В. А. Зорич

Математический анализ

Часть I

Издание деcятое,исправленное

Рекомендовано УМО по классическому университетскому образованиюв качестве учебника для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по специальности01.05.01 Фундаментальные математика и механика

и направлениям01.03.01 Математика,

01.03.03 Механика и математическое моделирование,02.03.01 Математика и компьютерные науки

Издательство МЦНМОМосква, 2019

УДК 517ББК 22.16

З86Рецензенты:

Отдел теории функций комплексного переменногоМатематического института им. В. А. Стеклова

Российской академии наукЗаведующий отделом академик А. А. Гончар

Академик В. И. Арнольд

З86Зорич В. А.

Математический анализ. Часть I. — Изд. 10-е, испр. — М.: МЦНМО,2019. — xii+564 с. Библ.: 54 назв. Илл.: 65.

ISBN 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (часть I).Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей.

Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математическойподготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.

ББК 22.16

«Полная строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а такжевоспитанием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания».

— Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании учебника.

ISBN 978-5-4439-1304-9

9 785443 913049 >

Учебное издание для вузов

Владимир Антонович Зорич

ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ÷àñòü

Подписано в печать 25.09.2019 г. Формат 70×100/16.Печ. л. 36. Тираж 1500 экз. Заказ № ????

Издательство Московского центра непрерывного математического образования119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-08-04

Отпечатано в ОАО «Первая образцовая типография», филиал «Дом печати — Вятка»610033, г. Киров, ул. Московская, 122. www.gipp.kirov.ru; e-mail: order@gipp.kirov.ru

Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,Москва, Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (495) 745-80-31. E-mail: biblio@mccme.ru

ISBN ----ISBN ---- (часть I)

© В. А. Зорич, 2001—2019.© Издательство МЦНМО, 2019.

Оглавление

Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiИз предисловия ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiПредисловие к седьмому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения § 1. Логическая символика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (2). 3. Некото-рые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (3).Упражнения (4)

§ 2. Множества и элементарные операции над множествами . . . . . . . . . 41. Понятие множества (4). 2. Отношение включения (6). 3. Простей-шие операции над множествами (7). Упражнения (10)

§ 3. Функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101. Понятие функции (отображения) (10). 2. Простейшая классифика-ция отображений (14). 3. Композиция функций и взаимно обратныеотображения (16). 4. Функция как отношение. График функции (18).Упражнения (21)

§ 4. Некоторые дополнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231. Мощность множества (кардинальные числа) (23). 2. Об аксиомати-ке теории множеств (25). 3. Замечания о структуре математическихвысказываний и записи их на языке теории множеств (27). Упражне-ния (29)

Глава II. Действительные (вещественные) числа § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действи-тельных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1. Определение множества действительных чисел (32). 2. Некоторыеобщие алгебраические свойства действительных чисел (36). 3. Аксио-ма полноты и существование верхней (нижней) грани числового мно-жества (39)

§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные ас-пекты операций с действительными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1. Натуральные числа и принцип математической индукции (41). 2. Ра-циональные и иррациональные числа (44). 3. Принцип Архимеда (48).

iv îãëàâëåíèå

4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел ивычислительные аспекты операций с действительными числами (49).Задачи и упражнения (61)

§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действитель-ных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши—Кантора) (65).2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля—Лебега) (66). 3.Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса) (66).Задачи и упражнения (67)

§ 4. Счетные и несчетные множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681. Счетные множества (68). 2. Мощность континуума (70). Задачи иупражнения (71)

Глава III. Предел § 1. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1. Определения и примеры (72). 2. Свойства предела последовательно-сти (74). 3. Вопросы существования предела последовательности (78).4. Начальные сведения о рядах (87). Задачи и упражнения (96).

§ 2. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981. Определения и примеры (98). 2. Свойства предела функции (102).3. Общее определение предела функции (предел по базе) (117). 4. Во-просы существования предела функции (121). Задачи и упражнения(135).

Глава IV. Непрерывные функции § 1. Основные определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

1. Непрерывность функции в точке (138). 2. Точки разрыва (142).

§ 2. Свойства непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1451. Локальные свойства (145). 2. Глобальные свойства непрерывныхфункций (147). Задачи и упражнения (155).

Глава V. Дифференциальное исчисление § 1. Дифференцируемая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

1. Задача и наводящие соображения (160). 2. Функция, дифференци-руемая в точке (165). 3. Касательная; геометрический смысл произ-водной и дифференциала (167). 4. Роль системы координат (170). 5.Некоторые примеры (172). Задачи и упражнения (177).

§ 2. Основные правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781. Дифференцирование и арифметические операции (178). 2. Диффе-ренцирование композиции функций (181). 3. Дифференцирование об-ратной функции (184). 4. Таблица производных основных элементар-ных функций (188). 5. Дифференцирование простейшей неявно задан-ной функции (189). 6. Производные высших порядков (193). Задачи иупражнения (197).

îãëàâëåíèå v

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . . . . . . . . 1981. Лемма Ферма и теорема Ролля (198). 2. Теоремы Лагранжа и Кошио конечном приращении (200). 3. Формула Тейлора (203). Задачи иупражнения (214).

§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисле-ния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

1. Условия монотонности функции (217). 2. Условия внутреннего экс-тремума функции (218). 3. Условия выпуклости функции (224). 4. Пра-вило Лопиталя (230). 5. Построение графика функции (232). Задачи иупражнения (240).

