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July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 11
物理フラクチュオマティクス論物理フラクチュオマティクス論Physical Physical FluctuomaticsFluctuomatics
第第1313回回 量子力学からみた確率的情報処理量子力学からみた確率的情報処理
13th Quantum13th Quantum--mechanical extensions of mechanical extensions of probabilistic information processingprobabilistic information processing
東北大学東北大学 大学院情報科学研究科大学院情報科学研究科 応用情報科学専攻応用情報科学専攻田中田中 和之和之(Kazuyuki Tanaka)(Kazuyuki Tanaka)[email protected]@smapip.is.tohoku.ac.jp
http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/
本講義のWebpage:http://www.smapip.is.tohoku.ac.jp/~kazu/PhysicalFluctuomatics/2007/
July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論(東北物理フラクチュオマティクス論(東北
大)大) 22
ContentsContentsContents1. はじめに
2. 量子系の概説
3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化
5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ
6. まとめ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 33
多体系の量子統計力学を用いた情報処理多体系の量子統計力学を用いた情報処理
量子ホップフィールドモデル量子ホップフィールドモデル (H. Nishimori)(H. Nishimori)量子アニーリング量子アニーリング (H. Nishimori)(H. Nishimori)ゲージ理論による量子誤り訂正符号ゲージ理論による量子誤り訂正符号 (H. Nishimori)(H. Nishimori)
量子確率場による大規模情報処理への展開
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 44
My works of Information Processing by using in My works of Information Processing by using in Quantum Statistical MechanicsQuantum Statistical Mechanics
画像処理に対する量子平均場アニーリング画像処理に対する量子平均場アニーリングK. Tanaka and T. Horiguchi: Quantum StatisticalK. Tanaka and T. Horiguchi: Quantum Statistical--Mechanical Iterative Method in Image Restoration, IEICE Mechanical Iterative Method in Image Restoration, IEICE Transactions (A), Transactions (A), J80J80--AA (1997).(1997).画像処理における量子ライン場の導入画像処理における量子ライン場の導入K. Tanaka: Image Restorations by using Compound K. Tanaka: Image Restorations by using Compound GaussGauss--Markov Random Field Model with Quantized Line Markov Random Field Model with Quantized Line Fields, IEICE Transactions (DFields, IEICE Transactions (D--II), II), J84J84--DD--IIII (2001).(2001).
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 55
確率伝搬法の深化と展開確率伝搬法の深化と展開
確率伝搬法と平均場理論の類似性の指摘確率伝搬法と平均場理論の類似性の指摘Y. Kabashima and D. Saad, Belief propagation vs. TAP for decodinY. Kabashima and D. Saad, Belief propagation vs. TAP for decoding g corrupted messages, corrupted messages, Europhys. Lett.Europhys. Lett. 4444 (1998). (1998). M. Opper and D. Saad (eds), M. Opper and D. Saad (eds), Advanced Mean Field Methods Advanced Mean Field Methods ------Theory Theory andand PracticePractice (MIT Press, 2001).(MIT Press, 2001).
クラスター変分法による一般化された確率伝搬法クラスター変分法による一般化された確率伝搬法への拡張への拡張J. S. Yedidia, W. T. Freeman and Y. Weiss: Constructing freeJ. S. Yedidia, W. T. Freeman and Y. Weiss: Constructing free--energy energy approximations and generalized belief propagation algorithms, IEapproximations and generalized belief propagation algorithms, IEEE EE Transactions on Information Theory, Transactions on Information Theory, 5151 (2005).(2005).
確率伝搬法の情報幾何的解釈確率伝搬法の情報幾何的解釈S. Ikeda, T. Tanaka and S. Amari: Stochastic reasoning, free eneS. Ikeda, T. Tanaka and S. Amari: Stochastic reasoning, free energy, rgy, and information geometry, Neural Computation, and information geometry, Neural Computation, 1616 (2004).(2004).
