תרגולים ־ המחשב למדעי לוגיקה

פומרנץ∗ ניצן

2015 ביוני 17

במודל הקורס: אתרwww.cs.tau.ac.il/~shpilka/teaching ל־ גם ייועלו התרגילים הראשון בשבועבמייל) החומר על שאלות לשלוח (לא liron.cohen@math.tau.ac.il כהן: לירון

במייל. מראש לתאם .209 תוכנה הנדסת ,12:30 ראשון ימי לירון: של קבלה שעתהבית. תרגילי כולל הכל על שם לדון אפשר פורום; יש במודל הקורס באתר

הפרדיקטים. ותחשיב הפסוקים תחשיב מרכזיים: חלקים לשני מתחלק הקורסשווה. או מוכל מסמן ⊂ הרשימות: לגבי הערות

עניינים תוכן

1 מבוא I

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אינדוקטיבית הגדרה 1 1 תרגול2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . מבנית באינדוקציה הוכחה 1.1

3 הפסוקים תחשיב II

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . WFF / פסוק / חוקית נוסחה 2 18.3.15 ־ 2 תרגול4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הצרנה 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . פונקציונלית שלמות 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . סמנטיקה 5 25.3.15 ־ 3 תרגול7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HPC הוכחה מערכת 6 30.3.15 ־ 4 תרגול7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הדדוקציה משפט 6.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . עקביות 6.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אחרות הוכחה מערכות 7 15.4.15 ־ 5 תרגול11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . גדירות 8 29.4.15 ־ 6 תרגול

14 הפרדיקטים תחשיב III 6.5.15 ־ 7 תרגול15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ותקפות ספיקות 9 13.5.15 ־ 8 תרגול16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הצרנות 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . אוניברסלי סגור 11 18.5.15 ־ 9 תרגול

עד וולק, לי (בןהקורס) סוף

17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PNF בצורת פסוקים 12

־ 10 תרגול25.5.15

19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . הצרנות המשך 13

3.6.15 ־ 11 תרגול

20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . תקפות בדיקת 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . שוויון סימן עם מילון 1522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HC הוכחה מערכת 16

www.cs.tau.ac.il/~pomerantz∗

1

I חלק

מבוא

אינדוקטיבית הגדרה 1 1 תרגול

.f : An → A מהצורה היא f ∈ F שלכל כך ,F פונקציות קבוצת הבסיס. B ⊂ A A־העולם.

המקיימת: המינימלית הקבוצה היא (XB,F ) F לפי B של הסגור 1.1 הגדרה

B ⊂ XB,F .1

־ F תחת סגורה .2

∀f ∈ F, x1, ..., xn ∈ XB,F ⇒ f(x1, ..., xn) ∈ XB,F

כאשר: F = {f1, f2} ,B = {ε, st, ts} .s, t מעל הסופיות המילים קבוצת היא A = {s, t}∗ דוגמא: 1.0.0.1

f1(w1, w2) = sw1w2t

f2(w1, w2) = w1w2w1

?a ∈ XB,F ש־ מוכיחים איך ?XB,F ב־ יש מה

a ∈ XB,F ⇐⇒ a has a creation sequence from B in F

שתיים: נראה להוכיח. בשביל אחת להראות מספיק יצירה. סדרות אינסוף יש .st ∈ XB,F

st .1 atom−− − −−−ε .1 atomst .2 f1(ε, ε)

sttsst ∈ XB,F נוספת: מילה

ts .1 atomst .2 atom

sttsst .3 f2(st, ts)

?a /∈ XB,F ש־ מוכיחים איך .sst /∈ XB,F שאיבר להראות נרצה כעת

XB,F ⊂ T ⊂ A

אותה. מקיים אינו הספציפי והאיבר אותה מקיימים בסגור האיברים שכל ,T תכונה נחפש :a /∈ T אבלנגדיר

T ={w ∈ {s, t}∗ | |w| is even

}

1

מבנית באינדוקציה הוכחה 1.1

המקיימות: T ,XB,F יהיו

B ⊂ T .1

f(a1, ..., an) ∈ T אז a1, ..., an ∈ T אם f ∈ F לכל .2

.XB,F ⊂ T אזי

זוגי. באורך המילים שכל מבנה באינדוקצית נוכיח.B ⊂ T אז |ε| = 0, |st| = |ts| = 2 אם הבסיס:

|w1| = 2n, |w2| = 2mש־ כך n,m ∈ N קיימים כלומר ,w1, w2 ∈ T נניח|w| = |s|+|w1|+|w2|+|t| = 1+2n+2m+1 = 2(n+m+1) ולכן w = sw1w2t אז w = f1(w1, w2) אם

זוגי מאורך כלומר ־־ |w| = |w1|+ |w2|+ |w1| = 2n+ 2m+ 2n = 2(2n+m) ולכן w = w1w2w1 אז w = f2(w1, w2) אם

זוגי מאורך כלומר

כאשר: F = {f}ו־ B = {aa} ,A = {a, b}∗ כעת דוגמא: 1.1.0.2

f(w) =

{aawb w starts with a

bbwa else

נסמן: מבנית. אינדוקציה בעזרת שלא נוכיח ?bba?∈ XB,F האם

T ={w ∈ {a, b}∗ |w starts with a

}.aב־ מתחיל aa הבסיס:

.aב־ מתחילה w1 כלומר ,w1 ∈ T נניחוסיימנו. .w = aaw1b ולכן aב־ w1מתחילה האינדוקציה הנחת לפי :w = f(w1)

?aaaabbbb /∈ XB,F האם

S = {w ∈ {a, b}∗ |#a(w) > #b(w)}

.2 > 0 .aa הבסיס:.#a(w) > #b(w) כלומר ,w1 ∈ S נניח

;w = aaw1b אז aב־ מתחילה w1 אם :w = f(w1):w1 על האינדוקציה הנחת לפי

#a(w) = 2 + #a(w1) > 1 + #b(w1) = #b(w)

עובד! לא ־ w = bbw1a אז bב־ מתחילה w1 אםXB,F ⊂ S ∩ T ⊂ S ההנחה את לחזק צריך

2

II חלק

הפסוקים תחשיב

WFF / פסוק / חוקית נוסחה 2 18.3.15 ־ 2 תרגול

על:

{Pi | i ∈ N} ∪ {¬,∧,∨,→,⇔, (, )}

אינדוקטיבי: באופן חוקית נוסחה נגדיר

חוקית. נוסחה הוא אטומי פסוק כל •

◦ ∈ {∧,∨,→,⇔} כאשר (α ◦ β) ,(¬α) גם: אז חוקיות נוסחאות α, β אם •

האם דוגמא: 2.0.0.3

(P3 → (P2 ∨ (¬P1)))

חוקית? נוסחהP3 .1P2 .2P1 .3

(¬P1) .4(P2 ∨ (¬P1)) .5

(P3 → (P2 ∨ (¬P1))) .6

⇒

P3 ∨

P2 ¬

P1

חוקית? נוסחה (P!P2 →) האם דוגמא: 2.0.0.4

קשר. מופיע אטומיים פסוקים שני כל בין חוקית, בנוסחה 2.1 טענה

ריק. באופן מתקיימת הטענה :α = β בסיס: מבנית); (באינדוקציה הוכחה:למקרים: נפריד .β, γ נוסחאות עבור הטענה את נניח

קשר. ביניהם יש ,β על האינדוקציה הנחת ולפי βב־ הם αב־ אטומיים פסוקים שני כל :α = (¬β) אם •

.αב־ אטומיים פסוקים שני יהיו :α = (β ◦ γ) אם •

קשר. ביניהם יש האינדוקציה הנחת לפי ,(γב־) βב־ שניהם אם –

.◦ ביניהם יש γב־ והשני βב־ אחד אם –

חוקית. נוסחה אינו ולכן הנ"ל, התכונה את מקיים אינו (P1P2 →) הביטוי

3

הצרנה 31.(q) להרצאה אבוא לא ,(p) גשם ירד מחר אם .1

p→ ¬q

.(b) הבית תרגילי את אעשה אם רק (a) בבחינה אצליח .2

a→ b

ותוצאה סיבה של במובן בהכרח לא היא הגרירה ולכן זמן, של משמעות שום מסתיר לא הלוגית הגרירה קשרזמן. לאורך

הטענה את להצרין לנסות כדאי הטענה. של הצורה את נאבד אז אבל (¬b→ ¬a) על גם להסתכל אפשרהטענה. לניסוח דומה באופן

.(q) אאחר ,(p) עכשיו אצא לא אם .3

¬p→ q

אאחר. לא עכשיו, אצא אם לטענה: הנ"ל הטענה בין גדול דמיון שיש לב נשים

p→ ¬q

שהוא חושבים שאנו למה אותו לתרגם ולא כתוב שהוא כפי למשפט להיצמד מומלץ לגמרי! אחרת הצרנה וזואומר.

