32

Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�������������� ������������ � ����������� ��������� �!�"#�$��% �&�'�)(

*,+�-.+�/,*10

2�3�46587:9<;=5>.?<@BAC@BACD=EGFIHKJMLNAO@QPRL=SUT!JVDWJMF6S8X)YZF.J<SOL8[=F'PU?\F^]_D=E<E<LNEK`a>.?cb\SOARPRLNEdJ<SUL=J<`

F6SOPaTfegL=S'hiLNb<E<j\Fkjfl=F6LNmnF6PRSUToAUb\SUepD=qIFrl=SULNb\JsAut^@QPU?�L=S_t^@QPU?<LNb\PuJVb<E<qIPUb\SUFkAkXYZFvJ<SUL8[=FvPU?\SUF6F�PU?\F6L=SOFkm�A6wWj<b\FCPRLx]_D=E<E<LNEK`a>.?cb\SOARPRLNEyw:z{@BEsAR|}TxD=E<j�~�L8t&j<@QPUqO?�X>^?\F$J<SULcL=egA'DWSOF!q6b<�B�QFkjoLNb<P'L=e�FkDWS��B@QF6S't�L=SU|�L=eCPU?\F�D=b\PU?\L=SkX

�n���Z���i�<���:�����:�g�c�������y�:�}�I���K�����c�c�_�\�V�i�K K���c�

¡£¢{¤¦¥_§n¤¦¥'¨© ª�«­¬=®N¯±°v²u³c¬=´a¯)« µµ ¶f®N·V¸a´a¹º´»«�¼i®½´¾·V¿ À�VÁàÄ�ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�n������Ç��g���VÆi�c�:��� Á�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ ��VÁÈ� �s�I�c�i���g���RÅ{�cÉuÊvÇ��gÆ)�sËi�:�i�cÇ�Ì�Í.Í�ÎÏ���c�iË�ÐGÑ6ÎÒ�!�c��Ó�K�O�$�:�cÓÓo�V�I� ÁfÁfÁ  

À Ô¦¼\Õ�¿�¯�Ö�×�Øv¼y³K·s¿{¼y«v°ÚÙ�Õ±Ø'·<®NÛ'¯)¸»´a³ZÜ.¼y°u°�·<®½¿ Ý�MÁàÊvÇ����:�!�cÉ_Ä�ÅsÆ­��Ç��)�K�g����������Ç����f��Æy�c���:�ÞÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ ß�MÁÈ� Ä�ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�Gàv�}ËiËi�:Ç��áÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ�ÂW�

â ã�¸¾¯­¿�·V°Ú×±²�®NÖä¼y³K·æåZ®N¯)²�Ø�¿�¯�Ö�ço¯)²v«u°�·s°èåZ·<¯)¹æ·\¬=®=Õ'éê�ë ·<¯�®N·V¹æ¿{¯�ÖGã�¼y«u«�¯)«±ì ê�ë ²v®½¿�¬=¯)«í¼y«v°Úîï´a«v¿:ð�Õ ©\âñ ÁàÊ$òiÇ��:�����c�M��ɾ�K��Ëi�����g�)�:Ç��g�ióõôGöc�:Ç��Iòi��÷x��Ç��:���nÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ� ññ ÁÈ� ÷x���K����Ë��s�iÇ�Éa�c����øn���:�g�M�p�c� ùnÇ��c�iÆi�ïÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ� ñ

Â

Page 2: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

ú ¶�²u«v³c¬N²�®N·V°û×C²�®½Öü¼y³K·áåZ®N¯)²�Ø�¿�¯�Ödço¯)²v«u°�·s°ûåZ·<¯)¹æ·\¬=®=Õ'éý ê�ë ·<¯)®N·s¹ ¯�Ödço¯sþ�°v´ÿ¬N³ ë ©���VÁàôG�M���g�g�M�G�cÉ�Í.Ç��V�}ÉrÁ�Á�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ�Â= �VÁÈ� ���:�g�}�I�ÃöK�nÄ�ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�����RÅ Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ�Â���VÁÒ� Ä!�KÇ����R�cÓo�i���:�\�!ÐG�y�c���góK���VËM�:�����:� ÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ �}��VÁ ñ ÊvÇ����:�!�cÉ'�sÆy�c�:��� Á�Á�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ �c��VÁÈ� ÷x�K�M���IÇ��i�����g�K� �cÉ����^���sËi���i�W�}���g�K�i�rɾ�cÇ�Í.�M�i�����iÇ���Ë �V�iÇOÉa�c�:����ÁfÁfÁ � ñ�VÁ� ÐG�y�c���góK���VËM�:���������WÅs�æÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁ�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ �c��VÁÈ  Í'Ç��s�cÉu�cÉuÊ$òi�:�KÇ��:Ó É¾�cÇd�s�iÇ�Éa�c���:��������ò�Í.�M�i�����iÇ�����Á�ÁfÁ�ÁfÁfÁfÁfÁfÁ �c 

� � ¤¦¥��'¢������$¥��:¢{¤à±�8��� �)��Z���g�K���:Ë ò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�����äÓ��}�i��ɾ�K��Ë��y�)�:Ç��g�ió �=öK��Çf��òi���:��Ç��:����������ò �i�­��Ç� Á£à±���! � �c�iË#"� ËM�:�i�c��� ��òi� �i�i�ÃöK�:Ç��I�c�����Nöc�:Ç����cÉ � �c�iË$� Ç��:��Æ­�����I�ÃöK����ÅKÁÊ$òM�:� � �c�iË "� �cÇ��&%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇ��g�����)(+*º�}�iË,(.-ºÇ��:��Æ­�����I�ÃöK����ÅKÁ Ì��/� �g���0 * �,( *21�3�45 �c�MË 0 - �6( -71839*5 Ëi���i�c�I�n��òi�����6�}�iËy�cÇ�Ë����KÓ{Æy�c�������y�:�}�I���K�i��Á_ÑR�:  �;�÷r�c�i�M�K� �c�iËÊ$òs�MÇ������K�Z��òM�<�Ú��òy�}�x��òi�d�M���y�c�)�g�M�:�g�M���g�c��cÉ= � ���<���>"� �@?s�I�:�MËi����¦�{�:�K�\�I���<�i�K�i��Ó��cÆ�ɾÇ��KÓ 0 *���� 0 -<Á�Ê$òi�g�A�r�}�G�B?s�I���iËi��Ë��I�¦øn���:�g�M�p�c� ���MÇ�Éa�c���ócÇ��K�iÆM�f�}Ér�)�K�i�iËi��Ëáóc�:�KÓ{����Ç�ÅC���Ã�Iòi�K�V��Æi�cÇI�c�)�K���g�:�d�<Åá���g�i�ED<Å : ÂN�/;üÁGFx�/��Ëi�����6ò: ��; : �;_ÆiÇ��Nöc�:Ë �IòM�õ÷r�c�i�M�K�H�RÊ$ò<�iÇ������K� ÆiÇ��KÆ)�:ÇO�RÅ�ɾ�KÇ!�)�K�i�iËi��Ë óK�:�KÓ{����Ç�Å����MÇ�Éa�c���ócÇ��K�iÆM�A���Ã�Iò Æy�cÇ��c�)�K�g���:�:ÁÑR� : Â/ <;ü� : Â= �;ü� : Â/��;»� : �c��;»� : Â=ß�;»�I�&��òi�=öc��óc��öK��� � Ëi�'J���Ç��:�\��cÆiÆMÇ��\�c�6ò1�I� �IòM�

÷r�}�i�i�K�H�äÊ$ò<�iÇ��O�I�K�õÆiÇ��K�i���:Ó�ÁuÊ$òi�c�ióKò���òi�&��òi�:�KÇ��:Ó{���cÉ­÷r�}�i�i�K�H�äÊ$ò<�iÇ��O�I�K�C�s���g�H��ED\Å��}�iËKFx�/��Ëi�Ã�I�6ò¦�:�c���)�!Ëi�:Ëi�M�:�:˦ɾÇ��KÓ��K�iÇ��:�s���^Ó{�góKò\�.�)�����i����Ç��i�8�I��öc�!���L��Ç����I�ËM�<���{�n�:�cÓÆi�������rÆiÇ��s�cÉ)�cÉ��IòM�:����Ç��:���M���I��Á_ÑR�����KÓ{�7�x�WÅV���s��òi�$ÆiÇ��V�cÉ)òi��Ç����g���W�c���g�:Ç�}�iË�Ó�KÇ��xÓ{�g�i��Ó��}�g�g�O�I���cÁC���i�c�IòM�:Ç'Ç��:�c���c��ɾ�cÇM��Ç��Ã�I�g�Mód�Iòi���_Æy�cÆ)�:Ç'�����Iòi�}�^÷r�c�i�M�K��}�iË�Ê$ò<�iÇ��O�I�K��ÎÒ�G�cÇ��góc�g�y�c��Ç��:���i��� :  <;u�����M�iÆi�i�i���g��òi�:ËCÁ!Ñä�����:��Ó�d�K�i��Å��}ÆiÆiÇ��cÆiÇ��g�}�I���òy�}�$��òi�n�Iòi���KÇ���Ó��Iòy�}��Ó{�c����ö}�}�I��Ë �c�g�)�Iòi�f�c�)�=öK�fÇ������i�Ã�I���­�f�Wö}�c�g�g�c�i���cÁ���M�6ò��}ÉN��òy�}�rɾ�c�g�g�/���.�g�^�IÇ��i�d�����Iòi�����8���I���ióo�cÉ�ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�!Ó�8�IÇ�������Æy�c���:�$�g�

��òi�������i���f�cÉ_ù�Ç��KÓ�=ö)Á�Oá�f��òy�c���C�cÉÿ�I�����O�6�}����Ç��:�M���I�$���Z�Iòi���$óK�:�i��ÇI�c�����RÅcÁ

Page 3: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

P Q �'§SR���T �:¤CU��V�:§n¨

W2XZY []\+^`_9acb`dIeEfhgji _Nk�acfZgml+^on�gp_9qOá�õ���I�cÇ��G�rJ>���Ã�Iò ���KÓ{�oÆiÇ��:���gÓ{�g�y�cÇ��g�����}�­�K�V�nò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g��Ó�8�IÇ����o��Æi�c�:���f�����IòM����:�i���&�}É�ùnÇ��KÓ{�=ö : ÂKÂs;»Á��y�KDZËM���6�}�g�g���N���:� : ��;ü� : Â=��;»Á�à±�8�2tvuCwyx{z��)�^�!ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���'Ó�8�E�Ç��g�f��Æy�}�:�cÁ!Ê$òi� 妮N¯­¹á¯H|ÞÛ'¯)²v«u°�¼i®=Õ �cÉ�uº�­Ëi���i�c���:Ë��\Å~}�uº���g���IòM���:�c�g�g�������g�K��}É���%s�M��ö}�c�g���i�:�!�:�g�c�����:�.�cÉ�óK�:�sËi�:���g��ÇI�WÅs����� : �Hw@�6z�� �8�����Iò=��t»��z'���c�&ɾ�KÇ'���KÓ��H?M��Ë��c�+�~u ����òi��Ç���ÇI�WÅs�V� 4 �c�iË=� * �cÇ��$�s%<�i��ö}�c���:�\�.��É������N��x�t�� 4 t��Ez@w�� * tv�Ez�z@�`�6�èÁà±�8���u �u 1 }�u Ëi�:�M�c�I����òi�¦�y�½�I�iÇ��c�&���KÓ{Æy�c�������y�:�}�I���K� �cÉ�u �I�cÆ­�K���KóK���:�:Ë �IòM��M���y�c�N�x�WÅ�ta��ÉUÁ : Â=�r;�ÆióiÁ$ÂN� ñ z8ÁÊ$òi� åZ®N¯)¹æ¯H|æ´a«u«�·<®�Øv®½¯C°u²v³c¬ �cÉC�:�g��Ó���\�I�I�õ�c�iËK�rÇ��:�g�}�I�ÃöK���I�L ����.Ëi���y�M�:Ë

�\Åt¡��wy�BzZ¢O�oÂ<£c� : x�t��cw� sz¥¤¦x�t¡�/wy �zM§)x�t¡��wy�Bzh;»Á

¨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«v¿c髪 ¬B­�®B¬/¯B°�± ²h³ u ´ ¬µ¬s¶ ´�· °¸²,®B¯&¹\ìyºC²�¼y¿W´a³K¯)«¥|)·�» ´ ³)¶r¼�½¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿=Á ² ´ ¼ ´ ¼ ¾ �cw��$� ±  ´ ¯y¬ ´ ¼!¶Ã¹¥Ä¸¼�¯ ´ ¾�Å ®B²�Æ Å ²/² · ²h³�±�Ç#ªÈ¬B­�®B¬/¯B°�± ´ ¬º�²v¼y¿:´»³K¯)«¥|)·�» ´ ³ ´ ° ´ ¬L¹¥ÄZÉs­�¶�¬ ´À¿ ²�¼�Êr¯EË̳�²�Æ`¬/²�ÍίL¹�ÇΪÏÍ�¶BеÑÒ³@Æ�²�ÍÓ²�¼�¯=ÍίB°�Æ ´À¿¬¸Ð�¶ ¿ ¯ t¡ÔVwyx�ÕÖzL´ ¼�°h²Î¶r¼�²�° Å ¯BÆ�ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯ t ± wyxØ×�zÌ´ ¬S¬s¶ ´�· °¸²Î®B¯`¶ t¡ÙCwyÚ�z ì�ºC²v¼i¿W´ÿì´a¿:¯)¹æ·\¬=®½´a³¦·V¹ Û'·s°v°u´a«ÖÛ ´ ³

4Ü t�x�Õ�t�Ý 4 w�Ý * zEzM§ÃÚAÞßxØ×Öt Ñ t�Ý 4 zBw Ñ t�Ý * z�z7Þ�Ù�x�ÕIt�Ý 4 w�Ý * zp¤àÚá ³�Ñ ´ ¬Ì¶�És­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°¡Æ ´À¿ ¯BÍ�®B¯ ·�·r´ ¼ ¾�â ¶r¼ · ¯BÊr¯BÆ@½Ð�² ´ ¼�°I²h³A±ã ´ ¯y¬�¶r°�¶=­H¼ ´ ³�²�Æ@ÍäÂå½®B²�­{¼ · ¯ ·>·r´ ¬B°À¶r¼ ¿ ¯o³@Æ�²�Íæ¬/²�Íί�Ñ t�Ý�z ° Å ¯B¼)Ñ ´ ¬Î¬s¶ ´�· °¸²µ®B¯8¶~º�²v¼y¿:´ÿìI´»¿�¯­¹á·<¬W®NÕVǪ t�ÙCwyÚyz ÄZÉs­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°�Æ ´À¿ ¯BÍ�®B¯ ·�·r´ ¼ ¾ ° Å ¶r° ´ ¬G¶CÉs­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°¡Æ@½èç ´ ÂvÂV®B¯ ¿ ¶rÂvÂé¯ · ¶t�ÙCwyÚyz ÄZÉs­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°�Æ@½�Ǫ t¡ÙCw�Úyz ì�ºC²�¼y¿W´�Û)·<¯±°�·s¿W´a³ ´ ¬.¶ t¡ÙCwyÚyz ÄZÉs­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°�Æ ´À¿ ¯BÍ�®B¯ ·�·r´ ¼ ¾ ²h³A¶ ¿ Âé²/¬/¯ ·

´ ¼�°¸¯BÆ@Ê�¶r ´ ¼KêÇ�ª t�ÙCw6��z ÄZÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ç ´ ÂvÂ9¶rÂë¬/²Î®B¯ ¿ ¶rÂvÂé¯ · ¶ Ù ÄZÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ Çà±����t�uCw�x�ì2z��)�Z��ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����Ó{���IÇ��g���Æy�c��� �c�iËàÔ �)�Z�����M�i��Æy�}�:�¦�Iòi�}�õ�g�

ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�����Ã�Iò ��òi�����iòi�:Ç������:ËÞÆy�½�IòíÓ{���IÇ��g�~xØÕ'ÁíF^ÅÞ�cËN���K�g�i���ióá��òi� ùnÇ��KÓ{�=ö�)�K�i�MËy�cÇ����:�+}�u �c�iËC}cÔ ���Gu �}�iËCÔ��)�K�i���K�M�I�c�g�i���IòM�:�gÇ!�:�cÓÆy�}���I�Ã�y�W�½�I�g�c�i� �u�}�iË�îÔ Ç��:��Æ­�����I�ÃöK����ÅKÁà±���.ïV�ØÔð�ñu#Ëi���i�c�������i�:���i�����K�CÁ¨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«.éóò9¯B° u ¶r¼ ·ÌÔ ®B¯ Å ½@Ð�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯y¬�¶r¼ ·SïV�ØÔ!�Èu ®B¯

¶r¼Ã¯BÍ�®B¯ ·�·r´ ¼ ¾ Ç�ª£ã�¼y«u«�¯)«±ì ê�ë ²v®½¿�¬=¯)« ¹á¼iØ�ôï ³@Æ�²�Í îÔ °¸² �u ´ ¬=¶ ¿ ²�¼�° ´ ¼�­c²�­�¬¯EË�°¸¯B¼�¬ ´ ²�¼µ²h³ ï Ç

Page 4: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Ê$òi�õɾ�K���g�/���g�Mó��g��ÓÓ�����=Ås���Iòy�½����÷r�c�i�i�K�{�RÊ$ò<�iÇ��O�I�K�áÓ��}Æ �B?V�g�O�I����É'ɾ�KÇ��}�g�� õ ���c�iË&Ý¥�ÖÔ���IòM�:Ç���B?V�g�O�I�Lö õ������i�6òæ�Iòi�}�f��É2÷ ���g���f�c�M�I���gËi�{�c�>ö �y�}�g��}Ç��K�i�MËGÝo���ÎÔ ��òi�:���c�\Å�óK�:�sËi�:���g���g�äu����K�g�M�g�ióG��òi�����iËH�äÆ­�K���\�I�.�cÉ9÷����g���'�K�M�I���gËi���òi�ä� �y�c���u�}Ç��K�i�MË~ïyt�Ý�zr����u Á��y�KÇ��:�c�<öc�:�i���:�i���õ�cÉ_�M�����g�}�I��Ç��c�C���x�����6�½�I����òi�g����KÓ{����òy�}�!Ëi�'J���Ç����<����ÅcÁ'Ê$òi��ÆiÇ��s�cÉu�g�$����Ó���p�cÇ.�I�à±�:Ó{Ó����sÁ�Â��cÉ : Â� �;üÁÜ.·s¹º¹æ¼áµNøa©�ªúùV¶r¼�¼�²�¼�Ä�û Å ­{Æ�¬B°h²�¼µÍ�¶BÐè³@Æ�²�Í îÔ °¸² �u ¯EË ´ ¬B°v¬ ´ ³=° Å ¯2³�²�ÂvÂé²�ç ´ ¼ ¾¿ ²�¼ ·r´ ° ´ ²�¼ ´ ¬o¬s¶r° ´ ¬�ü2¯ ·�ý

þ ´ Êr¯B¼ Ý��ÿ� Ô â ° Å ¯BÆy¯>¯EË ´ ¬B°�¬µ¶à¼�²�¼�ĸ¼�¯ ¾ ¶r° ´ Êr¯L³@­H¼ ¿ ° ´ ²�¼ � t�öCz â ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°�mt¡öCz=� � ¶�¬ ö � � ¶r¼ · ³�²�Æè¶rÂv ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬/¯ ¾ ÍίB¼�°�¬ ÷ Âå½ ´ ¼ ¾ ²�­{°�¬ ´�· ¯è¶r¼ö ÄZ®y¶rÂvÂ�¶rÆ�²�­{¼ ·=Ý��L� Ô ¶r¼�½ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬/¯ ¾ ÍίB¼�° ´ ¼ � � Á ² ´ ¼ ´ ¼ ¾ ° Å ¯Î¯B¼ · ÄéÐ�² ´ ¼�°v¬=²h³ï�tÀ÷�z  ´ ¯y¬�²�­{°v¬ ´�· ¯Ì° Å ¯ � t�öCz ÄZ®y¶rÂvÂÖ¶rÆy²�­{¼ ·`ïyt�Ýr�@z2�~u Ç

� Æ�²/²h³ ýr�V�MÆiÆ­�c���ÌïI�{Ô!� u Ëi�V�����M�c�!�B?s�I���iË��:�c�<���g�<�i�K�M����Å�Ár�V���i�:�Ìï.�g��ÆiÇ��KÆ­��Ç:���òi�:Ç��$�B?V�g�O�.����%s�M�:�i���:�V���G��Ý�� ��Ô,�c�MËo�~��}cÔ��\���i�6ò��Iòy�}�M���¦� �{�c�MË�Ý��à� ���� îÔ�y�i�M�Aï�t�����z�� ���}�iË�ïyt�Ý���z�� ����� �uæ����òi�:Ç��L�9w����Ò}�u �}�iË������Á�V���i�:�K���ó� � �c�iËÃÝ�� � �±�^�c�\ÅæóK�:�sËi�:���g�¦���)Ô£���K�g�M�g�ió8��� �c�iËÃÝ�� �g���:�

�c�M�I���gËi�Z�}�)ö��V�R�y�c���IÝ����]Ô����òi�:Ç���ö�� � � �c� � � �èÁ �d�\ź�i� �R���M�y�i�Ã�I�óc�:�sËi�:���g�����µu ���K�g�i���ió8�Öw��Ã�ß}�u òy�}���I��Æy�c�����IòiÇ��K�ióKòæ���KÓ{�è���ä�y�c���&�}Ç��K�i�MËï�t�Ý��@z����&u �c�Ì�������ÁÊ$òi�:Ç����B?V�������:�K�i�O�6�c�\���� ��c�iË��è���i�6òº��òy�}��ɾ�KÇf�c����� õ���c�\Å óK�:�sËi�����g�����c�g�i���ió�ïytv����zo�c�M˦ï�t�Ý��7z����)u Æy�}�������{��òiÇ��c�ióKò �c�ßtÀ� ¤$ �z¸��M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sË �cÉ.ïyt�Ýr�@zkÁ �V���i�:�&t¡� ¤$ �z��g�o���:�K�i�O�6�c�\�{�i�c��ËM�:Æ)�:�iËi���ió �K�º�IòM����iËi�@?�����òi�g�$ÆiÇ��=öK�:���IòM�f���:Ó{Ó��VÁ��Ê$òi���c�)�Nöc��Ç��:���M���f�W�c�æ�­�{�g�\�I��Ç�ÆiÇ������:˺�}�����=Ås���ió���òy�}����÷r�c�M�i�K�H�äÊ$òs�MÇ������K�

Ó�cƺ�@?V�g�����õ��É��IòM�¦��Æy�}�:� �cÉ�óK���VËi�������Z���:ócÓ���<���õ�g�ÃÔ ��Óo�)�:Ëi�õÆiÇ��KÆ)�:Ç��ÃÅæ���æ�IòM���Æy�c�����cÉuóK���VËi�������n���:ócÓ���<�������èu Á

Oá����òy�c���C�)�f�M�:�:ËM�g�ió��Iòi���i�}�I�g�c�Z�cÉ_�õ�IÇ��:���cÉuò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�nÓ{����Ç����G��Æy�}�:�:� : ��;üÁ¨ ·�©�«u´ÿ¬N´¾¯­«.é � �IÇ����Ct¾Ê.z��}Érò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���{Ó{����Ç����õ��Æy�c���:�o���}�I����ÉÿÅs�g�Mó ��òi� º���²�¼y¿W´��´���¿:¯)¹æ·\¬=®½´a³K¼y¸a¸¾Õ��f·s¹ Û'·s°u°�·s°è³K¯)«v°u´ÿ¬N´¾¯­« ���G�¦Ó{���IÇ��g�f��Æy�}�:��tvuCwyx{z��}ËiÓ�Ã�����g�ió��Ó��cÆ��ú�Mu � � �K�\�I��������ÓÆi���g���p�c����Ç���� �f�'���i�6òº��òy�}�o��òi�:Ç��¦�B?V�g�O�"!ØwëÚõ�c�MËÙúõÞ���I�}���g�OÉÿÅV���ióo�IòM��ɾ�c�g�g�/�����ió��

ÂKÁ!���cÇ&�}�g�yöK��Ç��I���:���#�K�$�f��u"%!�&� ' 4 t(��z�) u �����Iò{�Iòi���g�iËM�i�:��Ë�Æy�}��ò¦Ó{���IÇ��g�x*%G�g�!�+!��Rò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�nÓ{���IÇ��g�n��Æy�c�:�}Á��y�iÇ���òi�:Ç��i�Iòi�f�g�i���g�i���g�K�M�.ï,%���u-%+� u�cÇ��õ�i�M��ɾ�KÇ�Ó�ÃÅ�ÆiÇ��KÆ)�:Ç:���»ÁÒ�}Áoɾ�KÇ��c�g��� õ �M�.�&�/� �c�iËÒ�9w�Ý>�)u"%}�±��òi�:Ç���B?V�g�O�I�.ö õí�õ���i�6ò��Iòy�}�+x�t�ï,%�t��¥z@w�ï0%�t�Ý�z�zIÞ,� �gÓ{Æi�g���:�7x*%�tv�9w�Ý�z7Þ�öáÁ

ñ

Page 5: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�VÁ!à��8�21õ�­�o�c� �:Ëióc�o�cÉ3�í�����Iò ���i�����p�c���}�iË��y�y�c�vöK��Ç��I���:���4� 4 �c�MË5� * Ç�����Æ)�:�@��I��öc�:�ÃÅKÁ�à±���ou-6��­����òi�oÆiÇ��B�ä�gÓ�cóK�f�i�iËi��Ç2�£�cÉ.��òi�oÓ{�gËH�äÆ­�K���\���}É#1KÁ�Ê$òi���u+6I�����IòZ��òi���g�iËi�M�:�:Ë�Æy�}��ò�Ó{����Ç����n�g�7!��Rò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���cÁ

�MÁ�Ê$òi�:Ç��o�B?V�g�O�dÓ�cÆi� Ñ 6+�Hu-6�8 : ��wWÂs;N� u �����i�6ò���òy�}� Ñ 6�9 ì;:�<>= ��? 40@ �g���c�������KÓä����IÇOÅ1�K�\�I�á��òi��ÆiÇ��@�R�gÓ�cóK� �cÉ��Iòi���g�\�I��Ç����KÇ��cÉ41���%s�M�gÆiÆ)�:Ëà�����Iò1�Iòi��Æy�}��òÓ�8�IÇ����cÁ

