ТМ1 - СТАТИКА 2013-oktobar GODINA... · Сл.1 Сл.2 На сликама 1,2 и 3 приказано је разлагање силе у равни и у простору

Техничка Механика 1

ТЕХНИЧКА МЕХАНИКА

Проф. Др Драган Т. Стојиљковић

Мр Дарко Михајлов, асистент


ОСНОВНИ ПОЈМОВИ МЕХАНИКЕ

ПОДЕЛА МЕХАНИКЕ

Процеси у Васељени (Универзуму) представљају непрекидно и непрестано кретање

и трајање, тако да постоје различите врсте кретања у зависности од процеса који се

посматра и анализира. Једно од таквих кретања јесте и механичко кретање.

Под механичким кретањем подразумева се промена положаја у простору, током

времена, једног материјалног тела у односу на друго материјално тело, за које

сматрамо да је непокретно. Специјални случај механичког кретања је механичко

мировање, под којим се подразумева, да тело које се посматра не мења свој положај

у односу на друго тело за које се сматра да је непокретно. Тада се каже да су ова

два тела, или систем тела у равнотежи.

Дефиниција: Теоријска механика је наука о општим законима кретања и

равнотеже материјалних тела, односно она изучава односе између следећих основних физичких величина: дужине, времена и масе.

У СИ систему јединица основна јединица за дужину је метар м, за време секунд с и

за масу килограм кг.

У филозофији се под материјом подразумева све оно што постоји ван наше свести,

јер су материја и свест основни ентитети Универзума. Суштинским процесима

егзистенције материје својствено је кретање, простор, и трајање које се манифестује

преко времена, а то значи, да се кретање и постојање материје не могу да замисле

без простора и времена, и обрнуто. У класичној, Њутновој механици, анализирају се

кретања у тзв. непокретном, апсолутном простору

Њутнова дефиниција: Непокретани, односно апсолутани простор је такав простор, чија својства не зависе од кретања материје у њему.

Аналогно непокретном простору уводи се и апсолутни, непокретни координатни

систем, у односу на који се, по дефиницији класичне, Њутнове механике, посматра

кретање материјалне тачке и тела.

На исти начин уводи се и појамови апсолутног и релативног кретања.


Дефиниција: Апсолутно кретање је такво кретање које се посматра у односу на систем референције који је непокретан, тј. апсолутан.

Како у природи нема апсолутно непокретних тела, сва су кретања релативна, па се

дефиниција апсолутно непокретног простора и апсолутно непокретног система

референције узима условно. Аналогно апсолутном, непокретном простору, Њутн

уводи и тзв. универзално време.

Дефиниција: Универзално време је такво време, које се једнако мења, тече, у свим деловима простора (Универзума) и не зависи од било каквих

спољашњих или унутрашњих утицаја.

У природним наукама и у техници, под појмом материје подразумева се конкретна

слика структуре и својства материје на одређеном степену развоја људског знања и

развоју људске праксе.

У природи, у процесу непрекидног кретања, тела узајамно дејствују једна на друга,

на различите начине. У механичком смислу, ова дејства огледају се у промени

механичког кретања тела, или дела тела, као и у промени узајамног положаја тела

или дела тела. Због тога се уводи један нови појам, сила, чија је једна од

дефиниција.

Дефиниција: Сила представља дејство једног тела на друго тело. То

дејство карактерише се величином, правцем и смером дејства. Из претходне дефиниције закључује се, да је сила векторска величина.

Класична, Њутновска механика, која се изучава у техници, проучава кретање тела

чија је брзина знатно мања од брзине светлости у вакууму, тј. подрелативистичка

брзина. Она се заснива на три основна закона, или аксиоме Механике, (тзв. закони о

кретању “Аxиомата сиве легес мотус’), које је објавио славни енглески физичар,

математичар и филозоф Исак Њутн (Исац сер Неwтон, 1643-1527) у делу

“Пхилозопхие Натуралис Принципиа Матхематица), 1686. године (“Математички

принципи филозофије природе”) или краће “Принципије”, који гласе:

И Закон - Закон инерције


Свако тело остаје у стању мировања или равномерног (једноликог) и праволинијског кретања све док под дејством сила не буде принуђено да то

своје стање промени.

Закон инерције, први је поставио велики италијански физичар Галилео Галилеј

(Галилео Галилеи, 1564-1642), јер је први приметио особину тела да тежи да задржи

стање мировања или стање кретања и ту особину назвао инерција - инертиа

(лењост). Координатни систем у коме важи принцип инерције назива се инерцијални

координатни систем, или Галилејев триједар. Први Њтнов закон назива се и закон

егзистенције-закон постојања силе. Кретање у одсуству силе, назива се кретање по

инерцији, при чему се константује једнакост мировања и кретања по инерцији.

ИИ Закон - Закон еквиваленције Промена кретања - убрзање, пропорционално је сили која дејствује на тело и

врши се у правцу силе.

Под променом кретања (мутатионем мотус) Њутн, сматра промену количине

кретања.

Дефиниција: Количина кретања материјалне тачке подразумева производ масе (м) материјалне тачке и вектора брзине (в) тачке, тј. м* в. Други

Њутнов закон може да се изрази у аналитичком облику ddt

m v F .

У случају када је маса константн, други Њутнов закон може да се напише amF * .

На основу тога, према Кирхофу (Роберт Кирцхофф, 1824-1887), маса м је

коефицијент пропорционалности између убрзања а и силе F

.

У додатку за други закон, Њутн даје и начин сабирања сила: под дејством

удружених сила тело описује дијагоналу паралелограма у истом времену у коме

дејством појединих сила описује стране.

ИИИ Закон - Закон акције и реакције Дејству (акцији) увек је једнако противдејство (реакција) или, дејства два тела једног на друго увек су једнака и супротно су усмерена.


Сва три Њутнова закона служе за потпуно дефинисање силе. Први закон, закон

инерције, показује могућност постојања силе, други закон, показује могућност

мерења, упоређивања сила, и са додатком показује како се оперише силама. Трећи

закон показује извор силе без кога она не може да постоји.

Механика обухвата већи број научних дисциплина:

а) Механика крутог тела. Под појмом “круто тело” подразумева се такво тело,

које у простору и током времена, не мења ни облик ни запремину у току кретања.

Растојање између ма које две тачке тела, у току кретања остаје непромењено, тј.

растојање између две тачке на телу, односно димензије тела и облик тела су

инваријантни, у односу на кретање, односно на силе и време њиховог дејства на

круто тело. Механика крутог тела подразумева и она тела, чије димензије могу да се

занемаре, тако да се тело посматра као материјална тачка која има масу тела, тј.

целокупна маса тела концентрисана је у једној тачки, која се назива, материјална

тачка.

Дефиниција: Материјална тачка је такво тело чије димензије могу да се занемаре и сматра се да је целокупна маса тела концентрисана у једној тачки. б) Механика тела променљиве масе. Поједина тела у току кретања мењају своју

масу, тако на пример, ракета у току лета мења масу, при транспортовању потке кроз

зев код разбоја за ткање, носиоцу потке (пројектилу или чунку), у току кретања

додаје се маса.

в) Механика чврстог тела. Чврста тела су реална тела која нас окружују. Она се у

току кретања, више или мање деформишу, зависно од утицаја других тела.

Проучавањем кретања деформабилног (чврстог тела) бави се Теорија еластичности,

чија је практична грана Отпорност материјала и Теорија пластичности.

Дефиниција: Чврста тела су таква тела која се под дејством сила деформишу, у времену и простору.

г) Механика течног тела. Дисциплина која се бави проучавањем кретања течног

тела јесте Хидромеханика.

д) Механика гасовитог тела. Дисциплине које с баве проучавањем кретања

гасовитих тела су Аеродинамика и Гасна динамика.


Механике крутог тела дели се на три одвојене дисциплине: Статику, Кинематику и Динамику.

Статика испитује специјалан случај кретања тела, тј. мировање тела и услове који су неопходни да би тело остало у стању мировања.

Кинематика испитује кретање крутих тела не водећи рачуна о њиховој материјалности, као ни о узроцима кретања. Динамика испитује кретање крутих тела водећи рачуна о материјалности

тела и о узроцима који изазивају та кретања.

Техничка механика користи сазнања теоријске механике у инжењерској свакодневној

пракси. У овом курсу изучаваће се Статика и Отпорност материјала као основе за

примену основних знања у пракси.


СТАТИКА ЗАДАТАК И ПОДЕЛА СТАТИКЕ

Дефиниција: Статика је наука која анализира и изучава, равнотежу тела и

услове, који треба да буду испуњени, да би тело, или систем тела остао у равнотежи, односно Статика проучава односе између двеју физичких величина, силе и дужине.

Сила и дужина су основне физичке величине које се јављају у статици. У Статици

није објашњен физички појам силе, већ се она дефинише као узрок промене стања

кретања или стања мировања тела.

У Статици се сила дефинише на основу првог Њутновог закона, као узрок промене

стања кретања или стања мировања тела, па се силе које изазивају кретање тела

називају активне силе, док се силе, које се противе промени стања тела (кретања

или мировања) називају унутрашње силе, реактивне силе.

Сл.1

Сл.2

На сликама 1,2 и 3 приказано је разлагање силе у равни и у простору и одређивање

интензитета и правца силе у равни и у простору.

У Статици се срећу (дефинишу) три врсте вектора:

Дефиниција: а) Клизећи вектор (сила наших руку када се вуче уже), је

такав вектори, за чије је потпуно дефинисање, неопходно да се знају три податка: интензитет, правац и смер.

Сл.3


Из дефиниције клизећег вектора проистиче, да се особине клизећег вектора не

мењају, тј. дејство на тело се не мења, ако се клизећи вектор помера, односно клизи

дуж нападног правца,

Дефиниција: б) Везани вектор за тачку (сила тежине, момент силе за тачку), је такав вектор, за чије је потпуно дефинисање, неопходно да се знају

четири податка: интензитет, правац, смер и нападна тачка, Дефиниција: в) Слободни вектор (момент спрега), за чије је потпуно дефинисање, неопходно да се знају два податка, и то, интензитет и смер, ако је позната раван дејства спрега.

Ако нападни праваци сила које нападају тело леже у једној равни, такав систем се

назива равански; а ако су праваци произвољни, онда се такав систем сила назива

просторни. Према томе Статика се дели на Статику у равни и Статику у простору.

На тело истовремено може да делује више сила, па пошто је тешко радити са

великим бројем сила одједном, основни задатак Статике је:

а) да дејство система од н (н = 2, 3, 4 ..) сила замени дејством једне силе. Та сила назива се резултанта.

Статика проучава и тела у миру, те произилази и други основни задатак Статике: б) да проучи услове под којима ће тело, на кога делује систем сила, да остане у равнотежи.

Сила може бити:

• концентрисана (сл. 3)

• линијска (сл.4 )

• површинска (цл. 5)

• запреминска (сл.6)

Концентрисана сила представља механички утицај између два механичка објекта

који имају додир само у једној тачки.

Сл.3

Концентрисана сила Сл.4 Линијска сила Сл.5 Површинска сила Сл.6 Запреминска

сила


Ако је додир два тела остварен по линији користи се термин линијска сила. Ако је

додир два тела остварен по површини користи се термин површинска сила. Ако је

сила расподељена на целу област тела, делујући на сваки елементарни део масе

тела, ради се о запремински подељеној сили (нпр. тежина тела). У механици се ради са крутим (недеформабилним) телима. Круто тело је модел

материјалне средине који непрекидно испуњава запремину тела, а која има

особину да су растојања између било ког пара материјалних тачака те средине

непроменљива у времену и простору без обзира на спољашња дејства.

1. СТАТИКА

1.1. АКСИОМЕ СТАТИКЕ

Класична механика заснива се на три основна, Њутнова закона механике, који се

често схватају и називају основним аксиомама Механике (“Аxиомата сиве легес

мотус”), јер се њихова исправност непрестано доказује и проверава на основу низ

експеримената и вековног искуства. Пошто се у Механици изучавају односи између

масе, дужине, времена и силе, а како се у Статици изучавају односи између силе и

дужине, као специјални случајеви три основна закона Механике, проистиче пет

твређења Статике, која су прихваћена као Аксиоме Статике.

1. Аксиома инерције мировања тела

Тело које се налази у стању мировања неће се покренути само од себе, односно, без дејства сила.

Ова аксиома представља специјалан случај првог Њутновог закона и односи се на

мировање тела. Из ње проистиче следеша последица.

Последица: Ако се тело налази у стању мировања, и ако на њега не делују силе,

оно остаје у стању мировања.

2. Аксиома равнотеже двеју сила

Тело које нападају две силе остаје у стању мировања, тада и само тада, ако су силе истог интензитета, истог правца и супротног смера.


Сл.7.

Док прва аксиома и њена последица даје услове који мора да

се испуне, за промену стања мировања тела, или одржања

тела у стању мировања, из друге аксиоме проистиче услов

равнотеже под дејством двеју сила, тј. да би тело било у

равнотежи под дејством двеју сила, те силе мора да имају

исти интензитет, исти правац и супротан смер (сл.7).

Из друге аксиоме проистичу две последице.

Последица И: Ако је тело било у стању мировања и на њега почне да делује

сила F

, да би тело задржало стање мировања, тој сили треба придружити

силу истог интензитета, истог правца и супротног усмерења. Последица ИИ: Ако на тело делује систем од две силе истог интензитета,

истог правца и супротног смера, стање мировања тела се неће променити ако се телу дода или одузме уравнотежен систем сила.

Сл.8.

На основу друге последице може да се објасни

особина силе као клизећег вектора, тј. да се

дејство силе на тело не мења ако се сила

помера, клизи дуж свог нападног правца, Сл.8.

У тачки А, нека дејствује на тело сила F

. У било

којој произвољној тачки на нападном правцу силе

F

, нпр. у тачки Б, нека се дода пар

уравнотежених сила чији су интензитети једнаки интензитету силе F

, тј. F F F1 2

.

На основу друге последице друге аксиоме Статике дејство на тело се не мења, без

обзира што сада на тело делује систем од три силе. Сада силе F

и F2

представљају уравнотежен систем сила. Дејство на тело се не мења ако се од њега

уклони овај систем уравнотежених сила. На тај начин остаје само сила F1

, која је

једнака сили F

, али је сада њена нападна тачка, тачка Б. На тело осим једне или

две силе може да делује и више сила истовремано, нпр. систем од н сила, iF

где је

(и = 1,2,3,....,н).

Због тога је неопходна дефиниција система сила.


Дефиниција: Систем сила чине све силе које делују на тело, ( Fi

,где је и =

1,2,3, ....., н).

Два система сила могу да имају на једно тело исто или различито дејство. Ако два

система сила изазивају исто дејство на тело, тј. ако је дејство једног система сила

једнако дејству другог система сила, таква два система сила су еквивалентна.

Дефиниција: Два система сила су еквивалентна, ако је дејство једног система сила на тело, једнако дејству другог система сила на тело.

3. Аксиома о паралелограму сила

Трећа аксиома Статике уствари је додатак уз други закон Механике, који је Њутн

објавио у Принципијама, па пошто су силе векторске величине, две силе се сабирају

по правилу сабирања вектора.

Под дејством удружених сила тело описује дијагоналу паралелограма у истом времену у коме дејством појединих сила описује стране, односно,

резултанта двеју сила F1

и F2

, које дејствују на

круто тело у тачки А, одређена је по

интензитету, правцу и смеру, дијагоналом паралелограма конструисаног над страницама, Сл.3.

Резултанта двеју сила једнака је векторском збиру тих сила.

FR

F F1 2 (1)

Интензитет резултанте налази се квадрирањем израза (1) и одређивањем

квадратног корена добијеног резултата, тј:

F F F F FR 12

1 2 222 cos . (2)

На основу синусне теореме из троугла АБД (Сл.3) следи:

F F F FR R1 2

sin sin sin( ) sin

. (3)

Ако на тело делују три силе, тело је у равнотежи ако те три силе чине троугао сила.

Сл.3


4. Аксиома акције и реакције ( дејства и противдејства)

Дејству (акцији) увек је једнако противдејство (реакција) или, дејства два тела једног на друго увек су једнака и супротно су усмерена.

Ова аксиома

представља чувени

трећи Њутнов закон

акције и реакције. Ако

тело А делује на тело

Б силом F

, тада и

тело Б делује на тело А силом - F

истог интензитета и правца, а супротног смера.

Проучавајући круто тело, а на основу прве аксиоме, унутрашње силе које нападају

крут тело представљају уравнотежен систем сила и као логична последица друге

аксиоме овај систем може да се уклони. Према томе за анализу остају само

спољашње силе, које се увек посматрају.

5. Аксиома о крутом телу

Ако се чврсто, деформабилно тело налази у равнотежи под дејством датог система сила, равнотежа ће се одржати и тада ако тело постане апсолутно круто.

Ова аксиома примењује се у техници при анализи конструкција.


2. ОБЛИЦИИ ВЕЗА И РЕАКЦИЈА ВЕЗА. АКСИОМА О ВЕЗАМА

Сл.12. и Сл.13.

У природи и техници сусрећу се тела која су у контакту, односно у вези са другим

телима. Тела која нису у никаквој вези са другим телима могу слободно да се крећу

под дејством сила. Таква тела називају се слободна тела, док она тела која су у вези

са другим телом или са дугим телима, не могу слободно да се крећу под дејством

сила и она се називају неслободна тела.

Дефиниција: Слободно тело је такво тело, које није у контакту са другим телима и које може да се из датог положаја премести у било који положај

под дејством сила. Дефиниција: Неслободно тело је такво тело, које је везано за друга тела, и које под дејством сила, не може да се премести у произвољи положај.

Ако су тела неслободна, онда су у контакту са другим телима која им спречавају

слободно кретање, па се тела која спречавају слободно кретање називају везе.

Дефиниција: Везе су тела која спречавају (ограничавају) померање датог

тела под дејством спољашњих сила у простору.

У простору круто слобдно тело има шест степени слободе кретања (три транслације

и три ротације) Сл.12. У равни слободно круто тело има три степена слободе

кретања (две транслације у правцу координатни оса и једну ротацију у равни коју

чине координатне осе Сл 13).


Ако су тела неслободна, онда им је кретање ограничено везама.

Везе су сва тела која ограничавају кретање посматраног тела Сл.14. Под дејством

сила тело оптерећује везе које не дозвољавају померање тела. Пошто тело под

дејством сила оптерећује везе и реакције везе делују на тело силама истих праваца,

истих интензитета и супротних смерова Сл.15. За разлику од активних сила које

унапред знамо и које не зависе једна од друге, реактивне силе зависе од активних

сила и карактера веза. Ређи је случај да се унапред зна правац и смер, али им се

интензитет никада не зна унапред. Реактивне силе постоје само док постоје везе, па

се због тога често и називају пасивне силе.

При проучавању равнотеже тела узимају се у обзир и активне и реактивне силе, те је

основни задатак Статике и одређивање реактивних сила. Неслободно (везано) тело

може да се посматра као слободно тело на основу принципа ослобађања од веза:

Свако неслободно тело може да се посматра као слободно тело ако се замисли да су одстрањене везе, а њихов утицај замени силама реакција веза Сл.15..

Сл.14 и Сл.15

На сл.14 приказан је

штап АВ. Тежине

G

који се у тачкама А и В ослања на глатку

подлогу. У тачкама А и В јављају се реакције

AF

и BF

које су управне на тангенту

додирних површина у тачкама додира.

Смер ових сила је супротан од смера дејства

активних сила ( у овом случају само делује

сила G

). После укалањања ослонаца

утачкама А и Б активне и реактивне силе имају

задатак да одрже тело у претходном стању,

стању равнотеже.

Сл.16 и Сл.17

На сл.16 приказана је проста греда са

непокретним ослонцем А и покретним ослонце

В, на коју делује коса сила. Непокретни ослонац А спречава транслаторно кретање у


правцу оса x и з, па се у њему јављају

реакције у правцу осе х и у. Ослонац В је

покретан, може да се креће у правцу осе х,

па је реакција у њему у правцу осе у.

Резултујућа реакција у тачки А је коса сила AF

. На сл.16 приказана је проста греда

АВ у равнотежи под дејством активних и реактивних сила.

Сл.18 и Сл.19

На сл.18 приказан је штап АВ, тежине G

који је у тачки А везан за непокретни

ослонац А, а у тачки В ослања се на куглу. У ослонцу А као реакције јављају се силе

у правцу оса х и у. Реакција у тачки В је управна на заједничку

тангенту на површине које се додирују, а смер је супротан од

смера дејства активне силе G

, односно смер је такав да

одржава штап у равнотежни положај после уклањања свере,

и замене њеног дејства дејством реактивне силе BF

. Под

дејством активних и реактивних сила штап АВ је у равнотежи

(сл.19).

Сл.20 и Сл.21

На слици 20 приказан је штап тежине G

који у

тачки А везан за покретни ослонац А, а преко тачке

В ужетом БД везан је за зид у тачки Д. Реакција у

ослонцу А је вертикална навише, а у тачки В има правац ужета БД док је смер такав

да одржава штап у претходни положај после

уклањања ужета БД (од В ка Д). На слици 21

приказан је штап АВ у равнотежи под дејством

активних и реактивних сила.

На основу четврте аксиоме Статике, два тела која су

у контакту делују једно на друго, силама истог

интензитета, истог правца и супротног смера, па сила којом веза делује на дато

тело назива се реакција веза.


Дефиниција: Реакција веза је сила, којом веза (материјално тело) дејствује на дато тело, и на тај начин спречава слободно кретање датог тела у

простору под дејством спољашњих сила.

Реакција веза увек је усмерена у супротном смеру од смера у коме веза спречава

померање датог тела.У случају када веза истовремено спречава кретање тела у

више праваца, онда правац реакције није познат и одређује се решавањем

конкретног задатка у зависности од врсте веза којом је дато тело везано.

Тело у равни има три срепена слободе кретања (три могушности кретања), и то: две

транслације у правцу координатних оса и једну ротацију у равни Оxy око з-осе, Сл.5.

Да би се спречило транслаторно кретање тела потребно је да се једна тачка на телу

учини непокретном.

1) Веза се остварује преко глатке површи (раван)

Глатке површине су такве површине код којих

може да се занемари тење. Такве површине

спречавају померање у правцу заједничке

нормале на површине, у тачки додира. На слици

(7а-ц) приказани су различити случајеви

ослањања тела тежине G

о глатке површине и уцртане су реакције веза.

2) Веза се остварује гипким

нерастегљивим телом

Оваква веза спречава померање тела А

под дејством сопствене тежине G

, у

смеру дејства силе тежине, па сила

реакције у концу, сила S

, има супротан смер Сл.8.

3) Веза је остварена помоћу цилиндричног зглоба

Цилиндрични зглоб А је тако изведен да се спречи транслаторно кретање тела АБ у

правцу осе x и у правцу осе y Сл.6., док може да се окреће око осе која пролази

кроз тачку А и управна је на раван Аxy. На тај начин постоје две компоненте

Сл.7а,б

Сл.7ц


реакције везе, тј. силе FA

, у

правцу осе Аx, компонента XА , и

у правцу осе Аy, компонента YА.

Укупна реакција одређује се на

основу треше аксиоме о

паралелограму сила.

4) Веза је остварена помоћу сферног зглоба

Сферни зглоб спречава кретање у правцу оса

просторног координатног система Аx, Аy и Аз тако

да тело може само да

ротира око оса координатног

система (Сл. ). У ослонцу А јављају се три

компоненте реакције везе

Аксиома о везама

При проучавању равнотеже тела узимају се у обзир и активне и реактивне силе, те

је основни задатак Статике и одређивање реактивних сила. Неслободно (везано)

тело може да се посматра као слободно тело на основу Принципа ослобађања од

веза, односно на основу Аксиоме о везама:

Свако неслободно тело може да се посматра као слободно тело ако се замисли да су одстрањене везе, а њихов утицај замени силама реакција веза.

2. СИСТЕМ СИЛА НАПАДА ЈЕДНУ ТАЧКУ У РАВНИ

(СИСТЕМ СУЧЕЉНИХ СИЛА)

Сл.6


Дефиниција: Систем сучељних сила назива се такав систем сила који дејствује на тело и чији се нападни правци секу у једној тачки тела (Сл.9).

Ако тело Q напада више сила F F F F1 2 3 4

, , , чији се правци секу у тачки П тада је реч

о систему сучељних сила (Сл.9). Силе, као клизећи вектори могу да се померају дуж

правца дејства тако да им је тачка Р нападна тачка. На тај начин се добија систем

сила које нападају једну тачку тела П.

Први задатак Статике може да се реши графичким и аналитичким путем.

1.3.1 Графички поступак одређивања резултанте

Постоје два начина за одређивање резултанте графичким поступком:

- Паралелограм сила и

- Полигон сила.

1.3.1б Паралелограм сила

Дат је систем од четири сучељние силе

на слици. Над прве две силе конструише

се паралелограм сила чија је резултанта

дијагонала паралелограма

.1RF

Над резултантом 1RF

и силом 3F

конструише се нови паралелограм чија је

дијагонала резултанта 2RF

ове две силе.

Над овом резултантом и силом 4F

конструише се нови нпаралелограм чија

је дијагонала резултанта сучељног

система сила. Ако у систему има јуш сила поступак се наставља конструисањем

нових паралелограма. Укуоно се конструише н-1 паралелограма, где је н број сила у

систему сила.

Интензитет резултанте добија се множеwем размере за силу са дужином дијагонале

последwег паралелограма који одговара резултанти система сила.


1.3.1а. Полигон сила

На врх вектора силе F1

, тј. у тачку, А паралелно се

премешта сила F2

без промене смера, и на исти

начин у тачку Б надовезује се сила F3

, а на њен крај

Ц, сила F4

. Тако се добија полигон сила ОАБЦД (Сл.11). Завршна страница ОД овог

полигона

Сл.23

представља резултанту FR

, по правцу, смеру и интензитету.

Тело на које дејствује сучељни систем сила је у равнотежи ако је резултанта таквог

система сила једнака нули, тј. ако је полигон сила затворен. На овај начин доказана

је следећа теорема:

Теорема: Сучељни систем сила је у равнотежи ако је полигон сила затворен. Из ове теореме проистиче услов равнотеже сучељног система од три силе.

Последица: Систем од три сучељне силе је у равнотежи ако је троугао сила затворен.

На основу правила о сабирању сила методом

полигона сила зна се да је резултанта сила завршна

страница полигона. Када три силе формирају

затворени полигон, троугао сила, онда је резултанта

таквог система једнака нули јер је завршна страница

полигона трећа сила, или, резултанта прве две силе је

једнака трећој сили само што је супротно усмерена од треће силе, тако да је она у

равнотежи са дејством прве две силе.

1.3.1б. Теорема о пројекцији резултанте

Пројекција резултанте једнака је алгебарском збиру пројекција компонената на исти правац.

Доказ: Нека је FR

резултанта система сила

F F F F1 2 3 4

, , , (Сл.12) и нека је Л произвољан правац


у равни полигона сила, орјентисан јединичним вектором u .

Пројектовањем свих сила полигона на правац Л, закључије се да, је збир свих

пројекција једнак пројекцији резултанте FR

на правац Л, тј.,

na ab bc cd na ab bd nd . (5)

1.3.2 Аналитичка метода одређивања резултанте Теорема: Пројекција резултанте једнака је алгебарском збиру пројекција

компонената.

1.3.2 Аналитичка метода одређивања резултанте

Теорема: Интензитет резултанте сучељног система сила једнак је квадратном корену из квадрата сума пројекција свих сила на осе x и y (8), а њен правац и смер одређени су изразима (9 и 10).

Нека је нападна тачка Н координатни почетак координатног система Оxy, Сл.13.

Пројекције сила Fi

на осе x и y, су:

iii

iii

FYFYFYFXFXFX

sin,....,cos,coscos,....,cos,cos

222111

222111

(6)

На основу теореме о пројекцији резултанте добија се:

XR X1 X2 ... Xn Xii1

n

Fii1

n

cosi

YR Y1 Y2 ...Yn Yii1

n

Fii1

n

sini.

. (7)


где су XР и YР пројекције резултанте на осе x и y. Интензитет резултанте одређује се

на основу Питагорине теореме:

F X Y X YR R R i i 2 2 2 2 . (8)

Смер резултанте одређен је косинусом угла кога правац резултанте заклапа са x -

осом.

cos R

R

R

i

i i

XY

X

X Y

2 2. (9)

Једначина нападног правца резултанте одређена је једначином:

.sin

cos

1

1 xmF

Fx

XY

yi

n

ii

i

n

ii

R

R

. (10)

где је м - коефицијент правца.

Нападна тачка сучељног система сила Н, у равни има могућност кретања у правцу

осе x и осе y. Тачка или тело остаје у мировању ако је резултанта сучељног система

сила једнака нули, односно ако су пројекције резултанте система сила на осе x и y

једнаке нули, тј. ако су испуњен услов:

0RF

. (11)

Овој векторској једначини одговарају две скаларне једначине:

.00

R

R

YX .

СИСТЕМ СУЧЕЉНИХ СИЛА У ПРОСТОРУ

Дефиниција: Систем сучељних сила назива се такав систем сила који дејствује на тело и чији се нападни правци секу у једној тачки тела . Ако је

распоред сила у простору, односно у више равни реч је о просторном систему сучељних сила као на слици.


Одређивање резултујућег дејства

просторног система сила може да се

уради графичким путем методама помоћу

паралелограма сила или полигона сила

и аналитичким путем. Методм помоћу

паралелограма сила, у равни коју чине

прве две силе одређује се резултанта тих

сила, затим се уочава раван коју формира резултанта претходне две силе и следећа

(трећа сила). Над ове две силе конструише се паралелограм сила чија је дијагонала

резултанта ове две силе. Поступак се понавља док се не сабере и последња сила у

систему. Поступак је исти као и код раванског система сучељних сила само што се

сада две наредне силе сабирају у новим равнима због просторног распореда сила.

Поступак одређивања резултанте просторног система сила помоћу полигона сила

исти је као и код раванског система сила само што се сада поступак врши у

простору, у више равни, надовезивањем

вектора наредне силе на врх вектора

претходне силе. Завршна страна полигона

сила је резултанта система сила (сл )

2.1 Резултанта система од три сучељне силе у простору. Правило паралелепипеда

сила

Теорема: Резултанта трију сила, чије се

нападне линије секу у једној тачки и не припадају истој равни, представљена је

вектором, који је одређен по интензитету и правцу дијагоналом паралелепипеда

чије су странице дате силе, са смером од нападне тачке датих сила и истом

нападном тачком.

Доказ:

Нека су дате три силе

321 ,, FFF

у простору са

нападном тачком А (сл.);

Применом правила о

паралелограму сила

сложу се прве две силе у 211 FFFR


у равни коју оне образују, а затим резултанту

сложимо са трећом силом у другој равни коју оне образују, и она је дијагонална

раван паралелепипеда конструисаног над датим силама .

Резултанта је векторски збир датих сила и одређена је дијагоналом

паралелепипеда, што је требало доказати .

2.2.3 Разлагање силе на правце координатних оса Декартовог координатног система у простору. Пројекције силе на координатне осе

Теорема: Обрнуто поступку слагања

система од три сучељне силе у

простору, по правилу паралелограма

просторног система сила сила може

да се разложи на компоненте чије

нападне линије имају правце

Декартових координатних оса

(сл.24). .ZYXF

Доказ:

Применом правила о паралелограму сила у супротном смислу, разлажемо силу на

компоненте, од којих је једна у равни а друга у правцу осе управне на ту раван, нпр.

у равни 0xy - 1F

и у правцу осе 0z - Z

.

Сила 1F

која лежи у равни Оxy, раѕлаже на компоненте X

и Y.

Интензитети ових компонената, са знаком плус или минус, у зависности од тога да

ли је смер компоненте дате силе исти или различит у односу на смер одговарајуће

осе, бројно су једнаки пројекцијама силе на дате осе. Пројекције силе на

одговарајуће осе Декартовог координатног система 0 , 0 , 0x y z су:

cos;cos;cos FZFYFX . Интензитет силе F

биће једнак :

222 ZYXF , а угао нагиба према осама координатног система, односно правац

дате силе одређене је на основу следећих израза: FZ

FY

FX

cos,cos,cos .

2.2.4 Аналитички начин одређивања резултанте просторног система сучељних сила

32131 FFFFFF RR


У пракси се најчешће примењује аналитички (рачунски) начин одређивања

резултанте просторног система сила. Ова метода заснива се на теореми о

пројекцији резултанте система сила на произвољну осу. Код просторног система

посматрају се три међусобно управне осе па се закључује да је пројекција

резултанте на сваку осу понаособ једнака алгебарском збиру пројекција сила

сучељног система на сваку осу понаособ (сл ), односно:

n

iiR

n

iiR

n

iiR ZZYYXX

111

,, , где су,

ii

n

iiRi

n

ii

n

iiRi

n

ii

n

iiR FZZFYYFXX cos;cos;cos

11111

222RRRRRRR ZYXFkZjYiXF

R

R

R

RR

R

RR F

ZFY

FX

cos,cos,cos

2.2.5 Равнотеже просторног система сучељних сила

Да би просторни систем сучељних сила био у равнотежи потребан и довољан услов

је да резултанта таквог система сила треба ду буде једнака нули:

0RF

.

Из ове векторске једначине следе три скаларне:


0

,0

,0

1

1

1

n

iiR

n

iiR

n

iiR

ZZ

YY

XX

.

Момент силе за тачку у равни

Дефиниција: Момент силе за тачку О у равни, једнак је векторском

производу вектора положаја r

нападне тачке Н силе F

, у односу на

моментну тачку О, и вектора силе F

. Момент изазива обртно кретање тела око моментне тачке, при чему се сматра да је моментна тачка непомична тачка. Момент силе за тачку је векторска величина. Јединица за момент је Нм.

У општем случају тело у равни може да

врши транслаторно кретање (транслацију)

и обртно кретање (ротацију). Сила као

клизеши вектор изазива транслацију док

ротацију изазива нови статички елемент -

момент силе. Нека је тело Q, кога напада

сила F

у тачки Н, зглобно везано у тачки

О. Нападна тачка Н силе F

одређена је

вектором положаја r

у односу на тачку О.

Део тела који се поклапа са r

може да се у мислима издвоји као полуга зглобно

везана у тачки О. Под дејством силе, полуга мења правац па самим тим и сила мења

правац, јер је круто везана за полугу. Пошто је полуга круто везана за тело

променом правца дејства силе, тело се обрће око осе која пролази кроз тачку О и

нормална је на раван вектора F

и r

. На основу овога следи да сила која не пролази

кроз тачку О изазива обртање тела. Обртање тела се објашњава интензитетом,

правцем (осом око које се врши обртање) и смером обртања. Обртно дејство силе је

векторска величина и назива се момент силе F

за тачку О, која представља


моментну тачку. Сила F

може да се разлажи на компоненте F cos у правцу

вектора положаја r

, и F sin управно на правац вектора r

, Сл.14. Компонента

F cos тежи да транслаторно помери тело у правцу свог дејства оптерећујући зглоб

О. Компонента F sin мења правац свог дејства и изазива обртање тела те је она

меродавна за израчунавање величине обртања. Интензитет обртања дефинише се

производом компоненте F sin и интензитета вектора r

означава се M oF

, па је:

M F r

M F h

oF

oF

sin ,

.

. (12)

Пошто је обртање, тј. момент силе F

за тачку О, векторска величина онда је:

M r Fo

F

. (13)

Интензитет вектора момента силе једнак је, по дефиницији векторског производа,

двострукој површини троугла ОАН док правац овог вектора лежи на правац нормале

n

равни у којој леже вектори F

и r

и пролази кроз моментну тачку О. Смер окретања

је смер дејства силе око моментне тачке. Момент силе за тачку је везани вектор за

тачку, јер ако се узме друга тачка за моментну тачку онда се мења и момент силе. За

потпуно дефинисањ вектора момента силе за тачку потребно је знати четири

података, и то: интензитет вектора (14), правац и смер вектора, као и моментну

тачку.

Теорема: Ако се нападна тачка силе помера дуж правца дејства силе момент силе за моментну тачку О се не мења.

Нека је нова нападна тачка силе F

, тачка Н1 на слици .

По дефиницији момент силе за тачку О биће:

FrM Fo 1 , како је r r NN1 1

, бише,

)(

11)1( )(

NFo

NFo

MFr

FNNFrFNNrM (14)

јер је 01

FNN , пошто су вектори

1NN и F

међусобно

колинеарни.

Сл.15


Нека се сила F

налази у хоризонталној равни Оxy и нека је координатни почетак

моментна тачка, сл.16. Како вектор силе F

може да се напише у облику

F X i Y j

где су X и Y компоненте силе F

дуж x и y осе, момент силе F

за

тачку О биће једнак:

kyXxYYXyx

kjiFrM F

o

00 . (15)

Момент силе за тачку у простору

Дефиниција: Момент силе за тачку је

вектор који је једнак векторском производу вектора положаја

ON r

нападне тачке силе и вектора

силе F

, Сл.41.

M r Fo

F

. (52)

Нека сила F

напада тачку Н, која је

вектором положаја r

одређена у односу на

тачку О,

Сл.41.

Интензитет момента једнак је

M F r F r F hF0

sin ( , ) . (53)

Сл.16


Правац вектора момента силе за

тачку поклапа се са правцем

нормале n

равни коју образују

вектори F

и r

.

Вектор момента силе за тачку има

позитиван смер (поклапа се са

смером нормале n

ако вектор

положаја r

обртањем у смеру

супротном од смера казаљке на

сату, описује најмањи угао, до

поклапања са смером вектора силе F

, односно до положаја у коме су вектори

радијуса положаја нападне тачке силе и вектора силе колинеарни (сл). Угао у смеру

супротном од смера окретања казаљке на сату min је мањи од угла у супротном

смеру max

Момент силе за тачку О као векторска величина може да се пројектује на осе

координатног система. Ове пројекције обележавају се са Мx, Мy и Мз, и једнаке су:

M M i M j M ki j kx y zX Y Z

o x y z

, (54)

где су i j k

, , јединични вектори координатног система, x,y,з пројекције вектора

положаја r

на координатне осе и X,Y,З пројекције силе F

на координатне осе.

M y Z z YM z X x ZM x Y y X

x

y

z

. (55)

Интензитет момента силе за тачку може да се одреди изразом:

M M M Mo x y z 2 2 2 . (56)

Косинуси смерова вектора момента силе за тачку одређени су изразима:

cos ;cos ;cos mx

om

y

om

z

o

MM

MM

MM

.(57)


Разлагање силе у три некомпланарна правца (у три правца који не леже у истој равни)

Нека кроз тачку Н пролазе три некомпланарна правца (1,2 и 3) и правац силе F

.

Сила F

треба да се разложи на дата три некомпланарна правца.

Сила F

и један од дата три правца, на пример правац (1), нека чине раван Р2 а

остала два правца нека чине раван Р1, Сл.40.

Равни Р1 и Р2 секу се по траси т.

Сила F

сада може да се разложи на

правац

(1), на компоненту F

1 и на правац

трасе т, на компоненту F t

.

Пошто траса т припада и једној и

другој равни, сила F t

сада може да

се разложи на правце (2 и 3), које

чине раван Р1, на компоненте F

2 и

F

3 . Сила F

једнака је:

F F F F F Ft

1 1 2 3 . (51)

1.10.3. Момент силе за осу

Под појмом момента силе F

за произвољну осу u

подразумева се обртни ефекат

изазван силом F

, који тежи да

помери тело око осе u

.

Дефиниција: Момент силе F

за

осу u

је скаларна величина и

једнак је моменту пројекције F

,

силе F

, на раван (Р), управну на

осу u

, за тачку О, која


представља продор осе u

кроз раван (Р), Сл.42.

На осу u

конструише се произвољна раван (Р) која је управна на ту осу и сила F

пројектује се на ту раван.

Момент ове пројекције ( F

) за тачку О јесте момент силе F

за осу u

.

M F hu * . (58)

Момент силе за осу изазива обртно кретање тела око дате осе. Момент силе за осу

једнак је нули ако су вектори силе и јединични вектор осе колинеарни или ако

вектор силе сече дату осу. У првом случају сила и оса леже у равни која је управна

на дату раван и међусобно су паралелне (сл ). У другом случају правац пројекције

силе у равни пролази кроз тачку продора осе кроз раван, односно сила и њена

пројекција леже у истој равни која је управна на дату раван (сл ).

5 ВАРИЊОНОВА ТЕОРЕМА

(Пиерре Варигнон, 1645-1722)

Теорема: Момент резултанте раванског система сила чији правци секу у

једној тачки, једнак је алгебарском збиру момената свих сила за исту моментну тачку која се налази у равни дејства система сила.

Доказ: Нека се правци система од н сила у једној

равни секу у тачки Н, Сл.17. Силе као клизећи

вектори могу де се помере дуж својих праваца тако

да им нападна тачка буде тачка Н. Тако се добија

систем сила у равни чија је нападна тачка Н. Тачка Н

одређена је у односу на моментну тачку вектором


положаја r

. Резултанта система сила нека је сила FR

F F F F FR

1 2 3 4 . (16)

Збир момената система сила изражава се као збир векторских производа сила

система и вектора положаја тачке Н у односу на моментну тачку О.

RF

oR

F

o

F

o

F

o

F

o MFrFFFFrFrFrFrFrMMMM 43214321

4321

(17)

На овај начин доказана је Варињонова теорема, тј.

M r F Mo

F

R oF

i

nRi

1

. (18)

ГЛАВА 3 ДВЕ ПАРАЛЕЛНЕ СИЛЕ. СПРЕГ СИЛА

Две паралелне силе, силе чије су нападне линије паралелне и одређују једну раван,

могу бити истог или различитог смера, као и истог или различитог интензитета. У

овој глави ће бити приказани карактеристични случајеви свођења система двеју

паралелних сила, уз увођење новог статичког појма под називом спрег сила.

3.1 Две паралелне силе

3.1.1 Резултанта двеју паралелних сила истог смера

Теорема: Резултанта двеју паралелних сила истог смера једнака је по

величини њиховом збиру, паралелна им је и дејствује у истом смеру. Нападна линија резултанте налази се између нападних линија датих паралелних сила, ближе нападној линији веће силе и дели спојну дуж нападних тачака датих

сила обрнуто сразмерно величинама тих сила (сл.47).

21 FFFR ;.RFl

Fq

Fp

12

(30)

Доказ: Нека две паралелне силе 1F

и 2F

нападају тело у тачкама А и Б.

Дуж спојне праве АБ додаје се

уравнотежен систем сила

0),( FF

, који према другој


аксиоми статике не мења затечено стање тела (стање мировања). У тачки А

одређује се правилом паралелограма сила резултанта сила ),( 1 FF

, сила 1RF

. На

исти начин се у тачки Б одређује резултанта сила ),( 2 FF

, сила 2RF

. Затим се

продуже нападни правци добијених сила 1RF

и 2RF

. Њихов пресек обележен је

тачком О (сл ). Силе 1RF

и 2RF

као клизећи вектори померају се дуж нападних

праваца до пресека праваца, тачке О. Из тачке О повлачи се правац паралелан

нападним правцима датих сила 1F

и 2F

, који спојну дуж BA нападних тачака сила 1F

и 2F

сече у тачки Ц.

У тачки О 1RF

разлаже се на две компоненте, силу F

и силу 1F

. Нападни певац

силе 1F

поллапа се са правцем CO . На исти начин и сила 2RF

разлаже се на две

компоненте, силу F

и силу 2F

. Нападни правац силе 2F

поклапа се са правцем CO .

Силе F

и F

у тачки О чине систем од две уравнотежене силе, па се њихово

дејство на тело не примећује. Силе 1F

и 2F

као клизећи вектори померајусе дуж

нападног правца CO тако да им је тачка Ц нападна тачка. У тачки Ц сабирају се ове

две силе и дају резултанту 21 FFFR .

Положај нападне линије

резултанте одређује се из

сличности троуглова 21 AAA и

AOC и троуглова 21BBB и

OBC . Из прве сличности следи:

21

2

AAAA

ACOC

, а из друге:

21

2

BBBB

BCOC

. Како је 2121 BBAA

из претходне две једнакости

следи 21

2

21

2

BBBBBC

AAAAAC

OC

.

Како је 2121 BBAA из претходног

израза следи: 22 BBBCAAAC , односно,

21 FqFp . Како је


qlF

qqpF

qpF

qpFFFFFR

111121 )1( , што је требало и доказати.

Резултанта две паралелне

силе може да се одреди

померањем сила 1RF

и 2RF

дуж

нападних тачака као клизајуће

векторе до тачке О (сл ). У

тачки О методом

паралелограма одређује се

резултанта ове две силе и она

је уствари резултанта сила 1F

и 2F

. Ово се може доказати аналитички на основу израза:

Или помоћу полигона сила на слици .

3.1.2 Резултанта двеју паралелних сила супротног смера

Теорема: Резултанта двеју паралелних сила, различитих интензитета и

супротних смерова, једнака је по интензитету њиховој разлици, паралелна

им је и има смер веће силе. Нападна линија је изван нападних линија датих сила, ближе већој сили и дели дуж нападних линија обрнуто сразмерно интензитетима тих сила (сл.48).

21 FFFR ; RFl

Fq

Fp

12

(31)

212121

21

)( FFFFFFFFFRR FF

RRR


Доказ: Нека две паралелне силе супротног смера 1F

и 2F

нападају тело у тачкама А

и Б. Дуж спојне праве АБ додаје се уравнотежен систем сила 0),( FF

, који према

другој аксиоми статике не мења затечено стање тела (стање мировања). У тачки А

одређује се правилом паралелограма сила резултанта сила ),( 1 FF

, сила 1RF

. На

исти начин се у тачки Б одређује резултанта сила ),( 2 FF

, сила 2RF

. Затим се

продуже нападни правци добијених сила 1RF

и 2RF

. Њихов пресек обележен је

тачком О (сл ).

Силе 1RF

и 2RF

као

клизећи вектори

померају се дуж

нападних праваца

до пресека

праваца, тачке О.

Из тачке О повлачи

се правац

паралелан

нападним

правцима датих

сила 1F

и 2F

, који спојну дуж BA нападних тачака сила 1F

и 2F

сече у тачки Ц.

У тачки О 1RF

разлаже се на две компоненте, силу F

и силу 1F

. Нападни певац

силе 1F

поклапа се са правцем CO . На исти начин и сила 2RF

разлаже се на две

компоненте, силу F

и силу 2F

. Нападни правац силе 2F

поклапа се са правцем CO .

Силе F

и F

у тачки О чине систем од две уравнотежене силе, па се њихово

дејство на тело не примећује. Силе 1F

и 2F

као клизећи вектори померајусе дуж

нападног правца CO тако да им је тачка Ц нападна тачка. Резултанта сила једнака

је векторском збиру, односно интензитет резултанте једнак је алгебарској разлици

интензитета датих сила, 21 FFFR .

Положај нападне линије резултанте одређује се из сличности троуглова 21 AAA и

AOC и троуглова 21BBB и OBC . Из прве сличности следи:

21

2

AAAA

ACOC

, а из друге:


21

2

BBBB

BCOC

. Како је 2121 BBAA из претходне две једнакости следи

21

2

21

2

BBBBBC

AAAAACOC

. Како је 2121 BBAA из претходног израза следи:

22 BBBCAAAC , односно,

21 FqFp . Како је

qlF

qqpF

qpF

qpFFFFFR

111

1121

)1(, што је

требало и доказати.

Резултанта две паралелне силе

супротног смера може да се одреди

померањем сила 1RF

и 2RF

дуж

нападних тачака као клизајуће

векторе до тачке О (сл ). У тачки О

методом паралелограма одређује се резултанта ове две силе и она је уствари

резултанта сила 1F

и 2F

. Ово се може доказати аналитички на основу израза

или помоћу полигона сила на слици .

212121

21

)( FFFFFFFFFRR FF

RRR


3.2 Спрег сила

3.2.1 Дефиниција спрега сила

7. СПРЕГ СИЛА

Дефиниција: Спрег сила образују две паралелне силе, једнаких интензитета

и супротних смерова. Момент спрега сила M је слободан вектор, чији је

интензитет једнак производу једне силе и најкраћег растојања измедју нападних линија паралелних сила, има правац нормале на раван у којој дејствују силе и позитивног је или негативног смера у зависности од смера обртног дејства сила. Момент спрега сила M може се представити

кружном стрелицом у равни дејства спрега, за решавање проблема у равни

(сл.49), или вектором M , за решавање проблема у простору (сл.50).

Интензитет разултанте двеју сила

чији су правци паралелни а смер

супротан, једнак је алгебарском

збиру интензитета датих сила:Ако су

силе паралелних праваца, супротног

смера и истог интензитета,

резултанта сила једнака је нули, тј.

F F FR 1 1 0' , а њена нападна тачка налази се у

бесконачности. На основу овога закључује се да

механичко дејство сила неће да изазове

транслаторно померање тела. Под дејством

спрега сила слободно круто тело врши обртно кретање (чисту ротацију). Механичко дејство

спрега на тело биће веће ако је интензитет сила

већи и ако је крак спрега већи. Под краком спрега

подразумева се нормално растојање правца сила

спрега (л). Механичко дејство спрега на тело

одређује се производом интензитета силе спрега и

крака спрега,

lF , (25)


који се назива интензитет момента спрега, затим, смером тог дејства, који може

бити узет са знаком (+) или знаком (-) без обзира на смер обртања. Уобичајено је

да се смер супротан смеру казаљке на сату узима са знаком (+). Трећи податак који

одређује механичко дејство сила спрега на тело јесте правац тог дејства, односно

положај равни дејства спрега сила. Механичко дејство спрега сила на тело је

векторске природе и назива се момент спрега. Пошто је позната раван дејства

спрега момент спрега је слободни вектор који је дефинисан интензитетом и смером,

односно:

lFFrMFr

sin

Вектор положаја r увек је усмерен од F

ка F

. Димензија момента спрега сила

једнака је димензији момента силе за тачку.

Теорема о моменту спрега сила

Теорема: Алгебарски збир момената сила спрега за моментну тачку у

равни дејства сила једнак је моменту спрега сила, тј. момент спрега сила не зависи од избора моментне тачке у равни његовог дејства.

0 0M F M F Fd

M . (34)

Доказ: Силе F и F чине спрег сила. Момент силе F за произвољно изабрану

тачку 0 у равни дејства сила (сл.51) дат је у облику израза 0M F Fh F h d

и

има позитиван математички смер. Момент силе F за произвољно изабрану тачку

0 у равни дејства сила (сл.51) дат је у облику

израза 0M F F h Fh

и има негативан

математички смер. Сабирањем ових израза добија

се алгебарски збир

0 0M F M F Fh Fh F h d Fh Fd

M

који, према Варињоновој теореми, представља момент спрега сила. Момент спрега

сила једнак је алгебарском збиру момената датих сила за исту тачку 0, и једнак је

производу једне силе и крака спрега, те не зависи од избора моментне тачке.

Поређењем добијеног израза за збир момената сила спрега са моментом спрега

сила, према (32), закључујемо да је збир ових момената једнак моменту спрега сила,

што је требало доказати.


Теорема о еквивалентности спрегова сила

Теорема: Два спрега сила су еквивалентна ако су њихови вектори момената једнаки.

1MM

.

Према овој теореми, дејство спрега сила

на тело не мења се ако се дати спрег

сила замени другим спрегом ма где у

његовој равни или у паралелној равни,

тако да се производ силе и крака не

промени, као ни смер обртања (сл.52).

Доказ: Треба да се докаже да је спрег сила 11 , FF

еквивалентан спрегу сила FF

,

(сл.52) који дејствује у истој или у паралелној равни, одн. да су вектори њихових

момената једнаки 1MM

. На слици ( ) посматрани су спрегови у равни. Нека је

дат спрег FF

, крака l , момента nlFM . У тачкама А и Б, додаје се

уравнотеже силе ,F

и ,F

. Методом паралелограма сила у тачкама А и Б одређене

су резултанте сила ,, FF

и ,, FF

, силе ,F

и ,F

. Силе 11 , FF

чине нови спрег

сила чији је крак

1l , момент

спрега

11 FrM

.

Интензитет сила ,F

и ,F

је

изабран тако да

су резултанте ,F

и ,F

управне

на силе FF

, .

Момент спрега

датих сила

FF

, једнак је: FrM

. nlFM .

Момент новонасталог спрега сила 11 , FF

, једнак је:


FrFrFrFFrFrM

,,11 )(

Пошто су вектори r и ,F

колинеарни, векторски производ ,Fr

једнак је нули.

Овим је доказана теорема, јер је 1MM

. Вектор момента спрега је слободан вектор

јер се дејтво на тело не мења ако се спрежне силе померају у равни.

Доказ за еквивалентности спрегова у две паралелне равни.

Дат је спрег FF

, , крака d ,

момента F d n M у равни и

раван 1 , која је паралелна

равни . Нападне тачке А и Б

сила спрега, који дејствује у равни

, пројекту се на равнан 1 у

тачке А1 и Б1. У овим тачкама

додаје се уравнотежен систем

сила истог интензитета, као што

су силе спрега: 0),( FF

у А1 и

0),( FF

у Б1. Дејство на тело у

равни 1 се неће променити.

Применом теореме о резултанти двеју

паралелних сила одређује се резултанта силе F

из равни и силе F

из равни

1 . Резултанта ових сила, сила F

2 , је паралелна са датим силама и пролази кроз

тачку С. На исти начин одређује се резултанта силе силе F

из равни и силе F

из

равни 1 . Резултанта ових сила, сила F

2 , је паралелна са датим силама и пролази

кроз тачку С. У тачки С сада делује уравнотежени систем сила F

2 и F

2 , чије је

дејство једнака нули. У равни 1 остале су две силе FF

, које чине спрег сила.


Момент овог спрега и спрега сила у равни су исти па су спрегови еквивалентни и

леже у паралелним равнима.

Ако два спрега сила дејствују у истој равни, међусобно су еквивалентни ако имају

једнаке моменте:

1 2M M

Опет је доказано тврђење да је спрег слободан вектор.

3.2.4 Теорема о слагању два спрега сила у простору

Теорема: Два спрега сила (сл.54), који дејствују у равнима које се секу, еквивалентни су једном резултујућем спрегу чији је момент једнак

векторском збиру момената датих спрегова (сл.55): 1 2.r M M M (36)

Доказ:

(1) Дата су два спрега сила (сл.54): први спрег сила 1 1,F F

дејствује у равни 1 и

има момент 1

M , други спрег сила 2 2,F F

дејствује у равни 2 и има момент 2

M .

Потребно је да се сложе ова два спрега, односно да се замее једним спрегом сила

који има дејство еквивалентно дејству два дата спрега.


Трансформишу се дати спрегови сила 1 1,F F

и 2 2,F F

у спрегове ,F F

, који

имају једнаке интензитете сила, а промењене кракове 1d у 1d и 2d у 2d . Спреговеи се

помере тако да по једна сила сваког трансформисаног спрега напада исту тачку А и

да се нападне линије ових сила поклапају са пресечном правом равни дејства датих

спрегова. Према томе, спрег сила 1 1,F F

је еквивалентан спрегу ,F F

у равни 1 и

спрег сила 2 2,F F

је еквивалентан спрегу FF

, у равни 2 .

Силе F

и F

, које нападају тачку А, су у равнотежи по аксиому (А2), те их можемо

уклонити по аксиому (А3). На тај начин се почетни систем од два спрега сила своди

на спрег сила FF

, крака п, који дејствује у равни . Тај спрег се зове резултујући

спрег сила а његов момент је вектор r

M .

С озиром да су спрегови представљени векторима момената спрегова који су

управни на одговарајуће равни дејства спрегова, доказ о томе да вектор момента

резултујућег спрега једнак векторском збиру момената може се једноставно извести

на основу сличности троуглова. Изоставља се размера за момент спрега да би се

поједноставиле релације, имајући на уму да дужи које представљају интензитете

момената спрегова сила имају димензију момента:

1111111 ; CABBACACCAABBA ; (а) 1 1 1 1 1

2 2 21 1

A B F d dF d dAC

MM

; (б)

(а) (б) 1 11 1 1

1 1

B C BCA B C ABCB A BA

;

1

1111 dpAB

BABCCB 1M ; (ц) 1 1A B 1 1Fd M ; (д) r FpM ; (е)

(д) (ц) FpdFdpCB

11

11 ; (ф)

(е) (ф) 1 1r B CM .

С обзиром на смер вектора који представљају моменте датих спрегова сила у односу

на дате равни (сл.54) и смер вектора у троуглу (сл.55), следи да је: 1 2.r M M M

(36)

По косинусној теореми, квадрат интензитета вектора момента резултујућег спрега

сила је:

2 2 21 2 1 22 cosr M M M M M , (37)


што је требало доказати.

3.2.5

Теорема о слагању спрегова сила у простору

Систем спрегова сила у простору може се заменити једним резултујућим спрегом

сила чији је момент једнак векторском збиру момената компонентних спрегова сила.

Теорема: Момент резултујућег спрега сила (сл.56) једнак је векторском

збиру момената датих спрегова сила. Он је одређен вектором, који је завршна страница просторног полигона конструисаног од вектора момената компонентних спрегова сила, са почетном тачком у почетној

тачки конструисања полигона и смером ка последњем вектору момента компонентног спрега сила.

1

n

r ii

M M . (38)

Доказ: Доказ теореме изводимо на примеру система од три спрега сила, различитих

интензитета сила и различитих кракова (сл.56). Постепеном применом теореме о

слагању два спрега сила у простору доказујемо ову теорему. Резултујући спрег сила

одређен је вектором резултујућег момента који је

једнак векторском збиру момената датих спрегова

сила.

3

1 1 2 1 3 1 2 31

r r r ii

M M M M M M M M M M ;


1

n

r ii

M M . (38)

Слагање система спрегова сила у равни

Систем спрегова сила у

равни може се заменити

једним резултујућим

спрегом, који лежи у истој

равни и има момент

једнак алгебарском збиру

момената датих спрегова

(сл.57).

1

n

r ii

M M

3.2.6 Услов равнотеже система спрегова сила

Теорема: За равнотежу система спрегова сила је потребно је и довољно да

момент резултујућег спрега сила буде једнак нули, тј. да је векторски збир

момената свих спрегова сила једнак нули. Просторни полигон (сл.), чије су странице вектори момената компонентних спрегова сила, је затворен.

1

0 0n

r ii

M M . (40)

Доказ: Ова теорема се доказује једноставно.

Очигледно је, из претходне теореме, да је

систем спрегова у равнотежи ако је момент

резултујућег спрега једнак нули:

1

0 0n

r ii

M M .

Пошто се слагање момената спрегова сила врши по правилу полигона, уколико се по

конструисању тог полигона, при наношењу свих момената спрегова, врх последњег

вектора момента поклопи са почетном тачком, тј. ако је полигон вектора момената

затворен, тада је систем спрегова сила у равнотежи (сл.58).

Основном облику услова равнотеже система спрегова у простору (40) могу се


придружити одговарајуће једначине равнотеже, које одговарају условима равнотеже

система спрегова сила у простору у аналитичком облику. На основу теореме о

пројекцији векторског збира (10), из (40) следи да је потребно и довољно да су

алгебарски збирови пројекција вектора момената свих (компонентних) спрегова

система на правце оса Декартовог координатног система једнаки нули:

10

n

x xii

M M ; 1

0n

y yii

M M ; 1

0n

z zii

M M . (46) где су: ,xM ,yM zM - пројекције

резултујућег момента спрегова, и ,xiM ,yiM ziM - пројекције вектора момента и-тог

спрега сила на осе Декартовог координатног система у простору.

Ако се систем спрегова сила налази у једној равни, тада се три аналитичка услова

своде на један, тј. за равнотежу система спрегова сила у равни потребно је и

довољно да је момент резултујућег спрега сила једнак нули, тј. да је алгебарски збир

момената свих спрегова сила једнак нули.

1

0 0n

r ii

M M . (47)

Према томе, проблем равнотеже система спрегова сила у равни је једноставније

решити.

1.6.1 Слагање силе и спрега

Теорема: Сила и спрег који дејствују у истој равни, слажу се у једну

силу истог интензитета и смера као дата сила чији је правац паралелан правцу дате силе на растојању

rF r

F

1 1 . (17)

Сл.1.14.

Нека у једној равни делују сила F

и спрег F1 , F1

, Сл.1.14а.


Познатим трансформацијама спрег може да се премести тако да се тачка Н1

поклопи са тачком Н, а да правац силе F1 падне на правац силе F

, Сл.1.14б. Крак

спрега р1 може да се замени краком р, тако да је

интензитет силе новог спрега једнак интензитету дате силе F

, Сл.1.14в.

Момент спрега чији је крак р једнак је моменту датог спрега

11 FrFrM

. Тачка Н2 прешла је у положај Н'2. Сила F , са нападном тачком

Н, и сила F

, са истом нападном тачком , су супротне силе, па је њихово дејство на

тело еквивалентно нули. Остаје само сила F

са нападном тачком Н'2 Сл.1.15., која

је паралелно померена на растојање r F rF

1 1 у односу на свој првобитни правац

кроз тачку Н.

СИСТЕМ ПРОИЗВОЉНИХ СИЛА

Ако систем сила напада круто тело у различитим тачкама и нападне линије сила су

произвољно распоређене, тада се тај систем сила назива систем произвољних

сила. Задатак статике је да овај систем редукује (сведе) на једноставнији и да испита

услове равнотеже. Свођење система на једноставнији облик врши се у односу на

неку тачку (редукциону тачку), која је најчешће координатни почетак Декартовог

координатног система.

4.1 Систем произвољних сила у равни

1.7.1 Редукција силе на дату тачку

Теорема: Сила се редукује на произвољну тачку ако се паралелно помери у ту

тачку и дода јој се момент дате силе за дату тачку.


Нека тело напада сила F

у тачки П, Сл.1.16а. На основу друге аксиоме у тачку А

доводе се две уравнотежене силе. Сл.1.16б. Нека је интензитет супротних сила

једнак интензитету дате силе, а правац паралелан правцу дате силе. Сила -F

, са

нападном тачком А, и сила F

, са нападном тачком П, чине спрег чији је момент

интензитета

М = Ф х. Као слободан вектор момент спрега може да се пренесе у равни дејства у

тачку А.

На тај начин је сила F

пренета у тачку А у којој делује још и момент спрега М,

Сл.1.16в. Овакав поступак преношења силе назива се редукција силе на дату тачку.

4.1.2 Дефиниције главног вектора и главног момента

Дефиниција: Главни вектор је назив за векторски збир свих сила датог система

произвољних сила niFi ,..,2,1

са нападним тачкама iA :

n

iiR FF

1

(44)

Главни вектор у аналитичком облику, аналогно изразу (11), дефинише се изразима:

где су, на основу (44) и (10), пројекције главног вектора на осе Декартовог

координатног система у равни 0xy једнаке алгебарским збировима одговарајућих

пројекција свих сила система:

;1

n

iiR XX ;

1

n

iiR YY . ;

1

n

iiR ZZ

Дефиниција: Главни момент је назив за алгебарски збир момената свих сила

;cos;cos;; 22

R

RR

R

RRRRRRRR F

YFXYXFjYiXF


система произвољних сила niFi ,..,2,1

са нападним тачкама iA за редукциону

тачку 0 у истој равни:

n

i

Fo

iMM1

0

(45)

4.1.3 Теорема о редукцији система произвољних сила у равни на дату тачку

Теорема: Систем

произвољних сила у равни

је статички еквивалентан

једној сили - редукционој

резултанти која је једнака

главном вектору и

једном спрегу сила -

резултујућем редукционом

спрегу сила чији је момент једнак главном моменту датог система произвољних

сила за редукциону тачку, RM

.

Доказ:

Дат је систем сила niFi ,..,2,1

са нападним тачкама iA и редукциона тачка 0

(сл.69);

На основу теореме о

редукцији једне силе на дату

тачку, сваку силу редукујемо

на дату тачку 0 и замењујемо

силом ii FF

и спрегом сила

чији је момент

0i i i iF h M F

M ;

iFoiii MhFM

Силе iF

чине систем

сучељних сила које нападају редукциону тачку 0 и можемо их, применом теореме

о слагању система сучељних сила, заменити редукционом резултантом:

RF


n

iiR FF

1

(46)

На основу теореме о слагању спрегова сила, систем спрегова сила је статички

еквивалентан резултујућем редукционом спрегу, чији је момент

o

n

i

Fo

n

iii

n

iiR MMhFMM i

111

Задати сиситем сила смо свели на

једну силу - редукциону

резултанту и један спрег сила -

резултујући редукциони спрег

сила. Редукциона резултанта је једнака главном вектору и не зависи од избора

редукционе тачке. Момент резултујућег редукционог спрега једнак је главном

моменту за редукциону тачку и зависи од избора редукционе тачке, јер момент сваке

силе зависи од крака силе који се мења са променом моментне (редукционе) тачке.

4.1.4 Случајеви редукције система произвољних сила у равни

Систем произвољних сила у равни може се редуковати на простији систем у

произвољној тачки 0, у општем случају на силу – редукциону резултанту, која је

једнака главном вектору, и један спрег сила - резултујући редукциони спрег, чији је

момент једнак главном моменту сила за исту редукциону тачку. У зависности од

вредности главног вектора и главног момента, раван систем сила своди се на

резултанту, на спрег сила или је у равнотежи. Анализирају се могући различити

случајеве редом:

(1) Ако су главни момент и главни вектор различити од нуле, систем сила се своди

на резултанту која је једнака главном вектору, има нападну тачку 01 и нападну

линију паралелну нападној линији редукционе резултанте, померену за најкраће

растојање RFMd /0 (сл.70).

Ово доказујемо применом Варињонове теореме: Момент резултанте

система произвољних сила у равни за ма коју тачку у тој равни једнак је

алгебарском збиру момената датих сила за исту моментну тачку:

n

i

Fo

F iR MM1

0

(48)


Доказ: У редукционој тачки 0

уочава се главни вектор и

главни момент. Будући да се

спрег сила може приказати

силама спрега, бира се

величина сила спрега тако да

буду једнаке величини главног

вектора и поставља се тај спрег

тако да једна од сила спрега

напада редукциону тачку 0, има

правац главног вектора и смер

супротан смеру главног вектора, а друга напада тачку 0’ на растојању RFMd /0 .

Тада је пар сила, са нападном тачком у редукционој тачки 0, у равнотежи па се може

уклонити јер се дејство на тело неће променити. Тада тело напада само једна сила

у тачко 0 , што значи да се почетни систем сила своди на резултанту, с тим што се

њена нападна тачка не поклапа са редукционом тачком.

;dFM RF

oR

RR Fo

F MM

(а) (б)

n

i

Fo

F iR MM1

0

.

сл.70 Редукција система произвољних сила на резултанту у нападној тачки 0

(2) Ако је главни вектор различит од нуле а главни момент једнак нули

0,0 RFoR MF

, систем се своди на резултанту чија нападна линија пролази кроз

редукциону тачку 0.

(3) Ако је главни вектор једнак нули а главни момент различит од нуле

0,0 RFoR MF

, систем се своди на спрег сила чији је момент једнак моменту

резултујућег редукционог спрега и не зависи од избора редукционе тачке.

(4) Ако су главни вектор и главни момент једнаки нули, систем је у равнотежи. То

представља основни облик услова равнотеже система произвољних сила у

равни:

n

i

Foo

Fo

iR MMM1


01

n

iiR FF

; 01

0

n

i

Fo

iMM

(49)

4.1.5 Једначине равнотеже система произвољних сила у равни

Теорема: За равнотежу система произвољних сила у равни је потребно и

довољно да алгебарски збирови пројекција свих сила на сваку од две узајамно

управне координатне осе буду једнаки нули и да алгебарски збир момената свих

сила за произвољну тачку у истој равни буде једнак нули: 1 1

0 ; 0;n n

i ii i

X Y

01

n

i

Fo

iM

. (50)

Доказ: Полази се од основног облика услова равнотеже за систем произвољних

сила у равни у правоуглом координатном систему 0xy (сл.71):

0RF

и 01

iR Fo

n

i

Fo MM

.

С обзиром на дефиниције главног вектора и главног момента и основни облик

равнотеже,

01

n

iiR FF

; 01

iR Fo

n

i

Fo MM

;

а

узимајући у обзир аналитички облик главног вектора и изразе за његове пројекције

на осе Декартовог координатног система у равни, следи:


,0,0;011

22

n

iiR

n

iiRRRR YYXXYXF

1.8.3 Услови равнотеже раванског система произвољних сила

Произвољни равански систем сила који делује на слободно тело је у равнотежи тада

и само тада када су главни вектор FR

и главни момент Mo система сила једнаки

нули

F F M MR ii

n

o oF

i

ni

1 1

0 0;... , (33)

где је О било која тачка тела која се налази у равни дејства сила, јер када је FR

0 ,

интензитет главног момента Mo не зависи од избора редукционе тачке.

Из услова равнотеже (33) проистичу три облика услова равнотеже.

1.8.3.1. Први облик услова равнотеже Интензитет главног вектора и главног момента одређен је изаразима:

F X Y

M

R ii

n

ii

n

o oF

i

ni

1

2

1

2

1

. (34)

Услови равнотеже сада могу да се напишу у облику:

X Y Mii

n

ii

n

oF

i

ni

1 1 1

0 0 0;.. ; ...... (35)

Равански систем сила који напада круто тело налази се у равнотежи тада и само тада ако је алгебарски збир пројекција свих сила на два произвољно изабрана управна правца једнак нули и ако је збир момената свих сила у односу на било коју изабрану тачку О, која се налази у равни дејства сила, једнак нули.

1.8.3.2. Други облик услова равнотеже

Произвољни равански систем сила који дејствује на слободно круто тело је

у равнотежи тада и само тада ако је, алгебарски збир момената свих сила за било које две тачке А и Б које леже у равни дејства сила и алгебарски збир пројекција свих сила на било коју осу Оx која није управна на АБ, једнак нули.


M M XAF

i

n

BF

i

n

ii

ni i

1 1 1

0 0 0;.. ;... . (36)

Ако су задовољене прве две једначине система једначина (36) онда је то потребан

услов за равнотежу али не и довољан. Тада се систем сила своди на резултанту Fr

,

која пролази кроз тачке А и Б, док је главни момент једнак нули o 0 . Да би био и

главни вектор једнак нули, односно, FR

0 , мора бити задовољена и трећа

једначина система једначина (36). При томе оса Оx не сме да буде управна на

правац АБ , јер ће тада бити задовољен услов X XR ii

n

1

0 само ако је главни

вектор једнак нули, односно, FR

0 .

1.8.3.3. Трећи облик услова равнотеже

Произвољни равански систем сила који делује на слободно круто тело биће у равнотежи ако је алгебарски збир момената свих сила у односу на

произвољне три неколинеарне тачке А,Б и Ц , које леже у равни дејства силе, једнак нули.

M M MAF

i

n

BF

i

n

CF

i

ni i i

1 1 1

0 0 0;. ;.. .(37)

Било које две једначине система (37) обезбеђују да је главни момент једнак нули,

односно, o 0 . Све три једначине обезбеђују да је и главни вектор једнак нули,

односно, FR

0 , јер уколико би се систем свео на једну силу различиту од нуле

F FR r

0 , онд би резултанта Fr

морала да пролази кроз три неколинеарне тачке А,

Б и Ц истовремено што је немогуће.

4.1.6 Равнотежа система паралелних сила у равни

Систем паралелних сила је у равнотежи ако

су испуњена два услова, односно ако да су

задовољене две једначине равнотеже:

,0)1(1

n

iiY 0)2(

1

n

i

Fo

iM

, јер је

n

iiX

1

0 . (53)

4.1.7 Стабилност равнотежног стања sl.72 Sistem paralelnih sila


крутог тела

Слободно круто тело је у равнотежи ако су главни вектор и главни момент сила које

дејствују на тело једнаки нули. То су потребни и довољни услови да би тело било у

равнотежи. У практичним условима, за одређивање равнотеже тела под дејством

система сила које су произвољно распоређене у равни, тј. нападају тело у

различитим тачкама и њихове нападне линије не секу се у једној тачки, користе се

једначине равнотеже. У том случају могу се написати три једначине равнотеже, или

две за систем паралелних сила, и оне могу послужити за одређивање само три или

две непознате величине. Ако је тело везано, применом аксиома (А5) и (А6) треба

уклонити везе и њихове утицаје заменити силама везе. Активне силе и силе веза

нападају слободно тело и оно ће имати равнотежно стање ако су задовољене

једначине равнотеже. Уколико је број сила веза једнак броју једначина тада је

задатак решив и онда се назива статички одређеним. У супротном случају задатак је

статички неодређен. У стварним условима, веома је битно да се одреди облик

положаја равнотеже који може бити: стабилан, нестабилан (лабилан) и индиферентан (сл.73).

сл.73 Положаји равнотеже: а) стабилан; б) нестабилан; ц) индиферентан

Положај равнотеже тела је стабилан

ако тело, које је изведено из тог

равнотежног положаја под дејством

силе, тежи да се врати у првобитан

положај по престанку дејства те силе.На

слици ( ) приказан је случај стабилне

равнотеже, у горњем крајњем положају

распоред активних и реактивних сила

које делују на куглицо или цилинадар је


такав да теже да врате тело у првобитни положај. Резултанта је усмерена ка

почетном положају тела.

Положај равнотеже је нестабилан ако се тело, које је изведено из тог положаја

равнотеже под дејством силе, удаљава од тог положаја по престанку дејства те

силе. Резултанта активних и реактивних сила је усмерена у супротном смеру од

почетног положаја тела.

Положај равнотеже тела је индиферентан ако тело, које је изведено из тог

равнотежног положаја под дејством силе у неки други положај, задржава тај

положај по престанку дејства те силе. По престанку дејства активне силе која

изазива кретање тела резултанта је једнака нули.

Ако се тело (кугла или ваљак) ослања о глатку површ, положај равнотеже је

стабилан ако тежиште тела заузима најнижи могући положај, одн. нестабилан ако

тежиште заузима највиши могући положај.

Питање стабилне равнотеже је од битног значаја у случају ослањања тела о глатке

површи (покретне дизалице, возила итд.).

Таква тела се под дејством активних сила могу обртати око одређене осе и њихови

моменти могу бити такви да теже да врате тело у првобитан положај. Такви моменти

сила у односу на тачку ослонца се називају моментима стабилности. Да би

посматрано тело било статички стабилно, потребно је да момент стабилности буде већи од момента претурања рачунато за тачку ослонца око

које може доћи до претурања. Однос момента стабилности и момента

претурања зове се коефицијент (степен) стабилности. За стабилан положај

равнотеже, коефицијент стабилности мора бити већи од јединице а у практичним

условима треба да се узимају вредности 1, 3 до 2.


1.9 ТРЕЊЕ

Из искуства је познато да када се једно тело креће по површини другог, тело

по чијојсе површини одвија кретање пружа известан отпор телу које се креће. Тај

отпор назива се трење.

1.9.1 Трење клизања

Када тело мирује на хоризонталној

подлози, Сл.29а реакција подлоге Fn

је

вертикална без обзира да ли су додирне

површене идеално глатке или су храпаве.

Ако се та иста подлога искоси Сл.29б,

постоји могућност кретања тела низ стрму

раван. Ако је угао нагиба мали тело остаје

у стању мировања, али ако

се угао нагиба довољно

повећа тело почиње да клизи

низ стрму раван. У том

случају реакција подлоге, ако

се узме у обзир и сила трења

која се јавља између

додирних површина, није

више управна на подлогу,

већ је нека коса сила чије су

компоненте Fn

и

F .

На основу искуства утврђено

је да сила трења зависи од храпавости површина које се додирују и претпоставља се

да зависи од врсте материјала тела која се додирују, температуре и подмазаности

додирних површина. Ова појава до данашњих дана није детаљно истражена.


На Сл.31 приказано је тело тежине Г на хоризонталној подлози на кога делује сила

F

. Реакција храпаве подлоге је сила F Fn

. При малој вредности силе F

тело се

налази у равнотежи па из услова X 0 следи F F . Са повећањем интензитета

силе F

тело се још увек одржава у равнотежном положају и све док је у

равнотежном положају важи F F , те се самим тим повећава и сила трења што је

представљено правом АБ на Сл.32. У току повећавања интензитета силе F

достиже

се критично стање у коме равнотежа тела само што није нарушена и у коме сила

трења достиже максималну вредност F m , при чему је још увек F F F m , тачка Б

на Сл.32.

Експерименталним путем утврђено је, да је критична сила пропорционална нормалној сили притиска на подлогу, односно, да је

F Fm n , (42)

где је константа - статички коефицијент трења.

Ако се интензитет силе F

повећа изнад вредности F F m настаје клизање

тела, сила трења нагло пада, правац БЦ, и после тога остаје скоро константна и независна од силе Ф правац ЦД при чему је њен интензитет

F Fk k n ,….(43)

где се константа k - назива кинематски коефицијент трења.

Нека се на стрмој равни налази терет тежине Г, и нека се при малом углу нагиба

стрме равни налази у равнотежи, Сл.29б. Једначине равнотеже могу да се

напишу у облику:

X F G

Y F G Gn

sin

cos

0

0

Из система једначина (44) следи:

cossin GGFFF nm

одакле је: tg .

Коефицијент статичког трења једнак је тангенсу угла који чини стрма раван са

хоризонталом у критичном тренутку губитка равнотеже. Овај критични угао назива се

угао трења. Тело које се налази на стрмој равни биће у равнотежном положају док


је угао нагиба стрме равни мањи од угла трења, односно, док је испуњен услов:

0 * .

Коефицијент трења не зависи од величине додирних површина. Коефицијент

статичког трења за клизање метала по металу има вредност од 0.1 до 0.6.

У пракси се често постављка проблем коликом минималном силом треба да се

делује на тело које се налази на стрмој равни да би се одржало у равнотежном

положају. Сила трења је усмерена навише пошто тело има тенденцију да се креће

наниже. Једначине равнотеже у том случају биће:

X F F G

Y F Gn

n

min sin

cos

0

0, (45)

одакле следи да је F Gmin sin cos .

Свака сила која је већа од минималне силе F F min и даље ће држати тело у

равнотежи. Поставља се питање колика је сила Фмаx потребан да тело почне да се

креће уз стрму раван. У том случају сила трења је усмерена наниже па једначине

равнотеже имају облик:

X F F G

Y F Gn

n

max sin

cos

0

0, (46)

па је F Gmax sin cos .

1.9.3 Трење котрљања

На Сл.34 приказан је цилиндар полупречника р, тежине Г, на који делује

хоризонтална сила F

и који може да се котрља по равној површини. У тачки

контакта А, делује нормална реакција Fn

подлоге. У тачки А нема силе трења

клизања, јер се та тачка, ако нема проклизавања по равној површини, не креће у

односу на подлогу, тј. њена брзина једнака је нули па не постоје услови за појаву

трења клизања. Из тога произилази апсурдни закључак да ће цилиндар и при

најмањој вредности силе Ф почети да се транслаторно креће јер је нарушен услов

равнотеже 0X . Искуство међутим показује да се цилиндар при дејству силе

F

малог интензитета уопште не покреће. Ако у пракси при дејству


Сл.34

силе F

малог интензитета нема померања

цилиндра тада може да се изведе закључак да у

тачки А делује и нека хоризонтална сила F F'

,

као на Сл.35. Међутим ове две силе чине спрег

сила који би почео да обрће цилиндар. Али у

пракси не долази ни до обртања цилиндра.

Ова појава може да се објасни на следеши начин. Наиме, при додиру цилиндра и

додирне површине увек долази до мање или веше деформације додирне површине,

Сл.36, па се додир остварује по луку ДЕ, а не у једној тачки.

Резултанта Fr

сила контактног притиска померена је у односу на тачку А у смеру у

коме цилинтар тежи да се помери, и може да се као на Сл.36, растави на две

компоненте: F F Fr n

. Цилиндар се сада налази под дејством раванског система

од три силе и оне мора да се секу у једној тачки, тачки Ц, јер је систем у равнотежи.

За еквивалентни систем сила, Сл.36б у граничном положају равнотеж, када је

F F Fm max једначине равнотеже имају облик:

0

0

0

nC

n

m

FrFM

FGY

FFX (47)

Из ових једначина следи: F F F G

F Fr

F

m n

m n

;...... (48)

Ако је F Fm цилиндар мирује и ако је F Fm он се обрће. Величина зове се

коефицијент трења котрљања. Он има димензију дужине и одређује се


експериментално на основу једначине (48). Вредност коефицијента трења котрљања

за котрљање делова од челика (челик по челику) износи 0 001. cm .

Како је при клизању F Fn а при котрљању Fr

Fn

, често се за исте

вредности нормалне силе упоређују величине и r

. Утврђено је да је

r ,

односно, да је отпор при котрљању много мањи од отпора при клизању, па се у

пракси препоручује, да се у свим склоповима где је то могуше клизање замени

котрљањем. У многим уџбеницима се због лакшег упоређивања са коефицијентом

трења клизања, неименовани однос r

, такође се назива коефицијент трења

котрљања.

1.9.4 Трење обртања

Ако на неко тело, које се налази у контакту са другим телом делује спрег сила чији је

момент М који настоји да обрне тело око осе управне на заједничку тангентну раван

Т, Сл.37, практично искуство указује да се за мале вредности М тело неће обртати.

То значи да на месту додира, без обзира колико је додирна површина мала, делује

други спрег који га уравнотежава и који је резултат силе трења која се супроставља

том обртању. Експерименталним путем утврђено је да је тај отпор пропорционалан

нормалној додирној сили притиска Фн и да ће тело почети да се обрће када момент

спрега М достигне неку граничну вредност

Ако на неко тело, које се налази у контакту са другим телом делује

спрег сила чији је момент М који настоји да обрне тело око осе

управне на заједничку тангентну раван Т, Сл.37, практично

искуство указује да се за мале вредности М тело неће обртати. То

значи да на месту додира, без обзира колико је додирна површина

мала, делује други спрег који га уравнотежава и који је резултат

силе трења која се супроставља том обртању. Експерименталним

путем утврђено је да је тај отпор пропорционалан нормалној додирној сили притиска

Фн и да ће тело почети да се обрће када момент спрега М достигне неку граничну

вредност M k Fm n . Коефицијент трења обртања к има димензију дужине и

неколико пута је мањи од коефицијента трења котрљања. Овакав отпор јавља се код

кугличних лежајева.

Сл.37


4.1.8 Равнотежа система крутих тела

Сложени раван систем чини систем крутих тела која су међусобом везана

унутрашњим везама система, а у неким тачкама за непокретне равни, спољашњим

везама. Према томе, везе помоћу којих су тела међусобом спојена су унутрашње

везе (на сл.74 унутрашња веза је у тачки C), а везе помоћу којих је дати систем тела

везан на ослонце називају се спољашње везе (на сл.74 спољашње везе су у тачкама

А и B).

Приликом уклањања веза којима је подвргнут систем крутих тела по аксиоми, увек се

јављају силе веза у парном броју и при томе су истих интензитета и праваца, а

супротних смерова.

Приликом ослобађања од спољашњих веза, реакције спољашњих веза своде се на

једну силу која дејствује од везе ка телу, јер се утицај тела на везу не узима у обзир

при испитивању равнотеже тела. Према томе, ако се систем крутих тела ослободи

само спољашњих веза, тада се на систем тела, ако она образују круту конструкцију,

примењују једначине равнотеже као за једно тело.

Приликом ослобађања система крутих тела од унутрашњих веза јављају се реакције

унутрашњих веза у парном броју, које се називају унутрашњим силама и имају

следећа својства: главни вектор унутрашњих сила једнак је нули; главни момент


унутрашњих сила једнак је нули.

Узимајући у обзир ова својства унутрашњих сила, следи да за систем крутих тела

који је у равнотежи важе једначине равнотеже као за једно тело без декомпозиције

система и одређивања унутрашњих сила. Уколико је потребно да се одреде

унутрашње силе система крутих тела, мора да се изврши декомпозиција система на

поједина крута тела, да се утицај уклоњених веза замени силама веза и да се

поставе једначине равнотеже за свако тело појединачно, узимајући у обзир све

спољашње и све унутрашње силе. У спољашње силе спадају и силе оптерећења

поред сила спољашњих веза. Тада се проблем своди на испитивање услова

равнотеже н крутих тела на која дејствују дате силе помоћу 3n једначина равнотеже,

из којих је могуће одредити највише 3n непознатих ако је систем статички одређен и

n број крутих тела посматраног система.

4.2 Систем произвољних сила у простору

4.2.1 Дефиниције главног вектора и главног момента

За решавање питања система произвољних сила у простору неопходно је да се

дефинишу појмови главног вектора и главног момента система произвољних сила у

простору.

Дефиниција: Главни вектор система произвољних сила у простору једнак је

векторском збиру свих сила датог система сила:

n

iiR FF

1

(54)

Дефиниција: Главни момент система произвољних сила у простору за

редукциону тачку 0 једнак је векторском збиру момената свих сила система за

исту редукциону тачку као моментну тачку:

n

i

FiMM1

00

. (55)

Главни вектор и главни момет су вектори који се по својој природи разликују, те се не

могу сабирати. Из дефиниција следи да главни вектор не зависи од избора

редукционе тачке, док главни момент зависи од избора редукционе (моментне)

тачке, јер се тада мењају вектори положаја нападних тачака компонентних сила

(сила које чине систем).


4.2.2 Теорема о редукцији система произвољних сила на једноставнији у простору

Теорема: Систем

произвољних сила у

простору, који

напада круто тело,

статички је

еквивалентан једној

сили - редукционој

резултанти RF

, која

је једнака главном

вектору 'RF

и која

напада редукциону

тачку 0, и спрегу сила-резултујућем редукционом спрегу, чији је момент R

M

једнак главном моменту система сила 0R M M за исту тачку 0, као моментну

тачку, тј.

'RR FF

n

Foo

n

iiR

iMMMM111

Доказ

(1) Дат је систем сила iF

са нападним тачкама iA (i=1,2,...,n)(сл.75), које су

произвољно распоређене у простору, и произвољна тачка 0 која је изабрана за

редукциону тачку.

(2) Применом теореме о редукцији једне силе на дату тачку за сваку силу датог

система, у редукционој тачки О добијамо систем сучељних сила ii FF

у

простору и систем спрегова сила чији су моменти iFoi MM

за i=1,2,...,n. У овом

случају важи теорема о редукцији силе на дату тачку коју смо доказали у статици

у равни, с том разликом што се за проблем у простору моменти сила и моменти

спрегова сила морају представити као вектори. То су вектори управни на равни

које образују појединачно свака сила датог система и редукциона тачка 0. На тај

начин добијамо два прамена вектора, и то прамен редукционих сила iF

и прамен


момената редукционих спрегова i

M , који су различити по својој природи. Наиме,

један прамен вектора има природу силе а други природу момента, па се они не

могу медјусобно сабирати.

(3) Слаже се систем сила ii FF

(i=1,...n), применом теореме о слагању система

сучељних сила у простору, у њихову резултанту , `

1R

n

iiiR FFFF

која за

почетни систем представља редукциону резултанту, а обележна је звездицом јер

почетни систем није еквивалентан само тој сили. Уводи се појам редукционе

резултанте, зато што се систем не своди само на једну силу, већ постоји и

систем редукционих спрегова које слажемо по теореми о слагању спрегова сила

у простору. Слагањем редукционих спрегова сила добија се резултујући

редукциони спрег сила, чији је вектор момента једнак векторском збиру момената

редукционих спрегова. Према теореми о редукцији једне силе на дату тачку,

вектор момента сваког редукционог спрега (i-тог спрега сила) једнак је моменту

одговарајуће (i-те) силе за редукциону тачку као моментну.

n

Foo

n

iiR

iMMMM111

. (57)

Главни вектор и главни момент образују нови статички елемент који се зове торзер,

а угао који граде ови вектори зове се угао торзера.

4.2.3 Случајеви редукције система произвољних сила у простору

У зависности од вредности главног вектора, главног момента и угла између њих,

систем произвољних сила у простору, редукцијом на неку тачку која је изабрана за

редукциону тачку, може се свести на нешто једноставнији облик. То су следећи

случајеви:

(1) Систем сила се своди на торзер, а овај на динаму, о којој овде неће бити речи, а

може се наћи у литератури (на пр. [11] Рашковић, Д -Механика И, &26.4), ако је:

90,;0;0 0`

0` MFMF RR .

(2) Систем сила се своди на резултанту која је једнака главном вектору и

дејствује у редукционој тачки, ако је главни момент за ту тачку једнак нули:

RRRo FFFM '' 0;0

.

(3) Систем сила се своди на резултанту која је једнака главном вектору са нападном

RR FF '


тачком 10 , која је на нормалном растојању RF

MOO

'0

1 од RF '

, ако су главни вектор

и главни момент различити од нуле и узајамно управни: 0';00 RFM

и 90

тј. RFM '0

(4) Систем сила се своди на спрег чији је момент једнак главном моменту 0R M M ,

ако је главни вектор једнак нули, а главни момент различит од нуле: 0' RF

и

00 M

0R M M .

(5) Систем сила је у равнотежи ако су и главни вектор и главни момент једнаки нули:

0' RF

и 00 M

.

4.2.4 Изрази за главни вектор и главни момент у аналитичком облику

С обзиром на то да је аналитички поступак много једноставнији за решавање

задатака, а спроводи се у односу на Декартов коодинатни систем, пишу се изрази за

главни вектор и главни момент у аналитичком облику аналогно изразима за

резултанту система сучељних сила (19) и за момент силе за тачку (24). Пројекције

главног вектора и главног момента приказане су на сл.76.

(1) Главни вектор у аналитичком облику:

n

iiR FF

1

'

; (а) kZjYiXF RRRR

; (б)

;' 222RRRR ZYXF

R

RR

R

RR

R

RR F

ZFY

FX

'cos;

'cos;

'cos

(57)

kZjYiXF iiii

; (ц)

(б) (ц) (а) ;1

n

iiR XX ;

1

n

iiR YY ;

1

n

iiR ZZ (д)

(2) Главни момент у аналитичком облику:

n

i

Fo

iMM1

0

; (е) kMjMiMM zyx

0000 ; (ф)

20

20

200 zyx MMMM (58)

0

0

0

0

0

0 cos;cos;cosMM

MM

MM z

Ry

Mx

M ;

kMjMiMM zF

yF

xF iii

0000 . (г)


На основу теореме о зависности момента силе за осу и за тачку, одн. користећи

релацију (29), израз (г) може се написати у следећем облику:

kMjMiMM zF

yF

xF iii

0 ; (х),

а затим спровести процедура после које се добија израз за пројекције главног

вектора:

n

i

Fzz

n

i

Fyy

n

i

Fxx

n

i

Fxx

iiii MMMMMMMM1

01

01

01

0 ,,,

Аналитички облик услова равнотеже система произвољних сила у простору

Теорема: За равнотежу система произвољних сила у простору, које нападају

тело у различитим тачкама, потребно је и довољно да су алгебарски збирови

пројекција свих сила на три узајамно управне осе Декартовог координатног

система и алгебарски збирови момената свих сила система за сваку од тих оса

једнаки нули.

,0)1(1

n

iiX ,0)2(

1

n

iiY ;0)3(

1

n

iiZ

n

i

Fz

n

i

Fy

n

i

Fx

iii MMM111

0.).........6,........(0).........5,.....(0)........4(

Доказ:


Полази се од основног (векторског) облика услова равнотеже: 0` RF

и 00 M

(а). Из

претходног услова (а) следи да интензитети главног вектора и главног момента

морају да буду једнаки нули: 0' RF и 00 M (б). С обзиром на изразе (57) и (58),

услове (б) представљамо одговарајућим релацијама: 0222 RRR ZYX ;

020

20

20 zyx MMM (ц) чији су сабирци у облику квадрата, који због тога морају да

буду сваки позитиван или једнак нули. Збирови позитивних сабирака биће једнаки

нули само ако је сваки сабирак једнак нули, одн. ако је задовољен следећи услов:

0;0;0;0;0;0 000 zyxRRR MMMZYX (р) Ако на услове (р) примене

релације (д из 57) и (58), тада се дефинишу услови равнотеже у аналитичком облику,

одн. једначине равнотеже произвољног система сила у простору, којих има шест:

,0)1(1

n

iiX ,0)2(

1

n

iiY ;0)3(

1

n

iiZ

n

i

Fz

n

i

Fy

n

i

Fx

iii MMM111

0.).........6,........(0).........5,.....(0)........4(

4.2.6 Аналитички облик услова равнотеже система паралелних сила у простору

Теорема: За равнотежу система паралелних сила у простору је потребно и

довољно да алгебарски збир пројекција свих сила на паралелну им осу буде једнак

нули и да алгебарски збирови момената сила за

друге две осе Декартовог прав. коорд. система

буду једнаки нули.

Доказ:

Бира се Декартов координатни систем тако да су

нападне линије сила и једна од оса паралелне, нпр.

нека је z 0 оса паралелна силама iF

(i=1,…,n). На

основу дефиниције о пројекцији силе на осу и

дефиниције момента силе за осу, следи:

;0 iX ;0 iY

n

i

Fz

iM1

0

за ni ,...,1 ,

тако да од шест једначина равнотеже (59) остају три, и то:

;0)1(1

n

iiZ


;0)2(1

n

i

Fz

iM

;01

n

i

Fy

iM

(60)

Изрази (60) се зову једначине равнотеже за систем паралелних сила у простору и

има их три, прва је алгебарски збир сила, а друге две су алгебарски збирови

момената сила за осе Декартовог координатног система са којима силе нису

паралелне. 4.2.7 Варињонова теорема о моменту резултанте за осу

Теорема: Ако дати систем сила има резултанту, тада је момент те резултанте

за произвољну осу једнак збиру момената свих сила тог система за исту осу:

n

i

Fx

Fx

iR MM1

(61)

Доказ:

Полази се од услова да на круто тело дејствује систем сила (сл.78) који се своди на

резултанту у тачки А nR FFFF

...21 (а). Применом аксиома (А3) додаје се у

редукционој тачки А уравнотежен систем од две силе по аксиому (А2), чији су

интензитети једнаки интензитету резултанте 01 RR FF

(б). Ако (а) се унесе у (б),

тада је систем датих сила у равнотежи са силом која је једнака по интезитету

резултанти тих сила, има исту нападну тачку, исти правац а супротан смер:

0,,..., 11 Rn FFF

(ц). Применом услова равнотеже (4) из израза (59) на системе сила у

релацијама (ц) и (б), нпр.

за осу 0x биће:

01

Ri Fx

n

i

Fx MM

; (д)

RR Fx

Fx MM

1; (е).

Ако се примени (е) на (д),

доказује се тврђење

теореме:

n

i

Fx

Fx

iR MM1


(61) и оно се може применити за ма коју осу.

1.8.4.3 Тело везано непокретним зглобом у једној тачки

Тело везано у једној тачки О тако да може да се окреће око осе која пролази кроз

тачку О, а управна је на раван дејства сила F F Fn

, ,......., , назива се полуга Сл.28.

Тачка О око које моè да се обрће полуга назива се тачка ослонца полуге.

Полуга ће бити у равнотежи под дејством раванског

система сила ако је алгебарски збир момената свих

активних сила за тачку ослонца једнак нули.

MOF

i

ni

. (41)

Сл.28


ГЛАВА 5 ТЕЖИШТЕ

5.1 Средиште (центар) система паралелних сила

Ако круто тело напада систем паралелних сила iF

(i=1,...,n) у различитим нападним

тачкама iA које се не могу померати, тј. “везане су”, тај систем паралелних сила се

може свести на резултанту постепеном применом теореме о слагању две силе,

применом израза (30) и (31). Тада постоји једна непомична “везана” тачка у односу

на тело, кроз коју пролази нападна линија резултанте без обзира на правац

нападних линија система паралелних сила, тј. при ротацији датог система

паралелних сила за исти угао и у истом смеру око својих нападних тачака и

резултанта ће се заротирати за исти угао и у истом смеру око те непомичне тачке.

Дефиниција: Непомична тачка, кроз коју пролази нападна линија резултанте

без обзира на правац нападних линија тог система паралелних сила зове се средиште (центар) C система паралелних сила. Према томе, средиште или

центар паралелних сила је она нападна тачка њихове резултанте око које нападна

линија резултанте ротира при ротацији нападних линија паралелних сила око

њихових нападних тачака а за исти угао и у истом смеру (сл.85).

Теорема: Координате средишта система паралелних сила, центра C, у

Декартовом координатном систему одређене су изразима:

.,1;1;11111

n

iiR

n

iii

RC

n

iii

RC

n

iii

RC FFzF

FzyF

FyxF

Fx (62)

Доказ:

Дат је систем паралелних сила

),...,( 1 nFF

, чије су нападне тачке

iA (i=1,...,n) (сл.85). Овај систем

се може свести на резултанту R

која пролази кроз средиште

паралелних сила, тј. кроз центар-

тачку C. Ротацијом нападних

линија свих сила система за исти

угао и у истом смеру око

нападних тачака, тако да буду

паралелне са неком од координатних оса (на пр. са 0z-осом) добија се заротирани


систем паралелних сила rr FF

,...,1 , чија резултанта rRF

такође пролази кроз тачку

C CCC zyx ,, . Координате нападних тачака система паралелних сила iA су iii zyx ,, ,

координате средишта система C су CCC zyx ,, . На ротирани систем паралелних сила

применимо Варињонову теорему о моменту резултанте за осу (нпр. 0y-осу) према

изразу (61):

n

i

rFy

Fy

iRr

MM1

(а).

На основу дефиниције момента силе за осу је:

Cr

RF

y xFM Rr

, јер је Rr

R FF (б); ir

iF

y xFM ir

(ц).

Ако (б) и (ц) унесемо у (а), добијамо израз:

n

iii

Rc

n

iiicR xF

FxxFxF

11

1;

који одређује координату средишта C, што је требало доказати.

На аналоган начин одређује се изразе за остале координате средишта C (сл.85), који

су неопходни за одредјивање положаја средишта система паралелних сила.

.,1;1;11111

n

iiR

n

iii

RC

n

iii

RC

n

iii

RC FFzF

FzyF

FyxF

Fx

5.2 Тежиште крутог тела

На сваку честицу тела, које се налази на Земљи или у њеном омотачу, дејствују

привлачне силе - силе земљине теже. Због малих димензија тела у односу на

димензију Земље, ове силе се могу сматрати паралелним, вертикалним са смером

наниже ка центру Земље и “везане” у нападним тачкама тела. Те нападне тачке су

тежишта iiii zyxC ,, појединих честица тела, одн.

коначних делова тела.

Дефиниција: Резултанта привлачних сила теже, које су паралелне и нападају све

честице тела, зове се тежина тела. Тежиште тела је она тачка која при ма ком положају тела остаје увек нападна тачка његове тежине. Дакле, тежиште је тачка чији се положај не мења према крутом телу,


а кроз коју пролази нападна линија резултанте сила теже свих делића датог тела при било каквом положају тела у простору. Тежиште је тачка C-

средиште (центар) паралелних сила земљине теже.

Проблем одређивања тежишта тела своди се на одређивање положаја средишта

система везаних вертикалних паралелних сила истог смера. Положај тежишта тела

може да се одреди помоћу координата у односу на усвојени Декартов координатни

систем. За одређивање координата тежишта тела треба да се примене изрази за

одређивање координата средишта система паралелних сила (62). Због тога, тело

(сл.86) поделимо на коначне делове чија тежишта iC и тежине iG знамо и затим

применимо изразе за одређивање координата средишта (центра) паралелних сила,

где су:

GFiGF Rii ;

n

iiiiR

n

iiR GGGFGFFF

11;;

;111 1

n

i

n

iiiCii

RC xG

GxxF

Fx

;111 1

n

i

n

iiiCii

RC yG

GyyF

Fy (63) ;11

1 1

n

i

n

iiiCii

RC zG

GzzF

Fz

Изрази (63) одређују координате тежишта C тела тежине G у односу на Декартов

координатни систем 0xyз.

5.2.1 Кординате тежишта материјалне хомогене запремине

Тело је хомогено ако се тежине његових произвољних делова односе као њихове

запремине, а у супротном случају је хетерогено. Ако уведемо коефицијент сразмере -

специфичну тежину:

VG

VG

VV

GG

i

iii ;

која би представљала тежину јединице запремине, тада су координате тежишта

хомогеног тела на основу његове запремине.

Ако је тело састављено из n - тела чије су поједиnачnе запремиnе познате, као и

коордиnате тежишта тих запремиnа хомогеnог тела, nа које је подељено

(претходnо описаn начин у & 5.2), тада је:

n

iiVV

1

, где су iV - запремиnа i-тог дела


тела са тежiштем у тачкi iiii zyxC ,, i V - запремinа датог тела. Одговарајући

изрази за тежину тела и за тежине његових коначних делова познатих запремина су:

niVGVG ii ,...,1,, , (а). Применом израза (а) на (63) долази се до израза за

координате тежишта тела који не зависе од тежина, већ зависе од запремина, тако

да се могу назвати координатама тежишта запремине.

(а) )63(1 1 1 1

1 1 1; ; ; .n n n n

C i i C i i C i i ii i i i

x V x y V y z V z V VV V V

(64)

Ако тело не може да се подели на коначан број делова чија су тежишта позната,

онда се дели на произвољне мале запремине niVi ,...,1, . Тада, претходни изрази

добијају облик:1 1 1 1

1 1 1; ; ;n n n n


x V x y V y z V z V VV V V

; (б) где су

iii zyx ,, координате ма које тачке, која лежи унутар елементарне запремине, те су

изрази приближни. За изналажење тачних вредности, потребно је да одредимо

граничне вредности ових израза, под условом да тело делимо на бесконачан број

елементарних запремина dV, тј. да елементарне запремине буду веома мале, тј. да

теже нули. Тада граничне вредности збирова прелазе у одређене интеграле по

запремини:

dVVV

n

iin 1

lim ;

xdVxVVx

n

iiinC

1

lim ;

ydVyVVy

n

iiinC

1

lim ;

zdVzVVz

n

iiinC

1lim .

Координате тежишта материјалне хомогене запремине су:

xdVV

xC1 ; ;1 ydV

VyC ;1 zdV

VzC dVV . (65)

С обзиром на изразе (64) и (65), тежиште хомогеног тела се назива тежиште

запремине.

5.2.2 Кординате тежишта материјалне хомогене површине

Хомогено тело, чија је једна димензија веома мала у односу на друге две димензије,

сматра се материјалном површином (сл.87). Тада се узима тежина јединице

површине, тј. специфична тежина површине , тако да је: AGAG ii , .

Ако се површина може поделити на коначан број површина чије су тежине и

координате iiii zyxC ,, познате, онда су координате тежишта одређене следећим


изразима:

.,1;1;11111

n

ii

n

iiiC

n

iiiC

n

iiiC AAzA

AzyA

AyxA

Ax (66)

Ако се површина не може поделити на коначан број површина чије су тежине и

координате iiii zyxC ,, познате, онда се она дели на елементарне површине iA

(сл.87). Тада се претходни изрази могу написати у следећем облику:

1 1 1 1

1 1 1; ; ; .n n n n


x A x y A y z A z A AA A A

где су iii zyx ,, координате ма које тачке која лежи унутар елементарне површине, те

су изрази приближни. Број елементарних површина би требало да буде што већи да

би се постигла што већа тачност. За изналажење тачних вредности, потребно је да

одреди гранична вредност ових израза, под условом да се тело делим на бесконачан

број елементарних површина dA (сл.86), тј. да елементарне запремине буду веома

мале, да теже нули. Тада граничне вредности збирова прелазе у одређене

интеграле по површини. На тај начин су добијени коначни изрази, у којима се

појављују одређени интеграли по датој површини, а из којих следе изрази за тачно

одређивање координата тежишта

површина:

dAAA

n

iin 1

lim ;

xdAxAAx i

n

iinC

1

lim ;

ydAyAAy i

n

iinC

1lim ;

zdAzAAz i

n

iinC

1

lim .

Координате тежишта материјалне хомогене површине одређене су следећим

изразима:

xdAA

xC1 ; ydA

AyC

1 ; zdAA

zC1 ;

dAAAn

ii

1 (67)

С обзиром на то да изрази (66) и (67) зависе од површина, у овом случају за

координате тежишта хомогеног тела каже се координате тежишта површине. Ако

материјална површина лежи у једној равни, тада је положај тежишта одређен двема


координатама. Тежиште се налази у тој равни, па је координата у правцу осе, која је

управна на ту раван, једнака нули.

5.2.3 Координате тежишта материјалне хомогене линије

Хомогено тело, чије су две димензије тела веома мале у односу на трећу димензију,

сматра се материјалном линијом (сл. 88). Тада се узима тежина јединице дужине, тј.

специфична тежина материјалне линије , и тада се изрази за одређивање

координата материјалне линије, на начин аналоган претходном, могу се добити у

следећем облику:

сл

Ако се линија може поделити на коначан број линија чије су дужине и координате

iiii zyxC ,, познате (сл.88а), онда су координате тежишта одређене следећим

изразима:

;i iG L G L ;

.,1;1;11111

n

ii

n

iiiC

n

iiiC

n

iiiC LLzL

LzyL

LyxL

Lx (68)

Ако се линија не може поделити на коначан број линија чије су дужине и координате

iiii zyxC ,, познате, онда се она дели на елементарне линије iL , чији број треба да

буде што већи да би се постигла што већа тачност. За одређивање тачних израза

(сл.88б) прелази се, на аналоган начин као у случају одређивања тежишта

површина, на граничне вредности и долази се до коначних израза у којима се

појављују одређени интеграли по датој линији:

dLLL

n

iin 1

lim ;

i

n

iinC xLLx

1lim xdL ;

i

n

iinC yLLy

1lim ydL ;


i

n

iinC zLLz

1lim zdL .

Координате тежишта материјалне хомогене линије су:

xdLL

xC1 ; ydL

LyC

1 ; zdLL

zC1 ; dLL . (69)

С обзиром на то да изрази (68) и (69) зависе од дужина линија, у овом случају за

координате тежишта хомогеног тела каже се координате тежишта материјалне

линије. Ако материјална линија лежи у једној равни тада је положај тежишта одређен

двема координатама, тежиште се налази у тој равни па је координата у правцу осе,

која је управна на ту раван, једнака нули.

5.2.4 Положај тежишта хомогених тела у специјалним случајевима

За одређивање координата тежишта могу да се користе следећа правила:

1. Ако тежишта свих делова тела леже у једној равни, онда и тежиште тела

лежи у тој равни, која се зове тежишна раван.

2. Ако тело има раван симетрије, онда је та раван тежишна раван, тј. тежиште

се налази у равни симетрије.

3. Ако се тежишта свих делова тела налазе на једној правој, онда је и тежиште

тела на тој правој, која се зове тежишна оса.

4. Ако тело има две равни симетрије, онда је њихов пресек тежишна оса, тј.

тежиште се налази на правој која је пресек тих двеју равни симетрије.

5. Ако тело има две осе симетрије, онда се у њиховом пресеку налази тежиште

тела.

Кратко речено, ако хомогено тело има раван, осу или центар симетрије, тада се

тежиште тог тела налази у равни симетрије, на оси симетрије, односно у центру

симетрије (сл.89).

Ако неко тело има “празнину”, или ако се додавањем другог тела добија тело


sl.90 Položaj težišta materijalnog homogenog kružnog luka

једноставнијег облика, онда се примењује метода негативних тежина, запремина,

површина или линија. То значи да у изразима за одређивање координата тежишта

треба узети за празнину знак минус.

Примери:

Пример 23. Одредити координате тежишта хомогене материјалне линије облика

кружног лука, полупречника р и централног угла 2 , у равни 0xy (сл.90).

Ако се кружни лук полупречника р и централног угла 2 налази у равни 0xy, тада

можемо изабрати осу 0y за осу симетрије (сл.90). Тежиште лежи на тој оси и онда је

0Cx .

Применом израза (69) одредимо дужину

лука и координату тежишта на 0y оси:

cos,, ryrddL 21 1 cos2Cy ydL r d

L r

2 sin sin .

2r

rr

Координате тежишта кружног лука за

изабрани координатни систем су: 0Cx ;

sinryC .

Пример 24. Одредити координате тежишта хомогене материјалне површине облика

кружног исечка, полупречника rр и централног угла 2 , у равни 0xy (сл.91).

Ако за кружни исечак, полупречника r и

централног угла 2 , изабере за осa симетрије 0y

(сл.91), тада тежиште лежи на тој оси и онда је

0Cx . Применом израза (67) одређује се

површина и координата тежишта хомогеног

кружног исечка на 0y оси:

, 0 ;dA d d r ;


cos ;y

r

rddA0

2

;

22

0

1 1 cosr

Cy ydA d dA r

3

02

sin 2 sin .3 3

r

rr

Координате тежишта кружног исечка за изабрани координатни систем (сл.91) су:

0Cx ; sin

32 ryC

Пример 25. Одредити координате тежишта хомогене материјалне површине

омеђене контуром f(x) у равни 0xy на сегменту

основице (б-а) на 0x-оси, између ордината x=а и

x=b (сл.92).

1 1 ;2 2

y y f x

bxadxxfydxdA ;)( ;

b

a

dxxfdAA )( ;

b

aC xdxxf

AxdA

Ax )(11 ;

dxxfA

ydAA

dAyA

yb

aC 2

21

2111 .

Пример 26. Одредити координате тежишта

хомогене материјалне запремине која

настаје оbртањем контуре f(x) око 0x-осе

(сл.93).

Нека се контура y=f(x) обрће око осе 0x за

пун угао. Тада настаје обртно тело за које је

координатна оса 0x - оса симетрије, и

тежиште тог тела налази се на истој оси. Остале координате тежишта обртног тела

су једнаке нули, а положај тежишта на оси симетрије треба да срачуна методом

интеграљења: ;0 CC zy


22dV y dx f x dx ; a x b ;

2b

a

V f x dx ;

21 b

Ca

x x f x dxV

2

2.

b

ab

a

x f x dx

f x dx

Пример 27. Одредити координате тежишта хомогене материјалне запремине оbлика

полукугле полупречника rр (сл.94). Поставља се координатни систем тако да је 0z-

оса симетрије.

Тада су координате тежишта запремине

облика полукугле: V

CCC zdVV

zyx 1;0 .

Елементарнa запреминa се узмима у

облику плоче, бесконачно мале дебљине dz:

2 2 2 ; 0dV y dz r z dz z r

3

2 2 2 30

0

2 ;3 3

rrzV r z dz r z r

2 42 2 2 4

00

1 .2 4 4

rr

Cz zz V z r z dz r r

Да би се одредила координата тежишта на оси 0z примењује се израз (69):

rr

rdzzrz

Vz

r

C 83

3241

13

4

0

22

.

Пример 28. Одредити тежиште површине омеђене правом која пролази кроз

координатни почетак, осом 0x и ординатом : bx

(сл.95); bhkkxy tan, ; x

bhxfy )( ; 1 0x ;

2x b ; 0,x b .


2 2

1 0 0

12 2

x b b

x

h h h bA f x dx xdx xdx hbb b b

;

2 3

2 2 2

1 0 0

13 3

x b b

x

h h h bf x xdx x dx x dx b hb b b

;

22

2

1 0

1 12 2

x b

x

hf x dx x dxb

2 2 3 2 3

2 202 2 2

0

1 1 1 12 2 3 2 3 6

bbh h x h bx dx bh

b b b ;

2

22

1

1 12 16

1 32

x

xC C

f x dx bhy y h

A bh

.

Пример 29. Из хомогене квадратне плоче ABCD треба исећи једнакокраки троугао

ABE, тако да тачка Е буде тежиште преостале површине (сл.96). Одредити

координате тачке Е.

2axE ;

21

2211

AAyAyAyE

; Eyh ;

32

1 1 1 1; ;2 2a aA a y A y ;

2

2 2 2 21 1; ;2 3 6

EE E

ayA ay y y A y ;

EayaAA212

21 ;

)2(33

22

63

21

622

22

2

23

E

E

E

E

E

E

E yaya

ya

ya

aya

aya

y

;

22 336 EEE yayay ;

0362 2 aayy EE ;

321

23

4326

424366 22

2,1aaaaaaayE

;

aaaayE 635,033213

21

23

.

2123

1 32

C C

b hx x b

bh


6. СТАТИЧКИ НОСАЧИ

6.1 Основни статички носачи

Под носачем у Механици (Статици) подразумевамо крут штап или систем крутих

штапова, чија је слобода кретања, система као целине, па и сваког штапа у саставу

система, елиминисана, а при томе им је намена да примају активне силе и преносе

их на ослонце.

Носачи могу бити: просторни, равански и линијски

Просторни носачи имају све три димензије

Површински носачи имају једну димензију

много мању у односу на остале две.

Линијски носачи имају две димензије много мање у односу на трећу димензију.

Пресеци нормални на осу штапа су попречни пресеци. Оса штапа спаја тежишта

попречних пресека.

У раванске носаче спадају и рамовски носачи који спадају у групу линијских носача:

Носачи се деле

на пуне (греде) и

решеткасте

носаче. Пун носач је свако круто тело, обично

призматично, док су решеткасти носачи

састављени из више правих штапова, који образују ту конструкцију.

Веза између носача и непомичног постоља остварује се помоћу:

Покретног ослонца

Непокретног ослонца и

Помоћу уклештења.


Покретни ослонац А (сл. ) спречава

транслаторно кретање у правцу осе y, па

се као реакција ослонца јавља сила у

правцу осе y, док непокретни ослонац

спречава транслаторно кретање у правцу оса x и y, па се у таквом ослонцу јављају

реакције у правцу ових оса, односно у општем случају реакција је коса сила.

Код уклештења (сл ) нема могућности никаквог кретања, ни транслаторног кретања

у правцу оса x и y ни обртног кретања око осе управне на раван коју формирају осе x

и y, односно осе, z. Зато се као реакција у уклештењу могу јавити реакционе силе у

правцу оса x и y и момент уклештења око осе z.

Носачи могу бити прости, ако су од једног тела или круте конструкције, сложени

(или Герберови носачи), ако су састављени из више тела, или више крутих

конструкција .

У просте носаче спадају:

Проста греда је носач који је на Својим крајевима везан

непокретним и покретнимослонцемза непокретну

основу. Растојање између ослонаца се назива распон

греде.

Греда са препустима је носач код

кога се бар један ослонац не налази на крају греде.

Конзола је носач који је за непокретну

основу везан укљештењем.

Оквирни носач (рам) је носач који се

добија крутим спајањем греда

(конзола) у једну целину.

Решеткасти носач је конструкција

сатављена од лаких штапова која за

непокретну основу може бити везана

покретним, непокретним ослонцем или укљештењем.


Сложени носачи:

Сложен носач је састављен из више простих носача спојених зглобовима.

Овакви носачи се називају Герберови носачи (греда или конзола са више распона,

лук са три зглоба, решетка са Герберовим зглобом).

Носачи могу бити: статички одређени и статички неодређени

Статички одређен носач је носач код

кога је број веза r=3 у равни и r=6 у

простору. Носач је у равнотежи (мирује)

јер је број степени слободе кретања

n=r-3=0 за раван, односно n=r-6=0 за

простор, под утицајем спољашњих сила

и веза, али је исто тако у равнотежи и

под утицајем активних сила и реакција

веза, после примене аксиома о ослобађању. Носач је статички одређен, ако услови

равнотеже чине потпун систем једначина за одређивање реакција веза носача (ако је

број једначина једнак броју непознатих).

Статички неодређени носачи су носачи код којих је број веза у равни r>3 а у

простору r>6.

Врсте оптерећења

Пуни носачи могу

бити оптерећени

концентрисаним

и/или континуалним

оптерећењима, који се мењају на унапред утврђен начин. Концентрисано

оптерећење је свако оптерећење које дејствује у околини једне тачке па се


апроксимативно може заменити концентрисаном силом у једној тачки.

Концентрисане силе могу да имају

различит правац, дуж подужне осе,

управно на њу или под нагибом.

Континуални терет дејствује на

коначном делу носача управно на

подужну осу носача и представља се

површином која је омеђена линијом

оптерећења, подужном осом носача и

двема ординатама. Линија

оптерећења представља закон промене оптерећења по јединици дужине греде које

се зове специфично оптерећење (q) и мери се јединицама силе по јединици дужине

(на пр. N/m, kN/m). Најједноставнији случај континуалног оптерећења је једнолико

оптерећење (q=const.). Дејство континуалног оптерећења замењује се

концентрисаном силом чији је интензитет једнак површини континуалног оптерећења

и делује у тежишту површине. У општем

случају специфично континуално

оптерећење је функција од дужине ).(xqq

Оптерећења могу бити подељена и

по начину дејства на непосредна и

посредна. Код непосредног

оптерећења оптерећење директно

делије на носач, док код посредног оптерећења дејтво на носач се преноси посредно

преко неког тела.

По времену трајања дејства оптерећења могу бити стална и променљива

оптерећења.


Аналитички начин одређивања отпора ослонаца

У покретном ослонцу

А рекција је

вертикална, а у

ослонцу B, постоје

реакције у правцу осе

x и у правцу осе y.

Укупно има три непознате рекције у ослонцима и постоје три једначине равнотеже

произвољног система сила у равни. Носач је статички одређен. Користећи једначине

равнотеже произвољног система сила у равни може се написати:

Из претходне три једначине следи:

Дефиниције сила у пресеку штапа

На слици је дата проста греда

AB оптерећена косом силом на

растојању а од левог ослонца.

Нека су одређене реакције у

ослонцима А и B. Под дејством

спољашње силе и ракције у

ослонцима, а после уклањања

ослонаца греда се налази у

равнотежи. Да би се одредила

унутрашња оптерећења у

произвољном пресеку носача,

која су изазвана дејством

спољашњих сила, нека је носач пресечен једном равни управном на његову осу на

растојању z од левог ослонца (пресек C-C). Ако се уклони десни део греде, у пресеку

се јављају унутрашње силе које замењују утицај десног дела греде на леви део

греде. Под дејством реакције у ослонцу силе AF

, активних сила (у овом случају само

силе F

и у нјутрашњих сила које се јављају у попречном пресеку левог дела греде,

.0sin

;0sin

;0cos

alFlFM

YFFYYFY

XFXXX

AB

BABAi

BBi

.sin

;sin;.cos

Fl

alF

FlaYFX

A

BB


леви део греде се налази у равнотежи. Утицај десног дела греде замењен је

дејством унутрашњих сила

које дејствују у пресеку C-C

левог дела греде.

Ако се уклони леви део

греде, у пресеку се јављају

унутрашње силе које

замењују утицај левог дела

греде на десни део греде.

Под дејством реакција у ослонцу

сила BX

и BY

активних сила (у

овом случају само силе F

и у

нутрашњих сила које се јављају

у попречном пресеку десног

дела греде, десни део греде се

налази у равнотежи.

Утицај левог дела

греде замењен је

дејством унутрашњих

сила које дејствују у

пресеку C-C десног

дела греде.

Унутрашње силе које

се јављају у пресеку C-C а припадају левом и десном делу греде, по својим

интензитетима и правцима су исте само им је смер супротан. После спајања левог и

десног дела греде њихова десјства се поништавају.

Редукцијом унутрашњих сила у пресеку на тежиште C пресека добија се редукциона

резултанту која је једнака главном вектору унутрашњих сила и резултујући

редукциони спрег чији је момент једнак главном моменту унутрашњих сила, за леви


одн. десни део: iL

iDR

iLR MFF ,,

и i

DM , који су једнаких интензитета а супротних

смерова и узајамно се поништавају кад се носач посматра као целина.

Главни вектор може да се разложи на две компоненте: tF

- трансверзалну у правцу

нормале на подужну осу носача (у равни попречног пресека) и aF

- аксијалну у

правцу осе штапа, односно попречни пресек (сл.108). Главни момент унутрашњих

сила назива се нападни момент или момент савијања и обележава са словом М.

Дефиниције сила у пресеку:

Аксијална сила aF

је компонента редукционе резултанте (главног

вектора) унутрашњих сила са нападном линијом у правцу осе носача.

Трансверзална сила tF

је компонента редукционе резултанте (главног

вектора) унутрашњих сила са нападном линијом управно на осу носача и

она лежи у равни пресека носача.

Нападни момент М је момент резултујућег редукционог спрега

унутрашњих сила (главни момент) када се редукција врши на тежиште

пресека.

6.3.3 Срачунавање сила у пресеку

Срачунавање сила у пресеку врши се применом једначина равнотеже на спољашње

и унутрашње силе за издвојени део штапа, леви или десни.

1. Трансверзална сила у произвољном пресеку греде једнака је алгебарском

збиру свих попречних сила лево од тог пресека, или алгебарском збиру свих

попречних сила десно од тог пресека, али са промењеним знаком.

2. Аксијална сила у произвољном пресеку греде једнака је алгебарском збиру

свих аксијалних сила лево од тог пресека, или алгебарском збиру свих

аксијалних сила десно од тог пресека, али са промењеним знаком.

3. Нападни момент у произвољном пресеку греде једнак је алгебарском збиру

момената свих сила лево од тог пресека, или алгебарском збиру момената

свих сила десно од тог пресека, али са промењеним знаком.

Величина и распоред унутрашњих сила представљају основне параметре при

димензионисању..


e

LCe

LCLC

eLt

eLtL

eLa

eLaL

MMMMMYFYFYXFXFX

,,, 0;0.3

0;0.2

0;0.1

(70)

6.3.4 Конвенција о знаку и графичком представљању сила у пресеку

Шаблон за одређивање знака сила у пресеку (М, Fa, Ft) приказан је на сл.109 и

треба се прихватити као договор који се поштује при цртању или читању

одговарајућих дијаграма. Доња страна је означена испрекиданом линијом на

сл.109, где су уцртани позитивни смерови сила у пресеку, гледано са леве или

са десне стране у односу на дx -бесконачно мали елемент носача дуж

подужне осе.

Нападни момент се представља у облику дијаграма, у изабраној размери за

момент и у односу на изабрану нулту линију 0 0 ,

која је постављена паралелно подужној оси носача.

Позитивне вредности момента наносе се испод нулте

линије а негативне изнад. Момент има позитивну

вредност ако истеже доњу страну носача.

Трансверзална сила се представља у облику

дијаграма, у изабраној размери за силу и у односу на

нулту линију 0 0 , која је постављена паралелно

подужној оси носача. Позитивне вредности

трансверзалне силе наносе се изнад нулте линије а

негативне испод. Трансверзална сила је позитивна ако тежи да елемент

носача заокрене у смеру казаљке на сату, тј. лево од пресека усмерена је

нагоре а десно од пресека надоле у односу на доњу страну носача.

Аксијална сила се представља у облику дијаграма, у изабраној размери за

силу и у односу на нулту линију 0 0 , која је постављена паралелно подужној

оси носача. Позитивне вредности аксијалне силе наносе се изнад нулте линије

а негативне испод. Аксијална сила је позитивна ако истеже елемент носача,

тј ако су силе усмерене једна од друге.

6.3.5 Диференцијалне зависности између функција континуалног оптерећења, трансверзалне силе и нападног момента

Између нападног момента, трансверзалне силе и континуалног оптерећења постоји

диференцијална зависност:


а) за писање израза у пресеку са леве стране: xqdx

dFdxMd L

tL

2

2

(71)

б) за писање израза у пресеку са десне стране: xqdx

dFdxMd D

tD

2

2

(72)

Нека је дата проста греда оптерећена континуалним оптерећењем (сл.110а). Из ње

се издваја и посматра равнотежа бесконачно малог дела 1CCdx који је оптерећен

произвољним континуалним оптерећењем q q x . Дејство уклоњеног дела греде

замењује се силама у пресеку. Једначине равнотеже за издвојени елемент, узето за

леви део према сл.110б, могу се написати у облику:

(1) 02

)( )( dxFdxFdMMMM xqtC

;02

dxdxxqdxFdM t

У претходној једначини производ две бесконачно мале величине dx*dx приближно је

једнак нули, па следи:

dx

dMFdxFdMdx tt 002

(2) ;0dxdFxqdFFdxxqFY t

ttt

;2

2

dxMd

dxdF

xq t .00 tFdx

dM

Први извод нападног момента по дужини једнак је трансверзалној сили, док је први

извод трансверзалне силе по дужини, односно, други извод нападног момента по

дужини једнак функцији континуалног оптерећења са негативним предзнаком.


Опасан или критични пресек носача је онај пресек у коме је максимална

(екстремна) вредност нападног момента, односно пресек у коме је трансверзална

сила, тј., извод нападног момента по дужини, једнак нули.

Пример . Одредити отпоре ослонаца и нацртати статичке дијаграме просте греде,

дужине l, оптерећене спрегом сила.

Просту греду АB, дужине l,

напада спрег сила ,F

F

(сл.112а). Интензитет

момента спрега M једнак је

производу rF . Момент

спрега је једино активно

оптерећење, па реактивне

силе мора у равни дејства

активних сила да образују

спрег, чији је момент једнак

по интензитету моменту

активних сила, али је

супротног смера. Из тог

услова следи:

rFlFlF BA

lrFFF BA

.

За нападни момент у пресеку

се не може рећи колики је,

већ само за нападни момент бесконачно блиско лево од пресека и нападни момент

бесконачно блиско десно од пресека C. Нападни момент бесконачно блиско лево од

пресека C је позитиван и износи aFA , а бесконачно блиско десно од пресека је

негативан и износи bFB (сл.112д).

У дијаграму нападног момента јавља се прекид (скок момента) за величину

rFlFA . Дијаграм трансверзалних сила дат је на сл.112е. У тачки А

трансверзална сила је FA и остаје константа у сваком пресеку греде, почев од

ослонца А до бесконачно блиско лево од ослонца B. У ослонцу B је унутрашња сила

једнака сили FB, па је дијаграм затворен. Унутрашње трансверзалне силе су


позитивне по целом распону греде. Аксијалних сила нема, па (сл.112ц) нема ни

дијаграма унутрашњих аксијланих сила.

Пример . Одредити отпоре ослонаца и нацртати статичке дијаграме просте греде,

дужине l, оптерећене хоризонталном ексцентричном силом.

Нека греду АB, дужине l, напада хоризонтална ексцентрична сила F

,

ексцентрицитета r (сл.113а). Продужује се правац силе F до пресека са правцем

отпора AF

. Кроз ову пресечну тачку мора проћи правац отпора BF

. Других

спољашњих сила нема, па је полигон сила (троугао сила) затворен (сл.113б).

Хоризонтална компонента XB отпора BF

уравнотежава силу F

, а вертикална YB чини

спрег са отпором AF

. Момент овог спрега реактивних сила мора бити по интензитету

једнак моменту M активних сила.

A BF r F l Y l Ml

rFYF BA

.

Смер ових момената мора бити супротан да би греда била у равнотежном положају.


Ако се сила F

редукује у тачки C, добија се стање на сл.113ц. Дијаграм нападног

момента дат је на сл.113д. Момент прави скок у редукционом пресеку (тачка C)

величине rF . Треба уочити следеће: кроз теорију Статике у равни често се говори

да се сила као клизећи вектор може померати дуж сваког правца, а да се њено

механично дејство неће променити. Исто тако, да се спрег може преместити у равни

дејства, а да се његово механичко дејство неће променити. Међутим, последице

механичког дејства, било да је сила или момент, различите су ако се сила премести

дуж свог правца дејства, или ако се спрег премести у равни дејства. Ако би се спрег

преместио из тачке C, дијаграм нападног момента био би другачији. Исто тако, и

дијаграм аксијалне силе био би другачији ако би се сила померила дуж свог правца.

Дакле, распоред унутрашњих сила зависи од спољашњег оптерећења и места

дејства спољашњег оптерећења. Тако се може извести закључак да се померање

силе дуж свог правца и спрега у равни дејства за реална тела не може прихватити у

потпуности. Дијаграм трансверзалне силе дат је на сл.113е. Трансверзална сила је

позитивна по целом распону. Дијаграм аксијалних сила дат је на сл.113ф. Аксијалне

силе су позитивне јер је део CB греде АB изложен дејству силе затезања F

.

Пример 34. Одредити отпоре ослонаца и нацртати статичке дијаграме просте греде,

дужине l, оптерећене непрекидним

равномерно распоређеним

оптерећењем, специфичног

оптерећења q по јединици дужине.

Ако је проста греда оптерећена

непрекидним оптерећењем, при чему

је q=const, онда се такво оптерећење

назива непрекидно равномерно

подељено оптерећење. Дејство

континуалног оптерећења може да се

замени дејством једне силе у тежишту

површине која представља

континуално оптерећење lqFq .

Отпори ослонаца једнаки су по

интензитету и смеру, а паралелних су

праваца кроз тачке А и B.


BA FqlF 2

Нападни момент у пресеку р-р на растојању х од ослонца А биће једнак:

222

2qxxqlxqxxFM App за ],0[ lx .

Зависност нападног момента од дужине је другог реда и представља квадратну

параболу, која је непрекидна и глатка крива линија. Дијаграм трансверзалних сила

дат је линеарна зависност од дужине :

qxqlqxFdx

dMF A

ppppt

2 за ],0[ lx .

Трансверзална сила се мења по закону праве линије и једнака је нули на половини

распона греде, а то је опасни пресек у коме је нападни момент:

.8222

22

maxqllqlFMM A

Пример 35. Одредити отпоре ослонаца и нацртати статичке дијаграме просте греде,

дужине l, оптерећене различитим оптерећењима. Просту греду АB, дужине l=12 m ,

нападају различита оптерећења: концентрисана вертикална сила kNF 2 , спрег

момента 10 kNmM и непрекидно

равномерно подељено оптерећење

чије је специфично оптерећење

mkNq 1 (сл.115а).

0BM ;

lFlFA 43 0

8qlF M

;12425 kNkNFA

kNFFFFFY

B

BqAi

41312

0;0

Дијаграм момента је приказан на

(сл.115д). На делу ЕB греде, где је

непрекидно оптерећење, момент се

мења по закону квадратне параболе.

На деловима АC, CD и DЕ


специфично оптерећење је једнако нули, па следи да се момент у тим пољима мења

по закону праве линије, како је и показано на (сл.115д). На делу ЕB греде,

специфично оптерећење је константно, па је момент у пресеку са десне стране:

22

2qxxFxqxxFM BBpp за ]4,0[x .

Дијаграм трансверзалних сила дат је на сл.115е. На деловима АC, CD и DЕ

специфично оптерећење је једнако нули, па је трансверзална сила константна. На

делу ЕB греде АB специфично оптерећење је константно, па се трансверзална сила

мења по закону праве линије. Отпоре ослонаца, ради контроле, одредимо

аналитичким путем:

Дијаграм нападног момента се може конструисати ако се одреде величине нападног

момента у карактеристичним пресецима и тачке одређене тим величинама споје

линијама, водећи рачуна о зависности момента од специфичног оптерећења. Исто

тако, може се конструисати и дијаграм трансверзалних сила (сл.115е), водећи

рачуна о зависности трансверзалне силе од специфичног оптерећења.

;25,042

;3825

4kNmlFlFMkNlFM ADlmAC

DlDd MM 10,25 ;kNmM .4,78

5984

kNmlFlFM qBE

Пример 36. За конзолу, дужине l,

оптерећену косом силом F на

слободном крају, одредити реакције

и нацртати статичке дијаграме.

Из услова равнотеже следи::

0iX 0XX A ;XX A

0iY 0YYA ;YYA

0AM lY 0A MsinA Y l F l M .

Дијаграм нападног момента

приказан је на (сл.116ц). Промена

нападног момента одвија се по

закону праве линије, и то од нулте


вредности на слободном крају конзоле, до максималне вредности ( lY ) на месту

укљештења. Читава моментна површина је изнад хоризонтале, па је нападни момент

у свим пресецима конзоле негативан и означен ознаком (-). Трансверзална сила је

позитивна у свим пресецима тј. по читавом распону греде (сл.116д). Дијаграм

аксијалних сила дат је на сл.116е. Аксијална сила је негативна по читавом распону.

Пример 37. Одредити отпоре ослонаца и нацртати статичке дијаграме греде са

препустима. Дато је: 1 2 2qF F F kN ; 2 ;kNmM .12 ml

Из услова равнотеже следи:

;021 BqA FFFFFY

1 22 0

4 6 3 3A q Bl l l lM F F F F M

;5,5 kNFA .5,0 kNFB

На делу CA и у тачки А нападни

момент једнак је

;641 kNmlFM l

A

У тачки E биће:

dEM M .4

3kNmlFB

На делу непрекидног оптерећења

(област АЕ) нападни момент

мења знак пролазећи кроз нулту

вредност. Положај пресека у

којем је нападни момент једнак

нули одређује се из општег

израза за нападни момент у пољу

АЕ:

0

1 01 0; 3 7 ;

4 4 2 4lx A

x x

l l lM F x F x q x x m x m

20 0 01 0220 75 0; 15 ; 5 .x x x m x m

Прва вредност x01 =15 m нема смисла, јер је ван области АЕ, па је положај пресека

у којем је момент једнак нули одређен са x02=5 m .


Дијаграм трансверзалних сила дат је на (сл.117е). У пресецима А и Е трансверзална

сила мења знак, што је и требало очекивати будући да момент у тим пресецима има

екстремне вредности. На делу греде АЕ трансверзална сила се мења по закону

праве линије, а момент по закону квадратне параболе. На делу CА и ЕB је

трансверзална сила константа, а момент се мења по закону праве линије. На делу

BD је трансверзална сила једнака нули, а нападни момент је константан.


6.2 Раванска решетка

Решетком се назива крута конструкција састављена из правих штапова који су на

својим крајевима спојени зглобовима. Ако ови штапови решетке леже у једној равни,

онда је решетка раванска. Места спајања штапова зову се чворови решетке. Сва

спољашња оптерећења која дејствују на решетку се наносе само у чворовима

решетке. При прорачуну решетке се занемарују тежине самих штапова решетке у

односу на спољашња оптерећења, а такође и трење у чворовима. Према томе, на

сваки од штапова решетке дејствују све силе на његовим крајевима, које при

равнотежи имају правце дуж самог штапа. То значи да штапови решетке могу да

буду само затегнути или притиснути.

У крутој равној решетки без сувишних штапова, која се састоји из троуглова који су

непомерљиве геометријске фигуре, број штапова решетке s и број чворова n везани

су релацијом: 32 ns .

Да би образовали равну решетку полазимо од основног троугла за који су потребна

три штапа и три чвора (сл.102а, нпр. троугао који образују штапови 1,2 и 4). Да бисмо

везали за овај троугао сваки следећи чвор потребна су по два штапа (чвор III спојен

је штаповима 3 и 5, итд.); према томе, за преостала (n-3) чвора потребно је 2(n-3)

штапа. У крајњем резултату број штапова биће 3 2( 3) 2 3s n n . Решетка са

мањим бројем штапова nије крута, док решетка са већим бројем штапова постаје

статички nеодређеnа.

Прорачун равне решетке своди се на одређивање реакција ослонаца и сила у

штаповима решетке.

6.2.1 Одређивање реакција ослонаца

Реакције ослонаца може се одредити графичким или аналитичким путем,

посматрајући равнотежу решетке као равнотежу крутог тела. Аналитички начин

одређивања реакција је заправо примена једначина равнотеже за систем

произвољих сила у равни, који чине активне силе и силе веза, и нападају круто тело

у облику решетке.

6.2.2 Одређивање сила у штаповима решетке

За одређивање унутрашњих сила у штаповима решетке користи се метода

одсецања чворова и метода пресека решетке на два дела. Код свих метода

потребно је да се оствари равнотежа спољашњих и унутрашњих сила које дејствују


на посматрани појединачни чвор или на одсечени део решетке.

6.2.2.1 Метода одсецања чворова

Силе у штаповима решетке налазимо поступно одвајајући од решетке сваки од

чворова и посматрајући равнотежу штапова који се стичу у том чвору. Ово

решавање започињемо од чвора у коме се стичу два штапа (иначе нам не би пошло

за руком да одредимо непознате силе).

Као пример размотримо решетку приказану на сл.102а. Код те решетке је број

чворова 5n , док је број штапова 7s . Према томе, услов о статичкој одређености

( 32 ns ) је испуњен и решетка је крута без сувишних штапова. Реакције ослонаца

за дату решетку AF

, BF

, одређене су на рачунским путем.

,0 iX FXFX AA 404

0iY BABA YYYY 0

0AM FYFYaFaY ABB 044

Посматра се равнотежа сваког чвора појединачно. Нека је од чвор А одвојен остали

део решетке и његов утицај замењен силама које се јављају у штаповима 1 и 3.

Правац ових сила је правац штапова. Када се издвоји чвор А, он ће под дејством

активних, реактивних и унутрашњих сила бити у равнотежи. Нека је претпостављени

смер сила у штаповима 1 и 3 као на слици.


За чвор I једначине равнотеже могу да се напишу у облику:

045sin0

045cos00

3

031

SYY

SSXX

Ai

Ai .

За чвор II једначине равнотеже могу да се напишу у облику:

045sin45sin0

045cos)(00

50

4

04521

SSY

SSSSX

i

i

За чвор B једначине равнотеже могу да се напишу у облику:

045sin0

045cos45cos00

6

02

02

Bi

i

YSY

SSX

За чвор II једначине равнотеже могу да се напишу у облику:

045sin)(0

045cos)(00

43

70

34

SSY

SSSX

i

i

Чвор AA:: 1) ΣX=0: -XA+S1+0.707S3=0 (2) ΣY=0: YA+0.707S3=0

YYAA

XXAA SS33

SS11

AA

S1

S4

S2

S5

II

Чвор II: (3)ΣX=0: -S1+S2+0.707(S5 –S4) =0 (4)ΣY=0:0.707S4 +0.707S5=0

Чвор B:

S2

S6 BB

YB

(5)ΣX=0: -0.707S6-S2 =0 (6)ΣY=0:0.707S6 +YB=0

Чвор II: S3 SS44 IIII

SS77 (7)ΣX=0: 0.707(S4-S3)+S7 =0 (8)ΣY=0:-0.707(S3 +S4)=0


За чвор III једначине равнотеже могу да се напишу у облику:

045sin)(0

0445cos)(00

65

70

56

SSY

FSSSX

i

i

У сваком од пет чворова написане су по две једначине равнотеже што износи укупно

десет једначина. Од рекција веза постоје три непознате, тј. BAA FYX ,, и 7 непознатих

унутрашњих сила у штаповима решетке :S1,S2,S3,S4,S5,S6 и S7, тако да у систему има

десет једначина са десет непознатих, па је систем решив, односно носач је статички

одређен. Ако је бројна вредност силе негативна тада се мења претпостављени смер

силе.

6.2.2.2 Метода пресека решетке (Ритерова метода)

Ова метода се заснива на услову равнотеже спољашњих и унутрашњих сила које

нападају одсечени део решетке. С обзиром на то да се у статици могу поставити три

једначине равнотеже, могуће је да одредимо највише три непознате, те стога и

можемо да пресечемо највише три штапа решетке.

За одређивање интензитета сила у штаповима 2, 10 и 4 пресеца се решетка на два

дела, тако што се пресеку управо штапови 2, 10 и 4. Разматра се равнотежа оног

дела решетке на који дејствује мањи број сила због практичности, у овом случају

десног дела решетке. Утицај одбаченог (левог) дела решетке се узет је у обзир преко

унутрашњих сила у пресеченим штаповима. Непознате унутрашње силе у

пресеченим штаповима израчунавају се из аналитичких услова равнотеже равног

система сила који дејствује на онај део решетке који се нала зи десно од пресека

Постављају се услови равнотеже за тзв. Ритерове тачке R4, R2 и R10, које се налазе у

пресеку штапова. Претпоставља се

смер унутрашњих сила у штаповима

према слици.

Чвор III:

(9)ΣX=0: 0.707(S6-S5)-S7-4F =0 (10)ΣY=0:-0.707(S5 +S6)=0

S5

S7

S6 IIIIII

4F


FSaSaFM

FSaFaFaSM

FSaSaFM

R

R

R

1010)10(

22)2(

44)4(

00

3020

303

30

Из ове три једначине следи

FSFSFS

102

4

,33

Да би се одредиле силе у пресеченим

штаповима аналитичким путем,

потребно је да поставе за било који део

решетке једначине равнотеже у облику

три моментне једначине (52), бирајући

за моментне тачке оне тачке у којима се

секу правци пресечених штапова. Ако

су два од тих штапова паралелна међу

собом, погоднији су услови (51), при чему се оса на коју пројектујемо силе бира тако

да буде нормална на правац та два штапа. Овај поступак одређивања сила у

пресеченим штаповима применом једначина равнотеже на одсечени део решетке

познат је као Ритерова метода. Ова метода је графоаналитичка. Графичка зато

што се са слике (решетка нацртана у размери) могу мерити растојања која

помножена размером за дужину представљају краке сила при срачунавању

момената, а аналитичка јер се користе једначине равнотеже за срачунавање сила у

штаповима решетке.

Пример 30. За раванску решетку )2( ma , оптерећену силама 1 1 40F F kN ;

2 2F kN , приказану на сл.106а одредити: а) Отпоре ослонаца AF и BF на

аналитички начин; б) Силе у штаповима 4S , 5S и 6S применом методе Ритера; в)

Силе у штаповима 8S , 9S и 10S применом методе Кулмана.

а) Аналитички начин одређивања отпора ослонаца:

1) 2 0i AX X F , 2) ;02 1 BAi FFYY

3) ' ''2 1 12 3 4 0A BM F a F a F a F a ;

3) 0320240808 BB FF ; 2) kNFFY BA 802 1 , kNFX A 802 ;


kNYXF AAA 28022 ; 1sin ; sin ; 452A AY F .

а) Метода Ритера (сл.106ц):

022 14 aFaFaSM AV ;

4 60 2S kN ;

5 20 2S kN

00 66 SaSM II ;

02 '15 aFaSM I ;

б) Метода Кулмаnа (сл.106д):

cm

kNuF 120

; ''1FF d

R ;

.22098 kNSS


Пример: За решеткасти носач на слици одредити реакције у ослонцим и унутрашње

силе у штаповима 4,8 и 9 Ритеровом методом.

Реакције у ослонцима одређене су на основу равнотеже спољашњих сила и реакција

у ослонцима.

kNFXXFX AAi 20,0 11

0,0 2 BAi FFYY

kNYkNYkNXaFaFaFM

BAA

BA

4;1;2

0320 21

Штапови 4,8 и 9 пресечени су неком

равни. Утицај левог дела решетке на

десни део решетке замењен је

унутрашњим силама у штаповима S4,

S8 и S9. Десни део решетке је у

равнотежи под дејством спољађње силе

2F

, рекције ослонца BB YF

и

унутрашњих сила 984 ,, SSS

. Једначине

равнотеже за десни део решетке може

да се напише у облику:

Из ових једначина одрењене су вредности

унутрашњих сила у штаповима. Сила S4 је са

негативним предзнаком па је смер ове силе

супротан од претпостављено.

Пример 39. Одредити отпоре ослонаца аналитичким поступком и нацртати статичке

дијаграме за равански носач. Дато је: mlkNFF q 1;2 (сл.119).

Рамовски носач (рам) је конструкција од више простих греда које су круто спојене

међу собом, па се утицаји сучељних греда преносе са једне на другу. Отпори

kNSSFY

kNSaSaFM

kNSaSaFM

Bi

BR

BR

400

400

400

88

99

44

9

4


ослонаца одређују се на два начина: сматрајући рамовски носач као једно круто

тело, или декомпозицијом рамовског носача на саставне делове (просте греде)

замењујући утицаје сучељних делова силама. Користећи први начин, из једначине

равнотеже одређујују севеличине отпора ослонаца:

;4202 kNFXFXX AA

;8402 kNFFYFFFFYY BABqA

.7;12

022232

22kNYkNFFlFlFlFlFlFM ABBqA

Дијаграме сила у пресеку црта се према истим правилима и конвенцији о зраку која

су коришћена у претходним примерима, посматрајући рам у целини. Рам је

састављен из три греде. Због тога треба јасно обележити доњу страну носача

(испрекидана линија на сл.119). Сила F редукује се на тачку C, тако да у тачки C

дејствује сила F и спрег силе F момента 1 .2Fl kNm M

Дијаграми се цртају на основу срачунатих вредности:

1. Моменти у карактеристичним пресецима:


;0lAM ;4 kNmlXM A

lCl ;5

2kNmlFlXM A

lCd

;92

2 kNmlFlXM AlD ;5

2kNmlFlFYMM qA

lD

lE

;5,322

kNmlFlFM BlG ;42 kNmlFM d

I ;0dHM .0d

BM

2. Трансверзална сила у областима (пољима):

;4 kNXF AlADt xqxFYF A

lDEt 25 за

mkNF

qlx q 22

;,0 и ;1 ml

;3 kNFFYF qAlEGt ;132 kNFFYFFF qA

lEGt

lGIt

;42 kNFF dIHt .0d

HBtF

3. Момент и трансверзална сила у пресеку p-p:

2

2qxxFYMM AlD

lpp за lx ,0 ; ;2

mkN

lF

q q

259 xxM lpp за mx 1,0 ;

;90 kNmMM lDx ;75,65,0 kNmM x ;51 kNmMM l

Ex

qxFYdx

dMF A

lppl

ppt за lx ,0 ; xF l

ppt 25 за lx ,0 ;

;50 kNFF xtlDt kNFF xtEt 3)1(

4. Аксијална (нормална) сила у областима (пољима):

kNYF AACa 7 ; kNFYF ACDa 5 ; kNFXF ADIa 42 ;

kNFF BIBa 1 .

Documents

ТМ1 - СТАТИКА 2013-oktobar GODINA... · Сл.1 Сл.2 На сликама 1,2 и 3 приказано је разлагање силе у равни и у простору