מורכב: טיעון .4

.(c) עכשיו פה היה הוא ,(b) בזמן יצאה והרכבת (a) לתחנה הגיע יוסי אם •

(a ∧ b)→ c

עכשיו. כאן אינו אך לתחנה הגיע יוסי •

a ∧ ¬c

בזמן. יצאה לא שהרכבת מכאן, •

(a ∧ b)→ c, a ∧ ¬c |= ¬b

פונקציונלית שלמות 4

פונקציונלית שלמה {¬,∧,∨}כי פונקציונלית, שלמה {¬,∧}

α ∨ β ≡ ¬ (¬α ∧ ¬β)

בהרצאה. שנראו סוגריים השמטת כללי לפי ־ סוגריים נשמיט 1מעתה

4

↓ חדש דו־מקומי קשר נגדיר תרגיל: 4.0.0.5

p q p ↓ qt t ft f ff t ff f t

אחרת: פונקציונלית שלמה קבוצה בעזרתו נבנה פונקציונלית. שלמה ,{↓} כי הוכח

¬α ≡ α ↓ αα ∧ β ≡ (¬α) ↓ (¬β) ≡ (α ↓ α) ↓ (β ↓ β)

אותנו. מעניין לא זה אבל למשל, ו־∧ ¬ בעזרת ↓ את לבנות היא נפוצה טעות 4.1 הערה

פונקציונלית. שלמה אינה {∧,⇔} הקבוצה כי הוכח תרגיל: 4.0.0.6הנוסחה את מקיימת שלא אמת טבלת יש אך לקיים, חייבות האלה הקשרים מעל הנוסחאות שכל תכונה נחפש

הזאת.

.t תקבל הנוסחה גם ,t יקבלו האטומיים הפסוקים כל בה השמה בכל ,{∧,↔} מעל חוקית נוסחה בכל 4.2 טענה

.{∧,↔} הנתונים: בקשרים רק כשמשתמשים מבנית, באינדוקציה ׁׁׁׁׁההוכחה הוכחה:

אי הזאת האמת טבלת את .f ומחזירה t רק מקבלת בטבלה מסוימת שבשורה כלשהי אמת טבלת ניקח כעתהטענה. לפי ,{∧,↔} הקשרים בעזרת לממש אפשר

סמנטיקה 5 25.3.15 ־ 3 תרגול

v |= α ונסמן v(α) = t אם α פסוק מספקת v השמה •

את המספקת השמה יש אם ספיקה תיקרא פסוקים (קבוצת אותו המספקת השמה יש אם ספיק יקרא פסוק •בה) הפסוקים כל

(|= α) אותו מספקת השמה כל אם טאוטולוגיה יקרא פסוק •

אותו המספקת השמה אין אם סתירה יקרא פסוק •

מלמעלה) (דיבור המטה־שפה לבין הפסוקים תחשיב בתוך השימוש בין להבדלים לב לשים חשובסתירה. ¬α טאוטולוגיה α אם אבל אותו. מספקת שלא השמה שיש אומר זה טאוטולוגיה אינו αש־ נאמר אם

דואליים. מושגים הם וסתירה ספיקות דואליים. מושגים אינם וסתירה טאולוגיה כלומר

(α ≡ β) v(α) = v(β) השמה לכל אם שקולים נקראים α, β פסוקים •

(Γ |= α) מסתפקת α גם מסתפקת, Γ בה השמה בכל אם Γ פסוקים מקבוצת נובע α פסוק •

{a, b} |= c כמו זה a, b |= c כלומר לסימן. משמאל הפסוקים כל של היא נביעה תמיד 5.1 הערה

נכונה. לא או נכונה היא האם לומר נוכל ועליה טענה, זוהי הפסוקים. תחשיב בשפת אינה a |= b 5.2 הערה

דוגמאות: 5.0.0.7

טאוטולוגיות

α ∨ ¬α .1

α↔ α .2

α→ α .3

5

סתירות

.1

¬ (α ∨ ¬α) ≡︸︷︷︸Demorgan

¬α ∧ ¬¬α ≡︸︷︷︸¬¬α≡α

¬α ∧ α ≡︸︷︷︸comm,

α ∧ ¬α

α↔ ¬α .2

סתירה לא →α))))־ ¬α .3

α, α↔ β |= β נביעות 5.0.0.8כן מסתפקת? ¬p, q → r, q ∨ p |= ¬p הנביעה האם

תכונות:

α |= α רפלקסיביות: .1

Γ ⊂ Γ′, Γ |= α⇓

Γ′ |= αמונוטוניות: .2

תחשיב בשפת פסוק הוא (α ∧ β) → γ לא! ?(α ∧ β) → γ כמו דבר אותו אומר α, β |= γ האם 5.3 הערהבמטה־שפה. הוא |= משמעות. שום לו אין ולבדו הפסוקים,

(בתרגיל טאוטולוגיה. (α ∧ β)→ γ אמ"מ מתקיימת α, β |= γ הבא: באופן משמעות השני לפסוק לתת נוכלבית)

שמספקת השמה בכל נכון הוא בפרט לכן השמה. בכל נכון ־ טאוטולוגיה הוא ימין צד ?p, ¬q |= r ∨ ¬r האםהריקה". "מהקבוצה דבר, מכל נובעת טאוטולוגיה ההנחות. את

טאוטולוגיה. כל ועבור טאוטולוגיה, T עבור רק נכון להיות יכול r ∨ ¬r |= Tספיקה לא מקבוצה יותר כללי באופן או .¬p וגם p את שמספקת השמה אף אין כי ,q לכל נכון p, ¬p |= q

דבר. כל נובע

ספיקה. אינה Γ ∪ {¬α} אמ"מ Γ |= α 5.4 טענה

כלומר, .v |= Γ∪{¬α}ש־ כך v השמה קיימת לכן, ספיקה. Γ∪{¬α} כי בשלילה נניח .Γ |= α נניח :⇐ הוכחה:.α את גם לספק אמורה Γ את שמספקת השמה כל כי לנביעה, סתירה וזוהי ־ v��|=α ואז v |= ¬α וגם v |= Γ

אבל v |= ¬α לכן v��|=α בשלילה נניח .Γ את המספקת השמה v תהא ספיקה. אינה Γ ∪ {¬α}ש־ נניח :→להנחה. בסתירה ,v |= Γ ∪ {¬α} אז

P0 → (A→ B) אם כי הוכח .P0 יחיד משותף אטומי פסוק להן שיש נוסחאות A,B תהיינה תרגיל: 5.0.0.9בשלילה נניח טאוטולוגיה. P0 → (A→ B) נניח הוכחה: טאוטולוגיה. P0 → B או P0 → ¬A אז טאוטולוגיה,

ש־ כך v1, v2 השמות קיימות לכן, טאוטולוגיה. לא P0 → B וגם טאוטולוגיה לא P0 → ¬A

v1��|=P0 → ¬A v2��|=P0 → B⇓ ⇓

v1 |= P0 v2 |= P0

v1 |= A v2��|=B

:v חדשה השמה נגדיר

v(q) =

v1(q) q appears in A

v2(q) q appears in B

t else

בסתירה. v��|=P0 → (A→ B) כלומר .v(B) = fו־ v(A) = v1(A) = t ,v(P0) = t ואז

6

HPC הוכחה מערכת 6 30.3.15 ־ 4 תרגול

α→ (β → α) :A1

(α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)) :A2

(¬β → ¬α)→ (α→ β) :A3

α α→ββ :MP

במבנה ורק שיכיח, ראינו שכבר מה את רק להציב אפשר MP ב־ דבר. כל להציב אפשר באקסיומות 6.1 הערההמתאים.

