταφέρουν τις πληροφορίες

που έχουν από τη μία αναπαράσταση ως γνώση για μια άλλη αναπαράσταση. Για

21

παράδειγμα, στη γραμμική συνάρτηση ψ=αχ+β, ενώ οι μαθητές, όταν έχουν τον τύπο

αναφέρουν ότι το α αποτελεί την κλίση της ευθείας, ωστόσο δεν συσχετίζουν την

κλίση με την εφαπτομένη της γωνίας που η ευθεία, δηλαδή η γραφική παράσταση της

συνάρτησης, σχηματίζει με τον άξονα Οχ. Στην πραγματικότητα οι μαθητές

αντιμετωπίζουν τις αναπαραστάσεις μίας συνάρτησης ως ανεξάρτητες μεταξύ τους.

Ειδικότερα, οι μαθητές βρίσκουν δυσκολία στη μετάφραση της γραφικής

παράστασης μιας συνάρτησης και στη σύνδεσή της με άλλες αναπαραστάσεις της

συνάρτησης. Συχνά οι μαθητές βρίσκουν παρόμοιες δυσκολίες και στην

αναπαράσταση μιας συνάρτησης με πίνακα τιμών.

Σύμφωνα με την Sajka (2003) βασική αιτία, των δυσκολιών που οι μαθητές

συναντούν με την έννοια της συνάρτησης, είναι η διπλή της φύση. Η συνάρτηση

μπορεί να γίνει κατανοητή με δύο τρόπους. Ο ένας τρόπος είναι ως αντικείμενο και ο

άλλος ως διαδικασία. Για παράδειγμα, ο τύπος της συνάρτησης ψ=f(χ)=2χ+3 μας λέει

συγχρόνως δύο πράγματα: πρώτον, πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της

συνάρτησης (του ψ) για συγκεκριμένη τιμή του χ (διαδικασία) και δεύτερον,

περιλαμβάνει το σύνολο των ζευγών (χ, ψ) για ολόκληρο το πεδίο ορισμού της

συνάρτησης (αντικείμενο). Επίσης, η Sierpinska (1992) τονίζει ότι για την

κατανόηση της συνάρτησης χρειάζεται ευελιξία διότι, για παράδειγμα, το f(χ)

αντιπροσωπεύει και το όνομα μιας συνάρτησης, αλλά και την τιμή της συνάρτησης f.

Η ερμηνεία του συμβόλου αυτού εξαρτάται από το πλαίσιο μέσα στο οποίο

αναφέρεται και είναι κάτι που μπορεί να μπερδέψει τους αρχάριους μαθητές.

Πολλοί δάσκαλοι και ερευνητές ισχυρίζονται ότι ο ορισμός της συνάρτησης

ως σχέσης μεταξύ μεταβλητών είναι πιο ευκολονόητος για τους μαθητές, διότι

ανταποκρίνεται καλύτερα στη διαίσθησή τους για την συνάρτηση (Vinner & Dreyfus,

1989). Επιπλέον, η Sierpinska (1992) προτείνει σε πρώτο στάδιο οι συναρτήσεις να

παρουσιάζονται ως μοντέλα σχέσεων, αφού έτσι πρωτοεμφανίστηκαν στην ιστορία.

Κάτι τέτοιο βρίσκει σύμφωνη και την Sfard (1995) που ισχυρίζεται ότι αν

εξετάσουμε προσεκτικά τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές, θα παρατηρήσουμε

ότι σε κάποιο βαθμό η οντογένεση αναπαράγει τη φυλογένεση. Δηλαδή, οι δυσκολίες

που αντιμετωπίζει ένα άτομο στα διάφορα στάδια ανάπτυξης της γνώσης είναι

ανάλογες με εκείνες τις δυσκολίες που συνάντησαν οι πρώτοι δημιουργοί στη φάση

της αρχικής οικοδόμησης της γνώσης.

Οι πιο συνηθισμένες αναπαραστάσεις μιας συνάρτησης είναι με τύπο, με

22

πίνακα τιμών και με γραφική παράσταση (Fey, 1984). Οι μαθητές θα πρέπει να είναι

σε θέση να παριστάνουν τις συναρτήσεις και με τους τρεις αυτούς τρόπους, αλλά και

να μπορούν να μεταβαίνουν από τη μια αναπαράσταση στην άλλη (O’Callaghan,

1998). Έρευνες με συμμετέχοντες μαθητές που παρακολούθησαν ένα παραδοσιακό

Α.Π. έδειξαν ότι, εκτός του ότι οι μαθητές ανέπτυξαν μία πολύ περιορισμένη

κατανόηση των συναρτήσεων (Dreyfus & Eisenberg, 1983), επιπλέον η εννοιολογική

γνώση υπολειπόταν της διαδικαστικής (Boers-van Oosterum, 1990). Έτσι, οι

μαθητές δεν μπορούσαν να εφαρμόσουν τη γνώση τους στην επίλυση

προβληματικών καταστάσεων (Kieran, 1990). Επίσης, οι μαθητές φάνηκαν να έχουν

δυσκολία στο να μεταβαίνουν από τη μία αναπαράσταση της συνάρτησης σε μία

άλλη (Schwarz & Dreyfus, 1995).

Οι Artigue & Didirem (1997) θεωρούν ότι τα κριτήρια στα οποία βασίζονται

οι μαθητές ώστε να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι, διαφέρουν από

τον τυπικό ορισμό της έννοιας και αυτό ισχύει ακόμα και για μαθητές που φαίνεται

να γνωρίζουν τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Αυτά τα κριτήρια εξαρτώνται


από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη. Έτσι,

το ίδιο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με την

αναπαράστασή του.

Η θεωρία των προτύπων και η έννοια της συνάρτησης

Η Βοσνιάδου (2005) επισημαίνει ότι οι έννοιες είναι οργανωμένες σε

ευρύτερες εννοιολογικές δομές. Η πιο διαδεδομένη πρόταση σχετικά με τη φύση των

εννοιών, είναι γνωστή ως κλασική άποψη. Η θεωρία αυτή περιγράφει τις έννοιες ως

ένα σύνολο αναγκαίων και επαρκών καθοριστικών γνωρισμάτων, που ορίζουν σαφώς

ποιες περιπτώσεις ανήκουν σε μια δεδομένη εννοιολογική κατηγορία και ποιες όχι.

Όμως, συνεχίζει η Βοσνιάδου (2005), ο Wittgenstein (1958) έδειξε ότι σπάνια ένα

γνώρισμα ταιριάζει εξίσου καλά σε όλα τα μέλη μιας κατηγορίας. Έτσι, μια απόπειρα

να τροποποιηθεί η κλασική άποψη είναι «να θεωρήσουμε ότι οι έννοιες αποτελούνται

όχι από ορισμένα καθοριστικά γνωρίσματα, αλλά ότι οργανώνονται γύρω από

συγκεκριμένα πρότυπα ή υποδείγματα. Η θεωρία αυτή είναι γνωστή ως θεωρία των

προτύπων (Rosch, 1976)» (Βοσνιάδου, 2005). Σύμφωνα με τη θεωρία αυτή ένα

23

αντικείμενο κρίνεται αν ανήκει ή όχι σε μία κατηγορία, ανάλογα με την ομοιότητά

του με τα πρότυπα μέλη μιας κατηγορίας. Με βάση τη θεωρία αυτή, οδηγούμαστε

συχνά σε αντιφατικά συμπεράσματα, όπως για παράδειγμα ότι οι ελιές είναι φρούτα

γιατί έχουν κοινές ιδιότητες με τα μήλα και το μήλο είναι ένα πρότυπο της

κατηγορίας των φρούτων (Schwarz & Hershkowitz, 1999). Γεννάται λοιπόν το

ερώτημα: Πώς αποφασίζουμε τι είδους ομοιότητες είναι σημαντικές; Ωστόσο, οι

μαθηματικές έννοιες ορίζονται με τρόπο που δεν αφήνει τέτοια περιθώρια

αμφιβολίας. Το πρόβλημα εγείρεται στη φάση της εισαγωγής μιας έννοιας, μέχρι να

οδηγηθεί ο μαθητής στον τυπικό ορισμό.

Οι Schwarz & Hershkowitz (1999) ισχυρίζονται ότι παρόμοια ζητήματα

εγείρονται και στην περίπτωση της διδακτικής των μαθηματικών. Έχει γίνει

σημαντική συζήτηση σχετικά με τη διάκριση ανάμεσα στην έννοια, έτσι όπως

ορίζεται από τον τυπικό ορισμό και στην εικόνα της έννοιας, έτσι όπως

αναπαρίσταται στο νου του ατόμου ως αποτέλεσμα των διαδικασιών μάθησης

(Vinner, 1983). Πιο συγκεκριμένα, οι Vinner & Dreyfus (1989) βρήκαν ότι φοιτητές

του πανεπιστημίου, για να διακρίνουν αν μία γραφική παράσταση ή ένας τύπος είναι

συνάρτηση, δεν στηρίζονταν στον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Επίσης, κάποιες

ιδιότητες της γραμμικής συνάρτησης, αλλά και της συνάρτησης δευτέρου βαθμού

λειτουργούσαν ως πρότυπα. Είχαν ως σημείο αναφοράς την εικόνα της έννοιας αντί

του μαθηματικού ορισμού της. Έτσι, αφού οι μαθητές στηρίζονται στην εικόνα της

έννοιας ώστε να αποφασίσουν αν μία σχέση είναι ή όχι συνάρτηση, είναι πολύ

σημαντικό η εικόνα της έννοιας που θα αναπτύξουν να είναι πλούσια και ακριβής.

Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να επισημανθεί ότι σύμφωνα με το Α.Π. στην

Ελλάδα, η εισαγωγή στην έννοια της συνάρτησης στην Β΄ Γυμνασίου γίνεται κυρίως

μέσω της συνάρτησης των αναλόγων ποσών. Κάτι τέτοιο δημιουργεί το υπόβαθρο

ώστε οι μαθητές να δημιουργήσουν την εικόνα της έννοιας της συνάρτησης με βάση

τη συνάρτηση των αναλόγων ποσών.

Η επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος και η έννοια της

συνάρτησης

Η Thompson (1985) ισχυρίζεται ότι στόχος της εκπαίδευσης είναι να

αναπτύξει την ευφυΐα μέσω της ΕΜΠ και ότι το ουσιαστικό χαρακτηριστικό στην

24

κατασκευή της μαθηματικής γνώσης είναι η δημιουργία σχέσεων. Το χαρακτηριστικό

αυτό είναι το σημείο αφετηρίας για την ΕΜΠ. Επεκτείνοντας τον ισχυρισμό αυτό ο

O’ Callaghan (1998) συμπεραίνει ότι αφού οι συναρτήσεις είναι τα μαθηματικά

εργαλεία που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν σχέσεις μεταξύ μεταβλητών,

τότε οι συναρτήσεις είναι ο πυρήνας της ΕΜΠ.

Είναι γεγονός ότι λίγος διδακτικός χρόνος αφιερώνεται στη διδασκαλία ΕΜΠ,

με αποτέλεσμα, όπως σχολιάζουν οι Harskamp & Suhre (2006), οι μαθητές να έχουν

μεγάλη δυσκολία στην επίλυση πρωτότυπων προβλημάτων. Ερευνητές (Garofalo &

Lester, 1985; Schoenfeld, 1987; Van Streun, 2000) επισημαίνουν ότι η αποτυχία των

μαθητών στην ΕΜΠ δεν είναι συνήθως αποτέλεσμα έλλειψης μαθηματικής γνώσης,

αλλά συχνότερα είναι αποτέλεσμα αναποτελεσματικής χρήσης της μαθηματικής

γνώσης. Οι Harskamp & Suhre (2007) επίσης επισημαίνουν, ότι σύμφωνα με τον

Schoenfeld (1992) οι μαθητές χρειάζεται να μάθουν να θέτουν στόχους και να

αυτορυθμίζουν τη συμπεριφορά τους κατά τη διαδικασία επίλυσης προβλήματος,

ώστε με αυτό τον τρόπο να βελτιώσουν την ικανότητά τους στην επίλυση

πρωτότυπων μαθηματικών προβλημάτων, δηλαδή προβλημάτων τα οποία δεν

βρίσκονται στα σχολικά τους βιβλία.

Οι Blake, Hurley & Arenz (1995) ισχυρίζονται ότι η σκέψη που αναπτύσσουν

τα παιδιά όταν έρχονται αντιμέτωπα με ένα πρόβλημα καθώς και η εύρεση της λύσης

του προβλήματος είναι πολλή σημαντικότερη από τα παραδοσιακά μαθηματικά,

όπου οι μαθητές μαθαίνουν να υπολογίζουν και να απομνημονεύουν ανούσια

πράγματα. Συνεχίζοντας αναφέρουν ότι, σύμφωνα με τον Taylor (1995), τα

μαθηματικά βοηθούν στην κατανόηση εννοιών μέσω της μάθησης ΕΜΠ. Τότε τα

παιδιά επιτυγχάνουν σε δραστηριότητες μαθηματικής φύσης και κατανοούν τη

χρησιμότητα των μαθηματικών, ενώ συγχρόνως νοιώθουν ευχάριστα.

Οι Blake, Hurley & Arenz (1995) επισημαίνουν ότι τα παιδιά αντί να

χρησιμοποιούν προσχεδιασμένες μαθηματικές δραστηριότητες, μπορούν να

χρησιμοποιούν τη μαθηματική σκέψη ώστε να ανακαλύπτουν έννοιες μέσα στις

καθημερινές τους δραστηριότητες. Η εστίαση σε διαδικασίες ΕΜΠ μπορεί να

βοηθήσει τους μαθητές να συνδέσουν έννοιες και να δημιουργήσουν έτσι μία στερεή

βάση για το μέλλον σε σχέση με τη μάθηση των μαθηματικών. Η έμφαση σε τέτοιου

είδους δραστηριότητες αναπτύσσει την ικανότητα των παιδιών να κατανοούν και να

εφαρμόζουν μαθηματικές έννοιες και σε άλλες επιστήμες.

25

Σύμφωνα με την Bullock (1988), ένα σημαντικό αποτέλεσμα της εμπλοκής

των παιδιών σε προβληματικές καταστάσεις είναι ότι χρησιμοποιούν ενεργά το

μυαλό τους καθώς αναζητούν τις πιθανές απαντήσεις. Η Bullock (1988) επίσης

σημειώνει ότι τα παιδιά είναι ανάγκη να αναπτύξουν την ικανότητά τους στην ΕΜΠ

έτσι ώστε στο μέλλον να είναι σε θέση να χρησιμοποιήσουν τα πνευματικά τους

εργαλεία ώστε να λύνουν διαφόρων ειδών προβλήματα που θα αντιμετωπίσουν στη

ζωή τους, όπως προσωπικά, κοινωνικά και επαγγελματικά. Ο απώτερος στόχος είναι

να αναπτύξουν μία τέτοια στάση απέναντι στην ΕΜΠ ώστε να θέλουν να βρίσκουν,

να γενικεύουν και να επιλύουν προβλήματα. Αυτός πρέπει να είναι και ο στόχος της

εκπαίδευσης. Η Bullock (1988) τελειώνει επισημαίνοντας ότι η εμπλοκή των παιδιών

σε μία ποικιλία προβληματικών καταστάσεων, τους δίνει την ευκαιρία να δίνουν

απαντήσεις σε κάποιες περιπτώσεις που ανταποκρίνονται στο επίπεδό τους και στο

δικό τους ρυθμό μάθησης. Επίσης, μία τέτοιου είδους εμπλοκή κεντρίζει το

ενδιαφέρον των μαθητών, ενθαρρύνει την αναζήτηση και την επιμονή και επιπλέον

δίνει στους μαθητές την ευκαιρία να προσπαθούν συνεχώς, μαθαίνοντας έτσι ότι η

επανάληψη είναι απαραίτητη για την επιτυχία.

Οι Grabinger & Dunlap (2002) δηλώνουν ότι οι μαθητές μέσω της

παραδοσιακής μεθόδου διδασκαλίας δεν έχουν καταφέρει να αποκτήσουν την

ικανότητα να ρυθμίζουν ή να τροποποιούν τη γνωστική τους δραστηριότητα. Έχουν

μάθει κάποιες συγκεκριμένες στρατηγικές, όπως η απομνημόνευση, και τις

εφαρμόζουν σε κάθε περίσταση. Έρευνες, όμως, έχουν δείξει ότι η γνώση είναι πιο

πιθανόν να είναι ενεργή και χρήσιμη όταν αποκτιέται σε ένα περιβάλλον ΕΜΠ παρά

σε ένα περιβάλλον παραδοσιακής διδασκαλίας. Οι μαθητές δεν μπορούν να

οικοδομήσουν ή να αναπτύξουν τη μάθησή τους χωρίς να γενικεύσουν κάτι μέσω της

ενεργού εμπλοκής τους. Η λύση του προβλήματος, καταλήγουν οι Grabinger &

Dunlap (2002), δημιουργεί τις προϋποθέσεις για ενεργή εμπλοκή. Εξάλλου οι Elia,

Panaoura, Eracleous & Gagatsis (2006) επισημαίνουν ότι η κατανόηση μιας έννοιας

είναι στενά συνδεδεμένη με την ΕΜΠ, αφού έχει να κάνει με τις διαδικασίες που

χρησιμοποιούνται για την γενίκευση κάποιων απαντήσεων με στόχο τη μετατροπή

μίας κατάστασης ώστε να επιτευχθεί ένας στόχος ή να συμπληρωθεί ένα κενό.

Μία διαγραμματική αναπαράσταση της ΕΜΠ δίνει η Burton (1980) και

φαίνεται στο σχήμα 1. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η ΕΜΠ ως μέθοδος

διδασκαλίας στοχεύει στην μάθηση των μαθηματικών λαμβάνοντας υπόψη τις

26

ιδιαιτερότητες των μαθητών, προκαλώντας θετικά συναισθήματα στα παιδιά και

αναπτύσσοντας παράλληλα τις δεξιότητες και τις διαδικασίες ώστε ο μαθητής να

γίνει ικανός λύτης προβλημάτων.

Σχήμα 1

Προκαλεί θετικά

συναισθήματα στους

μαθητές Αναπτύσσει τις δεξιότητες και

διαδικασίες της ΕΜΠ

των Μαθηματικών

Η μάθηση

τις ιδιαιτερότητες των

μαθητών

Λαμβάνει υπόψη

Η ΕΜΠ ως μέθοδος

διδασκαλίας

Η Burton(1980), θέλοντας να υποστηρίξει τη διδασκαλία μέσω ΕΜΠ,

διακρίνει τη μάθηση σε τρεις τύπους. Ονομάζει μάθηση σχετικά με (learning about)

αυτή τη μάθηση που συνήθως επιτυγχάνεται στο σχολείο, όπου ο μαθητής είναι

δέκτης πληροφοριών. Δεύτερη ορίζει τη μάθηση να κάνω (learning to do) που έχει

στόχο την ανάπτυξη δεξιοτήτων. Όμως, η άποψη της ανακαλυπτικής μάθησης

υποστηρίζει ότι πάνω από τους προηγούμενους δύο τύπους μάθησης είναι ο τρίτος

τύπος μάθησης που είναι η βιωματική μάθηση (learning to be), όπου το παιδί

αναπτύσσει τη δομή της σκέψης του και επεκτείνει τις αξίες, τις στάσεις και τη

συμπεριφορά του προσαρμόζοντάς τις σε ένα πλαίσιο μοντέλων, πληροφοριών και

δεξιοτήτων που είναι διαθέσιμες. Αυτός ο τρίτος τύπος μάθησης αποκτιέται,

σύμφωνα με την Burton (1980), μέσω της παρατήρησης και της αλληλεπίδρασης,

δηλαδή μέσω της ΕΜΠ. Από τη μάθηση αυτή εξαρτώνται και οι άλλοι δύο τύποι

μάθησης. Είναι πεποίθηση της Burton ότι ένα ισχυρό κίνητρο για τη μάθηση είναι τα

παιδιά να βλέπουν τη σχέση που έχει η νέα γνώση και τη χρησιμότητά της όταν η

έννοια, η πληροφορία ή η δεξιότητα συνδυάζονται με τις δομές που ήδη έχουν στο

μυαλό τους. Ένας τέτοιος συνδυασμός επιτυγχάνεται σε μεγάλο βαθμό μέσω της

ΕΜΠ.

27

Η έννοια της συνάρτησης, όντας στενά συνδεδεμένη με την ΕΜΠ, σύμφωνα

με τον O’ Callaghan (1998) συνίσταται σε τέσσερις επιμέρους ικανότητες μέσω των

οποίων ελέγχεται το επίπεδο κατανόησης της έννοιας, που είναι οι εξής:

1. Μοντελοποίηση (modeling): η ικανότητα αναπαράστασης της

προβληματικής κατάστασης με τη χρήση συναρτήσεων.

2. Ερμηνεία (interpreting): η αντίστροφη διαδικασία κατά την οποία

ερμηνεύονται οι διαφορετικές αναπαραστάσεις των συναρτήσεων με

όρους πραγματικής ζωής.

3. Μεταφορά (translating): η ικανότητα μετάβασης από μία

αναπαράσταση σε μία άλλη.

4. Πραγμάτωση (reifying): η δημιουργία ενός νοητικού αντικειμένου το

οποίο τώρα πια αντιμετωπίζεται σαν μία ολότητα που έχει

συγκεκριμένες ιδιότητες και το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε

διαδικασίες ανώτερου επιπέδου.

Η πραγμάτωση θεωρείται ο τελικός στόχος της διδασκαλίας της συνάρτησης, αλλά

σύμφωνα με τη Sfard (1989) είναι μία πραγματικά δύσκολη διαδικασία που

εμπεριέχει μία τέτοιου επιπέδου κατανόηση της έννοιας που λίγοι μαθητές μπορούν

να επιτύχουν.

Οι Harskamp & Suhre (2006) δείχνουν τη συσχέτιση της κατανόησης της

συνάρτησης με την ικανότητα ΕΜΠ επισημαίνοντας ότι όταν εισάγονται οι

συναρτήσεις, οι περισσότεροι μαθητές μαθαίνουν να τις αντιμετωπίζουν ως κανόνες

που συνδέουν κάθε τιμή του χ με μία μόνο τιμή του ψ (Kieran, 1992). Σε αυτό το

επίπεδο οι μαθητές είναι σε θέση να φτιάξουν πίνακα τιμών της συνάρτησης.

Επιπλέον, προβλήματα που απαιτούν γνώση των συναρτήσεων σε αυτό το στάδιο

επιλύονται με τη χρήση πινάκων και τη στρατηγική δοκιμή και λάθος. Σε ένα

ανώτερο επίπεδο, οι μαθητές μαθαίνουν ότι οι γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων είναι πιο αποτελεσματικές όταν αναζητούν κάποια χαρακτηριστικά των

συναρτήσεων (π.χ. σημεία τομής με άξονες, μέγιστα ή ελάχιστα κ.α.). Μπορεί έτσι να

μάθουν ότι χρησιμοποιώντας ένα γράφημα μπορούν να λύσουν αρκετά πρακτικά

προβλήματα. Όταν, τέλος, κάποια προβλήματα το απαιτήσουν, οι μαθητές θα μάθουν

ότι χρειάζεται να εκτελέσουν αλγεβρικές πράξεις σε ισότητες και τύπους

συναρτήσεων. Σε αυτό το στάδιο οι μαθητές είναι ικανοί να λύσουν προβλήματα

αναλυτικά, χρησιμοποιώντας αλγόριθμους. Όμως, αυτό είναι ένα στάδιο στο οποίο

28

δεν φτάνουν όλοι οι μαθητές (Harskamp & Suhre, 2006), ενώ και αυτοί που φτάνουν

δεν εγκαταλείπουν τελείως τη χρήση των γραφημάτων και των πινάκων κατά την

ΕΜΠ. Η επιλογή των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων φαίνεται να εξαρτάται από τα

χαρακτηριστικά του προβλήματος.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι οι ικανότητες που, σύμφωνα με τον

O’Callaghan (1998), συνιστούν το μοντέλο της συνάρτησης, παρέχουν τις

κατάλληλες ευρετικές για την ΕΜΠ, αλλά και το αντίστροφο, δηλαδή κατάλληλα

προβλήματα μπορούν να οδηγήσουν σε λύσεις που απαιτούν μία ανώτερη κατανόηση

της έννοιας της συνάρτησης και άρα στην ανακάλυψη της γνώσης. Μέσα από αυτή

την αμφίδρομη σχέση μοντέλου συνάρτησης και ΕΜΠ φαίνεται πως είναι δυνατόν να

επιτευχθεί τόσο η καλύτερη κατανόηση της έννοιας όσο και η ανάπτυξη της

ικανότητας ΕΜΠ.

Η σημαντικότητα της ΕΜΠ ως μέσου για τη διδασκαλία των μαθηματικών

είναι εμφανής. Ο Polya (1957) αναλύοντας τα στάδια επίλυσης μαθηματικού

προβλήματος, ανάμεσα στις ευρετικές που προτείνει αναφέρει και την εύρεση ενός

βοηθητικού προβλήματος, που είναι ένα πρόβλημα που θεωρεί ο λύτης με στόχο όχι

τη λύση του, αλλά την εξέτασή του, η οποία ελπίζει να τον οδηγήσει στη λύση του

αρχικού προβλήματος. Το αρχικό πρόβλημα αποτελεί το στόχο, ενώ το βοηθητικό

αποτελεί ένα μέσο για να φτάσουμε σε αυτόν το στόχο. Η επινόηση ενός βοηθητικού

προβλήματος, που γίνεται όταν το αρχικό μοιάζει άλυτο, αποτελεί μία σημαντική

νοητική διεργασία. Η όλη διαδικασία της επινόησης ενός καθαρά νέου προβλήματος

που υποβοηθά την επίλυση ενός άλλου προβλήματος, καθώς και η θεώρηση ενός

στόχου, που ουσιαστικά είναι μέσο για έναν άλλο στόχο, αποτελούν ένα υψηλό

επίτευγμα της νόησης. Όμως, σύμφωνα με τον Polya (1957), ο λύτης δεν αρκεί να

βρει την λύση του προβλήματος, αλλά έχοντας μπροστά του τη λύση, είναι ωφέλιμο

να διερευνήσει τη μέθοδο που τον οδήγησε σε αυτή, να δει τη σκοπιμότητά της και

να προσπαθήσει να τη χρησιμοποιήσει για άλλα προβλήματα. Τότε μπορεί να

ανακαλύψει καινούρια και ενδιαφέροντα πράγματα. Η ανασκόπηση και διερεύνηση

της λύσης, που ο Polya θεωρεί ως τέταρτο στάδιο της διαδικασίας ΕΜΠ, βοηθάει τον

λύτη να αποκτήσει μία καλά οργανωμένη γνώση, έτοιμη να την χρησιμοποιήσει και

να αναπτύξει την ικανότητα ΕΜΠ (Πατρώνης, 1998). Παραλληλίζοντας όλα τα

παραπάνω με τον ορισμό που σύμφωνα με την English (1997b) δίνει ο Silver (1994)

για την ΚΜΠ, συμπεραίνουμε ότι η ικανότητα ΕΜΠ συσχετίζεται άμεσα με την

29

ΚΜΠ. Ο Silver (1994) αναφέρει ότι η ΚΜΠ περιλαμβάνει την υποβολή νέων

προβλημάτων και ερωτήσεων με στόχο την διερεύνηση μιας δοσμένης κατάστασης,

όπως και την αναδιατύπωση ενός προβλήματος κατά τη διάρκεια επίλυσής του. Η

ΚΜΠ μπορεί να συμβεί πριν, κατά την διάρκεια και μετά την επίλυση ενός

προβλήματος.

Η ικανότητα κατασκευής μαθηματικού προβλήματος έχει διαπιστωθεί ότι έχει

θετική συσχέτιση με τη μαθηματική ικανότητα (English, 1998; Leug & Silver, 1997).

Από τη μία, η ΚΜΠ οδηγεί προς τις διαδικασίες ΕΜΠ, όπως η επισήμανση των

βασικών στοιχείων ενός προβλήματος και πώς αυτά σχετίζονται μεταξύ τους και με

το σκοπό του προβλήματος, ενώ από την άλλη, η ΚΜΠ οδηγεί τα παιδιά πέρα από τις

παραμέτρους της διαδικασίας επίλυσης. Για παράδειγμα, η ΚΜΠ μπορεί να ωθήσει

τα παιδιά στο να θέτουν ερωτήσεις σχετικά με την προέλευση των ιδεών ενός

προβλήματος ή στο να αναρωτιούνται τι άλλα προβλήματα μπορεί να προκύψουν αν

τα στοιχεία του προβλήματος τροποποιηθούν ή επεκταθούν (English, 1997b).

Σύμφωνα με την English (1997b) η ΚΜΠ κινητοποιεί τους μαθητές ώστε να

διερευνήσουν προβληματικές καταστάσεις και να αναζητήσουν λύσεις που τους

ικανοποιούν προσωπικά. Πιο συγκεκριμένα, η ΚΜΠ μπορεί:

• Να διεγείρει την περιέργεια και να προκαλέσει μεγαλύτερη ευρύτητα και

ευελιξία της σκέψης.

• Να ενθαρρύνει τα παιδιά να αναλάβουν μεγαλύτερη ευθύνη για τη

μάθησή τους.

• Να βοηθήσει δασκάλους και μαθητές να βρίσκονται σε μεγαλύτερη

ετοιμότητα όσο αφορά τις παρανοήσεις.

• Να αυξήσει την ικανότητα ΕΜΠ και παράλληλα να εμπλουτίσει τις

βασικές έννοιες.

• Να απαλείψει λανθασμένες απόψεις για τα μαθηματικά.

• Να διαλύσει τους φόβους και το άγχος για τα μαθηματικά (Brown &

Walter, 1993; Silver, 1994).

Τα τελευταία χρόνια επικρατεί η αντίληψη ότι πρέπει να μάθουμε τους

μαθητές μας να λειτουργούν ως μαθηματικοί (NCTM, 2000). Για να κατανοήσουμε

τι σημαίνει αυτό, πρέπει να απαντήσουμε στο ερώτημα: ‘‘Τι κάνουν οι

μαθηματικοί;’’. Η Manouchehri (2001) απαντά πως οι μαθηματικοί παρατηρούν

30

φαινόμενα, αναζητούν μοτίβα, διατυπώνουν εικασίες σχετικά με ό,τι παρατήρησαν

και προσπαθούν να απαντήσουν τις ερωτήσεις αυτές. Αυτή η πορεία της σκέψης

είναι παράλληλη με την πορεία της σκέψης του μαθητή όταν εμπλέκεται στην

επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι για

να επιτευχθεί ο στόχος, δηλαδή οι μαθητές να ενεργούν ως μαθηματικοί, το μέσο

είναι η κατασκευή και επίλυση μαθηματικού προβλήματος.

Η ΚΜΠ είναι μία σημαντική συνιστώσα του αναλυτικού προγράμματος των

μαθηματικών και πρέπει να είναι η καρδιά της μαθηματικής δραστηριότητας. Παρά

τη συμβολή της, όμως, στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης, δεν της έχει δοθεί η

πρέπουσα προσοχή από τη μαθηματική κοινότητα (English, 1997a). Η Verzoni

(1997) επισημαίνει ότι τα αποτελέσματα μιας παλαιότερης έρευνάς της (Verzoni,

1996) δείχνουν ότι όταν οι μαθητές έχουν προηγούμενη εμπειρία στη χρήση εννοιών

και δεξιοτήτων για τη δημιουργία δικών τους προβλημάτων, τότε αυξάνεται η

ικανότητά τους στην επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων. Άρα, συμπεραίνει, η ΚΜΠ

είναι μία δραστηριότητα που αυξάνει την ικανότητα ΕΜΠ και ενισχύει τη σχέση

μεταξύ των σχολικών μαθηματικών με τα μαθηματικά έξω από το σχολείο.

Η ΚΜΠ είναι ένα βήμα παραπάνω σε σχέση με την κατανόηση μιας έννοιας,

αφού, σύμφωνα με την English (1997b), συμβάλει στην ανακάλυψη πολλών

στοιχείων σχετικών με την κατανόηση και τις δεξιότητες του ατόμου που

κατασκευάζει-υποβάλει το πρόβλημα.

Η Μάθηση μέσω της ΕΜΠ

Σύμφωνα με τους Grabinger & Dunlap (2002) η μάθηση με βάση την ΕΜΠ

(Problem-Based Learning, PBL) είναι το αποτέλεσμα των διεργασιών που γίνονται

όταν οι μαθητές προσπαθούν να κατανοήσουν και να επιλύσουν ένα πρόβλημα.

Αναφέρουν επίσης πως έχει παρατηρηθεί ότι η γνώση είναι πιο ενεργή και

χρησιμοποιείται πιο άμεσα, όταν αποκτιέται μέσα σε ένα περιβάλλον ΕΜΠ. Η PBL

εξασφαλίζοντας την ενεργό εμπλοκή των μαθητών, οδηγεί στην οικοδόμηση της

γνώσης. Οι μαθητές έχουν συγκεκριμένα χαρακτηριστικά που τους εμποδίζουν να

γίνουν επιδέξιοι λύτες προβλημάτων. Πρώτον, έχουν την τάση να οργανώνουν τις

νοητικές τους λειτουργίες γύρω από θέματα, παρά από στόχους, με αποτέλεσμα να

μην είναι σε θέση να δουν τη σχέση της γνώσης που αποκτούν με τη ζωή τους.

31

Δεύτερον, έχουν την τάση να εστιάζουν την προσοχή τους σε επιφανειακά

χαρακτηριστικά, χωρίς να εξετάζουν το δοθέν ζήτημα σε βάθος. Τρίτον, συνηθίζουν

να εργάζονται μέχρι το πρόβλημα να λυθεί και όχι μέχρι να το κατανοήσουν. Δεν

αφιερώνουν χρόνο ώστε να εξετάσουν την ποιότητα της δουλειάς τους, ούτε για να

κάνουν αναδρομή στη λύση που βρήκαν ή στις στρατηγικές που εφάρμοσαν. Όταν το

πρόβλημα λυθεί, ξεχνούν οτιδήποτε έχει μαθευτεί κατά τη διάρκεια επίλυσής του.

Τέλος, αντιμετωπίζουν τη μάθηση με προσθετικό τρόπο και όχι ως εμπλουτισμό των

ήδη υπαρχόντων γνωστικών τους δομών. Οι Grabinger & Dunlap (2002) θεωρούν ότι

η PBL προσπαθεί να εξαλείψει αυτές τις αδυναμίες των μαθητών.

Ένα στοιχείο-κλειδί της PBL είναι η αυτοκατευθυνόμενη μάθηση. Η ΕΜΠ

ξεκινάει με συζήτηση ανά ομάδες. Σ’ αυτή τη συζήτηση, οι μαθητές αναφέρουν

υποθετικές λύσεις, επισημαίνουν αυτά που γνωρίζουν καθώς και εκείνα που δεν

γνωρίζουν. Όσα οι μαθητές δεν γνωρίζουν είναι αυτά που διαμορφώνουν τη βάση

των ζητημάτων που θα μαθευτούν. Στη συνέχεια, η ομάδα αναπτύσσει ένα σχέδιο

ώστε να επιλυθούν αυτά που δεν γνωρίζουν. Η φάση αυτή εμπεριέχει την λεγόμενη

αυτοκατευθυνόμενη μάθηση, όπου κάθε μέλος της ομάδας είναι υπεύθυνο για την

αναζήτηση στοιχείων σχετικά με ένα ή περισσότερα από τα άγνωστα ζητήματα.

Μετά από την αναζήτηση αυτή, κάθε μέλος της ομάδας αναφέρει αυτά που έχει βρει

και γίνεται συζήτηση σχετικά με το πώς αυτά εφαρμόζονται στο πρόβλημα και πώς

επηρεάζουν τις αρχικές τους υποθέσεις. Η PBL αναγκάζει τους μαθητές να

αναστοχάζονται πάνω σε ότι μαθαίνουν.

Ένας άλλος στόχος της PBL είναι η ανάπτυξη μεταγνωστικών δεξιοτήτων. Οι

δεξιότητες αυτές περιλαμβάνουν το συνειδητό έλεγχο της μάθησης, το σχεδιασμό και

την επιλογή στρατηγικών, την παρακολούθηση της ανάπτυξης της γνώσης, τη

διόρθωση των λαθών, την ανάλυση της αποτελεσματικότητας των στρατηγικών και

την αλλαγή των στρατηγικών όταν αυτό είναι απαραίτητο. Είναι γεγονός ότι οι

μαθητές δεν έχουν την ικανότητα να κατευθύνουν τη γνωστική τους δραστηριότητα

και μάλλον έχουν μάθει μόνο την στρατηγική της απομνημόνευσης, με αποτέλεσμα

να προσκολλώνται σε αυτήν σε όλες τις περιπτώσεις.

Οι Schroeder and Lester (1989) όταν αναφέρονται στην διδασκαλία εννοιών

μέσω της ΕΜΠ διακρίνουν τρία είδη διδασκαλίας ΕΜΠ. Τα είδη αυτά είναι:

• Teaching for problem solving (διδασκαλία με στόχο την ΕΜΠ) όπου η

διδασκαλία των εννοιών γίνεται με τον παραδοσιακό δασκαλοκεντρικό

32

τρόπο και τα προβλήματα ανατίθενται στους μαθητές με στόχο την

εξάσκησή τους στις γνώσεις που ήδη έχουν αποκτήσει.

• Teaching about problem solving (διδασκαλία σχετικά με την ΕΜΠ), όπου

οι καθηγητές ενημερώνονται σχετικά με την έννοια της ΕΜΠ, και

• Teaching via problem solving (διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ), όπου η ΕΜΠ

είναι το μέσο διδασκαλίας και μέσα από την επίλυση ενός προβλήματος

ανακαλύπτονται οι νέες έννοιες-γνώσεις.

Οι Fai Ho & Hedberg (2005) ισχυρίζονται ότι για να επιτευχθεί η διδασκαλία

μέσω της ΕΜΠ (teaching via problem solving) θα πρέπει να προηγηθεί η ενημέρωση

σχετικά με το τι σημαίνει επίλυση μαθηματικού προβλήματος. Μία τέτοια

ενημέρωση των διδασκόντων θα βοηθήσει ώστε στο μέλλον να επιτευχθεί ο στόχος

που είναι η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ και οι μαθητές να μαθαίνουν, ή καλύτερα, να

ανακαλύπτουν τη γνώση μέσα σε ένα περιβάλλον PBL.

Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία

Έρευνες έχουν δείξει ότι ένα από τα χαρακτηριστικά της διαδικασίας

απόκτησης της (μαθηματικής) γνώσης είναι ότι «η διαδικασία κατασκευής της

γνώσης δεν είναι μια καθαρά ατομική γνωστική διαδικασία, αλλά βρίσκεται κάτω

από την επίδραση (θετική ή αρνητική) εσωτερικών και εξωτερικών παραγόντων.