§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций . . . . . . . 2441. Комплексные числа (244). 2. Сходимость в C и ряды с комплексны-ми членами (247). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарныхфункций (251). 4. Представление функции степенным рядом, анали-тичность (255). 5. Алгебраическая замкнутость поля C комплексныхчисел (259). Задачи и упражнения (265).

§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисле-ния в задачах естествознания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

1. Движение тела переменной массы (267). 2. Барометрическая форму-ла (269). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел(270). 4. Падение тел в атмосфере (273). 5. Еще раз о числе e и функ-ции exp x (274). 6. Колебания (277). Задачи и упражнения (280).

§ 7. Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2841. Первообразная и неопределенный интеграл (284). 2. Основные об-щие приемы отыскания первообразной (286). 3. Первообразные раци-ональных функций (291). 4. Первообразные вида

∫

R(cos x, sin x) dx(295). 5. Первообразные вида

∫

R(x, y(x)) dx (297). Задачи и упражне-ния (300).

Глава VI. Интеграл § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемыхфункций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

1. Задача и наводящие соображения (305). 2. Определение интегралаРимана (306). 3. Множество интегрируемых функций (308). Задачи иупражнения (320).

§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла . . . . . . . . . . . . 3211. Интеграл как линейная функция на пространстве R[a, b] (321). 2.Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (322). 3.Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (325).Задачи и упражнения (332).

§ 3. Интеграл и производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3331. Интеграл и первообразная (333). 2. Формула Ньютона—Лейбница(335). 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и фор-

vi îãëàâëåíèå

мула Тейлора (336). 4. Замена переменной в интеграле (338). 5. Неко-торые примеры (340). Задачи и упражнения (344).

§ 4. Некоторые приложения интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3471. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл(347). 2. Длина пути (349). 3. Площадь криволинейной трапеции (355).4. Объем тела вращения (356). 5. Работа и энергия (356). Задачи иупражнения (362).

§ 5. Несобственный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3631. Определения, примеры и основные свойства несобственных инте-гралов (363). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла(368). 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями(373). Задачи и упражнения (376).

Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерыв-ность § 1. Пространство Rm и важнейшие классы его подмножеств . . . . . . . . . 378

1. Множество Rm и расстояние в нем (378). 2. Открытые и замкнутыемножества в Rm (380). 3. Компакты в Rm (382). Задачи и упражнения(384).

§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных . . . . . . . . . . . 3841. Предел функции (384). 2. Непрерывность функции многих перемен-ных и свойства непрерывных функций (389). Задачи и упражнения(394).

Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих пере-менных § 1. Векторная структура в Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

1. Rm как векторное пространство (395). 2. Линейные отображенияL : Rm→Rn (396). 3. Норма в Rm (397). 4. Евклидова структура в Rm(398).

§ 2. Дифференциал функции многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4001. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (400). 2.Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции(401). 3. Координатное представление дифференциала отображения.Матрица Якоби (403). 4. Непрерывность, частные производные и диф-ференцируемость функции в точке (404).

§ 3. Основные законы дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4051. Линейность операции дифференцирования (405). 2. Дифференциро-вание композиции отображений (407). 3. Дифференцирование обрат-ного отображения (412). Задачи и упражнения (414).

§ 4. Основные факты дифференциального исчисления веществен-нозначных функций многих переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

1. Теорема о среднем (419). 2. Достаточное условие дифференцируемо-сти функции многих переменных (421). 3. Частные производные выс-

îãëàâëåíèå vii

шего порядка (422). 4. Формула Тейлора (425). 5. Экстремумы функ-ций многих переменных (427). 6. Некоторые геометрические образы,связанные с функциями многих переменных (433). Задачи и упражне-ния (437).

§ 5. Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4431. Постановка вопроса и наводящие соображения (443). 2. Простей-ший вариант теоремы о неявной функции (445). 3. Переход к случаюзависимости F(x1, …, xm, y)= 0 (449). 4. Теорема о неявной функции(451). Задачи и упражнения (455).

§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . 4591. Теорема об обратной функции (459). 2. Локальное приведение глад-кого отображения к каноническому виду (464). 3. Зависимость функ-ций (468). 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композициюпростейших (469). 5. Лемма Морса (472). Задачи и упражнения (475).

§ 7. Поверхность в Rn и теория условного экстремума. . . . . . . . . . . . . . . . . 4761. Поверхность размерности k в Rn (476). 2. Касательное пространство(481). 3. Условный экстремум (486). Задачи и упражнения (497)

Некоторые задачи коллоквиумов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511

Дополнения 1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса) . . . . . . . 5152. Начальные сведения о численных методах решения уравнений . . . . 5233. Преобразование Лежандра (первое обсуждение). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5264. Интеграл Римана—Стилтьеса, дельта-функция и идея обобщенныхфункций (начальные представления) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5295. Формула Эйлера—Маклорена. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5376. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение) . . . . . . . . . . 542

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553Указатель имен . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563

Иç ïðåäèñëîâèÿ ê ïåðâîìó èçäàíèþ

Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ диффе-ренциального и интегрального исчисления даже по нынешним масштабампредставляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математи-ки в особенности.

Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, перепле-таясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой держится раз-ветвленное дерево современной математики и через которую происходитего основной живительный контакт с внематематической сферой. Именнопо этой причине основы анализа включаются как необходимый элемент да-же самых скромных представлений о так называемой высшей математике,и, вероятно, поэтому изложению основ анализа посвящено большое количе-ство книг, адресованных различным кругам читателей.

Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим (каки должно) получить полноценные в логическом отношении доказательствафундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся также их внема-тематической жизнью.

