Embed Size (px)
Citation preview
МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ
ДВНЗ “ПРИКАРПАТСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ
IМЕНI ВАСИЛЯ СТЕФАНИКА”
ЛЬВIВСЬКИЙ НАЦIОНАЛЬНИЙ УНIВЕРСИТЕТ IМЕНI IВАНА ФРАНКА
Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису
ГЛУШАК IННА ДМИТРIВНА
УДК 515.12
ДИСЕРТАЦIЯ
Апроксимацiї неадитивних мiр
01.01.04 — геометрiя i топологiя
11 — математика i статистика
Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних на-
ук (доктора фiлософiї). Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень.
Використання iдей, результатiв та текстiв iнших авторiв мають посилання на
вiдповiдне джерело.
пiдпис
Глушак I.Д.
Науковий керiвник: д.ф.-м.н., доцент
Никифорчин Олег Ростиславович
Iвано-Франкiвськ — 2019
2
АНОТАЦIЯ
Глушак I.Д. Апроксимацiї неадитивних мiр. – Квалiфiкацiйна наукова
праця на правах рукопису.
Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математич-
них наук (доктора фiлософiї) за спецiальнiстю 01.01.04 “Геометрiя i тополо-
гiя”. – ДВНЗ “Прикарпатський нацiональний унiверситет iменi Василя Стефа-
ника”, Iвано-Франкiвськ. – Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана
Франка, Львiв, 2019.
У дисертацiйнiй роботi дослiджено способи апроксимацiї неадитивних
регулярних мiр (названих Шоке ємностями), визначених на нескiнченних ме-
тричних просторах, неадитивними мiрами, якi мають “просту природу” або
зручнi для виконання обчислень.
Для задач наближення важливим є детальне вивчення метричних власти-
востей просторiв ємностей та їх вiдображень. У роботi аналiзуються можливi
способи метризацiї множин ємностей. Доведено, що метрика Прохорова Od на
множинi ємностей, визначених на метричному компактi, є аналогом метрики
Успенського, якщо використаний при означеннi останньої iнтеграл Шоке за-
мiнити на iнтеграл Сугено, характерний саме для неадитивних мiр. Метрики,
означенi на основi iнтеграла Шоке, є менш iнформативними з погляду гео-
метрiї, нiж метрика Прохорова, тому всi апроксимацiї доцiльно здiйснювати
щодо останньої метрики. Показано, що для застосування метрики Прохорова
на некомпактних метричних просторах потрiбно звузити клас ємностей, регу-
лярних щодо топологiї, до класу ємностей, регулярних щодо метрики.
Основне завдання дисертацiї полягає в тому, щоб для довiльної ємно-
стi c на метричному просторi X , знайти ємнiсть c0 з певного класу S , най-
ближчу до даної ємностi щодо метрики Прохорова Od , тобто ємнiсть, для якої
Od.c; c0/ D Od.c; S/. Таку ємнiсть називатимемо оптимальним наближенням.
3
У дисертацiйнiй роботi розв’язано задачi наближення ємностями наступних
класiв:
� лiпшицевих щодо метрики Гаусдорфа ємностей;
� адитивних мiр на скiнченному пiдпросторi X0 � X ;
� \-ємностей (або мiр необхiдностi), якi характеризуються властивiстю
c.A\ B/ D minfc.A/; c.B/g для всiх A;B � l
X ;
� [-ємностей (або мiр можливостi) з властивiстю
c.A[ B/ D maxfc.A/; c.B/g для всiх A;B � l
X ;
� нормованих ємностей, зосереджених на замкненому пiдпросторiX0 � X .
Доведено, що кожен iз цих класiв є замкненим у просторi ємностей, регуляр-
них щодо метрики. Однак, як показано на прикладi наближень лiпшицевими
ємностями, за вiдсутностi компактностi оптимального наближення може й не
iснувати. Тому бiльшiсть наближень побудовано для ємностей на метричних
компактах, оскiльки в цьому випадку розглядуванi класи будуть компактами
щодо топологiї, iндукованої вкладенням у простiр ємностей, що гарантувати-
ме iснування оптимального наближення. Таке наближення може бути не єди-
не, тому визначено умови, якi дають можливiсть знайти для кожної ємностi c
множину всiх її оптимальних наближень iз вiдповiдного класу S . Дослiджено
питання iснування неперервної селекцiї такого многозначного вiдображення, i
отримано негативну вiдповiдь у загальному випадку. Доведено iснування не-
перервних майже оптимальних наближень ємностей, тобто неперервно зале-
жних вiд c елементiв c0 2 S , таких, що Od.c0; c/ 6 Od.c; S/C " для довiльного
наперед обраного " > 0. Для їх побудови використано властивостi iдемпотен-
тних напiвмодулiв, оскiльки простiр субнормованих ємностей, визначених на
метричному компактi, є компактним лоусоновим I -напiвмодулем, а простiр
нормованих ємностей та всi розглядуванi класи є I -опуклими компактами у
ньому.
4
У дисертацiї вперше запропоновано “скiнченне представлення” довiль-
ної субнормованої ємностi c на нескiнченному метричному компактi у вигля-
дi її наближення ємнiстю cF , яка визначається скiнченною сукупнiстю зна-
чень вихiдної ємностi на всiх об’єднаннях елементiв деякої скiнченної сiм’ї
F пiдмножин простору, названої основою ємностi. Найменшу (у сенсi кiль-
костi чи “сумарної дрiбностi” елементiв) основу ємностi характеризують вве-
денi у п’ятому роздiлi фрактальнi вимiри, що є аналогами вимiру Гаусдорфа,
верхнього та нижнього вимiрiв Мiнковського. Вивчено їх спiввiдношення з вiд-
повiдними вимiрами множин i адитивних мiр. Описано методи обчислення та
оцiнки вимiрiв самоподiбних ємностей через оцiнки вiдповiдних фрактальних
вимiрiв самоподiбних гiперпросторiв включення.
Ключовi слова: неадитивна мiра, ємнiсть, iнтеграл Сугено, метрика Про-
хорова, метричний компакт, оптимальне наближення, неперевне наближення,
iдемпотентний напiвмодуль, iдемпотентна опукла комбiнацiя, вимiр Гаусдор-
фа, вимiр Мiнковського, самоподiбнiсть, система iтерованих вiдображень.
Список публiкацiй, в яких опублiковано основнi результати дисерта-
цiї:
1. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Submonads of the capacity monad. Carpathian
Journal of Mathematics 24(1), 56–67 (2008)
2. Глушак, I.Д.: Оптимальнi наближення ємностей на метричному компа-
ктi. Математичнi Студiї 31(2), 115–121 (2009)
3. Глушак, I.Д.: Наближення ємностей на метричних просторах лiпшицеви-
ми ємностями. Карпатськi математичнi публiкацiї 6(2), 196–202 (2014).
doi:10.15330/cmp.6.2.196-202
4. Глушак, I.Д., Никифорчин, О.Р.: Неперервнiсть iдемпотентно опуклої
комбiнацiї нескiнченної кiлькостi елементiв I -опуклого компакта. При-
карпатський вiсник НТШ. Число 1(33), 152–156 (2016)
5
5. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Continuous approximations of capacities on
metric compacta. Carpathian Mathematical Publications 8(1), 44-50 (2016).
doi:10.15330/cmp.8.1.44-50
6. Глушак, I.Д.: Iнтегральне зображення метрики Прохорова на просторi
нормованих ємностей. Прикарпатський вiсник НТШ. Число 1(37), 69-
74 (2017)
7. Nykyforchyn, O., Hlushak, I.: Approximation of capacities with additive mea-
sures. Carpathian Mathematical Publications 9(1), 92–97 (2017).
doi:10.15330/cmp.9.1.92-97
8. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Fractal dimensions for inclusion hyperspaces
and non-additive measures. Mat. Stud. 50(1), 3–21 (2018).
doi:10.15330/ms.50.1.3-21
Список публiкацiй, якi засвiдчують апробацiю матерiалiв дисерта-
цiї:
1. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Approximation of Capacities. In: International
Conference “Analysis and Topology”. Abstracts. Part II. Topology, pp.28–
29. Lviv (2008). Lviv, June 2–7, 2008
2. Hlushak, I.: Approximation of non-additive measures. In: International Con-
ference “Infinite Dimensional Analysis and Topology”: book of abstracts,
pp.60–62. Ivano-Frankivsk (2009). Ivano-Frankivsk, May 27–June 1, 2009
3. Глушак, I.Д.: Простори ємностей на метричних некомпактних просто-
рах. VII Лiтня школа “Алгебра, топологiя i аналiз”: тези доповiдей,
с.78–79. Iвано-Франкiвськ (2010). Верховина, 5-16 липня, 2010
4. Глушак, I.Д.: Неперервнi апроксимацiї ємностей на метричному компа-
ктi. IХ Лiтня школа “Алгебра, топологiя i аналiз”: тези доповiдей, с.29–
30. Iвано-Франкiвськ (2014). Поляниця, 7–18 липня, 2014
5. Глушак, I.Д.: Наближення ємностей лiпшицевими ємностями. Х Лiтня
школа “Алгебра, Топологiя, Аналiз”: тези доповiдей, с. 49–50. Київ (2015).
Одеса, 3–15 серпня, 2015
6
6. Глушак, I.Д., Никифорчин, О.Р.: Iдемпотентно опуклi комбiнацiї нескiн-
ченної кiлькостi елементiв. ХI Лiтня школа “Алгебра, Топологiя, Ана-
лiз”: тези доповiдей, с.74–75. Київ (2016). Одеса, 1-14 серпня, 2016
7. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Almost optimal approximations of capacities
on metric compacta with capacities from a closed I -convex subspace. In:
International conference dedicated to the 120th anniversary of Kazimierz
Kuratowski: book of abstracts, pp. 23–24. Lviv (2016). Lviv, September 27
– October 1, 2016
8. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Fractal dimensions for non-additive measures.
In: The XIII-th Summer School “Analysis, Topology and Applications”: book
of abstracts, pp. 17–19. Chernivtsi (2018). Vyzhnytsya, July 29 - August 11,
2018
9. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Self-similar inclusion hyperspaces and non-
additive measures. Мiжнародна наукова конференцiя “Сучаснi проблеми
математики та її застосування в природничих науках i iнформацiйних
технологiях”, присвячена 50-рiччю факультету математики та iнфор-
матики Чернiвецького нацiонального унiверситету iм. Ю. Федьковича:
матерiали конференцiї, с.157. Чернiвцi (2018). Чернiвцi, 17—19 вересня,
2018
7
ABSTRACT
Hlushak I.D. Approximations of non-additive measures. – Qualification sci-
entific work, manuscript.
Thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences
(PhD) degree on the speciality 01.01.04 – Geometry and Topology. – Vasyl Stefanyk
Precarpathian National University, Ivano-Frankivsk. – Ivan Franko Lviv National
University, Lviv, 2019.
The thesis focuses on elaborating methods for approximation of non-additive
regular measures (also called capacities by Choquet) on infinite metric spaces, with
non-additive measures that are of “simpler nature” or more convenient for calculati-
ons.
It is important for approximation problems to study metric properties of spaces
of capacities and their mappings. In the thesis possible ways of metrization of
the sets of capacities are considered. It is proved that Prokhorov metric Od on the
set of the capacities on a metric compactum is analogous to Uspenskii metric,
when Choquet integral, which is used in the definition of the latter, is replaced
with Sugeno integral, which is more adequate for non-additive measures. Metrics
based on Choquet integral are less informative from the geometry viewpoint that
Prokhorov metric, therefore it is worthwhile to perform all the approximation with
respect to the latter metric. It has been shown that, to use Prokhorov metric on non-
compact metric spaces, one has to restrict the class of capacities that are regular
w.r.t. the topology, to the class of capacities that are regular w.r.t. the metric.
The main goal of the thesis was to find, for an arbitrary capacity c on a metric
space X , a capacity c0 in a certain class S , that is the closest to the given capacity
w.r.t. Prokhorov metric Od , i.e., a capacity c0 such that Od.c; c0/ D Od.c; S/. Such
a capacity is called an optimal approximation. In the thesis approximation problems
have been solved for the following classes S :
� of the capacities that are Lipschitz w.r.t. Hausdorff metric;
8
� of the additive measure on a finite subspace X0 � X ;
� of the \-capacities (�necessity measures), i.e., of the capacities with the pro-
perty c.A\ B/ D minfc.A/; c.B/g for all A;B � l
X ;
� of the [-capacities (�possibility measures), i.e., of the capacities with the pro-
perty c.A[ B/ D maxfc.A/; c.B/g for all A;B � l
X ;
� of the normalized capacities with supports in a closed subspaces X0 � X .
It has been proved that all these classes are closed in the space of capacities that
are regular w.r.t. a metric. Nevertheless, as consideration of approximation wi-
th Lipschitz capacities shows, in the absence of compactness an optimal approxi-
mation does not necessarily exist. Therefore most of the approximations have been
obtained for capacities on metric compacta. In this case the considered classes are
compact w.r.t. the topology induced from the space of capacities, which ensures
that the required optimal approximation exists. Such an approximation may not be
unique, hence the conditions have been obtained to describe the set of the opti-
mal approximations in the chosen class S for an arbitrary capacity c. The questi-
on on existence of a continuous selection of the obtained multivalued mapping
was studied, and answered in negative in general case. It has been proved that
there exist continuous almost optimal approximations, i.e., elements c0 that depend
continuously on c such that Od.c0; c/ 6 Od.c; S/ C ", for arbitrary given " > 0.
The construction uses properties of idempotent semimodules, relying on the fact that
the space of subnormalized capacities on a metric compactum is a compact Lawson
I -semimodule, and the space of the normalized capacities and all the considered
classes S are I -convex compacta in it.
In the thesis a “finite representation” of an arbitrary subnormalized capacity
c on an infinite metric compactum has been obtained, as an approximation with
a capacity cF , which is determined with a finite set of the values of the original
capacity on all unions of elements of a finite family F , of subsets of the space, called
a foundation of the capacity c. The least (in terms of cardinality or “total smallness”)
foundation of the capacity is described with the introduced in the last chapter fractal
9
dimensions, which are analogous to Hausdorff dimension and lower/upper box di-
mensions. They have been compared with the respective dimensions for sets and
additive measures. Methods for calculation and estimation of dimensions for self-
similar capacities, based on similar dimensions for inclusion hyperspaces (also intro-
duced in the thesis), have been obtained.
Keywords: non-additive measure, capacity, Sugeno integral, Prokhorov metric,
metric compactum, optimal approximation, continuous approximation, idempotent
semimodule, idempotent convex combination, Hausdorff dimension, box dimensi-
on, self-similarity, iterated function system.
10
ЗМIСТ
Анотацiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Роздiл 1. Необхiднi поняття та факти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1. Дiйснозначнi ємностi: означення та основнi властивостi. . . . . . . . 19
1.2. Iнтегральне зображення ємностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3. Топологiї на множинi ємностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Функтор та монада ємностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Роздiл 2. Ємностi на метричних просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1. Метризацiї просторiв ємностей на метричних компактах . . . . . . . 29
2.2. Метричнi властивостi монади ємностей . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Вiдображення двоїстостi як iзометрiя . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4. Простори ємностей на довiльних метричних просторах . . . . . . . . 38
Роздiл 3. Оптимальнi наближення ємностей на метричних просторах . . 41
3.1. Наближення лiпшицевими ємностями ємностей на не обов’язково
компактних метричних просторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2. Наближення адитивними мiрами на скiнченному пiдпросторi . . . . 49
3.3. \- та [-ємностi (мiри необхiдностi та мiри можливостi) . . . . . . . 55
3.4. Наближення [-ємностями та \-ємностями . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5. Наближення ємностями, визначеними на замкненому пiдпросторi
метричного компакта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Роздiл 4. Неперервнi майже оптимальнi наближення ємностей на
метричних компактах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1. Проблема неперервностi оптимальних наближень . . . . . . . . . . . 74
4.2. Неперервнiсть iдемпотентно опуклої комбiнацiї нескiнченної
кiлькостi елементiв I -опуклого компакта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11
4.3. Деякi вiдображення в метричних I -опуклих компактах . . . . . . . 81
4.4. Неперервнi наближення субнормованих ємностей . . . . . . . . . . . 83
Роздiл 5. Основи та вимiри ємностi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1. Фрактальнi вимiри для гiперпросторiв включення . . . . . . . . . . . 88
5.2. Фрактальнi вимiри для ємностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3. Самоподiбнi гiперпростори включення та ємностi . . . . . . . . . . . 101
5.4. Оцiнка вимiрiв самоподiбних гiперпросторiв включення та ємностей 108
Висновки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Список використаних джерел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Додаток А. Список публiкацiй здобувача за темою дисертацiї . . . . . . 133
Додаток Б. Термiни та позначення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
12
ВСТУП
Актуальнiсть теми. Запровадженi Шоке [2] ємностi, iнакше названi не-
адитивними мiрами Деннебергом [4] або нечiткими мiрами Сугено [41], є при-
родним узагальненням адитивних мiр i знайшли широке застосування у мате-
матичнiй фiзицi, економiко-математичному моделюваннi, теорiї випадкових
процесiв та iнших галузях науки (див. [5, 6, 11, 40]). Це спонукало до їх си-
стематичного вивчення засобами функцiонального аналiзу, топологiї та алге-
бри [9, 37, 47].
