Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20edu.eap.gr/pli/pli20/students/2003-4/doc/ergasia4_2003-4... · 2004. 3. 29. · 2. Κατά πλάτος διάσχιση:

∆ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική – ΠΛΗ20

Ε ρ γ α σ ί α 4η

Θεωρία Γραφηµάτων

Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν

Ερώτηµα 1. ∆ίδεται το δένδρο του παρακάτω σχήµατος.

Θεωρώντας σαν ρίζα το

i) Το ύψος του δένδρου

Error! Reference source not found. Errofound.]

b

a

c

i

m

g

υ δένδ

r! Reference

h

d

e

ρου την

source not fo

f

κορυ

und., 4η

k

φή a, να βρεθού

εργασία, ΠΛΗ 20 [Error! Re

l

p

n

ν:

ference sou

o

rce not 1

ii) Το επίπεδο κάθε µιας από τις κορυφές c, p και ο

iii) Τα παιδιά της κορυφής k

iv) Ο πατέρας και οι πρόγονοι της κορυφής n

v) Τα φύλλα του δένδρου

Απάντηση:

Σχεδιάζοντας το παραπάνω δέντρο από την ρίζα a προς στα φύλλα,

a

m i b k c

e d f l p q h

on

είναι φανερό ότι: i) Το ύψος του δένδρου είναι 3.

ii) Το επίπεδο κάθε µιας από τις κορυφές c, p και ο είναι αντίστοιχα 1, 2 και 3.

iii) Τα παιδιά της κορυφής k είναι οι κορυφές p και l.

iv) Η κορυφή n έχει πατέρα την p και προγόνους τις p, k και a.

v) Τα φύλλα του δένδρου είναι οι κορυφές m, i, d, e, f, l, n. o, q, h.

Ερώτηµα 2. 1. Έστω G ένας γράφος µε µέγιστο βαθµό ∆ = κ. Να αποδειχτεί ότι αν ο G

είναι δένδρο, τότε έχει τουλάχιστον κ κορυφές µε βαθµό 1.

2. Ένα πλήρες (2-3)-αδικό δένδρο, είναι ένα δένδρο που όλα τα φύλλα του

βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και κάθε εσωτερική κορυφή έχει 2 ή 3 παιδιά.

Ποιο µπορεί να είναι το ελάχιστο και ποιο το µέγιστο ύψος του δένδρου αυτού

όταν έχει 100 κορυφές συνολικά;

Error! Reference source not found. Error! Reference source not found., 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [Error! Reference source not found.]

2

(Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε το θεώρηµα 2.15, σελίδα 220, βιβλίο Β’, Μ.

Μαυρονικόλα).

Απάντηση:

1. Εστω a µια κορυφή του G µε τον µέγιστο βαθµό W(a) = κ. Θεωρούµε την a σαν ρίζα του δέντρου G. Για κάθε παιδί v της ρίζας a, ισχύει ότι: είτε το v είναι φύλλο στο δέντρο G είτε το v έχει τουλάχιστον ένα απόγονο που είναι φύλλο στο G. Αρα το δέντρο G θα έχει τουλάχιστον κ φύλλα (δηλαδή, τουλάχιστον κ κορυφές µε βαθµό 1).

2. Ένα πλήρες (2-3)-αδικό δένδρο έχει κάποιες κορυφές µε 2 παιδιά και κάποιες µε τρία παιδιά. Αν έχει K κορυφές συνολικά, µπορούµε να το κατασκευάσουµε µε τους εξής δύο (όχι µοναδικούς) τρόπους:

(i) Παίρνουµε ένα πλήρες 2-αδικό δέντρο T µε το µέγιστο δυνατό ύψος h, τέτοιο ώστε το σύνολο των κορυφών του να είναι µικρότερο ή ίσο του K (άρα το πλήρες 2-αδικό δέντρο ύψους h+1 θα έχει πλήθος κορυφών µεγαλύτερο του K). Στη συνέχεια, προσθέτουµε σε κάποιες κορυφές του T ένα τρίτο παιδί και κατασκευάζουµε ένα πλήρες (2-3)-αδικό δένδρο µε ακριβώς K κορυφές και ύψος h. Με βάση το θεώρηµα 2.15 ένα πλήρες 2-αδικό δέντρο ύψους h περιέχει 2h+1-1 κορυφές. Επειδή το h είναι µέγιστο, θα έχουµε:

1212 21 −<≤− ++ hh K ⇒ 21 212 ++ <+≤ hh K λογαριθµίζοντας µε βάση το 2 παίρνουµε:

⇒ 122/)1(2 +<+≤ hh K1)2/)1((2

⇒

log +<+ hK

532log)2/101 2 ==

≤

logh

(2=

. Αρα . Για K = 100 παίρνουµε . )2/)1((log 2 += Kh h

(i) Παίρνουµε ένα πλήρες 3-αδικό δέντρο T µε το ελάχιστο δυνατό ύψος t και πλήθος κορυφών µεγαλύτερο ή ίσο του K. Στη συνέχεια, αφαιρούµε κάποιο τρίτο παιδί από κάποιες κορυφές του T και κατασκευάζουµε ένα πλήρες (2-3)-αδικό δένδρο µε ακριβώς K κορυφές και ύψος t. Με βάση το θεώρηµα 2.15 ένα πλήρες 3-αδικό δέντρο ύψους t περιέχει (3t+1-1)/2 κορυφές. Επειδή το t είναι ελάχιστο, θα έχουµε:

2/)13(2/)13( 1 −≤<− +tt K ⇒ 3 λογαριθµίζοντας µε βάση το 3 παίρνουµε:

13123 +≤+< tt Kt

⇒ tt K 33/)12(1 ≤+<−

tK⇒

≤+≤− )3/)12((log3

481log)3/201 3 ==

1

log 3

. Αρα

. Για K = 100 παίρνουµε t . tK =+ )3/)12((log 3 (=

Αρα συµπεραίνουµε ότι ένα τυχαίο πλήρες (2-3)-αδικό δένδρο µε 100 κορυφές θα έχει ύψος p, όπου 4 ≤ p ≤ 5.


3

Ερώτηµα 3. 1. ∆ίδεται το γράφηµα G του παρακάτω σχήµατος.

Να βρεθούν πόσα

γραφήµατος αυτού.

ισοµορφικά το ένα µε

2. Γενικά, ποιος είνα

(spanning trees) του

Υπόδειξη: ∆ίδεται ότ

Σηµείωση: Στα βιβλίο

(ορισµός 5.6, σελίδα

ο όρος γεννητορικό δ

όρο spanning tree. Σ

(συνδετικό δένδρο).

Απάντηση:

1. Κάθε συνδετικό δέτα συνδετικά δένδραθα έχουν και τον ίδιο το πλήθος των συνδ3 δίνουν 20 διαφορετκαθένα). Απο αυτά, τδέντρα.

Error! Reference source not found. found.]

a

γ

είναι τα συνδε

Ζωγραφίστε 2 δ

το άλλο.

ι ο τύπος που δίνε

πλήρους γραφήµα

ι ο αριθµός των δέ

του Γ. Βούρου χρ

162) ενώ στο βιβλί

ένδρο (σελίδα 134

την εργασία χρησιµ

ντρο µε n κορυφέ του γραφήµατος Gαριθµό ακµών (3=ετικών δέντρων τοικά υπογραφήµαταα 4 θα έχουν ένα

Error! Reference source not fou

β

δ

τικά δένδρα (spanning trees) του

έντρα από αυτά, που να µην είναι

ι τον αριθµό των συνδετικών δένδρων

τος Kn;

νδρων σε n κόµβους είναι nn-2.