תרגיל: 6.0.0.10

α→ β, β → γ `HPC

α→ γ

2

Γ α→ β (1)

Γ β → γ (2)

A2 (α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)) (3)

A1 (β → γ)→ (α→ (β → γ)) (4)

MP2,4 α→ (β → γ) (5)

MP3,5 (α→ β)→ (α→ γ) (6)

MP1,6 α→ γ (7)

הדדוקציה משפט 6.1

Γ `HPC

α→ β ⇐⇒ Γ, α `HPC

β

ש־ הקודם בתרגיל להראות מספיק הדדוקציה, משפט פי על

α→ β, β → γ, α `HPC

γ

Γ α (1)

Γ α→ β (2)

Γ β → γ (3)

MP1,2 β (4)

MP3,4 γ (5)

שראינו הדדוקציה משפט הוכחת כן, פי על אף לא. וזו קונסטרוקטיבית הקודמת שההוכחה לב נשים 6.2 הערהבנייה. לראות שמאפשר אלגוריתם ומתארת קונסטרוקטיבית הייתה

הנחות Γב־ 2נסמן

7

באקסיומה: A3 החלפת ידי על HPCמ־ המתקבלת המערכת HPC∗ תהי תרגיל: 6.1.0.11

(¬β → ¬α)→ ((¬β → α)→ β) :A∗

(Γ `HPC

ϕ ⇐⇒ Γ `HPC∗

ϕ) שקולות HPC∗ו־ HPC כי הוכח

`HPC

A∗ 6.3 למה

ש־ להראות מספיק הדדוקציה, משפט לפי הוכחה:

¬β → ¬α,¬β → α `HPC

β

Γ ¬β → ¬α (1)

Γ ¬β → α (2)

A3 (¬β → ¬α)→ (α→ β) (3)

MP1,3 α→ β (4)

A3 (¬β → ¬¬α)→ (¬α→ β) (5)

`HPC

α→ ¬¬α α→ ¬¬α (6)

α→ β, β → γ `HPC

α→ γ(2, 6) ¬β → ¬¬α (7)

MP5,7 ¬α→ β (8)

Γ `HPC

α→ β ⇒ Γ, α `HPC

β

Γ `HPC

¬α→ β ⇒ Γ,¬α `HPC

β

.Γ `HPC

β ־ בכיתה שהוכחנו מקרים) לפי ההוכחה (משפט הדיכוטומיה משפט לפי ואז

את כתבנו כאילו אחרות, טענות בתוך שהוכחנו טענה בכל להשתמש אפשר הזה, בתרגיל שעשינו כפי 6.4 הערההמתאים. במקום שורות אותן

`HPC∗

A3 6.5 למה

ש־ להראות מספיק הוכחה:

¬β → ¬α, α `HPC∗

β

(בדקו!). HPC∗ עבור גם נכונה היא אז MP ו־ A1, A2ב־ רק משתמשת הדדוקציה משפט של שההוכחה בגלל

Γ ¬β → ¬α (1)

Γ α (2)

A∗ (¬β → ¬α)→ ((¬β → α)→ β) (3)

MP1,3 (¬β → α)→ β (4)

A1 α→ (¬β → α) (5)

MP2,5 ¬β → α (6)

MP4,6 β (7)

הלמות. משתי מיידי התרגיל: של הוכחה:

8

עקביות 6.2

ש־ כך β פסוק קיים אם F הוכחה במערכת עקבית נקראת Γ פסוקים קבוצת 6.6 הגדרה

Γ��̀Fβ

. Γ `HPC

¬α וגם Γ `HPC

αש־ כך α פסוק קיים לא אם ורק אם HPCב־ עקבית Γ 6.7 משפט

.HPCב־ עקבית אינה Γ ∪ {ϕ} אם ורק אם Γ `HPC

¬ϕ תרגיל: 6.2.0.12

לכן ־ (רפלקסיביות) Γ, ϕ `HPC

ϕ וגם (מונוטוניות) Γ, ϕ `HPC

¬ϕש־ ברור אז .Γ `HPC

¬ϕ נניח :⇐ הוכחה:

.HPCב־ עקבית אינה Γ ∪ {ϕ}.Γ `

HPC

¬ϕ לכן ־ Γ,¬ϕ `HPC

¬ϕו־ Γ, ϕ `HPC

¬ϕ .HPCב־ עקבית אינה Γ ∪ {ϕ} נניח :⇒

אחרות הוכחה מערכות 7 15.4.15 ־ 5 תרגול

הפסוקים תחשיב עבור כלשהי הוכחה מערכת F תהי

.Γ 0Fαש־ כך α פסוק קיים אם F ב־ עקבית היא Γ קבוצה 7.1 הגדרה

הפרך: / הוכח 7.0.0.13

נאותה. F אז ,F ב־ עקבית φ אם .1

נאותה לא היא עקבית. היא לכן 0FP1 מתקיים .3P0 אחת ואקסיומה היסק, כללי בלי מערכת ניקח נפריך:

טאוטולוגיה). אינה P0) 2 P0 אבלF̀P0ש־ מכיוון

.F ב־ עקבית ∅ אז נאותה F אם .2

טאוטולוגיה P0 כי נקבל מהנאותות אז אבל .F̀P0 בפרט, לכן .F ב־ עקבית אינה φ בשלילה נניח הוכחה:

סתירה. כמובן וזו

HPC את המכילה המערכת S תהי .� חדש מקומי חד קשר הפסוקים תחשיב לשפת נוסיף תרגיל: 7.0.0.14הבאים: בתוספת

�α→ α :B1

� (α→ β)→ (�α→ �β) :B2

�α→ ��α :B3

היסק: וכלל

4α

�α

כי נתון :⇒ הוכחה: Γ `S �α→ β אם ורק אם Γ, α `S β הוכח:

Γ `S �α→ β

�α→ β (1)

assum. α (2)

42 �α (3)

MP1,3 β (4)

אחר. משהו שמייצג משתנה ולא אטומי איבר בהכרח הוא P0 ־ עתה עד מוסכמות 3לפי

9

נניח :⇐

Γ, α `S β

ש־ באינדוקציה נראה .Sב־ Γ ∪ {α} מתוך ϕ1, ..., ϕn = β הוכחה סדרת קיימת לכן

Γ `S �α→ ϕi

אקסיומה: ϕ1 אם בסיס:

axiom/assum. ϕ1 (1)

A1 ϕ1 → (�α→ ϕ1) (2)

MP1,2 �α→ ϕ1 (3)

:ϕ1 = α אם

B1 �α→ α

.i < n עבור האינדוקציה טענת את נניח

הבסיס. מקרה כמו מטופל הנחה; או אקסיומה ϕn אם •

:MP ע"י (i, j < n) ϕi, ϕj = ϕi → ϕnמ־ מתקבל ϕn אם •Γ `S �α→ (ϕi → ϕn) , Γ `S �α→ ϕi האינדוקציה: הנחת לפי

induction hyp. �α→ ϕi (1)

” �α→ (ϕi → ϕn) (2)

A2 (�α→ (ϕi → ϕn))→ ((�α→ ϕi)→ (�α→ ϕn)) (3)

2×MP... (4)

�α→ ϕn (5)

:4 ע"י (i < n) ϕiמ־ התקבל ϕn = �ϕi אם •.Γ `S �α→ ϕi האינדוקציה, הנחת לפי

induction hyp. �α→ ϕi (1)

41 � (�α→ ϕi) (2)

B2 � (�α→ ϕi)→ (��α→ �ϕi) (3)

MP2,3 ��α→ �ϕi (4)

B3 �α→ ��α (5)

trans. �α→ �ϕi (6)

:ϕ ∈ Γ שלכל כך v1, v2 השמות שתי יש אם חצי־ספיקה נקראת Γ פסוקים קבוצת תרגיל: 7.0.0.15

v1 � ϕ or v2 � ϕ

ספיקה. חצי Γ של סופית תת־קבוצה כל אם ורק אם ספיקה חצי Γ כי הוכח

צריך הבניה. היא המהותית הנקודה הקומפקטיות. למשפט הקשורים זה, בסגנון רבים תרגילים יש 7.2 הערההקומפקטיות. משפט את להפעיל נוכל אז בשאלה. המדוברת התכונה את שתחקה פסוקים, קבוצת לבנות

10

ספיקה. T̄ ⇔ ספיקה חצי T בניה:קבוצה תת כל ⇔ ספיקה Γ̄ של סופית קבוצה תת כל קומפקטיות) (לפי ⇔ ספיקה Γ̄ ⇔ ספיקה חצי Γ אז

ספיקה. חצי Γ של סופית

מעל Γ̄ את נגדיר .{Pi | i ∈ N} האטומיים הפסוקים מעל Γ כי נניח בה"כ חלקית) הוכחה (ניתנה הוכחה:נגדיר: .Qiב־ Pi כל החלפת ע"י ϕ̄ נבנה ϕ ∈ Γ לכל .4{Pi, Qi | i ∈ N} האטומיים הפסוקים

Γ̄ = {ϕ ∨ ϕ̄ | ϕ ∈ Γ}

ספיקה. Γ̄ ⇔ ספיקה חצי Γש־ להראות נרצה:v השמה נגדיר .v2 � ϕ או v1 � ϕ :ϕ ∈ Γ לכל ספיקה. חצי Γש־ נניח :⇐

v(R) =

{v1(Pi) R = Pi

v2(Qi) R = Qi

Γ̄ אז .5v̄(ψ) = tש־ נקבל כלשהו. ϕ ∈ Γ עבור ψ = ϕ ∨ ϕ̄ בהכרח .ψ ∈ Γ̄ ניקח .v � ϕ̄ או v � ϕ ונקבלספיקה.

