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1
最优系泊系统设计的研究
摘要
本文首先通过受力分析的方式分别表示出了浮标、钢管、钢桶与重物球和锚链的静
态平衡方程，进而通过 fsolve()最小二乘法与信赖域算法求解出最终的结果。之后，采
取“逆向思考”的方式，通过多元函数的非线性规划 fmincon()，在保证角度、吃水深
度满足条件的情况下，求得重物球质量的最大最小值。最后，我们通过分量乘除法构建
评价函数，求得不同情况下系泊系统的最优设计方案。
首先，我们受力分析建模，确定了在海水静止、锚链确定的情况下，决定整个模型
的因素为风速、浮标吃水量和重物球质量。我们发现，风速会改变锚链是否全部沉底；
重物球越重，浮标吃水深度越大，钢桶的倾斜角度越小。之后，用 matlab 分别求出了
风速为 12和 24m/s下的各变量。
之后，我们先判断出 36m/s 锚链没有沉底，已经全部浮起，并且角度超过范围。之
后，使用多元非线性规划的方式，在保证角度在可行域的范围内，求得重物球质量的最
小值；通过让浮标全部沉底，角度尽可能小，求得重物球质量的最大值，进而确定重物
球质量的范围。
最后，我们在基于问题 1 和 2 受力模型的基础上，引入四个系统的海水流力，修正
了力学模型的平衡方程。之后，我们继续通过 1 与 2 问中的多元非线性函数规划模型，
求解在一定范围内，确定了锚链型号的情况下，最优的锚链长度和重物球质量。钢桶的
倾斜角度与浮标的吃水深度呈负相关，故我们通过分量乘除法，形成综合评价指标
( , , ) a b cR h R h ，来确定最优解。再考虑不同的情况下，不同的锚链型号，不同的
风速与流速组合，不同的布防海域的实测水深，确定最优解。
关键词：受力分析 力学微分方程 最小二乘法 多元非线性函数规划 分量乘除法
2
问题重述
近年来，海洋观测技术快速发展。近浅海观测一直是海洋观测的重要组成部分，而
近浅海观测网也在观测系统中发挥了举足轻重的作用。近海观测的信息传输节点一般由
浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，其中，系泊系统是关键。本文旨在通过建立
数学模型来设计并评价系泊系统。
问题 1：通过受力分析，建立传输节点的数学模型，结合传输节点的已知参数、大自
然的条件（海面风速分别为 12m/s 和 24m/s），求解出传输节点的未知量。
问题 2：已知假设与问题 1 相同，计算海面风速为 36m/s 时的传输节点未知量，并
且适当增加或减少重物球的质量，保证传输节点的正常运行。
问题 3：考虑到问题 1、2 的模型的理想条件，问题 3 要求我们结合更加实际具体的
情形进行分析，综合设计系泊系统，并分析系统地相关参数。
问题分析
一、 问题 1的分析
问题 1 基于海水静止，我们假设浮标倾斜的程度可以忽略；假设钢管之间通过铰接
的形式连接，四根钢管始终在切面内；假定锚链本身的重量远远大于锚链周围的水流产
生的浮力。我们要先通过分别对浮标，钢管，钢桶和锚链的受力分析，分别求解出四个
模型。之后，我们需要在已知水深，海水密度，风速和锚链型号的情况下，求解出浮标
的吃水深度，进而求解其他未知量。本问题中又含有大量的三角函数，故需要求解非线
性方程组。我们抛弃了只能达到局部最优的遗传算法，采用了 fsolve 函数可以使全局
均达到最优的最小二乘法，并且我们采用了信赖域算法，通过迭代，使式子之间的平方
和达到最小，来求得最优解。最后，我们通过方程与零的偏差程度，每一次迭代的步值，
一阶最优性来评判模型最优解的准确性与稳定性。
二、 问题 2的分析
问题 2是在问题 1的假设下进行的，所以，在力学模型方面与问题 1没有本质差别。
因为锚链在浅海中，它有可能沉底，也有可能全部浮起，所以，我们需要求解出临界的
吃水深度和风速，判断出风速为 36m/s到底是锚链的那一种情况。之后，我们分析可以
得到：重物球的质量越大，钢桶的倾斜角越小，但是浮标的吃水深度也越大。所以我们
通过 fmincon非线性多元函数最小值，来求解出满足锚链在锚点与海床的夹角不超过 16
度，钢桶的倾斜角度不超过 5 度，浮标吃水深度不超过 2m 情况下的，最小和最大的重
物球质量。
三、 问题 3的分析
问题 3 是在问题 2 和问题 1 的特殊情况下，将模型更实际化，引入海水速度，布放
海域的实测水深范围，综合考量风速、水流速度等自然因素，通过对系泊系统的设计，
确定锚链的参数，锚链的总长度和重物球的质量，在满足锚链与海床的夹角不超过 16 度
的情况下，使得最终浮标的吃水深度和游动区域，以及钢桶的倾斜角度尽可能小。因为
吃水深度与倾斜角度呈负相关，故必须在两者的最小之间找到一个综合评价的最小值。
符号说明
浮标：
符号 定义与说明
D 浮标的底面直径 2m
H 浮标的高 2m
3
h 浮标的吃水深度
M 浮标的质量 1000kg
钢管、钢桶与重物球：
d1 每节钢管的直径 0.05m
l1 钢管的长度 1m
m1 钢管的质量 10kg
d2 钢桶的直径 0.3m
l2 钢桶的长度 1m
m2 钢桶的总质量 100kg
m3 重物球的质量
锚链和锚：
s 距离锚链与锚连接起点距离为 s 处
锚链在锚点与海床的夹角
钢桶的倾斜角度
( )s 距离锚链与锚连接起点距离为 s 处轴线与海床的夹
角
、 ( = g ) 是单位长度的质量，是单位长度的重量
m4 为锚链的总质量
力的角度与单体形状的角度： 力与海床水平面的夹角
单体形状与竖直方向的夹角（如钢管与竖直线的夹
角）