“Неадитивнiсть” дозволяє моделювати вплив людської поведiнки на при-
йняття рiшень, наприклад, схильнiсть/несхильнiсть до ризику, неповноту iн-
формацiї тощо. Водночас, за висловом Ґрабiша i Мiранди [29], “за таку гну-
чкiсть моделей, базованих на ємностях, доводиться платити експоненцiальною
складнiстю”, оскiльки означення ємностi на n-елементному просторi вимагає
задання 2n дiйсних значень. Одним з виходiв є обмеження класу ємностей, на-
приклад, Ґрабiшем та його послiдовниками було означено клас k-адитивних
ємностей [29]. Одним з його переваг є те, що ємнiсть цiлком визначається сво-
їми значеннями на множинах потужностi 6 k. Однак, крiм обмеженостi скiн-
ченними просторами, суттєвим недолiком цiєї теорiї є брак ефективних на-
ближень мiр, що не є k-адитивними. Так зване перетворення Мьобiуса дозво-
ляє для довiльної ємностi знайти домiнуючу сукупнiсть k-адитивних мiр [15],
однак заздалегiдь невiдомо, наскiльки вони вiдрiзнятимуться вiд початкової
ємностi.
Iншим популярним класом ємностей є субмодулярнi мiри, тобто невiд’єм-
нi монотоннi функцiї множин, що задовольняють нерiвнiстьm.F [G/Cm.F \G/ 6 m.F / C m.G/. Для них у випадку скiнченного простору iснують ефе-
ктивнi алгоритми оптимiзацiї [30] i водночас запропоновано алгоритми набли-
ження на пiдставi неповних даних [12] з передбачуваною рiвномiрною вiдно-
13
сною точнiстю. Однак алгоритмiв наближення субмодулярними мiрами ємно-
стей не з цього класу досi не розроблено.
Наблизити скiнченним чином мiру на нескiнченному просторi вдається
у окремих випадках. Наприклад, Вебстером для потреб цифрової топологiї
розроблено у його докторськiй дисертацiї i розгорнуто у [45] метод подання
топологiчного простору з адитивною мiрою як границi зворотного спектру зi
скiнченних графiв з мiрою (фактично скiнченних просторiв з мiрою та рефле-
ксивним симетричним вiдношенням). Проекцiї спектра повиннi зберiгати вка-
занi мiри та вiдношення. Якщо простiр метризовний, то достатньо зворотної
послiдовностi. Попри теоретичну елегантнiсть, результат застосування цього
пiдходу є неоднозначним i спирається на фактор-простори, якi “псують” топо-
логiчнi властивостi, тому складно вивчати властивостi заданого так простору
з мiрою, порiвняти двi мiри чи тим бiльше знайти вiдстань мiж ними.
Ми вважаємо, що таке фрагментарне охоплення проблеми наближення
неадитивних мiр, зокрема, брак iнструментарiю для мiр на нескiнченних про-
сторах, не вiдповiдає вимогам практики, i варто дослiдити наближення ємно-
стей на метричних просторах засобами метричної топологiї.
Останнiм часом окреслився пiдхiд до вивчення просторiв регулярних не-
адитивних мiр методами теорiї топологiчних функторiв у категорiї компактiв.
Зарiчним та Никифорчинoм [46] детально дослiджено ємностi на компактах,
зокрема побудовано функтор ємностей з дiйсними значеннями у категорiї ком-
пактiв i вивчено його властивостi. Зокрема, показано, що вiн є функторiальною
частиною монади.
Результати, отриманi для компактiв, узагальнили та поширили на неади-
тивнi мiри на тихоновських просторах Никифорчин та Реповш [36]. Властиво-
стi типу регулярностi (регулярнiсть щодо метрики, щодо топологiї, !�глад-
кiсть, ��гладкiсть) для ємностей, визначених на метричних (не обов’язково
14
компактних) та метризовних просторах дослiджено Черковським [62]. Зокре-
ма, описано метрики на просторi ємностей у стилi Прохорова та Успенського
i доведена їх еквiвалентнiсть для випадку, коли вихiдний простiр є повним.
Цi результати стали теоретичною основою дисертацiйної роботи. У нiй
дослiджено наближення ємностей на метричних просторах, переважно компа-
ктних, оптимальнi чи майже оптимальнi щодо метрики Прохорова, яка оцiнює
вiдмiннiсть неадитивних мiр найбiльш природно i iнформативно з погляду гео-
метрiї.
Насправдi вибiр метрики впливає на оцiнку наближення тiльки до певної
мiри, оскiльки, як було сказано, “змiстовнi” метрики на просторах ємностей є
еквiвалентними, принаймнi для компактiв.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисерта-
цiйна робота виконувалась на кафедрi алгебри та геометрiї Прикарпатського
нацiонального унiверситету iменi Василя Стефаника в рамках плану науко-
вих дослiджень за проектом Державного фонду фундаментальних дослiджень
№25.1/099 “Узагальнення ймовiрнiсних мiр, їх категорнi i фрактальнi власти-
востi, наближення i застосування” (номер держреєстрацiї 0108U009228). Ре-
зультати дисертацiї також частково використанi при виконаннi завдань держ-
бюджетної теми “Проблеми нелiнiйного аналiзу щодо продовжень вiдобра-
жень, якi належать до рiзних функцiональних класiв на топологiчних i топо-
логiчних векторних просторах” (номер держреєстрацiї 0118U000097).
Мета i завдання дослiдження. Метою дисертацiйної роботи є встанов-
лення iснування та розробка ефективних способiв наближення регулярних не-
адитивних мiр на метричних просторах мiрами, зручними щодо обчислень.
Досягнення поставленої мети пов’язане iз розв’язанням наступних зав-
дань:
– вивчення метричних властивостей просторiв ємностей та їх вiдобра-
жень;
15
– видiлення класiв ємностей, якi мають вiдносно просту будову i характе-
ризуються властивостями, якi допускають їх прикладне застосування i
забезпечують можливiсть легкої побудови наближень;
– визначення умов, якi гарантують iснування оптимального (або принаймi
близького до оптимального) наближення довiльної ємностi ємностями
iз вiдповiдних класiв;
– розробка зручних методiв наближень ємностями iз кожного класу зокре-
ма;
– дослiдження iснування оптимальних (або “майже” оптимальних) непе-
рервних наближень;
– дослiдження можливостi побудови “скiнченних” наближень для ємно-
стей, визначених на нескiнченних метричних просторах.
Об’єктом дослiдження є неадитивнi мiри на метричних (не обов’язково
компактних) просторах.
Предметом дослiдження є методи побудови наближень мiрами з вуж-
чих класiв.
Методи дослiдження. У процесi виконання дисертацiйної роботи вико-
ристанi методи теорiї мiри, iдемпотентної математики та теорiї категорiй.
Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi науковi результати,
що виносяться на захист, є новими. У дисертацiї вперше:
побудовано iнтегральне зображення метрики Прохорова на множинi ре-
гулярних неадитивних мiр на метричному компактi через iнтеграл Сугено та
встановлено її застосовнiсть на некомпактних метричних просторах за умо-
ви звуження класу ємностей, регулярних щодо топологiї, до класу ємностей,
регулярних щодо метрики;
описано множину оптимальних наближень довiльної ємностi на не обо-
в’язково компактному метричному просторi ємностями з обмеженим коефiцi-
єнтом Лiпшиця щодо метрики Гаусдорфа;
16
побудовано алгоритм оптимального наближення довiльної ємностi на ме-
тричному компактi адитивною ємнiстю, зосередженої на фiксованому скiнчен-
ному пiдпросторi;
побудовано найбiльшу з нормованих мiр можливостi на метричному ком-
пактi, найближчих до даної нормованої ємностi, що одночасно дозволяє знайти
найменшу з найближчих нормованих мiр необхiдностi;
описано множину найближчих до даної ємностi нормованих ємностей на
метричному компактi, зосереджених на фiксованому замкненому пiдпросторi;
побудовано приклади просторiв, для яких многозначне вiдображення, що
зiставляє кожнiй нормований ємностi вiдповiдно множину найближчих до неї
нормованих мiр можливостi чи множину найближчих нормованих ємностей,
зосереджених на фiксованому замкненому пiдпросторi, не має неперервної се-
лекцiї (не iснує неперервного оптимального наближення ємнiстю з вiдповiдно-
го класу);
для довiльного класу нормованих ємностей, який є I -опуклою замкне-
ною множиною у iдемпотентному лоусоновому напiвмодулi субнормованих
ємностей на метричному компактi, доведено iснування неперервного майже
оптимального наближення нормованих ємностей ємностями з цього класу;
введено поняття основи гiперпростору включення та основи неадитивної
мiри, що дозволяє наближати гiперпростiр чи неадитивну мiру за допомогою
вiдповiдно скiнченної сiм’ї множин чи значень вихiдної мiри на множинах зi
скiнченної сiм’ї;
введено верхнiй i нижнiй вимiри Мiнковського та вимiр Гаусдорфа для
гiперпросторiв включення та неадитивних мiр, доведено їх властивостi, зокре-
ма, порiвняння з вiдповiдними вимiрами носiїв та твердження про точнi значе-
ння i оцiнки вимiрiв Мiнковського для самоподiбних гiперпросторiв включен-
ня та неадитивних мiр у скiнченновимiрному евклiдовому просторi.
17
Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертацiї ма-
ють теоретичний характер. Їх можна використати для наближеного розв’язу-
вання задач оптимiзацiї, пов’язаних з неадитивними мiрами, зокрема, у теорiї
прийняття рiшень в умовах невизначеностi.
Особистий внесок здобувача Основнi результати, що виносяться на за-
хист, отриманi автором самостiйно. Зi статтей, опублiкованих у спiвавторствi,
до дисертацiї включенi лише тi результати, що належать автору. Зокрема, у
статтi [17] автору належать усi результати, за винятком тих, що наведенi у роз-
дiлi 4 статтi; у статтi [35] автору належить розробка алгоритму, описаного в
роздiлi 1 статтi, постановка задачi та програмна реалiзацiя алгоритму належать
спiвавтору; у спiльних працях [19], [21] i [54] спiвавтору належить постановка
задач, обговорення результатiв та загальне керiвництво роботою.
Апробацiя результатiв дисертацiї. Основнi результати дисертацiї апро-
бовано на таких наукових конференцiях:
– мiжнароднiй конференцiї “Analysis and Topology” ( Lviv, June 2 – 7, 2008);
– мiжнароднiй конференцiї “Infinite Dimensional Analysis and Topology”
(Ivano-Frankivsk, May 27 – June 1, 2009);
– VII-iй лiтнiй школi “Алгебра, топологiя i аналiз ” (смт.Верховина, Iвано-
Франкiвська обл., липень 5 – 16, 2010);
– IХ-iй лiтнiй школi “Алгебра, топологiя i аналiз ” (с.Поляниця,
Iвано-Франкiвська обл., липень 7 – 18, 2014);
– Х-iй лiтнiй школi “Алгебра, Топологiя, Аналiз” (м.Одеса, серпень 3 – 15,
2015);
– ХI-iй лiтнiй школi “Алгебра, Топологiя, Аналiз” (м.Одеса, серпень 1 – 14,
2016);
– мiжнароднiй науковiй конференцiї “International conference dedicated to
the 120th anniversary of Kazimierz Kuratowski” (Lviv, September 27 –
October 1, 2016);
18
– мiжнароднiй конференцiї “International Spring Conference on Real Analysis
and its Applications” (Ostromecko, Poland, May 29 – June 1, 2017);
– XIII-iй лiтнiй школi “Analysis, Topology and Applications” (м.Вижниця,
Чернiвецька обл., 29 липня – 11 серпня 2018 р.);
– мiжнароднiй науковiй конференцiї присвяченiй 50-рiччю факультету ма-
тематики та iнформатики Чернiвецького нацiонального унiверситету
iм. Юрiя Федьковича “Сучаснi проблеми математики та її застосува-
ння в природничих науках i iнформацiйних технологiях” (м.Чернiвцi,
вересень 17 – 19, 2018).
Результати дисертацiї доповiдалися на:
– наукових семiнарах кафедри алгебри та геометрiї Прикарпатського на-
цiонального унiверситету iменi Василя Стефаника (м.Iвано-Франкiвськ,
2008 – 2010, 2014 – 2019);
– науковому семiнарi “Топологiя та її застосування ” (керiвники
проф. Т.О.Банах, доц. I.Й. Гуран, проф. М.М. Зарiчний, м.Львiв, 2019).
Публiкацiї. Основнi результати дисертацiйної роботи опублiковано в 17
наукових працях: 8 статтях, з яких 2 ([17, 21]) включенi до наукометричної
бази Scopus та 1 ([35]) – до Web of Science Core Collection (серед них 1 стаття
[17] – у перiодичному закордонному виданнi), 5 ([19, 48, 51, 53, 54], з них 3 –
одноосiбно) – у фахових виданнях iз перелiку, затвердженого МОН України,
9 тезах конференцiй рiзного рiвня, з яких 5 ([16, 18, 20, 22, 23]) – тези мiжна-
родних конференцiй.
Структура i обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається з анотацiї, всту-
пу, п’яти роздiлiв, висновкiв, списку використаних джерел, який налiчує 64
найменування, та двох додаткiв. Обсяг основного тексту дисертацiї – 115 сто-
рiнок, обсяг списку використаних джерел – 6 сторiнок, обсяг додаткiв – 13
сторiнок.
Автор висловлює щиру подяку доктору фiзико-математичних наук Оле-
гу Ростиславовичу Никифорчину за керiвництво роботою.
19
РОЗДIЛ 1
НЕОБХIДНI ПОНЯТТЯ ТА ФАКТИ
У цьому роздiлi ми наводимо необхiднi поняття та результати, пов’язанi з
неадитивними мiрами. Означення використаних у дисертацiйнiй роботi термi-
нiв iз загальної топологiї, теорiї топологiчних напiвграток та теорiї категорiй i
вiдповiднi позначення винесено у Додаток Б.
1.1. Дiйснозначнi ємностi: означення та основнi властивостi.
Притримуючись термiнологiї [46], будемо називати ємнiстю чи регуляр-
ною неадитивною мiрою на компактi X дiйснозначну функцiю c на множинi
ExpX замкнених пiдмножин цього компакта, для якої виконано наступнi вла-
стивостi для всiх пiдмножин F;G � l
X :
(1) c.¿/ D 0;
(2) якщо F � G, то c.F / 6 c.G/ (монотоннiсть);
(3) якщо c.F / < a, то iснує така вiдкрита множина U � F в X , що для
кожного G � U виконано c.G/ < a (напiвнеперервнiсть згори чи зов-
нiшня регулярнiсть).
Якщо крiм того виконано
(4) c.X/ D 1 (чи c.X/ � 1),
то ємнiсть називається нормованою (вiдповiдно субнормованою).
Означення ємностi поширено на тихоновськi простори Никифорчином
та Реповшем [36]. Функцiя c W ExpX ! RC називається регулярною ємнiстю
на тихоновському просторi X , якщо вона задовольняє (1), (2) та властивiсть
напiвнеперервностi згори (зовнiшньої регулярностi), яка в цьому випадку має
таке формулювання :
(30) якщо c.F / < a, то iснує така вiдкрита множина U � F в X , що F
i X n U функцiонально вiдокремленi та c.G/ < a для всiх G � U ,
G � l
X .
20
Властивостi (3) i (30) є рiвносильними, якщо топологiя на просторi X є
компактною або метризовною. Для не обов’язково компактної топологiї, ви-
значеної метрикою d можна розглядати властивiсть:
(300) якщо c.F / � a, то iснує таке " > 0, що c.O".F // < a (регулярнiсть
щодо метрики d ).
