МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО РАЗДЕЛУ "ДИНАМИКА"

«ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ»

Вариант № 26

Выполнил: студент гр.

Научный руководитель:

Тула, 2012

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

Аннотация 3

Схема механизма и данные для выполнения задания 4

Определение кинематических параметров движения механизма 5

1 Вывод дифференциального уравнения движения с использовани-

ем теоремы об изменении кинетической энергии механической

системы 5

2 Определение закона движения системы и реакций внешних и

внутренних связей 11

2.1 Определение закона движения системы 11

2.2 Определение реакций внешних и внутренних связей 14

3 Применение принципа Даламбера-Лагранжа и уравнений

Лагранжа 2 рода 17

3.1 Составление дифференциального уравнения движения механизма

с помощью принципа Даламбера-Лагранжа 17

3.2 Составление дифференциального уравнения движения механизма

с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода 22

6 Построение алгоритма вычислений 26

Результаты вычислений 28

Результаты оптимизации 29

Анализ результатов оптимизации 32

Литература 33

3

АННОТАЦИЯ.

Исследуется движение механической системы с одной степенью

свободы, представляющей собой совокупность абсолютно твердых тел,

связанных друг с другом посредством невесомых нерастяжимых нитей,

параллельных соответствующим плоскостям. Система снабжена внешней

упругой связью с коэффициентом жесткости с. На первое тело системы

действует сила сопротивления VR ⋅μ−= (Vr

– скорость центра масс тела 1)

и возмущающая гармоническая сила )sin()( 0 ptFtF = . Трением качения и

скольжения пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, про-

скальзывание нитей на блоках отсутствует. Требуется, используя основные

теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической меха-

ники, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внут-

ренних связей.

4

Схема механизма и данные для выполнения задания

рис. 1. Схема механизма.

Дано:

m1 = 3 кг r2 = 0,1 м c = 4000 Н/м s0 = 0,05 м

m2 = 1 кг r3 = 0,2 м μ = 100 H⋅c/м v0 = 0,1 м/с

m3 = 1 кг R3 = 0,4 м F0 = 50 Н

m4 = 1 кг i3 = 0,3 м p = π = 3,14 с-1

R4 = 0,1 м

4

3

1

2

F(t)

R

C

5

1. ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С

ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ

КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

Изобразим расчетную схему (рис. 2)

На рис. 2 обозначено:

4321 Р,Р,Р,Р – силы тяжести,

1N – нормальная реакция опорной плоскости,

упрF – упругая реакция пружины,

22 Y,X – реакции подшипника блока 2,

VR ⋅μ−= – сила вязкого сопротивления,

)(F t – возмущающая сила.

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы.

Будем определять положение системы с помощью координаты S . Начало

отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза

1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы

используем теорему об изменении кинетической энергии механической

системы в форме:

ie NNdtdT

+= (1.1)

где обозначено:

Т – кинетическая энергия системы, eN – сумма мощностей внешних сил, iN – сумма мощностей внутренних сил.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических

энергий тел, образующих механическую систему.

6

рис. 2. Расчетная схема.

1V

S

1P

2ω

упрF

4N

4CV

2CV

3

1

2

F(t)

20T

3P

3Y

3X

3ω

4P

2PR

4

сцF

7

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических

энергий тел, образующих механическую систему.

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энер-

гия равна:

2111 2

1 VmT = . (1.2)

Блок 2 и каток 4 совершают плоскопараллельное движение, поэтому

222

2222 2

121

ω+= CC JVmT , ,21

21 2

442444 ω+= CC JVmT (1.3)

где 2222 2

1 rmJ C = , 2444 2

1 RmJ C = – моменты инерции блока 2 и катка 4.

Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси.

Его кинетическая энергия определяется по формуле:

2333 2

1 ωCJT = (1.4)

где 2333 imJC = – момент инерции блока 3.

