1

16.12.2011

AKDENİZ

ÜNİVERSİTESİ TAM SAYILAR

2

İçindekiler

TAM SAYILAR NEDİR? ............................................................................................... 3

Tam sayıların tarihçesi .............................................................................................. 5

Tam Sayılara giriş ...................................................................................................... 6

Tam Sayılarda İşlemler .............................................................................................. 8

Toplama İşlemi.......................................................................................................... 8

Çıkarma İşlemi ........................................................................................................ 10

Çarpma İşlemi ......................................................................................................... 11

Bölme İşlemi ........................................................................................................... 12

Sayı Doğrusunda Gösterilmesi ................................................................................ 13

3

1. TAM SAYILAR NEDİR?

Sıfırın sağındaki sayılar pozitif tam sayılar, sıfırın

solundaki sayılar negatif tam sayılardır.Pozitif tam

sayılar,negatif tam sayılar ve sıfır sayısının birleşmesi

sonucu tam sayılar kümesi oluşur.

Artı işareti olan pozitif sayılar (1,3,45,78,...), eksi

işareti olan negatif sayılar (-2,-9,-34,-345,...) ve

TAM SAYILAR

Tam Sayıların Tarihçesi

Tam Sayılara Giriş

Tam Sayılarda Dört İşlem

Toplama İşlemi

Çıkarma İşlemi

Çarpma İşlemi Bölme İşlemi

Sayı Doğrusunda

Gösterme

4

sıfırında dahil olduğu Z sembolü ile gösterilen

sayılardır(....-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...)

Tam sayılar denilince sayının önünde artı yada eksi

işareti varmı diye bakacaz. Artı işareti yoksada

artıdır.

Örnekler

Bugün Manisa'da hava sıcaklığı sıfırın altında 2

derece (-2)

Denizaltı deniz seviyesinin 75 metre altındadır (-75)

THY uçağı şuan yerden 200 metre yüksektedir (+200)

Ali' nin karı 15 Tl (+15)

Ayşe' nin zararı 20 Tl (-20)

http://www.matematikcifatih.tr.gg/tam-say%26%23305%3Blar.htm

5

2. Tam sayıların tarihçesi

Tam sayılar kümesini pozitif tam sayılar, sıfır ve negatif tam sayılar diye

üçe ayırmak gerek. Çünkü bunların her biri farklı tarihe sahipler. Pozitif tam

sayıların ortaya çıkışı tam olarak bilinmiyor. 70 bin yıl önce pozitif tam

sayıların, sayma sayıları olarak kullanıldığını gösteren belgeler var. İlk

kullanımın saymak amacıyla olduğu anlaşılıyor. Güney Afrika'da bulunmuş

olan bazı taşların üzerinde, yılın altı ayını, 28'er günlük ay takvimine göre

sayan, çentikler atıldığı bulunmuştur. Bu çetelelerin sayma amacıyla

kullanılmasını matematik olarak nitelemek zor. Sayıları ifade etmek için,

her sayıya karşılık bir işaretin, bugünkü tabirimizle rakamların icadı

matematiğin başlangıcı sayılabilir. Bu amaçla ilk yazılı kayıtlara M.Ö. 2000

yıllarında Babil'de rastlanıyor. 60 tabanına göre kurulmuş bu sayı sistemi

negatif sayıları içinde taşımamakla beraber, kavram olarak sıfırı bulmak

mümkün. Demek ki, sayı sistemi yazılı hale getirilinceye kadar, gelişmesi

için de bir sürenin geçtiğini var sayarsak, ilk matematik ile ilgili yaklaşık

başlangıç zamanı kestirimi bulmuş oluruz. Negatif sayıların ilk kayıtlarda

görüldüğü zaman M.Ö. 100–50 dönemi Çin'dir. Hindistan'da Brahmagupta

628'de yayınladığı Brahmasphuta Siddhanta adlı eserinde borç anlamına

gelmek üzere negatif sayılardan bahsettiği görülür. Orta Doğu'da muhasebe

kayıtlarında borç veya zarar yerine negatif sayıların kullanılması da aynı

zamanlara rastlamaktadır.. Avrupa'da negatif sayıları ilk Fibonacci'nin Liber

Abaci'sinde görüyoruz. 1202 yılında yayınlanmış bu eser, Arap matematiğini

Avrupa'ya taşımakta öncülük etmiştir. Negatif tam sayıların Avrupa

matematiğinde tam olarak yerleşmesi 18. yy. ı bulur.