Особенности настоящего курса сводятся в основном к следующему.По характеру изложения. В пределах каждой большой темы изложение,

как правило, индуктивное, идущее порой от постановки задачи и наводящихэвристических соображений по ее решению к основным понятиям и форма-лизмам.

Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мерепродвижения по курсу.

Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изложениитеории я (в меру своего понимания) стремился выделить наиболее суще-ственные методы и факты и избежать искушения незначительного усилениятеорем ценой значительного усложнения доказательств.

Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для рас-крытия существа дела.

Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров, апочти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, надеюсь,существенно дополняют даже теоретическую часть основного текста. Следуявеликолепному опыту Полиа и Сеге, я часто старался представить красивыйматематический или важный прикладной результат в виде серий доступныхчитателю задач.

Расположение материала диктовалось не только архитектурой математи-ки в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной части единогоматематического или, лучше сказать, естественно-математического образо-вания.

èç ïðåäèñëîâèÿ ê ïåðâîìó èçäàíèþ ix

По содержанию. Курс издается в двух книгах (части I и II).Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интегральное

исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчислениефункций многих переменных.

В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала каклинейного эталона для локального описания характера изменения пе-ременной величины. Кроме многочисленных примеров использованиядифференциального исчисления для исследования функциональных зависи-мостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа в записипростейших дифференциальных уравнений — математических моделей кон-кретных явлений и связанных с ними содержательных задач.

Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной мас-сы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопротивляющей-ся среде), решение которых приводит к важнейшим элементарным функци-ям. Полнее использован комплексный язык, в частности, выведена формулаЭйлера и показано единство основных элементарных функций.

Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на на-глядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства приложе-ний этого вполне хватает1. Указаны различные приложения интеграла, втом числе приводящие к несобственному интегралу (например, работа выхо-да из поля тяготения и вторая космическая скорость) или к эллиптическимфункциям (движение в поле тяжести при наличии связей, маятник).

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных доволь-но геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и полезныеследствия теоремы о неявной функции, как криволинейные координаты илокальное приведение к каноническому виду гладких отображений (теоре-ма о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория условного экстре-мума.

Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и дифферен-циальному исчислению, подытожены и изложены в общем инвариантномвиде в двух главах, которые естественным образом примыкают к дифферен-циальному исчислению вещественнозначных функций нескольких перемен-ных. Эти две главы открывают вторую часть курса. Вторая книга, в которой,кроме того, изложено интегральное исчисление функций многих перемен-ных, доведенное до общей формулы Ньютона—Лейбница—Стокса, приобре-тает, таким образом, определенную целостность.

Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии кней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного материала онасодержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах Фурье в том

1Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и выбиваю-щихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что прибавляяк эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в первую очередь.

x èç ïðåäèñëîâèÿ ê ïåðâîìó èçäàíèþ

числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая фундаментальноерешение, свертку и преобразование Фурье), а также об асимптотическихразложениях (они обычно мало представлены в учебной литературе).

Остановимся теперь на некоторых частных вопросах.О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку большин-

ство начинающих студентов уже имеют из школы первое представление одифференциальном и интегральном исчислении и его приложениях, а набольшее вступительный обзор вряд ли мог бы претендовать. Вместо него яв первых двух главах довожу до определенной математической завершенно-сти представления бывшего школьника о множестве, функции, об использо-вании логической символики, а также о теории действительного числа.

Этот материал относится к формальным основаниям анализа и адресо-ван в первую очередь студенту-математику, который в какой-то момент за-хочет проследить логическую структуру базисных понятий и принципов, ис-пользуемых в классическом анализе. Собственно математический анализ вкниге начинается с третьей главы, поэтому читатель, желающий по возмож-ности скорее получить в руки эффективный аппарат и увидеть его прило-жения, при первом чтении вообще может начать с главы III, возвращаясь кболее ранним страницам в случае, если что-то ему покажется неочевидными вызовет вопрос, на который, надеюсь, я тоже обратил внимание и преду-смотрительно дал ответ в первых главах.

О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имеющие сплош-ную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой главы отдельно;подразделения параграфа нумеруются только в пределах этого параграфа.Теоремы, утверждения, леммы, определения и примеры для большей логи-ческой четкости выделяются, а для удобства ссылок нумеруются в пределахкаждого параграфа.

О вспомогательном материале. Несколько глав книги написаны какестественное окаймление классического анализа. Это, с одной стороны, ужеупоминавшиеся главы I, II, посвященные его формально-математическимоснованиям, а с другой стороны, главы IX, X, XV второй части, дающие совре-менный взгляд на теорию непрерывности, дифференциальное и интеграль-ное исчисление, а также глава XIX, посвященная некоторым эффективнымасимптотическим методам анализа.

Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекционныйкурс, зависит от контингента слушателей и решается лектором, но неко-торые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно присутствуют влюбом изложении предмета математикам.

В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и квалифици-рованная профессиональная помощь была мне дорога и полезна при работенад этой книгой.

Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах согласовы-вался с последующими современными университетскими математическими

ïðåäèñëîâèå ê ñåäüìîìó èçäàíèþ xi

курсами — такими, например, как дифференциальные уравнения, дифферен-циальная геометрия, теория функций комплексного переменного, функцио-нальный анализ. В этом отношении мне были весьма полезны контакты иобсуждения с В. И. Арнольдом и, особенно многочисленные, с С. П. Новико-вым в период совместной работы в экспериментальном потоке при отделе-нии математики.

Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафедрой мате-матического анализа механико-математического факультета МГУ.

Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замечания кротапринтному изданию моих лекций.

При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое рас-поряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за что яблагодарен их владельцам.

Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства Л. Д. Куд-рявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные замечания, значи-тельная часть которых учтена в предлагаемом читателю тексте.

Иç ïðåäèñëîâèÿ êî âòîðîìó èçäàíèþ

В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечаткипервого1, сделаны отдельные изменения изложения (в основном это каса-ется вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторыеновые задачи, как правило, неформального характера. [...]

В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне кол-лег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому изда-нию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать рецензииА. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме и стилю, они впрофессиональном плане имели так ободряюще много общего.

Пðåäèñëîâèå ê ñåäüìîìó èçäàíèþ

Я только что написал предисловие к новому английскому изданию этогоучебника, поэтому позволю себе повторить то, что в равной мере относитсяи к этому седьмому русскому изданию книги.

Время, прошедшее с момент выхода предыдущих изданий учебника, на-ука не стояла на месте. Например, решена проблема Ферма, доказана гипо-теза Пуанкаре, найден бозон Хиггса. Сделано еще многое, что, возможно, не

1Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося наборапервого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих, по мне-нию Эйлера, чтение математического текста.

xii ïðåäèñëîâèå ê ñåäüìîìó èçäàíèþ

имеет прямого отношения к учебнику классического математического ана-лиза, но косвенно сказывается в том, что автор за это время тоже кое-чтовыучил, обдумал, понял и углубил свои знания. А они, эти дополнительныезнания, полезны, даже когда вы рассказываете вроде бы совсем о другом.1

Кроме исходного русского издания, учебник вышел на английском, не-мецком и китайском языках. Внимательные разноязычные читатели нашлив тексте много погрешностей. К счастью, это локальные погрешности, в ос-новном опечатки. Конечно, они учтены и исправлены в этом новом издании.

Главное, что отличает седьмое русское издание от шестого, — новые до-полнения. В первой книге оно одно («Формула Эйлера—Маклорена»), а вовторой их три («Функции многих переменных и дифференциальные фор-мы с термодинамическими интерпретациями»; «Операторы теории поля вкриволинейных координатах»; «Современная формула Ньютона—Лейбницаи единство математики»). Чтобы не нарушать прежний текст, дополненияпомещены в конце каждой книги. Они могут быть полезны как студентам(математикам, физикам), так и преподавателям, — каждому для своих целей.Последнее из них можно рассматривать как итоговый обзор, который со-держит важнейшие концептуальные достижения всего курса, связывающиеанализ с другими разделами единой математики.

Мне приятно, что книга оказалась в какой-то мере полезной и математи-кам, и физикам, и даже инженерам в высших технических школах с углуб-ленным изучением математики. Это вдохновило меня на написание допол-нения, в котором математика и элементарная, но вполне содержательнаятермодинамика идут рука об руку.

Удовольствие видеть новое поколение, когда оно мыслит шире, понимаетглубже и умеет больше, чем поколение, на плечах которого оно поднялось.

Москва, 2015 г. В. Зорич

1Про Эрдёша, который, подобно Адамару, прожил большую математическую и чело-веческую жизнь, рассказывают следующее. Когда он уже был на склоне лет, какая-тожурналистка, бравшая у него интервью, под конец спросила, сколько ему лет. Эрдёшзадумался и ответил: «Помню, что когда я был совсем молодым, наука установила, чтоЗемле два миллиарда лет. Сейчас наука утверждает, что Земле уже четыре с половиноймиллиарда лет. Значит, мне примерно два с половиной миллиарда лет».

Глава I

Некоторые общематематическиепонятия и обозначения

§ . Лîãè÷åñêàÿ ñèìâîëèêà

. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства математиче-ских текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных символов из-лагаемых теорий. Наряду с этими специальными символами, которые будутвводиться по мере надобности, мы используем распространенные символыматематической логики ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔ для обозначения соответственно от-рицания «не» и связок «и», «или», «влечет», «равносильно»1.

Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный интерес вы-сказывания:

L. «Если обозначения удобны для открытий …, то поразительным обра-зом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц2).

P. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковымиименами» (А. Пуанкаре3).

G. «Великая книга природы написана языком математики» (Г. Галилей4).

Тогда в соответствии с указанными обозначениями:

Запись L⇒ P означает L влечет PL⇔ P L равносильно P

((L⇒ P)∧ (¬P))⇒ (¬L) Если P следует из L и P неверно, то L неверно¬((L⇔G)∨ (P⇔G)) G не равносильно ни L, ни P

1В логике вместо символа ∧ чаще используется символ &. Символ ⇒ импликации ло-гики чаще пишут в виде →, а отношение равносильности — в виде ←→ или ↔. Однакомы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не перегружать тради-ционный для анализа знак→ предельного перехода.

2Г. В. Лейбниц (1646—1716) — выдающийся немецкий ученый, философ и математик,которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа бесконечномалых.

3А. Пуанкаре (1854—1912) — французский математик, блестящий ум которого преоб-разовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложений в мате-матической физике.

4Г. Галилей (1564—1642) — итальянский ученый, крупнейший естествоиспытатель.Его труды легли в основу всех последующих физических представлений о пространствеи времени. Отец современной физической науки.

2 ãë. . íåêîòîðûå îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями, избе-гая разговорного языка, — не всегда разумно.

Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, состав-ленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту же син-таксическую функцию, что и при записи алгебраических выражений. Как ив алгебре, для экономии скобок можно договориться о «порядке действий».Условимся с этой целью о следующем порядке приоритета символов:

¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔.