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

.4321 TTTTT +++= (1.5)

Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координа-

ты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то

кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются че-

рез кинематические параметры груза 1 соотношениями:

.

2,

2,2,,

3

34

43

34

33

2221 V

Rr

VVRRr

VRr

VVVV C ==ω=ω=ω== (1.6)

Подставляя (1.2), (1.3), (1.4) в (1.5) с учетом (1.6), окончательно по-

лучаем:

2

21 VmT np ⋅=

(1.7)

8

где кг

Rr

mR

immmmnp 25,8645,1 2

3

23

423

233

21 =+++= . (1.8)

называется приведенной массой.

Теперь вычислим правую часть уравнения (1.1) – сумму мощностей

внешних и внутренних сил.

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на

скорость точки приложения силы, а мощность момента силы – алгебраиче-

скому произведению момента силы на угловую скорость вращения тела, к

которому приложен момент:

( ).

,,cosωMN

VFN

M

F

±==⋅= VFVF

Знак "+" берется в том случае, если направления момента и угловой скоро-

сти одинаковы, а знак "–" если их направления противоположны.

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяе-

мой, т.е. тела, входящие в систему, не деформируемы и скорости их точек

относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил

будут равняться нулю 0=iN .

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, прило-

женных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной

схемы, таковыми являются силы 2033344 ,,,,,, TYXPFPN сц . Сумма мощностей

остальных сил равна:

,VF

,VP,

,VF

,VP

44

2222

1

11

1111

2

1

CупрynpF

CCP

R

F

P

VFN

VPNRVN

VFN

VPN

упр−=⋅=

=⋅=

−==⋅=

=⋅=

или

9

1111224 VFVPRVVPVFN CCynpe ++−+−=

С учетом кинематических соотношений (1.6) сумму мощностей

внешних сил преобразуем к виду:

VFN npe = (1.9)

где )(2 123

3 tFPRPFRr

F ynpnp ++−+−= (1.10)

называется приведенной силой.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины.

Полное удлинение пружины f равно сумме статического стf и динамиче-

ского 4S удлинений

4Sff ст += .

Тогда упругая сила будет равна:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⋅=+⋅= S

Rr

fcSfcF стCстynp3

34 2 .

Сила вязкого сопротивления SVR &μ−=⋅μ−= . Тогда приведенная сила

(1.10) в развернутой форме будет определяться выражением:

( )tFPSPSRr

cRr

fcF СТnp ++μ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−= 12

2

3

3

3

3 22 & (1.11)

В состоянии покоя 0== SS & и условием равновесия системы будет

служить уравнение

02 123

30 =++⋅−= PPRr

fcF стnp (1.12)

Из уравнения (1.12) определяется статическое удлинение пружины

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= )(

21

213

3 PPr

Rc

f ст . (1.13)

Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы

(1.11) будет иметь вид:

10

( )tFSS

Rr

cFnp +μ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= &

2

3

32 . (1.14)

Подставим выражения для кинетической энергии (1.7) и сумму мощ-

ностей всех сил (1.9) с учетом (1.14) в уравнение (1.1). Тогда, после диф-

ференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения систе-

мы:

( )tFSS

Rr

cSmnp +μ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= &&&

2

3

32 .

Общепринято такие уравнения представлять в виде:

( )npmtFSkSnS =++ 22 &&& , (1.15)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

1

3

3 02,222 −== cm

cRr

knp

– частота собственных колебаний,

106,62

−=μ

= cm

nnp

– показатель степени затухания колебаний.

Начальные условия:

при 0=t ⇒ 0000, SSSS

tt&& ==

==. (1.16)

Уравнения (1.15), (1.16) представляют математическую модель для

решения второй задачи динамики.

11

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ И РЕАКЦИЙ

ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СВЯЗЕЙ.

2.1. Определение закона движения системы

Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

),sin(0 ptFF =

где 0F – амплитуда возмущающей силы, p – циклическая частота возму-

щения.

