-
1
RASYONEL SAYILAR
A. Rasyonel Sayı
a ve b birer tam sayı ve 0b olmak üzere, b
a biçiminde
yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar
kümesi Q ile gösterilir.
} 0b ve sayı tam b ve a : b
a {Q dır.
b
a ifadesinde a ya pay, b ye de payda denir.
Payda
Pay
b
aÇizgisi Kesir
Örnek:
7
3 ,
3
2 ,
5
4 ,
2
3 ,
1
3 ,
1
0
ifadeleri birer rasyonel sayıdır. Uyarı
0b
0 dır. ( 0b )
0
a tanımsızdır.
B. Kesir ve Çeşitleri 1. Kesir Bir birimin bölündüğü eşit
parçalardan birini veya birkaçını göstermeye yarayan sayılara kesir
denir. Örnek:
Yandaki şekilde bir bütün 12 parçaya bölünmüş ve bu parçalardan
3 tanesi boyanmıştır.
Boyanmış kısmı gösteren kesir sayısı 12
3 dir.
12
3 kesri “ on ikide üç” şeklinde okunur.
2. Bir Kesrin Genişletilmesi veya Sadeleştirilmesi
b
a kesrinin pay ve paydası sıfırdan farklı bir k tam
sayısıyla,
çarpıldığında veya bölündüğünde kesrin değeri değişmez. Bu
işleme kesrin genişletilmesi veya sadeleştirilmesi denir. Sonuç
k.b
k.a
b
a , 0k ( Kesrin Genişletilmesi )
k:b
k:a
b
a , 0k ( Kesrin Sadeleştirilmesi )
Örnek:
3
2 kesrini 2 ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri
bulalım.
Çözüm:
6
4
2.3
2.2
3
2
Örnek:
3
2 kesrini -4 ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri
bulalım. Çözüm:
12
8
12
8
)4.(3
)4.(2
3
2
Örnek:
60
45 kesrini sadeleştirerek en sade biçimini bulalım.
-
2
Çözüm:
4
3
3:12
3:9
5:60
5:45
60
45
3. Denk Kesirler
b
a kesrinin genişletilmesi veya sadeleştirilmesiyle
b
a ye eşit
pek çok kesir elde edilebilir. Bu kesirler b
a ye denktir denir.
Örnek:
5
3 kesrini sıra ile 1, 2, 3, 4 ve 5 ile genişleterek bu kesre
denk kesirler elde edelim;
5
3 ,
10
6 ,
15
9 ,
20
12 ,
25
15
Yukarıdaki kesirler birbirine denktir. Bunu aşağıdaki gibi
gösterebiliriz.
25
15
20
12
15
9
10
6
5
3
Uyarı
d
c
b
a ise, c.bd.a dir.
4. Basit Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından küçük
olan kesirlere basit kesir denir. Örnek:
3
2 ,
4
3 ,
5
2 ,
13
6 ,
5
4
, 0
ifadeleri birer basit kesirdir.
5. Bileşik Kesir İşaretine bakılmaksızın payı paydasından büyük
veya payı paydasına eşit olan kesirlere bileşik kesir denir.
Örnek:
3
7 ,
4
11 ,
2
7 ,
3
14 , 2 , 1
ifadeleri birer bileşik kesirdir. Sonuç
) 1,1 ( aralığındaki her reel sayıya basit kesir denir.
] 1,- ( aralığındaki her reel sayıya bileşik kesir
denir.
) , 1 [ aralığındaki her reel sayıya bileşik kesir
denir. 6. Tam Sayılı Kesir Sıfır hariç bir tam sayı ve basit
kesir ile birlikte yazılan kesirlere tam sayılı kesir denir.
Örnek:
2
13 ,
7
45 ,
8
32 ,
4
13 ,
3
11
ifadeleri birer tam sayılı kesirdir Kural
c
ba şeklindeki bir tam sayılı kesir,
c
ba şeklinde
yazılabilir. Örnek:
13
32 tam sayılı kesrini bileşik kesre çevirelim.
-
3
Çözüm:
13
29
13
326
13
313.2
13
32
Örnek:
4
13 bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirelim.
Çözüm:
4
13 kesrinin payını paydasına bölelim.
Buna göre 4
13
4
13 tür.
Örnek:
3
17 bileşik kesrini tam sayılı kesre çevirelim.
Çözüm:
3
17 kesrinin payını paydasına bölelim.
Buna göre 3
25
3
17 tür.