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 66
確率推論確率推論: 2: 2NN 重の多重和の計算重の多重和の計算
( )∑ ∑ ∑= = =1,0 1,0 1,0
211 2
,,,a a a
NN
aaaW LL
一部の特殊な場合を除いて厳密な数値対一部の特殊な場合を除いて厳密な数値対角化は一般には困難角化は一般には困難
確率推論と量子確率推論確率推論と量子確率推論
量子確率場量子確率場: 2: 2NN 行行 22NN 列の行列の対角化列の行列の対角化
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 77
確率分布と確率伝搬法確率分布と確率伝搬法
( ) ( ) ( )32232112321 ,,,, aawaawaaaP =
( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== ∑∑∑∑
311 3
3223211232122 ,,,,aaa a
aawaawaaaPaP
確率伝搬法の数理的基盤確率伝搬法の数理的基盤
量子系では同じ取り扱いは難しい量子系では同じ取り扱いは難しい!!!!
( ) ( ) ( )BABA expexpexp =+
は一般には成り立たないは一般には成り立たない
行列行列 A, B A, B に対してに対して
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 88
本講演の主題本講演の主題
11次元鎖または木構造のグラフ次元鎖または木構造のグラフ上の量子系の難しさ上の量子系の難しさ
量子系に対する確率伝搬法の量子系に対する確率伝搬法の定式化定式化
July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論(東北物理フラクチュオマティクス論(東北
大)大) 99
ContentsContentsContents1. はじめに
2. 量子系の概説
3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化
5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ
6. まとめ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1010
11ノードの量子状態ノードの量子状態
( ) ( )100,011,10
0,01
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
11
00 00 11
古典状態として可能なのは古典状態として可能なのは22つの状態のみつの状態のみ
22次元空間の次元空間の22つの位置ベクトルつの位置ベクトル
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1111
11ノードの量子状態ノードの量子状態
( ) ( )100,011,10
0,01
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
11
00 00
量子状態は量子状態は22つの古典状態の重合せによりつの古典状態の重合せにより
表されるすべての可能な状態を想定表されるすべての可能な状態を想定
0000 11
量子状態は量子状態は
22次元空間次元空間
の任意の点の任意の点
古典状態は古典状態は
22次元空間次元空間
のの22点点
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
01
21
10
23
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛10
21
01
23
2/3− 2/1+
2/3+
2/1+#係数は複素数でもかまわない#係数は複素数でもかまわない
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1212
11ノードの量子状態ノードの量子状態
( ) 0001
0101
11 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( ) ( )100,011,10
0,01
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= Taa =
0010
01 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0100
10 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1000
00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+++
0,01,00;11;1
00;0011;0000;1111;11uuuu
uuuu
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1;001
0,01,00;11;1
1010,01,00;11;1
0 uuuuu
uuuu
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( ) 101
0111 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= 001 =010 = 100 = 直交性直交性
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1313
11ノードの量子状態とパウリ演算子ノードの量子状態とパウリ演算子
0001
11 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0010
01 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0100
10 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1000
00 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00111001
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=I 0011
1001
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=zS
10010110
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=xS ( )1001i
0ii0
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=yS
( ) ( )100,011,10
0,01
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1414
11ノードの量子状態とパウリ演算子ノードの量子状態とパウリ演算子
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
1001
I
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
10
110
01
101
z
z
S
S
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
=
−
∞+
=
+∞
=
∑
∑
h
h
n
n
n
ee
hh
n
hn
h
00
00
!1
!1exp
0
0
zz SS
( )
( ) 010
expmaxarg0
101
expmaxarg0
eigenvalue
eigenvalue
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒<
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒>
z
z
S
S
hh
hh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zS
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1515