Дифференциальное уравнение движения механической системы

(1.15) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:

),sin(2 02 pthSkSnS =++ &&& (2.1)

где прmFh 00 = .

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1)

складывается из общего решения однородного уравнения и частного ре-

шения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соот-

ветствующее неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:

.02 2 =++ SkSnS &&& (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

teAS λ= (2.3)

где A и λ – неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получим:

( ) 02 22 =++ teAkn λλλ

Так как мы ищем нетривиальное решение, то 0≠⋅ teA λ . Следователь-

но, должно выполняться условие

02 22 =++ kn λλ (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением диффе-

12

ренциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

122

2,1 kinknn ±−=−±−=λ . (2.5)

где 11221 06,6,17,21 −− ==−= сnсnkk .

В данном случае ( kn < ) общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

[ ])cos()sin( 1.211 tkAtkAeS nt += − ,

где 21 , AA – постоянные интегрирования,

221 nkk −= .

Данное выражение нетрудно представить в виде

( )β+= − tkeaS ntOD 1sin (2.6)

где a , β – постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального

уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части

( ) ( )ptBptASЧ cossin ⋅+⋅= (2.7)

Подставляя (2.7) в (2.1), после несложных преобразований получим

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ).sincos2sin2 02222 pthptpkBApnptpBnpkA =⋅−⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−−⋅

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометриче-

ских функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравне-

ний для определения постоянных A и B :

( ) 022 2 hpBnpkA =⋅⋅⋅−−⋅ , ( ) 02 22 =−⋅+⋅⋅⋅ pkBpnA

Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения

для коэффициентов A и B :

( )( )

,4

022222

22

hpnpk

pkA⋅⋅+−

−=

( ).

42

022222h

pnpkpnB

⋅⋅+−

⋅⋅−=

Таким образом, решение (2.7) найдено. Складывая (2.7) и (2.6), по-

лучаем общее решение неоднородного уравнения (2.1)

13

( ) ( ) ( )ptBptAtkeаS nt cossinsin 1 ⋅+⋅+β+⋅⋅= − (2.8)

Константы а и β определяются из начальных условий (1.16). Для этого

найдем производную по времени от (2.8):

( ) ( )[ ]( ) ( ).cossin

cossin 111

ptpAptpBtkktkneаS nt

⋅⋅+⋅⋅−−β+⋅+β+⋅−⋅⋅= −&

(2.9)

Подчинив (2.8) и (2.9) начальным условиям, получим систему урав-

нений относительно искомых констант

( ) ,sin0 BаS +β⋅= [ ] .cossin 10 pAknаS ⋅+β⋅+β⋅−⋅=&

Решая эту систему, получаем:

( ) ( ) ,53,01 2

0021

20 мpABnSnS

kBSа =⋅−⋅−⋅+⋅+−= &

( ).23,1

00

01 радpABnSnS

BSktg =

⋅−⋅−⋅+−⋅

=β&

(2.10)

И, подставляя (2.10) в (2.8), получаем закон движения механизма,

выраженный через перемещение груза.

( ) ( ) ( )tttetS t 14,3cos00102,014,3sin013,023,117,21sin53,0)( 06,6 −++= − .

14

2.2. Определение реакций внешних и внутренних связей

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и

рисуем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).

К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис. 3), приме-

няем две из основных теорем механики материальной системы: теорему об

изменении количества движения и теорему об изменении кинетического

момента

∑= e

kC

tdmd FV (2.11)

∑= eCZ

CZ Mtd

Ld (2.12)

Для каждого тела уравнения (2.11) и (2.12) записываем в проекциях

на оси координат соответственно схемам рис. 3:

тело 1: .11211 FPRT

tdVmd

++−−= (2.13)

тело 2:

.

,

22322022

202321222

rTrTdt

Jd

TTTPdt

Vmd

C −=ω

−−+= (2.14)

тело 3:

.