З цiєї властивостi випливають (3) i (30), а для метричного компакта X
вони є рiвносильними.
Сiм’ю множин .A˛/, iндексовану елементами ˛ спрямованої вгору час-
тково впорядкованої множини .I;�/, називаємо монотонно спадною спрямо-
ванiстю, якщо A˛ � Aˇ для ˛ � ˇ, ˛; ˇ 2 I.
Ємнiсть c називається !-гладкою, якщо для кожної монотонно спадної
послiдовностi A1 � A2 � A3 � : : : замкнених множин в X виконується рiв-
нiсть inf
n2Nc.An/ D c.
T
n2N
An/. Ця властивiсть є сильнiшою вiд регулярностi що-
до метрики.
Ємнiсть c називається � -гладкою [36], якщо для кожної монотонно спа-
дної спрямованостi .A˛/˛2I замкнених множин в X виконується inf
˛c.A˛/ D
c.T
˛
A˛/.
Називаємо � -гладку ємнiсть c на тихоновському просторi внутрiшньо
компактно регулярною або радонiвською [36], якщо для кожної замкненої
множини F � X значення c.F / є точною верхньою гранню c.K/ для всiх ком-
пактних пiдмножин K � F .
Множину всiх ємностей на X позначаємо MX . Множину всiх регуляр-
них щодо метрики d (вiдповiдно !-гладких, � -гладких) ємностей на X позна-
чаємо M dX (вiдповiдно M!X , M �X). Для метричного простору X виконано
MX � M dX � M!X � M �X . Для метричного компакта X всi цi множини
рiвнi, тому вживаємо для них спiльне позначення MX . Множину всiх нормо-
ваних наX ємностей позначаємо якMX , а субнормованихMX (додаючи для
вiдповiдних пiдпросторiв iндекси d; !; � , якщо X не компактний).
21
Ємнiсть c називаємо опуклою (convex) чи супермодулярною, якщо для
довiльних F;G � l
X виконано :
(^) c.F [G/C c.F \G/ > c.F /C c.G/.
Ємнiсть c називаємо вгнутою (concave) чи субмодулярною, якщо для до-
вiльних F;G � l
X виконано :
(_) c.F [G/C c.F \G/ 6 c.F /C c.G/.
Якщо ємнiсть c на X одночасно опукла та вгнута, то c адитивна: c.F [G/Cc.F \G/ D c.F /Cc.G/ для F;G �
l
X , зокрема, c.F [G/ D c.F /Cc.G/при F \ G D ¿. Якщо виконано всi властивостi (1)-(4),(^), (_) то c – ймо-
вiрнiсна (нормована адитивна регулярна) мiра. Найпростiшою такою мiрою є
мiра Дiрака ıx , зосереджена у точцi x 2 X :
ıx.A/ D
8
ˆ
<
ˆ
:
0; x … A;
1; x 2 A;A �
l
X:
Через M cX та McX позначаємо вiдповiдно пiдмножини увiгнутих та
опуклих ємностей. Множина ймовiрнiсних мiр PX збiгається з McX \M cX .
Для ємностi c на X i довiльної множини A � X називаємо внутрiшньою
ємнiстю множини A число c�.A/ D supfc.F /jF � l
X;F � Ag. Зрозумiло,
що якщо A � l
X , то c�.A/ D c.A/. Зовнiшьою ємнiстю довiльної множини
A � X називаємо c�.A/ D inffc�.U /jU �op
X;U � Ag. Множина A � X нази-
вається вимiрною (capacitable) щодо ємностi c, якщо c�.A/ D c�.A/. Зокрема,
всi вiдкритi i всi замкненi множини вимiрнi. Для вимiрної множини A позначи-
мо c.A/ D c�.A/ D c�.A/ та вважаємо, що ємнiсть c є продовженою на сiм’ю
вимiрних щодо неї множин.
1.2. Iнтегральне зображення ємностей
Надалi для довiльної функцiї f W X ! R та числа ˛ 2 R позначимо
f˛ D fx 2 X jf .x/ � ˛g. Ця множина використовується при означеннi iн-
22
тегралiв за мiрами. Зокрема, за теоремою Рiса кожна регулярна адитивна мi-
ра m (тобто адитивна ємнiсть) на компактi X ототожнюється з функцiоналом
Im W C.X;RC/ ! R, який вiдображає кожну невiд’ємну неперервну функцiю
f W X ! R у iнтеграл Лебега функцiї f щодо m, тобто
Im.f / DZ
X
f .x/dm.x/ DZ C1
0
m.f˛/ d˛:
Для ємностей (неадитивних мiр) аналогом iнтеграла Лебега є iнтеграл
Шоке [2] щодо ємностi c на компактiX для функцiї f W X ! RC, визначений
аналогiчною формулою
Ic.f / DZ
X
f .x/dc.x/ DC1Z
0
c.f˛/ d˛:
Ґрабiшем [14] запропоновано продовжити iнтеграл Шоке на довiльнi (не
обовязково невiд’ємнi чи обмеженi) функцiї f W X ! R наступним способом :
Ic.f / DZ
X
f .x/dc.x/ DC1Z
0
c.fx 2 X jf .x/ � ˛g/d˛�
�0
Z
�1
.c.X/� c.fx 2 X jf .x/ � ˛g//d˛;
якщо обидва невизначенi iнтеграли iснують та скiнченнi.
Ваккером [44] та Лiн Чжоу [47] незалежно i практично одночасно (у 1989
роцi) показано, що для дiйснозначної ємностi c на компактi X функцiонал ic WC.X;RC/ ! R, який зiставляє кожнiй неперервнiй функцiї f W X ! RC
значення iнтеграла Шоке Ic.f /, має властивостi:
(1) ic.f / � 0 для всiх f 2 C.X;RC/ ( невiд‘ємнiсть);
(2) ic.kf / D kic.f / для всiх f 2 C.X;RC/, k � 0 (додатня однорiднiсть);
(3) для комонотонних f; g 2 C.X;RC/ iстинна рiвнiсть ic.f Cg/ D ic.f /Cic.g/ (комонотонна адитивнiсть);
(4) для всiх f; g 2 C.X;RC/ з нерiвностi f � g випливає, що ic.f / � ic.g/
(монотоннiсть).
23
Нагадаємо, що функцiї f; g W X ! R називаються комонотонними [28] ,
якщо .f .x1/ � f .x2//.g.x1/ � g.x2// � 0 для всiх x1; x2 2 X .
Якщо c – нормована (або субнормована), то також виконано властивiсть
(5) (вiдповiдно (50) ):
(5) ic.const1/ D 1 (нормованiсть);
(50) ic.const1/ 2 I .
У працi Лiн Чжоу [47] доведено також протилежне твердження: кожен
функцiонал ic W C.X;RC/ ! R, для якого виконуються (1)–(4) (вiдповiдно
(1)–(4), (5) або (1)–(4), (50)) є iнтегралом Шоке для єдиної дiйснозначної (вiд-
повiдно нормованої чи субнормованої) ємностi, яка визначається формулою
c.F / D inffic.f /jf 2 C.X;RC/; f .x/ � 1;8x 2 F g;
де F � l
X . Наступне представлення є еквiвалентним:
c.F / D inffic.f /jf 2 C.X;RC/; f jF � 1g:
Специфiчним для неадитивних мiр є iнтеграл Сугено [41] за ємнiстю c
вiд функцiї f W X ! RC, що визначається формулою
I sc .f / D
_Z
X
f .x/ ^ dc.x/ D supf˛ ^ c.fx 2 X jf .x/ � ˛g/ j ˛ 2 RCg:
Якщо невiд’ємна функцiя f W X ! R або значення c.X/ (тобто най-
бiльше значення ємностi c) обмеженi згори числом a > 0, то очевидно, що
iнтеграл Сугено вiд f щодо c теж не перевищує a. Щобiльше, iнтеграл Сугено
“iгнорує” значення функцiї, якi перевищують c.X/, тобто для кожної функцiї
f W X ! RC iнтеграл Сугено вiд неї (якщо вiн iснує) збiгається з iнтегралом
вiд функцiї f ^ c.X/, тому можна звузити “межi iнтегрування”:
I sc .f / D sup
˛2Œ0;c.X/�
minf˛; c.fx 2 X jf .x/ � ˛g/g:
Для субнормованих ємностей можна обмежитись ˛ 2 I .
24
Зауважимо, що iнтеграл Сугено продовжено у iншiй працi Ґрабiша [13]
на довiльнi функцiї f W X ! R (а не тiльки невiд’ємнi) так:
I sc .f / D
_Z
X
f .x/ ^ dc.x/ D supfc.F / ^ inf
x2Ff .x/jF �
l
Xg:
Попри зовнiшню вiдмiннiсть, iнтеграл Сугено є аналогом iнтеграла Шо-
ке, який отримуємо, коли звичнi алгебраїчнi операцiї над дiйсними числами
замiнюємо на так званi iдемпотентнi операцiї [25].
Якщо c – нормована ємнiсть на компактiX , то функцiонал i W C.X; I / !I , який зiставляє кожнiй неперервнiй функцiї f W X ! I значення iнтеграла
Сугено I sc .f /, має властивостi (Никифорчин, Реповш, [36], Теорема 3.1):
(1) для всiх функцiй f; g 2 C.X; I / з нерiвностi f � g випливає, що i.f / �i.g/ (монотоннiсть);
(2) i.a ^ f / D a ^ i.f / та i.a _ f / D a _ i.f / для будь-яких функцiї
f 2 C.X; I / та числа a 2 I .
Якщо c не обов’язково нормована, то i D I sc розглядаємо як функцiонал
C.X;RC/ ! RC, i разом з (1) замiсть (2) для функцiонала i виконано:
(20) i.a^f / D a^ i.f / та i.a_f / D .a^M/_ i.f / для будь-яких функцiї
f 2 C.X; I /, числа a > 0, точної верхньої гранi M функцiонала i .
I навпаки, кожен функцiонал i W C.X; I / ! I , що задовольняє умови
(1), (2) (вiдповiдно кожен функцiонал i W C.X;RC/ ! RC, що задовольняє
умови (1), (20) для деякого M > 0, тому обмежений згори числом M ), має
вигляд i.f / D I sc .f / для однозначно визначеної нормованої (дiйснозначної)
регулярної ємностi c на X , вiдновити яку можна наступним способом:
c.F / D inffi.f /jf 2 C.X;RC/; f jF D M g;
для всiх F � l
X , де M — довiльна верхня грань функцiонала i .
Отже кожну ємнiсть c на компактi X можна ототожнити з iнтегралом
Шоке Ic або iнтегралом Сугено I sc , кожен з яких є вiдповiдним функцiона-
лом на просторi C.X;RC/. Тому надалi в тих випадках, коли зрозумiло про
25
який саме iнтеграл iде мова, для спрощення запису будемо використовувати
позначення c.f / замiсть Ic.f / або I sc .f /.
Згiдно [36], для тихоновського простору X функцiонал i W C.X; I / ! I
має властивостi (1), (2), якщо i тiльки якщо вiн є iнтегралом Сугено щодо єди-
ної нормованої регулярної ємностi на X . Аналогiчно обмежений функцiонал
i W C.X;RC/ ! RC задовольняє умови (1), (20), якщо i тiльки якщо i — iн-
теграл Сугено щодо деякої регулярної ємностi на X . Ця ємнiсть є � -гладкою,
якщо i тiльки якщо функцiонал i задовольняє додаткову вимогу:
(3) для кожної монотонно незростаючої спрямованостi неперервних обме-
жених функцiй .'˛ W X ! RC/ i неперервної функцiї W X ! RC,
таких, що inf˛ '˛.x/ 6 .x/ для всiх X , виконано inf˛ i.'˛/ 6 i. /.
1.3. Топологiї на множинi ємностей
Можливi способи задання топологiй на множинi неадитивних мiр описа-
но у працях Брiєна i Ферваата [37], Гольверди [24], Зарiчного та Никифорчи-
на [46]. Ми зосередимось на методах топологiзацiї множин ємностей, визначе-
них на компактних гаусдорфових просторах.
1.3.1. ТЕОРЕМА (Никифорчин, [59], Теорема 2.3.1). Компактна гаусдор-
фова топологiя на множинi MX нормованих ємностей на компактi X ви-
значається будь-яким з наступних еквiвалентних способiв:
(1) передбазою, що складається з усiх множин вигляду
O�.F; a/ D fc 2 MX j c.F / < ag;
де F � l
X; a 2 I , та
OC.U; a/ D fc 2 MX j c.U / > ag Dfc 2 MX j iснує компакт K � U; c.K/ > ag;
де U �op
X; a 2 I ;
26
(2) як слабка* топологiя через вкладення MX в RC.X;RC/, яке вiдобра-
жає кожну ємнiсть c 2 MX у сукупнiсть .Ic.f //f 2C.X;RC/ значень
iнтегралiв Шоке;
(3) як слабка* топологiя через вкладенняMX в IC.X;I/, яке вiдображає
кожну ємнiсть c 2 MX у сукупнiсть .I sc .f //f 2C.X;I/ значень iнте-
гралiв Сугено;
(4) як топологiя Лоусона на цiлком дистрибутивнiй гратцi MX , у якiй
частковий порядок визначено як c1 � c2 для c1; c2 2 MX , якщо
c1.F / � c2.F / для всiх F � l
X .
Для компакта X простiр MX також є компактом, що дає можливiсть
використовувати конструкцiї M 2X D M.MX/, M 3X D M.M 2X/ i т.д. Пiд-
множини McX , M cX та PX замкненi у MX , тому є компактами щодо iнду-
кованих топологiй.
Компактна гаусдорфова топологiя на множинi MX усiх субнормованих
ємностей на компактi X визначається цiлком аналогiчним способом.
Доведено ([59], Твердження 2.4.1), що цi топологiї також отримуються
вкладенням ємностей у гiперпростори у виглядi їх пiдграфiкiв, а саме, вкла-
денням MX чи MX у простiр exp.expX � I / з топологiєю Вiєторiса, яке
зiставляє кожнiй ємностi c її пiдграфiк
sub c D˚
.F; ˛/ 2 expX � Iˇ
ˇ ˛ 6 c.F /
:
Якщо пiдграфiк sub c � l
expX � I вiдомий, то ємнiсть c можна однозна-
чно вiдновити:
c.F / D max
˚
˛ 2 Iˇ
ˇ .F; ˛/ 2 sub c
для всiх F � l
X .
Щодо топологiзацiї множини MX усiх дiйснозначних регулярних ємно-
стей, що визначенi на компактi X , то топологiя, визначена передбазою з усiх
множин
O�.F; a/ D fc 2 MX j c.F / < ag;
27
та
OC.U; a/ D fc 2 MX j c.U / > ag Dfc 2 MX j iснує компактK � U; c.K/ > ag;
де F � l
X , U �op
X , a 2 RC, також збiгається зi слабкими* топологiями,
якi задаються вкладеннями MX в RC.X;RC/ за допомогою вiдображення c 7!.Ic.f //f 2C.X;RC/ чи вiдображення c 7! .I s
c .f //f 2C.X;RC/. Ця топологiя уже
не є компактною, хоча є тихоновською.
Топологiя з пункту (1) наведеної вище теореми називається розпливча-
стою топологiєю (англ. — vague topology, рос. — грубая топология) i може
бути визначена на множинi регулярних ємностей на будь-якому топологiчно-
му просторi.
Для наших цiлей у випадку тихоновського X , враховуючи змiни у озна-
ченнi зовнiшньої регулярностi, зручно модифiкувати розпливчасту топологiю,
як це запропоновано Никифорчином i Реповшем [36], задаючи її на множинi
MX (i аналогiчно на її пiдмножинах) так:
(10) передбазою з усiх множин вигляду
O�.F; a/ D fc 2 MX j c.F / < ag
та
OC.U; a/ D fc 2 MX j iснує така G � l
X; що c.G/ > a i
G� функцiонально вiдокремлена вiд X n U g;
де F � l
X , U �op
X; a 2 R.
Одна з переваг такого пiдходу у тому, що топологiї, визначенi (10) та вiд-
повiдно до пунктiв (2) i (3) наведеної вище теореми, збiгаються i для тихонов-
ського X .
Зауважимо, що Никифорчином та Реповшем [36] було встановлено, що на
ємностi на тихоновських просторах, якi мають ще й властивiсть � -гладкостi,
можна максимально поширити отриманi для компактiв результати.