Εσωτερικά επηρεάζεται από την ήδη υπάρχουσα γνώση και εξωτερικά από άλλα

άτομα ή κοινωνικό-πολιτιστικούς παράγοντες. Σύμφωνα με τον Vygotsky, το παιδί

μπορεί να κάνει περισσότερα στα πλαίσια της ομάδας ή κάτω από την καθοδήγηση

ενός ενήλικα, παρ’ ότι μόνο του. Η ομάδα προσφέρει την ευκαιρία να ακουστούν

πρωτότυπες ιδέες και να δημιουργηθούν καταστάσεις γόνιμης αντιπαράθεσης»

(Κολέζα, 2000, σελ. 64-65). [η υπογράμμιση δική μου].

Η παραπάνω έμφαση σκοπό έχει να αναδείξει το πρόβλημα εφαρμογής της

λεγόμενης «ομαδοσυνεργατικής διδασκαλίας» στα ελληνικά σχολεία στα οποία οι

μαθητές φαίνεται ότι δεν είναι εξοικειωμένοι με την εργασία σε ομάδες. Έτσι, όταν

εισάγονται σε αυτόν τον τρόπο διδασκαλίας υπάρχουν πιθανότητες δημιουργίας μη

γόνιμων αντιπαραθέσεων. Οι αντιπαραθέσεις αυτές αποπροσανατολίζουν τους

μαθητές από το στόχο του μαθήματος, και αναδεικνύουν τους λεγόμενους μαθητές

«υψηλών ρόλων» που περιθωριοποιούν τους λιγότερο ενεργούς-ικανούς μαθητές. Σε

33

αυτές τις περιπτώσεις είναι ουσιαστική η παρέμβαση του καθηγητή, που γίνεται

ευκολότερη και αποτελεσματικότερη όταν οι ομάδες είναι λίγων ατόμων (κατά

προτίμηση δύο), οπότε οι παραπάνω πιθανότητες μειώνονται. Επιπλέον, αν οι ομάδες

εργασίας είναι της επιλογής των μαθητών, με τη διακριτική παρέμβαση του

καθηγητή, υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα ισότιμης λειτουργίας των μελών της

ομάδας μέσα σε αυτή κατά τη διάρκεια των δραστηριοτήτων. Όλα τα παραπάνω,

φυσικά, κρίνονται και επικυρώνονται από τον ίδιο το διδάσκοντα που είναι ο μόνος

που γνωρίζει τη δυναμικότητα και τις δυνατότητες των μαθητών του.

Είναι επίσης χρήσιμο να επισημάνουμε ότι σε ένα από τα βιβλία του

Ιδρύματος Nuffield1 με τίτλο «Κάνω και καταλαβαίνω» τονίζεται ότι κάποια στιγμή

ο άνθρωπος έπρεπε να κάνει ένα βήμα πέρα από τις απλές εκτελέσεις πράξεων.

Έπρεπε να αλλάξει η προσέγγιση των Μαθηματικών και η μάθηση από παθητική να

γίνει ενεργητική. Το Ίδρυμα Nuffield στηρίχτηκε στα δεδομένα της επιστήμης

(ιδιαίτερα του Piaget), στην πείρα των εκπαιδευτικών και στα αποτελέσματα που

έδωσαν οι πειραματικές εφαρμογές προγραμμάτων. Τα πορίσματα που βγήκαν από

την πολύπλευρη αυτή έρευνα επιβεβαιώνουν για μια ακόμα φορά ότι για να μάθει το

παιδί πρέπει να συμμετέχει στη διδασκαλία ενεργά και με τρόπο φυσικό. Το παιδί

δηλαδή παρατηρεί, πειραματίζεται, χρησιμοποιεί τον προφορικό και το γραπτό λόγο,

σχέδια και γραφικές παραστάσεις και επικοινωνεί με τους άλλους, είτε

συνομηλίκους-συμμαθητές είτε ενήλικους-καθηγητές.

Από όλα τα παραπάνω συμπεραίνουμε, ότι ο διδάσκων πρέπει να αναζητήσει

αντικείμενα για δημιουργική δουλειά μέσα στην τάξη που θα προκαλέσουν το

ενδιαφέρον των μαθητών και δεν θα τους απωθήσουν λόγω της δυσκολίας τους.

Τέτοια αντικείμενα προσφέρουν το περιβάλλον, οι καταστάσεις και τα γεγονότα της

καθημερινής ζωής. Το σχέδιο Nuffield τονίζει το ρόλο του καθηγητή που τίποτα δεν

μπορεί να τον αντικαταστήσει. Γιατί ο καθηγητής είναι εκείνος που θα βοηθήσει τα

παιδιά να οξύνουν την παρατηρητικότητά τους και να αντιληφθούν τις δυνατότητες

μελέτης που τους προσφέρουν και τα πιο κοινά πράγματα, γεγονότα και καταστάσεις.

Ο καθηγητής θα δημιουργήσει τον πειραματικό εξοπλισμό του σχολείου και θα

1 Το σχέδιο του ιδρύματος Nuffield για τα Μαθηματικά είχε σκοπό να δημιουργήσει πρόγραμμα και

ύλη για τη διδαχή τους σε παιδιά 5-13 χρονών. Συστηματική εφαρμογή του σχεδίου Nuffield για τα

Μαθηματικά άρχισε στη Μεγάλη Βρετανία τη δεκαετία του ’70.

34

προκαλέσει τη διάθεση εξερεύνησης των παιδιών. Ο καθηγητής θα μυήσει τα παιδιά

στο πως θα αντιλαμβάνονται αυτά που συμβαίνουν έξω από το σχολείο, στο σπίτι,

στο δρόμο, στη γειτονιά, στα θεάματα, στα διαβάσματά τους, στη φύση. Και γενικά

ο καθηγητής, με το έργο και τη στάση του, θα ωθήσει τα παιδιά να θέλουν να

μαθαίνουν.

Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω, στην παρούσα έρευνα

αρχικά διερευνήθηκε κατά πόσον η γνώση του τυπικού ορισμού της συνάρτησης

συσχετίζεται με την ικανότητα των μαθητών να αναπαριστούν μία συνάρτηση. Έχει

επίσης ελεγχθεί κατά πόσο η γραμμική συνάρτηση λειτουργεί ως πρότυπο κατά την

ΕΜΠ και πώς η ικανότητα αναπαράστασης των συναρτήσεων σχετίζεται με την

ΕΜΠ. Τέλος, έγινε συσχετισμός της ικανότητας ΕΜΠ με την ικανότητα ΚΜΠ.

Γνώση τυπικού ορισμού συνάρτησης

Η γραμμική συνάρτηση ως

πρότυπο

Ικανότητα αναπαράστασης συναρτήσεων

Ικανότητα ΕΜΠ

Ικανότητα ΚΜΠ

Στη συνέχεια, εφαρμόστηκε πειραματικά ένας νέος τρόπος διδασκαλίας της

έννοιας της συνάρτησης, που στηρίχθηκε στην διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ, και τέλος

διερευνήθηκε η επίδραση αυτής της μεθόδου διδασκαλίας στην κατανόηση της

έννοιας της συνάρτησης.

Εννοιολογικοί ορισμοί

Με βάση την θεωρία των προτύπων οι έννοιες δεν αποτελούνται από

ορισμένα καθοριστικά γνωρίσματα, αλλά οργανώνονται γύρω από συγκεκριμένα

πρότυπα ή υποδείγματα. Έτσι, ένα αντικείμενο κρίνεται αν ανήκει ή όχι σε μία

κατηγορία, ανάλογα με την ομοιότητά του με τα πρότυπα μέλη μιας κατηγορίας.

Λέμε, λοιπόν, ότι η γραμμική συνάρτηση αποτελεί πρότυπο για την κατηγορία των

συναρτήσεων όταν μία σχέση κρίνεται αν είναι ή όχι συνάρτηση, ανάλογα με το αν

35

έχει ή όχι κοινά χαρακτηριστικά με τη γραμμική συνάρτηση.

Ως ικανότητα αναπαράστασης συναρτήσεων εννοούμε την ικανότητα

ερμηνείας πίνακα τιμών, γραφικής παράστασης και τύπου μίας συνάρτησης, αλλά και

την ικανότητα μετάβασης από την μία αναπαράσταση στην άλλη.

Πρόβλημα έχουμε όταν μας απασχολεί ένα ερώτημα ή θέλουμε να πάμε από

μία κατάσταση σε μία άλλη και δεν ξέρουμε τον τρόπο. Έτσι, Επίλυση Μαθηματικού

Προβλήματος (ΕΜΠ) είναι η διαδικασία εκπόνησης και εφαρμογής ενός σχεδίου προς

απάντηση του ερωτήματος αυτού.

Τέλος, η Κατασκευή Μαθηματικού Προβλήματος (ΚΜΠ) μπορεί να προκύψει σε

τρεις περιπτώσεις μαθηματικής δραστηριότητας: (α) πριν από την ΕΜΠ κατά την

οποία κάποιος κατασκευάζει ένα πρωτότυπο πρόβλημα από μία κατάσταση που

παρουσιάζεται ως ερέθισμα, β) κατά τη διάρκεια της ΕΜΠ κατά την οποία κάποιος

τροποποιεί ένα σύνθετο πρόβλημα ενόσω το επιλύει και γ) μετά από την ΕΜΠ κατά

την οποία ο λύτης αξιοποιεί την εμπειρία που απέκτησε για να κατασκευάσει άλλα

όμοια προβλήματα.

36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ III

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

Στο Α΄ μέρος της παρούσας μελέτης εξακριβώθηκαν οι παρανοήσεις των

μαθητών της Γ΄ γυμνασίου στην έννοια της συνάρτησης μέσω ενός διαγνωστικού

τεστ. Με βάση τα ευρήματα του διαγνωστικού τεστ, στο Β΄ μέρος σχεδιάστηκε και

εφαρμόστηκε πειραματικά σε μαθήτριες της Β΄ γυμνασίου του ίδιου σχολικού έτους,

διδακτική παρέμβαση με σκοπό το ξεπέρασμα των παρανοήσεων αυτών. Η

αξιολόγηση των αποτελεσμάτων της παρέμβασης έγινε την επόμενη σχολική χρονιά

μέσω ενός τελικού τεστ στο οποίο συμμετείχαν οι μαθήτριες που παρακολούθησαν

την παρέμβαση, όταν ήταν μαθήτριες της Γ΄ γυμνασίου. Η χορήγηση του τελικού τεστ

έγινε την επόμενη σχολική χρονιά, ώστε να ελεγχθεί αν η μέθοδος διδασκαλίας

συμβάλει στο να διατηρηθεί η γνώση που αποκτούν οι μαθητές σε βάθος χρόνου.

Παρακάτω περιγράφεται αναλυτικά η εκτέλεση της έρευνας στο καθένα από τα μέρη.

Α΄ ΜΕΡΟΣ: ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΙΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Το δείγμα της έρευνας ήταν 48 μαθήτριες της Γ΄ γυμνασίου ιδιωτικού

σχολείου των Βορείων Προαστίων της Αττικής. Η εκλογή του δείγματος έγινε

επιλεκτικά, σύμφωνα με την διαθεσιμότητα των σχολείων κατά τη διάρκεια

διεξαγωγής της έρευνας.

Στις 48 μαθήτριες του δείγματος δόθηκε τον Νοέμβριο του 2006 το

διαγνωστικό τεστ, το οποίο απάντησαν στο σχολείο κατά τη διάρκεια μίας διδακτικής

περιόδου των 45 λεπτών. Το τεστ αποτελείτο από 7 έργα που εξέταζαν τη γνώση του

τυπικού ορισμού της συνάρτησης, την ικανότητα των μαθητών να αναπαριστούν τις

συναρτήσεις με τους τρεις πιο συνηθισμένους τρόπους αναπαράστασης (τύπο, πίνακα

τιμών, γραφική παράσταση) και την ικανότητα επίλυσης και κατασκευής

μαθηματικού προβλήματος. Μετά από τη διόρθωση του τεστ από την ερευνήτρια και

αφού μεσολάβησε χρονικό διάστημα μίας εβδομάδας επιλέχτηκαν από το δείγμα 2

μαθήτριες από τις οποίες η ερευνήτρια πήρε συνέντευξη με στόχο να διερευνήσει σε

περισσότερο βάθος το επίπεδο κατανόησης της έννοιας της συνάρτησης των

μαθητριών. Η μία μαθήτρια ήταν μέσης μαθηματικής επίδοσης, ενώ η άλλη υψηλής.

37

Η επιλογή της πρώτης μαθήτριας έγινε διότι από το γραπτό της δοκίμιο προέκυπτε

ότι είχε κάποιες αποσπασματικές γνώσεις σχετικά με την έννοια της συνάρτησης, που

όμως δεν μπορούσε να χρησιμοποιήσει στην επίλυση τόσο προβλημάτων ρουτίνας,

όσο και πρωτότυπων προβλημάτων. Ειδικότερα, ιδιαίτερο προβληματισμό

προκάλεσε η γραπτή δήλωσή της ότι δεν μπορεί να βρει τρόπο λύσης στο πρόβλημα

του έργου 6 του τεστ, ενώ έδειχνε ότι διαθέτει τις γνώσεις. Η επιλογή της δεύτερης

μαθήτριας έγινε διότι από το γραπτό της δοκίμιο προέκυπτε ότι η μαθήτρια γνώριζε

τον ορισμό της συνάρτησης, αλλά στα έργα που της ζητήθηκε να διακρίνει αν μία

γραφική παράσταση αντιστοιχεί ή όχι σε συνάρτηση ο ορισμός δεν αποτελούσε το

βασικό της κριτήριο. Ένα επιπλέον χαρακτηριστικό που οδήγησε στην επιλογή της

συγκεκριμένης μαθήτριας ήταν ότι σε πολλά έργα δήλωνε πως «δεν πρόλαβα». Η

συνέντευξη έγινε με στόχο να διευκρινισθεί ο λόγος για τον οποίο η μαθήτρια δεν

απάντησε στα συγκεκριμένα έργα. Οι δύο συνεντεύξεις έγιναν στο χώρο του

σχολείου και η ερευνήτρια πήρε τις δύο μαθήτριες από το μάθημα των μαθηματικών.

Στην αίθουσα όπου γινόταν η συνέντευξη βρίσκονταν μόνο η μαθήτρια και η

ερευνήτρια. Οι συνεντεύξεις μαγνητοφωνήθηκαν και είχαν διάρκεια περίπου 45

λεπτά της ώρας.

Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκαν στοιχεία από την

περιγραφική στατιστική και από την επαγωγική στατιστική χρησιμοποιήθηκε η

στατιστική τεχνική Pearson Correlation και τα στατιστικά κριτήρια ανάλυσης

διασποράς και t-test.

Μέσα συλλογής δεδομένων

Για την επίτευξη των στόχων της έρευνας ετοιμάστηκε ένα τεστ το οποίο

συντάχθηκε από την ερευνήτρια σε συνεργασία με τον επιβλέποντα καθηγητή της

διπλωματικής εργασίας και με τη διδάσκουσα καθηγήτρια Μαθηματικών της τάξης.

Το αρχικό τεστ δόθηκε δοκιμαστικά σε πέντε (5) μαθητές (ένα κορίτσι και τέσσερα

αγόρια) της Γ΄ Γυμνασίου, που δεν ανήκαν στο δείγμα της έρευνας. Η πιλοτική

χορήγηση του τεστ έγινε με στόχο να εντοπιστούν τυχόν αδυναμίες στη διατύπωση

των έργων και να εκτιμηθεί ο απαιτούμενος χρόνος για τη συμπλήρωση του τεστ.

Μετά την πιλοτική χορήγηση αφαιρέθηκε ένα υποερώτημα ενός έργου, που

θεωρήθηκε πλεονάζον και ακατάλληλο γι’ αυτό που το συγκεκριμένο έργο ήθελε να

38

μετρήσει. Επίσης τροποποιήθηκαν οι εκφωνήσεις δύο έργων, ώστε να γίνει πιο

κατανοητό στα παιδιά αυτό που ζητούσαν.

Η τελική μορφή του τεστ περιλάμβανε εφτά (7) έργα. Το 1ο εξέταζε τι

καταλαβαίνουν οι μαθητές με τον όρο συνάρτηση. Το 2ο έργο εξέταζε αν η γραμμική

συνάρτηση λειτουργεί ως πρότυπο για τους μαθητές και το 3ο περιλάμβανε

υποερωτήματα όπου εξεταζόταν η ικανότητα των μαθητών να διακρίνουν αν ένας

πίνακας τιμών ή μία γραφική παράσταση αντιστοιχεί ή όχι σε συνάρτηση. Τα έργα 4

και 5 εξέταζαν αν οι μαθητές είχαν την ικανότητα μετάβασης από τον τύπο στον

πίνακα τιμών της συνάρτησης και από τη γραφική παράσταση στον τύπο. Η

ικανότητα μετάβασης από μία αναπαράσταση της συνάρτησης (πίνακα τιμών) σε μία

άλλη (τύπος) εξεταζόταν και από το έργο 6 πού εξέταζε και την ικανότητα ΕΜΠ.

Τέλος, το 7ο έργο εξέταζε την ικανότητα των παιδιών στην ΚΜΠ.

Διαδικασία εκτέλεσης της έρευνας

Το διαγνωστικό τεστ2 χορηγήθηκε στις μαθήτριες κατά τη διάρκεια του

σχολικού ωραρίου. Οι μαθήτριες δεν είχαν ενημερωθεί προηγουμένως για τη

συμμετοχή τους σε αυτό και παρέμειναν στις δύο αίθουσες των τμημάτων όπου και

συμπλήρωσαν το τεστ. Οι μαθήτριες είχαν διδαχθεί την έννοια της συνάρτησης

καθώς και τις συναρτήσεις ψ=αχ, ψ=αχ+β και ψ=α/χ στην προηγούμενη τάξη, ενώ το

κεφάλαιο των συναρτήσεων δεν αποτελούσε μέρος της εξεταστέας ύλης των

προαγωγικών εξετάσεων της προηγούμενης τάξης. Πριν από την έναρξη της

συμπλήρωσης του τεστ, η ερευνήτρια τόνισε ότι σκοπός του τεστ ήταν η ενημέρωση

της εκπαιδευτικής κοινότητας για τις παρανοήσεις και τις δυσκολίες που συναντούν

οι μαθητές στην έννοια της συνάρτησης, με σκοπό να βελτιωθεί η διδασκαλία της

έννοιας αυτής. Παράλληλα, η ερευνήτρια τόνισε ότι το τεστ αυτό δεν έχει σκοπό την

αξιολόγηση των μαθητών και το ονοματεπώνυμο τους ζητείται ώστε να εντοπιστούν

οι μαθητές των οποίων οι απαντήσεις παρουσιάζουν ιδιαίτερο ερευνητικό ενδιαφέρον

με στόχο η ερευνήτρια σε μία επόμενη συνάντηση να τους πάρει μία αναλυτικότερη

συνέντευξη όπου θα ζητάει περισσότερες διευκρινήσεις επί των απαντήσεών τους.

Μετά τις οδηγίες η ερευνήτρια παρέμεινε στη μία από τις δύο αίθουσες ως

2 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.

39

επιτηρήτρια, ενώ στην άλλη επιτηρούσε η διδάσκουσα καθηγήτρια των

Μαθηματικών της τάξης. Οι επιτηρήτριες δεν έδιναν διευκρινήσεις στις μαθήτριες

επί των έργων. Η μόνη παρατήρηση προς τις μαθήτριες ήταν να γράφουν σε κάθε

απάντηση αυτό ακριβώς που σκέφτονται χωρίς να αναζητούν αναγκαστικά μία

επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση. Μία εβδομάδα μετά τη χορήγηση του τεστ, η

ερευνήτρια πήρε συνέντευξη από δύο μαθήτριες του δείγματος με στόχο να

διερευνήσει την πορεία της σκέψης των παιδιών όταν διαπραγματεύονται την έννοια

της συνάρτησης καθώς και τη στάση των μαθητών απέναντι στην ΕΜΠ και στην

ΚΜΠ.

Βαθμολόγηση γραπτών δοκιμίων

Ως γνώση του τυπικού ορισμού ορίστηκε ο βαθμός επιτυχίας στο έργο 1 του

διαγνωστικού τεστ, όπου η μαθήτρια καλείται να διατυπώσει τον τυπικό ορισμό της

συνάρτησης που είχε διδαχθεί στη Β΄ Γυμνασίου (Αλιμπινίσης, Γρηγοριάδης,

Ευσταθόπουλος, Κλαουδάτος, Παπασταυρίδης, Σβέρκος, 2001, σελ.152). Στο έργο

αυτό έπρεπε η μαθήτρια να τονίσει τη σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών όπου σε κάθε

τιμή της μίας μεταβλητής έχουμε μία μόνο αντίστοιχη τιμή για την άλλη. Η σωστή

απάντηση βαθμολογήθηκε με 2 και χαρακτηρίστηκε ως «Πλήρης γνώση» του

ορισμού της συνάρτησης. Η λανθασμένη απάντηση βαθμολογήθηκε με 0 και

χαρακτηρίστηκε ως «Καθόλου γνώση», ενώ αν η μαθήτρια ανέφερε μόνο τη

συνάρτηση ως σχέση δύο μεταβλητών τότε βαθμολογήθηκε με 1 και χαρακτηρίστηκε

ως «Μερική γνώση».

Το κατά πόσο η γραμμική συνάρτηση λειτουργεί ως πρότυπο για τις

μαθήτριες φάνηκε από τις απαντήσεις στο έργο 2. Όταν οι μαθήτριες απαντούσαν ότι

δεν μπορούν να συνδέσουν τα σημεία διότι δεν διαφαίνεται κάποια ευθεία γραμμή,

τότε ο βαθμός του έργου ήταν 0. Όταν οι μαθήτριες συνέδεαν τα σημεία μόνο με

ευθείες, τότε ο βαθμός του έργου ήταν 1, ενώ αν τα συνέδεαν και με κάποια άλλη

καμπύλη ο βαθμός του έργου ήταν 2. Όταν οι μαθήτριες συνέδεαν τα σημεία έτσι

ώστε να μην προκύπτει γραφική παράσταση συνάρτησης, τότε ο βαθμός του έργου

ήταν 0. Άρα όταν ο βαθμός στο έργο 2 ήταν 2 τότε η γραμμική συνάρτηση δεν

λειτουργούσε ως πρότυπο.

Ως ικανότητα αναπαράστασης των συναρτήσεων ορίστηκε ο βαθμός στα έργα

40

3, 4, 5 και 6(i). Πιο συγκεκριμένα, από το έργο 3 κρίθηκε αν η μαθήτρια μπορούσε

να αναγνωρίσει μία συνάρτηση ανεξάρτητα από την αναπαράστασή της και αν οι

συσχετίσεις συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-καμπύλη ήταν κριτήρια στα οποία

βασίζονταν οι μαθήτριες ώστε να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι. Η

σωστή απάντηση (ΝΑΙ ή ΟΧΙ) βαθμολογήθηκε με 0.5 και η σωστή αιτιολόγηση με

1.5. Η απάντηση στο έργο 4 έδειχνε αν η μαθήτρια είχε την ικανότητα μετάβασης

από τον τύπο στον πίνακα τιμών της συνάρτησης. Αν η μαθήτρια κατασκεύαζε το

σωστό πίνακα τιμών ο βαθμός ήταν 2, αν ακολουθούσε τη σωστή διαδικασία και

έκανε λάθος πράξεις τότε ο βαθμός ήταν 1.5, ενώ σε κάθε άλλη περίπτωση ο βαθμός

ήταν 0. Η απάντηση στο έργο 5 έδειχνε αν η μαθήτρια είχε την ικανότητα μετάβασης

από τη γραφική παράσταση στον τύπο της συνάρτησης. Η σωστή διαδικασία έπαιρνε

βαθμό 1, οι σωστές πράξεις που οδηγούσαν στο τελικό αποτέλεσμα έπαιρναν βαθμό

1. Άρα η σωστή απάντηση στο έργο αυτό είχε βαθμό 2. Τέλος, η απάντηση στο έργο

6(i) έδειχνε αν η μαθήτρια είχε την ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα τιμών στον

τύπο της συνάρτησης. Αν η μαθήτρια συμπλήρωνε σωστά όλες τις θέσεις του πίνακα

χωρίς να βρει τον τύπο της συνάρτησης, τότε το έργο έπαιρνε βαθμό 1, αν όμως στην

πορεία είχε οδηγηθεί και στην εύρεση του τύπου, τότε ο βαθμός του ήταν 2. Σε

περίπτωση που η μαθήτρια δεν είχε συμπληρώσει τα δύο τελευταία κενά του πίνακα

τότε ο βαθμός ήταν 0.5.

Ως ικανότητα ΕΜΠ ορίστηκε ο βαθμός στο έργο 6. Δηλαδή ελέγχθηκε αν η

μαθήτρια, όταν βρισκόταν αντιμέτωπη με μία προβληματική κατάσταση, επιστράτευε

ευρετικές ΕΜΠ που σχετίζονταν με το μοντέλο της συνάρτησης. Αν η μαθήτρια είχε

απαντήσει σωστά στο έργο 6(ii) ο βαθμός ήταν 0.5 και αν επιπλέον είχε γράψει και

τη σωστή αιτιολόγηση ο βαθμός ήταν 1.5. Η σωστή απάντηση σε ολόκληρο το έργο 6

έπαιρνε βαθμό 4.

Ως ικανότητα ΚΜΠ ορίστηκε ο βαθμός στο έργο 7. Αν το πρόβλημα ή οι

ερωτήσεις που διατύπωναν οι μαθήτριες ήταν δηλωτικού τύπου, δηλαδή αν

ουσιαστικά δεν πρότειναν κανένα πρόβλημα, τότε ο βαθμός τους ήταν 0. Όταν

κατασκεύαζαν πρόβλημα που λυνόταν με μία μόνο πράξη τότε ο βαθμός τους ήταν 1

και αν απαιτούνταν πιο πολύπλοκες πράξεις (σύγκριση, τομή κ.α.) τότε ο βαθμός

τους ήταν 2.

41

Β΄ ΜΕΡΟΣ: Η ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗ ΚΑΙ Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ

Η διδακτική παρέμβαση που παρουσιάζεται αναλυτικά στο Παράρτημα Β της

παρούσης εργασίας, είχε στόχο την αναβάθμιση της διδασκαλίας της έννοιας της

συνάρτησης σε μαθήτριες της Β΄ Γυμνασίου, μέσω της επίλυσης μαθηματικού

προβλήματος. Σκοπός της παρέμβασης ήταν να οδηγηθούν οι μαθήτριες στην

οικοδόμηση της έννοιας της συνάρτησης μέσα από την προσπάθεια επίλυσης

προβλήματος και να αναπτύξουν ευρετικές επίλυσης προβλήματος όπως: «σκέψου

ένα απλούστερο πρόβλημα», «τοποθέτησε τα δεδομένα σου σε ένα πίνακα»,

«παρατήρησε κάποιο μοτίβο».

Εκτός από τον απώτερο σκοπό της πειραματικής εφαρμογής της διδακτικής

παρέμβασης που προαναφέραμε, οι επιμέρους στόχοι της ήταν οι μαθήτριες:

• Να κατανοήσουν την έννοια της συνάρτησης ως σχέσης δύο μεγεθών με

κάποιες συγκεκριμένες συνθήκες.

• Να μπορούν να αναπαριστούν μία συνάρτηση είτε με τύπο, είτε με πίνακα

τιμών, είτε με γραφική παράσταση.

• Να είναι σε θέση να μεταβαίνουν από τη μία αναπαράσταση μιας συνάρτησης

σε μία άλλη.

• Να διακρίνουν αν μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι ανεξάρτητα από την

αναπαράστασή της.

• Να εξοικειωθούν με την χρήση της γραμμικής συνάρτησης και της

συνάρτησης αντιστρόφως αναλόγων ποσών.

Η εκλογή του δείγματος έγινε επιλεκτικά, σύμφωνα με την διαθεσιμότητα των

σχολείων κατά τη διάρκεια διεξαγωγής της διδακτικής παρέμβασης. Η διδακτική

παρέμβαση εφαρμόστηκε πειραματικά σε 49 μαθήτριες της Β΄ Γυμνασίου του ίδιου

ιδιωτικού σχολείου των Βορείων προαστίων της Αττικής, με αυτό στο οποίο

χορηγήθηκε το διαγνωστικό τεστ. Η Β΄ Γυμνασίου του συγκεκριμένου σχολείου

αποτελείτο από δύο τμήματα. Το πρώτο τμήμα είχε 23 μαθήτριες, ενώ το δεύτερο 26.

Σύμφωνα με τη δήλωση της διδάσκουσας καθηγήτριας των μαθηματικών της τάξης,

αλλά και των καθηγητών άλλων ειδικοτήτων, οι επιδόσεις του πρώτου τμήματος

ήταν σημαντικά χαμηλότερες από αυτές του δεύτερου. Πραγματοποιήθηκαν

διδασκαλίες δεκαπέντε (15) διδακτικών περιόδων σε κάθε τμήμα και η διδάσκουσα

καθηγήτρια της τάξης ήταν παρούσα στην τάξη κατά τη διάρκεια αυτών των

42

διδακτικών περιόδων. Η πρώτη διδακτική περίοδος δεν βιντεοσκοπήθηκε, διότι

κρίθηκε αναγκαία μία πρώτη εξοικείωση των μαθητριών με την ερευνήτρια που ήταν

η διδάσκουσα καθηγήτρια κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης. Οι επόμενες

έξι (6) διδακτικές περίοδοι βιντεοσκοπήθηκαν στο πρώτο τμήμα, ενώ επτά (7)

διδακτικές περίοδοι βιντεοσκοπήθηκαν στο δεύτερο τμήμα. Η διδακτική περίοδος

κατά την οποία οι μαθήτριες συμμετείχαν σε ανακεφαλαιωτικό γραπτό διαγώνισμα

δεν βιντεοσκοπήθηκε. Ο σκοπός της βιντεοσκόπησης ήταν να μελετηθούν και να

αναλυθούν οι διδασκαλίες από την ερευνήτρια. Η ερευνήτρια εξήγησε στις μαθήτριες

τον λόγο της βιντεοσκόπησης. Η παρουσία της κάμερας αρχικά φάνηκε να ενοχλεί

τις μαθήτριες, στη συνέχεια όμως εξοικειώθηκαν με την παρουσία της και τελικά την

αγνοούσαν.

Διαδικασία πειραματικής εφαρμογής της διδακτικής παρέμβασης

Η διδακτική παρέμβαση, εφαρμόστηκε πειραματικά τον Μάρτιο του 2007 και

ήταν χωρισμένη σε τέσσερις διαδοχικές φάσεις. Κατά τη διάρκεια και των τεσσάρων

φάσεων οι μαθήτριες εργάζονταν ομαδικά, σε ολιγομελείς ομάδες των δύο ή τριών

ατόμων.

Η 1η φάση της διδακτικής παρέμβασης

Η 1η φάση της διδακτικής παρέμβασης κράτησε τρεις (3) διδακτικές

περιόδους. Κατά τη διάρκειά της οι μαθήτριες μέσα από μία δραστηριότητα που

έμοιαζε με παιχνίδι «ανακάλυπταν» τις έννοιες της σχέσης, της ανεξάρτητης και

εξαρτημένης μεταβλητής σε μία σχέση, του συνόλου αφετηρίας και του συνόλου

αφίξεως μίας σχέσης. Στη συνέχεια οι μαθήτριες εισάγονταν στις έννοιες του πίνακα

τιμών και της γραφικής παράστασης μίας σχέσης. Τέλος, έγινε η εισαγωγή της

έννοιας της συνάρτησης και διατέθηκε χρόνος ώστε οι μαθήτριες να εργαστούν πάνω

σε συγκεκριμένα προβλήματα με στόχο να εμπεδώσουν τις έννοιες που παραπάνω

είχαν διδαχθεί.

Οι μαθήτριες αρχικά δεν ήταν εξοικειωμένες με τον ομαδικό τρόπο εργασίας,

μετά όμως από τις δύο πρώτες διδακτικές περιόδους άρχισαν να εξοικειώνονται.

Δείγμα της εξοικείωσης αυτής ήταν το γεγονός ότι μία μητέρα εξέφρασε στην

ερευνήτρια τον ενθουσιασμό της κόρης της για τον νέο τρόπο διδασκαλίας και την

43

πεποίθησή της ότι δεν χρειάζεται τη βοήθεια που μέχρι εκείνη τη στιγμή είχε στο

σπίτι. Βέβαια, κάτι τέτοιο η ερευνήτρια έκρινε ότι ήταν πρόωρο και απλώς

καθοδήγησε την μητέρα για τη βοήθεια που θα μπορούσε η μαθήτρια να πάρει στο

σπίτι, χωρίς αυτή η βοήθεια να την οδηγήσει σε παρανοήσεις.

Ένα επιπλέον στοιχείο που φάνηκε να είναι καινούριο για τις μαθήτριες, ήταν

η μη αναφορά στο σχολικό βιβλίο3, πράγμα που τους συνέβαινε για πρώτη φορά.

Επίσης, από τα πρώτα μαθήματα φάνηκε η επιρροή που είχαν στις μαθήτριες τα

ακούσματα που είχαν σχετικά με τη συνάρτηση από καθηγητές που τους έκαναν

μαθήματα στο σπίτι. Ερωτήσεις όπως: «τώρα κυρία κάνουμε συναρτήσεις;», έδειχναν

ότι ο νέος τρόπος διδασκαλίας ήταν πρωτόγνωρος για τα παιδιά.



περιόδους. Στη φάση αυτή οι μαθήτριες μέσα από προβλήματα άρχισαν να

διαπραγματεύονται συναρτήσεις όπου τα σύνολα αφετηρίας και αφίξεως ήταν

σύνολα αριθμών. Κατά την επίλυση των προβλημάτων οι μαθήτριες άρχισαν να

εξοικειώνονται με τις διαφορετικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης και να

εξασκούνται στην μετάβαση από την μία αναπαράσταση στην άλλη. Κατά την

διάρκεια της παρουσίασης των εργασιών των μαθητριών στην τάξη, έγινε μία

ανασκόπηση όλων όσων είχαν λεχθεί μέχρι εκείνη την στιγμή με επεκτάσεις που

είχαν στόχο τη βαθύτερη κατανόηση και την αποφυγή παρανοήσεων.

Η 1η διδακτική περίοδος διατέθηκε ολόκληρη για την διαπραγμάτευση των

ερωτήσεων-ασκήσεων που οι μαθήτριες είχαν ως εργασία για το σπίτι. Ιδιαίτερη

έμφαση δόθηκε για τις σχέσεις όπου σε δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου

αφετηρίας αντιστοιχεί ένα στοιχείο του συνόλου αφίξεως. Οι περισσότερες μαθήτριες

μία τέτοια συνάρτηση θεωρούσαν πως δεν ήταν συνάρτηση και η ερευνήτρια

χρειάστηκε να επεκταθεί και σε άλλα παραδείγματα, ώστε οι μαθήτριες να

κατανοήσουν την περίπτωση αυτή. Το παράδειγμα που φάνηκε να βοηθάει τις

μαθήτριες ήταν όταν η ερευνήτρια παρομοίασε τα στοιχεία του συνόλου αφετηρίας

ως αεροπλάνα και τα στοιχεία του συνόλου αφίξεως ως τις περιοχές άφιξης των

αεροπλάνων. Τότε οι μαθήτριες εύκολα κατανόησαν ότι δύο αεροπλάνα είναι

δυνατόν να προσγειωθούν στην ίδια περιοχή, ενώ ένα αεροπλάνο δεν μπορεί να έχει

3 Αλιμπινίσης κ.ά. (2001)

44

δύο διαφορετικές περιοχές άφιξης. Για την επεξήγηση της παραπάνω περίπτωσης

χρησιμοποιήθηκαν και τα διαγράμματα Venn, αλλά η ερευνήτρια δεν έκρινε

απαραίτητο να τα ορίσει στα παιδιά, διότι θεώρησε ότι κάτι τέτοιο θα τα μπέρδευε.

Είναι αξιοσημείωτο ότι μία μαθήτρια στην προσπάθειά της να διακρίνει αν μία σχέση

είναι συνάρτηση ή όχι, οδηγήθηκε στο να σχεδιάσει τη γραφική της παράσταση και

από εκεί να δώσει την απάντηση.

Η εκτεταμένη συζήτηση που προηγήθηκε είχε ως αποτέλεσμα στην 1η

διδακτική περίοδο της φάσης αυτής να μην υπάρξει χρόνος για διαπραγμάτευση του

φύλλου εργασίας 14. Έτσι, αυτό το φύλλο εργασίας μοιράστηκε στις μαθήτριες την

2η διδακτική περίοδο αυτής της φάσης. Κατά τη διάρκεια της περιόδου αυτής έγινε

διαπραγμάτευση της 1ης ερώτησης του φύλλου εργασίας, ενώ με τη 2η ερώτηση και

την εργασία για το σπίτι οι μαθήτριες ασχολήθηκαν την 3η περίοδο της 2ης φάσης.

Στο τέλος της 3ης περιόδου οι μαθητές υποβλήθηκαν σε τεστ5.



περιόδους. Αρχικά οι μαθήτριες διαπραγματεύτηκαν προβλήματα που εμπεριείχαν

τη δυνατότητα χειρισμού υλικών, με στόχο να εξοικειωθούν στις ευρετικές επίλυσης

προβλήματος, να μπορούν να παρατηρούν μοτίβα και να τα μεταφράζουν σε

μαθηματικές εκφράσεις. Στη συνέχεια διατέθηκε χρόνος για την παρουσίαση στην

τάξη των εργασιών των μαθητριών.

