Метод Монте-Карло в теории риска

Фалин Геннадий Иванович доктор физико-математических наук, профессор

кафедра теории вероятностей

механико-математический факультет

МГУ им.М.В.Ломоносова

falin@math.msu.su

В статье описаны основные методы моделирования дискретных и непрерывных случайных величин. Мы

также рассматриваем применение метода Монте-Карло для оценки вероятности разорения страховщика в

моделях индивидуального и коллективного риска.

Ключевые слова: метод Монте-Карло, компьютерное моделирование, метод Бокса-Мюллера, полярный

метод, метод принятия-отклонения, модель индивидуального риска, модель коллективного риска

1. Введение

Имитационное моделирование на ЭВМ (метод Монте-Карло) является одним из

наиболее мощных средств анализа любых стохастических моделей. В отличие от

аналитических, численных и приближённых методов имитационное моделирование

применимо практически к любой стохастической системе. При этом описание поведения

этой системы часто непосредственно даёт алгоритм моделирования. В современных

научных и прикладных публикациях по актуарной и финансовой математике этот метод

используется очень часто. В последние годы были опубликованы специальные

монографии по этой теме, например, [1] («Методы Монте-Карло и модели в финансах и

страховании») и [2] («Применения методов Монте-Карло к финансам и страхованию»),

многие новейшие монографии по количественным методам в финансах и страховании,

посвящают методу Монте-Карло отдельные главы (см., например, гл. 3 «Методы Монте

Карло» в монографии «Моделирование процентных ставок» [3]), результаты научных

исследований по применению метода Монте-Карло для решения разнообразных задач

страхования и финансов регулярно докладываются на научных конференциях и

публикуются в ведущих научных журналах по финансам и страхованию (см., например,

[4], [5]), защищаются диссертации [6]. Эта тема включена в программу [7] актуарных

квалификационных экзаменов Института и Факультета Актуариев Великобритании (курс

CT6, раздел ix)

Однако общие теоретические основы метода имитационного моделирования

применительно к страхованию и финансам в отечественной литературе изложены

недостаточно полно. Цель нашей статьи – восполнить этот пробел.

Основное внимание будет уделено применению метода имитационного

моделирования для анализа рисков в страховании. Алгоритмы моделирования мы будем

записывать на языке Турбо Паскаль, версия 6.0 фирмы Borland. Напомним, что этот язык

содержит средства для генерирования случайной величины U , равномерно

распределённой на интервале 0,1 ; для этого используется встроенная функция random.

Для включения генератора случайных чисел необходимо использовать процедуру

randomize (она задаёт в качестве начального значения датчика случайных чисел показания

системных часов).

2. Моделирование дискретных случайных величин

Рассмотрим простой договор страхования жизни на 1 год со страховой суммой,

зависящей от причины смерти: страховая компания выплачивает сумму 1b руб. в случае

смерти застрахованного во время действия договора от несчастного случая (пусть (1)q –

вероятность этого события) и сумму 2b руб. в случае смерти от естественных причин

(пусть (2)q – вероятность этого события); страховщик не платит ничего, если

застрахованный доживёт до конца срока действия договора (вероятность этого события

равна (1) (2)1p q q ). Размер выплаты по такому договору является случайной

величиной X , которая принимает три значения: 0, 1b и 2b с вероятностями (1),p q и (2)q

соответственно.

Чтобы смоделировать эту случайную величину, разобьём отрезок [0;1] на три

части: (1) (1)

0 1 2[0, ), [ , ), [ ,1]p p p q p q

длиной (1) (2), ,p q q соответственно и сгенерируем случайную величину U , равномерно

распределённую на отрезке [0;1] .

Определим новую случайную величину Y , которая равна 0 , 1b или 2b в

зависимости от того, на какой из отрезков, 0 , 1 или 2 , попадёт точка U :

0

1 1

2 2

0, если

, если

, если .

U

Y b U

b U

Поскольку событие { 0}Y равносильно событию 0{ },U его вероятность равна длине

промежутка 0 , т.е. p . Подобным же образом, (1)

1 1( ) { }Y b U q P P ,

(2)

2 2( ) { }Y b U q P P . Итак, величина Y имеет то же распределение, что и величина

X , т.е. может рассматриваться как её стохастическая копия.

На языке Паскаль эта процедура реализуется следующим составным оператором

(ниже b1=b1, b2=b2, q1=q1, q2=q2):

Begin

randomize;

u:=random;

if u<p then Y:=0 else

if u<p+q1 then Y:=b1 else Y:=b2;

End.

Предположим теперь, что моделируемая случайная величина X принимает

произвольное число дискретных значений 0 1 2, , ,...b b b с вероятностями 0 1 2, , ,...p p p

соответственно. Разобьём отрезок [0;1] на части

0 0 1 0 0 1 0 1 0[0, ), [ , ), ... , [ ... , ... ),...n n np p p p p p p p

длиной 0 1, ,..., ,...np p p соответственно и сгенерируем равномерно распределённую

случайную величину U .

Определим новую величину Y , положив iY b , если iU , т.е. если

0 1 0... ... .i ip p U p p

и покажем, что она совпадает по распределению с величиной X .