28
1.4. Функтор та монада ємностей
Конструкцiя простору ємностей на компактi продовжується до функто-
ра у категорiї компактiв Comp. А саме, для неперервного вiдображення ком-
пактiв f W X ! Y вiдображення Mf W MX ! MY визначається формулою
Mf.c/.F / D c.f �1.F //; де c 2 MX , F � l
Y .
Оскiльки Mf вiдображає нормованi ємностi на X у нормованi ємностi
на Y , то можна визначити вiдображення Mf W MX ! MY як обмеження
вiдображення Mf W MX ! MY . Таким чином визначаються функтор M
субнормованих ємностей та його пiдфунктор нормованих ємностей. Надалi,
вживаючи термiн “функтор ємностей” будемо мати на увазi саме функторM .
Зарiчним та Никифорчином [46] було показано, що функтор M мiстить
запроваджений Моiсєєвим функтор гiперпросторiв включення [58] як пiдфун-
ктор i тому не зберiгає прообрази, проте вiн є слабко нормальним i зберiгає
клас вiдкритих сюр’єктивних вiдображень (тобто є вiдкритим).
Цей функтор є функторiальною частиною описаної у [46] монади ємно-
стей M D .M; �; �/. Її одиниця � W 1Comp
! M i множення � W M 2 ! M –
це природнi перетворення � D .�X/X2ObComp та � D .�X/X2ObComp , ком-
поненти яких визначено формулами:
�X.x/.F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; якщо x 2 F;
0; якщо x … F;
�X.C/.F / D supf a 2 I j C.ŒF �a/ > ag;де x 2 X , F �
l
X ,C 2 M 2X , а через ŒF �a тут i надалi позначаємо множину
fc 2 MX jc.F / � ag � l
MX . Зауважимо, що �X.x/ — це мiра Дiрака ıx ,
зосереджена у точцi x 2 X .
29
РОЗДIЛ 2
ЄМНОСТI НА МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРАХ
2.1. Метризацiї просторiв ємностей на метричних компактах
Надалi вважаємо, що .X; d/ – метричний простiр скiнченного дiаметра.
Як звичайно, для F � X та " > 0 через O".F / D fx 2 X j d.x; F / 6 "gпозначаємо множину, що є замкненим "-околом множини F .
Для метричного компакта .X; d/ на просторi нормованих ємностей MX
iснують двi конструкцiї метрик.
Перша з них введена з використанням замкнених "-околiв :
Od.c; c0/ D inff" > 0 j c. NO".F //C " > c0.F /;
c0. NO".F //C " > c.F / для всiх F � l
Xg
де c; c0 2 MX . Це аналог вiдомої метрики Прохорова [60, 1] традицiйно озна-
ченої на множинi PX � MX ймовiрнiсних мiр, тобто нормованих адитивних
ємностей. Згiдно однойменної теореми ця метрика сумiсна зi стандартною то-
пологiєю наPX (насправдi iндукованою зMX). Никифорчином [46] доведено,
що метрика Od на просторi MX сумiсна з слабкою* топологiєю на ньому.
Iнша метрика на PX [61] породжується порiвнянням значень iнтегралiв
у сенсi Лебега вiд лiпшицевих функцiй на X (достатньо розглянути тiльки не-
вiд’ємнi функцiї). Позначимо через LipC.X; d/ множину усiх нерозтягуючих
невiд’ємних дiйснозначних функцiй на метричному компактi .X; d/. Кожнiй
функцiї f 2 LipC.X; d/ та ймовiрнiснiй мiрi m 2 PX вiдповiдає iнтеграл
Лебега
Im.f / DZ
X
f .x/dm.x/ DZ C1
o
m.f˛/d˛;
30
де f˛ D fx 2 X jf .x/ � ˛g. Тодi лiпшицева вiдстань мiж ймовiрнiсними мiра-
ми m та m0 рiвна
supfjIm.f / � Im0.f /j W f 2 LipC.X; d/g:Ця метрика для ймовiрнiсних мiр еквiвалентна метрицi Прохорова.
Нагадаємо, що для ємностей (неадитивних мiр) аналогом iнтеграла Ле-
бега є iнтеграл Шоке [2], визначений аналогiчною формулою
Ic.f / DZ
X
f .x/dc.x/ DC1Z
0
c.f˛/d˛:
Зарiчним [46] було запропоновано поширити на ємностi лiпшицеву вiдстань
OOd.c; c0/ D supfjIc.f / � Ic0.f /j W f 2 LipC.X; d/gi доведено її еквiвалентнiсть метрицi у стилi Прохорова на просторi нормова-
них ємностей.
Покажемо, що метрику Прохорова на просторi регулярних ємностей (при-
чому всiх дiйснозначних, а не тiльки нормованих) також можна означити за до-
помогою характерного для неадитивних мiр iнтеграла Сугено [41] , який, як
було сказано вище, є функцiоналом на множинi C.X;RC/ невiд’ємних обме-
жених неперервних функцiй наX i для c 2 MX та f 2 C.X;RC/ визначається
формулою:
I sc .f / D sup
˛2RC
minf˛; c.f˛/g;
де f˛ D fx 2 X jf .x/ � ˛g.
2.1.1. ЛЕМА. Для довiльної функцiї f 2 C.X;RC/ виконується рiвнiсть
I sc .f / D c.f˛f
/;
де ˛f D maxf˛ 2 RCjc.f˛/ � ˛g.
ДОВЕДЕННЯ. Очевидно, що множина A D f˛ 2 RCjc.f˛/ � ˛g непоро-
жня, наприклад, до неї належить кожна верхня грань функцiї f . Покажемо, що
ця множина замкнена. Нехай ˇ 2 RC nA, тобто c.fˇ / < ˇ, тодi знайдеться та-
ке ı > 0, що c.fˇ / < ı < ˇ. Згiдно властивостi напiвнеперервностi згори для
31
ємностi iснують такий окiл U � fˇ та число � > 0, що ı < ˇ � � < ˇ
та fˇ � fˇ�� � U , тодi c.fˇ��/ < ı < ˇ � �. Звiдки отримуємо, що
.ˇ ��;ˇ C�/ � RC n A, тобто множина RC n A вiдкрита.
У замкненiй множинi A iснує найбiльший елемент ˛f , i c.f˛f/ � ˛f .
Обчислимо iнтеграл Сугено:
I sc .f / D sup
˛>0
minf˛; c.f˛/g D
D maxfsup˛2A
minf˛; c.f˛/g; sup
˛2RCnA
minf˛; c.f˛/gg D
D maxfsup˛2A
˛; sup
˛2RCnA
c.f˛/g D
D maxf˛f ; c.f˛f/g D c.f˛f
/:
�
Для c; c0 2 MX покладемо
Qd.c; c0/ D supfjI sc .f / � I s
c0.f /j W f 2 LipC.X; d/g:
Наступне твердження є узагальненням результату Черковського [62], отрима-
ного для субнормованих мiр. Хоча його можна довести, видозмiнивши метод
з [62], ми наводимо незалежне доведення, бiльш пристосоване для ємностей
без обмеження (суб-)нормованостi.
2.1.2. ТЕОРЕМА. Функцiя Qd W MX �MX ! R є метрикою на множинi
ємностей MX , яка збiгається з метрикою Od .
ДОВЕДЕННЯ. Очевидно, що Qd.c; c/ D 0 для кожної c 2 MX . Покажемо,
що функцiя Qd вiдокремлює точки. Нехай c ¤ c0, тодi iснує множина A � l
X ,
така, що c.A/ < c0.A/ (або c.A/ > c0.A/). Згiдно властивостi напiвнеперерв-
ностi згори для ємностi, знайдеться таке " > 0, що c.O".A// C " < c0.A/.
Визначимо функцiю f W X ! R формулою:
f .x/ D c.O".A//C maxf0; " � d.x;A/g:
32
Ця функцiя є нерозтягуючою i набуває значення f .x/ D c.O".A// C " при
x 2 A та f .x/ D c.O".A// при x … O".A/. Крiм того, для f вiдповiднi
iнтеграли Сугено мають властивостi:
I sc0.f / � minfc.O".A//C "; c0.f �1.Œc.O".A//C "I C1//g D
D minfc.O".A//C "; c0.A/g D c.O".A//C "
та
I sc .f / D max
n
sup
˚
minf˛; c.f �1.Œ˛;C1//gjc.O".A// < ˛ � c.O".A//C "
I
c.O".A//o
�
� max
n
sup
˚
minf˛; c.O".A//gjc.O".A// < ˛ � c.O".A//C "
I
c.O".A//o
D
D c.O".A//:
Тому Qd.c; c0/ � I sc0.f / � I s
c .f / � c.O".A//C "� c.O".A// D " > 0.
Перевiримо нерiвнiсть трикутника. Нехай c; c0; c00 2 MX . Для кожного
ı > 0 iснує така функцiя f 2 LipC.X; d/, що
Qd.c; c0/ � jI sc .f / � I s
c0.f /j C ı �
� jI sc .f / � I s
c00.f /j C jI sc00.f / � I s
c0.f /j C ı � Qd.c; c00/C Qd.c00; c0/C ı:
Перейшовши до границi при ı ! 0, отримаємо шукану нерiвнiсть.
Отже, функцiя Qd W MX �MX ! R дiйсно є метрикою, оскiльки решту
властивостей невiд’ємностi та симетричностi є очевидними.
Покажемо, що метрики Od та Qd збiгаються. Нехай Od.c; c0/ < ", тодi для до-
вiльної замкненої множини F � l
X виконано нерiвнiсть c. NO".F // > c0.F /� ".Оскiльки fx 2 X jf .x/ � ˛ � "g � O".fx 2 X jf .x/ � ˛g/, тобто f˛�" �O".f˛/ для довiльної функцiї f 2 LipC.X; d/, то I s
c .f / � minf˛�"; c.f˛�"/g �minf˛�"; c.O".f˛//g � minf˛�"; c0.f˛/�"g. Отже, I s
c .f / � minf˛; c0.f˛/g�"
33
для кожного ˛ � 0. Це означає, що
I sc .f / � sup
˛>0
minf˛; c0.f˛/g � " D I sc0.f / � ":
Аналогiчно можна показати, що I sc0.f / � I s
c .f / � ". Отже, Qd.c; c0/ � ",
тобто Qd.c; c0/ � Od.c; c0/.
Нехай тепер Od.c; c0/ > ". Це означає, що iснує така множина F � l
X ,
для якої не виконано принаймнi одну iз нерiвностей, якi визначають метрику
Od , наприклад, будемо вважати, що c.O".F //C " < c0.F /:
Побудуємо функцiю ' W X ! R вигляду:
'.x/ D c0.F / � "C maxf0; " � d.x; F /g:
Зрозумiло, що ' 2 LipC.X; d/, крiм того, виконуються нерiвностi I sc0.'/ �
c0.F / та
I sc .'/ D max
n
sup
˚
minf˛; c.f˛/gjc0.F / � " < ˛ � c0.F /
Imin
˚
c0.F / � "; c.X/
o
�
� max
n
sup
˚
minf˛; c.O".F //gjc0.F / � " < ˛ � c0.F /
I c0.F / � "o
D
D max
˚
minfc0.F / � "; c.O".F //g; c0.F / � "
D c0.F / � ":
Отже, I sc0.'/ � I s
c .'/ � c0.F / � I sc .'/ > c0.F / � .c0.F / � "/ D ", тобто
для побудованої функцiї ' 2 LipC.X; d/ нерiвнiсть
jI sc0.'/ � I s
c .'/j � "
не виконано, а це означає, що Qd.c; c0/ > ", звiдки Od.c; c0/ � Qd.c; c0/. Цим
показано, що обидвi метрики збiгаються. �
ЗАУВАЖЕННЯ. Зрозумiло, що звiдси випливають аналогiчнi твердження
для множинMX нормованих таMX субнормованих ємностей на метричному
компактi .X; d/. Вiдповiднi функцiї, для яких вживаємо тi ж позначення Od , Qdта OOd , також є метриками, але визначають компактнi топологiї на MX та MX ,
на вiдмiну вiд MX .
34
2.2. Метричнi властивостi монади ємностей
Нагадаємо, що згiдно означення монади ємностей M D .M; �; �/ для
довiльного компакта X неперервнi вiдображення �X W X ! MX та �X WM 2X ! MX , що є компонентами одиницi � i множення �, визначенi форму-
лами:
�X.x/.F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; якщо x 2 F;
0; якщо x … F;
�X.C/.F / D supf a 2 I j C.Fa/ > ag;
де x 2 X , F � l
X ,C 2 M 2X , Fa D fc 2 MX jc.F / � ag � l
MX
Для них комутують дiаграми:
MX�MX
//
M�X
��
1MX
##❍❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
❍
M 2X
�X
��
M 2X�X
// MX
M 3XM�X
//
�MX
��
M 2X
�X
��
M 2X�X
// MX
Якщо топологiя на компактi визначена метрикою d , то множення монади
ємностей має наступну властивiсть.
2.2.1. ТЕОРЕМА. Вiдображення � W M 2X ! MX – нерозтягуюче щодо
метрики Od , визначеної на MX , та аналогiчно визначеної нею метрики на
M 2X .
ДОВЕДЕННЯ. Вживаємо для метрики на M 2X те ж позначення Od . Не-
хай C1; C2 2 M 2X i c1 D �X.C1/, c2 D �X.C2/. Щоб довести нерiвнiсть
Od.c1; c2/ � Od.C1; C2/, достатньо показати, що якщо Od.C1; C2/ < " для " > 0, то
Od.c1; c2/ < ".
Оскiльки Od.C1; C2/ < ", то для кожної множини F � l
MX виконується:
35
C1.O".F//C " � C2.F/; (2.2.1)
C2.O".F//C " � C1.F/: (2.2.2)
Доведемо, що для всiх F � l
X також будуть правильними нерiвностi:
c1.O".F //C " � c2.F /; (2.2.3)
c2.O".F //C " � c1.F /: (2.2.4)
Так як c2.F / D �X.C2/.F /, то C2.Fc2.F // � c2.F /, то з (2.2.1) випливає,
що
C1.O".Fc2.F /// � C2.Fc2.F // � " � c2.F / � "
звiдки, використавши наведену нижче Лему 2.2.2, отримаємо:
C1.�
O".F /�
c2.F /�"/ � c2.F / � ":
Нагадаємо, що ŒA�a D fc 2 MX jc.A/ � ag для довiльної множини A � l
X та
числа a.
Зауважимо, що, оскiльки c1 D �X.C1/, то остання нерiвнiсть еквiвален-
тна до нерiвностi
c1.O".F // � c2.F / � ":
Аналогiчно доводимо нерiвнiсть (2.2.4). �
2.2.2. ЛЕМА. Якщо C.O".Fa// � a � ", то C.�
O".F /�
a�"/ � a � ".
ДОВЕДЕННЯ. Оскiльки O".Fa/ D fc0 2 MX j9c 2 Fa; Od.c; c0/ � "g Dfc0 2 MX j9c 2 Fa; c
0.O".G//C " � c.G/; c.O".G//C " � c0.G/;8G � l
Xg;тому якщо c0 2 O".Fa/, то c0.O".F // C " � c.F / � a, тобто c0.O".F // �a � ", тодi c0 2
�
O".F /�
a�". Це означає, що O".Fa/ �
�
O".F /�
a�", тобто
C.O".Fa// � C.�
O".F /�
a�"/. �
36
2.3. Вiдображення двоїстостi як iзометрiя
Якщо c — нормована ємнiсть на компактi X , то функцiя Qc W expX [f¿g ! R, означена в [46] формулою Qc.F / D 1 � c.X n F / для кожної ви-
мiрної вiдносно ємностi c множини F � X , теж є ємнiстю, яка називається
двоїстою чи спряженою до ємностi c 2 MX . Природно називати ємнiсть c
самодвоїстою, якщо Qc D c. Очевидно, що всi ймовiрнiснi мiри є самодвоїсти-
ми ємностями.