C. Rasyonel Sayılarda Dört İşlem 1. Toplama İşlemi Paydaları
eşit olan kesirler toplanırken; payların toplamı pay olarak, ortak
payda ise payda olarak yazılır. Paydaları eşit olmayan kesirler
toplanmadan önce paydalar eşitlenir.
b
ca
b
c
b
a
d.b
c.bd.a
d
c
b
a
Örnek:
21
29
21
1514
7.3
5.3
3.7
2.7
)3(7
5
)7(3
2
7
5
3
2
Örnek:
4
11
4
56
4
5
4
6
)1(4
5
)2(2
3
4
5
2
3
Örnek:
6
25
6
124
6
1
6
24
)1(6
1
)6(1
4
6
14
6
14
2. Çıkarma İşlemi Paydaları eşit olan kesirler çıkarılırken;
payların farkı pay olarak, ortak payda ise payda olarak yazılır.
Paydaları eşit olmayan kesirler çıkarılmadan önce paydalar
eşitlenir. Örnek:
12
11
12
10
12
21
)2(6
5
)3(4
7
6
5
4
7
Örnek:
45
2 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
5
18
5
202
5
20
5
2
)5(1
4
)1(5
24
5
2
-
4
Örnek:
24
7
6
5
2
3 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
24
7
6
5
2
3 kesirlerin paydaları eşit olmadığından, önce
paydalar eşitlenir. Sonra, işlemler yapılır.
24
49
24
72036
24
7
24
20
24
36
)1(24
7
)4(6
5
)12(2
3
Uyarı Paydaları eşit olmayan kesirlerin paydaları eşitlenirken,
bu sayıların e.k.o.k. u göz önüne alınır. Söz gelimi; paydası 2 ve
3 olan iki kesrin paydaları e.k.o.k.( 2;3 ) = 6 da eşitlenir.
Paydası 4 ve 6 olan iki kesrin paydaları e.k.o.k.( 4;6 ) =12 de
eşitlenir. Örnek:
9
2
6
13
3
22 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Önce tam sayılı kesirleri düzenleyelim.
3
22
3
22
6
13)
6
13(
6
13
olduğuna göre,
9
2
6
1
3
21
9
2
6
13
3
22
9
2
6
13
3
22
)2(9
2
)3(6
1
)6(3
2
)18(1
1
18
5
18
431218
dir.
6. Çarpma İşlemi Rasyonel sayılar çarpılırken; kesirlerin
paylarının çarpımı paya, paydalarının çarpımı paydaya yazılır.
d.b
c.a
b
c.
b
a
Örnek:
28
15
7.4
5.3
7
5.
4
3
Örnek:
9
10.
14
3.
5
4 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
21
4
3.7.1
2.1.2
39
201
.
741
13
.
15
24
9
10.
14
3.
5
4
Örnek:
) 5
23 ).(
2
3 ( işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
5
17
5
25.3
5
23
5
23
olduğu için,
10
51
2.5
3.17-)
5
17 ).(
2
3 ( dur.
Uyarı
c
bc.a
c
b
1
a
c
ba
dir.
c
b.a
c.1
b.a
c
b.
1
a
c
b.a dir.
-
5
4. Bölme İşlemi Bölme işleminde; bölünen kesir aynen yazılır,
bölen kesir ters çevrilerek çarpılır.
c.b
d.a
c
d.
b
a
d
c:
b
a
d
c
b
a
dir.
Örnek:
20
21
5
7.
4
3
7
5:
4
3
Örnek:
54
3
3
5
2 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
)1(20
3
)4(5
6
5
1.
4
3
5
3.
1
2
1
5
4
3
3
5
1
2
5
4
3
3
5
2
20
27
20
3
20
24 dir.
5. İşlem Önceliği Toplama-çıkarma, çarpma-bölme ve üs alma
işlemlerinden bir kaçının birlikte bulunduğu işlemlerde işlem
sırası şöyledir:
1. Parantez içleri 2. Üs alma 3. Çarpma-bölme işlemleri 4.
Toplama-çıkarma işlemleri
Uyarı Çarpma-bölme işlemleri ve toplama-çıkarma işlemleri kendi
aralarında sıralamaya konulmamıştır. Bunun için problemlerde
parantezler kullanılarak işlemin akışı sağlanmıştır.
Örnek:
)6
1
4
11()
6
1
2
3
4
1( işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Örnek:
2
1.3
5
3:2 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
)3(2
3
)2(3
10
2
1.3
3
5.2
2
1.3
5
3:2
6
11
6
9
6
20 dır.
Örnek:
4
1)4:3).(5:2( işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Örnek:
)]3
2
5
4:
2
3(
2
1[1 işleminin sonucunu bulalım.
