1

Арзамас 2008

Федеральное агентство по образованиюГосударственное образовательное учреждение

высшего профессионального образованияНижегородский государственный технический университет им. Р.Е.Алексеева

Арзамасский политехнический институт (филиал НГТУ)Ассоциация ученых города Арзамаса

В.Л. Волков

МОДЕЛИРОВАНИЕПРОЦЕССОВ И СИСТЕМВ ПРИБОРОСТРОЕНИИ

Учебное пособиедля студентов технических специальностейдневной, вечерней, и заочной форм обучения

СИСТЕМА

МОДЕЛЬ

ЭКСПЕРИМЕНТ

2

УДК: 681.5.01:621.317.08 (075.8)

Волков В.Л. Моделирование процессов и систем в приборостроении. Учебное посо-бие для студентов технических специальностей дневной, вечерней и заочной форм обуче-ния / Арзамас, АПИ НГТУ, 2008. - 143 с.

ISBN 5-230-03038-0.В учебном пособии представлены сведения по математическому моделированию ди-

намических систем и процессов в приборостроении. Особенности задач моделирования вприборостроении заключаются в применении универсального математического аппаратав виде дифференциальных уравнений, матричных преобразований и стохастических про-цессов.

Классические математические модели рассмотрены в предыдущем издании учебногопособия [1]. Здесь представлены современные вопросы моделирования, основанные наприменении современного векторно-матричного математического аппарата, и рассмотре-ны практические задачи моделирования на компьютерах с применением лицензионногообъектно-ориентированного программного обеспечения.

Печатается по решению кафедры “Авиационные приборы и устройства”Арзамасского политехнического института (филиала) НГТУ.

Рецензент - канд. техн. наук А.Ю. Мишин.

Подп. в печ. Формат 60×84 1/16. Печать офсетная.Печ. л. 8,5. Уч.-изд. л. 8,0. Тираж 200 экз. Зак. .____________________________________________________________Издатель: ОО «Ассоциация ученых» г. Арзамаса Нижегородской области,607220, г. Арзамас, Нижегородской области, ул. Калинина, 19.Участок офсетной печати: 607220, г. Арзамас, Нижегородской области, ул. Севастопольская, 15.

© Волков В.Л., 2008© Нижегородский государственный технический университет, 2008© ОО «Ассоциация ученых» г. Арзамаса Нижегородской области, 2008

3

СодержаниеПредисловие 5Введение 61. Основные понятия систем 9 1.1. Основные понятия марковских систем 232. Динамические процессы и их свойства 24 2.1. Теорема проецирования 24 2.2. Импульсная теорема 25 2.3. Случайные процессы 253. Модели динамических систем и процессов 27 3.1 Формирующий фильтр стохастического процесса 30 3.1.1. Пример факторизации на основе Excel 31 3.2 Модели датчиков первичной информации 34 3.2.1. Пример составления динамической модели датчика 34 3.2.2 Формирование модели ДПИ методом ЖЛАХ 36 3.3. Основные матричные модели 38 3.3.1 Каноническое преобразование матричных моделей 40 3.3.1.1 Каноническое преобразование матричной модели в Excel 41 3.3.1.2. Алгоритм Сурье-Фадеева 44 3.4 Свойства матричных моделей 46 3.5 Методы формирования матричных моделей 48 3.5.1 Метод вспомогательной переменной 49 3.5.2. Метод нормальной матричной формы Коши 49 3.5.3. Метод канонического разложения 50 3.5.4. Метод разложения на простые множители 53 3.5.5. Метод аналогового моделирования 54 3.5.6 Нормальная форма записи уравнений состояния 554. Расчет основных характеристик процессов и систем 57 4.1. Дисперсия стохастического процесса через вычеты 57 4.2. Дисперсия стохастического процесса алгоритмом Острема 57 4.2.1. Реализация алгоритма Острема на основе Excel 58 4.3 Расчет частоты спектра и периода дискретности процесса 63 4.4. Расчет непрерывной и дискретной матричной модели 655. Статистическое моделирование систем 69 5.1. Оптимизация методом статистического моделирования 69 5.2. Объектно-ориентированное статистическое моделирование 72 5.3 Расчет передаточной функции ДС по заданным номинальным параметрам ифункциональным зависимостям 76 5.4. Преобразование модели “Передаточная функция” в непрерывную и дискрет-ную матричные модели 77 5.5. Численное решение дифференциальных уравнений 78 5.6. Метод статистического моделирования при определении допусков на конст-

4

руктивные параметры системы 79 5.7. Моделирование процессов с заданным законом распределения 816. Моделирование в системе MatLab Simulink 82 6.1. Общие сведения о системе моделирования MatLab Simulink 83 6.1.1. Библиотека блоков Simulink 85 6.2. Основные приемы подготовки и редактирования модели 97 6.3. Моделирование процесса в системе MatLab Simulink 99 6.3.1. Моделирование непрерывной системы контроля 101 6.3.2. Моделирование дискретной системы контроля 1067. Примеры моделирования 109 7.1. Моделирование датчика при входном сигнале и аддитивном шуме 109 7.2. Моделирование процессов с заданными свойствами 1118. Марковские процессы и системы 114 8.1. Марковские процессы 114 8.1.1. Основные свойства марковских систем 119 8.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний систем 123 8.3. Основные модели марковских систем 129 8.3.1. Фомула Литла 130 8.3.2. Функциональная схема многоканальной системы 131 8.3.3. Многоканальная система с отказами обслуживания 132 8.3.4. Многоканальная система с неограниченной очередью 133 8.3.5. Многоканальная система с ограниченной очередью 134 8.3.6. Одноканальная система с неограниченной очередью 136 8.3.7. Одноканальная система с ограниченной очередью 137 8.3.8. Одноканальная замкнутая система с m источниками заявок 137 8.4. Уравнения состояния резервированной системы в динамике 138Заключение 141Библиографический список 142

5

Предисловие

Опыт чтения лекций по курсу “Моделирование процессов и систем” для различныхспециальностей предоставил автору возможность обобщить некоторые новые теоретиче-ские и практические вопросы моделирования в данном учебном пособии. Существующийв настоящее время читательский интерес к вопросам практического применения теории иметодов моделирования процессов и систем потребовал, в то же время, от автора рас-сматривать технологии моделирования в свете современного постоянно совершенствую-щегося программного обеспечения и возрастающих ресурсов персональной компьютер-ной техники.

Основной задачей учебного пособия является оказание поддержки студентам в освое-нии новых технологий моделирования в специализированных отраслях знаний. Круг рас-сматривамых в учебном пособии вопросов, однако, ограничен математическим и компь-ютерным моделированием для технических систем. Студенты не технических специаль-ностей также могут воспользоваться предлагаемыми методами решения прикладных за-дач моделирования и распространить приведенный здесь математический аппарат длясвоих задач.

Учебное пособие состоит из восьми разделов, первый из которых содержит краткиеобщие положения теории систем. Второй раздел посвящен теории динамических процес-сов и их свойствам.

В третьем разделе представлены сведение по практике математических моделей наоснове современной теории состояния систем и марковских процессов. Приведен алго-ритм эквивалентных матричных преобразований модели системы к канонической форме.Этот раздел уже содержит ряд методик расчета математических моделей на основе удоб-ного для этих целей лицензионного программного обеспечения (ПО) электронных таблиц- MS Office Excel.

Четвертый раздел посвящен методикам расчета важных характеристик процессов исистем. Здесь раскрыта, практически легко реализуемая, методика расчета среднего квад-рата отклонения процесса на основе алгоритма Острема. Эта методика широко применя-ется далее во многих практических задачах анализа процессов и систем.

В пятом разделе представлены вопросы статистического моделирования процессов исистем. Рассмотрено применение объектно-ориентированного программного обеспечениядля решения задач оптимизации динамических характеристик ДПИ методом статистиче-ского моделирования, определение допустимых отклонений параметров ДПИ при обес-печении их показателей качества на заданном уровне.

Шестой раздел содержит сведения об особенностях моделирования процессов и сис-тем на основе лицензионного инженерного ПО Matlab. Приведены наглядные примерымоделирования непрерывных и дискретных систем.

Седьмой раздел собрал ряд примеров прикладных задач моделирования из учебнойпрактики.

6

Большое внимание в восьмом разделе уделено марковским процессам и системам.Здесь рассмотрены как теоретические вопросы, так и прикладные, которые предполагаютдальнейшую реализацию в лабораторных и практических работах.

Автор старался соблюдать краткость изложения, и поэтому некоторые интересные иважные вопросы представлены в ограниченном объеме. Развитие вопросов моделирова-ния для технических и других систем автор предполагает продолжить и конкретизироватьв методических указаниях по лабораторно-практическим работам дисциплин по модели-рованию и измерительным системам.

Введение Достижения в теории и практике моделирования процессов и систем, в современных

условиях, связано со стремительным развитием вычислительной техники. Что казалосьневозможным при решении многих задач моделировании еще несколько лет назад, сейчаслегко реализуется на доступном инженерном уровне [2 - 4]. Появление и развитие инже-нерных пакетов моделирования, таких как Matlab, Skylab, Labview, создало условия высо-копризводительного, объектно-ориентированного моделирования на современных ком-пьютерах.

Задачи моделирования процессов и систем многообразны. Моделирование широкоиспользуется при инженерном проектировании и научных исследованиях: для решениятехнических и экономических задач, при исследованиях в экологии и социологии, в при-боростроении и автоматизации управления.

Особенности применения моделирования в приборостроении связаны в первую оче-редь с технологическими достижениями в датчикостроении, теории измерений и обра-ботки информации.

В области экономических задач применение моделирования дает эффективный инст-румент для управления проектами и прогнозирования развития экономических процес-сов. Многие современные методы теории управления оказались эффективными при ре-шении экономических задач и достаточно легко реализуемыми на математических моде-лях и постановке вычислительных экспериментов на компьютерной технике.

Развитие нейросетей, микросистемотехники, нанотехнологии внесло много сущест-венно нового в методы моделирования процессов и систем, что дало также эффективныйинструмент для предварительного решения задач проектирования в математическом видена моделях и их численном исследовании на компьютерах.

Применение моделирования особенно эффективно при исследовании проектируемыхсистем с целью изучения и прогнозировании различных явлений и процессов в этих сис-темах. Приближение к реальным условиям работы проектируемых систем осуществляет-ся при стохастическом моделировании, когда к условиям моделирования добавляютсяслучайные изменения параметров системы, возмущения и шумы измерений физическихвеличин.

В приборостроении актуально моделирование задач управления, получения, передачии преобразования информации. При этом современные модели везде для описания про-

7

цессов и систем используют дифференциальные уравнения и линейные матричные пре-образования.

Развитие современных методов моделирования создало предпосылки для создания иисследования высокоэффективных систем, которые, как правило, ориентированы на циф-ровые алгоритмы обработки информации, с применением современных микропроцессо-ров, нейрокомпьютеров, процессоров с нечеткой логикой и других современных техноло-гических достижений.

Появление миниатюрных устройств, в которых гальванические (электрические)подсистемы интегрируются на микроуровне с механическими, породило направление- МЭМС (микроэлектромеханические системы). В России также МЭМС известны как«Микросистемная техника», содержание которой определено как: «Сверхминиатюр-ные механизмы, приборы, машины с ранее недостижимыми массогабаритами, энерге-тическими показателями и функциональными параметрами, создаваемые интеграль-но-групповыми экономически эффективными процессами микро- и нанотехнологии».Это: микроэлектромеханические, микрооптоэлектро-механические, микрофлюидныеи микропневматические компоненты для контрольно-измерительных, информацион-но-управляющих и телерадиокоммуникационных систем; микромеханизмы и микро-машины для генерации, преобразования и передачи энергии и движения на микро инаноуровнях [5].

Моделирование МЭМС одно из направлений моделирования процессов и систем.Еще одно из перспективных направлений моделирования перспективных технологи-

ческих решений это нанотехнологии.Нанотехнология механосинтеза позволяет набором веществ согласно определенным

алгоритмам с помощью наномеханизмов произвести сборку практически любого продук-та. Помимо этого, механосинтез может также осуществлять обратный процесс, «разби-рая» поданные на вход продукты до молекулярного или атомарного уровня. Этот аспекттехнологии позволяет решить проблему жизненного цикла.

Однако существует один важный параметр такой технологии– энергоемкость. Со-гласно статистике, в самом простом варианте производства при помощи механосинтезаэнергетические затраты составляют около 200 кВт часов на 1 кг продукции. В случаесборки сложных устройств увеличение энергозатрат происходит за счет дополнительныхмодулей сепарации вещества на входе и его подачи на фронт сборки (принцип Plug &Play практически полностью захватит этот сектор). Также для сложных устройств требу-ются такие вещества, которых мало или которые даже невозможно получить напрямую изокружающей человека среды. Это касается, прежде всего, редкоземельных металлов, ис-пользуемых в электронике. Переработка же имеющихся в достатке элементов с помощьюмеханосинтеза еще увеличит стоимость синтеза сложных объектов. В этом случае проис-ходит десятикратное увеличение энергозатрат. Предельная стоимость производства 1 кгконечного продукта путем механосинтеза в итоге составляет около 2,2 тыс. современныхрублей. Значительное количество сложных технических устройств, изготавливаемых потрадиционным технологиям и используемых человеком, имеет более высокую стоимостьиз расчета на 1 кг массы.

8

В предельном случае однородные объекты, производимые по нанотехнологиям, в ко-нечном итоге, станут «условно-бесплатными» - их стоимость практически на 100% будетсостоять из энергозатрат.

Информация, как представляется, не может быть продуктом механосинтеза ни прямо,ни опосредованно. В дополнение к этому, уже сейчас себестоимость производства ин-формации находится на очень низком уровне. Можно констатировать, что механосинтезникоим образом не влияет на стоимость информации. Тем не менее, количество генери-руемой информации значительно увеличится за счет лавинообразного появления описа-ний процессов сборки объектов, соответственно, объем информационного оборота воз-растет (по закону Мура в два раза каждые два года). Существующая сеть информацион-ного обмена может оказаться далекой от эффективности в таких условиях.

Нанотехнологии обещают разработать и запустить в массовое производство наноро-ботов, способных выполнять кажущиеся невозможными в настоящее время задачи (в ме-дицине, генной инженерии, нейротехнологиях).

В свете этих особенностей актуальным становится широкомасштабное моделирова-ние нанотехнологий и технологий механосинтеза, в том числе создание и исследование накомпьютерах алгоритмов синтеза различных устройств. Суммируя сказанное о нанотех-нологиях, надо учитывать при их моделировании характерные особенности:

- существенное снижение издержек на производство и доставку большого количестваматериальных объектов;

- многократное увеличение информационного обмена;- значительное увеличение жизненного цикла ресурсов;- многократное увеличение энергопотребления.На первый план при освоении нанотехнологий выходит моделирование инновацион-

ных коммуникационных средств, моделирование перспективных технологий обработки ипередачи данных.

1. Основные понятия систем

Система - это комплекс взаимодействующих элементов, находящихся в определенныхотношениях друг с другом и со средой [6].

В определение понятия системы наряду с элементами, связями и их свойствами и це-лями включают также наблюдателя. Популярно - система есть множество входов, выхо-дов, состояний, характеризуемых оператором переходов и оператором выходов:

S=(Х, Y, Z, H, G),

где Х - входы, Y - выходы, Z - состояния, Н - оператор переходов, G - оператор выходов.Для организационных систем в определении системы учитываются следующие ком-

поненты:

9

S=(РL, RO, RJ, EX, PR, DT, SV, RD, EF),

где РL - цели и планы, RO - внешние ресурсы, RJ - внутренние ресурсы, ЕХ - исполните-ли, PR - процесс, DТ - помехи, SV - контроль, RD - управление, ЕF - эффект.

Под системой понимается объект, свойства которого не сводятся без остатка к свой-ствам составляющих его дискретных элементов (неаддитивность свойств). Интегративноесвойство системы обеспечивает ее целостность, качественно новое образование по срав-нению с составляющими ее частями.

Элемент системы можно рассматривать как самостоятельную систему (математиче-скую модель, описывающую какой - либо функциональный блок, или аспект изучаемойпроблемы), как правило более низкого порядка. Каждый элемент системы описываетсясвоей функцией. Если такой элемент обладает внутренней структурой, то его называютподсистемой.

Информационно-измерительная система (ИИС) (рисунок 1.1) имеет датчики первич-ной информации ДПИ, измеряющие физические величины; устройство обработки ин-формации (УОИ) с фильтрами и вычислительными устройствами (ВУ). На основе изме-рений x1,...,xk, имеющих аддитивные шумы n1,...,nk, ИИС определяет оптимальные оценкиX^=(x^1,...,x^k).

Рисунок 1.1. Информационно-измерительная система

Для систем важно понятие управления. В широком смысле слова под управлениемпонимают организационную деятельность, осуществляющую функции направленные надостижение определенных целей. Управление - это организация такого целенаправлен-ного воздействия на некоторую часть среды, называемую объектом управления (ОУ), врезультате которого удовлетворяются потребности субъекта, взаимодействующего с этимобъектом. Упрощенное понятие управления – это получение, обработка информации ивыработка управляющих воздействий для достижения объектом целей (стабилизациядвижение по программе, оптимизация движения).

Системы управления представляют собой особый класс динамических систем, отли-чающихся наличием самостоятельных функций и целей управления и необходимым дляреализации этих функций и целей высоким уровнем специальной системной организации.

Следует заметить, что устройства связи и управления отличаются тем, что энергети-ческие отношения в них не играют существенной роли, а основным является способностьпередавать и перерабатывать информацию. Так в линии связи ничтожная доля энергииизлучаемой антенной передатчика получатся антенной приемника. КПД такого устройст-ва, с точки зрения передачи энергии, чрезвычайно мало.

10

Кибернетический подход к описанию систем состоит в том, что всякое целенаправ-ленное поведение рассматривается как управление. Язык управления — это использова-ние понятий «объект», «среда», «обратная связь», «алгоритм».

Анализ управления заставляет выделить тройку — среду, объект и субъект, внутрикоторой разыгрывается процесс управления (рисунок 1.2).

Среда

объект

субъект

X

YYU

Рисунок 1.2. Схема управления

В данном случае субъект ощущает на себе воздействие среды X и объекта Y. Еслисостояние среды X он изменить не может, то состоянием объекта Y он может управлять спомощью специально организованного воздействия U.

Система автоматического управления (САУ) - это комплекс устройств, предназна-ченный для автоматического изменения одной или нескольких регулируемых величинобъекта управления с целью поддержания желаемого режима работы (цели управления).Целью управления может быть: стабилизация регулируемых величин, программное иследящее управление регулируемых величин, оптимизация регулируемых величин. ВСАУ (рисунок 1.3) исполнительное устройство и объект управления составляют объектнаблюдения и представляют динамику системы.

Исполнительноеустройство

Объектуправления Датчики

Регулятор ФильтрUoc=-LX(k/k) X(k/k)

UзV(k) N(k)

Y(k)X(k)

Рисунок 1.3. Система автоматического управления

Случайный характер оцениваемых параметров и шумов измерений определяет веро-ятностный математический аппарат теории систем. В общем случае для описания поведе-ния входных параметров и шумов используются плотности вероятности. Параметры оп-ределяются априорной плотностью вероятности f(X), где Х - вектор параметров. Шумыкосвенно определяются плотностью f(Y/X), где Y - вектор измерений. Вектор измеренийсвязан с вектором параметров Х линейным соотношением:

Y(t)=CX(t)+N(t),

11

где С - матрица состава измерений; N(t) - вектор аддитивных шумов измерений.Элемент. Под элементом принято понимать простейшую неделимую часть системы

(используется название "компонент").Подсистема. Система может быть разделена на элементы не сразу, а последователь-

ным расчленением на подсистемы, которые представляют собой компоненты более круп-ные, чем элементы, и в то же время более детальные, чем система в целом. Названием"подсистема" подчеркивается, что такая часть должна обладать свойствами системы (вчастности, свойством целостности).

Структура. Это понятие происходит от латинского слова structure, означающегостроение, расположение, порядок. Структура - это совокупность элементов и связей меж-ду ними. Структура может быть представлена графически, в виде теоретико-множественных описаний, матриц, графов и других языков моделирования структур.

Структуру часто представляют в виде иерархии. Иерархия - это упорядоченностькомпонентов по степени важности (многоступенчатость, служебная лестница). Междууровнями иерархической структуры могут существовать взаимоотношения строгого под-чинения компонентов (узлов) нижележащего уровня одному из компонентов вышележа-щего уровня, т. е. отношения так называемого древовидного порядка. Между уровнямииерархической структуры могут существовать и более сложные взаимоотношения, на-пример, типа "страт", "слоев", "эшелонов". Примеры иерархических структур: энергети-ческие системы, АСУ, государственный аппарат.

Связь. Понятие "связь" входит в любое определение системы наряду с понятием "эле-мент" и обеспечивает возникновение и сохранение структуры и целостных свойств сис-темы. Это понятие характеризует одновременно и строение (статику), и функционирова-ние (динамику) системы.

Связь характеризуется направлением, силой и характером (или видом). По первымдвум признакам связи можно разделить на направленные и ненаправленные, сильные ислабые, а по характеру - на связи подчинения, генетические, равноправные (или безраз-личные), связи управления. Связи можно разделить также по месту приложения (внут-ренние и внешние), по направленности процессов в системе в целом или в отдельных ееподсистемах (прямые и обратные).

Важную роль в системах играет понятие "обратной связи". Это понятие, легко иллю-стрируемое на примерах технических устройств, не всегда можно применить в организа-ционных системах. Исследованию этого понятия большое внимание уделяется в киберне-тике, в которой изучается возможность перенесения механизмов обратной связи, харак-терных для объектов одной физической природы, на объекты другой природы. Обратнаясвязь является основой саморегулирования и развития систем, приспособления их к из-меняющимся условиям существования.

Классификация систем. Системы разделяются на классы по различным признакам, и взависимости от решаемой задачи можно выбрать разные принципы классификации. Приэтом систему можно охарактеризовать одним или несколькими признаками. Системыклассифицируются следующим образом:

- по виду отображаемого объекта - технические, биологические и др.;

12

- по виду научного направления - математические, физические, химические и т. п.;- по виду формализованного аппарата представления системы — детерминированные

и стохастические;- по типу целеустремленности -открытые и закрытые;- по сложности структуры и поведения - простые и сложные;- по степени организованности - хорошо организованные, плохо организованные

(диффузные), самоорганизующиеся системы.Классификации всегда относительны. Так в детерминированной системе можно найти

элементы стохастических систем.Цель любой классификации ограничить выбор подходов к отображению системы и

дать рекомендации по выбору методов.Технические системы. Параметрами технических объектов являются движущие объ-

екты, объекты энергетики, объекты химической промышленности, объекты машино-строения, бытовая техника и многие другие. Объекты технических систем хорошо изуче-ны в теории управления.

Экономические объекты. Экономическими объектами являются: цех, завод, предпри-ятия различных отраслей. В качестве одной из переменных в них выступают экономиче-ские показатели, например, прибыль.

Биологические системы. Живые системы поддерживают свою жизнедеятельностьблагодаря заложенным в них механизмам управления.

Детерминированные и стохастические системы. Системы, для которых состояние сис-темы однозначно определяется начальными значениями и может быть предсказано длялюбого момента времени, называются детерминированными.

Стохастические системы – системы, изменения в которых носят случайный характер.Например, воздействие на энергосистему различных пользователей. При случайных воз-действиях данных о состоянии системы недостаточно для предсказания в последующиймомент времени.

Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне или возникать внутринекоторых элементов (внутренние шумы). Исследование систем при наличии случайныхвоздействий можно проводить обычными методами, минимизировав шаг моделирования,чтобы не пропустить влияния случайных параметров. При этом, так как максимальноезначение случайной величины встречается редко (в основном в технике преобладает нор-мальное распределение), то выбор минимального шага в большинстве моментов временине будет обоснован.

В подавляющем большинстве случаев при проектировании систем задаются не мак-симальным, а наиболее вероятным значением случайного параметра. В этом случае по-учается более рациональная система, заранее предполагая ухудшение работы системы вотдельные промежутки времени.

Расчет систем при случайных воздействиях производится с помощью специальныхстатистических методов. Вводятся оценки случайных параметров, выполненные на осно-вании множества испытаний.

13

Статистические свойства случайной величины определяют по ее функции распреде-ления или плотности вероятности, или часто пользуются просто статистическими харак-теристиками.

Открытые и закрытые системы. Основные отличительные черты открытых систем -способность обмениваться с внешней средой энергией и информацией. Закрытые (замк-нутые) системы изолированы от внешней среды (с точностью принятой в модели).

Плохо организованные системы. При представлении объекта в виде «плохо организо-ванной или диффузной системы» не ставится задача определить все учитываемые компо-ненты, их свойства и связи между ними и целями системы. Система характеризуется не-которым набором макропараметров и закономерностями, которые находятся на основеисследования не всего объекта или класса явлений, а на основе определенной с помощьюнекоторых правил выборки компонентов, характеризующих исследуемый объект илипроцесс. На основе такого выборочного исследования получают характеристики или за-кономерности (статистические, экономические) и распространяют их на всю систему вцелом. При этом делаются соответствующие оговорки. Например, при получении стати-стических закономерностей их распространяют на поведение всей системы с некоторойдоверительной вероятностью.

Подход к отображению объектов в виде диффузных систем широко применяется при:описании систем массового обслуживания, исследовании потоков информации в систе-мах управления и т. д.

Самоорганизующиеся системы. Отображение объекта в виде самоорганизующейсясистемы — это подход, позволяющий исследовать наименее изученные объекты и про-цессы. Самоорганизующиеся системы обладают признаками диффузных систем: стохас-тичностью поведения, нестационарностью отдельных параметров и процессов. К этомудобавляются такие признаки, как непредсказуемость поведения; способность адаптиро-ваться к изменяющимся условиям среды, изменять структуру при взаимодействии систе-мы со средой, сохраняя при этом свойства целостности; способность формировать воз-можные варианты поведения и выбирать из них наилучший и др. Иногда этот класс раз-бивают на подклассы, выделяя адаптивные или самоприспосабливающиеся системы, са-мовосстанавливающиеся, самовоспроизводящиеся и другие подклассы, соответствующиеразличным свойствам развивающихся систем.

Примеры: биологические организации, коллективное поведение людей, организацияуправления на уровне предприятия, отрасли, государства в целом, т. е. в тех системах, гдеобязательно имеется человеческий фактор.

Простые и сложные кибернетические системы. В зависимости от способа описания:детерминированного или теоретико-вероятностного А. И. Берг определяет сложную сис-тему как систему, которую можно описать не менее чем на двух различных математиче-ских языках (например, с помощью теории дифференциальных уравнений и алгебры Бу-ля).

При разработке сложных систем возникают проблемы, относящиеся не только к свой-ствам их составляющих элементов и подсистем, но также к закономерностям функциони-рования системы в целом. При этом появляется широкий круг специфических задач, та-

14

ких, как определение общей структуры системы; организация взаимодействия междуэлементами и подсистемами; учет влияния внешней среды; выбор оптимальных режимовфункционирования системы; оптимальное управление системой и др.

Чем сложнее система, тем большее внимание уделяется этим вопросам. Математиче-ской базой исследования сложных систем является теория систем. В теории систем боль-шой системой (сложной, системой большого масштаба, Lage Scale Systems) называют сис-тему, если она состоит из большого числа взаимосвязанных и взаимодействующих междусобой элементов и способна выполнять сложную функцию.