Действительно, случайная величина Y величина принимает те же дискретные

значения 0 1, , , ,nb b b , что и величина X . Кроме того, поскольку событие { }iY b

равносильно (по определению) событию { },iU его вероятность равна длине

промежутка ,i т.е. iip X b P . Иначе говоря, i iX b Y b P P , т.е. построенная

нами случайная величина Y является стохастической копией случайной величины X .

На языке Паскаль эта процедура реализуется следующим составным оператором

(ниже p[i]=pi, b[i]=bi):

Begin

randomize;

u:=random;

s:=p[0];

Y:=0;

L2: if u<s then goto L1 ;

Y:=Y+1;

s:=s+p[Y];

goto L2;

L1: Y:=b[Y];

End.

Эта программа может применяться как для моделирования страховых выплат,

принимающих дискретные значения, так и для моделирования числа страховых случаев

за определённый промежуток времени. В последнем случае наибольший интерес

представляют два распределения – пуассоновское и отрицательное биномиальное. Для

этих распределений описанную выше процедуру нужно дополнить операторами, которые

бы вычисляли значения вероятностей .ip

Рассмотрим вначале пуассоновскую случайную величину с параметром . Как

мы знаем,

( ) .!

i

i ei

P

Вероятности !

i

i ei

удобно вычислять по рекуррентной формуле:

1 (если 1)i i ii

с начальным условием

0 .e

Поэтому составной оператор, моделирующий пуассоновскую случайную величину с

заданным параметром , выглядит следующим образом (ниже nu , lambda ):

Begin

randomize;

u:=random;

pi:=exp(-lambda);

s:=pi;

nu:=0;

L2: if u<s then goto L1 ;

nu:=nu+1;

pi:=pi*lambda/nu;

s:=s+pi;

goto L2;

L1:

End.

Пусть теперь имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами

p и , т.е.

( 1) ... ( 1)( ) .

!

iiP i p q

i

Вероятности ( 1) ... ( 1)

!

i

i

ip q

i

удобно вычислять по рекуррентной формуле:

1

1 (если 1)i i

iq i

i

с начальным условием 0 .p Поэтому составной оператор, моделирующий

отрицательную биномиальную случайную величину с заданными параметрами p и

выглядит следующим образом (ниже nu , alpha ):

Begin

randomize;

u:=random;

pi:=exp(alpha*ln(p));

s:=pi;

nu:=0;

L2: if u<s then goto L1 ;

nu:=nu+1;

pi:=pi*(alpha+nu-1)*(1-p)/nu;

s:=s+pi;

goto L2;

L1:

End.

3. Моделирование непрерывных случайных величин

3.1 Обращение функции распределения Основной метод моделирования непрерывных случайных величин базируется на

следующем простом факте.

Пусть функция распределения ( ) ( )F x X x P случайной величины X является

монотонно возрастающей непрерывной функцией, так что на промежутке 0 1y

определена обратная функция 1( ).x F y Тогда случайная величина 1( ),Y F U где U –

случайная величина, равномерно распределенная на 0;1 , распределена так же, как и

величина X , т.е. ( ) ( )Y x F x P .

Действительно,

1( ( ) ) ( ( )) ( ).F U x U F x F x P P

Обратная функция 1( )F y

может быть явно подсчитана для многих непрерывных

распределений, так что соответствующие случайные величины часто моделируются

простыми операторами. Рассмотрим несколько конкретных примеров.

3.1.1 Экспоненциальное распределение. Функция распределения экспоненциальной

случайной величины даётся формулой 1 .xy e Обратная функция есть 1

ln(1 ).x y

Поэтому случайная величина 1

ln(1 ),U

где U равномерно распределена на (0;1) ,

имеет экспоненциальное распределение с параметром . Впрочем, поскольку величина

1 U также равномерно распределена на (0;1) , экспоненциальную величину с параметром

можно получить по формуле 1

ln .U

Хорошо известно, что для пуассоновского процесса с интенсивностью

интервалы 1 2, ,T T между событиями независимы в совокупности и одинаково

распределены по экспоненциальному закону с параметром , а общее число событий,

произошедших на интервале 0;t , имеет распределение Пуассона с параметром t . Эти

свойства позволяют генерировать пуассоновскую случайную величину с параметром

как 1n , где n – первый номер, для которого 1 1nT T . Как мы только что

установили, величины 1 2, ,T T можно генерировать по формулам

1 1 2 2

1 1ln , ln ,T U T U

. Соответственно, пуассоновскую случайную величину с

параметром можно генерировать как 1n , где n – первый номер, для которого

1 nU U e . Этот метод проще метода, описанного в предыдущем разделе, но является

относительно медленным для больших значений (начиная примерно с 15 ).

Экспоненциальное распределение с параметром 0.5 можно рассматривать как

распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы. Иначе говоря, случайная величина

2ln( )U совпадает по распределению с суммой квадратов двух независимых стандартных

гауссовских случайных величин 1Z , 2Z : 2 2

1 22lnU Z Z . Это замечание играет

ключевую роль в методе Бокса-Мюллера для моделирования нормально распределённых

случайных величин (мы расскажем о нём ниже).