11ノードの量子状態とパウリ演算子ノードの量子状態とパウリ演算子
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
1001
I
TT
1001
0110
UUSUUS zx =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
01
10
10
01
x
x
S
S ( ) ( ) TT exp0
0exp USUUUS zx h
ee
h h
h
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
1111
21U
( ) ( )
( ) ( )102
111
21expmaxarg0
102
111
21expmaxarg0
eigenvalue
eigenvalue
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⇒<
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⇒>
x
x
S
S
hh
hh
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zS
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1616
22ノードの量子状態ノードの量子状態
2121 aaaaa ⊗≡=r 2121 aaaaa ⊗≡=
r
Taa rr=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⊗⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0001
01
0
01
1
01
01
11
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⊗⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0010
10
0
10
1
10
01
10
( ) ( )100,011,10
0,01
1 ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
古典状態を考えた場合は古典状態を考えた場合は44次元空間の次元空間の44点点
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⊗⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
0100
01
1
01
0
01
10
01
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⊗⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
1000
10
1
10
0
10
10
00
量子状態は量子状態は44次元空間の任意の点次元空間の任意の点
## 一般に一般に NN ノードの量子状態はノードの量子状態は 22N N 次元空間の任意の点次元空間の任意の点
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1717
22ノードの量子状態の遷移行列ノードの量子状態の遷移行列
( )( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗⊗=
0000000000100000
0010
0010
01011010
( )( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗⊗=
0000000000000100
0100
0001
10110111
同じ状態の積をとると対応する対角成分の1つが1になる
異なる状態の積をとると対応する非対角成分の1つが1になる
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1818
遷移行列と密度行列遷移行列と密度行列
( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
≡ ∑ ∑ ∑ ∑= = = =
00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11
;1,0 1,0 1,0 1,0
212121211 2 1 2
uuuuuuuuuuuuuuuu
bbbbaauaaa a b b
H
( ) ( )∑+∞
=
−≡−0 !
1expn
n
nHH( )
( )[ ]HHρ−−
≡exptr
exp
ハミルトニアン
密度行列
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 1919
密度行列と確率分布密度行列と確率分布
( )( )
( )( )⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
=
0,0ln00001,0ln00000,1ln00001,1ln
PP
PP
H
( )( )[ ]
( )( )
( )( )⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=−−
≡
0,000001,000000,100001,1
exptrexp
PP
PP
HHρ
( )∑ ∑= =
=1,0 1,0
211 2
1,a a
aaP ( ) 0, 21 >aaP確率分布 P(a1,a2)H が対角行列であ
り,対角成分が確率分布により与えられる場合,量子確率モデルは確率分布と簡単に関係づけられる.
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2020
密度行列の計算密度行列の計算
1
3
2
1
0
000000000000
−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= UUH
κκ
κκ
( )( )[ ]
( )
( )
( )
( )
1
3
2
1
0
exp1000
0exp100
00exp10
000exp1exptr
exp
−
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
−−
≡
UU
HHρ
κ
κ
κ
κ
Z
Z
Z
Z
( )∑=
−≡3
0exp
nnZ κ
ハミルトニアンを対角化することで初めて統計量の計算が始まる.
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2121
確率分布と密度行列確率分布と密度行列
確率分布の最大値を与える状態確率分布の最大値を与える状態
密度行列の最大固有値密度行列の最大固有値
に対応する固有ベクトルに対応する固有ベクトル
1−=UKUH ( )( )[ ]
( ) 1exp1exptr
exp
−−=
−−
≡
UKU
HHρ
Z⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
0
000000000000
κκ
κκ
K
0001
1011
0001
1011
CC
CC
++
+
( )21,aaP 00or 01,10,11 古典的古典的
な状態な状態
古典的な古典的な
状態の状態の
重合せ重合せ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2222
周辺確率と縮約密度行列周辺確率と縮約密度行列
ρρ ii \tr=
周辺確率周辺確率 ( ) ( )∑=iaa
ii aPaP\r
r
縮約密度行列縮約密度行列
i i 番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和番目を除くすべてのノードに対する確率変数の和
i i 番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和番目を除くすべてのノードに対する自由度の対角和
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2323
縮約密度行列縮約密度行列(Reduced Density Matrix)(Reduced Density Matrix)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11