Вiдомi наступнi факти [46]:
(1) для кожної ємностi c 2 MX виконується рiвнiсть QQc D c;
(2) з c1 � c2 для c1; c2 2 MX (тобто при c1.F / � c2.F / для кожної мно-
жини F � l
X) слiдує Qc2 � Qc1;
(3) вiдображення ~X W MX ! MX , яке визначене рiвнiстю ~X.c/ D Qc є
гомеоморфiзмом;
(4) обмеження вiдображення ~X на пiдпростори M cX та McX є взаємно
оберненими гомеоморфiзмами, тобто довiльна ємнiсть c 2 MX опукла
якщо i тiльки якщо Qc є увiгнутою, i навпаки;
(5) вiдображення ~X W MX ! MX є компонентою природного автомор-
фiзму ~ W M ! M функтора ємностей, а сукупнiсть цих вiдображень,
коли X пробiгає клас всiх компактiв, є автоморфiзмом монади ємно-
стей ~ W M ! M;
(6) обмеження ~X на Mc та M c вiдповiдно задають взаємно оберненi iзо-
морфiзми функторiв Mc ! M c та M c ! Mc увiгнутих та опуклих
ємностей, якi є пiдфункторами функтора ємностей M , а їх перетин є
функтором ймовiрнiсних мiр P .
Покажемо, що, якщо .X; d/ – метричний компакт, то вiдображення ~X WMX ! MX є iзометрiєю простору .MX; Od/ на себе.
37
2.3.1. ТЕОРЕМА. Для довiльних нормованих ємностей c1; c2 на метри-
чному компактi .X; d/ iстинна рiвнiсть:
Od.c1; c2/ D Od. Qc1; Qc2/;
де Qc1; Qc2– ємностi, двоїстi до c1 та c2.
ДОВЕДЕННЯ. Нерiвнiсть Od.c1; c2/ � " рiвносильна до виконання
c1.O".F //C " � c2.F /;
c2.O".F //C " � c1.F / (2.3.1)
для кожної множини F 2 expX . Аналогiчно Od. Qc1; Qc2/ � ı, якщо для кожної
F 2 expX виконано нерiвностi:
Qc1.Oı.F //C ı � Qc2.F /;
Qc2.Oı.F //C ı � Qc1.F /: (2.3.2)
Позначимо через E множину тих " � 0, що для довiльної замкненої мно-
жини F � X виконано нерiвностi (2.3.1), а через � – множину тих ı � 0,
при яких виконано (2.3.2). Згiдно означення метрики на просторi ємностей
Od.c1; c2/ D inf E, Od. Qc1; Qc2/ D inf�.
Припустимо, що " 2 E, i покажемо, що " 2 �. Ємнiсть Qc1 – двоїста до
c1, тому Qc1.O".F // D 1 � c1.X n O".F // D 1 � supfc1.G/ j G 2 expX;G \O".F / D ¿g: Зауважимо, щоG\O".F / D ¿ рiвносильне доO".G/\F D ¿.
Згiдно другої нерiвностi з (2.3.1) supfc1.G/ j G 2 expX;O".G/ \ F D ¿g 6
supfc2.O".G// j G 2 expX;O".G/ \ F D ¿g C ": Покладемо G0 D O".G/,
тодi supfc1.G/ j O".G/ \ F D ¿g � supfc2.G0/ j G0 \ F D ¿g C ": А, отже,
1�supfc1.G/ j G\O".F / D ¿gC" � 1�.supfc2.G0/ j G0\F D ¿gC"/C" D
1 � c2.XnF / D Qc2.F /. Отже, виконується перша нерiвнiсть з (2.3.2).
Аналогiчно доводимо, що iз першої нерiвностi (2.3.1) випливає друга не-
рiвнiсть (2.3.2) для ı D ". Це означає, що " 2 �, тобто E � �. З iншого боку,
аналогiчно отримуємо � � E, тому � D E, i Od.c1; c2/ D Od. Qc1; Qc2/. �
38
2.4. Простори ємностей на довiльних метричних просторах
Нехай .X; d/ – метричний некомпактний простiр скiнченного дiаметра.
Оскiльки такий простiр є тихоновським, то природно виникає питання: чи мо-
жна поширити отриманi метризацiї на множину MX усiх дiйснознозначних
ємностей на тихоновському просторi X?
Будемо називати ємностi c1 та c2 "-близькими, якщо для кожної A � l
X
виконано нерiвностi:
c1.O"A/C " > c2.A/; c2.O"A/C " > c1.A/:
Тодi означену вище метрику Od у стилi Прохорова на просторi ємностей
на метричному компактi .X; d/ можна визначити формулою
Od.c1; c2/ D inff" � 0jc1; c2 є "-близькимиg;
де c1; c2 2 MX . Вивчимо означену тiєю ж формулою функцiю Od для неком-
пактного X . Оскiльки дiаметр X скiнченний, а значення довiльних ємностей
c1; c2 обмеженi згори, то значення Od теж скiнченнi. Очевидно, що Od невiд’ємна,
симетрична i задовольняє нерiвнiсть трикутника. Перевiримо невиродженiсть.
2.4.1. ПРИКЛАД. Побудуємо двi ємностi на повному метричному про-
сторi X D f.x; y/ 2 R2 j y D ex або y D e�xg з метрикою, що є обмеженням
евклiдової метрики на R2. Маємо X D A t B , де A D f.x; ex/ j x 2 Rg,
B D f.x; e�x/ j x 2 R n f0gg. Покладемо:
c1.F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; F � A;
0; F 6� A;c2.F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; F � A i F \ B ¤ ¿;
0; F 6� A або F \ B D ¿;
для F � l
X . Функцiї c1 i c2 — це рiзнi регулярнi ємностi на X . Однак c2.F / 6
c1.F / 6 c2.O"F / для кожного " > 0 i замкненої F . Це означає, що Od.c1; c2/ D0, отже, Od є тiльки псевдометрикою, але не метрикою.
Це принципова вiдмiннiсть вiд властивостей метрики Прохорова на мно-
жинi регулярних � -адитивних мiр [8] на повному метричному просторi, де
39
обмеження Od дiйсно є повною метрикою. Щоб отримати невиродженiсть, ми
повиннi звузити множину MX ємностей, регулярних щодо топологiї, до мно-
жини M dX ємностей на просторi X , регулярних щодо метрики d [62], тобто
ємностей c 2 MX , якi характеризується властивiстю: c.O"A/ ! c.A/ при
" ! C0 для кожної замкненої множини A � X . Нагадаємо, що ця властивiсть
є сильнiшою вiд властивостi зовнiшньої регулярностi (напiвнеперервностi зго-
ри), а у випадку, коли X компактний, вони є рiвносильними.
Зауважимо, що якщо X компактний, то "-близькiсть ємностей c1 та c2 є
необхiдною i достатньою умовою того, щоб Od.c1; c2/ 6 ". Останнє властиве
також кожному некомпактному просторовi, у якому dH .O"0A;O"A/ ! 0 при
"0 & " для всiх A � l
X , " > 0.
Проте, взагалi Od.c1; c2/ 6 ", якщо i тiльки якщо c1 та c2 є "0-близькими
при всiх "0 > ". Це означає, що не виключено такi випадки, коли Od.c1; c2/ D ",
але ємностi c1 та c2 не є "-близькими.
Достатньою умовою того, аби ємностi c1 та c2 були "-близькими для
" D Od.c1; c2/, є їх !-гладкiсть, тобто рiвнiсть ci .T1
nD1 An/ D limn!1 ci .An/,
i D 1; 2, для кожної незростаючої послiдовностi A1 � A2 � A3 � : : : замкне-
них множин у X . Однак ця властивiсть є сильнiшою вiд регулярностi щодо
метрики i характерна для вузького класу ємностей.
Метрика Od має геометричну iнтерпретацiю. Як i для компактного випад-
ку кожна ємнiсть c 2 M dX цiлком визначається своїм пiдграфiком [62]
sub c D˚
.F; ˛/ 2 expX � RC
ˇ
ˇ ˛ 6 c.F /
;
який є замкненим у expX �RC щодо топологiї добутку, сумiсної з метрикою:
��
.F; ˛/; .G; ˇ/�
D max.dH .F;G/; j˛ � ˇj/;
де ˛; ˇ 2 RC, F;G 2 expX , а dH – це метрика Гаусдорфа на expX , iн-
дукована метрикою d на X . Аналогiчно � iндукує метрику Гаусдорфа �H
на exp.expX � RC/. Тому природньо, що вiдстань Od.c; c0/ мiж ємностями
40
c; c0 2 M dX збiгається з вiдстанню Гаусдорфа мiж їх пiдграфiками :
Od.c; c0/ D �H .sub c; sub c0/:
Висновки до роздiлу 2
У роздiлi розглянуто важливi для задач наближення метричнi властивостi
просторiв ємностей та їх вiдображень. Доведено, що метрика Прохорова на
множинi ємностей є аналогом метрики Успенського, якщо використаний при
означеннi останньої iнтеграл Шоке замiнити на iнтеграл Сугено.
Доведено, що компонента множення монади ємностей на метричному
компактi є нерозтягуючим вiдображенням, а вiдображення двоїстостi — iзо-
метрiєю. Останнє дозволяє у майбутньому звести задачу наближення мiрами
достатностi до задачi наближення мiрами необхiдностi.
Показано, що для застосування метрики Прохорова на некомпактних ме-
тричних просторах потрiбно звузити клас ємностей, регулярних щодо тополо-
гiї, до класу ємностей, регулярних щодо метрики. Наведено приклад ємностей
на некомпактному просторi, якi не є "-близькими, але вiдстань мiж ними рiвна
" > 0.
Основнi результати цього роздiлу опублiковано в статтях [53], [48] та
тезах доповiдей [18], [49].
41
РОЗДIЛ 3
ОПТИМАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ ЄМНОСТЕЙ НА МЕТРИЧНИХ
ПРОСТОРАХ
У роздiлi дослiджується одна iз актуальних проблем — наближення до-
вiльної ємностi c, яка визначена на метричному просторi скiнченного дiаметра
.X; d/, ємностями iз певного класу S � MX . Вона полягає у тому, щоб зна-
йти ємнiсть c0 2 S , найближчу (або майже найближчу) до c, щодо метрики,
визначеної на просторi ємностей.
Надалi всi апроксимацiї будемо здiйснювати щодо метрики Od у стилi
Прохорова на MX , тобто будемо шукати таку ємнiсть c0 2 S , що Od.c; c0/ DOd.c; S/.
Слiд зауважити, що метрика Od має властивостi, якi породжують деякi
вiдмiнностi апроксимацiйних методiв на компактних та некомпактних просто-
рах. Зокрема, якщо .X; d/ – компактний, то для вiдомого " D Od.c; S/ шука-
на ємнiсть c0 2 S повинна бути "-близькою до ємностi c. Однак у випадку
некомпактного метричного простору .X; d/ ця умова не є необхiдною, тобто
" D Od.c; S/, але найближча ємнiсть c0 2 S не обов’язково є "-близькою до
даної, що не зовсiм “природно” i зумовлює певнi незручностi при розв’язаннi
апроксимацiйних задач.
Останнє продемонструємо, розв’язавши задачу про наближення довiль-
ної ємностi лiпшицевими ємностями, якi характеризуються наступною вла-
стивiстю: при незначнiй (щодо метрики Гаусдорфа) змiнi множини значення
ємностi на цiй множинi суттєво не змiнюється.
42
3.1. Наближення лiпшицевими ємностями ємностей на не обов’язково
компактних метричних просторах
Нехай (M dX; Od/ – простiр дiйснозначних ємностей наX , регулярних що-
до метрики d . Вважаючи d фiксованою, у звичайному позначеннi цього класу
M dX надалi опускаємо d i пишемо MX .
Клас лiпшицевих з коефiцiєнтом q > 0 ємностей – це множина
M qX D fc 2 MX j 8F;G � l
X jc.F / � c.G/j � q � dH .F;G/g:
де q > 0 – деяке фiксоване дiйсне значення. Зрозумiло, що рiвносильно умову
лiпшицевостi можна записати як
8F;G � l
X 8" > 0 dH .F;G/ � " ) jc.F / � c.G/j � q"
або
8F � l
X 8" > 0 c. NO".F // 6 c.F /C q":
Отже, характерною властивiстю лiпшицевої ємностi є те, що при незна-
чнiй змiнi множини значення ємностi на цiй множинi суттєво не змiниться.
Очевидно, що лiпшицевiсть сильнiша вiд iнших властивостей типу регу-
лярностi [36, 62] — регулярностi щодо метрики, регулярностi щодо топологiї,
!-гладкостi та � -гладкостi. Простий приклад ємностi, лiпшицевої з коефiцiєн-
том 2 — це функцiя, яка зiставляє кожнiй замкненiй пiдмножинi її дiаметр.
3.1.1. ТВЕРДЖЕННЯ. M qX – замкнений пiдпростiр просторуMX з ме-
трикою Od .
ДОВЕДЕННЯ. Достатньо показати, що довiльна ємнiсть c0, яка є точкою
дотику множиниM qX , належить до неї. Нехай F � l
X , " > 0. За припущенням
для кожного ı > 0 iснує c 2 M qX , для якого Od.c0; c/ 6 ı. Звiдси
c0. NO"F / 6 c. NOı. NO"F //C ı 6 c. NOıC"F /C ı 6
6 c.F /C q.ı C "/C ı 6 c0. NOıF /C 2ı C q.ı C "/:
43
Оскiльки при ı ! 0 останнiй вираз прямує до c0.F /C q", маємо c0 2 M qX .
�
Розглянемо задачу про апроксимацiю довiльної ємностi c 2 MX ємно-
стями з класу M qX .
3.1.2. ЛЕМА. Для фiксованої непорожньої множини G � l
X функцiя
cGd
на ExpX , яка дорiвнює нулю для аргумента ¿ i визначена для непоро-
жньої множини F � l
X формулою
cGd .F / D sup
x2F
d.x;G/;
є лiпшицевою з коефiцiєнтом q ємнiстю.
ДОВЕДЕННЯ. Достатньо перевiрити для будь-якого r > 0 виконaння
умови:
cGd .Or .F // � cG
d .F /C qr;
яка рiвносильна
sup
y2Or .F /
d.y;G/ � sup
x2F
d.x;G/C qr
Припустимо, що iснує хоча б одне таке y0 2 Or .F /, що d.y0; G/ >
sup
x2F
d.x;G/Cqr . Оскiльки q � 1 та y0 2 Or .F /, то можна обрати x0 2 F , для
якого d.y0; x0/ � qr . Тодi d.y0; G/ D inffd.yo; a/ja 2 Gg � inf
a2Gfd.y0; x0/C
d.xo; a/g D d.y0; x0/ C inf
a2Gfd.x0; a/g � qr C d.x0; G/ � qr C sup
x2F
d.x;G/,
тобто ми отримали суперечнiсть iз припущенням. �
3.1.3. ЛЕМА. При фiксованих "; q � 0 та c 2 MX функцiї
�qc".F / D sup
A� l
X
fmaxfc.A/ � "� q sup
x2O".A/
d.x; F /; 0gg
таCqc ".F / D inf
B� l
Xfc.O".B//C "C q sup
x2F
d.x;B/g;
де F ¤ ¿, i�qc".¿/ D Cq
c ".¿/ D 0, є лiпшицевими з коефiцiєнтом q ємностя-
ми.
44
ДОВЕДЕННЯ. Зауважимо, що поаргументний iнфiмум довiльної сiм’ї єм-
ностей з M qX та поаргументний супремум довiльної обмеженої згори сiм’ї
ємностей з M qX теж є ємностями з цього ж класу.
Використавши лему 3.1.2, покажемо, що ємнiсть cB , яка для фiксованої
непорожньої множини B � l
X визначена формулою
cB D c.O".B//C "C qcBd
є лiпшицевою. Нехай dH .F;G/ � r для деяких F;G � l
X , тодi cBd.G/ � qr �
cBd.F / � cB
d.G/Cqr; звiдки qcB
d.G/�q2r � qcB
d.F / � qcB
d.G/Cq2r; додавши
c.O".B//C", отримаємо cB.G/�qr � cB.G/�q2r � cB.F / � cB.G/Cq2r �cB.G/C qr; тобто cB 2 M qX .
ОскiлькиCqc " D inf
B� l
XcB ;
тоCqc " 2 M qX .
Iз леми 3.1.2 отримаємо, що при фiксованiй множинi A � l
X ємнiсть, яка
визначена формулою
cd
O".A/.F / D sup
x2O".A/
d.x; F / D cFd .O".A//
а тому i ємнiсть
cA D maxf.c.A/ � " � qcd
O".A//; 0g
також є лiпшицевими з коефiцiєнтом q.