-
6
Çözüm:
3
2
4
5.
2
3
2
11)]
3
2
5
4:
2
3(
2
1[1
)8(3
2
)3(8
15
)12(2
1
)24(1
1
24
16451224
24
17 tür.
Örnek:
3
12
21
3
22
11
2
3
işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm: Bu tip kesirlerde ilk önce ana kesir çizgisi tespit
edilir. Daha sonra ana kesir çizgisinin payında yukarıdan (üst
uçtan) ana kesir çizgisine doğru, paydasında ise aşağıdan (alt
uçtan) ana kesir çizgisine doğru işlem yapılır.
D. Ondalık Kesirler Ondalık kesirler, paydaları 10 un tam
kuvvetleri olan kesirlerdir. Bir kesrin ondalık kesre
çevrilebilmesi için, kesrin paydası 10 un tam kuvvetleri biçiminde
veya 10 un tam kuvvetlerine dönüştürülebilecek biçimde olmalıdır.
Bir kesrin virgül kullanılarak yazılımı, bu kesrin ondalık
açılımıdır. Örnek:
olduğuna göre,
...5000,2500,250,25,22
5 olur.
Bu sayı sıfır devirli bir ondalık açılımdır. Örnek:
3
2 kesrinin ondalık açılımını yazalım:
3
2 kesrinin paydası, 10 un tam kuvvetleri biçimine
getirilemez. Kesrin payını, paydasına bölelim:
Yandaki bölme işleminde, bölünen daima 2 kalanını verir. Bölme
işlemine devam edilse de sıfır kalanı hiçbir zaman bulunamaz.
Bölümün 0,6 dan sonraki bütün rakamları 6 olarak devam eder.
Buna göre, 3
2 kesrinin ondalık açılımı, 6 nın devrettiği bir
devirli ondalık açılımdır.
6,0...666,03
2 biçiminde yazılır.
-
7
Örnek:
5
2 kesrinin ondalık açılımını bulalım.
Çözüm:
4,010
4
)2(5
2 tür.
Bu kesrin ondalık açılımı pay, paydaya bölünerek de bulunabilir.
Örnek:
25
13 rasyonel sayısını ondalık kesre çevirelim.
Çözüm:
52,0100
52
)4(25
13
Örnek:
5
14 rasyonel sayısını ondalık kesre çevirelim.
Çözüm:
8,210
28
)2(5
14
Örnek: 0,8 ondalık kesrini rasyonel sayıya çevirelim. Çözüm:
5
4
10
88,0
Örnek: 2,14 ondalık kesrini rasyonel sayıya çevirelim.
Çözüm:
50
107
100
21414,2
Örnek: 3,05 ondalık kesrini rasyonel sayıya çevirelim.
Çözüm:
20
61
100
30505,3
E. Ondalık Kesirlerde Dört İşlem 1. Toplama İşlemi Ondalık
kesirler alt alta toplanırken virgüller ve aynı isimli basamaklar
alt alta gelecek şekilde yazılır. Doğal sayılarda olduğu gibi
(virgül düşünülmeden) işlem yapıldıktan sonra bulunan sonuç
virgüller hizasından virgülle ayrılır. Örnek:
27,335,12 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
olduğundan 62,1527,335,12 dir.
Örnek:
042,337,27,1 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
700,17,1 olur.
370,237,2 olur.
olduğuna göre, 112,7042,3370,2700,1
dir.
-
8
2. Çıkarma İşlemi Ondalık kesirler alt alta çıkarılırken
virgüller ve aynı isimli basamaklar alt alta gelecek şekilde
yazılır. Doğal sayılarda olduğu gibi (virgül düşünülmeden) işlem
yapıldıktan sonra bulunan sonuç virgüller hizasından virgülle
ayrılır. Örnek:
435,1742,32 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
olduğuna göre, 985,14435,1742,32 tir.
Örnek:
1,232,25,4 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
olduğuna göre,
72,41,232,25,4 dir.
3. Çarpma İşlemi İki ondalık kesri çarpmak için, çarpanların
virgülü yokmuş gibi düşünülerek çarpma işlemi yapılır. Bulunan
çarpımda, çarpanların ondalık kısımlarındaki basamak sayılarının
toplamı kadar basamak (sağdan itibaren) virgülle ayrılır. Eksik
basamaklar varsa yerine sıfır yazılır. Örnek:
3,7 . 34,12 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
Buna göre, 082,903,7 . 34,12 dir.