ησιµοποιείται ο όρος συνδετικό δένδρο

ο του Μ. Μαυρονικόλα χρησιµοποιείται

). Και οι δύο µεταφράζουν τον αγγλικό

οποιούµε την ορολογία του Γ. Βούρου

ς έχει ακριβώς n-1 ακµές. Επειδή όλα έχουν τον ίδιο αριθµό κορυφών (4),

4-1). Αρα, µπορούµε να υπολογίσουµε υ G: Οι συνδυασµοί των 6 ακµών ανά του G (µε 3 ακµές και 4 κορυφές το κύκλο. Αρα το G θα έχει 16 συνδετικά

nd., 4η εργασία, ΠΛΗ 20 [Error! Reference source not 4

Τα παρακάτω συνδετικά δέντρα του G δεν είναι ισοµορφικά µεταξύ τους (διαφέρουν στον βαθµό της κορυφής α):

α β α β

γ δ γ δ

2. Η υπόδειξη δίνει τον τύπο (nn-2) που υπολογίζει τον αριθµό των συνδετικών

δένδρων (spanning trees) του πλήρους γραφήµατος Kn.

Ερώτηµα 4. 1. ∆ίδεται το γράφηµα G του παρακάτω σχήµατος.

β

Να βρεθεί ένα συνδετικό δένδρο π

κατά πλάτους διάσχισης (breadth

προκύπτει µε χρήση του αλγορ

search) ξεκινώντας από την κορυ

Error! Reference source not found. Error! Reference soufound.]

α

ου προκύπ

first search

ίθµου κατά

φή γ.

rce not found., 4η ερ

δ
γ
η
ε
γ

ζ

θ

τει µε την χρήση του αλγορίθµου

) και ένα συνδετικό δένδρο που

βάθους διάσχισης (depth first

ασία, ΠΛΗ 20 [Error! Reference source not 5

2. Οι αλγόριθµοι κατά πλάτους (breadth first search) και κατά βάθους

διάσχισης (depth first search) παίρνουν σαν είσοδο ένα γράφηµα G και

δηµιουργούν σαν έξοδο κάποιο δένδρο. Το ύψος του δένδρου αυτού

εξαρτάται από την κορυφή από την οποία ξεκινάει η διάσχιση. Για κάθε µία

από τις παρακάτω περιπτώσεις υπολογίστε τα πιθανά ελάχιστα και µέγιστα

ύψη δένδρων που παράγουν οι δύο αλγόριθµοι:

i) Πλήρης γράφος

ii) Γράφος «κύκλος» (ο γράφος είναι συνδεδεµένος και όλες οι κορυφές έχουν

βαθµό 2)

iii) Γράφος «αστέρας» (ο γράφος είναι συνδεδεµένος, µια κορυφή έχει βαθµό

n-1 όπου n είναι το πλήθος των κορυφών και όλες οι υπόλοιπες έχουν βαθµό

1).

Απάντηση: 1. Κατά πλάτος διάσχιση: Ο αλγόριθµος κατασκευάζει ένα δέντρο κατά

πλάτους διάσχισης. Στο παρακάτω παράδειγµα χρησιµοποιούνται οι εξής

συµβολισµοί: Κορυφές µε κίτρινο χρώµα: Ο αλγόριθµος θα τις επισκευθεί

άµεσα (στα αµέσως επόµενα βήµατα) και θα τις προσθέσει στο υπό

κατασκευή δέντρο. Η προτεραιότητα της επίσκεψης καθορίζεται από τον

αριθµό µέσα στον κύκλο (οι αριθµοί στους κύκλους δείχνουν επίσης και το

επίπεδο των κορυφών στο δέντρο που κατασκευάζεται). Τις κορυφές µε τον

ίδιο αριθµό, ο αλγόριθµος θα τις επισκευθεί µε βάση την αρχική τους διάταξη

(στο παρακάτω παράδειγµα υποθέτουµε ότι η διάταξη είναι: γ, ζ, α, ε, η, β, δ,

θ). Σε κάθε βήµα, η κορυφή που προστίθεται στο δέντρο αποκτά πράσινο

χρώµα και όσες από τις γειτονικές της δεν έχουν χρώµα γίνονται κίτρινες και αποκτούν έναν αριθµό κατά 1 µεγαλύτερο της πράσινης. Ακµές µε µεγάλο πάχος: Οι ακµές του δέντρου κατά πλάτους διάσχισης.