Четкой границы, отделяющей простые системы от больших, нет. Деление это услов-ное и возникло из-за появления систем, имеющих в своем составе совокупность подсис-тем с наличием функциональной избыточности. Простая система может находиться толь-ко в двух состояниях: состоянии работоспособности (исправном) и состоянии отказа (не-исправном). При отказе элемента простая система либо полностью прекращает выполне-ние своей функции, либо продолжает ее выполнение в полном объеме, если отказавшийэлемент резервирован. Большая система при отказе отдельных элементов и даже целыхподсистем не всегда теряет работоспособность, зачастую только снижаются характери-стики ее эффективности. Это свойство больших систем обусловлено их функциональнойизбыточностью и, в свою очередь, затрудняет формулировку понятия «отказ» системы.Наряду с этим в больших системах возможно возникновение лавинообразных эффектов,когда небольшая “песчинка” вызывает “обвал” целой системы. Эти эффекты относятся кстранным аттракторам, свойственным взаимодействию сложных систем. Изучаются тео-рией хаоса.

Под большой системой понимается совокупность материальных ресурсов, средствсбора, передачи и обработки информации, людей-операторов, занятых на обслуживанииэтих средств, и людей-руководителей, облеченных надлежащими правами и ответствен-ностью для принятия решений. Материальные ресурсы — это сырье, материалы, полу-фабрикаты, денежные средства, различные виды энергии, станки, оборудование, люди,занятые на выпуске продукции, и т. д. Все указанные элементы ресурсов объединены спомощью некоторой системы связей, которые по заданным правилам определяют процессвзаимодействия между элементами для достижения общей цели или группы целей.

Примеры больших систем: информационная система; пассажирский транспорт круп-ного города; производственный процесс; система управления полетом крупного аэродро-ма; энергетическая система и др.

Характерные особенности больших систем - это: 1) большое число элементов в сис-теме (сложность системы); 2) взаимосвязь и взаимодействие между элементами; 3) иерар-хичность структуры управления; 4) обязательное наличие человека в контуре управления,на которого возлагается часть наиболее ответственных функций управления.

Сложность системы. Пусть имеется совокупность из n элементов. Если они изолиро-ваны, не связаны между собой, то эти n элементов не являются системой. Для изученияэтой совокупности достаточно провести не более чем n исследований с каждым элемен-том. В общем случае в системе со взаимными связями между компонентами необходимоисследовать n(n-1) связей. Если состояние каждой связи охарактеризовать в каждый мо-

15

мент времени наличием или отсутствием, то общее число состояний системы будут равно2n(n-1). Например, если n=10, то число связей n(n-1)=90, число состояний 290»1,3*1027.

Изучение такой системы путем непосредственного обследования ее состояния оказы-вается весьма сложным. Следовательно, необходимо разрабатывать компьютерные мето-ды, позволяющие сокращать число обследуемых состояний. Сокращение числа состоянийБС — первый шаг в формальном описании систем.

Взаимосвязь и взаимодействие между элементами в БС. Разделение системы на эле-менты — второй шаг при формальном описании системы. Внутренняя структура элемен-та при этом не является предметом исследования. Имеют значение только свойства, опре-деляющие его взаимодействие с другими элементами системы и оказывающие влияние нахарактер системы в целом. В качестве подсистем рассматриваются некоторые более илименее самостоятельно функционирующие части системы. Разделение на элементы и под-системы может быть произведено различными способами.

В системе управления полетом самолета можно выделить следующие подсистемы:систему дальнего обнаружения и управления; систему дальней связи; систему слепой по-садки и взлета самолета; систему диспетчеризации; бортовую аппаратуру самолета.

Выделение подсистем — третий важный шаг при формальном описании больших си-тем.

Поскольку в БС обязательно наличие человека, она является всегда эргатической сис-темой. Часть функций управления выполняется человеком. Эта особенность БС связана сцелым рядом факторов:

- участие человека в БС требует, чтобы управление учитывало социальные, психоло-гические, моральные и физиологические факторы, которые не поддаются формализации имогут быть учтены в системах управления только человеком;

- необходимость в ряде случаев принимать решение на основе неполной информа-ции, учитывать неформализуемые факторы.

Шкалы времени. Другим важным аспектом динамической сложности является вопросо различных шкалах времени для различных частей процесса. Бывает, что скорости изме-нения компонент одного и того же процесса различны: одни компоненты изменяются бы-стрее, другие – медленнее.

Типичным примером такого процесса является регулирование уровня воды в системеводохранилищ. Для управления на уровне индивидуального распределения воды требует-ся принимать решения ежедневно (или даже ежечасно), хотя решение об общем потокеводы через вход-выход принимается раз в месяц или раз в квартал.

Проблема различных шкал времени напоминают проблему интегрирования “жестких”систем ДУ или когда имеем дело с некорректной проблемой.

Весьма актуальным является оценка степени целостности системы при переходе изодного состояния в другое. В связи с этим возникает двойственное отношение к законо-мерности целостности. Ее называют физической аддитивностью, независимостью, сумма-тивностью, обособленностью. Свойство физической аддитивности проявляется у систе-мы, как бы распавшейся на независимые элементы. Строго говоря, любая система нахо-дится всегда между крайними точками как бы условной шкалы: абсолютная целостность

16

— абсолютная аддитивность, и рассматриваемый этап развития системы можно охарак-теризовать степенью проявления в ней одного или другого свойства и тенденцией к егонарастанию или уменьшению.

Интегративными называют системообразующие, системосохраняющие факторы, важ-ными среди которых являются неоднородность и противоречивость ее элементов.

Коммуникативность. Система не изолирована, она связана множеством коммуника-ций со средой, которая не однородна, а представляет собой сложное образование, содер-жит надсистему (или даже надсистемы), задающую требования и ограничения исследуе-мой системе, подсистемы и системы одного уровня с рассматриваемой.

Иерархическая упорядоченность пронизывает все, начиная от атомно-молекулярногоуровня и кончая сложными системами. Иерархичность как закономерность заключается втом, что закономерность целостности проявляется на каждом уровне иерархии. Благодаряэтому на каждом уровне возникают новые свойства, которые не могут быть выведены каксумма свойств элементов. При этом важно, что не только объединение элементов в каж-дом узле приводит к появлению новых свойств, которых у них не было, и утрате некото-рых свойств элементов, но и что каждый член иерархии приобретает новые свойства, от-сутствующие у него в изолированном состоянии.

На каждом уровне иерархии происходят сложные качественные изменения, которыене всегда могут быть представлены и объяснены. Но именно благодаря этой особенностирассматриваемая закономерность приводит к интересным следствиям. Во-первых, с по-мощью иерархических представлений можно отображать системы с неопределенностью.

Во-вторых, построение иерархической структуры зависит от цели: для многоцелевыхситуаций можно построить несколько иерархических структур, соответствующих разнымусловиям, и при этом в разных структурах могут принимать участие одни и те же компо-ненты.

В-третьих, даже при одной и той же цели, если поручить формирование иерархиче-ской структуры разным исследователям, то в зависимости от их предшествующего опыта,квалификации и знания системы они могут получить разные иерархические структуры, т.е. по-разному разрешить качественные изменения на каждом уровне иерархии.

Эквифинальность характеризует предельные возможности систем определенногокласса сложности. Потребность во введении этого понятия возникает начиная с некоторо-го уровня сложности, например, для биологических систем.

В настоящее время не исследован ряд вопросов этой закономерности: какие именнопараметры в конкретных системах обеспечивают свойство эквифинальности, как обеспе-чивается это свойство, как проявляется закономерность эквифинальности в организаци-онных системах.

Жизненный цикл - время является непременной характеристикой системы – это свой-ство историчности. Для технических и организационных систем определить жизненныйцикл довольно трудно.

Основа закономерности историчности — внутренние противоречия между компонен-тами системы. Но как управлять развитием или хотя бы понимать приближение соответ-ствующего периода развития системы — эти вопросы еще мало исследованы.

17

В последнее время на необходимость учета закономерности историчности начинаютобращать больше внимания. В частности, в системотехнике при создании сложных тех-нических комплексов требуется на стадии проектирования системы рассматривать нетолько вопросы разработки и обеспечения развития системы, но и вопрос, как и когданужно ее уничтожить. Например, списание техники, особенно сложной — авиационной,«захоронение» ядерных установок и др.

Система должна удовлетворять закону необходимого разнообразия. Его впервыесформулировал У.Р. Эшби: чтобы создать систему, способную справиться с решениемпроблемы, обладающей определенным, известным разнообразием, нужно, чтобы самасистема имела еще большее разнообразие, чем разнообразие решаемой проблемы, илибыла способна создать в себе это разнообразие. Этот закон достаточно широко применя-ется на практике. Он позволяет, например, получить рекомендации по совершенствова-нию системы управления предприятием, объединением, отраслью.

Закономерность осуществимости и потенциальной эффективности систем. Исследо-вания взаимосвязи сложности структуры системы со сложностью ее поведения позволилиполучить количественные выражения предельных законов для таких качеств системы, какнадежность, помехоустойчивость, управляемость и др. На основе этих законов оказалосьвозможным получение количественных оценок порогов осуществимости систем с точкизрения того или иного качества, а объединяя качества — предельные оценки жизнеспо-собности и потенциальной эффективности сложных систем.

Применения системных представлений для анализа сложных объектов и процессоврассматривают системные направления, включающие в себя: системный подход, систем-ные исследования, системный анализ (системологию, системотехнику и т. п.).

Системный подход. Исследования объекта с разных сторон, комплексно. Термин«системный подход» практически используется вместо терминов «комплексный подход».

Метод экспертной оценки, известен в литературе как «метод Дельфи». Название свя-зано с древнегреческим городом Дельфи, где при храме Аполлона с IX в. до н.э. до IV в.н.э. по преданиям существовал Дельфийский оракул.

Суть метода Дельфи заключается в следующем. В отличие от традиционного подходак достижению согласованности мнений экспертов путем открытой дискуссии методДельфи предполагает полный отказ от коллективных обсуждений. Это делается для того,чтобы уменьшить влияние таких психологических факторов, как присоединение к мне-нию наиболее авторитетного специалиста, нежелание отказаться от публично выраженно-го мнения, следование за мнением большинства. В методе Дельфи прямые дебаты заме-нены тщательно разработанной программой последовательных индивидуальных опросов,проводимых обычно в форме анкетирования. Ответы экспертов обобщаются и вместе сновой дополнительной информацией поступают в распоряжение экспертов, после чегоони уточняют свои первоначальные ответы. Такая процедура повторяется несколько раздо достижения приемлемой сходимости совокупности высказанных мнений. Результатыэксперимента показали приемлемую сходимость оценок экспертов после пяти туров оп-роса.

18

Метод Дельфи первоначально был предложен О. Хелмером как итеративная процеду-ра при проведении мозговой атаки, которая помогает снизить влияние психологическихфакторов при проведении повторных заседаний и повысить объективность результатов.Дельфи-процедуры стали основным средством повышения объективности экспертныхопросов с использованием количественных оценок при оценке деревьев цели и при разра-ботке сценариев.

Процедура Дельфи-метода:1)в упрощенном виде организуется последовательность циклов мозговой атаки;2)в более сложном виде разрабатывается программа последовательных индивидуаль-

ных опросов обычно с помощью вопросников, исключая контакты между экспертами, нопредусматривающая ознакомление их с мнениями друг друга между турами; вопросникиот тура к туру могут уточняться;

3)в наиболее развитых методиках экспертам присваиваются весовые коэффициентызначимости их мнений, вычисляемые на основе предшествующих опросов, уточняемые оттура к туру и учитываемые при получении обобщенных результатов оценок.

Первое практическое применение метода Дельфи к решению некоторых задач Мини-стерства обороны США во второй половине 40-х годов показало его эффективность и це-лесообразность распространения на широкий класс задач, связанных с оценкой будущихсобытий.

Недостатки метода Дельфи:1)значительный расход времени на проведение экспертизы, связанный с большим ко-

личеством последовательных повторений оценок;2)необходимость неоднократного пересмотра экспертом своих ответов вызывает у не-

го отрицательную реакцию, что сказывается на результатах экспертизы.Морфологические методы. Основная идея морфологических методов — систематиче-

ски находить все «мыслимые» варианты решения проблемы или реализации системы пу-тем комбинирования выделенных элементов или их признаков.

Метод морфологического ящика (ММЯ) нашел наиболее широкое распространение.Идея ММЯ состоит в определении всех «мыслимых» параметров, от которых может зави-сеть решение проблемы, и представлении их в виде матриц-строк, а затем в определениив этой морфологической матрице-ящике всех возможных сочетаний параметров по одно-му из каждой строки. Полученные варианты могут затем подвергаться оценке и анализу сцелью выбора наилучшего. Морфологический ящик может быть не только двумерным.

Для организационных систем, систем управления такой многомерный ящик, практи-чески невозможно построить. Поэтому, используя идею морфологического подхода длямоделирования организационных систем, разрабатывают языки моделирования или языкипроектирования, которые применяют для порождения возможных ситуаций в системе,возможных вариантов решения и нижних уровней иерархической структуры как при мо-делировании структуры целей, так и при моделировании организационных структур.Примерами таких языков служат: системно-структурные языки (язык функций и видовструктуры, номинально-структурный язык), язык ситуационного управления, языкиструктурно-лингвистического моделирования.

19

Уровни описания систем. При создании и эксплуатации сложных систем требуетсяпроводить многочисленные исследования и расчеты, связанные с:

1)оценкой показателей, характеризующих различные свойства систем;2)выбором оптимальной структуры системы;3)выбором оптимальных значений ее параметров.Такие исследования возможны лишь при наличии математического описания процес-

са функционирования системы, т. е. ее математической модели.Сложность реальных систем не позволяет строить для них «абсолютно» адекватные

модели. Математическая модель описывает лишь некоторый упрощенный объект, в кото-ром представлены лишь основные явления, входящие в реальный объект, и лишь главныефакторы, действующие на реальную систему.

Какие явления считать основными и какие факторы главными — существенно зави-сит от назначения модели, от того, какие исследования с ее помощью предполагаетсяпроводить. Поэтому процесс функционирования одного и того же реального объекта мо-жет получить различные математические описания в зависимости от поставленной зада-чи.

Так как математических моделей сложной системы может быть сколько угодно многои все они определяются принятым уровнем абстрагирования, то рассмотрение задач накаком-либо одном уровне абстракции позволяет дать ответы на определенную группу во-просов, а для получения ответов на другие вопросы необходимо провести исследованиеуже на другом уровне абстракции.

Лингвистический уровень описания систем — наиболее высокий уровень абстрагиро-вания. Из него как частные случаи можно получить другие уровни абстрактного описаниясистем более низкого ранга.

Понятие о высказывании на данном абстрактном языке означает, что имеется некото-рое предложение (формула), построенное на правилах данного языка. Предполагается,что эта формула содержит варьируемые переменные, которые только при определенномих значении делают высказывание истинным.

Все высказывания делят обычно на два типа. К первому причисляют «термы» (именапредметов, члены предложения и т. д.) — высказывания, с помощью которых обозначаютобъекты исследования, а ко второму — «функторы» — высказывания, определяющие от-ношения между термами.

Отображение множества состояний источника во множество состояний носителя ин-формации называется способом кодирования, а образ состояния при выбранном способекодирования — кодом этого состояния.

Эвристика — это прием, позволяющий сокращать количество просматриваемых вари-антов при поиске решения задачи. Причем этот прием не гарантирует наилучшее реше-ние.

В настоящее время бурно развивается эвристическое программирование — програм-мирование игровых ситуаций, доказательства теорем, перевода с одного языка на другой,дифференциальной диагностики, распознавания образов, нечеткой логики, нейронныхструктур.

20

Выбор подходящего метода формального описания при изучении той или иной реаль-ной системы является всегда наиболее ответственным и трудным шагом в теоретико-системных построениях.

1.1. Основные понятия марковских систем

Система массового обслуживания (СМО) – структура из обслуживающих каналов,потоков заявок и очередей [7].

Источником является входящий поток заявок (интенсивность потока - l). Имеетсятакже исходящий поток (интенсивность исходящего потока - m).

Процесс обслуживания в СМО характеризуется числом каналов - n, средним числомзанятых каналов -`k, производительностью - m).

Дисциплина обслуживания характеризуется правилами, по которым действуют сис-темы массового обслуживания (СМО). Дисциплина может быть: в порядке поступления,случайно, fifo, lifo, с приоритетом – абсолютным или относительным.

По условиям ожидания СМО подразделяются на системы с отказами или системы сочередью. По условиям организации очереди: с ограниченной очередью, с ограниченнымвременем пребывания в очереди. По месту нахождения источников заявок: закрытые –источник в системе и оказывает на нее влияние, открытые – вне системы и не оказываетвлияния. По фазам: однофазные – один этап обслуживания, многофазные – два и болееэтапов. По числу каналов: одноканальные, многоканальные.

Потоки событий. Каждому событию соответствует момент t, в который это событиепроизошло. Т – интервал между двумя моментами времени. Поток событий – независимаяпоследовательность моментов t.

Поток событий подразделяются по случайности: регулярные – Т - const, случайные –Т - случайное время; по постоянности вероятностных свойств: стационарные, нестацио-нарные; по связи будущего поведения с прошлым: с последействием, без последействия;по числу заявок в одном событии: ординарные –событию соответствует одна заявка, не-ординарные - событию соответствует случайное число заявок.

Марковским системам характерны марковские процессы, которые имеют важноесвойство – отсутствие последействия. Изучение таких систем проводится для определе-ния их вероятностных характеристик. Вероятности состояний таких ситем характеризуютих эффективность и экономическую целесообразность.

При моделировании марковских систем используются типовые структуры: одно- имного канальные системы, системы с ограниченной и неограниченной очередью, системыс ограниченным временем ожидания.

2. Динамические процессы и их свойства

Основные сведения по процессам в задачах моделирования представлены в предыду-щем издании “Моделирование процессов и систем” [1]. Здесь приводятся наиболее важ-ные положения для практических приложений, связанных с моделированием.

21

2.1. Теорема проецирования

Для физически реализуемого сигнала, не принадлежащего пространству базисныхфункций, существует его представление , принадлежащее этому пространству [5]:

Здесь (ортогонально всем fi), а норма

, (2.2)

где – произвольный сигнал, принадлежащий пространству базисных функций.

2.2. Импульсная теорема

Если наивысшая частота в спектре процесса Х(t) не больше ωm, то функция X(t) опре-деляется последовательностью своих дискретных значений в моменты, отстоящие друг отдруга не более чем на π/ωm с. [8]:

где dt - период дискретности (dt=p/ωm); ωm - предельная круговая частота процесса X(t); k -номер точки отсчета.

2.3. Случайные процессы

Все полезные сигналы и помехи в технических кибернетических системах являются вобщем случае случайными (стохастическими). Рассматривая процессы неслучайными(детерминированными), мы в определенной мере пренебрегаем их случайными свойства-ми [9].

Случайные процессы определяются их основной харатеристикой - функцией плотно-сти распределения f(X,t), но исследование случайных процессов с ее помощью - непростаязадача, поэтому для большинства практических задач, с определенной степенью допуще-ний, пользуются статистическими характеристиками. К ним относятся: математическоеожидание M(t), дисперсия Dx, корреляционная функция R(t), спектральная функция S(w).

22

Также особенностью практических задач при моделировании процессов является ис-пользование гауссовских процессов, имеющих нормальный закон распределения. Крометого, весьма важным для удобного математического моделирование является понятие бе-лого шума - это случайный процесс с равномерным распределением спектра мощности вовсем диапазоне частот (с постоянной интенсивностью).

Из свойств случайных процессов, дающих практически реализуемые при моделиро-вании соотношения, необходимо выделить следующие [9].

1. Прохождение процесса через линейную динамическую систему. При прохождениислучайного сигнала через линейную динамическую систему (ДС) изменяются его харак-теристики: математическое ожидание, корреляционная функция, спектральная плотность,взаимокорреляционная функция, взаимоспектральная плотность. При обозначении ли-нейного преобразования оператором L{t} или в частотной области W(jw) выходной про-цесс определяется выражениями y(t)=L{x(t)}, Y(jw)=W(jw)X(jw). На основании свойств ма-тематического ожидания и корреляционной функции имеем изменение этих характери-стик в виде M[L{X}]=L{M[X]}, Ry(t)=LL'{Rx(t)}, где L' - линейное преобразование повремени t+r. Изменение спектральной плотности определяется в частотной области:Sy(w)=Sx(w)|W(jw)|2, где W(jw) - амплитудно-фазочастотная характеристика системы.Взаимоспектральная плотность процессов X и Y имеет вид Sxy(jw)=Sx(w)W(jw),Syx(jw)=Sx(w)W(-jw). На основе этих свойств определяется формирующий фильтр процес-са.

2. Формирующий фильтр - это линейная ДС, на входе которой белый шум с интен-сивностью Q, а на выходе сигнал со спектральной плотностью Sg(w)=QWg(jw)Wg(-jw), гдеWg(jw) - амплитудно-фазочастотная характеристика фильтра.

При исследовании результатов моделирования процессов и систем важным являетсяумение практического определения статистических характеристик, в первую очередь ма-тематического ожидания, и на его основе - корреляционной и спектральной функций. По-скольку в рамках корреляционной теории процессов в курсе моделирования исследуютсястационарные эргодические процессы, то в основе статистического оценивания лежит эр-годическая теорема, которая утверждает, что возможно вычисление математическогоожидания не только по множеству, но и по времени.

При использовании эргодической теоремы процессы представляются дискретнымизначениями, взятыми через промежутки времени X(tk)=X(k) на основании импульснойтеоремы. В этом случае интеграл в формуле математического ожидания вычисляется че-рез сумму. Расчетные формулы статистических характеристик имеют вид.

Математическое ожидание

Корреляционная функция

23

где r=0,1,...,m - шаг (m£0,2n); dt - период дискретности.

Спектральная функция

Дисперсия находится через корреляционную функцию или спектральную плотность:

3. Модели динамических систем и процессов

В современной математике используется представление динамических процессов исистем дифференциальными уравнениями в пространстве состояний. Такое описаниепроцессов и систем позволяет легко проводить их цифровое моделирование, используяконечно-разностное представление и проектировать универсальные алгоритмы обработкиинформации с целью дальнейшего оптимального оценивания параметров систем и про-цессов [10]. Оптимальные оценки небходимы для организации управления в системах ав-томатического управления современными методами, а в информационно-измерительныхсистемах для получения достоверных данных об измеряемых физических величинах, дляпрогнозирования поведения исследуемых явлений и систем, повышения отказоустойчи-вости обработки информации [11].

Необходимо уметь формировать математические модели различного типа (динамиче-ские модели кибернетических систем, процессов) с дальнейшей их реализацией (исследо-ванием) на ПЭВМ путем вычислительного эксперимента. Одним из методов полученияматематической модели системы или процесса является идентификация.

Идентификацией динамической системы (процесса) называется получение или уточ-нение по экспериментальным данным математической модели (числовых параметров)этой системы или процесса, выраженной посредством того или иного математическогоаппарата.

24

Идентификация в современном представлении использует аппарат стохастическихматричных дифференциальных уравнений (или разностных уравнений) и аппарат мат-ричных линейных преобразований.

В общем случае в технике динамической системой называется физическое устройствоили совокупность взаимодействующих устройств, в которых протекающие процессы оп-ределяются начальными состояниями этих устройств, взаимосвязями между ними и при-ложенными к системе воздействиями. Состояние динамической системы во времени ипространстве характеризуется переменными, принимающими в каждый момент времениопределенные числовые значения. Используются следующие основные математическиемодели в пространстве состояний.

Непрерывная детерминированно-стохастическая динамическая система (ДС) - этосистема, описываемая линейными дифференциальными уравнениями первого порядка со-стояния и линейным уравнением выхода. В матричном виде:

X¢ (t)=AХ(t)+BU(t)+DV(t), Y(t)=CX(t), (3.1)

где Х(t) - n-мерный вектор состояния системы; V(t) - r-мерный вектор гауссовских шумовс нулевым средним и корреляционной матрицей E[V(t)Vт(t)]=Q(t) (Е - оператор математи-ческого ожидания); Y(t) - m-мерный вектор выхода; A, B, D - матрицы состояния (матрицыкоэффициентов); С - матрица линейного преобразования размера m´n.

Дискретная детерминированно-стохастическая ДС - это система, описываемая ли-нейными разностными уравнениями первого порядка состояния и дискретным уравнени-ем выхода. Матричный вид соответствует уравнениям:

Х(k+1)=FХ(k)+GU(k)+TV(k), Y(k)=CX(k), (3.2)

где F, G, T, - переходные матрицы. Матрицы F, G, T вычисляются через A, B, D в виде:F=I+Aydt, G=yBdt, T=yDdt, где

...,)!1(62

22 +

++++=Y

kdtAdtAdtAI

kk (3.3)

где I - единичная матрица; dt - период дискретности системы (процесса). Период дискрет-ности dt выбирается исходя из полосы пропускания ДС в соответствии с импульсной тео-ремой.

Детерминированной является ДС, у которой отсутствуют шумы возмущения и нетстохастических процессов (или всеми этими факторами можно пренебречь). У чисто сто-хастической ДС отсутствует детерминированный вектор входных сигналов. Детермини-ровано-стохастическая система содержит как детерминированные воздействия, так и сто-хастические процессы.

25

Объектами наблюдения являются информационные процессы (ИП), объекты управле-ния (ОУ), датчики первичной информации (ДПИ), исполнительные устройства (ИУ).Первичной моделью объекта наблюдения типа ИП является спектральная или корреляци-онная функция. Первичной моделью объекта наблюдения типа ОУ, ДПИ, ИУ являетсядифференциальное уравнение (или эквивалентная передаточная функция), связывающя

вход и выход. Модель объекта наблюдения, или в более общемслучае, ДС определяется структурной схемой, приведенной нарисунке 3.1, где X - вектор состояния системы; U - вектор входа;V - вектор возмущения (или формирующих белых шумов для

стохастических сигналов); Y - вектор выхода. Связь векторов U, V, Y, X определяется со-отношениями (3.1), (3.2).

Датчик первичной информации - элемент устройства, преобразующий информацию офизической величине в сигнал, удобный для использования и обработки. Он задаетсядифференциальным уравнением или передаточной функцией. Передаточной функциейДПИ является отношение преобразования Лапласа выходного процесса ДПИ к преобра-зованию Лапласа входного процесса при нулевых начальных условиях.

Движением системы называется физический процесс изменения ее переменных вовремени и пространстве. Выходные переменные Y(t), управляющие входные воздействияU(t) и возмущающие входные воздействия V(t) рассматриваются в виде соответствующихвекторов, которые записываются в виде столбцовых матриц:

Y(t)=[y1, y2 , . . . , ym]T, U(t)=[u1, u2 , . . . , us]T, V(t)=[v1 , v2 , . . . , vr]T. (3.4)

3.1. Формирующий фильтр стохастического процесса

Исходной моделью стохастического процесса является спектральная плотность, нодля практического использования в алгоритмах обработки информации, а также для ихчисленного и графического исследования при моделировании используют вторичные мо-дели в виде передаточной функции формирующего фильтра и матричных линейныхуравнений [1].

Передаточная функция Wg(s) формирующего фильтра определяется при факториза-ции исходной спектральной плотности Sg(s)=Wg(s)Wg(-s)Q, где Q - интенсивность шумана входе формирующего фильтра; Wg(s), Wg(-s) - дробно-рациональные функции, нули иполюсы которых лежат соответственно в левой и правой комплексных полуплоскостях.Учитывая дробно-рациональность спектральной плотности, функцию Sg(w) записывают вфакторизованном виде: Sg(w)=C(s/j)/D(s/j)=B(s)/A(s)·B(-s)/A(-s). Из этого соотношенияимеем

.)1(...)1(...