F 浮 表示某个物体所受到的浮力
F 风、F 水 表示浮标所受到的风的力，水流的力
mg 表示某个物体受到的重力
1v
风的速度
2v
海水的速度
4
假设说明
1.假设浮标倾斜的程度可以忽略
2.假设钢管之间通过铰接的形式连接，四根钢管始终在切面内
3.假定锚链本身的重量远远大于锚链周围的水流产生的浮力，锚链的流体作用力相比于
重力是一个相对小量
4.海水速度与风俗之间没有直接的联系
模型的建立、求解与评价
(一) 问题一模型的建立、求解与评价
根据分析问题，我们先需要用重物球质量 m3=1200kg，水深 18m，海水密度
3 3
海水=1.025 10 /kg m ，分别计算出风速
112 /v m s 和
124 /v m s 时，海水静止
20 /v m s 时，浮标的吃水深度；进而再求解出钢桶和各节钢管的倾斜角度，锚链形
状和游动区域。
1.1 问题 1模型的建立
根据题目条件，我们分析得到了四种系统的受力模型：浮标模型（浮标系统）、钢管
模型、钢桶和重物球模型（水生通讯系统）、锚链模型（系泊系统）。
1) 浮标模型
如图所示，浮标受到：近海风荷载 2
风F =0.625 Sv (N)（水平方向）， F浮（竖
直向上），自身重力 Mg（竖直向下），以及杆 12 对浮标的作用力1F 。此时，因为钢管之
间，钢管与浮标之间均用铰连接，并且钢管有自身重力和浮力，故钢管不是二力杆，1F
的方向不一定和杆 12的方向相同。结合文献【1】物理我们可得，浮 海水 排=F gV 。
并且在第一问中，我们假设浮标倾斜给我们带来的对力的影响与重力、浮力相
比，数量级太小，故可以忽略。在这种情况下，我们沿着水平方向和竖直方向列平衡方
程：
风 1 1
浮标 1 1
F =Fcos
=Mg+FsinF
（1 方程组）
5
将 =D （H-h）S ，D=2m，H=2m，风速1v ，带入 2
风F =0.625 Sv ：
2
风 1F =1.25 （2-h） v （2式）
将 3 3
海水=1.025 10 /kg m ，重力加速度 39.8 /g kg m ，
2
排 4
DV h
，D=2m，
=3.1415926代入浮 海水 排=F gV ，并且因为数量级为 10^4，故保留四位小数：
浮标31557.2977F h （3式）
由方程组 1式，方程 2式，方程 3式，我们可得到1
和 h， 2
1v 的数学模型：
1 2
1
31557.2977 9800tan( )
1.25 （2-h） v
h
（1.1）
2) 钢管模型
我们以点 1，点 2 之间的 12杆为例，来受力分析。
如图，钢管受到：浮标对它的作用力1F，23杆对它的作用力
2F ，自身重力 m1g
（竖直向下），水对它的浮力浮钢管F （竖直向上）。此处，
1 1+
2
。我们沿着水平方向
和竖直方向分别列平衡方程：
2 2 1 1 1 浮钢管
1 1 2 2
F sin F sin
Fcos =F cos
m g F
（4方程组）
将 3 3
海水=1.025 10 /kg m ，重力加速度 39.8 /g kg m ，
2
1钢管 1=l
4
dV
，
d1=0.05m， =3.1415926 代入浮钢管 海水 钢管F gV 由方程组 4 式，我们可得到
2F 的
2 和
6
1tan( ) ，h， 2
1v 的数学模型：
2 1 2
1
78.2767tan( ) tan( )
1.25 （2-h） v
（1.2）
由 12杆类比受力分析，可求出 23杆，34杆，45杆，可得到3F 的
3 和
2tan( ) ，h， 2
1v
的数学模型：
3 2 2
1
78.2767tan( ) tan( )
1.25 （2-h） v
（1.3）
由受力分析可得到递推公式：
1 2
1
78.2767tan( ) tan( ) ( 1,2,3,4)
1.25 （2-h） vi i
i
（1.4）
之后，要让钢管静止平衡，我们必须使得力矩平衡，由三力汇交原理【1】：当一个钢管受
到三个力作用，这三个力在同一平面内但是不共线时，这三个力的作用线必汇交于一点。
由几何关系可知：
tan( ) sin( ) cos( ) tan( )
sin( )
2
A A A B
A
x x
x
化简可得：
tan( ) tan( )cot( )
2A B
A
（1.5）
（1.5）式中，1 表示第一根杆与竖直线的倾斜角度，
1 表示
1F作用线与水平的夹角，
2
表示2F 作用线与水平的夹角。
同理可得递推公式（i=5 铁桶处时时不成立）：
7
1tan( ) tan( )
cot( ) ( 1,2,3,4)2
i ii
i
（1.6）
3) 钢桶和重物球模型
在这里， 表示锚链在 6 点处的切线夹角， 表示作用在 6 点处的合力与水平线的夹角。
由受力分析可知：
6 6 风
6 6 2 3 5 5 浮钢管
cos( )
F sin +m g F sin
F F
m g F
代入钢桶长度 l2=1m，钢桶外径 d2=0.3m，钢桶与设备总质量 m3=100kg，风速 v1，浮标
的吃水深度 h。可得6
tan( ) 与 h， 2
1v 的关系：
6 2
1
31557.2977 22143.0675tan( )
1.25 （2-h） v
h
（1.7）
所以有力的平行四边形法化简可得：
6 2
1
31557.2977 10388.0675tan( ')
1.25 （2-h） v
h
（1.8）
以及由力矩平衡，三力汇交原理可得：
5 65
tan( ) tan( ')cot( )
2
（1.9）
此处，5 ，为钢桶的倾斜角度。
4) 锚链模型【2】