ρρρρρρρρρρρρρρρρ
ρ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=
=
0,0;0,01,0;1,00,1;0,01,1;1,00,0;0,11,0;1,10,1;0,11,1;1,1
tr 1\1
ρρρρρρρρ
ρρ
ノード1の状態を固定した
もとでの部分対角和
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2424
縮約密度行列縮約密度行列(Reduced Density Matrix)(Reduced Density Matrix)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
00;0001;0010;0011;0000;0101;0110;0111;0100;1001;1010;1011;1000;1101;1110;1111;11
ρρρρρρρρρρρρρρρρ
ρ
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=
=
00;0010;1001;0011;1000;0110;1101;0111;11
tr 2\2
ρρρρρρρρ
ρρ
ノード2の状態を固定した
もとでの部分対角和
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2525
2 2 ノードの量子ノードの量子 Heisenberg Heisenberg モデルモデル
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zS⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
0110xS ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −≡
0ii0yS
( )zyx ,, , 21 =⊗≡⊗≡ ννν νν SISISSzzyyxx SSSSSSH 212121 JJJ −−−≡
( )( )[ ]H
Hρββ−−
≡exptr
exp
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
1001
I
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2626
22ノードの量子ノードの量子 Heisenberg Heisenberg モデルモデル
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zS⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
0110xS ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −≡
0ii0yS
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⊗≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=⊗≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
=⊗≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−
=⊗≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗≡
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⊗≡
1000010000100001
,
1000010000100001
0i00i000
000i00i0
,
00i0000ii000
0i000100100000010010
,
0010000110000100
21
21
21
zz SISISS
SISISS
SISISS
zz
yyyy
xxxx
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
=
−−−≡
JJJJJ
JJJJ
000020020000
212121zzyyxx SSSSSSH
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
1001
I
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2727
22ノードの量子ノードの量子 Heisenberg Heisenberg モデルモデル
の固有状態の固有状態
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
−−−≡
100002/12/1002/12/100001
0000300000000
100002/12/1002/12/100001
212121
JJ
JJ
JJJ zzyyxx SSSSSSH
( ) State) (Singlet 01102
1
01
10
21 :Eigenstate3 :Eigenvelue −=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⇒J
( ) State)(Triplet 00
1000
,01102
1
0110
21 ,11
0001
:sEigenstate :Eigenvelue =
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⇒− J
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2828
22ノードの量子ノードの量子 Heisenberg Heisenberg モデルモデル
の密度行列の計算の密度行列の計算
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
−−−≡
100002/12/1002/12/100001
0000300000000
100002/12/1002/12/100001
212121
JJ
JJ
JJJ zzyyxx SSSSSSH
( )( )[ ] ( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
>−−
≡
−−
J
J
J
J
J
J
J
eJJJJ
e
J
ee
ee
Je
HH
β
β
β
β
β
β
β
ββββ
β
β
βββρ
2
2
3
00002cosh2sinh002sinh2cosh0000
2cosh41
100002/12/1002/12/100001
000000000000
100002/12/1002/12/100001
2cosh41
0 exptr
exp
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 2929
2 2 ノードのノードの Ising Ising モデルの例にモデルの例に
対する密度行列の解釈対する密度行列の解釈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zSzzzz SISISS ⊗≡⊗≡ 21 ,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=−≡
JJ
JJ
J
000000000000
21zz SSH
( )( )[ ]( )
( )( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+−
−+++
=
−−
≡
1,100001,100001,100001,1
exptrexp
Ising
Ising
Ising
Ising
PP
PP
HHρββ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
1001
I
( ) ( )( )∑ ∑
±= ±=
≡
1s 121
2121Ising
1 2
expexp,
ssJs
sJsssPβ
β
密度行列の対角成分密度行列の対角成分
ががIsingIsingモデルのモデルの
各状態の確率分布各状態の確率分布
に対応する.に対応する.