......

)1(...)1(...

10

10

0

022

10

2210 Q

sasaasbsbb

saasbb

sdsddscscc

nnn

mmm

nn

mm

nnn

mmm

-++--++-

×++++

=-++--++-

(3.5)

Рисунок 3.1.

26

При факторизации спектральной плотности используется следующий алгоритм. Сучетом (3.5), где Q=1 - интенсивность входного белого шума фильтра, задача факториза-ции решается составлением аналитических выражений B(s)B(-s), A(s)A(-s) и систем урав-нений относительно bj и aj путем сравнения коэффициентов выражений C(s/j) и B(s)B(-s),а также D(s/j) и A(s)A(-s). Ниже приведены расчетные соотношения для коэффициентов aj.

При n=1 a0=(d0)1/2, a1=(d1)1/2.При n=2 a0=(d0)1/2, a1=(2a0-d1)1/2, a2=(d2)1/2.При n>2 система уравнений решается итерационным методом:- для n=3 a0=(d0)1/2, a2=(d2+2a1)1/2, a1=(2a0a2-d1)1/2, a3=(d3)1/2;- для n=4 a0=(d0)1/2, a3=(2d2-d3)1/2, a1=(2a0a2-d1)1/2, a2=(d2-2a0+2a1a3)1/2,

a4=(d4)1/2.

Для специалистов разных отраслей важным является умение на практике формиро-вать модель динамического процесса высокого порядка в виде передаточной функции.

Решение задачи по нахождению передаточной функции формирующего фильтра воз-можно выполнить с помощью программы факторизации спектральной плотности. Примертакой программы на языке Pascal представлен в [1] на стр.74-75. Эта программа как одиниз модулей входит в состав многоцелевой операционной оболочки CAD-MS [9]. Болеемобильное программное обеспечение реализуется на основе стандартных электронныхтаблиц Microsoft Excel.

Рассмотрим, как с помощью инструмента Excel решить задачу формирования моделидинамического процесса, в случае если задано дробно-рациональное выражение спек-тральной плотности процесса g(t) высокого порядка (не менее шестого).

3.1.1. Пример факторизации спектральной плотности на основе Excel

Спектральная плотность исследуемого процесса задана в виде дробно-рациональноговыражения

Заданной спектральной плотности соответствует формирующий фильтр с дробно-рациональной передаточной функцией

Полином числителя B(s) и полином знаменателя A(s) формирующего фильтра дляпроцесса с заданной спектральной плотностью представляются через нули и полюсы вы-ражения Sg(s) в соответствии со схемой Горнера.

Õ=

-=++2/

10 )(...

m

kkm

mm psbsbb , Õ

=

-=++2/

10 )(...

n

kkn

nn ssasaa , (3.6)

27

12512525625)( 28

2

+++

=ww

wwSg , или через s:125125

25625)/( 28

2

+-+-

=ss

sjsSg ,

где pk, sk - соответственно нули и полюсы выражения Sg(s), находящиеся в левой ком-плексной полуплоскости (с отрицательными вещественными частями).

Для инженерного применения используется вычисление полиномов формирующегофильтра с ипользованием инструмента электронных таблиц Excel “Поиск решения” или“Циклические ссылки”. Эти инструменты, как известно, позволяют решать неявные зада-чи определения параметров математического функционала итерационными алгоритмамипри задании ряда ограничений на параметры.

При n=4 выражение D(s/j)= A(s) A(-s) приобретает вид

c0+c1s2+c2s4+c3s6+c4s8=(a0+a1s+a2s2+a3s3+a4s4)(a0-a1s+a2s2-a3s3+a4s4). (3.7)

Уравнения для вычисления неизвестных коэффициентов для этого случая представ-лены в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Уравнения для факторизации спектральной плотности

Применение инструмента электронных таблиц Excel “Поиск решения”.В электронной таблице Excel исходные данные (коэффициенты полиномов C(s), D(s))

размещаются, например, в ячейках B3:B9 (см. рисунок 3.4). Поиск решения производитсяв изменяемых ячейках I5:I9. Целевые уравнения для поиска решения запрограммированыв ячейках C3:G3.

Рисунок 3.2. Поиск решения для коэффициентов полинома

Формулы для расчета в ячейках представлены на рисунке 3.3.

28

Рисунок 3.3. Формулы для поиска решения

Настройка инструмента “Поиск решения” представлена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4. Окно настройки параметров “Поиск решения”

Выбор метода “Поиск решения” произведен в окне параметров (рис. 3.5).

Рисунок 3.5. Окно выбора метода “Поиск решения”

29

Правильность полученного решения подтверждается выполнением системы урав-нений коэффициентов (см. B3:B9 и C3:G3 (на рисунке 3.2)).

3.2. Модели датчиков первичной информации

Датчики первичной информации, измеряющие динамические параметры объектов на-блюдения, кроме внешних воздействий, характеризуются конструктивными силами, про-являющимися только во время динамического движения и зависящими только от техни-ческих параметров ДПИ.

Свободным движением (или собственным движением) называется динамика ДПИ подвлиянием конструктивных сил, которая описывается дифференциальным уравнением(или системой) без правой части.

Вынужденным движением называется динамика ДПИ под влиянием внешних сил(входного воздействия g(t) или возмущения v(t)), которая описывается дифференциаль-ным уравнением (или системой) с правой частью.

К конструктивным силам относятся:1)позиционные силы, зависящие от обобщенных координат ДПИ;2)диссипативные силы, зависящие от первых производных обобщенных координат

(скоростей) ДПИ;3)инерционные силы, зависящие от вторых производных обобщенных координат (ус-

корений) ДПИ.Датчики первичной информации, измеряющие параметры движения объектов наблю-

дения, кроме инерционной силы, в качестве конструктивных сил могут иметь: 1) толькопозиционную силу; 2) только диссипативную силу; 3) обе силы вместе.

3.2.1. Пример составления динамической модели датчика

Рассмотрим движение рамки гальванометра при измерении тока. На рамку вокругоси Y действуют следующие силы:

1) сила, пропорциональная протекающему по рамке току - C*i при взаимодействиипостоянного тока с магнитным полем постоянного магнита, внутри которого находитсярамка (входное воздействие);

2) противодействующая сила пружины, пропорциональная углу поворота рамки и ко-эффициенту жесткости пружины: - kжa (позиционная сила);

3) противодействующая сила демпфирования, пропорциональная угловой скоростидвижения рамки: - Kgda/dt, где Kg - коэффициент демпфирования (диссипативная сила);

4) противодействующая сила инерции, пропорциональная ускорению движения рамкии ее моменту инерции: - J(d2a/dt2) (инерционная сила).

В каждый момент времени соблюдается правило механики: равенство нулю суммымоментов, действующих на рамку вокруг оси вращения. Математически это имеет вид:

30

J a"+ Kg a' + Kж a = C i. (3.8)

Поделив обе части уравнения на J, получим

a" + 2hwoa' + wo2a = C i, (3.9)

где wo=(Kж/J)1/2 - частота собственных колебаний; h=0,5Kg/(KжJ)1/2 - относительныйкоэффициент затухания (демпфирования) ДПИ.

Свободное движение ДПИ, определяемое конструктивными силами, соответствуетфундаментальному дифференциальному уравнению

a" + 2hwoa' + wo2a = 0. (3.10)

Получена математическая модель движения рамки гальванометра в виде дифферен-циального уравнения 2-го порядка. Эта модель является непрерывной, линейной, стацио-нарной.

Структурная схема более сложного (реального) ДПИ изображена на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6. Структурная схема реального ДПИ

На рисунке обозначено: Wчэ(s) - передаточная функция чувствительного элемента;Wп(s) - передаточная функция преобразователя; Wу(s) - передаточная функция усилителя;Wио(s) - передаточная функция исполнительного органа; Wос(s) - передаточная функцияобратной связи; Wв(s) - передаточная функция выходного звена. Часто передаточныефункции элементов ДПИ имеют вид: Wчэ(s)=kчэ; 2

п /1 JssW =)( ; Wу(s)=kу; )1/(иоио +=)( TsksW ;Wос(s)=kос; Wв(s)=Rн. Общая передаточная функция в этом случае имеет вид

02

23

3

023)(

asasab

kkkJsTJs

RkkksW

осиоу

ниоучэ

++=

++= .

Для приборных следящих систем прибор первичной информации часто характеризу-ется структурной схемой, представленной на рисунке 3.7.

31

Рисунок 3.7. Структурная схема приборной следящей системы

На рисунке обозначено: Wд(s) - передаточная функция дополнительной связи поуправляющему сигналу; Wк(s) - передаточная функция корректирующего устройства(КУ); Wн(s) - передаточная функция неизменяемой части.

3.2.2. Формирование модели датчика методом ЖЛАХ

Поскольку частотные характеристики разомкнутой цепи однозначно связаны с пере-даточной функцией ДПИ, то в них входят все особенности, присущие этой передаточнойфункции. Из теории, как правило, известны требования к желаемой логарифмическойчастотной характеристике (ЛЧХ) разомкнутой системы, которая должна обеспечивать оп-тимальные характеристики качества переходного процесса (минимальное время переход-ного процесса, приемлемое перерегулирование и запас устойчивости). Для статических иастатических систем желаемая ЛЧХ (ЖЛАХ) определяется коэффициентом усиления K,тремя частотами сопряжения w1, w2, w3 и частотой среза wc. Для примера ЖЛАХ пред-ставлена на рисунке 3.8.

Выбранная методом ЖЛАЧ структура ДПИ (желаемая передаточная функция разомк-нутой системы), включает в себя как неизменяемую часть структуры ДПИ, так и коррек-тирующее устройство (КУ). При этом обеспечение ЖЛАХ возможно путем выбора пара-метров КУ. Проектирование КУ заключается в определении его передаточной функции сдальнейшей ее технической реализацией или на аналоговых элементах, или в цифровомпроцессоре. ЛАЧХ корректирующего устройства для случая последовательной коррекциипри Woc=1 определяется в виде (3.11).

32

Рисунок 3.8. Построение желаемой ЛЧХ (ЖЛАХ)

L{KWк(jw)}=L{KWp(jw)}-L{Wн(jw)}, (3.11)

где Wн(jw) - передаточная функция неизменяемой части ДПИ; KWp(jw) передаточнаяфункция разомкнутого ДПИ; L{KWp(jw)}=20lg{KWp(jw)} логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) разомкнутого ДПИ.

Аппроксимируем ЛАЧХ асимптотами, т.е. прямолинейными отрезками с наклоном 0,20, 40 дб/декаду. По точкам излома определяются постоянные времени звеньев и затемсоставляется аналитическое выражение для передаточной функции КУ. Реализация най-денной передаточной функции КУ выполняется на пассивных элементах (преимущест-венно на емкостях и сопротивлениях). При наличии в контуре ДПИ операционного уси-лителя КУ реализуется также на RC-цепочках с использованием операционного усилите-ля.

Пример. Пусть ДПИ имеет структурную схему, представленную на рисунке 3.6, гдепередаточные функции элементов ДПИ: Wчэ(s)=m; Wп(s)= 2/1 Js ; Wу(s)=kу; Wос(s)=kос;Wв(s)=Rн. Общая передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

2р )(JsKsW = ,

где K = m kу kос Rн.На рисунке 3.9 построена ЛАХ разомкнутой системы (график 1) и ЖЛАХ (график 2).

33

Рисунок 3.9. Логарифмические частотные характеристики: 1) разомкнутой системы;2) желаемой системы; 3) корректирующего устройства

ЛАХ корректирующего устройства находится путем вычитания из ЖЛАХ характери-стики разомкнутой системы (график 3). Передаточная функция КУ по его ЛАХ имеет вид

1)1()(

2

11к +

+=

sTsTksW ,

где T1=1/w2; T2=1/w3.Техническая реализация КУ выполняется на имеющемся в прямой цепи операцион-

ном усилителе с использованием емкостей и сопротивлений (рисунок 3.10).

Рисунок 3.10. Схема КУ

Передаточная функция, полученного КУ

11)(

11

22

1

2к +

+=

sCRsCR

RRsW ,

где R2C2=T2=1/w3; R1C1=T1=1/w2 .

3.3. Основные матричные модели

Для составления алгоритмов обработки информации, а также для исследования дви-жения динамической системы первичную модель, представленную передаточными функ-циями, преобразуют в матричную модель в пространстве состояний (3.1) или (3.2). Такиепреобразования могут быть выполнены различными методами [13].

34

Широкое распространение методов исследования динамических систем с помощьюкоординат (переменных) состояния в современной теории моделирования обусловленокак методическими соображениями, так и удобством обозначений и простотой проведе-ния анализа динамических свойств системы векторно-матричными методами. С методи-ческой точки зрения появляется возможность охарактеризовать динамическую системупонятием "состояния системы", которому соответствует определенная точка в евклидо-вом пространстве с координатами, являющимися координатами состояния. В этом случаеповедение системы (движение), связанное с изменением во времени координат состояния,представляется траекторией, описываемой этой точкой. Применение векторов и матрицпозволяет записывать в компактном виде, как математические модели системы, так и ихрешения.

Независимо от физической природы координат состояния, считается, что множествовсех комбинаций xi образует некое пространство состояний, т.е. фазовое пространстворассматриваемой системы. Изменение во времени состояния системы определяется век-тор-функцией X(t)=Х[x1(t),x2(t),...,xn(t)], являющейся решением исходной системы уравне-ний вида (3.1). В каждый фиксированный момент времени X(ti) представляет собой точкуфазового пространства RX.

Совокупность n линейно независимых векторов в фазовом пространстве образует ба-зис, а каждая компонента произвольного вектора состояния X является проекцией этоговектора на соответствующий вектор базиса.

Поскольку координаты xi вектора состояния принимаются как некоторые абстрактныевеличины, лишенные физического смысла, то их можно подвергать различным линейнымпреобразованиям, и, в частности, изменению базиса с помощью неособого преобразова-ния Z=RX при 0¹Rdet соответствующего переходу к новым фазовым координатам zi.

Например, произведя в уравнениях (3.1) замену переменных и учитывая, что для не-особенных преобразований Z=RX будет иметь место Z=R-1Z получаем математическуюмодель линейного объекта в новом базисе:

, (3.12)

где A'=RAR-1, B'=RB, C'=CR-1.

Из сравнения уравнений следует, что переход к новому базису не отражается на вход-ных воздействиях U и выходных переменных Y, характеризующих изменение величин,доступных наблюдению. Эквивалентность уравнений состояния позволяет широко ис-пользовать указанные преобразования для приведения уравнений состояния к виду, удоб-ному для использования методов матричного исчисления. Записанные уравнения состоя-ния системы не единственны и существуют различные комбинации координат состояния,полностью характеризующих поведение динамической системы. Но при этом любые двесистемы координат состояния должны быть связаны между собой однозначно.

35

3.3.1. Каноническое преобразование матричных моделей

Рассмотрим алгоритм преобразования одномерной матричной модели X'=AX+Bu ди-намической системы к канонической форме следующего вида [14]:

ZCYuBZAdtdZ ';'' =+= ,

.1...00

';...

...0...1000...010

'

110 úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

---

=

-

Bggg

A

n

,

где g0 ... gn-1 - коэффициенты характеристического уравнения матрицы А.Алгоритм преобразования.1) Вычисляется квадратная матрица управляемости 2-го рода

S = [B|AB|...An-1B].

2) Определяется матрица Ф с помощью следующего линейного преобразования

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

-

--

=F

-1

1

0

1...0......

...001

...000

ng

gg

.

Коэффициенты g0 ... gn-1 в матрице Ф являются коэффициентами характеристическогоуравнения матрицы А:

det[sI-A] =sn+gn-1 sn +…+g0= 0.

3) Определяется матрица A' в видеA' = ФT.

4) Вычисляется матрица линейного преобразования К

úúúú

û

ù

êêêê

ë

é

=

-

00...0......0...

...

32

121

n

n

nn

g

ggggggg

K .

5) Вычисляется матрица C' в видеC' = KCT.

36

3.3.1.1. Каноническое преобразование матричной модели в Excel

Рассмотренный алгоритм легко реализуется с помощью электронных таблиц MicrosoftExcel.

Рассмотрим конкретный пример динамической системы, матричная модель которойполучена на основе анализа физики движения объекта.

Пример. Вращательное движение ЛА в вертикальной плоскости задаётся в виде сис-темы непрерывных дифференциальных уравнений и уравнений измерения.

Уравнения движения ЛА в продольной плоскости имеют вид [15].

ïþ

ïýü

=q+J+q

d=q-J+J+J

,aa

;aaaa b

044

3221

&

&&& (3.13)

где J – угол тангажа; θ – угол наклона вектора скорости к горизонту; δв – угол отклоненияруля высоты; ai – динамические коэффициенты, зависящие от аэродинамических пара-метров самолёта.

Вводя новые обозначения для переменных (x1=J, x2=J', x3= θ), запишем систему (3.13)в нормальной форме Коши:

ïþ

ïý

ü

+=d+++=

=

,xaxax;axaxaxax

xax

b

3331313

33232221212

2121

&

&

&

(3.14)

где а12=-1, а21=-а2, а22=-а1, а23=а2, а31=а4, а33=-а4.Система уравнений (3.14) в векторно–матричной форме имеет вид

,bBAXX d+=& (3.15)где

;321TxxxX = TaB 00 3= ; .

0

00

2331

232221

12

aaaaa

aA =

Реальные значения аэродинамических коэффициентов для легкого ЛА a2=4,2, a1=1,76,a2=4,2, a4=0,77, a3=-7,4.

37

Уравнения измерений y1=x2’+n1, y2=x3+n2, где n1, n2 - белые гауссовские шумы с ин-тенсивностями R11, R22. Матричные уравнения движения и измерений X'=AX+BU,Y=CX+N,

где матрицы A, B, D, C имеют вид:

úû

ùêë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é=

úúú

û

ù

êêê

ë

é

----

=100010

,07,4-0

,77,0077,02,476,12,4

010CBA .

В электронной таблице Excel (см. рис.3.11) строки 2-4 содержат исходные данные. Встроках 7-9 запрограммированы основные матричные формулы канонического преобра-зования S, Ф, G, K.

S´ A7:A9 =E2:E4S´ B7:B9 =МУМНОЖ(A2:C4;E2:E4)S´ C7:C9 =МУМНОЖ(МУМНОЖ(A2:C4;A2:C4);E2:E4)Ф´ E7:G9 =МУМНОЖ(МУМНОЖ(МОБР(A7:C9);A2:C4);A7:C9)K´ K7:M9 =МУМНОЖ(A7:C9;H7:J9) .

Рисунок 3.11. Алгоритм канонического преобразования в Excel

Результаты канонического преобразования с помощью матриц S, Ф, G, K получены встроках 12-14.

A´ A12:C14 =ТРАНСП(E7:G9)C´ F12:H14 =МУМНОЖ(G2:I3;K7:M9)A´ I12:K14 =МУМНОЖ(МОБР(K7:M9);МУМНОЖ(A2:C4;K7:M9))

Коэффициенты матрицы G для вычисления K берутся из матрицы Ф.

38

3.3.1.2. Алгоритм Сурье-Фадеева для определения коэффициентов

Алгоритм Сурье-Фадеева позволяет вычислить коэффициенты характеристическогополинома квадратной матрицы независимо от вычисления матрицы Ф (это бывает необ-ходимо для получения канонического преобразования в другой матричной форме). Такаяже задача часто возникает и при проектировании матричных моделей нетрадиционноговида.

Теория Сурье-Фадеева [16] говорит о том, что для любой невырожденной квадратнойматрицы А размером nxn коэффициент gn-k характеристического полинома: sn+gn-1·sn-

1+...+g1·s+g0 и матричный коэффициент Cn-k матрицы adj(sI-A) в уравнении adj(sI-A)=Cn-1

sn-1+Cn-2 sn-2+...+C1s+C0 удовлетворяют при k=1,...,n следующим соотношениям:

Cn-k-1=Cn-k A+gn-k I, Cn-k=I, C-1=0, (3.16)gn-k=-(1/k)spur(Cn-k A). (3.17)

Доказательство. Рекуррентная формула (3.16) вытекает непосредственно из систе-мы уравнений

sn: I= Cn-1 ,sn-1: gn-1I= -Cn-1A+Cn-2,s0: g1I= -C1A+C0 ,s0: g0I= -C0A .

При k=n выражение (3.17) может служить для проведения численного контроля. До-казательство формулы следует из соотношений:

det(sI-A)=spur adj(sI-A). (3.18)

В левой части здесь стоит производная по s характеристического многочлена; праваяже часть преобразуется в соответствии с (3.18). Приравнивая коэффициенты при степеняхSn-k-1, получаем (nk) gnk=spurCn-k-1, k=0,...,n-1. Отсюда вытекает (3.17) с помощью под-становки (3.16).

Формулы (3.16) и (3.17) представляют собой простой способ вычисления выраженийdet(sI-A) и adj(sI-A). А соотношение: (sI-A)-1=[det(sI-A)]-1adj(sI-A) дает обратную матрицу(sI-A)-1, соответствующую преобразованию Лапласа переходной матрицы дифференци-ального уравнения

X'=Ax(t).

3.3.1.3. Продолжение примера

Вычисление коэффициентов характеристического полинома квадратной матрицы Aна основе алгоритма Сурье-Фадеева легко программируется в электронной таблице Excel.Строки 18-20 и 34-36 в электронной таблице (см. рис.3.12) заполняются вручную на осно-

39

вании исходных данных. Также по исходным данным заполняется блок матрицы C-1

(ячейки A30-C32). Затем в строках 22-24 реализуются матричные формулы (коэффициен-ты характеристического полинома в электронной таблице Excel обозначены через ai).

A22:C24 =МУМНОЖ(A18:C20;E$2:G$4)+A$34:C$36*E22E22 =-СУММ(H24;G23;F22)/A21F22:H24 =МУМНОЖ(A18:C20;E$2:G$4).

Ввод формул в строки 26-28, осуществляется путем простого копирования строк 22-24.

Рисунок 3.12. Алгоритм Сурье-Фадеева в Excel

В результате копирования строк 22-24 получаются результаты в строках 26-28 и 30-32(см. рис.3.13). Это эффект относительной и абсолютной адресации Excel.

Рисунок 3.13. Алгоритм Сурье-Фадеева в Excel (продолжение)

Задача решена! Получены коэффициенты характеристического полинома матричноймодели, которые могут быть использованы для канонического преобразования. Полнаякартина алгоритма Сурье-Фадеева представлена на следующей скрин-копии (рисунок3.14).

40

Рисунок 3.14. Алгоритм Сурье-Фадеева в Excel (окончание)

3.4. Свойства матричных моделей

В общем виде детерминированная математическая модель линейной стационарнойдинамической системы представляется либо в виде одного уравнения

),()()()(0010 tf

dttfdtgb

dttgdbya

dtdya

dtyda rr

r

mm

m

nnn

n

b++b+++=+++ - KKK (3.19)

либо в виде системы уравнений, приведённой к нормальной форме Коши:

ïïþ

ïïý

ü

+++=

+++=+++=

.xaxaxax

;xaxaxax;xaxaxax

nnnnnn

nn

nn

K&

KKKKKKKKKKKKK

K&

K&

2211

22221212

12121111

(3.20)

Причём в правых частях не обязательно присутствуют все n переменных, т.е. часть изкоэффициентов ai j равны нулю. В то же время в некоторых уравнениях добавляются за-дающие gi(t) и возмущающие vi(t) воздействия.

Характеристическое уравнение такой системы имеет вид

41

,0)(

21

22221

11211

=

l-

l-l-

=l

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

D

L

LLLL

L

L

(3.21)

или в развёрнутом виде

.aaaa nnnn 01

110 =+l++l+l -

- K (3.22)

Как отмечалось выше, система уравнений (3.20) может быть записана и в матричнойформе

,AXX =& (3.23)

а её характеристическое уравнение (3.21) соответственно в виде

,0)det()( =l-=l EAD (3.24)где

,E,

aaa

aaaaaa

A

nnnn

n

n

100

010001

21

22221

11211

K

KKKK

K

K

K

KKKK

K

K

==

λi - корни характеристического уравнения (полюсы передаточной функции), называе-мые в матричном исчислении собственными значениями или характеристическими чис-лами матрицы A. Матричная запись уравнений весьма удобна и для представления мате-матических моделей систем в области изображений по Лапласу. При этом практическивсе формулы для преобразований по Лапласу скалярных переменных справедливы и дляслучая матриц. Обозначим через X(s) n-мерный вектор состояния в области изображенийЛапласа, через U(s) – p-мерный вектор входных переменных и через Y(s) m-мерный век-тор выходных переменных. Соотношение между этими векторами устанавливается пере-даточными матрицами H(s) и W(s) типа n ´ m и r ´ m в виде

),()()( sUsHsX = (3.25)

),()()( sUsWsY = (3.26)

откуда следует, что элемент hi j матрицы H(s) представляет собой преобразования поЛапласу импульсной переходной функции по i-й координате состояния относительно j-говходного сигнала при равенстве нулю всех других входных сигналов.

42

Рассмотрим взаимосвязь между передаточными матрицами Н(s), W(s) и матрицами вовременной области A, B и C , для чего применим к математической модели объекта пре-образование Лапласа:

þýü

=+=-

).()();()()0()(

sCXsYsBUsAXxssX

Если принять начальные условия нулевыми, т.е. x(0)=0, то вводя понятие единичнойматрицы I , получаем sX(s)-AX(s)=BU(s) и далее (sI-A)X(s) = BU(s). Окончательно

).()()(),()()( 11 sBUAsICsYsBUAsIsX -- -=-= (3.27)

В соответствии с (3.27) имеем

;)()( 1 BAsIsH --= (3.28)

,)()( 1 BAsICsW --= (3.29)

где (sI-A)-1 есть обратная матрица по отношению к матрице (sI-A), равная на основанииправил матричного исчисления отношению присоединённой матрицы )'( AsI - к определи-телю матрицы (sI-A), т.е.

.)det(

)'()( 1

AsIAsIAsI-

-=- -

Рассмотренный выше алгоритм Сурье-Фадеева, позволяет без труда находить обрат-ную матрицу и получать, таким образом, все рассмотренные здесь передаточные функциии в целом решение дифференциальных уравнений относительно любой из компонент век-тора состояния и относительно выхода.

3.5. Методы формирования матричных моделей

Рассмотрим всего несколько методов определения детерминированных математиче-ских моделей, выраженных через координаты состояния для линейных стационарныхсистем при условии, если заданы их передаточные функции или дифференциальныеуравнения вида ).()()()( susBsysD =

Это, прежде всего метод вспомогательной переменной и метод нормальной формыКоши [1]. Для этих методов рассматриваем передаточную функцию в виде

43

.......

)()(

)()()(

10

10n

n

mm

sdsddsbsbb

sDsB

sUsYsW

++++++

=== (3.30)

Соответствующее дифференциальное уравнение определяется на основе свойств пре-образования Лапласа: dny(n)(t)+...+d0y(t)=bmu(m)(t)+...+b0u(t).

3.5.1. Метод вспомогательной переменной

Модель в пространстве состояний методом вспомогательной переменной формирует-ся при обозначении y(s)=B(s)/D(s), где B(s), D(s) полиномы соответственно степени m и n.При замене переменной R(s)=u(s)/D(s), получится дифференциальное уравнение относи-тельно R(t) без производных в правой части dnR(n)+...+d0R=u(t). При этом выражение дляy(t) также не содержит производных в правой части: bmR(m)+...+b0R=y(t).