在讨论锚链模型之前，我们首先得明确它有两种情形：
8
1.左边有一部分拖在地上
2.全部锚链浮起
这里，我们认为锚链的数量太多，将模型简化为连续性方程。对锚链水平方向与竖直方
向列方程可得：
7 7 风
7 7 4 6 6
cos( )
F sin F ' sin '
F F
m g
化简可得临界稳定状态时，刚好 0 时：
临界
1临界24
0.7
.51
496
61m/s
h m
v
现在对锚链的一个微小单元，沿着法线和轴线方向列微元平衡方程：
锚链=( cos( )+D)ds
( sin( ) )ds
Td gV d
T gAdz F
引入表观张力：锚链
'T T gV ，所以方程组可以化简为：
9
' =( cos( )+D)ds
' ( sin( ) )ds
T d
dT F
（1.10）
由假设 3可知：
' = cos( )ds
' sin( )ds
T d
dT
（1.11）
两式相除得，并且将 T’替换成 T：
tan( )dT
dT
（1.12）
将式 1.12代入 1.10得，并且以锚链与锚的连接点为起始点，距离起始点 s0，长度 s处
积分：
0
0 0 0 00 0 02
cos( ) cos( )1 cos( )(tan( ) tan( )) (tan( ) tan( ))
cos ( )
T T Ts s d
（1.13）
上式中，是单位长度的重量， ( )s 距离起始点 s 处的切线夹角。
之后，将 cos( )ds, sin( )dy dz ds 代入 1.13 式，可以得到水平方向和竖直方向的
方程：
0
0
0
0 00
0 00 2
0
cos( )1 1ln( tan( ))
cos( ) cos( )
cos( )sin( )1 1 1( )cos( ) cos( )cos ( )
T Ty y d
T Tz z d
（1.14）
进而可以得到锚链的一般方程：
( 1)
ys ash
a
yz a ch
a
上式中，T
a
，且令00 ，
00s 。
1.2 模型的求解
我们联立 1.1 到 1.14 可以得到一组非线性方程组。在求解非线性方程组的过程中，我
们很难通过直接反解的方式求得数值解。所以，我们准备采用最小二乘法的方式，来求
解非线性方程组。
1) 构建目标函数
构建目标函数时，将各个单体向 z方向投影之和应等于 18m：
10
1 2 3 4
6
1 118 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( )
cos( ) cos( )
Th
再联立式子 1.1到 1.14，可得到包含上式的非线性方程组。
2
风
1 2 3 4
1 1 2
风
2 1 2
风
3 1 2
风
4 1
1.25 (2 )18 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) )
78.2767cot( ) tan( ) 1
2.5 (2 )
78.2767cot( ) tan( ) 3
2.5 (2 )
78.2767cot( ) tan( ) 5
2.5 (2 )
78cot( ) tan( ) 7
h vh
g
h v
h v
h v
2
风
5 1 2 2
风 风
重物球
6 2
风
重物球
2
风
1
.2767
2.5 (2 )
78.2767 269.9608cot( ) tan( ) 8
2.5 (2 ) 2.5 (2 )
31557.2982 10383.0675tan( )
1.25 (2 )
31557.2982 11895.6975tan( )
.125 (2 )
31557.2982tan( )
h v
h v h v
h m g
h v
h m g
h v
h
2
风
风
9800
1.25 (2 )
12 24
h v
v or
2) 参数及算法的确定
在选择算法时，我们准备采用 Trust Region 算法【4】。Trust Region 算法是最优
化算法中的一种，它和牛顿算法不同，牛顿算法用到的是整个函数的整体函数
域，信赖域算法通过每次迭代确定信赖域，得到试探步长，之后通过评价函数决
定是否接受该步长并且决定下一次的信赖域。
11
信赖域算法的流程图
我们取最大迭代次数为 400次，误差控制在 610 以下。
3) 最后结果
风速 12m/s时（小于临界风速 24.5161m/s）:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1
2
3
4
5( )
6 h 1
风v
海底
0.0171 0.0172 0.0173 0.0174 0.0176 1.3561 0 0.7348 1.5538 12 6.8219
0.9774° 0.9832° 0.9890° 0.9949° 1.0083° 77.7016° 0° 89.0254°
锚链拖地长度 6.8219m 吃水
深度 0.7348m
钢 管 与 竖 直 方 向 的 夹 角
0.9774 ° 0.9832 °
0.9890° 0.9949°
钢 桶 与 竖 直 方 向 的 夹 角
1.0083°
悬链线顶端倾角 77.7016°底
端 0°
当底角角度为０时 悬链线方
程 y=a*(ch(y/a)-1)
a=F/w=3.3198 悬链线方程 z=3.3198*ch((x-6.8219)/3.3198-1)
游动半径 7.3966+0.0864+6.8219=14.3049m 面积 642.8681 ㎡
12
风速 24m/s时（小于临界风速 24.5161m/s）:
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1
2
3
4
5( )
6 h 1
风v
海底
0.0652 0.656 0.0660 0.0663 0.0672 1.0273 0 0.7489 14.0721 24 0.3158
3.7360° 3.7572° 3.7787° 3.8005° 3.8489° 58.8615° 0° 86.3°
锚链拖地长度 0.3158m 吃水深度
0.7489m
钢管与竖直方向的夹角 3.7360°
3.7572° 3.7787° 3.8005°
钢桶与竖直方向的夹角 3.8498°
悬链线顶端倾角 42.9102°底端
0°
风力 900.792N
a=13.1311 悬 链 线 方 程
z=13.1311*ch((y-
0.3158)/13.1311-1)
游动半径 10.9080+0.3300+0.3158=11.5538m 面积 419.3721㎡
1.3 模型的评价
12m/s
12m/s 时，最后求得的结果显示：方程与零的偏差程度极低，最终每一次迭代的步
值稳定在零左右，一阶最优性也稳定在零的左右，说明：模型的最优解的准确性与
稳定性好，解很符合条件。
13
24m/s
24m/s 时，最后求得的结果显示：方程与零的偏差程度低，最终每一次迭代的步值
稳定在零左右，一阶最优性也稳定在零的左右，说明：模型的最优解的准确性与稳
定性好，解很符合条件。
(二) 问题二模型的建立、求解与评价
2.1 问题 2模型的建立
问题 2是在问题 1的假设下进行的，所以，在力学模型方面与问题 1没有本质差别。
因为锚链在浅海中，它有可能沉底，也有可能全部浮起，所以，我们需要求解出临界的
吃水深度和风速，判断出风速为 36m/s到底是锚链的那一种情况。
风36v ，大于临界风速 24.5161m/s,所以锚链全部浮起。将风速 36m/s代入第一问的
模型中，得到：
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1
2
3
4
5( )
6 h 1
风v
海底
0.1369 0.1377 0.1384 0.1392 0.1409 0.8250 0.3127 0.7700 1.4342 36 0
7.8454° 7.8876° 7.9301° 7.9732° 8.0707° 47.2675° 17.9170° 82.2°
风力 1992.6N a=29.0466
悬链线方程 y=29.0466*cosh(x/29.0466+ln(tan17.9170°+sec17.9170°))-
29.0466*sec17.9170°
游动半径 18.025+0.691=18.716m
面积 1100.441㎡
不满足0 16 ，
0 5 ，所以应该增加重物
球的质量来减小两个角度值。
之后，我们采用 fmincon 非线性
多元函数规划，来求解出重物球质
量的范围。第二问在第一问的基础
之上增加了四个限制性条件：
14
重物球
0 16
0 5..0 2
1200
sth m
m kg
作为非线性限制性条件中的不等式。然后联立 1.1 到 1.14 作为非线性限制性条件中的
等式得到非线性限制性条件中的等式： 2
风
1 2 3 4
1 1 2
风
2 1 2
风
3 1 2
风
4 1
1.25 (2 )18 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) )
78.2767cot( ) tan( ) 1
2.5 (2 )
78.2767cot( ) tan( ) 3
2.5 (2 )
78.2767cot( ) tan( ) 5
2.5 (2 )
cot( ) tan( ) 7..
h vh
g
h v
h v
h v
st
2
风
5 1 2 2
风 风
重物球
6 2
风
重物球
2
风
1
78.2767
2.5 (2 )
78.2767 269.9608cot( ) tan( ) 8
2.5 (2 ) 2.5 (2 )
31557.2982 10383.0675tan( )
1.25 (2 )
31557.2982 11895.6975tan( )
.125 (2 )
31557.2tan( )
h v
h v h v
h m g
h v
h m g
h v
2
风
风
982 9800
1.25 (2 )
36
h
h v
v
2.2 模型的求解
结果：重物球的质量 minx(11)= 1782.099kg
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1
2
3
4
5( )
6 h 1
风v
重物球m
0.0854 0.0858 0.0862 0.0865 0.0873 0.8507 0.2502 0.7700 1.4855 36 1782.099
4.8981° 4.9172° 4.9366° 4.9561° 5.0000° 48.7427° 14.3372° 85.1115°
悬链线顶端倾角 48.7427°底端 14.3372°
风力 1710.396N a=24.9329
悬链线方程 y=a*cosh(x/a+ln(tanα+secα))-a*secα
y=24.9329*cosh(x/24.9329+ln(tan14.3372°+sec14.3372°))-24.9329*sec14.3372°
游动半径 18.4814m 面积 1073.0487㎡
15
浮标全部沉入 Maxx(11)=5303.768kg