При таком соглашении выражение ¬A∧ B∨C⇒D следует расшифроватькак (((¬A)∧ B)∨ C)⇒ D, а соотношение A∨ B⇒ C — как (A∨ B)⇒ C, но некак A∨ (B⇒C).

Записи A⇒ B, означающей, что A влечет B или, что то же самое, B сле-дует из A, мы часто будем придавать другую словесную интерпретацию, го-воря, что B есть необходимый признак или необходимое условие A и, в своюочередь, A — достаточное условие или достаточный признак B. Таким обра-зом, соотношение A⇔B можно прочитать любым из следующих способов:

A необходимо и достаточно для B;A тогда и только тогда, когда B;A, если и только если B;A равносильно B.

Итак, запись A⇔ B означает, что A влечет B и, одновременно, B вле-чет A.

Употребление союза и в выражении A∧B пояснений не требует.Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении A ∨ B со-

юз или неразделительный, т. е. высказывание A∨ B считается верным, еслиистинно хотя бы одно из высказываний A, B. Например, пусть x — такоедействительное число, что x2−3x+2=0. Тогда можно написать, что имеетместо следующее соотношение:

(x2−3x+2= 0) ⇔ (x = 1)∨ (x = 2).

. Замечания о доказательствах. Типичное математическое утвержде-ние имеет вид A⇒ B, где A — посылка, а B — заключение. Доказательствотакого утверждения состоит в построении цепочки A⇒ C1⇒…⇒ Cn⇒ Bследствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо являет-ся уже доказанным утверждением1.

В доказательствах мы будем придерживаться классического правила вы-вода: если A истинно и A⇒B, то B тоже истинно.

При доказательстве от противного мы будем использовать также прин-цип исключенного третьего, в силу которого высказывание A ∨¬A (A или

1Запись A⇒B⇒C будет употребляться как сокращение для (A⇒B)∧ (B⇒C).

§ . ëîãè÷åñêàÿ ñèìâîëèêà 3

не A) считается истинным независимо от конкретного содержания высказы-вания A. Следовательно, мы одновременно принимаем, что ¬(¬A)⇔ A, т. е.повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.

. Некоторые специальные обозначения. Для удобства читателя и со-кращения текста начало и конец доказательства условимся отмечать знака-ми Ê и É соответственно.

Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения посред-ством специального символа := (равенство по определению), в которомдвоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Например, записьÍ

f (x) dx := limλ(P)→0

σ( f ; P, ξ)

определяет левую часть посредством правой части, смысл которой предпола-гается известным.

Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определенныхвыражений. Например, запись

n∑

i=1f (ξi)∆xi =:σ( f ; P, ξ)

вводит обозначение σ( f ; P, ξ) для стоящей слева суммы специального вида.

. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь говорили, посуществу, только об обозначениях, не анализируя формализм логическихвыводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, доказуемости, выводи-мости, составляющих предмет исследования математической логики.

Как же строить математический анализ, если мы не имеем формализа-ции логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что мы все-гда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в данный мо-мент формализовать. Пояснением смысла последней фразы может служитьизвестная притча о том, что сороконожка даже ходить разучилась, когда еепопросили объяснить, как именно она управляется со всеми своими конеч-ностями.

Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или простыми нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру или уточнениюсегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с многими понятиямиматематического анализа, важнейшие теоремы и аппарат которого былиоткрыты еще в XVII—XVIII веках, но приобрели современный формализован-ный, однозначно трактуемый и, вероятно, потому общедоступный вид лишьпосле создания теории пределов и необходимой для нее логически полноцен-ной теории действительных чисел (XIX век).

4 ãë. . íåêîòîðûå îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем в гла-ве II построение всего здания анализа.

Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомиться сосновными понятиями и эффективным аппаратом собственно дифференци-ального и интегрального исчисления могут начать сразу с главы III, возвра-щаясь к отдельным местам первых двух глав лишь по мере необходимости.

Упражнения

Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные — символом 0.Тогда каждому из высказываний ¬A, A∧B, A∨B, A⇒B можно сопоставить так назы-ваемую таблицу истинности, которая указывает его истинность в зависимости отистинности высказываний A, B. Эти таблицы являются формальным определениемлогических операций ¬, ∧, ∨,⇒. Вот они:

A 0 1

¬A 1 0

A∧B B0 1

A0 0 0

1 0 1

A∨B B0 1

A0 0 1

1 1 1

A⇒B B0 1

A0 1 1

1 0 1

. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением о со-ответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание на то, чтоесли A ложно, то импликация A⇒B всегда истинна.)

. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и широкоиспользуемые в математических рассуждениях соотношения:

a) ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B; b) ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B; c) (A⇒B)⇔ (¬B⇒¬A);d) (A⇒B)⇔¬A∨B; e) ¬(A⇒B)⇔ A∧¬B.

§ . Мíîæåñòâà è ýëåìåíòàðíûå îïåðàöèèíàä ìíîæåñòâàìè

. Понятие множества. С конца XIX — начала XX столетия наиболее уни-версальным языком математики стал язык теории множеств. Это прояви-лось даже в одном из определений математики как науки, изучающей раз-личные структуры (отношения) на множествах1.

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определен-ных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» —так описал понятие «множество» Георг Кантор2, основатель теории мно-жеств.

1Бурбаки Н. Архитектура математики. В кн.: Бурбаки Н. Очерки по истории математи-ки. М.: ИЛ, 1963.

2Г. Кантор (1845—1918) — немецкий математик, создатель теории бесконечных мно-жеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике.

§ . ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè 5

Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, посколькуоно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во всяком случае,не определенным ранее), чем само понятие множества. Цель этого описа-ния — разъяснить понятие, связав его с другими.

Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят, «наив-ной») теории множеств сводятся к следующему:

1◦ множество может состоять из любых различимых объектов;2◦ множество однозначно определяется набором составляющих его объ-

ектов;3◦ любое свойство определяет множество объектов, которые этим свой-

ством обладают.Если x — объект, P — свойство, P(x) — обозначение того, что x обладает

свойством P, то через {x | P(x)} обозначают весь класс объектов, обладаю-щих свойством P. Объекты, составляющие класс или множество, называютэлементами класса или множества.

Множество, состоящее из элементов x1, …, xn, обычно обозначают как{x1, …, xn}. Там, где это не вызывает недоразумения, для сокращения записимы позволяем себе обозначать одноэлементное множество {a} просто че-рез a.

Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной теориимножеств употребляют как синонимы термина «множество».

Следующие примеры демонстрируют применение этой терминологии:множество букв «а» в слове «я»;множество жен Адама;набор из десяти цифр;семейство бобовых;множество песчинок на Земле;совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных ее точек;семейство множеств;множество всех множеств.Различие в возможной степени определенности задания множества наво-

дит на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное понятие.И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто про-

тиворечиво.Ê Действительно, пусть для множества M запись P(M) означает, что M несодержит себя в качестве своего элемента.

Рассмотрим класс K={M | P(M)} множеств, обладающих свойством P.Если K — множество, то либо верно, что P(K), либо верно, что ¬P(K). Од-

нако эта альтернатива для K невозможна. Действительно, P(K) невозможно,ибо из определения K тогда бы следовало, что K содержит K , т. е. что верно¬P(K); с другой стороны, ¬P(K) тоже невозможно, поскольку это означает,что K содержит K , а это противоречит определению K как класса тех мно-жеств, которые сами себя не содержат.

6 ãë. . íåêîòîðûå îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

Следовательно, K — не множество. ÉЭто классический парадокс Рассела1, один из тех парадоксов, к которым

приводит наивное представление о множестве.В современной математической логике понятие множества подвергается

(как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Однако в такойанализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в существующихаксиоматических теориях множество определяется как математический объ-ект, обладающий определенным набором свойств.

Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиоматики тео-рии множеств является постулирование правил, по которым из множествможно образовывать новые множества. В целом любая из существующихаксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет от известных проти-воречий наивной теории, а с другой — обеспечивает свободу оперирования сконкретными множествами, возникающими в различных отделах математи-ки, и в первую очередь именно в математическом анализе, понимаемом вшироком смысле слова.

Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия множе-ства, перейдем к описанию некоторых наиболее часто используемых в ана-лизе свойств множеств.

Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут про-смотреть пункт 2 из § 4 настоящей главы или обратиться к специальнойлитературе.

. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, составляющиемножество, принято называть элементами этого множества. Мы будем стре-миться обозначать множества прописными буквами латинского алфавита, аэлементы множества — соответствующими строчными буквами.

Высказывание «x есть элемент множества X» коротко обозначают симво-лом

x ∈ X (или X 3 x),

а его отрицание — символом

x /∈ X (или X 63 x).

В записи высказываний о множествах часто используются логическиеоператоры ∃ («существует» или «найдется») и ∀ («любой» или «для любого»),называемые кванторами существования и всеобщности соответственно.

Например, запись ∀x ((x ∈ A)⇔ (x ∈ B)) означает, что для любого объек-та x соотношения x ∈ A и x ∈ B равносильны. Поскольку множество вполнеопределяется своими элементами, указанное высказывание принято обозна-

1Б. Рассел (1872—1970) — английский логик, философ, социолог и общественный дея-тель.

§ . ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè 7

чать короткой записьюA= B,

читаемой «A равно B», обозначающей совпадение множеств A и B.Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних и тех

же элементов.Отрицание равенства обычно записывают в виде A 6=B.Если любой элемент множества A является элементом множества B, то

пишут A⊂ B или B⊃ A и говорят, что множество A является подмножествоммножества B, или что B содержит A, или что B включает в себя A. В связи

A

B

A⊂B

M

Рис. 1

с этим отношение A⊂B между множествами A, B называет-ся отношением включения (рис. 1).

Итак,(A⊂ B) := ∀x ((x ∈ A)⇒ (x ∈ B)).

Если A ⊂ B и A 6= B, то будем говорить, что включениеA⊂B строгое или что A — собственное подмножество B.

Используя приведенные определения, теперь можно за-ключить, что

(A= B) ⇔ (A⊂ B)∧ (B⊂ A).

Если M — множество, то любое свойство P выделяет в M подмножество

{x ∈M | P(x)}

тех элементов M, которые обладают этим свойством.Например, очевидно, что

M = {x ∈M | x ∈M}.

С другой стороны, если в качестве P взять свойство, которым не обладаетни один элемент множества M, например P(x) := (x 6= x), то мы получиммножество

∅= {x ∈M | x 6= x},

называемое пустым подмножеством множества M.