Матричная модель при этом представляется уравнением состояния и уравнением вы-хода: X¢=AX+Du, y(t)=CX, где матрицы A, D, C cоответственно равны:

,1

...0

,

...

...0...10

110

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

=

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

---=

-

nn

n

nn d

D

dd

dd

dd

A (3.31)

[ ]0..0,...0 mbbC = .Полученная матричная модель является универсальной, легко реализуемой при моде-

лировании на компьютере. Недостатком метода является необходимость того, что поря-док числителя исходной передаточной функции должен быть меньше порядка знаменате-ля.

3.5.2. Метод нормальной матричной формы Коши

Теория формирования матричной модели методом нормальной формы Коши подроб-но рассмотрена в [1]. Здесь приводятся лишь основные соотношения, требуемые для реа-лизации матричной модели. Универсальные матричные уравнения имеют традиционныйвид: X¢=AX+BU, y=CX, где матрица A, определяется из соотношения (3.31), а матрицы Bи C имеют вид:

44

[ ],1,0,...,0=,....

....0

C

C

CB

n

mn

úúúúúú

û

ù

êêêêêê

ë

é

= - (3.32)

где коэффициенты матрицы B определяются следующими соотношениями:

å-

=

+-- -==1

00 ,

j

kk

n

kjn

n

jnj

n

n Ca

aa

bC

abC . (3.33)

Выходной сигнал системы в общем случае: ).()( 1 tuabxty

n

n+=

3.5.3. Метод канонического разложения

Вначале для простоты положим, что M(s)=1, а характеристическое уравнение D(λ)=0имеет простые корни λi . В этом случае

,)(

1 upD

y = а Õ=

l-=n

iippD

1)()( , откуда после разложения на простые дроби

).()(1

tup

ctyn

i i

i÷÷ø

öççè

æl-

= å=

(3.34)

Если положить, что )(1)( tup

txi

i l-= , то

.)()(1å=

=n

iii txcty (3.35)

Согласно уравнению (3.35) переменная xi удовлетворяет дифференциальному уравне-нию первого порядка:

,,,2,1, niuxx iii K& ==l- (3.36)

а это значит, что уравнение (3.36) эквивалентно уравнению состояния вида (3.14), т.е.

45

,þýü

=+=

CXyBUAXX&

(3.37)

где

.,

1

11

,

00

0000

212

1

n

n

cccCBA LM

L

LLLL

L

L

==L=

l

ll

=

На рисунке 3.15 представлена структурная схема системы, соответствующая уравне-ниям (3.37). Хотя данный способ справедлив как для действительных, так и для ком-плексных корней λi, применять его в последнем случае не рекомендуется, так как вводитьв рассмотрение комплексные координаты состояния весьма неудобно.

Если характеристическое уравнение имеет кратные корни или передаточная функцияимеет нули (m¹ 0), то метод разложения на простые дроби остается справедливым. Длянестационарных систем метод канонического разложения не применяется.

Рисунок 3.15. Схема формирования модели системы каноническим методом

Пример. Дана передаточная функция системы

)1()1()(

22

1

22

1

++=

sTsTTTsW и .1,1

23

12,1 TT

-=l

-=l

Требуется: найти уравнения состояния и передаточную матрицу. Представим переда-точную функцию через собственные значения в виде суммы простых дробей.

46

.)()(

)())(()(

)()()()()(1

)1()1()(

32

1

21331231

3

3

1

22

1

1

32

122

1

22

1

l-l-l-+l-l-+l-

=

=l-

+l-

+l-

=l-l-

=++

=

ssscsscsc

sc

sc

sc

sssTsTTTsW

Коэффициенты находятся из соотношений

;1)())(()( 21331231 =l-+l-l-+l- scsscsc

.)(

1,132

312

311 ccc -=

l-l-

=l-l

=

Таким образом, имеем

ïþ

ïý

ü

+l=+l=+l=

uxxuxxxxx

333

222

2111

&

&

&

или ,110

000000

3

2

1

3

2

1

3

2

1

uxxx

xxx

+×l

ll

=&

&

&

а наблюдаемая переменная .321 Xcccy =

На рисунке 3.16 представлена структурная схема заданной системы, математическаямодель которой получена в канонической форме.

Рисунок 3.16. Схема формирования модели для примераПередаточную матрицу найдем в следующем виде.

47

)()()()(

110

)(100

0)(

10

0)(

1)(

1

)det()~(

110

)(000)(001)(

)()(

3

3

1

22

1

1

3

2

211

321321

3

2

1

3211

sWs

cs

cs

cs

s

ss

cccBAsE

AEsccc

ss

scccBAsECsW

=l-

+l-

+l-

=

=×

l-

l-

l-l-

×=-

-=

=×l-

l--l-

×=-= -

3.3.4. Метод разложения на простые множители

Известно, что передаточную функцию системы можно выразить через ее нули γi , иполюсы λi, т.е.

Õ Õ= += l-l-

g-=

++++

==m

i

n

mi ii

i

nn

mm

sssk

asabsb

sDsMsW

1 10

0

)(1

)()(

)()()(

L

L . (3.38)

Так какi

ii

i

i

sss

l-g-l

+=l-g- 1 , то структурная схема системы, соответствующая пере-

даточной функции (3.38), принимает вид, представленный на рисунке 3.17, а уравнениясостояния будут

ïïï

þ

ïïï

ý

ü

=+l=

g+l+g-l+l=g-l+l=

-

n

nnnn

kxyxxx

uxxxuxx

;

;)()(;)(

1

22122222

11111

&

LLLLLLLLLLLLLLLLL

&

&

(3.39)

Рисунок 3.17. Схема формирования модели

или в соответствии с (3.38)

48

.00

,

0

,

000

0000000

33

22

11

333

222

1

k

CBA T

n

ML

L

LLLLL

L

L

L

=g-lg-lg-l

=

l

lg-llg-l

l

= (3.40)

Например, при n= 4, m= 2

.000

,

00

,

10001000000

22

21

4

3

222

1

k

CBA T =g-lg-l

=

ll

lg-ll

=

Если М(s)=1, то

.

1000

,

0001

,

100010001000

,

4

3

2

1

4

3444

2333

1222

111

==

ll

ll

=

ïïï

þ

ïïï

ý

ü

=+l=

+l=+l=+l=

TCBA

xyxxxxxxxxx

uxx

&

&

&

&

3.5.5. Метод аналогового моделирования

Метод основан на использовании приемов аналогового моделирования, когда матема-тическая модель системы, заданная дифференциальными уравнениями, реализуется с по-мощью обратных связей на суммирующих, инвертирующих и интегрирующих типовыхзвеньях. Уравнения состояния записываются в этом случае в соответствии со схемой ана-логового моделирования без предварительного разложения передаточной функции намножители.

Пример. Дано дифференциальное уравнение системы, записанное в операторнойформе (s3+a1s2+a2s+a3)y=(b0s2+b1s+b2)u.

Требуется получить уравнения состояния.Решение: в соответствии с заданным дифференциальным уравнением составляем схе-

му аналогового моделирования (рисунок 3.18), на основании которой уравнения состоя-ния запишутся в виде

,;;; 101331123221121 xyubxaxubxaxxubxaxx =+-=+-=+-= &&&

т.е.

49

.001,,001001

0

1

2

3

2

1

==---

= Cbbb

Baaa

A

Рисунок 3.18. Схема аналогового моделирования

3.5.6. Нормальная форма записи уравнений состояния

Под нормальной формой записи уравнений состояния подразумевается тот случай,когда в качестве координат состояния принимаются выходная переменная и (n-1) её про-изводных. Преимущества нормальной формы заключаются в простоте представления ис-ходных дифференциальных уравнений даже тогда, когда они являются нелинейными илинестационарными. Например, для системы второго порядка изменение состояния можетбыть представлено с помощью фазового портрета на фазовой плоскости, а при n>2 вы-ходная переменная отображается траекториями в n – мерном фазовом пространстве.Очень удобно применять нормальную форму записи уравнений состояния для многомер-

ных систем с несколькими входами и выходами. Итак, задаваясь при å=

-=n

i

ni papD

0

1)( в

качестве координат состояния 123121 ,,,, -==== nn xxxxxxyx &L&& , получаем

50

.001,1

00

,000010

00

1

0

1

0

LM

L

LLLL

L

L

==---

=-

C

a

B

aa

aa

aa

Ann

(3.41)

Структурная схема аналогового моделирования объекта (системы), уравнение состоя-ния которого записано в нормальной форме, представлена на рисунке 3.19.

Рисунок 3.19. Схема моделирования системы с нормальной формой

Можно представить бесконечное множество систем с матричной математической мо-делью общего вида, которые будут между собой эквивалентны, так как отличаются другот друга только выбором базиса пространства состояний.

4. Расчет основных характеристик процессов и систем

4.1. Дисперсия стохастического процесса через вычеты

Вычисление дисперсии процесса g(t) и затем среднеквадратического отклонения про-изводится при нахождении интеграла через вычеты [17]. Практический пример для 4-йстепени w спектральной плотности рассмотрен в [18]. Здесь рассмотрим более сложныйпример для спектральной плотности (4.3).

Дисперсия процесса .125125

2562521

28

2

ò¥

¥-++

+= w

pd

wwwDg (4.1)

Используя факторизацию спектральной плотности, получим

51

åò=

¥

¥-úû

ùêë

é-

=--

=2/

1 )()()(Res

)()(

)()(

21 n

kk

j

j

gsAsA

sCdssAsB

sAsB

jD

p . (4.2)

Интеграл вычислим через вычеты по полюсам левой комплексной полуплоскости.Вычеты в простых полюсах:

[ ]þýü

îíì

--= -

® - )()()()(lim)(Res

sAsAsCsssS ik

ssgk

ik. (4.3)

Вычеты в кратных (m-кратных) полюсах:

[ ]ïþ

ïýü

ïî

ïíì

úû

ùêë

é-

-= -

-

® - )()()(

)(lim)(Res1

sAsAsCss

dsdsS m

ik

m

ssgk

ik. (4.4)

4.2. Дисперсия стохастического процесса алгоритмом Острема

Острем разработал алгоритм расчета дисперсии стохастического процесса, заданногодробно-рациональной спектральной плотностью [19]. Соотношение для расчета имеетвид

.)()()()(

21)(

21

1åòò=

¥

¥-

¥

¥-

=--

p=

p=

n

kk

j

j

j

j

IdwsAsAsBsB

jdwwS

jDg (4.5)

С учетом формулы вычисления каждого из интегралов имеем

Для расчета примем

.,...,)(

;,...,)(1

1

110

nn

nnn

nn

nnnnn

bsbsBasasasA

+=

++=-

-

(4.6)

Введем в рассмотрение полиномы для k-го шага

.,...,)(;,...,)(

11

110

kk

kkk

kk

kkkkk

bsbsBasasasA

+=

++=-

-

52

Коэффициенты полиномов определяются рекуррентно из уравнений:

).(*)()();(*)()(

1

1

sAsBsBsAsAsA

kkkk

kkkk

b-=a-=

-

-

где .2/)](*)1()([)(* sAsAsA kk

kk ---= Коэффициенты 11,,, --ba ki

kikk ba расчитыва-

ются по следующим формулам:

четно.если,-

нечетно,если,

нечетно;если,-

четно,если,

,,

11

11

21

11

1

1

1

0

ïî

ïíì

b=

ïî

ïíì

a=

=b=a

++

+-

++

+-

iab

ibb

iaaia

a

ab

aa

kik

ki

kik

i

kik

ki

kik

i

k

k

kk

k

k

(4.7)

4.2.1. Реализация алгоритма Острема на основе Excel

Алгоритм Острема хорошо программируется как на языках высокого уровня Pascal,C++, так и средствами программирования Excel.

Пример. Пусть спектральная плотность процесса имеет вид

.0201,198,1

25,0)( 24

2

+++

=ww

wwSg

Соответствующий формирущий фильтр

.01,12

5,0)( 2 +++

=ss

ssWg

Так это выглядит в Excel:

Рисунок 4.1. Исходные данные для алгоритма Острема в Excel

53

Коэффициенты полиномов Ak(s), Bk(s) определяются рекуррентно из уравнений (4.7).Исходные полиномы составлены на основе вычисленной передаточной функции Wg(s).

Расчет в электронной таблице (см. рисунок 4.2)

Рисунок 4.2. Реализация алгоритма Острема в Excel

В ячейках A8:C9 формируются полиномы A2(s) B2(s). Расчетные формулы вводятся вячейках A11:C12, для ak, βk в ячейках E10 и H10.

Скрин-копия с расшифровкой формул представлена на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3. Реализация алгоритма Острема в Excel (продолжение)

Распространение формул на рекуррентный шаг k=1 производится путем простого ко-пирования строк 10, 12 в строки 13, 15.

54

Результаты вычисления дисперсии при использованиия прикладной программы As-trom.exe [19] в данном случае использованы для контроля правильности программы Excel.Исходные данные для решения задачи формируются в файле S(w).dat и имеют следую-щий вид:

1 2 порядок системы1 0,5 полином Bn(s)1 2 1.01 полином An(s)

Результаты вычислений дисперсии при этом получены в файле Astr.dat.k=21.00000 2.00000 1.010001.00000 0.50000 a[2]=0.50000 b[2]=0.500002.00000 1.010000.50000 D= 2.5000E-0001 a[1]=1.98020 b[1]=0.495051.01000 D= 3.1188E-0001

Пример. Расчет дисперсии стохастического процесса на выходе динамической систе-мы. Исходные данные: Sg(w) - спектральная плотность входного процесса динамическойсистемы, W(jw) - передаточная функция динамической системы:

0201,198,125,0)( 24

2

++

+=

wwwwSg , .

21243122

)()(

2 ++

+==

sss

sgsxW(s)

1. Дисперсия стохастического процесса на выходе динамической системы находитсяпо спектральной плотности выходного процесса Sx(w). Определим спектральную плот-ность выходного процесса по формуле из [1], представленной на стр.18:Sx(w)=Sg(w)|W(jw)|2. При этом рассчитаем сначала |W(jw)|2:

42

22

94504414144)(

wwwjwW++

+= .

Учитывая |W(jw)|2, Sg(w), найдем An(s), Bn(s) где s=jw:

.6132)122)(5,0()(

;21,2124,6603,72303)21243)(201,1()(2

23422

++=++=

++++=++++=

sssssB

sssssssssA

n

n

Реализация алгоритма острема в Excel для порядка выше 2, также не вызывает труд-ностей. Рассмотрим возмость построения алгоритма для n>5:

55

.

В этом случае надо заполнить формулами рекуррентного вычисления коэффициентовak, bk на значительно больший диапазон (например, для n=6). Это представлено в сле-дующей скрин-копии.

Рисунок 4.4. Дисперсия выхода в алгоритме Острема (Excel)

При использовании прикладной программы Astrom.exe исходные данные в файлеS(w).dat имеют следующий вид:

4 {порядок системы}0 2 13 6 {полином Bn(s)}3 30 72.03 66.24 21.21 {полином An(s)}

Результаты вычислений дисперсии получены в файле Astr.datk=43.00000 30.00000 72.03000 66.24000 21.210000.00000 2.00000 13.00000 6.00000

a[4]=0.10000 b[4]=0.0000030.00000 65.40600 66.24000 21.210002.00000 13.00000 6.00000D= 0.0000E+0000

a[3]=0.45867 b[3]=0.0305865.40600 56.51153 21.2100013.00000 5.35144

56

D= 1.0193E-0003a[2]=1.15739 b[2]=0.23004

56.51153 21.210005.35144D= 2.3881E-0002

a[1]=2.66438 b[1]=0.2523121.21000D= 3.5827E-0002

Результат вычислений дисперсии стохастического процесса на выходе динамическойсистемы получен, как и при расчетах в Excel (Dx=0,036).

4.3. Расчет частоты спектра и периода дискретности процесса

Оценивание максимальной частоты спектра стационарного стохастического процессаи допустимого периода дискретности из условия заданной точности моделирования [20].

Максимальная частота спектра процесса (частота дискретизации) wmax при динамиче-ской работе системы (в данном случае формирующего фильтра) определяется при усло-вии ослабления процесса с максимальной частотой по отношению к процессам проходя-щим без ослабления до уровня погрешностей при численном решении задачи моделиро-вания процессов:

|W(jwmax)|2=δ|W(jw0)|2 , (4.8)

где w0 - частота, для которой АФЧХ аппроксимируется горизонтальной асимптотой, δ– относительный уровень ослабления сигнала на частоте дискретизации.

Пример. Пусть процесс задан спектральной плотностьюSg(w)=(w2+0,25)/(w4+1,98w2+1,0201). Передаточная функция формирующего фильтра длятакого процесса имеет вид Wg(s)=(s+0,5)/(s2+2s+1,01).

Зададим δ на уровне 10-3. Определим модуль амплитудо-фазочастотной характеристи-ки (АФЧХ) как отношение модуля числителя к модулю знаменателя. Учитывая

Sg(w)=Wg(jw)Wg(-jw)=|Wg(jw)|2,

получим для квадрата АФЧХ:

194,198,014245,0

0201,198,125,0)( 24

2

24

22

+++

=++

+=

www

www|w|Wg .

При w0=0 АФЧХ не зависит от w, поэтому |W(jw0)|2=0,245. Для расчета wmax из (4.1)получим соотношение:

32max

4max

2max 10

194,198,014 -=

++

+

www

,

откуда получим уравнение относительно wmax

57

0999,0998,300098,0 2max

4max =-- ww ,

или 039,101959,4079 2max

4max =-- ww . Из этого уравнения 2

maxw =4079,84 илиwmax=63,87 р/сек. В соответствии с импульсной теоремой ([1] стр.12) период дискретно-сти процесса определяется в виде dt=1/(2Fm)=p/wmax=0,049 c.

В соответствии с рассмотренной методикой расчета составлена программа Frequenc(табл.1.4). Входные данные (коэффициенты передаточной функции) задаются в файлеWg(s).dat. В данном случае:

1 {число вариантов}1 2 0.001 {порядок числителя, порядок знаменателя, погрешность}0.5 1 {коэффициенты числителя}1.01 2 1 {коэффициенты знаменателя}

Результаты расчета с помощью программы Frequenc.exe формируются в файле Wc-out.dat и имеют следующий вид:

Computing Max Frequence dynamic system (Wc) and time of diskretization (dt)Variant 1. Computing Wc,dt---------------------------------------------------W(s)-Function of dynamic system 5.00E-0001 1.00E+0000 1.01E+0000 2.00E+0000 1.00E+0000

K^2=0.2450740|Wа(jw)|^2-Qwadrat of module AFFX Wp(jw)(Co+,...CmW^(2m))/(Do+,...DnW(2n)) 1.00E+0000 4.00E+0000 1.00E+0000 1.94E+0000 9.80E-0001Biqwadrat equation of WcWc^4-4078.420*Wc^2-1019.080=0Qwadrat of poluse equation-2.50E-0001 0.00E+0000 j 4.08E+0003 0.00E+0000 jMax Frequence dynamic system Wc= 6.386E+0001Time of diskretization dt= 4.919E-0002

4.4. Расчет непрерывной и дискретной матричной модели

Пример. Задана математическая модель объекта наблюдения в виде передаточнойфункции следующего вида

2,116,168,1185,4165,0

)()()()( 234 ++++

+=

+=

sssss

svsushsW

.

58

Детерминированное входное воздействие u(t) задано суммой ступенчатой и гармони-ческой функций. Стохастическая составляющая g(t) определяется формирующим фильт-ром D с белый шумом возмущения v(t) приведенном ко входу (интенсивность шума воз-мущения Q=0,7).

Модель ОН имеет: X - вектор состояния системы; h(t) - сигнал выхода.

DvBuAXX ++=& , ,CXh =

где A, B, D – переходные матрицы состояния (матрицы коэффициентов);С - матрица линейного преобразования размера mxn.

úû

ùêë

é=

00100001

C .

Измеряются два параметра объекта наблюдения: выходной сигнал и его производная.Уравнение измерений удовлетворяет линейному соотношению:

)()()( tNtCXtY += ,

где N(t) - вектор шумов, )()]()([М tRtNtN Т = . Измерения производятся с шумами (интенсивно-сти шумов r11=13, r22=0,3).

Дискретная модель

)()()()1( kkkk TvGuFXX ++=+ .

Матрицы F, G, T зависят от A, B, D Период дискретности dt для вычисления этихматриц выбирается исходя из полосы пропускания динамической системы в соответствиис импульсной теоремой [21].

Преобразование передаточных функций в матричные модели производят стандарт-ными методами, например, методом нормальной формы Коши.

Определение матричной модели ОН методом Коши производится с помощью элек-тронной таблицы Excel.

Результаты расчета непрерывной матричной модели представлены на скрин-копииэлектронной таблицы (рисунок 4.5).

59

Рисунок 4.5. Таблица для расчета матриц непрерывной модели

Для расчета дискретной модели требуется определить период дискретности dt. На ос-новании импульсной теоремы dt=π/ωm, где ωm – максимальная частота пропускания сис-темы. Вычисление периода дискретности производится в электронной таблице Excel (см.рисунок 4.6).

Рисунок 4.6. Реализация инструмента “Подбор параметра” для расчета dt

Метод расчета основан на определении ωm, когда затухание амплитудно-частотнойхарактеристики ограничено на уровне δ от уровня при ω = ω0 = 0.

При δ = 10-3 это уравнение приобретает вид

Метод расчета основан на использовании инструмента Excel “Подбор параметра”. Вячейке G8 набирается формула биквадратного уравнения, где в качестве неизвестного па-раметра x = (ωm)2 используется изменяемая ячейка $F$8.

60

Рисунок 4.7. - Инструмент “Подбор параметра”

В данном случае формула биквадратного уравнения четвертого порядка в ячейке G8имеет вид

=F5+G5*F8+H5*F8^2+I5+F8^3+J5*F8^4.

Предварительно в искомой ячейке задается достаточно большое число, заведомобольшее, чем (ωm)2. После проведения подбора получены результаты, представленные нарисунке 4.8.

Рисунок 4.8. Результаты подбора параметра x = (ωm)2

В выделенной ячейке получена остаточная ошибка расчета, а в ячейках H8, I8 най-денные значения ωm и dt.

Дискретная модель содержит матрицы F, G, T ( dtAIF ×Y+= , dtDG ×Y= ). Алгоритм расчетаоснован на представлении матричной экспоненты в виде ряда Тейлора. При этом исполь-зуется вспомогательная матрица

)!1(,...,

2 ++++=Y

kdtAdtAI

kk

.

Итерационный расчет ψ производится до достижения условия точности

61

d<ïþ

ïýü

ïî

ïíì

Y

Y-Y

+

+

)1(

)()1(absk

kk,

где d - заданная относительная погрешность (d=0,001);||y(k)|| - норма матрицы y(k), вычисляемая как сумма элементов матрицы.

Матрицы F, G, T, найденные с помощью электронной таблицы Excel, представленына копии экрана электронной таблицы (рисунок 4.9).

Рисунок 4.9. Результаты расчета матриц дискретной модели

5. Статистическое моделирование систем

Метод статистического моделирования, или метод Монте-Карло (МК), - это числен-ный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных вели-чин [22, 23]. Этот метод позволяет исследовать любой процесс, на протекание котороговлияют случайные факторы. Для задач, не связанных со случайностями, можно искусст-венно придумать вероятностные модели.

Общая схема применения метода состоит в том, что функцию, которую нужно вычис-лить, представляют в виде математического ожидания f(x1,...,xn) от n независимых случай-ных величин. Используя n случайных чисел, моделируемых датчиками случайных чисел,

62

получают реализацию функции. Повторяя, получают n случайных реализаций. В качествеприближенного значения оцениваемой функции принимают среднее арифметическое пореализациям. Среднеквадратическая погрешность полученной статистической оценки сростом числа реализаций N убывает пропорционально 1/N2.

При статистическом моделировании систем производится воспроизведение процес-сов, происходящих в системах, с искусственной имитацией случайных величин, от кото-рых зависят эти процессы, с помощью датчиков случайных чисел. Комбинируя детерми-нированные и стохастические зависимости, составляют алгоритм моделирования систе-мы. Применяя его, получают независимые реализации процесса в заданных условиях ис-пользования системы. Характеристики, которые нужно определить, оцениваются методомМК. Алгоритм моделирования используется как для анализа, так и для оптимизации исинтеза систем.

5.1. Оптимизация методом статистического моделирования

В качестве метода оптимизации функционала Q(F), зависящего от параметров систе-мы, используется метод статистического моделирования, легко реализуемый на компью-тере. При использовании этого метода, вектор параметров F варьируют в допустимыхграницах случайным образом и вычисляют при каждом статистическом испытании функ-ционал Q(F). Затем при достижении достаточного статистического материала определяютэкстремум функционала и выявляют соответствующие ему оптимальные значения векто-ра F.

Функционал часто определяется неявно при моделировании работы рассматриваемойсистемы. Задача оптимизации решается при наличии ряда ограничений на другие харак-теристики (функционалы Q(F)).

На рисунке 5.1 представлена структурная схема алгоритма оптимизации.

63

Рисунок 5.1. Структурная схема алгоритма оптимизации функционала

На схеме обозначено:ДСЧ – датчик случайных чисел;N – количество статистических испытаний;DP – область допустимых второстепенных функционалов;Qmin(F) – минимальное значение ортимизируемого функционала;Fопт - вектор оптимальных параметров.

В качестве примера функционала можно, например, привести передаточную функциюДПИ, зависящую от множества параметров, определяющих конструкцию датчика и егодинамические свойства. Большинство параметров функционала являются неизменяемы-ми, но некоторые можно выбрать оптимальным образом для обеспечения экстремальныххарактеристик датчика, например, по точности или по быстродействию. Изменяемымипараметрами векторного аргумента F в этом случае являются параметры корректирующе-го устройства, выполняемого, например, на малогабаритном операционном усилителе снавесными элементами.

Рассмотрим в качестве основного показателя качества динамики датчика время пере-

-+

+

-

k=1

Вариация параметров fi

Расчет функционала

Расчет ограничений P(F)

P(F)ÎDP

Qk(F)<Qmin(F)Qmin(F)=Qk(F)

k=k+1

-+

k>N

ДСЧ

Qmin(F) →

64

ходного процесса tПП, определяемое при воздействии скачкообразного сигнала на входе.Минимум времени переходного процесса, в данном случае, обеспечивает минимум по-терь полезной информации, т.е. минимум интегрального показателя качества – средне-квадратической ошибки переходного процесса. Другие важные показатели динамики (пе-ререгулирование, степень затухания, запас устойчивости по фазе и амплитуде, полосапропускания) должны находиться в допустимых пределах, т.е. они являются функциямиограничения. Таким образом, задача оптимизации (минимизации) времени переходногопроцесса поставлена как задача с ограничениями.