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11
1
2
3
4
5( )
6 h 1
风v
重物球m
0 0 0 0 0 1.5708 0 2 1.5708 36 5303.768
0° 0° 0° 0° 0° 90° 0° 90°
1782.099 11 5303.768kg x kg
2.3 模型的评价
最后求得的结果显示：方程与零的偏差程度低，最后求得 x(11)稳定在 1800 左右。最终
的函数值稳定，最终每一次迭代的步值稳定在零左右，一阶最优性也稳定在零的左右，
说明：模型的最优解的准确性与稳定性好，解很符合条件。
(三) 问题三模型的建立、求解与评价
3.1 问题 3模型的建立
由第三问题目条件可知如下逻辑：
16
我们首先要基于大自然中关于水深，水流速和风速，来使得浮标的吃水深度 h，游动区
域的最大半径 Rmax，钢桶的倾斜程度 三者尽可能小。
在 1.1 到 1.14 式中，分子决定了竖直方向的力，分母决定了水平方向的力。第三问与
第一问、第二问相比，竖向力没有变化，仅仅是改变了横向水平的力，故 1.1 到 1.14式
中只改变了分母，以1
tan( ) 为例：
考虑水流力
1 仅风 1 风和水
1 1 2
31557.2977 9800 31557.2977 9800tan( ) tan( ) =
( , ) ( , , )
h h
f v h f v v h
其中，1 2( , , )f v v h 由
1 2 1 2 夹角, , , ,v v h v v 共同决定。
因为在函数的多目标最优化中，我们基本无法达到全局最优，因为不同目标之间对
最优的定义有矛盾，故很多局部最优的算法无法使用。
为 了 解 决 这 个 问 题 ， 我 们 通 过 分 量 乘 除 法 的 方 法 ， 构 建 评 价 函 数
( , , ) ( , , )a b cR h R h a b c R ，来评判系泊系统的优劣。
分量乘除法【3】是一种在求解多目标最优化时常见的算法，它通过构建某种相同的指
标，来评判多个不同解之间的取舍。在评判过程中，我们需要对不同量纲之间的变量进
行去量纲化，消除大数对小数的覆盖效应。考虑到分量乘除法所构建的评价函数总量纲
相同，不同 , ,R h 之间变化也是相对变化，所以可以用分量乘除法来判断出最优解。
17
3.2 模型的求解
1) 情况 1：水流速与风流速方向相同（最差的情况）
这种情况下，浮标的游动区域即为两速度分别取最大的时候，形成的平衡的水平距离，
而形成的最大的圆形游动区域。
在情况一中，分母的改变为，以1
tan( ) 为例：（F1与海床水平面的夹角）
考虑水流力
1 仅风 1 风和水2 2 2
1 1 2
31557.2977 9800 31557.2977 9800tan( ) tan( ) =
1.25 （2-h） v 1.25 （2-h） v +748
h h
h v
1 为 F1与海床水平面的夹角。
我们通过这种对分母的变换，可以迅速得到新的基于四个力学模型的平衡方程：
18
2 2 2
风 水 水
1 2 3 4
1 1 2 2 2
风 水 水
2 1 2 2
风 水
1.25 (2 ) +748 +18718 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) )
78.2767cot( ) tan( ) 1
2.5 (2 ) +2 748 +1 18.7
78.2767cot( ) tan( ) 3
2.5 (2 ) +2 748 +3 18.7
h v h v vh
g
h v h v v
h v h v v
2
水
3 1 2 2 2
风 水 水
4 1 2 2 2
风 水 水
5 1 2 2 2 2
风 水 水 水
78.2767cot( ) tan( ) 5
2.5 (2 ) +2 748 +5 18.7
78.2767cot( ) tan( ) 7
2.5 (2 ) +2 748 +7 18.7
78.2767 269.cot( ) tan( ) 8
2.5 (2 ) +2 748 +8 18.7 +112.2
h v h v v
h v h v v
h v h v v v
2 2 2 2
风 水 水 水
重物球
6 2 2 2 2
风 水 水 水
重物球
2 2 2
风 水 水
9608
2.5 (2 ) +2 748 +8 18.7 +112.2
31557.2982 10383.0675tan( )
1.25 (2 ) +748 +4 18.7 +112.2
31557.2982 11895.6975tan( )
.125 (2 ) +748 +4 18.7 +1
h v h v v v
h m g
h v h v v v
h m g
h v h v v
2
水
1 2 2
风 水
风
12.2
31557.2982 9800tan( )
1.25 (2 ) +748
？
v
h
h v h v
v
评价函数为： ( , , ) a b cR h R h 令( , , 1)a b c 。
通过迭代穷举的方式，不断缩小最优解的区间。首先确定锚链型号的情况下，改变锚
链长度和重物球质量，求解出让评价函数 ( , , ) a b cR h R h 最小的值：
锚链型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
锚链总长度 23m 29.6m 30m 30.6m 34m
重物球的质量 4195kg 4280kg 4350kg 4740kg 4300kg