3.1.2 Распределение Парето. Функция распределения случайной величины,

имеющей распределение Парето с параметрами и , даётся формулой 1 .yx

Обратная функция есть:

1/(1 ) .x y

Поэтому случайная величина

1/(1 ) ,U

где U – случайная величина, равномерно распределенная на (0;1) , имеет распределение

Парето с параметрами и . Впрочем, поскольку величина 1 U также равномерно

распределена на (0;1) , можно использовать более простое преобразование:

1/ .U

3.2 Моделирование нормально распределённой величины Необходимость моделировать нормально распределённые величины возникает при

изучении стохастических моделей современных финансовых инструментов,

инвестиционных проектов и т.п.

Произвольную нормально распределённую случайную величину Y со средним a и

дисперсией 2 можно получить линейным преобразованием стандартной (со средним 0

и дисперсией 1) нормально распределённой случайной величины Z : Y a Z . Поэтому

достаточно уметь моделировать только такую стандарную величину. Для неё функция

распределения ( ) ( )x Z x P даётся формулой

2

21

( )2

x t

x e dt

.

Ясно, что обратить её в явном виде невозможно. В принципе можно находить 1( )U ,

численно решая уравнение ( )x U , но вычисление значений функции ( )x при

последовательных приближениях потребует значительных вычислительных ресурсов.

Можно просто хранить таблицу значений ( )x с достаточно мелким шагом и находить

1( )U линейной интерполяцией ближайших значений, но для достижения

удовлетворительной точности это требует больших объёмов памяти (впрочем, для

современных компьютеров это вовсе не является проблемой). Кроме того, можно

использовать разнообразные приближённые формулы для 1( )x .

В настоящее время для моделирования стандартной гауссовской величины

основными считаются два метода.

Применение центральной предельной теоремы. Центральная предельная теорема (в

простейшей формулировке) утверждает, что, если 1, , nX X – независимые одинаково

распределённые случайные величины со средним a и дисперсией 2 , при n

функция распределения центрированной и нормированной суммы S na

n

, где

1 nS X X , стремится к функции распределения стандартной гауссовской величины.

Иначе говоря, если взять достаточно большое число независимых и одинако

распределённых случайных величин, то простыми арифметическими операциями можно

получить случайную величину, которая приближённо может рассматриваться как

стандартная нормальная. Поскольку исходный объект в имитационном моделировании –

равномерно распределённая величина, то этот метод приводит к следующей формуле для

моделирования стандартной нормальной величины Z :

1

1

122 3 ,

12

n

n

nU U

Z U U nnn

где случайные величины 1, , nU U – независимые случайные величины, равномерно

распределённые на интервале (0;1) ; напомним, что в этом случае 1

2a ,

2 1

12 .

Если экстремальные значения нормального распределения не очень важны,

достаточная точность достигается при 12n . При этом значении n общая формула

упрощается до

1 12 6.Z U U

Метод Бокса-Мюллера (Box-Muller). Этот метод был предложен G.E.P. Box, Mervin

E. Muller из университета Принстона в статье [8]. Его основная идея заключается в

моделировании не одной, а сразу двух независимых стандартных гауссовских величин

1 2,Z Z и рассмотрении пары 1 2,Z Z Z как точки на координатной плоскости.

Квадрат расстояния от этой точки до начала координат O , 2 2 2

1 2Z Z , имеет

распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы, т.е. экспоненциальное

распределение со средним 2:

2 /2( ) 1 .xP x e

Как мы видели, такую величину легко моделировать по формуле 2lnU (U равномерно

распределена на (0;1) ).

Появление расстояния от точки Z до начала координат естественно наводит на

мысль рассмотреть полярные координаты точки Z , т.е. ввести в рассмотрение угол

[0;2 ) , который вектор OZ образует с положительным направлением оси абсцисс.

Поскольку плотность распределения точки Z , 1 2( , )f x x , является произведением

стандартных плотностей

21

21

2

x

e

и

22

21

2

x

e

, она даётся формулой

2 21 2

21 2

1( , )

2

x x

f x x e

.

Поэтому 1 2( , )f x x сохраняет постоянное значение, равное

2

21

2

r

e

, на окружности

2 2 2

1 2x x r . Следовательно, случайный угол равномерно распределён на промежутке

[0;2 ) . Этот результат легко получить и более формальными рассуждениями, доказав при

этом и независимость случайных величин 2 и .

Будем находить двумерную функцию распределения 2( , )x t P (при

0,0 2x t ). Неравенства 2 ,x t задают на координатной плоскости сектор D

круга с центром в начале координат и радиусом R x , ограниченный положительным

направлением оси абсцисс и лучём 2 1x tx . Вероятность события 2 ,x t равна

интегралу от плотности

2 21 2

21 2

1( , )

2

x x

f x x e

по этой области:

2 21 2

2 21 2

1( , ) .

2

x x

D

x t e dx dx

P

Переходя к полярным координатам, мы получим: 2

2 2

0 0

1( , ) .

2

t x r

x t e rdr dt

P

Внутренний интеграл равен

2

/22

0

1

xr

xe e

.

Поэтому

2 /2 /2

0

1( , ) 1 1 .

2 2

t

x x tx t e dt e

P

Эта формула означает, что случайные величины 2 и независимы, причём

2 имеет

экспоненциальное распределение со средним 2, а – равномерное распределение на

промежутке [0;2 ) . Следовательно, независимы и случайные величины

2

2e

, 2

,

причём, как нетрудно видеть, эти величины равномерно распределены на (0;1) . Мы

запишем этот вывод следующим образом:

2

21

22

e U

U

(1)

Решая эту систему относительно 2 , , мы получим:

2

1

2

2ln

2

U

U

.