Показатель качества время переходного процесса определяется неявно, т.е. при моде-лировании стохастической системы. В качестве системы рассматрим ДПИ. Для модели-рования ДПИ используется стандартная матричная модель, характеризующая динамиче-ское движение. Модель определяется уравнением состояния с вектором состоянияX=(x1,x2,…,xn) при входных воздействиях U(t) и возмущениях V(t):

).()(),()()()(

tCXtytDVtButAXtX

=++=

·

(5.1)

где A, B, C – матрицы коэффициентов соответствующей размерности.Начальное состояние процессов в датчике линейных ускорений заданно вектором

X(0)=(x10,x20,…,xn0).При поиске оптимальных параметров имеются ограничения, накладываемые на пре-

делы изменения исходных независимых параметров и оптимизируемых выходных харак-теристик. Параметры F системы и второстепенные показатели качества Pk имеют ограни-чения:

(5.2)

Моделирование динамики движения системы выполняется численным решениемматричных уравнений динамики (формула 5.1). Для этого составляются соответствующиедискретные матричные уравнения:

).()(),()()1(

kCXkykGukHXkX

=+=+

(5.3)

где H, G – матрицы коэффициентов соответствующей размерности.Большинство параметров системы, определяют ее конструкцию и статическую харак-

теристику и являются неизменяемыми. Часть параметров, относящихся к изменяемойчасти (корректирующему устройству) может быть изменена в ограниченных пределах(определяемых в основном массо-габаритными и конструктивными характеристиками).

65

5.2. Объектно-ориентированное статистическое моделирование

Решение примера оптимизации ДПИ проводится с использованием объектно-ориентированного программирования в среде Delphi [24]. С этой целью разработана опе-рационная оболочка программы, которая предназначена для организации диалоговой на-стройки вычислительного эксперимента и его многократного проведения [25]. Основнаяпанель (Desck Top) операционной оболочки с кнопками управления представлена на ри-сунке 5.2.

Рисунок 5.2. Управляющая панель операционной оболочки

На основной панели размещены элементы управления:1)Кнопка управления для запуска подпрограммы статистического моделирования и

построения графика процесса движения динамической системы.2)Диалоговое окно для ввода и модификации исходных данных (независимых пере-

менных) исследуемой динамической системы. В этом окне предусмотрена возможностьустановки/сброса флажков разрешения случайной вариации независимых переменныхсистемы.

3)Движки, задающие: 1) число статистических испытаний; 2) максимальное время на-блюдения динамического движения системы.

66

4)Диалоговое окно для ввода и модификации векторной функции модели (зависимыхпеременных) от векторного аргумента (независимых переменных) исследуемой динами-ческой системы.

5)Редактируемые окна для модификации порядка дифференциального уравнения иразмерности вектора независимых переменных исследуемой динамической системы.

6)Диалоговое окно для просмотра результатов проектирования и оптимизации иссле-дуемой динамической системы.

Кнопки управления. Кнопка “Моделирование” предназначена для запуска подпро-граммы статистического моделирования. При нажатии кнопки производится подготовка,проведение и завершение вычислительного эксперимента.

На этапе подготовки читаются исходные данные из входных файлов: порядок поли-нома передаточной функции для числителя и знаменателя, число исходных параметровсистемы, номинальные значения исходных параметров, индикаторы варьирования пере-менных.

На этапе проведения вычислительного эксперимента производится многократный вы-числительный эксперимент с выполнением в каждом статистическом испытании:

1)случайного варьирования исходных параметров системы x[1], x[2],..., x[Nq] относи-тельно номинальных значений в заданных диапазонах;

2)расчет коэффициентов b0, b1, b2, …, bm; a0, a1, …, an передаточной функции системыпри исходных параметрах x[1], x[2],..., x[Nq];

3)расчет непрерывной матричной модели системы (формула 5.1);4)расчет дискретной матричной модели системы (формула 5.3);5)численное решение дифференциального уравнения системы при воздействии скач-

кообразного сигнала в заданном диапазоне времени;6)определение времени переходного процесса, перерегулирования и статистических

характеристик этих показателей качества.На этапе завершения вычислительного эксперимента (после проведения заданного

числа статистических испытаний) определяется минимальное время переходного процес-са (максимальное количество статистических испытаний в данном пакете программ огра-ничено числом 1000) и соответствующие параметры системы (оптимальные параметры).Строится график оптимального переходного процесса в графическом окне (красная ли-ния) и график переходного процесса при номинальных значениях исходных параметров.Полученные оптимальные параметры системы записываются в результирующий файл.

Кнопка “Результаты” позволяет вызывать диалоговое окно для просмотра результатовпроектирования и оптимизации исследуемой динамической системы (рисунок 5.3).

67

Рисунок 5.3. Диалоговое окно результатов проектирования

Движки числа статистических испытаний и времени наблюдения.В графическом окне расположен Движок, устанавливающий максимальное время на-

блюдения динамического движения системы (от 0 до 1,5 с).Движок, задающий количество статистических испытаний системы рассчитан на диа-

пазон от 10 до 1000. Наиболее часто используемые значения (от 30 до 800) указаны синейполосой.

Диалоговое окно для просмотра результатов. В данном окне представлены рассчитан-ные коэффициенты b0, b1, a0, a1, a2, a3, a4 модели системы “Передаточная функция”, ре-зультаты расчета матричной модели: матрицы A, B, C, результаты проведенной оптими-зации: минимальное время переходного процесса и соответствующее ему перерегулиро-вание и оптимальные значения параметров ДЛУ. Результаты этого окна связаны с данны-ми, записанными в выходные файлы: Model-W-Nominal.dat, Model-W-Optimal.dat, MK-0.dat, Koshi-Model.dat. Также в файлах представлены дискретные модели системы дляноминальных (Digital-Model-Nominal.dat) и оптимальных параметров (Digital-Model-Optimal.dat). Эти файлы обновляются при моделировании.

Блок статистичекого моделирования, структурная схема алгоритма которого пред-ставлена на рисунке 5.4, содержит управляющую процедуру и блоки.

68

Рисунок 5.4. Блок статистичекого моделирования

Датчик случайных чисел. Случайные числа в соответствии с исходной информацией ораспределении аргументов вырабатываются программно с помощью датчика случайныхчисел (ДСЧ). При статистическом моделировании ДС используются случайные величи-ны, имеющие равномерное распределение.

Блок решения дифференциального уравнения состояния ДС. Этот блок представленпроцедурой Eyler(n,h,u,A,B,X), выполняющей численное решение с высокой точностью.Блок имеет входные параметры: n – порядок динамической системы (ДС), h – периоддискретности по времени, u – установившееся значение входного сигнала, A, B – матрицыкоэффициентов решаемой системы уравнений. Выходными параметрами являются ком-поненты вектора состояния ДС: X.

69

Блок оптимизации показателя качества. Определяется минимальное время переходно-го процесса, соответствующие ему перерегулирование и параметры ДС.

Блок обработки результатов. Осуществляется накопление массивов, оценку статисти-ческих характеристик, вычисление показателей качества, решение оптимизационных за-дач, графического представления результатов.

Процедуры вывода результатов проектирования и оптимизации. Программа реализуетвывод данных в файлы (запись результирующих данных о моделях ДС, времени переход-ного процесса и основных параметрах системы). Это файлы: Model-W-Nominal.dat,Model-W-Optimal.dat, MK-0.dat, Koshi-Model.dat. Также в файлах представлены дискрет-ные модели системы для номинальных (Digital-Model-Nominal.dat) и оптимальных пара-метров (Digital-Model-Optimal.dat). Эти файлы обновляются каждый раз при выполнениимоделирования.

5.3. Расчет передаточной функции ДС по заданным номинальнымпараметрам и функциональным зависимостям

Расчет передаточной функции ДС выполняется программой Dynamic System в диало-говом режиме с использованием режима ввода/вывода с файлами. При этом задаются но-минальные значения параметров (до 50 параметров) и функциональные зависимости ко-эффициентов передаточной функции от этих параметров.

Вычисления производятся с помощью оригинальной программы, составленной наобъектном Pascal. Вычисления производятся с использованием рекурсий и специальныхфункций. Для записи формулы используются круглые скобки, арифметические знаки испециальные математические функции. Независимые переменные (аргументы) обознача-ются как x[1],…, x[50].

Диалоговое окно для ввода и модификации исходных данных. В этом окне произво-дится изменение номиналов исходных параметров (независимых переменных) исследуе-мой динамической системы. Здесь же с помощью флажков-индикаторов (нулей и единиц)выбираются варьируемые параметры (1 – разрешено варьирование, 0 – запрещено варьи-рование).

Исходные значения параметров и их индикаторные функции записаны в файл In-put.dat, который используется при вводе/выводе данных в программу.

Диалоговое окно для ввода и модификации векторной функции. В нижнем диалого-вом окне индицируются функциональные зависимости коэффициентов передаточнойфункции: b0, b1, …, bm; a0, a1, …, an (зависимых переменных) от исходных параметров:x[1], x[2],..., x[Nq] (независимых переменных) исследуемой динамической системы.

Для ввода в программу функциональных зависимостей выражения записываются ссоблюдением определенных правил в файле Function.dat. Правила записи функциональ-ных зависимостей индицируются при вхождении в диалоговое окно для модификацииэтих зависимостей.

70

Окна для модификации порядка дифференциального уравнения и размерности век-тора независимых переменных. Передаточная функция исследуемой динамическойсистемы записана в общем виде (см. рисунок 5.2), где индексы m и n задаются допол-нительно в редактируемых окнах. Таким же образом указывается число исходных па-раметров Nq.

5.4. Преобразование модели “Передаточная функция”в непрерывную и дискретную матричные модели

Для преобразования модели “Передаточная функция” в непрерывную и дискретнуюматричные модели необходимо записать на основе передаточной функции дифференци-альное уравнение и затем преобразовать это уравнение в систему дифференциальныхуравнений 1-го порядка.

Динамическое движение системы характеризуется вектором состояния X=(x1,x2,…,xn)при входном сигнале u(t) и уравнением выхода y(t), определяющим выходной сигнал(формула 5.1).

Моделирование динамики движения системы выполняется численным решением мат-ричных уравнений динамики (формулы 5.1).

5.5. Численное решение дифференциальных уравнений

Моделирование динамики движения ДС выполняется численным решением системыуравнений динамики (формулы 5.3) методом Эйлера. Решение относительно компонент xi

выполняется с заданной точностью путем выбора достаточно малого периода дискретно-сти h:

'( 1) ( ) ( )i i ix k x k hx k+ = + , (5.4)

где x’i - первая производная компоненты xi.Для решения системы дискретных уравнений можно использовать электронную таб-

лицу Excel, но для получения достаточно точного решения требуется выбрать периоддискретности на уровне 10-6 секунды. С учетом того, что время наблюдения движения ДСсоставляет от 0,001 с до 1 с, для получения численных значений траектории движения ДС

71

придется сформировать таблицу на уровне 1000000 значений. Решение такой задачи в Ex-cel нерационально, поэтому она решается при использовании Object Pascal и визуальногопрограммирования Delphi.

Для решения дифференциального уравнения, заданного моделью в виде передаточнойфункции необходимо:

1)ввести коэффициенты передаточной функции;2)сформировать непрерывную матричную модель уравнения состояния (вычислить

матрицы коэффициентов A, B, C);3)задать период дискретности;4)сформировать дискретную матричную модель уравнения состояния (вычислить

матрицы коэффициентов F, G);5)используя процедуру пошагового решения системы разностных дискретных урав-

нений, вычислить траекторию движения ДС с шагом дискретности по времени h (сфор-мировать таблицу);

6)построить график движения ДС.

Решение дифференциального уравнения состояния ДС производится в матричнойформе с помощью процедуры:

Eyler(n:Integer;h,u:Real;A:Ms;B:Ms1;Var X:Ms1).

Входные данные процедуры:n – порядок системы;h – период дискретности;u – входная переменная;A, B – матрицы коэффициентов уравнения состояния.

Выходные данные процедуры:X – вектор выходных переменных (вектор состояния).

Для примера рассматривается дифференциальное уравнение 4-го порядка, что не на-рушает общности решения для более высокого порядка.

Дифференциальное уравнение имеет вид)1(

100)1(

1)2(

2)3(

3)4(

4 )()( ubtubtyayayayaya +=++++ . (5.5)

Программа Dynamic System для данного примера дает диалоговое окно с параметрамиДС и траекторию движения ДС (аналогично рисунку 5.2).

Все параметры моделей просматриваются в диалоговом окне “Результаты” (анало-гично рисунку 5.3) и фиксируются в файлах.

5.6. Метод статистического моделирования при определениидопусков на конструктивные параметры системы

Алгоритм исследования динамических систем методом МК состоит в следующем: за-даются случайные вариации исходным параметрам системы, по ним находится значение

72

целевой функции, процесс циклически повторяется с накоплением массива, который подостижении нужного объема подвергается статистической обработке.

Задача формирования допусков на исходные параметры ДС. Необходимо обеспечитьопределенный уровень некоторого выходного свойства J ДС. Это свойство являетсяфункцией n независимых аргументов F=(f1,…,fn)T

J = ( f1,…, fn). (5.6)

На стадии проектирования ДС для J устанавливают его номинальное значение Jном ипредельные допустимые отклонения – нижнюю J1 и верхнюю J2 границы. Они определя-ют полуширину поля допуска dJ=(J2-J1)/2 (в этом случае требования к уровню J задаютсяв виде djJ ±ном ). Необходимо, чтобы J попадало в поле допуска, тогда ДС по данному свой-ству считается работоспособным. На основе полученных требований к параметру J реша-ется обратная задача - выявление допустимых значений аргументов, влияющих на J. Этоособенно важно для исходных параметров, имеющих высокие коэффициенты влияния.

Установление численных значений границ J1 и J2 проводится на основе тактико-технических требований к ДС. При статистическом моделировании ДС находят средне-квадратическое отклонение и из условия dJ=k σj определяется σj. (часто k - коэффициентширины поля допуска принимают равным 3 из условия доверительной вероятности0,997).

Методом статистического моделирования находят коэффициенты чувствительности(коэффициенты влияния) параметров fi ДС на выходную характеристику. Определяютсреднеквадратические отклонения аргументов и их допустимые границы. Кроме постав-ленной задачи, вероятностной по своей природе, более важной представляется математи-ческая задача оптимизации. Здесь случайные вариации исходных параметров вводятсяискусственно. Задача оптимизации предшествует задаче формирования допусков на па-раметры ДС.

Обеспечение допустимых отклонений характеристик ДС. Задача определения коэф-фициентов чувствительности dJ/dfi параметров ДС решается следующим образом. Произ-водится моделирование работы ДС при номинальных значениях параметров. При этомисследуемому параметру задаются случайные вариации с заданным законом распределе-ния. Регистрируется выходная характеристика J и определяется ее дисперсия. Коэффици-ент чувствительности i-го параметра определяется в виде

ifi

J

i fJ

dfdJ

ss

= . (5.7)

Математическое обеспечение. В состав математического обеспечения входят: 1) про-грамма – модель ДС; 2) датчики случайных чисел; 3) программы обработки результатов.

Моделирование ДС выполняется численным решением уравнения динамики (5.1) ме-тодом прогноза и коррекции при начальном старте "грубым" методом Эйлера.

73

Алгоритм вычислений. Алгоритм легко программируется для решения в численномвиде на ПЭВМ. Прикладная программа составлена в объектно-ориентированной средеDelphi с использованием программирования отдельных модулей на языке Object Pascal.

Основными элементами программы статистического моделирования и обработки ре-зультатов являются: модуль ввода-вывода данных, датчики случайных чисел, блок слу-чайной вариации исходных параметров, блок формирования ограничений, блок оптими-зации показателя качества, блок статистической обработки (вычисления математическогоожидания и дисперсии показателя качества), блок вычисления коэффициентов влияния,блок записи оптимальных параметров и модели оптимального показателя качества. Мо-дуль графической иллюстрации оптимальных параметров выполнен в виде отдельнойпроцедуры.

Операционная оболочка программного обеспечения имеет основную панель, системуменю, диалоговые окна для ввода и модификации исходных данных, окно для выводаграфической информации. Подключена заставка и программа индицирующая справочнуюинформацию. Прикладная программа подключена в виде встроенной процедуры объект-ного языка Pascal. Панель управления изображена на рисунке 5.5.

Интерактивный интерфейс пользователя позволяет выполнять исследование ДС пу-тем активного вычислительного эксперимента в различных режимах, задавая необходи-мые начальные условия, вводя различные ограничения. Статистическое моделированиепозволяет исследовать область допустимых параметров ДС, сформулировать к ним тре-бования, определить оптимальные показатели качества, определить границы устойчиво-сти и другие характеристики (время переходного процесса, порог чувствительности, ну-левой сигнал, уровни шумов и т.п.).

5.7. Моделирование процессов с заданным законом распределения

Любой язык программирования высокого уровня имеет программу-функцию, даю-щую равномерно распределенную случайную величину в диапазоне [0,1]. На основанииэтой величины формируются другие с требуемым законом распределения и числовымихарактеристиками.

Для получения случайной величины Е, распределенной в диапазоне [a,b] с плотно-стью f(x), необходимо решить интегральное уравнение

f x dx qa

b( ) ,=ò (5.8)

где q - равномерно распределенная величина в диапазоне [0,1].

74

Для равномерно распределенной случайной величины Е в диапазоне [a,b] плотность

вероятности имеет вид f xb a

( ) =-1

при a<x<b, а интегральное уравнение относительно Е

1b a

dx qa

E

-=ò дает выражение Е=a+q(b-a).

Нормально распределенная случайная величина формируется из равномерно распре-деленных на основании центральной предельной теоремы. В библиотеке программ налюбом языке программирования имеется подпрограмма GAUSS, которая вычисляет нор-

мально распределенную случайную величину в виде 612

1-=å

=jjqE , где qi - равномерно рас-

пределенная случайная величина в диапазоне [0,1], имеющая математическое ожидание mи дисперсию s2. Для получения нормально распределенной случайной величины с задан-ным математическим ожиданием и дисперсией необходимо произвести следующие вы-числения: Y=Esy+My.

Экспоненциальное распределение имеет плотность вероятности при x³0. Вычислим

случайную величину X из интегрального уравнения ae dx qaxX

-ò =0

, откуда получим

1- =-e qaX или X q a= - -ln( ) /1 . Величина 1-q распределена так же, как q, поэтомуможно принять X q a= -ln( ) / .

Возникновение импульсных помех в ДС определяется экспоненциальным закономраспределения. Вероятность появления помехи в момент времени to вычисляется поформуле q=1-e-Ltо, где L – интенсивность.

6. Моделирование в системе MatLab Simulink

Удобным программным обеспечением для объектно-ориентированного моделирова-ния на компьютере является ПО MATLAB [26-33]. Система MATLAB состоит из шестиосновных частей:

Язык MATLAB. Это язык матриц и массивов высокого уровня с управлением потока-ми, функциями, структурами данных, вводом-выводом и особенностями объектно-ориентированного программирования. Это позволяет как программировать в "неболь-шом масштабе" для быстрого создания черновых программ, так и в "большом" для соз-дания больших и сложных приложений.

Среда MATLAB. Это набор инструментов и приспособлений, с которыми работаетпользователь или программист MATLAB. Она включает в себя средства для управленияпеременными в рабочем пространстве MATLAB, вводом и выводом данных, а также соз-дания, контроля и отладки М-файлов и приложений MATLAB.

75

Управляемая графика. Это графическая система MATLAB, которая включает в себякоманды высокого уровня для визуализации двух- и трехмерных данных, обработки изо-бражений, анимации и иллюстрированной графики. Она также включает в себя командынизкого уровня, позволяющие полностью редактировать внешний вид графики, такжекак при создании Графического Пользовательского Интерфейса (GUI) для MATLAB при-ложений.

Библиотека математических функций. Это обширная коллекция вычислительных ал-горитмов от элементарных функций, таких как сумма, синус, косинус, комплекснаяарифметика, до более сложных, таких как обращение матриц, нахождение собственныхзначений, функции Бесселя, быстрое преобразование Фурье.

Программный интерфейс. Это библиотека, которая позволяет писать программы на Сии Фортране, которые взаимодействуют с MATLAB. Она включает средства для вызовапрограмм из MATLAB (динамическая связь), вызывая MATLAB как вычислительный ин-струмент и для чтения-записи МАТ-файлов.

Simulink, сопутствующая MATLAB программа. Интерактивная система для моделиро-вания динамических систем. Она представляет собой среду, управляемую мышью, кото-рая позволяет моделировать процесс путем перетаскивания блоков диаграмм на экране иих манипуляцией. Simulink работает с линейными, нелинейными, непрерывными, дис-кретными, многомерными системами.

6.1. Общие сведения о системе моделирования MatLab Simulink

Программа Simulink является приложением к пакету MATLAB. При моделировании сиспользованием Simulink реализуется принцип визуального программирования, в соответ-ствии с которым, пользователь на экране из библиотеки стандартных блоков создает мо-дель устройства и осуществляет расчеты. При этом, в отличие от классических способовмоделирования, пользователю не нужно досконально изучать язык программирования ичисленные методы математики, а достаточно общих знаний требующихся при работе накомпьютере и, естественно, знаний той предметной области, в которой он работает.

Simulink является достаточно самостоятельным инструментом MATLAB и при работе сним совсем не требуется знать сам MATLAB и остальные его приложения. С другой сто-роны доступ к функциям MATLAB и другим его инструментам остается открытым и ихможно использовать в Simulink. Часть входящих в состав пакетов имеет инструменты,встраиваемые в Simulink (например, LTI-Viewer приложения Control System Toolbox – па-кета для разработки систем управления). Имеются также дополнительные библиотекиблоков для разных областей применения (например, Digital Signal Processing Blockset –набор блоков для разработки цифровых устройств и т.д).

При работе с Simulink пользователь имеет возможность модернизировать библиотеч-ные блоки, создавать свои собственные, а также составлять новые библиотеки блоков.

При моделировании пользователь может выбирать метод решения дифференциаль-ных уравнений, а также способ изменения модельного времени (с фиксированным илипеременным шагом). В ходе моделирования имеется возможность следить за процессами,

76

происходящими в системе. Для этого используются специальные устройства наблюдения,входящие в состав библиотеки Simulink. Результаты моделирования могут быть представ-лены в виде графиков или таблиц.

Преимущество Simulink заключается также в том, что он позволяет пополнять биб-лиотеки блоков с помощью подпрограмм написанных как на языке MATLAB, так и наязыках С + +, Fortran и Ada.

Запуск Simulink. Для запуска программы необходимо предварительно запустить пакетMATLAB. После открытия основного окна программы MATLAB нужно запустить про-грамму Simulink. Это можно сделать одним из трех способов:

- Нажать кнопку (Simulink) на панели инструментов командного окна MATLAB.- В командной строке главного окна MATLAB напечатать Simulink и нажать клавишу

Enter на клавиатуре.- Выполнить команду Open… в меню File и открыть файл модели (mdl - файл).Последний вариант удобно использовать для запуска уже готовой и отлаженной мо-

дели, когда требуется лишь провести расчеты и не нужно добавлять новые блоки в мо-дель. Использование первого и второго способов приводит к открытию окна обозревателяразделов библиотеки Simulink.

Рисунок 6.1. Окно обозревателя разделов библиотеки Simulink

Процесс расчета модели выполняется Simulink в несколько этапов. На первом этапевыполняется инициализация модели: подключение библиотечных блоков к модели, опре-деление размерностей сигналов, типов данных, величин шагов модельного времени,оценка параметров блоков, а также определяется порядок выполнения блоков и выполня-ется выделение памяти для проведения расчета. Затем Simulink начинает выполнять циклмоделирования. На каждом цикле моделирования (временном шаге) происходит расчет

77

блоков в порядке, определенном на этапе инициализации. Для каждого блока Simulink вы-зывает функции, которые вычисляют переменные состояния блока x, производные пере-менных состояния и выходы y в течение текущего шага модельного времени. Этот про-цесс продолжается, пока моделирование не будет завершено.

6.1.1. Библиотека блоков Simulink

Осциллограф Scope. Строит графики исследуемых сигналов в функции времени. По-зволяет наблюдать за изменениями сигналов в процессе моделирования.

Для того, чтобы открыть окно просмотра сигналов необходимо выполнить двойнойщелчок левой клавишей “мыши” на изображении блока. Это можно сделать на любомэтапе расчета (как до начала расчета, так и после него, а также во время расчета). В томслучае, если на вход блока поступает векторный сигнал, то кривая для каждого элементавектора строится отдельным цветом.

Настройка окна осциллографа выполняется с помощью панелей инструментов (рис.6.2).

Рисунок 6.2. Панель инструментов блока Scope

Панель инструментов содержит 11 кнопок:1. Print – печать содержимого окна осциллографа.2. Parameters – доступ к окну настройки параметров.3. Zoom – увеличение масштаба по обеим осям.4. Zoom X-axis – увеличение масштаба по горизонтальной оси.5. Zoom Y-axis – увеличение масштаба по вертикальной оси.6. Autoscale – автоматическая установка масштабов по обеим осям.7. Save current axes settings – сохранение текущих настроек окна.8. Restore saved axes settings – установка ранее сохраненных настроек окна.9. Floating scope – перевод осциллографа в “свободный” режим.10. Lock/Unlock axes selection – закрепить/разорвать связь между текущей координат-

ной системой окна и отображаемым сигналом. Инструмент доступен, если включен ре-жим Floating scope.

11. Signal selection – выбор сигналов для отображения. Инструмент доступен, есливключен режим Floating scope.

Изменение масштабов отображаемых графиков можно выполнять несколькими спо-собами:

1. Нажать соответствующую кнопку ( , или ) и щелкнуть один раз левой клави-шей “мыши” в нужном месте графика. Произойдет 2,5 кратное увеличение масштаба.

78

2. Нажать соответствующую кнопку ( , или ) и, нажав левую клавишу “мыши”, спомощью динамической рамки или отрезка указать область графика для увеличенногоизображения.

3. Щелкнуть правой клавишей “мыши” в окне графиков и, выбрать команду Axesproperties… в контекстном меню. Откроется окно свойств графика, в котором с помощьюпараметров Y-min и Y-max можно указать предельные значения вертикальной оси. В этомже окне можно указать заголовок графика (Title), заменив выражение %<SignalLabel> встроке ввода. Окно свойств показано на рис. 6.3.

Рисунок 6.3. Окно свойств графика

Параметры блока устанавливаются в окне ‘Scope’ parameters, которое открывается спомощью инструмента (Parameters) панели инструментов. Окно параметров имеет двевкладки:

General – общие параметры.Data history – параметры сохранения сигналов в рабочей области MATLAB.

Вкладка общих параметров показана на рис. 6.4.

Рисунок 6.4. Вкладка общих параметров General

На вкладке General задаются следующие параметры:

79

1. Number of axes — число входов (систем координат) осциллографа. При измененииэтого параметра на изображении блока появляются дополнительные входные порты.

2. Time range — величина временного интервала для которого отображаются графики.Если время расчета модели превышает заданное параметром Time range, то вывод графи-ка производится порциями, при этом интервал отображения каждой порции графика ра-вен заданному значению Time range.

3. Tick labels — вывод/скрытие осей и меток осей. Может принимать три значения(выбираются из списка):- all – подписи для всех осей,- none – отсутствие всех осей и подписей к ним,- bottom axis only – подписи горизонтальной оси только для нижнего графика.

4. Sampling — установка параметров вывода графиков в окне. Задает режим выводарасчетных точек на экран. При выборе Decimation кратность вывода устанавливаетсячислом, задающим шаг выводимых расчетных точек.

5. floating scope – перевод осциллографа в “свободный” режим (при установленномфлажке).

На вкладке Data history (рис. 6.5) задаются следующие параметры:1. Limit data points to last – максимальное количество отображаемых точек графика.

При превышении этого числа часть графика обрезается.2. Save data to workspace – сохранение значений сигналов в рабочей области MATLAB.3. Variable name – имя переменной для сохранения сигналов в рабочей области

MATLAB.4. Format – формат данных при сохранении в рабочей области MATLAB. Может при-

нимать значения:Array – массив,Structure – структура,Structure with time – структура с дополнительным полем “время”.