לכל v(Pi) = Piש־ כך כלשהי השמה v1 תהי אותה. שמספקת v השמה קיימת אז ספיקה. Γ̄ש־ נניח :⇒.i ∈ N לכל v2(Pi) = v(Qi) המקיימת כלשהי השמה v2ו־ ,i ∈ N

אופן ובאותו 6 v̄1(ϕ) = v̄(ϕ) אבל .v̄(ϕ̄) = t או v̄(ϕ) = t בהכרח ואז ϕ ∨ ϕ̄ ∈ Γ̄ אז ־ ϕ ∈ Γ תהאכדרוש. ספיקה חצי Γ אז ,v2 ידי על או v1 ידי על מסתפקת ϕ לכן .v̄2(ϕ) = v̄(ϕ̄)

גדירות 8 29.4.15 ־ 6 תרגול

ההשמות: קבוצת את מגדירה Σ פסוקים קבוצת

Ass(Σ) = {v ∈ Ass | v � Σ}

Ass(Σ) Σ

{vt} {Pi | i ∈ N}Ass All tautologies

Ass ∅∅ WFF

{vt, ”fttt..”}{Pi | i ∈ N+

}

ש־ כך Σ פסוקים קבוצת קיימת אם גדירה נקראית K השמות קבוצת 8.1 הגדרה

Ass(Σ) = K

גדירה? השמות שקבוצת מוכיחים איך

כי הוכח תרגיל: 8.0.0.16

Keven = {v | v � Pi, i is even}

Ass(Σ) = Keven צ"ל: .Σ = {Pi | i is even} נגדיר הוכחה: גדירה.

v ∈ Keven ⇔ ∀even i, v � Pi ⇔ ∀α ∈ Σ, v � α⇔ v � Σ⇔ v ∈ Ass(Σ)

.p2i+1 הם Qiו־ p2i הם Piש־ למשל לומר אפשר מימוש", 4"מבחינת

מדוע להסביר 5יש

מדוע להסביר 6יש

11

נגדיר j ∈ N לכל תרגיל: 8.0.0.17

Kj = {v | v satis�es up to j atoms} = {v | |{Pi | v(Pi) = t}| ≤ j}

נגדיר j לכל הוכחה: גדירה. Kj ,j לכל כי הוכח

Σj =

{¬

(∧i∈A

Pi

)| A ⊂ N, |A| = j + 1

}

צ"ל:

Ass(Σj) = Kj

v ∈ Kj ⇔ ∀A ⊂ N |A| = j + 1, ∃i ∈ A : v 2 Pi⇔ ∀A ⊂ N |A| = j + 1, v 2

∧i∈A

Pi

⇔ ∀A ⊂ N |A| = j + 1, v � ¬

(∧i∈A

Pi

)⇔ ∀a ∈ Σj , v � α

⇔ v � Σj ⇔ v ∈ Ass(Σj)

גדירה? אינה K השמות שקבוצת מוכיחים איך

.X פסוקים קבוצת ידי על גדירה K כי בשלילה נניח .1

קל) (וגם Ass(Y ) את למצוא יודעים אנו עבורה Y פסוקים קבוצת נגדיר .2

ספיקה: אינה X ∪ Y כי נוכיח .3

Ass(X ∪ Y ) = Ass(X) ∩Ass(Y ) = K ∩Ass(Y ) = ∅

הקומפקטיות): משפט ידי (על ספיקה X ∪ Y כי נוכיח .4

נגדיר: סופית. D ⊂ X ∪ Y תהי

Dx = D ∩X, Dy = D ∩ Y

אז: .(Kב־ (שתהיה Dx את שתספק כך אותה ונרחיב Dy את שמספקת v השמה נבנה

v � D = Dx ∪Dy

ספיקה. X ∪ Y הקומפקטיות, משפט לפי ולכן

הקבוצה כי הוכח תרגיל: 8.0.0.18

Kinf = {v | v satis�es an in�nite number of atoms} = {v | |{Pi | v(Pi) = t}| =∞}

גדירה. אינההוכחה: לעיל. שהגדרנו השלבים אחרי בהוכחה נעקוב

Ass(X) = Kinf כלשהי; X ידי על גדירה Kinf ש־ בשלילה נניח .1

Ass(Y ) = {vf} ואז ,Y = {¬Pi | i ∈ N} נגדיר .2

12

ספיקה: אינה X ∪ Y כי נוכיח .3

Ass(X ∪ Y ) = Ass(X) ∩Ass(Y ) = Kinf ∩ {vf} =︸︷︷︸vf /∈Kinf

∅

.Dy = Y ∩Dו־ Dx = X ∩D נגדיר סופית. D ⊂ X ∪ Y תהי ספיקה. X ∪ Y כי נוכיח .4

נגדיר: .Dyב־ האטומים של המקסימלי האינדקס את mב־ נסמן .{¬Pi1 , ...,¬Pik} מהצורה Dy

v =

{f i ≤ mt i > m

מתקיים .v � Dx ואז v � X לכן ,v ∈ Kinf ,v � Dy

v � D = Dx ∪Dy

ספיקה. X ∪ Y הקומפקטיות משפט פי ועל

:i ∈ N+ לכל אם n־חזקתית תיקרא v השמה ,n ∈ N עבור תרגיל: 8.0.0.19

v � P(n+2)i

חלקיים) (פתרונות ה־n־חזקתיות. ההשמות קבוצת את Knב־ נסמן n ∈ N לכל

אמורה שהיא האטומיים הפסוקים לפי בדיוק מוגדרת (הקבוצה גדירה כן .n לכל גדירה Kn הפרך: או הוכח .1לספק).

החזקתיות. ההשמות כל קבוצת את Kב־ נסמן n־חזקתית. היא שעבורו n קיים אם חזקתית תיקרא v השמה .2

את נחפש ־ גדירה לא גדירה?) חזקתיות, שאינן ההשמות כל קבוצת (האם גדירה. Ass\K הפרך: או הוכחיכולים: שאנחנו פשוטה הכי Y הקבוצה

Y = {Pi}

13

III חלק 6.5.15 ־ 7 תרגול

הפרדיקטים תחשיב

נוסחה עצם שם

R(t1, ...tn) c¬α, α ∧ β, ... x(∀xα) , (∃xα) f(t1, .., tn)v̄(ϕ) ∈ {t, f} v̄(t) ∈ DM

בנוסחה: נתבונן

(∀x R(x, c))

מה? לכל ?∀ של המשמעות מהלדוגמה: M1,M2 מבנים נגדיר

DM2 = N Domain DM1 = {0}(x, y) ∈ RM2 ↔ x ≥ y Relation RM1 = {(0, 0)}

cM2 = 0 Constant cM1 = 0

.xב־ תלוי זה בהכרח, לא ־ נכונה? נוסחה זו האם .x ≥ 0 כמו זה ?R(x, c) של המשמעות מה ,M2 במבנהריק! לא להיות חייב (Domain) התחום ראשון, מסדר קלאסית בלוגיקה

(ודוגמאות): מההרצאה להגדרות תזכורת

.ϕ של t־מודל הוא (M, v) כי ונאמר M, v � ϕ נסמן .v̄(ϕ) = t אם v והשמה M במבנה ספיקה ϕ •