http://yaziarsivim.blogcu.com/tam-sayilar-hakkinda-bilgi/7709805

6

3. Tam Sayılara giriş

'Tam sayılar', doğal sayılar (0,1,2,...) ve bunların negatif

değerlerinden oluşur (-1,-2,-3,...). (-0 sayısı 0 sayısına eşit

olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematikte tam

sayıların tümünü kapsayan küme genellikle (ya da Z şeklinde

gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (Sayılar) sözcüğünün

baş harfinden gelmektedir.

Pozitif tam sayılar "0"dan uzaklaştıkça büyür. Negatif tam sayılar

ise "0"dan uzaklaştıkça küçülür.

En büyük negatif tam sayı -1'dir. En küçük pozitif tam sayı ise

+1'dir.

Pozitif Tam Sayılar Z üzeri (+) olarak Negatif Tam Sayılarda Z

üzeri (-) ile gösterilir.Tam sayılar kümesi:

Z+ + Z- + {0}

olarak gösterilir. Sıfır ne pozitif nede negatifdir. Yani sıfır nötr’

dür.

Mutlak değer, sayının başlangıç noktasına uzaklığını ifade eder.

Başlangıç noktasına eşit uzaklıktaki sayılar mutlak değerce eşittir.

Mutlak değer içindeki her sayı, mutlak değer dışına pozitif olarak

çıkar.

Tamsayılar doğal sayıların bir genişlemesidir. Her doğal sayının "-

1" denen yeni bir öğeyle çarpılarak kümeye katılması olarak

düşünülebilir. Tabi daha ayrıntılı olarak, doğal sayılar kümesinin

7

kartezyen çarpımı üzerine tanımlanacak ve bir önceki cümlenin

işlevini görecek bir denklik bağıntısı bize tamsayıları inşâ edecek.

kümesinden seçtiğimiz (a,b) ve (c,d) öğeleri için "~"

(tilda) bağıntısı,

şeklinde tanımlansın (a+d=b+c dememizin nedeni sezgisel olarak

a-b=c-d durumunu oluşturmaktır). Bu bağıntının denklik bağıntısı

olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu durumda bu bağıntının denklik

sınıfları bizim tamsayılar diyeceğimiz öğeler olarak

düşünülecektir. Her bir denklik sınıfı temsilcisini,

olarak tanımlamış oluruz. Aslında [a,b] diye temsil ettiğimiz öğe

şeklindedir. Aşağıda toplama ve çarpmayı işlerken bu, daha iyi

anlaşılabilecektir.

Bu noktada; bizim normalde, a ve b doğal sayı olmak üzere a-b

diye bildiğimiz tamsayı aslında [a,b] kümesi olduğu görülebilir.

Yâni bu bağıntının bize "eksi" (negatif) kavramını ifade ettiği

söylenebilir. O halde, tamsayılar kümesi aşağıdaki bölüm

kümesidir:

8

Öyle ki kümesi bir halka oluşturur.

http://tr.wikipedia.org/wiki/Tam_say%C4%B1lar

4. Tam Sayılarda İşlemler

Toplama İşlemi

Tam sayılarda pullarla toplama işlemi yaparken, ilk

sayı kadar pul kutuya konur.Eklenecek sayı kadar pul

kutuya ilave edilir. Kutunun içindeki pulların hepsi +

işaretli ise toplanır ve sonuç + olarak yazılır. Kutunun

içindeki pulların hepsi – işaretli ise toplanır ve sonuç -

olarak yazılır. Eğer kutunun içindeki pullar – ve +

işaretli ise,aynı sayıdaki – ve + pullar birbirini yer. Arta

kalan pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır.