Оскiльки�qc" D sup
A� l
X
cA
то,�qc" 2 M qX . �
3.1.4. ТЕОРЕМА. Функцiї�qc" та
Cqc " – це такi елементиM qX , що довiль-
на ємнiсть c0 2 M qX є "-близькою до даної ємностi c, якщо i тiльки якщо�qc" � c0 � Cq
c ".
45
ДОВЕДЕННЯ. Належнiсть�qc";
Cqc " 2 M qX обґрунтовано вище.
Припустимо, що c 2 MX та c0 2 M qX є "-близькими. Тодi, зафiксував-
ши F � l
X та обравши довiльнi A � l
X та ı > 0 такi, що O".A/ � Oı.F /,
отримаємо
c.A/ � " � c0.O".A// � c0.Oı.F // � c0.F /C qı;
тобто c0.F / � c.A/� "� qı. Зокрема, якщо покласти ı D sup
x2O".A/
d.x; F /, то
можна стверджувати, що при всiх A � l
X будуть виконуватись нерiвностi
c0.F / � c.A/ � "� q sup
x2O".A/
d.x; F /:
Звiдси
c0.F / � sup
A� l
X
fc.A/ � " � q sup
x2O".A/
d.x; F /g
тобто c0 � �qc".
Майже аналогiчно, зафiксуємо множину F � l
X та оберемо довiльнi
B � l
X та ı > 0 такi, що F � Oı.B/. Оскiльки c0 2 MqX , то c0.F / �c0.Oı.B// � c0.B/ C qı. Якщо ı D sup
x2F
d.x;B/, то остання нерiвнiсть на-
будe вигляду c0.F / � c0.B/ C q supx2F
d.x;B/. Крiм того, Od.c; c0/ � ", тобто
c0.B/ � c.O".B//C ". Отже можна стверджувати, що для всiх B � l
X вико-
нується c0.F / � c.O".B//C "C q supx2F
d.x;B/, тому
c0.F / � inf
B� l
Xfc.O".B//C "C q sup
x2F
d.x;B/g;
тобто c0 � Cqc ".
Отже, виконання нерiвностей�qc" � c0 � Cq
c " необхiдне для "-близькостi c
та c0.
Доведемо достатнiсть. Нехай c0 � �qc". Тодi для фiксованої F �
l
X та
довiльної A � l
X правильнi нерiвностi
c0.O".F // � �qc".O".F // � c.A/ � " � q sup
x2O".A/
d.x;O".F //:
46
Звiдси при A D F отримаємо: c0.O".F // � c.F / � ".Якщо c0 � Cq
c ", то при будь-яких B � l
X буде виконуватись
c0.F / � c.O".B//C "C q supx2F
d.x;B/:
Зокрема, при B D F отримаємо c0.F / � c.O".F //C ".
Отже, за умови�qc" � c0 � Cq
c " маємо "-близькiсть c та c0. �
3.1.5. ЗАУВАЖЕННЯ. Зрозумiло, що для довiльної ємностi c 2 MX iснує
"-близький елемент c0 2 M qX тодi i тiльки тодi, коли виконано�qc" � Cq
c ". У
цьому випадку можна покласти, наприклад, c0 D �qc" чи c0 D Cq
c ".
3.1.6. ТЕОРЕМА. Для довiльної ємностi c 2 MX iснує "-близький еле-
мент c0 пiдпростору M qX (де " > 0), якщо i тiльки якщо нерiвнiсть
c.A/ � c.O".B//C q sup
x2O".A/
d.x;B/C 2"
виконано для всiх непорожнiх A;B � l
X .
ДОВЕДЕННЯ. Нехай " � 0 таке, що�qc" � Cq
c ", тобто�qc".F / � Cq
c ".F / для
довiльної F � l
X . Остання нерiвнiсть рiвносильна виконанню нерiвностi
c.A/ � " � q sup
x2O".A/
d.x; F / � c.O".B//C "C q supx2F
d.x;B/
для кожних непорожнiх замкнених пiдмножин A;B простору X . Зрозумiло,
що при F D B вона матиме вигляд
c.A/ � " � q sup
x2O".A/
d.x;B/ � c.O".B//C ":
Отже необхiдною умовою для�qc" � Cq
c " є виконання при довiльних A;B � l
X
нерiвностi
c.A/ � c.O".B//C q sup
x2O".A/
d.x;B/C 2":
47
Покажемо, що вона також є достатньою умовою. Дiйсно, якщо F � l
X , то
для довiльних x 2 O".A/ та y 2 F iстинною є нерiвнiсть d.x;B/ � d.x; F /Cd.y;B/. Тодi виконано
c.O".B//C" � c.A/�"�q sup
x2O".A/
d.x;B/ � c.A/�"�q. sup
x2O".A/
d.x; F /Csup
y2F
d.y;B//:
Звiдси
inf
B� l
Xfc.O".B//C "C q sup
y2F
d.y;B/g � c.A/ � "� q sup
x2O".A/
d.x; F /
для всiх A;B � l
X . Отже,Cqc ".F / � �q
c".F /, що, згiдно зауваження 3.1.5, означає
iснування "-близького елемента c0 2 M qX . �
З останньої теореми негайно випливає, що вiдстань вiд ємностi c 2 MX
до пiдпростору M qX рiвна точнiй нижнiй гранi "q множини
Eq D f" � 0 j 8A;B � l
X W c.A/ � c.O".B//C q sup
x2O".A/
d.x;B/C 2"g:
Якщо "q D minEq , то найближчi до c 2 MX ємностi c0 з пiдпростору M qX
визначаються нерiвнiстю�c
q
"q� c0 � C
cq
"q.
Однак наступний приклад свiдчить, що мiнiмум множини Eq може й не
iснувати.
3.1.7. ПРИКЛАД. Розглянемо пiдпростiр X D˚
.0;�1/; .0; 1/
[�
.0I 1� �f0g
�
площини R2 з евклiдовою метрикою i покладемо
c.F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
3; .0; 1/ 2 F або .1; 0/ 2 F;
0; .0; 1/ … F i .1; 0/ … F;F �
l
X:
Очевидно, що c — регулярна ємнiсть, яка не є лiпшицевою з коефiцiєнтом
q D 1. При кожному " > 1 нерiвнiсть
c.A/ � c.O".B//C sup
x2O".A/
d.x;B/C 2"
iстинна для всiх замкнених непорожнiх пiдмножин A;B простору X , однак
при " D 1 вона є хибною для A D f.1; 0/g, B D f.0;�1/g.
48
Це означає, що вiдстань вiд c до пiдпросторуM qX рiвна 1, але 1-близької
до c ємностi з M qX не iснує.
Розглянемо, за яких умов можна гарантувати iснування найменшого еле-
мента у Eq . Якщо спадна послiдовнiсть елементiв f"ng1nD1 множини Eq збiга-
ється до "0, то для збiжностей c.O"n.F // ! c.O"o
.F // та sup
x2O"n F
d.x;B/ !
sup
x2O"o F
d.x;B/ достатньою є напiвнеперервна згори щодо метрики Гаусдор-
фа залежнiсть множини O"A вiд " для кожної замкненої непорожньої A � X ,
тобто збiжнiсть dH .O"0A;O"A/ ! 0 при "0 & ". Нагадаємо, що це виконано
при компактностi .X; d/, але компактнiсть не є необхiдною – для внутрiшностi
одиничної кулi в Rn дана властивiсть теж iстинна. Тодi множина Eq замкнена
щодо границь незростаючих послiдовностей i непорожня, бо мiстить diamX .
Тому в Eq iснує мiнiмальний елемент "q , який згiдно зауваження 3.1.5 i є шу-
каною вiдстанню Od.c;M qX/. Для цього "q , застосувавши теорему 3.1.4, легко
побудувати найближчу до c (оптимальну) ємнiсть c0 2 M qX , тобто таку, що
Od.c; c0/ D "q (наприклад, такими є�qc" та
Cqc " при " D "q).
Розглянемо той випадок, коли множина Eq не обов‘язково мiстить най-
менший елемент. Зрозумiло, що якщо "q D inf Eq , то Od.c;M qX/ D "q . То-
дi всi "0 > "q будуть належати до множини Eq , а це означає (згiдно Теоре-
ми 3.1.4), що для довiльного "0 > "q iснує "0-близька до c ємнiсть c0 2 M qX ,
але "q-близької ємностi iз пiдпростору M qX може й не iснувати. Проте єм-
нiсть cq 2 M qX , для якої Od.c; cq/ D "q , iснує, що стверджує наступна теоре-
ма.
3.1.8. ТЕОРЕМА. Функцiї�qc та
Cqc , визначенi формулами
�qc .F / D maxf sup
A� l
X
fc.A/ � "q � q � lim
"!"qC0sup
x2O".A/
d.x; F /g; 0g
та
Cqc .F / D inf
B� l
Xf lim
"!"qC0c.O".B//C "q C q sup
x2F
d.x;B/g
49
для замкненої F ¤ ¿, i�qc .¿/ D Cq
c .¿/ D 0, для " D Od.c;M qX/ є вiдпо-
вiдно найменшою i найбiльшою з ємностей iз класу M qX , найближчих до
ємностi c.
ДОВЕДЕННЯ. Зауважимо, що при "0 > " > "q маємо�c
q
"0 6�c
q
" 6Cc
q
" 6Cc
q
"0 ;
тому iснують точнi гранi�qc D sup
">"q
�c
q
" ;Cqc D inf
">"q
Cc
q
" ;
якi належать доM qX , причому�qc 6
�qc" 6
Cqc " 6
Cqc для кожного " > "q . Звiдси
випливає, що�qc та
Cqc є "-близькими до c для всiх " > "q , отже, вiдстань мiж
кожною з них та c рiвна "q . �
Оскiльки Ncq
"qC 1n
� Ncq
"qC 1nC1
для будь-якого n 2 N, то ємнiсть�c
qможна
еквiвалентно подати у виглядi�qc .F / D lim
n!1
�c
q
"qC 1n
D
D lim
n!1sup
A� l
X
fmaxfc.A/ � ."q C 1
n/ � q � sup
x2O"qC 1
n.A/
d.x; F /; 0gg D
D maxf supA� l
X
fc.A/ � "q � q � lim
"!"qC0sup
x2O".A/
d.x; F /g; 0g:
Аналогiчно можна записати явний вигляд для ємностiCqc .
3.2. Наближення адитивними мiрами на скiнченному пiдпросторi
Одним з найважливiших класiв ємностей є клас адитивних регулярних
мiр. Тому досить актуальною є наступна задача: наблизити довiльну ємнiсть
c 2 MX на метричному компактi X адитивною мiрою, яка визначена на скiн-
ченному пiдпросторi просторуX . Множина таких мiр є скрiзь щiльною в про-
сторi PX усiх скiнченних адитивних регулярних мiр, крiм того кожну з них
можна представити як лiнiйну комбiнацiю мiр Дiрака.
50
Розглянемо довiльну ємнiсть c, визначену на метричному компактi .X; d/,
та скiнченний пiдпростiр X0 D fx1; x2; : : : ; xng � X . Визначимо вiдстань мiж
c 2 MX та пiдпростором PX0 � MX , зокрема, знайдемо адитивну мiруm на
X0 найближчу (або майже найближчу) до c вiдносно метрики Od , визначеної на
множинi усiх ємностейMX , тобто таку мiру, для якої вiдстань
Od.c;m/ D inff" > 0 j c. NO".F //C " > m.F /;m. NO".F //C " > c.F /;8F � l
Xg;
приймає мiнiмальне можливе значення.
Нерiвнiсть Od.c;m/ 6 " означає, що iснує 0 6 z 6 ", для якого виконую-
ться умови8
ˆ
<
ˆ
:
m.A/ 6 c. NO"A/C z;
c.A/ 6 m. NO"A/C z
при всiх A � l
X . Очевидно, що для першої з них достатньо перевiрити нерiв-
нiсть m.A/ 6 cC" .A/ C z, де cC
" .A/ D c. NO".A//, тiльки для всiх A � X0, а
для другої нерiвнiсть c.B/ 6 m.A/C z для всiх B � X та A � X0 таких що
. NO"B/ \X0 � A. Це рiвносильноm.A/ > c�" .A/ � z для всiх A � X0, де
c�" .A/ D c.X n NO".X0 n A// D supfc.B/ j B �
l
X;B \ NO".X0 n A/ D ;g:
Зрозумiло, що c�" .A/ 6 cC
" .A/ для всiх A � X0.
Всi адитивнi мiри на X0 можна подати як лiнiйну комбiнацiю мiр Дiрака
m D y1ıx1C y2ıx2
C � � � C ynıxn. Тому, знайдемо найменший елемент z, який
задовольнятиме вище вказанi умови для деякої m. Таким чином, ми отримали
задачу лiнiйного програмування щодо змiнних y1; y2; : : : ; yn; z > 0:8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
y1; y2; : : : ; yn; z > 0
P
xi 2A yi 6 cC" .A/C z для всiх A � X0
P
xi 2A yi > c�" .A/ � z для всiх A � X0
z ! min
51
яку можна переписати наступним чином:8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
y1; y2; : : : ; yn; z > 0
� P
xi 2A yi C z > �cC" .A/ для всiх A � X0
P
xi 2A yi C z > c�" .A/ для всiх A � X0
z ! min
Вкладемо множину ExpX0 в Rn, ототожнивши кожну пiдмножину A � X0 iз
вектором, що мiстить i -у координату 1, якщо xi 2 A, та 0 в iншому випадку.
Зокрема, ; ототожнюється з .0; : : : ; 0/, а X0 — з .1; : : : ; 1/. Через �ExpX0
позначимо множину елементiв, протилежних до елементiв множини ExpX0 �Rn. Визначимо функцiю c" W ExpX0 [ .�ExpX0/ ! R за формулою
c".A/ D
8
ˆ
<
ˆ
:
c�" .A/; A 2 ExpX0;
�cC" .�A/; A 2 .�ExpX0/:
Спiльний елемент ; D .0; : : : ; 0/ 2 ExpX0 \ .�ExpX0/ не приводить до
суперечностi, бо c�" .;/ D cC
" .;/ D 0.
Також позначимо через .Aj1/ вектор, отриманий шляхом додавання за-
микаючої 1 в послiдовностi A D .a1; a2; : : : ; an/ 2 ExpX0 [ .�ExpX0/. Тодi
лiнiйну задачу оптимiзацiї можна записати так8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
y1; y2; : : : ; yn; z > 0
.Aj1/ � .y1; y2; : : : ; yn; z/ > c".A/ для всiх A 2 ExpX0 [ .�ExpX0/
z ! min
Вона має просту геометричну iнтерпретацiю: з усiх функцiоналiв вигляду
.t1; t2; : : : ; tn/ D y1t1 C y2t2 C � � � C yntn C z
таких що .A/ > c".A/ для всiх A 2 ExpX0 [ .�ExpX0/, виберемо один з
мiнiмальним z, тобто, з найменшим значенням .E0/. Тепер зрозумiло, що че-
рез монотоннiсть функцiї c" обмеження y1; y2; : : : ; yn > 0 можна опустити.
Зауважимо також, що обмеження z > 0 є рiвносильним до
.;j1/ � .y1; y2; : : : ; yn; z/ > c".;/;
52
отже, також може бути вiдкинуте.
Геометричнi мiркування показують, що проблема буде розв’язана, якщо
знайденi афiнно незалежнi
A1; A2; : : : ; AnC1 2 ExpX0 [ .�ExpX0/
будуть такими, що E0 мiститься в їх опуклiй оболонцi (надалi називатимемо та-
кi A1; A2; : : : ; AnC1 базисними пiдмножинами), а розв’язки y1; y2; : : : ; yn; z
системи8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
.A1j1/ � .y1; y2; : : : ; yn; z/ D c".A1/;
.A2j1/ � .y1; y2; : : : ; yn; z/ D c".A2/;
: : :
.AnC1j1/ � .y1; y2; : : : ; yn; z/ D c".AnC1/
задовольняють нерiвнiсть
.Aj1/ � .y1; y2; : : : ; yn; z/ > c".A/
для всiх A 2 ExpX0 [ .�ExpX0/.
Тому ми пропонуємо наступний алгоритм, який по сутi є еквiвалентним
до симплексного алгоритму, але краще пiдходить до наших потреб. Виберемо
початковi базовi пiдмножини, наприклад, A1 D fx1g, A2 D fx2g, . . . , An Dfxng, AnC1 D �fxng, тодi обчислимо y1; y2; : : : ; yn; z як
.y1; y2; : : : ; yn; z/T D
�
M.A1; A2; : : : ; An/��1
.c.A1/; c.A2/; : : : ; c.AnC1//T ;
де .�/T означає транспонування, а матриця
M.A1; A2; : : : ; An/ D
2
6
6
6
6
6
4
A1 j 1
A2 j 1
: : : : : :
AnC1 j 1
3
7
7
7
7
7
5
;
це матриця з рядками .A1j1/, .A2j1/, . . . , .AnC1j1/.