Ising Ising モデルの確率分布モデルの確率分布
密度行列密度行列
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3030
2 2 ノードのノードの横磁場横磁場 Ising Ising モデルモデル(Transverse Ising Model)(Transverse Ising Model)に対するに対する
密度行列の解釈密度行列の解釈
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zSzzzz SISISS ⊗≡⊗≡ 21 ,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−−−−
−−−
=−−−≡
JhhhJhhJh
hhJ
hhJ
00
00
21x2
x1
zz SSSSH
( )( )[ ]H
Hρββ−−
≡exptr
exp
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
1001
I
密度行列密度行列
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3131
33ノードの場合の密度行列ノードの場合の密度行列
2312 HHH +≡
23x23 Matrix
( )( )[ ]H
Hρ−−
≡exptr
exp
( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =
≡1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
321,323223321231 2 3 1 2 3
11,;,
a a a b b bba bbbbbaauaaa δH
( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =
≡1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0
321,212112321121 2 3 1 2 3
33,;,
a a a b b bba bbbbbaauaaa δH
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3232
33ノードの場合の密度行列ノードの場合の密度行列
000001010011100101110111
321 aaa( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
≡ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =
00;00001;00010;00011;000000;00001;00010;00011;00
00;01001;01010;01011;010000;01001;01010;01011;01
00;10001;10010;10011;100000;10001;10010;10011;10
00;11001;11010;11011;110000;11001;11010;11011;11
,;,
12121212
12121212
12121212
12121212
12121212
12121212
12121212
12121212
1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0321,21211232112
1 2 3 1 2 3
33
uuuuuuuu
uuuuuuuu
uuuuuuuu
uuuuuuuu
bbbbbaauaaaa a a b b b
baδH
( )3332112321 0 baaaaHbbb ≠=
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3333
33ノードの場合の密度行列ノードの場合の密度行列
000001010011100101110111
321 aaa( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
≡ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = = =
00;0001;0010;0011;00000000;0101;0110;0111;01000000;1001;1010;1011;10000000;1101;1110;1111;110000
000000;0001;0010;0011;00000000;0101;0110;0111;01000000;1001;1010;1011;10000000;1101;1110;1111;11
,;,
23232323
23232323
23232323
23232323
23232323
23232323
23232323
23232323
1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0321,32322332123
1 2 3 1 2 3
11
uuuuuuuuuuuuuuuu
uuuuuuuuuuuuuuuu
bbbbbaauaaaa a a b b b
baδH
( )1132123321 0 baaaaHbbb ≠=
July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論(東北物理フラクチュオマティクス論(東北
大)大) 3434
ContentsContentsContents1. はじめに
2. 量子系の概説
3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化
5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ
6. まとめ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3535
確率分布と確率伝搬法確率分布と確率伝搬法
( ) ( ) ( )32232112321 ,,,, aawaawaaaP =
( ) ( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
∑∑
∑∑
31
1 3
32232112
32122
,,
,,
aa
a a
aawaaw
aaaPaP
そこで同じ操作が量子系でも可能かそこで同じ操作が量子系でも可能か??
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3636
量子系の難しさ量子系の難しさ
( )( )[ ]2312
2312
exptrexp
HHHHρ−−−−
≡
( ) ( ) ( )( ) L+−+
−−=−−
23121223
23122312 expexpexpHHHH
HHHH
指数関数の加法定理が成り立たない
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3737
SuzukiSuzuki--TrotterTrotter公式公式
( )n
n nn ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−−
+∞→ 2312
2312
1exp1explim
exp
HH
HH
密度行列Suzuki-Trotter 公式
積に分かれたときn乗が
残るのでやはりそのままでは確率伝搬法を使うのは難しい.