吃水深度 h 1.82m 1.658m 1.68 1.80m 1.664m
最大游动半径 r 5.59m 2.54m 3.3m 5.07m 2.2m
钢桶倾角β 4.42° 4.94° 4.87° 4.35° 4.92°
锚链底端和海底
平面夹角α
0° 0.57° 0.3° 0° 0°
（0°表示锚链已经沉底）
2) 情况 2：1 2
风速 0,水流速 0v v 和1 2
风速 0,水流速 0v v 时
r
19
1 2风速 0,水流速 0v v ，此时与第一问、第二问情况不同。可类比问题
一与问题二求解。
1 2
风速 0,水流速 0v v ，此时与第一问、第二问情况相同。重物球越重，浮
标吃水深度越大，钢桶的倾斜角度越小。
模型的改进与评价
1. 模型的优点
本模型舍弃了只能达到局部最优的模拟退火算法和遗传算法，采用了可以达到全局最优
的最小二乘法，全面地考虑了问题。本模型的最大游动半径小，观测的指标更加精确。
2. 模型的缺点
本模型缺少实际实验的检测，在现有条件下，没办法进行模型的实验检验。本模型没有
考虑到锚链的疲劳极限以及微小形变量。
3. 模型的改进
本模型可以在拥有了大量数据的基础上，再进行模型的建立，通过对大量不同海域的聚
类分析，找出关联度高的影响因素，再对整个模型求解。
参考文献
[1] 叶明伟.《三力汇交原理及应用.中学生数理化：高中版》,2006,(3);43-44
[2] 王冰《基于细长杆理论的系泊缆索静力及动力分析方法研究》D. 哈尔滨工程大学,
2013.
[3] 李健,靳龙,伍丽峰.《开口空心齿轮轴的优化设计.机械设计与制造》,2006,(1);32-
33
[4] 袁亚湘. 《信赖域方法的收敛性[J]》 计算数学, 1994, 16(3):333-346.
20
附录
%临界风速
function y=fun11(x)
y(1)=-18+x(8)+cos(x(1))+cos(x(2))+cos(x(3))+cos(x(4))+cos(x(5))+(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)/68.6)*(1/cos(x(6))-1/cos(x(7)));
y(2)=-cot(x(1))+tan(x(9))+(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(3)=-cot(x(2))+tan(x(9))+3*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(4)=-cot(x(3))+tan(x(9))+5*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(5)=-cot(x(4))+tan(x(9))+7*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(6)=-cot(x(5))+tan(x(9))+8*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10))+(-269.9608)/(2.5*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(7)=-tan(x(6))+(31557.2982*x(8)-22143.0675)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(8)=-tan(x(7))+(31557.2982*x(8)-23655.6975)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(9)=-tan(x(9))+(31557.2977*x(8)-9800)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(10)=x(7);
%风速 12m/s的数据
function y=fun12(x)
y(1)=-18+x(8)+cos(x(1))+cos(x(2))+cos(x(3))+cos(x(4))+cos(x(5))+(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)/68.6)*(1/cos(x(6))-1/cos(x(7)));
y(2)=-cot(x(1))+tan(x(9))+(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(3)=-cot(x(2))+tan(x(9))+3*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(4)=-cot(x(3))+tan(x(9))+5*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(5)=-cot(x(4))+tan(x(9))+7*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(6)=-cot(x(5))+tan(x(9))+8*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10))+(-269.9608)/(2.5*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(7)=-tan(x(6))+(31557.2982*x(8)-22143.0675)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(8)=-tan(x(7))+(31557.2982*x(8)-23655.6975+68.6*x(11))/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(9)=-tan(x(9))+(31557.2977*x(8)-9800)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(10)=x(7);