Örnek:
004,0 ile 12 sayılarını çarpalım.
Çözüm:
Buna göre, 0048,00,004 . 12 dir.
Örnek:
1000 . 12,34100 . 1,410 . 04,0 işleminin sonucunu
bulalım. Çözüm:
0,410 . 04,0 (ondalık kısım 1 basamak kaydırıldı)
140100 . 1,4 (ondalık kısım 2 basamak kaydırıldı)
123401000 . 12,34 (ondalık kısım 3 basamak kaydırıldı)
Buna göre,
123401400,41000 . 12,34100 . 1,410 . 04,0
4,2480 olur.
4. Bölme İşlemi Bölme işlemi yapılırken ondalık kesri virgülden
kurtarmak için pay ve paydadan virgül kaç basamak kaydırılırsa
diğerlerinden de o kadar basamak kaydırılır. Eksik basamaklar varsa
yerine sıfır yazılır. Örnek:
04,0
42,0 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
2
21
4
42
04,0
42,0 olur.
-
9
Örnek:
48,0
2,13 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
2
55
48
1320
48,0
2,13
Örnek:
12,1
2,11
48,0
2,13 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
201010112
1120
132
1320
12,1
2,11
48,0
2,13 olur.
Örnek:
5
2
10
10
3,2 işleminin sonucunu bulalım.
Çözüm:
23,252523,02
5.1023,0
5
2
10
10
3,2
Örnek:
c,b,a onluk sayma sisteminde birer rakam ve abc üç
basamaklı bir doğal sayı olmak üzere,
bc,a
c,ab
bc,a
abc
işleminin sonucunu bulalım. Çözüm:
100.bc,a
10.10.c,ab
100.bc,a
100.abc
bc,a
c,ab
bc,a
abc
11010100abc
10.abc
abc
100.abc
Örnek:
a ve b iki basamaklı, ab ve ba dört basamaklı doğal
sayılar olmak üzere,
a,b
ba.
b,a
ab
işleminin sonucunu bulalım. Çözüm:
xy ve kr iki basamaklı olmak üzere,
xya ve krb olsun. Buna göre,
100.xy,kr
100.krxy.
100.kr,xy
100.xykr
xy,kr
krxy.
kr,xy
xykr
a,b
ba.
b,a
ab
10000100.100krxy
100.krxy.
xykr
100.xykr dir.
F. Devirli Ondalık Açılımlar Bir rasyonel sayı ondalıklı
yazıldığında, ondalıklı kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra
sonsuza kadar tekrar ediyorsa (devrediyorsa) bu sayıya devirli
ondalık açılım denir.
4,3...444,3
423,12...3424242,12
55134,5...13455155155,5
373,19...373373373,19
sayıları birer devirli ondalık açılımdır.
-
10
Devirli Ondalık Açılımın Rasyonel sayıya Dönüştürülmesi
Bir devirli ondalık açılımı b
a şeklinde yazarken;
Virgül ve devreden dikkate alınmadan; okunan
sayıdan, devretmeyen sayı çıkarılarak paya yazılır. Paydaya ise
virgülden sonraki devreden basamak
sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır
yazılır.
e,d,c,b,a birer rakam olmak üzere,
9900
abcabcdedebc,a
dir.
Örnek:
3447,0 devirli ondalık açılımı rasyonel sayıya çevirelim.
Çözüm:
9900
4687
9900
4747343447,0
Örnek:
420,3 devirli ondalık açılımı rasyonel sayıya çevirelim.
Çözüm:
165
502
6:990
6:3012
990
303042420,3
Örnek:
37,12 devirli ondalık açılımı rasyonel sayıya çevirelim.
Çözüm: 1.Yol
15
191
6:90
6:1146
90
127127337,12
2.Yol
90
17731237,01237,12
90
1146
90
6690.12
90
6612
Örnek:
97,12 devirli ondalık açılımı rasyonel sayıya çevirelim.
Çözüm:
28,110
128
9:90
9:1152
90
127127997,12
Sonuç Devreden rakam sadece 9 ise 9 un solundaki basamaktaki
rakam sayısal değeri bakımından 1 arttırılıp devreden 9 atılır.
Örnek:
35,2934,2
3,092,0
39,2 tür.
Örnek:
924,1
94,2 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
5,294,2
25,1924,1 olduğu için,
2125
250
25,1
5,2
924,1
94,2 dir.