Κατά τη διάρκεια της 1ης διδακτικής περιόδου της φάσης αυτής απουσίαζαν

από το μάθημα επτά (7) μαθήτριες από το πρώτο τμήμα και πέντε (5) από το δεύτερο,

λόγω της συμμετοχής τους σε πρόβα της χορωδίας του σχολείου. Οι παρούσες

μαθήτριες της τάξης ξεκίνησαν με ευκολία να κάνουν ότι τους υπαγόρευε το

πρόβλημα του 2ου φύλλου εργασίας6. Κατά την διαπραγμάτευση, όμως, των

ερωτημάτων άρχισαν να διατυπώνονται απορίες όπως: «τι είναι μοτίβο;», «δεν είναι

τα ποσά ανάλογα;», «είναι σίγουρο πως υπάρχει μία σχέση;». Είναι αξιοσημείωτο ότι

οι μαθήτριες εύκολα κατανόησαν την έννοια του μοτίβου μετά από την εξήγηση της

ερευνήτριας, αλλά η αποδέσμευσή τους από τα ανάλογα ποσά που είχαν δουλέψει

4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.4 5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.5 6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.6

45

τόσο στο δημοτικό, όσο και στην Α΄ Γυμνασίου ήταν δύσκολη. Επίσης, κατά την

αναζήτηση της ζητούμενης σχέσης, χρειάστηκε η ερευνήτρια να τους επισημάνει ότι

εκτός από την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση

υπάρχουν και άλλες πράξεις όπως οι δυνάμεις. Ακόμα και τότε, όμως, διαπιστώθηκε

ένα κενό στη γνώση τους για τις δυνάμεις, καθώς χρειάστηκε να γίνει εκτεταμένη

αναφορά στο ότι δύναμη με βάση ρητό διάφορο του μηδενός και εκθέτη μηδέν μας

δίνει ένα. Όταν η σχέση βρέθηκε μετά την παραπάνω διαπραγμάτευση, τα υπόλοιπα

ερωτήματα απαντήθηκαν με ευκολία.

Στην 2η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής έγινε διαπραγμάτευση του

προβλήματος του φύλλου εργασίας 37. Είναι χαρακτηριστικό ότι οι μαθήτριες που

συμμετείχαν και στο μάθημα της προηγούμενης διδακτικής περιόδου, στο νέο

πρόβλημα κινήθηκαν με μεγαλύτερη ευχέρεια και μπόρεσαν να καθοδηγήσουν και

τις συμμαθήτριες τους που απουσίαζαν. Σε μία ομάδα όπου και οι δύο μαθήτριες

απουσίαζαν την προηγούμενη διδακτική ώρα χρειάστηκε η επέμβαση-καθοδήγηση

της ερευνήτριας. Την 3η και τελευταία διδακτική περίοδο της φάσης αυτής

επιλύθηκαν στην τάξη οι ασκήσεις που είχαν τεθεί ως εργασία για το σπίτι. Εδώ

πρέπει να σημειωθεί, ότι τα προβλήματα της 1ης και 2ης διδακτικής περιόδου αρχικά

τα διαπραγματεύονταν οι μαθήτριες ανά ομάδα, η ερευνήτρια κινούνταν ανάμεσα

στα θρανία παρεμβαίνοντας συμβουλευτικά και τα τελευταία λεπτά της διδακτικής

περιόδου η λύση ή οι λύσεις παρουσιάζονταν σε όλη την τάξη.


Η 4η φάση της διδακτικής παρέμβασης κράτησε έξι (6) διδακτικές περιόδους.

Σε αυτή τη φάση έγινε η εισαγωγή των μαθητριών στις συναρτήσεις ψ=αχ, ψ=αχ+β

και ψ=α/χ μέσω προβλημάτων και ανακάλυπταν τις ιδιαίτερες ιδιότητές τους.

Την 1η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής έγινε η εισαγωγή της έννοιας των

αναλόγων ποσών. Η ερευνήτρια πρόβαλε στον πίνακα μέσω βιντεοπροβολέα την

οθόνη του υπολογιστή όπου εκτελούσε βήμα προς βήμα τα ερωτήματα του 4ου

φύλλου εργασίας8. Κατά τη διάρκεια της περιόδου αυτής, η χρήση του υπολογιστή

δεν φάνηκε να ωφελεί, αντίθετα οι μαθήτριες τον αντιμετώπισαν σαν κάτι το

εντυπωσιακό, με αποτέλεσμα την προσοχή τους να αποσπούν τα χρώματα, τα

7 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.7 8 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.8

46

κουμπιά και οι κινούμενες γραμμές, χωρίς να παρατηρούν και να σκέπτονται. Έτσι,

σε ένα πρόβλημα οικείο οι μαθήτριες είχαν μειωμένη συμμετοχή, σε αντίθεση με την

υψηλότερη συμμετοχή και εμπλοκή που επέδειξαν στα μη οικεία προβλήματα των

προηγούμενων διδακτικών περιόδων. Με βάση την παρατήρηση αυτή η ερευνήτρια

σε συνεργασία με τη διδάσκουσα καθηγήτρια της τάξης έκριναν πως ο υπολογιστής

θα έπρεπε να χρησιμοποιείται όχι αντί του πίνακα, αλλά ως ένα μέσο με το οποίο οι

μαθήτριες αλληλεπιδρούν. Έτσι, αποφασίστηκε την επόμενη μέρα να γίνουν δύο μη

διαδοχικές διδακτικές περίοδοι εκ των οποίων η 1η να διατεθεί για επέκταση και

εξάσκηση στα ανάλογα ποσά, ενώ η 2η να γίνει στο εργαστήριο της πληροφορικής,

όπου οι μαθήτριες ανά ομάδες να εργαστούν στον υπολογιστή και στο φύλλο

εργασίας 59 με τη βοήθεια αρχείων του λογισμικού Sketchpad που είχε δημιουργήσει

η ερευνήτρια. Και σε αυτή την περίπτωση, όμως, η χρήση του υπολογιστή δεν

φάνηκε να ωφελεί τις μαθήτριες. Η αιτία του φαινομένου αυτού χρειάζεται

περαιτέρω έρευνα. Κάποιες πιθανές αιτίες είναι είτε η αντιμετώπιση του υπολογιστή

από μέρους των μαθητριών ως παιχνίδι, είτε το γεγονός ότι η συγκεκριμένη

διδακτική περίοδος ήταν στο τέλος της σχολικής ημέρας και την τελευταία μέρα της

εβδομάδας, πράγμα που είχε ως αποτέλεσμα την πιθανή κούραση των μαθητριών.

Η 4η διδακτική περίοδος της φάσης αυτής διατέθηκε για την εκ νέου

παρουσίαση της γραμμικής συνάρτησης, χωρίς τη χρήση του υπολογιστή. Κατά τη

διαπραγμάτευση της συνάρτησης αυτής φάνηκε ότι οι μαθήτριες είχαν αποκομίσει

κάποια χρήσιμα στοιχεία από την προηγούμενη διδακτική περίοδο, που όμως είχαν

αποσπασματικά στο μυαλό τους. Ιδιαίτερη δυσκολία συνάντησαν οι μαθήτριες στην

εύρεση των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους

άξονες. Εκτίμηση της ερευνήτριας είναι ότι η δυσκολία αυτή οφείλεται σε ελλιπή

γνώση των συντεταγμένων σημείου του επιπέδου. Η διερεύνηση του φαινομένου

αυτού δεν αποτελεί αντικείμενο της παρούσας έρευνας, είναι ωστόσο μία ένδειξη ότι

η ελλιπής ήδη υπάρχουσα γνώση μπορεί να εμποδίσει την «ανακάλυψη» της νέας

γνώσης και άρα βασικό στοιχείο στην ανάπτυξη της γνώσης αποτελεί η γνωστική

βάση των μαθητών. Τα τελευταία δέκα λεπτά αυτής της διδακτικής περιόδου

ξεκίνησε η διαπραγμάτευση του προβλήματος του φύλλου εργασίας 610. Είναι

χαρακτηριστικό ότι και εδώ οι μαθήτριες ξεκίνησαν αντιμετωπίζοντας τα μεγέθη που


47

εμφανίζονταν στο πρόβλημα ως ανάλογα και μόνο όταν η ερευνήτρια τους είπε:

«δηλαδή, όσο μεγαλύτερη ταχύτητα έχουμε τόσο περισσότερο χρόνο κάνουμε για να

φτάσουμε στον προορισμό μας;», άρχισαν να προβληματίζονται και να αναθεωρούν

τις αρχικές τους εικασίες. Η ολοκλήρωση του 6ου φύλλου εργασίας ανατέθηκε ως

εργασία για το σπίτι. Την 5η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής έγινε αναλυτική

διαπραγμάτευση του φύλλου εργασίας 6.

Τέλος, επειδή την μεθεπόμενη περίοδο είχε προβλεφθεί και πάλι απουσία των

μαθητριών που συμμετείχαν στη χορωδία του σχολείου, η ερευνήτρια σε συνεργασία

με τη διδάσκουσα καθηγήτρια της τάξης έκριναν απαραίτητο το προειδοποιημένο

ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα11 στις συναρτήσεις να δοθεί την 6η διδακτική περίοδο,

ενώ η διδασκαλία της κλίμακας να μην πραγματοποιηθεί. Η διόρθωση του

ανακεφαλαιωτικού διαγωνίσματος έγινε από την ερευνήτρια. Επειδή, όμως, δεν

υπήρχε η δυνατότητα συζήτησης των αποτελεσμάτων στην τάξη, η διδάσκουσα

καθηγήτρια έδωσε στις μαθήτριες τις απαντήσεις του διαγωνίσματος12, τις οποίες

είχε επιμεληθεί η ερευνήτρια.

Από την αρχή αυτής της παρέμβασης κάθε ομάδα σημείωνε σε ένα

σημειωματάριο όλη την πορεία που ακολουθούσε για την επίλυση των προβλημάτων

που της δίνονταν. Σε ένα ντοσιέ συγκέντρωνε τα φύλλα εργασίας και ότι άλλο έδινε η

ερευνήτρια κατά τη διάρκεια της δραστηριότητας. Προτάθηκε και η χρήση

υπολογιστή τσέπης, για την πραγματοποίηση πράξεων που θα τους οδηγούσαν σε

συγκεκριμένες παρατηρήσεις, καθώς η παρούσα δραστηριότητα δεν είχε σκοπό την

εξάσκηση των μαθητριών σε αριθμητικές πράξεις. Ωστόσο, οι μαθήτριες

επηρεασμένες από τις απαγορεύσεις όλων των άλλων καθηγητών των μαθηματικών,

δε χρησιμοποιούσαν τον υπολογιστή τσέπης για τις πράξεις τους.

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι η διδακτική παρέμβαση κράτησε δεκαπέντε (15)

διδακτικές περιόδους, αντί για δεκατρείς (13) που προέβλεπε το Α.Π. Οι δύο (2)

επιπλέον διδακτικές περίοδοι διατέθηκαν είτε για να καλυφθούν τα προβλήματα που

δημιουργήθηκαν από τη λάθος χρήση του υπολογιστή, είτε για να δοθεί στις

μαθήτριες το ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα. Επίσης, η κατά περιόδους απουσία

κάποιων μαθητριών από την τάξη, λόγω της συμμετοχής τους σε εκδηλώσεις του


48

σχολείου, είχε σαν αποτέλεσμα την μείωση του ρυθμού διδασκαλίας, άρα και την

αύξηση του απαιτούμενου διδακτικού χρόνου.

Συλλογή δεδομένων

Όπως αναφέρθηκε, οι δεκατρείς (13) από τις δεκαπέντε (15) διδακτικές

περιόδους βιντεοσκοπήθηκαν. Οι βιντεοσκοπήσεις αποθηκεύτηκαν σε DVD, τα

οποία η ερευνήτρια μελέτησε. Η μελέτη των DVD έγινε σε τέσσερα στάδια. Στο

πρώτο στάδιο η ερευνήτρια είδε τα βίντεο χωρίς διακοπή και σημείωνε κάποια

στοιχεία που κατά τη γνώμη της ήταν ενδιαφέροντα. Το στάδιο αυτό βοήθησε ώστε

να εντοπιστούν σημεία όπου φαινόταν ότι:

• Υπερίσχυε η διαδικαστική της εννοιολογικής γνώσης

• Η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε ως πρότυπο

• Οι μαθήτριες επιστράτευαν στρατηγικές επίλυσης προβλήματος.

Στο δεύτερο στάδιο της μελέτης των DVD, η ερευνήτρια είδε τα βίντεο εστιάζοντας

στα παραπάνω στοιχεία και καταγράφοντας τα συγκεκριμένα σημεία όπου

συζητήσεις είτε μεταξύ των μαθητριών, είτε μεταξύ ερευνήτριας και μαθητριών,

έδειχναν να εμφανίζονται τα φαινόμενα αυτά. Στο τρίτο στάδιο, η ερευνήτρια

κατέγραψε τους διάλογους που εντοπίστηκαν στο προηγούμενο στάδιο, ενώ στο

τέταρτο και τελευταίο στάδιο ξαναείδε τα βίντεο χωρίς διακοπή, προσπαθώντας να

εντοπίσει σημαντικά στοιχεία που πιθανόν να της είχαν διαφύγει αρχικά.

Οι διάλογοι που καταγράφηκαν δεν αναλύθηκαν σύμφωνα με κάποιο

συγκεκριμένο πρότυπο, αλλά απλώς σχολιάστηκαν από την ερευνήτρια σε σχέση με

το στόχο της παρούσας έρευνας. Η ανάλυση αυτών των διαλόγων, αλλά και πολλών

άλλων που η ερευνήτρια δεν έκρινε σκόπιμο να καταγράψει, μπορεί να αποτελέσει

αντικείμενο περαιτέρω έρευνας.

Σημαντικά δεδομένα συγκεντρώθηκαν και από το τεστ και το

ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα στο οποίο συμμετείχαν οι μαθήτριες.

Αξιολόγηση της διδακτικής παρέμβασης

Οι συμμετέχουσες στο τελικό τεστ, ήταν οι μαθήτριες της Γ΄ Γυμνασίου που

49

το προηγούμενο σχολικό έτος είχαν παρακολουθήσει την διδακτική παρέμβαση, ως

μαθήτριες της Β΄ Γυμνασίου. Το δείγμα της έρευνας ήταν 46 μαθήτριες. Στις

μαθήτριες του δείγματος δόθηκε τον Νοέμβριο του 2007 το τελικό τεστ13, που ήταν

ακριβώς το ίδιο με το διαγνωστικό.

Το τελικό τεστ μοιράστηκε στις μαθήτριες κατά τη διάρκεια του σχολικού

ωραρίου. Οι συνθήκες χορήγησής του ήταν ίδιες με αυτές του διαγνωστικού. Πριν

από την έναρξη της συμπλήρωσης του τεστ, η ερευνήτρια τόνισε στις μαθήτριες ότι ο

σκοπός του ήταν να ελεγχθεί αν ο τρόπος με τον οποίο διδάχτηκαν την προηγούμενη

χρονιά τις συναρτήσεις, ήταν αποδοτικότερος από τον συνηθισμένο, με στόχο να

βελτιωθεί η διδασκαλία των συναρτήσεων, αλλά και όλων των μαθηματικών εννοιών

γενικότερα. Παράλληλα, η ερευνήτρια τόνισε ότι το τεστ αυτό δεν είχε σκοπό την

αξιολόγηση των μαθητών. Μετά τις οδηγίες η ερευνήτρια παρέμεινε στη μία από τις

δύο αίθουσες ως επιτηρήτρια, ενώ στην άλλη επιτηρούσε η διδάσκουσα καθηγήτρια

των Μαθηματικών της τάξης. Οι επιτηρήτριες δεν έδιναν διευκρινήσεις στις

μαθήτριες επί των έργων του τεστ και η μόνη παρατήρηση προς τις μαθήτριες ήταν

να γράφουν σε κάθε απάντηση αυτό ακριβώς που σκέφτονται χωρίς να αναζητούν

αναγκαστικά μία επιστημονικά τεκμηριωμένη απάντηση.

Στατιστικές τεχνικές

Η ανάλυση των δεδομένων του Α΄ και Β΄ μέρους της έρευνας, έγινε με τη

χρήση του στατιστικού πακέτου SPSS-12.0.

Στο Α΄ μέρος χρησιμοποιήθηκαν κριτήρια περιγραφικής στατιστικής

(συχνότητες, ποσοστά και ραβδογράμματα):

• για την εύρεση της κατανομής των μαθητριών ανάλογα με το επίπεδο

γνώσης του ορισμού της συνάρτησης.

• για την εύρεση της κατανομής των μαθητριών με βάση την ικανότητά

τους να αναγνωρίζουν μία συνάρτηση από την αναπαράστασή της

• για να βρεθεί πώς κατανεμήθηκαν οι μαθήτριες σχετικά με το αν

θεωρούσαν ή όχι την γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο

• για να παρατηρηθεί πώς κατανεμήθηκαν οι μαθήτριες σύμφωνα με την

13 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α.

50

ικανότητά τους στην επίλυση και κατασκευή μαθηματικού προβλήματος.

Από την επαγωγική στατιστική χρησιμοποιήθηκε η στατιστική τεχνική

Pearson r για να ελεγχθεί αν υπήρχε συσχετισμός μεταξύ:

• της γνώσης του ορισμού και της ικανότητας αναπαράστασης

• της λειτουργίας της γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου και της

ικανότητας ΕΜΠ

• της ικανότητας αναπαράστασης και της ικανότητας ΕΜΠ και της

ικανότητας ΕΜΠ με την ικανότητα ΚΜΠ.

Χρησιμοποιήθηκε επίσης και το κριτήριο ανάλυσης διασποράς για να συγκριθεί η

επίδοση στην αναπαράσταση συνάρτησης, στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ ανάμεσα στις

ομάδες που δημιουργούνται με βάση τη γνώση του τυπικού ορισμού της συνάρτησης.

Με τη χρήση κριτηρίου t-test ελέγχθηκε αν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά

μεταξύ:

• της επίδοσης στην μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών και από

τη γραφική παράσταση στον τύπο

• της επίδοσης στην ΕΜΠ και της επίδοσης στην ΚΜΠ

• της μαθηματικής επίδοσης των μαθητριών και της επίδοσης στην

αναπαράσταση συνάρτησης

• της μαθηματικής επίδοσης των μαθητριών και της επίδοσης στην ΕΜΠ

• της μαθηματικής επίδοσης των μαθητριών και της επίδοσης στην ΚΜΠ.

Ως επίδοση των μαθητριών στα μαθηματικά θεωρήθηκε ο τελικός βαθμός προαγωγής

τους στα μαθηματικά από την προηγούμενη τάξη, ο οποίος ήταν ο μέσος όρος των

βαθμών τους στα τρία τρίμηνα του σχολικού έτους και του βαθμού τους στις

προαγωγικές γραπτές εξετάσεις του Ιουνίου.

Η ανάλυση των δεδομένων του τεστ του Β΄ μέρους της έρευνας έγινε

αντίστοιχα με αυτήν του διαγνωστικού τεστ. Για την σύγκριση των αποτελεσμάτων

μεταξύ του διαγνωστικού τεστ και του τελικού τεστ χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο t-

test ώστε να ελεγχθεί αν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο:

• στη γνώση το ορισμού της συνάρτησης

• στη χρήση της γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου

• στην ικανότητα αναπαράστασης της συνάρτησης

• στην ικανότητα ΕΜΠ και ΚΜΠ

51

• στην ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα τιμών στον τύπο της

συνάρτησης

• στην ικανότητα μετάβασης από τον τύπο στον πίνακα τιμών της

συνάρτησης.

Ο έλεγχος όλων των παραπάνω έγινε σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05.

Τέλος, τα διαγράμματα στα οποία φαίνονται τα συμβάντα κατά τη διάρκεια

της διδακτικής παρέμβασης και το επίπεδο γνώσης του ορισμού, η γραμμική

συνάρτηση ως πρότυπο, η ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα τιμών στον τύπο της

συνάρτησης και η ικανότητα ΚΜΠ στα δύο τεστ, έγιναν με τη βοήθεια του

προγράμματος Excel.

52

ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

Περίληψη

Από το διαγνωστικό τεστ του Α΄ μέρους της έρευνας φάνηκε ότι οι μαθήτριες

δεν γνώριζαν τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης και πως η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε για αυτές ως πρότυπο. Επίσης, βρήκαν δυσκολίες με τις διαφορετικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης. Η μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών της συνάρτησης ήταν για αυτές ευκολότερη από την αντίστροφη διαδικασία. Τέλος, κατά την επίλυση μαθηματικού προβλήματος, οι μαθήτριες βρήκαν ιδιαίτερη δυσκολία. Η δυσκολία ήταν μεγαλύτερη κατά την κατασκευή μαθηματικού προβλήματος. Στη συνέχεια, κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης παρατηρήθηκε ότι οι μαθήτριες επιστράτευαν ευρετικές επίλυσης προβλήματος, κυρίως όταν αντιμετώπιζαν πρωτότυπα προβλήματα. Ωστόσο, η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε συχνά ως πρότυπο και πολλές φορές παρατηρήθηκε να υπερέχει η διαδικαστική της εννοιολογικής γνώσης. Η επίδοση των μαθητριών στο τελικό τεστ του Β΄ μέρους της έρευνας, βρέθηκε υψηλότερη από αυτή του διαγνωστικού τεστ. Εξαίρεση αποτέλεσε η επίδοση στην ικανότητα αναπαράστασης. Οι διαφορές δεν ήταν στατιστικά σημαντικές. Οι μαθητές που συμμετείχαν στο τελικό τεστ βρέθηκαν να έχουν υψηλότερη ικανότητα ΕΜΠ και η διαφορά ήταν στατιστικά σημαντική.

Τα αποτελέσματα είναι οργανωμένα ξεχωριστά για τα δύο μέρη της μελέτης, έτσι ώστε να απαντούν στα αντίστοιχα ερευνητικά ερωτήματα.

Α΄ ΜΕΡΟΣ: ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΝΟΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ

ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Στο Α΄ μέρος της έρευνας επιδιώχθηκε ο εντοπισμός των δυσκολιών και

παρανοήσεων που έχουν οι μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου στην έννοια της συνάρτησης

και η σχέση τους με την ικανότητα επίλυσης και κατασκευής μαθηματικών

προβλημάτων. Για να απαντηθούν τα έξι (6) πρώτα ερευνητικά ερωτήματα

χορηγήθηκε δοκίμιο (διαγνωστικό τεστ) του οποίου τα δεδομένα αναλύθηκαν με την

στατιστική τεχνική Pearson r, το κριτήριο t-test και την ανάλυση διασποράς.

Από τα αποτελέσματα προέκυψε ότι η επίδοση των μαθητριών στο σύνολο

του διαγνωστικού τεστ βρέθηκε ιδιαίτερα χαμηλή ( 96.7=Χ , SD=4.85), αφού το

εύρος ήταν 0 - 30. Για την κατανόηση των αποτελεσμάτων τονίζουμε ότι το εύρος

στην ικανότητα αναπαράστασης ήταν 0-22, ενώ στο καθένα από τα άλλα έργα ήταν

0-2.

53

1. Επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης

Οι μαθήτριες που συμμετείχαν στο διαγνωστικό τεστ, κατανεμήθηκαν σε

τρεις ομάδες, ανάλογα με τη γνώση του τυπικού ορισμού της συνάρτησης. Από τις 48

μαθήτριες που συμμετείχαν στο διαγνωστικό τεστ οι 29 δεν γνώριζαν τον ορισμό της

συνάρτησης, οι 17 είχαν μερική γνώση του ορισμού, δηλαδή αρκούνταν να

χαρακτηρίσουν τη συνάρτηση ως σχέση χωρίς, όμως, τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά

της και 2 μαθήτριες είχαν πλήρη γνώση του ορισμού. Η κατανομή αυτή αλλά και η

επίδοση των μαθητριών ( 45.0=Χ , SD=0.58) στο έργο 1 του τεστ, που εξέταζε τη

γνώση του ορισμού, δείχνει ότι οι μαθήτριες δεν γνώριζαν τον τυπικό ορισμό της


2. Συσχετισμός της γνώσης του ορισμού με την ικανότητα αναπαράστασης

Η ικανότητα αναπαράστασης προέκυψε από την επίδοση των μαθητριών στα

έργα 3, 4, 5 και 6 (i) και φαίνεται αναλυτικά στα Διαγράμματα 1-11. Γενικά, στο

σύνολό της, η μέση ικανότητα αναπαράστασης μίας συνάρτησης βρέθηκε να είναι σε

ιδιαίτερα χαμηλό επίπεδο ( 64.6=Χ , SD=4.43). Με βάση το καθένα από τα

διαγράμματα συμπεραίνουμε ότι όταν οι αναπαραστάσεις ήταν διαφορετικής μορφής

από αυτές με τις οποίες οι μαθήτριες ήταν εξοικειωμένες (μη συνεχόμενες γραμμές,

σημεία που δεν ενώνονται, πίνακες τιμών από τους οποίους δεν διακρίνεται κάποια

σχέση), τότε οι μαθήτριες δεν έδιναν τη σωστή απάντηση. Επίσης, όταν η γραφική

παράσταση ήταν συνεχόμενη γραμμή, τότε τη θεωρούσαν ως συνάρτηση ακόμα και

αν δεν ικανοποιούσε τον ορισμό (π.χ. Παραβολή με άξονα συμμετρίας τον άξονα

χ΄χ΄). Η μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών μίας συνάρτησης ήταν για τις

μαθήτριες μία σχετικά εύκολη διαδικασία, ενώ η μετάβαση από τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης αναλόγων ποσών στον τύπο της αποδείχθηκε δύσκολη

διαδικασία. Όμοια, η μετάβαση από τον πίνακα τιμών μιας συνάρτησης στον τύπο

δυσκόλεψε τις μαθήτριες.

54

.00 .50 2.000

10

20

30

40

Freq

uenc

y

Διάγραμμα 1 Μη συνεχόμενη γραμμή που είναι συνάρτηση (έργο 3 i) 71.0,35.0 ==Χ SD

.00 .50 1.50 2.00

komsynno

0

5

10

15

20

Freq

uenc

y

Διάγραμμα 3 Μη συνεχόμενη γραμμή που δεν είναι συνάρτηση (έργο 3 iii) 77.0,67.0 ==Χ SD

.00 .500

10

20

30

40

50

Freq

uenc

y

.00 .50 2.000

5

10

15

20

25

30

Fre

qu

ency

(έργο 3 ii) 88.0,6.0 ==Χ SD

.00 .50 2.000

10

20

30

40

Freq

uenc

y

Διάγραμμα 4 Πίνακας τιμών συνάρτησης(έργο 3 iv) 44.0,22.0 ==Χ SD

Διάγραμμα 6 Πίνακας τιμών όπου το ίδιο χ αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά ψ (έργο 3 vi) 88.0,95.0 ==Χ SD

.00 .50 2.000

5

10

15

20

Fre

qu

en

cy

Διάγραμμα 2 Παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ΄χ

Διάγραμμα 5 Πίνακας τιμών όπου δύο χ αντιστοιχούν στο ίδιο ψ (έργο 3 v) 17.0,63.0 ==Χ SD

55

.00 .50 2.000

10

20

30

40

Freq

uenc

y

.00 .50 1.50 2.000

5

10

15

20

25

Fre

qu

en

cy

Διάγραμμα 8 Διασκορπισμένα σημεία που

Διάγραμμα 7 Διασκορπισμένα σημεία που αντιστοιχούν σε συνάρτηση

(έργο 3 vii) 62.0,27.0 ==Χ SD

.00 1.50 2.000

10

20

30

40

Freq

uenc

y

Διάγραμμα 9 Μετάβαση από τύπο σε πίνακα

τιμών (έργο 4) 84.0,5.1 ==Χ SD

.00 .25 .50 .75 1.00 2.000

5

10

15

20

Freq

uenc

y

Διάγραμμα 11 Μετάβαση από πίνακα τιμών σε τύπο (έργο 6 i)

53.0,47.0 ==Χ SD

.00 .50 1.00 1.50 2.000

5

10

15

20

25

Fre

qu

en

cy

δεν αντιστοιχούν σε συνάρτηση (έργο 3 viii) 88.0,77.0 ==Χ SD

Διάγραμμα 10 Μετάβαση από γραφική παράσταση σε τύπο (έργο 5)

86.0,77.0 ==Χ SD

56

Ο συντελεστής συσχέτισης της γνώσης του ορισμού και της ικανότητας

αναπαράστασης ήταν 0.448. Επομένως, η ικανότητα αναπαράστασης φάνηκε να

συσχετίζεται θετικά με τη γνώση του ορισμού. Επιπλέον, ελέγχθηκε και η συσχέτιση

των συνιστωσών της ικανότητας αναπαράστασης με την γνώση του ορισμού. Οι

συντελεστές συσχέτισης φαίνονται στον Πίνακα 1, από τον οποίο παρατηρούμε ότι

υπήρχε θετική συσχέτιση μεταξύ της γνώσης του ορισμού και της αναγνώρισης ότι

ένας πίνακας τιμών όπου σε ένα χ αντιστοιχούν δύο ψ δεν αντιστοιχεί σε συνάρτηση

(έργο 3 vi). Επίσης, φαίνεται ότι η γνώση του ορισμού συσχετίζεται θετικά με την

ικανότητα μετάβασης από τον τύπο στον πίνακα τιμών της συνάρτησης (έργο 4),

καθώς και από τη γραφική παράσταση στον τύπο της συνάρτησης (έργο 5). Οι

παραπάνω συσχετίσεις βρέθηκαν να είναι στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο

σημαντικότητας 0.05.

Πίνακας 1

Συντελεστές συσχέτισης γνώσης ορισμού συνάρτησης με συνιστώσες ικανότητας αναπαράστασης.

Γνώση τυπικού ορισμού

Μη συνεχόμενη γραμμή που είναι συνάρτηση (έργο 3i) 0.237

Παραβολή με άξονα τον χ΄χ (έργο 3 ii) 0.189

Μη συνεχόμενη γραμμή που δεν είναι συνάρτηση (έργο 3 iii) 0.263

Πίνακας τιμών συνάρτησης (έργο 3 iv) -0.092

Πίνακας τιμών όπου για δύο χ έχει το ίδιο ψ (έργο 3 v) 0.041

Πίνακας τιμών όπου για ένα χ έχει δύο ψ (έργο 3 vi) 0.461*

Διασκορπισμένα σημεία που είναι γραφική παράσταση συνάρτησης (έργο 3 vii) 0.078

Διασκορπισμένα σημεία που δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης (έργο 3 viii) 0.263

Μετάβαση από τύπο σε πίνακα τιμών (έργο 4) 0.448*

Μετάβαση από γραφική παράσταση σε τύπο (έργο 5) 0.311*

Μετάβαση από πίνακα τιμών σε τύπο (έργο 6 i) 0.278 *p<0.05 N=48

Ελέγχθηκε και η σχέση μεταξύ των συνιστωσών της ικανότητας

αναπαράστασης Από τον έλεγχο αυτό βρέθηκε θετική συσχέτιση μεταξύ της

επίδοσης στο έργο 3(vii) και της επίδοσης στο έργο 3(viii), όπου ο συντελεστής

συσχέτισης ήταν 0.526. Επομένως, όσες μαθήτριες αναγνώριζαν ότι τα

57

διασκορπισμένα σημεία του έργου 3(vii) αναπαριστούν συνάρτηση, μπορούσαν να

εντοπίσουν και τη διαφορά της γραφικής παράστασης του έργου 3(viii) και να

απαντήσουν ότι αυτή δεν αποτελεί συνάρτηση. Όμως, συνέβαινε και το αντίθετο,

δηλαδή όσες μαθήτριες δεν θεωρούσαν συνάρτηση την γραφική παράσταση του

έργου 3(vii), απαντούσαν το ίδιο και στο έργο 3(viii).

3. Σχέση επιπέδου γνώσης του ορισμού της συνάρτησης με τις ικανότητες

αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ

Για να ελεγχθεί κατά πόσο υπήρχε στατιστικά σημαντική διαφορά ανάμεσα

στις ομάδες με διαφορετικό επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης, ως προς

τις ικανότητες αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ, χρησιμοποιήθηκε το κριτήριο

ανάλυσης διασποράς. Τα αποτέλεσμα της ανάλυσης (μέσοι όροι, τυπικές αποκλίσεις,

για όλες τις μεταβλητές και οι αντίστοιχες τιμές του F και του p) συνοψίζονται στον

Πίνακα 2. Προφανώς, η ικανότητα αναπαράστασης και η ικανότητα ΕΜΠ ήταν

στατιστικά ψηλότερη για τις μαθήτριες που είχαν καλύτερη γνώση του ορισμού της

συνάρτησης και οι διαφορές ήταν στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο σημαντικότητα

0.05 Δεν προέκυψε στατιστικά σημαντική διαφορά της ικανότητας ΚΜΠ ανάλογα με

το επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης, αφού οι διαφορές δεν ήταν

στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05. Ωστόσο, το εύρημα αυτό

μπορεί να θεωρηθεί ότι οφείλεται στο γεγονός ότι η επίδοση των μαθητριών στην

ΚΜΠ ήταν ουσιαστικά μηδαμινή.

Πίνακας 2

Η μεταβολή της ικανότητας αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ ανάλογα με τη γνώση του ορισμού της συνάρτησης.

Μεταβλητές Γνώση Ορισμού Χ SD F p

Ικανότητα αναπαράστασης Καθόλου γνώση*

Μερική γνώση**

Πλήρης γνώση***

5.32 7.97 14.5

4.32 3.37 3.54

6.417 0.004

Ικανότητα ΕΜΠ Καθόλου γνώση Μερική γνώση Πλήρης γνώση

0.61 0.65 2.25

0.55 0.72 2.47

5.001 0.011

Ικανότητα ΚΜΠ Καθόλου γνώση Μερική γνώση Πλήρης γνώση

0.31 0.53 0.00

0.54 0.8 0.00

0.986 0.381

*Ν1=29 **Ν2=17 ***Ν3=2

58

4. Σχέση ικανότητας αναπαράστασης με ικανότητα ΕΜΠ

Ο συντελεστής συσχέτισης της ικανότητας αναπαράστασης με την ικανότητα

ΕΜΠ δεν ήταν στατιστικά σημαντικός (0.144). Επομένως, δεν βρέθηκε συσχέτιση

μεταξύ των δύο αυτών ικανοτήτων και άρα όταν οι μαθήτριες μπορούν να

αναπαριστούν μία συνάρτηση δεν είναι απαραίτητα και σε θέση να επιλύσουν και

ένα σχετικό πρόβλημα.

5. Η γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο και η επίδρασή της στην ΕΜΠ

Από την επίδοση των μαθητριών στο έργο 2 του τεστ που εξέταζε τη

λειτουργία της γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου, φάνηκε ότι η γραμμική

συνάρτηση λειτούργησε ως πρότυπο, αφού η μέση επίδοση ήταν πολύ χαμηλή

( 29.0=Χ , SD=0.62). Επίσης, ο συντελεστής συσχέτισης της λειτουργίας της

γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου και της ικανότητας ΕΜΠ βρέθηκε 0.042,

δηλαδή δεν υπήρξε συσχέτιση μεταξύ των δύο αυτών μεταβλητών. Επομένως, η

γραμμική συνάρτηση λειτουργεί ως πρότυπο γενικά, αλλά το γεγονός αυτό δεν

φάνηκε να συσχετίζεται με την ικανότητα των μαθητριών να επιλύουν μαθηματικά

προβλήματα.

6. Οι ικανότητες ΕΜΠ και ΚΜΠ και η μεταξύ τους σχέση

Η ανάλυση των αποτελεσμάτων του διαγνωστικού τεστ έδειξε ότι η επίδοση

των μαθητριών στην επίλυση προβληματικών καταστάσεων (ΕΜΠ) ήταν ιδιαίτερα

χαμηλή ( 69.0=Χ , SD=0.77). Παρατηρήθηκε ότι οι απαντήσεις των μαθητριών στο

έργο 6, που μετρούσε την ικανότητα ΕΜΠ, περιορίστηκαν σε εκείνες που

απαιτούσαν απλές μαθηματικές πράξεις. Από την επίδοση των μαθητριών στο έργο 7

του τεστ που εξέταζε την ικανότητα ΚΜΠ, φάνηκε ότι η ΚΜΠ ήταν για αυτές μία

άγνωστη διαδικασία ( 38.0=Χ , SD=0.64). Οι περισσότερες μαθήτριες δεν ήταν σε

θέση να κατασκευάσουν μαθηματικά προβλήματα και όσες από αυτές

κατασκεύασαν, περιορίστηκαν κυρίως σε προβλήματα που περιλάμβαναν απλές

μαθηματικές πράξεις, ενώ ήταν ελάχιστες εκείνες που κατασκεύασαν προβλήματα

που απαιτούσαν πολύπλοκες διαδικασίες επίλυσης. Ο συντελεστής συσχέτισης των

ικανοτήτων ΕΜΠ και ΚΜΠ βρέθηκε 0.042 και άρα δεν υπάρχει συσχέτιση, ένα

αποτέλεσμα που μπορεί να μην είναι άσχετο με τη χαμηλή επίδοση των μαθητριών.

Εξετάστηκε, επίσης, αν υπήρχε στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ της

59

μαθηματικής επίδοσης των μαθητριών και της επίδοσης στην αναπαράσταση

συνάρτησης, στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ. Επιπλέον, εξετάστηκε αν υπήρχε στατιστικά

σημαντική διαφορά μεταξύ της επίδοσης στη μετάβαση από τον πίνακα τιμών στον

τύπο της συνάρτησης και της επίδοσης στη μετάβαση από τη γραφική παράσταση

στον τύπο. Τέλος, ελέγχθηκε αν ήταν στατιστικά σημαντική η διαφορά μεταξύ της

επίδοσης στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ. Οι παραπάνω συγκρίσεις έγιναν με το κριτήριο

t-test.

Ο Πίνακας 3 παρουσιάζει τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την

εφαρμογή του κριτηρίου t-test με σκοπό να συγκριθούν οι μέσοι όροι μεταξύ:

• της επίδοσης στη μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών και από τη

γραφική παράσταση στον τύπο

• της επίδοσης στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ

• της επίδοσης στην αναπαράσταση συνάρτησης και της μαθηματικής

επίδοσης

• της επίδοσης ΕΜΠ και της μαθηματικής επίδοσης

• της επίδοσης στην ΚΜΠ και της μαθηματικής επίδοσης

Πίνακας 3

Συγκρίσεις της ικανότητας ΕΜΠ, ΚΜΠ, αναπαράστασης, μετάβασης από μία

αναπαράσταση σε μία άλλη και μαθηματικής επίδοσης.