,0,0

33433233

343

3233

rTRTtd

JdTX

TPY

C −=ω−=

−−=

(2.15)

тело 4:

.

,0

,

444

44

4344

RFtd

JdPN

FFTtdVmd

сцC

сцynpC

−=ω−=

+−=

(2.16)

15

рис. 3. Расчетные схемы для каждого тела механизма.

12T

F(t

1V

S

1P

23T

21T

2ω

20T

3ω

3P

3Y

3X

34T

2P

R

упрF

4N

4CV

4P

4

сцF

43T

32T

2CV

16

С учетом кинематических соотношений систему уравнений (2.13) –

(2.16) преобразуем к виду:

RFPSmT −++−= 1112&& ,

SmPTTT &&222021232 −+−= ,

232022

2 TTSrJ C −=&& ,

3233 TPY += , 343 TX = ,

,2 3343323

3 rTRTSRJ C −=&&

сцynp FFTSmRr

+−= 4343

32 && ,

44 PN = ,

443

32 RFSJRr

сцC −=&& .

(2.17)

Уравнения (2.17) составляют систему алгебраических уравнений от-

носительно функций S&& , 4N , 20T , 12T , 23T , 34T , 3X , 3Y .

17

3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И

УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 2 РОДА

3.1. Составление дифференциального уравнения движения

механизма с помощью принципа Даламбера – Лагранжа

Общее уравнение динамики системы есть математическое выраже-

ние принципа Даламбера-Лагранжа

0

1 1=+∑ ∑

= =

n

k

n

k

иk

ek AA δδ (3.1)

Здесь k

n

kk

n

k

akA rF δδ ⋅= ∑∑

== 11 – сумма элементарных работ всех активных сил на

возможном перемещении системы; k

n

kkk

n

k

иk mA ra δδ ⋅−= ∑∑

== 11 – сумма элемен-

тарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4). Пру-

жина является неидеальной связью. Введем реакцию этой связи в число

активных сил.

Сообщим системе возможное перемещение. Составим

кинематическое соотношение для системы:

.2

,2

,2,,3

34

43

34

33

2221 V

Rr

VVRRr

VRr

VVVV C ==ω=ω=ω==

откуда

SSS δ=δ=δ 21 , ,1

22 S

rδ=δϕ ,2

33 S

Rδ=δϕ

,2

33 S

Rδ=δϕ ,2

33 a

R=ε ,2

43

34 S

rRr

δ=δϕ

arR

r

43

34 2=ε , ,2

3

34 S

Rr

SC δ=δ .23

34 a

Rr

aC =

18

рис. 4. Расчетная схема.

2δϕ

ф3M

3δϕ

3ε

4Ca

упрF

4N 4

3

1

2

20T

3P

3Y

3X

4P

1a

F(t)

1sδ

1P

2Sδ

1Ф

2P

2Ф

2ε

ф2M

4Ф4Sδ

2Ca

ф4M

19

Работа активной силы определяется

∑ ∑=

δ⋅=n

kk

ak rFA

1

, ),cos( SFSFAak δ⋅δ⋅=δ .

Работы некоторых внешних сил будут равняться нулю, т.к. они при-

ложены в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной

схемы, таковыми являются силы 2033344 ,,,,,, TYXPFPN сц . Возможная работа

остальных активных сил определяется как сумма следующих элементар-

ных работ:

ynpFPRFP

n

k

ek AAAAAA δ+δ+δ+δ+δ=δ∑

=21

1,

oупр

oooon

k

ek

SF

SPSRStFSPA

180cos

0cos180cos0cos)(0cos 211

δ+

+δ+δ+δ+δ=δ∑=

(3.2)

( ) ,22 12

2

3

3

3

3

1SFStFPSPS

Rr

cRr

fcA прСТ

n

k

ek δ=δ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++μ−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=δ∑

=

&

где ( )tFPSPSRrc

RrfcF СТпр ++μ−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−= 12

2

3

3

3

3 22 & . (3.3)

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в

(3.3) 0== SS & получаем условие равновесия системы

02 123

3 =++⋅− PPRr

fc ст

откуда определяется статическое удлинение пружины

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= )(

21

213

3 PPr

Rc

f ст . (3.4)

Учитывая (3.2) и (3.4), получаем окончательное выражение для

приведенной силы

20

( )tFSSRr

cFnp +μ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= &

2

3

32 .