Переходя опять к декартовым координатам, мы получим способ Бокса-Мюллера для

моделирования двух независимых стандартных нормальных величин с помощью двух

независимых случайных величин 1 2,U U , равномерно распределённых на (0;1) :

1 1 2

2 1 2

cos 2ln cos 2

sin 2ln sin 2

Z U U

Z U U

(2)

Обобщение метода Бокса-Мюллера – полярный метод [9]. Метод Бокса-Мюллера

элегантен и полученные с его помощью (по формулам (2)) величины 1 2,Z Z имеют в

точности стандартное нормальное распределение (в отличие от метода, основанного на

центральной предельной теореме). Недостатком этого метода является необходимость

вычисления логарифма, квадратного корня, синуса и косинуса, что требует значительных

ресурсов процессора. Существуют различные обобщения метода Бокса-Мюллера, которые

позволяют частично решить эти проблемы. Ниже мы опишем один из них.

Он основан на следующем соображении. Вычисление пары чисел 2cos 2 U и

2sin 2 U фактически означает случайный выбор точки на единичной окружности.

Сделать это можно c помощью следующего простого свойства равномерного

распределения: предположим, что случайная точка X имеет равномерное распределение

на области D , т.е. для любой подобласти A D мы имеем: площадь

( )площадь

AP X A

D .

Выделим в D подобласть *D и рассмотрим условное распределение точки X , при

условии, что она попала в эту подобласть: *P X A X D (здесь *A D – подобласть

выделенной области *D ). Непосредственно по определению условной вероятности мы

имеем:

*

*

* ** *

, площадь / площадь площадь ,

площадь / площадь площадь

X A X D X A A D AX A X D

D D DX D X D

P PP

P P

что и означает равномерность условного распределения.

Теперь возьмём случайную (равномерно распределённую) точку 1 2,X X X на

квадрате 1 1, 1 1x y – её можно моделировать как пару 1 22 1,2 1U U , где, как

обычно, величины 1 2,U U независимы и равномерно распределены на (0;1) . Если эта

точка не попала внутрь единичного круга, т.е. неравенство 2 2

1 2 1X X не выполнено,

отбросим её и выберём ещё одну такую точку (независимо от первой). Первая точка,

попавшая внутрь единичного круга, равномерно распределена на нём. Поэтому и угол ,

образуемый радиус-вектором OX с положительным направлением оси абсцисс, имеет

равномерное распределение (на промежутке [0;2 ) ). Действительно, для (0;2 )t

неравенство t задаёт на координатной плоскости сектор единичного круга,

ограниченный положительным направлением оси абсцисс и лучём 2 1x tx . Поскольку

пара 1 2,X X равномерно распределена на единичном круге, вероятность события t

равна отношению площади этого сектора к площади единичного круга:

/ 2

( ) ,2

t tt

P

что и означает равномерную распределённость на промежутке [0;2 ) .

Полученный результат мы запишем так: 2 U . Теперь случайную (равномерно

распределённую) точку cos ;sin на единичной окружности можно получить с

помощью формул: 1

2 2

1 2

cosX

X X

, 2

2 2

1 2

sinX

X X

. Этот метод заменяет

вычисление синуса и косинуса извлечением квадратного корня. Однако он требует

проведения процедуры отбрасывания точек, не попадающих в единичный круг, что, в

свою очередь, требует на каждом шаге пары величин, равномерно распределённых на

0;1 (в то время как для метода Бокса-Мюллера нужна только одна такая пара).

Вероятность попадания внутрь единичного круга равна 4

, так что до получения точки,

которая нас устроит, потребуется в среднем 4

проб. Это число близко к единице и

потому этот этап не намного увеличивает время вычислений.

Проведённое рассуждение можно уточнить, рассмотрев наряду с углом и

расстояние 2 2

1 2s X X от начала координат до полученной описанным выше методом

случайной точки 1 2,X X на единичном круге. Как мы сейчас покажем, случайная

величина 2s не зависит от и равномерно распределена на (0;1) .

Для доказательства этого факта, как и в методе Бокса-Мюллера, будем находить

двумерную функцию распределения 2( , )s x t P (при 0 1,0 2x t ). Неравенства

2 ,s x t задают на координатной плоскости сектор ;x t

D круга с центром в начале

координат и радиусом R x , ограниченный положительным направлением оси абсцисс

и лучём 2 1x tx . Поскольку пара 1 2,X X равномерно распределена на единичном круге,

вероятность события 2 ,s x t равна отношению площади сектора

;x tD к площади

единичного круга:

2 ( ) / 2

( , ) .2

tx ts x t x

P

Эта формула означает, что случайные величины 2s и независимы, причём 2s имеет

равномерное распределение на (0;1) , а – равномерное распределение на промежутке

[0;2 ) .