Μεταβλητές Χ SD t p Μετάβαση από τύπο σε πίνακα τιμών Μετάβαση από γραφ. παρ. σε τύπο

1.51 0.77

0.84 0.86 4.716 0.000

Επίδοση στην ΕΜΠ Επίδοση στην ΚΜΠ

0.7 0.38

0.77 0.64 2.154 0.036

Μαθηματική επίδοση Επίδοση στην αναπαράσταση

16 6.73

3.29 4.23 15.708 0.000

Μαθηματική επίδοση Επίδοση στην ΕΜΠ

16 0.7

3.29 0.78 31.553 0.000

Μαθηματική επίδοση Επίδοση στην ΚΜΠ

16 0.38

3.29 0.64 32.569 0.000

Από τον Πίνακα 3 φαίνεται ότι οι μαθήτριες απέδωσαν καλύτερα όταν τους

ζητήθηκε η μετάβαση από τον τύπο της συνάρτησης στον πίνακα τιμών, παρά όταν

τους ζητήθηκε η μετάβαση από τη γραφική παράσταση στον τύπο της συνάρτησης

και η διαφορά ήταν στατιστικά σημαντική. Επίσης, η επίδοση στην ΕΜΠ βρέθηκε

σημαντικά μεγαλύτερη από την επίδοση στην ΚΜΠ, παρ’ όλο που και οι δύο

60

βρίσκονταν σε χαμηλό επίπεδο. Είναι, τέλος, αξιοσημείωτο ότι η μαθηματική

επίδοση των μαθητριών ήταν ιδιαίτερα υψηλή σε σχέση με την επίδοση στην

αναπαράσταση συνάρτησης, με την επίδοση στην ΕΜΠ και με την επίδοση στην

ΚΜΠ.

Είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι οι συσχετίσεις μεταξύ των παραπάνω

μεταβλητών δεν βρέθηκαν στατιστικά σημαντικές , γι’ αυτό και δεν αναφέρονται οι

συντελεστές συσχέτισης. Μοναδική εξαίρεση αποτέλεσε η συσχέτιση μεταξύ της

μαθηματικής επίδοσης των μαθητών και της επίδοσης στην αναπαράσταση

συνάρτησης, που βρέθηκε ότι είχαν στατιστικά σημαντική θετική συσχέτιση

(r=0.483). Δηλαδή, οι μαθήτριες με υψηλή επίδοση στα μαθηματικά είχαν υψηλή

επίδοση και στα έργα που σχετίζονταν με την αναπαράσταση της συνάρτησης.

Ανάλυση ποιοτικών δεδομένων

Κατά τη βαθμολόγηση των γραπτών δοκιμίων των μαθητριών, εντοπίστηκαν

κάποιες απαντήσεις τους που φανέρωναν σε μεγαλύτερο βάθος τις παρανοήσεις τους

σχετικά με την έννοια της συνάρτησης. Οι απαντήσεις αυτές παρουσιάζονται και

σχολιάζονται παρακάτω.

Στον Πίνακα 4 της επόμενης σελίδας ομαδοποιήθηκαν οι λανθασμένες

απαντήσεις σε κάποια από τα έργα του διαγνωστικού τεστ. Στη συνέχεια,

παρουσιάζονται συνοπτικά οι απαντήσεις που δόθηκαν από τις μαθήτριες και

χαρακτηριστικά αποσπάσματα από κάποια γραπτά δοκίμια.

61

Πίνακας 4

Λανθασμένες απαντήσεις στις ερωτήσεις του διαγνωστικού τεστ.

Έργα Λανθασμένες απαντήσεις 1ο Η συνάρτηση είναι:

• σχέση μεταβλητών • εξίσωση • σχέση όπου ο λόγος των αντιστοίχων τιμών είναι σταθερός

2ο Τα σημεία δεν αποτελούν γραφική παράσταση συνάρτησης διότι: • είναι διασκορπισμένα • δεν μπορούν να ενωθούν σε μία ευθεία

3ο i) Δεν είναι συνάρτηση διότι: • δεν είναι συνεχόμενη γραμμή • δεν σχηματίζει ευθεία • είναι τρεις χωριστές συναρτήσεις.

ii) Είναι συνάρτηση διότι περνάει από το 0 iii) Δεν είναι συνάρτηση διότι (βλ. (i))

Είναι συνάρτηση διότι «μου φαίνεται γνώριμο το σχήμα» iv) Δεν είναι συνάρτηση διότι:

• δεν είναι σταθερός ο λόγος των αντιστοίχων τιμών • δεν σχηματίζεται ευθεία

v) Δεν είναι συνάρτηση διότι: • Βλ. (iv) • Για δύο χ έχω το ίδιο ψ

vi) Είναι συνάρτηση διότι τα ποσά είναι ανάλογα vii) Δεν είναι συνάρτηση διότι (βλ. αιτιολόγηση 2ης ερώτησης) viii) Δεν είναι συνάρτηση διότι (βλ. αιτιολόγηση 2ης ερώτησης)

6ο i) Τα δύο πρώτα κενά συμπληρώνονται με βάση το μοτίβο, ενώ τα δύο τελευταία με την παραδοχή ότι τα ποσά είναι ανάλογα.

ii) Ο πίνακας τιμών του ερωτήματος (i) αντιστοιχεί σε συνάρτηση διότι: • Τα ποσά είναι ανάλογα • Βρίσκονται στην ίδια ευθεία

Από την απάντηση μιας μαθήτριας στο έργο 3(i) φάνηκε ότι θεωρούσε πως η

γραφική παράσταση μιας συνάρτησης πρέπει να είναι συνεχόμενη γραμμή.

Ερ.: Αντιστοιχεί σε συνάρτηση το παρακάτω σχήμα;

Μαθ.: Δεν νομίζω πως αντιστοιχεί σε συνάρτηση εφόσον κόβεται και

δεν είναι ενιαία.

Συχνά η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος αποτελούσε κριτήριο για τις μαθήτριες,

ώστε να αποφανθούν αν μία αναπαράσταση αντιστοιχεί σε συνάρτηση ή όχι. Η

παρακάτω απάντηση είναι μίας μαθήτριας με υψηλή επίδοση στο έργο 3(iv).

Ερ.: Αντιστοιχεί ο παρακάτω πίνακας τιμών σε συνάρτηση;

62

Μαθ.: Δεν είναι συνάρτηση γιατί τα ποσά δεν συνδέονται με κάποια

συγκεκριμένη σχέση.

Τα χαρακτηριστικά της γραμμικής συνάρτησης γενικεύονταν και έτσι μία

σχέση, μία γραφική παράσταση ή ένας πίνακας τιμών για να αντιστοιχεί σε

συνάρτηση έπρεπε να έχει τα χαρακτηριστικά της γραμμικής συνάρτησης και

ιδιαίτερα της συνάρτησης των αναλόγων ποσών. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής

της αντίληψης είναι το πιο κάτω απόσπασμα.

Ερ.: Πείτε με δικά σας λόγια τι ακριβώς εννοείτε με τον όρο

συνάρτηση;

Μαθ.: Συνάρτηση είναι μία παράσταση που έχει διάφορα ποσά των

οποίων ο λόγος χ/ψ είναι σταθερός σε όλες τις περιπτώσεις.

Δηλαδή αν το αποτέλεσμα του λόγου είναι το ίδιο τουλάχιστον

δύο φορές, μετά μπορούμε να σταματήσουμε και να πούμε πως

είναι συνάρτηση.

Μερικές φορές η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε ως πρότυπο και κατά τη

διαδικασία ΚΜΠ. Παρακάτω βλέπουμε το πρόβλημα που κατασκεύασε μία μαθήτρια

υψηλής επίδοσης, παρ΄ όλο που ο δοσμένος πίνακας δεδομένων της ερώτησης 7 δεν

ήταν πίνακας αναλόγων ποσών.

Μαθ.: Το πάγιο της Vodafone για 120 λεπτά δωρεάν ομιλίας είναι

20€. Αν ξέρεις ότι τα ποσά είναι ανάλογα, πόσο δωρεάν

χρόνο ομιλίας θα έχουμε αν διαλέξουμε να πληρώσουμε 35,

37 και 43€;

Τέλος, είναι σημαντικό να επισημάνουμε ότι οι μαθήτριες δεν

χρησιμοποιούσαν ως κριτήριο τον ορισμό της συνάρτησης για να διακρίνουν αν μία

αναπαράσταση είναι συνάρτηση ή όχι. Ένα βασικό κριτήριο ήταν η βαρύτητα που

είχε δοθεί κατά τη διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης. Έτσι, στο έργο 3(iv)

παρατηρούμε ότι μία μαθήτρια υψηλής επίδοσης για να αποφασίσει αν ένας πίνακας

τιμών είναι συνάρτηση ή όχι, ελέγχει μόνο αν είναι συνάρτηση αναλόγων ή

αντιστρόφως αναλόγων ποσών

Ερ.: Αντιστοιχεί ο παρακάτω πίνακας τιμών σε συνάρτηση;

Μαθ.: Δεν είναι συνάρτηση αναλόγων, ούτε αντιστρόφως αναλόγων ποσών.

63

Παρατηρήσεις επί των συνεντεύξεων

Οι δύο μαθήτριες που συμμετείχαν στις συνεντεύξεις δήλωσαν ότι μετά τη

συμμετοχή τους στο γραπτό τεστ δεν διάβασαν τίποτα σχετικό με τις συναρτήσεις

ούτε από το περσινό τους βιβλίο, ούτε από κάπου αλλού. Στα πρωτόκολλα που

παρουσιάζονται, με Μ σημειώνεται η μαθήτρια και με Ε η ερευνήτρια. Όπου

φαίνονται τρεις τελείες χωρίς καμία επεξήγηση, σημαίνει ότι μεσολαβεί διάλογος που

δεν κρίθηκε απαραίτητο να παρουσιαστεί.

Στη συνέχεια παρουσιάζονται αποσπάσματα από τη συνέντευξη της πρώτης

μαθήτριας που ήταν μαθήτρια μέσης επίδοσης.

Στο 1ο απόσπασμα γίνεται η διαπραγμάτευση των έργων 3 (i) και (ii).

Μ.: Αυτή εδώ πιστεύω… ότι δεν είναι συνάρτηση [αναφέρεται στην 3(i)] …

Ε: Γιατί;

Μ: Γιατί βλέπουμε ότι… αλλά… δεν είναι σημεία…. γιατί βλέπουμε ότι εδώ έχει πολλά

σημεία [δείχνει το ευθύγραμμο τμήμα που είναι παράλληλο στον χ΄χ]

Λέμε ότι αυτό εδώ δεν μπορεί να είναι συνάρτηση γιατί δεν μπορεί το χ ή το ψ να

έχει δύο τιμές…. Λέω ότι εδώ ας πούμε που το χ είναι 15… έχουμε πάλι 8.

Ε: Γιατί δεν είναι συνάρτηση; Για ποιο λόγο;

Μ: Γιατί το ψ πρέπει να έχει… το χ να έχει ένα ψ, δεν μπορεί το χ για δύο

διαφορετικούς αριθμούς να έχει το ίδιο ψ.

Ε: Δηλαδή δεν μπορούν δύο διαφορετικά χ να έχουν το ίδιο ψ

Μ: Και περισσότερα…Ούτε και η δεύτερη είναι.

Ε: Γιατί;

Μ: Γιατί βλέπουμε πάλι πως εδώ και εδώ… σε όλα τα σημεία… και εδώ και εδώ και

εδώ [δείχνει τα σημεία που έχουν ίδια τετμημένη και διαφορετική τεταγμένη στη

3(ii)] έχει δύο φορές….

Ε: Εδώ συμβαίνει το ίδιο με πριν; Δηλαδή για δύο ή περισσότερα χ έχουμε το ίδιο ψ;

Μ: Όχι. Εδώ ένα χ έχει δύο ψ. Δηλαδή το χ ίσον τέσσερα έχει ψ και το 2 και το -

2.[Απαντά με μεγάλη σιγουριά]

Στο 2ο απόσπασμα γίνεται η διαπραγμάτευση του έργου 3(iv).

Ε: Αντιστοιχεί σε συνάρτηση αυτός ο πίνακας τιμών;

……[παύση μεγαλύτερη από τις προηγούμενες]

Μ: Όχι

64

Ε: Γιατί;

Μ: Γιατί αν διαιρέσουμε το ψ με το χ δεν είναι ανάλογα τα ποσά.

Από τις απαντήσεις της μαθήτριας προέκυψε ότι στο μυαλό της είχε ταυτίσει

την έννοια της συνάρτησης με την σχέση των αναλόγων ποσών και πως συνάρτηση

για αυτήν σήμαινε πίνακας τιμών ή γραφική παράσταση. Όταν έβλεπε μία γραφική

παράσταση, όμως, για να αποφασίσει αν αντιστοιχεί σε συνάρτηση ή όχι δεν

στηριζότανε στον ορισμό που λίγο πριν έχει δώσει, αλλά αντίθετα ανέσυρε από τη

μνήμη της κάτι που είχε ακούσει σχετικά με την αντιστοιχία μίας τιμής της μίας

μεταβλητής σε περισσότερες από μία τιμές της άλλης. Έτσι, οποτεδήποτε έβλεπε είτε

σε μία γραφική παράσταση, είτε σε έναν πίνακα τιμών στο ίδιο χ να αντιστοιχούν δύο

ή περισσότερα ψ ή στο ίδιο ψ να αντιστοιχούν δύο ή περισσότερα χ απαντούσε πως

δεν έχουμε συνάρτηση, χωρίς να κάνει διάκριση μεταξύ των δύο περιπτώσεων. Σε

περίπτωση που της δινόταν πίνακας τιμών όπου δεν παρατηρούσε το παραπάνω

φαινόμενο, τότε για να αποφασίσει αν ο πίνακας αντιστοιχούσε ή όχι σε συνάρτηση

επέστρεφε στον αρχικό ορισμό που η ίδια είχε δώσει και έλεγχε αν τα ποσά είναι

ανάλογα. Αν τα ποσά δεν ήταν ανάλογα, τότε απαντούσε ότι ο πίνακας δεν

αντιστοιχούσε σε συνάρτηση.

Η συγκεκριμένη μαθήτρια στο γραπτό της δοκίμιο δεν έλυσε το πρόβλημα

του 6ου έργου του τεστ, κατά τη διάρκεια της συνέντευξης, όμως, αποδέσμευσε το

μυαλό της από την ανάγκη εύρεσης κάποιου τύπου, εξέτασε πώς μεταβάλλονται οι

αντίστοιχες τιμές των μεταβλητών και εύκολα συμπλήρωσε τον πίνακα, χωρίς να

βρει τον τύπο. Όταν, όμως, της ζητήθηκε η εύρεση κάποιου τύπου, χρειάστηκε

αρκετή βοήθεια από την ερευνήτρια ώστε να οδηγηθεί στην λύση. Το γεγονός αυτό

μας κάνει να υποθέσουμε ότι οι μαθητές δεν έχουν στη διάθεσή τους τις απαραίτητες

ευρετικές που θα τους βοηθήσουν να επιλύσουν με επιτυχία πρωτότυπα προβλήματα,

αλλά χρησιμοποιούν παντού τις κλασικές στρατηγικές που έχουν διδαχθεί και όταν

αυτές αποτυγχάνουν, τότε παραιτούνται. Τέλος, για να μπορέσει η συγκεκριμένη

μαθήτρια να κατασκευάσει πρόβλημα, χρειάστηκε να της δοθεί ένα συγκεκριμένο

πλαίσιο, γιατί δεν μπόρεσε να αυτενεργήσει.

Η δεύτερη μαθήτρια που συμμετείχε στην συνέντευξη ήταν μαθήτρια υψηλής

επίδοσης. Μερικά αποσπάσματα από την συνέντευξή της παρουσιάζονται παρακάτω.

65

Στο 1ο απόσπασμα η μαθήτρια διαπραγματεύεται το έργο 2.

Μ: Στην αρχή [αναφέρεται στο γραπτό της] τα ένωσα όλα αλλά μετά σκέφτηκα ότι δεν

είναι… δεν είναι συνάρτηση… Πιστεύω ότι διαφορετική είναι η σχέση που ενώνει

το χ με το ψ σε αυτό το σημείο, διαφορετική σε αυτό το σημείο [δείχνει τα σημεία

του σχήματος]…

Στο 2ο απόσπασμα είχε δοθεί στη μαθήτρια η παραβολή με άξονα συμμετρίας τον χ΄χ

(έργο 3 ii) και της ζητήθηκε να διακρίνει αν είναι ή όχι συνάρτηση.

Μ: Βασικά έχω την εντύπωση ότι δεν είναι γιατί δεν μπορεί για το 6 να είναι… για την

τιμή του χ ίσον με 6 το ψ να είναι και περίπου 2 και -2

Ε: Α, δηλαδή επειδή για το ίδιο χ έχουμε δύο αντίστοιχα ψ, αυτό σε κάνει να πιστεύεις

ότι δεν είναι συνάρτηση.

Μ: Ναι… Αν και… ίσως θα μπορούσε να είναι, αλλά δεν έχω ψάξει πως θα μπορούσε

να είναι ο τύπος.… Βασικά τώρα που το σκέπτομαι, ίσως όχι γιατί ξέρουμε ότι στον

πίνακα τιμών δεν μπορώ να έχω δύο χ που να αντιστοιχούν σε ένα ψ.

Ε: Τελικά ποιο είναι το κριτήριο; Να υπάρχει τύπος ή το να έχω για ένα χ ένα ψ;

Μ: Μάλλον το να έχω για ένα χ ένα ψ

Ε: Συνεπώς αυτή είναι συνάρτηση;

Μ: Όχι

Στο 3ο απόσπασμα φαίνεται η στάση της μαθήτριας απέναντι στο έργο 6(i), που

αφορά την ΕΜΠ και όπου της ζητήθηκε να συμπληρώσει τον πίνακα και στη

συνέχεια να βρει τον τύπο που συνδέει τις μεταβλητές α και ν.

Ε: Σε δυσκόλεψε την πρώτη φορά που το είδες;

Μ: Στην αρχή βασικά δυσκολεύτηκα λίγο στον τύπο, γιατί ήθελα να το λύσω με βάση

ένα τύπο.

Ε: Στο μυαλό σου κυρίαρχο ρόλο για τις συναρτήσεις παίζει ο τύπος;

Μ: Ναι.

Ε: Γι’ αυτό δεν μπορούσες να βρεις τα κενά και δεν συμπλήρωσες τα κενά;

Μ: Τα συμπλήρωσα, απλά άργησα λίγο.

Στη συνέχεια του παραπάνω διαλόγου η ερευνήτρια παροτρύνει τη μαθήτρια να

αναζητήσει το μοτίβο που βρίσκεται πίσω από τον πίνακα τιμών και η μαθήτρια το

εντοπίζει αμέσως και έτσι συμπληρώνει αμέσως τις τιμές που αντιστοιχούν στις

μικρές τιμές του ν. Και ο διάλογος συνεχίζει ως εξής:

66

Ε: Για το 100;

Μ: Στην αρχή σκέφτηκα επειδή το 100 είναι 10 επί 10, σκέφτηκα να κάνω 29 επί 10,

αλλά μετά σκέφτηκα ότι ίσως να μην είναι έτσι, ίσως να πρέπει να βρούμε ένα τύπο.

Ε: Γιατί να μην είναι έτσι; Τι σε έκανε να πιστεύεις ότι δεν είναι έτσι;

Μ: Βασικά, να εδώ το 1 όταν πολλαπλασιάζεται το 2 δεν πολλαπλασιάζεται.

Ε: Δηλαδή επειδή αυτό δεν συνέβαινε μέχρι τώρα λες, πως μπορεί να συμβεί ξαφνικά;

Μ: Ναι.

Τελικά, το πρόβλημα λύθηκε με τη βοήθεια της ερευνήτριας και μετά την

ολοκλήρωση της λύσης, κατά την ανασκόπηση της λύσης η μαθήτρια ενθουσιασμένη

από τον τρόπο λύσης του προβλήματος διατύπωσε τις παρακάτω σκέψεις:

Μ: Το ξανασκέφτομαι και βλέπω ότι αυτό εδώ πέρα ήταν σχετικά εύκολο να το

κάνουμε, αλλά δεν είμαστε συνηθισμένοι στο να κάνουμε έτσι, να δουλεύουμε έτσι.

Δεν προσπαθούμε να σκεφτούμε κάποια βοηθητικά βήματα. Συνήθως προσπαθούμε

να βρούμε κάποιο τύπο να το λύσουμε, να κάνουμε πράξεις, να θυμηθούμε κάποιο

ίδιο, αυτό κυρίως στα διαγωνίσματα…. Νομίζω ότι γενικά δεν θα καθόμουν να

σκεφτώ αυτόν τον τρόπο. Αυτός ο τρόπος μου αρέσει. Το να μάθουμε να λύνουμε

προβλήματα με τέτοιο τρόπο είναι πολύ χρήσιμο γιατί χαίρεσαι και σε βοηθάει να

εξασκείς το μυαλό σου και ίσως να μου χρησιμεύσει και αργότερα… Αν μάθουμε να

λύνουμε προβλήματα έτσι θα μάθουμε να λύνουμε προβλήματα όχι μόνο στα

μαθηματικά, αλλά και στη ζωή μας, έτσι, πιο πρακτικά…. Κάθομαι και βλέπω αυτό

το πράγμα [τη λύση] και λέω πόσο εύκολο είναι και σκέφτομαι τι καθόμουν και

έκανα και προσπαθούσα να βρω έναν τύπο… Τελικά ο τύπος δεν είναι ο πιο

σημαντικός, και πολύ πιο ωραία ήταν έτσι όπως το λύσαμε, παρά να τον έχουμε

έτοιμο τον τύπο. Γιατί έτσι μπαίνεις σε σκέψεις, προσπαθείς να σκεφτείς μόνος σου

τι θα μπορούσες να γράψεις, ενώ όταν έχεις τον τύπο δεν σκέφτεσαι, κάνεις μία

απλή αντικατάσταση. Έχεις ενεργητικό, πάρα πολύ ενεργητικό ρόλο.

Από τη συνέντευξη προέκυψε ότι ενώ η μαθήτρια φάνηκε να γνωρίζει τον

ορισμό της συνάρτησης, δεν τον χρησιμοποιούσε ως κριτήριο για να διακρίνει αν μία

γραφική παράσταση ή ένας πίνακας τιμών αναπαριστά ή όχι συνάρτηση, αλλά

βασικό της κριτήριο ήταν ο συσχετισμός συνάρτηση-τύπος. Αυτό ήταν το κύριο

κριτήριο σε κάθε πρόβλημα πρωτότυπο ή μη που αντιμετώπιζε και κατάφερε να

αποδεσμευτεί μόνο μετά από καθοδήγηση της ερευνήτριας. Όταν κατάφερε να

αποδεσμευτεί από αυτόν το συσχετισμό, οδηγήθηκε στην επίλυση του προβλήματος

67

του 6ου έργου και στη συνέχεια κατά την ανασκόπηση της λύσης παρατήρησε ότι

ένας τέτοιος τρόπος λύσης είναι χρήσιμος και ίσως χρησιμότερος από τα μαθηματικά

που διδάσκονται μέχρι σήμερα στο σχολείο.

Β΄ ΜΕΡΟΣ: Η ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΕΜΒΑΣΗΣ

Ο βασικός σκοπός της μελέτης ήταν ο σχεδιασμός, η πειραματική εφαρμογή

και η αξιολόγηση μιας διδακτικής παρέμβασης, η οποία θα πετύχαινε να περιορίσει

σημαντικά της παρανοήσεις των μαθητών αναφορικά με την έννοια της συνάρτησης

και παράλληλα θα βελτίωνε την ικανότητα της να επιλύουν και να κατασκευάζουν

μαθηματικά προβλήματα.

Η Αξιολόγηση της Διδακτική Παρέμβασης

Στο τέλος της 2ης φάσης της παρέμβασης οι μαθήτριες συμμετείχαν σε ένα

γραπτό τεστ14. Το τεστ εξέταζε την ικανότητά τους να διακρίνουν αν μία γραφική

παράσταση ή της πίνακας τιμών αντιστοιχεί σε συνάρτηση. Το τεστ δόθηκε με σκοπό

να αποτελέσει κίνητρο για την πιο ενεργή συμμετοχή των μαθητριών στο μάθημα,

αλλά κυρίως για να δώσει στην ερευνήτρια στοιχεία ανατροφοδότησης της

διδασκαλίας. Μετά την ολοκλήρωση της παρέμβασης, οι μαθήτριες συμμετείχαν σε

ένα ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα15. Το διαγώνισμα αυτό εξέταζε αν οι μαθήτριες

είχαν κατανοήσει την έννοια της συνάρτησης, αν μπορούσαν να διακρίνουν αν μία

γραφική παράσταση ή της πίνακας τιμών αντιστοιχεί σε συνάρτηση, καθώς και αν

είχαν κατανοήσει τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της γραμμικής συνάρτησης και της

συνάρτησης αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Οι μέσοι όροι επίδοσης και οι τυπικές

αποκλίσεις στο τεστ και στο διαγώνισμα ήταν 7011.3,406.17 ==Χ SD και

2960.3,344.15 ==Χ SD αντίστοιχα. Με στόχο την σύγκριση αυτών των μέσων

όρων εφαρμόστηκε το κριτήριο t-test. Η διαφορά των μέσων όρων ήταν στατιστικά

σημαντική σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05, αφού βρέθηκε p=0.002.

14 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ,Γ.5 15 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ,Γ.11

68

Οι μέσοι όροι και οι τυπικές αποκλίσεις του τεστ για το 1ο και 2ο τμήμα ήταν

8177.3,435.17 ==Χ SD και 6694.3,38.17 ==Χ SD αντίστοιχα. Οι αντίστοιχοι

μέσοι όροι και οι τυπικές αποκλίσεις του διαγωνίσματος ήταν

478.2,455.15 ==Χ SD και 9045.3,25.15 ==Χ SD . Από της συγκρίσεις των μέσων

όρων προέκυψε ότι οι διαφορές δεν ήταν στατιστικά σημαντικές σε επίπεδο

σημαντικότητας 0.05, αφού στο τεστ βρέθηκε p=0.96, ενώ στο διαγώνισμα p=0.833.

Οι παραπάνω συγκρίσεις έδειξαν ότι δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά

στην επίδοση των δύο τμημάτων. Το αποτέλεσμα αυτό ήταν αντίθετο με της

δηλώσεις της διδάσκουσας καθηγήτριας και καθηγητών άλλων ειδικοτήτων, ότι η

επίδοση του 1ου τμήματος ήταν σημαντικά χαμηλότερη αυτής του 2ου.

Τέλος, τα Διαγράμματα 12 και 13 παρουσιάζουν την κατανομή των

μαθητριών στο τεστ της 2ης φάσης και στο ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα. Με βάση

τα διαγράμματα αυτά φαίνεται ότι το μεγαλύτερο ποσοστό των μαθητριών (65.3%)

απέδωσαν άριστα στο τεστ και πολύ καλά στο ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα

(38.8%).

Διάγραμμα 12 Επίδοση των μαθητριών Διάγραμμα 13 Επίδοση των μαθητριών στο ανακεφαλαιωτικό

διαγώνισμα στο τεστ της 2ης φάσης της διδακτικής παρέμβασης

Κατά τη διάρκεια της παρέμβασης παρατηρήθηκαν τρία σημαντικά στοιχεία,

που σχετίζονταν τόσο με τις παρανοήσεις που παρατηρήθηκαν στο διαγνωστικό τεστ,

όσο και με την επιρροή της μεθόδου διδασκαλίας στον τρόπο σκέψης των μαθητριών.

Πιο συγκεκριμένα, κατά την επίλυση προβλημάτων ρουτίνας, παρατηρήθηκε ότι η

γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε ως πρότυπο και πως η διαδικαστική γνώση

υπερείχε της εννοιολογικής. Επίσης, ήταν σημαντικό ότι όταν οι μαθήτριες έρχονταν

69

αντιμέτωπες με πρωτότυπα προβλήματα, τότε επιστράτευαν ευρετικές επίλυσης

μαθηματικού προβλήματος. Η συχνότητα με την οποία εμφανίστηκαν τα παραπάνω

κατά τη διάρκεια της παρέμβασης, φαίνεται στο Διάγραμμα 14.

15

1110

02468

10121416

Γραμμική ως πρότυπο Η διαδικαστική υπερέχειτης εννοιολογικής

Ευρετικές ΕΜΠ

Διάγραμμα 14 Συμβάντα κατά τη διάρκεια της παρέμβασης

Στο παρακάτω πρωτόκολλο, φαίνεται το πρόβλημα της γραμμικής

συνάρτησης ως προτύπου. Στο πρωτόκολλο 1 η μαθήτρια διατυπώνει την άποψή της

σχετικά με το αν η σχέση που έχει γραφική παράσταση ευθεία παράλληλη στον

άξονα χ΄χ, είναι ή όχι συνάρτηση.

Πρωτόκολλο 1, Μ (Μαθήτρια), Ε (Ερευνήτρια)

Μ: Δεν πρέπει να περνάει από… από την αρχή των… των αξόνων;

Ε: Γιατί; Η αρχή των αξόνων σε ποιο σχήμα [εννοεί γεωμετρικό] αντιστοιχεί;

Μ:…

Ε: Τοποθετήσαμε κάποιο σχήμα στην αρχή των αξόνων;

Μ: Όχι.

Ε: Άρα γιατί να περνάει από την αρχή των αξόνων;

Μ: Για να είναι συνάρτηση.

Ε: Είπαμε εμείς κάτι τέτοιο;

Μ: Όχι, αλλά ως τώρα…

Ε: Ναι…

Μ: Είναι λάθος αυτά που δεν περνάνε από την αρχή των αξόνων.

Η μαθήτρια αυτή φάνηκε ότι είχε ακούσει και από αλλού για τις συναρτήσεις,

πράγμα που μάλλον την είχε οδηγήσει σε παρανοήσεις. Σε σχετική ερώτηση της

ερευνήτριας, απαντά ότι κάποια πράγματα της τα έχει πει η μητέρα της. Η μεταφορά

των ιδιοτήτων των αναλόγων ποσών σε κάθε πρόβλημα φάνηκε και από την

70

προσπάθεια μίας μαθήτριας να λύσει το πρόβλημα του φύλλου εργασίας 2 ως εξής:

Μ: Μα κυρία, στα 5 [εννοεί διπλώματα] είναι 32 [εννοεί περιοχές], στα 18 πόσα;

Βγαίνει 115,2;;;!!! [με απορία]

Επίσης, ένα άλλο σημείο όπου φάνηκε ότι η γραμμική συνάρτηση

λειτουργούσε ως πρότυπο, ήταν όταν γινόταν στην τάξη η διαπραγμάτευση της

συνάρτησης των αναλόγων ποσών. Όταν είχε γίνει στον πίνακα η γραφική

παράσταση της σχέσης ψ=1,2χ και η ερευνήτρια ρώτησε τις μαθήτριες αν αυτή η

σχέση ήταν συνάρτηση, τότε μία μαθήτρια θεώρησε ότι ήταν συνάρτηση επειδή όλα

τα σημεία βρίσκονταν στην ίδια ευθεία. Τέλος, όταν σε επόμενο μάθημα η

ερευνήτρια ρώτησε αν τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

F=2C+32 μπορούσαν να ενωθούν, τότε μία μαθήτρια απάντησε πως όχι διότι δεν θα

περνάει η γραμμή από την αρχή των αξόνων. Η απάντηση αυτή αποτελεί ακόμα μία

ένδειξη ότι η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε ως πρότυπο.

Σε πολλά σημεία της διδακτικής παρέμβασης φάνηκε να υπερέχει η

διαδικαστική της εννοιολογικής γνώσης. Μία πρώτη ένδειξη ήταν όταν κατά την

διαπραγμάτευση του προβλήματος του φύλλου εργασίας 2, μία μαθήτρια υψηλής

επίδοσης αναρωτήθηκε: «τι σχέση έχει αυτό με τις συναρτήσεις;». Αμέσως μετά, μία

μαθήτρια μέσης επίδοσης, μη μπορώντας να βρει το μοτίβο που ζητούσε το

πρόβλημα, διαμαρτυρήθηκε λέγοντας: «Χωρίς θεωρία δεν μπορούμε να κάνουμε

πράξη». Ανάλογες αντιδράσεις παρατηρήθηκαν και στην διαπραγμάτευση του

προβλήματος του φύλλου εργασίας 3, όπου οι μαθήτριες διάβασαν το πρόβλημα

επισημαίνοντας μόνο τις λεγόμενες λέξεις-κλειδιά. Έτσι, για να υπολογίσουν το

εμβαδόν του 1ου τριγώνου πήραν τον χάρακα, με στόχο να μετρήσουν τη βάση και το

ύψος του τριγώνου και έτσι να εφαρμόσουν τον τύπο υπολογισμού εμβαδού

τριγώνου. Είναι επίσης χαρακτηριστικό, ότι οι μαθήτριες ως εργαλεία για την

επίλυση των ασκήσεων των αναλόγων ποσών χρησιμοποιούσαν αλγορίθμους που

είχαν διδαχθεί σε προηγούμενες τάξεις, χωρίς να συνειδητοποιούν ότι αυτοί οι

αλγόριθμοι προέκυπταν από τις βασικές ιδιότητες των αναλόγων ποσών. Για

παράδειγμα, όταν τους ζητήθηκε να ελέγξουν αν ένας δοσμένος πίνακας τιμών

αντιστοιχούσε σε ανάλογα ποσά, τότε επιστράτευαν τη μέθοδο του «χιαστί» χωρίς να

συνειδητοποιούν ότι αυτή η μέθοδος στηριζόταν στο γεγονός ότι ο λόγος των

αντιστοίχων τιμών ήταν σταθερός. Κάτι τέτοιο αποτέλεσε μία ακόμα ένδειξη της

υπεροχής της διαδικαστικής γνώσης έναντι της εννοιολογικής. Τέλος, κατά τη

71

διαπραγμάτευση του προβλήματος του φύλλου εργασίας 6, που αφορούσε σε

αντιστρόφως ανάλογα ποσά, οι μαθήτριες μόλις είδαν έναν πίνακα με τρεις γνωστές

και μία άγνωστη ποσότητα, επέλεξαν να κάνουν «χιαστί», χωρίς να ελέγξουν αν τα

ποσά είναι ανάλογα. Ακόμα και όταν μία μαθήτρια επέλεξε να μην κάνει «χιαστί»,

αλλά να εξισώσει τα γινόμενα των αντιστοίχων τιμών, εξήγησε ότι το κάνει αυτό

διότι «έτσι δεν λύνουμε τα προβλήματα των αντιστρόφως αναλόγων ποσών;». Έτσι και

σε αυτό το σημείο φάνηκε η τάση των μαθητριών να επιλύουν τα προβλήματα

προσπαθώντας να τα εντάξουν σε μία ευρύτερη κατηγορία, χωρίς, όμως, να

κατανοούν τα βήματα του αλγορίθμου που ακολουθούν για να τα επιλύσουν.

Οι μαθήτριες συχνά επιστράτευαν ευρετικές επίλυσης προβλήματος. Αυτό,

όμως, γινότανε κυρίως όταν αντιμετώπιζαν πρωτότυπα προβλήματα. Στα

προβλήματα ρουτίνας, η διδασκαλία των προηγούμενων ενοτήτων της ίδιας ή

παλαιότερης τάξης, τις εμπόδιζε να επιστρατεύσουν ευρετικές, με αποτέλεσμα να

λειτουργούν με τον τρόπο που περιγράψαμε παραπάνω. Οι ευρετικές που

χρησιμοποιούσαν συχνότερα ήταν η πινακοποίηση των δεδομένων, η δημιουργία της

γραφικής παράστασης, η χρήση ενός παλιότερου γνωστού προβλήματος και η

διατύπωση και ο έλεγχος μίας εικασίας.

Πολλές μαθήτριες, προσπαθώντας να βρουν τη σχέση που συνδέει τα δύο

ποσά στο πρόβλημα του φύλλου εργασίας 2, ξεκίνησαν λέγοντας: «Το 3 τι σχέση έχει

με το 8;» ή «Για να δώσει το 0 το 1, προσθέτουμε 1». Οι φράσεις αυτές δείχνουν ότι οι

μαθήτριες αναζητούσαν τη σχέση για συγκεκριμένα δεδομένα, με στόχο στη

συνέχεια να γενικεύσουν τις παρατηρήσεις τους. Επίσης, διατύπωναν κάποια εικασία

την οποία στη συνέχεια έλεγχαν στα δεδομένα του προβλήματος. Ένα

χαρακτηριστικό παράδειγμα επιστράτευσης των ευρετικών που προαναφέρθηκαν

είναι το παρακάτω πρωτόκολλο, που αφορά στο πρόβλημα του φύλλου εργασίας 3.

Πρωτόκολλο 2, Ε (Ερευνήτρια), Μ1 (Μαθήτρια 1), Μ2 (Μαθήτρια 2)

Μ1: Κυρία! Να σας ρωτήσω κάτι; Αυτό ισχύει; [δείχνει στο φύλλο της τη σχέση χψ 2= , έχοντας ονομάσει χ τον αριθμό του τριγώνου και ψ το εμβαδόν του].

Που το είχαμε πει την προηγούμενη φορά;

Ε: Κάθε φορά το μοτίβο είναι το ίδιο;

Μ1: Όχι.

Ε: Μπορεί και να είναι αυτό, δεν ξέρω.

72

Μ1 & Μ2: [Κοιτούν τον πίνακα και σκέπτονται]

Η ερευνήτρια απομακρύνεται από την ομάδα και η μαθήτρια Μ1 σχεδιάζει στο

φύλλο εργασίας δίπλα στον πίνακα τιμών ένα τετράγωνο με ένα ερωτηματικό μέσα

σε αυτό. Κάτι τέτοιο είχε κάνει η ερευνήτρια την προηγούμενη διδακτική περίοδο για

να εξηγήσει στην τάξη πώς οδηγούμαστε στο ζητούμενο μοτίβο του προβλήματος

του φύλλου εργασίας 2.

Μ1: Άμα το 1…. [δείχνει τον αριθμό 1 στο πρώτο κουτάκι του πίνακα τιμών που

αντιστοιχεί στο πρώτο τρίγωνο και την αντίστοιχη τιμή που είναι πάλι 1]

Μ2: Μας τα χαλάει το επόμενο.

Μ1: [δείχνει το 3 και το 9, το 4 και το 16, το 5 και το 25]

Μ2:Ναι, ναι, για κάτσε… 1 επί 1 καλά… 2 επί 2… 3 επί 3 εννιά… 5 επί 5 25…

Μ1: Α, ωραία. [δυνατά] Το βρήκαμε. Κυρία το βρήκαμε. Η Μαρία το βρήκε.

Στη συνέχεια αναφέρονται τρία επιπλέον πρωτόκολλα που αφορούν σε τρία

στιγμιότυπα, τα οποία δείχνουν τη δυσκολία των μαθητριών στην κατανόηση του

ορισμού της συνάρτησης, την ωφέλεια του ομαδοσυνεργατικού τρόπου διδασκαλίας

και τη χρησιμότητα της χρήσης του ηλεκτρονικού υπολογιστή ως μέσου

διδασκαλίας.

Στο πρωτόκολλο 3, που λαμβάνει χώρα κατά τη διάρκεια της 1ης φάσης της

παρέμβασης, οι μαθήτριες συζητούν ώστε να αποφανθούν αν η σχέση «Το δεύτερο

σχήμα είναι το μεγάλο μπλε τετράγωνο», είναι ή όχι συνάρτηση. Στο πρωτόκολλο

αυτό γίνεται φανερή η δυσκολία μιας μαθήτριας να κατανοήσει την έννοια του «ένα

μόνο» στον ορισμό της συνάρτησης.