A∪B

M

Рис. 2

. Простейшие операции над множествами. Пусть Aи B — подмножества множества M.

a. Объединением множеств A и B называется множество

A∪B := {x ∈M | (x ∈ A)∨ (x ∈ B)},

состоящее из тех и только тех элементов множества M, ко-торые содержатся хотя бы в одном из множеств A, B (рис. 2).

b. Пересечением множеств A и B называется множество

A∩B := {x ∈M | (x ∈ A)∧ (x ∈ B)},

8 ãë. . íåêîòîðûå îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

A∩B

M

Рис. 3

A\B

M

Рис. 4

CM A

M

A

Рис. 5

образованное теми и только теми элементами множества M, которые при-надлежат одновременно множествам A и B (рис. 3).

c. Разностью между множеством A и множеством B называется множе-ство

A\B := {x ∈M | (x ∈ A)∧ (x /∈ B)},

состоящее из тех элементов множества A, которые не содержатся в множе-стве B (рис. 4).

Разность между множеством M и содержащимся в нем подмножеством Aобычно называют дополнением A в M и обозначают через CM A или CA, когдаиз контекста ясно, в каком множестве ищется дополнение к A (рис. 5).

Пðèìåð. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных понятийпроверим следующие соотношения (так называемые правила де Моргана1):

CM (A∪B)= CM A∩CM B, (1)CM (A∩B)= CM A∪CM B. (2)

Ê Докажем, например, первое из этих равенств:

(x ∈ CM (A∪B)) ⇒ (x /∈ (A∪B)) ⇒ ((x /∈ A)∧ (x /∈ B)) ⇒⇒ (x ∈ CM A)∧ (x ∈ CM B) ⇒ (x ∈ (CM A∩CM B)).

Таким образом, установлено, что

CM (A∪B)⊂ (CM A∩CM B). (3)

С другой стороны,

(x ∈ (CM A∩CM B)) ⇒ ((x ∈ CM A)∧ (x ∈ CM B)) ⇒⇒ ((x /∈ A)∧ (x /∈ B)) ⇒ (x /∈ (A∪B)) ⇒ (x ∈ CM (A∪B)),

т. е.(CM A∩CM B)⊂ CM (A∪B). (4)

Из (3) и (4) следует (1). É

1А. де Морган (1806—1871) — шотландский математик.

§ . ìíîæåñòâà è îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè 9

d. Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух множествA, B можно образовать новое множество — пару {A, B}= {B, A}, элементамикоторого являются множества A и B и только они. Это множество состоит издвух элементов, если A 6=B, и из одного элемента, если A=B.

Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств A, B, вотличие от упорядоченной пары (A, B), в которой элементы A, B наделеныдополнительными признаками, выделяющими первый и второй элементыпары {A, B}. Равенство

(A, B)= (C, D)

упорядоченных пар по определению означает, что A=C и B=D. В частности,если A 6=B, то (A, B) 6= (B, A).

Пусть теперь X и Y — произвольные множества. Множество

X ×Y := {(x, y) | (x ∈ X)∧ ( y ∈ Y )},

образованное всеми упорядоченными парами (x, y), первый член которыхесть элемент из X , а второй член — элемент из Y , называется прямым илидекартовым произведением множеств X и Y (в таком порядке!).

Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний обупорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, X × Y 6= Y × X . Равенствоимеет место, лишь если X = Y . В последнем случае вместо X × X пишут ко-ротко X 2.

Прямое произведение называют также декартовым произведением вчесть Декарта1, который независимо от Ферма2 пришел через системукоординат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система де-картовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно в прямоепроизведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте наглядно про-является зависимость декартова произведения от порядка сомножителей.Например, упорядоченным парам (0, 1) и (1, 0) отвечают различные точкиплоскости.

В упорядоченной паре z= (x1, x2), являющейся элементом прямого про-изведения Z= X1× X2 множеств X1 и X2, элемент x1 называется первой про-екцией пары z и обозначается через pr1 z, а элемент x2 — второй проекциейпары z и обозначается через pr2 z.

Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией аналитиче-ской геометрии часто называют (первой и второй) координатами пары.

1Р. Декарт (1596—1650) — выдающийся французский философ, математик и физик,внесший фундаментальный вклад в теорию научного мышления и познания.

2П. Ферма (1601—1665) — замечательный французский математик, юрист по специ-альности. Ферма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ, анали-тическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел.

10 ãë. . íåêîòîðûå îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

Упражнения

В задачах 1, 2, 3 через A, B, C обозначены подмножества некоторого множе-ства M.

. Проверьте соотношенияa) (A⊂C)∧ (B⊂C) ⇔ ((A∪B)⊂C); b) (C⊂ A)∧ (C⊂B) ⇔ (C⊂ (A∩B));c) CM (CM A)= A; d) (A⊂CM B) ⇔ (B⊂CM A);e) (A⊂B) ⇔ (CM A⊃CM B).. Покажите, чтоa) A∪ (B∪C)= (A∪B)∪C=: A∪B∪C; b) A∩ (B∩C)= (A∩B)∩C=: A∩B∩C;c) A∩ (B∪C)= (A∩B)∪ (A∩C); d) A∪ (B∩C)= (A∪B)∩ (A∪C).. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пересече-

ния:a) CM (A∪B)=CM A∩CM B; b) CM (A∩B)=CM A∪CM B.. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведениеa) двух отрезков (прямоугольник); b) двух прямых (плоскость);c) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность);d) прямой и круга (цилиндр); e) двух окружностей (тор);f) окружности и круга (полноторие).. Множество ∆= {(x1, x2)∈ X 2 | x1= x2} называется диагональю декартова квад-

рата X 2 множества X .Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в пунктах

a), b), e) задачи 4.. Покажите, чтоa) (X ×Y =∅) ⇔ (X =∅)∨ (Y =∅),

а если X ×Y 6=∅, тоb) (A×B⊂ X ×Y ) ⇔ (A⊂ X)∧ (B⊂Y ), c) (X ×Y )∪ (Z×Y )= (X ∪ Z)×Y ,d) (X ×Y )∩ (X ′×Y ′)= (X ∩ X ′)× (Y ∩Y ′).Здесь ∅— символ пустого множества, т. е. множества, не содержащего элементов.. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями a), b) из упражнения 2 к § 1,

установите соответствие между логическими операциями ¬, ∧, ∨ на высказыванияхи операциями C, ∩, ∪ на множествах.