-
11
Örnek:
4,16,3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
2,24,16,3
Örnek:
5,32,3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
7,65,32,3
Örnek:
5,47,3 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
...777,37,3
...555,45,4
sayıları taraf tarafa toplarken bir önceki örnekte olduğu gibi
işlem yaptığımızda bir karışıklık olabilir. Bu durumda, aşağıdaki
işlemler yapılır.
3,89
75
9
41
9
34
9
445
9
3375,47,3
3,85,47,3
G. Rasyonel Sayılarda Sıralama Pozitif rasyonel sayılar
sıralanırken aşağıdaki üç kuraldan biri kullanılır. Kural Paydaları
eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan, payı küçük olan daha
küçüktür. Örnek:
9
7
9
6
9
5
9
4
Kural Payları eşit olan pozitif iki rasyonel sayıdan, paydası
küçük olan daha büyüktür. Örnek:
3
4
5
4
7
4
9
4
Kural Pay ve paydası arasındaki farkı eşit olan pozitif
kesirlerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe; basit kesirlerin
değeri artar, bileşik kesirlerin değeri azalır. Örnek:
4
3 ,
2
1 ,
12
11 ,
28
27
Pay ve paydası arasındaki farkı eşit olan yukarıdaki basit
kesirlerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe değeri artar. Buna
göre, bu sayıların sıralanışı;
28
27
12
11
4
3
2
1 dir.
-
12
Örnek:
2
5 ,
8
11 ,
35
38 ,
46
49
Pay ve paydası arasındaki farkı eşit olan yukarıdaki bileşik
kesirlerin pay ve paydasındaki sayılar büyüdükçe değeri azalır.
Buna göre, bu sayıların sıralanışı;
46
49
35
38
8
11
2
5 dır.
Örnek:
3
2 ,
5
4 ,
15
13
rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Çözüm:
3
2 ,
5
4 ,
15
13 kesirlerinin paydalarını eşitlersek,
15
10
)5(3
2 ,
15
12
)3(5
4 ,
15
13
)1(15
13 olur.
15
13
15
12
15
10 olduğu için,
15
13
5
4
3
2 tir.
Uyarı Negatif sayılar karşılaştırılırken önce sayıların
işaretine bakılmaksızın sıralama yapılır. Sonunda pozitif sayılar
için bulunan sıralamanın tam tersi alınır. Örnek:
13
10a ,
103
100b ,
1003
1000c
olduğuna göre, a, b ve c arasındaki sıralamayı bulalım.
Çözüm:
c,b,a nin işaretleri düşünülmeden,
13
10 ,
103
100 ,
1003
1000
kesirleri, pay ve paydaları arasındaki farkı 3 olan basit
kesirlerdir. Bundan dolayı
1003
1000
103
100
13
10 tür.
Fakat a, b ve c negatif sayı olduklarından dolayı,
1003
1000
103
100
13
10 olur.
Buna göre, cba dir.
Kural Pozitif ondalık kesirlerde karşılaştırma yapılırken,
soldan sağa doğru, aynı basamaktaki rakamlar karşılaştırılır. Bu
karşılaştırmada, sayı değeri büyük olan rakamın yer aldığı kesir,
diğerlerinden büyük olur. Örnek:
998,2269,3278,3
Örnek:
46,2x , 46,2y
sayılarını sıralayalım. Çözüm: Bu iki ondalık kesrin tam
kısımları aynı, onda birler basamağındaki rakamlar aynı, yüzde
birler basamağındaki rakamlar da aynıdır. Birinci ondalık kesrin
binde birler basamağındaki rakam 0, ikinci ondalık kesrin binde
birler basamağındaki rakam 4 tür.
04 olduğundan 4600,2...4646,2 olup xy tir.
-
13
Örnek:
4
3 , 38,0 ,
10
9
sayılarını sıralayalım. Çözüm: Verilen sayıları sıralamak için
birkaç yöntem kullanılabilir. Biz burada sayıların ondalık
açılımlarını yazarak sıralama yapacağız.
75,0100
75
)25(4
3 tir.
9,010
9 dur.
75,038,09,0 olduğu için
4
338,0
10
9 tür.
H. İki Rasyonel Sayıla Arasına Sayı Yazma İki rasyonel sayı
arasına pek çok rasyonel sayı yazılabilir. Ancak belli şartlarda
iki rasyonel sayı arasına sonlu sayıda rasyonel sayı yazmak
mümkündür. İki kesir arasına belli şartları sağlayan sayılar yazmak
için; 1. İki kesrin paydaları eşitlenir. 2. İstenen şartları
sağlayan sayıları bu kesirlerin arasına
yazmak için genişletme veya sadeleştirme işlemi yapılır.