Рисунок 6.5. Вкладка Data history.

80

Блок сохранения данных в файле То File. Блок записывает данные, поступающие наего вход, в файл. Имеет параметры:

Filename – имя файла для записи. По умолчанию файл имеет имя untitled.mat. Если неуказан полный путь файла, то файл сохраняется в текущей рабочей папке.

Variable name – имя переменной, содержащей записываемые данные.Decimation – кратность записи в файл входного сигнала. При Decimation = 1 записы-

вается каждое значение входного сигнала, при Decimation = 2 записывается каждое вто-рое значение, при Decimation = 3 – каждое третье значение и т.д.

Sample time – шаг модельного времени. Определяет дискретность записи данных.Данные в файле сохраняются в виде матрицы:

.Значения времени записываются в первой строке матрицы, а в остальных строках бу-

дут находиться значения сигналов, соответствующих данным моментам времени.Файл данных (mat-файл), в который записываются данные, не является текстовым.

Структура файла подробно описана в справочной системе MATLAB. ПользователямSimulink удобнее всего считывать данные из mat-файла с помощью блока From File (биб-лиотека Sources).

На рис. 6.6 показан пример использования данного блока. Результаты расчета сохра-няются в файле result.mat.

Рисунок 6.6. Пример для блока From File

Блок сохранения данных в рабочей области То Workspace. Блок записывает данные,поступающие на его вход, в рабочую область MATLAB. Имеет параметры:

- Variable name – имя переменной, содержащей записываемые данные.- Limit data points to last – максимальное количество сохраняемых расчетных точек по

времени (отсчет ведется от момента завершения моделирования). В том случае, если зна-чение параметра Limit data points to last задано как inf, то в рабочей области будут сохра-нены все данные.

- Decimation – кратность записи данных в рабочую область.- Sample time – шаг модельного времени. Определяет дискретность записи данных.- Save format – формат сохранения данных. Может принимать значения:

81

1)Matrix – матрица. Данные сохраняются как массив, в котором число строк опреде-ляется числом расчетных точек по времени, а число столбцов – размерностью вектора по-даваемого на вход блока. Если на вход подается скалярный сигнал, то матрица будет со-держать лишь один столбец;

2)Structure – структура. Данные сохраняются в виде структуры, имеющей три поля:time – время, signals – сохраняемые значения сигналов, blockName – имя модели и блокаTo Workspace. Поле time для данного формата остается не заполненным;

3)Structure with Time – структура с дополнительным полем (время). Для данного фор-мата, в отличие от предыдущего, поле time заполняется значениями времени.

На рис. 6.7 показан пример использования данного блока. Результаты расчета сохра-няются в переменной simout.

Для считывания данных сохраненных в рабочей области MATLAB можно использо-вать блок From Workspace (библиотека Sources).

Рисунок 6.7. Пример для блока From Workspace

Блок выходного порта Outport. Создает выходной порт для подсистемы или для моде-ли верхнего уровня иерархии. Имеет параметры:

Port number – номер порта.Output when disabled – вид сигнала на выходе подсистемы, в случае если подсистема

выключена. Используется для управляемых подсистем. Может принимать значения (вы-бираются из списка):

1)held – выходной сигнал подсистемы равен последнему рассчитанному значению;2)reset – – выходной сигнал подсистемы равен значению задаваемому параметром

Initial output;3)Initial output - значение сигнала на выходе подсистемы до начала ее работы и в слу-

чае, если подсистема выключена.Использование блока Outport в подсистемах.Блоки Outport подсистемы являются ее выходами. Сигнал, подаваемый в блок Outport

внутри подсистемы, передается в модель (или подсистему) верхнего уровня. Названиевыходного порта будет показано на изображении подсистемы как метка порта.

При создании подсистем и добавлении блока Outport в подсистему Simulink использу-ет следующие правила:

1)При создании подсистемы с помощью команды Edit/Create subsystem выходныепорты создаются и нумеруются автоматически начиная с 1;

2)Если в подсистему добавляется новый блок Outport, то ему присваивается следую-щий по порядку номер;

3)Если какой-либо блок Outport удаляется, то остальные порты переименовываются;

82

4)Если в последовательности номеров портов имеется разрыв, то при выполнениимоделирования Simulink выдаст сообщение об ошибке и остановит расчет. В этом случаенеобходимо вручную переименовать порты таким образом, чтобы последовательностьномеров портов не нарушалась.

На рис. 6.8 показана модель, использующая подсистему, и схема этой подсистемы.

Рисунок 6.8. Использование блока Outport в подсистеме

В том случае, если подсистема является управляемой, то для ее выходных портовможно задать вид выходного сигнала для тех временных интервалов, когда подсистемазаблокирована. На рис. 6.9 показана модель, использующая управляемую подсистему(схема подсистемы такая же, как и в предыдущем примере). Для первого выходного портаподсистемы параметр Output when disabled задан как held, а для второго – как reset, при-чем величина начального значения задана равной нулю. Графики сигналов показывают,что когда подсистема заблокирована, сигнал первого выходного порта остается неизмен-ным, а сигнал второго становится равным заданному начальному значению (нулю).

Использование блока Outport в модели верхнего уровня.Выходной порт в системе верхнего уровня используется в двух случаях:

1) Для передачи сигнала в рабочее пространство MATLAB;2) Для обеспечения связи функций анализа с выходами модели.

Для передачи сигнала в рабочее пространство MATLAB требуется не только устано-вить в модели выходные порты, но и выполнить установку параметров вывода на вкладкеWorkspace I/O окна диалога Simulation parameters… (должен быть установлен флажок дляпараметра Output и задано имя переменной для сохранения данных). Тип сохраняемыхданных - Array массив, Structure (структура) или Structure with time (структура с полем“время”) задается на этой же вкладке.

83

Рисунок 6.9. Управляемая подсистема с настройками выходных портов

На рис. 6.10 показана модель, передающая сигналы в рабочее пространство MATLAB.

Рисунок 6.10. Модель, передающая сигналы в рабочее пространство MATLAB

Блок Outport может использоваться также для связи модели с функциями анализа, на-пример: linmod или trim.

Блок Goto. Позволяет передавать сигнал от одного блока к другому, без их соедине-ния. Для того, чтобы соединять блок Goto с From блоком, вводится блочная этикетка Gotoв параметр этикетки Goto (рисунок 6.11).

Sine Wave1 Scope1

[A]

Goto1

[A]

From1

Рисунок 6.11. Передача сигнала с помощью Goto и From блоков

Блоки Switch и Multiport Switch. Позволяют коммутировать сигналы (рисунок 6.12 и6.13).

84

SwitchРисунок 6.12. Коммутирующий блок

Первый и третий входы у коммутатора Switch являются вводами данных. Второй входназван управляющим входом.

Выбираются условия для коммутации. При управляющем входе больше или равномвеличине порога на выход подключается первый вход. В противном случае - третий вход.

Для коммутатора Multiport Switch аналогичные условия (рисунок 6.13).

MultiportSwitch

Рисунок 6.13. Мульти-коммутирующий блокПервый вход является управляющим, остальные - входы данных. Величина управ-

ляющего входа определяет, какой вход данных будет соединен с выходом порта.Если управляющий сигнал является положительной целой величиной, тогда соответ-

ствующий вход данных будет соединен с выходом (при нуле ни один вход не соединен свыходом). При управляющем входе равном 1 первый вход данных соединяется с выхо-дом, при 2 - второй и так далее. Если управляющий вход не является целой величиной,блок сначала округляет эту величину до ближайшего целого. Если в этом случае полу-ченное число будет менше единицы или больше, чем количество входных портов, то бу-дет индицироваться ошибка.

Входы данных могут быть скалярными или векторными. Блочный выход определентоже этими правилами:

Если определяется только один вход данных и, этот вход является вектором, блок ве-дется себя как "индексный селектор", а не как много-ключевой порт. Блочный выход яв-ляется векторным элементом, который переписывается в величину управляющего входа.

Если имеется более, чем один вход данных, блок ведет себя подобно много-ключевому порту. Блочный выход является вводом данных, который переписывается ввеличину управляющего ввода. Если, по крайней мере, один из входов данных - вектор,блочный выход является вектором. Любые скалярные входы расширены на векторы.

Если вводы являются скаляром, выход является скаляром.Блок белого шума Band-Limited. Генерирует нормально распределенные произволь-

ные числа, которые подходят для использования в непрерывных или гибридных системах.

85

Первичное различие между этим блоком и блоком Random Namber состоит в том, чтоBand-Limited осуществляет вывод белого шума в специфической форме отбора, обуслов-ленной временем корреляции шума.

Теоретически непрерывный белый шум имеет время корреляции равное 0, характери-зуется равномерной спекральной плотностью (PSD), и ковариацией равной бесконечно-сти. На практике физические системы никогда не возмущены белым шумом. Белый шумявляется полезной теоретической аппроксимацией, но на практике он имеет время корре-ляции, которое очень невелико относительно естественной полосы частот системы.

В Simulink можно имитировать эффект белого шума, используя произвольную после-довательность, со временем корреляции значительно меньше, чем самая короткая кон-станта времени системы. Время корреляции шума является формой отбора блока. Дляточного моделирования используется время корреляции значительно меньше, чем самаябыстрая динамика системы. Можно получить хорошие результаты, определяя

,2100

1

maxwp

=ct

где ωmax - ширина полосы частот системы в рад/с.Блок модели динамического объекта State-Space. Блок создает динамический объект,

описываемый уравнениями в пространстве состояний:

,где x – вектор состояния, u – вектор входных воздействий, y – вектор выходных сигналов,A, B, C, D - матрицы: системы, входа, выхода и обхода соответственно.

Размерность матриц показана на рис. 6.14 (n – количество переменных состояния, m –число входных сигналов, r – число выходных сигналов).

Рисунок 6.14. Размерность матриц блока State-Space

1. A –Матрица системы.2. B – Матрица входа.3. C – Матрица выхода4. D – Матрица обхода5. Initial condition – Вектор начальных условий.

86

6. Absolute tolerance — Абсолютная погрешность.

Subsystem – подсистемы. Подсистема - это фрагмент Simulink-модели, оформленный ввиде отдельного блока. Использование подсистем при составлении модели имеет сле-дующие положительные стороны:

1. Уменьшает количество одновременно отображаемых блоков на экране, что облег-чает восприятие модели (в идеале модель полностью должна отображаться на экране мо-нитора).

2. Позволяет создавать и отлаживать фрагменты модели по отдельности, что повы-шает технологичность создания модели.

3. Позволяет создавать собственные библиотеки.4. Дает возможность синхронизации параллельно работающих подсистем.5. Позволяет включать в модель собственные справочные средства.6. Дает возможность связывать подсистему с каким-либо m-файлом, обеспечивая за-

пуск этого файла при открытии подсистемы (нестандартное открытие подсистемы).Использование подсистем и механизма их блоков позволяет создавать блоки, не усту-

пающие стандартным по своему оформлению (собственное окно параметров блока, пик-тограмма, справка и т.п.).

Количество подсистем в модели не ограничено, кроме того подсистемы могут вклю-чать в себя другие подсистемы. Уровень вложенности подсистем друг в друга также неограничен.

Связь подсистемы с моделью (или подсистемой верхнего уровня иерархии) выполня-ется с помощью входных (блок Inport библиотеки Sources) и выходных (блок Outportбиблиотеки Sinks) портов. Добавление в подсистему входного или выходного порта при-водит к появлению на изображении подсистемы метки порта, с помощью которой внеш-ние сигналы передаются внутрь подсистемы или выводятся в основную модель. Пере-именование блоков Inport или Outport позволяет изменить метки портов, отображаемыена пиктограмме подсистемы, со стандартных (In и Out) на те, которые нужны пользовате-лю.

Подсистемы могут быть виртуальными (Subsystem) и монолитными (AtomicSubsystem). Отличие этих видов подсистем заключается в порядке выполнения блоков вовремя расчета. Если подсистема является виртуальной, то Simulink игнорирует наличиеграниц отделяющих такую подсистему от модели при определении порядка расчета бло-ков. Иными словами в виртуальной системе сначала могут быть рассчитаны выходныесигналы нескольких блоков, затем выполнен расчет блоков в основной модели, а затемвновь выполнен расчет блоков входящих в подсистему. Монолитная подсистема считает-ся единым (неделимым) блоком, и Simulink выполняет расчет всех блоков в такой подсис-теме, не переключаясь на расчеты других блоков в основной модели. Изображение моно-литной подсистемы имеет более толстую рамку по сравнению с виртуальной подсисте-мой.

Подсистемы могут быть также управляемыми или неуправляемыми. Управляемыеподсистемы всегда являются монолитными. Управляемые подсистемы имеют дополни-

87

тельные (управляющие) входы, на которые поступают сигналы активизирующие даннуюподсистему. Управляющие входы расположены сверху или снизу подсистемы. Когдауправляемая подсистема активизирована, она выполняет вычисления. В том случае еслиуправляемая подсистема пассивна, то она не выполняет вычисления, а значения сигналовна ее выходах определяются настройками выходных портов.

Для создания в модели подсистемы можно воспользоваться двумя способами:1. Скопировать нужную подсистему из библиотеки Subsystem в модель.2. Выделить с помощью мыши нужный фрагмент модели и выполнить команду

Create Subsystem из меню Edit окна модели. Выделенный фрагмент будет помещен в под-систему, а входы и выходы подсистемы будут снабжены соответствующими портами.Данный способ позволяет создать виртуальную неуправляемую подсистему. В дальней-шем, если это необходимо, можно сделать подсистему монолитной, изменив ее парамет-ры, или управляемой, добавив управляющий элемент из нужной подсистемы, находящей-ся в библиотеке. Отменить группировку блоков в подсистему можно командой Undo.

6.2. Основные приемы подготовки и редактирования модели

Процесс расчета модели выполняется Simulink в несколько этапов. На первом этапевыполняется инициализация модели: подключение библиотечных блоков к модели, опре-деление размерностей сигналов, типов данных, величин шагов модельного времени,оценка параметров блоков. Затем определяется порядок выполнения блоков и выполняет-ся выделение памяти для проведения расчета. После этого Simulink начинает выполнятьцикл моделирования. На каждом цикле моделирования (временном шаге) происходитрасчет блоков в порядке, определенном на этапе инициализации. Для каждого блокаSimulink вызывает функции, которые вычисляют переменные состояния блока x, произ-водные переменных состояния и выходы y в течение текущего шага модельного времени.Этот процесс продолжается пока моделирование не будет завершено.

Выделение объектов, копирование, удаление. Для выполнения какого-либо действия сэлементом модели (блоком, соединительной линией, надписью) этот элемент необходимосначала выделить.

Выделение объектов проще всего осуществляется мышью. Для этого необходимо ус-тановить курсор мыши на нужном объекте и щелкнуть левой клавишей мыши. Произой-дет выделение объекта. Можно также выделить несколько объектов. Для этого надо уста-новить курсор мыши вблизи группы объектов, нажать левую клавишу мыши и, не отпус-кая ее, начать перемещать мышь. Появится пунктирная рамка, размеры которой будутизменяться при перемещении мыши. Все охваченные рамкой объекты становятся выде-ленными. Выделить все объекты также можно, используя команду Edit/Select All. Послевыделения объекта его можно копировать или перемещать в буфер промежуточного хра-нения, извлекать из буфера, а также удалять, используя стандартные приемы работы вWindows-программах.

88

Для копирования объекта в буфер его необходимо предварительно выделить, а затемвыполнить команду Edit/Copy или воспользоваться инструментом на панели инстру-ментов.

Для вставки объекта из буфера необходимо предварительно указать место вставки,щелкнув левой клавишей мыши в предполагаемом месте вставки, а затем выполнить ко-манду Edit/Paste или воспользоваться инструментом на панели инструментов.

Для удаления объекта его необходимо предварительно выделить, а затем выполнитькоманду Edit/Clear или воспользоваться клавишей Delete на клавиатуре. Следует учесть,что команда Clear удаляет блок без помещения его в буфер обмена. Однако эту операциюможно отменить командой меню File/Undo.

Соединение блоков. Для соединения блоков необходимо сначала установить курсормыши на выходной порт одного из блоков. Курсор при этом превратится в большой крестиз тонких линий. Держа нажатой левую кнопку мыши, нужно переместить курсор ковходному порту нужного блока. Курсор мыши примет вид креста из тонких сдвоенныхлиний. После создания линии необходимо отпустить левую клавишу мыши. Свидетельст-вом того, что соединение создано, будет жирная стрелка у входного порта блока. Выделе-ние линии производится точно также, как и выделение блока – одинарным щелчком ле-вой клавиши мыши. Черные маркеры, расположенные в узлах соединительной линии, бу-дут говорить о том, что линия выделена.

Создание петли линии соединения выполняется также, как перемещение блока. Линиясоединения выделяется, и затем нужная часть линии перемещается. Удаление соединенийвыполняется также как и любых других объектов.

Форматирование объектов. В меню Format (также как и в контекстном меню, вызы-ваемом нажатием правой клавиши мыши на объекте) находится набор команд формати-рования блоков. Команды форматирования разделяются на несколько групп:

1. Изменение отображения надписей:Font — форматирование шрифта надписей и текстовых блоков.Text alignment — выравнивание текста в текстовых надписях.Flip name — перемещение подписи блока.Show/Hide name — отображение или скрытие подписи блока.2. Изменение цветов отображения блоков:Foreground color — выбор цвета линий для выделенных блоков.Background color — выбор цвета фона выделенных блоков.Screen color — выбор цвета фона для всего окна модели.

3. Изменение положения блока и его вида:Flip block – зеркальное отображение относительно вертикальной оси симметрии.Rotate block – поворот блока на 900 по часовой стрелке.Show drop shadow — показ тени от блока.Show port labels — показ меток портов.

4. Прочие установки:Library link display — показ связей с библиотеками.Sample time colors — выбор цвета блока индикации времени.

89

Wide nonscalar lines — увеличение/уменьшение ширины нескалярных линий.Signal dimensions — показ размерности сигналов.Port data types — показ данных о типе портов.Storage class — класс памяти. Параметр, устанавливаемый при работе Real-Time

Workshop.Execution order — вывод порядкового номера блока в последовательности исполнения.

6.3. Моделирование процесса в системе MatLab Simulink

Для проведения моделирования процесса необходимо использовать совместное егомоделирование с измерителем процесса и устройством обработки измерений. Для этогосоставляется управляющая схема (рис. 6.15).

Рисунок 6.15. Схема моделирования в среде MatLab Simulink

Объект наблюдения (в данном случае информационный процесс) представлен схемой(рис.6.16).

Рисунок 6.16. Схема моделирования полезного сигнала h(t)

Параметры блоков, моделирующих динамику сигнала задаются в диалоговом окнепараметров (рис. 6.17).

90

Рисунок 6.17. Окно параметров настройки матричной модели В соответствии со схемой формирования сигналов (рис. 1) измерение y(t) является

аддитивной смесью полезного сигнала h(t) и помехи n(t): y(t)=h(t)+n(t). Такое формирова-ние в реальных условиях осуществляет датчик первичной информации ДПИ. Его модель

представлена на рис.6.18.

Рисунок 6.18. Моделирование измерения y(t)

На осциллограммах рис. 6.19 представлены процессы h(t) и y(t), полученные при мо-делировании процессов.

Рисунок 6.19. Осциллограммы процессов h(t) и y(t)

91

6.3.1. Моделирование непрерывной системы контроля

Система контроля предназначена для измерения и выдачи информации о контроли-руемом процессе h(t), который содержит среднюю (детерминированную) составляющуюи стохастическую (случайную) g(t). Измерение происходит при воздействии аддитивныхшумов n(t). Датчик, с помощью которого производятся измерения, является динамиче-ским звеном (в данном случае второго порядка). Эквивалентная схема системы контроляпредставлена на рисунке 6.20.

Рисунок 6.20. Схема системы контроля

Случайная составляющая g(t) измеряемого процесса задана спектральной плотностьюSg(w); детерминированная - сигналом u(t); h(t)=g(t)+u(t) - полный информационныйпроцесс; f(t)=h(t)+n(t) - измерение процесса h(t) с аддитивными шумами n(t) (заданаспектральная плотность шума - Sn(w)); h^(t) - выходной сигнал ДПИ; W(s) - передаточ-ная функция ДПИ. Детерминированное входное воздействие задано суммой ступенчатойи гармонической функций.

Для моделирования системы контроля в Matlab составляется схема модели рис. 6.21.

Рисунок 6.21. Схема моделирования системы контроля

Пример. Задана спектральная плотность контролируемого процесса

,4

16)( 24

2

+w+w+w=wS

передаточная функция объекта наблюдения

,28,018,02

45,0)( 2 ++=

sssW

e(t)

F(t)Сигналы Датчик

Блокошибок se(t)

Регистратор

92

и интенсивность шумов измерений R=17 (при измерении выходного сигнала объектанаблюдения).

Путем факторизации из модели в виде спектральной плотности получим передаточ-ную функцию формирующего фильтра входного процесса.

.2236,2

4)( 2 +++

=ss

ssWg

Матричная модель ОН находится методом вспомогательной переменной. Уравне-ние состояния в данном случае X'=AgX+Bgu+Dgv. Процесс h(t) на выходе ОН вычисляетсяв матричном виде: g =CgX, где матрицы Ag, Dg, Cg определяются по матричным соотно-шениям (формулы (3.6) [1]).

В данном примере получим следующий вид матриц

[ ].14;10

;236,22

10=ú

û

ùêë

é=ú

û

ùêë

é--

= ggg CBA

Матричная модель датчика имеет вид

[ ].025,0;5,0

0;

09,014,010

000 =úû

ùêë

é=ú

û

ùêë

é--

= CBA

Выход объекта наблюдения h =C0X0

Полное уравнение объекта контроля содержит уравнение состояния входного про-цесса и уравнение состояния объекта:

.

Здесь матрицы A, B, D составляются на основе дифференциальных уравнений процес-са и объекта контроля, которые имеют вид

или относительно полного вектора

93

Матрицы A, B,C, D в этом случае имеют вид

Моделирование и исследование в MatLab. Cоставлена схема (рис. 6.22).

Рисунок 6.22. Схема верхнего уровня системы контроля в Matlab

Схема динамической системы, включающая стохастический процесс и датчик, пред-ставлена на рис. 6.23.

Рисунок 6.23. Схема динамической системы

Настройка блока уравнения состояния представлена в окне параметров на рис. 6.24.

94

Рисунок 6.24. Окно настройки параметров

Функциональный блок, вычисляющий h(t)=CX, задан функцией представленной в ок-не параметров рис. 6.25.

Рисунок 6.25. Настройка функциональных блоков

Сенсор (датчик) представлен схемой рис. 6.26. Интенсивность шума генератора бело-го шума составляет 0,4.

Рисунок 6.26. Модель сенсора

Блок Filter на основе измерений выдает оценку выходного параметра объекта наблю-дения – h^(t). Схема моделирования фильтра в данном случае представлена на рис. 6.27.

Рисунок 6.27. Модель фильтра

95

Матрицы A, B, C соответствуют матрицам полной модели, матрица С в блоке StateSpase – единичная.

Результаты процессов системы представлены на рис. 6.29. На осциллограф поданысигналы согласно схеме рис. 6.22.

Рисунок 6.28. Регистратор процессов

Рисунок 6.29. Результирующие процессы

6.3.2. Моделирование дискретной системы контроля

Дискретная модель содержит неизвестные матрицы F, G. Расчет матриц F, G выпол-няется итерационным алгоритмом в виде разложения в матричный ряд Тейлора. Для это-го используется вспомогательная матрица ψ:

.

При этом матрицы F, G вычисляются по формулам:

96

, . (6.1)

Для расчета дискретной матричной модели определяется период дискретности ОН всоответствии с импульсной теоремой [1]: dt=1/(2Fm), где Fm - максимальная частота про-пускания ОН.

Для процесса. Квадрат модуля амплитудно-фазочастотной характеристики (АФЧХ)процесса

.

Для расчета wmax получим соотношение .Получим wmax=16,25 рад/с. В соответствии с импульсной теоремой [1, с.12], период

дискретности процесса: dt1 =0,19 c.Для объекта наблюдения. Квадрат модуля амплитудно-фазочастотной характеристики

(АФЧХ)

.

Для расчета wmax получим соотношение .Получим wmax=2,136 рад/с. В соответствии с импульсной теоремой период дискретно-

сти объекта наблюдения определяется в виде dt2=π/wmax=1,47 c.Для реализации модели как процесса, так и объекта наблюдения выбирается мини-

мальный период дискретности dtmin= dt1=0,19 c.Матрицы F, G могут быть найдены с помощью электронных таблиц Excel при ис-

пользовании формул (6.1).

97

A B C D0,00001,00000,0000 0,0000 0,0000 0,00000,00000,450000,0000-2,0000-2,23600,0000 0,0000 0,0000 1,00000,00000,00000,0000 1,0000 0,0000 0,00004,0000 1,0000-0,1400-0,09000,5000 0,0000

F G dt C T0,96870,15290,0000 0,0000 0,00000,19000,00000,00000,450000,0157-0,30590,62670,0000 0,0000 0,0000 0,15290,06930,01960,9975 0,1882 0,0090 0,00120,71360,2136-0,02640,9805 0,0941 0,0196

I Psi1,00000,00000,0000 0,0000 0,98920,08240,00000,00000,00001,00000,0000 0,0000-0,16480,80500,00000,00000,00000,00001,0000 0,0000 0,02340,00640,99920,09440,00000,00000,0000 1,0000 0,36480,1034-0,01320,9907

Оценка дисперсии процесса. Экспериментальное исследование дисперсии процессапроводится на основе численной оценки дисперсии ошибки. Рекуррентная формула такойоценки имеет вид [9]:

.)]([1)1(1)( 2khk

kDk

kkD ee +--

= (6.2)

Среднеквадратическое отклонение в этом случае рассчитывается по формуле , гдеDe установившееся значение дисперсии (=De(n)).

Схема для вычисления De представлена на рисунке 6.30.Эта схема соответствует формуле (6.2). Для формирования векторного сигнала, со-

стоящего из компонент h(t), h^(t), De(k-1), k использован блок Max из библиотеки элемен-тов Matlab Simulink (сигнал h^(t) задается равным нулю). Затем этот вектор обрабатывает-ся функциональным блоком f(u) - De1, в виде

(u(2)-u(1))*(u(2)-u(1))/(u(3))+u(4)*(u(3)-1)/(u(3)),

т.е. реализуется формула (6.2). Сигнал u(3) вырабатывается вторым функциональнымблоком (=1+u[1]/0.1) и с учетом u[1]=i*dt (где i – номер дискретного времени в диапазоне0…400, dt=0,1 с – период дискретности) соответствует k.

98

Рисунок 6.30. Схема вычисления дисперсии ошибки оценивания

Блок 1/z – предназначен для задержки на один такт сигнала De(k) и получения на вы-ходе De(k-1).

Нижний переключатель управляется переменной k (номер дискретного времени) ипри начальном k=0 дает на выходе ноль. Если бы не делать такую блокировку, то на входблока Max проходил бы неопределенный сигнал с 1/z и получился бы сбой в работе.