Аналогичное выражение для приведенной силы было получено ра-

нее (1.14).

Найдем возможную работу сил инерции:

44443322221

11 δϕ−δ−δϕ−δϕ−δ−δ−=δ∑

=

ФФФC

n

k

иk MSФMMSФSФA (3.5)

Используя кинематические соотношения, можно записать

SSS δ=δ=δ 21 , ,1

22 S

rδ=δϕ

,2

33 S

Rδ=δϕ ,2

33 a

R=ε ,2

43

34 S

rRr

δ=δϕ

arR

r

43

34 2=ε , ,2

3

34 S

Rr

SC δ=δ .23

34 a

Rr

aC =

Тогда для величин главных векторов и главных моментов сил инер-

ции имеем следующие выражения

11111 SmamФ &&== , 22222 ϕ=ε= &&CCФ JJM ,

22222 CC SmamФ &&== , 33333 ϕ=ε= &&CCФ JJM ,

44444 SmamФ &&== , 44444 ϕ=ε= &&CCФ JJM .

(3.6)

или, SmФ &&11 = ; S

rJM C

Ф &&

222

1= ,

SmФ &&22 = , S

RJM C

Ф &&

333

2= ,

43

344 2 S

Rr

mФ &&= , SrR

rJM C

Ф &&

43

344 2= .

(3.7)

21

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

SS

Rr

mR

immmA

n

k

uk δ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++=δ∑

=

&&23

23

423

233

211

645,1 (3.8)

или

SSmA np

n

k

иk δδ ⋅⋅−=∑

=

&&1

, (3.9)

где 23

23

423

233

21 645,1Rr

mR

immmmnp +++= .

Аналогичное выражение для приведенной массы системы было по-

лучено ранее (1.8). Подставляя выражения (3.3) и (3.9) в общее уравнение

динамики (3.1) получим

( ) 02

2

3

3 =δ−δ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+μ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− SSmStFSS

Rr

c np&&& (3.10)

Разделив (3.10) на 0≠Sδ , получаем дифференциальное уравнение

вынужденных колебаний системы:

( )pthSkSnS sin2 02 =++ &&& , (3.11)

где 1

3

3 02,222 −== cmc

Rr

knp

, 106,62

−=μ

= cm

nnp

, 20

0 06,6см

mF

hnp

== .

Дифференциальное уравнение (3.11) полностью совпадает с уравне-

нием (1.15) полученным ранее.

22

3.2. Составление дифференциального уравнения движения

механизма с помощью уравнения Лагранжа 2 рода

Составим теперь уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обоб-

щенной координаты примем перемещение груза 1 – S . Для механической

системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движе-

ния в обобщенных координатах имеет вид:

Q

ST

ST

tdd

=−∂∂

∂∂&

(3.12)

где T – кинетическая энергия системы; Q – обобщенная сила; S – обоб-

щенная координата.

Составим кинематические соотношения системы:

VRr

VVRRr

VRr

VVVV C3

34

43

34

33

2221

2,

2,2,, ==ω=ω=ω== ,

SSS δ=δ=δ 21 , ,1

22 S

rδ=δϕ ,2

33 S

Rδ=δϕ , ,2

43

34 S

rRr

δ=δϕ SRr

SC δ=δ3

34 2 .

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических

энергий тел, образующих механическую систему.