.M,v � ϕש־ כך v השמה קיימת אם M במבנה ספיקה ϕ •

ספיקה. היא בו מבנה קיים אם ספיקה ϕ •

R(x) –

.ϕ של v־מודל הוא Mש־ ונאמר M � ϕ נסמן אז .M,v � ϕ ,v השמה לכל אם Mב־ נכונה ϕ •

פסוק שהיא בגלל M1ב־ R(x, c) –

M2ב־ R(x, c) –

v־מודל. לה יש אם v־ספיקה היא ϕ •

מבנה. בכל נכונה היא אם תקפה ϕש־ נאמר •

R(x) ∨ ¬R(x) –

(∀xP (x))→ (∃xP (x)) –

.Mב־ נכונה ϕ אז ,Mב־ נכונה ∃xϕ אם הפרך: / הוכח תרגיל 8.0.0.20מתקיים. ∃xP (x)ש־ ברור .PM = Neven ,DM = N :M מבנה עם ∃xP (x) ניקח נכון: לא

.M,v 2 P (x) אז .v(x) = 7 ניקח

14

ב־ נתבונן v־ספיקה אינה ספיקה ϕ נוסחה נחפש 8.0.0.21

P (x) ∧ ∃x¬P (x)

הוכחה: v־ספיקה? לא היא למה .v(x) = 4 וההשמה הקודם מהתרגיל המבנה עם למשל מסתפקת: זו נוסחה,∃x¬P (x) אם אז .∃x¬P (x) את וגם P (x) את לספק חייבת ההשמה הנוסחה, את לספק בשביל פורמלית) (לא.P (x) יתקיים לא xל־ השמה אותה עבור ואז ¬P (x) שעבורה xל־ השמה קיימת שלקחנו, הספציפי במבנה נכונה

v־ספיקה. לא זו נוסחה ולכן הנוסחה את מספקת שאינה השמה זו אז

בכיתה: ראינו

Γt

� ϕ ⇒ Γv

� ϕ

Γv

� ϕ 6⇒ Γt

� ϕ

t־נביעה: ⇐ v־נביעה בכיוון מתקיימת לא שהגרירה לכך דוגמה נראה

R(x) 6t

� ∀xR(x)

.v(x) = 6 והשמה DM = N, PM = Neven קודם שראינו המבנה עם

:R(x)v

� ∀xR(x) אבל.RM = DM להתקיים צריך בהכרח נכונה? R(x) בהם M המבנים מהם

דוגמה: עוד

x = cv

� ∀x∀y (x = y)

מתאים. מבנה למצוא אפשר כי מתקיימת, אינה ש־t־נביעה לבדוק אפשרשווים! האיברים כל ואז ־

∣∣DM∣∣ = 1 מתקיים בהכרח ,x = cל שיתאים v־מודל בשביל אבל

ותקפות ספיקות 9 13.5.15 ־ 8 תרגול

דוגמה 9.0.0.22

ϕ = (∃xP (x) ∧ ∃xR(x))→ ∃x (P (x) ∧R(x))

תקפה? ספיקה? ϕ האםPM = RM = {0} ,D = N :M ניקחספיקה. ϕ כלומר ,M � vש־ לראות קל

.RM = Noddו־ PM = Nevenו־ D = N למשל תקפה: אינה ϕ אבל

דוגמה 9.0.0.23

ϕ = (∃xP (x)→ ∀xP (x)) ∨ ∃y∃z (P (y) ∧ ¬P (z))

כלשהו. מבנה M יהי תקפה. ϕ:PM = D אם

M � ∀xP (x) (1)

M � ∃xP (x)→ ∀xP (x) (2)

M � ϕ (3)

.→ של האמת טבלת לפי הוא ל־2 מ־1 כשהמעבר:PM = ∅ אם

M 2 ∃xP (x)

15

.→ של האמת טבלת לפי הקודם במקרה 2 מתקים אזואז: .b /∈ PM יש ,a ∈ PM יש :∅ 6= PM ( D אם

M � ∃y∃z (P (y) ∧ ¬P (z))

M � ϕ

.T 2v ¬ϕ אם ורק אם v־ספיקה T ∪ {ϕ} פסוק. ϕו־ נוסחאות קבוצת T תהא 9.1 טענה

ברור .M � ϕ וגם M � T כלומר: נכונה, הקבוצה בו M קיים לכן v־ספיקה. T ∪ {ϕ} נניח :⇐ הוכחה:.M 2 ¬ϕש־

. T 2v ¬ϕ ולכן ¬ϕ של v־מודל שאינו T של v־מודל מצאנוחופשיים משתנים לו (אין פסוק ϕש־ בגלל .M 2 ¬ϕ וגם M � T ש־ כך M מבנה קיים .T 2v ¬ϕ נניח :⇒

.M � ϕ נקבל עצמה) ההשמה בבחירת תלוי לא הוא ואזv־ספיקה. הקבוצה ולכן M � T ∪ {ϕ}

פסוק. ϕש־ נתון לא אם לטענה הפרכה למצוא תרגיל: 9.0.0.24

.v (t [s1/x]) = v (t [s2/x]) אז v(s1) = v(s2) אם עצם. שמות t, s1, s2 יהיו 9.2 טענה

הבסיס: מקרי .t העצם שם מבנה על באינדוקציה הוכחה::t = c

v (c [s1/x]) = v(c) = v (c [s2/x])

:t = y 6= x

v (y [s1/x]) = v(y) = v (y [s2/x])

:t = x

v (x [s1/x]) = v(s1) = v(s2) = v (x [s2/x])

7.f (t1, ..., tn) עבור ונוכיח t1, ..., tn עצם שמות עבור האינדוקציה טענת את נניח

v (f (t1, ..., tn) [s1/x]) = v (f (t1 [s1/x] , ..., tn [s1/x])) = fM (v (t1 [s1/x]) , ..., v (tn [s1/x]))

IH= fM (v (t1 [s2/x]) , ..., v (tn [s2/x])) = v (f (t1 [s2/x] , ..., tn [s2/x])) = v (f (t1, ..., tn) [s2/x])

הצרנות 10

הטענה:

חכם חתול יש

חכם. עבור S ו־(·) חתול, עבור C (·) מקומי חד יחס המילון: מעל

∃x (C(x) ∧ S(x))

חכמים החתולים כל

∀x (C (x)→ S (x))

שקילויות). כדי (עד → עם ילך תמיד ו־∀ ,∧ עם ילך תמיד ∃ אצבע: כלל 10.1 הערה

IH = Induction Hypothesis 7

16

אוניברסלי סגור 11 18.5.15 ־ 9 תרגולעד וולק, לי (בן

הקורס) סימון:סוף .∀x1...∀xn ϕ מהצורה פסוק הוא ϕ של אוניברסלי סגור FV (ϕ) ⊂ {x1, ..., xn} נוסחה. ϕ 11.1 הגדרה.ϕ∀

11.2 הערה

פסוק. ϕ∀ .1

יחיד. אינו האוניברסלי הסגור .2

נגדיר: נוסחאות. קבוצת Σ אם דומה, באופן .3

Σ∀ ={ϕ∀ | ϕ ∈ Σ

}

t־ספיקה.8 Σ אז t־ספיקה Σ∀ שאם הוכיחו נוסחאות. קבוצת Σ תהא תרגיל: 11.0.0.25הוכחה: .Σ את שמספקים v′ והשמה M ′ מבנה יש אז ,Σ∀ את שמספקים v והשמה M מבנה יש אם כלומר,

.M � Σ∀ש־ מתקיים פסוקים קבוצת Σ∀ש־ כיוון .M,v � Σ∀ש־ M, v יש אז t־ספיקה. Σ∀ש־ נניח.M, v′ � ∀x1...∀xn ϕ :ϕ ∈ Σ ולכל ,v השמה לכל כלומר,

:d1, ..., dn ∈ DM ולכל ϕ ∈ Σ לכל ,v′ לכל

M, v′ [d1/x1, d2/x2, ..., dn/xn] � ϕ

t־ספיקה. Σ אז .M,u � Σ מקיימת היא לכן .Mב־ כלשהי השמה u תהי

t־ספיקה? Σ∀⇐־ספיקהt Σ האם כלומר: נכון? ההפוך הכיוון האם שאלה:אינה. Σ∀ t־ספיקה, Σ .Σ∀ = {∀xR(x), ¬∀y R(y)} ,Σ = {R(x),¬∀y R(y)} לא. תשובה:

M � ∀xR(x)⇔ ∀d ∈ DM , d ∈ RM ⇒ RM = DM

M � ¬∀y R(y)⇔ ∃d ∈ DM , d /∈ RM

בסתירה.