Αριθµοί σε τετράγωνα: τα βήµατα του αλγορίθµου.

Ο αλγόριθµος ξεκινά από την κορυφή γ, την κάνει κίτρινη και της δίνει τον

αριθµό 0.


6

α 1

δ δ0 0β β

ε ζ η 1 1 η

θ θ1 2

11

20δ0 2β

1 1 21 1 2

θ3 4 θ

1 1

3 θ

1 1 2

2 0 2 20 2

1 1 2

34


7

11

2020 2 2

1 1 2 1 1 2

35 6 θ

1

20 2 Ενα δέντρο κατά πλάτους διάσχισης

1 1 2

7 3

Κατά βάθος διάσχιση: Θα κατασκευάστεί ένα δέντρο κατά βάθους

διάσχισης. Υποθέτουµε ότι η διάταξη των κορυφών είναι: γ, α, δ, β, ε, ζ, η, θ.


8

7

Ενα δέντρο κατά βάθους διάσχισης θ

ε ζ η

β γ δ

α

6 θ

ε ζ η

β γ δ

α

5 θ

ε ζ η

β γ δ

α

4 θ

ε ζ η

β γ δ

α

4 θ

ε ζ η

β γ δ

α

3 θ

ε ζ η

β γ δ

α

2 θ

ε ζ η

β γ δ

α

1 θ

ε ζ η

β γ δ

α


9

2. Κατά πλάτος διάσχιση: i) Στον πλήρη γράφο Kn το ύψος του δένδρου θα είναι πάντα 1 και δεν

εξαρτάται από την κορυφή που ξεκινά η διάσχιση.

ii) Στον γράφο «κύκλο» µε n κορυφές, επίσης το ύψος του δένδρου δεν

εξαρτάται από την κορυφή που ξεκινά η διάσχιση. Το ύψος του δέντρου θα

είναι πάντα . 2/n

iii) Ο γράφος «αστέρας» µε n κορυφές είναι ένα δέντρο. Αν ξεκινήσει η

διάσχιση από την κορυφή που έχει βαθµό n-1, το ύψος του δέντρου θα είναι

1, ενώ αν ξεκινήσει η διάσχιση από µια κορυφή που έχει βαθµό 1, το ύψος

του δέντρου θα είναι 2.

Κατά βάθος διάσχιση: i) Στον πλήρη γράφο Kn το ύψος του δένδρου δεν εξαρτάται από την κορυφή

που ξεκινά η διάσχιση. Το δέντρο που προκύπτει αποτελείται από ένα

µοναδικό µονοπάτι που περιέχει και τις n κορυφές. Αρα το ύψος του θα είναι

πάντα n-1.

ii) Στον γράφο «κύκλο» µε n κορυφές, επίσης, το ύψος του δένδρου δεν

εξαρτάται από την κορυφή που ξεκινά η διάσχιση. Το δέντρο που προκύπτει

αποτελείται από ένα µοναδικό µονοπάτι που περιέχει και τις n κορυφές. Αρα

το ύψος του δέντρου θα είναι πάντα n-1.

iii) Στον γράφο «αστέρα» µε n κορυφές, αν ξεκινήσει η διάσχιση από την

κορυφή που έχει βαθµό n-1, το ύψος του δέντρου θα είναι 1, ενώ αν ξεκινήσει

η διάσχιση από µια κορυφή που έχει βαθµό 1, το ύψος του δέντρου θα είναι 2.

Ερώτηµα 5.