Örnek:
a ve b pozitif tam sayı olmak üzere,
50a
5
4
b
a
4
3
olduğuna göre, b
a nin en küçük değerini bulalım.
Çözüm:
4
3 ve
5
4 kesirlerinin paydalarını eşitlersek,
20
16
b
a
20
15
)4(5
4
b
a
)5(4
3 olur.
20
16
b
a
20
15 eşitsizliğinde verilenlere uygun
b
a kesri
yoktur. Kesirleri tekrar genişletirsek;
40
32
b
a
40
30
)2(20
16
b
a
)2(20
15 olur.
Bu eşitsizlikte, 40
31
b
a tır.
Uyarı
d
c
b
a ise,
d
c)
d
c
b
a.(
2
1
b
a dir.
b
a ,
d
c ve )
d
c
b
a.(
2
1 sayıları sayı doğrusu üzerinde
gösterilirse, )d
c
b
a.(
2
1 nin
b
a ve
d
c ye eşit uzaklıkta
olduğu, diğer bir ifadeyle orta noktada olduğu görülür.
-
14
Çözümlü Sorular
1. 0c
ca3
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle doğrudur.
A) 0a B) 0c C) 0a
D) 0ca E) 0c
Çözüm:
0c
ca3
ise, 0ca3 ve 0c
ise, a3c ve 0c
ise, 0a ve 0c dır.
2. 10
1
5
4
3
54
3
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
)2(10
1
)5(4
15
)1(20
3
10
1
4
5.3
5
1.
4
3
10
1
5
4
3
5
4
3
20
2753
20
2
20
75
20
3
2
7
20
70
3. 2, 3, 5, 6 rakamlarının ikisinden oluşturulan iki
basamaklı bir sayı pay, diğer ikisinden oluşturulan iki
basamaklı bir sayı da payda olmak üzere elde edilebilecek pozitif
kesirlerden en küçüğünün yaklaşık değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 35,0 B) 39,0 C) 41,0 D) 45,0 E) 49,0
Çözüm: Bu şartlara uygun en küçük kesir; payı en küçük ve
paydası en büyük olan kesirdir.
Buna göre, bu kesir 65
23 dir.
35,065
23 tir.
4. )5
1
2
1
4
1()
5
1
2
1(
3
1 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
12
7
12
34
)3(4
1
)4(3
1
5.
2
14
)23
1()
3
13(
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
6. )6
11).(
5
11).(
4
11).(
3
11).(
2
11( işleminin
sonucu kaçtır? Çözüm:
-
15
7. 4
1
5
2:
4
3
3
1.
2
12 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
4
1
2
5.
4
3
3
1.
2
5
4
1
5
2:
4
3
3
1.
2
12
)6(4
1
)3(8
15
)4(6
5
24
19
24
64520
8. c,b,a sıfırdan farklı reel sayılardır.
c.b
a
kesrindeki c,b,a sayılarının her birini 3 ile
böldüğümüzde oluşan yeni kesir, c.b
a kesrinin kaç
katıdır? Çözüm:
c.b
a kesrindeki c,b,a sayılarının her birini 3 ile bölünürse
sonuç,
c.b
a.3
c
3.
b
3.
3
a
3
c.
3
b
3
a
olur.
Bu durumda, oluşan yeni kesir c.b
a nin 3 katıdır.
9. Bir kesrin payı ve paydası birer tam sayıdır.
Buna göre, 3
2 e denk olan bu kesrin pay ve paydasının
toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 12 B) 24 C) 32 D) 45 E) 54
Çözüm:
3
2 e denk olan kesir
k.3
k.2 olsun.
Bu kesrin pay ve paydasının toplamı
k.5k.3k.2 olur.
Yani pay ile paydanın toplamı 5 in katı olmalıdır. Seçeneklerde
bu koşula uyan yalnızca 45 vardır.
10. x61
34
29
13 olduğuna göre,
61
27
29
45 toplamının x
türünden değerini bulunuz. Çözüm:
Ax12
Ax3
x3A
11.
a
11
1
1a
1
11
kesrinin kısaltılmışını bulunuz.
Çözüm:
-
16
12. Pozitif bir sayıyı 0,125 ile bölmek, bu sayıyı kaç ile
çarpmaktır? Çözüm:
8
1
1000
125125,0
olduğu için x herhangi bir pozitif sayı olmak üzere,
x.8
8
1
x
125,0
x tir.
Buna göre, pozitif bir sayıyı 0,125 ile bölmek, bu sayıyı 8 ile
çarpmaktır.
13.