y(11)=x(10)-12;
%风速 24m/s的数据
function y=fun13(x)
y(1)=-18+x(8)+cos(x(1))+cos(x(2))+cos(x(3))+cos(x(4))+cos(x(5))+(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)/68.6)*(1/cos(x(6))-1/cos(x(7)));
y(2)=-cot(x(1))+tan(x(9))+(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(3)=-cot(x(2))+tan(x(9))+3*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(4)=-cot(x(3))+tan(x(9))+5*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(5)=-cot(x(4))+tan(x(9))+7*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(6)=-cot(x(5))+tan(x(9))+8*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10))+(-269.9608)/(2.5*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(7)=-tan(x(6))+(31557.2982*x(8)-22143.0675)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
21
y(8)=-tan(x(7))+(31557.2982*x(8)-23655.6975+68.6*x(11))/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(9)=-tan(x(9))+(31557.2977*x(8)-9800)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(10)=x(7);
y(11)=x(10)-24;
%36m/s的数据
function y=fun21(x)
y(1)=-18+x(8)+cos(x(1))+cos(x(2))+cos(x(3))+cos(x(4))+cos(x(5))+(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)/68.6)*(1/cos(x(6))-1/cos(x(7)));
y(2)=-cot(x(1))+tan(x(9))+(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(3)=-cot(x(2))+tan(x(9))+3*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(4)=-cot(x(3))+tan(x(9))+5*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(5)=-cot(x(4))+tan(x(9))+7*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(6)=-cot(x(5))+tan(x(9))+8*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10))+(-269.9608)/(2.5*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(7)=-tan(x(6))+(31557.2982*x(8)-22143.0675)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(8)=-tan(x(7))+(31557.2982*x(8)-23655.6975)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(9)=-tan(x(9))+(31557.2977*x(8)-9800)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(10)=x(10)-36;
%非线性规划求解最小 m
function [z,y]=fun22(x)
z(1)=x(5)-5/180*pi;
z(2)=x(7)-16/180*pi;
z(3)=-x(11)+1200;