3xn の梯子格子上のグラフィ
カルモデルの確率伝搬法
n: Trotter 数
Σ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3838
SuzukiSuzuki--TrotterTrotter公式公式
( )
bbnn
c
cnn
c
cnn
aa
nnnn
nn
n
cccn
n
n
n
n
n
rrrL
rr
rrr
44444444444 344444444444 21
L
rL
rr
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −××
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −×
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−−
−
+∞→
+∞→
+∞→
∑−
23121
223121
,,,12312
23122312
2312
2312
1exp1exp
1exp1exp
1exp1explim
1exp1exp1exp1explim
1exp1explim
exp
121
HH
HH
HH
HHHH
HH
HH
個
n: Trotter 数
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 3939
SuzukiSuzuki--TrotterTrotter公式公式
( )
bbcWccWccWcaWa
bbnn
c
cnn
c
cnn
c
cnn
aa
ncccn
n
cccn
n
n
rrrL
rrrrrrr
rrL
rr
rr
rrr
rL
rr
rL
rr
);();();();(lim
1exp1exp
1exp1exp
1exp1exp
1exp1explim
exp
132,,,
211
23121
323122
223121
,,,12312
2312
121
121
−+∞→
−
+∞→
××=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −××
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −×
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −×
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−−
∑
∑
−
−
HH
HH
HH
HH
HHn: Trotter 数
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4040
SuzukiSuzuki--TrotterTrotter公式公式
( )( )[ ]
( )
∑ ∑ ∑ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−−−−
=
−
−+∞→a b cccnn
bbcccaPan
r r rL
rr
rrrL
rrrr
121 ,,,121
2312
2312
,,,,,lim
exptrexp
HHHHρ n: Trotter 数
( )∑
−
−−−
−−−− ××
××=
bcccannn
nnnn
n
bcWccWccWcaWbcWccWccWcaWbcccaP
rrL
rrr
rrrrL
rrrr
rrrrL
rrrrrrL
rrr
,,,,,112211
112211121
121
);();();();();();();();(,,,,,
密度行列ST 公式
Σ
br
ar321 ,, ccc rrr
3cr
2cr
1cr
確率分布確率分布
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4141
SuzukiSuzuki--TrotterTrotter公式公式
密度行列ST 公式
Σ
br
ar321 ,, ccc rrr
3cr
2cr
1cr
確率分布確率分布
3xn の梯子格子上のグラフィカルモデルの
確率伝搬法から統計量の厳密な数値を求めることができる.
33ノードからなるノードからなる11次元鎖グラフ上の量子系次元鎖グラフ上の量子系
July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論(東北物理フラクチュオマティクス論(東北
大)大) 4242
ContentsContentsContents1. はじめに
2. 量子系の概説
3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化
5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ
6. まとめ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4343
クラスター変分法(クラスター変分法(Cluster Variation MethodCluster Variation Method))
古典系のクラスター変分法古典系のクラスター変分法R. Kikuchi: A theory of cooperative phenomena, Phys. Rev., R. Kikuchi: A theory of cooperative phenomena, Phys. Rev., 8181 (1951).(1951).T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena andT. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its its generalization I, J. Phys. Soc. Jpn, generalization I, J. Phys. Soc. Jpn, 1212 (1957).(1957).量子系のクラスター変分法量子系のクラスター変分法T. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena andT. Morita: Cluster variation method of cooperative phenomena and its its generalization II, Quantum Statistics, J. Phys. Soc. generalization II, Quantum Statistics, J. Phys. Soc. JpnJpn, , 1212 (1957).(1957).T. Morita: An Approximation Scheme of the Cluster Variation MethT. Morita: An Approximation Scheme of the Cluster Variation Method for od for Quantum Lattice Gases, Progress of Theoretical Physics, Quantum Lattice Gases, Progress of Theoretical Physics, 9292 (1994).(1994).