ñ Á Ñ 6A9 ì;:�<*BÀ�DCd�c�iË Ñ 6A9 ìE:F<*B 4 C��}Ç��Ît¡ÙCwyÚyz �¸%<�y�c���'�ä�g���cÓ�8�IÇ����G�:Ó��­��ËiËi�g�MóK�����\�I�=u-%�G�c�iË�u"%IHnÇ��:��Æ­��������öK����ÅcÁ Ñ 6�9 ì;:�<*BÀ�DC �c�MË Ñ 6�9 ì;:J<*B 4 C ���g�����s�:�:�c�����g�K�y�}�g��Å��)�õÇ��B�ɾ�:Ç�Ç��:Ë �I�{�c� Ñ %�G$�c�MË Ñ %IH�Ç��:��Æ­��������öK����ÅcÁxK%��c�MË~x*62���g���CËi���i�c�I�fÆy�}��ò�Ó{����Ç����:���K��u-%n�c�iË�u+6$Ç��:��Æ­�����I�ÃöK����ÅKÁIï0%½�cïL62�����g�

ËM�:�i�c�����g�i���g�i���g�K�Z�cÉÖu"%½��u+6xÇ��:��Æ­��������öK����Å ���<���äu Á� ɾ�B� óK���i�:Ç��c�C�g��ÓÓ�c�x�c�­�c�M�$ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���GÓ�8�IÇ��g�G��Æy�c�:�������g�g�­�­�n�M����ɾ�M�üÁ�Oá�

Ç��:ÆiÇ��VËM�i�:�n�IòM�fÆMÇ��s�cɾ��òi�:Ç���ɾÇ��KÓ : ÂN �;»ÁM ·s¼M®½·s¿�¬¶G¯)´a«­¬õ¶f®½¯ON:·s³c¬N´¾¯)«u¿Ê$òi��ɾ�K�g���<�����ióáà���ÓÓ� �I�WÅs�Z�i�W�cÇ��:�O�ZÆ­�c�g�\��ÆMÇ��½�������I���K�i��g�Þ��!/�äò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�

Ó{����Ç����G��Æy�}�:�fËi��M�c���g�i��Ç��:�c����Ëi�����6�}�i�:���!Ó��i�6òCÁÜ.·s¹º¹æ¼áµNø�µðòÖ¯B° t�Ô�w�xHz ®B¯è¶ ! Ä Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°�Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯è¶r¼ · Âé¯B°QP ) Ô ®B¯è¶¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬/¯ ¾ ÍίB¼�° ÇGò9¯B°�R �¥Ô � P$Í�¶BÐ ÝÒ�ÿÔ °h²8¶=Ð�² ´ ¼�°²�¼SP,¼�¯�¶rÆy¯y¬B°A°¸² Ý Çû Å ¯B¼ x�t R tv�¥zBw R t�Ý�zZz7ÞUT - x�t��9w�Ý�z ³�²�Æ̶rÂv �9w�ÝÎ��Ô ç Å ¯BÆ�¯ T - · ¯¸Ð�¯B¼ · ¬`²�¼�Âå½K²�¼ ! Ç

� Æ�²/²h³ ý!à±�8� : ��wy��;�Ëi���i�c���o�óc�:�sËi�:���g�f�:ËióK�@�RÆy�½�Iò{���K���i�g�Mó�öc�:ÇO�I�g���:��cw��NÁ.���:�:�c�g���òy�}�±��òi�^ù�Ç��KÓ{�Nö��g�M�i�:DZÆiÇ��VËM�i���7t¡��wy�Bz ¢ �õÂ/£K� : x¥t���wy szZ¤�x¥t��/wy szB§ox�t¡��wy�Bzh;»Á�Ñä�v���WV{�:����\Å�Ç���Æ­�:�}�I��Ëõ�i���$�cÉM�Iòi�x��Ç��g�c�ióK���&���i�s%<�y�c�����RÅn���GÆiÇ��=öc�x�Iòi�rà���ÓÓ�.��òM�:�=x�t��9w�Ý�z'�ÂcÁ�à±���9�9w��cw�Xá�­�'Æ)�K���<���±�K� : �9w R t��¥z¸;ü� : R t��¥zBw R t�Ý�zh;K�c�iË : R t�Ý�zBw���;cÇ��:��Æ­��������öK����Ån���i�6ò��òy�}�Lx�t��9w R tv�¥z�zG� x�t,�cw R tv�¥z�z8�Öx�t,�cw R t�Ý�z�zG� x¥t(X`w R t�Ý�z�zd�c�MË>x�t,XLw��¥zG� x¥t��9w��¥z8ÁÊ$òM�:�¦t��9w R t�Ý�z�z�Y =[Z @ �mx�t��9w R tv�¥z�zkÁG�d�����i�)�����i�:�=Ô£�g�4!��Rò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���c���Iòi��Ëi�p�cÓ{�����:Ç�}Éu��òi�����i����Ç����­��Ë ��Ç��g�c�ióK���������ò öc�:ÇO�I�g���:�.�9w��cw�X �g�����:���$��òy�c���KÇ$�s%<�y�c�±������!�tü�V���: Âs; z8Á

x�t��9w��¥z�¤¦x�t��9w��Hz]\ x�t��9w R t��¥z�z.�,x¥t��9w��¥zp¤¦x�t��9w R t��¥z�z^ x�t��9w R tv�¥z�z Þ x�t��9w��Hz7Þ �_!

^ tv�9w R t�Ý�z�z Y =[Z @ Þ �_!

Page 6: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�V��Ó���p�cÇ���Åc��t�Ý¥w R t��¥zEz Y =a` @ Þ �_!<Á�üÁÏ�cÁVx�t��9w R t��¥zEzp¤¦x�t R tv�¥zBw R t�Ý�z�zÖ§)x�tv�9w R t�Ý�z�z�Þ ñ !�c�MË~x�t�Ý�w R t�Ý�zEz¥¤àx�t R tv�¥zBw R t�Ý�zEz §Ãx�t�Ý�w R tv�¥z�z7Þ ñ !

Ê$òi��Ç��8ɾ�KÇ��}��rx�t R tv�¥zBw R t�Ý�zEzÞ �K!2¤àx�t��9w R t�Ý�zEz §)x�t�Ý�w R t�Ý�zEz¥¤àx¥t�Ý¥w R t��¥zEz §)x�t��9w R tv�¥z�zÞ �K!2¤àx�t��9w�Ý�zN¤¦x�tv�9w�Ý�zÞ �K!2¤ �

Ä!�:�i���`x�t R t��¥z@w R t�Ý�z�z�Þ ñ !�¤ ÂcÁ^÷xòi�V�c���g�Mó+T - � ñ !7¤ ÂK���&�f�cÇ��n��òiÇ��K�MóKòCÁ7�Ü.·s¹º¹æ¼áµNø�ÀðòÖ¯B° t¡ÔVwyx{z ®B¯Î¶ ! Ä Å ½yÐ�¯BÆs®B²� ´À¿ ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯sÇ8ò9¯B°bPj®B¯Î¶ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿¬/¯ ¾ ÍίB¼�° ´ ¼ Ô ç ´ ° Å ¯B¼ · ÄéÐ�² ´ ¼�°v¬ ��wy� ¶r¼ · Âé¯B° � ®B¯�¶r¼�½�Êr¯BÆ@°h¯EË ´ ¼ Ô ÇÎò9¯B° Ý ®B¯=¶Êr¯BÆ@°¸¯EË~²�¼cPÿ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° x�t��9w�Ý�zAÞ]x�t��9wJd�z ³�²�Æ`¶r¼�½ dè� PVÇ�û Å ¯B¼µ¶ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ Ð�¶r° ų@Æ�²�Í � °¸² Ý ³�²�ÂvÂé²�ç7¯ · ®s½�¶ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ Ð�¶r° Å ³@Æ�²�Í Ý °¸² dÒ´ ¬ä¶G¹¥ÄZÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ³�²�Ƭ/²�Íί.¹ · ¯¸Ð�¯B¼ · ¯B¼�°2²�¼�Âå½è²�¼ ! Ƕf®N¯C¯�ÖIé �d���g�íà±�:Ó{Ó�º�VÁÈ�V�$�g�8�K�9w��cw�X �)��Æ­�c�g�\�I��K�í�:Ëióc�:� : �9w�ÝØ;ü� : Ý¥w�d�;n�c�MË: d�w���;�Ç�����Æ)�:������öc�:��Å���M�6ò¦�Iòy�}�7x�t��9w�Ý�z_�$x�t,�cw�Ý�z8�Øx�t(��w�d�z.�ßx�t,XLwJd�z.�c�iËèx�t,XLw��¥z'�x�t��ÖwE�¥z8ÁrÊ$òi����x�t��9w�Ý�z.� t,d�w��¥z ` Þè�_!��c�iË��Iòi�f�g�i���:Ç��g�)�:Ë���Ç��g�c�ióK���o�����Iò�öK��Ç��I���:����9w��cw�Xíòi�c�xËi�g�cÓ{���I��Ç.�g�:���^��òy�c��KÇ&��%<�y�c���I�õ��!Gt»�V�:� : ÂB;vzkÁ : �9w�Ý{; 1 : Ý�wJd�;)�g�^�f�i�i�g�c��}É���óK�:�sËi�����g�Æy�}��òi���ÃÅV���ió���� � ñ !��i���góKò<�)�KÇ�òM�V�sËæ�cÉ!��óK�:�sËi�:���g� : �9wJd�;üÁ Ä!�:�i���� óK���VËM�:�����ZÆy�}��ò ɾÇ��KÓæ� �I��Ý É¾�K�g���/�x��Ë �<Å � óc�:�sËi�:���g�ZÆy�}��ò ɾÇ��KÓúÝá���ed �g�o�¹ §+%<�y�c���góK���VËM�:�����nɾ�KÇ$���KÓ{� ¹ Ëi�:Æ)�:�iËM�:�\�G�K�M��Ŧ�c�c!<Áf�Ü.·s¹º¹æ¼áµNøBâhgc­<Ð�Ð�²/¬/¯ t¡ÔVwyx{z´ ¬�¶ ! Ä Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯sÇ á ³bP ´ ¬Ì¶ t ¹ ��wyÚ��Bz ÄÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿+´ ¼ Ô ¶r¼ ·2�pw�i{w�� ¶rÆ�¯kjSÐ�² ´ ¼�°v¬ ´ ¼&²�Æ · ¯BÆ̲�¼-P)° Å ¯B¼ t �pw���zmlAÞ ¹ 4 ³�²�Ƭ/²�Íί.¹ 4 · ¯¸Ð�¯B¼ · ¯B¼�°�²�¼è¹ � â Ú�� ¶r¼ ·n! ²�¼�Âå½�Ƕf®N¯C¯�ÖIé : ��wy��;o���g���dËi���i�c�I� � óK���VËi������� Æi�}�Iòæ���K���i�g�ió �cw��NÁ£�s�g�i�����Nw�iHw��º�cÇ�� �Æ)�K���<�����g� �KÇ�ËM�:Ç��K� P � : �Nw�i�;±É¾�c�g�g�/�&�:Ë��\Å : i{w��<;±�g�!��t ¹ ��wyÚ��yz¸�¸%<�y�}���góc�:�sËi�:���g���g�Z�IòM�!��Rò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g��Ó{����Ç�������Æi�c�:��Ô{ÁáÄ!�:�i���¦�Iòi��Ç��Z�@?M��������� ¹ 4 ËM�:Æ)�:�iËi���\��c� ¹ �:�VÚ���}�iË�!��c�g�K�M�õ���i�6ò �Iòy�}�Ìx�t(iHw : �pw��<; zÌÞ ¹ 4 Á{à±���L�{�­�{�ZÆ­�c�g�\���K� : �Nw���;_���i�6ò �Iòy�}�x�t(iHw@�<z'�,x¥t(iHw : �pw���; zIÞ ¹ 4 Á'Ê$òi�:�

t �pw��rzml � ÂAoc��t¡x�t �Nw�i�z¥¤¦x�t��<w�irzM§Ãx�t �Nw���zEz� ÂAoc��t¡x�t �Nw�i�z¥¤¦x�t��<w�irzM§Ãx�t �Nw@�<zM§Ãx�t��<w@�<z�zÞ x�t,i{w@�<z7Þ ¹ 4Fp �

Page 7: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

W2X W l�k�nVbSfEeZf k�\ dbqsrGacfZ^`d7tSq;ujd�awvyxzx|{�q n3}kt ~/��{�qÓnVeD�«dIqØkgpdb�����+k�_

� �:Ç��i�:�g�c��ÆiÇ��KÆ)�:Ç��RÅ��cÉ.ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����Ó{����Ç�������Æi�c�:���n�g� ¬B°À¶�® ´  ´ °�½�²h³äÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬ ��»ÁÒ�}Á��}�<ÅÒ%<�y�}���góc�:�sËi�:���g��ta��� Æi�cÇ����g�:�M�p�cÇ��c� �gÓ�cóK���cÉ$� óK�:�sËi�����g���i�MËi�:Ç��8%<�y�}���'������KÓ{����Ç�Å�z!���g���d�g� �¦�)�K�i�MËi�:Ë �i���góKò<�)�KÇ�òi�s�sË��cÉ^�¦óK���VËi�������cÁ�Ê$òi�g�nÆMÇ��KÆ)�:ÇO�RÅ��:�c��)�õ�W�}���g�ÃÅ��@?V���:�iËM�:Ëá���è%<�y�c�����:�K�\öc�B?á���8�I� : ÂW��; : ��;üÁoÄ��:Ç����x�{�cÇ����g�\�I��Ç��:�O�I��Ëá��� �Æi�cÇ����g�:�M�p�cÇ9D<�g�iË��cÉc%<�y�c�����:�K�\öc�B?õ�����:�c�Iòi� ¬=®½´aØ'¯±° ÁvÑR�õóK�:�i��ÇI�c�»�K���IÇ���Æ­�sË����_�!�i�i�g�c��}É­��òiÇ����!óc�:�sËi�:���g�$����óKÓ{�:�\�I���M�c���M�cÉ���òi���6ò��òy�cÇ��!�n�:�cÓÓ{�K�õ�:�MËH�RÆ)�K�g�\�:Á�Ñä�^�g�'�:�c��Å�������:�Ltÿɾ�KÇ_�g�M���6�}�i�:�$�\Åo��òi�g�i�M�:���.�cÉ)�IÇ��p�c�MóK�g���yz���òy�}�^�G�IÇ��gÆ)�VË��g��%<�y�c���g���K�\öK�B?­Á�Oá���òy�c���±�­���g�\���:Ç��������:Ë���������Æ)�:���p�c�pD<���iË��}É'�õ�IÇ���Æ­�sËCÁ^à±��� : �cw��y;v�)�f�{óK���VËM�:�����������ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�_Ó{����Ç��g����Æy�c����u Á�à±�8�p�C�~u£�)�'���KÓ{�'Æ­�c�g�\�WÁvà±�����f�)�.���M�W�cÇ��:���vÆ)�K�g�\�ÆMÇ��½�������I���K� �cÉ9���K�\��� : ��wy��;üÁ�Oá�n��òy�}�g�C���V��D�}�r��Ç���Æ­�sËi�r�cÉv�IòM�Gɾ�KÇ�Ó : ��wy��; 1 : �9w¡��;üÁOá����òy�}�g�C��òi�/� �Iòy�½�����i�6ò��IÇ���Æ­�sËi���cÇ��n���I�c�i�g���i�MËi�:ÇA%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç����:�:ÁÄ!�<�&��öc�:Ç��c�&�G��òy�c�g�)�g�\���:Ç�ÆMÇ����x�Iòi���xËi�'J���Ç��:�\����Å{�I�o���=Å�Iòy�½�r�i�:�cÇ�������Æ)�K�g�\�&ÆiÇ����

���������g�K�i�!�c�MË~%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç����:�$�g� ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����Ó�8�IÇ����n��Æy�}�:�:��� �}�gÓ{�K�������KÓÓ��M�I�}Î�ÁÊ$òM�^ɾ�K���g�/���g�Mó$à±�:Ó{Ó��r���=Ås�uÆiÇ����:�g���:�ÃÅG�Iòi���s�±�i�:�cÇ������uÆ­�c�g�\��ÆiÇ��N���:�����g�K�M�u�}�iËL%<�y�}���'������KÓ{����Ç����:�r����ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�nÓ{���IÇ��g�G��Æy�c���:���È�c��Ó�K�O�$�:�cÓÓo�V�I�cÎÃÁÜ.·s¹º¹æ¼áµNø�ú�gc­<Ð�Ð�²/¬/¯ t¡ÔVwyx{zA´ ¬ ! Ä Å ½yÐ�¯BÆs®B²� ´À¿ Ç7ò9¯B°�P 4 ®B¯2¬/²�Íί ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬/¯ ¾ ÍίB¼�°´ ¼ Ô Á ² ´ ¼ ´ ¼ ¾ ��wy� ¶r¼ · Âé¯B° � ®B¯ä¶r¼�½èÊr¯BÆ@°h¯EË�²h³ Ô Ç�ªÂë¬/²èÂé¯B° i ®B¯ä¶8Êr¯BÆ@°¸¯EËÒ²�¼$P 4¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° x�t �pw�i�z7Þ�x�t �Nw��¥z ³�²�Æ �C� P 4 ÇAò9¯B°��îB¯Ì¶ t¡ÙCwyÚ�z Ä2És­�¶�¬ ´v´ ¬/²�ÍίB°�Æ@½7³@Æ�²�ÍÔ °h² ´ °v¬/¯B ³�Ç.ò9¯B°�P * ®B¯`¶ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬/¯ ¾ ÍίB¼�° ´ ¼ Ô!Á ² ´ ¼ ´ ¼ ¾ � t¡�{z °¸² � t���z ³�²�Æo¬/²�Íί� �/� ÇGò9¯B° � ®B¯�¶äÐ�² ´ ¼�°²�¼SP * ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° x�t � t ��z@w��rzSÞ!x�t � t ��zyw��¥z ³�²�Æ �)� P * Çû Å ¯B¼ x¥t��<w � t(i�zEz7ÞUT#� ³�²�Æo¬/²�Íί ¿ ²�¼�¬B° ¶r¼�° T#��· ¯¸Ð�¯B¼ ·r´ ¼ ¾ ²�¼�Âå½è²�¼ ÙCw�Ú ¶r¼ · ! Ƕf®N¯C¯�ÖIé �V���i�:� � t P 4 zx�g���8t¡ÙCwyÚ�zB§]%<�y�c���góK���VËM�:�����x���K�g�i���ió � t¡�{z&�I� � t��Bz8�i�Ã�$�g���:�$�g��`Ù$�ë�R�i���góKò<�)�KÇ�òM�V�sË��cÉ P * ��òi�:Ç��SÙ$�yËi��Æ­���iËi���K�i�ÃÅ�c�èÙCwyÚswJ!<Á.à±���7���)�n�oÆ)�K�g�\���� � t P 4 zd��Ås�g�Mó �}�f��ËM�g���I�c�i����½��Ó�K�O�ÌÙ$��ɾÇ��KÓ �VÁ�OÚ�Ã�Iòi�K�V���g�K���n�cÉxóc�:�i��ÇI�c�����RÅ���iÆiÆ)�K���n��òy�}�A���g�g���r�K� � t : i{wy��; z8����òi��Ç�� : iHwy��;±ËM�:�i�c���:�$�IòM�nóK�:�sËi�:���g�n���i�i����óKÓ{�:�\��}É P 4 ���K���i�g�ióniHwy�=Á : �V�:�f����óK�iÇ��õÂ��)�:���<��Á ;

 

Page 8: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

b

z

cd

a

� ´ ¾ ­{Æ�¯n� ýn� ­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°¡Æ ´ ¯y¬L¶r¼ ·"� ¯�¶rÆ�¯y¬B° � ² ´ ¼�° � Æy² Á ¯ ¿ ° ´ ²�¼�¬+ªÂåÍβ/¬B°+ùI²�ÍäÍä­H°¸¯

à±��� : �Nw�i�;)Ëi���i�c���G��óc�:�sËi�:���g�_���K�g�i���ió��pw�isÁ'�yÇ��KÓ à���ÓÓ���VÁÈ� : �Nw�i�; 1 : i{wy��;­�g�&�¹ �¸%<�y�c���góK���VËi�������c�Ø��òi�:Ç�� ¹ Ëi�:Æ)�:�MËi�$�K��!f�c�g�c�i�cÁ_Ê$òM�:Ç��8ɾ�KÇ�� � t : �pw�i<; z 1 � t : i{wy��; z^�g��Ct¡ÙG�/w�Ú��@z¸� %<�y�c����óK�:�sËi�����g�}�¥��òi��Ç��=Ù��/wyÚ��nËi��Æ­���iË �K��ÙCw ¹ w�Ú:Á�Ä����i�:�}�±�<Å�à±�:Ó{Ó���sÁ ñ t � t �czBw��¥zm� = l @ Þ,Ù 4 ����òi�:Ç��ÌÙ 4 Ëi�:Æ)�:�MËi���K�8Ùº� ¹ ��Ú��c�iË�!��c�g�K�M�cÁ'Ê$òi��Ç���ɾ�cÇ��c�

t � t ��z@w��rzI� = l @� ÂAoc� : x�t � t �czBw � t,irz�z�¤¦x�t��<w � t,irz�z §)x�t��<w � t ��zEzh;Þ ÂAoc� : x�t � t �czBw � t,irz�z�¤¦x�t��9w � t,irz�zN¤àx¥t��<w��¥z

§+x�t��9w � tå��z�z�¤¦x�t��<w��¥zh;� t � t �czBw��¥z � = l @ ¤àx�t��<w��¥zÞ Ù 4 ¤àÙ �

Ê$òi��Ç��f�B?V�g�O�I�+�L� P * ���i�6ò���òy�}�.x�tÀ��w � t,irz�zIÞ,Ù$�

t � t ��z@w��rzI�#� ÂAoc� : x�t � t �czBw@�<z�¤àx�t��<w@�<zM§Ãx�t��<w � t ��zEzh;Þ ÂAoc� : x�t � t �czBw � t,irz�z�¤àx�t��<w � t(i�zEz §Ãx�t��<w � t ��zEzh;{¤àÙ �� t � t �czBw��rzI� = l @ ¤¦Ù �Þ Ù 4 ¤àÙ � ¤¦Ù �� Ù 4 ¤ �rÙ �

���g���M�y�c���g�Z�IòM�fÆMÇ��s�cÉ��}É_à±�:Ó{Ó���VÁ ��t � t �czBw@�<z��+Þ ��!