1. Έστω ένα επαρχιακό οδικό δίκτυο το οποίο συµβολίζεται από τον παρακάτω απλό γράφο µε βάρη G ώστε οι κορυφές να αναπαριστούν τα χωριά, οι ακµές τους δρόµους µεταξύ τους και τα βάρη των ακµών τις χιλιοµετρικές αποστάσεις. Έστω ότι θέλουµε να ασφαλτοστρώσουµε κάποιους από τους δρόµους του δικτύου αυτού έτσι ώστε αφ’ ενός µεν όλα τα χωριά να συνδέονται µεταξύ τους (να υπάρχει ασφαλτοστρωµένο µονοπάτι µεταξύ οποιωνδήποτε δύο χωριών) και αφ’ εταίρου να έχουµε το ελάχιστο δυνατό κόστος (υποθέτουµε ότι όσο λιγότερα είναι τα χιλιόµετρα που θα


10

ασφαλτοστρώσουµε, τόσο µικρότερο είναι και το κόστος). Βρείτε ένα υπογράφηµα του G που πληροί τις προϋποθέσεις αυτές (παρουσιάστε τα βήµατα του αλγορίθµου που θα χρησιµοποιήσετε και το τελικό αποτέλεσµα).

2. Έσττου δέπροσθοποίεςγράφοπαρουστο Τ προσθπροκύ

Απάντ

1. ΒρίσPrim.

Κόκκιν

Ακµές

∆ιακεκµε το µ

Ο αλγό

Error! Refefound.]

α

ω G=(V,E) ένα ανδρο (ορισµός 5έτοντας µια νέα κ θα συνδέσουν ς που προκύπτεσιάστε ένα αντιπτην ακµή µε έσαµε και που σπτει είναι ελάχιστ

ηση:

κουµε ένα ελάχ

ος κύκλος: Οι κ

µε µεγάλο πάχο

οµµένες ακµές:ικρότερο βάρος.

ριθµος αρχίζει µε

rence source not found. Erro

β
δ
πλό γράφηµα µε .7, σελ. 169, βιβλορυφή u και κάποτην u µε υπάρχοι είναι ο G’. Απαράδειγµα στην ατο µικρότερο βάρυνδέουν την u µο συνδετικό δένδρο

ιστο συνδετικό δέ

ορυφές του υπό κα

ς: Οι ακµές του υπ

Οι υποψήφιες ακµ

µια τυχαία κορυφ

r! Reference source not found.,

γ

ε

βάρη και Τ ένα είο Γ. Βούρου). Ειες (οσεσδήποτευσες κορυφές τοοδείξτε ως προςκόλουθη πρότασος από όλες τιςε κορυφές του G του G’».

ντρο του G µε τ

τασκευή δέντρου

ό κατασκευή δέν

ές. Από αυτές δι

ή (την α).

4η εργασία, ΠΛΗ 20 [Error! Re

ζ

1

5

7
3
6

6

8

9

λάχιστο συνδετικό παυξάνουµε το G

) ακµές µε βάρη οι υ G. Έστω ότι ο την ορθότητα ή η: «Προσθέτοντας νέες ακµές που , το δένδρο που

ον αλγόριθµο του

.

τρου.