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энер-

гия равна:

2111 2

1 VmT = . (3.13)

Блок 2 и каток 4 совершают плоскопараллельное движение, поэтому

222

2222 2

121

ω+= CC JVmT , ,21

21 2

442444 ω+= CC JVmT (3.14)

где 2222 2

1 rmJ C = , 2444 2

1 RmJ C = – моменты инерции блока 2 и катка 4.

Блок 3 совершает вращательное движение около неподвижной оси.

Его кинетическая энергия определяется по формуле:

23

2333 2

1 ωCJT = (3.15)

где 2333 imJC = – момент инерции блока 3.

Кинетическая энергия всего механизма будет равна:

.4321 TTTTT +++= (3.16)

Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координа-

ты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то

кинематические характеристики всех тел механизма легко выражаются че-

рез кинематические параметры груза 1 соотношениями:

.

2,

2,2,,

3

34

43

34

33

2221 V

Rr

VVRRr

VRr

VVVV C ==ω=ω=ω== (3.17)

Подставляя (1.2), (1.3), (1.4) в (1.5) с учетом (1.6), окончательно по-

лучаем:

2

21 VmT np ⋅=

где кг

Rr

mR

immmmnp 25,8645,1 2

3

23

423

233

21 =+++= . (3.18)

Учитывая, что 22 SV &= , получаем

2

21 SmT np

&⋅= . (3.19)

Производные от кинетической энергии

SmST

dtdSm

ST

ST

прпр&&

&&

&=

∂∂

=∂∂

=∂∂ ,,0 .

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное

перемещение, при котором координата S получит приращение Sδ , и вы-

числим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном пере-

мещении точек их приложения.

Работы некоторых внешних сил будут равняться нулю, т.к. они при-

ложены в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной

24

схемы, таковыми являются силы 2221 ,,, PYXN . Возможная работа осталь-

ных активных сил определяется как сумма следующих элементарных ра-

бот:

ynpFPRFP

n

k

ek AAAAAA δ+δ+δ+δ+δ=δ∑

=21

1

,

oупр

oooon

k

ek

SF

SPSRStFSPA

180cos

0cos180cos0cos)(0cos 211

δ+

+δ+δ+δ+δ=δ∑=

(3.20)

( ) ,22 12

2

3

3

3

3

1SFStFPSPS

Rr

cRr

fcA прСТ

n

k

ek δ=δ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++μ−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=δ∑

=

&

где ( )tFPSPSRr

cRr

fcF СТпр ++μ−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−= 12

2

3

3

3

3 22 & . (3.21)

В состоянии покоя системы приведенная сила равна нулю. Полагая в

(3.21) 0== SS & получаем условие равновесия системы

02 123

3 =++⋅− PPRr

fc ст ,

откуда определяется статическое удлинение пружины

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= )(

21

213

3 PPr

Rc

f ст . (3.22)

Учитывая (3.20) и (3.22), получаем окончательное выражение для

приведенной силы

( )tFSSRr

cFnp +μ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= &

2

3

32 ,

( ) StFSSRr

cAn

k

ek δ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+μ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=δ∑

=

&2

3

3

12 .

В тоже время известно, что

25

SQA

n

k

ek δδ ⋅=∑

=1 (3.23)

Из (3.23) получаем выражение для обобщенной силы:

( )tFSS

Rr

cQ +μ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= &

2

3

32 (3.24)

Подставляя кинетическую энергию (3.19) и обобщенную силу (3.24)

в уравнение Лагранжа получаем

( )tFSSRr

cSmnp +μ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= &&&

2

3

32

или ( )pthSkSnS sin2 02 =++ &&& , (3.25)

где 1

3

3 02,222 −== cmc

Rr

knp

, 106,62

−=μ

= cm

nnp

, 20

0 06,6см

mF

hnp

== .

Полученное уравнение (3.25) совпадает с уравнениями (1.15) и (3.11).

26

ПОСТРОЕНИЕ АЛГОРИТМА ВЫЧИСЛЕНИЙ

1. Исходные данные:

1m , 2m , 3m , 4m , c , μ , 2r , 3r , 3R , 3i , 4R , 0F , p , 0S , 0S& , g .

2. Вычисление констант

22222 rmJC = , 2

333 imJC = , 22444 rmJC = ,

23

23

423

233

21 645,1Rr

mR

immmmnp +++= ,

npmc

Rr

k3

32= ,

npmn

2μ

= ,

221 nkk −= ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= )(

21

213

3 PPr

Rc

f ст ,

прmFh 00 = ,

( ) ( )2120021

2200

1 pBBnSnSk

BSA −−++−= & ,

( )1200

2010 BpBnSnS

BSkarctg−−+

−=

&α

( ) 22222004

1pnpk

hB+−

= ,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 2202

pkpnarctgβ ,

27

3. Задаем начальное время 0=t .

4. Вычисление искомых функций

( ) ( )00010 sinsin βα +++= − ptBtkeAS nt

[ ] )cos()sin()cos( 00010110 βαα +++−+= − ptpBtkntkkeAS nt&

,2)sin( 20 SkSnpthS −−= &&&

5. Вычисление реакций связей

RFPSmT −++−= 1112&& ,

2/)( 22202123 SmPTTT &&−+−= ,

2322

220 TS

rJ

T C += && ,

3233 TPY += , 343 TX = ,

,233

3

3

33234 S

RrJ

rR

TT C &&−=

сцynp FSmRr

TF +−= &&4

3

343 2 ,

44 PN = ,

SJRR

rF Cсц

&&4

43

32−= .

6. Определение значения времени на следующем шаге ttt Δ+= .

7. Возврат к пункту 4. пока конtt ≤

8. Отображение результатов вычисления на графиках.

28

Результаты вычислений ---------------------------------------------------------------- Фамилия: , Имя: , Отчество: Группа: 0, Вариант: 26 ----------------------------------------------------------------- M1= 7.000 M2= 1.000 M3= 1.000 M4= 1.000 i1= 0.000 i2= 0.000 i3= 0.300 i4= 0.000 r1= 0.000 r2= 0.100 r3= 0.200 r4= 0.100 R1= 0.000 R2= 0.100 R3= 0.400 R4= 0.100 Mu=100.000 C=4000.000 F0= 50.000 P= 3.140 S0= 0.050 V0= 0.100 alfa= 1.571 beta= 0.000 ----------------------------------------------------------------- K= 75.425 n= 4.444 K1= 75.294 Мпр= 11.250 Cпр=64000.000 +-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+ | T | S | V | W | T12 | T23 | T34 | Fsc | +-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+ | 0.000| 0.050| 0.092| -0.379| 62.102| 36.235| 72.898| 0.000| | 0.050| -0.034| 1.712|-15.519| 13.816| 23.447| 64.353| 0.000| | 0.100| 0.013| -2.279| 20.367|169.333| 74.292|125.671| 0.000| | 0.150| 0.006| 1.872|-16.591| 20.204| 27.445| 73.555| 0.000| | 0.200| -0.015| -0.968| 8.471|135.432| 66.263|122.996| 0.000| | 0.250| 0.017| 0.064| -0.418|100.507| 55.467|111.404| 0.000| | 0.300| -0.011| 0.543| -4.918| 89.200| 53.188|111.908| 0.000| | 0.350| 0.005| -0.742| 6.644|140.870| 70.352|133.231| 0.000| | 0.400| 0.002| 0.621| -5.497| 92.553| 55.299|116.782| 0.000| | 0.450| -0.004| -0.329| 2.890|130.666| 68.066|132.881| 0.000| | 0.500| 0.006| 0.031| -0.222|117.052| 63.593|127.436| 0.000| | 0.550| -0.003| 0.170| -1.542|111.737| 61.925|125.586| 0.000| | 0.600| 0.002| -0.243| 2.179|125.205| 65.868|129.285| 0.000| | 0.650| 0.001| 0.204| -1.805|105.388| 58.948|119.928| 0.000| | 0.700| -0.001| -0.113| 0.999|113.420| 60.861|120.599| 0.000| | 0.750| 0.002| 0.012| -0.087|103.403| 56.667|113.430| 0.000| | 0.800| -0.001| 0.052| -0.468| 96.133| 53.317|107.161| 0.000| | 0.850| 0.001| -0.081| 0.728| 94.366| 51.537|102.256| 0.000| | 0.900| 0.000| 0.066| -0.580| 81.617| 46.144| 92.940| 0.000| | 0.950| -0.000| -0.040| 0.355| 78.043| 43.655| 86.911| 0.000| | 1.000| 0.001| 0.003| -0.024| 68.523| 39.179| 78.385| 0.000| | 1.050| -0.001| 0.014| -0.133| 60.347| 35.174| 70.498| 0.000| | 1.100| -0.000| -0.028| 0.248| 54.292| 31.860| 63.441| 0.000| | 1.150| -0.000| 0.020| -0.183| 45.235| 27.655| 55.516| 0.000| | 1.200| -0.001| -0.015| 0.126| 39.885| 24.748| 49.354| 0.000| | 1.250| -0.000| 0.001| -0.008| 33.318| 21.565| 43.138| 0.000| | 1.300| -0.001| 0.004| -0.041| 28.112| 18.987| 38.019| 0.000| | 1.350| -0.001| -0.009| 0.078| 24.494| 17.088| 34.088| 0.000| | 1.400| -0.001| 0.007| -0.066| 20.874| 15.386| 30.847| 0.000| | 1.450| -0.001| -0.005| 0.035| 19.462| 14.605| 29.171| 0.000| | 1.500| -0.001| 0.001| -0.014| 18.611| 14.216| 28.448| 0.000| | 1.550| -0.001| 0.002| -0.025| 19.169| 14.504| 29.035| 0.000| | 1.600| -0.001| -0.002| 0.011| 21.125| 15.454| 30.896| 0.000| | 1.650| -0.001| 0.004| -0.038| 23.897| 16.877| 33.797| 0.000| | 1.700| -0.001| -0.000| -0.006| 28.110| 18.959| 37.924| 0.000| | 1.750| -0.001| 0.002| -0.023| 33.101| 21.468| 42.961| 0.000| | 1.800| -0.000| 0.003| -0.026| 39.029| 24.434| 48.898| 0.000| | 1.850| -0.000| 0.001| -0.015| 45.741| 27.781| 55.579| 0.000| | 1.900| -0.000| 0.003| -0.030| 52.901| 31.373| 62.780| 0.000| | 1.950| -0.000| 0.002| -0.018| 60.559| 35.193| 70.408| 0.000| | 2.000| 0.000| 0.003| -0.023| 68.343| 39.089| 78.203| 0.000| +-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+-------+

29

Результаты оптимизации

30

31

32

Анализ результатов оптимизации

Используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы

теоретической механики, мы определили закон движения первого тела и

реакции внешних и внутренних связей. То, что при использовании различ-

ных теорем мы получили одинаковые законы движения, свидетельствует о

правильности полученных результатов. Однако, из-за того, что исходные

данные для расчета были выбраны произвольно, в некоторый момент на-

блюдалось провисание нитей, что привело бы к неверному описанию ре-

ального движения механизма полученным законом движения. Для приве-

дения в соответствие реального закона движения с полученным на основе

теорем, мы провели оптимизацию данных, в результате чего изменили

массу первого тела с 3 до 7 кг.

33

Литература

1. Методические указания для выполнения курсовой работы по разделу

«Динамика» «Исследование колебаний механической системы с одной

степенью свободы».

2. Конспекты лекций по разделу «Динамика».

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990.

– 607 с.

4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Т.2. - М.: Высшая школа,

1984. - 424 с.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1988. -

482 с.