7. Примеры моделирования

7.1. Моделирование датчика при сигнале и аддитивном шуме

Структурная схема ДПИ с воздействующимисигналами представлена на рис. 7.1. Случайная со-ставляющая g(t) измеряемого процесса задана спек-тральной плотностью Sg(w); детерминированная -сигналом u(t); h(t)=g(t)+u(t) - полный информацион-ный процесс (ИП); f(t)=h(t)+n(t) - измерение процесса

h(t) с аддитивными шумами n(t) (задана спектральная плотность шума - Sn(w)); v(t) -возмущающее воздействие на ДПИ; h^(t) - выходной сигнал ДПИ; W(s) - передаточнаяфункция ДПИ. На практике встречается задача исследования ДПИ, измеряющего детер-минированно-стохастические физические величины в условиях внешних помех и при на-личии внутренних параметрических шумов, проявляющихся, например, в мультиплика-тивных и аддитивных изменениях статической характеристики ДПИ [10]. Полная модельДС в данном случае состоит из трех отдельных моделей: 1) модели для полезной случай-ной составляющей Xg¢=AgXg+DgVg; 2) модели помехи X¢n=AnXn+DnVn; 3) моделиДПИ, определяемой передаточной функцией W(s): Xw¢=AwXw+Dwf(t).

Алгоритм формирования полной модели ДПИ. 1. Вычисление передаточных функций формирующих фильтров ИП g(t) и помехи n(t).

Рис.7.1. Структурная схема ДПИ

99

2. Определение максимальных частот спектров ИП, шума и вычисление их периодовдискретизации. 3. Определение полосы пропускания ДПИ, периода дискретизации для его цифровогомоделирования, результирующего периода дискретизации системы ДПИ с сигналами. 4. Формирование моделей сигналов g(t), n(t), ДПИ и модели выхода в матричной не-прерывной форме (для g(t) и n(t) - методом вспомогательной переменной, для ДПИ - ме-тодом нормальной формы Коши). 5. Формирование дискретных матричных моделей сигналов и ДПИ. 6. Вычисление среднеквадратической ошибки на выходе ДПИ. 7. Моделирование процессов в ДПИ в дискретном времени и исследование графиков ичисленной информации.

Модель случайных сигналов формируется из спектральных плотностей Sg(w) и Sn(w)путем факторизации и определения передаточных функций формирующих фильтровWg(s) и Wn(s) с последующим нахождением матричных моделей в пространстве состоя-ний методом вспомогательной переменной. Модель в пространстве состояний методомвспомогательной переменной составляется на основе передаточной функции формирую-щего фильтра. Для сигнала g(t)

.......

)()(

)()()(

10

10n

n

mm

sdsddsbsbb

sDsB

sVsgsWg

++++++

===

Уравнениe состояния сигнала X'g=AgXg+DgVg. Сигнал на выходе формирующегофильтра g(t)=CXg. Матрицы Ag, Dg, Cg определяются методом вспомогательной пере-менной.

Модель динамики ДПИ составляется на основе передаточной функции. ВыражениеW(s) ДПИ имеет дробно-рациональный вид:

.......

)()(

)()()(

10

10n

wnww

mwmww

sasaasbsbb

sAwsBw

sfsysW

++++++

===

Преобразование модели W(s) в матричную модель в данном случае осуществляется вканонической нормальной форме Коши. Период дискретности равен минимальному иззначений для ДПИ и ИП.

Возникновение ошибок ДПИ связано с прохождением на выход шумов и искажениемполезного сигнала динамикой ДПИ. Теоретическое значение среднеквадратическойошибки (СКО) находится через спектральную плотность в соответствии с соотношением

ò¥

p=

0

)(1СКО dwwSe , (7.1)

где спектральная плотность ошибки Se(w) вычисляется в виде

100

),()(1)()()( 22 wSgjwWwSnjwWwSe -+= (7.2)

(W(jw) - амплитудно-фазочастотная характеристика ДПИ). Экспериментальное значениеСКО при моделировании на ПЭВМ вычисляется как среднее по всем дискретным точкамнаблюдения:

CKO = -=å1 2

1ny k g k

k

n[ ( ) ( )] . (7.3)

7.2. Моделирование процессов с заданными свойствами

Реальные ИИС и САУ работают с детерминированно-стохастическими сигналами. ВИИС к ним относятся измеряемые физические величины, шумы измерений, выходныесигналы, параметры вектора состояния. В САУ стохастическими процессами являютсявозмущения объекта управления, сигналы, измеряемые ДПИ, параметры вектора состоя-ния. В связи с этим задача моделирования процессов с заданными статистическими ха-рактеристиками (математическим ожиданием, спектральной плотностью, дисперсией)при исследовании ИИС, САУ и просто ДПИ является актуальной.

Рассмотрим задачу моделирования класса эргодических процессов. Они определяют-ся математическим ожиданием и корреляционной функцией (или, что эквивалентно,спектральной плотностью). Пусть для стохастического процесса такого класса g(t) заданоматематическое ожидание Mg и дробно-рациональная спектральная плотность Sg(w).Процесс g(t) задан спектральной плотностью Sg(w). Детерминированная составляющаяпроцесса u(t)=Mg; h(t)=g(t)+u(t) - полный ИП; y(t)=h(t)+n(t) - измерение процесса h(t) саддитивными шумами n(t) (задана интенсивность шума Sn(w)=R).

Информационный процесс g(k) представляется моделью в пространстве состояний -векторной случайной последовательностью Х(k) (n-мерным вектором состояния); v(k) -формирующий шум векторной случайной последовательности X(k). При этом g(k)=СХ(k).

Алгоритм формирования модели. 1. На основе первичной модели ИП - S(w) находится динамическая модель его форми-рующего фильтра. 2. На основе передаточной функции формирующего фильтра составляется матричнаянепрерывная модель ИП (X'(t)=AX(t)+DV(t) - система дифференциальных уравнений пер-вого порядка). 3. Вычисляется максимальная частота спектра ИП - Fm (полоса пропускания форми-рующего фильтра). 4. По импульсной теореме определяется период дискретизации ИП. 5. Формируется результирующая дискретная матричная модель ИП(X(k+1)=FX(k)+TV(k) - система разностных уравнений первого порядка).

101

6. Определяется уравнение формирования процесса g(k) в зависимости от переменныхвектора состояния X (g(k)=CX(k)). Пример. Пусть детерминированно-стохастический ИП задан средним значениемMg=0,1 и спектральной плотностью

Sg ww

w w( ) .=

+

+ +

2 8198 10201

2

4 2

Шум измерения процесса характеризуется интенсивностью R=0,01. При использова-нии CAD-MS в разделе MODEL задаем исходные данные, например, по варианту 1, и оп-ределяем все последующие модели. Получим передаточную функцию формирующегофильтра

Wg ss

s s( )

, ,.=

+

+ +

14 2 820 1012

Полоса пропускания фильтра составляет Wc=0,0139 рад/с, соответствующий периоддискретизации должен быть не более 0,1 с. В качестве результатов получим матричныемодели в непрерывной форме: X'g=AgXg+DgVg, g(t)=CgXg и в дискретной форме:Xg(k+1)=FgXg(k)+TgV(k), g(k)=CgXg(k), где матрицы Ag, Dg, Cg, Fg, Tg соответственноравны:

[ ]Ag Dg Cg= éëê

ùûú

= éëêùûú

= 0 1-101 - 20 1,4, , , ,0

1 2 8

Fg Tg= éëê

ùûú

= éëê

ùûú

0 978 0 00022,,

,.

0,0179-1,81 0,62 0,018

Детерминированная составляющая процесса моделируется аналитическими выраже-ниями (в данном случае скачкообразный сигнал).

Результаты. Исследуются числовые характеристики процесса: математическое ожи-дание, корреляционная функция, дисперсия, спектральная плотность. Эти характеристикиоцениваются методами математической статистики. Процесс и его статистические харак-теристики иллюстрируются на дисплее и записываются в виде дискретных значений вфайл на диске.

102

Для моделируемого процесса компо-ненты вектора состояния X(k) представ-ляются в виде графиков на экране дис-плея в диалоговом режиме по рисункуструктурной схемы. В качестве резуль-татов моделирования ИП на графикахизображены: полный ИП h(t)=g(t)+n(t);измерение процесса с шумами f(t); кор-

реляционная функция Rg(r) (рис.7.2); спектральная плотность Sg(w) (рис.7.3). Графиккорреляционной функции может быть аппроксимирован формулой Rx(t)=s2e-a½t½, где s2 -дисперсия процесса g(t); a - постоянная корреляции, которая вычисляется из графика науровне 2 с. График спектральной плотности показывает распределение мощности процес-са по частотам. Эффективный диапазон частот процесса определяется круговой частотой,примерно равной 0,01 рад/с, что соответствует теоретическому значению. Оценки дис-персии процесса, вычисленные через корреляционную функцию и спектральную плот-ность, совпали и составляют 0,096.

Выводы. Матричная модель ИП являетсяуниверсальной и удобна для цифрового мо-делирования на ПЭВМ. Исследование про-цессов необходимо во многих задачах ИИС иСАУ, например, для ДПИ с воздействующи-ми сигналами и аддитивными шумами, дляДС с объектом управления при воздействиивозмущений и входных сигналов, для ИИС с

детерминированными и стохастическими сигналами и несколькими ДПИ.

8. Марковские процессы и системы

Стохастические системы относятся к классу сложных систем. Состояния таких системрассматриваются с позиций случайных марковских процессов.

Пусть имеется некоторая физическая система S (в данном случае ИИС), которая с те-чением времени меняет свое состояние, причем заранее неизвестным, случайным обра-зом.

Например S - техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время отвремени выходят из строя, заменяются или восстанавливаются. Процесс, протекающий вэтой системе, безусловно, случаен.

Строго говоря, все процессы в природе случайны. До тех пор, пока случайные возму-щения несущественны, мало влияют на интересующие параметры, можно ими пренебречьи рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный.

Рисунок 7.2

Рисунок 7.3

103

8.1. Марковские процессы

Марковским называется случайный процесс, протекающий в системе, если для любо-го момента времени to вероятностные характеристики процесса в будущем зависят толькоот его состояния в данный момент to и не зависят от того, когда и как система пришла вэто состояние [34].

Это очень важное определение. Пусть в настоящий момент to (см. рис.8.1) система на-ходится в определенном состоянии So.

Рисунок 8.1. Связь будущего состояния системы с прошлым через настоящее

Естественно, интересует будущее состояние при t > to. Можно ли его предсказать? Вточности - нет, т.к. процесс случайный. Но какие-то вероятностные характеристики про-цесса в будущем можно найти. Например, вероятность того, что через некоторое время tсистема S окажется в состоянии Si или сохранит состояние So, и т. п. Для марковскогослучайного процесса такое «вероятностное предсказание» оказывается гораздо проще,чем для немарковского. Если процесс - марковский, то предсказывать можно, только учи-тывая настоящее состояние системы So и забыв о его «предыстории» (поведении системыпри t<to). Само состояние So, разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достиг-нуто, о прошлом можно забыть. Иначе формулируя, в марковском процессе «будущее за-висит от прошлого только через настоящее».

На практике часто встречаются процессы, которые хотя и не марковские, но могутбыть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Практически любой процессможно рассматривать как марковский, если все параметры из «прошлого», от которых за-висит «будущее», включить в «настоящее».

В основе рассматривается непрерывный случайный процесс x(t), определяемый зада-нием системы случайных величин x(t1), x(t2),..., x(tn), соответствующих значениям случай-ного процесса в фиксированные моменты времени t1, t2,…, tn. Эти случайные величиныописываются n-мерной плотностью f (x1, x2,…, xn, t1, t2,...,tn) вероятности.

Основное свойство марковского процесса может быть выражено соотношением дляусловной плотности при любых t1< t2<…<tk

))()1(())(),...,(,)()1(( 21 kkkk txtxftxtxtxtxf +=+ .

Размерность n вектора x(t) называют порядком марковского процесса. Марковскаямодель безусловно является определенной идеализацией по отношению к реальным про-цессам, однако, несмотря это, она признается во многих практических случаях достаточ-

104

но адекватной. Достоинство этой модели состоит в возможности использования эффек-тивных алгоритмов обработки информации.

Корреляционная функция Kx(τ), отражающая зависимость процесса во времени (быст-родействие), может с ростом τ или монотонно убывать или стремиться к нулю по болеесложному закону. Корреляционные функции, наиболее часто имеющие место на практи-ке, описываются выражениями: |)|exp()( 2

1ta-s=txK и .cos|)|exp()( 2

2btta-s=txK

Примерами корреляционных функций, соответствующих дифференцируемым про-цессам, могут служить:

);exp()( 2223 ta-s=txK

÷ø

öçè

ætb

ba

+tb´ta-s=t sincos)exp()( 24xK .

Наиболее часто также случайные процессы является гауссовскими (нормальными)случайными процессами x(t), у которых для вектора x , образованного совокупностьюслучайных величин xk = x(tk) ( nk ,1= ), все плотности распределения вероятности любогопорядка имеют вид

( )úûù

êëé ---

p

= - )()(21exp

2

1)...,,,,( 1

21

2

21 xxT

x

x

nn mxPmxP

tttxf ,

где х=(x1, x2,...,xn)T, 1-xP - определитель ковариационной матрицы xP вектора x .

Далее рассматриваются процессы, для которых 0¹xP . Недиагональные элементы pij

матрицыxP являются значениями взаимной корреляционной функции хi и хj для моментов

времени ti и tj. В случае стационарного гауссовского процесса плотность зависит лишь отвеличин интервалов между рассматриваемыми точками на оси времени.

Другим важным стационарным случайным процессом марковских систем являетсяпроцесс w(t) типа «белый шум», под которым понимается процесс с нулевым математиче-ским ожиданием и корреляционной функцией

)()( td=t qK w ,

где q - интенсивность белого шума;δ(τ) - дельта-функция, свойства которой задаются равенствами:

ò =tdîíì

=t¥¹t

=d ,1)(;0;;0;0

)( dtt

причем второе равенство справедливо, если точка τ = 0 принадлежит интервалу ин-тегрирования. Ясно, что белый шум, как и гаусссовский процесс, нереализуем, посколькув любом реальном случайном процессе два достаточно близких значения всегда зависи-

105

мы, а дисперсия процесса конечна. Оба эти свойства в данном случае не выполняются.Несмотря на отмеченные факты, модель белого шума широко применяется при конструи-ровании моделей случайных процессов в составе так называемых формирующих фильт-ров.

Распределения вероятностей для белого шума в обычном смысле не существует, по-скольку дисперсия (значение корреляционной функции в нуле) равна бесконечности. Темне менее, далее модель гауссовского белого шума применяется достаточно широко. В ос-новном это относится к моделям дискретного времени, где такая модель становится реа-лизуемой. Переход к модели дискретного времени предполагает осреднение непрерывно-го белого шума на интервале дискретизации. При этом за дисперсию дискретного белогошума принимается поделенная на интервал дискретизации интенсивность непрерывногобелого шума.

Спектральные плотности, соответствующие корреляционным функциям Kх1(τ) иKх4(τ), описываются выражениями:

.)4)((

)(2)(

;)(

)(

222222

222

4

22

2

1

wa+a-b-wpb+aas

=w

a+wpas

=w

x

x

S

S

Марковский процесс описывается системой стохастических дифференциальных урав-нений первого порядка, решением которой он является. Уравнения системы характеризу-ются случайными начальными условиями и в правой части содержат случайные функции(процессы)

x& (t) = F(t) x(t) + G(t)w(t),

где x(t) - n-мерный вектор состояния;F(t) - (п ´ n) - матрица динамики процесса x(t);w(t) - векторный гауссовский белый шум единичной интенсивности;G(t) - матрица, определяющая интенсивность процесса G(t)w(t).Такой процесс называют диффузионным марковским процессом. Часто уравнения на-

зывают формирующим фильтром, отмечая тем самым факт формирования разнообразныхслучайных процессов x(t) на основе процесса типа белый шум.

Диффузионный марковский процесс, описываемый уравнением состояния, можетбыть как стационарным, так и нестационарным. Решение этого уравнения определяетсявыражением

ttxtc+c= ò dGtttxtttxt

t0

)()(),()(),()( 000 ,

106

где ),( 0ttc - фундаментальная матрица, с помощью которой решение уравнения x& (t) = F(t)

x(t) записывается в виде: )(),()( 00 txtttx c= .Математическое ожидание: 00 ),()( mtttm c= .

Если в момент времени t0 математическое ожидание m0 процесса не равно нулю, топроцесс x(t) характеризуется изменяющимся во времени математическим ожиданием отвремени (по фундаментальной матрице: ),( 0ttc ), т.е. нестационарен.

Ковариационная матрица P(t) процесса удовлетворяет уравнению Риккати

)()()()()()()( tGtGtFtPtPtFtP TT ++=& ,

т.е. в общем случае также является функцией времени. При т0 = 0 процесс будет стацио-нарным, если матрицы F и G постоянны, матрица F устойчива, а начальное значение P(t)совпадает с установившимся значением.

Примеры марковских случайных процессов.Диффузионный марковский процесс первого порядка. Этот случайный процесс опи-

сывается дифференциальным уравнением первого порядкаgwxx =a+& ,

где α - постоянная положительная величина; w - случайный процесс типа белый шумединичной интенсивности, для которого Sw(ω) = l; g - коэффициент интенсивности белогошума w ( qg = , q -интенсивность белого шума).

Спектральная плотность стационарного решения имеет вид

22

2

2

2

)(a+w

=a+w

=wg

igS x .

Марковский процесс первого порядка в установившемся режиме характеризуетсякорреляционной функцией )exp()( 2

1 ta-s=txK и является недифференцируемым. Это, вообщеговоря, следует также из того, что производная процесса содержит белошумную состав-ляющую. В связи с установленным фактом недифференцируемости, следует обратитьвнимание на условность использования в данном случае символа производной.

Диффузионный марковский процесс второго порядка. Этот случайный процессописывается дифференциальным уравнением второго порядка

0,2 2 >=++ hgwxkxhx &&&

или в виде системы двух уравнений первого порядка

107

,2

;

212

2

21

gwhxxkx

xx

+--=

=

&

&

где h и k - постоянные; w - случайный процесс типа белый шум единичной интенсивности; g - коэффициент интенсивности белого шума w .Спектральная плотность стационарного решения имеет вид

,4)(

)(2

2)( 222222

222

222 wa+a-b-wb+a

pas

=+w+w-

=wkih

qSx

где введены обозначения α = h, β = 22 hk - , 22 2hkp=s .

Данный марковский процесс характеризуется корреляционной функцией

÷ø

öçè

ætb

ba

+btta-s=t sincos)exp()( 24xK и является дифференцируемым.

8.1.1. Основные свойства марковских систем

Большое значение имеют марковские случайные процессы с дискретными состоя-ниями и непрерывным временем.

Процессом с дискретными состояниями называется процесс, если его возможные со-стояния S1, S2, S3,... можно заранее перечислить (пронумеровать), и переход системы изсостояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно. Процессом с не-прерывным временем называется процесс, если моменты возможных переходов из со-стояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переходможет осуществиться, в принципе, в любой момент. Будем рассматривать только процес-сы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Пример такого процесса: система S состоит из двух узлов, каждый из которых в слу-чайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего начинается ремонтузла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время (рисунок 8.2). Со-стояния системы можно перечислить:

Рисунок 8.2. Граф отказов и восстановлений 2-х компонентной системы

S0 - оба узла исправны,

108

S1 - первый узел ремонтируется, второй исправен,S2 - второй узел ремонтируется, первый исправен,S3 - оба узла ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, вслучайные моменты выхода из строя того или другого узла или окончания ремонта.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями используют граф со-стояний. Состояния системы изображаются прямоугольниками (или кругами, или дажеточками), а возможные переходы из состояния в состояние - стрелками, соединяющимисостояния. Граф состояний для данного примера представлен на рисунке. Стрелка, на-правленная из S0 в S1, означает переход в момент отказа первого узла; стрелка, направ-ленная обратно, из S1 в S0,- переход в момент окончания ремонта этого узла. Остальныестрелки объясняются аналогично. Предполагается, что узлы выходят из строя независимодруг от друга, а вероятностью строго одновременного выхода их из строя бесконечно ма-ла.

Потоки событий в системах. Потоком событий называется последовательность одно-родных событий следующих одно за другим в случайные моменты времени. Например,поток отказов (сбоев) ЭВМ.

Говоря о «потоке событий», нужно иметь в виду, что здесь термин «событие» имеетзначение, несколько отличное от того, к которому мы привыкли в теории вероятностей.Там «событием» называется исход опыта, обладающий вероятностью. События, обра-зующие поток, сами по себе вероятностями не обладают; вероятностями обладают дру-гие, производные от них события, например, «на участке времени Δt произойдет собы-тие».

Важной характеристикой потока событий является его интенсивность λ - среднее чис-ло событий, приходящееся на единицу времени. Интенсивность потока может быть какпостоянной (λ =const), так и переменной, зависящей от времени t. Например, поток отка-зов автомобиля в период обкатки имеет убывающую интенсивность с течением времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим черезопределенные, равные промежутки времени. На практике чаще встречаются потоки нерегулярные, со случайными интервалами.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики независят от времени. В частности, интенсивность λ стационарного потока должна быть по-стоянной. Это отнюдь не значит, что фактическое число событий, появляющихся в еди-ницу времени постоянно. Поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения.

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непере-секающихся участков времени τ1 и τ2 (см. рис. 8.3) число событий, попадающих на одиниз них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.

Рисунок 8.3. Возникновение событий без последействия

109

Если минимальный интервал между событиями много меньше среднего интерваламежду ними t = 1/ λ, наличием последействия можно пренебречь.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке,а не группами по нескольку раз. Если поток событий ординарен, то вероятностью попа-дания на малый участок времени Δt двух или более событий можно пренебречь.

Пуассоновский поток событий. Поток событий называется простейшим (или стацио-нарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ордина-рен и не имеет последействия. Название «простейший» связано с тем, что процессы, свя-занные с простейшими потоками, имеют наиболее простое математическое описание. Ре-гулярный поток не является «простейшим», так как обладает последействием.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль, в чем-то подобную ро-ли нормального закона среди других законов распределения. А именно, при наложении(суперпозиции) достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарныхпотоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к про-стейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью l интервал Т между соседними событиямиимеет так называемое показательное распределение с плотностью f(t) = λe –λt (см. рис.8.4).

Рисунок 8.4. Показательное распределение простейшего потока событий

Величина λ в формуле (8.1) называется параметром показательного закона. Для слу-чайной величины Т, имеющей показательное распределение, математическое ожиданиетТ есть величина, обратная интенсивности, а среднее квадратическое отклонение σT равноматематическому ожиданию:

тТ= σT=1/λ. (8.1)

В теории вероятностей в качестве «меры случайности» не отрицательной случайнойвеличины нередко рассматривают так называемый коэффициент вариации:

VT = σT / тТ . (8.2)

Из формул (8.1), (8.2) следует, что для показательного закона распределения VT =1, т.е. для простейшего потока событий коэффициент вариации интервалов между событиями

110

равен единице. Очевидно, что для регулярного потока событий, у которого интервал ме-жду событиями не случаен (σT = 0), коэффициент вариации равен пулю. Для большинствапотоков событий, встречающихся на практике, коэффициент вариации интервалов междусобытиями заключен между нулем и единицей и может служить мерой «степени регуляр-ности» потока: чем VT ближе к нулю, тем «регулярнее» поток. Простейший поток - это«наименее регулярный» из встречающихся на практике потоков.

В расчетах, связанных с потоками событий, удобно пользоваться понятием «элементавероятности». Рассмотрим на оси Ot простейший поток с интенсивностью λ и произволь-но расположенный элементарный участок времени Δt. Элементом вероятности называет-ся вероятность попадания на этот участок хотя бы одного события потока. Легко дока-зать, что элемент вероятности (с точностью до малых величин более высокого порядка посравнению с Δt) равен

рΔt = λ Δt, (8.3)

т. е. для простейшего потока элемент вероятности равен интенсивности потока, ум-ноженной на длину элементарного участка.

Поток событий называется рекуррентным (иначе – потоком Пальма), если он стацио-нарен, ординарен, а интервалы времени между событиями T1, T2, Т3,... представляют со-бой независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением (на-пример, с распределением, показанным на рис. 8.5). Например, технический элемент -интегральная схема работает непрерывно до своего отказа, отказавший элемент мгновен-но заменяется новым. Если отдельные экземпляры элемента выходят из строя независимодруг от друга, то поток отказов (он же «поток замен» или «восстановлении») будет ре-куррентным.

Очевидно, простейший поток представляет собой частный случай рекуррентного по-тока, когда интервалы между событиями имеют показательное распределение. Другимчастным (вырожденным) случаем рекуррентного потока является регулярный поток со-бытий, где интервалы вообще не случайны, постоянны.

Рисунок 8.5. Пример потока Пальма

8.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний систем

Рассматривая Марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывнымвременем, удобно представлять, что все переходы системы S из состояния в состояниепроисходят под действием каких-то потоков событий (поток вызовов, поток отказов, по-ток восстановлении и т.д.). Причем все потоки событий, переводящие систему S из од-ного состояния в другое простейшие (простейший поток не обладает последействием).

111

Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредствен-ный переход в другое состояние Sj (стрелка, ведущая из Si в Sj на графе состояний), то этобудем представлять так, как будто на систему, пока она находится в состоянии Si, дейст-вует простейший поток событий, переводящий ее по стрелке из Si в Sj. Как только появит-ся первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из Si в Sj.

Для наглядности на графе состояний у каждой стрелки проставляется интенсивностьпотока событий, переводящего систему по данной стрелке. Обозначим lij интенсивностьпотока событий, переводящего систему из состояния Si в Sj.

Колмогоров доказал, что процесс Pi(t) детерминирован и определяется дифференци-альными уравнениями Колмогорова.

Пусть марковский процесс находиться в состоянии Si – процесс может выйти и войтив него. Для вычисления вероятностей состояний составляются и решаются так называе-мые уравнения Колмогорова - особого вида дифференциальные уравнения, в которых не-известными функциями являются вероятности состояний. Вероятность сохранения i-госостояния за период Δt определяется в виде:

ïïî

ïïí

ì

=

=l+l-=

D-D+

=

l+l-=D

-D+

lD+lD-=D+

å

å å

å å

å å

=

= =

®D

= =

= =

1)(

..1,)()()()()(

)()(lim)(

)()()()(1)]()([

)()())(1)(()(

1

1 1

0

1 1

1 1

N

ii

N

j

N

jijjiji

i

iit

i

N

j

N

jijjijiii

N

j

N

jjijjiii

tP

nittPttPdt

tdPt

tPttPdt

tdP

ttPttPt

tPttP

ttPttttPttP

Пример. Пусть система (рисунок 8.6) находится в состоянии S0. Какой поток событийпереводит ее в состояние S1? Очевидно, поток отказов первого узла. Его интенсивность l1

равна единице, деленной на среднее время безотказной работы первого узла. Какой потоксобытий переводит систему обратно из S1 в S0? Очевидно, поток «окончаний ремонтов»первого узла. Его интенсивность m1 равна единице, деленной на среднее время ремонтапервого узла. Аналогично вычисляются интенсивности потоков событий, переводящихсистему по всем стрелкам графа.

Имея в своем распоряжении размеченный граф состояний системы, легко построитьматематическую модель данного процесса. Пусть рассматривается система S, имеющая nвозможных состояний S1, S2, S3, …, Sn. Назовем вероятностью i-го состояния вероятностьpi(t) того, что в момент t система будет находиться в состоянии Si. Очевидно, что для лю-бого момента сумма всех вероятностей состояний равна единице:

112

å=

=n

ii tp

1

1)(. (8.4)

Имея размеченный граф состояний, можно найти все вероятности состояний pi(t) какфункции времени.

Пример составления уравнений Колмогорова. Рассмотрим более сложную систему S,которая имеет четыре состояния: S1, S2, S3, S4, размеченный граф которых показан нарис.8.6.