Page 9: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

x�t��<w@�<z � t � tå��zBwy��z � ¤=t � t �czBw��rzD�Þ Ù 4 ¤��rÙ � ¤��_!

x¥t��<w � t(i�zEz Þ Ù 4 ¤��rÙ � ¤��_!�¤ox�tÀ��w � t,irz�zÞ Ù 4 ¤��rÙ � ¤��_!�¤oÙ �

à±��� T#�8�SÙ 4 ¤G�rÙ$�'¤n�_!<ÁÞÊ$òi�:�ÿx�t��<w � t(i�zEz�Þ�T#�¦�c�iË|T#�����{���iËi��Æ­���iËi�:�\���cÉ��wy�/wÀ�CÁ7�

� � U���¨�¢-�����CU���§n¨ÏUo¤�� �����æ§o� �á¢GRs��� ¡ U�����§o�^¨

¢�XZY r�a�_Ö_9q¦dbq�[]\+^`_9acb`dIeEfhgji _Nk�acfZgjq�^on�gp_ÖqÑR�f�Iòi�������:�8�I���K�C�<�x�&��òy�c���\�:�K�M���gËM�:DZ�IÇ��:�:�£� �cÉMò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�'Ó{����Ç��g�.��Æy�c�:�������}�I����ÉÿÅs�g�ió��òi��%s� �R��Óo�­��ËiËi��Ëæ�:�c�iËi�����g�K��Á�t�u~wyx�ì�z�����g�'Ëi���i�c�I���IòM����Æi�c�:�{�Iòy�}�f����� �IÇ��:�{�cÉò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�nÓ{���IÇ��g�G��Æy�c���:�:ÁxôG�iÇ$�IÇ��:�:�A���g�����)��ÇI�}��òi�:Ç$��Æ­���:�p�}�üÁ¤ � þ´a¸»¸.·s´¾¬ ë ·<®{Û'·�¼á®N¼\Õ : ��wy�6z ¯�®¦¼ Û�´pì6´a«p©_«v´¾¬W·�Û�·<¯±°�·V¿:´»³ tZ§�$w@�6z øÊ$òi�õöc�:Ç����g���:���cÉ3�!�����g�v�­�o��òi�õ�g�\���:óK��ÇnÆ­�K���\�I�Q¥C�6�½�H� 15¦ �cÇk§ �c���:�KÇ�Ëi�g�Mó

�}�"���g� : ��w@�6z��KÇ�tZ§�$w@�6zkÁ1Ê$òM����ËióK�:�=���g���r�)���}Éd�IòM� ɾ�cÇ�Ó : ¥�wm¥�¤�Âs;»Á1���g���òi��öK�:ÇO�I�@?º�}�iËæ��ËióK�{��Æy�c���:�Ì���g�g���­��c�i�O�IÇI�}���I�ÃÅ �g���KÓ{���IÇ��g���c�MËæ�gËM�:�\�I�Ã�y�:ËÒ������ò�{��?V�:Ë ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����Ó{����Ç��g�f��Æi�c�:�`Ô�Á�Ê$òM��öK��Ç��I�@? ��Æy�c�:���=öK�:Ç�¥è�����g���)��Ëi���i�c�I��Ë�}�`Ô>¨=�_�c�iËá�Iòi�{�:Ëióc����Æi�c�:��Nöc�:Ç : ¥�wm¥`¤ Âs;V�����g�'�)��Ëi���i�c�I��Ë �c�LÔ©6ª¨=ÁZÊ$òi�:Ç��Z�cÇ���¸�&�K%<�'�ä�:Óo�)�:ËMËi�g�ióc�!�}É�Ô�6«¨=���K�i�f�g�\�I�GÔO¨=t¾Ëi�:�M�c�I��ËC﫨Z�@z8�)�c�iË��Iòi���c�IòM�:Ç!�g�\�I�GÔ�¬®­ 4t¾Ëi�:�M�c�I��Ë�直 4 zkÁVOá����òy�}�g�CËi��Ó��}�iËN�ÂKÁA﫨E�'���_�Iòi� ´a°�·V«)¬N´¾¬kÕ Ó��cÆoɾ�cÇ'�c�g�_¥y�\�üÁÏ�x�Iòi�$��Ëi�:�\�����y�:�}�I���K�o�cÉ¥Ô>¨x�c�iË�Ô�6«¨�������òÔ ���r�Iòi�����cÓ�

�VÁ�Ê$òi�:Ç����B?V�����`ÙCwyÚf���i�6òº�Iòi�}��ɾ�KÇf�c�g�¯¥y�Ö﫨 4 �g���>t�ÙCwyÚyzo%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç�Å �)�B��¸�x���:�CÔ�6«¨d�c�iË8ÔO¨�­ 4 Á

Ê$ò<�i������òi�n�IÇ��:�4� ���$�c�����iÓ{�:Ë�Ç��s�c�I��Ë��½�!�M�y�c�iË�Ó�cÆi���cÇ��nËi�:���:Ç����­��Ë��c� ��òi�g��i�c�����:Á

ß

Page 10: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Ê$òi���n�g�iËM�i�:�����¦Ó��cÆ � ¨fɾÇ��KÓ ÔO¨n�I��Ô>¨�­ 4 ��òi���6ò �g�n�¦�i�M��ɾ�KÇ�Ó t�ÙCwyÚyz+%<�y�}���'������KÓ{����Ç�Åoɾ�cÇx�c���°¥yÁ'à±����±²¨�ËM�:�i�c������òi�����iËi�i���:˦Ó�cÆ{�K��óc�:�sËi�:���g�:��Á.�V� ±²¨rt : ��wy��; z���¦�æóc�:�sËi�:���g����� Ô>¨�­ 4 ���K���i�g�Mó � ¨�t��Hz@w � ¨�­ 4 t���zkÁ � ' 4¨ �}�i˱ ' 4¨ ���g���!ËM�:�i�c�����IòM�%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇ��g�d���\öK�:Ç������cÉ � ¨��c�iËZ�Iòi�n���iËi�i���:Ë�Ó��}ÆZ�K� óK�:�sËi�:���g���!Ç��:��Æ­�����I�ÃöK����ÅKÁOá�õ��òi�c�g�u�c�����iÓ{�o�Iòy�}�d�Iòi�ä%<�y�c���'�ä�g���cÓ�8�IÇ��������\öK�:Ç���� � ' 4¨ ���G�c�����Z�Òt�ÙCwyÚyz+%<�y�}���'������KÓ{����Ç�ÅcÁ¤ Ê$òi�f��Æy�c���`Ô����8%<�i�������g�K�����g���±�c�g�����­��%<�i��������Æ)�:�:�g�c�üÁ�Ô þ´»¸a¸.·V´ÿ¬ ë ·<®�Û'·�¬ ë ·²v«v´�|)·<®½¿:¼y¸±³K¯H|)·<®G¯�Ö�¼�³\¸a¯)¿:·s° ë ÕCØ'·s®NÛ'¯)¸a´»³�¿W²v®NÖä¼i³K·�� ë ·s«v³K·o¬ ë · ë Õ±Ø'·<®NÛ'¯­¸a´a³Øu¸¾¼y«v·³�A´�¯�®õ¬ ë · ²u«v´�|)·<®½¿:¼y¸^³K¯H|)·<®õ¯�Ör¼~©�«u´ÿ¬=·K|)¯)¸»²v¹æ· ë Õ±Ø'·<®NÛ'¯)¸»´a³¦¿W²�®NÖä¼y³K·¹æ´»«C²v¿õ³\²v¿:Ø�¿�øÊ$òi���yÇ��O�r�W�}���c�{��òi�:Ç��SÔ ���I( * ���g�����­�!�i�:���:���I�cÇOÅK��òi�:�G�x�GÆMÇ��=öK�d��òi�dÇ��:���i�����

�}ÉG÷r�}�i�i�K�H�äÊ$ò<�iÇ��O�I�K� :  r;$�c�MË ���g�i�ED<Å : ÂN�<;üÁáÊ$òi� ���:���K�iË1�W�c���c�V��òi�:Ç��8Ô �g�`( *Ó{�g�<�i���}� ��%<�i��ö}�cÇ��p�c�\�n���K�g���:�����g�K���cÉxòM�KÇ��sËi�g�ED<�:�N���g�����)���i���8ɾ�i����òi�g���oÆiÇ��Nös���ió��Ç��:���i�����cÉ�Fx�/��Ëi�����6ò : ��;»Á

¢�X W []\+^`_9acb`dIeEfhgyµ=n�t4tS_9a�qùn��öc�:�á�ZóK�:�sËi�:���g�G÷º�ó÷c�")ãÔc�W�p�x�{��òi�c�g�'�i�/���:�K�i�O�IÇ��i������ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�õ�p�}ËiËi�:Ç�+n) u �:�c�<�I�c�g�M�g�ióo÷c�WÁÖOæ�$��òy�c���s��òi�:�õÆiÇ��=öK�r�Iòi�}�V���g�u�i�i�Ãɾ�KÇ�Ó{��Å�%<�y�c���g���K�\öK�B?t¾�g�iËM�:Æ)�:�iËi���\�d�cÉ�÷�z8Á'ÑR�iËi�M���I�ÃöK����ÅZËi�8�y�i���

÷>¨�­ 4 �&±²¨rt¡÷>¨Bz&ɾ�KÇ3¥ \Ú�÷°¨ ' 4 ��± ' 4¨ tÀ÷°¨sz&ɾ�KÇ3¥GÞÚ��G�&¶ ¨ ÷>¨: �V�:������óK�iÇ��n���)�:���<��Á ;

� ´ ¾ ­{Æ�¯2· ý û Å ¯k¸½@Ð�¯BÆ�®B²� ´À¿ òN¶ ·�· ¯BÆ

ÂW�

Page 11: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Êv��ÆiÇ��=öK�.%<�y�c���g�:�c�<öc�B?V���RÅc�{�&���:�K�M���IÇ��i���&�nÇ��8�IÇ��c�����g�K�-¹+�ɾÇ��cÓ ¶ ¨ ÔO¨^�K�\�I�Ì���òy�}�±��?V���M�x�c�iËfËi�s�:�±�i�c�v�O�IÇ��8�I�6ò�Ëi�g�O�6�c�i���:��Óo�i�6ò�Á'�V�f¹+&�g���k��%s�i�c��� �Uà±�gÆi���6òi�����cÎÓ�cÆCÁôG�&ÔO¨fËi���i�i� R ¨rt�Ý�z$�I� �­���¦�M�W�cÇ��:���Z�RÆ)�K�g�\�nÆMÇ��½�������I���K� �cÉ�Ý��K�\���~÷°¨=Á�Ê$ò<�i���

x�Õ�t�Ý¥wÀ��﫨�t�Ý�z�z7Þ�x�Õ�t�Ý�wJd�z&ɾ�cÇ��c�g�.d=�Ò÷°¨½ÁÌ!�B?s�W��Ëi�8�y�i�

��ïÀ{t�Ý�z'� R ¨rt�Ý�z^ɾ�cÇ�ÝK��Ô>¨NÁOá���òy�c���'�6òi�V�c������:�c�g�g�������g�K� �cÉ ¼y°v¹º´»¿:¿W´aÛu¸¾·æØv¼M¬ ë ¿ �g��u �v���i�6òá�Iòy�}���c�\Å

Æi�}�Iò����~u �:�c���)���i�i�Ãɾ�KÇ�Ó{��ÅZ�cÆiÆiÇ��/?V��Ó��}���:Ë��\Å��Iòi�����}Án�d� �cËMÓ���������i�g��Æy�½�Iò �g�u#�����{�i�M�g�K� �cÉuÆy�}��òi���cÉu��òi�nɾ�K�g���/���g�ió�ɾ�cÇ�Ó{�s�

ÂKÁ!Í��}��òi����Ås�g�ió�����ÔO¨�ɾ�cÇ$���KÓ{�7¥yÁ

�VÁ!Í��}��òi���cÉ����:�ió}�Iò��K�i�&���K���i�g�ióäÝÎ��ÔO¨��I� � ¨�t�Ý�z7��Ô>¨�­ 4 ɾ�KÇ3¥+\Ú�

�MÁ!Í��}��òi���cÉ����:�ió}�Iò��K�i�&���K���i�g�ióäÝÎ��ÔO¨��I� � ' 4¨ t�Ý�z���ÔO¨ ' 4 ɾ�KÇ3¥ÎÞÚ�

M ¯y¬=·�é �d�\Å�Æi�}�Iòo���`u �:�c�o�)�x�i�i�Ãɾ�KÇ�Ó{��Ån�cÆiÆiÇ��/?V��Ó��}���:Ë��<Å��c�õ�}ËiÓ�������g�i���&Æy�½�IòCÁ¨ ·�©�«u´ÿ¬N´¾¯­«.é ��� �}ËiÓ�������g�i����óK���VËi�������������c�1�cËiÓ{�g�����g�M�g�¦Æy�½�Iò �Iòy�½��Ó���i�gÓ{�g���:�ËM�g���I�c�i���:�!�cÓ{�K�ióK�O�!�cËiÓ{�g�����g�i���GÆy�}��òCÁ

Oá���}Ç�� �i�/� �g� � Æ­�K�������g�K�º���áÆiÇ��=öK����òi��Ó��c���º�I���6òi�i�g�:�c�$�Iòi���KÇ���Ó �cÉd��òi�g�Æi�cÆ­��Ç:Áê�ë ·<¯�®N·s¹ ÀNøa© û Å ¯BÆ�¯A¯EË ´ ¬B°�¬ T2�f\Ú� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° x�ìot0¹.{t��¥z@wJ¹+Ht�Ý�z�z�ÞUT2�@x�ìot��9w�Ý�z³�²�Æ �9w�ÝÒ� ¶ ¬ Ô�¬ Ç � ­{ÆB° Å ¯BÆ âI¾ ´ Êr¯B¼ !�\ � â ° Å ¯BÆ�¯K¯EË ´ ¬B°�¬ Tº\ � ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ´ ³ u ´ ¬! Ä Å ½yÐ�¯BÆs®B²� ´À¿ â ° Å ¯B¼ �+8´ ¬ T ÄZÉs­�¶�¬ ´À¿ ²�¼�Êr¯EËØǶf®N¯C¯�ÖIé Ñä�!���OV���:�!�I��ÆiÇ��=öc�f��òi�n�Iòi�n�IòM�:�KÇ��:Ó ��òi���Cx�ìot��9w�Ý�z'�ïÂKÁ

ùV¶�¬/¯-»h¶½¼ ý��9w�ÝK��Ô>¨�ɾ�KÇ$���KÓ{�7¥c��yÇ��KÓ à±�:Ó{Ó���VÁ �s�K�Iòi��Ç����B?V�g�O�I�bT - ���i�6ò{�Iòy�}�Ix�Õ�t��9w�Ý�z7ÞUT - Á'�V�g�i�����:Óo�)�:ËiËM�g�ióK��}É�Ô>¨d�g�Ku �cÇ��n�i�i��ɾ�cÇ�Ó���x�ìSt,¹+Ht��¥z@wJ¹+{t�Ý�zEz7ÞUT - ÁùV¶�¬/¯-»h®D¼ ý��C��Ô>¨G�c�MË�Ýo� � ¨�t��¥z2��Ô>¨�­ 4 ɾ�KÇ$���KÓ{�¾¥-\Ú���F^Å à±�:Ó{Ó����VÁÈ�V�M��òi�:Ç����@?V�g�����fT#��\Ú�õ���M�6ò��Iòi�}�

ÂcÂ

Page 12: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

xØÕ�t � ¨�t R ¨�t��¥zEzBw R ¨�­ 4 t � ¨rtv�¥z�zEz7Þ¿T#�À �iÇI�Wöc�:�g���g�ióËi���i�i�����g�K�i���C�c�MË �i�����ió¦�Iòi���i�i��ɾ�cÇ�Ó{���RÅ �cÉ'��òi�o�:Ó��­��ËiËi�g�Mó¦�cÉIÔO¨��g�uº�x�t,¹+{t��¥z@wJ¹+{t�Ý�zEz7ÞUT#��¤ÚÂKÁ

ùV¶�¬/¯-» ¿ ¼ ý��C��Ô>¨G�c�MË�Ýo� � ' 4¨ tv�¥z2��ÔO¨ ' 4 ɾ�KÇ$���KÓ{�7¥ÎÞÚ���Ê$òM���}Ç�óK�iÓ{�:�\�!�g�u���M�����c���g��÷r�c����t¾�cz!�}�­�=öK�}Á�����y�c����ÅK�<�I��ÆiÇ��=öK�Ì%s�i�c�����:�K�\öK�@?V���RÅ��cÉM�\���&�����K�i����Ëi�:Ç!�c�\Ŧ�¸�&�{Æ­�K���\�I�A��wy��

�+\Áæà±��� P �­�Z��óc�:�sËi�:���g�Z�g�µu ���K�g�i���ióC��wy�=Á Ê$òi�:� �\Åæ��òi� �c�)�=öK� �cÇ�óK�iÓ{�:�\�W�¹.{t P�Á ¶ ¨ Ô>¨Bz������5�ÒËi�c�����:Ë t¡ÙCwyÚyz �¸%<�y�c���góK���VËM�:�����cÎCɾ�KÇ����KÓ�GÙCwyÚ:�v�üÁÏ�cÁ��8%<�y�}���'�óc�:�sËi�:���g����òi���6ò ���n�i�c���i���:�����I�}Ç��g�ÃÅ����K�i�i�����I��ËCÁ{Ì��c���o�Iòy�½���<Å��K�iÇnËi�8�y�i�Ã�I�g�c� �cÉ��%<�y�c���góK���VËi�������~tÿös�é�cÁ��%s�i�c��� �R�g���KÓ{���IÇ��g�o��Ó��}óK�o�cÉr�c�á���\�I�:ÇOö}�c�_�g� ê z{�ZËi�}���I��Ë%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�d���r��%<�y�c���góK���VËM�:�����cÁ.�s�g�i���u �g�#!/�äò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�}�s��òi�:Ç��G�B?V�����I��Th\Ú����i�6òZ�Iòy�½�x�IòM�nóK�:�sËi�:���g� P �g�g���&���Z� Tï�i�:��óKò<�­�KÇ�òi�s�VË�cÉ�¹+{t PnÁ ¶ ¨ ÔO¨Bz8Á.�y�iÇO�Iòi��Ç:����g�i���n�Iòi���p�½���I��Çr�g���:�$�K���\���&���:�K�i���g�iËM����òy�}�+���g�7To�¸%<�y�c���g�:�c�<öc�B?­Á¾�M ¯y¬=·�é �V�iÆMÆ­�K�����g�i�O�I�W�}ËZ�cÉv�­���g�ióõóK���VËM�:�����:�.÷³¬��cÇ����c�g�Mt¡Ù�Õ�w�Ú�Õ z¸�¸%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�:���� �W�c�6òµÔ�¬üÁoÊ$òi���æ�K�i���:ÇOöK���Iòy�}�n��òi��Ê$òi�:�cÇ��:Ó �VÁ�Â������g����óK�s�:�G��òiÇ��K�MóKòC�v�c�iË �IòM��M�i�g�K�8�Kta��� ��òi�g�$�:�c�����cÉ ºC²�¼y¿W´�Û�·s¯C°v·s¿W´a³\¿ zr�cÉ�÷³¬��g�������g�g���õÇ�����ÇI�c�8�!�cÉ ¶ ¬ Ô�¬üÁÊ$òi��ɾ�K�g���/���g�ió ���:Ó{Ó�� óK�ÃöK�:�{�i���áÓ{���IòM�VË1�cÉd�i�iËi�g�Móº�c� �cËiÓ{�g�����g�i���ZÆy�}��ò

ɾÇ��KÓÏ÷°¨����Î÷��=����òi�c���f�g�:�Móc�Iò �g�$�}Éu��òi���KÇ�Ëi��Ç��cÉ;¥yÁÜ.·s¹º¹æ¼áÀNø�µ û Å ¯BÆy¯�¯EË ´ ¬B°v¬4 õ � â ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ´ ³ ���à÷>¨ ³�²�Æ̬/²�Íί ¥ ° Å ¯B¼>° Å ¯BÆ�¯¯EË ´ ¬B°v¬ �o�)t¡÷¥z'�$÷c� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° x�ìot¡��wy�BzÌÞ Â ¥ Ƕf®N¯C¯�ÖIé Ñä�_���WV{�:�:�_���GÆiÇ��Nöc�r�Iòy�½��ɾ�KÇE¥+\,ÂK�c��òi�:Ç��r�B?V�����I�  õ �G�g�iËM�:Æ)�:�iËi���\�'�cÉ>¥���i�6ò �Iòy�}�r��É����)tÀ÷°¨Bz8�M��òi�:Ç��n�B?V�g�O�I�Qi��)t¡÷�`L¨ ' 4 z�������ò�x¥tå�pw�irz7Þ Â Á'�,�OÅVÓ{Ó{���IÇ��g��}Ç�óK�iÓ{�:�\���&�KÇ�D<��ɾ�KÇ3¥ÎÞj§fÂKÁ

F&Åo�:�K�i�O�IÇ��i�����g�K�C�{÷°¨��&±²¨�tÀ÷°¨ ' 4 z8Á'�s�g�i��� � ¨x���.�=t¡ÙCwyÚyzM%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇOÅ�ɾ�KÇ.�}�g�¥y����òi�:Ç��o�B?V�����I�2T 4 ���i�6ò �Iòy�½� � ' 4¨ tå��z����g�:���g� � T 4 �i�:��óKò<�­�KÇ�òi�s�VË��}ÉI÷>¨NÁ�Ä����i�:�}���òi�:Ç����@?M�������¾i��µ÷>¨G���i�6ò��Iòy�½�x�t(iHwÀ�czAÞ Â2¤ÃT 4 Á�÷xòi�s�K�����ió  �yT 4 ¤ûÂÌ�x���cÇ����òiÇ��c�ióKòCÁ7�Ô�·V¹á¼i®Nð_é Ì��}�I�'�Iòy�½��à±��ÓÓ�$�MÁÈ���}�g����óK�s�:�±��òiÇ��K�MóKòÌ��òM�:���:�c�6ò`÷�¬s�g���Lt¡Ù�ÕVwyÚ�ÕÖz¸�%<�y�}���góc�:�sËi�:���g���g��Ô�¬�ɾ�KÇ��c�g�¥ï�ÁÊ$òi�fÓ�c�g�¦��òi�:�KÇ��:Ó��}Éu��òi�g�$���:�����g�K� ɾ�K���g�/���s�

Â=�

Page 13: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

ê�ë ·<¯�®N·s¹ ÀNø�Àðò9¯B°f»ÅÄ â · ¼G®B¯Ì¶G°¡Æ�¯y¯+»sû³¼G²h³ Å ½@Ð�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯y¬+¬s¶r° ´ ¬�³@½ ´ ¼ ¾° Å ¯äÉ ´ Ä�¯BÍ�®B¯ ·�· ¯ ·�¿ ²�¼ ·r´ ° ´ ²�¼�Ç2gc­<Ð�Ð�²/¬/¯ ´ ¼µ¶ ·�·r´ ° ´ ²�¼Ò° Å ¶r° �ó´ ¬�¯ ´ ° Å ¯BÆ+ê ²�Æ : ��w@�6zç ´ ° Å ° Å ¯.­Ø¬B­�¶rÂcÊr¯BÆB°¸¯EË=¶r¼ · ¯ · ¾ ¯2¬/¯B°v¬ ÔO¨ â ³�²�Æ ¥�´ ¼�°¸¯ ¾ ¯BÆ�¬sÇ á ³ uñ´ ¬ Å ½@Ð�¯BÆ�®B²� ´À¿ â ° Å ¯B¼ïV�ØÔc�I� u ¯EË�°¸¯B¼ · ¬ ¿ ²�¼�° ´ ¼�­c²�­�¬BÂå½=°h² ôïV� �Ôc�2� �u Ç

¶f®N¯C¯�ÖIé Êu�dÆiÇ��=öK�r��òi�r�@?M�������:�i���$�cÉ���÷r�c�i�M�K�H�RÊ$ò<�iÇ������K��Ó��cÆ��c���u���OV���:�'�I�d��òi�/�tÿɾÇ��KÓ�à±�:Ó{Ó����VÁÃÂ<z!�Iòi�}�dɾ�KÇG�c�g�M� \ï�Z�c�iË�Ý��L�)Ôc�G�IòM�:Ç��õ�@?V�g������ö \ï�����i�6ò��òy�}���ÃÉ_�õóK���VËi�������f���:óKÓ{�:�\�÷��g���:�r�c�i�������gËM����òi�Lö��R�i�c�g���cÇ��K�M�iË�Ý��+�CÔ��W�c�+��g���:��c�M�I���gËi�G��òi�L���R�y�}�g�±�cÇ��K�i�iË8Ýr�.�~u ÁÊv�ZÆiÇ��=öc���Iòi���:���x�o��òi�/� ��òy�}�d��É�÷ �g���:�d�c�M�I���gËi�f�Iòi�äöè�R�y�}�g�v�cÇ��c�i�iË�Ýr���ÃÔc�W�

�+õ�g�g�����K�M�I���gËi������:Ç��I�c�g�C� t¡ö~z¸�ä�y�c�g�u�cÇ��K�i�iË�Ýr�S� Ôc�4)$u ����òi��Ç��=�mt¡öCz!�g���ÆMÇ��KÆ)�:Ç$ɾ�i�i�8�I���K�ZɾÇ��KÓ ¦ �g�\�I���Ã�I������ÉUÁ�V���i�:�ÎÔ����g�fÆiÇ��KÆ)�:Ç���Å ��Óo�­��ËiËi��Ë �g�µu �Iòi��Ç����@?V�g����� Ñ t�öCzn���i�6ò �Iòi�}�ä÷ �g���:�

�c�M�I���gËi�G��òi� Ñ t¡ö~zB§!�y�c�g���}Ç��K�i�MË8Ý������èu �}�iË Ñ t¡öCz�� � �}�+ö � �èÁà±���c�f�)�.�c�\ÅnÆ­�c�g�\�±�K�L�\ÁvÊ$òi�:�A�~�CÔO¨�ɾ�KDZ���KÓ{�¯¥yÁuÊ$òM�:Ç��.�@?M�������ÖÝÎ�Ò÷Z�$÷��

���i�6ò���òy�}�.x�ìot�Ý�wÀ��z7Þ Â ¥�<ÅZà���ÓÓ�õ�MÁÈ�VÁ'Ê$òi��Ç���ɾ�cÇ��c�x�ìSt�Ýr��w¡��zw\ x�ìot�Ý���w�Ý�z §  ¥

\ Ñ t¡ö~zM§  ¥F&Ŧ�K�iÇ��6òi�K���:���cÉuÓ�8�IÇ����G�K��u �

x�ìSt�Ýr��wÀ�cz#\Æ¥Ä!�:�i���

x¥tv�c�/wÀ��z]\ ����� t Ñ t�öCz�§  ¥�wm¥{z\ Ñ t�öCz ¤ Â

�yÇ��cÓ�Ê$òi�:�cÇ��:Ó��MÁÃÂ��Iòi��Ç��f�B?V�g�O�I�kT ���iËi��Æ­���iËi�:�\�d�cÉV÷����i�6ò��Iòi�}�+�o�g�!�-TS�%<�y�}���g���K�\öK�@?������!�:�c�<�I�c�g�M�g�ió�÷±Á.Ê$òi�:Ç���ɾ�KÇ����}�<Å óc�:�sËi�:���g�&���K���i�g�ióo��òi���:�iË{�RÆ)�K�g�\�I��}É�÷����g���$�g���"TS�ä�i�:��óKò<�­�KÇ�òi�s�VËZ�cÉM�\ÁÄ!�:�i���Z�c�\Åæóc�:�sËi�:���g�����c�g�i���ió �:�iËH�äÆ­�c�g�\�I���cÉ.÷ �g�g�����c�M�I���gËi����y�c���.�cÉ$ÇI�}Ëi�g�i�

�mt¡öCz2��òi��Ç���mt¡öCz^��Ç =ÉÈ @Ê ­ 4 §ÆT

�s�g�i��� Ñ t¡öCz�� � �}�+ö � � ���ËM�V����mt¡öCzkÁ��ÂW�

Page 14: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Ë ¡óR:¢{¨�§S� �����3�rU���§ ÌÓ�'¢��5� ¨ ¢"��Í ¢�� ¤���§S� Ì §d¢GT Χd¥�����ÏÐÒÑ §G¢��.§oT ¨ ¢"� ¡óU�¤ ¤�¢{¤cÎ ÐÓÑ ���.¨u¥�¢¤æUo¤�� Ô �W¤ ¨²Õ �

Ö XZY r�×oa�_9_íi n3}SfIq@d7eItSq|Ø�fZb`_9acfD}kÙÛÚÃÜI_Öa k³×o_hÝÃfha�g9eZ_Ì!�/���±�g���S� �­�õ�¦���g�K���:Ë ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���o���äÓ��}�i��ɾ�K��ËC�y�y�)�:Ç����ió¦�=öK��ÇG�Iòi�õ���gÇ��:�g�Ì������ò�i�­��Ç � Á'Ê$òi������òi���i�i�ÃöK�:Ç��I�c�±���=öK�:ÇsÞ� Ó��WÅ��­�nÇ��:ó\�cÇ�Ëi�:Ë��c�!����Ç��:�4�è�cÉv��Æy�c���:�����òM�:Ç��f� � ê ���c�iËG��òM�:Ç����W�c�6òöK�:ÇO�I�@?¦�}�i˦�:ËMóK�������x�g��Þ� Á�Ê$òs�M�7u ���ßÞ������òi���6ò���2%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç������I��( - �c�iË8Ô �g�ÆÞ� ��òi�g�6ò �g�7%s�i�c��� �R�g���KÓ{���IÇ��g�!�I��( * Á&�y�iÇO�Iòi��Ç:�� ¬v�W�c���c�g���­���gËM�:�\�I�Ã�y�:Ë�������ò Þ� ����òi�:Ç�� � ������òi��Æi�����iËi���R�c�i�K���=ö�Ó{�K�i�sËiÇ��KÓ�Å�cÉ��òi�o�y�iÇ��}�I���K�CÁ�Ê$òi�:�æ�c���ZËi�gÇ��:���G�:�K�i���s%<�i���i�:�¦�}É&Ê$òM�:�KÇ��:Ó �MÁÒ�M�N�&���K�M�6�}�g���IòM�ɾ�c�g�g�/�����ió���òi�:�cÇ��:Ó �cÉ�÷r�c�i�M�K�1�c�iË Ê$ò<�iÇ��O�I�K������òi���6ò Ó�}�I��ö}�}���:ËáÓo�i�6ò �cÉ$�IòM�ÆMÇ��:���:�\�.�x�KÇED�Áê�ë ·<¯�®N·s¹ â9øa©à�kã�¼y«v«v¯)«Cì ê�ë ²�®}¿8¬=¯)«��4á �>â � ®B¯I¶ ¿ Âé²/¬/¯ · Å ½yÐ�¯BÆs®B²� ´À¿ j�ĸÍ�¶r¼ ´ ³�²� · âüI®B¯BÆ ´ ¼ ¾ ²�Êr¯BÆS° Å ¯ ¿B´ Æ ¿ Âé¯Ìç ´ ° Å üI®B¯BÆ � ÇAò9¯B° ï���( * �È( - · ¯B¼�²�°h¯�° Å ¯ ´ ¼ ¿ Âå­�¬ ´ ²�¼µ²h³Þ� ´ ¼�°h² Þ� » ç Å ¯BÆ�¯ Þ� ¶r¼ ·ºÞ� ¶rÆ�¯ ´�· ¯B¼�° ´ ü2¯ · ç ´ ° Å ( * ¶r¼ ·S( - Æ�¯y¬¸Ð�¯ ¿ ° ´ Êr¯BÂå½�Ç=û Å ¯B¼ï ¯EË�°h¯B¼ · ¬ ¿ ²�¼�° ´ ¼�­�²�­Ø¬BÂå½�°¸²~¶�Í�¶BÐ ôïo� 0 * � 0 - â ç Å ¯BÆy¯ 0 * ¶r¼ · 0 - · ¯B¼�²�°¸¯=° Å ¯¿ ²�ÍÐ�¶ ¿ ° ´ ü ¿ ¶r° ´ ²�¼�¬`²h³ ( * ¶r¼ ·L( - Æ�¯y¬¸Ð�¯ ¿ ° ´ Êr¯BÂå½�Ç

Ö X W Ý eZd�q�_¯tÈl¾�oa�q@n�gp_àãíeZ_ÖfD}SfZn3}]äßa�d#�S^oqÑR�¦��òi�g�&�������I���K�K�&�n�cÆiÆi�ÃÅ�Ê$òM�:�KÇ��:Ó �MÁÈ�����oóK���KÓ�8�IÇ��g�W�}�g��Å��6�cÓ{�d���g�K���:˦óKÇ��K�iÆi�x�cÉ�)�K�i�MËi�:Ë�óK�:�cÓ�8�IÇ�ÅcÁÊ$òi�6¿ ²�¼�Êr¯EË ¿ ²�Æ�¯ �cÉ�� ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g� ���äÓ��c�M��ɾ�K��Ë6ö t�������òi�K�M� ���i��ÆM�yzZ�g�¦�IòM�

��Ó��}�g�g�����n���K�\öK�@? ���i�iÓ�c�i�Ãɾ�K�gËåTGt¡ö~z�) ö ɾ�KÇo��òM�g�6ò �g�i���g�i���g�K� ����� òM�KÓ�}�I�KÆ\Å��%<�i��ö}�c���:�i���cÁ'ÑäÉ��c�ÎÚx�i���góKò<�)�KÇ�òi�s�sË�cÉ.TÎt�öCz'òy�c�&�i�i�����!öc�K�g�iÓ{�c�{ö��g�^�I�c��Ë�I���­�¾ ¯y²�ÍίB°�Æ ´À¿ ¶rÂvÂå½SüV¼ ´ °h¯ Á��s�iÆiÆ)�K���Gö � ( - o�æ�t R 4 tL�Vz�z�ɾ�cÇ�� ���g�K���:Ë ���iÇOÉa�c�:�+�rÁ�Oá����WŦ�Iòy�½�d�}�����iË��cÉ�ö �g� ¾ ¯y²�ÍίB°�Æ ´À¿ ¶rÂvÂå½�üV¼ ´ °h¯ ��Év����òi�c�!���M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sËZÓ{�g�����g�ióTGt¡ö~z8ÁVö �g� ¬ ´ ÍÐ�Âå½ · ¯ ¾ ¯B¼�¯BÆE¶r°¸¯ ��Év���ròy�c�$�K�i�ÃÅ��c�i�n�:�iË�ç-èy��Év�õ�i�:��óKò<�­�cÇ�òi�s�VË��cÉç �g�vòi�KÓ{�:�KÓ{�KÇ�Æiòi�g�_���2�48 ê è��c�MËo��ÉU�½�g���cËiËi�Ã�I�g�c�C�½��òi�:Ç��x�����!���s%<�i���i�:���cÉiÆi�g�:�}�I��Ë���iÇ�Éa�}�:�:��òi�KÓ{�c�I�cÆi�g�õ��� ��òi�g�f�i���góKò<�)�KÇ�òi�s�sË ������òi�{�g�i���g�i���g�K� �cÉQ�$�u�c�iËá�B?V�����g�ió�8öK��Ç�Åá�:�KÓ{Æy�c�8�o���8��t¾Ê$òi�g���p�c�O�����K�iËi�Ã�I�g�c�á�����c�V�I�KÓ�}�I�����<Å>Fx�K�i�còi�K� : ��;»Á�ö �g��:�c�g���:Ë>· ²�­�®sÂå½ · ¯ ¾ ¯B¼�¯BÆE¶r°h¯ ��É����!òy�c���¸�x���:�iËi���­�)�c��ò��cÉ ��òi�g�6ò��cÇ��f����ÓÆi�ÃŦËi��óK�:�{���ÇI�}���cÁ��y�KÇn�ZÓ{�KÇ���Ëi���I�c�g���:Ë Ëi�����:�M�������K� �cÉxÆM�g�W�½�I�:Ë ���iÇ�Éa�c���:�f�c�iË óK���KÓ{���IÇ��g�:�c�g�ÃÅ�I�cÓ{�n�:�iËi�������:� : �VÂs;��KÇ :  ñ ;üÁ

 ñ

Page 15: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

à±���`ïLéW¥ È t��¥z�Ëi�:�i�}�I���òi�¦���½���:�8�I��ös�Ã�RÅ ÇI�cËM�g�i���}�L���ßöáÁ�ö �������c�gË �I��òi�=öc�Û'¯)²v«u°�·s° Û�·s¯)¹æ·\¬=®=Õ ��Ér��òi�:Ç��¦�B?V�g�O�I�äÚE�èõ �����i�6òº�Iòi�}��ï0é³¥ È tv�¥zGõ Ú��oɾ�KÇo�}�g��~��öáÁ.ÑR���KÇ�ËM�:Ç$�I�{�cÆiÆM��ŦÊ$òM�:�KÇ��:Ó �MÁÒ���x�f�i�:��Ë����KÓ{�fÆMÇ��:���gÓ{�g�y�}Ç�Åà±�:Ó{Ó��c��Áà±���-ç��­� �����gÓ{Æi��Å Ëi��óK�:�i��ÇI�}���Z�:�iË �cÉ+ö ÁæÊ$òi���/ç ���oòi�KÓ{�:�cÓ�KÇ�Æiòi���{���

�48 : �Hw@�6z&ɾ�KÇ$���cÓ�n���g�K���:Ë����iÇOÉa�c�:�n�1�cÉuóK���s�M��óKÇ��W�}���:Çr��òy�c���K�i�cÁÜ.·s¹º¹æ¼ â9ø�µyêL·>��ë�û Å ¯BÆ�¯�¯EË ´ ¬B°�¬4ì 4 õ,� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°9³�²�Æ�¶rÂv � �Ãö â ° Å ¯BÆ�¯Î¯EË ´ ¬B°v¬¶ÌÐ�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯ � ��t0�Mw�í9zV� ö ç ´ ° Å"� t0��z Á �kî G t��¥z4��&ï ÇÊ$òi��ɾ�K���g�/���g�ióoà���ÓÓ��ɾ�K���g�/���r�W�}���g�ÃÅ�ɾÇ��KÓ ��òi�nÉa�c�����Iòi�}�AïLéW¥ È t��¥z2õ ÚE�/�

Ü.·s¹º¹æ¼ â9ø�Àyê�j�ë â êL·>�Dë�û Å ¯BÆ�¯è¯EË ´ ¬B°�¬�ì * õ � ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ´ ³ � ��tL�Mw�í9z�� ö ´ ¬Î¶Ð�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯ â ° Å ¯B¼ x�ïÀ�¥t � tL�Vz�z7� ì * ÇÊ$òi� ɾ�K���g�/���g�ió à±��ÓÓ��Ëi�i� �I�æ���g�M��D\Å :  ñ ;$ɾ�K���g�/���oɾÇ��KÓ �:�KÓ{Æy�c�8�I�i�����{�cÉ

ÆM�g�W�½�I�:Ë ���iÇ�Éa�c���:��ÁÜ.·s¹º¹æ¼ â9øBâðêm�òñóë � ´ Ë � ¶r¼ ·ÌÚ+õÞ� Ç þ ´ Êr¯B¼ �Îõí� ° Å ¯BÆ�¯�¯EË ´ ¬B°v¬ �oõ � ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°´ ³ � ��t0�Mw�í9z+� ö ¶r¼ ·+ôÃ�MtL�Mw�æ{z� ö ¶rÆ�¯ Å ²�Íβ�°h²yÐ ´À¿ Ð�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­{Æ�³�¶ ¿ ¯y¬äç Å ´À¿ ŶrÆ�¯ ´ ¬/²�Íβ�Æ Ð Å ´ ¬BÍ`¬`²�¼+R 4 ¶r¼ ·LïLéW¥ È t��¥z2õ Ú ³�²�Æ`¶rÂv �~��ö â ° Å ¯B¼

x°È+t � tL�Vz@wFô9tL�Vz�zIÞ�� ^ x_õO60¬å¢(öØt(í�w�æ{z2Þ�� âç Å ¯BÆ�¯ x_õO60¬ ¢,öè· ¯B¼�²�°h¯y¬èû�¯ ´À¿ Å Íä­HÂvÂé¯BÆ ·r´ ¬B° ¶r¼ ¿ ¯sǨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«.éÎû Å ¯!²v«u´v|)·<®}¿�¼y¸r³\²�®<|)· ²�Êr¯BÆ u)7��1�ïÀ òô9t0��z�´ ¬`¶K®s­{¼ · Âé¯Ìç Å ²/¬/¯

üI®B¯BÆ`²�Êr¯BÆ �~�~u ´ ¬ �à´ °v¬/¯B ³�Ç : Â=��;Ü.·s¹º¹æ¼ â9ø�ú û Å ¯BÆy¯Î¯EË ´ ¬B° ÙCwyÚ ¶r¼ · ¶ Å ²�Íίy²�Íβ�Æ Ð Å ´ ¬BÍ ô ³@Æ�²�Í ç °¸²8° Å ¯�­{¼ ´ ÄÊr¯BÆ�¬s¶r ¿ ­HÆ@Êr¯ �©÷ ²�Êr¯BÆè¶Òò ´ Ð�¬ ¿ Å ´ °«ø�Ð�¶r° Å5ù ´ ¼!û¥¯ ´À¿ Å Íä­{ÂvÂé¯BÆ�¬¸Ð�¶ ¿ ¯ â ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° Þô³@Æ�²�Í Þç °h²�° Å ¯Ì­{¼ ´ Êr¯BÆy¬s¶r ¿ ²�Êr¯BÆä²h³ �©÷8´ ¬L¶ t¡ÙCwyÚ�z ÄZÉs­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°¡Æ@½rǶf®N¯C¯�ÖIé Oá���:�c�º�c�����iÓ{���òy�}� �48A�½�H�¦�g��Ó��}ÆiÆ­��Ëá������ÆM�g�W�½�I�:Ëá���iÇOÉa�c�:�ú���

) ö �i�iËi��Ço�Iòi��òi�KÓ{�:�KÓ{�KÇ�ÆMòi�g��Ó É¾Ç��KÓ]�48 : ��w@�6zn�I�5ç{ÁCOæ�¦��òy�c���x�:�c�i����Ç��i�8����iËi�i�8�I�ÃöK�:�ÃÅá������%s�M�:�i�����}É4�È��%s�M�g��Æi�c�:��ËCÎ_Æi���W�}���:˺���iÇ�Éa�c���:�-�û¬4)üç��B?V�Ã�I�g�Mó��IòM����iËCÁ.�d�����iÓ{���Iòy�}�¾���swóýþýþý wF�ûÿõòy�WöK�f�)�:�:���:�K�M���IÇ��i�����:Ë����i�6ò��Iòy�}�s�ÂKÁ�ÑäɲçQ¬v�­�n�IòM�f�M�K�H�R���KÓ{Æy�c�������KÓ{Æ­�K�M�:�\���cÉ�ç��K�û¬R�M��òi�:�$�û¬ ­ 4 )ç7¬üÁ

Â=�

Page 16: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�VÁ!Äd�c�i��Ëi�KÇZJõËi�g�O�6�c�M�:�'�)���¸�&�:�:� �û¬s�c�iË��û¬ ­ 4 �g�C�)�K�i�MËi�:Ë��c�)�Nöc�.�<ÅG��t ì 4 ¤ ì * z8Á�MÁ.x>È+tL�û¬ÀwF�û¬ ­ 4 z�\ ì 4 ¤ ì * Áñ Á!��Ç��KÓ à±�:Ó{Ó�� ñ Á ñ �c�iËæ�:�K�iËM���I���K�6t»��z��c�­�=öc���Iòi��Ç��¦�@?V�g����� ì - Ëi��Æ­���iËi�g�Mó�K� ì 4 � ì * �c�iË$�1���i�6ò���òy�}�+x_õO60¬å¢(ö�t0�û¬ wF�û¬®­ 4 z7Þ ì -Ì!�B?s�r�6òi�s�K����C�5çQÿV�V���i�6ò¦�Iòy�½�2x°È+t��9wF�ûÿ�z'� ��t ì 4 ¤ ì * zkÁ_Ê$òi�:�Z�\Åà±�:Ó{Ó��ñ Á �V�}�Iòi��Ç��$�B?V�����I�.�GÆM�g�W�½�I�:Ë����iÇ�Éa�c��� � �ct0�Mw��cz�� ö����i�6òõ�Iòi�}��x°È+tv�9w � tL�VzZz�Þ ì 4 Áà±�8�k�ûÿó­ 4 � � tL�VzkÁ&Ê$òi�����\Å �Iòi�n��Ç��p�}�ióK�g�n���i�s%<�y�}�g���RŦ�c�iË�à±�:Ó{Ó�� ñ ÁÒ�M�y��É¥�~�e�ûÿ�}�iËci`�å�ûÿþ­ 4 �

ì 4 ¤ ì * Þ�x°È+t �pw�irz7ÞÚ��t ì 4 ¤ ì * zkÁÊ$òi���!�c�g���<���x�i�!�����:�K�\�I���<�i���g�iËi�M���I�ÃöK����ÅKÁ'Ê$òM��à±�:Ó{Ó��ɾ�K�g���<����ÁQ�Ì!�c�I�õ�Iòi�}�n�g� ��òi���c�)�Nöc�{à���ÓÓ�M�CÆM�g�W�½�I�:Ë ���iÇ�Éa�c���:���cÇ��õ�M�c�f�c�����iÓ{�:Ë �I� �­�

��Óo�)�:ËiËi��ËCÁ�Ê$òi�g�!�g�!�)�:�W�}�i�����gÓ{Ó��Ç�����Ë�ÆM�g�W�½�I�:Ë����iÇOÉa�c�:���������ò��{�i�i�Ãɾ�KÇ�Ó ���<�&�:Ç�)�K�i�MËZ�K�Z�g�½����������ös���RÅ{ÇI�}Ëi�g�i�r�cÇ��G�M�i��ɾ�KÇ�Ó�ÃÅ=%<�y�c��� �R�����KÓ{����Ç��g���I�o��òi�G���KÇ�Ç��:��Æ)�K�iË{����ió��!���:Ó�c�i�Z���iÇ�Éa�c���:��Á�V���i�:�n��òi�:Ç����}Ç����B?M�c�8�I��Ŧ�K�i���KÇr�¸�&����iËi�¾ç7¬ü���x�fòy�WöK�n�Iò<�i�!��òM�<�����

Ü.·s¹º¹æ¼ â9ø�� û Å ¯ Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°�Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯��TGt¡ö~zä´ ¬äÉs­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°¡Æ ´À¿ °h²�¶�°�Æ�¯y¯»sû³¼�²h³ Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯y¬ä¬s¶r° ´ ¬�³@½ ´ ¼ ¾ ° Å ¯èÉ ´ Ä�¯BÍ�®B¯ ·�· ¯ ·�¿ ²�¼ ·r´ ° ´ ²�¼ â ç Å ¯BÆ�¯� ´ ¬�¯ ´ ° Å ¯BÆ : �Hw@�6z »¡¬ ´ ÍÐ�Âå½ · ¯ ¾ ¯B¼�¯BÆE¶r°¸¯m¼K²�Æ�ê » · ²�­�®sÂå½ · ¯ ¾ ¯B¼�¯BÆ�¶r°¸¯m¼rÇ��ÆiÆi��Ås���ió�Ê$òi�:�KÇ��:Ó �MÁÒ�M���&�f�K�M�6�}�g�¦�IòM��ɾ�c�g�g�/�����ió��IòM�:�KÇ��:Ó��cÉ'���g�M��D\Å��

ê�ë ·<¯�®N·s¹ â9ø �ûî ´»«v¿:ð�Õ�áp©súWâAòÖ¯B° �æ�yæ�t R 4 t0��zEz ®B¯�¶ ¿ Âé²/¬/¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯�ÌÂé¯ ´ ¼ ´ ¶r¼¾ Æ�²�­/Ð â ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° (.-�or� �ß� Å ¶�¬ ´ ¼ Á ¯ ¿ ° ´ Ê ´ °�½SÆ�¶ ·r´ ­�¬�­{¼ ´ ³�²�Æ@ÍäÂå½Ì®B²�­H¼ · ¯ · ®B¯BÂé²�çîs½¬/²�Íί Ú.õÞ� Ç�û Å ¯B¼C° Å ¯BÆ�¯�¯EË ´ ¬B°�¬Ì¶ ¿ ²�¼�° ´ ¼�­�²�­�¬�Í�¶BÐä³@Æ�²�Í ° Å ¯ þ Æ�²�Íβ�Ê=®B²�­H¼ · ¶rÆ@½²h³ � » Æ�¯ ¾ ¶rÆ · ¯ · ¶�¬`¶r¼Ò¶�®B¬B°�ÆE¶ ¿ ° ¾ Æ�²�­/Ð*¼�°h²�° Å ¯Ì ´ Í ´ °�¬/¯B°A²h³ �6´ ¼ 3 * 5 Ç�V���i�:��� �:�K�\���g�<�i�K�i����Ó��cóc�¦�cÉd� ���KÓÆi�c�������V�:�c�g�ÃÅá���K�i�i�������:ËÞ�����{�g�õ���V�:�c�g�ÃÅ

���K�i�i�������:Ë : ÂN��;»�)�c�iË����g�M�:���Iòi�f�g��Ó�Ã�r���8�G�cÉ��æ�g�!�{�:�K�\�I���<�i�K�i�!�gÓ�cóK�n�cÉu�Iòi�f�:��ÇZ����g�}�i�\Å Ê$òi�:�KÇ��:Ó �MÁÒ�M���&�fòy�WöK�r�

ã�¯�®N¯)¸»¸¾¼i®=Õ â9ø��gc­/Ð�Ð�²/¬/¯ �¦´ ¬o¶ ¿ Âé²/¬/¯ · ¬B­HÆv³�¶ ¿ ¯��ÌÂé¯ ´ ¼ ´ ¶r¼ ¾ Æ�²�­<Ð â ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ö��( - or� Å ¶�¬�®B²�­{¼ · ¯ · ¾ ¯y²�ÍίB°�Æ@½ â ´ Ç�¯sÇ ï0é³¥ È tv�¥z�õÿÚ�� ³�²�Æo¶rÂv �~��ö ÇGû Å ¯B¼�° Å ¯S ´ Í ´ °¬/¯B°�²h³ �6´ ¬ÌÂé² ¿ ¶rÂvÂå½ ¿ ²�¼�¼�¯ ¿ °h¯ · Ç

�

Page 17: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Q � ¤��$¥����'§S� ��������U`�!§ ÌÓ�'¢G�5� ¨ ¢"��Í ¢�� ¤���§S� Ì §f΢�T §d¥��²��Ï� ÐÓÑ §d¢G�'§ST ¢"�àÍ ¢� ���8¥�� Ñ

�2XZY Ú|�+k�eEfD}o_!d q�xµa�dAd qÑR� : �<; : �;ü�ØF&�<��ËM���I�6ò{ÆiÇ��Nöc�:Ë{�Iòi�$�@?M�������:�i�����cÉC÷r�c�i�M�K�H�RÊ$ò<�iÇ������K��Ó�cÆi�_ɾ�KÇ�Æi�i�i�@����iÇ���˦���MÇ�Éa�c���GóKÇ��c�iÆi�x�}É��­�K�M�iËi�:Ë�óK�:�KÓ{����Ç�Å{�i���g�ió����KÓ{�d�cÉ��Iòi�G��Ëi�W�}�^ɾÇ��KÓ : ÂN <;üÁOá�nóK�ÃöK�G�)�:���<�è�oËi�'J���Ç��:�\��ÆiÇ��V�}Éu�}Év��òi�nÇ������i�Ã�W����òM�g�6ò �g�r���Z���KÓ{��x�WÅV�����gÓ{Æi�g��Ç:Á�y�iÇ����:�����EDc�8�I�6òCÁà±���oö ö �)����)�K�i�iËi��Ë�óK���KÓ�8�IÇOÅ����RÓ�c�i�Ãɾ�K�gËZ���KÇ�Ç��:��Æ)�K�iËM�g�ió{�I�¦��Ç���ÆiÇ��������H�

�I�}�I���K�{�cÉC�IòM��ɾ�i�iËi�cÓ���\�6�c��óKÇ��K�iÆ��}É���Æi�i�M���I�MÇ��:Ë����iÇOÉa�c�:�2� ö Á��M?V�:�����!�Iòi���:�i��Æi�t¾��É��}�<Å�z&�}ÉÖö ö �g�:�WöV���ió��M�$��Ó�c�i��ɾ�c�gË��Iòy�}�xòy�c�&�K�i�G�KÇ^�¸�x�õ���iËi��Á&à±�8��ö Ëi���i�c���ö ö Ó{�g�<�i���:�i��Æi�:ÁºÊ$òM�:�¦ö �g��%<�y�c���'�ä�g���cÓ�8�IÇ����{��� �Iòi�Z�i�M��öK��Ç����c�r�:�MÇ�öK� �=öK��Ç{�à±��Æi���6òi�Ã���¦Æi�}�Iò ���ºÊu���g�6òiÓ��i�g���:Çf��Æy�c���¦É¾Ç��KÓæ��òi���6ò �:�i��Æi��òy�WöK�Z�)�:�:� Ç��:Ó{�Nöc�:ËCÁÊ$òM�g�dÆi�}�Iò����d���:Ó{�'�R���M�y�i�Ã�I���KÇ��i�'�ä�g�M�y�M���I�f�c���:�KÇ�Ëi�g�Mó¦�c�ö �g���K�i�B�ä�:�iËM�:Ë �KÇ!�¸�x������iËi��ËCÁ^���'?��oÇ��8ɾ�:Ç��:�i�����i�i������öK�c�g�iÓ{�Gò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���d���MÇ�Éa�c����� ö Á.à±�8�f�ºËi�:�i�}�I��� öÓ{�g�<�i�����i��Æi��Á�Ê$òM�:� � ���.%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇ��g�G�I���IòM�õ÷r�WÅs�g��Å�óKÇ��cÆiò��cÉ R 4 t0��z7��òi���6ò���ät»ù�Ç��KÓ�=ö�z!ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�cÁ+Oæ���H? ���i�c���õ���iÇ�Éa�c���o�g�Cö �c�iË ��Ëi�:�\�I�ÃÉÿÅ�������Ã�Iòå�rÁÌ!�/� �g�s��D¦�}� � ) "öáÁ�à��8�S÷�� : ��wy��;v�)�o��óK�:�sËi�:���g�f����óKÓ���\�G�g� �rÁ2Oæ�"���y�/��ÎN÷�c�M�n�Iòi�����iË9ta��zG�cÉ "ö ��� óK�:�i��ÇI�}���õ�Iòi� ë ÕCØ'·s®NÛ'¯)¸a´»³ ¸a¼i°u°�·<®=ìI¸a´að�·º¿�·<¬ ��c���g���òi��ÆiÇ��s�cÉu�cÉuÊ$òi�:�KÇ��:Ó �MÁÃÂKÁÊ$òi���KÇ���Ó �MÁú�:�M���iÇ��:� �Iòy�½���Iòi��Ç�� �����ÞÇ��8�IÇ��c�����g�K�èɾÇ��KÓ "ö �I���Ã��òi���6ò

ËM�V���¦�i�c���g�i��Ç��W�}����Ëi�����I�c�i�:���ZÓo�i�6òCÁ ��Ç��KÓ �Iòi�����Ã��ɾ�K���g�/���{��òy�}�K� �g�Î%<�y�}���'������KÓ{����Ç����W�c����Åá�:Óo�)�:ËiËM�:Ë ���í"ö Á6�!���W�c���$�Iòy�}��ɾ�KÇ��IòM�����K�i����Ç��i�8�I���K� �cÉS�\�7�&��c�i��Å�Ç��s%<�i��Ç��n�IòM�fò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�:�Ã�RŦ�cÉ Þ� �}�iË��M�c�$�Iòy�½���cÉÃÞö ÁÌ!�<� ��É�÷��g�g���_�K�M������Ëi�$�n�p�cÇ�óK�x�i�c�g�M�c�­�c�M�.�d��?V�:Ë{Ç��8ɾ�:Ç��:�i���!Æ)�K���<������ �r�K�Iòi���

��� Ëi�V���S�{�g�ÿ"ö Áo�V���i�:�=�+���o%�ÁÒ�»Á���Óo�­��ËiËi��Ë ���ÿ"öá�C��òi�:Ç��õ�B?V�g�O�I���c� �cÓ��i�g���<�"öè�¸%<�y�c���góK���VËM�:����� P ��Ås���ió���� ���­�c�i�iËi��Ë �M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sË��cÉI�d���K���i�g�Mó�IòM�õ�:�iËH�Æ)�K���<�����}ÉI÷�Á!ÑäÉb� ö òy�cË��M�¦�:�i��Æi�:�C�c�d�����IòM���W�}����ɾ�KÇ!�:���K����Ë����MÇ�Éa�c���:�:�¥�x�o���K�i��Ë��ÓÓ{�:ËM�p�}���:��Å��:�K�M�:�g�MËi���Iòi�}��ɾ�KÇ��c�\Åæóc�:�sËi�:���g�����:óKÓ{�:�\��÷ �g� "� ö �ÃÅs�g�ió��K�M�I���gËi��g�cÇ�óc�!�i�c�g���&�}Ç��K�i�MË`�±�<�Iòi��Ç��d���x�Ì%<�y�c����óK�:�sËi�����g���g���ö ö ���K���i�g�Mó��Ã�I�^�:�iËiÆ)�K���<���r�c�MË�ÃÅs�g�ió�K�M�I���gËi�����p�}Ç�óK���y�c�g�v�cÇ��K�i�iËG� �g���ö ö ÁGÄ��/�&��öc�:Ç:�����g�i���"� ö òy�c�d���i��ÆM�:� "� ö�}�iË � �cÇ��ËM��J­�:Ç����\�WÁ��V�����g�Ã�����g�oÓ{�KÇ��=�&�KÇ�D �g���i���:�����I�}Ç�ÅKÁ��V�iÆMÆ­�K���¦�c���­�8ɾ�KÇ����òy�}�L÷����g���ZóK�:�sËi�����g�õ��� "� ö �ÃÅV���ióZ�K�M������Ëi���Z�p�cÇ�óK�o�y�c���_�cÇ��K�i�iËè�±Áo���cÇG�W�c�����cÉ�@?VÆ­�K�������g�K�K�&���}�����MÓ�n�Iòi�}�$�Iòi�����iËH�RÆ)�K���<���$�cÉ�÷c���g���G�K�M������Ëi���:�i��Æi�:Á&à±���+÷$) �

Â= 

Page 18: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�)���òi�¦óK���VËM�:���������6t¾��òi�¦Æy�½�IòH�äÓ�8�IÇ������K�cz& �1���K���i�g�Mó���òi�����cÓ�Æy�c��Ç��cÉ�Æ)�K���<���:ÁÊ$òM�:����J òi�KÇ��sËi����D<�:�¥÷��d�c�MËC÷���ÇI�c�yDZ�:�c�6ò��c��òi�:Ç�Á$÷x�K�M���IÇ��i����õ�}�!�)��ɾ�cÇ��c�)�c�MË����� P �)�d�}�Z�cÓo�i���:�\� "ö��¸%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�!��Ås�g�ióf�g�����)�K�i�iËM�:˦�i���góKò<�)�KÇ�òM�V�sË�}É9����c�g�i���ió���òi�¦���iËH�RÆ)�K���<�����cÉ+÷±Á�Ê$òM�:�C�.Ó{�VËi�M�g��òi�KÇ��c�y�c�g�����g���ö ö � P �g���:�f�K�M�I���gËi�� �p�cÇ�óK�Z�y�c�����cÇ��c�i�i˵�CÁÚà��8� P ���)����òi��ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g��� óK�:�sËi�:���g�o���K�g�M�g�ió �IòM�����iËÆ)�K���<���d�cÉ P ÁfôoJáòi�KÇ��K�y�c���g��� P �}�iË P �G�IÇ��c�yD��W�c�6ò �c��òi�:Ç�Á�Ä����i�:�}�±�rJæòM�KÇ��K�i�c�g���:�P �!���g���r�K�M�����gËM�n�p�cÇ�óK�G�y�c���g�x�c�­�c�M���±Á'Ê$òi��Æ)�K�g�\�I���½�2��òi�g�6ò P ���:�\���:Ç����c�iË ���W�WöK����Æy�cÇ����g���i�p�cÇ�òi�cÇ��K�y�}�g�±�Iòi��Ç��8ɾ�KÇ��o���g���K�M������Ëi���g�cÇ�óK�f�y�c���g���c�)�K�M���±ÁoFx�V�G�Iòi�����IòM�ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�r���:óKÓ{�:�\�����K���i�g�ió!�Iòi��Ó�Óo�M���.Ëi�G��òi�$�I�cÓ{�cÁuÊ$òi�g�'��òi�/���'�Iòy�}� P �.Óo�i����Ã�I���:��É)���g�r�K�V�I����Ëi���p�cÇ�óK�$�y�c���g�'�}Ç��K�i�MËÌ�±Áu�d�^�­�8ɾ�KÇ��2�&�!�:�K�i���g�iËM����òy�}�.�IòM�:Ç����@?M����������:�c�<���g�<�i�K�M���@?V���:�i���g�K���cÉv�Iòi�f�g�i���g�i���g�K� �cÉ "� ö ���<��� �ö ö ���{��òi���­�K�M�iËy�cÇOÅKÁxÊ$òM�Ç��:Ó�c�g�M�g�ióoÆi�cÇ��!�cÉv�Iòi���$�������I���K���y�:��òi�:�!�K�M���IòM�g���cÇ�óK�iÓ{�:�\�WÁ

�2X W �6_ÖehnMk�fmÜ7_m[]\^L_ÖacbLd7eZfZg9f k�\Oá�r��òy�c�g�<�)�rÇ���%<�i�gÇ��g�ió��:�:ÇO�6�c���oÆiÇ��KÆ­��Ç����g�:�u�cÉyò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���x��Æy�c�:���'Ó���<�i�uòM�KÇ��K�i�c�g���:ÁÊ$òM�:���è�&�:Ç����O�I�iËM�g�:Ë �\Å ���cÇ�� : ß�;r�i�MËi�:Ço��òi�Zó\�cÇ�� �cÉ2�È���g�:�8�IÇ��g�¦óK���KÓ{���IÇOÅ)Î�Á�Oá����KÓo�i���i�¦���cÇ��CÎÏ��Ç������i�Ã�I�Ì�����Iòº��öK��Ç������K�º�Iòi�}�o�����Ãt¾�����góKò\�föc�}Ç��p�}�<���cÉ�z���òi�:�KÇ��:ÓËM�i�n�I����=���i�g���:�>taÊ$òi���KÇ���Ó �MÁ�Â��cÉ : Â=��; z8Á

¨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«.é � Æy�}��ò ù ���8� Ô �I�Z�¦Æy�½�Iò�Ó{����Ç��g����Æy�}�:�=Ô ���n�c� �cÓ��i�g���<�ø� %s�i�c����óK�:�sËi�:���g�n�ÃÉÖ�&�fòy�WöK�

�.t�� z2Þ�Ù5�+t  zp¤àÙɾ�cÇG�c�\Å����i�i���:óKÓ{�:�\�� � ù 9 : ��wy��;'�}�iË �c�\Å�Æy�½�Iò  � : ��wy��;M� Ô �����Iò���òi�o���cÓ����iËiÆ)�K�g�\���:ÁÊ$òi��ɾ�K���g�/���g�ió�Ëi���y�M���I���K�i���cÇ����cËy�cÆV�I�:Ë É¾Ç��cÓ : ß<;¨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«.é à±���o� �)���{�:�K�\öc�B?�ò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g��Ó�c�i�Ãɾ�K�gËCÁ.à±�8�oÔ��)�f��òi���M�i�'�

öc�:Ç��I�c�y���Nöc�:Ç'�cÉ�� Ó{�g�<�i�_���i��Æi�^�c�MË�u �#"��Á ù �g�_���c�gËo���n�­�$�SÙ�� %<�y�c����óK�:�sËi�����g����èu þ´¾¬ ë ¯)²�¬�Ûv¼y³Nð�¬=®N¼y³Nð±´a«ÖÛ �Ãɤ ù ������Ù�� %<�y�c����óK�:�sËi�����g�n���èu¤ ù Ëi�s�:���i�}��Ç������iÇ�� �I��c�\ÅZòi�cÇ��K�y�}�g� Ù �½Éÿ�I�:Ç����W�Wös�g�ióõ�Ã�WÁ

¨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«.é ù �����I�c��Ë��I��­���c���cÓo�i���:�\�+Ù��¸%<�y�c���góK���VËi�����������CÔ þ´¾¬ ë ¯)²�¬Ûv¼y³Nð�¬=®N¼y³Nð±´a«ÖÛ ��ɤ ù �����c���cÓo�i���:�\�.Ù��¸%<�y�c���góK���VËM�:�������g��Ô

��

Page 19: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

¤kù ���'�K�M�I�c�g�i��ËoɾÇ��KÓ���Ù��¸%<�y�c���góK���VËi�������2�����IòM�K�M�.�y�c�yD\��ÇI�c�yD<�g�Mó����=u �\Å�Ç��:Æi�g�c�B����ióZ�W�}�6òæÓ��?V�gÓ�c�u���i�i���:óKÓ{�:�\�Ì�����Iò ���iËH�RÆ)�K���<���n�K�á� òM�KÇ��K��Æiòi��Ç��{�<Å ��%<�y�}���'�óc�:�sËi�:���g����Ås�g�Móõ�K�Z�Iòi�����MÇ�Éa�c�����cÉv�IòM�fòM�KÇ��K��Æiòi��Ç��cÁÌ!�c�I���Iòy�}��g� �IòM���c�)�=öK��ËM���y�i�Ã�I���K�C�I�&� �c���g�/�£�Iòi���­��òy�WöV���K�iÇ��I�á�­��%s�M���I�

�}Ç��i�Ã�IÇI�}Ç�Å��K��òi�KÇ��c��Æiòi��Ç����ot¾���g�M�:���'�i�:���gËi�:�c�=%s�i�c����óK�:�sËi�:���g���'Ó��WÅo�)�A%<�i�����2���g�gË�z½èòM�<�&��öc�:Ç����&��ËM�{�M�c�!�c�g���/�ß�����gËZ�)�:òy�Wös�g�K�MÇ$�rJ òi�KÇ��K�y�c���g�:ÁÔ�·V¹á¼i®Nð_é ôG�iÇrËM���y�i�Ã�I���K���cÉ ¶rÍ�® ´ ¯B¼�°�És­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ç ´ ° Å ²�­{°I®y¶ ¿! °¡ÆE¶ ¿! �´ ¼ ¾ ËM�V����M�c�!�c�g���/�è�õÆy�½�Iò �I�õɾ�K�g���/�è�õòi�cÇ��K��Æiòi�:Ç��nɾ�KÇ��{���K�ióõËi�����I�c�i�:�S���Ã�Iòi�K�V���:�\�I��Ç��g�Mó�Ã�WÁ_Ê$òM�g�x���r��Æ)�K���<�I��òi�:Ç��d�IòM�GËi���i�i�����g�K�Ëi��J­�:Ç��xɾÇ��KÓ���òi�G�i���y�c��ËM���y�i�Ã�I���K���cÉv�}��}Óo�i�g���\�A%s�i�c����óK�:�sËi�:���g�}Á

�#"Mt ± zI�����g�CËM�:�i�c���n�Iòi�%$+�R�M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sËZ�cÉv�Iòi������� ± Áà±�8�'&#�­�����g�s�W�}�g��Å��y�i���������K�g���:�����g�K���cÉ'òM�KÇ��K�i�c�g�������������K�\öK�B? ���i�i�����Su �}É�( ÿtv��òi�:Ç��f��òi�f�g�\�I��Ç����������g�K���cÉ��{òi�cÇ��K�y�}�g�ü�{��òi�g�6ò�Ó�������+}�u �g���{Æ)�K���<�:��������ò�u �g��:�c�g���:Ë ��òi�KÇ��K�y�c�����g�èu&zkÁ'Ê$òi�nɾ�K�g���/���g�ió���òi�:�cÇ��:Ó ���$Ëi�i�n�I����W���i���g�:� : Â=��;»Áê�ë ·<¯�®N·s¹ úNøa©Uêm�Kj�ë2ò9¯B° ù �(�ä�ñu)� ¶ & �+* ®B¯S¶r¼8¶rÍ�® ´ ¯B¼�° Ù ÄZÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿³�²�Æ`¶ ¿ ²�¼�Êr¯EËK¬B­�®B¬/¯B° u ²h³ ( ÿ ¶r¼ · Âé¯B° & · ¯B¼�²�°¸¯ä¶ ¿ ²�ÂvÂé¯ ¿ ° ´ ²�¼ ²h³ Å ²�Æy²r®y¶rÂvÂë¬sÇSòÖ¯B°, ®B¯=° Å ¯ Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ç ´ ° Å ° Å ¯�¬s¶rÍίίB¼ · Ð�² ´ ¼�°v¬�¶�¬ ù ÇKò9¯B° &µt , z ®B¯=° Å ¯­{¼ ´ ²�¼ß²h³�¶rÂvÂ�° Å ¯ Å ²�Æ�²r®y¶rÂvÂë¬ ´ ¼ & Íίy¯B° ´ ¼ ¾-, Çóû Å ¯B¼ , 1 &µt , z�´ ¬z» ­H¼ ´ ³�²�Æ@ÍäÂå½J¼És­�¶�¬ ´À¿ ²�¼�Êr¯EËK¶r¼ · ù t.��z#)��'"�t , 1 &µt , z�z â ç Å ¯BÆ�¯ $ · ¯¸Ð�¯B¼ · ¬�²�¼�Âå½K²�¼ Ù Ç

Ê$òi���KÇ���Ó �VÁÃÂõ�g�G���gÓ{�g�g�cÇ����/���WöK�K�MÇG�I�Z�:��Ç��I�c�g����òi�:�KÇ��:Ó{���c�)�K�M�nÇ��:�p�½�I��öc�oò\Å��Æ)�:Ç��­�c�g�g�����RÅ ¶CÂ'¶ ùnÇ��KÓ{�=ö : ÂKÂs;»�'���cÇ�� : ß�;r�c�MË)Fx�/��Ëi�����6ò : ñ ;»Á~Oá��óK�ÃöK�¦�)�:���/�£�Ç��:�g�}�I��Ë ��òi�:�cÇ��:Ó ��òy�}�����nËi�:Ç���öK��ËáɾÇ��KÓ ���cÇ��CÎÒ� �ëFx�K�i�MËi�:ËáÄ��KÇ��K��ÆMòi�:Ç���Ív�:�i�8�IÇI�<����g�K��ÎiÆiÇ��cÆ­��Ç��RÅKÁà±��� ù 4 � �³i��)�G��ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�+Ù��¸%<�y�c���góK���VËi�������+������òi�K�M�&�y�c�yD\��ÇI�c�yD<�g�Móõ���6�}Ç��E����ióZɾÇ��KÓ � òi�KÇ��K�y�c��� Ù10 �c�iË �:�iËM�g�ió�������òi�g�ÿta�KÇ��K��z��µ·r´ 2 ¯BÆ�¯B¼�° òi�KÇ��K�y�c��� Ù43 Á

à±�8� ù � : ��wy��;r�)�¦�IòM�¦ò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�óK�:�sËi�����g��Ó���i�gÓ{�g���g�ió Ëi�����6�}�i�:�¦�)���¸�&�:��� Ù50�}�iË Ù-3 Á��y�K�g���<�����ió : ß�;9�x��Æi�M�!�Iòi�L�:��Ç���Ó{����Ç����f�c���IòM��òi�cÇ��K�y�}�g�g�r��òy�}� ù Æ)�:�i�@���ÇI�}���:��Á�Ê$òi�rÇ��:���i���I�c�\�'Æi�����iËi���äÓ�8�IÇ��g�^�g���:�c�g���:Ëf�Iòi�r���g�����IÇ��g�^Ó�8�IÇ��g�cÁuà±��� îù �c�MË �ù 4ËM�:�i�c���f��òi�fÆy�}�IòM��Ç��:ÆiÇ��:�����\�I�:Ë��<Å ù �}�iË ù 4 Ç��:��Æ­��������öK����Å ������òi�g��Æi���:�iËi�cÓ�8�IÇ����cÁÑä�o�g����òi�/��� �g� : ß�;x��òy�}� ù � îù �c�iË �ù 4 òy�Wöc�Z���gÓ{�g�g�cÇ��g�\�I��Ç����:�����g�K� Æi�}�����:Ç��M�`������òòM�KÇ��K�i�c�g���:�M�»ÁÒ�}Á_�Iòi��Ç����B?V�����I�¾T2�����i�6ò��Iòy�½�¤ ÂõÑäÉ^�K�M��Å��K�i�õ�cÉ ù �c�iË �ù 4 Æ­���i����ÇI�}���:�f�¦òi�KÇ��K�y�c��� Ù ���Iòi��� ���n�:�c� Ëi� ���¦É¾�KÇG�ËM�g���I�c�i����ÞUT2�:Á¤ �{ÑäÉ&�)�c��ò �ù 4 �c�iË ù �:�\�I��Ç�ta�KÇ��g�:�=öc�/zd�¦òM�KÇ��K�i�c�g� Ù ��òi�:� ��òi�:��Çd�:�\��Ç�Å)t¾�KÇd�@?V���@z

ÂWß

Page 20: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Æ)�K���<���{�cÇ����}��áËi�����I�c�i�:���cÉG�}��Ó{�K�O� T2�{ɾÇ��KÓ �W�c�6òÞ�}�Iòi��Ç:Á : Ä���Ç����\Å �Ò�:�\�IÇOÅ)Ît¾Ç�����ÆCÁ��Ò�B?V���:Î zfÆ­�K���\�o�cÉ!�~%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�Î�&�¦Ó{�W�c� ��Æ)�K���<���}����òM�g�6òº�IòM�¦Æy�}��ò�Z�������6òi�:�GɾÇ��KÓ �­���g�ió�g����òi�o�:�cÓÆi���:Ó{�:�\���cÉ.�KÇ��Ò�K�M������Ëi�cÎMtaÇ��:��Æ�Án�g����òi�o���<���:Ç��g�KÇ�}É��KÇk�Ò�g�M���gËM�cÎëzr�{���g�K���:Ë òi�KÇ��K�y�c�����I���)�:�g�Mó{���i����Ëi��taÇ��:��ÆCÁ.�K�M�I���gËi��zr����;»ÁÊ$òM�dÆ)�K�g�\�.�I���K�i����Ç�öc�Gòi�:Ç��d���.��òy�}�I%<�y�c����óK�:�sËi�����g���I���Ã�Iòi�K�V�x�y�}�yD<��ÇI�c�yD<���ióo�g�{�K�iÇËM���y�i�Ã�I���K��óK�ÃöK�:�nÇ��g�����I��%<�y�c���góK���VËi�������:�o������òi�K�M�d�y�c�yD\�IÇ��c�yD<�g�ió��g���)�}Ç��CÎÏ�n�����i���}Á�s�g�i������òi�g���g���IÇ��i� ɾ�KÇ{�cÇ��i�Ã�IÇ��cÇ�Å ù 4 �x��óK��öc���)�:���/� � ���g��óKò\��O�IÇ��:�ióc��òi�:�M�g�ióá�cÉ��òi�g�oÉa�}���WÁ �y�iÇO�Iòi��Ç:�&�<ź�K�iÇõ�:�c�i����Ç��i�8�I�g�c� �cÉd�cÓo�M�g�:�\�=%<�y�c���góK���VËM�:�����:�ä������òi�K�M��i�c�yD\�IÇI�}�yDs���iói�{�x�nÓ{�góKò\�C���i�O�$�c�7�&�:���­���K�i���gËi��Çr�cÓo�M�g�:�\�7%s�i�c����óK�:�sËi�:���g���I������òi�K�M��i�c�yD\�IÇI�}�yDs���ió{�g� Æi�p�}�:�n�cÉM%s�i�c����óK�:�sËi�:���g���:Áê�ë ·<¯�®N·s¹ úNø�µyê76�ë þ ´ Êr¯B¼ T õ � â ° Å ¯BÆ�¯ä¯EË ´ ¬B°v¬ T2� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ´ ³¤  ¯ ´ ° Å ¯BÆ�°�ç7²ÎÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬oç ´ ° Å ²�­{°7®y¶ ¿! °¡ÆE¶ ¿! �´ ¼ ¾�ù 4 w ù * ´ ¼ u â98;:¤ � °¡ç7²Î¶rÍ�® ´ ¯B¼�°IÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬Sç ´ ° Å ²�­H°2®y¶ ¿! °¡ÆE¶ ¿! �´ ¼ ¾4ù 4 w ù * ´ ¼ Ô â98;:¤ � ù 4 Ä7¶r¼C¶rÍ�® ´ ¯B¼�°�És­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ç ´ ° Å ²�­H°�®y¶ ¿! °¡ÆE¶ ¿! �´ ¼ ¾ ´ ¼ Ô ¶r¼ · ù * Ä2¶=És­�¶�¬ ´ ľ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ç ´ ° Å ²�­{°2®y¶ ¿! °�ÆE¶ ¿! �´ ¼ ¾ ´ ¼ u â¬B°À¶rÆ@°2¶r¼ · ¯B¼ ·

¤  ¯ ´ ° Å ¯BÆ�²�¼Æ»E²�ÆSç ´ ° Å ´ ¼_¼=° Å ¯S¬s¶rÍί Å ²�Æ�²r®y¶rÂv 8;:¤ � ¶ ·r´ ¬B° ¶r¼ ¿ ¯ T ³@Æ�²�Í ¯�¶ ¿ Å ²�° Å ¯BÆ° Å ¯B¼ ° Å ¯B½ Å ¶rÊr¯G¬ ´ Í ´ Â'¶rÆ ´ ¼�°h¯BÆ�¬/¯ ¿ ° ´ ²�¼&Ð�¶r°�°h¯BÆ@¼�¬8ç ´ ° Å Å ²�Æ�²r®y¶rÂvÂë¬å»E¯EË ¿ ¯¸Ð�°7Ð�²/¬y¬ ´ ®sÂå½° Å ¯VüVÆ�¬B°2¶r¼ · Â'¶�¬B°A²�¼�¯y¬m¼ â ´ Ç�¯sÇ.° Å ¯BÆ�¯ä¯EË ´ ¬B°v¬ T2� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°¤ Â á ³=²�¼�Âå½ ù 4 Ð�¯B¼�¯B°�Æ�¶r°¸¯y¬�²�Æ`°�Æ�¶rÊr¯BÂë¬ä¶rÂé²�¼ ¾ ° Å ¯ä®B²�­{¼ · ¶rÆB½8²h³ä¶ Å ²�Æ�²r®y¶rÂvÂ�Ù â ° Å ¯B¼´ ° ¿ ¶r¼ · ²ä¬/²�³�²�ÆL¶ ·r´ ¬B°À¶r¼ ¿ ¯ ÞUT2� Ǥ � á ³`®B²�° Å-ù 4 ¶r¼ · ù * ¯B¼�°¸¯BÆ »E²�ÆÌÂé¯�¶rÊr¯m¼K¶ Å ²�Æy²r®y¶rÂvÂ�Ù ° Å ¯B¼&° Å ¯ ´ Æä¯B¼�°�ÆB½S»E²�Æ=¯EË ´ °®¼Ð�² ´ ¼�°v¬L¶rÆ�¯`¶r°7¶ ·r´ ¬B° ¶r¼ ¿ ¯�²h³�¶r°IÍβ/¬B° T2� ³@Æ�²�Í#¯�¶ ¿ Å ²�° Å ¯BÆsÇ

�2XL¢ [jd�a�d=<�n3�!bSfZ_£}7k�~|�on�q�fIÙ�_Öd7tS_9q�fhgpq�,��Æ­���:�g�c�pD<�g�iË �cÉ %<�y�c����óK�:�sËi�����g�o���Ã�Iòi�c�M���y�c�yD��ä��ÇI�c�yD<���ióä���g�g�­�­���i���:�����I�}Ç�ÅKÁVOá��O�6�cÇO����Ã�Iò��ò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�fóK�:�sËi�����g��÷ ö ��� � ö ÁG�u�'?���M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sË��}É'�Iòi���:�i��Æi�����Éÿ���g�ióæ��� �}�û��%s�M��ö}�cÇ��g�c�\�ZÉa�cÓ{�g��Å �cÉ�òi�KÇ��c�y�c�g���¦�g�Ú�IòM� �M�i��öc�:Ç����c���:�=öK��Ç�( * �"� ö Ád�V�g�M�:�ä÷ ö �g�d�ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����óK���VËM�:��������� "� ö �IòM�:Ç��o�cÇ����i�i�é%<�i���:�\�IÇOÅ��c�MË��B?V���Æ)�K���<���'ɾ�KÇ.�W�c�6ò¦òM�KÇ��K�i�c�g�M��òy�}�2÷ ö Ó�������x�c�MË�òi���i�:���i�i�é%<�i�9�'�i�:���gËi�:�c�{óK�:�sËi�:���g������c�g�i���ió���òi�:Ó#�K�º�IòM�¦�:�KÇ�Ç�����Æ)�K�iËi���ió òi�KÇ��K��ÆiòM�:Ç��}Á>���:ÆM�p�c���g�ió��Iòi�¦���:óKÓ{�:�\���õ�cÉ÷ ö ��Ås���ióæ���i����Ëi� ± �äòi�KÇ��K�y�c���g�{�<Å1�IòM���:�KÇ�Ç�����Æ)�K�iËi���ió>�'�i�:���gËi�:�c�ÞóK���VËi�������:�:�A�&�

�}�

Page 21: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�c�M�6�c��� �c� �cÓo�i���:�\�S%<�y�c���góK���VËM�:������÷á�g� ��&���c���Z���K�i����%<�i�:�i�����cÉ&Ê$òi���KÇ���Ó �VÁÃÂt»�V�:��÷x�KÇ��K�g�g�cÇ�Ŧ�VÁÒ���c�iË �yóK�iÇ��f�)�:���/�+zB�

¸L²�Æ�²�ÄZ¶rÍ�® ´ ¯B¼�°IÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬

��Óo�i�g���\��%<�y�c���góK���VËi�������:���c�M�6�c���i�:Ëá�\Å ��òi�g�LD<�g�iËá�cÉ������K�i�O�IÇ��M���I���K�>�����g�.�­����:Ç�Ó��Ë ë ¯�®N¯iìI¼i¹ Ûu´¾·V«)¬àºC²v¼i¿W´�Û�·<¯±°�·s¿W´»³\¿ �I�æËM�g�����g�ióc�i�g��ò1��òi�:Ó É¾Ç��KÓ ¯BÂé¯ ¿ °�Æ�²�ĶrÍ�® ´ ¯B¼�°IÉs­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬ Ëi���y�M�:Ë��:�cÇ����g��Ç:ÁÊ$òi��ɾ�K���g�/���g�ióõ÷x�KÇ��K���p�cÇOÅ��}É�Ê$òi���KÇ���Ó �VÁÃÂ$���M���I�Ã�y�:�$��òi�n�I�:Ç�Ó���i�K���KócÅKÁã�¯�®N¯)¸»¸¾¼i®=Õ úNøgÀ û Å ¯BÆ�¯=¯EË ´ ¬B°v¬ ÙCw�Ú â ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°A¶r¼�½ Å ²�Æy²�ÄZ¶rÍ�® ´ ¯B¼�°7És­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿´ ¼ Ô#´ ¬ ´ ¼ · ¯y¯ · ¶ ÙCwyÚ ¶rÍ�® ´ ¯B¼�°2És­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿S´ ¼ Ô Ç

¶f®N¯C¯�ÖIé à±��� : �cw��y; öæ�)� �1ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g� óK���VËi������� ���,u ���K���i�g�Mó)�cw��N�+��òi�:Ç��>��wy����g� �K�M������Ëi��òM�KÇ��K�i�c�g���:ÁÚà±��� : ��wy��; ö@? �)����òi��òi�cÇ����R�cÓo�i���:�\��%s�i�c����óK�:�sËi�:���g���g� Ô���c�g�i���ió���wy�=ÁZà±��� : ��wy��;�?��­���Iòi��cÓo�M�g�:�\��óK���VËM�:��������>Ô ���K���i�g�Mó���wy�=ÁÊ$òi�:�º�\ÅÊ$òM�:�KÇ��:Ó �sÁ�ÂK� �IòM�:Ç����B?V�g�O�I�$Ó\ �M�����i�6ò �Iòy�½� : �cw��y;�?f�g�g������� �c�5$+�ä�i�:��óKò<�­�cÇ�òi�s�VË�}É : ��wy��; ö 1 &µt , z8Á�Í'Ç��½������� : ��wy��;�?��K�\��� : ��wy��; ö 1 &µt , z��M���g�Mó��IòM���i�:�cÇ������õÆ)�K�g�\�ÆMÇ��½�������I���K� �g�Ãu Á)���:Ó{�=öV���ió �Iòi� �y�}�yD��ü�IÇ��c�yD<�g�ióK�{�g�MËi�i�:��ËC�V�x��óK���{���KÓ��ÙCw�ÚËM�:Æ)�:�iËi���ió �K�A$����i�6ò ��òy�}�o��òi� �gÓ�cóK��g���c�1�cÓo�M�g�:�\�ä%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�K������òi�K�M��i�c�yD\�IÇI�}�yDs���ió¦�����K�MÇ����:�i���cÁn÷x���W�cÇ���Åc�y���i�6ò �c���cÓo�i���:�\�+%s�i�c����óK�:�sËi�:���g�f�:�K���i�:��Ëi�:����Ã�Iò : ��wy��; öB?õ�rJ òi�KÇ��K�y�c���g�#&µt , zkÁ��s�g�i���{��òi���g�\�I��Ç�Æ)�K�p�}���g�ió����:ócÓ���<������� : ��wy��;ªöB?�c���}�<Å òM�KÇ��K�i�c�g�­�g�C&µt , zr�cÇ��%�'�i���g�gËM�W�c� ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ¬ �V��òi��Ç������i�Ã�$ɾ�K�g���<����Á7�

�sÂ

Page 22: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�2X Ö r�a�_Ö_9q¦dbqCl+^on�gp_9qOá�A�r�c�\�&�I���yÇ��O�x��òi�/�í�Iòy�}�.��òi���M�i��öc�:Ç����c�)�:�=öK��Çx�cÉNö ö Ó{�g�<�i� ± �ä�:�i��Æi�x����%<�y�}���'������KÓ{����Ç����d�I�{�o�IÇ��:���cÉuò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�nÓ{����Ç��g�n��Æy�c���:�:Áà±���¾ç ö �)�f�����gÓ{Æi��ÅËi��óK�:�i��ÇI�}�����:�iË��cÉMö ö Á'Ê$òi�:�cç ö �g�$òi�cÓ���KÓ�cÇ�Æiòi�������

� ö 8 : �Hw@�6zuɾ�KÇ'���cÓ�����MÇ�Éa�c����� ö �cÉ��M�:ó\�}����öc�9�'�i���:Ç.�6òy�cÇ��c�����:Ç��g�����g�}Á'÷x�M���I�g�Mó��rJZ��M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sËZ�cÉv�Iòi�����i��Æi�!�cɲ� ö �&��óK�����õ���iÇOÉa�c�:�S���Ã�Iò �­�c�i�iËy�cÇOÅZËi���i�c�I��Ë��c��rÁ.à±���¾ç Ëi���i�c���nç ö Ó{�g�<�i���õ�i���góKò<�)�KÇ�òi�s�sËZ�cÉ���òi� ± �R���i��ÆM�:ÁVOæ�f�c�����iÓ{�n�Iòy�}��:�c�6ò ± �ä�:�i��Æ�òy�c�!�Iòi�����I�c�iËy�cÇ�Ë�ɾ�KÇ�Ó �:�KÓ{�g�ió�ɾÇ��cÓ �G%<�i�c���g�:�\�d�cÉ.�òM�KÇ��K�i�c�g���g�(.-�<Å ± Áo�d�����i�¥�x����òi�c�g���I�rDc���K�MÇnÆi�g�:�}�I��Ë ���iÇ�Éa�}�:�:�n�����)�õ���M�6ò ��òy�}�n�IòM�{Æi�c�gÇt0�Mwy @�������<zn�g��Ó��cÆMÆ­��Ëæ�I����òi��Æi�c�gÇKt0çGw� B�¥�����<znɾ�cÇ��:�c�6ò Æi�g�:�}�I��ËÆ� ö Á~Oá����òi�c�g��M�<�Ú��òi�/�í�Iòy�½�x�:�c�6ò ç ���V%s�i�c��� �R�g���KÓ{���IÇ��g�r���o��Ç��WÅ�}ÉCò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����Ó{����Ç��g����Æy�c�:������}�I����ÉÿÅs�g�Móo�Iòi�S%��R�­�:Óo�)�:ËMËi�:Ë��:�K�MËi�����g�K�CÁD�^�}�6ò���ËióK���c�MË öc�:ÇO�I�B?Z��Æy�c���S���g�g�)�)������KÆ\Å��cÉ= �í�c�MË��Iòi�o��ËióK������öK��Ç����B? ��Æy�c���õ�g�i���g�i���g�K�i�!��òi�c�g�u�­�L%s�i�c��� �R�g���KÓ{���IÇ��g���:ÁÌ!�c�I���Iòi�}���:�c�6ò« �è�W�}�æ�)��IòM�K�ióKò\���cÉ��c�������KÆ\Åæ�cÉ7( * Ó{�g�<�i�f�c�æ�s%<�i��ö}�cÇ��p�c�\�Éa�}Ó����Åõ�cÉ�òM�KÇ��sËi�g�ED<�:Á'Ê$òi�Gɾ�K���g�/���g�Mó�à±�:Ó{Ó�c�r�cÇ��GóK���i�:Ç��c�g���I�}���g�K�i�.�I��Æi�i�i�8�I�iÇ��:Ë���iÇ�Éa�}�:�:�!�cÉ�à±�:Ó{Ó��c� ñ Á �V� ñ ÁÈ�V� ñ Á ñ ÁÜ.·s¹º¹æ¼áúNøBâðêL·>��ë~û Å ¯BÆ�¯Î¯EË ´ ¬B°v¬2ì 4 õ � ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°N³�²�Æä¶rÂv �)�Ãç â ° Å ¯BÆ�¯Î¯EË ´ ¬B°v¬¶8Ð�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯ � �StL� ö w�í9zÎ� ç ö ç ´ ° Åå� t0��z Á �kî¯GBt��¥z��� ï Ç6ªÂë¬/² � Í�¶BÐ�¬t0�Mwy @�������<z °h² t,çGwy @�¥�����<z ÇÜ.·s¹º¹æ¼áúNø�úyê�j�ë â êL·>�Dë)û Å ¯BÆy¯Ò¯EË ´ ¬B°v¬ ì * õ � ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ´ ³ � �LtL�

ö w�ípz�� ö ö´ ¬C¶�Ð�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­HÆv³�¶ ¿ ¯ â ° Å ¯B¼�° Å ¯ ·r´ ¶rÍίB°¸¯BÆ�²h³8° Å ¯ ´ Í�¶ ¾ ¯&²h³ �Ï´ ¬C®B²�­H¼ · ¯ · â ´ Ç�¯sÇx�ïÀ�¥t � tL�Vz�z7� ì * ÇÊ$òi��ɾ�K���g�/���g�ióoà���ÓÓ�oËi�i�n���{Ê$ò<�iÇ������K�Ãt¾Ê$òi�:�KÇ��:Ó{�dßVÁ �õ�c�iË�ßMÁ� MÁÃÂ��cÉ : �VÂ�; z

�}�iË����g�i�ED<Å :  ñ ;±É¾�K�g���<���&ɾÇ��KÓ �:�KÓ{Æy�c�8�I�i�����!�cÉ�ÆM�g�W�½�I�:Ë ���iÇ�Éa�c���:��ÁÜ.·s¹º¹æ¼áúNø��yêm�òñóë � ´ Ë � ö ¶r¼ ·èÚÎõ£� Ç þ ´ Êr¯B¼ � õ£� ° Å ¯BÆy¯�¯EË ´ ¬B°v¬ ��õ£� ¬B­ ¿ Å° Å ¶r° ´ ³ � ��t0� ö w�í9zV� ç ö ¶r¼ ·�ô���tL� ö w�æ{zV� ç ö ¶rÆ�¯ Å ²�Íβ�°¸²yÐ ´À¿ Ð�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯y¬ç Å ´À¿ Å ¶rÆy¯ ´ ¬/²�Íβ�Æ Ð Å ´ ¬BÍ`¬Ì²�¼úR 4 ¶r¼ ·nç

ö ´ ¬`²h³L®B²�­H¼ · ¯ · ¾ ¯y²�ÍίB°�Æ@½ â ° Å ¯B¼

xFE�t � tL�VzBwJôÖt0�Vz�zIÞ�� ^ x_õO60¬å¢(öØt(í�w�æ{z2Þ,� âç Å ¯BÆ�¯ x_õO60¬ ¢,öè· ¯B¼�²�°h¯y¬èû�¯ ´À¿ Å Íä­HÂvÂé¯BÆ ·r´ ¬B° ¶r¼ ¿ ¯sÇ

�c�

Page 23: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

ÑR� :  ñ ;d�æ��Æ­���:�p�}�g�g���}�I���K� �cÉn�IòM�g�{���6�½�I�:Ó{�:�\�Z���ÆMÇ��=öK���Úɾ�cÇ���g�K���:ËÞ���iÇ�Éa�c���:��ÁÄ!�/�x�8öK�:Ç�����òi��Ó�c�g� �g�ióKÇ��:Ëi���:�\�W���ºÊ$òM�:�KÇ��:Ó ËM�i���I�æÊ$òs�MÇ������K�Ú�g����6�½�I�:Ë �c�MËÆMÇ��=öK�����g� : �sÂ�;7taÊ$òi���KÇ���Ó��ßMÁÈ��c�MË�ßMÁ� MÁÃÂ���G ¶r ¾ ¯s®sÆE¶ ´À¿  ´ Í ´ ° ´ ¬ ¾ ¯y²�ÍίB°�Æ ´À¿  ´ Í ´ ° G zɾ�cÇ��i�i�������cÇ��W�{���iÇOÉa�c�:���:Á�Ê$òi�o�}Ç�óK�iÓ{�:�\����óK�ÃöK�����\Å����g�i�ED\Å����ÆMÇ��=öK����òi���c�­�=öc�à±��ÓÓ�¦É¾Ç��KÓ Ê$ò<�iÇ������K�CÎÏ��Ê$òi���KÇ���Ó�Kt»à±�:Ó{Ó�� ñ Á �V��÷x�KÇ��K�g�g�cÇ�Å ñ Áë ��c�iËáà±�:Ó{Ó��ñ Á  o�cÉ :  ñ ;vzxóc����òiÇ��c�ióKò������IòZöc�:Ç�Å �������I�g���6òy�c�ióc�fɾ�KÇ$���iÇ�Éa�}�:�:�!�cÉv�y�i�Ã�I���cÇ��W�MÁã�¯)«u¿8¬=®½²u³c¬N´¾¯)« ¯�Ö�·Hº�²u´a¿:Øv¼y³K·s°ÞØ�¸¾·<¼M¬=·s°í¿W²�®½Öü¼y³K·s¿{·�»�´ÿ¬N´a«ÖÛ ¬ ë ·�·s«u°

Oá�x�M�B?s�'�:�c�i����Ç��i�8�'�d���s%<�i�:�M�:�$�cÉ ·{ºC²v´a¿:Øu¼i³K·V° Æi�g�:�}�I��Ë����iÇ�Éa�c���:�3� ö t�ï¸z�)Uç ö �@?Ø��Ã�I���ión�Iòi���:�iËZ�}�x�)��ɾ�KÇ��cÁ_�������MÓ�!�Iòy�}��� ö t»��z@wóýþýþý wF� ö t,éNz.òi�=öc�G�)�:�:���:�K�i�O�IÇ��i�����:Ë���i�6ò���òy�}�s�

ÂKÁ¾�.t�ï¸z@wy B�¥�����n�g�$Ó�cÆiÆ)�:Ë �I�-çGw� B�¥�����

�VÁ�ÑäÉkçÎt�ï¸zo�)�Z�Iòi� �:�cÓÆ)�K�i���<�{�cÉ�çH�*�At�ï¸z�ɾ�KÇ���òi���6ò|çÎt�ï zõ���õ�i�K�H�ä�:�KÓ{Æy�c�8�W��Iòi���S�At�ï�¤ÚÂ<z�)UçKt�ï¸z8Á

�MÁ!Äd�c�i��Ëi�KÇZJ,Ëi�g�O�6�c�M�:���)���¸�&�:���y�At�ï z��c�iË¿�At�ïV¤�Â<z������)�K�i�iËi��Ëè�}�­�=öK� �\Å��t ì 4 ¤ ì * z8Á

ñ Á.xFE�tL�At�ï zBwF�At�ï�¤ÚÂ<z�z#\ ì 4 ¤ ì * Á

�VÁ!��Ç��KÓ à±�:Ó{Ó�� ñ Á ñ �c�iËæ�:�K�iËM���I���K�6t»��z��c�­�=öc���Iòi��Ç��¦�@?V�g����� ì - Ëi��Æ­���iËi�g�Mó�K� ì 4 � ì * �c�iË$�1���i�6ò���òy�}�+x_õO60¬å¢(ö�t0�At�ï¸z@wF�At�ï�¤ÚÂ<z�z7Þ ì -

Ì!�B?s� �6òi�s�K���~�«�sçÎt,épzk�����i�6òí�Iòi�}��x(EVt��9wJ�ûÿ�z�� ��t ì 4 ¤ ì * zkÁ Ê$òi��� �\Åà±��ÓÓ�í�VÁ ñ ����òi�:Ç�� �B?V�g�O�I� �íÆi�g�:�}�I��Ë,���iÇOÉa�c�:� � ��t0� ö w��cz � ç ö ���i�6ò �Iòy�}�x(EVtv�9w � tL�VzZzèÞ ì 4 Ááà±���-� ö t(é�¤ Â<zõ� � t0� ö z8Á Ê$òi�:�1�\Åæ��òi�¦�IÇ��p�c�ióc�g�{�g�i��%s�i�c�'��Ã�RÅZ�c�MË�à±�:Ó{Ó���VÁ �s�i��É��8�z�.t(épzr�c�MËci��5�.t(é�¤ Â<zk�

ì 4 ¤ ì * Þ�x(EVtå�pw�irz7Þ ��t ì 4 ¤ ì * zkÁÊ$òi���d�}�g�g�/�����i�!�I�����K�\�I���s�M�����iËi�i�8�I��öc�:�ÃÅKÁf�At�ï z����KÇ�Ç��:��Æ)�K�iËM���I���{Æ)�K���<�.��¬u�cÉ

�¾1�ïÀ òô9tL�VzkÁJIc�K�g�i���ióo�IòM����¬äÎÒ���g� �KÇ�Ëi�:Ç��i�K�i��óK�8�I�!�{à���Æi���6òM�����nÆi�}�Iò��g���¾1�ï   ô9tL�Vz8Á

�}�

Page 24: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

¨ ·�©_«v´ÿ¬N´a¯)«.é � ���s%<�i���i�:���cÉdÆM�g�W�½�I�:Ë1���MÇ�Éa�c���:�����}�I����ÉÿÅs�g�Mó ���K�iËi�Ã�I���K�i�8tOÂB�O��z�}�­�=öK�ä�����g�v�­�õ�:�c�g���:Ë �c� ·{ºC²v´»¿�Øu¼y³K·s°,¿:·{ºC²�·s«u³K· ¯�Ö�Øu¸a·<¼M¬=·s°,¿W²�®NÖä¼y³K·s¿ ÁoÊ$òM����KÇ�Ç��:��Æ­�K�MËi�g�ió����s%<�i�:�M�:�d�}É.�At�ï z�)Uç$���g�g�V�­���:�c�g���:Ë��c� ·{ºC²v´»¿:Øv¼y³K·s° ¿:·{ºC²�·s«u³K·¯�Ö�¬=®½²u«v³K¼M¬=·s° Øu¸¾·s¼V¬=·s°í¿W²v®NÖä¼i³K·V¿

�.�c�6ò-�At�ï z��)�:���ió!�:�KÓ{Æy�c�8��tv�����Iò��KÇ9�����IòM�K�M�u�­�K�M�iËy�cÇOÅ�zk�'��At�ï zv���u�!ò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�Ó{����Ç������Æy�c�:�}Á~Oá�¦�W�c�á�Iòi����D �cÉ$�Iòi��i�i�ÃöK�:Ç��I�c�&�:�=öK��Ç, ç��cÉQç �c���)�:���ió~%<�y�}���'������KÓ{����Ç������I�{�õÇI�WÅ+� �cÉvò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���nÓ�8�IÇ����G��Æi�c�:���!�\ÅZ�������I�g�Mó"�í� : ��w@�6z8�{������òöc�:ÇO�I�B?á�����LK��Ï�úé6�;é�� ¦71 �¦�Ò�8�<�u��ËióK�����8�LMÚ� � : éè§íÂ�w�é�;��;é6� ¦ �<�u"ÿ��ON�.t(épz.��u�P ÿ ' 4 ? ÿRQ Á.�y�iÇO�Iòi��Ç:�i�\Ŧà���ÓÓ���VÁ� ��Iòi���x�IÇ��:�n�cÉvò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���GÓ{���IÇ��g���Æy�c���:���I�}���g�O�y�:����òi�è%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç����W�c����Å���Óo�)�:ËiËi��Ë �:�K�iËM���I���K�CÁCOá�¦òy�WöK�Z��òs�M���òi�/���Ü.·s¹º¹æ¼áúNø � á ³ ç ö ®B¯¶Ì¬ ´ ÍÐ�Âå½ · ¯ ¾ ¯B¼�¯BÆE¶r°¸¯S¯B¼ · ²h³+¶ Å ½@Ð�¯BÆ�®B²� ´À¿ j�Í�¶r¼ ´ ³�²� ·.ö öç ´ ° Å ®B²�­{¼ · ¯ · ¾ ¯y²�ÍίB°¡Æ@½ â ° Å ¯B¼G° Å ¯BÆ�¯ ´ ¬.¶S¬/¯�És­�¯B¼ ¿ ¯.²h³+¯�És­ ´ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯ · Ð�Âé¯�¶r°¸¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯y¬¯EË ´ ° ´ ¼ ¾ ç ö ¶r¼ · Å ¯B¼ ¿ ¯+¶S¬/¯�És­c¯B¼ ¿ ¯+²h³�°¡Æ@­{¼ ¿ ¶r°h¯ · Ð�Âé¯�¶r°h¯ · ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯y¬o¯EË ´ ° ´ ¼ ¾ ç Ç � ­{Æ@Ä° Å ¯BÆ â ç#´ ¬`És­�¶�¬ ´ Ä ´ ¬/²�ÍίB°�Æ ´À¿ °h²K¶ÎÆE¶r½8²h³ Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ÍίB°¡Æ ´À¿ ¬¸Ð�¶ ¿ ¯y¬S¬s¶r° ´ ¬�³@½ ´ ¼ ¾ ° Å ¯É/Ç ´ ÇS¯BÍ�®B¯ ·�· ¯ ·�¿ ²�¼ ·r´ ° ´ ²�¼�Ç

�2XS� Ý>d#}oqØk�a��og�k�fhd#} d qUT�VXWói d7t�fZY�gpnMk�fZdb}oqßq@d�aÓx��4}og�k³�oa�_¯tl¾�oa�q@n�gp_9q

Ì!�/���_�g�8�äö ö �)�¦���­�K�M�iËi�:ËæóK�:�KÓ{����Ç�Åá���äÓ��c�M��ɾ�K��Ë �:�KÇ�Ç��:��Æ­�c�iËi�g�Mó��I� ��Ç��:ÆMÇ��B����:�\�6�½�I�g�c�º�cÉr��òi�ɾ�i�MËy�cÓ{�:�\�6�c�^óKÇ��K�iÆæ�}É���Æi�i�M���I�MÇ��:Ë ���iÇ�Éa�}�:��� ö Á-�M?M���g����IòM����i��ÆM�äta�ÃÉ_�}�<Å�z��cÉ�ö ö �g�:�=ös���ió��i�d�{Ó��}�i��ɾ�K��Ë��Iòi�}�dòi�c���c�i���KÇ!�¸�&�����iËi��Á�à��8�+öËM�:�i�c���Sö ö Ó{�g�<�i�&�:�i��Æi�:Á&���'?���Ç���ɾ��Ç��:�M�:�G�y�i�Ã�I�döc�K�g�MÓ��ò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�����iÇOÉa�c�:�2� ö Áà±�8���æËM�:�i�c���k� ö Ó���s�M�'�:�i��Æi�:Á.Ê$òi��� �á�g�V%<�y�c���'�ä�g���cÓ�8�IÇ����x�I���IòM�G÷r�WÅs�g�8Å�óKÇI�cÆMò�}É R 4 tL�VzV��òi���6ò �g�St»ù�Ç��KÓ{�Nö�z.ò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�}�M�g�Éa�c���7%s�i�c��� �R�g���KÓ{���IÇ��g���I�õ����Ç����cÁ�Oá��H?��õ�y�c���f���MÇ�Éa�c���f���8ö#�}�iË���Ëi�:�\����ÉÿŦ�Ã�2������òc�$Á^Ì!�<�è�g�s��D�}�8 �/)m"öæÁÊ$òi���C�<�\Å�à±�:Ó{Ó��n�sÁ   "ö����M%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç����&�I���d��Ç������ �cÉ)ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���rÓ{���IÇ��g�

��Æy�c���:�:Á��.�c�6òá�cÉr�IòM�{öc�:Ç����B?æ�c�iËá�:Ëióc����Æi�c�:�����g�f���:�KÆ\Å �cÉè �rÁ¦���g���i�±�Iòi�Ó��cÆ� ¬��g�iËM�i�:��Ë É¾Ç��KÓ �Æ8µ�<ïZ�����) �Ã8µ�<ï�¤ÚÂr�f������t�ÙCwyÚyz �¸%<�y�c���'�R�����KÓ{����Ç�Å�ɾ�KÇ$�}�g��ï^�c��}Ç�����òi�:��Ç+%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇ��g�n�g�\öc�:Ç����:��ÁG�y�iÇ���òi�:Ç��û� ���d�{���:Ó{�'�ä�g�M�i�i�����f�cÇ��i� �R���M�y�i�Ã�I����\�I�:ÇOö}�c�V��� ê �c�:���KÇ�ËM�g�ión�}��ö ���u�K�M�B�R���iËi��Ëõ�KÇu�¸�&���R���iËi��ËCÁ^�V�dÉa�cÇ��}��òi�g�u�g�v�B?M�c������Å���éD}�o�Iòi�õ�:�c����ɾ�KÇn�:���K����Ë ���iÇOÉa�c�:���:ÁGFx�M��òi��Ç��c�9�&�{�:�c�á�c�����iÓ����� �cËiËi�Ã�I�g�c���Iòy�}��:�c�6ò � ¬'���d�IòM�õÇ��:�O�IÇ��g�����g�K���cÉ&��Ó��}Æ � ö¬ ɾÇ��KÓ � ö 8Ã�<ïE���I� � ö 8Ã�<ïp¤èÂr�=��òi���6òÆMÇ��:���:ÇOöK�:�xòi�KÇ��sËi����D<�:Á'à±�8�Q± ö¬ ËM�:�i�c���!��òi�!�g�iËi�M�:�:ËÓ��}Æ{�c�ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g����óK�:�sËi�:���g����}�iË������¾±b¬vËi���i�c�I�n��òi���g�iËi�M�:�:Ë�Ó�cÆ �K� òi�KÇ����U�cÓo�M�g�:�\��óK���VËM�:�����:��Á

� ñ

Page 25: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

à±���V÷ ö �)�$�dò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�^óK�:�sËi�:���g�&���:ócÓ���<�_�g�> � ö Á�à��8�V÷õ�­�&�Iòi�&òi�KÇ����U�cÓo�M�g�:�\�%<�y�}���góc�:�sËi�:���g���g�6 � ���c�g�i���ió��IòM�f���iËH�äÆ­�K���\�I���cÉ�÷ ö Á�s�I�cÇ����g�ióG�����Iò��¦òi�KÇ����U�cÓo�M�g�:�\�+%<�y�c����óK�:�sËi�����g�ä÷�) �r���x�õ�:�c� �i�/��ÆMÇ��s�:�:��Ë