Πρωτόκολλο 3, Μ1 (Μαθήτρια1), Μ2 (Μαθήτρια2), Μ3 (Μαθήτρια3), Ε (Ερευνήτρια)

Μ1: Είναι συνάρτηση γιατί όλα αντιστοιχούνε σε κάποιο. Μπορεί να αντιστοιχούνε στο

ίδιο, αλλά αντιστοιχούνε σε κάποιο.

Μ2: Η συνάρτηση λέει όμως μόνο σε ένα.

Μ1: Δεν έχουνε δεύτερο!

Ε: Εσύ γιατί λες ότι δεν είναι συνάρτηση;[απευθύνεται στη μαθήτρια Μ2]

Μ2: Γιατί και τα 23 μπορούν να μπουν. Στο μικρό μπλε τετράγωνο, μπορούμε να

βάλουμε και τα 23 σε έναν πίνακα και να γράψουμε στο τέλος μικρό μπλε

τετράγωνο.

Ε: Το πρόβλημά σου ώστε να πεις ότι δεν είναι συνάρτηση ποιο είναι; Εξήγησέ το.

73

Έχεις δίκιο ότι όποιο και να βάλεις σαν πρώτο, δεύτερο είναι το μικρό μπλε

τετράγωνο.

Μ2: Ναι, αλλά λέει [εννοεί ο ορισμός] ότι αντιστοιχεί μόνο σε ένα.

Ε: Γιατί εδώ αντιστοιχεί σε περισσότερα; Ας πούμε το μεγάλο μπλε τετράγωνο σε τι

αντιστοιχεί;

Μ3: Το μικρό μπλε τετράγωνο αντιστοιχεί σε όλα.

Ε: Το μικρό μπλε τετράγωνο είναι στοιχείο αφετηρίας;

Μ3: Αφίξεως.

Ε: Μας πειράζει αυτό; Τι είναι συνάρτηση;

Μ2: Όταν ένα στοιχείο του συνόλου αφετηρίας αντιστοιχεί σε ένα μόνο στοιχείο του

συνόλου αφίξεως.

Ε: Άρα μας ενδιαφέρει κάθε στοιχείο του συνόλου αφετηρίας να έχει ένα μόνο

αντίστοιχο.

Μ1: Οπότε είναι ολόσωστο! Γιατί δεν είναι συνάρτηση; [απευθύνεται στην Μ2].

Μ2:….

Μ1: Δεν αντιστοιχούνε σε ένα;

Μ2: Όλα αντιστοιχούνε σε ένα…

Ε: Στο ίδιο εννοείς;

Μ2: Ναι.

Ε: Ναι, αλλά όταν πάρεις ένα, αυτό το ένα έχει πάνω από ένα ζευγάρι;

Μ2: Δηλαδή επειδή το δεύτερο είναι πάντα σταθερό γι’ αυτό είναι συνάρτηση.

Ε: Και αν δεν ήταν το δεύτερο σταθερό δεν θα ήταν συνάρτηση;

Μ2: Άλλο αυτό, είναι άλλη πρόταση άμα δεν είναι το δεύτερο σταθερό.

Το πρωτόκολλο 4 αφορά στη διαπραγμάτευση του προβλήματος του φύλλου

εργασίας 3. Στο πρωτόκολλο αυτό παρατηρούμε ότι αναπτύχθηκε η λεγόμενη Ζώνη

Επικείμενης Ανάπτυξης (ΖΕΑ), όπου οι μαθήτριες κάτι που δεν μπορούσαν να το

κάνουν μόνες τους, το έκαναν μέσα στην ομάδα και άρα στο μέλλον μπορεί να είναι

σε θέση να το κάνουν και μόνες τους. Το σχετικό πρωτόκολλο είναι το εξής:

Πρωτόκολλο 4, Ε (Ερευνήτρια), Μ1 (Μαθήτρια 1), Μ2 (Μαθήτρια 2)

Ε: Το εμβαδόν μεταβάλλεται με τυχαίο τρόπο;

Μ1: Όχι.

Ε: Αυτό εννοούμε λοιπόν. Αφού δεν είναι τυχαίος ο τρόπος είναι κάποιος

συγκεκριμένος τρόπος. Αυτός ο συγκεκριμένος τρόπος με τον οποίο γίνεται η

74

μεταβολή είναι το μοτίβο.

Μ1: Την έννοια του μοτίβου την καταλάβαμε. Στο συγκεκριμένο…

Μ2:[κάτι λέει και σημειώνει στο φύλλο]

Ε: Στάσου. Δεν ξέρω. Μπορεί να είναι. Αυτό σημαίνει «κάποιο μοτίβο», ξέρω

εγώ…καθώς προχωράμε στον αύξοντα αριθμό του τριγώνου, το εμβαδόν

διπλασιάζεται, μπορεί… δεν ξέρω…ή… ξέρω εγώ… υψώνεται στο τετράγωνο, ή

διαιρείται δια δύο, ή αφαιρώ πέντε, ή προσθέτω τρία. Αυτό είναι ένα μοτίβο, ότι

κάθε φορά, από το κάθε βήμα στο επόμενο κάτι συγκεκριμένο γίνεται. [όλη την

ώρα που μιλάει η ερευνήτρια η μαθήτρια Μ2 την κοιτάει, ενώ η Μ1 κοιτάει στο

φύλλο εργασίας].

Μ1: Ξέρετε τι παρατήρησα;

Ε: Τι παρατήρησες;

Μ1: Ότι κάθε φορά που αυξάνεται

Ε: Ναι

Μ1: Εεεε… αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό του… τριγώνου με τον εαυτό του θα μας

δώσει το…. το εμβαδόν του τριγώνου.

Ε: Νάτο. Αυτό είναι ένα μοτίβο.

Μ1: Αυτό θα γράψουμε;

Ε: Ακριβώς όπως το είπες. Εξήγησέ το και στην Αλεξάνδρα.

Μ1: Αν πολλαπλασιάσεις το 1 με τον εαυτό του σου βγάζει 1, το 2 με τον εαυτό του 4,

το 3 με τον εαυτό του 9, τέσσερα επί τέσσερα 16, πέντε επί πέντε 25.

Μ2: Άρα στο τετράγωνο.

Μ1: Α![χαμογελώντας] ορίστε [κοιτάει την ερευνήτρια].

Τέλος, ο θετικός ρόλος του υπολογιστή φαίνεται στο διάλογο του παρακάτω

πρωτοκόλλου. Το πρωτόκολλο 5 αφορά στη διαπραγμάτευση του φύλλου εργασίας 5,

όπου οι μαθήτριες αναζητούν τα σημεία τομής της ευθείας F=2C+32 με τους άξονες.

Η μαθήτρια Μ2 έδειξε στην οθόνη πώς πρέπει να κινηθούμε για να βρούμε την

απάντηση. Κάτι τέτοιο είναι σημαντικό διότι η μαθήτρια αυτή έπασχε από επιλεκτική

αφωνία. Ο νέος τρόπος διδασκαλίας, όμως, της έδωσε δυνατότητα να εκφραστεί. Το

σχετικό πρωτόκολλο είναι το εξής:

Πρωτόκολλο 5, Ε (Ερευνήτρια), Μ1 (Μαθήτρια-μέσης προς υψηλής επίδοσης),

Μ2 (Μαθήτρια-πολύ χαμηλής επίδοσης)

Ε: Αυτό [δείχνοντας τον κατακόρυφο άξονα] είναι Φαρενάιτ. Εγώ θέλω 0 Φαρενάιτ

75

σε πόσους Κελσίου [παύση 3 δευτερολέπτων] μηδέν Φαρενάιτ σε πόσους Κελσίου;

Μ1: Ναι.

Μ2:[δείχνει στην οθόνη του υπολογιστή την αρχή των αξόνων και κινείται οριζόντια

προς τα αριστερά μέχρι να συναντήσει την γραφική παράσταση της συνάρτησης]

Ε: Αυτό που κάνει η Νώρα. Έτσι!! Και πόσο είναι εκεί;

Μ1: Εεε!... Μισό λεπτό.

Ε: Βρείτε το.

Αποτελέσματα της τελικής αξιολόγησης

Η έρευνα ολοκληρώθηκε με τη χορήγηση στις μαθήτριες που

παρακολούθησαν τη διδακτική παρέμβαση ενός δοκιμίου (τελικό τεστ), την επόμενη

σχολική χρονιά, όταν ήταν πια μαθήτριες της Γ΄ Γυμνασίου. Ο σκοπός της

χορήγησης του δοκιμίου αυτού ήταν να διερευνηθεί η επίδραση της διδακτικής

παρέμβασης, σε σχέση με τις παρανοήσεις που έχουν οι μαθητές στην έννοια της

συνάρτησης και κατά πόσον η διδακτική παρέμβαση επέδρασε στη διατήρηση της

γνώσης. Στις επόμενες σελίδες απαντώνται αρχικά τα έξι πρώτα ερευνητικά

ερωτήματα, που κατά βάση σχετίζονταν με το Α΄ μέρος της έρευνας. Στη συνέχεια,

φαίνονται οι συγκρίσεις μεταξύ των μέσων όρων της γνώσης του ορισμού, της

γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου, της επίδοσης στην ικανότητα αναπαράστασης

και στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ, των δύο ομάδων που συμμετείχαν στο διαγνωστικό

και στο τελικό τεστ και οι στατιστικά σημαντικές ή όχι διαφορές μεταξύ τους. Από

τις συγκρίσεις αυτές προκύπτει η επίδραση της διδακτικής παρέμβασης.

Από τις 46 μαθήτριες που συμμετείχαν στο τελικό τεστ οι 22 δεν είχαν γνώση

του ορισμού της συνάρτησης, οι 22 είχαν μερική γνώση του ορισμού, ενώ 2 είχαν

πλήρη γνώση του ορισμού. Επομένως, οι πιο πολλές μαθήτριες είτε δεν είχαν

«καθόλου», είτε είχαν «μερική» γνώση του τυπικού ορισμού της συνάρτησης. Η

μέση επίδοση ήταν ( 57.0=Χ , SD=0.58). Παρατηρήθηκε ότι οι μαθήτριες είχαν

δυσκολία στην αναπαράσταση της συνάρτησης ( 48.6=Χ , SD=3.88). Ο συντελεστής

συσχέτισης της γνώσης του ορισμού και της ικανότητας αναπαράστασης βρέθηκε

0.207. Επομένως, η ικανότητα αναπαράστασης δεν συσχετίζεται με τη γνώση του

ορισμού, ούτε στο τελικό τεστ.

Όπως αναφέρθηκε και στην ανάλυση των αποτελεσμάτων του διαγνωστικού

76

τεστ, έτσι και στο τελικό τεστ, η επίδοση στην ικανότητα αναπαράστασης προέκυψε

από την επίδοση των μαθητριών στα έργα 3, 4, 5 και 6(i). Μεταξύ των συνιστωσών

της ικανότητας αναπαράστασης βρέθηκαν στατιστικά σημαντικές συσχετίσεις μεταξύ

των μεταβλητών: μετάβαση από τύπο σε πίνακα (έργο 4) και μετάβαση από γραφική

παράσταση σε τύπο (έργο 5) (r=0.464) και της αναγνώρισης διασκορπισμένων

σημείων που αντιστοιχούν σε συνάρτηση (έργο 3 vii ) και της αναγνώρισης

διασκορπισμένων σημείων που δεν αντιστοιχούν σε συνάρτηση (έργο 3 viii)

(r=0.625). Δηλαδή, όσες μαθήτριες μπορούσαν να μεταβούν από τον τύπο στον

πίνακα τιμών της συνάρτησης, μπορούσαν να μεταβούν και από τη γραφική

παράσταση στον τύπο της συνάρτησης. Ελέγχθηκε και η συσχέτιση των συνιστωσών

της ικανότητας αναπαράστασης με την γνώση του ορισμού. Οι συντελεστές

συσχέτισης φαίνονται στον Πίνακα 5. Από τον Πίνακα 5 φαίνεται ότι δεν βρέθηκε

καμία ισχυρή συσχέτιση μεταξύ τους, σε αντίθεση με το διαγνωστικό τεστ όπου

παρατηρήθηκαν κάποιες θετικές συσχετίσεις.

Πίνακας 5

Συντελεστές συσχέτισης γνώσης ορισμού συνάρτησης με συνιστώσες ικανότητας

αναπαράστασης στο τελικό τεστ.

Γνώση τυπικού ορισμού

Μη συνεχόμενη γραμμή που είναι συνάρτηση 0.208

Παραβολή με άξονα τον χ΄χ 0.124

Μη συνεχόμενη γραμμή που δεν είναι συνάρτηση 0.228

Πίνακας τιμών συνάρτησης 0.255

Πίνακας τιμών όπου για δύο χ έχει το ίδιο ψ 0.077

Πίνακας τιμών όπου για ένα χ έχει δύο ψ 0.044

Διασκορπισμένα σημεία που είναι γραφική παράσταση συνάρτησης 0.118

Διασκορπισμένα σημεία που δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης 0.082

Μετάβαση από τύπο σε πίνακα τιμών -0.086

Μετάβαση από γραφική παράσταση σε τύπο -0.038

Μετάβαση από πίνακα τιμών σε τύπο 0.2

N=46

77

Ελέγχθηκε, επίσης, αν υπήρχε στατιστικά σημαντική διαφορά ανάμεσα στις

ομάδες με διαφορετικό επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης, ως προς την

επίδοση στη ικανότητα αναπαράστασης, στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ, με το κριτήριο

ανάλυσης διασποράς. Οι συγκρίσεις των αντίστοιχων μέσων όρων φαίνονται στον

Πίνακα 6. Στον πίνακα αυτό επίσης φαίνονται οι αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις, οι

τιμές που προέκυψαν από την στατιστική τεχνική ανάλυσης διασποράς και τα

αντίστοιχα επίπεδα σημαντικότητας. Οι συγκρίσεις έγιναν σε επίπεδο

σημαντικότητας 0.05.

Από τον Πίνακα 6 φαίνεται ότι οι μέσοι όροι των τριών παραπάνω

μεταβλητών είναι στατιστικά οι ίδιοι και για τις τρεις ομάδες που διαμορφώνονται με

βάση τη γνώση του ορισμού. Επίσης, η χαμηλή επίδοση στην ΚΜΠ δικαιολογείται

από το γεγονός ότι στην διδακτική παρέμβαση δεν δόθηκε βάρος στην ΚΜΠ.

Πίνακας 6

Η μεταβολή της ικανότητας αναπαράστασης, ΕΜΠ και ΚΜΠ ανάλογα με τη γνώση

του ορισμού της συνάρτησης.

Μεταβλητές Γνώση Ορισμού Χ SD F p

Ικανότητα αναπαράστασης Καθόλου γνώση*

Μερική γνώση**

Πλήρης γνώση***

5.64 7.2 7.75

3.78 3.74 7.43

1.009 0.373

Ικανότητα ΕΜΠ Καθόλου γνώση Μερική γνώση Πλήρης γνώση

0.91 1.43 0.5

0.8 1.19

0 1.934 0.157

Ικανότητα ΚΜΠ Καθόλου γνώση Μερική γνώση Πλήρης γνώση

0.32 0.45 0.5

0.72 0.74 0.71

0.217 0.806

*Ν1=22 **Ν2=22 ***Ν3=2

Σε επίπεδο σημαντικότητας 0.05 βρέθηκε στατιστικά σημαντική θετική

συσχέτιση μεταξύ της ικανότητας αναπαράστασης και της ικανότητας ΕΜΠ

(r=0.564). Επιπλέον, η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε ως πρότυπο και στο

τελικό τεστ ( 43.0=Χ , SD=0.69), ενώ η συσχέτιση μεταξύ της ικανότητας ΕΜΠ και

της γραμμικής συνάρτησης ως πρότυπο (r=0.306) ήταν στατιστικά σημαντική θετική,

πράγμα που δεν συνέβαινε στο διαγνωστικό τεστ.

Οι μαθήτριες είχαν υψηλή επίδοση στην ΕΜΠ ( 14.1=Χ , SD=1.02), ενώ η

επίδοσή τους στην ΚΜΠ ήταν χαμηλή ( 39.0=Χ , SD=0.71). Η θετική συσχέτιση

μεταξύ της ικανότητας ΕΜΠ και της ικανότητας ΚΜΠ (r=0.212) δεν βρέθηκε

78

στατιστικά σημαντική.

Σε αντιστοιχία με τον Πίνακα 3, ο Πίνακας 7 παρουσιάζει τα αποτελέσματα

που προέκυψαν από την εφαρμογή του κριτηρίου t-test με σκοπό να συγκριθούν οι

μέσοι όροι του τελικού τεστ μεταξύ:

• της επίδοσης στη μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών και από τη

γραφική παράσταση στον τύπο

• της επίδοσης στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ

• της επίδοσης στην ικανότητα αναπαράστασης συνάρτησης και της

μαθηματικής επίδοσης

• της επίδοσης στην ΕΜΠ και της μαθηματικής επίδοσης

• της επίδοσης στην ΚΜΠ και της μαθηματικής επίδοσης

Πίνακας 7

Συγκρίσεις της ικανότητας ΕΜΠ,ΚΜΠ, αναπαράστασης, μετάβασης από μία

αναπαράσταση σε μία άλλη και μαθηματικής επίδοσης.

Μεταβλητές Χ SD t p Μετάβαση από τύπο σε πίνακα τιμών Μετάβαση από γραφ. παρ. σε τύπο

0.87 0.71

0.94 0.88 1.172 0.247

Επίδοση στην ΕΜΠ Επίδοση στην ΚΜΠ

1.14 0.39

1.02 0.71 4.565 0.000

Μαθηματική επίδοση Επίδοση στην αναπαράσταση

17.296.48

2.44 3.88 19.527 0.000

Μαθηματική επίδοση Επίδοση στην ΕΜΠ

17.291.14

2.44 1.02 48.977 0.000

Μαθηματική επίδοση Επίδοση στην ΚΜΠ

17.290.39

2.44 0.71 48.368 0.000

Από τον Πίνακα 7 φαίνεται ότι η επίδοση των μαθητριών στην μετάβαση από

τον τύπο στον πίνακα τιμών της συνάρτησης δεν διέφερε σημαντικά από την επίδοσή

τους στη μετάβαση από τη γραφική παράσταση στον τύπο της συνάρτησης. Όμως, η

ικανότητα ΕΜΠ βρέθηκε υψηλότερη από την ικανότητα ΚΜΠ και η διαφορά τους

ήταν στατιστικά σημαντική. Τέλος, η μαθηματική επίδοση των μαθητριών ήταν

υψηλότερη από την επίδοση στην αναπαράσταση, στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ και οι

διαφορές ήταν στατιστικά σημαντικές. Η μαθηματική επίδοση των μαθητριών

βρέθηκε να έχει στατιστικά σημαντική θετική συσχέτιση με την ικανότητα

αναπαράστασης (r=0.367) και με την ικανότητα ΕΜΠ (r=0.399). Δηλαδή, οι

μαθήτριες με υψηλή επίδοση στα μαθηματικά είχαν υψηλή επίδοση στην

79

αναπαράσταση της συνάρτησης και στην ΕΜΠ.

Στη συνέχεια, απαντήθηκε το 7ο ερευνητικό ερώτημα που ήταν: Η διδασκαλία

της έννοιας της συνάρτησης μέσω της ΕΜΠ βοηθάει τους μαθητές να κατανοήσουν

τον ορισμό της συνάρτησης, να βελτιώσουν την ικανότητα αναπαράστασης μίας

συνάρτησης, να έχουν καλύτερη επίδοση στην ΕΜΠ και στην ΚΜΠ και να μη

χρησιμοποιούν την γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο;

Για το σκοπό αυτό έγινε σύγκριση των μέσων όρων της επίδοσης της πρώτης και

δεύτερης ομάδας μαθητριών στη γνώση του ορισμού, στην ικανότητα

αναπαράστασης, στην ικανότητα ΕΜΠ και ΚΜΠ, στη γραμμική συνάρτηση ως

πρότυπο και στην ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα στον τύπο και από τον τύπο

στον πίνακα συνάρτησης. Η σύγκριση έγινε με στόχο τον έλεγχο της επίδρασης της

διδακτικής παρέμβασης και τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 8. Στον πίνακα

αυτό φαίνονται και οι αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις, οι τιμές που προέκυψαν από το

t-test και τα αντίστοιχα επίπεδα σημαντικότητας.

Πίνακας 8

Συγκρίσεις της γνώσης του ορισμού, της γραμμικής ως πρότυπο, της ικανότητας

αναπαράστασης, της ΕΜΠ και ΚΜΠ, μεταξύ διαγνωστικού και τελικού τεστ.

Μεταβλητές Τεστ Χ SD t p

Γνώση Ορισμού Διαγνωστικό τεστ*

Τελικό τεστ**0.44 0.57

0.58 0.58 -1.064 0.29

Γραμμική ως πρότυπο Διαγνωστικό τεστ Τελικό τεστ

0.29 0.43

0.62 0.69 -1.062 0.29

Ικανότητα αναπαράστασης Διαγνωστικό τεστ Τελικό τεστ

6.64 6.48

4.43 3.88 0.189 0.851

Μετάβαση από πίνακα σε τύπο

Διαγνωστικό τεστ Τελικό τεστ

0.47 0.68

0.53 0.6 -1.787 0.077

Μετάβαση από τύπο σε πίνακα

Διαγνωστικό τεστ Τελικό τεστ

1.51 0.87

0.84 0.94 3.479 0.001

Ικανότητα ΕΜΠ Διαγνωστικό τεστ Τελικό τεστ

0.69 1.14

0.77 1.02 -2.398 0.019

Ικανότητα ΚΜΠ Διαγνωστικό τεστ Τελικό τεστ

0.38 0.39

0.64 0.71 -0.117 0.907

*Ν1=48, ** Ν2=46

Από τον Πίνακα 8 προκύπτει ότι ο μέσος όρος επίδοσης στη γνώση του

ορισμού, στη γραμμική ως πρότυπο και στην ικανότητα ΚΜΠ στο τελικό τεστ είναι

υψηλότερος από τον αντίστοιχο μέσο όρο επίδοσης στο διαγνωστικό τεστ, χωρίς

80

όμως οι διαφορές να είναι στατιστικά σημαντικές. Αντίθετα, η ικανότητα ΕΜΠ

βρέθηκε υψηλότερη στο τελικό τεστ σε σχέση με αυτή του διαγνωστικού τεστ και η

διαφορά ήταν στατιστικά σημαντική. Τέλος, η ικανότητα αναπαράστασης στο τελικό

τεστ βρέθηκε σε χαμηλότερο επίπεδο από αυτή του διαγνωστικού τεστ με μη

στατιστικά σημαντική διαφορά. Η χαμηλότερη επίδοση στην ικανότητα

αναπαράστασης στο τελικό τεστ, πιθανόν να οφείλεται στη δυσκολία των μαθητριών

να μεταβούν από τον τύπο στον πίνακα τιμών της συνάρτησης, όπου ο μέσος όρος

βρέθηκε μεγαλύτερος στο διαγνωστικό τεστ από αυτόν του τελικού τεστ και η

διαφορά ήταν στατιστικά σημαντική. Αντίθετα, στη μετάβαση από τον πίνακα στον

τύπο της συνάρτησης, οι μαθήτριες απέδωσαν καλύτερα στο τελικό τεστ, με διαφορά,

όμως, που οριακά δεν ήταν στατιστικά σημαντική, αφού βρέθηκε p=0.077.

Γενικά, δεν παρατηρήθηκε στατιστικά σημαντική βελτίωση στην επίδοση των

μαθητριών στο τελικό τεστ ( 33.8=Χ , SD=4.94) σε σχέση με την επίδοση στο

διαγνωστικό τεστ ( 96.7=Χ , SD=4.85), αφού βρέθηκε p=0.72. Το γεγονός αυτό

αποτελεί σημαντική ένδειξη του ότι η μέθοδος διδασκαλίας δεν είναι ο μόνος

παράγοντας που συμβάλει στη διατήρηση της γνώσης. Ωστόσο, σε αρκετά από τα

έργα παρατηρήθηκε ότι μειώθηκε το ποσοστό των μαθητριών με μηδενική επίδοση

και αυξήθηκε το ποσοστό εκείνων με μεσαία επίδοση. Από την παρατήρηση αυτή

μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μία διδακτική παρέμβαση με βάση την ΕΜΠ, μπορεί

σε βάθος χρόνου να συμβάλει στην αποφυγή των παρανοήσεων σε σχέση με την

κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Οι μεταβολές των ποσοστών φαίνονται στα

διαγράμματα 15-18.

60.4

35.4

4.2

47.8 47.8

4.3

0

10

20

30

40

50

60

70

0 1 2

Διαγνωστικό τεστΤελικό τεστ

Διάγραμμα 15 Επίπεδο γνώσης του ορισμού της συνάρτησης στα δύο τεστ

81

79.2

12.58.3

67.4

21.7

10.9

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 1 2


Διάγραμμα 16 Η γραμμική συνάρτηση ως πρότυπο στα δύο τεστ

27.1

18.8

37.5

4.2 4.28.3

15.2

63

6.5

15.2

0

10

20

30

40

50

60

70

0 0.25 0.5 0.75 1 2


Διάγραμμα 17 Η ικανότητα μετάβασης από τον πίνακα στον τύπο της

συνάρτησης στα δύο τεστ

70.8

20.9

8.3

73.9

13 13

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 1 2


Διάγραμμα 18 Η ικανότητα ΚΜΠ στα δύο τεστ

82

Τα Διαγράμματα 15-18 δείχνουν την επίδοση των μαθητριών στα έργα του

διαγνωστικού και του τελικού τεστ που μετρούσαν το επίπεδο γνώσης του ορισμού,

τη λειτουργία της γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου, την ικανότητα μετάβασης

από τον πίνακα στον τύπο της συνάρτησης και την ικανότητα ΚΜΠ. Από τα

Διαγράμματα αυτά φαίνεται ότι μειώθηκε το ποσοστό των μαθητριών που δεν είχαν

«καθόλου γνώση» του ορισμού της συνάρτησης (βαθμός=0), ενώ αυξήθηκε το

ποσοστό όσων είχαν «μερική γνώση» (βαθμός=1). Δηλαδή, περισσότερες ήταν οι

μαθήτριες που θεωρούσαν τη συνάρτηση ως μία σχέση και λιγότερες εκείνες που δεν

έδιναν ορισμό ή ταύτιζαν την έννοια της συνάρτησης με τη συνάρτηση των

αναλόγων ποσών. Το ποσοστό των μαθητριών που είχαν «πλήρη» γνώση του

ορισμού της συνάρτησης ήταν περίπου το ίδιο. Επίσης, παρατηρήθηκε αύξηση του

ποσοστού των μαθητριών με βαθμό 1 και 2 στο 2ο έργο των δύο τεστ, το οποίο

μετρούσε το κατά πόσον η γραμμική συνάρτηση λειτουργούσε ως πρότυπο. Δηλαδή,

ήταν περισσότερες οι μαθήτριες οι οποίες ένωσαν τα διασκορπισμένα σημεία με

ευθύγραμμα τμήματα, ώστε να σχηματιστεί γραφική παράσταση συνάρτησης. Το

ποσοστό των μαθητριών που θεώρησαν ότι σε αυτό το έργο δεν μπορούν να ενώσουν

τα σημεία, επειδή δεν βρίσκονται όλα στην ίδια ευθεία, αν και μειώθηκε, ωστόσο

παρέμεινε υψηλό. Παρά το γεγονός ότι η ικανότητα αναπαράστασης βρέθηκε

χαμηλότερη στο τελικό τεστ από ότι στο διαγνωστικό τεστ, ωστόσο η ικανότητα

μετάβασης από τον πίνακα στον τύπο της συνάρτησης βρέθηκε μεγαλύτερη στο

τελικό τεστ, αφού σε αυτό το τεστ περισσότερες μαθήτριες βρήκαν τον τύπο της

συνάρτησης απ’ ότι στο διαγνωστικό και έτσι βαθμολογήθηκαν στο αντίστοιχο έργο

με βαθμό ίσο με 2. Τέλος, παρατηρήθηκε αύξηση του ποσοστού των μαθητριών που

κατασκεύασαν πρόβλημα, το οποίο απαιτούσε πολύπλοκες πράξεις και άρα

βαθμολογήθηκαν στο αντίστοιχο έργο των δύο τεστ με βαθμό 2. Κάτι τέτοιο, σε

συνδυασμό με το γεγονός ότι τελικά στη διδακτική παρέμβαση δεν δόθηκε βάρος

στην ΚΜΠ, δείχνει ότι η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ μπορεί να συμβάλει στην

βελτίωση και της επίδοσης στην ΚΜΠ.

83

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ – ΣΥΖΗΤΗΣΗ

Περίληψη

Από τα αποτελέσματα φάνηκε ότι οι μαθήτριες έχουν παρανοήσεις και

συναντούν πολλές δυσκολίες στην έννοια της συνάρτησης. Η γραμμική συνάρτηση λειτουργεί ως πρότυπο και η ικανότητα ΕΜΠ βρίσκεται σε χαμηλό επίπεδο. Η διδακτική παρέμβαση με βάση την ΕΜΠ η οποία εφαρμόστηκε πειραματικά, συνέβαλε στην βελτίωση της ικανότητας ΕΜΠ, που είναι και το ζητούμενο για τη μάθηση των μαθηματικών. Ωστόσο, αν και οι παρανοήσεις και οι δυσκολίες φάνηκαν να είναι λιγότερες, η γενικότερη βελτίωση δεν βρέθηκε στατιστικά σημαντική. Οι μαθήτριες φάνηκε ότι ξεχνούν τις έννοιες που έχουν διδαχθεί, όταν αυτές δεν αποτελούν αντικείμενο εξέτασης των τελικών εξετάσεών τους και άρα η μέθοδος διδασκαλίας δεν είναι ο μόνος παράγοντας που συμβάλει στη διατήρηση της γνώσης.

Οι παρανοήσεις των μαθητών σχετικά με την έννοια της συνάρτησης

Με σκοπό την διερεύνηση των δυσκολιών που συναντούν οι μαθητές της Γ΄

Γυμνασίου των ελληνικών σχολείων στη κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης,

χορηγήθηκε ένα δοκίμιο (διαγνωστικό τεστ). Πιο συγκεκριμένα, μέσα από τα έργα

του δοκιμίου, επιχειρήθηκε η διερεύνηση του συσχετισμού της γνώσης του τυπικού

ορισμού της συνάρτησης με την ικανότητα αναπαράστασης της συνάρτησης και της

λειτουργίας της γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου. Επίσης, διερευνήθηκε ο τρόπος

που οι παραπάνω μεταβλητές συσχετίζονται με την ικανότητα των μαθητών να

επιλύουν και να κατασκευάζουν μαθηματικά προβλήματα.

Από την ανάλυση των απαντήσεων του δοκιμίου διαπιστώθηκε ότι πολλοί

μαθητές δεν γνωρίζουν τον τυπικό ορισμό της συνάρτησης. Ειδικότερα με τον όρο

συνάρτηση καταλαβαίνουν την οποιαδήποτε σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Κάποιοι

δε, ταυτίζουν την έννοια της συνάρτησης με τη γραμμική συνάρτηση και ειδικότερα

με τη συνάρτηση των αναλόγων ποσών. Δηλαδή, η γραμμική συνάρτηση αποτελεί

πρότυπο για πολλούς, με αποτέλεσμα τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της να

γενικεύονται και σε οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση, πράγμα που επιβεβαιώνει

παλαιότερες έρευνες σε μαθητές μεγαλύτερης ηλικίας (Vinner & Dreyfus, 1989).

Αξιοσημείωτα ήταν τα αποτελέσματα που σχετίζονταν με την ικανότητα

αναπαράστασης των συναρτήσεων. Παρατηρήθηκε ότι όταν οι μαθήτριες καλούνταν

84

να διακρίνουν αν μία γραφική παράσταση ή ένας πίνακας τιμών αντιστοιχούσε ή όχι

σε συνάρτηση δεν βασίζονταν στον ορισμό της συνάρτησης αλλά στα παραδείγματα

που είχαν συζητηθεί κατά τη διδασκαλία της έννοιας αυτής (γραμμική συνάρτηση,

συνάρτηση αντιστρόφως αναλόγων ποσών) και σε συσχετίσεις του τύπου

συνάρτηση-τύπος. Κάτι τέτοιο ήταν αναμενόμενο, καθώς και οι Artigue & Didirem

(1997), μελετώντας το Α.Π. των μαθηματικών στη Γαλλία, διαπίστωσαν ότι τα

κριτήρια που εφαρμόζουν οι μαθητές ώστε να αποφανθούν αν μία σχέση είναι

συνάρτηση ή όχι εξαρτώνται περισσότερο από τυπικά παραδείγματα που λειτουργούν

ως πρότυπα και από συσχετίσεις όπως η συσχέτιση συνάρτηση-τύπος ή συνάρτηση-

καμπύλη. Έτσι, το ίδιο αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί συνάρτηση ή όχι, ανάλογα με

την αναπαράστασή του. Παράλληλα, η περιορισμένη ικανότητα στη μετάβαση από

μία αναπαράσταση σε μία άλλη δείχνει περιορισμένη κατανόηση των συναρτήσεων,

σύμφωνα με το μοντέλο της συνάρτησης του O’ Callaghan (1998). Η υψηλή επίδοση

των μαθητριών του δείγματος στη μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών της

συνάρτησης, που έρχεται σε αντίθεση με την επίδοσή τους στη μετάβαση από τη

γραφική παράσταση στον τύπο και τη μετάβαση από τον πίνακα τιμών στον τύπο,

δείχνει πως είχαν μάθει κάποιες συγκεκριμένες διαδικασίες τις οποίες εφάρμοζαν

χωρίς να κατανοούν την έννοια που βρίσκεται πίσω από αυτές. Η τελευταία

παρατήρηση επιβεβαιώνει τους Grabinger & Dunlap (2002) που υποστηρίζουν ότι οι

μαθητές μέσω της παραδοσιακής μεθόδου διδασκαλίας δεν έχουν καταφέρει να

αποκτήσουν την ικανότητα να ρυθμίζουν ή να τροποποιούν τη γνωστική τους

δραστηριότητα.

Οι ικανότητες ΕΜΠ και ΚΜΠ βρέθηκαν σε χαμηλό επίπεδο. Οι στατιστικά

σημαντικές διαφορές μεταξύ της μαθηματικής επίδοσης και της ικανότητας επίλυσης

και κατασκευής μαθηματικού προβλήματος δείχνει ότι στην Ελλάδα αφιερώνεται

λίγος διδακτικός χρόνος στην διδασκαλία ΕΜΠ. Το Α.Π. στην Ελλάδα προβλέπει την

διδασκαλία της ΕΜΠ, ωστόσο οι καθηγητές, είτε λόγω ελλιπούς ενημέρωσης, είτε

λόγω έλλειψης διδακτικού χρόνου, την παρακάμπτουν. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι

μαθητές να έχουν μεγάλη δυσκολία στην επίλυση πρωτότυπων προβλημάτων,

πράγμα που βρίσκει σύμφωνους και τους Harskamp & Suhre (2006). Από την άλλη

μεριά η ΚΜΠ φάνηκε ότι είναι μία διαδικασία άγνωστη για τους περισσότερους

μαθητές. Ακόμα και οι μαθήτριες με υψηλή μαθηματική επίδοση δίσταζαν να

κατασκευάσουν ένα δικό τους πρόβλημα. Δεν παρατηρήθηκε συσχέτιση μεταξύ της

85

ικανότητας ΕΜΠ και της ικανότητας ΚΜΠ. Επίσης δεν αποδείχθηκε συσχέτιση

μεταξύ της ΕΜΠ και της πρόσληψης της γραμμικής συνάρτησης ως προτύπου ή της

ικανότητας αναπαράστασης μιας συνάρτησης. Αυτά τα αποτελέσματα επιβεβαιώνουν

τους ερευνητές που επισημαίνουν ότι η αποτυχία των μαθητών στην ΕΜΠ δεν είναι

συνήθως αποτέλεσμα έλλειψης μαθηματικής γνώσης, αλλά συχνότερα είναι

αποτέλεσμα αναποτελεσματικής χρήσης της μαθηματικής γνώσης (Garofalo &

Lester, 1985; Schoenfeld, 1987; Van Streun, 2000). Δηλαδή, παρατηρήθηκε ότι οι

μαθήτριες είχαν στο μυαλό τους αποσπασματικές γνώσεις. Τις γνώσεις αυτές δεν

ήταν σε θέση να τις αξιοποιήσουν ώστε να επιλύσουν μία προβληματική κατάσταση.

Παρατηρήθηκε ακόμα ότι οι απαντήσεις τους δεν στηρίζονταν σε ένα συγκεκριμένο,

έστω και λανθασμένο, πλαίσιο. Έτσι, ενώ από τη μια μεριά ταύτιζαν την έννοια της

συνάρτησης με τη γραμμική συνάρτηση και ιδιαίτερα με τη συνάρτηση των

αναλόγων ποσών, από την άλλη, όταν τους δινόταν η γραφική παράσταση μιας

γραμμικής συνάρτησης δεν ήταν σε θέση να βρουν τον τύπο της. Κάτι τέτοιο δείχνει

ότι δεν υπήρχε κατανόηση ούτε και της γραμμικής συνάρτησης, ακόμα και αν αυτή

λειτουργούσε ως πρότυπο. Απαντήσεις του τύπου «δεν θυμάμαι» ή «θυμάμαι ότι το

έχουμε κάνει, αλλά δεν θυμάμαι τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσω για να το

λύσω», δείχνουν ότι οι μαθήτριες ήταν προσκολλημένες σε μία διαδικαστική γνώση,

χωρίς να προσπαθούν να αναζητήσουν λύση στο αδιέξοδο που οδηγούνταν κατά την

ΕΜΠ.

Η διδακτική παρέμβαση και η επίδρασή της

Σύμφωνα με την Cramer (2001), τα μαθηματικά θα πρέπει να ενσωματωθούν

σε προβλήματα που περιλαμβάνουν συγκεκριμένα μοντέλα. Επίσης, οι μαθητές θα

πρέπει αρχικά να μάθουν να χρησιμοποιούν μη τυπική μαθηματική γλώσσα για να

περιγράφουν μοτίβα και συναρτησιακές σχέσεις και αργότερα να αρχίσουν να

χρησιμοποιούν την συμβολική-τυπική μαθηματική γλώσσα. Έτσι, στα πλαίσια της

παρούσας έρευνας σχεδιάστηκε και εφαρμόστηκε πειραματικά μία διδακτική

παρέμβαση με βάση τη μάθηση μέσω της ΕΜΠ. Η παρέμβαση είχε σκοπό να

συμβάλει στην βαθύτερη κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης.