§ . Фóíêöèÿ

. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к описанию фун-даментального не только для математики понятия функциональной зависи-мости.

Пусть X и Y — какие-то множества.Говорят, что имеется функция, определенная на X со значениями в Y ,

если в силу некоторого закона f каждому элементу x ∈ X соответствует эле-мент y∈Y .

В этом случае множество X называется областью определения функции;символ x его общего элемента — аргументом функции или независимой пе-ременной; соответствующий конкретному значению x0 ∈ X аргумента x эле-мент y0 ∈ Y называют значением функции на элементе x0 или значением

§ . ôóíêöèÿ 11

функции при значении аргумента x = x0 и обозначают через f (x0). При из-менении аргумента x ∈ X значения y= f (x)∈Y , вообще говоря, меняются взависимости от значений x. По этой причине величину y= f (x) часто назы-вают зависимой переменной.

Множество

f (X) := { y ∈ Y | ∃x ((x ∈ X)∧ ( y = f (x)))}

всех значений функции, которые она принимает на элементах множества X ,будем называть множеством значений или областью значений функции.

В зависимости от природы множеств X , Y термин «функция» в различныхотделах математики имеет ряд полезных синонимов: отображение, преобра-зование, морфизм, оператор, функционал. Отображение — наиболее распро-страненный из них, и мы его тоже часто будем употреблять.

Для функции (отображения) приняты следующие обозначения:

f : X → Y , Xf−→ Y .

Когда из контекста ясно, каковы область определения и область значенийфункции, используют также обозначения x 7→ f (x) или y= f (x), а чаще обо-значают функцию вообще одним лишь символом f .

Две функции f1, f2 считаются совпадающими или равными, если они име-ют одну и ту же область определения X и на любом элементе x∈ X значенияf1(x), f2(x) этих функций совпадают. В этом случае пишут f1= f2.

Если A⊂ X , а f : X → Y — некоторая функция, то через f |A или f |A обо-значают функцию ϕ : A→Y , совпадающую с f на множестве A, т. е. f |A(x)==ϕ(x)= f (x), если x∈ A. Функция f |A называется сужением или ограничени-ем функции f на множество A, а функция f : X→Y по отношению к функцииϕ= f |A : A→Y называется распространением или продолжением функции ϕна множество X .

Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию ϕ : A→ Y ,определенную на подмножестве A некоторого множества X , причем областьзначений ϕ(A) функции ϕ тоже может оказаться не совпадающим с Yподмножеством множества Y . В связи с этим для обозначения любого мно-жества X , содержащего область определения функции, иногда используетсятермин область отправления функции, а любое множество Y , содержащееобласть значений функции, называют тогда областью ее прибытия.

Итак, задание функции (отображения) предполагает указание тройки(X , f , Y ), где

X — отображаемое множество, или область определения функции;Y — множество, в которое идет отображение, или область прибытия функ-

ции;f — закон, по которому каждому элементу x ∈ X сопоставляется опреде-

ленный элемент y∈Y .

12 ãë. . íåêîòîðûå îáùåìàòåìàòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è îáîçíà÷åíèÿ

Наблюдаемая здесь несимметричность между X и Y отражает то, чтоотображение идет именно из X в Y .

Рассмотрим некоторые примеры функций.

Пðèìåð 1. Формулы l=2πr и V = 43πr3 устанавливают функциональную

зависимость длины окружности l и объема шара V от радиуса r. По смыслукаждая из этих формул задает свою функцию f : R+→R+, определенную намножестве R+ положительных действительных чисел со значениями в томже множестве R+.

Пðèìåð 2. Пусть X — множество инерциальных систем координат, аc : X → R— функция, состоящая в том, что каждой инерциальной системекоординат x∈ X сопоставляется измеренное относительно нее значение c(x)скорости света в вакууме. Функция c : X→R постоянна, т. е. при любом x∈ Xона имеет одно и то же значение c (это фундаментальный эксперименталь-ный факт).

Пðèìåð 3. Отображение G : R2 → R2 (прямого произведения R2 = R ××R=Rt ×Rx оси времени Rt и пространственной оси Rx ) на себя же, за-даваемое формулами

x′ = x− vt,t′ = t,

есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инерци-альной системы координат (x, t) к другой — (x′, t′), движущейся относитель-но первой со скоростью v.

Той же цели служит отображение L : R2→R2, задаваемое соотношениями

x′ = x− vtÈ1−

vc

2,

t′ =t−�

vc2

�

xÈ

1−v

c

2.

Это — известное (одномерное) преобразование Лоренца1, играющее фун-даментальную роль в специальной теории относительности; c — скоростьсвета.

Пðèìåð 4. Проектирование pr1 : X1 × X2→ X1, задаваемое соответстви-ем X1× X2 3 (x1, x2)

pr17−→ x1 ∈ X1, очевидно, является функцией. Аналогичнымобразом определяется вторая проекция pr2 : X1× X2→ X2.

1Г. А. Лоренц (1853—1928) — выдающийся голландский физик-теоретик. Указа