53
Для наступних обчислень нам буде потрiбна тiльки обернена матриця
�
M.A1; A2; : : : ; An/��1 D
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
�11 �12 : : : �1;nC1
�21 �22 : : : �2;nC1
: : : : : :: : : : : :
�n1 �n2 : : : �n;nC1
�1 �2 : : : �nC1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
:
Для будь-якогоA 2 ExpX0 [.�ExpX0/ рядок�
M.A1; A2; : : : ; An/��1
.Aj1/T
складається з коефiцiєнтiв ˛1; ˛2; : : : ; ˛nC1 таких, що ˛1 C˛2 C� � �C˛nC1 D 1
та ˛1A1 C ˛2A2 C � � � C ˛nC1AnC1 D A (в зазначеному вище сенсi). Зокрема,
�1A1C�2A2C� � �C�nC1AnC1 D ; та �i1A1C�i2A2C� � �C�i;nC1AnC1 D fxi gдля всiх 1 6 i 6 n.
Тепер, маючи обчисленi y1; y2; : : : ; yn; z , порiвняємо рiзницi
c".A/ � .Aj1/.y1; y2; : : : ; yn; z/
для всiхA 2 ExpX0[.�ExpX0/. Якщо базиснi пiдмножиниA1; A2; : : : ; AnC1
забезпечують розв’язок, тодi всi рiзницi є не бiльшими за 0. Iнакше знайдемо
найбiльшу рiзницю � D c".A0/ � .A0j1/.y1; y2; : : : ; yn; z/, яка є додатньою, та
замiнимо на A0 пiдмножину Ai так, щоб E0 мiстився в опуклiй оболонцi
A1; A2; : : : ; Ai�1; A0; AiC1; : : : ; AnC1
.
Нехай .˛1; ˛2; : : : ; ˛nC1/T D
�
M.A1; A2; : : : ; An/��1
.A0j1/T , отже A0 D˛1A1 C ˛2A2 C � � � C ˛nC1AnC1, тодi
Ai D 1
˛i
A0 � ˛1
˛i
A1 � � � � � ˛i�1
˛i
Ai�1 � ˛iC1
˛i
AiC1 � ˛nC1
˛i
AnC1:
Тому
; D�
�1 � �i
˛1
˛i
�
A1 C � � � C�
�i�1 � �i
˛i�1
˛i
�
Ai�1 C�
�iC1 � �i
˛iC1
˛i
�
AiC1
C � � � C�
�nC1 � �i
˛nC1
˛i
�
AnC1 C �i
˛i
A0:
54
Коефiцiєнти нового розкладу ; повиннi бути невiд’ємними, отже необ-
хiдно, щоб ˛i > 0 , а також або ˛j 6 0 або �j � �i
˛j
˛i
> 0 для всiх j ¤ i .
Якщо ˛j > 0, тодi остання нерiвнiсть є рiвносильною до�j
˛j
>�i
˛i
. Отже�i
˛i
повинен бути меншим за�j
˛j
для 1 6 j 6 nC 1 таких що ˛j > 0.
Замiнимо Ai на A0i D A0, i вiдповiдно змiниться обернена матриця
�
M.A1; A2; : : : ; Ai�1; A0i ; AiC1; : : : ; An/
��1 D
2
6
6
6
6
6
6
6
6
4
�011 �0
12 : : : �01;nC1
�021 �0
22 : : : �02;nC1
: : : : : :: : : : : :
�0n1 �0
n2 : : : �0n;nC1
�01 �0
2 : : : �0nC1
3
7
7
7
7
7
7
7
7
5
де
�0i D �i
˛i
; �0j D �j � ˛j
�i
˛i
; 1 6 j 6 nC 1; j ¤ i;
�0ki D �ki
˛i
; �0kj D �kj � ˛j
�ki
˛i
; 1 6 k; j 6 nC 1; j ¤ i:
Тепер подивимося як змiнилися y1; y2; : : : ; yn; z. Беручи до уваги
zD �1c".A1/ C: : :C �i�1c".Ai�1/ C�ic".Ai /
C �iC1c".AiC1/ C: : :C �nC1AnC1;
z0D�
�1 � ˛1�i
˛i
�
c".A1/ C: : :C�
�i�1 � ˛i�1�i
˛i
�
c".Ai�1/ C�i
˛ic".A
0i /
C�
�iC1 � ˛iC1�i
˛i
�
c".AiC1/C: : :C�
�nC1 � ˛nC1�i
˛i
�
c".AnC1/;
отримаємо
z0 � z D �i
˛i
�
c".A0i / � .˛1c".A1/C � � � C ˛nC1c".AnC1//
�
D �i
˛i
��:
Так само
y0k � yk D �ki
˛i
�
c".A0i / � .˛1c".A1/C � � � C ˛nC1c".AnC1//
�
D �ki
˛i
��:
Це спрощує обчислення z0 та всiх y0k
. Повторюємо вище описанi кроки
до тих пiр, поки не отримаємо � D 0. Кiнцеве значення z, яке ми позначимо
55
z."/, є найменшим z, таким, що8
ˆ
<
ˆ
:
m.A/ 6 c. NO"A/C z;
c.A/ 6 m. NO"A/C z
для деякої мiри m 2 PX0 та всiх A � l
X .
Зауважимо, що z."/ є незростаючим вiдносно ", отже вiдстанню мiж c та
PX0 є найменше таке ", що z."/ 6 ". Ця вiдстань не бiльша, нiж z.0/, тому,
почавши з вiдрiзка Œ0; z.0/�, можна половинним подiлом з довiльною точнiстю
визначити вiдстань та знайти вiдповiдну адитивну апроксимуючу мiру. Ники-
форчином [35] програмно реалiзовано описаний алгоритм i перевiрено його
збiжнiсть до оптимального наближення ємностi на скiнченному метричному
просторi, яка зiставляє кожнiй множинi її дiаметр.
На жаль, поки що не вдалось отримати метод побудови найближчої ади-
тивної мiри на нескiнченному замкненому пiдпросторi.
3.3. \- та [-ємностi (мiри необхiдностi та мiри можливостi)
Нижче ми розглянемо основнi властивостi важливих класiв ємностей про-
стiшої будови на метричному компактi X , суттєвих для побудови наближень
ними довiльних нормованих ємностей.
Називаємо ємнiсть c 2 MX \-ємнiстю (cap-capacity), якщо для кожного
значення ˛ 2 I iснує така множина A˛;c � l
X , що для будь-якої множини
F � l
X нерiвнiсть c.F / � ˛ виконано тодi i тiльки тодi, коли F � A˛;c .
Множину всiх \-ємностей на компактi X позначимо M\X .
Надалi, якщо ємнiсть c, про яку йде мова, вiдома, вживатимемо позначе-
ння A˛ замiсть A˛;c .
3.3.1. ЛЕМА. Нехай для ємностi c 2 MX i ˛ 2 I iснує замкнена мно-
жина A˛ � l
X така, що c.F / � ˛ для довiльної F � l
X тодi i тiльки тодi,
56
коли F � A˛ . Тодi A˛ — єдина. Якщо, крiм того, така множина Aˇ iснує
для ˇ � ˛, то A˛ � Aˇ .
ДОВЕДЕННЯ. Припустимо, що iснують двi множини A˛; A˛0 � l
X , для
яких c.F / � ˛ тодi i тiльки тодi, коли F � A˛ та F � A˛0 . Оскiльки A˛ � l
X
i A˛ � A˛, то c.A˛/ � ˛, тому, згiдно означення, A˛ � A˛0 . Аналогiчно
A˛0 � A˛ , звiдки A˛ D A˛0 .
Оскiльки c.Aˇ / � ˇ � ˛, то c.Aˇ / � ˛ i Aˇ � A˛ . �
3.3.2. ТЕОРЕМА. Ємнiсть c на компактi X є \-ємнiстю тодi i тiльки
тодi, коли виконується будь-яке з рiвносильних тверджень:
(1) для кожного ˛ 2 I iснує така множина B˛ � X , що для довiльної
множини F � l
X нерiвнiсть c.F / � ˛ виконано тодi i тiльки тодi, коли
F � B˛;
(2) для будь-яких множин F;G � l
MX iстинна рiвнiсть:
c.F \G/ D minfc.F /; c.G/g:
ДОВЕДЕННЯ. Твердження (1) негайно випливає iз означення \-ємностi.
Доведемо зворотну iмплiкацiю. Нехай для кожного ˛ 2 I iснує множина B˛ �X така, що c.F / � ˛ тодi i тiльки тодi, коли F � B˛ . Оскiльки F – замкнена
множина, то F � B˛ рiвносильне до F � B˛ , отже, замкнена множина A˛ DB˛ , має властивiсть : c.F / � ˛ лише тодi, коли F � A˛ . Отже, означення
\-опуклої ємностi виконано.
Доведемо, що з означення випливає (2). Припустимо, що c 2 M\X , i для
замкнених F i G виконано c.F \G/ < minfc.F /; c.G/g. Оберемо таке ˛ 2 I ,
що c.F \ G/ < ˛ < minfc.F /; c.G/g. Оскiльки c.F / > ˛ та c.G/ > ˛, то
F � A˛ i G � A˛ для згаданої в означеннi множини A˛ � l
X , отже, F \ G �A˛ , звiдки c.F \G/ � ˛ — суперечнiсть. Отже, c.F \G/ � minfc.F /; c.G/g.
Врахувавши властивiсть монотонностi для ємностей, отримаємо рiвнiсть (2):
c.F \G/ D minfc.F /; c.G/g.
57
Нехай виконано умову (2). Оберемо ˛ 2 I i розглянемо сiм’ю множин
F D fF � l
X jc.F / � ˛g. Якщо F;G 2 F , то c.F / � ˛ i c.G/ � ˛, а тому
c.F \G/ D minfc.F /; c.G/g � ˛ i множина F \G теж належить до F . Отже,
F – центрована сiм’я замкнених множин у компактi X , i її перетин F0 D T
F
— непорожнiй компакт.
Припустимо, що c.F0/ < ˛. Iз напiвнеперервностi згори ємностi c ви-
пливає, що iснує окiл U �op
X множини F0, такий, що c.H/ < ˛ для кожної
замкненої множини H , що мiститься в U . Отже, жодна з множин F 2 F не
лежить в околi U , тобто F \ .X n U/ ¤ ¿.
Для кожної замкненої множини F � X позначимо F 0 D F \ .X n U/i F 0 D fF 0 j F 2 Fg. Тодi для кожних F 0; G0 2 F 0 маємо : F 0 \ G0 D.F \ .X n U// \ .G \ .X n U// D .F \ G/ \ .X n U/ 2 F 0, отже, F 0 також
є центрованою сiм’єю замкнених множин. Знову з компактностi X отримаємоT
F 0 D T
F 2F
.F \ .X n U// D F0 \ .X n U/ ¤ ¿, звiдки F0 не мiститься в U .
Iз отриманої суперечностi випливає, що c.F0/ � ˛, тобто F0 2 F .
Отже, F0 — найменший елемент сiм’ї F , i замкнена множина F належить
до F тодi i тiльки тодi, коли F � F0. Позначивши A˛ D F0, отримаємо:
c.F / � ˛ для довiльної F � l
X тодi i тiльки тодi, коли F � A˛ . Отже, c 2M\X . �
3.3.3. ТВЕРДЖЕННЯ. Для компактаX простiрM\X є компактом що-
до топологiї, iндукованої вкладенням у MX .
ДОВЕДЕННЯ. Оберемо довiльну ємнiсть c 2 MX n M\X . Тодi згiдно
попередньої леми iснують замкненi множини F та G, для яких c.F \ G/ <
minfc.F /; c.G/g. Оберемо ˛ 2 I , для якого c.F \G/ < ˛ < minfc.F /; c.G/g.
З c.F \ G/ < ˛ i напiвнеперервностi c згори випливає iснування околу
W �op
X , W � F \ G, такого, що c.H/ < ˛ для кожної замкненої множини
H 2 X , що лежить у W . Оберемо U; V �op
X , U � F , V � G, такi, що
U \ V � W , звiдки c.U \ V / < ˛.
58
Розглянемо окiл O.c/ D OC.U; ˛/ \ OC.V; ˛/ \ O�.U \ V ; ˛/ �op
MX .
Для довiльної ємностi c0 2 O.c/ iснують замкненi множиниF 0 � U таG0 � V ,
для яких c0.F 0/ > ˛ та c0.G0/ > ˛. Звiдси c0.U / > ˛ i c0.V / > ˛. Отже,
minfc0.U /; c0.V /g > ˛ > c0.U \ V /, i ємнiсть c0 не є \-ємнiстю. Таким чином,
O.c/ � MX nM\X , i M\X – замкнена в MX , отже, є компактом. �
Називаємо ємнiсть c 2 MX [-ємнiстю (cup-capacity), якщо для кожного
значення ˛ 2 I iснує така множина A˛;c � l
X , що для будь-якої множини
F � l
X нерiвнiсть c.F / � ˛ виконано тодi i тiльки тодi, коли F \ A˛;c ¤ ;.
Множину всiх [-ємностей на компактi X позначимо M[X .
Знову ж, коли ємнiсть фiксована, будемо вживати позначенняA˛;c D A˛.
3.3.4. ТЕОРЕМА. Ємнiсть c на компактi X є [-ємнiстю тодi i тiльки
тодi, коли виконується будь-яке iз рiвносильних тверджень:
(1) для кожного ˛ 2 I iснує множина U ˛ �op
X така, що c.F / < ˛, де F –
довiльна замкнена множина в X , тодi i тiльки тодi, коли F � U ˛;
(2) c.F [G/ D maxfc.F /; c.G/g для кожних F;G � l
X .
ДОВЕДЕННЯ. Нехай c 2 M[X , ˛ 2 I , i A˛ — множина, iснування якої
гарантоване означенням [-ємностi. Легко бачити, що множина U ˛ D X n A˛,
задовольняє вимоги пункту (1). I навпаки, якщо U ˛ задовольняє (1) для c 2MX i ˛ 2 I , то її доповнення A˛ D X n U ˛ задовольняє вимоги означення
[-ємностi. Отже, (1) рiвносильне до c 2 M[X .
Припустимо, що c – [-ємнiсть, i iснують F;G � l
X , для яких c.F [G/ >maxfc.F /; c.G/g. Оберемо ˛ 2 I , для якого c.F[G/ > ˛ > maxfc.F /; c.G/g,
звiдки c.F / < ˛ та c.G/ < ˛. Оскiльки c 2 M[X , то F \A˛ D ; iG\A˛ D ;,
отже, .F [ G/ \ A˛ D ; i c.F [ G/ < ˛. Iз отриманої суперечностi маємо:
c.F [G/ D maxfc.F /; c.G/g.
Нехай для кожних F;G � l
X виконано c.F [ G/ D maxfc.F /; c.G/g.
Покажемо, що c 2 M[X . Зафiксуємо ˛ 2 I i розглянемо сiм’ю множин
F D fF � l
X jc.F / < ˛g. Якщо F;G 2 F , то c.F / < ˛, c.G/ < ˛ i c.F [G/ D
59
maxfc.F /; c.G/g < ˛, отже, F [ G 2 F . Iз напiвнеперервностi згори випли-
ває, що для кожної множини F 2 F iснує такий вiдкритий окiл UF � F , що
c.UF / < ˛, звiдки UF 2 F . Отже, об’єднання U ˛ D S
F таS
F 2F
UF збiгаю-
ться, тому U ˛ — вiдкрита. Очевидно, що для довiльної F � l
X , c.F / < ˛ тодi
i тiльки тодi, коли F � U ˛ . Отже, виконано (1), тому c 2 M[X . �
На пiдставi отриманих характеризацiй (Теореми 3.3.2, 3.3.4), ми будемо
також використовувати для \-ємностi та [-ємностi вiдповiдно термiни [3] мi-
ра необхiдностi (necessity measure) та мiра достатностi (possibility measure).
3.3.5. ТЕОРЕМА. Ємнiсть c на компактi X є \-ємнiстю тодi i тiльки
тодi, коли двоїста до неї ємнiсть c0 D ~X.c/ є [-ємнiстю.