.Σv

� ∀x∃y ψ(x, y) נתון נוסחאות. ϕ,ψ .τ מעל פסוקים קבוצת Σ מילון. τ (ממבחן!) תרגיל: 11.0.0.26,τ מעל נוסחאות קבוצת Σ עבור הוכיחו: .τל־ f חדש חד־מקומי פונקציה סימן הוספת ע"י ,σ חדש מילון נגדיר

אם

Σ ∪ {∀xψ(x, f(x))}v

� ϕ

כיוון .ϕ את מספק Mש־ להראות המטרה: .Σ את שמספק τ המילון מעל מבנה M יהי הוכחה: .Σv

� ϕ אזM � ∀x∃y ψ(x, y)ש־ נובע מהנתון ,Σ את מספק Mש־

העולם ;Mב־ כמו :τב־ לסימנים הפירושים .Σ ∪ {∀xψ(x, f(x))} את שיספק σ מעל M ′ מבנה נמצא.fM

′: DM ′ → DM ′ = DM → DM להגדיר כלומר ,f את לפרש נשאר: .DM ′ = DM

,fM′(d) = ed נגדיר .M � ψ [d/x, ed/y]ש־ כך ed ∈ DM קיים d ∈ DM לכל .M � ∀x∃y ψ(x, y)ב־ נשתמש

.M ′ � ∀xψ(x, f(x)) ואז.τ על Mל־ זהה M ו־′ τ מעל מוגדרות Σב־ הנוסחאות כל כי M ′ � Σ בנוסף

. M � ϕ גם M ′ � ϕ אם ולכן τ מעל מוגדרת ϕ .M ′ � ϕ אז

PNF בצורת פסוקים 12 ־ 10 תרגול25.5.15

1 ≤ i ≤ n לכל Qi ∈ {∀,∃} כאשר ϕ = Q1x1Q2x2...Qnxn α אם PNF בצורת הוא ϕ פסוק 12.1 הגדרהכמתים. חסרת נוסחה αו־

שקולות תכונות הן ו־v־ספיקות t־ספיקות פסוקים, קבוצת עבור 8תזכורת:

17

.PNF בצורת ϕ′ שקול פסוק קיים ϕ פסוק לכל 12.2 טענה

ϕ′ אם ורק אם ספיק ϕש־ כך ϕ′ אוניברסלי פסוק ϕ פסוק בהינתן שבונה, אלגוריתם קיים סקולם: 12.3 משפטספיק.

PNF לצורת ϕ את להעביר .1

:∃ כמתי סילוק .2

∀x1...∀xn∃y ϕ(x1, ..., xn, y) ∀x1...∀xn ϕ(x1, ..., xn, f(x1, ..., xn))

חדש פונקציה סימן fכש־

∃y ψ(y) ψ (c/y)

אם: τ עבור הרברנד מבנה M מילון. τ הרברנד: מבנה 12.4 הגדרה

sM = dש־ כך τ מעל משתנים ללא s עצם שם יש d ∈ DM לכל .1

.sM1 6= sM2 ,s1 6= s2 שונים, עצם שמות שני לכל .2

במבנה ספיק ϕ אם ורק אם ספיק ϕ אז .τ מעל אוניברסלי פסוק ϕ .= סימן ללא מילון τ הרברנד: 12.5 משפטהרברנד.

.(M � ϕ ,M מבנה (לכל תקף ϕ אז הרברנד, מבנה בכל נכון ϕ אם יישי. פסוק ϕ יהי הוכח: תרגיל: 12.0.0.27מבנה בכל נכון ϕש־ כיוון אוניברסלי. לפסוק שקול ¬ϕ מבנה. באף ספיק אינו ¬ϕ אם ורק אם תקף ϕ הוכחה:

ספיק. אינו ¬ϕ ולכן הרברנד מבנה באף ספיק אינו ¬ϕ הרברנד,

לפחות. אחד קבוע סימן ועם = סימן בלי מילון, τ יהי תרגיל: 12.0.0.28הרברנד. מבנה שהוא מודל יש ϕל־ אז ,τ מעל ספיק פסוק ϕ יהי הוכח/הפרך:

מקומי. חד יחס סימן R .c בלבד אחד קבוע סימן עם מילון τ דוגמה: נכונה. אינה הטענה

ϕ = R(c) ∧ ∃x¬R(x)

ספיק. ϕ.DM =

{cM}לקיים חייב τ עבור M הרברנד מבנה כל כי הרברנד במבנה ספיק אינו ϕ

תקף. הוא אז ־ הרברנד מבנה בכל נכון פסוק אם הוכח/הפרך: תרגיל: 12.0.0.29נגדית: דוגמה

ϕ = (R(c) ∧ ∀x (R(x)→ R(f(x))))→ ∀xR(x)

.R מקומי חד יחס סימן ,f מקומית חד פונקציה סימן ,c קבוע סימן מכיל מילון:נכון. לא ϕ שבו M מבנה נמצא תקף: לא ϕ

.Mב־ נכון אינו ϕ .cM = ו־1 העוקב פונקציית fM .RM = {x | x ≥ 1} .DM = N למשל:ו־ Mב־ נכון לא ∀xR(x) אז נכון. אינו הפסוק שבו M הרברנד מבנה שיש בשלילה נניח

R(c) ∧ ∀x (R(x)→ R(f(x)))

.Mב־ נכוןבמילון משתנים ללא העצם שמות קבוצת

{c, f(c), f(f(c)), ...}

.(Mב־ נכון אינו ∀xR(x) כי כזה, (יש Mב־ נכון אינו R(s)ש־ כך ביותר הקצר העצם שם s יהינכון. R(s′)ש־ מתקיים ,s מבחירת יותר. קצר s′ עבור s = f(s′) לכן, .Mב־ נכון R(c) כי s 6= c

סתירה זו ;R(f(s′)) = R(s) גם כך נכון, R(s′)ש־ כיוון ולכן Mב־ נכון ∀x (R(x)→ R(f(x))) הפסוק.s לבחירת

18

תקף: הבא שהפסוק הוכיחו תרגיל: 12.0.0.30

∀ε∃δ∀xR(ε, δ, x)→ ∀ε∀x∃δ R(ε, δ, x)

ספיק. אינו ¬ϕש־ נראה הוכחה:

¬ϕ ≡ ∃ε′∃x′∀ε∀δ′∃δ∃x (R(ε, δ, x) ∧ ¬R(ε′, δ′, x′)) = ψ

:ψ של סקולמיזציה נבצע

α = Sk(ψ) = ∀ε∀δ′∀x (R(ε, f(ε, δ′), x) ∧ ¬R(a, δ′, b))

אינו α אם ורק אם ספיק אינו ¬ϕ סקולם: ממשפט חדשים. קבועים סימנים a, bו־ חדש פונקציה סימן fכש־ספיק.

ספיקה. לא GrIns(α) אם ורק אם ספיק לא α הרברנד: ממשפט אוניברסלי. פסוק αR(ε, f(ε, δ′), x) ל־∧ משתנים חסרי עצם שמות מהצבת שמתקבלות הנוסחאות קבוצת :GrIns(α) תזכורת:

ספיקה. אינה GrIns(α) להראות נרצה .¬R(a, δ′, b)

הקומפקטיות 12.6 משפטספיקה. שאינה שלה סופית קבוצה תת יש אז ספיקה, אינה GrIns(ψ) אם

המשתנים? חסרי ש"ע קבוצת מהי

{a, b, f(a, a), f(a, b), .., f(a, f(a, a)), ...}

ב־ נתבונן

ϕ′ [a/ε, b/δ′, b/x] = R(a, f(a, b), b)︸ ︷︷ ︸β

∧¬R(a, b, b)

ϕ′ [a/ε, f(a,b)/δ′, a/x] = R(a, f (a, f(a, b)) , a) ∧ ¬R(a, f(a, b), b)︸ ︷︷ ︸¬β

ספיקה. לא היא ולכן GrIns(α)ל־ שייכים הנ"ל הפסוקים שניתקף. ϕ ⇐ ספיק לא ¬ϕ ⇐ ספיקה לא α מסנקה:

הצרנות המשך 13 3.6.15 ־ 11 תרגול

מתאים: מילון מעל הבאות הטענות את הצרינו 13.0.0.31

.X מעצמת גדולה Y שעצמת כך Y קבוצה קיימת X קבוצה לכל .1

.Y מעצמת גדולה אינה X עצמת אז Y ב־ מוכל X אם ,Y ו־ X קבוצות 2 לכל .2

.V ב־ מוכלות הקבוצות כל .3

קבוצה. אינה V .4

מילון:

τ = 〈set(·), R(·, ·), S(·, ·), V 〉

.X מעצמת גדולה Y עצמת אומר S(X,Y ) ;Y ב־ מוכל Xש־ אומר R(X,Y ) קבוצה; xש־ אומר set(x)כש־

.1

ϕ1 : ∀x (set(x)→ (∃y (set(y) ∧ S(x, y))))

19

.2

ϕ2 : ∀x∀y ((set(x) ∧ set(y))→ (R(x, y)→ ¬S(y, x)))

.3

ϕ3 : ∀x (set(x)→ R(x, V ))

.4

ϕ4 : ¬set(V )

דוגמה לא: אם הרברנד; משפט בעזרת כן: (אם 3־1 מטענות לוגית נובעת 4 טענה הפריכו: / הוכיחו 13.0.0.32נגדית)

ספיקה אינה {ϕ1, ϕ2, ϕ3,¬ϕ4}ש־ להראות מספיק .{ϕ1, ϕ2, ϕ3} � ϕ4ש־ להראות ננרצה הטענה. את נוכיחאמ"מ). שזה לראות (קל

אוניברסליים לפסוקים נעבור :1 שלב

ϕ′1 : ∀x (set(x)→ (set(f(x)) ∧ S(x, f(x))))

ש־ להראות רוצים חדש. פונקציה סימן f

Σ = {ϕ′1, ϕ2, ϕ3, set(V )}

על נסתכל ספיקה. אינה

GrIns(Σ) =⋃α∈Σ

GrIns(α)

משתנים: ללא עצם שמות קבוצת ספיקה. לא תתקבוצה ונמצא

{V, f(V ), f(f(V )), ...}

הבאה: בקבוצה נביטset(V )→ (set(f(V )) ∧ S(V, f(V ))) ,

(set(f(V )) ∧ set(V ))→ (R(f(V ), V )→ ¬S(V, f(V ))) ,set (f(V ))→ R (f(V ), V ) ,

set(V )

ספיקה. לא Σ הרברנד) (ממשפט ולכן ספיקה, לא GrIns(Σ) ולכן ספיקה, אינה הזו הקבוצה

תקפות בדיקת 14

תרגיל: 14.0.0.33

τ = 〈R(·, ·), P (·, ·), c〉

מהצורה ,τ מעל ϕ פסוק שבהינתן אלגוריתם קיים הפריכו: / הוכיחו

ϕ = ∀x1...∀xn∃y1...∃yn α

תקף. ϕ האם מכריע כמתים, חסרת αכש־נוכיח: אלגוריתם. קיים

ספיק. ¬ϕ האם נבדוק ,ϕ בהינתן

¬ϕ ≡ ∃x1...∃xn∀y1...∀yn ¬α

סקולמיזציה: אחרי

β = ∀y1...∀yn (¬α) [c1/x1, .., cn/xn]

ספיקה. GrIns(β) אם ורק אם ספיק הוא ולכן אוניברסלי פסוק βלבדוק אפשר לכן פונקציה); סימני אין ־ סופית! זו (קבוצה {c, c1, ..., cn} משתנים: ללא העצם שמות קבוצת

האפשריות. ההצבות כל של מיצוי ע"י ספיקה GrIns(β) האם

20

שוויון סימן עם מילון 15

שוויון). סימן (עם מילון σ = 〈R(·, ·),=, f1(·), f2(·, ·), c〉 תרגיל: 15.0.0.34 3.6.15 ־ 12 תרגול

אם: ממשי הוא σ מעל M מבנה 15.1 הגדרה

DM = R •

RM = {(x, y) | x < y} •

fM2 (x, y) = |x− y| •

cM = 0 •

לא fM1 ⇔ M,v � ϕ ,v והשמה M ממשי מבנה לכל שמתקיים: כך ,x חופשי משתנה עם ϕ נוסחה מצאו א.v(x)ב־ רציפה

אם: a בנקודה רציפה f פונקציה תזכורת:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀b, |a− b| < δ ⇒ |f(a)− f(b)| < ε

פתרון:

ϕ = ∃ε (R(c, ε) ∧ (∀δ (R(c, δ)→ ∃y (R(f2(x, y), δ) ∧ ¬R (f2(f2(x), f2(y)), ε))))

אחת. אי־רציפות נקודת בדיוק יש fM1 ל־ ⇔ M � ψ ,M ממשי מבנה שלכל כך ψ פסוק שקיים הוכיחו ב.

ψ = ∃x (ϕ(x) ∧ ∀y (ϕ(y)→ y = x))

.M,v [d/x] � ϕ(x) ∧ ... ,d ∈ DM קיים v לכל ⇔ M � ψ מבנה. M יהי

נקודות של סופי מספר יש fM1 ל־ ⇔ M � α מתקיים: M ממשי מבנה שלכל כך α פסוק קיים לא הוכיחו: ג.אי־רציפות.

הקומפקטיות. במשפט להשתמש נרצההוכחה: ספיקה. Γ של סופית קבוצה תת כל ⇔ ספיקה Γ פסוקים; קבוצת Γ הקומפקטיות: משפט ־ תזכורתנקודות n לפחות יש f1ל־ ⇔ M � ψnש־ ,ψn פסוק נבנה :1 ≤ n ∈ N לכל .α פסוק כזה שיש בשלילה נניח

.Γ {α} ∪⋃n∈N {ψn} בקבוצה נביט אי־רציפות.

.Γ 2 ψmש־ כך גדול מספיק m קיים אז M � α אם כי ספיקה אינה ΓΣל־ מודל נבנה .(k = 1 כזה, אין (אם ψk ∈ Σש־ המקסימלי האינדקס k יהי סופית. קבוצה תת Σ ⊂ Γ תהי

ממשי. מבנה (שהואfM1 (a) = למשל: אי־רציפות. נקודות k בדיוק עם פונקציה להיות fM1 את נגדיר ממשי; מבנה M }יהי

1 a ∈ {1, 2, ..., k}0 else

.M � Σ ולכן m ≤ k לכל M � ψm בנוסף .M � α ,α על מההנחה אז:לקומפקטיות. סתירה זוהי ־ ספיקה כן סופית קבוצה תת וכל ספיקה, לא Γ הראינו:

:ψn את לבנות נשאר

ψn = ∃x1...∃xn

n∧i=1

ϕ(xi) ∧∧i 6=j

¬(xi = xj)

21

HC הוכחה מערכת 16

הוכחה למערכת אקסיומות 16.1 הגדרה

α→ (β → α) :A1

(α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)) :A2

(¬β → ¬α)→ (α→ β) :A3

αב־ xב־ להצבה החופשי t עצם שם לכל ∀xα(x)→ α [t/x] :A4

ϕב־ חופשי אינו x כאשר ∀x (ϕ→ ψ)→ (ϕ→ ∀xψ) :A5

היסק כללי 16.2 הגדרה

MP :(α→ β) , α

β•

Gen : ϕ(x)∀xϕ(x) •

בכלל: Gen הכלל ואת A5 תבנית החלפת ע"י :HC ′ חדשה מערכת נגדיר תרגיל: 16.0.0.35

M :γ → α

γ → ∀xα

`HC

ϕ ⇔ `HC′

ϕ :ϕ לכל נוכיח:

(תרגיל). HCב־ יכיחה הוא אז HC ב־′ יכיחה ϕ שאם להראות הקל: הכיוון.HC ב־′ יכיחה ϕ אז HCב־ יכיחה ϕ שאם היכיחות הנוסחאות קבוצת על באינדוקציה נוכיח השני: הכיוון

.MP ,Genל־ וסגורה HC של האקסיומות את מכילה HC ′ כלומר,.HC ב־′ יכיחה 5 שאקסיומות נראה .HC ב־′ אקסיומות הן כי ברור ־ 4־1 האקסיומות:

עזר: טענת 16.3 טענה

α→ (β → γ) `HC′

(¬ (α→ ¬β))→ γ

(¬ (α→ ¬β))→ γ `HC′

α→ (β → γ)

.(MP ואת 3־1 אקסיומות את לנו (יש הפסוקים לתחשיב השלמות משפט לפי הוכחה:

:5 לאקסיומה הוכחה

A4 ∀x (ϕ→ ψ)→ (ϕ→ ψ) (1)