αλέγουµε µια ακµή

ference source not 11

8

9 6

3

6

7

5

1

ε δ

β γ

ζ α

8

9 6

3

6

7

5

1

ε δ

β γ

ζα

8

9 6

3

6

7

5

1

ε δ

β γ

ζ α

8

9 6

3

6

7

5

1

ε δ

β γ

ζα


12

6 β γ 1 8

α 7 3 ζ

5 9δ ε 6

6 γ β1 8

α 3 Ενα ελάχιστο συνδετικό δέντρο του

G µε βάρος 23

ζ

5 δ ε

2. Εστω Τ ένα ελάχιστο συνδετικό του G και έστω w µια «νέα» ακµή µε το µικρότερο βάρος από όλες τις νέες ακµές που προσθέσαµε και συνδέουν την u µε κορυφές του G. Αν προσθέσουµε την w στο ελάχιστο συνδετικό δένδρο T θα δηµιουργηθεί το συνδετικό δέντρο T1. Στη συνέχεια προσθέτουµε στο T1 την αµέσως επόµενη µικρότερη «νέα» ακµή, έστω v (αν υπάρχει τότε: βάρος της v ≥ βάρος της w) και το γράφηµα T2 που προκύπτει θα περιέχει ακριβώς ένα κύκλο C. Αφαιρούµε από τον κύκλο C µια ακµή, έστω z, που έχει µέγιστο βάρος και δηµιουργούµε ένα νέο συνδετικό δέντρο T3.

Αν υποθέσουµε ότι: βάρος της z > βάρος της v, τότε το βάρος του δέντρου T3 είναι αυστηρά µικρότερο του βάρους του δέντρου T1. Αρα το δέντρο T1 δεν είναι γενικά ένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο του G’. .

Ερώτηµα 6. Ερώτηµα 6.

Έστω G=(V,E) ένα απλό γράφηµα µε βάρη όπου κάθε ακµή του περιέχεται σε κάποιον κύκλο. Υποθέτουµε ότι υπάρχει µια και µόνο ακµή em στο G που να έχει µέγιστο βάρος, δηλαδή W(em) > W(e), ∀ e ∈ E. Αποδείξτε ότι κανένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο του G δεν µπορεί να περιέχει την em.


13

Απάντηση:

Υποθέτουµε το αντίθετο και έστω T=(V,E1) ένα ελάχιστο συνδετικό δέντρο του G=(V,E) που περιέχει την ακµή em. Εστω a, b οι κορυφές της ακµής em και έστω ότι η κορυφή a είναι πατέρας της b στο T (αν ορίσουµε σαν ρίζα του δέντρου T µια τυχαία κορυφή του, τότε µπορούµε να αναφερθούµε στις κορυφές του T µε τις έννοιες πρόγονος-απόγονος-παιδί-πατέρας-φύλλο.).

Επειδή η ακµή em περιέχεται σε κάποιον κύκλο του G, «υπάρχει τουλάχιστον µιά ακµή v του συνόλου E-E1 (δηλαδή, µιά ακµή v єE που δεν χρησιµοποιήθηκε στην κατασκευή του δέντρου T) που αν προστεθεί στο δέντρο T, θα δηµιουργηθεί ακριβώς ένας κύκλος C. που θα περιέχει και την ακµή em». ∆ηλαδή, υπάρχει τουλάχιστον µιά ακµή v єE-E1 που ικανοποιεί ένα από τα εξής:

(i) Η v θα συνδέσει ένα απόγονο της b µε την a.

(ii) Η v θα συνδέσει ένα απόγονο της b µε πρόγονο της a.

(iii) Η v θα συνδέσει την b µε πρόγονο της a.

(iv) Η v θα συνδέσει ένα απόγονο της b (ή την ίδια την b) µε κάποια κορυφή που δεν είναι ούτε πρόγονος ούτε απόγονος της b.

Αν δεν υπάρχει ακµή v єE-E1 που να ικανοποιεί µια από τις παραπάνω ιδιότητες, τότε η ακµή em δεν ανήκει σε κανένα κύκλο του G, άτοπο.

Συνεπώς, έστω T1 ο γράφος που προκύπτει µε την προσθήκη µιας τέτοιας ακµής v που αν προστεθεί στο δέντρο T, θα δηµιουργηθεί ακριβώς ένας κύκλος C που θα περιέχει και την ακµή em. Αν αφαιρέσουµε την ακµή em από τον µοναδικό κύκλο C, τότε θα προκύψει ένα νέο συνδετικό δέντρο T2. Επειδή το βάρος της ακµής w είναι µεγαλύτερο του βάρους της ακµής v, το δέντρο T2 θα έχει µικρότερο βάρος από το δέντρο T, άρα το T δεν είναι ένα ελάχιστο συνδετικό δέντρο, άτοπο.