y(1)=-18+x(8)+cos(x(1))+cos(x(2))+cos(x(3))+cos(x(4))+cos(x(5))+(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)/68.6)*(1/cos(x(6))-1/cos(x(7)));
y(2)=-cot(x(1))+tan(x(9))+(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(3)=-cot(x(2))+tan(x(9))+3*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(4)=-cot(x(3))+tan(x(9))+5*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(5)=-cot(x(4))+tan(x(9))+7*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(6)=-cot(x(5))+tan(x(9))+8*(-78.2767)/(2.5*(2-x(8))*x(10)*x(10))+(-269.9608)/(2.5*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(7)=-tan(x(6))+(31557.2982*x(8)-22143.0675+1200*9.8-x(11)*9.8)/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(8)=-tan(x(7))+(31557.2982*x(8)-23655.6975+1200*9.8-x(11)*9.8)/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10));
y(9)=-tan(x(9))+(31557.2977*x(8)-9800)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10));
y(10)=x(10)-36;
function w=fun23(x)
w=x(11);
%带入 m,l,w求解系统数据
22
function y=fun24(x)
g=9.8;
mg1=98;
mg2=19.7233;
n1=42.075;
n2=252.45;
y(1)=-18+x(8)+cos(x(1))+cos(x(2))+cos(x(3))+cos(x(4))+cos(x(5))+((1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+4*n1+n2)/(x(15)*9.8))*(1/cos(x(6))-1/cos(x(7)));
y(2)=-cot(x(1))+(x(11)-0.5*(mg1-mg2))/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+0.5*n1);
y(3)=-cot(x(2))+(x(11)-1.5*(mg1-mg2))/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+1.5*n1);
y(4)=-cot(x(3))+(x(11)-2.5*(mg1-mg2))/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+2.5*n1);
y(5)=-cot(x(4))+(x(11)-3.5*(mg1-mg2))/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+3.5*n1);
y(6)=-cot(x(5))+(x(11)-4*(mg1-mg2)-0.5*269.9608)/(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+4*n1+0.5*n2);
y(7)=-tan(x(6))+(x(11)-4*(mg1-mg2)-269.9608-x(14)*g)/((1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+4*n1+n2));
y(8)=-x(11)+31557.2977*x(8)-9800;
y(9)=-tan(x(7))+(x(11)-4*(mg1-mg2)-269.9608-x(14)*9.8-
x(13)*(x(15)*9.8)*9.8)/((1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10)+4*n1+n2));
y(10)=-tan(x(9))+x(11)/(1.25*(2-x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5);
y(11)=x(10)-36;
y(12)=x(12)-sin(x(1))-sin(x(2))-sin(x(3))-sin(x(4))-sin(x(5))-(1.25*(2-
x(8))*x(10)*x(10)+374*x(8)*2*1.5*1.5+4*n1+n2)/(x(15)*9.8)*(log(1/cos(x(6))+tan(x(6)))-
log(1/cos(x(7))+tan(x(7))));
y(13)=x(13)-32;
y(14)=x(14)-4400;
y(15)=x(15)-12.5;