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4444
ギブス分布とギブス分布と自由エネルギー最小原理自由エネルギー最小原理
( )QQQHQ lntr][ +≡F
ρQQQ
==1tr][minarg F
( )[ ] HρQQQ
−−=== exptrln][1tr][min FF
( )( )[ ]H
Hρ−−
≡exptr
exp
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4545
密度行列と縮約密度行列密度行列と縮約密度行列
∑∈
≡Bij
ijHH ( )( )[ ]H
Hρ−−
≡exptr
exp
ρρ ii \tr≡ ρρ ijij \tr≡
ijii ρρ \tr≡
縮約密度行列(Reduced Density Matrix)
Reducibility Condition 1trtr == iji ρρ
Normalization Condition
i i はノードはノードijij はは ii とと jj を結ぶリンクを結ぶリンク
BB は与えられたグラフは与えられたグラフ
すべてのリンクの集合すべてのリンクの集合
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4646
クラスター変分法におけるクラスター変分法における近似自由エネルギー近似自由エネルギー
( )[ ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( )
( ) ( ) ( )( )∑
∑∑
∑
∑
∈
Ω∈∈
∈
∈
−−+
+≅
+=
+=
+≡
Bjjiiijij
iiB
ijij
Bijij
Bij
QQQQQQ
QQHQ
QQHQ
QQQHQQQHQ
ij
iij
ij
ij
F
lntrlntrlntr
lntrtr
lntrtr
lntrtrlntr][
Consistency Conditionsijii ρρ \tr≡
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4747
近似自由エネルギーの変分近似自由エネルギーの変分
[ ] ( )
( ) ( ) ( )( )∑
∑∑
∈
Ω∈∈
−−+
+≡
Bjjiiijij
iiB
ijijiji
QQQQQQ
QQHQQ,Q
ij
iijF
lntrlntrlntr
lntrtr][CVM
( ) [ ] [ ] 1trtr,][minarg CVM ===≅ ijiiji\iijiQ,Qiji QQQtrQQ,Qρ,ρiji
F
( )( )[ ]ii
ii
,
,
exptrexp
ΛΛ
ρi ≅
( )( )[ ]jij,ij,iij
jij,ij,iijij ΛΛH
ΛΛHρ
++−
++−≅
exptrexp
∑∈−
≡iB
ik,ii
i,i ΛB
Λkk1
1
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4848
近似縮約密度行列と有効場近似縮約密度行列と有効場
( )( )[ ]∑∑
∈ →
∈ →≅
i
i
B ik
B iki λ
λρ
k
k
exptr
exp
( )( )[ ]∑∑
∑∑∈ →∈ →
∈ →∈ →
++−
++−≅
i\Bl jlj\Bk ikij
i\Bl jlj\Bk ikij
ij
ji
ji
λλH
λλHρ
exptr
exp
∑∈
→=j\Bkk
ikij,ii
λΛ k から i への有効場
ijii ρρ \tr≡
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 4949
量子系に量子系におけるおける確率伝搬法確率伝搬法の有効場伝搬規則の有効場伝搬規則
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++−+
−=
∑∑
∑
∈→
∈→
∈→→
i\Bljl
j\Bkikij
j\Bkikij
ji
i
λλH
λλ
exptrlog \iij
i
ZZ
有効場伝搬方程式ijii ρρ \tr≡
jiOutput
July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論(東北物理フラクチュオマティクス論(東北
大)大) 5050
ContentsContentsContents1. はじめに
2. 量子系の概説
3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化
5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ
6. まとめ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5151
確率推論と従来の確率伝搬法確率推論と従来の確率伝搬法
1. 閉路を持たないグラフ上の確率モデルに対して厳密な結果を与える.2. 閉路を持つグラフ上の確率モデルでは近似アルゴリズムとなる.
21
1324
25436
67658
PrPrPrPr
Pr,Pr
Pr,Pr Pr
AAAAAA
AAAAA
AAAAA
×
×
×
=A
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5252
閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の確率モデルの結合確率確率モデルの結合確率
( )
),(),(),( ),()(),,(
,,,,,,Pr
311342245225
7667543346865568
821
882211
aaWaaWaaWaaW,a,aaWaaaW
aaaPaAaAaA
×==
===L
L
有向グラフ
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13W
67W
24W
25W346W
568W
8A7A
無向グラフ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5353
確率推論の密度行列確率推論の密度行列
( )( )( )
( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−−
=
−≡
00000000ln00
011111110ln00011111111ln
ln
P
PP
aaPa
L
MOMM
L
L
rrrΗ
( )( )[ ] ( )
( )( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
=−−
≡
0000000000
01111111000011111111
exptrexp
P
PP
aaPa
L
MOMM
L
L
rrr
HHρ