Ερώτηµα 7. 1. ∆ίδεται η ακολουθία ε, α, γ, ζ, ,θ, β, δ, κ, η, ι. Να κατασκευαστεί το δυαδικό

δένδρο αναζήτησης για την ακολουθία αυτή (χρησιµοποιήστε τον αλγόριθµο

5.4, σελ. 178, Τόµος Α, Γ. Βούρου και θεωρείστε ότι οι σχέσεις «µικρότερο»


14

και «µεγαλύτερο» µεταξύ δύο γραµµάτων εκφράζονται από την σειρά τους

στο αλφάβητο, π.χ. α < κ, ζ > η κ.ο.κ).

2. Εφαρµόστε στο δένδρο αυτό τους αλγορίθµους διάσχισης inorder, preorder

και postorder και περιγράψτε τα αποτελέσµατά τους.

Απάντηση:

1.

ι

η κ δ β

θ

ζ

γ

α

ε

2. Ενδοδιατεταγµένη διάσχιση (inorder traversal): Ο αλγόριθµος επισκέπτεται πρώτα το αριστερό παιδί, µετά τον γονέα και µετά το δεξί παιδί «α,β,γ,δ,ε,ζ,η,θ,ι,κ»

Προδιατεταγµένη διάσχιση (preorder traversal): Ο αλγόριθµος επισκέπτεται πρώτα τον γονέα µετά το αριστερό και στη συνέχεια το δεξί παιδί «ε,α,γ,β,δ,ζ,θ,η,κ,ι»

Μεταδιατεταγµένη διάσχιση (postorder traversal): Ο αλγόριθµος επισκέπτεται τα παιδιά (πρώτα το αριστερό και µετά το δεξί) και στη συνέχεια τον γονέα «β,δ,γ,α,η,ι,κ,θ,ζ,ε»


15

Ερώτηµα 8.

Κατασκευάστε κώδικα Huffman για τα γράµµατα του παρακάτω πίνακα:

Γράµµα Συχνότητα

Ε 0.2

Β 0.05

Ρ 0.15

Τ 0.1

Ο 0.1

Σ 0.25

Μ 0.2

Με βάση αυτόν τον κώδικα, κωδικοποιείστε τις ακόλουθες λέξεις:

ΕΡΕΒΟΣ, ΤΡΟΜΟΣ, ΡΟΜΒΟΣ

Απάντηση:


16

0.2

Μ

0.25

Σ

Μ

10

Σ

0.45 0.25

Ρ

10

Ε

10

Ο10

ΤΒ

0.35

10

0.6

Μ

10

Σ

0.45

Ρ

10

Ε

10

Ο10

ΤΒ

0.25

Ρ

0.2

Ε

0.2

Μ

0.25

Σ

0.15

Ρ

0.2

Ε

0.2

Μ

0.1

Ο

0.25

Σ

0.15

Ρ

10

Ε

10

Ο10

ΤΒ

0.35

10

Ο10

ΤΒ

0.25

10

ΤΒ

0.15

0.2

Μ

0.1

Τ

0.1

Ο

0.25

Σ

0.15

Ρ

0.05

Β

0.2

Ε


17

10

0 110

0.25 0.30 Σ Μ0 1

100 1

ΟΕ Ρ Β Τ

Αρα προκύπτει ο εξής κώδικας Huffman:

Γράµµα Κωδική λέξη

Ε 000

Β 0100

Ρ 001

Τ 0101

Ο 011

Σ 10

Μ 11

Με βάση αυτόν τον κώδικα, κωδικοποιούµε τις λέξεις:

ΕΡΕΒΟΣ = 000001000010001110

ΤΡΟΜΟΣ = 01010010111101110

ΡΟΜΒΟΣ = 00101111010001110


18


19

Documents

Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20edu.eap.gr/pli/pli20/students/2003-4/doc/ergasia4_2003-4... · 2004. 3. 29. · 2. Κατά πλάτος διάσχιση: