Математические методы в экономикеvenec.ulstu.ru/lib/disk/2014/Bogomolova_1.pdf · В. Богомолова В.П. Глухов А.М. Лебедев

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

УЛЬЯНОВСКОЕ ВЫСШЕЕ АВИАЦИОННОЕ УЧИЛИЩЕ

ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ (ИНСТИТУТ)

И.В. Богомолова

В.П. Глухов

А.М. Лебедев

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

В ЭКОНОМИКЕ

Учебно-методическое пособие

Ульяновск 2005

ББК Ув6 я7

Б 74

Богомолова И.В. Математические методы в экономике: учеб.-метод.

пособие / И.В. Богомолова, В.П. Глухов, А.М. Лебедев. – Ульяновск:

УВАУ ГА, 2005. – 81 с.

Содержит необходимые теоретические сведения, методы решения за-дач экономического характера, задачи для контрольной и самостоятель-ной работы, список рекомендуемой литературы.

Предназначено курсантам и студентам заочной формы обучения спе-циализации 061140 – Менеджмент на воздушном транспорте, также может быть полезно обучающимся по другим специальностям.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………………….3 1. Производная в решении экономических задач………………………..4 2. Метод множителей Лагранжа…………………………………………12 3. Метод динамического программирования…………………………...17 4. Модель Леонтьева……………………………………………………...27 5. Линейная модель обмена………………………………………………31 6. Метод потенциалов в решении транспортной задачи……………….37 Задания для контрольной работы………………………………………..53 Библиографический список…………………….………………………..80

© Ульяновск, УВАУ ГА, 2005.

Математические методы в экономике. Учебнометодическое пособие.

Собержание

© НИЛ НОТ НИО УВАУ ГА(и), 2009 г Составитель: И.В. Богомолова, В.П. Глухов, А.М. Лебедев. Разработчик: С. П. Пугин.

2

ВВЕДЕНИЕ

Учебно-методическое пособие «Математические методы в экономи-

ке» составлено в соответствии с учебной программой одноименной дис-

циплины.

Необходимые теоретические сведения в пособии подкреплены приме-

рами. Разобранные в пособии конкретные задачи достаточно просты, что-

бы громоздкие вычисления не заслоняли существа метода. На практике

приходится сталкиваться с более сложными задачами, привлекая совре-

менную электронную технику.

В пособии представлены методы решения задач авиационной направ-

ленности, например: методы расчета оптимальной траектории полета са-

молета, методы оптимизации использования различных видов транспорта

и другие. Задачи носят оригинальный характер, определенные задачи со-

ставлены авторами пособия.

Математический аппарат, применяемый в пособии, несложен и нигде

не выходит за пределы курса математики, изучаемого на первых двух

курсах.

В конце пособия приведены задачи для контрольной работы или само-

стоятельного решения. Номер задания определяется последними двумя

цифрами номера зачетной книжки, если они ≤ 30, или остатком от деле-

ния числа, образованного последними двумя цифрами зачетной книжки,

на 30. Например, если последние две цифры зачетной книжки составляют

число 76, то обучающийся выбирает 16 вариант (76 = 2·30 + 16) в каждой

задаче.


Введение


3

1. ПРОИЗВОДНАЯ В РЕШЕНИИ

ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

При решении экономических задач довольно часто требуется найти

наилучшее в каком-то смысле решение. Применение производной при

этом, в ряде случаев, оказывается весьма эффективным и наилучшим спо-

собом, приводящим к результату.

Начнем с необходимых понятий и определений.

Определение 1.1. Число М называется максимумом функции f(x) на

множестве Х, если

f(x) ≤ М для любого х є Х.

Определение 1.2. Число m называется минимумом функции f(x) на

множестве Х, если

f(x) ≥ m для любого х є Х.

Определение 1.3. Значения независимой переменной х, при которых

f(x) = М или f(x) = m

называются соответственно точками максимума или минимума.

Понятия минимума и максимума объединяются общим термином экс-

тремум.

Определение 1.4. Точки, где производная функции обращается в нуль,

называются стационарными.

Приведем правило отыскания экстремумов функции f(x).

Правило 1.1. Для отыскания экстремумов функции следует найти ста-

ционарные точки, т.е. решить уравнение

f´(x) = 0.

Если слева от стационарной точки производная отрицательна, а справа –

положительна, то в этом случае функция f(x) в этой точке имеет минимум.


1. Производная в решении экономических задач


4

Если слева от стационарной точки производная положительна, а справа –

отрицательна, то в этом случае функция f(x) в этой точке имеет максимум.

В тех точках, при переходе через которые производная f´(x) не меняет

знака, нет ни минимума, ни максимума.

Задача 1.1. Месторождение полезных ископаемых П расположено в

100 км от города А и в 60 км от магистрали, проходящий через город А.

Из П в А можно попасть, проделав часть пути на вертолете до магистрали

(или сразу до города А), а затем на автомобиле, а из А в П наоборот. Тре-

буется спланировать маршрут перевозок пассажиров и грузов таким об-

разом, чтобы суммарная стоимость перевозок была наименьшей, если из-

вестно, что стоимость перевозок по магистрали 2 раза дешевле, чем вер-

толетом.

Решение.

По условию АП = 100 км, ПВ = 60 км, (ПВ⊥АВ). Следовательно АВ =

= 8060100 22 =− (км). Пусть часть перевозки из П осуществляется верто-

летом до точки С на магистрали и пусть

ВС = х, а оставшуюся часть пути СА на ав-

томобиле. Тогда АС = АВ – СВ = 80 – х,

ПС = 2260 х+ . Обозначив стоимость пе-

ревозки 1 единицы груза на 1 км по маги-

страли через р, найдем стоимость перевоз-

ки 1 единицы груза от П до А (или в обратном направлении):

).800(где,36002)80()( 2 ≥≤++−= хххрхS

Требуется найти наименьшее значение функции )(хS на отрезке [0; 80].

Найдем производную 23600

2)(х

рхрхS+

+−=′ .

А В

С Рис. 1

П




5

Решая уравнение )(хS′ = 0, найдем, что рассматриваемая функция )(хS

на данном отрезке имеет одну стационарную точку х0 = ,320 причем слева

от х0 функции )(хS принимает минимальное значение

).36080(120036002)32080()320( +=++−= рррS

Так как S(0) = S(80) = 200р > р(80 + 60 3 ), то в точке х0 функция при-

нимает наименьшее значение.

Задача 1.2. Расходы на топливо для самолета пропорциональны кубу

его скорости. Известно, что при скорости в 10 км/мин расходы на топливо

составляют 30 рублей в минуту, остальные же расходы (не зависящие от

скорости) составляют 480 рублей в минуту. При какой скорости самолета

общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей. Какова при этом

общая сумма расходов в минуту?

Решение.

Обозначим через ST расходы на топливо. А через υ скорость самолета.

Тогда, по условию задачи, ST = к·υ3 и 30 = к·103. Следовательно, к = 0,003,

а ST = 0,03·υ3. Обозначив через S0 общие расходы за 1 минуту, а через S1 на

1 км пути, получим 30 03,0480 υ⋅+=S , υ

υ 31

03,0480 ⋅+=S . Найдем наи-

меньшее значение последней функции:

2

32

1

03,048009,0υ

υυυ ⋅−−⋅=′S ,

1S′= 0 при υ = 20 км/мин, так как 1S′ < 0 при υ > 20 и 1S′ > 0 при υ > 20, то в

точке υ = 20 функция S1 имеет минимум.

Кроме того, 1S′ не существует при υ = 0 и S1 → ∞ при υ → 0.

Таким образом наименьшее значение S1 достигается при скорости

20 км/мин, а общие затраты в минуту составляют S0 = 480 + 0,09·203 =

= 720 (руб.).




6

Задача 1.3. (об оптимальном размере закупаемой партии товара).

Фирма закупает некоторый товар в течение планового периода партиями

одинаковой величины, при этом закупленный товар расходуется с посто-

янной скоростью. Как только запас товара кончаемся, закупается следую-

щая партия и т.д. Неизрасходованный товар фирма сдает на склад за опре-

деленную плату.

Предполагаются известными следующие данные:

Q – требуемое количество товара на плановый период;

с0 – стоимость единицы товара;

с1 – стоимость заказа одной партии товара (считается, что стоимость

заказа не зависит от величины заказываемой партии);

с2 – стоимость хранения единицы товара в течение планового периода

(считается, что стоимость хранения товара пропорциональна его количе-

ству и времени хранения).

Требуется определить оптимальный размер закупаемой партии товара

(т.е. такой, при котором суммарные затраты фирмы будут минимальными).

Решение.

Для решения задачи необходимо реализовать три этапа.

Этап 1. Построение математической модели задачи принятия реше-

ния (ЗПР). Здесь этот этап сводится к нахождению функции суммарных

затрат в зависимости от величины заказываемой партии товара. Пусть х –

величина заказываемой партии товара (по смыслу должно выполняться

условие 0 < х < Q, т.е. D(0, Q]). Затраты фирмы состоят из трех частей:

α) Затраты на покупку товара. Они равны с0Q и не зависят от вели-

чины заказываемой партии товара.

β) Затраты на заказы в течение планового периода. Число заказов

равно Q/x (точнее, Q/x, если это число оказывается целым, и [Q/x] +1 – в

противном случае; в рассматриваемой модели этим обстоятельством мы




7

пренебрегаем). Отсюда суммарная стоимость заказов в течение планового

периода равна с1 Q/x.

γ) Затраты на хранение товара. Стоимость подсчета затрат на хра-

нение товара осложняется тем, что в рассматриваемом случае количество

хранимого товара является не постоянным, а переменным. Поскольку за-

дача подсчета стоимости хранения переменного количества товара имеет

самостоятельный интерес, рассмотрим решение этой задачи в общем виде.

Итак, пусть количество товара, хранимого в течение некоторого вре-

менного периода [а, b], задается неотрицательной функцией q(t) ≥ 0, с –

стоимость хранения единицы товара в течение всего периода времени

Т = b – а. Чтобы решить задачу, какова должна быть стоимость хранения

товара за период времени Т, изобразим на координатной плоскости (по

оси абсцисс откладываем время t, по оси ординат – количество товара u)

график функции q(t) (рис. 2).

Рис. 2

Разобьем, как это принято при построении определенного интеграла, интервал [a, b] точками деления a = t0 < t1 < ·· < ti-1

товара остается практически неизменным и равным )( iq ξ . Учитывая, что

стоимость хранения пропорциональна количеству хранимого товара и времени хранения, получаем, что стоимость хранения товара в течение

периода [ti-1, ti] приблизительно равна ,)( abtсq ii −

Δξ откуда общая стои-

мость хранения υ за весь временной промежуток [a, b] определяется при-близительным равенством

( )∑= −

Δ≈

n

i

ii ab

tcq1

ξυ . (1.1)

Точное значение υ получается при переходе к пределу при условии, что

λ → 0 где λ = max Δti, учитывая, что сумма в правой части (1.1), является интегральной суммой, при переходе к пределу получаем определенный интеграл

( ) ( ) ( )∑ ∫∑= =→→ −

=Δ−

=−Δ

=n

i

b

a

n

iii

ii dttqab

ctqab

cab

tcq1 100

limlim ξξυλλ

Итак ( )∫−=b

adttq

abcυ . (1.2)

Так как ( )∫−b

adttq

ab1

– среднее значение функции q(t) на интервале

[a, b] приходим к следующему простому правилу.

Правило 1.2. Стоимость хранения переменного количества товара в течение некоторого временного периода равна стоимости хранения сред-него количества товара за этот период.

(Согласно (1.2) стоимость хранения получается умножением среднего количества хранимого товара на стоимость хранения единицы товара в те-чение всего временного периода).

Вернемся к подсчету стоимости хранения товара в задаче 1.3. В рас-сматриваемом случае переменное количество товара изображается графи-чески в виде системы параллельных отрезков (рис. 3). (Пояснение. Счита-ем, что заказы товара происходят в момент времени t0, t1, ..., tn-1, так как




9

товар расходуется равномерно, то его количество равномерно убывает на

каждом интервале [ti-1, ti] (i = n,1 ), поэтому оно изображается графически

на этом интервале прямой, имеющей отрицательный наклон). Среднее значение функции, график которой

изображен на рис. 3, можно подсчитать как

отношение суммарной площади построенных

прямоугольных треугольников к суммарной

длине их оснований; оно, очевидно, равно х/2.

По правилу 1.2 затраты на хранение товара в

течение планового периода составляют с2х/2, а

суммарные затраты можно представить в виде следующей функции

,2

)( 210xc

xQcQcxf ++=

заданной в области D = (0, Q].

Построением целевой функции (в данном случае – функции потерь) за-

канчивается первый этап.

Этап 2. Исследование построенной функции на экстремум.

Находим производную

( ) .2

22

1 cxQcxf +−=′

В случае, когда числовые значения величин Q, c0, c1, c2 заданы, нахож-

дение экстремума сводится к нахождению стационарных точек, т.е. к ре-

шению уравнения ( ) ,0=′ xf и сравнению значений функций f в стационар-ных точках и граничных точках интервала (см. правило 1.1). В рассматри-

ваемом случае попробуем проанализировать поведение функции f(x) в за-

висимости от величин Q, c0, c1, c2, рассматриваемых как параметры. Для

этого найдем интервалы распределения знаков производной. Имеем

( ) ;22

02

12

12

cQcx

xQccxf ≥⇔≥⇔≥′

U

tn t0 t1 t2 tn-1 t2

Рис. 3




10

( ) ;22

0 21

212

cQcx

xQccxf ≤⇔≤⇔≤′

( ) .202

1

cQcxxf =⇔=′

Итак, для функции f(x) имеется единственная стационарная точка

21* /2 cQcx = , причем левее точки х* функция f(x) убывает, а правее точки

х* функция – возрастает. Возможны два случая:

Qxa ≤*)( (т.е. х* є D);

( ) Qxб >* (т.е. х* ∉ D).

В случае (а) очевидно, что х* – единственная точка глобального мини-

мума функции f(x) на интервале (0, Q] (рис. 4). В случае (б) точкой гло-

бального минимума функции f(x) на интервале (0, Q] будет точка Q (рис. 5).

При этом случай (а) имеет место, когда ,/2 21 QcQс ≤ т.е. ;/2 21 ccQ ≥ слу-

чай (б) имеет место, когда ./2 21 ccQ <

Этап 3. Анализ результатов. Оптимальная величина х* заказываемой

партии товара зависит от соотношения между параметрами c1, c2, Q. Уста-

новим характер этой зависимости «на уровне здравого смысла».

1) х* должна быть монотонно возрастающей функцией от Q (если при

неизменной плате за заказы и за хранение потребуется большее количест-

во товара, то и величина заказываемой партии должна быть увеличена);

Q О Х** x

y

Рис. 4

Q О Х*

y

x

Рис. 5




11

2) х* должна быть монотонно возрастающей функцией от с1 (при увеличении стоимости заказов с1 выгодно уменьшить их число, а для это-го надо увеличить размер заказываемой партии);

3) х* должна быть монотонно убывающей функцией от с2 (при уве-личении стоимости хранения выгодно уменьшить количество хранимого товара, а для этого надо уменьшить размер заказываемой партии).

Функция 21* /2 cQcx = удовлетворяет всем перечисленным условиям.

Далее, возьмем какой-нибудь частный случай, например, х* = Q (т.е. когда оптимальным является решение о заказе всего требуемого товара целиком). Согласно формальным выкладкам, проведенным выше, такая

ситуация наступает при выполнении условия (б): ./2 21 ccQ < Интуитивно

ясно, что решение х* = Q будет оптимальным тогда, когда требуемое ко-личество товара Q «не слишком велико», а плата за хранение «достаточно мала» по сравнению с платой за заказ. Но тогда решение «заказать весь товар целиком» будет тем более верным при уменьшении Q, увеличении

с1 и уменьшении с2, что как раз имеет место для критерия ./2 21 ccQ <

Таким образом, содержательный анализ здесь согласуется с формаль-ным результатом.

Итак, оптимальное решение для задачи 1.3 состоит в следующем: если

21 /2 ccQ < , то надо весь товар заказать целиком; если 21 /2 ccQ ≥ , то товар

следует заказывать партиями по 21 /2 cQс за один заказ.




12

2. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

Рассмотрим в этом параграфе дифференцируемую функцию трех пере-

менных ),,( zyxfu = и предположим, что еще дано некоторое соотноше-

ние, связывающее переменные x, y, z: .0),,( =zyxϕ (1.3)

Последнее соотношение называется уравнением связи. Кроме того, бу-

дем предполагать, что функция φ(х, y, z) также дифференцируема.

Определение 2.1. Пусть дана М0(х0, y0, z0), координаты которой удов-

летворяют уравнению связи (*). Если во всех точках М(х, y, z) некоторой

окрестности точки М0, координаты которых также удовлетворяют уравне-

нию связи (1.3), выполняется неравенство

)),,(),,()(,,(),,( 000000 zyxfzyxfzyxfzyxf ,

то говорят, что функция и = f(х, y, z) имеет относительный максимум (от-

носительный минимум) в точке М0.

Таким образом, экстремум функции и = f(х, y, z) ищется в этом случае

только по поверхности φ(х, y, z) = 0, так как рассматриваются только те

точки пространства, которые лежат на поверхности.

Во многих задачах отыскание относительного экстремума удобнее все-

го находить так называемым методом множителей Лагранжа. Этот метод

состоит в следующем.

Пусть даны функция и = f(х, y, z) и уравнение связи φ(х, y, z) = 0 и пусть

известно, что в некоторой точке М0(х0, y0, z0) функция и = f(х, y, z) имеет

экстремум. Допустим, что уравнение связи определяет z = z(x, y) как неяв-

ную функцию x, y, и будем в функции и = f(х, y, z) подразумевать под z

именно эту неявную функцию. Тогда сложная функция и = f(х, y, z(x, y))

имеет обычный экстремум в точке (х0, y0). Следовательно, полный диффе-

ренциал этой сложной функции в точке (х0, y0) равен нулю. В силу неиз-


2. Метод множителей Лагранжа


13

менной формы полного дифференциала его можно написать в следующем

виде:

0),,(),(),,( 00000000' =′+′+ dzzyxfdyyxfdxzyxf zyx (1.4)

(здесь dx и dy – произвольные приращения независимых переменных, а dz

– дифференциал неявной функции z = z(x, y)).

Если в уравнении связи (1.3) под z подразумевать неявную функцию

z = z(x, y) (которая этим уравнением связи и определяется), то уравнение

(1.3) обратится в тождество относительно x и y:

0)),(,,( ≡yxzyxϕ .

Полный дифференциал левой части последнего соотношения тоже ра-

вен нулю при всех x и y, в частности и при х = х0, и y = y0. Опять в силу не-

изменной формы полного дифференциала пишем его в виде

( ) ( ) ( ) 0,,,,,, 000000000 =′+′+′ dzzyxdxzyxdxzyx zyx ϕϕϕ (1.5)

(dx и dy – произвольные приращения независимых переменных, а dz –

дифференциал неявной функции). Умножим равенство (1.5) на некоторый

числовой множитель λ и сложим почленно с равенством (1.4).

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] .0,,,,

,,,,,,,,

000000

000000000000

=′+′+

+′+′+′+′

dzzyxzyxfdyzyxzyxfdxzyxzyxf

zz

yyxx

ϕλ

ϕλϕλ (1.6)

Выберем число λ так, чтобы множитель при dz обращался в нуль:

0),,(),,( 000000' =′+ zyxzyxf zz ϕλ . (1.7)

Тогда равенство (3) примет вид:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]000000000000 ,,,,,,,, zyxzyxfdxzyxzyxf yyxx ϕλϕλ ′+′+′+′ . (1.8) В силу того, как указывалось выше, что множители dx и dy являются

произвольными числами, равенство (5) возможно только лишь если:

0),,(),,( 000000' =′+ zyxzyxf xx ϕλ , (1.9)

0),,(),,( 000000' =′+ zyxzyxf yy ϕλ . (1.10)




14

Если еще добавить равенство

φ(х0, y0, z0) = 0 (1.11)

(по условию координаты точки М0 удовлетворяют уравнению связи), то из

системы четырех уравнений (1.7), (1.8), (1.9), (1.10) можно определить че-

тыре неизвестные величины: x0, y0, z0 и λ.

Таким образом можно определить координаты x0, y0, z0 точки М, в ко-

торой функция и = f(х, y, z) имеет относительный экстремум.

Для запоминания можно дать следующее правило:

1) надо составить функцию

);,,(),,(),,( zyxzyxfzyxФ λϕ+=

2) приравнять нулю ее частные производные по x, y и z;

3) присоединить уравнение связи φ(х, y, z) = 0;

4) из полученной системы

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

=

=

.0),,(,0),,(

,0),,(,0),,(

'

'

'

zyxzyxФ

zyxФzyxФ

z

y

x

ϕ

Найти х, y и z. Они и дадут координаты точки относительного экстре-

мума.

Задача 2.1. Найти размеры прямоугольного контейнера наибольшего

объема, который можно поместить в фюзеляж самолета, имеющего форму

эллипсоида с полуосями а = 25 м, в = с = 3 м.

Решение.

Пусть уравнение эллипсоида имеет вид

,122

2

2

2

2

=++cz

by

ax




15

где a = 25; b = c = 3. Если точка М(x, y, z) является вершиной контейнера,

находящейся в первом октанте, то очевидно, объем контейнера будет ра-

вен V(x, y, z) = 8xyz.

Итак, требуется найти наибольшее значение функции V = 8xyz при ус-

ловии, что точка М (вершина контейнера) лежит на поверхности эллип-

соида, (очевидно, что если точка М находится строго внутри эллипсоида,

то какой контейнер можно поместить в другой контейнер большего объе-

ма, вершина которого будет касаться поверхности эллипсоида).

Другими словами, требуется найти относительный экстремум функции

V(x, y, z) = 8xyz при наличии уравнения связи .122

2

2

2

2

=++cz

by

ax

Составим функцию

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+++= 13325

8),,( 22

2

2

2

2 zyxxyzzyxФ λ

и систему

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=+

=+

=+

.13325

,0328

,0328

,02528

2

2

2

2

2

2

2

2

2

zyx

zxy

yzx

xyz

λ

λ

λ

Из этой системы находим:

,283

283

2825 222

zxy

yzx

xyz ⋅

−=⋅

−=⋅⋅

−=λ

yzx

xy 22 325= или

2

2

2

2

253xy

= ,

zxy

xzy 22 325

= или 22

2

2

253xz

= .




16

Из последнего уравнения системы, с учетом полученных равенств, сле-

дует, что

.3

25125

3 22

=⇒= xx

Аналогично получим 3

3=y и

33

=z . Получим один ответ, и по смыс-

лу задачи ясно, что найдены размеры контейнера наибольшего объема.

(Наименьший объем равен 0).




17

3. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Динамическое программирование (динамическое планирование)

представляет собой математический аппарат, позволяющий осуществ-

лять оптимальное планирование управляемых процессов. Под «управ-

ляемыми» понимают процессы, на ход которых можно в той и или иной

степени влиять.

Общеизвестно пристальное внимание, уделяемое современной наукой

вопросам планирования во всех областях человеческой деятельности. Са-

мая общая задача оптимального (наилучшего) планирования ставится сле-

дующим образом.

Пусть к осуществлению предполагается некоторое мероприятие или

серия мероприятий (короче, «операция»), преследующая определенную

цель. Спрашивается: как нужно организовать (спланировать) операцию

для того, чтобы она была наиболее эффективной, т.е. наилучшим образом

удовлетворяла поставленным перед ней требованиям?

Чтобы поставленная задача оптимального планирования приобрела ко-

личественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотре-

ние некоторый численный критерий W, которым мы будем характеризо-

вать качество, успешность, эффективность операции.

Величина W, в зависимости от характера решаемой задачи, может вы-

бираться различными способами.

Вообще критерий эффективности в каждом конкретном случае выби-

рается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования

(какой элемент управления оптимизируется и для чего).

Задача рационального планирования – выбрать такой способ организации

данной системы действий, чтобы обратить в максимум (или минимум) ка-

кой-то критерий W. Если в качестве критерия взята такая величина, увеличе-

ние которой нам выгодно (например, доход от группы предприятий), то ее


3. Метод динамического программирования


18

стремятся обратить в максимум. Если, наоборот, величину W выгодно

уменьшать, то ее стремятся обратить в минимум. Очевидно, задача мини-

мизации критерия легко сводится к задаче максимизации (например, из-

менением знака критерия). Поэтому в дальнейшем при рассмотрении за-

дач планирования в общей постановке мы часто будем говорить просто о

«максимизации» критерия W.

Дадим теперь количественную, математическую постановку общей за-

дачи оптимального планирования.

Имеется некоторая физическая система S, состояние которой с течени-

ем времени меняется. Процесс является управляемым, т.е. мы имеем воз-

можность в какой-то мере влиять на его ход, выбирая по своему усмотре-

нию то или другое управление U. С процессом связана некоторая величина

(или критерий) W, зависящая от примененного управления. Требуется вы-

брать такое управление U, чтобы величина W обратилась в максимум.

Современная математическая наука располагает целым арсеналом ме-

тодов, позволяющих решить задачу оптимального управления. Среди них

особое место занимает метод динамического программирования. Специ-

фика этого метода в том, что для отыскания оптимального управления

планируемая операция разделяется на ряд последовательных «шагов» или

«этапов». Соответственно, и сам процесс планирования становится «мно-

гошаговым», и развивается последовательность от этапа к этапу, причем

каждый раз оптимизируется управление только одного шага.

Метод динамического программирования позволяет производить оп-

тимальное планирование поэтапно, оптимизируя на каждом этапе только

один шаг.

Идея метода в том, что отыскание максимума функции многих пере-

менных заменяется многократным отысканием максимума функции одно-

го и небольшого числа переменных.




19

Принцип динамического программирования отнюдь не предполагает,

что, выбирая управление на одном отдельном шаге, можно забыть обо

всех остальных. Напротив, управление на каждом шаге должно выбирать-

ся с учетом всех последствий в будущем. Динамическое программирова-

ние – это планирование дальновидное, с учетом перспективы. Это не бли-

зорукое планирование «вслепую» на один шаг («будь что будет, лишь бы

сейчас было хорошо»). Напротив, управление на каждом шаге выбирается,

исходя из интересов операции в целом.

Проиллюстрируем принцип «дальновидного» планирования на примерах.

Пусть, например, планируется работа группы разнородных промыш-

ленных предприятий на период времени m лет, и конечной задачей явля-

ется получение максимального объема продукции некоторого класса С

товаров широкого потребления.

В начале периода имеется определенный запас средств производства

(машин, оборудования), с помощью которого можно начать производство

товаров этого класса.

«Шагом» или «этапом» процесса планирования является хозяйствен-

ный год. Пусть нам предстоит выбор решения на закупку сырья, машин, и

распределение средств по предприятиям на первый год. При «близору-

ком» поэтапном планировании мы приняли бы решение: вложить макси-

мальное количество средств в закупку сырья и пустить имеющиеся маши-

ны на полную мощность, стремясь к максимальному объему продукции

класса С к концу первого же года.

К чему может привести такое планирование? К быстрому изнашива-

нию машинного парка и, как следствие, к тому, что на втором году объем

продукции упадет.

При дальновидном планировании, напротив, будут предусмотрены ме-

роприятия, обеспечивающие пополнение машинного парка по мере его из-

нашивания. С учетом таких капиталовложений объем продукции основного




20

товара за первый год будет меньше, чем мог бы быть, но зато будет обес-

печена возможность расширения производства в последующие годы.

Возьмем другой пример. Процесс планирования в шахматной игре то-

же распадается на отдельные шаги (ходы). Допустим, что фигуры условно

оценены тем или другим числом очков соответственно своей важности;

беря фигуры, мы выигрываем это число очков, а отдавая – проигрываем.

Разумно ли будет, продумывая шахматную партию на несколько шагов

вперед, всегда стремиться к тому, чтобы на каждом шаге выигрывать мак-

симальное число очков? Очевидно, нет. Такое, например, решение, как

«пожертвовать фигуру», никогда не может быть выгодно с узкой точки

зрения одного-единственного хода, но может быть выгодно с точки зрения

партии целиком.

Так обстоит дело и в любой области практики. Планируя многоэтап-

ную операцию, мы должны выбирать управление на каждом шаге, исходя

не из узких интересов именно этого шага, а из более широких интересов

операции в целом , и далеко не всегда эти две точки зрения совпадают.

Как же строить такое управление? Мы уже сформулировали общее

правило: в процессе поэтапного планирования управление на каждом шаге

должно приниматься с учетом будущего. Однако из этого правила есть

исключение. Среди всех шагов существует один, который может планиро-

ваться попросту, без «оглядки на будущее». Какой это шаг? Очевидно, по-

следний. Этот последний шаг, единственный из всех, можно планировать

так, чтобы он как таковой приносил наибольшую выгоду.

Спланировав оптимальным образом этот последний шаг, можно к нему

«пристраивать» предпоследний, к этому в свою очередь предпредпослед-

ний и т.д.

Поэтому процесс динамического программирования всегда развора-

чивается в обратном во времени направлении: не от начала к концу, а от

конца к началу. Раньше всего планируется последний шаг. А как его




21

спланировать, если мы не знаем, чем кончился предпоследний? Очевидно,

нужно сделать разные предложения о том, чем кончился предпоследний

шаг, и для каждого из них выбрать управление на последнем.

Такое оптимальное управление, выбранное при определенном условии

того, чем кончился предыдущий шаг, мы будем называть условным опти-

мальным управлением.

Принцип динамического программирования требует нахождения на

каждом шаге условного оптимального управления для любого из возмож-

ных исходов предыдущего шага.

Одной из простейших задач, решаемых методом динамического про-

граммирования, является задача об оптимальном режиме набора высоты и

скорости летательного аппарата.

Задача состоит в следующем. Самолет (или другой летательный аппа-

рат), находящийся на высоте Н0 и имеющий скорость V0 должен быть под-

нят на заданную высоту Нкон, а скорость его доведена до заданного значе-

ния Vкон. Известен расход горючего, потребный для подъема аппарата с лю-

бой высоты Н1 на любую другую Н2 > H1 при неизменной скорости V; из-

вестен также расход горючего, потребный для увеличения скорости от лю-

бого значения V1 до любого другого V2 > V1 при неизменной высоте Н.

Требуется найти оптимальный режим набора высоты и скорости, при

котором общий расход горючего будет минимальным.

Решение будем строить следующим образом. Для простоты допустим,

что весь процесс набора высоты и скорости разделен на ряд последова-

тельных шагов (этапов), и за каждый шаг самолет увеличивает только вы-

соту или только скорость.

Будем изображать состояние самолета с помощью точки на некоторой

плоскости VOH, где абсцисса изображает скорость самолета V, а ордината

– его высоту Н (рис. 6).




22

Рис. 6

Процесс перемещения точки S, изображающей состояние самолета, из

начального состояния S0 = А в конечное Sкон = В изобразится на плоскости

VOH некоторой ступенчатой ломаной линией. Эта линия – траектория

движения точки S на плоскости VOH – будет характеризовать управление

процессом набора высоты и скорости.

Очевидно, существует множество возможных управлений – множество

траекторий, по которым можно перевести точку S из S0 в Sкон. Из всех этих

траекторий нужно выбрать ту, на которой выбранный критерий W – рас-

ход горючего – будет минимальным.

Чтобы построить решение методом динамического программирования,

разделим высоту Нкон – Н0, которую нужно набрать самолету, на n1 равных

частей (например, на четыре, см. рис. 6) а скорость Vкон – V0, которую тре-

буется набрать, на n2 равных частей (например, на четыре). Разделим про-

цесс набора высоты и скорости на отдельные шаги и будем считать, что за

один шаг самолет может либо увеличить высоту на величину

,1

0

nНHН кон −=Δ

либо скорость – на величину

В Н4

Н3

Н2

Н1

Н0

О V0 V1 V2 V3 Vк Vк

А




23

2

0

nVVV кон −=Δ .

Число частей n1, n2, на которые делятся интервалы Нкон – Н0, Vкон – V0,

принципиального значения не имеет и может быть выбрано, исходя из

требований к точности решения задачи. Пара чисел n1, n2 определяет со-

бой общее число шагов m многоэтапного процесса набора высоты и ско-

рости

m = n1 + n2.

В нашем случае (рис. 6) любая траектория будет состоять из восьми

шагов:

m = 4 + 4 = 8

(как например, каждая из двух траекторий, отмеченных стрелками на

рис 6). Перемещаясь из S0 в Sкон, точка S может двигаться только по гори-

зонтальным и вертикальным отрезкам.

Рис. 7

Запишем на каждом из этих отрезков (рис. 7) соответствующий ему

расход горючего в некоторых условных единицах1).

Любая траектория, переводящая точку S из S0 в Sкон, связана с опреде-

ленным расходом горючего. Например, траектория АСВ, см. на рис. 7,

1 Цифры, приведенные на рис. 7, выбраны из методических соображений и ничего общего с реальным рас-

ходом горючего не имеют.

8 7 6 6

6 5 6 5

77

76

66

76

56

67

77

56

55

57

66

57

45

67

57

69

С В

А




24

дает расход горючего, равный W = 5 + 6 + 5 + 6 + 8 + 7 + 6 + 6 = 49 (ус-

ловн. единиц).

Очевидно, существует очень большое число разных траекторий, пере-

водящих S из А в В, каждой из них соответствует свой расход горючего W.

Нам нужно из всех таких траекторий найти оптимальную – ту, на которой

расход горючего минимален. Можно было бы, разумеется, перебрать все

возможные траектории, и в конечном счете найти оптимальную, но это –

очень громоздкий путь. Гораздо скорее можно решить задачу методом

динамического программирования по шагам.

Процесс состоит из m = 8 шагов; будем оптимизировать каждый шаг,

начиная с последнего. Конечное состояние самолета – точка Sкон = В на

плоскости VOH – нам задано. Восьмой шаг непременно должен принести

нас в эту точку. Посмотрим, откуда мы можем переместиться в точку Sкон

на восьмом шаге.

Рассмотрим отдельно правый верхний угол прямоугольной сетки

(рис. 8) с конечной точкой Sкон = В. В точку Sкон можно переместиться из

двух соседних точек (В1 и В2), причем из каждой – только одним спосо-

бом, так что выбора условного управления на последнем шаге у нас нет –

оно единственно. Если предпоследний

шаг привел нас в точку В1, то мы должны

двигаться по горизонтали и тратить 6

единиц горючего; если в точку В2, – идти

по вертикали и тратить 7 единиц. Запи-

шем эти минимальные (в данном случае

просто неизбежные) расходы горючего в

специальных кружках, которые поставим в точках В1, В2 (рис. 9). Запись

«6» в кружке у В1 означает: «если мы пришли в В1, то минимальный расход

горючего, переводящий нас в точку Sкон, равен 6 единицам». Аналогичный

смысл имеет запись «7» в кружке у точки В2. Оптимальное управление,

В1 В

В2

6

6

6

7

Рис. 8




25

приводящее к этому расходу, помечено в каждом случае стрелкой, выхо-

дящей из кружка. Стрелка указывает то направление, по которому мы

должны двигаться из данной точки, если в результате предыдущей нашей

деятельности оказались в ней.

Таким образом, условное оптимальное управление на последнем вось-

мом шаге найдено для любого (В1 или В2) исхода восьмого шага. Для каж-

дого из этих исходов найден, кроме того, минимальный расход горючего,

за счет которого из данной точки можно переместиться в В.

Перейдем к планированию предпоследнего (седьмого) шага. Для этого

нам нужно рассмотреть все возможные результаты предпоследнего (шес-

того) шага. После этого шага мы можем оказаться только в одной из точек

С1, С2, С3 (рис. 9). Из каждой такой точки мы должны найти оптимальный

путь в точку Sкон и соответствующий этому пути минимальный расход го-

рючего.

Для точки С1 выбора нет: мы должны перемещаться по горизонтали и

тратить 6 + 6 = 12 единиц горючего. Этот расход мы запишем в кружке

при точке С1, а оптимальный (в данном случае единственный) путь из

точки С1 снова пометим стрелкой.

Для точки С2 выбор есть: из нее можно идти в Sкон через В1 или через В2.

В первом случае мы израсходуем 6 + 6 = 12 единиц горючего; во втором 6

+ 7 = 13 единиц. Значит, оптимальный путь из С2 вертикален (отметим это

1 6

1

12 7

6 6

6 6

С

С3

С2

В1В

Рис. 9




26

стрелкой), а минимальный расход горючего равен 12 (это число мы запи-

шем в кружке при точке С2).

Наконец, для точки С3 путь в Sкон снова единственный: по вертикали;

обходится он в 5 + 7 = 12 единиц; эту величину (12) мы и запишем в

кружке при С3, а стрелкой пометим оптимальное управление.

Таким образом, переходя от точки к точке справа налево и сверху вниз

(от конца процесса к его началу), можно для каждой узловой точки рис. 7

выбрать условное оптимальное управление на следующем шаге, т.е. на-

правление, ведущее в Sкон с минимальным расходом горючего, и записать

в кружке при данной точке этот минимальный расход. Чтобы найти из ка-

ждой точки оптимальный следующий шаг, нужно проследить два возмож-

ных пути из этой точки: вправо и вверх, и для каждого пути найти сумму

расхода горючего на данном шаге и минимального расхода горючего на

оптимальном продолжении, уже построенном из следующей точки, куда

направлен конец стрелки. Из двух путей выбирается тот, для которого эта

сумма меньше (в случае, если суммы равны, выбирается любой из путей).

Таким образом, из каждой точки рис. 7 проводится стрелка, указываю-

щая оптимальный путь из этой точки (оптимальное условное управление),

и в кружке проставляется расход горючего, достигаемый при оптималь-

ном управлении, начиная с этой точки до конца.

Рано или поздно такой процесс построения условных оптимальных

управлений заканчивается, дойдя до исходной точки S0 = А. Из этой точки,

как из любой другой, ведет стрелка, указывающая, куда нужно переме-

щаться, чтобы дойти до Sкон оптимальным образом. После этого можно

построить всю оптимальную траекторию, перемещаясь по стрелкам, уже

от начала процесса к его концу.

На рис. 10 показан окончательный результат такой процедуры – опти-

мальная траектория, ведущая из S0 в Sкон по стрелкам, т.е. имеющая из каж-

дой точки оптимальное продолжение. Эта траектория отмечена стрелками.




27

Число «43», стоящее у точки S0 = А, означает минимальный расход горю-

чего W*, меньше которого нельзя получить ни на какой траектории.

Нетрудно на ряде примеров убедиться, что найденное управление дей-

ствительно является оптимальным, т.е. на любой другой траектории, ве-

дущей из S0 в Sкон, расход горючего будет больше.

Рис. 10




28

4. МОДЕЛЬ ЛЕОНТЬЕВА

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макро-

экономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хо-

зяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей,

чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При

этом каждая отрасль выступает с одной стороны, как производитель неко-

торой продукции, а с другой как потребитель продукции и своей, и произ-

веденной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межот-раслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализиро-

вать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каж-

дая из которых производит продукцию. Часть продукции идет на внутри-

производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а

другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материально-го производства) личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (на-

пример, год).

Введем следующие обозначения:

xi – общий (валовой объем) продукции i-й отрасли (i = 1, 2, ..., n);

хij – объем продукции j-й отраслью в процессе производства (i, j = 1, 2, ... n);

yi – объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному

объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

( )∑=

=+=n

jiiji niyxх

1....,2,1, (4.1)


4. Модель Леонтьева


29

Уравнения (4.1) называются соотношениями баланса. Будем рассмат-

ривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входя-

щие в (4.1) имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

( ),...,,2,1,, njixx

aj

ijij == (4.2)

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы

продукции j-й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового вы-пуска, т.е.

( ),...,,2,1,, njixax jijij == (4.3)

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Теперь соотношения баланса (4.1) примут вид:

( )∑=

=+=n

jijiji niyxaх

1....,,2,1, (4.4)

Обозначим Х =

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1

21

11

2

1

,...

nn a

aa

A

x

xx

K

na

aa

2

22

12

...

...

...

...

...

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

Y

a

aa

nn

n

n

,...

2

1

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ny

yy

...2

1

,

где Х – вектор валового выпуска, Y – вектор конечного продукта, А – мат-рица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).

Тогда систему (4.1) можно записать в матричном виде:

Х = АХ + Y. (4.5)

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании та-кого вектора валового выпуска Х, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y.




30

Перепишем уравнение (4.5) в виде:

(Е – А)Х = Y. (4.6)

Если матрица (Е – А) невырожденная, т.е. ,0≠− АЕ то

X = (E – A)-1Y. (4.7)

Матрица S = (E – A)-1Y называется матрицей полных затрат. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S = (sij), бу-

дем задаваться единичными векторами конечного продукта2 ( ) ,0...,,0,11 ′=Y

( ) ( ) .0...,,0,1,0...,,0,12′=′= nYY Тогда по (4.7) соответствующие векторы

валового выпуска будут

( ,111 sX = ,21s ,K )′1ns , ( ,122 sX = ,22s ,K )′

2ns ,..., ( ,1nп sX = ,2ns ,K )′nns . Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового

выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли yj = 1 (j = 1, 2, ..., n).

В соответствии с экономическим смыслом задачи значения ix должны

быть неотрицательны при неотрицательных значениях 0≥iy и ,0≥ija где

(i, j = 1, 2, ..., n).

Матрица 0≥A называется продуктивной, если для любого вектора 0≥Y существует решение 0≥X уравнения (4.7). В этом случае модель

Леонтьева называется продуктивной. Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из

них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм эле-ментов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица А про-

2 Используем для краткости знак «штрих» – транспонирования матрицы.




31

дуктивна, если 0≥ija для любых (i, j = 1, 2, ..., n) и ,1max1,...2,1

≤∑==

n

iijnj

a и суще-

ствует номер j такой, что ∑=

<n

iija

1.1

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за от-четный период, усл. ден. ед.:

Отрасль Потребление Конечный

продукт Валовой выпуск энергетика машиностроение

Производство Энергетика Машиностроение

7 12

21 15

72 123

100 150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, ес-

ли конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а

машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение.

Имеем

.123,72;15,12,21,7,150,100 212221121121 ======== yyxxxxxx

По формуле (4.2) находим коэффициенты прямых затрат ;07,011 =а

,10,0;12,0;14,0 222112 === ааа т.е. ма

Documents

Математические методы в экономикеvenec.ulstu.ru/lib/disk/2014/Bogomolova_1.pdf · В. Богомолова В.П. Глухов А.М. Лебедев