Αναφορικά με τη στάση των συμμετεχόντων, αρχικά η διδακτική παρέμβαση

αντιμετωπίστηκε με προβληματισμό. Η διαπραγμάτευση πρωτότυπων προβλημάτων,

86

που δεν σχετίζονταν με αριθμητικά σύνολα ή συνήθεις στις μαθήτριες καταστάσεις,

τις έκανε να πιστεύουν ότι δεν κάνουν μαθηματικά. Φάνηκε ότι πίστευαν ότι οι

μαθηματικές έννοιες μπορούν να εφαρμοστούν μόνο σε αριθμητικά δεδομένα. Την

άποψη αυτή πιθανόν τη συμμεριζόταν και η διδάσκουσα καθηγήτρια της τάξης, η

οποία μετά την ολοκλήρωση της παρέμβασης, δήλωσε ότι «αφού κάναμε τόσο λίγα

πράγματα δεν μπορούμε να βάλουμε διαγώνισμα». Όταν, όμως, είδε το

ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα, τότε είπε: «Αυτό είναι καλό!». Η αντίδραση αυτή της

καθηγήτριας επιβεβαιώνει επίσης και την άποψη ότι οι καθηγητές συχνά

δυσκολεύονται να οργανώσουν τη διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης

(Llinares, 2000).

Καθώς η διδακτική παρέμβαση εξελισσόταν, παρατηρήθηκε ότι πολλές

μαθήτριες που αρχικά είχαν δυσκολία στην ΕΜΠ, άρχισαν να εξοικειώνονται με τις

ευρετικές επίλυσης προβλήματος. Οι δυσκολίες που είχαν οι μαθήτριες οφείλονταν

κυρίως στο ότι οργάνωναν τις νοητικές τους λειτουργίες γύρω από θέματα και όχι

γύρω από στόχους και εστίαζαν την προσοχή τους σε επιφανειακά στοιχεία, χωρίς να

μελετούν το πρόβλημα σε βάθος. Επίσης, αδυνατούσαν να συνδέσουν τα μαθηματικά

με την εμπειρία τους από την καθημερινή ζωή και πάντα επιχειρούσαν να δώσουν

εξηγήσεις που σχετίζονταν με το μάθημα, θεωρώντας ότι τα προβλήματα που έλυναν

στο πλαίσιο του μαθήματος των μαθηματικών ήταν ανεξάρτητα από τα προβλήματα

που συναντούν έξω από τη σχολική τάξη. Όμως, κάποιες μαθήτριες που αρχικά

αντιμετώπιζαν τα προβλήματα ως «άλυτα», στη συνέχεια επιστράτευαν τις ευρετικές

επίλυσης προβλήματος και τελικά έλυναν το πρόβλημα. Φάνηκε δηλαδή ότι η

μάθηση μέσω της ΕΜΠ εξαλείφει τις αδυναμίες των μαθητών, κάτι που

υποστηρίζουν και οι Grabinger & Dunlap (2002).

Κατά τη διάρκεια της εφαρμογής της διδακτικής παρέμβασης παρατηρήθηκε

ότι ακόμα και μαθήτριες που είχαν χαρακτηριστεί ως αδύνατες από τη διδάσκουσα

καθηγήτρια, άρχισαν να ενεργοποιούνται. Κάποιες φορές οι μαθήτριες αυτές

απέδιδαν καλύτερα από εκείνες που είχαν χαρακτηριστεί ως μαθήτριες υψηλής ή

μέσης επίδοσης. Η ενεργοποίηση των μαθητριών αυτών μας οδηγεί στο συμπέρασμα

ότι η μάθηση μέσω της ΕΜΠ σε συνδυασμό με την ομαδοσυνεργατική διδασκαλία

εμπλέκει τους μαθητές στη διαδικασία της μάθησης, έτσι ώστε να μπορούν να

κάνουν περισσότερα στα πλαίσια της ομάδας. Τότε, σύμφωνα με τον Vygotsky,

αναπτύσσεται η λεγόμενη Ζώνη Επικείμενης Αντίληψης (ΖΕΑ), όπου κάτι που

87

σήμερα το παιδί κάνει στα πλαίσια της ομάδας, πιθανόν αύριο να είναι σε θέση να το

κάνει μόνο του.

Γενικά, συμπεραίνουμε ότι η διδακτική παρέμβαση έδωσε, τόσο στις

μαθήτριες με υψηλή επίδοση όσο και σε εκείνες με χαμηλότερη, την ευκαιρία να

εμπλακούν σε δραστηριότητες μάθησης και να μην είναι απλοί δέκτες πληροφοριών.

Οι μαθήτριες είχαν τη δυνατότητα να εκφράσουν και να συζητήσουν τις απόψεις

τους, γεγονός που συμβάλει στη βαθύτερη κατανόηση των εννοιών. Ωστόσο, ο

περιορισμένος χρόνος και οι συχνές απουσίες μαθητριών από την τάξη δεν βοήθησε

να φτάσουν σε πλήρη εξοικείωση με τον νέο τρόπο διδασκαλίας. Οι μαθήτριες

φάνηκαν να αντιμετωπίζουν τη παρέμβαση ως ένα ευχάριστο διάλειμμα, μέχρι να

επιστρέψουν στις παλιές τους συνήθειες και στον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας.

Το γεγονός ότι το αντικείμενο της διδακτικής παρέμβασης δεν θα αποτελούσε μέρος

της αξιολόγησης των μαθητριών, λειτούργησε ως ανασταλτικός παράγοντας.

Εκτίμηση της ερευνήτριας είναι ότι για να φανούν τα οφέλη ενός τέτοιου τρόπου

διδασκαλίας, θα πρέπει να εφαρμόζεται σε σταθερή βάση. Τότε η θετική επίδραση θα

φανεί σε βάθος χρόνου.

Συζήτηση

Η επίδραση της διδακτικής παρέμβασης στην κατανόηση της έννοιας της

συνάρτησης φάνηκε από τα αποτελέσματα του τελικού τεστ. Οι μαθήτριες

παρουσίασαν βελτιωμένη επίδοση σε σχέση με εκείνες που συμμετείχαν στο

διαγνωστικό τεστ, αλλά η βελτίωση ήταν στατιστικά σημαντική μόνο στην ικανότητα

ΕΜΠ, που ήταν και ο κύριος στόχος της παρέμβασης. Άλλωστε, οι Blake, Hurley &

Arenz (1995) επισημαίνουν ότι η εστίαση σε διαδικασίες ΕΜΠ μπορεί να βοηθήσει

τους μαθητές να συνδέσουν έννοιες και να δημιουργήσουν έτσι μία στερεή βάση για

το μέλλον σε σχέση με τη μάθηση των μαθηματικών. Η έμφαση σε τέτοιου είδους

δραστηριότητες αναπτύσσει την ικανότητα των παιδιών να κατανοούν και να

εφαρμόζουν μαθηματικές έννοιες και σε άλλες επιστήμες.

Από τα αποτελέσματα του τελικού τεστ φάνηκε ότι οι μαθήτριες είχαν

κατανοήσει καλύτερα την έννοια της συνάρτησης. Ήταν περισσότερες οι μαθήτριες

που χαρακτήρισαν την συνάρτηση ως μία σχέση μεταξύ δύο ποσών και ήταν

λιγότερες εκείνες που ταύτισαν την έννοια της συνάρτησης με τη γραμμική

88

συνάρτηση. Η γραμμική συνάρτηση, όμως, λειτουργούσε και πάλι ως πρότυπο,

πράγμα αναμενόμενο αφού η διαπραγμάτευση των αναλόγων ποσών ξεκινάει από

μικρότερες τάξεις και έτσι οι μαθητές είναι ιδιαίτερα εξοικειωμένοι με αυτά. Ωστόσο,

η μείωση του ποσοστού των μαθητριών, που απάντησαν στο έργο 2 του τελικού τεστ

ότι δεν μπορούν να ενώσουν τα σημεία διότι δεν βρίσκονται όλα σε μία ευθεία,

δείχνει ότι όταν η διδασκαλία επικεντρωθεί σε γενικότερα παραδείγματα χωρίς

έμφαση στα ανάλογα ποσά, τότε τα χαρακτηριστικά της γραμμικής συνάρτησης

μπορεί να πάψουν να αποτελούν πρότυπο.

Η συνολικά χαμηλότερη επίδοση των μαθητριών στο τελικό τεστ σε σχέση με

το διαγνωστικό, στα έργα που εξέταζαν την ικανότητα αναπαράστασης, φάνηκε να

οφείλεται κυρίως στη δυσκολία μετάβασης από τον τύπο στον πίνακα τιμών της

συνάρτησης. Η σύγκριση των αντίστοιχων μέσων όρων έδειξε ότι η διαφορά ήταν

στατιστικά σημαντική. Το αποτέλεσμα αυτό χρήζει περαιτέρω εξέτασης, ωστόσο

είναι πιθανόν να οφείλεται στο ότι κατά τη διδασκαλία της έννοιας της συνάρτησης

με τον παραδοσιακό τρόπο, δίνεται ιδιαίτερη έμφαση σε ασκήσεις τέτοιου τύπου, ενώ

κατά τη διάρκεια της διδακτικής παρέμβασης δεν δόθηκε ιδιαίτερη έμφαση. Η

αυξημένη επίδοση των μαθητριών, που συμμετείχαν στο διαγνωστικό τεστ, στη

μετάβαση από τον τύπο στον πίνακα τιμών της συνάρτησης, πιθανόν να είναι μία

ένδειξη υπεροχής της διαδικαστικής γνώσης έναντι της εννοιολογικής. Κάτι τέτοιο

προκύπτει σε συνδυασμό με το γεγονός ότι η συνολική τους επίδοση σε έργα που

απαιτούσαν βαθύτερη κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης, βρέθηκε ιδιαίτερα

χαμηλή. Η μονομερής έμφαση και η υπεροχή της επίδοσης σε έργα διαδικαστικής

γνώσης έναντι της εννοιολογικής, ήταν αναμενόμενη, αφού οι μαθήτριες όλα τα

προηγούμενα χρόνια παρακολουθούσαν έναν παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας. Έτσι,

μέσω της παραδοσιακής μεθόδου διδασκαλίας οι μαθήτριες δεν είχαν καταφέρει να

αποκτήσουν την ικανότητα σύνδεσης, μεταφοράς, ρύθμισης και τροποποίησης της

γνωστικής τους δραστηριότητας. Είχαν μάθει κάποιες συγκεκριμένες στρατηγικές,

όπως η απομνημόνευση, και τις εφάρμοζαν σε κάθε περίσταση, χωρίς να κατανοούν

το λόγο για τον οποίο τις εφαρμόζουν. Η διαπίστωση αυτή βρίσκει σύμφωνους και

τους Grabinger & Dunlap (2002).

Τέλος, παρατηρήθηκε αύξηση του ποσοστού των μαθητριών που στο τελικό

τεστ μπόρεσαν να κατασκευάσουν ένα πρόβλημα που απαιτούσε πολύπλοκες

πράξεις. Η αύξηση αυτή δεν ήταν στατιστικά σημαντική. Το γεγονός αυτό μας οδηγεί

89

στο συμπέρασμα ότι η εστίαση στην ΕΜΠ επιδρά και στην ικανότητα ΚΜΠ, παρά το

γεγονός ότι η διδακτική παρέμβαση δεν έδωσε βάρος στην ΚΜΠ. Όταν, λοιπόν, οι

μαθητές διαπραγματεύονται πρωτότυπα προβλήματα, μαθαίνουν να συσχετίζουν τα

μαθηματικά με την καθημερινή ζωή και έτσι εξοικειώνονται με την έννοια του

προβλήματος, ώστε τελικά να είναι σε θέση να κατασκευάζουν δικά τους

προβλήματα. Επίσης, σύμφωνα με τον Silver (1994), η ΚΜΠ περιλαμβάνει την

υποβολή νέων προβλημάτων και ερωτήσεων με στόχο την διερεύνηση μιας δοσμένης

κατάστασης, όπως και την αναδιατύπωση ενός προβλήματος κατά τη διάρκεια

επίλυσής του και μπορεί να συμβεί πριν, κατά την διάρκεια και μετά την επίλυση

ενός προβλήματος. Επομένως, όταν οι μαθητές εξοικειώνονται με την ΕΜΠ, είναι

πολύ πιθανόν να βελτιωθούν και στην ΚΜΠ. Μία τέτοια εξέλιξη συντελεί στην

επίτευξη του στόχου της μάθησης, που σύμφωνα με την Athey (1974), είναι οι

μαθητές να αναπτύξουν μία τέτοια στάση απέναντι στην ΕΜΠ ώστε να θέλουν να

βρίσκουν, να γενικεύουν και να επιλύουν προβλήματα.

Εισηγήσεις για περαιτέρω έρευνες

Η παρούσα έρευνα οδήγησε σε συμπεράσματα που επιβεβαίωσαν

παλαιότερες έρευνες. Σημαντικό στοιχείο της έρευνας αυτής ήταν ότι η διδακτική

παρέμβαση εφαρμόστηκε στις πραγματικές συνθήκες του σχολείου στην Ελλάδα,

όπου πολλοί αστάθμητοι παράγοντες, όπως η απουσία μαθητριών από την τάξη λόγω

της συμμετοχής τους σε εκδηλώσεις του σχολείου, επηρέασαν την εκπαιδευτική

διαδικασία. Οι παράγοντες αυτοί ήταν και είναι αναπόφευκτοι, αφού η εκπαίδευση

οφείλει να περιλαμβάνει και τη συμμετοχή των μαθητών σε πολιτιστικές και

αθλητικές εκδηλώσεις.

Κατά τη διάρκεια της έρευνας και ειδικότερα κατά την πειραματική

εφαρμογή της διδακτικής παρέμβασης, διαφάνηκε μία δυσπιστία των υπόλοιπων

καθηγητών σχετικά με τα οφέλη της έρευνας αυτής. Η δυσπιστία αυτή είναι σε

μεγάλο βαθμό δικαιολογημένη, αφού η ενημέρωση των καθηγητών σχετικά με τους

νέους τρόπους διδασκαλίας είναι πλημμελής. Ωστόσο, είναι γεγονός ότι, καθώς η

παρέμβαση εξελισσόταν και οι καθηγητές παρατηρούσαν την ενεργοποίηση μαθητών

που μέχρι εκείνη τη στιγμή ήταν ανύπαρκτοι στην τάξη, άρχισε να εκδηλώνεται

περισσότερο ενδιαφέρον σχετικά με τα οφέλη αυτού του τρόπου διδασκαλίας. Κάτι

90

τέτοιο δείχνει ότι η ενημέρωση των καθηγητών για τους νέους τρόπους διδασκαλίας

θα ήταν καλό να μην είναι μόνο θεωρητική, αλλά και πρακτική. Επομένως, ο

σχεδιασμός και η εφαρμογή από επιστήμονες της διδακτικής, ολοκληρωμένων

προγραμμάτων διδασκαλίας που να στηρίζονται στις νέες μεθόδους διδασκαλίας και

για ολοκληρωμένες ενότητες, θα ήταν χρήσιμος

Από τα αποτελέσματα φάνηκε ότι η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ μπορεί να

βοηθήσει τους μαθητές να κατανοήσουν τις έννοιες σε βάθος. Τα θετικά οφέλη,

όμως, ενός τέτοιου τρόπου διδασκαλίας μπορούν να φανούν καλύτερα, όταν η

διδασκαλία αυτή εφαρμόζεται συστηματικά και όχι αποσπασματικά. Ένα άλλο

βασικό στοιχείο που περιόρισε τα θετικά αποτελέσματα του συγκεκριμένου τρόπου

διδασκαλίας ήταν το γεγονός ότι η ενότητα που διδάχτηκαν οι μαθήτριες μέσω της

ΕΜΠ, δεν αποτέλεσε μέρος της εξέτασης στις προαγωγικές εξετάσεις τους. Έτσι,

ήταν φυσικό να μην δώσουν προσοχή σε πολλά από αυτά που είχαν διδαχθεί. Στο

σημείο αυτό ανακύπτει το ερώτημα: «Γιατί οι μαθητές ξεχνούν αυτά που έχουν

διδαχθεί και που κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας φαίνεται ότι έχουν εμπεδώσει;».

Η μέθοδος διδασκαλίας δεν φάνηκε ότι είναι ο μόνος παράγοντας που επηρεάζει τη

διατήρηση της γνώσης, αφού η επίδοση τόσο στο διαγνωστικό, όσο και στο τελικό

τεστ ήταν χαμηλή, πράγμα που αποτελεί ένδειξη ότι οι μαθητές είχαν ξεχάσει ό,τι

είχαν διδαχθεί. Η διερεύνηση αυτού του ερωτήματος μπορεί να αποτελέσει

αντικείμενο περαιτέρω έρευνας. Επίσης, για να εξαλειφθεί αυτός ο παράγοντας, που

συμβάλει σημαντικά στην επίδραση της παρέμβασης, θα ήταν χρήσιμο να

εφαρμοστεί μία ανάλογη έρευνα σε δύο ομάδες μαθητών. Στη μία ομάδα να

διδαχτούν οι μαθητές την έννοια της συνάρτησης με τον παραδοσιακό τρόπο

διδασκαλίας, ενώ στην άλλη η διδασκαλία να γίνει μέσω της ΕΜΠ. Στη συνέχεια και

μετά την ολοκλήρωση της διδακτικής ενότητας, οι δύο ομάδες να συμμετάσχουν σε

ένα τεστ, με βάση το οποίο θα γίνει η σύγκριση των δύο ομάδων σε σχέση με την

κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης. Βεβαίως, θα ήταν ακόμα χρησιμότερο να

σχεδιαστεί μία διδακτική παρέμβαση όπου όλες οι βασικές έννοιες θα διδάσκονται

μέσω της ΕΜΠ. Κάτι τέτοιο θα μπορούσε να οδηγήσει σε πιο αξιόπιστα

συμπεράσματα σε σχέση με την ωφέλεια του νέου τρόπου διδασκαλίας.

Κατά την πειραματική εφαρμογή της διδακτικής παρέμβασης, καταγράφηκαν

από την ερευνήτρια πολλοί ενδιαφέροντες διάλογοι, είτε μεταξύ των μαθητριών, είτε

μεταξύ της ερευνήτριας και των μαθητριών. Οι διάλογοι αυτοί παρουσιάστηκαν

91

παραπάνω. Η ανάλυση των διαλόγων αυτών σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο μοντέλο,

θα μπορούσε να αποτελέσει αντικείμενο περαιτέρω έρευνας. Τα αποτελέσματα μίας

τέτοιας ανάλυσης θα μπορούσαν να συμβάλουν στην κατανόηση της σκέψης και του

τρόπου έκφρασης των παιδιών.

Στην ανασκόπηση της βιβλιογραφίας αναφέρθηκε το μοντέλο κατανόησης

της έννοιας της συνάρτησης σύμφωνα με τον O’ Callaghan (1998). Με βάση το

μοντέλο αυτό θα μπορούσε να γίνει έλεγχος του επιπέδου κατανόησης της έννοιας

της συνάρτησης από τους μαθητές. Αυτό ο έλεγχος του επιπέδου κατανόησης της

έννοιας της συνάρτησης θα μπορούσε να γίνει για μαθητές τόσο του Γυμνασίου όσο

και του Λυκείου, δηλαδή να προεκταθεί η μελέτη ώστε να καλύψει και άλλες ηλικίες.

Επίσης, λόγω της ιδιαιτερότητας του σχολείου στο οποίο πραγματοποιήθηκε η

έρευνα, το δείγμα αποτελείτο αποκλειστικά από μαθήτριες, πράγμα που εγείρει το

ερώτημα μήπως η αποτυχία της παρέμβασης περιορίζεται ή όχι στα κορίτσια. Θα

ήταν λοιπόν λογικό να σχεδιαστεί μια ανάλογη μελέτη με συμμετέχοντες και από τα

δύο φύλα. Αφού δεν αποκλείεται η ιδιαιτερότητα του δείγματος να σχετίζεται τελικά

και με την επιτυχία της προσπάθειας.

Τελειώνοντας, δεν μπορεί να μείνει ασχολίαστο το γεγονός ότι η κύρια

ένσταση των καθηγητών των μαθηματικών, απέναντι στους νέους τρόπους

διδασκαλίας, είναι η έλλειψη χρόνου σε σχέση με τον όγκο της διδακτέας ύλης. Η

έλλειψη χρόνου αποτελεί το κύριο επιχείρημα στο οποίο η πλειοψηφία των

καθηγητών στηρίζει τον παραδοσιακό και δασκαλοκεντρικό τρόπο διδασκαλίας. Η

αγωνία αυτή των καθηγητών είναι κατανοητή, αλλά εξίσου σημαντική είναι η

ανάγκη να προσπαθήσουν. Η προσπάθεια αυτή μπορεί να περιλαμβάνει αρχικά την

ενημέρωσή τους σχετικά με τους νέους τρόπους διδασκαλίας, στη συνέχεια την

αναζήτηση σχεδιασμένων διδακτικών παρεμβάσεων και τη πειραματική εφαρμογή

τους και τέλος την κριτική αντιμετώπιση των αποτελεσμάτων, τόσο από τους ίδιους

όσο και από έμπειρους και ενημερωμένους συναδέλφους τους. Κάτι τέτοιο θα

οδηγήσει σε θετικά αποτελέσματα και στη βελτίωση της διδασκαλίας των

μαθηματικών στα σχολεία. Δεν είναι αναγκαίο η διδασκαλία μέσω της ΕΜΠ να

εφαρμόζεται σε όλες τις ενότητες. Αρκεί η εφαρμογή της σε ενότητες που

σχετίζονται με την εισαγωγή νέων εννοιών. Τα παιδιά δεν βοηθούνται από την

ενασχόληση με τυποποιημένες πολύπλοκες ασκήσεις που βελτιώνουν την

διαδικαστική τους γνώση, αλλά από πρωτότυπα προβλήματα της καθημερινής ζωής,

92

που τα εμπλέκουν στη διαδικασία της μάθησης και τα βοηθούν να καταλάβουν ότι τα

μαθηματικά δεν διακρίνονται σε σχολικά και μη. Αυτός θα πρέπει να είναι και ο

στόχος κάθε καθηγητή των μαθηματικών.

93

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. – Το διαγνωστικό τεστ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:_______________________________________________

Σας παρακαλούμε αν σε κάποιες ερωτήσεις δεν μπορείτε να απαντήσετε, γράψτε το

λόγο για τον οποίο δυσκολεύεστε. Κάτι τέτοιο θα είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για την

έρευνά μας.

Ευχαριστούμε για τη συνεργασία σας!

1. Πείτε με δικά σας λόγια τι ακριβώς εννοείτε με τον όρο συνάρτηση;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________________

2. Ενώστε κατάλληλα όλα τα σημεία του παρακάτω σχήματος, έτσι ώστε να

προκύψει μία γραμμή που να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης. Αν δεν

μπορείτε να τα ενώσετε εξηγήστε το λόγο στην επόμενη σελίδα.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

94

3. Ποια από τα πιο κάτω γραφήματα ή πίνακες αντιστοιχούν σε συναρτήσεις;

Δικαιολογήστε με την απάντησή σας.

i)

Δικαιολόγηση

i)_______________________

________________________

________________________

________________________

ii)


ii)______________________

________________________

________________________

________________________

iii)


iii)______________________

________________________

________________________

________________________

95

iv) Δικαιολόγηση

iv)______________________

________________________

________________________

________________________

χ 0 1 2 3

ψ 5 8 9 11

v) Δικαιολόγηση

v)______________________

________________________

________________________

________________________

χ 0 1 5 8

ψ 1 1 2 4

vi) χ 0 0 2 3

ψ 1 2 3 4 Δικαιολόγηση

vi)______________________

________________________

________________________

________________________

vii)


vii)_____________________

________________________

________________________

________________________

viii)


viii)_____________________

________________________

________________________

________________________

96

4. Να κάνετε τον πίνακα τιμών της συνάρτησης ψ=-5χ+1 για χ=0,1,2,3,4;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

5. Ποιος είναι ο τύπος της συνάρτησης που αναπαριστά η πιο κάτω ευθεία;

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα:

ν 1 2 3 4 5 10 100

α 2 5 8 11 350

i) Περιγράψτε τη διαδικασία με βάση την οποία συμπληρώσατε καθένα από

τα κενά του παραπάνω πίνακα. Μήπως υπάρχει ένας τύπος που μας δίνει

κάθε φορά τον ζητούμενο όρο; Αν ναι ποιος είναι;

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

97

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

ii) Ο παραπάνω πίνακας αντιστοιχεί σε συνάρτηση; Δικαιολογήστε την

απάντησή σας.

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

7. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι προσφορές μίας εταιρείας κινητής

τηλεφωνίας για πακέτα δωρεάν χρόνου ομιλίας, όπως είναι σε ένα

διαφημιστικό της εταιρείας αυτής.

Δωρεάν χρόνος ομιλίας σε min 120 180 240 360

Πάγιο σε € 20 35 37 43

Χρέωση κλήσης μετά τον δωρεάν

χρόνο ομιλίας σε € ανά 1sec 0,1 0,09 0,07 0,04

Γράψτε ένα δικό σας πρόβλημα που θα το δώσετε σε έναν συμμαθητή σας για

να το λύσει χρησιμοποιώντας τις μέχρι σήμερα γνώσεις του στα μαθηματικά.

Το πρόβλημα αυτό θα πρέπει να χρησιμοποιεί τα δεδομένα του παραπάνω

πίνακα.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

98

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. – Η Διδακτική Παρέμβαση

1η Φάση: Η έννοια της σχέσης δύο μεγεθών

Την 1η διδακτική περίοδο ο καθηγητής χωρίζει τους μαθητές σε ομάδες των

δύο ή τριών ατόμων που θα είναι και οι ομάδες στις οποίες θα εργάζονται σε όλες τις

φάσεις. Στη συνέχεια μοιράζει σε κάθε ομάδα ένα σύνολο γεωμετρικών σχημάτων

που συνδυάζουν τα εξής χαρακτηριστικά: μέγεθος, χρώμα και σχήμα. Κάθε σχήμα

είναι μεγάλο ή μικρό, κόκκινο, μπλέ ή κίτρινο και τρίγωνο, τετράγωνο, ορθογώνιο ή

εξάγωνο16. Έτσι, κάθε ομάδα έχει 24 σχήματα μπροστά της, δηλαδή τρία μεγάλα και

τρία μικρά κόκκινα, κίτρινα και μπλέ τρίγωνα, τρία μεγάλα και τρία μικρά κόκκινα,

κίτρινα και μπλέ τετράγωνα, τρία μεγάλα και τρία μικρά κόκκινα, κίτρινα και μπλέ

ορθογώνια και τέλος τρία μεγάλα και τρία μικρά κόκκινα, κίτρινα και μπλέ εξάγωνα.

Στην συνέχεια ο καθηγητής θέτει την ερώτηση: «Κάθε φορά θα διαλέγω ένα

σχήμα και εσείς θα διαλέγετε το δεύτερο έτσι ώστε το δεύτερο σχήμα να έχει

ακριβώς μία διαφορά με το πρώτο».

Σε αυτό το σημείο προτείνεται ο καθηγητής να επιμείνει αρκετά, επιλέγοντας

ως αρχικό σχήμα όλες τις δυνατές περιπτώσεις, έτσι ώστε οι μαθητές να

εξοικειωθούν με τον νέο τρόπο εργασίας. Κάθε φορά που οι ομάδες επιλέγουν

κάποιο σχήμα για δεύτερο, ένα μέλος της κάθε ομάδας σηκώνει με το χέρι του το

σχήμα ώστε να το δει όλη η τάξη. Έτσι, οι μαθητές θα κατανοήσουν ότι ενώ το

πρώτο σχήμα είναι ένα και η επιλογή του δεύτερου εξαρτάται από το πρώτο, ωστόσο

το δεύτερο σχήμα δεν είναι μοναδικό. Μία τέτοια διαπίστωση θα βοηθήσει αργότερα

στον εντοπισμό της διαφοράς που έχει μία τυχαία σχέση από μία συνάρτηση. Ο

καθηγητής, με ερωτήσεις όπως: «Από τι εξαρτάται η επιλογή του πρώτου

σχήματος;», «Από τι εξαρτάται η επιλογή του δεύτερου σχήματος», «Όλες οι ομάδες

βρίσκουν το ίδιο δεύτερο σχήμα;» οδηγείται στον ορισμό της έννοιας της

ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής σε μία σχέση.

Μετά την παραπάνω διαπραγμάτευση ο καθηγητής διατυπώνει τη δεύτερη

ερώτηση: «Υπάρχει κάποιο από τα 24 σχήματα που έχετε μπροστά σας, που δεν

μπορεί να επιλεγεί ως πρώτο;».

16 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Δ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

99

Στην ερώτηση αυτή οι ομάδες εργάζονται χωρίς την παρέμβαση του

καθηγητή για ένα χρονικό διάστημα περίπου πέντε λεπτών, με στόχο να

κατανοήσουν την έννοια του συνόλου αφετηρίας μίας σχέσης. Οι απαντήσεις των

ομάδων παρουσιάζονται στην τάξη. Αν κάποιες ομάδες θεωρούν ότι κάποια από τα

σχήματα δεν μπορούν να είναι πρώτα στην παραπάνω σχέση, τότε ο καθηγητής

επιλέγει ως πρώτο καθένα από τα σχήματα αυτά και ρωτάει την τάξη αν υπάρχει

κάποιο που μπορεί να είναι δεύτερο. Μέσα από αυτή τη δραστηριότητα, τελικά, όλες

οι ομάδες θα οδηγηθούν στο συμπέρασμα ότι και τα 24 σχήματα μπορούν να

επιλεγούν ως πρώτα. Έτσι, οδηγείται στη διατύπωση του ορισμού του συνόλου

αφετηρίας μιας σχέσης. Με ανάλογο τρόπο γίνεται και η διαπραγμάτευση της

ερώτησης: «Ποια από τα σχήματα μπορούν να επιλεγούν ως δεύτερα;» ώστε να

οδηγηθούν οι μαθητές στον ορισμό του συνόλου αφίξεως μίας σχέσης. Μετά την

ολοκλήρωση των τριών πρώτων ερωτήσεων πρέπει στους μαθητές να είναι

ξεκάθαρες οι έννοιες: σχέση, ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή, σύνολο

αφετηρίας και αφίξεως.

Στην συνέχεια ο καθηγητής δίνει σε κάθε ομάδα από ένα φύλλο χαρτί17 όπου

βρίσκεται ένας κενός πίνακας με 25 γραμμές και 2 στήλες. Στην πρώτη γραμμή της

πρώτης στήλης υπάρχει ο τίτλος «Πρώτο σχήμα», ενώ στην πρώτη γραμμή της

δεύτερης στήλης υπάρχει ο τίτλος «Δεύτερο σχήμα». Ο καθηγητής παρακινεί τους

μαθητές να βρουν έναν τρόπο να παραστήσουν την παραπάνω σχέση στον πίνακα

αυτό. Ο καθηγητής μπορεί να κατευθύνει τους μαθητές με ερωτήσεις όπως: «Πώς θα

σημειώσουμε στην πρώτη στήλη του πίνακα τα σχήματα;», «Μήπως να τα

σχεδιάσουμε;», «Είναι ο σχεδιασμός ο καταλληλότερος τρόπος αναπαράστασης των

σχημάτων;», «Δεν νομίζετε ότι πρέπει να βρούμε έναν σαφή τρόπο συμβολισμού που

βλέποντάς τον να αναγνωρίζουμε αμέσως σε ποιο σχήμα αναφέρεται;». Ένας

προτεινόμενος τρόπος κωδικοποίησης είναι το κάθε σχήμα να χαρακτηρίζεται από

μία τριάδα όπου το πρώτο γράμμα λέει το μέγεθος (μεγάλο (Μ) και μικρό (μ)), το

δεύτερο προσδιορίζει το χρώμα (κόκκινο (Κ), Μπλε (Μ), Κίτρινο(Υ)) και το τρίτο το

σχήμα (τρίγωνο (Ρ), τετράγωνο (Τ), ορθογώνιο (Ο), εξάγωνο (Ε)). Για παράδειγμα η

τριάδα ΜΜΡ είναι το μεγάλο μπλε τρίγωνο. Σε περίπτωση που οι μαθητές

προτείνουν έναν άλλο τρόπο κωδικοποίησης, μπορεί να γίνει αποδεκτός αρκεί όλη η

τάξη να υιοθετήσει τον ίδιο τρόπο κωδικοποίησης. Στο τέλος της δραστηριότητας 17 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.2

100

αυτής η κάθε ομάδα έχει συμπληρωμένο μπροστά της τον πίνακα τιμών της σχέσης.

Αν ο χρόνος δε φτάσει για την ολοκλήρωση της τελευταίας δραστηριότητας,

αφήνεται ως προαιρετική εργασία στο σπίτι και την επόμενη διδακτική ώρα

ολοκληρώνεται.

Στο τέλος της 1ης διδακτικής ώρας, δίνεται στους μαθητές ένα φύλλο χαρτί

όπου βρίσκονται γραμμένοι όλοι οι ορισμοί που διατυπώθηκαν κατά τη διάρκεια της

δραστηριότητας καθώς και η εργασία για το σπίτι18. Οι ορισμοί και η εργασία για το

σπίτι δίνονται τυπωμένοι σε χαρτί για οικονομία χρόνου.

Η 2η διδακτική περίοδος ξεκινάει με μία σύντομη ανακεφαλαίωση των

εννοιών: σχέση, ανεξάρτητη και εξαρτημένη μεταβλητή, σύνολο αφετηρίας και

σύνολο αφίξεως. Προτείνεται οι ορισμοί αυτοί να διατυπωθούν από τους μαθητές και

όχι από τον καθηγητή. Στη συνέχεια παρουσιάζονται στην τάξη οι εργασίες των

μαθητών. Μετά την παρουσίαση των εργασιών των μαθητών στην τάξη ο καθηγητής

επανέρχεται στη σχέση της προηγούμενης διδακτικής περιόδου, υπενθυμίζοντας εν

συντομία ποιο είναι το σύνολο αφετηρίας και αφίξεως της σχέσης αυτής. Στην

συνέχεια, αν ο πίνακας τιμών δεν έχει ολοκληρωθεί από την προηγούμενη διδακτική

περίοδο, ο καθηγητής προτρέπει τους μαθητές να τον συμπληρώσουν σύμφωνα με τη

συμφωνία κωδικοποίησης που είχε γίνει. Αν ο πίνακας είναι ήδη συμπληρωμένος, ο

καθηγητής προτρέπει τους μαθητές να σχεδιάσουν στο φύλλο τους ή στο

σημειωματάριό τους ένα σύστημα αξόνων, όπου στον οριζόντιο άξονα να

τοποθετήσουν τα στοιχεία του συνόλου αφετηρίας και στον κάθετο τα στοιχεία του

συνόλου αφίξεως, τηρώντας τον τρόπο κωδικοποίησης που προηγούμενα έχει

συμφωνηθεί. Μετά τίθεται ο προβληματισμός: «Πώς θα δείξουμε στο σύστημα

αξόνων ποια είναι τα ζευγάρια της σχέσης;». Έτσι, ο καθηγητής, υπενθυμίζοντας

στους μαθητές την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους και της αναπαράστασης ενός

τέτοιου ζεύγους σε σημείο στο επίπεδο, καθοδηγεί τους μαθητές ώστε το κάθε

ζευγάρι του πίνακα να το αναπαραστήσουν ως ένα σημείο του επιπέδου. Στο τέλος

αυτής της δραστηριότητας οι μαθητές έχουν μπροστά τους έναν πίνακα και ένα

σύνολο σημείων που αναπαριστούν την σχέση του προηγούμενου μαθήματος. Σε

αυτό το σημείο ο καθηγητής διατυπώνει τους ορισμούς του πίνακα τιμών και της

γραφικής παράστασης μίας σχέσης και συνοψίζει τους τρεις τρόπους αναπαράστασης

18 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Γ.1

101

μίας σχέσης, που είναι η πρόταση που δόθηκε στο προηγούμενο μάθημα, ο πίνακας

τιμών και η γραφική παράσταση που σχεδιάστηκαν κατά τη διάρκεια της τελευταίας

δραστηριότητας.

Μετά την ολοκλήρωση των τρόπων αναπαράστασης μίας σχέσης ο καθηγητής

δίνει, γραμμένη σε ένα φύλλο χαρτί, την ερώτηση:

«Βρείτε το σύνολο αφετηρίας και το σύνολο αφίξεως της σχέσης: ‘‘το δεύτερο σχήμα

να έχει ίδιο χρώμα και ίδιο σχήμα με το πρώτο’’. Στη συνέχεια να παραστήσετε με

πίνακα και διάγραμμα σε σύστημα αξόνων τη σχέση αυτή. Σε τι διαφέρει η τελευταία

σχέση από την προηγούμενη;»

Ο καθηγητής αφήνει τις ομάδες να δουλέψουν την παραπάνω ερώτηση μέχρι

το τέλος της διδακτικής περιόδου. Κατά τη διάρκεια της διαπραγμάτευσης της

ερώτησης από τις ομάδες, κινείται ανάμεσα στα θρανία με στόχο να παρέμβει

συμβουλευτικά όπου του ζητηθεί. Η ολοκλήρωση της εργασίας αυτής αφήνεται ως

εργασία για το σπίτι. Επίσης, δίνεται στους μαθητές ένα φύλλο χαρτί19 με τους τρεις

τρόπους αναπαράστασης μιας σχέσης και τους ορισμούς του πίνακα τιμών και της

γραφικής παράστασης.