В методе Бокса-Мюллера ключевую роль играл следующий результат: случайные

величины

2

2e

, (2 ) независимы и равномерно распределены на (0;1) . В качестве этих

величин в методе Бокса-Мюллера брались 1 2,U U – независимые и равномерно

распределеные на (0;1) величины, получаемые тем или иным генератором

псевдослучайных чисел. Проведённые рассуждения позволяют взять вместо 1 2,U U

величины 2 , (2 )s – именно в этом суть полярного метода. Теперь вместо системы (1)

(как в методе Бокса-Мюллера) мы имеем систему:

2

22

2 2

e s

(3)

откуда:

2 22ln s

Переходя опять к декартовым координатам, мы получим:

2 2

1 22

1 1 2 2

1 2

2 2

1 22

2 2 2 2

1 2

lncos 2ln cos 2

lnsin 2ln sin 2

X XZ s X

X X

X XZ s X

X X

(4)

Равенства (4) вместе с процедурой отбора задают полярный метод для моделирования

двух независимых стандартных нормальных величин с помощью пары независимых и

равномерно распределённых на 1;1 величин 1 2,X X .

3.3 Метод отбора (метод принятия-отклонения – acceptance-rejection

method)

Этот метод позволяет моделировать широкий класс непрерывных случайных

величин, для которых не удаётся обратить функцию распределения. Как и полярный

метод, этот метод базируется на получении равномерного распределения на некоторой

ограниченной двумерной области D как условного равномерного и последующем

переходе от этого двумерного распределения к некоторому одномерному, которое и будет

искомым.

Равномерное распределение на области D мы будем получать уже

использовавшимся методом последовательного отбрасывания точек, равномерно

распределённых в достаточно большом прямоугольнике , содержащем D , до тех пор,

пока очередная точка не попадёт в D . Эта процедура отбора называется «принятие-

отклонение» (acceptance-rejection), но сам термин «метод принятия-отклонения»

(acceptance-rejection method) используется только применительно к методу, который мы

сейчас опишем.

Предположим, что моделируемая случайная величина X с функцией

распределения ( ) ( )F x X x P имеет плотность ( )f x . Рассмотрим множество

( ; ) 0 ( )D x y y f x точек, лежащих под графиком этой плотности и предположим,

что двумерная случайная величина 1 2;X X равномерно распределена в этой области (см.

Рис.1). Тогда её первая координата, 1X , распределена по закону ( )F x . Действительно,

равномерная распределённость точки 1 2;X X в области D влечёт, что вероятность

1X tP события 1X t равна отношению площади криводинейной трапеции

( ; ) ;0 ( )tD x y x t y f x к площади области D . Поскольку площадь 1D ,

можно утверждать, что 1 площадь tX t D P . Последняя площадь, очевидно, равна

( ) ( )

t

f x dx F t

.

( )y f x

tD

a

c

bt

Рис. 1

Этот простой результат сводит задачу моделирования случайной величины с

заданной плотностью ( )f x к задаче моделирования точки 1 2;X X X , которая

равномерно распределена в области D . Особенно просто это сделать в случае, когда

моделируемая случайная величина X ограничена (т.е. a X b для некоторых констант

,a b ) и имеет ограниченную плотность: 0 ( )f x c для некоторого числа c . В этой

ситуации область D является подмножеством прямоугольника

( ; ) | ,0x y a x b y c (именно эта ситуация показана на Рис. 1). Рассмотрим

точку 1 2;X X , равномерно распределённую на этом прямоугольнике; её можно

моделировать как пару 1 2( ) ,b a U a cU , где, как обычно, величины 1 2,U U независимы

и равномерно распределены на (0;1) . Если эта точка лежит выше графика плотности, т.е.

неравенство 2 1X f X не выполнено, отбросим её и выберём ещё одну такую точку

(независимо от первой). Этот процесс отбрасывания точек продолжим до тех пор, пока

точка не попадёт в область ( ; ) ;0 ( )D x y a x b y f x . Как мы знаем, при этом

условии точка 1 2;X X имеет равномерное распределение на D .

Число шагов, , необходимое до попадания точки 1 2;X X в область D , является

геометрически распределённой случайной величиной: 1( ) kP k q p , 1,2,k , где

1 2

площадь 1,

площадь площадь

Dp X X D

P , 1q p . Её среднее значение E равно

1площадь

p .

Если возможные значения моделируемой случайной величины X не ограничены,

то для применения описанного простейшего варианта метода отбора нужно выбрать

достаточно большой промежуток ;a b и пренебречь вероятностью выхода X за его

пределы. Например, если моделируется стандартная нормальная величина, то можно

приближённо считать, что 5 5X (вероятность события | | 5X равна

72 1 (5) 5.7 10 ). Поскольку максимум плотности равен 1

2, площадь

прямоугольника примерно равна 4, так что для получения стандартной нормальной

величины в среднем потребуется примерно 4 отбора.

Однако гораздо эффективнее обход ограничения a X b с помощью следующего

приёма. Предположим, что мы можем найти такую непрерывную монотонно

возрастающую функцию распределения ( )y G x с положительной плотностью

( ) ( )g x G x , что

1. мы можем моделировать случайные величины, распределённые по этому закону

(например, мы можем найти простой способ вычисления обратной функции 1( )x G y );

2. отношение плотности ( )f x моделируемой случайной величины X к ( )g x

ограничено сверху: ( )

.( )

f xc

g x

Рассмотрим двумерную случайную величину 1 2,X X , где 1X и 2X независимы,

1X распределена по закону ( )G x , а 2X равномерно распределена на промежутке 0;1 .