�}�^���õ�Iòi�!ÆiÇ��s�cÉ­�cÉCÊ$òM�:�KÇ��:Ó �MÁÃÂ$�I�f�:�K�i�O�IÇ��i���^�Iòi� ë Õ±Ø'·<®NÛ'¯)¸»´a³�¸a¼i°u°�·<®=ìI¸a´að�·¿:·\¬�+\ÁÊ$òi��Ç�������c�i��Å1�K�i��Ëi��J­�:Ç��:�i���r�5[ ¼i³ ë ÷�¬ ´a« ¬ ë ´a¿ ¿W´ÿ¬N²v¼V¬N´a¯)«£´»¿º¼ ë ¯�®N¯yì

¼i¹ Ûu´¾·V«)¬�ºC²�¼y¿W´�Û)·<¯±°�·s¿W´a³³´x¼y«v° «�¯�¬�«�·s³K·s¿W¿:¼i®½´a¸¾ÕÚ¼ ë Õ±Ø'·<®NÛ'¯)¸»´a³CÛ�·<¯±°v·s¿W´a³�øÊ$ò<�i�����x�n�����+÷Z�ß÷c�$�I�õ�)�G���KÓ�dòi�KÇ����U�cÓo�M�g�:�\�7%s�i�c����óK�:�sËi�:���g�n��� �º� ��8��½�H�<ÁÌ!�B?s�W��tÿɾ�KÇèïz\ ��z8�d���iËi�i�8�I�ÃöK�:�ÃÅK�G�����~÷³¬ ­ 4 ��� �)� �Iòi�¦t¾�i�i�é%<�i��z¦òi�KÇ����U�cÓo�M�g�:�\�%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�n�g� �8µ�<ï�¤ÚÂ��$���c�g�i���ió��IòM�n�:�iËH�äÆ­�c�g�\�I�$�cÉ � ¬¸tÀ÷³¬�zkÁ'Ê$òy�}���g�&�I���I�WÅK�÷³¬ ­ 4 �&±b¬Zt¡÷�¬vz8Á^�V��Ó���p�cÇ���Åc�<ɾ�cÇ�ï�ÞÚ�VÁÌ!�c�I���Iòy�½�G÷x�cÇ��K���p�cÇOÅZ�VÁÒ���:�i���iÇ����d�Iòy�½�!��òi�:Ç����@?V�g���+Ù��/wyÚ��d���i�6ò���òy�}�!�W�}�6òÒ÷�¬�����8t¡ÙG�/w�Ú��@z¸� %<�y�c����óK�:�sËi�����g�n��� �/8>�<ïE�<ÁÊ$òi��� Ê$òi�:�KÇ��:Ó �MÁÃÂ=ta�KÇ&Ó�cÇ��dÆMÇ��:���g���:��Åc�V��òi�nÌ��}�I�dɾ�K���g�/���g�Móf�Ã�@z.�:�i���iÇ����r�Iòy�}�

��òi�:Ç������d�{Ç�����ÇI�c�8�I���K��ɾÇ��KÓ "ö#���K����òM�g�6ò�ËM�V���d�i�c���g�M�:Ç��:�c����Ëi�g�O�6�c�M�:�:��Óo�i�6òCÁ�yÇ��KÓ �Iòi�����Ã��ɾ�c�g�g�/�����Iòy�½���Z���L%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇ��g�W�}�g��Å��:Ó��­��ËiËi�:Ë ��� "öæÁ8���:�:�c�g���òy�}�Gɾ�cÇd�Iòi�õ���K�i�O�IÇ��M���I���K� �cÉI�\�N�&�õ�K�i�ÃÅ�Ç��s%<�i�gÇ����IòM�õò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�����RÅ��cÉ$Þ� �c�MË�M�c�$�Iòy�½���}ÉÆÞö Á���x�)��ɾ�KÇ��c��ta�\Å�ÆMÇ��½�������I���ióo�fóK�:�sËi�����g�!�g� "ö��K�\������z��x�d�K�M�6�}�g��c�¦�cÓ��i�g���<�

%<�y�}���góc�:�sËi�:���g���:�K�\�I�c�g�i��Ë �g�8�����c�g�i���ió��IòM�f���iËH�äÆ­�K���\�I�.��wy�d�cÉ�÷�Áà±���

¤ � ö �ïóK�:�sËi�:���g�n���1�ö ö ���K���i�g�Móä��wy�¤ � �?I�]\ � òi�cÇ����R�cÓo�i���:�\��%s�i�c����óK�:�sËi�:���g�G��� "ö �c�M�6�c���i�:ËɾÇ��KÓ^� ö �\ŦÇ��:Æi�g�c�:��Ó���<��}É�ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���n�\ÅS�_�'�i���g��Ëi�W�c��ÎyóK�:�sËi�:���g�n���:óKÓ{�:�\�I��ɾ�KÇ$òi�cÇ��K�y�}�g�g�x�g�/�ö ö¤ ��?I�`\_�&¹+{t.� �?D�]\ z Á �

�2Xba ~|�on�q�fIÙ�_Öd7tS_9q�fhgc�6n9\.qà±�8�A÷ ¢¬ Ëi�:�i�}�I����òi�G�i�M�g�K��cɱ�Iòi������óKÓ���\�I�r�cÉ ÷³¬���òM�g�6ò¦���g���c�g�K�Mó�òi�cÇ��s��Ås�:���:�$�c�MË�����+÷ \¬ �ß÷�¬�§)÷ ¢¬ Á.à±���

� ¢ � 1 ¬�÷ ¢¬� \ � 1 ¬�÷ \¬

Oá���r�c�\���I�1��òi�/� ��òy�}�Zɾ�KÇ��c���+�Ï� � \ �Iòi��Ç�� �B?V�����I���ÆTS� %<�y�c����óK�:�sËi�����g�� Z¦�o�½�{� 1�¦ � d ���i�6òÞ�Iòy�½�G�m�m�òZ{t¸�½�H� 1�¦ z��c�i˦�òZ{t�ï¸zC�ã÷ \¬ Á �V�iÆiÆ)�K���

�c�

Page 26: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

�~�Ò÷ \e )ß� \ Á Oá�$Ëi���y�M�.� Z��<Åo���6�}Ç��I���ió���Ã�Iò=�òZØt ¹ z.�,��c�iË��:�c�i����Ç��i�8�I� Z{t ¹ §�ï¸z�}�i˵� ZØt ¹ ¤ ï zn���iËi�i�8�I�ÃöK�:�ÃÅ)t¾�cÉx���K�iÇ����~t ¹ §¦ï¸zG�����KÆi�f�}�f�Zɾ�KÇk���Z����Ó� �R���M�y�i�Ã�I�Ç��WÅ��i�M�Gt ¹ ¤ ï¸z�óc�V���n�K� �I�Z�g�V�y�i���RÅ�zkÁ��y�KÇd��òi�õ�I��Dc���cÉ^�:�K�M�:Ç��8�I���i�:���:� �&�õÆiÇ��Nöc���òi�G�@?M�������:�i���f�}É����i�6ò��`�òZ{t ¹ ¤ Â<zkÁ'Ê$òi�n�I�}Ó�d�cÇ�óK�MÓ���<�$�cÆiÆi���g�:�^�I�8t ¹ § Â<zx�c�MË���iËi�i�8�I�ÃöK�:�ÃÅ�ɾ�KÇr��òi��Ç������WÁÜ.·s¹º¹æ¼áúNø� û Å ¯BÆy¯+¯EË ´ ¬B°�¬ T õÞ� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° ´ ³ � Z{t ¹ z'���C�Ò÷ \e ° Å ¯B¼K° Å ¯BÆ�¯¯EË ´ ¬B°v¬� � �Ò÷ \e ­ 4 ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° x�t��9wE� � z2ÞUT ÇCf~¯ · ¯B¼�²�°¸¯ �òZ{t ¹ ¤ÚÂ<z.��� � Ƕf®N¯C¯�ÖIé à±��� : ��wy��;C�)�d�IòM�nÓ���?V��Ó��c�����K�i�i�����I��Ë �:�KÓ{Æ­�c�i�:�\�$�cÉM÷ \e �K�K��òM�g�6òK�

���g���:Á�Ê$òi�:� ��òi�:Ç��õ�B?V�g�O�n�¸�x� òi�KÇ��K��ÆMòi�:Ç��:� Ù10 �c�MË Ù-3 ���i�6ò �Iòi�}���C� Ù10 t¾�KÇG�g���òi�o���i�����p�c�CÆ)�K���<�d�cÉI÷ e z��}�iË��`� Ù-3 ta�KÇ��g�!�Iòi�����:Ç�Ó���y�c��Æ­�c�g�\�d�}ÉI÷ e z8Á��V���i�:�� e ÆiÇ�������Ç�öK���oòi�KÇ��V�8Ås�:�g���:� � e t¡�{zG�g���:�n�K� � òi�KÇ��s��Ås���g��ta�KÇn���n�Iòi���g�M���I�g�c�vÆ­�K���\���cÉ÷ e ­ 4 z^�c�rËi�s�:� �

e t¡�Bzota�cÇx�g�.�IòM�d�I��Ç�Ó{�g�y�c��Æ)�K�g�\�x�cÉ ÷ e ­ 4 z8Á.�y�iÇO�Iòi��Ç:�s�Iòi�G��Ó��}óK���cÉ: ��wy��;±�i�iËM�:Ç � e ���$�ä%<�y�c����óK�:�sËi�����g�n���� �8&� ¹ ¤ÞÂr� þ ë ´a³ ë þo·�«v¯sþ °�·s«v¯y¬=·�¼y¿� e t : ��wy��; z8Á����:�:�c�g�C��òy�}�k± e t : ��wy��; z�������òi�fòi�KÇ����U�cÓo�M�g�:�\��óK���VËM�:���������ß �Ã8 � ¹ ¤ Âr����c�g�i���ió � e t¡�{zr�c�iË � e t¡�BzkÁÊ$òi��Ç��8ɾ�KÇ�� �\Å,tüùnÇ��cÓ�=ö�z�ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���:���RÅá�cÉ� �r�b± e t : ��wy��;vzo���g�:���g� � �)�K�i�iËi��Ë

�M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sË �cÉ � e t : ��wy��; z�tv��òi�g�6ò �g� �I�iÇ�� �g���:�{�}��á�)�K�i�MËi�:Ë Ëi�g�O�6�c�i����ɾÇ��KÓ± öe t : ��wy��; z�zf�c�iËæòM�:�i���¦�\ÅáÊ$òM�:�KÇ��:Ó �VÁ �¦�IòM�:Ç���B?V�g�O�I���c�º�iÆiÆ)�:Çf�)�K�i�i˺�c�æòi�/�Ó��i�6ò± öe t : ��wy��; zf�W�}�æÆ)�:�i�8�IÇI�½�I�{òi�KÇ��c�y�c�g���:���üÁÏ�cÁ{�Iòi��Ç��{�B?V�g�O�I�nT 4 õ������i�6òá�Iòy�}�ɾ�cÇd�c���¯dK��± öe t : ��wy��; z8���Iòi��Ç����@?V�g�����kd��N��± öe t : ��wy��;vz$��Ås���ió�c�M�I���gËi��òi�KÇ��c�y�c�g���2������òx�t,d�wJd��'zAÞ&T 4 Á$�y�iÇ���òi�:Ç��)���g�i��� �

e �g�!��%<�y�}���'�ä�g���KÓ�8�IÇOŦ�Iòi��Ç��f�B?V�g�O�I��T * õ �{���i�6ò��òy�}�.x�t � e tv�¥zBwF± öe t : ��wy��; z�z2ÞUT * Á.Ä����i�:���IòM�:Ç��f�B?V�����I�������z± öe t : ��wy��;vzr���i�6ò���òy�}�¤ x�t � e tv�¥zBw����'z2ÞUT 4 ¤/T *¤ ���­�g�g���r�K�M������Ëi��òi�KÇ��c�y�c�g���:Á��ó\�c�g���*± e t : ��wy��; zu�g���:�u�}���d�i�i�Ãɾ�KÇ�Ó{��Ån�)�K�i�MËi�:ËõËi�����I�c�i�:�+ÞT - ɾÇ��KÓ!÷ e ­ 4 �c�MË���i�±��ÉI <wyx��¦÷ e ­ 4 ���i�6ò ��òy�}�Ìx�t¡��wy �zÌÞ�T - �c�iË&x�t¡�/wyx{z�ÞßT - �Iòi��� ��òi�õ����óKÓ���\�:  <wyx�;u�:�c��Æ)�:�M���IÇ��}�I���K�i�ÃÅ ��)�K�i�iËM�:Ë�Ëi�����I�c�i�:���g�\�I��c�\Å�òi�KÇ��K�y�c���üÁrÄ!�:�i������òi�:Ç��

�@?V�g�����fT#�õí���c�MË8��� ��� :  <wyx�;¯),÷ e ­ 4 ���i�6ò���òy�}�¤ x�t�� � wE� � � z2ÞUT#�¤ � � � �g���:�r�K�V�I����Ëi��òi�KÇ��K�y�c���g�:ÁÄ!�:�i���c��x�t � e tv�¥zBw���� �åz7ÞT 4 ¤zT * ¤åT#�=Á^�V�g�M�:�+x¥tv�9w �

e ­ 4 t��¥zEz^� ÂK�Ø�x�Gòi�=öc�c�i�\Å�6òM�V�K���g�ió=� e ­ 4 t��¥z.����� �g�x�t�� e t��¥z@w�� e ­ 4 t��¥z�z2Þ,ÂI¤/T 4 ¤/T * ¤ÃT#�=Á

��

Page 27: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

÷xòi�s�K���g�ió-T �ïÂI¤ÃT 4 ¤ÃT * ¤ÃT#�=���&���cÇ��G�IòiÇ��K�ióKò�Á¾�À ���g�Mó�à±�:Ó{Ó� �VÁë�ZÇ��:Æ)�W�}���:Ëi�ÃÅàta���iËi�i�8�I��öc�:�ÃÅ Ç���Æi�p�c���g�ióK�µ������òµ�òZØt ¹ ¤6ï¸z�&�

�c�M�6�c�����IòM��ö}�c�g�i���d�cÉV� Z{t�ï z!ɾ�KÇï7\ ¹ Á�F&Å��c���@?M�c������Å����gÓ{�g�g�cÇ���ÅsÓ{Ó�8�IÇ����o�cÇ�óK�H�Ó{�:�\�:���x��óK�8�V�òZ{t ¹ §�Â<z��c�MË{ÆMÇ��s�:�:��ËËM�<�����I���òZ�t»��zkÁ'Ì��/�1ɾ�KÇ.�c�\Å�ï��>d��] ��8��<ïZ��}�iËÎÝG�j �S8K�<ï�¤æÂr�<�{x�t0dHw�Ý�z#\,ÂcÁ'Ä����i�:�}�Vɾ�KÇ^�c�\Å-d=�j �S8K�<ïE���c�MËGÝK�] �S8è�½¥��<�x�t,d�w�Ý�z#\h9 ïp§å¥;9 Á'Ê$òi���$óK��öc�:�ã�¯�®N¯)¸»¸¾¼i®=Õ úNøgÝ û Å ¯BÆ�¯�¯EË ´ ¬B° ÙCwyÚ�õ�� ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°�³�²�Æ�¶rÂv �í�ð÷ \e ) � \ ° Å ¯BÆ�¯¯EË ´ ¬B°v¬S¶ t¡ÙCw�Úyz És­�¶�¬ ´ ¾ ¯y² · ¯y¬ ´À¿ ÆE¶r½ �òZ ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r° �òZ{t ¹ z.��� ¶r¼ ·S�òZ{t�ï¸z2�Ò÷ \¬ ³�²�Æo¶rÂvÂï Ç

Êv�{�H?��c�iË�Ç����W�c���C�i�c�I�}�I���K�N�¤ ÷ ö �ïò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�nóK���VËi�������n�g�, � ö ���K���i�g�Mó=�cw��¤ ÷ �ïòM�KÇ����R�cÓo�i���:�\��%<�y�c���góK���VËM�:�������g� �1���K�i����Ç��i�8�I��Ë�ɾÇ��cÓ ÷ ö ) � ö¤ � ö �ïóK�:�sËi�:���g�n���1�ö ö ���K���i�g�Móä��wy�¤ � �?I�]\ � òi�cÇ����R�cÓo�i���:�\��%s�i�c����óK�:�sËi�:���g�G���&"ö �c�M�6�c���i�:ËɾÇ��KÓ^� ö �\ŦÇ��:Æi�g�c�:��Ó���<��}É�ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���n�\ÅS�_�'�i���g��Ëi�W�c��ÎyóK�:�sËi�:���g�n���:óKÓ{�:�\�I��ɾ�KÇ$òi�cÇ��K�y�}�g�g�x�g� �ö ö¤ ��?I�`\_�&¹+{t.� �?D�]\ z Á �

�2XSg x&a�dAdbq�d qcr�×o_Öd�a�_£� q@d�a$l¾�oa�qBn�gp_9q>h f k³× xe�4}og�k³�oa�_ÖqF^Å����K�i����Ç��i�8�I���K�C�C�IòM�oò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g��óK�:�sËi�����g��� ö �c�MË��Iòi�õ�}Óo�i�g���\�S%<�y�c����óK�:�sËi�����g�� �?I�]\ �cóKÇ������@?M�c������Å{�rJ�òi�KÇ��K�y�c���g�:Ái��?I�`\'���&���K�i����Ç��i�8�I��˦ɾÇ��KÓj� �?I�`\ �\Å{ÆiÇ��½���:�8�I�g�Mó�Ã���c�<�������c�iËæ�����\ÅáÊ$òi�:�KÇ��:Ó �MÁ�Âc�_�����g���c� �cÓo�M�g�:�\�L%<�y�c����óK�:�sËi�����g�}ÁCFx�V�õ���Ó{�gócò<���Ò�y�c�yD\�IÇ��c�yD�Î�ÁûÄ����i�:�}���x���i�:��Ë �I�áÓ�sËi��ÉÿÅæ������i�6ò �Iòy�}����{���}�I�����y����IòM��M���y�c�yD\��ÇI�c�yD<�g�Mó��:�c�iËi�����g�K��Ár����Ç����:�y�K�i���:Ç�öc�o�\Å�Ê$òi�:�KÇ��:Ó��VÁÃÂf��òy�}�d�c�g�C��òiÇ����L� ö �� �?I�]\ ����?D�]\&��ÇI�c�yD¦�:�c�6ò��c�Iòi��Ç��rJ ���cÓ�ÌÙ��R�M�:�gócòs�)�KÇ�òi�V�sËZ�cÉuòi�KÇ��K�y�c���g�:ÁÊ$òi� �}ËMö}�c�\�6�cóK��cÉ��&�KÇ�D<�g�MóC�����Iòk��?D�]\��g����òy�}�������g�g�����K� �<Á Ä��/�&��öK��Ç:�^���

Ó{�gócò<�r�y�c�yD\�IÇ��c�yD�ÁÜ.·s¹º¹æ¼áúNøa©ml#û Å ¯BÆ�¯=¯EË ´ ¬B°v¬ T«õ � ¬B­ ¿ Å ° Å ¶r°�³�²�Æ`¶rÂv �&�µ÷ \¬ )]� \ )$��´ ³ ÷ ö ´ ¯y¬=²�­{°�¬ ´�· ¯ �¾ÿ�t ��z ³�²�Æ�¶üÖËH¯ · Æ�¯�³�¯BÆ�¯B¼ ¿ ¯AÐ�² ´ ¼�° �&� "� ö ¶r¼ · ¶rÂë¬/²è¶�¬y¬B­{Í ´ ¼ ¾ ° Å ¶r°´ ¼=³�¶ ¿ °7° Å ¯`Æy¯�³�¯BÆ�¯B¼ ¿ ¯AÐ�² ´ ¼�°2 ´ ¯y¬ ´ ¼ � â ° Å ¯B¼ �  ´ ¯y¬G²�­{°v¬ ´�· ¯ä¶r¼ ÿ 'onn ­ 4 ®y¶rÂvÂM¶�®B²�­H° �´ ¼ "ö Ç

�c 

Page 28: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

¶f®N¯C¯�ÖIé �V���i�:�>÷ \ �g��� Æy�cÇO���}Éä÷ ö �d�IòM�:Ç��8ɾ�KÇ��&�òZ{ta��z¦�g���:�Z�K�M������Ëi�&�¾ÿ�tå��z8ÁóF&Å÷x�cÇ��K���p�cÇOÅZ�VÁÒßM�M��òi�:Ç����B?V�g�O�I�¾Tmõí�õ���i�6ò��Iòy�½�!ɾ�cÇ��c�g�¥ï�wm¥Î�µ�½��wWÂ�wk�{wóýþýþýk�

9 ïp§5¥;9{Þ�x�t��òZ�t�ï zBw��òZØt ¥{z�z2ÞUT�9 ïp§5¥;9���g���M� x�tv�9wÀ��zn\ãï������i�:�ä� � P \¬ Á~t»Ä!�:Ç��{Ëi�����6�}�i�:�����cÇ��{�c�g�_Ó{�W�}���iÇ��:Ëæ���6"öæÁ z

Ä!�:�i���c�

x�t��9w¡��z]\ �èïLé �<ïEw�é�§TGt�磻 Â<zy�\ éè§ÆT

Tÿ¤ ÂÊ$òi����ÆiÇ��=öK���!��òi��Ç������i�Ã�WÁf�ÑäÉÖ�C���+s�V�Iòi�����~��� \ �KÇ2�C�C� ¢ ÁÏɾ�cÇ$���KÓ{� P Á.Ä!�:�i�����~�����gÓ{Æi�g���:�.�Iòy�}�

������òi�:Ç�� �g���:�o�K� ���KÓ��òi�KÇ��c��Æiòi��Ç�� �)�K�i�iËi���ió ���KÓ{� Ù �)& �KÇ:�'ɾÇ��cÓ à±�:Ó{Ó���sÁ�Â=�Z�}�­�=öK�}�Öx¥tv�9wÀ��z4\ ÿ 'onn ­ 4 Áõ�V���i�:�p��?I�]\����g�:�d�K�Ò�<�N�x�õ���K�i���g�iËi�õ��òy�}����?I�`\!�g��}�º�cÓo�M�g�:�\�L%<�y�c����óK�:�sËi�����g��g� "ö ���i�6òº�Iòy�½�o��öc�:ÇOÅæÆ)�K�g�\��� �K�q��?I�]\G�:�Ã�Iòi��Ç��g���:��c� ���cÓ��òi�KÇ��K��ÆiòM�:Ç����­�K�M�iËi�g�Móá���KÓ� Ù �r& �KÇ��xɾÇ��cÓ à���ÓÓ�á�VÁ�ÂW�æ�c�)�=öK�c�x�tv�9wÀ��z#\ ÿ 'onn ­ 4 Á���W���i���g�:� : Â=��;���òi�/���Ct¾��É�Ê$òi�:�KÇ��:Ó �VÁÃÂ�z��Iòy�½���g� �ö ö �&�c�\Å ���M�6ò �cÓ��i�g���<�%<�y�}���góc�:�sËi�:���g�s��?I�]\f���g������� ���)�K�i�iËi��Ë �i�:��óKò<�­�cÇ�òi�s�VËá�cÉ�� ö 1 &µt�� ö z8Á�Oæ�¦ËM��M�c���c��Åc���=D<�i�/�£�Iòy�}�H��?D�]\�ËM�V���o�i�c�õ�i�c�yD\�IÇI�}�yD)�^�i�M�`�x� �W�}� �:�K�\öK��Ç����Ã�õ�g�\�I��c�i�L���Ã�Iòi�K�V�dÓo�M�6ò���J­�KÇ��:Á!à��8�4¹ Ëi�:�M�c�I�o�M�W�cÇ��:���dÆ­�c�g�\�dÆMÇ��½�������I���K���}Ét�ö ö �K�\���� ö 1 &µt.�=u zkÁ�Ê$òi���/¹`t���?I�`\Zz��v� 4 �g�o�}ó\�c�g�á�c� �}Óo�i�g���\��%<�y�c���góK���VËi���������g� "öL�=Á�y�iÇO�Iòi��Ç:�w� 4 ��ÇI�c�yD<����?I�`\'�IòMÇ��K�iócòi�K�M�$�Ã�I�r���:�ió}�IòC�V���g�M�:�2¹èÓ{�=öK�:�$Æ)�K���<���x�IòMÇ��K�iócò���i�i�Ãɾ�KÇ�Ó{��Å{�)�K�i�iËM�:Ë�ËM�g���I�c�i���cÁ&Ì��/�)� 4 Ó��óKò\���y�c�yD\�IÇ��c�yD��­�M�M�!�����W�}��Ëi�������g����IÇ���ös�p�c�N�x�WÅK�C�»ÁÒ�}Á���É=� 4 Ç��B�ä�:�\�I��Ç��n�{òi�KÇ��c�y�c�g�v�}Éÿ���:Ç!�g�:�=ös���ió��Ã�W������Óo�i�O�GËi����Z�}��@?M�c������ÅZ�IòM��Æ)�K�g�\�A��òi��Ç��f���!�g�:�=öc�:�����WÁI���:Ó{�Nös���ió{��òi�:���-�Ï�IÇ���ös�p�}�C�y�c�yD\�IÇ��c�yD<�:ÎÃ���&��c�M�6�c���¦�c� ¼y¹ Û�´¾·s«­¬äº�²v¼y¿:´�Û�·<¯±°�·V¿:´»³þ´ÿ¬ ë ¯­²±¬�Ûu¼y³Nð�¬=®N¼y³Nð±´a«ÖÛ �C��òi���6ò¦�IÇ��c�yD<���?I�]\&�IòMÇ��K�iócòi�K�M���Ã�I�$�g���ióc��òCÁM ¯�¬W·)é ôG����òi�^�K�i�xòi�c�iËH�Z�����c���cÓo�i���:�\� %s�i�c����óK�:�sËi�:���g�V������òi�K�M�u�y�c�yD\�IÇ��c�yD��

���ióiÁ�Ä!�:�i���c���Ã�!Ç��R�i�:�����d�IòM���g�\���:Ç����:�8�I�g�c��Æy�}���I��Ç����cÉ`� ö ������ò�òi�KÇ��K�y�c���g��Á�ôG���IòM��}�Iòi��Ç^òi�c�iËC�<��� ¬W®½¼i³½ð±¿ ��?I�`\Ö��òi�K���!ÆiÇ��KÆ­��Ç����g�:���&�!�c�gÇ��W�cËMÅ�Ds�M�<� ɾÇ��KÓ ÷x�KÇ��K���p�cÇOÅ�sÁÈß��c�)�=öK�cÁ�V���i�:�}���cÉx� �c�iË1� ö ���K�i���g�G�c�æ�}Óo�i�g���\�S%<�y�c����óK�:�sËi�����g�ä���Ã�Iòi�K�V�n�y�c�yD\�IÇ��c�yD��

���iói���c�MË��IòM���c��òi�:Ç��ò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g��óK�:�sËi�����g�r���K���i�g�ióõ��òi�����cÓ{��Æy�}�gÇ$�cÉ'Æ)�K���<���:���&����

Page 29: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

���K�i���g�iËi��ɾÇ��cÓ�Ê$òi�:�KÇ��:Ó �VÁÈ�n��òy�}�^�Iòi�8Å{òy�WöK�d���gÓ{�g�g�cÇ_�g�\���:Ç����:�8�I�g�c��Æy�}���I��Ç��i�V������òòM�KÇ��K�i�c�g���:�M�»ÁÒ�}Á_�Iòi��Ç����B?V�����I�¾T2�����i�6ò��Iòy�½�¤ ÑäÉ_�c�i��Å��cÉ`�æ�c�iË�� ö Æ)�:�i�8�IÇ��}�I���!�cÇr�IÇI�Wöc�:�g���c���K�ióo�IòM�f�)�K�i�MËy�cÇ�Ŧ�cÉ_�õòi�cÇ��K�y�}�g�Ù �M�IòM�:�������W�}��Ëi�����{ɾ�KÇ��õËi�����I�c�i�:�=ÞUT2�=Á¤ ÑäÉr�)�c��òy� �c�iË1� ö ���\�I�:ÇÎta�cÇn�g�W�Wöc�/zn�Zòi�KÇ��c�y�c�g� Ù �Iòi��� ��òi�:��Çn�:�\�IÇOŦta�KÇn�@?V���@zÆ)�K���<�����cÇ��f�}�!�õËi�����I�c�i�:���cÉ��}��Ó{�K���fT2��ɾÇ��cÓ��W�c�6ò��c��òi�:Ç�Á��ó\�c�g���\���g�M�:�����IÇ��c�yD<�x��?I�`\6���&�����K�i���g�iËi���Iòi�}�.�Iòi��Ç��!�B?V�g�O�I� T õí�n���i�6ò�Iòy�}�

�á�g���:�$�g� �-To�R�i���góKò<�)�KÇ�òi�s�sËZ�cÉ`��?I�]\x�c�MË�òi���i�:��ɾÇ��cÓ�à±�:Ó{Ó��{�VÁÃÂ=�¤ �_öK�:ÇOÅ�Æ)�K���<�����K�4�º������òi�:Ç��g���:�$�K�����KÓ{��òi�KÇ��K��ÆiòM�:Ç����­�c�i�iËi���ió���KÓ{� Ù �5&�cÇ:��x�t��9w¡��z�\ ÿ 'onn ­ 4 §TÊ$òi���}�­�=öK���IòiÇ��:�G���K�iËi�Ã�I�g�c�i�x�K�s�á�}�iËC� ö �c�g���<�Þ�i�x�I��Ëi�:Ëi�M�:�G�IòM�dɾ�K�g���/���g�ió���K�iËi�Ã�I���K�¦É¾�KÇt� ö Á¶f®N¯�Ø'¯­¿:´¾¬N´¾¯)« úNøa©�©{zIÊr¯BÆB½AÐ�² ´ ¼�° � ²�¼ � ö ¯ ´ ° Å ¯BÆA ´ ¯y¬ ´ ¼�¬ ´�· ¯�¬/²�Íί Å ²�Æ�²r®y¶rÂvÂ<Ù �& ²�Æ â x�t��9w¡��z#\ ÿ 'onn ­ 4 §T �¿�&t(épz

Oá�¦��ÆM�g���L� ö �g�\�I���¸�x� Æy�}Ç��I��Á/� ¢ �:�K�M���g�O�I�o�}É$�Iòi�K���¦Æ)�K�g�\�I���cÉ�� ö ��òi�g�6ò ���g����Ã�Iòi���Zòi�KÇ��K�y�c���g�:Á Oæ�����8��� \ �I���)�n�Iòi���:���K���MÇ����cÉ]� ö §|� ¢ Á

Oá��òy�WöK�fËi�:�i�}�I�:Ë ÿ 'onn ­ 4 §ÆT��\Å��&t,éNz8�y�����Iòi�}�f�&t,épzV� � �c�7é�� �èÁ^Ê$òM��}�­�=öK��Í'Ç��KÆ)�K�����I���K� �c�����:ÇO�I���Iòy�½�$�Iòi�fóK�:�sËi�����g��� ö �g�g���r�K�M������Ëi���p�cÇ�óK�n�y�c���g�$�c�)�K�M�� Ó{�sËi�i�g�òi�KÇ��K�y�c���g�:Á�F^Å à±�:Ó{Ó��¦�VÁ�Âo��òi�g�d�g�G�}�gÓ{�K���d�:�i�K�MóKò �I�ZóK�y�}ÇI�c�\�I�����IòM��@?V�g�����:�i�����cÉ)��÷r�c�i�i�c�H�RÊ$ò<�iÇ����I�c�{Ó�cÆCÁuÊ$òi�$Ç������.�cÉy��òi�$�i���:�:���I�cÇOÅ��&�KÇ�D��g�_óK�ÃöK����)�:���/��Áê�ë ·<¯�®N·s¹ úNøa©sµ�gc­<Ð�Ð�²/¬/¯ � ö ´ ¬+¶ Å ½yÐ�¯BÆ�®B²� ´À¿ ¬B­{Æv³�¶ ¿ ¯o²h³NüV¼ ´ °¸¯�Êr²�Âå­{ÍίsÇ7gc­/Ð�Ð�²/¬/¯° Å ¶r° ö ö ´ ¬Ì¶ Å ½@Ð�¯BÆ�®B²� ´À¿ Í�¶r¼ ´ ³�²� ·Î¿ ²�Æ@Æ�¯y¬¸Ð�²�¼ ·r´ ¼ ¾ °h²=¶�Æ�¯¸Ð�Æ�¯y¬/¯B¼�° ¶r° ´ ²�¼�²h³#R 4 t0�

ö zç ´ ° Å ²�­{°7¶ ¿y¿B´�· ¯B¼�°À¶rÂ�Ð�¶rÆ�¶�®B²� ´À¿ ¬sÇ2ò9¯B° ïV�>� ö � ö ö ®B¯Ì¶oÐ�Æy²yÐ�¯BÆ Å ²�Íβ�°h²yÐ�½Î¯�És­ ´ Ê�¶rÄÂé¯B¼ ¿ ¯sÇ=û Å ¯B¼ Þ ïV� � ö � �ö ö ¯EË�°¸¯B¼ · ¬ ¿ ²�¼�° ´ ¼�­�²�­�¬BÂå½�°¸²�° Å ¯`®B²�­H¼ · ¶rÆ@½LôïV� �� ö � }ö ö Çá ³t~ · ¯B¼�²�°¸¯y¬�° Å ¯Ì ´ Í ´ °V¬/¯B°2²h³ "� â ° Å ¯B¼�~ ´ ¬SÂé² ¿ ¶rÂvÂå½ ¿ ²�¼�¼�¯ ¿ °¸¯ · Ç

¶f®N¯C¯�ÖIé à±���`÷ ö �)�{�ZóK�:�sËi�:���g������óKÓ{�:�\�f�g� ��y� Ç �ÃÅV���ióZ�K�M������Ëi�=�¾ÿctå��z�ɾ�KÇn���KÓ��H?M��Ë�Ç���ɾ�:Ç��:�i����Æ)�K���<�V�±Á^��� ?Z�i���góKò<�)�KÇ�òM�V�sËi�$�cÉu�Iòi���:�M��Æi���c�iË��g�ÃÉÿ�r�Iòi��Ó��I�õ�IòM��M�i��öc�:Ç����c�_���Nöc�:Ç�Á�à±���'& ËM�:�i�c�����IòM�õ�����G�cÉ^òi�KÇ��c�y�c�g���:Á��d�����iÓ{�������IòM�K�M�n���K�����cÉóc�:�i��ÇI�c�����RÅ��Iòy�½���Z�g���:�&�K�M�I���gËi�dòi�KÇ��c�y�c�g���:Á�à��8�t� ö �­���Iòi�Gò\ÅsÆ)�:Ç��)�K���g�GóK���VËM�:�����G�g��ö ö ���K�g�i���ió��Iòi�G���iËiÆ)�K�g�\���r�cÉ ÷ ö Á'�y�iÇ���òi�:Ç��M�g�8��� ö �{� \ 1 � ¢ �c�r�c�­�=öc�cÁ'Ê$òi�����\ÅÍ'Ç��KÆ­�c�������g�K� �VÁ�ÂcÂK��� \ �g�g���G�K�M������Ëi�õ�c�å�&t,éNzd�y�c���_�c�)�K�M�2�C�N�����Iòå�&t(épz� � �c�é�� �èÁ

�}ß

Page 30: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

Ì!�B?s�W�v�g�8� Ù 4 �­�����cÓ�õòi�cÇ��K�y�}�g����òy�}�� ö Ó{�:�8�I��Á{Ê$òM�:�á��òi���:�\�IÇOÅ �c�iË �B?V���Æ)�K���<�����Z�c�iË-���}É�� ö ���\�I�f�c�iË{�K�M�^�cÉ Ù 4 �g���r�K�M�����gËM���}�+�&t(épz_�y�c���y�c�)�K�M�9�±Á'à±���d��­���IòM�Æ)�K�g�\���K� �Iòi�{�)�K�i�iËy�}Ç�Å ��ÆMòi�:Ç��{��òy�}� Ù 4 �g���y�c���:Ë �}�:ÁÊ$òM�:�æɾ�KÇf�c�\Å���s%<�i���i�:�=��¬�� Ù 4 ������òÒx�t �pw���¬vz� �è�N��¬�� dMÁoÑäÉ.�/��¬À���c�iË �<Ý�¬À�Ëi�:�M�c�I�o�¸�&����i�6ò����s%<�i�:�M�:�:�����IòM�:����òi��öV�����y�}�vËM�p�cÓ{�����:Ç��cÉ���òi�f�����Ì�/��¬ w�Ý�¬À��Óo�i�O�dóK���I���:��Ç��iÁÄ!�:�i���c�.��É : ��¬¸w�Ý�¬';rËi���i�c�I�����IòM�¦óK�:�sËi�����g�����K�g�i���ió���¬¸w�Ý�¬&�Iòi���)x�t �pw : ��¬ w�Ý�¬';vz�� �èÁ�s�g�i���c���9w����g�g�f�K�M������Ëi�o�c�$�&t,épz��y�c���ü�y�Iòi��Ç����B?V�g�O�I�G���KÓ�fɾ�i�i�8�I�g�c�4�!�����M�6ò��Iòy�}���òi�nóK���VËi������� : �9w���;��g�g���x�K�V�I����Ëi���H�t,�&t,éNz�zx�y�}�g�C�}Ç��K�i�MË��±����òi��Ç���ot ¹ z�� � �c�¹ � �èÁ�V���i�:�G��òi�n�6òi�K���:�G�}Év��òi�g�&ɾ�i�i�����g�K�ZËM�V���$�i�c�$Ëi��Æ­���iË �K� Ù 4 �{��òi�g�6ò ���r�6òi�K���:��½��ÇI�c�iËM�KÓ��N�&���:�K�M�:�g�MËi�õ�Iòy�}�n��òi�:Ç���@?V�g���������i�6òæ�Zɾ�M�i�����g�K� ɾ�KÇ��c�����cÉ;� ¢ Á�Oá�

òi�=öc�f��ò<�i���:���I�c�i���g��òM�:ËN�¤ � \ ���g���r�K�M�����gËM���}���&t(épzr�y�c���±�c�)�K�M���±Á¤ � ¢ ���g���$�K�M�I���gËi���p�t,�&t(épz�zr�y�}�g�±�c�)�K�M���CÁ¤ �&t,éNz$�c�iË��ot(�&t,épzEzx�I�:�MË����{���M�y�i�Ã�RÅZ�c�7é�� �

� �8�y�i� Ñ t(épz��Û�èï0é�t,�&t(épz@w��ot(�&t,éNz�z�zkÁ�Ê$òi���|� ö ���g�����K�V�I����Ëi�¦�}� Ñ t,éNzf�y�}�g��}�­�K�V�����c�MË Ñ t,épzV� � �}�fé�� �èÁ

F&źà±�:Ó{Ó�� �sÁ�ÂKï=� "� ö � �ö ö �B?s�I���iËi���:�K�\���g�<�i�K�i����Å �I����òi�Z�­�c�i�iËy�cÇOÅ ôï=��� ö � }ö ö Á'Ê$òi�g��ÆiÇ��Nöc�:���Iòi�n�yÇ����!���I�}�I��Ó���\�d�cÉv�IòM����òi�:�cÇ��:Ó�ÁÌ!�<���K��òi�r���gÓ{�������8�'�cÉ � ö �g�v�Iòi�x�:�gÇ��:���r�}���g�M�y�M���RÅK����òi�g�6òõ�������V�:�c�g�ÃÅn�:�K�M�i�:�8�I�:Ë�Á

�y�iÇO�Iòi��Ç:�C��òi�õ�:�K�\���g�<�i�K�i�n��Ó��}óK���cÉ&�¦���KÓÆi�c�������V�:�c�g�ÃÅ �:�K�i�M�:�����:Ë ���8���g�G���V�:�c�g�ÃÅ���K�i�i�������:Ë : ÂN�<;üÁáÄ����i�:�}�&�ÃÉ ~ Ëi�:�M�c�I������òi�Z�g��Ó�Ã�f�������}É%�ö ö �'�Iòi��� ~ �g�o���V�:�c�g�ÃÅ���K�i�i�������:ËCÁ^Ê$òi�g��ÆiÇ��=öK�:���IòM����òi�:�cÇ��:Ó�Á7�

� §��K§S�'§n¤���§n¨: Âs;LIMÁ����g�K�i���i�dÊnÁ.FxÇ��cËMÅc� � Á!÷x�V�cÆ­��Ç:�'��Á�����Ç����g�i�»�d� Á�à±�i�O�I��ói�n�áÁ�����òy�c���éD��� Á^�Vòy�cÆi��Ç��i�.�}�iË ÄfÁ.�Vòi�cÇ��WÁæÌ��c���:���K�Ã�&�KÇ�Ë ò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���ZóKÇ��K�MÆi�:Á þ Æy²�­/Ðû Å ¯y²�Æ@½o³@Æ�²�Í#¶ þ ¯y²�ÍίB°�Æ ´À¿ ¶rÂ'� ´ ¯Bç�Ð�² ´ ¼�°2»�z�Ç þ Å ½/¬ â ªLDz¸�¶{¯.� ´ ¾ ¯BÆ â ªÌÇ���¯BÆ@ÄÁ ²�Ês¬ ½è¯ · ¬sÇ ¼ �iÆy�}óK�:�!���H c�M�CÂ=ßKßVÂKÁ

: ��;�� Á7Fx������öV���y�æ�}�iËÚ�áÁ^�y�:��óKòi�CÁÞ� ÷x�KÓo�M�g�y�}���g�K� �IòM�:�KÇ��:Ó É¾�KÇÌ���ó\�}�I�ÃöK����Å÷x�MÇ�öK��Ë ùnÇ��K�iÆM�:Á�� Çi� ´ 2 Ç þ ¯y²�Í�Ç â Êr²�Â.jF� �MÆy�cóK���+�K���)Â=�MÂc�CÂ=ßKß\�sÁ

: ��;f�&Á7Fx�c�y�còi�K��Á$Fx�c�M�I�Ëi��ö}�cÇ��g�����:�ò<ÅsÆ)�:Ç��­�K���é%<�i����Ëi��Ëi�gÓ{�:�i���g�K� �MÁ ª¼�¼�Ç� ¶r° Å Ç�Êr²�Â'ÇÅ�_·þñ �VÆy�cóK���� VÂ@�)ÂN���M��Â=ßr�� MÁ

�c�

Page 31: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

: ñ ;ÌF�ÁCÄ�Á¥Fx�/��Ëi�Ã�I�6òCÁ����:�g�}�I�ÃöK�:�ÃÅ ò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g��óKÇ��c�iÆi�:Á Ð�Æy¯¸Ð�Æ ´ ¼�° â gN²�­{° Å ¶rÍÐ�°h²�¼ �ÂWßKß\ VÁ: ��;ÌF�ÁnÄ�ÁSF&�<��ËM���I�6ò�Á Ê$òi�1÷r�}�i�i�K�H�äÊ$ò<�iÇ��O�I�K�ïÓ��}Æ É¾�KÇ�Æi�i�M���I�MÇ��:Ëï���MÇ�Éa�c���ócÇ��K�iÆM�:Á Ð�Æ�¯¸Ð�Æ ´ ¼�° â gN²�­{° Å ¶rÍÐ�°¸²�¼ ���c�K�K�VÁ

: �;ÌF�ÁuÄfÁ9Fx�/��Ëi�����6òCÁZ�<�6�c�yD<���}Éxò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g������Æy�c���:���c�iË �:�iËi�f�cÉr��Ó�c�i�Ãɾ�K�gËi��ÁÐ�Æ�¯¸Ð�Æ ´ ¼�° â gN²�­H° Å ¶rÍÐ�°h²�¼ �y�c�K�\�VÁ

:  �;LIMÁ½÷r�}�i�i�K���c�iË�O Á=ÍuÁ=Ê$ò<�iÇ������K�CÁsùnÇ��K�iÆ�ÑR�\ö}�cÇ��g�c�\�vÍ'�W�c�i�d÷x�iÇOöK�:��Á Ð�Æy¯¸Ð�Æ ´ ¼�° â� Æ ´ ¼ ¿ ¯B°¸²�¼ �±Â=ß��\�VÁ

: ��;�� Áv÷x�V�KÇ��y�c��Ç��W��ÊnÁ � ���é�W�}�<�:���c�iË ��ÁÒÍ��}Æy�cËi�KÆ)�K�i���K�:Á{ùn�:�cÓ�8�IÇ����o���n��òi�:�cÇ��g�ËM�:�!óKÇ��K�MÆ­���:Á ò9¯ ¿ °¡­{Æ�¯ � ²�°¸¯y¬ ´ ¼ � ¶r° Å Ç â Êr²�Â'ÇÅ�òñ*ñ©� â g�Ð�Æ ´ ¼ ¾ ¯BÆ���¯BÆ@Â'¶ ¾ �CÂ=ßKßc�MÁ

: ß�;ÌF�Á.�)�}Ç��CÁ)���:�g�}�I�ÃöK�:�Ãźò\ÅsÆ­��Ç��)�K�g���ZóKÇ��c�iÆi�:Á þ ¯y²�Í�Ç � ­{¼ ¿ ° Ç7ª¼�¶rÂ'Ç9� �^Æy�cóK����VÂ=���H� ñ �M��Â=ßcß��MÁ

: Â=��;%�$Ásùnò\ÅV�^�c�MË�ÍvÁ\Ëi�$�p��Äd�}Ç�Æ)��ta��Ëi�:Áëz8Á��V�iÇ.���:�'óKÇ��K�iÆ)�:�.ò\ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�é%<�i���.ËCÎÈ�}ÆiÇ�������éD<òy�c����ù�Ç��KÓ{�Nö)Á � Æ�² ¾ Æ�¯y¬y¬ ´ ¼ � ¶r° Å ÇAÊr²�Âx�*j â#� ´ Æ Å ¶r­�¬/¯BÆ â'� ²/¬B°¸²�¼ � ¶�Ç �ÂWßKßK�MÁ

: ÂKÂs;�� Á±ùnÇ��KÓ{�=ö­Á�Ä�ÅsÆ­��Ç��)�K�g���oùnÇ��K�MÆi�:ÁÌ´ ¼/z�¬y¬s¶r½/¬ ´ ¼ þ Æ�²�­/Ð$û Å ¯y²�Æ@½ â ¯ · Ç þ ¯BÆ@ĬB°¸¯B¼ â � g : ák� ­�®sÂ'Ç â Êr²�Â'Ç�� â g�Ð�Æ ´ ¼ ¾ ¯BÆ���¯BÆ@Â'¶ ¾ �iÆy�}óK�:�� K���V�r K�M�­Â=ß��\�VÁ

: ÂN��;LIMÁ)ùõÁyÄ!�V�yD<�g�Mó��c�MË�ùõÁ��­Á��^�c�i�ióiÁ.Êv�KÆ­�c�g�KócÅcÁ ª ·�·r´ ¬/²�¼+fC¯y¬BÂé¯B½ �±Â=ß� VÂKÁ: Â=��;�÷dÁy���=���M�g�g���CÁ'à±�s�W�c�­�:�K�i�M�:������ös���RÅc�yøn�g���g�i�g�c��óKÇ��K�iÆi���}�iËZóK�:�sËi�����g���$�K�¦�IòM�

�M�g�/�2�R�iÆ��cÉv�Iòi�n���KÇ��i��Á á ¼�Êr¯B¼�°ÀÇ Í�¶r° Å Ç ��ß\ H�Òß\���)ÂN�c V�y�c�c�MÂKÁ:  ñ ;#�oÁ½Ì�Á}���g�M��D\ÅKÁsÊu���g�6òiÓ��i�g���:Çvùn�:�sËi�:���g�:�u�c�iË��'�iËi���}Éy���U���c�i�Ãɾ�K�gËi��Á û¥²yÐ�²�Âé² ¾ ½ �Æi�cóK�:�fÂ@�M�c�V��Â=ßcß\�VÁ: ÂN��;#�oÁcÌfÁK���g�i�ED<ÅcÁyôG�ä���góK��Ëi���RÅc�½à���Ó�Ã�u�V�����:�\�}�iËp�'�iËoÑR�\ö}�cÇ��g�c�\�I�u�cÉ�Ä!ÅsÆ)�:Ç��­�K���g�

�<�O���c�M��ɾ�K��Ëi�:Áx� ÇpªÌÇ � Ç g¥Ç â Êr²�Â'ÇS� �MÆy�cóK���d�}�Kß��M�r�r�M��Â=ßcß ñ Á: Â/ �;����còy�c�Ú�����IÇ��MÁû÷r�c�i�i�c�H�RÊ$ò<�iÇ����I�c� ���cÆi�{ɾ�KÇ�Ä�ÅsÆ­��Ç��)�K�g����ùnÇ��K�MÆ��M?s�I�:�{�

���g�K�M�:Á û¥²yÐ�²�Âé² ¾ ½"j�� �yÆy�}óK�:���K�K ��M�c���M�­Â=ßKß��VÁ: ÂN �;����còy�c�á���Ã�IÇI�VÁo÷r�c�M�i�K�H�äÊ$òs�MÇ������K� ���cÆi�Gɾ�KÇGÊ$Ç��:�����cÉ&Ä�ÅVÆ)�:Ç��­�c�g�g�õ������Ç��g�

�sÆy�c�:���:Á�� ²�­HÆ�Çi� ´ 2 Ç þ ¯y²�Í�Çañ�� �MÆy�cóK���fÂW�\���)Â/ ñ ��Â=ßcß��MÁ�VÂ

Page 32: Õ'é - math.tifr.res.inmahan/bddgeo.pdf · Ê$òi õɾ K g / g Mó g Ó Ó =Ås Iòy ½ ÷r c i i K {RÊ$ò< iÇ O I K áÓ }Æ B? V g O I É'ɾ

: Â/��;����còy�c� �õ��Á1÷r�c�i�M�K�H�RÊ$ò<�iÇ������K�í���}Æi�õɾ�KÇ�Í��cÇ��:ËÞ���c�i�Ãɾ�K�gËi���cÉoF&�K�i�iËi��Ëùn�:�cÓ�8�IÇ�Å)Á Ð�Æ�¯¸Ð�Æ ´ ¼�° â ¶rÆDÄ ´ Ê ý Í�¶r° Å Ç þ ûw�����m��jF���°� �i�c�K�\�sÁ

: Â=ß�;����còy�c� �o��Á�÷r�}�i�i�K�H�äÊ$ò<�iÇ��O�I�K�����}Æi�xɾ�KÇx�V�iÇOÉa�c�:�Gù�Ç��K�iÆi��Á Ð�Æ�¯¸Ð�Æ ´ ¼�° �i�c�c�\�VÁ: �c��;����còy�c���õ��Á$÷r�c�M�i�K�H�äÊ$òs�MÇ������K� ���}Æi�:�)�'�ä�­�K�M�iËi�:Ë�ùn�:�KÓ{����Ç�Å �c�MË��{Ê$òi�:���

Ç��:Ó �cÉ_���W���i�g���:�CÁ Ð�Æ�¯¸Ð�Æ ´ ¼�° â ¶rÆ�Ä ´ Ê ý Í�¶r° Å Ç þ ûw�����*�*�m�½ñ©� �i�c�c�\�VÁ: �VÂs;SO ÁcÍuÁ½Ê$ò<�iÇ��O�I�K�CÁyÊ$òM�!ù����KÓ�8�IÇOÅf�c�iËõÊ$�KÆ)�K�g�cócÅ��cÉ)���U���c�i�Ãɾ�K�gËi��Á � Æ ´ ¼ ¿ ¯B°¸²�¼

� ¼ ´ Êr¯BÆ�¬ ´ °¡½ � ²�°¸¯y¬ �±Â=ß��c�MÁ�!øf� �d�gËMÅK�cÓ��}�iËi�gÇ��õ�c�iË8�!ø������V�!Ñ6�cF&�:�g�MÇd���}�IòC�MÑR�iËi�p�

�M�äÓ��c���À�u�iÇ�Ó�còy�c��¡nócÓ��c���üÁÏ�:�KÓ

�K