Η 3η διδακτική περίοδος ξεκινάει με τη διαπραγμάτευση της εργασίας που

οι μαθητές είχαν για το σπίτι. Αναμένεται ότι οι μαθητές θα έχουν βρει τα σύνολα

αφετηρίας και αφίξεως και θα έχουν σχεδιάσει και τον πίνακα τιμών της σχέσης. Ο

καθηγητής φροντίζει ώστε οι δύο αυτές αναπαραστάσεις της σχέσης να βρίσκονται

και στον πίνακα. Για οικονομία χρόνου, μπορεί ο καθηγητής να έχει σχεδιάσει τον

πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση σε διαφάνεια, ώστε να την προβάλει στον

πίνακα. Στη συνέχεια η συζήτηση επικεντρώνεται στη διαφορά που η σχέση αυτή

έχει με την προηγούμενη και πώς αυτή η διαφορά φαίνεται και στη γραφική

παράσταση της σχέσης. Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό οι μαθητές να

κατανοήσουν ότι σε κάθε στοιχείο του συνόλου αφετηρίας αντιστοιχίζεται ένα μόνο

στοιχείο του συνόλου αφίξεως και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα στη γραφική

παράσταση να μην υπάρχουν σημεία με την ίδια τετμημένη. Κάτι τέτοιο μπορεί να

επιτευχθεί αν ο καθηγητής σχεδιάσει στον πίνακα τη γραφική παράσταση της

προηγούμενης σχέσης και οι μαθητές παρατηρήσουν τις διαφορές των δύο αυτών

γραφικών παραστάσεων. Έτσι, στο τέλος αυτής της δραστηριότητας δίνεται και πάλι

19 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.3

102

γραπτώς στους μαθητές ο ορισμός της συνάρτησης και ένα φύλλο όπου βρίσκονται

τέσσερις Ερωτήσεις-Ασκήσεις20. Οι μαθητές ξεκινούν την διαπραγμάτευση της

πρώτης ερώτησης. Η ερώτηση αυτή έχει στόχο την εμπέδωση όλων των

προηγούμενων εννοιών και γι’ αυτό το λόγο προτείνεται να διατεθεί όλος ο

υπόλοιπος διδακτικός χρόνος της 3ης διδακτικής περιόδου για την επίλυσή της. Οι

μαθητές εργάζονται σε ομάδες και ο καθηγητής κινείται ανάμεσα στα θρανία

λειτουργώντας ως διευκολυντής και αποφεύγοντας να δίνει απαντήσεις-λύσεις.

Στόχος είναι οι μαθητές να προβληματιστούν και να καταλήξουν μόνοι τους στη

ζητούμενη απάντηση. Οι υπόλοιπες τρεις ερωτήσεις-ασκήσεις δίνονται ως εργασία

στο σπίτι. Προτείνεται, τις εργασίες στο σπίτι να τις δουλεύουν ανά ομάδες, εφόσον

αυτό είναι πρακτικά δυνατόν.

Στο σημείο αυτό χρειάζεται να επισημανθεί ότι κατά τη διάρκεια της

διαπραγμάτευσης όλων των παραπάνω σχέσεων ο καθηγητής, με την κατάλληλη

αφορμή, απευθύνει στη τάξη ερωτήσεις όπως: «Τι ονομάζουμε σχέση που συνδέει

δύο σύνολα», «Ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή σε μία

σχέση;», «Ποιο είναι το σύνολο αφετηρίας και ποιο το σύνολο αφίξεως μίας

σχέσης;», «Ποιους τρόπους αναπαράστασης μίας σχέσης έχουμε;», «Πότε μία σχέση

είναι συνάρτηση;» με στόχο να αξιολογήσει την επίτευξη των στόχων της 1ης φάσης.

2η Φάση: Συναρτήσεις μεταξύ αριθμητικών συνόλων

Στην 1η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής, ο καθηγητής συζητάει με τους μαθητές

την 1η και 4η από τις Ερωτήσεις-Ασκήσεις που είχαν δοθεί ως εργασία για το σπίτι.

Στην εργασία με τις πόλεις και τις χώρες αναμένεται οι ομάδες να μην έχουν

θεωρήσει τα ίδια σύνολα ως σύνολα αφετηρίας και αφίξεως, με αποτέλεσμα η

απάντηση στο ερώτημα αν η σχέση είναι ή όχι συνάρτηση να ποικίλει. Κάτι τέτοιο ο

καθηγητής μπορεί να το χρησιμοποιήσει ώστε οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι

όταν μία σχέση είναι συνάρτηση και αντιμεταθέσουμε τα σύνολα αφετηρίας και

αφίξεως, τότε δεν παραμένει απαραίτητα συνάρτηση, εκτός αν υπάρχουν κάποιες

προϋποθέσεις. Προτείνεται ο καθηγητής να μην επεκταθεί περαιτέρω στην έννοια της

αντιστρόφου συνάρτησης διότι ξεφεύγει από τους στόχους της παρούσας

διδασκαλίας, και διότι θεωρείται προτιμότερο στη Β΄ Γυμνασίου οι μαθητές να

εξοικειωθούν με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με την συνάρτηση. Για τον ίδιο


103

λόγο προτείνεται ο καθηγητής να μην αναφέρει στην τάξη τους όρους «πεδίο

ορισμού» και «πεδίο τιμών». Η συζήτηση στην τάξη όλων των παραπάνω ενδέχεται

να χρειαστεί μία ολόκληρη διδακτική περίοδο, ανάλογα με τις απορίες των μαθητών.

Προτείνεται η περίοδος αυτή να διατεθεί, διότι αν οι μαθητές κατανοήσουν τις

βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη συνάρτηση, τότε στις επόμενες έννοιες η

πορεία θα είναι γρηγορότερη. Εξάλλου, όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ολόκληρη η

διδακτική παρέμβαση θα πρέπει να ολοκληρωθεί σε διάστημα 12 έως 15 διδακτικών

περιόδων. Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από το γνωστικό επίπεδο των μαθητών.

Μετά την παραπάνω συζήτηση, ο καθηγητής μοιράζει στις ομάδες το φύλλο

εργασίας 121. Οι στόχοι των ερωτήσεων αυτού του φύλλου εργασίας είναι να

καταστούν ικανοί οι μαθητές να:

• Διαπραγματεύονται συναρτήσεις όπου τα σύνολα αφετηρίας και αφίξεως

είναι σύνολα αριθμών και πιο συγκεκριμένα, υποσύνολα των φυσικών

αριθμών.

• Αποφασίζουν, ανάλογα με το πλαίσιο του προβλήματος, αν μπορούν ή όχι

να ενώνουν τα διασκορπισμένα σημεία της γραφικής παράστασης ώστε η

γραφική παράσταση να αποτελέσει μία συνεχόμενη γραμμή.

• Μεταβαίνουν από τον πίνακα τιμών στη γραφική παράσταση μιας

συνάρτησης και αντίστροφα.

• Αναγνωρίζουν αν μία σχέση είναι ή όχι συνάρτηση από τη γραφική της

παράσταση.

• Απαντούν σε ερωτήματα σχετικά με μια συνάρτηση στηριζόμενοι στη

γραφική της παράσταση.

• Βρίσκουν για δοσμένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής την αντίστοιχη

τιμή της εξαρτημένης και το αντίστροφο, με βάση τη γραφική παράσταση

της συνάρτησης.

Ξεκινώντας τη διδασκαλία, ο καθηγητής λέει στους μαθητές ότι από τώρα και

στο εξής θα ασχολούνται με σχέσεις που έχουν ως σύνολα αφετηρίας και αφίξεως

σύνολα αριθμών. Ο καθηγητής με αφορμή την 1η ερώτηση του φύλλου εργασίας

προσπαθεί να εξοικειώσει τα παιδιά με τη μετάβαση από τη γραφική παράσταση

στον πίνακα τιμών μίας συνάρτησης και να τα οδηγήσει ώστε να αναγνωρίζουν αν

21 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ,Γ.4

104

μία σχέση είναι συνάρτηση ή όχι από τη γραφική της παράσταση. Στόχος είναι να

οδηγηθούν στο συμπέρασμα ότι όταν κάποια κάθετη ευθεία στον οριζόντιο άξονα

έχει με τη γραφική παράσταση της σχέσης δύο ή περισσότερα κοινά σημεία τότε η

σχέση δεν είναι συνάρτηση. Το συμπέρασμα αυτό θα πρέπει να προκύψει ως

απόρροια του ορισμού της συνάρτησης. Επίσης, βοηθάει τους μαθητές να

συνειδητοποιήσουν ότι η γραφική παράσταση μας δίνει πληροφορίες «με μια ματιά».

Η 2η ερώτηση εξοικειώνει τους μαθητές με τη μετάβαση από τον πίνακα τιμών στη

γραφική παράσταση της συνάρτησης και αξιολογεί την επίτευξη των στόχων της 1ης

ερώτησης. Επισημαίνεται ότι και στις δύο ερωτήσεις του φύλλου εργασίας υπάρχουν

υποερωτήματα που θέτουν τον προβληματισμό πότε τα σημεία της γραφικής

παράστασης μπορούν να ενωθούν σε μία συνεχόμενη γραμμή και πότε όχι. Στο

σημείο αυτό ο καθηγητής αρχικά αφήνει τις ομάδες να εργαστούν και να

προβληματιστούν. Όσο οι ομάδες εργάζονται, ο καθηγητής κινείται ανάμεσα στα

θρανία και συζητάει με τις ομάδες τους προβληματισμούς τους. Μετά από την

παραπάνω δραστηριότητα και εφόσον όλες οι ομάδες έχουν καταλήξει σε κάποια

απάντηση, ο καθηγητής συζητάει με όλη την τάξη το συγκεκριμένο ερώτημα.

Προτείνεται να επιμείνει ιδιαίτερα, ώστε με κατάλληλες ερωτήσεις όπως: «Τι

σημαίνει για τη συνάρτηση ότι μπορώ να ενώσω τα σημεία;», «Όταν ενώνονται τα

σημεία αλλάζει κάτι από τα ‘‘συστατικά’’ της συνάρτησης;», να οδηγήσει τους

μαθητές να κατανοήσουν ότι όταν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι

συνεχόμενη γραμμή, τότε το σύνολο αφετηρίας της συνάρτησης περιλαμβάνει και

όλα τα ενδιάμεσα σημεία, άρα για να ενώσουμε τα διασκορπισμένα σημεία της

γραφικής παράστασης πρέπει να μας το επιτρέπει το σύνολο αφετηρίας της

συνάρτησης. Επίσης, μέσα από την παραπάνω συζήτηση είναι καλό να προκύψει ότι

η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι σύνολο σημείων, που υπό ορισμένες

προϋποθέσεις είναι τόσο κοντά το ένα στο άλλο που σχηματίζουν μία συνεχόμενη

γραμμή, η οποία μπορεί να είναι είτε ευθεία είτε καμπύλη. Ως εργασία στο σπίτι

δίνεται στους μαθητές ό,τι αναφέρεται στο τέλος του φύλλου εργασίας. Σε περίπτωση

που η δεύτερη ερώτηση του φύλλου εργασίας δεν ολοκληρωθεί, η ολοκλήρωσή της

αφήνεται ως εργασία για το σπίτι.

Κατά τη διάρκεια της 2ης διδακτικής περιόδου παρουσιάζονται στην τάξη οι

εργασίες των μαθητών και γίνεται συζήτηση. Ο καθηγητής μπορεί να απευθύνει είτε

σε όλη την τάξη είτε στις ομάδες ερωτήσεις του τύπου: «Αν σε μία συνάρτηση

105

αντιμεταθέσουμε το σύνολο αφετηρίας με το σύνολο αφίξεως, τότε η σχέση

εξακολουθεί να είναι συνάρτηση;», «Τι είναι τελικά η γραφική παράσταση μίας

συνάρτησης;», «Ποια από τις αναπαραστάσεις της συνάρτησης μας δίνει

περισσότερες πληροφορίες; Η πρόταση, η γραφική παράσταση ή ο πίνακας τιμών;»,

«Γίνεται σε μία συνάρτηση στην ίδια τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής να

αντιστοιχούν δύο ή περισσότερες τιμές της ανεξάρτητης;», «Συναντήσαμε αυτές τις

μέρες τέτοια παραδείγματα;».

Στόχος αυτών των ερωτήσεων είναι μέσα από τα παραδείγματα που μέχρι

αυτή τη στιγμή έχουν διαπραγματευτεί οι μαθητές να μπορέσουν να ξεκαθαρίσουν

ότι η γραφική παράσταση συνάρτησης είναι σύνολο σημείων και υπό προϋποθέσεις

είναι μία γραμμή, που όλα έχουν διαφορετική τετμημένη, ενώ η τεταγμένη μπορεί να

είναι η ίδια για δύο ή περισσότερα σημεία. Αν ο χρόνος φτάσει, ο καθηγητής μπορεί

τα τελευταία 15 λεπτά αυτής της διδακτικής περιόδου να μοιράσει στους μαθητές το

ΤΕΣΤ του ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΟΣ22, με στόχο να αξιολογήσει την επίτευξη των στόχων

της φάσης αυτής. Αν ο χρόνος δεν φτάσει, προτείνεται ο καθηγητής να αφήσει το

ΤΕΣΤ ώστε να δοθεί στους μαθητές σε κάποια από τις επόμενες φάσεις, όταν ο

χρόνος το επιτρέψει.

3η Φάση: Κατάρτιση στις ευρετικές επίλυσης προβλήματος και στην διερεύνηση

μοτίβων

Οι στόχοι των δύο (2) πρώτων διδακτικών περιόδων της φάσης αυτής είναι να

καταστούν οι μαθητές ικανοί:

• Να εφαρμόζουν την ευρετική «επιλέγω ένα απλούστερο πρόβλημα».

• Να πινακοποιούν τα δεδομένα ενός προβλήματος.

• Να ανακαλύπτουν μοτίβα.

• Να μεταφράζουν μοτίβα σε μαθηματικές εκφράσεις με τη βοήθεια

μεταβλητών.

• Να μεταβαίνουν από τον πίνακα τιμών μιας συνάρτησης στον τύπο της.

• Να κατασκευάζουν μαθηματικό πρόβλημα.

Την 1η διδακτική περίοδο δίνεται στις ομάδες το φύλλο εργασίας 223. Ο

καθηγητής προτρέπει τις ομάδες να κάνουν ότι τους λέει το πρόβλημα και κάθε τους 22 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ,Γ.5 23 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ.6

106

παρατήρηση να την σημειώνουν στην αντίστοιχη θέση του πίνακα. Αφού

συμπληρωθεί ο πίνακας από τις ομάδες στη συνέχεια θα δοθεί χρόνος ώστε να

παρατηρήσουν μοτίβα. Οι παρατηρήσεις των μαθητών θα παρουσιαστούν στην τάξη.

Προτείνεται οι παρατηρήσεις των ομάδων να γράφονται στον πίνακα, ώστε όλοι οι

μαθητές να είναι σε θέση να ελέγχουν την ορθότητά τους και γενικότερα να έχουν

πρόσβαση σε αυτές.

Εφόσον η τάξη καταλήξει στα σωστά μοτίβα ο καθηγητής θα καθοδηγήσει

τους μαθητές ώστε να συμβολίσουν τα δύο μεγέθη με τη βοήθεια μεταβλητών και

στη συνέχεια να προσπαθήσουν να μεταφράσουν τα μοτίβα σε μαθηματική έκφραση,

βρίσκοντας έτσι τη σχέση που συνδέει τα δύο μεγέθη του προβλήματος. Σε αυτό το

σημείο μπορεί να γίνει αναφορά και στην εμπειρία των μαθητών από τα προβλήματα

με εξισώσεις, μόνο που εδώ έχουμε δύο και όχι μία μεταβλητή. Αφού «ανακαλυφθεί»

η σχέση θα πρέπει να γίνει η γραφική της παράσταση και από εκεί να συμπεράνουν

οι μαθητές αν είναι ή όχι συνάρτηση. Για εργασία στο σπίτι αφήνεται η ολοκλήρωση

της επίλυσης του προβλήματος, εφόσον δεν έχει ολοκληρωθεί στην τάξη, καθώς και

οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου24 που αναφέρονται στο τέλος του φύλλου

εργασίας.

Την 2η διδακτική περίοδο δίνεται στις ομάδες το φύλλο εργασίας 325. Αυτό

το φύλλο εργασίας περιλαμβάνει ένα διαφορετικό πρόβλημα, η διαπραγμάτευση του

οποίου έχει στόχο να εξοικειώσει τους μαθητές με τις ευρετικές επίλυσης

προβλήματος που χρησιμοποιήθηκαν την προηγούμενη ώρα. Ο καθηγητής, αν το

επιτρέπει ο χρόνος, μπορεί και πάλι να ζητήσει τη γραφική παράσταση της


Γενικότερα, το πρόβλημα αυτό ο καθηγητής το διαπραγματεύεται με τρόπο

ανάλογο με το προηγούμενο πρόβλημα, αφήνοντας περισσότερο χρόνο στις ομάδες

να εργαστούν, αφού τώρα θα έχουν εξοικειωθεί με αυτόν τον τρόπο εργασίας. Ο

καθηγητής κινείται ανάμεσα στα θρανία, παρεμβαίνοντας όπου είναι απαραίτητο. Η

οποιαδήποτε παρέμβαση του καθηγητή θα πρέπει να θέτει προβληματισμούς

βοηθώντας τους μαθητές να προχωρήσουν, χωρίς όμως να δίνει λύσεις. Για εργασία

στο σπίτι αφήνεται η ολοκλήρωση της επίλυσης του προβλήματος, εφόσον δεν έχει

24 Αλιμπινίσης, κ. ά. (2001). 25 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ.7

107

ολοκληρωθεί στην τάξη, καθώς και οι ασκήσεις του σχολικού βιβλίου που

αναφέρονται στο τέλος του φύλλου εργασίας.

Είναι σημαντικό ότι και στα δύο προβλήματα των παραπάνω φύλλων

εργασίας τίθεται το ερώτημα ένωσης ή όχι των σημείων ώστε οι μαθητές να μπουν

εντονότερα στον προβληματισμό, έτσι ώστε όταν στην επόμενη φάση η ένωση αυτή

γίνει εφικτή να είναι σε θέση να διαχωρίζουν τις περιπτώσεις που η γραφική

παράσταση είναι διασκορπισμένα σημεία από τις περιπτώσεις που είναι συνεχόμενη

γραμμή.

Η 3η διδακτική περίοδος προτείνεται να χρησιμοποιηθεί ώστε να λυθούν οι

απορίες των μαθητών στα προβλήματα του σχολικού βιβλίου που τέθηκαν ως

εργασία στο σπίτι και να παρουσιαστούν στην τάξη τα προβλήματα που

κατασκεύασαν οι ομάδες. Στο τέλος της ώρας αυτής προτείνεται να γίνει μία σύνοψη

των εννοιών που μέχρι αυτή τη στιγμή έχουν παρουσιαστεί, όπως:

• Τι είναι η συνάρτηση

• Τι είναι ο πίνακας τιμών και τι η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης

• Πώς από τη γραφική παράσταση μιας σχέσης μπορούμε να διακρίνουμε

αν η σχέση είναι ή όχι συνάρτηση.

4η Φάση: Η γραμμική συνάρτηση και η συνάρτηση ψ=α/χ

Την 1η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής ο καθηγητής μοιράζει στις

ομάδες το φύλλο εργασίας 426. Το πρόβλημα του φύλλου εργασίας 4 έχει στόχο να

υπενθυμίσει στους μαθητές την έννοια των αναλόγων ποσών, που είναι γνωστή στους

μαθητές από την Α΄ Γυμνασίου. Είναι σημαντικό οι μαθητές από τις προηγούμενες

φάσεις να έχουν κατανοήσει ότι η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης είναι

σύνολο σημείων και όχι αναγκαστικά μία ευθεία ή καμπύλη γραμμή, δηλαδή να

μπορούν ανάλογα με το πλαίσιο του προβλήματος να αποφασίζουν αν μπορούν ή όχι

να ενώνουν τα σημεία της γραφικής παράστασης. Με την κατάλληλη παρέμβαση του

καθηγητή θα πρέπει οι μαθητές να εντοπίσουν τις ιδιότητες των αναλόγων ποσών,

δηλαδή ότι:

• Ο λόγος των αντιστοίχων τιμών τους είναι σταθερός

• Συνδέονται με μία συνάρτηση της μορφής ψ=αχ


108

• Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής είναι ευθεία που

διέρχεται από την αρχή των αξόνων

• Το ελάχιστο πλήθος σημείων που απαιτούνται για το σχεδιασμό της

γραφικής παράστασης είναι 2, εκ των οποίων το ένα είναι το Ο(0, 0).

Πιο συγκεκριμένα, στο (α) ερώτημα του φύλλου εργασίας στόχος είναι οι

μαθητές να παρατηρήσουν και τα δύο μοτίβα, δηλαδή ότι:

o όταν η τιμή του ενός μεγέθους πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με

έναν αριθμό τότε και η αντίστοιχη τιμή του άλλου

πολλαπλασιάζεται ή διαιρείται με τον ίδιο αριθμό

o ο λόγος των αντιστοίχων τιμών είναι σταθερός

γι’ αυτό και προτείνεται να αφιερωθεί αρκετός χρόνος. Τα ερωτήματα (β) και (γ)

είναι οικεία για τους μαθητές καθώς τα έχουν αντιμετωπίσει και σε προηγούμενα

προβλήματα. Πιο συγκεκριμένα, στο ερώτημα (γ) οι μαθητές αναμένεται να

αποτυπώσουν σε ένα σύστημα αξόνων τα σημεία του πίνακα τιμών και να

διαπιστώσουν ότι τα σημεία αυτά μπορούν να ενωθούν, αφού το σύνολο αφετηρίας

είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Είναι σημαντικό ο καθηγητής να τονίσει

ότι δεν μπορούμε να προεκτείνουμε την ευθεία και προς τον αρνητικό ημιάξονα των

χ, εφόσον τα κιλά πορτοκάλια που είναι το σύνολο αφετηρίας δεν μπορούν να

πάρουν αρνητικές τιμές. Μετά την ολοκλήρωση των πρώτων τριών ερωτημάτων του

φύλλου εργασίας 4, προτείνεται να υπάρχει στον πίνακα η γραφική παράσταση της

συνάρτησης. Εφόσον υπάρχει στο σχολείο ο κατάλληλος εξοπλισμός, προτείνεται τα

παραπάνω ερωτήματα να εκτελούνται διαδοχικά και σε έναν υπολογιστή μέσω ενός

κατάλληλου λογισμικού (π.χ. Sketchpad) και η οθόνη του υπολογιστή να

προβάλλεται στον πίνακα μέσω ενός βιντεοπροβολέα. Τα ερωτήματα (δ) και (ε)

έχουν στόχο τη μελέτη της γραφικής παράστασης και τον εντοπισμό των ιδιαίτερων

χαρακτηριστικών της. Για να μπορέσουν οι μαθητές να γενικεύσουν τις

παρατηρήσεις τους στο (δ) ερώτημα προτείνεται να παροτρυνθούν από τον καθηγητή

να σκεφτούν και άλλες συναρτήσεις της ίδιας μορφής και να σχεδιάσουν τη γραφική

τους παράσταση. Ο σχεδιασμός γραφικών παραστάσεων πολλών συναρτήσεων

αναλόγων ποσών και εδώ μπορεί να διευκολυνθεί μέσω υπολογιστή, κάτι που θα

συμβάλει και στη εξοικονόμηση χρόνου. Μετά την ολοκλήρωση και της τελευταίας

δραστηριότητας αναμένεται οι μαθητές να έχουν κατανοήσει ότι δύο ανάλογα ποσά χ

και ψ συνδέονται πάντα με μία συνάρτηση της μορφής ψ=αχ, όπου α είναι ο λόγος

109

των αντιστοίχων τιμών ψ/χ και ότι η γραφική παράσταση μίας τέτοιας συνάρτησης

είναι πάντα ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Τέλος, οι μαθητές για να

απαντήσουν το (ε) ερώτημα του φύλλου εργασίας 4, θα πρέπει να θυμηθούν ότι μία

ευθεία ορίζεται από ακριβώς δύο σημεία. Το ερώτημα αυτό, μπορεί να δοθεί ως

εργασία για το σπίτι, μαζί με την εργασία που αναφέρεται στο τέλος του φύλλου

εργασίας, αν ο χρόνος της διδακτικής περιόδου δεν φτάσει για τη διαπραγμάτευση

του.

Η 2η διδακτική περίοδος ξεκινάει με ανακεφαλαίωση όλων όσων ελέχθησαν για

τα ανάλογα ποσά. Η ανακεφαλαίωση αυτή γίνεται με την μορφή ερωταποκρίσεων

μεταξύ καθηγητή μαθητών, ώστε να ελεγχθεί η επίτευξη των στόχων της 1ης

διδακτικής περιόδου. Στη συνέχεια ο καθηγητής μοιράζει στις ομάδες το φύλλο

εργασίας 527. Με το πρόβλημα αυτού του φύλλου εργασίας εισάγει τους μαθητές

στην συνάρτηση ψ=αχ+β. Για να απαντήσουν οι μαθητές στο (α) ερώτημα αυτή τη

φορά δεν καθοδηγούνται από τις ερωτήσεις, αλλά πρέπει από μόνοι τους να

ενεργοποιήσουν τις στρατηγικές που εφάρμοζαν στα προηγούμενα προβλήματα ώστε

να παρατηρήσουν μοτίβα και να χρησιμοποιήσουν μεταβλητές για να βρουν τη

ζητούμενη συνάρτηση. Όταν οι ομάδες βρουν τη συνάρτηση και κάνουν τη γραφική

της παράσταση, ο καθηγητής τους απευθύνει ερωτήσεις όπως: «Μπορούμε να

ενώσουμε τα σημεία αυτής της γραφικής παράστασης;», «Είναι δυνατόν να

προεκτείνουμε την ευθεία που προκύπτει και προς τις δύο μεριές;», με στόχο να τους

οδηγήσει στο συμπέρασμα ότι το σύνολο αφετηρίας μίας συνάρτησης μπορεί να

περιέχει και αρνητικούς αριθμούς. Όταν με τη βοήθεια της γραφικής παράστασης οι

ομάδες απαντήσουν και στο ερώτημα (γ), ο καθηγητής προτρέπει τους μαθητές να

παρατηρήσουν το σημείο τομής με τον άξονα ψ΄ψ και τον τύπο της συνάρτησης και

να προσπαθήσουν να εντοπίσουν κάποια αντιστοιχία. Όταν οι μαθητές εντοπίσουν

ότι ο σταθερός όρος του τύπου της συνάρτησης είναι η τεταγμένη του σημείου τομής,

τότε ο καθηγητής προτρέπει τις ομάδες να επιβεβαιώσουν την πρόβλεψή τους για

δικές τους συναρτήσεις της ίδιας μορφής. Στη συνέχεια προτείνεται να τεθεί το

ερώτημα: «Μπορούμε χωρίς να έχουμε τη γραφική παράσταση να εντοπίσουμε και

το σημείο τομής της ευθείας με τον χ΄χ;». Μετά το ερώτημα αυτό ο καθηγητής

αφήνει τις ομάδες να εργαστούν και παρεμβαίνει σε κάθε ομάδα ως διευκολυντής,

χωρίς να δίνει λύσεις. Οι συμβουλές του καθηγητή προτείνεται να είναι του τύπου: 27 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.9

110

«Κάνε ένα σχήμα.», «Τι το ιδιαίτερο έχει το σημείο τομής με τον χ΄χ που δεν έχουν

τα υπόλοιπα σημεία της γραφικής παράστασης;», «Τι ξέρουμε για τα σημεία που

βρίσκονται πάνω στον άξονα χ΄χ;». Όταν η ερώτηση απαντηθεί γίνεται σχετική

συζήτηση στην τάξη. Αν η διδακτική περίοδος λήξει και η απάντηση δεν έχει βρεθεί,

τότε αφήνεται ως εργασία για το σπίτι, μαζί με την προτεινόμενη εργασία στο σπίτι

του φύλλου εργασίας 5. Όπως και την 1η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής και στη

2η διδακτική περίοδο το μάθημα μπορεί να συνοδεύεται και από προβολή μέσω

βιντεοπροβολέα των απαραίτητων γραφικών παραστάσεων.

Την 3η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής ο καθηγητής μοιράζει στις ομάδες το

φύλλο εργασίας 628. Το πρόβλημα αυτού του φύλλου εργασίας έχει σκοπό οι μαθητές

να οδηγηθούν στην έννοια των αντιστρόφως αναλόγων ποσών διαισθητικά και

στηριζόμενοι στις εμπειρίες τους. Αναμένεται οι μαθητές να αντιμετωπίσουν το

πρόβλημα αυτό ως πρόβλημα αναλόγων ποσών. Σε μία τέτοια περίπτωση ο

καθηγητής προτείνεται να προκαλέσει τη διαίσθηση και τη λογικής τους ώστε να

κατανοήσουν πως αν θεωρήσουν τα ποσά ανάλογα, τότε οδηγούνται σε μη λογικά

αποτελέσματα. Για παράδειγμα, ότι ενώ το αυτοκίνητο είχε μικρότερη ταχύτητα,

ωστόσο έφτασε γρηγορότερα στον προορισμό του. Ο καθηγητής, προκαλώντας τους

μαθητές να μπουν στο ρόλο του πρωταγωνιστή του προβλήματος, τους καθοδηγεί να

κατανοήσουν ότι εδώ συμβαίνει κάτι αντίστροφο από ότι συνέβαινε στα ανάλογα

ποσά. Με ερωτήσεις όπως: «Όσο πιο πολύ τρέχει το αυτοκίνητο, τόσο πιο γρήγορα

φτάνω στον προορισμό μου», «Τι σημαίνει τρέχει πιο γρήγορα για την ταχύτητα;»,

«Τι σημαίνει φτάνω πιο γρήγορα για το χρόνο;» ο καθηγητής βοηθάει τους μαθητές

να αντιληφθούν την έννοια των αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Στη συνέχεια οι

μαθητές πινακοποιούν τα δεδομένα τους, παρατηρούν μοτίβα, βρίσκουν τη

συνάρτηση και απαντούν στο ερώτημα (α). Είναι σημαντικό οι μαθητές να

κατανοήσουν τι είναι αυτό που ζητάει το ερώτημα (α), ώστε να το μεταφράσουν στη

μαθηματική γλώσσα και έτσι να ενεργοποιήσουν τις γνωστές σε αυτούς στρατηγικές

ώστε να σχεδιάσουν μία λύση και να την εκτελέσουν. Μετά την απάντηση ο

καθηγητής κάνει μία αναδρομή στον τρόπο λύσης, με στόχο να βοηθήσει τους

μαθητές να συνειδητοποιήσουν πως εργάστηκαν, ώστε στο μέλλον να είναι σε θέση

να εφαρμόσουν και σε άλλες καταστάσεις ανάλογες λύσεις. Το ερώτημα (β) κινείται

στο ίδιο πλαίσιο του (α) ερωτήματος, ενώ τα ερωτήματα (γ) και (δ) στοχεύουν στον 28 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ, Γ.10

111

εντοπισμό από τους μαθητές των ιδιαίτερων χαρακτηριστικών της συνάρτησης των

αντιστρόφως αναλόγων ποσών. Στο τέλος αυτής της δραστηριότητας προτείνεται ο

καθηγητής να συνοψίσει τα χαρακτηριστικά των αντιστρόφως αναλόγων ποσών

αναφέροντας ότι δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα:

• Όταν οι τιμές του ενός πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό τότε οι

αντίστοιχες τιμές του άλλου διαιρούνται με τον ίδιο αριθμό.

• Όταν το γινόμενο των αντιστοίχων τιμών είναι σταθερό.

Στο σημείο αυτό είναι σημαντικό να τονιστεί, ότι τελικά παρατηρούμε πως η γραφική

παράσταση μίας συνάρτησης μπορεί να είναι είτε διασκορπισμένα σημεία, είτε μία

ευθεία γραμμή, είτε μία καμπύλη, ώστε οι μαθητές να μην ταυτίσουν τη γραφική

παράσταση μόνο με ευθείες και έτσι η γραμμική συνάρτηση να μη λειτουργήσει στο

μέλλον ως πρότυπο για αυτούς.

Την 4η διδακτική περίοδο της φάσης αυτής, που θα είναι και η τελευταία

περίοδος όλης της διδακτικής παρέμβασης, δίνεται στα παιδιά ένας χάρτης29 της

Αττικής και τους ζητείται να υπολογίσουν την πραγματική απόσταση, σε ευθεία

γραμμή, Αθήνας – Σπάτων. Ο καθηγητής με ερωτήσεις όπως: «Τι είναι αυτό που

πρέπει να γνωρίζουμε ώστε να μπορούμε από έναν Οδικό Χάρτη να υπολογίζουμε τις

πραγματικές αποστάσεις;», προσπαθεί να υπενθυμίσει στους μαθητές την έννοια της

κλίμακας που έχουν διδαχθεί τόσο στο μάθημα της γεωγραφίας όσο και στα

μαθηματικά της Α΄ Γυμνασίου. Όταν οι μαθητές θυμηθούν ότι η κλίμακα είναι ο

λόγος της απόστασης πάνω στον χάρτη προς την πραγματική απόσταση, μετρημένες

στην ίδια μονάδα μέτρησης μήκους, τότε ο καθηγητής προτρέπει τους μαθητές να

παρατηρήσουν και να σκεφτούν τη σχέση που έχουν οι δύο αυτές αποστάσεις, έτσι

ώστε να οδηγηθούν στο συμπέρασμα ότι είναι μεγέθη ανάλογα. Μετά από αυτή την

παρατήρηση ο καθηγητής θέτει στους μαθητές το ερώτημα: «Πώς θα υπολογίσουμε

την ζητούμενη απόσταση;». Προτείνεται να δοθεί αρκετός χρόνος στις ομάδες ώστε

να διαπραγματευτούν το πρόβλημα αυτό. Κατά τη διάρκεια αυτής της

διαπραγμάτευσης, ο καθηγητής προτρέπει τους μαθητές να ενεργοποιήσουν τις

στρατηγικές επίλυσης προβλήματος που εφάρμοσαν σε προηγούμενα προβλήματα,

με στόχο να πινακοποιήσουν τα δεδομένα τους και με εφαρμογή των ιδιοτήτων των

αναλόγων ποσών να οδηγηθούν στον υπολογισμό της πραγματικής απόστασης. 29 Οι χάρτες που θα χρειαστούν σε αυτή τη δραστηριότητα βρίσκονται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Δ.ΧΑΡΤΕΣ

112

Στη συνέχεια θα τους δοθεί χάρτης της Ρόδου χωρίς κλίμακα και η πραγματική

απόσταση Ρόδου-Λίνδου και θα τους ζητηθεί να βρουν την κλίμακα του χάρτη. Στη

δραστηριότητα αυτή οι μαθητές θα πρέπει να μετρήσουν την απόσταση πάνω στο

χάρτη και αφού μετατρέψουν και τις δύο αποστάσεις στην ίδια μονάδα μέτρησης

μήκους να υπολογίσουν το λόγο τους και να τον εκφράσουν με κλάσμα που έχει

αριθμητή την μονάδα. Είναι μία δραστηριότητα που απαιτεί από τους μαθητές καλή

γνώση των κλασμάτων. Αν κάποιες ομάδες συναντήσουν δυσκολία, τότε ο

καθηγητής παρεμβαίνει καθοδηγώντας τα παιδιά να σκεφτούν τα χαρακτηριστικά της

κλίμακας χάρτη ή σχεδίου, που είναι ότι είναι λόγος αποστάσεων μετρημένων στην

ίδια μονάδα μέτρησης και έχει συμφωνηθεί να εκφράζεται με κλάσμα με αριθμητή

την μονάδα. Αν η τελευταία δραστηριότητα δεν μπορέσει να ολοκληρωθεί στην τάξη,

μπορεί να δοθεί ως εργασία στο σπίτι μαζί με τις ασκήσεις 4,7 και 8 στη σελίδα 170

του σχολικού βιβλίου.

Κατά τη διάρκεια των παραπάνω δραστηριοτήτων προτείνεται οι μαθητές να

χρησιμοποιήσουν υπολογιστή τσέπης, ώστε να μην καταναλωθεί χρόνος στην

εκτέλεση αριθμητικών πράξεων. Όλη η πορεία που ακολουθεί η κάθε ομάδα με

στόχο την επίλυση των παραπάνω προβλημάτων προτείνεται να σημειώνεται στο

σημειωματάριο της ομάδας.

Στο σημείο αυτό πρέπει να επισημανθεί ότι ο καθηγητής, αν το κρίνει

απαραίτητο, μπορεί να μην επεκταθεί στην έννοια της κλίμακας, που άλλωστε είναι

γνωστή στους μαθητές από προηγούμενη τάξη, αλλά την τελευταία διδακτική

περίοδο της διδακτικής παρέμβασης να υποβάλει τους μαθητές σε ένα

ανακεφαλαιωτικό διαγώνισμα30, ώστε να διερευνήσει αν οι στόχοι της διδασκαλίας

του έχουν επιτευχθεί. Αν ο χρόνος το επιτρέπει, το διαγώνισμα αυτό μπορεί να δοθεί

στους μαθητές μετά την διδασκαλία και της κλίμακας χάρτη.

Προαιρετικές επεκτάσεις

Μετά την ολοκλήρωση της διδακτικής παρέμβασης και εφόσον ο χρόνος το

επιτρέπει, ο καθηγητής μπορεί να επεκταθεί και σε περισσότερες εφαρμογές των

συναρτήσεων. Μερικές από αυτές είναι:

• Να γίνουν περισσότερες εφαρμογές αναλόγων ποσών από αυτές που

αναφέρονται στην αντίστοιχη παράγραφο του σχολικού βιβλίου.

30 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. 11

113

• Οι ομάδες να επιλέξουν ένα χώρο του σχολείου ή το σπίτι κάποιου μέλους

της ομάδας και να σχεδιάσουν την κάτοψη του χώρου αυτού με κλίμακα της

επιλογής τους.

• Οι ομάδες να παρουσιάσουν στην τάξη κάποια στοιχεία σχετικά με την

ιστορία της συνάρτησης.

• Να δοθούν στους μαθητές περισσότερα προβλήματα προς επίλυση31.

Ο καθηγητής έχει την ευχέρεια να επιλέξει όποια από τις παραπάνω επεκτάσεις

επιθυμεί ή και όλες. Επίσης προτείνεται να ανατεθούν στις ομάδες διαφορετικές

εργασίες και να αφιερωθούν μία ή δύο διδακτικές περίοδοι για την παρουσίαση των

εργασιών αυτών.

31 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ.

114

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. – Φύλλα Εργασίας και Διαγωνίσματα

1. Ορισμοί και εργασία στο σπίτι 1ης διδακτικής περιόδου

Ορισμοί

(i) Κάθε πρόταση η οποία συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου Α με τα στοιχεία ενός

άλλου συνόλου Β, λέγεται σχέση από το σύνολο Α στο σύνολο Β.

(ii) Η επιλογή του πρώτου στοιχείου της σχέσης είναι τυχαία, γι’ αυτό και το πρώτο

στοιχείο λέγεται ανεξάρτητο (ανεξάρτητη μεταβλητή), ενώ το δεύτερο

εξαρτάται από το πρώτο και γι’ αυτό λέγεται εξαρτημένο (εξαρτημένη

μεταβλητή).

(iii)Σύνολο αφετηρίας της σχέσης είναι το σύνολο από όπου παίρνουμε τυχαία το

πρώτο στοιχείο της σχέσης (ανεξάρτητη μεταβλητή), ενώ σύνολο αφίξεως λέμε

το σύνολο από όπου παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο της σχέσης (εξαρτημένη

μεταβλητή).