Обычно 1X моделируют как 1

1G U, а 2X – как 2U , где, как обычно, величины 1 2,U U

независимы и равномерно распределены на [0;1] . Точка 1 2,X X лежит в полосе

( ; ) | ,0 1x y x y . В этой же полосе расположен и график функции

( )

( )

f xy

cg x и, значит, и область

( )( ; ) ;0

( )

f xD x y x y

cg x

под этим графиком.

Вероятность того, что точка 1 2,X X попадёт в область D равна

1 1

1 2 2 2 1

1 1

2

, ( )

1 1 ( ) ( ) ( ) .

f X f XX X D X X X x g x dx

cg X cg X

f x f xX g x dx g x dx f x dx

cg x cg x c c

P P P

P

Здесь мы используем тот факт, что случайная величина 2X равномерно распределена на

промежутке 0;1 и потому 2X t t P (для 0 1t ).

Найдём теперь условное распределение величины 1X при условии, что

1 2,X X D , т.е. вероятность 1 1 2| ,X t X X D PP . Непосредственно по

определению условной вероятности мы имеем:

1 1 2

1 1 2

1 2

; ,| , .

,

X t X X DX t X X D

X X D

PP

PP

Знаменатель дроби в правой части последнего равенства мы уже нашли; он равен 1 c .

Числитель равен

1 1

1 2 2 1 2

1 1

; ( ) ( )

1 1 ( ) ( ) ( ).

t t

t t

f X f X f xX t X X X x g x dx X g x dx

cg X cg X cg x

f xg x dx f x dx F t

cg x c c

P P P

Поэтому ( ).F tP Иначе говоря, при условии, что точка 1 2,X X расположена ниже

графика функции ( )

( )

f xy

cg x , т.е. при условии, что выполнено неравенство

1

2

1

f XX

cg X ,

её первая координата, 1X , распределена по закону ( )F t .

В результате мы получаем следующий алгоритм моделирования случайной

величины с заданной плотностью ( )f x (при сделанных предположениях):

1. смоделировать две независимые случайные величины 1X и 2X такие, что 1X

распределена по закону ( )G x , а 2X равномерно распределена на 0;1 ;

2. проверить выполнение условия

1

2

1

f XX

cg X ;

3. если оно не выполнено, то вернуться к шагу 1;

4. если же это условие выполнено, то задача решена: 1X и будет искомой случайной

величиной.

С помощью этого метода можно предложить ещё один способ моделирования

стандартной нормальной величины с плотностью 2 21

( )2

xf x e

. В качестве

вспомогательной плотности ( )g x удобно взять двустороннюю показательную плотность

| |1( )

2

xg x e (распределение Лапласа). Соответствующая функция распределения ( )G x

даётся формулой:

1, для 0;

2( )

11 , для 0.

2

x

x

e x

G x

e x

Поэтому

1

1ln(2 ), для 0< ;

2( )

1ln 2(1 ) , для 1,

2

y y

G y

y y

так что мы без труда смоделируем случайную величину 1X , распределённую по этому

закону.

Теперь проверим ограниченность отношения плотностей:

2

2

2

(| | 1) 2

| |

1

( ) 2 22.

1( )

2

x

x

x

ef x e e

eg x

e

Если в качестве константы c взять точную верхнюю границу, 2e

, то основная функция

( )

( )

f x

cg x, которая используется при отборе, даётся очень простой формулой

2(| | 1) 2xe .

Отметим, что этот метод моделирования стандартной нормальной величины X

можно ещё немного модифицировать и упростить, если отдельно моделировать | |X и

знак X .

4. Анализ модели индивидуального риска

В этом разделе мы покажем, как метод Монте-Карло может быть применён для

анализа простейшей модели страхового портфеля – модели индивидуального риска.

Напомним, что эта модель базируется на следующих упрощающих

предположениях:

анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени (так

что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования

активов) – обычно это один год;

число договоров страхования N фиксировано и неслучайно;

премии полностью вносятся в начале анализируемого периода; никаких

поступлений в течение этого периода нет;

мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем статистические

свойства связанных с ним индивидуальных потерь X .

Отметим, что поскольку не все договоры приводят к страховому случаю, большинство из

случайных величин 1, , NX X , где iX – потери по i му договору, равны нулю. Обычно

предполагается, что случайные величины 1, , NX X – независимы (в частности,

исключаются катастрофы, когда одновременно по нескольким договорам наступают

страховые случаи).

Основной характеристикой этой модели является вероятность разорения, которая

определяется как вероятность R того, что суммарные потери по портфелю

1 NS X X превысят активы компании u : 1( ).NR P X X u

Если нам заданы число договоров страхования N и распределения случайных

величин 1,..., ,NX X описывающих размеры индивидуальных выплат по договорам, то мы

можем смоделировать эти величины и тем самым смоделировать величину суммарных

выплат страховщика за анализируемый период времени 1 ... .NS X X

При заданной величине резервного фонда u с каждым отдельным циклом

моделирования совокупности выплат связана случайная величина , равная 1 или 0 в

соответствии с тем, S u или S u (т.е. в соответствии с тем, «разорилась» компания

или нет). Если ( )R S u P – вероятность разорения страховщика за рассматриваемый

промежуток времени, то

( 1) , ( 0) 1 .R R P P

Произведём большое число K независимых циклов моделирования. Они приведут

к определённым значениям 1 2, , , K индикатора события «компания разорилась». Для

каждой из случайных величин i мы имеем:

( 1) ,

( 1) ( 0) (1 ).

i i

i i i

R

R R

E P

Var P P

Поэтому суммарное число «разорений» 1 ... K имеет среднее K KR E и

дисперсию (1 ).K KR R Var Соответственно, среднее арифметическое число

«разорений» после K циклов моделирования, 1 ... KRK

, имеет математическое

ожидание R и дисперсию (1 )

.R R

K

При больших значениях K дисперсия будет мала.