Above claim with (1) (¬(∀x(ϕ→ ψ))→ ¬ϕ)→ ψ (2)

M,x /∈ FV (·) (¬(∀x(ϕ→ ψ))→ ¬ϕ)→ ∀xψ (3)

Above claim with (2) (∀x (ϕ→ ψ))→ (ϕ→ ∀xψ) (4)

הוכחה ונראה `HC′

αש־ נניח :Genל־ סגורה HC ש־′ להראות נשאר מההגדרה. MP ל־ סגורה HC ′ פעולות:

.x /∈ FV (β) פסוק, β יהי . `HC′∀xα של

הפסוקים) לתחשיב השלמות (ממשפט `HC′

β → β 16.4 טענה

22

:∀xα של הוכחה

A1 α→ ((β → β)→ α) (1)

Assum. `HC′

α α (2)

MP1,2 (β → β)→ α (3)

M (β → β)→ ∀xα (4)

Claim (β → β) (5)

MP4,5 ∀xα (6)

הפרך או הוכח תרגיל: 16.0.0.36 ־ 13 תרגול14.6.15

עקבית Γ ∪ {¬α}ו־ Γ ∪ {α} מבין אחת לפחות אז HCב־ עקבית Γ אם פסוק α פסוקים, קבוצת Γ תהי .1.HCב־

פסוקים. במקום נוסחאות אבל דבר אותו .2

פתרון:

הוכחה: נכון. .1

.M � Γש־ M מבנה יש עקבית: Γש־ מההנחה מודל. יש Γל־ ⇔ עקבית Γ הנאותות: / השלמות משפט.M, v � ¬α או M,v � α מתקיים: כלשהי. השמה v תהי .M,v � Γ ,v השמה לכל

.M � Γ ∪ {α} כלומר: .M � α מסקנה: .M,v′ � α ,v′ השמה לכל אז .M,v � αש־ נניח

עקבית. Γ ∪ {¬α} מסקנה: .M � Γ ∪ {¬α} דומה באופן אז M, v � ¬α אם

.2

.α = R(y) ,σ = 〈R(·)〉 ,Γ = {∃xR(x), ∃x¬R(x)}.RM = {0} ,DM = {0, 1} שבו M ל־Γמודל יש עקבית: Γ

עקבית. אינה Γ ∪ {¬α} גם דומה, באופן

מסתפקת. Γ שבו מבנה בכל מסתפקת ϕ נתון: נוסחה. ϕו־ נוסחאות קבוצת Γ (ממבחן) תרגיל: 16.0.0.37הפריכו: / הוכיחו

נכונה. ϕ גם נכונה, Γ′ שבו מבנה בכל שמקיימת: Γ′ ⊂ Γ סופית קבוצה תת קיימת .1

.Γ′t

� ϕש־ כך Γ′ ⊂ Γ סופית קבוצה תת קיימת .2

פתרון:

את Γ′ב־ נסמן ,Γ מתוך ϕ של הוכחה {α1, ..., αn} תהי .Γ `HC

ϕ השלמות, ממשפט .Γv

� ϕ נתון: הוכחה: .1

בהוכחה. שמופיעים Γב־ האיברים קבוצת

Γ′ = {αi | 1 ≤ i ≤ n, αi ∈ Γ}

.Γ′v

� ϕ הנאותות: ממשפט סופית. Γ′ ,Γ′ מתוך ϕ של הוכחה קיבלנו

.Γv

� ϕש־ נראה .ϕ = ∀xR(x) ,Γ = {R(x)} נבחר דוגמה: .2

.M � ϕ מסקנה .M, v � ϕ לכן .RM = DM ⇐ M,v � R(x) ,v לכל M � R(x) כלומר .M � Γ יהי

,DM = {0} ,M =⟨DM , RM

⟩עבור .Γ′ = ∅ ראשון: מקרה .Γ′

t

� ϕש־ כך Γ′ ⊂ Γ שאין נראה.M 2 ϕ אבל M � ∅ מתקיים .RM = ∅

,DM = {0, 1} .M, v 2 ϕ M,vאבל � Γש־ כך v Mוהשמה מבנה נראה .Γ′ = Γ = {R(x)} שני: מקרה.v(x) = ש־0 כך השמה vו־ RM = {0}

נכונה. לא הטענה מסקנה:

23

ראשון: מסדר לוגיקה עבור N חדשה הוכחה מערכת נגדיר תרגיל: 16.0.0.38אקסיומות:

α→ (β → α) :A1

(α→ (β → γ))→ ((α→ β)→ (α→ γ)) :A2

(¬α→ ¬β)→ (β → α) :A3

αב־ xב־ להצבה החופשי t עצם שם לכל ∀xα(x)→ α [t/x] :A4

.Nב־ Γמ־ היכיחה סתירה קיימת הוכיחו: ספיקה. שאינה אוניברסלית פסוקים קבוצת Γ תהי .MP היסק: כללי.x /∈ FV (ϕ)כש־ ∀x (ϕ→ ψ)→ (ϕ→ ∀xψ) תזכורת:

GrIns(Γ) ⇔ ספיקה GrIns(Γ) ⇔ הרברנד במבנה ספיקה Γ ⇔ ספיקה Γ הרברנד: משפט ־ תזכורתהרברנד. במבנה ספיקה

ספיקה. לא Γ′ ;Γ′ = GrIns(Γ) נסמן:ספיקה. לא Γ′′ ⊂ Γ′ סופית קבוצה תת יש הקומפקטיות: ממשפט

.Γ מתוך Γ′′ב־ פסוק כל Nב־ להוכיח אפשר 16.5 טענה

נכתוב משתנים. חסר עצם שם t כמתים. חסרת α ,ϕ = ∀x1...∀xn α דוגמה: .4 אקסיומה של הפעלה ע"ׁי איך?∀x2...∀xn α [t/x1]ל־ הוכחה

A4 ∀x1..∀xn α→ ∀x2...∀xn α [t/x1] (1)

Assum. ϕ (2)

MP1,2 ∀x2...∀xn α [t/x1] (3)

ספיקה. שאינה הפסוקים בתחשיב Γ̂′′ קבוצה נקבל .pi חדש פסוקי במשתנה Γ′′ב־ אטומית נוסחה כל נחליף.(HPC עבור השלמות (משפט Γ̂′′ `

HPC

¬ (p0 → p0) בפרט:

.Γ ` ¬(α→ α) מסקנה: .α נוסחה עבור Γ′′ ` ¬(α→ α)ש־ ונקבל בחזרה נתרגםההוכחה בסדרת אותו נחליף נחליף בהוכחה. שמופיע Γ′′מ־ פסוק לכל .Γ′′ מתוך ¬(α→ α) של הוכחה נכתוב

.Γ מתוך

אם ורק אם תקף ϕ′ש־ כך ϕ′ פסוק מחזיר ϕ פסוק שבהינתן A אלגוריתם קיים הפריכו: / הוכיחו 16.0.0.39ספיק. ϕ

פסוק. של ספיקות שמכריע A′ אלגוריתם היה כנ"ל, A אלגוריתם היה שלו נראה אלגוריתם. כזה שאין נוכיחלחפש מטרה: .GrInsה־ קבוצת על ומסתכלים סקולמיזציה נעשה .ϕ מקבלת ספיקות: לבדיקת פרוצדורהכנ"ל. אלגוריתם שיש נניח הוכחה: ממשיכים. אחרת ספיק, לא מכריזים מצאנו, אם ספיקה. לא סופית קבוצה תת

ספיק. ϕ אם ורק אם שתקף ϕ′ ונקבל A את נריץ ,ϕ פסוק בהינתןספיק. לא ¬ϕ′ ⇔ תקף ϕ′ ⇔ ϕ : ¬ϕ′ על נסתכל

ספיק. לא ¬ϕ′ ואומרת עוצרת הפרוצדורה ⇐ ספיק לא ¬ϕ′ .¬ϕ′ על ספיקות לבדיקת הפרוצדורה את נריץלרוץ. ממשיכים ⇐ ספיק כן אם

קבוצה תת נמצא אז ספיק ϕ אם במקביל. ¬ϕ′ ,ϕ על ספיקות לבדיקת הפרוצדורה את יריץ :A′ האלגוריתםונעצור. GrIns(¬ϕ′) של סופית

ונעצור. GrIns(Sk(ϕ)) של סופית קבוצה תת נמצא ⇐ ספיק לא ϕ אם

24