Εργασία στο σπίτι

Δίνονται οι πόλεις: Αθήνα, Θεσσαλονίκη, Σόφια, Βουκουρέστι, Μόναχο, Ρώμη,

Βαρσοβία και οι χώρες: Γερμανία, Ιταλία, Πολωνία, Ελλάδα, Ρουμανία.

(α) Βρείτε το σύνολο αφετηρίας και το σύνολο αφίξεως της σχέσης:

«η πόλη είναι πρωτεύουσα της χώρας»

(β) Βρείτε το σύνολο αφετηρίας και το σύνολο αφίξεως της σχέσης:

«η πόλη ανήκει στη χώρα»

115

2. Πίνακας 2ης διδακτικής περιόδου

Πρώτο σχήμα Δεύτερο σχήμα

3. Ορισμοί και εργασία στο σπίτι 2ης διδακτικής περιόδου

Ορισμοί

(i) Ο πίνακας που δημιουργείται όταν στην πρώτη στήλη του τοποθετήσουμε τις

τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής και στη δεύτερη τις αντίστοιχες τιμές της

εξαρτημένης, λέγεται πίνακας τιμών της σχέσης.

(ii) Αν τα διατεταγμένα ζεύγη του πίνακα τιμών τα παραστήσουμε με σημεία του

επιπέδου που έχουν τετμημένη το στοιχείο του συνόλου αφετηρίας και τεταγμένη

το αντίστοιχο στοιχείο του συνόλου αφίξεως, τότε το σύνολο των σημείων που

προκύπτει λέγεται γραφική παράσταση της σχέσης.

116

(iii)Έχουμε τρεις τρόπους αναπαράστασης μίας σχέσης: την πρόταση, τον πίνακα

τιμών και τη γραφική παράσταση.

(iv) Όταν σε μία σχέση κάθε στοιχείο του συνόλου αφετηρίας αντιστοιχεί σε ένα μόνο

στοιχείο του συνόλου αφίξεως, τότε η σχέση αυτή λέγεται συνάρτηση.

Ερωτήσεις-Ασκήσεις

1. Βρείτε το σύνολο αφετηρίας και το σύνολο αφίξεως της σχέσης:

« το δεύτερο σχήμα έχει περισσότερες πλευρές από το πρώτο»

Στη συνέχεια φτιάξτε τον πίνακα τιμών και τη γραφική της παράσταση.

Είναι η σχέση αυτή συνάρτηση;

2. Δημιουργείστε σχέσεις όπου το σύνολο αφετηρίας είναι όλα τα κόκκινα σχήματα

και το σύνολο αφίξεως όλα τα μπλέ σχήματα. Για κάθε μία από τις σχέσεις που

δημιουργείτε να ελέγξετε αν είναι ή όχι συνάρτηση.

3. Δημιουργείστε δικές σας σχέσεις και σε κάθε μία να προσδιορίσετε το σύνολο

αφετηρίας, το σύνολο αφίξεως και αν είναι συναρτήσεις.

4. Για τις σχέσεις μεταξύ πόλεων και χωρών του προηγούμενου μαθήματος:

(i) Φτιάξτε τον πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση

(ii) Διακρίνετε αν είναι συναρτήσεις και δικαιολογείστε την απάντησή

σας.

117

4. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1ο

Ερώτηση 1η: Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνονται οι βαθμοί 10 μαθητών στο ωριαίο

διαγώνισμα των μαθηματικών.

ΒΑΘΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

02468

101214161820

0 2 4 6 8 10 12

ΜΑΘΗΤΕΣ

ΒΑΘΜΟΙ

ΒΑΘΜΟΣ ΣΤΑΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

(α) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

ΜΑΘΗΤΗΣ ΒΑΘΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

(β) Ποιο είναι το σύνολο αφετηρίας της παραπάνω σχέσης;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

118

(γ) Είναι η σχέση αυτή συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(δ) Ποιος μαθητής πήρε τον μεγαλύτερο και ποιος τον μικρότερο βαθμό και ποιοι

είναι αυτοί;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(ε) Ποιοι μαθητές πήραν βαθμό από 16 και πάνω;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(στ) Ποιοι μαθητές πήραν βαθμό 17;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(ζ) Μπορούμε να ενώσουμε τα σημεία της δοσμένης γραφικής παράστασης;

Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

119

Ερώτηση 2η: Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται τα ποσοστά μηνιαίας βροχόπτωσης

του έτους 2002.

ΜΗΝΑΣ ΠΟΣΟΣΤΟ

ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ Ιανουάριος 58 Φεβρουάριος 60 Μάρτιος 47 Απρίλιος 32 Μάιος 25 Ιούνιος 17 Ιούλιος 16 Αύγουστος 16 Σεπτέμβριος 32 Οκτώβριος 47 Νοέμβριος 25 Δεκέμβριος 47

(α) Φτιάξτε ένα διάγραμμα που να αντιστοιχεί στον πίνακα αυτό. Μπορούμε να

ενώσουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

ΠΟΣΟΣΤΟ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ

0 5 10 15

ΜΗΝΑΣ

ΠΟΣΟ

ΣΤΟ

ΒΡΟ

ΧΟΠΤΩ

ΣΗΣ

ΠΟΣΟΣΤΟ ΒΡΟΧΟΠΤΩΣΗΣ

(β) Ποιο είναι το σύνολο αφετηρίας της παραπάνω σχέσης;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

120

(γ) Είναι η σχέση αυτή συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


1. Να βρείτε (από εφημερίδες, περιοδικά, διαδίκτυο κ.α.) σχέσεις σαν τις παραπάνω

και να προσπαθήσετε για κάθε μία από αυτές να προσδιορίσετε:

(α) το σύνολο αφετηρίας

(β) τον πίνακα τιμών

(γ) το διάγραμμα

2. Σελ. 160-161 σχολικού βιβλίου: ασκήσεις 7, 8, 9.

121

5. ΤΕΣΤ

Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις αντιστοιχούν σε συναρτήσεις; Δικαιολογήστε την

απάντησή σας.

Σύνολο

αφετηρίας 0 1 2

3

Σύνολο

αφίξεως 5 8

____________________________________________________________________________________________________________

9 11

Σύνολο


8

Σύνολο

αφίξεως 1 1

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

2 4

Σύνολο


3

Σύνολο

αφίξεως 1 2 3 4

122

6. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 2Ο

Πρόβλημα

Πάρτε ένα κομμάτι χαρτιού από το τετράδιό σας και διπλώστε το όσες πιο πολλές

φορές μπορείτε. Μετά από 1 δίπλωμα το χαρτί χωρίζεται σε δύο περιοχές. Σε πόσες

περιοχές θα χωριστεί το χαρτί μετά από 3 διπλώματα; Πόσα διπλώματα είναι δυνατόν

να κάνουμε; Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Αριθμός διπλωμάτων Αριθμός περιοχών

0

1

2

3

4

5

(α) Παρατηρείτε κάποιο μοτίβο στον παραπάνω πίνακα;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(β) Περιγράψτε πώς ο αριθμός των περιοχών σχετίζεται με τον αριθμό των

διπλωμάτων. Να μεταφράσετε τη σχέση αυτή σε μία μαθηματική παράσταση με

μεταβλητές και αριθμούς; Χρησιμοποιήστε αυτή την παράσταση για να βρείτε τον

αριθμό των περιοχών στις οποίες χωρίζεται το χαρτί όταν διπλωθεί 18 φορές.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

123

(γ) Κάντε τη γραφική παράσταση της σχέσης αριθμού διπλωμάτων και αριθμού

περιοχών. Μπορούμε να ενώσουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης;


(δ) Είναι η σχέση αυτή συνάρτηση; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Εργασία στο σπίτι: σελ. 155 2,4,5.

124

7. ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3Ο

Πρόβλημα

Τα τρία τρίγωνα που βλέπετε παρακάτω είναι ισόπλευρα.

(α) Φτιάξτε το τέταρτο ισόπλευρο τρίγωνο της σειράς. Αν πάρουμε ως μονάδα

μέτρησης το πρώτο ισόπλευρο τρίγωνο, ποιο είναι το εμβαδόν καθενός από τα

τέσσερα τρίγωνα; Συμπληρώστε το εμβαδόν των τριγώνων στον παρακάτω πίνακα:

Αριθμός τριγώνου 1 2 3 4 5

Εμβαδόν τριγώνου

(β) Περιγράψτε μοτίβα που παρατηρείτε στον πίνακα.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

125

(γ) Προβλέψτε το εμβαδόν του 5ου τριγώνου. Επιβεβαιώστε την πρόβλεψή σας

κατασκευάζοντάς το.

(δ) Είναι δυνατόν να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός τριγώνου ξέροντας τη θέση του

στην παραπάνω σειρά; Περιγράψτε με λόγια πώς θα υπολογίσετε το εμβαδόν του

20ου τριγώνου.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(ε) Μπορείτε τον κανόνα που βρήκατε στο (δ) ερώτημα να τον μεταφράσετε σε

μαθηματική έκφραση;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

126

(στ) Το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου είναι 441 τριγωνάκια. Τι θέση έχει αυτό

το τρίγωνο στην αρχική μας σειρά τριγώνων; Εξηγήστε πώς οδηγηθήκατε στην

απάντηση που δώσατε.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________


1. σελ. 155 σχολικού βιβλίου: 1,3

2. Φτιάξτε ανάλογο πρόβλημα με αυτό του φύλλου εργασία χρησιμοποιώντας αντί

για ισόπλευρα τρίγωνα τετράγωνα. Μπορείτε για διευκόλυνσή σας να

χρησιμοποιήσετε μιλιμετρέ χαρτί.

127


Πρόβλημα

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

Πορτοκάλια σε κιλά 1 2 3 4 5

Αξία σε € 1,2 2,4

(α) Παρατηρείτε κάποιο μοτίβο στον παραπάνω πίνακα;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(β) Περιγράψτε πώς τα κιλά των πορτοκαλιών σχετίζονται με την αξία τους σε €. Να

μεταφράσετε τη σχέση αυτή σε μία μαθηματική παράσταση με μεταβλητές και

αριθμούς;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(γ) Κάντε τη γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης. Είναι η σχέση αυτή

συνάρτηση;

Μπορούμε να ενώσουμε τα διασκορπισμένα σημεία της γραφικής παράστασης;


_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

128

(δ) Τι μορφή έχει η γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής; Αυτό συμβαίνει για

κάθε συνάρτηση της ίδιας μορφής;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(ε) Κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=3χ χρησιμοποιώντας τον

ελάχιστο αριθμό σημείων.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Εργασία στο σπίτι: σελ. 165 σχολικού ασκήσεις 1,2 και 4.

129


Πρόβλημα

Σε μερικές χώρες για τη μέτρηση της θερμοκρασίας αντί των βαθμών Κελσίου

(Celsius) χρησιμοποιούν τους βαθμούς Φαρενάιτ (Fahrenheit). Η αντιστοιχία των

βαθμών Κελσίου και Φαρενάιτ φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Κελσίου 1 2 3

Φαρενάιτ 34 36 38

(α) Ποια συνάρτηση συνδέει τους βαθμούς Κελσίου με τους βαθμούς Φαρενάιτ;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής.

130

(γ) Από τη γραφική παράσταση να βρείτε σε πόσους βαθμούς Κελσίου αντιστοιχούν

οι 0 βαθμοί Φαρενάιτ και σε πόσους βαθμούς Φαρενάιτ αντιστοιχούν οι 0 βαθμοί

Κελσίου.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(δ) Βρείτε τα σημεία τομής με τους άξονες των γραφικών παραστάσεων των

συναρτήσεων

(i) ψ=2χ+1 (ii) ψ=-3χ+2 (iii) ψ=χ-1 χωρίς να σχεδιάσετε τις γραφικές

παραστάσεις.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Εργασία στο σπίτι: σελ. 176 ασκήσεις 4, 7

Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=2χ με το χ να είναι

οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Στη συνέχεια στο ίδιο σύστημα αξόνων να

σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=2χ-1 και ψ=2χ+3. Τι

παρατηρείτε; Βασιζόμενοι στην παρατήρησή σας και χωρίς να σχεδιάσετε τις

γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ψ=15χ-150 και ψ=15χ+75 μπορείτε να

συμπεράνετε τι σχέση έχουν οι γραφικές παραστάσεις τους;

131


Πρόβλημα

Ο κ. Κώστας έκανε με το αυτοκίνητό του την απόσταση Αθήνα-Βόλος, που είναι

300km σε χρόνο 3 ωρών και ο υπολογιστής ταξιδίου του αυτοκινήτου του έδειξε

μέση ταχύτητα 100km/h. Στο Βόλο έφτασε στις 5μ.μ. Τον ειδοποίησαν όμως

εκτάκτως ότι για σοβαρό επαγγελματικό ραντεβού θα πρέπει να είναι πίσω στην

Αθήνα στις 8μ.μ. Μέχρι να διευθετήσει κάποιες επείγουσες επαγγελματικές

υποχρεώσεις στο Βόλο η ώρα πέρασε και έτσι ξεκίνησε το ταξίδι της επιστροφής στις

5:45μ.μ. Υπολόγισε ότι για να είναι συνεπής στο ραντεβού του στην Αθήνα θα ήταν

καλό να είναι στην περιοχή ένα τέταρτο νωρίτερα από την καθορισμένη ώρα του

ραντεβού. Αποφάσισε λοιπόν να τρέξει λίγο περισσότερο, αλλά δεν ξέρει πόση

ταχύτητα πρέπει να έχει.

(α) Μπορείτε να βοηθήσετε τον κ. Κώστα ώστε να είναι εγκαίρως στο ραντεβού του;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

(β) Τα όρια ταχύτητας της Εθνικής Οδού και τα πρόστιμα που επιβάλει η τροχαία

δεν του επέτρεψαν να αναπτύξει την απαραίτητη ταχύτητα και έτσι κατάφερε να

φτάσει στην Αθήνα και άρα και στο ραντεβού ένα τέταρτο καθυστερημένος. Με

πόση ταχύτητα έτρεχε;

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

132

(γ) Ποια συνάρτηση συνδέει την ταχύτητα με το χρόνο ταξιδίου; Σχεδιάστε τη

γραφική της παράσταση.

(δ) Βρείτε το σύνολο αφετηρίας της παραπάνω συνάρτησης.

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Εργασία στο σπίτι: σελ. 179-180 ασκήσεις 2,4 και 7.

133

11. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Η συνάρτηση είναι:

Α. Μία σχέση

Β. Μία ισότητα

Γ. Μία σχέση που σε κάθε στοιχείο του συνόλου αφετηρίας αντιστοιχίζει ένα

μόνο στοιχείο του συνόλου αφίξεως.

Δ. Μία πρόταση

2. Ποια από τα παρακάτω δεν είναι αναπαράσταση μίας συνάρτησης:

Α. Η πρόταση

Β. Το σύνολο αφετηρίας

Γ. Ο πίνακας τιμών

Δ. Η γραφική παράσταση

3. Η γραφική παράσταση μίας σχέσης είναι:

Α. Σύνολο σημείων

Β. Μία ευθεία γραμμή

Γ. Μία καμπύλη γραμμή

Δ. Τίποτα από τα παραπάνω

4. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δεν αντιστοιχούν σε συνάρτηση:

A. B.

134

Γ. Δ.

5. Ποια συνάρτηση έχει γραφική παράσταση την παρακάτω ευθεία;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Να αντιστοιχίσετε τους αριθμούς της πρώτης στήλης με τα γράμματα της

δεύτερης στήλης του παρακάτω πίνακα:

Συναρτήσεις Γραφικές παραστάσεις

1. ψ=αχ

2. χαψ =

3. ψ=αχ+β

Α. ευθεία

Β. υπερβολή

Γ. ευθεία που περνάει από το Ο(0, 0)

Δ. καμπύλη με δύο κλάδους

135

7. Το σημείο τομής της ευθείας ψ=-3χ-1 με τον ψ΄ψ είναι το:

Α. (0, 1)

Β. (0, -1)

Γ. (1, 0)

Δ. (-1, 0)

8. Η ευθεία ψ=-2χ+3 είναι παράλληλη στην ευθεία:

Α. ψ=3χ-2

Β. ψ=-2χ+5

Γ. ψ=3χ

Δ. ψ=2χ

9. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης χ

ψ 2= τέμνει τον άξονα χ΄χ:

Α. στο σημείο (2, 0)

Β. στο σημείο (0, 2)

Γ. πουθενά

Δ. (0, 0)

10. Ο ελάχιστος αριθμός σημείων που χρειαζόμαστε ώστε να σχεδιάσουμε τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=2χ-1 είναι:

Α. ένα

Β. δύο

Γ. τρία

Δ. τέσσερα

136

12. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

1. Η συνάρτηση είναι:

Α. Μία σχέση

Β. Μία ισότητα

Γ. Μία σχέση που σε κάθε στοιχείο του συνόλου αφετηρίας αντιστοιχίζει ένα

μόνο στοιχείο του συνόλου αφίξεως.

Δ. Μία πρόταση

2. Ποια από τα παρακάτω δεν είναι αναπαράσταση μίας συνάρτησης:

Α. Η πρόταση

Β. Το σύνολο αφετηρίας

Γ. Ο πίνακας τιμών

Δ. Η γραφική παράσταση

3. Η γραφική παράσταση μίας σχέσης είναι:

Α. Σύνολο σημείων

Β. Μία ευθεία γραμμή

Γ. Μία καμπύλη γραμμή

Δ. Τίποτα από τα παραπάνω

Αν τα διατεταγμένα ζεύγη του πίνακα

τιμών τα παραστήσουμε με σημεία του

επιπέδου που έχουν τετμημένη το στοιχείο

του συνόλου αφετηρίας και τεταγμένη το

αντίστοιχο στοιχείο του συνόλου αφίξεως,

τότε το σύνολο των σημείων που

προκύπτει λέγεται γραφική παράσταση

της σχέσης.

Σε αυτή την ερώτηση θεωρήθηκαν σωστά

και το Α και το Δ, διότι ενώ θέλαμε να

τονίσουμε ότι η γραφική παράσταση είναι

ένα σύνολο σημείων που υπό κάποιες

προϋποθέσεις ενώνονται για να αποτελέσουν

ευθεία ή καμπύλη γραμμή, ωστόσο η

απάντηση Δ θεωρείται σωστή αν πάρουμε

τον απολύτως σωστό ορισμό της γραφικής

παράστασης που είναι :

137

4. Ποια από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις δεν αντιστοιχούν σε συνάρτηση:

A. B.

Γ. Δ.

5. Ποια συνάρτηση έχει γραφική παράσταση την παρακάτω ευθεία;

Υπάρχουν δύο σημεία με

την ίδια τετμημένη,

επομένως σε ένα

στοιχείο του συνόλου

αφετηρίας αντιστοιχούν

δύο στοιχεία του

συνόλου αφίξεως, άρα

το Β δεν αντιστοιχεί σε

συνάρτηση

236===

χψα . Άρα η δοσμένη

ευθεία είναι γραφική παράσταση της

συνάρτησης ψ=2χ.

Αφού είναι ευθεία που διέρχεται από

την αρχή των αξόνων Ο(0, 0), ο

τύπος της θα είναι της μορφής ψ=αχ.

Βλέπουμε ότι διέρχεται και από το

σημεία (3, 6), επομένως ισχύει:

138

6. Να αντιστοιχίσετε τους αριθμούς της πρώτης στήλης με τα γράμματα της

δεύτερης στήλης του παρακάτω πίνακα:

Συναρτήσεις Γραφικές παραστάσεις

1. ψ=αχ

2. χαψ =

3. ψ=αχ+β

Α. ευθεία

Β. υπερβολή

Γ. ευθεία που περνάει από το Ο(0, 0)

Δ. καμπύλη με δύο κλάδους

1-Γ, 2-Β, 3-Α

ΠΡΟΣΟΧΗ! Η γραφική παράσταση της χαψ = δεν είναι μία οποιαδήποτε

καμπύλη με δύο κλάδους, αλλά συγκεκριμένα μία υπερβολή.

7. Το σημείο τομής της ευθείας ψ=-3χ-1 με τον ψ΄ψ είναι το:

Α. (0, 1)

Β. (0, -1)

Γ. (1, 0)

Δ. (-1, 0)

8. Η ευθεία ψ=-2χ+3 είναι παράλληλη στην ευθεία:

Α. ψ=3χ-2

Β. ψ=-2χ+5

Γ. ψ=3χ

Δ. ψ=2χ

9. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης χ

ψ 2= τέμνει τον άξονα χ΄χ:

Α. στο σημείο (2, 0)

Β. στο σημείο (0, 2)

Γ. πουθενά

Δ. (0, 0)

139

10. Ο ελάχιστος αριθμός σημείων που χρειαζόμαστε ώστε να σχεδιάσουμε τη

γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=2χ-1 είναι:

Α. ένα

Β. δύο Η γραφική παράσταση της δοσμένης συνάρτησης είναι

ευθεία, άρα αρκούν δύο σημεία για να τη σχεδιάσουμε. Γ. τρία

Δ. τέσσερα

140

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ. – Γεωμετρικά Σχήματα

141

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ε. - Χάρτες

142

Απόσταση Ρόδου-Λίνδου=41,4km

143

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤ. – Προβλήματα για προαιρετικές επεκτάσεις

1. Με τη βοήθεια σπίρτων σχεδιάστε ένα τετράγωνο. Στη συνέχεια σχεδιάστε δύο

τετράγωνα με κοινή τη μία πλευρά, μετά τρία κ.ο.κ. όπως φαίνεται στο σχήμα:

(α) Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα

Αριθμός τετραγώνων 1 2 3 4 5 100

Αριθμός σπίρτων 4 7 10

(β) Εκφράστε των αριθμό των σπίρτων ως συνάρτηση του αριθμού των

τετραγώνων

2. Δίνεται το παρακάτω σχήμα:

Βρείτε τη σχέση μεταξύ του πλήθους των χρωματισμένων τετραγώνων και του

μήκους (μ) του εσωτερικού τετραγώνου.

3. Διπλώστε ένα κομμάτι μίας κλωστής. Όταν είναι διπλωμένη στα δύο κόψτε την.

Πόσα κομμάτια κλωστής έχετε τώρα; Συνεχίστε με ένα άλλο κομμάτι κλωστής

και καθώς είναι διπλωμένη στα δύο κάντε 2, 3, 4 και 5 κοψίματα. Συμπληρώστε

τον παρακάτω πίνακα.

4.

Αριθμός κοψιμάτων 0 1 2 3 4 5

Αριθμός κομματιών κλωστής

(α) Περιγράψτε ποια μοτίβα παρατηρείτε στον παραπάνω πίνακα.

(β) Χωρίς να κόψετε την κλωστή, χρησιμοποιήστε κάποιο από τα μοτίβα που

144

παρατηρήσατε για να προσδιορίσετε τον αριθμό των κομματιών όταν έχουμε 6, 7 και

8 κοψίματα.

(γ) Περιγράψτε με λόγια πως μπορείτε να προσδιορίσετε τον αριθμό των

κομματιών της κλωστής, αν της κάνουμε 20 κοψίματα.

(δ) Πόσα κοψίματα πρέπει να κάνουμε για να έχουμε 21 κομμάτια κλωστής;

Περιγράψτε πώς λύσατε το πρόβλημα.

(ε) Διπλώστε την κλωστή τρεις φορές και επαναλάβετε όλα τα προηγούμενα

βήματα.

5. Ο Πύργος του Ανόι

Έχουμε ν δίσκους στην αριστερή ράβδο τοποθετημένους από το μεγαλύτερο στο

μικρότερο και θέλω να τους μετακινήσω στη δεξιά ράβδο με τις λιγότερες δυνατές

κινήσεις. Τη μεσαία ράβδο τη χρησιμοποιώ σαν βοηθητική. Δε μπορώ να τοποθετώ

μεγαλύτερο δίσκο πάνω σε μικρότερο. Η μεταφορά από τη μία ράβδο σε μια άλλη

θεωρείται μία κίνηση

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που θα χρειαστούμε για τη μεταφορά των

ν δίσκων;

Το παιχνίδι εφεύρε ο Γάλλος μαθηματικός Eduard Lucas το 1833, εμπνευσμένος από τον

αντίστοιχο μύθο. Για να παίξετε το παιχνίδι μπείτε στο Διαδίκτυο στη διεύθυνση

http://www.lhs.berkeley.edu/Java/Tower/Tower.html

6. Η ακολουθία Fibonacci

(α) Το πρόβλημα το οποίο διερεύνησε ο Fibonacci (περίπου το 1202μ.Χ.) ήταν

σχετικό με το πόσο γρήγορα μπορούν τα κουνέλια να εξαπλωθούν σε ιδανικές

συνθήκες. Το πρόβλημα ήταν το εξής:

«Ας υποθέσουμε ότι ένα νεογέννητο ζευγάρι κουνελιών, ένα αρσενικό και ένα

θηλυκό, βρίσκονται σε ένα χωράφι. Τα κουνέλια ζευγαρώνουν σε ηλικία ενός(1)

μηνός και στο τέλος του δεύτερου(2) μήνα το θηλυκό γεννά ένα νέο ζευγάρι

http://www.lhs.berkeley.edu/Java/Tower/Tower.html

145

κουνελιών. Ας υποθέσουμε ότι τα κουνέλια μας ποτέ δεν πεθαίνουν και ότι το

θηλυκό γεννάει πάντα ένα νέο ζευγάρι (ένα αρσενικό και ένα θηλυκό) κάθε μήνα

ξεκινώντας από το δεύτερο μήνα της ζωής του. Το ερώτημα που έθεσε ο Fibonacci

ήταν:

Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα υπάρχουν σε ένα χρόνο;»

Μπορείτε να βοηθήσετε τον Fibonacci να λύσει το παραπάνω πρόβλημα;

(β) Οι γνωστές σε όλους μας μέλισσες ζουν σε «αποικίες» που λέγονται κυψέλες

και έχουν ένα πραγματικά ασυνήθιστο οικογενειακό δέντρο. Το ασυνήθιστο σχετικά

με τις μέλισσες είναι ότι: δεν έχουν όλες δύο γονείς! Αυτό συμβαίνει διότι:

• Σε κάθε κυψέλη μελισσών υπάρχει μία ιδιαίτερη μέλισσα που λέγεται

βασίλισσα.

• Υπάρχουν οι εργάτες που είναι επίσης θηλυκές μέλισσες, αλλά σε αντίθεση

με τη βασίλισσα δεν γεννούν αυγά.

• Υπάρχουν και οι κηφήνες που είναι αρσενικές μέλισσες και δεν εργάζονται.

Τα αρσενικά γεννιούνται από τα μη γονιμοποιημένα αυγά της βασίλισσας και

έτσι ένα αρσενικό έχει μητέρα αλλά όχι πατέρα!

• Όλα τα θηλυκά γεννιόνται όταν η βασίλισσα ζευγαρώσει με ένα αρσενικό και

επομένως έχουν δύο γονείς. Συνήθως καταλήγουν να γίνουν μέλισσες

εργάτες, εκτός από μερικές που τις ταΐζουν με τον λεγόμενο βασιλικό πολτό

και έτσι γίνονται βασίλισσες, έτοιμες να εγκαταλείψουν την κυψέλη τους και

να δημιουργήσουν ένα νέο σμήνος, σε μία άλλη κυψέλη.

Άρα μία θηλυκή μέλισσα έχει δύο γονείς, μία αρσενική και μία θηλυκή μέλισσα, ενώ

μία αρσενική μέλισσα έχει μόνο έναν γονέα, μία θηλυκή μέλισσα.

Παίρνουμε έναν κηφήνα και θα προσπαθήσουμε να φτιάξουμε το οικογενειακό

του δέντρο, όπως σε προηγούμενο μάθημα κάνατε για το δικό σας οικογενειακό

δέντρο. Προχωρώντας προς τα πίσω στις γενιές των μελισσών, θα υπολογίζετε το

πλήθος των ατόμων σε κάθε γενιά και θα συμπληρώνετε παράλληλα τον παρακάτω

πίνακα:

146

α/α Γενιάς Οικογ.

Δέντρου Πλήθος ατόμων

1 1

2

3

4

5

6

Όπου η 1η γενιά είναι ο κηφήνας και γι’ αυτό υπάρχει ήδη στον πίνακα ο αριθμός 1.

Η αναπαράσταση του οικογενειακού δέντρου του κηφήνα να γίνει στο

σημειωματάριό σας.

147

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΕΣ

Artigue, M., & Didirem, E. (1997). Teaching and Learning elementary analysis: What

can we learn from didactical research and curriculum evolution?. First

Mediterranean Conference on Mathematics 1997, 207-217.

Blake, S., Hurley, S., & Arenz, B. (1995). Mathematical Problem Solving and Young

Children. Early Childhood Education Journal, 23 (2), 81-84.

Bullock, J. (1988). Encouraging Problem Solving. Early Childhood Education

Journal, 16 (1), 24-27.

Burton, L. (1980). The Teaching of Mathematics to young children using a problem

solving approach. Educational Studies in Mathematics, 11, 43-58.

Cramer, K. (2001). Using Models to build an understanding of functions.

Mathematics Teaching in The middle school 6 (5), 310-318.

Elia, I., Panaoura, A., Eracleous, A., & Gagatsis, A. (2006). Relations Between

Secondary Pupils’ Conceptions about functions and problem solving in

different representations. International Journal of Science and Mathematics

Education, National Science Council, Taiwan 2006.

English, L. D. (1997a). The Development of fifth-grade children’s problem-posing

abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, 183-217.

English, L. D. (1997b). Promoting a Problem-Solving Classroom. Teaching Children

Mathematics, 4, 72-79.

English, L. D. (1998). Children’s Problem Posing Within Formal and Informal

Contexts. Journal for Research in Mathematics Education, 29, 83-106.

Gerson, H. (2008). David’s Understanding of Functions and Periodicity. School

Science and Mathematics, 108, 28-38.

Grabinger, S., & Dunlap, C. (2002). Problem-based Learning as an Example of

Active Learning and Student Engagement. In Advances in Information

Systems: Proccedings Second International Conference. T. Yakhno (Ed.):

ADVIS 2002, LNCS 2457, pp. 375-384.

Greer, B. (1997). Modeling Reality in Mathematics Classrooms: The case of Word

Problems. Learning and Instruction, 7, 293-307.

Haimes, H. D. (1996). The Implementation of a "function" approach to introductory

Algebra: a case study of teacher cognitions, teacher actions, and the intended

curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 27, 582-602.

148

Harskamp, E. G, & Suhre, C. J. M. (2006). Improving mathematical problem solving:

A computerized approach. Computers in Human Behavior, 22, 801-815.

Harskamp, E. G, & Suhre, C. J. M. (2007). Schoenfeld’s problem solving theory in a

student controlled learning environment. Computers & Education, 49 (3),

822-839.

Hitt, F. (1998). Difficulties in the Articulation of Different Representations Linked to

the Concept of function. Journal of Mathematical Behavior 17 (1), 123-134.

Ho, K. F., & Hedberg, G. H. (2005). Teachers’ pedagogies and their impact on

students’ mathematical problem solving. Journal of Mathematical Behavior

24, 238-252.

Llinares, S. (2000). Secondary School Mathematics Teacher’s Professional

Knowledge: a case from the teaching of the concept of function. Teachers and

Teaching: theory and practice 6 (1), 41-62.

Manouchehri, A. (2001). A Four-Point Instructional. Teaching Children Mathematics

8, (3), 180-186.

O'Callaghan, B. R. (1998). Computer-Intensive Algebra and Students' Conceptual

Knowledge of Functions. Journal for Research in Mathematics Education, 29,

21-40.

Quin, J. R. (1997). Developing Conceptual Understanding of Relations and Functions

with Attribute Blocks. Mathematics Teaching in the Middle School, 3, 186-

190.

Sajka, M. (2003). A secondary school student’s understanding for the concept of

function – a case study. Educational Studies in Mathematics, 53, 229-254.

Schwarz, B., & Dreyfus, T. (1995). New actions upon old objects: a new ontological

perspective on functions. Educational Studies in Mathematics, 29, 259-291.

Schwarz, B. B., & Hershkowitz, R. (1999). Prototypes: Brakes or Levers in Learning

the Function Concept? The Role of Computer Tools. Journal for Research in

Mathematics Education, 30 (4), 362-389.

Sfard, A. (1995). The Development of Algebra: Confronting Historical and

Psychological Perspectives. Journal of Mathematical Behavior, 14, 15-39.

Thomas, G. E. (2000). Some Big ideas of Algebra in the Middle Grades. Mathematics

Teaching in the middle school, 6, 26-31.

Thompson, P. W. (1985). Experience, Problem Solving, and Learning mathematics:

Consideraotions in developing mathematics curricula. In E.A. Silver (Ed.),

149

Teaching and learning mathematical problem solving: Multiple research

perspectives (p. 189-236). Hillsdale, NJ: Erlbaum.

Thornton, S. J. (2001). New Approaches to Algebra: Have we missed the point?.

Mathematics Teaching in The middle school 6 (7), 388-392.

Van Streun, A. (2000). Representations in applying functions. International Journal

of Mathematics Education in Science and Technology, 31 (5), 703-725.

Verzoni, K. A. (1997). Turning students into problem solvers. Mathematics Teaching

in the Middle School, 3, 102-107.

Vosniadou, S., & Verschaffel, L. (2004). Extending the Conceptual change approach

to mathematics learning and teaching. Learning and Instruction, 14, 445-451.

Youschkevitch, A. P. (1977). The concept of function up to the Middle of the 19th

century. Archive for History of Exact Sciences, 16, 36-85.

Zachariades, T., Christou, C., & Papageorgiou, E. (2001). The difficulties and

reasoning of undergraduate mathematics students in the identification of

functions. University Of Athens. Το άρθρο εντοπίστηκε στη διεύθυνση:

www.math.uoc.gr/~ictm2/Proceedings/pap353.pdf

Αλιμπινίσης, Α., Γρηγοριάδης, Σ., Ευσταθόπουλος, Ε., Κλαουδάτος, Ν.,

Παπασταυρίδης, Σ., & Σβέρκος, Α.(2001). Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου. Αθήνα:

ΟΕΔΒ.

Βοσνιάδου, Σ. (2005). Εισαγωγή στην Ψυχολογία ΤΟΜΟΣ Α΄ Βιολογικές,

Αναπτυξιακές και Συμπεριφοριστικές Προσεγγίσεις. Γνωστική Ψυχολογία.

Αθήνα: GUTENBERG.

Κολέζα, Ε. (2000). Γνωσιολογική και Διδακτική προσέγγιση των Στοιχειωδών

Μαθηματικών Εννοιών. Αθήνα: LeaderBooks.

Πατρώνης, Τ. (1998). Πώς να το λύσω. Μετάφραση: Ψυακκή, Ξ. Επιμέλεια:

Πατρώνης, Τ. Αθήνα: ΚΑΡΔΑΜΙΤΣΑ, 2η Έκδοση.

150

Δευτερογενείς πηγές

Athey, I. (1974). Piaget, Play, and Problem Solving. In D. Sponseller, (Ed.), Play as a

learning medium, Washington, D.C.: NAEYC.

Boers-van Oosterum, M. A. M. (1990). Understanding of variables and their uses

acquired by students in traditional and computer-intensive algebra. (Doctoral

dissertation, Univesity of Maryland, College Park 1990). Dessertation

Abstracts International, 51, 1538A.

Brown, S. I., & Walter, M. I. (1983). The Art of Problem Posing. Hillsdale, N.J.:

Lawrence Erlbaum Assoc.

Dreyfus, T., & Eisenberg, T. (1983). The function concept in college students:

Linearity, smoothness and periodicity. Focus on Learning Problems in

Mathematics, 5, 119-132.

Fey, J. T. (Ed.) (1984). Computing and mathematics: The impact on secondary school

curricula. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Garofalo, J, & Lester, F. K. (1985). Metacognition, cognitive monitoring, and

mathematical performance. Journal for Research in Mathematics Education,

16, 163-176.

Harel, G., & Dubinsky, E. (Eds) (1992). The concept of function: Aspects of

epistemology and pedagogy. Washington, DC: Mathematical Association of

America.

Kieran, C. (1990). Cognitive processes involved in learning school algebra. In

Nesher,P., & Kilpatrick,J.(Eds). Mathematics and cognition: A research

synthesis by the International Group for the Psychology of Mathematics

Education (p. 96-112). Cambridge, England: Cambridge University Press.

Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In Grows, D.A. (Ed).

Handbook of Research on mathematics teaching (p. 390-419). New York:

Macmillan.

Leung, S. S., & Silver, E. A. (1997). The role of task format, mathematics knowledge,

and creative thinking on the arithmetic problem posing of prospective

elementary school teachers. Mathematics Education Research Journal, 9 (1),

5-24.

NCTM (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics.

Reston, VA: NCTM,1989.

151

NCTM (2000). Principles and Standards for school mathematics. Reston, VA:

NCTM, 2000.

Polya, G. (1957). How to solve it: A new aspect on mathematical method (2nd ed.).

Princeton, NJ: Princeton University Press.

Schaaf, W. (1930). Mathematics and world history. Mathematics Teacher, 23, 496-

503.

Schoenfeld, A. H. (1987). Cognitive Science and Mathematics Education. Hillsdale,

NJ: Lawrence Erlbaum.

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem-solving,

metacognition, and sense making in mathematics. In D.A. Grouws (Ed.),

Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 334-368).

New York: Macmillan.

Schroeder, D. L. & Lester, F. K. (1989). Developing understanding of mathematics

via problem solving. In P.R. Trafton and A.P. Shulte (Eds). New Directions

for elementary school mathematics: 1989 yearbook. Reston, V.A. National

Council of Teachers of Mathematics.

Sfard, A. (1989). Transition from operational to structural conception: The notion of

function revisited. In Vergnaud, G., Rogalski, J., & Artigue, M. (Eds).

Proceedings of the thirteenth International Conference for the Psychology of

Mathematics Education 3, 151-158. Paris: Laboratoire PSYDEE.

Sierpinska, A. (1992). On understanding the notion of function in Harel & Dubinsky

(1992).

Silver, E. A. (1994). On Mathematical Problem Solving. For the Learnong of

Mathematics 14, 19-28.

Taylor, B. J. (1995). A child goes forth. Columbus, OH:Merril.

Verzoni, K. A. (1996). Posing and Solving Complex, Life-Situated Mathematics

Problems. Paper presented at the annual meeting of the American

Educational Research Association.

Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function.

International Journal of Mathematics Education in Science and Technology,

14, 295-305.

Vinner, S., & Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function.

Journal for Research in Mathematics Education, 20, 356-366.

Documents

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ Τ M ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ …me.math.uoa.gr/dipl/dipl_tzioti.styliani.pdfΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