(+6)+(-2)=+4

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini

yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -5 pul duruyormuş. Sonradan +3 pul

9

eklenmiş. Kutunun içinde - pul ile + pul yan yana gelince birbirini yer yani

götürür. -3 pul +3 pulu yedi. Geriye -2 pul kaldı. Doğru cevap D şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini yazıp

açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta +2 pul duruyormuş.

Sonradan +3 pul eklenmiş. Kutunun içinde +5 oldu.

(+2)+(+3)=+5

10

Çıkarma İşlemi

Tam sayılarda pullarla çıkarma işlemi yaparken, ilk

sayı kadar pul kutuya konur. Çıkarılacak sayı kadar

kutuya – ve + işaretli pul konur. Çıkması gereken

pullar kutudan çıktıktan sonra, kalan pullar kutuda

sayılır. Eğer kutunun içinde – ve + işaretli kalmış

olursa aynı sayıda olanlar birbirini yer. Arta kalan

pullar işaretleri ile birlikte sonuç olarak yazılır.(-4)-

(+3)=(-7)

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini

yazıp açıklayınız.

Yukarıdaki soruda aslında en başta -7 pul duruyormuş.

Kutudan -3 pul çıkarılmış. Geriye -4 pul kaldı. (-7)-(-3)=-4

Örnek: Aşağıdaki pullarla verilen işlemin matematik cümlesini

yazıp açıklayınız.

11

Çarpma İşlemi

5 x (-3) çarpma işlemi yapılırken kutunun içerisine 5

tane 3’lü – pul girer. Sonuçta kutunun içinde 15 tane –

pul olacak.

(-3) x 5 çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3

tane 5’li sıfır çifti pul girer. Sonra kutunun içinden 3

tane 5’li + pul çıkar. Burada ikinci sayı +5 olduğu için

+ pullar dışarı çıkar.

(-3) x (-4) çarpma işlemini yaparken kutunun içine 3

tane 4’lü sıfır çifti pul girer. Sonra kutunun içinden 3

tane 4’lü - pul çıkar. Burada ikinci sayı -4 olduğu için -

pullar dışarı çıkar.

12

Bölme İşlemi

8:2 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 8 tane +

pul girer. Pullar iki gruba ayrılır. Her gruptaki pul sayısı

sonucu verir.(8):(2)=+4

(-14) : 7 bölme işlemi yapılırken kutunun içerisine 14

tane – pul girer. Pullar yedi gruba ayrılır. Her gruptaki

pul sayısı sonucu verir.(-14):(7)=-2

http://www.matematikcifatih.tr.gg/tam-say%26%23305%3Blar.htm

13

5. Sayı Doğrusunda Gösterilmesi

Sayı doğrusu: Üzerinde sayıların eşit bir şekilde

dağıldığı doğruya sayı doğrusu denir. Sayı doğrusunda

sayılar soldan sağa doğru gidildikçe büyür.

Eklenen sayı pozitifse sağa doğru, eklenen sayı

negatifse sola doğru ilerlenir.

(+4)+(-8)=(-4)

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik

cümlesini yazıp açıklayınız.

Doğru cevap A şıkkıdır.

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini

yazıp açıklayınız.

14

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan sayı

negatifse sağa ilerlenir.

(+6)-(+3)=+3

Örnek: Aşağıdaki sayı doğrusunda verilen işlemin matematik cümlesini

yazıp açıklayınız.

Çıkarma işlemi olduğu için çıkan sayı pozitifse sola ilerlenir,çıkan

sayı negatifse sağa ilerlenir.

(-6)-(-10)=+4