3
11
1
3
12
2
11
2
1
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
14. 5
5
51
1
1
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
x5
5
51
1
1
olsun.
olur.
x5
x5x
5
x1
x5x5
x45
4
5x olur.
15. 15,0
0045,0 kesrinin değerini bulunuz.
Çözüm:
03,0100
3
100.15
45
1500
45
15,0
0045,0
16. 5
yx1,13,12,0 eşitliğinde x ve y, 5 ten küçük
birer doğal sayı olduğuna göre, y kaçtır? Çözüm:
5
yx1,13,12,0
5
yx6,2
5
yx6,02
5
yx
10
62
-
17
5
yx
2
32
olduğuna göre; 2x , 3y tür.
17. 05,0
30
2,0
02,2
5,1
15,0 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
5
3000
20
202
150
15
05,0
30
2,0
02,2
5,1
15,0
60010
101
10
1
60010
102
6002,10
8,589
18. )2,02,1).(128,024,0632,0( işleminin sonucu
kaçtır? Çözüm:
olduğu için,
11.1)2,02,1).(128,024,0632,0( dir.
19. )2,022,0.(96,0 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
olduğundan 0192,002,0.96,0)2,022,0.(96,0 dir.
20. x pozitif bir ondalık sayı olmak üzere, 20
1x
işleminin sonucu bir tam sayıdır.
Buna göre, x in virgülden sonraki kısmı kaçtır? Çözüm:
120
1x olsun.
05,105,0120
11x olur.
Bu durumda, x in virgülden sonraki kısmı 05 tir.
21. b sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere,
b0,0b,0bb,b
b0,0b,0b
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
11,1b
11,1.b
b
bb,b
b0,0b,0bb,b
b0,0b,0b
dir.
22. 30,03,0
2,020,0
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
3
2
27
18
90
330
90
202
)1(90
3
)10(9
3
)10(9
2
)1(90
2
30,03,0
2,020,0
tür.
23. 2,13,2
3,15,3
işleminin sonucu kaçtır?
-
18
Çözüm:
9
32
9
20
9
11
9
21
9
12
9
32
9
112
9
223
9
113
9
335
2,13,2
3,15,3
8
5
32
20
32
9.
9
20 dir.
24. x ve y devirli ondalık açılım olmak üzere,
3,0x ve 18,0y olduğuna göre,
y.x
yx kaçtır?
Çözüm:
3
1
9
33,0x
11
2
99
1818,0y
olduğu için,
2
173
2
11
x
1
y
1
y.x
y
y.x
x
y.x
yx
olur.
25. x ve y aralarında asal iki doğal sayı olmak üzere,
5,05,5x
yx
olduğuna göre yx kaçtır?
Çözüm:
5,05,5x
yx
10
5
9
55
x
y
x
x
90
45
90
505
x
y1
90
45
90
504
x
y
90
4550360
x
y
18
91
90
455
x
y
x ve y aralarında asal iki doğal sayı ise,
18x ve 91y dir.
Buna göre, 1099118yx dur.
26. c,b,a birer pozitif tam sayı olmak üzere,
14
55
5,0c
ba
olduğuna göre cba toplamı kaçtır?
Çözüm:
9
51
32
9
14
32
14
272
14
272.14
14
55
olduğuna göre,
14
55
5,0c
ba
9
51
32
9
5c
ba
olur.
Buna göre, 1c , 3b , 2a ve 6cba dır.
27.
39
10
7
2
27
14
13
5
7
37,0
işleminin sonucu kaçtır?
-
19
Çözüm:
2
3
)13
5
7
3
9
7.(
3
2
13
5
7
3
9
7
39
10
7
2
27
14
13
5
7
37,0
28. a ve b sıfırdan ve birbirinden farklı birer rakam olmak
üzere,
b,0a,0
a,bb,a
kesrinin değeri kaçtır?
Çözüm:
9
b
9
a
9
bba
9
aab
b,0a,0
a,bb,a
9
ba
9
)bab10(aba10
9
ba
9
b8a8
8ba
9.
9
)ba.(8
dir.
29. 3
2x ,
4
3y ,
6
5z
rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
Çözüm: Verilen kesirlerin paydalarını eştleyelim:
12
8
)4(3
2x ,
12
9
)3(4
3y ,
12
10
)2(6
5z
12
10
12
9
12
8 olduğu için,
12
10
12
9
12
8 dir.
Buna göre, zyx dir.
30. 2,0cba1,0
olduğuna göre, a, b, c sayıları sırasıyla aşağıdakilerin
hangisindeki sayılar olabilir?