Поэтому случайная величина R будет мало отличаться от своего среднего значения R и,

значит, R можно рассматривать как приближённое значение неизвестной вероятности

разорения R .

По мере роста числа циклов моделирования оценка R флуктуирует с затухающей

амплитудой вокруг точного значения R ; иначе говоря, погрешность в определении

вероятности разорения уменьшается. Простейший вывод о величине этой погрешности

можно получить следующим образом. В силу центральной предельной теоремы величина

1 ...

(1 ) (1 )

K KR R RK

KR R R R

имеет стандартное нормальное распределение. Поэтому практически достоверно можно

считать, что

3.29 3.29(1 )

R RK

R R

(точнее говоря, вероятность этого события равна 99.9%).

Следовательно, практически достоверно неизвестное значение R лежит в

интервале

(1 ) (1 )3.29 , 3.29 .

R R R RR R

K K

Границы этого интервала выражены через неизвестную вероятность R , но на практике

здесь можно заменить величину R её оценкой R . Последнее соотношение, кроме того,

показывает, что для уменьшения относительной погрешности в 10 раз мы должны

увеличить число циклов моделирования в 100 раз.

5. Анализ модели коллективного риска

Так же как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного риска

анализируется относительно короткий промежуток времени и предполагается, что премии

полностью вносятся в начале анализируемого периода. Однако, в отличие от модели

индивидуального риска, в модели коллективного риска весь портфель заключённых

договоров страхования рассматривается как единое целое, без различения отдельных

составляющих его договоров. Соответственно, наступающие страховые случаи не

связываются с конкретными договорами, а рассматриваются как результат суммарного

риска страховщика. Отсюда следует, что основной характеристикой портфеля является не

число заключённых договоров N , а общее число страховых случаев за анализируемый

период. Ясно, что является случайной величиной.

Второе важное отличие модели коллективного риска от модели индивидуального

риска заключается в том, что предполагается одинаковая распределённость случайных

величин 1 2, ,Y Y , описывающих величины потерь вследствие последовательных

страховых случаев. Это предположение означает опредёленную равноценность страховых

случаев, связанную с тем, что они рассматриваются как следствие общего риска

компании, а не индивидуальных договоров с их специфическими особенностями. Кроме

того, важно подчеркнуть, что случайные величины iY описывают только реальный ущерб

и поэтому в отличие от величин jX , фигурирующих в модели индивидуального риска,

строго положительны.

В теории коллективного риска также обычно предполагается, что число страховых

случаев и потери после наступления страховых случаев независимы в совокупности. Это

довольно естественное предположение, т.к. частота наступления страховых случаев и их

тяжесть в большинстве реальных ситуаций зависят от разных факторов.

Так же как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного риска

«разорение» определяется суммарными выплатами S страховой компании. Однако

теперь S записывается в виде 1 ... ,S Y Y т.е. является суммой случайного числа

случайных слагаемых, и поэтому в модели коллективного риска вероятность разорения

страховщика определяется как

1{ ... },R P Y Y u

где, как и в модели индивидуального риска, u – активы страховщика. Следует отметить,

что в рамках модели коллективного риска (так же, как и для модели индивидуального

риска) нельзя ответить на многие практически важные вопросы. Например, нельзя

оценить момент разорения, величину недостающего капитала в этот момент и т.д.

Многочисленные исследования показали, что реальные данные из практики

страхования о числе страховых случаев за фиксированный промежуток времени хорошо

описываются с помощью пуассоновского (если портфель состоит из однородных рисков)

или отрицательного биномиального распределения (если портфель неоднороден) – этот

факт тесно связан с моделированием процесса наступления страховых случаев как

пуассоновского процесса.

Если имеет распределение Пуассона:

( ) ,!

i

P i ei

или отрицательное биномиальное распределение:

( 1) ( 1)( ) (1 ) ,

!

iiP i p p

i

то распределение случайной величины S называется составным пуассоновским

(соответственно, составным отрицательным биномиальным).

Для распределения размеров индивидуальных страховых возмещений iY имеется

гораздо больше возможностей, но всё же класс возможных распределений не слишком

широк (дискретные распределения, экспоненциальное распределение, распределение

Парето, гамма-распределение и, возможно, ещё 3-4 типа распределений). Особенно важен

случай, когда iY принимают дискретные значения. В сущности, этот частный случай

покрывает все реальные ситуации, так как на практике страховые возмещения обычно

измеряются целыми рублями (или даже округляются до сотен или тысяч рублей).

Если нам заданы:

1. распределение i числа страховых случаев за анализируемый промежуток

времени;

2. (общее) распределение ( )F x случайных величин 1 2, ,...,Y Y описывающих размер

ущерба после наступления 1,2, страхового случая,

то мы можем смоделировать эти величины и тем самым смоделировать величину

суммарных выплат страховщика 1 ... .S Y Y

Пусть u – размер резервов страховщика, предназначенных для выплат по

анализируемому портфелю договоров. Как и при имитационном моделировании модели

индивидуального риска, с каждым отдельным циклом моделирования модели

коллективного риска связана случайная величина , равная 1 или 0 в соответствии с тем,

S u или S u (т.е. в соответствии с тем, «разорилась» компания или нет).

Как и при имитационном моделировании модели индивидуального риска, проведём

большое число K циклов моделирования. Они дадут определённые значения 1 2, ,..., K

индикатора события «компания разорилась». Подсчитав среднее арифметическое

1 ... KRK

, мы получим приближённое значение вероятности разорения.

В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Предположим, что

ежемесячное число пожаров среди застрахованных объектов описывается пуассоновским

распределением со средним 9, а величина ущерба при пожаре имеет

экспоненциальное распределение со средним m=1 (мы принимаем средний убыток по

одному страховому случаю в качестве единицы измерения денежных сумм). Оценим

вероятность разорения, если резервный фонд равен u=21.

Ниже приведён текст программы моделирования для решения этой задачи.

Program Problem3(Input,Output);

Label

L1,L2;

Const

u=21; lambda=9; m=1;

Var nu, k, j: longint;

r, ur, pi, s, y: real;

Begin

randomize;

r:=0;

for k:=1 to 1000000 do

begin

ur:=random;

pi:=exp(-lambda);

s:=pi;

nu:=0;

L2: if ur<s then goto L1;

nu:=nu+1;

pi:=pi*lambda/nu;

s:=s+pi;

goto L2;

L1: s:=0;

for j:=1 to nu do

begin

y:=-m*ln(random);

s:=s+y;

end;

if s>u then r:=r+1;

if int(k/100000)*100000=k then writeln(k,r/k:9);

end;

End.

Типичный результат работы этой программы приведён в следующей таблице:

10000 9.67E-3

20000 9.60E-3

30000 9.80E-3

40000 9.82E-3

50000 9.77E-3

60000 9.83E-3

70000 9.84E-3

80000 9.87E-3

90000 9.83E-3

100000 9.79E-3

По результатам 1000000K циклов моделирования абсолютная погрешность в

определении R (с доверительной вероятностью 99.9%) не превосходит

4(1 ) (1 )3.29 3.29 3.29 10 .

R R R R

K K

Поэтому мы можем утверждать, что 0.946% 1.012%.R Отметим, что альтернативный

метод расчёта, гамма-аппроксимация третьего порядка, даёт для вероятности разорения

значение 1% [10].

Литература

1. R.Korn, E.Korn, G.Kroisandt. Monte Carlo Methods and Models in Finance and Insurance.

Chapman & Hall/CRC Press Financial Mathematics Series, 2010. ISBN: 978-1-4200-7618-9

2. Thomas N. Herzog, Graham Lord. Applications of Monte Carlo Methods to Finance and

Insurance. Actex Publications Inc., 2003. ISBN: 978-156698-433-1.

3. Leif B.G. Andersen, Vladimir V. Piterbarg. Interest Rate Modeling. Atlantic Financial Press,

London-New York, 2010. ISBN: 978-0-9844221-0-4

4. Rodrigo S. Targino, Gareth W. Peters, Pavel V. Shevchenko. Sequential Monte Carlo

Samplers for capital allocation under copula-dependent risk models. Insurance: Mathematics

and Economics, 2015, vol.61, pp. 206-226.

5. Michael B. Giles. Multilevel Monte Carlo for Basket Options. Proceedings of the 2009

Winter Simulation Conference, M. D. Rossetti, R. R. Hill, B. Johansson, A. Dunkin, and R. G.

Ingalls, eds. IEEE, 2009, pp. 99 – 118.

6. Mark J. Cathcart. Monte Carlo Simulation Approaches to the Valuation and Risk Management

of Unit-Linked Insurance Products with Guarantees. Thesis submitted for the degree of Doctor

of Philosophy. School of Mathematical and Computer Sciences, Heriot-Watt University, June

2012.

7. Subject CT6. Statistical Methods – Core Technical. Syllabus for the 2016 Examinations.

Institute and Faculty of Actuaries. 1 June 2015.

8. G.E.P. Box, Mervin E. Muller. A note on the generation of random normal deviates. The

Annals of Mathematical Statistics, 1958, v. 29, No.2, pp. 610-611.

9. G. Marsaglia, T. A. Bray. A Convenient Method for Generating Normal Variables. SIAM

Review, 1964, vol. 6, No. 3, pp. 260-264.

10. Г.И.Фалин. Математический анализ рисков в страховании. Российский юридический

издательский дом. Москва, 1994. ISBN 5-88635-003-0

11. Ralph W. Baily. Polar generation of random variates with the t-distribution. Mathematics of

Computation, 1994, vol. 62, number 206, pp. 779-781.

12. Krzysztof Burnecki, Rafal Weron. Simulation of risk processes. Munich Personal RePEc

Archive, Paper No. 25444, posted 27 September 2010.

13. U. Dieter, J.H. Ahrens. Acceptance-rejection for sampling from the gamma and beta

distributions. Technical report No.83, 29 May 1974, Department of Statistics, Stanford

University.