Рисунок 8.6. Марковская система с четырьмя состояниями

Рассмотрим одну из вероятностей состояний, например p1(t). Это-вероятность того,что в момент t система будет в состоянии S1. Придадим t малое приращение Dt и найдемp1(t+Dt) - вероятность того, что в момент t+Dt система будет в состоянии S1. Это можетпроизойти двумя способами: либо в момент t система уже была в состоянии S1, а за времяDt не вышло из него; либо в момент t система была в состоянии S2, а за время Dt перешлаиз него в S1.

Найдем вероятность первого варианта. Вероятность того, что в момент t система былав состоянии S1, равна p1(t). Эту вероятность нужно умножить на вероятность того, что,находившись в момент t в состоянии S1, система за время Dt не перейдет из него ни в S2,ни в S3. Суммарный поток событий, выводящий систему S1, тоже будет простейшим, с ин-тенсивностью l12+l13 (при наложении двух простейших потоков получается опять про-стейший поток).

Значит вероятность того, что за время Dt система выйдет из состояния S1 равна (l12-+l13)Dt вероятность того, что не выйдет: 1-(l12+l13)Dt. Отсюда вероятность первого вари-анта равна p1(t)[1-(l12+l13)Dt].

Найдем вероятность второго варианта. Она равна вероятности того, что в момент tсистема будет в состоянии S2, а за время Dt перейдет из него в состояние S1, т. е. она равнаp2(t)l21Dt.

Складывая вероятности обеих вариантов (по правилу сложения вероятностей незави-симых событий) получим:

p1(t+Dt)=p1(t)[1-(l12+l13)Dt]+p2(t)l21Dt. (8.5)

113

Раскроем квадратные скобки перенесем p1(t) в левую часть и разделим обе части наDt:

(p1(t+Dt)-p1(t))/Dt=l21p2(t)-(l12+l13)p1(t).

Устремим, как полагается в подобных случаях, Dt к нулю слева получим в пределепроизводную функции p1(t). Таким образом, запишем дифференциальное уравнение дляp1(t):

)()()()(11312221

1 tptpdt

tdpl+l-l=

или короче:

113122211 )( pp

dtdp

l+l-l= (8.6)

Рассуждая аналогично для всех остальных состояний, напишем еще три дифференци-альных уравнения. Присоединяя к ним уравнение (8.6) получим систему дифференци-альных уравнений для вероятностей состояний:

.)(

)(

4432244

3324431313

221243321122

113122211

ïïïï

î

ïïïï

í

ì

l+l=

l-l+l=

l+l-l+l=

l+l-l=

ppdt

dp

pppdt

dp

pppdt

dp

ppdtdp

(8.7)

Это система четырех линейных дифференциальных уравнений с четырьмя неизвест-ными функциями p1, p2, p3, p4. Еще к этому можно добавить p1+p2+p3+p4=1, можно такжевыразить любую из вероятностей pi через другие, а соответствующее уравнение с произ-водной (dpi)/dt отбросить.

Общее правило составления уравнений Колмогорова. В левой части каждого урав-нения системы стоит производная вероятности i-го состояния. В правой части – суммапроизведений вероятности всех состояний, из которых идут стрелки в данное состояниена интенсивности соответствующих потоков событий минус суммарная интенсивностьвсех потоков выводящих систему из данного состояния умноженная на вероятность дан-ного (i-го) состояния.

Пользуясь этим правилом, запишем уравнения Колмогорова для системы S, разме-ченный граф состояний которого дан на рис. 8.2:

114

(8.8)

Чтобы решить уравнения Колмогорова и найти вероятности состояний, надо задатьначальные условия. Если известно начальное состояние системы Si, то в начальный мо-мент (при t=0) pi(0)=1 а все остальные начальные вероятности равны нулю. Так, напри-мер, уравнения (8.8) естественно решать при начальных условиях p0(0)=1,p1(0)=p2(0)=p3(0) (в начальный момент оба узла исправны).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами можнорешать аналитически, но это удобно только тогда когда число уравнений не превосходитдвух - трех. Если уравнений больше обычно их решают численно на ЭВМ. УравненияКолмогорова дают возможность найти все вероятности состояний как функции времени.

Финальные вероятности состояний. При t, стремящемся к бесконечности, в системеустанавливается стационарный режим, при котором система случайным образом меняетсвои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Пределы вероятностей со-стояний при t стремящемся к бесконечности называются финальными вероятностями со-стояний. Финальная вероятность состояния Si - это среднее относительное время пребы-вания системы в этом состоянии.

В теории случайных процессов доказано, что если число n состояний системы конеч-но и из каждого из них можно (за конечное число шагов) перейти в любое другое, то фи-нальные вероятности существуют.

На рисунке 8.7 показан процесс установления финальных вероятностей в стацио-нарной системе.

Pi

t

Pi=1

Pi’

Pi

0

Pi’*(t)

Pi, i¹i’

Рисунок 8.7. Процесс финализации вероятностей

Предположим, что условие существования финальных вероятностей выполнено, тогдаимеет место

.)(lim ii ptp = (8.9)

115

Через некоторое время процесс успокаивается и вероятности станут константами.Марковский процесс при t ®¥ вырождается в стационарный.

Финальные вероятности обозначаются теми же символами p1, p2, …, что и вероятно-сти состояний, имея ввиду постоянные числа. Очевидно, они тоже образуют в сумме еди-ницу (формула 8.4).

При t ® ¥ в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе ко-торого система случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не за-висят от времени. Финальную вероятность состояний Si можно истолковать как среднееотносительное время пребывания системы в этом состоянии.

Вычисляются финальные вероятности из условия равенства нулю их производных.Значит, чтобы найти финальные вероятности нужно все левые части уравнений Колмого-рова положить равными нулю и решить полученную систему уже не дифференциальных,а линейных алгебраических уравнений.

Например, линейные алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоя-ний системы, граф состояний которой дан на рис. 8.2, имеют вид

(8.10).

)()()()(

2112321

3102221

321112

2211021

ïïî

ïïí

ì

l+l=m+mm+l=m+lm+l=m+lm+m=l+l

pppppppppppp

o

Для решения системы надо воспользоваться условием нормирования:

p0+p1+p2+p3=1

8.3. Основные модели марковских систем

Для составления математической модели марковской системы надо записать уравне-ния состояния Колмогорова и найти выражения для финальных вероятностей состояний.Граф состояний для основной схемы состояний представлен на рисунке 8.8.

Рисунок 8.8. Граф состояний процесса гибели и размножения

Для данного графа имеем уравнения финальных вероятностей состояний

116

(8.11)

,

,

,,

1,1,1

....1,1,1

....221112

110001

ïïï

î

ïïï

í

ì

l=l

l=l

l=ll=l

---

---

nnnnnn

kkkkkk

pp

pp

pppp

кроме того, надо учесть условие нормирования. Решая систему, из первого уравнениявыразим p1, через p0

(8.12).010

011 pp

ll

=

Из второго, учитывая (2.14), получим

01021

01122 pp

llll

=.

И для любого k

010211,

0112,1

...pp

kk

kkk lll

lll=

-

- ...

.Подставим эти выражения в условие нормирования

1...

,...,110211,

0112,1

1021

0112

10

010 =÷

÷ø

öççè

æ

llllll

++llll

+ll

+-

-

kk

kkp...

,откуда получим выражение для p0

(8.13).......

,...,11

10211,

0112,1

1021

0112

10

010

-

-

-

÷÷ø

öççè

æ

llllll

++llll

+ll

+=kk

kkp

8.3.1. Фомула Литла

Найдем взаимосвязь среднего времени пребывания заявки в системе и среднего числазаявок в системе.

В стационарном режиме работы системы среднее число заявок поступающих в систе-му равно среднему числу заявок покидающих систему (обслуженных). Оба потока имеютодну и ту же интенсивность.

Обозначим: X(t) – число заявок поступивших до момента t, Y(t) – число заявок поки-нувших систему до момента t. Разность Z(t)=X(t)-Y(t) – это число заявок, находящихся всистеме. Когда линии X(t) иY(t) сливаются, в системе нет заявок (рис. 8.9).

117

Рисунок 8.9. Процесс поступления и обслуживания заявок

Среднее число заявок в системе равно интегралу от Z(t) деленному на длину интерва-ла T

ò=T

c dttZT

Z0

)(1

.Этот интеграл равен суммарной площади прямоугольников, изображенных на рис.8.9.

Прямоугольники имеют высоту, равную единице, а основание, равное времени пребыва-ния соответствующей заявки в системе (t1, t2,…). Получим

åò =i

i

T

tdttZ0

)(.

Запишем теперь Zc в виде

åll=i

ic tT

Z 1

,

где Tl - среднее число заявок в системе за время T.Среднее время пребывания заявки в системе равно отношению суммарного времени

заявок в системе к среднему числу заявок

(8.14).l

=åT

tW i

i

c

Учитывая (8.14), получим формулу Литтла для системы

cc ZWl

=1

, (8.15)и для очереди

оо1 ZWl

= . (8.16)

118

8.3.2. Функциональная схема многоканальной системы

Многоканальная однофазная марковская система может быть представлена структур-ной схемой (рис. 8.10).

Рисунок 8.10. Схема многоканальной однофазной марковской системы

Основные характеристики системы: входящий поток – простейший с интенсивностьюl, n – каналов обслуживания, L< l - часть заявок не обслуживается, интервалы междусобытиями распределены экспоненциально f(t)= le-lt.

Информационные каналы статистически одинаковы и всегда исправны, отказов в свя-зи с поломкой нет. Время обслуживания каналом случайно, но у всех приборов это времяимеет плотность распределения f0(t)=me-mt (статистически независимо). Интервалы време-ни обслуживания заявок взаимонезависимы.

Правила обслуживания:· если все каналы заняты, заявка встает в очередь и ждет обслуживания;· в модели безразлично в каком порядке будут обслужены заявки;· освободившийся канал сразу приступает к обслуживанию заявки из очереди, если тако-

вая имеется;· если величина очереди достигла (N-m) – предельной величины, очередная заявка полу-

чает отказ.Характеристики состояния:

ml

=rúû

ùêë

é r=

-

=å где,

!

1

00

n

i

i

iP - вероятность того, что система будет простаивать,

niPi

Pi

i ,1,! 0 =×r

= - вероятность того, что в системе будет i-е число заявок.

Характеристики функционирования:

0отк !P

nPP

n

n ×r== - вероятность отказа системы,

0отк !11 P

nPQ

nr-=-= - относительная пропускная способность (вероятность - заявка об-

служена),

÷÷ø

öççè

æ r-l=l= 0!

1 Pn

QAn

- абсолютная пропускная способность (среднее число заявок с сис-

теме),

119

å= m

=r==n

ii

AQipk1

- среднее число занятых каналов.

8.3.3. Многоканальная система с отказами обслуживания

Многоканальная система с отказами обслуживания соответствует классическая задачетеории массового обслуживания - задаче Эрланга. Пусть имеется n-канальная система, накоторую поступают заявки с интенсивностью L; поток обслуживаний имеет интенсив-ность M, обратную среднему времени обслуживания заявки to. Обозначим p=L/M - при-веденную интенсивность потока заявок. Граф состояний системы представлен на рисунке8.11.

Рисунок 8.11. Многоканальная система без очереди

Характеристики эффективности данной системы следующие:p0, p1,...,pk - вероятности состояний системы (при p<1):

p pp p

kpn

k n0 1

2

2 1

= + + + + + +æ

èçç

ö

ø÷÷

-

!,...,

!,...,

!,

p pp pkpk

p pnpn

pk n

1 0 0 0= = =,...,!

,!

;

p0 - вероятность того, что поступившая заявка получит отказ (все каналы заняты):

Po pnpn

pn

= =!

;0

Q - относительная пропускная способность системы - вероятность того, что заявка будетобслужена:

Q Popn

pn

= - = -1 1 0!

;

А - абсолютная пропускная способность системы получается при умножении интенсивно-сти потока заявок L на Q:

A=LQ Lpn

pn

= -æ

èçç

ö

ø÷÷1 0

!;

120

k - среднее число занятых каналов равно математическому ожиданию дискретной случай-ной величины с возможными значениями 0,1,..., n и вероятностями этих значений p0,p1,...,pn:

k=AM

ppn

pn

= 1 0-æ

èçç

ö

ø÷÷!.

8.3.4. Многоканальная система с неограниченной очередью

Граф состояний системы изображен на рисунке 8.12.

Рисунок 8.12. Многоканальная система с неограниченной очередью

Характеристики данной системы следующие:p0, p1,...,pk - вероятности состояний ИС (при r<1):

,

Zo - среднее число заявок в очереди:

å¥

=+==

1

][r

rnrprMZo.

Выполняя преобразования (с дифференцированием ряда) получим

220

1

)/1()/1(! nnp

nnnpZo n

n

r-r

=r-×

r=

+

.

Zс - среднее число заявок в системе:С учетом среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием (среднего числа

занятых каналов), получим

121

r+= ZoZc .Wc, Wo - среднее время пребывания заявки в системе (очереди).По формуле Литтла:

,LZcWc =

LZoWo =

.

8.3.5. Многоканальная система с ограниченной очередью

Граф состояний системы изображен на рисунке 8.13.

Рисунок 8.13. Многоканальная система с ограниченной очередью

p0, p1,...,pk - вероятности состояний ИС (при r<1):

,

где ρ=L/M - среднее число заявок, поступающих в систему за время обслуживания однойзаявки,

r – максимальная длина очереди.Zо - средняя длина очереди:

.

где k - текущее число заявок в очереди.Вероятность того, что очередная заявка получит отказ, равна вероятности, что в сис-

теме уже находится n+r заявок

122

.

Среднее время ожидания в очереди связано со средней длиной очереди

оо1 ZWl

= .

Zобсл - среднее число занятых каналов (среднее число заявок, находящихся под обслужи-ванием)

Wc - среднее время пребывания заявки в системе.По формуле Литтла .cc LZW =

8.3.6. Одноканальная система с неограниченной очередью

Пусть имеется одноканальная система с очередью, на которую не наложено никакихограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту система поступаетпростейший поток заявок с интенсивностью L; поток обслуживаний имеет интенсивностьM, обратную среднему времени обслуживания заявки to. Обозначим p=L/M - приведеннаяинтенсивность потока заявок. Граф состояний системы изображен на рисунке 8.14.

Рисунок 8.14. Одноканальная система с неограниченной очередью

Характеристики эффективности данной система следующие:p0, p1,...,pk - вероятности состояний система (при p<1):

p p p p p pk p pk0 1 1 1 1= - = - = -, ( ), ( );

Zc - среднее число заявок в системе:

123

;1

][0

c ppkpkMZ

k

k

-=== å

¥

=

Wc - среднее время пребывания заявки в системе по формуле Литтла:

;)1(

1c pL

W-

=

Zо - среднее число заявок в очереди: Zо=Zc-Zoб, где Zc - среднее число заявок в системе; Zoб

- среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием в даннойсистеме может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если канал занят).Математическое ожидание (среднее значение Zoб) равно вероятности Pз того, что каналзанят (степень загрузки канала). Очевидно, что Pз=1-p0=p, где p0 - вероятность того, чтоканал свободен. Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием Zoб=p, отсюдаимеем Zo=Zc-Zoб=p/(1-p)-p=p2/(1-p);

Wо - среднее время пребывания заявки в очереди по формуле Литтла:

;)1(

2

o pLpW-

=

А - абсолютная пропускная способность системы: А=L, так как очередь не ограниченаи каждая заявка рано или поздно будет обслужена;

Q - относительная пропускная способность системы: Q=1 также ввиду того, что оче-редь не ограничена и каждая заявка будет обслужена.

8.3.7. Одноканальная система с ограниченной очередью

Пусть имеется одноканальная система с очередью, которая не может превышать неко-торого заданного числа m. На эту систему поступает простейший поток заявок с интен-сивностью L; поток обслуживаний имеет интенсивность M, обратную среднему времениобслуживания заявки to. Обозначим r=L/M - приведенная интенсивность потока заявок.Граф состояний системы изображен на рисунке 8.15.

Рисунок 8.15. Одноканальная система с ограниченной очередью

Характеристики данной системы следующие:p0, p1,...,pk - вероятности состояний системы (при любом p):Учитывая формулу (2.15) получим выражение для расчета p0

( ) 120 ...1 -

r+r+r+= mp , 001 ,..., pppp mm r=r= .

124

Zc - среднее число заявок в системе:

å=

r==m

k

kkkMZ0

c ][ .

Wc - среднее время пребывания заявки в системе по формуле Литтла:

LZW c

c = .

8.3.8. Одноканальная замкнутая система с m источниками заявок

Интенсивность потока заявок каждого клиента равна L, если заявка поступила в мо-мент, когда канал занят, то она ставится в очередь. Интенсивность потока заявок для все-го канала равна kL, где k=m-k0 - число заявок, находящихся в очереди и под обслужива-нием.

Перечислим состояния системы:S0 – нет заявок в системе (интенсивность потока заявок mL),S1 – одна заявка в системе (обслуживается), очереди нет (интенсивность потока заявок

(m-1)L),S2 – две заявки в системе (одна обслуживается, одна в очереди), интенсивность потока

заявок равна (m-2)L,. . .Sm-1 – m-1 заявок в системе (одна обслуживается, m-2 в очереди), интенсивность потока

заявок равна L.,Sm – m заявок в системе (одна обслуживается, m-1 в очереди), интенсивность потока

заявок равна нулю.

( ) 10 ...)1(1 -r+r-+r+= mmp , 0,,..., 0101 =r=r= - mm ppppmp .

8.4. Уравнения состояния резервированной системы в динамике

Теперь рассмотрим случай резервированной системы, состоящей из двух одинаковыхблоков - основного и резервного при работе в динамическом режиме. Интенсивность от-казов блока обозначим λ, а интенсивность его восстановлений - µ. Очевидно, что системаможет находиться в одном из трех состояний:

S° - в системе исправны оба элемента;S1 - в системе работает один элемент, второй элемент отказал и восстанавливается;S2 - в системе отказали оба элемента, которые восстанавливаются.Граф состояний системы представлен на рисунке 8.16.

125

Рисунок 8.16. Граф состояний резервированной системы

Дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей p0(t), p1(t) и p2 (t) со-стояний S0, S1 и S2 , в соответствии с рассмотренной ранее методикой, получены в виде:

Подставляя p2(t) = 1 – p0(t) – p1(t) во второе уравнение, получаем

m+m+l-m-l= 2)()3()()(2)( 101 tptptp& .

Выразив p1(t) из первого уравнения системы и вычислив на основе полученного вы-ражения )(1 tp& , подставим p1(t) и )(1 tp& в последнее уравнение. В результате получаем ли-нейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

20

200 μ2)()μλ(2)()μλ(3)( =++++ tptptp &&& .

Характеристический многочлен соответствующего однородного уравнения имеет вид

0)(2)(3 22 =m+l+m+l+ rr .

Отсюда по известной формуле могут быть получены два вещественных корня)(1 m+l-=r и r2 =-2 )( m+l , и решение однородного уравнения может быть записано в ви-

деtt eCeCtp )(2

2)(

10,0 )( m+l-m+l- += .

Из этого решения методом вариации постоянных может быть получено частное реше-ние неоднородного уравнения, а затем и общее решение

tt eCeCtp )(22

)(12

2

0 )()( m+l-m+l- ++

m+lm

=.

Подставляя полученное выражение для p0(t) и производную )(0 tp& в первое уравнениесистемы, получаем выражение для p1(t)

126

tt eCeCtp )(22

)(121 2

)(2)( m+l-m+l- +

mm+l

+m+llm

=.

Произвольные постоянные могут быть определены из начальных условий p0(0)=1 иp1(0)=0:

tt eetp )(22

2)(

2

2

0 )3()()()3(

)3()(2

)()( m+l-m+l-

m+lm+lm+ll+m+llm

+m+lm+l

lm+

m+lm

=;

tt eetp )(22

2)(

21 )3()()()3(2

)3(2

)(2)( m+l-m+l-

m+lm+lm+ll+m+llm

+m+l

l+

m+llm

=.

Сумма выражений для p0(t) и p1(t) определяет нестационарный коэффициент готовно-сти, а входящие в них постоянные слагаемые - стационарный коэффициент готовностисистемы.

Здесь рассмотрен случай, когда избыточная система состоит из одинаковых элемен-тов, что является частным случаем. Примером более сложной системы, для которой этоусловие не выполняется, может служить комплексная ИИС, в состав которой входит не-сколько различных измерителей. Эти измерители имеют различные интенсивности отка-зов, более сложную схему включения (например, по мажоритарному принципу). Граф со-стояний будет тоже более сложный, но применяя, рассмотренные здесь стандартные ме-тодики, можно рассчитать и оптимизировать важнейшие характеристики надежностикомплексной системы.

127

Заключение

Учебное пособие “Моделирование процессов и систем в приборостроении” не пре-тендует на внедрение в науку моделирования новых идей и открытий, а предназначено восновном для информмирования студентов о современном математико-программномобеспечении задач моделирования в доступной форме. Здесь автор старался обобщить со-временный опыт вопросов моделирования процессов и систем в приборостроении с це-лью дальнейшего использования при проектировании и исследовании измерительныхинформационных систем нового поколения (микросистемных, нанотехнологичных, ком-пьютеризированных).

В учебном пособии представлен материал по современным методикам расчета основ-ных характеристик процессов и систем, представлены актуальные вопросы компьютерно-го моделирования на основе лицензионного программного обеспечения.

Стремительное развитие информационных технологий, внедрение в практику инно-вационного подхода предполагает постоянное обновление технологий моделирования.Поэтому совершенствование знаний в области моделирования это прежде всего большаясамостоятельная работа, которая предполагает использование мобильных Интернет ре-сурсов, в частности образовательных и специализированных порталов. Один из опера-тивно обновляемых сайтов по информационным технологиям является сайт:http://www.apicentr.ru, поддерживаемый группой профессионалов информационных тех-нологий. На этом сайте организован раздел по вопросам моделирования. Многим можетпомочь информация с сайта http://exponenta.ru, где на русском языке представлена спра-вочная информация по вопросам компьютерного моделирования в среде Matlab.

128

Библиографический список

1. Волков, В.Л. Моделирование процессов и систем. Учеб. пособие /В.Л. Волков. -Н.Новгород; НГТУ, 1997. -80 c.

2. Малинин, В.В. Математическое моделирование процессов и систем на ЭВМ. - [Элек-тронный ресурс]. http://www.ssga.ru/metodich/matmod/ © Copyright ЦИТ СГГА, 2003.

3. Лебедев, А.Н. Моделирование в научно-технических исследованиях. - М.: Радио исвязь, 1989.

4. Прохоров, С.А. Математическое описание и моделирование случайных процессов. -Самара. Самар. гос. аэрокосм. ун-т, 2001. -209 с.

5. Варадан, В. ВЧ МЭМС и их применение. / В. Варадан, К. Виной, К. Джозе. –М.: Техно-сфера, 2005. -528 с.

6. Волкова В.Н. Теория систем: Учебник для студентов вузов. / В.Н. Волкова, А.А. Дени-сов. – М.: Высшая школа, 2006. – 511 с.

7. Хэмди, А. Введение в исследование операций. – Вильямс, 2001. -913с8. Френкс, Л. Теория сигналов. -М.: Сов. радио, 1974. -373 с.9. Купер, Д. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. / Д. Купер, К. Макгил-

лем. - М.: Мир, 1989. -376 с.10. Соболев, В.И. Информационно-статистическая теория измерений. Учебник для ву-

зов. - М.: Машиностроение,1983. -224 с.11. Гришин, Ю.П. Динамические системы, устойчивые к отказам. / Ю.П. Гришин,

Ю.М. Казаринов. - М.: Радио и связь, 1985. 176 с.12. Волков, В.Л. Система автоматизированного проектирования информационных ал-

горитмов и алгоритмов управления: Тез.докл.//Информационные технологии в образо-вании и науке. / В.Л. Волков, П.В. Пакшин, О.Г. Гущин. - Международный семинар-выставка. Рига, 1992. С. 57-58.

13. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского. -М.: Наука, 1987. -712 с.

14. Крутько, П.Д. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. /П.Д. Крутько, А.И. Максимов, Л.М. Скворцов. - М.: Радио и связь, 1988. -306 с.

15. Козлов, В.И. Системы автоматического управления летательными аппаратами. М.:Машиностроение, 1979. -376 с.

16. Браммер, К. Фильтр Калмана-Бьюси. / К. Браммер, Г. Зиффлинг. - М.: Наука, 1982. -200 с.

17. Моделирование процессов и систем. Стохастические и детерминированные дина-мические системы и информационные процессы. Лабораторные работы. Метод.Указан./Сост: Волков В.Л., Гущин О.Г., Поздяев В.И. - Н.Новгород. НГТУ, 1998. -32 c.

18. Прикладные задачи моделирования процессов и систем. Практические работы. Ме-тод. Указан. /Сост: Волков В.Л. - Н.Новгород. НГТУ, 2000. -32 c.

19. Astrom, K.J. Introduktion to stochastic control theory. - New York: Academic Press,1970.-238 p.

20. Волков, В.Л. Проектирование цифровых алгоритмов информационно-измерительныхсистем: Учеб. пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1991. 36 с.

21. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов. /- СПб.: Питер, 2002. -320 с.

129

22. Соболь, И.М. Метод Монте-Карло. / - М.: Наука,1968. -64 с.23. Fishman, G.S. Monte Carlo Concepts, Algorithms and Applications. Springer-Verlag. -

New York,1996. -698 p.http://www.amazon.com/gp/reader/038794527X/ref=sib_dp_pt/103-3577987-4699006#

24. Фридман, А. Л. Основы объектно-ориентированной разработки программных сис-тем. / - М.: Финансы и статистика, 2000. -192 с.

25. Автоматизация решения инженерных задач. Практические работы. Метод. Указан. /Сост. В.Л.Волков. - Н.Новгород. НГТУ, 2003. -35 с.

26. Лазарев, Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. Учебный курс. - - СПб.:BHV, 2005. – 512 с.

27. Гультяев, А. Визуальное моделирование в среде Matlab: Учебный курс. – СПб.: Пи-тер, 2000.

28. Черных, И.В. "Simulink: Инструмент моделирования динамических систем"http://www.exponenta.ru . Раздел Symulink.

29. Дьяконов, В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специаль-ный справочник. / В. Дьяконов, В. Круглов. – СПб.: Питер, 2002.

30. Андриевский, Б.Р. Элементы математического моделирования в программных сре-дах МАТЛАБ и Scilab /Б.Р. Андриевский, А.Л. Фрадков. - Спб.: Наука, 2001. -286 с.

31. Hunt, R.B. Matlab R2007 с нуля! + CD (A Guide to Matlab for Beginners and Expe-rienced Users). / R.B. Hunt, R.L. Lipsman, J.M. Rosenberg. Пер. с англ. Д.Н. Проценко. -М.: 2007. -352 с.

32. Волков, В.Л. Справочник по MatLab. /В.Л. Волков. - [Электронный ресурс]. © Copy-right Teacher-Proffi. http://www.apicentr.ru, 2006.

33. Леоненков, А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. – СПб.:БХВ, 2005.

34. Вентцель, Е.С. Исследование операций. - М.: Наука, 1980. 208 c.35. Афанасьева, О.В. Теория и практика моделирования сложных систем: Учебное по-

собие. / О.В.Афанасьева, Е.С. Голик, Д.А. Первухин. – СПб.: СЗТУ, 2005. - 131 с.