A) 45
12,
45
11,
45
6 B)
27
7,
27
6,
27
4 C)
36
7,
36
6,
36
5
D) 18
6,
18
5,
18
2 E)
54
15,
54
9,
54
7
Çözüm:
2,0cba1,0 ise
)4(9
2cba
)4(9
1
ise 36
8cba
36
4 dır.
Buna göre; a, b, c sayıları sırasıyla, 36
7,
36
6,
36
5 olabilir.
31. 2
5n ifadesi basit kesir belirttiğine göre, n in
alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır? Çözüm:
2
5n ifadesi basit kesir olabilmesi için,
12
5n1
olmalıdır.
25n212
5n1
5255n52
3n7 tür.
n in alabileceği 3 farklı tam sayı değeri vardır. ( -6, -5, -4
)
-
20
32. a , pozitif bir ondalık kesirdir.
8
1a ifadesi bir tam sayı olduğuna göre, a nın
virgülden sonraki kısmını bulunuz.
Çözüm:
18
1a olsun.
875,0125,011000
1251
)125(8
11a olur.
Buna göre, a nın virgülden sonraki kısmı (ondalıklı kısmı) 875
tir. a nın virgülden önceki kısmı (tam kısmı) sabit bir
sayı değildir.
33. )56,06,0.(02,0
1 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
2100
4.
2
10004,0.
2
100)56,06,0.(
02,0
1
34.
3
13
13
1
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
21
8
3
21
1
8
33
1
3
8
13
1
3
13
13
1
dir.
35. )25
11).(
16
11).(
9
11).(
4
11( işleminin sonucu
kaçtır?
Çözüm:
tir.
36. 5
3:
4
132
4
123
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
73
5.
5
21
3
5.
4
5
4
21
3
5.
4
132
4
15
5
3:
4
132
4
123
37. 3
10.51
10.31
10.23
10.4
işleminin
sonucu kaçtır? Çözüm:
310.5
110.3
110.2
310.4
001,0.51,0.310.21000.4
005,03,0204000
305,4020
38. 6
1
5
1
4
1a olduğuna göre,
6
3
5
2
4
1
ifadesinin a cinsinden eşitini bulunuz. Çözüm:
6
2
5
1a
6
2
5
1
a
6
1
5
1
4
1
6
3
5
2
4
1
15
8a15
15
8a
)5(3
1
)3(5
1a
tir.
-
21
39.
x1
11
11
1xx
11
1A
olduğuna göre A nın x türünden
değerini bulunuz. Çözüm:
40. 2
22
11
1
sonsuz zincir kesrinin değeri kaçtır?
Çözüm:
x2
22
11
1
olsun.
olur.
x2
x2x
2
x1
x2x2
x32 3
2x olur.
41. 2
3
4
3:
4
1
6
23 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
2
3
3
1
6
23
2
3
3
4.
4
1
6
23
2
3
4
3:
4
1
6
23
6
9223
)3(2
3
)2(3
1
)1(6
23
26
12
42. 000066,0
000066,00066,066,0 işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
000066,0
666666,0
000066,0
000066,00066,066,0
1010166
666666
43. )76,084,0(:)2,0.8,16,2( işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
60,1:)36,06,2()76,084,0(:)2,0.8,16,2(
60,1
24,260,1:24,2
4,110
14
160
224
44. 03,0
02,02,0
9,01
2,02
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
1662203,0
18,0
1,0
2,2
03,0
02,02,0
9,01
2,02
-
22
45. 7,07,0
8,08,0
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
7
8
)9
1
10
1.(7
)9
1
10
1.(8
9
7
10
7
10
8
9
8
7,07,0
8,08,0
46. 20,0a , 03,0b , 16,1c
olduğuna göre cba kaçtır?
Çözüm:
99
2020,0a
99
303,0b
99
16116,0116,1c
olduğuna göre,
3
41
3
11
99
331
99
16320cba
tür.
47. 0x olmak üzere
5
xa ,
6
xb ,
7
xc
sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
Çözüm: Payları eşit olan negatif kesirlerden payı büyük olan
daha büyük olduğu için,
cba dir.
48. a ve b sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere,
b,0a,0
b,0a,0
işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
10
9
ba
9.
10
ba
9
b
9
a
10
b
10
a
b,0a,0
b,0a,0
dur.
49. ...00000045,0000045,00045,045,0
işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm: Verilen terimleri alt alta
yazıp toplayalım:
buna göre verilen ifadenin toplamı,
11
5
99
4545,0 olur.
KONU BİTMİŞTİR.