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13W
67W
24W
25W346W
568W
8A7A
無向グラフ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5454
閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列量子系の密度行列
( )
∑
∑
∈
∈
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
B
BaaWa
γγ
γγ
H
Η rrr ln
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13H
67H
24H
25H346H
568W
8A7A
無向グラフ
( )( ) aaWa rrrγγ ln−=H
67,568,346,25,24,13=B
( )( )[ ]H
Hρ−−
≡exptr
exp
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5555
閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列量子系の密度行列
∑∈
=Bγ
γHΗ
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13H
67H
24H
25H346H
568W
8A7A
無向グラフ
( ) bbauai
ba ii
rrrr⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∏
∉γγγγγ δ ,;H
67,568,346,25,24,13=B
( )( )[ ]H
Hρ−−
≡exptr
exp
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5656
閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列量子系の密度行列
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13H
67H
24H
25H346H
568W
8A7A
無向グラフ
( ) bbbaaua babababababa
rr887766553311 ,,,,,,42422424 ; δδδδδδ=H
( )b
bbbaaaua
bababababa
r
r
8877552211 ,,,,,
643643346346 ;
δδδδδ×
=H
( )b
bbbaaaua
bababababa
r
r
7744332211 ,,,,,
865865568568 ;
δδδδδ×
=H
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5757
確率推論の密度行列確率推論の密度行列への拡張の一例への拡張の一例
( ) ∑∑∑∑∈=∈
=−−≡Bi
xi
B a
haaWaγ
γγ
γγ HSΗ8
1
logr
rrr
( ) ∑∑∈ −
−−≡γ
γγγi
xi
ia BhaaWa SH
1log
r
rrr
M
IIIIISIIS
IIIIIISIS
IIIIIIISS
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≡
xx
xx
xx
3
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
0110
I
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≡
0110xS
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5858
閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列の数値実験量子系の密度行列の数値実験
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13H
67H
24H
25H346H
568W
8A7A
無向グラフ
...8272.0tr
...9029.0tr
444
111
==
==
ρSS
ρSSzz
zz
...8379.0tr
...9032.0tr
444
111
==
==
ρSS
ρSSzz
zz
ExactExact
Quantum CVMQuantum CVM
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 5959
線形応答理論線形応答理論
| Ωx ∈= ixi
z
zz
h
zz
zz
zz
h
dee
z
ρSρS
SS
ρSS
SS
HH
330
38
10 38
38
tr~trlim
)tr(
:
−=
⟩⟩⟨⟨−
≡
⟩⟩⟨⟨
→
−∫ λλλ
)exp(~1~
8z
zhZ
SHρ +−≡
1A
3A
2A
4A
6A 5A
8A7A
(人為的に小さなゆらぎを与えてその応答を見ることで詳細を知ることができる.)
)exp(1 Hρ −≡Z
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 6060
閉路を持つグラフ上の閉路を持つグラフ上の量子系の密度行列の数値実験量子系の密度行列の数値実験
1A
3A
2A
4A
6A 5A
13H
67H
24H
25H346H
568H
8A7A
無向グラフ
...1727.0:
...0918.0:
48
38
=⟩⟩⟨⟨
=⟩⟩⟨⟨zz
zz
SS
SS
ExactExact
Quantum CVMQuantum CVM
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
≡10
01zS
...0815.0:
...0740.0:
48
38
=⟩⟩⟨⟨
=⟩⟩⟨⟨zz
zz
SS
SS
1=xh
July 2007July 2007物理フラクチュオマティクス論(東北物理フラクチュオマティクス論(東北
大)大) 6161
ContentsContentsContents1. はじめに
2. 量子系の概説
3. Suzuki-Trotter 公式による古典系との対応
4. 量子系のクラスター変分法からの確率伝搬法の定式化
5. 確率推論への量子統計力学的アプローチ
6. まとめ
July 2007July 2007 物理フラクチュオマティクス論(東北大)物理フラクチュオマティクス論(東北大) 6262
まとめまとめ
従来型のCVMによる量子系の取扱い従来型のCVMによる量子系の取扱い
確率推論のグラフィカルモデルにおける確率推論のグラフィカルモデルにおける量子確率伝搬法としてのアルゴリズム量子確率伝搬法としてのアルゴリズム
量子確率推定への情報統計力学的アプローチ
今後の課題