ДОВЕДЕННЯ. Нехай c 2 M\X , тодi для кожних F;G � l
X виконано
c.F \ G/ D minfc.F /; c.G/g. Покажемо, що для двоїстої ємностi c0 виконує-
ться рiвнiсть:
c0.F [G/ D maxfc0.F /; c0.G/g:
Припустимо, що c0.F [G/ > maxfc0.F /; c0.G/g. Тодi для деякого ˛ 2 Iiстиннi нерiвностi c0.F [G/ > ˛ > maxfc0.F /; c0.G/g, якi рiвносильнi до:
1 � c.X n .F [G// > ˛ > maxf1 � c.X n F /; 1 � c.X nG/g:
Звiдси c.X n F [G/ < 1� ˛, c.X n F / > 1� ˛, c.X nG/ > 1� ˛. Iз останнiх
двох нерiвностей випливає iснування таких замкнених множин A0 � X nF та
B0 � X n G, що A0 � A1�˛ та B0 � A1�˛ , де A1�˛ — замкнена множина з
означення \-ємностi. Тому A0 \ B0 � A1�˛ i c.A0 \ B0/ > 1 � ˛.
Оскiльки .A0 \ B0/ \ .F [ G/ D .A0 \ F \ B0/ [ .A0 \ B0 \ G/ D ¿,
то A0 \ B0 � X n .F [ G/, звiдки отримуємо c.X n .F [ G// > 1 � ˛, що
суперечить припущенню.
Отже, c0.F [G/ D maxfc0.F /; c0.G/g, тобто c0 2 M[X .
60
Аналогiчно доводимо, що для кожної ємностi c0 2 M[X двоїста ємнiсть
c00 D ~X.c0/ має властивiсть
c00.F \G/ D minfc00.F /; c00.G/g;
для кожних F;G � l
X , тобто належить до M\X . �
Врахувавши те, що вiдображення ~X W MX ! MX є гомеоморфiзмом,
звiдки пiдпростори M[X та M\X у MX гомеоморфнi, можна стверджувати,
що M[X — теж компакт з iндукованою топологiєю.
Нехай c — нормована ємнiсть на компактi X . Множину F � X назвемо
c-мiнiмальною, якщо :
(1) F — замкнена у X ;
(2) для кожної замкненої множини G у X , такої, що G ¨ F , маємо c.G/ <
c.F /.
3.3.6. ЛЕМА. Для кожної ємностi c на X та замкненої множини F �X iснує c-мiнiмальна множина F0 � F , для якої c.F0/ D c.F /.
ДОВЕДЕННЯ. Якщо F D ;, то досить покласти F0 D ;. Iнакше впоряд-
куємо множину fG � l
F j G ¤ ;; c.G/ D c.F /g за включенням i покажемо,
що кожен ланцюг G у цiй множинi має нижню грань. Покладемо G0 D T
G,
тодi G0 замкнена i непорожня як перетин центрованої сiм’ї компактiв, i за мо-
нотоннiстю ємностi c маємо c.G0/ 6 c.F /. Припустимо, що c.G0/ < c.F /,
тодi за напiвнеперервнiстю ємностi c згори iснує окiл U множини G0, такий,
що для кожної замкненої G0, що мiститься у U , теж виконано c.G0/ < c.F /.
Але iснує елемент G0 2 G, для якого G0 � U , що суперечить припущенню
G � fG � l
X j G ¤ ;; c.G/ D c.F /g. Отже, c.G0/ D c.F /, i G0 є нижньою
гранню ланцюга G.
Звiдси за лемою Куратовського-Цорна iснує мiнiмальний елемент F0 2fG �
l
F j G ¤ ;; c.G/ D c.F /g, який i є шуканою c-мiнiмальною множиною.
�
61
Для неперервної функцiї f W X ! RC двi наступнi формули для iнте-
грала Шоке [2] є рiвносильними :
c.f / DZ C1
0
c.fx 2 X j f .x/ > ag/ da DZ C1
0
c.fx 2 X j f .x/ > ag/ da
Продовжимо з допомогою першої з них iнтеграл Шоке на напiвнеперервнi
згори, а з допомогою другої — на напiвнеперервнi знизу функцiї X ! RC,
зберiгши звичайне позначення c.f /.
Для дiйснозначних функцiй f; g на X вважаємо, що f 6 g, якщо f .x/ 6
g.x/ для всiх x 2 X .
Нехай c — нормована ємнiсть на компактi X . Функцiю f W X ! RC
назвемо c-мiнiмальною, якщо :
(1) f — напiвнеперервна згори;
(2) для кожної напiвнеперервної згори функцiї g W X ! RC, такої, що
g 6 f , g ¤ f , маємо c.g/ < c.f /.
3.3.7. ЛЕМА. Для кожної ємностi c на X та напiвнеперервної згори
функцiї f W X ! RC iснує c-мiнiмальна функцiя f0 W X ! RC, для якої
f0 6 f , c.f0/ D c.f /.
ДОВЕДЕННЯ. Покажемо, що кожен ланцюг G у множинi
fg W X ! RC j g — напiвнеперервна згори; g 6 f; c.g/ D c.f /g
має нижню грань. Покладемо g0.x/ D inffg.x/ j g 2 Gg для кожного x 2 X ,
тодi g0 невiд’ємна i напiвнеперервна згори як поточковий iнфiмум ланцюга
напiвнеперервних згори функцiй, i за монотоннiстю ємностi c маємо c.g0/ 6
c.f /. Припустимо, що c.g0/ < c.f /, тодi iснує > 0, для якого c.fx 2 X jg0.x/ > g/ < c.fx 2 X j f .x/ > g/. Оскiльки fx 2 X j f .x/ > g є
перетином ланцюга замкнених множин fx 2 X j f .x/ > bg для b < , то за
напiвнеперервнiстю c згори iснує b < , для якого c.fx 2 X j g0.x/ > bg/ <c.fx 2 X j f .x/ > g/. Крiм того, fx 2 X j g0.x/ > bg є перетином ланцюга
замкнених множин fx 2 X j g.x/ > bg для g 2 G, отже, iснує g 2 G, для якого
62
теж c.fx 2 X j g.x/ > bg/ < c.fx 2 X j f .x/ > g/. Тодi для всiх a > 0 з
g 6 f випливає c.fx 2 X j g.x/ > ag/ 6 c.fx 2 X j f .x/ > ag/, причому
для b < a < маємо c.fx 2 X j g.x/ > ag/ < c.fx 2 X j f .x/ > ag/, звiдки
c.g/ DR C1
0c.fx 2 X j g.x/ > ag/da < c.f / D
R C1
0c.fx 2 X j f .x/ >
ag/da, що суперечить g 2 G 2 fg W X ! RC j g — напiвнеперервна згори; g 6
f; c.g/ D c.f /g. Отже, c.g0/ D c.f /, i g0 є нижньою гранню ланцюга G.
Звiдси за лемою Куратовського-Цорна iснує мiнiмальний елемент f0 2fg W X ! RC j g — напiвнеперервна згори; g 6 f; c.g/ D c.f /g, який i є
шуканою c-мiнiмальною функцiєю. �
Нагадаємо, що функцiї f; g W X ! RC називаються комонотонними,
якщо .f .x1/ � f .x2//.g.x1/ � g.x2// � 0 для всiх x1; x2 2 X .
3.3.8. ТЕОРЕМА. Для довiльної ємностi c на компактiX наступнi твер-
дження є рiвносильними :
(1) c 2 M\X;
(2) для кожних двох c-мiнiмальних множин F i G маємо або F � G,
або G � F ;
(3) кожнi двi c-мiнiмальнi функцiї f; g W X ! RC є комонотонними.
ДОВЕДЕННЯ. ((1) H) (2)) Неважко зауважити, що для ємностi c 2M\X сукупнiсть c-мiнiмальних множин збiгається з сукупнiстю всiх A˛;c для
˛ 2 I , згаданих у означеннi \-ємностi, а для таких множин властивiсть A˛;c �A˛0;c при ˛ 6 ˛0 доведено вище.
((2) H) (1)) Нехай F;G — довiльнi замкненi множини, F0 � F , G0 �G — iснуючi за лемою 3.3.6 мiнiмальнi множини, для яких c.F0/ D c.F /,
c.G0/ D c.G/. Оскiльки F0 � G0 або G0 � F0, то c.F \ G/ > c.F0 \ G0/ Dminfc.F0/; c.G0/g D minfc.F /; c.G/g. Враховуючи очевидну нерiвнiсть c.F\G/ 6 minfc.F /; c.G/g, маємо рiвнiсть c.F \ G/ D minfc.F /; c.G/g, отже,
c 2 M\X .
Звiдси (1) i (2) рiвносильнi.
63
((1) H) (3)) Нехай f є c-мiнiмальною, i для деяких x; y 2 X маємо
f .x/ < f .y/. Оберемо a, для якого f .x/ < a < f .y/, i позначимо ˛ D c.fx 2X j f .x/ > ag/. Тодi A˛;c � fx 2 X j f .x/ > ag, i з x … fx 2 X j f .x/ > agвипливає x … A˛;c . Припустимо, що y … A˛;c , i задамо функцiю ' W X ! RC
так :
'.t/ D
8
ˆ
<
ˆ
:
kf k; якщо t 2 A˛;c ;
a; якщо t … A˛;c ;
i покладемо f0.t/ D minff .t/; '.t/g для всiх t 2 X . Функцiя ', а тому i фун-
кцiя f0 — напiвнеперервнi згори i невiд’ємнi. Для всiх b 6 a маємо fx 2 X jf0.x/ > bg D fx 2 X j f .x/ > bg. Якщо ж b > a, то fx 2 X j f0.x/ > bg Dfx 2 X j f .x/ > bg \ A˛;c , звiдки c.fx 2 X j f0.x/ > bg/ D minfc.fx 2 X jf .x/ > bg/; c.A˛;c/g D minfc.fx 2 X j f .x/ > bg/; ˛g D minfc.fx 2 X jf .x/ > bg/; c.fx 2 X j f .x/ > ag/g D c.fx 2 X j f .x/ > bg, отже,
c.f0/ DZ C1
0
c.fx 2 X j f0.x/ > bgdb D c.f / DZ C1
0
c.fx 2 X j f .x/ > bgdb:
Оскiльки f0 6 f , i f — мiнiмальна, то f0 D f . З iншого боку, y … A˛;c ,
звiдки f0.y/ D a < f .y/ — суперечнiсть.
Отже, для функцiї f , мiнiмальної вiдносно ємностi c 2 M\X , з f .x/ <
f .y/ випливає x … F , y 2 F для деякої c-мiнiмальної множини F D A˛;c .
Якщо для iншої c-мiнiмальної функцiї g маємо g.x/ > g.y/, то iснує c-мiнiмальна
множина G, для якої x 2 G, y … G. Тодi неможливо нi F � G, нi G � F ,
що суперечить (2), а, отже, i (1). Отже, прирости f .x/ � f .y/ i g.x/ � g.y/
довiльних c-мiнiмальних функцiй f i g не можуть мати протилежних знакiв,
тобто цi функцiї комонотоннi.
((3) H) (2))
Нехай F i G — c-мiнiмальнi множини. Задамо функцiї f; g W X ! RC як
характеристичнi функцiї F i G, тобто :
f .x/ D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; якщо x 2 F;
0; якщо x … F;g.x/ D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; якщо x 2 G;
0; якщо x … G:
64
Неважко перевiрити, що f; g — теж c-мiнiмальнi, отже, комонотоннi, що
можливо тiльки при F � G або G � F . �
Означимо двоїстi поняття.
Нехай c — нормована ємнiсть на компактi X . Множину U � X назвемо
c-максимальною, якщо :
(1) U — вiдкрита у X ;
(2) для кожної вiдкритої множини V у X , такої, що U ¨ V , маємо c.U / <
c.V /.
Нехай c — нормована ємнiсть на компактi X . Функцiю f W X ! RC
назвемо c-максимальною, якщо :
(1) f — напiвнеперервна знизу;
(2) для кожної напiвнеперервної знизу функцiї g W X ! RC, такої, що
g > f , g ¤ f , маємо c.g/ > c.f /.
Зауважимо, що вiдкрита множина U є c-максимальною тодi i тiльки тодi,
коли її доповнення X n U є Qc-мiнiмальним для двоїстої ємностi Qc D ~X.c/.
Аналогiчно напiвнеперервна знизу невiд’ємна функцiя f є c-максимальною
тодi i тiльки тодi, коли функцiя C � f , де C — довiльна стала, не менша вiд
kf k, є Qc-мiнiмальною. Отже, наступнi твердження двоїстi до попереднiх i тому
не потребують доведення.
3.3.9. ЛЕМА. Для кожної ємностi c на X та вiдкритої множини U �X iснує c-максимальна множина U0 � U , для якої c.U0/ D c.U /.
3.3.10. ЛЕМА. Для кожної ємностi c на X та напiвнеперервної знизу
функцiї f W X ! RC iснує c-максимальна функцiя f0 W X ! RC, для якої
f0 > f , c.f0/ D c.f /.
3.3.11. ТЕОРЕМА. Для довiльної ємностi c на компактi X наступнi
твердження є рiвносильними :
(1) c 2 M[X;
65
(2) для кожних двох c-максимальних множин U i V маємо або U � V ,
або V � U ;
(3) кожнi двi c-максимальнi функцiї f; g W X ! RC є комонотонними.
3.4. Наближення [-ємностями та \-ємностями
Для довiльної нормованої ємностi c, визначеної на метричному компактi
.X; d/, визначимо вiдстань мiж c та пiдпросторомM[X та знайдемо найближ-
чу (чи одну з найближчих) вiдносно метрики Od [-ємнiсть.
Для довiльної ємностi c 2 MX i чисел ˛ 2 I та " > 0 позначимо
B˛" D fx 2 X j c.B".x// � ˛ � "g:
3.4.1. ЛЕМА. Для довiльних c 2 MX , ˛ 2 I та " > 0 множина B˛"
замкнена в X . Якщо ˛ < ˇ, то B˛" � B
ˇ" . Крiм того, B˛
" D T
ˇ<˛ Bˇ" для
всiх ˛ 2 I , B0" D X .
ДОВЕДЕННЯ. Нехай x 2 X n B˛" D fx 2 X j c.B".x// < ˛ � "g. Згiдно
властивостi напiвнеперервностi згори знайдеться така множина U �op
X , що
U � B".x/ i для кожної замкненої множини F � U маємо c.F / < ˛ � ".
Оберемо таке "1 > 0, що B"C"1.x/ � U , тодi для кожного елемента x0 2
B"1.x/ маємо B".x
0/ � B"C"1.x/ � U , звiдки c.B".x
0// < ˛ � " i B"1.x/ �
X n B˛" , що означає X n B˛
" �op
X . Iншi властивостi є очевидними. �
Зiставимо кожному значенню ˛ 2 I деяку множину A˛ 2 expX так, щоб
A˛ � Aˇ для ˛ < ˇ, A0 D X , A˛ D T
ˇ<˛ Aˇ для всiх ˛ 2 I . Виходя-
чи з незростаючої системи замкнених множин fA˛g˛2I , означимо функцiю c0
формулою:
c0.F / D maxf˛ 2 I j F \ A˛ ¤ ¿g: .�/де F – довiльна замкнена в X множина. Вище доведено (Теорема 3.3.4), що c0
є [-ємнiстю, i кожну [-ємнiсть можна отримати у такий спосiб.
66
Оскiльки ємнiсть c0 однозначно визначається системою множин fA˛g˛2I ,
то задача побудови ємностi c0 2 M[X вигляду (*), для якої Od.c; c0/ � ", при
фiксованому " � 0 рiвносильна до вiдшукання вiдповiдних множин A˛ .
3.4.2. ЛЕМА. Якщо для ємностi c 2 MX , [-ємностi c0, визначеної
системою множин fA˛g˛2I , та " > 0 виконано Od.c; c0/ � ", то множини
A˛ задовольняють вимоги:
1) A˛ � B˛" ;
2) якщо F � l
X , F \O"A˛ D ¿, то c.F / < ˛ C ".
ДОВЕДЕННЯ. Для виконання Od.c; c0/ � " необхiдно i досить, щоб для
всiх F 2 expX виконувались нерiвностi :
c0.O".F //C " � c.F /;
c.O".F //C " � c0.F /: (3.4.1)
Зауважимо, що c0.fxg/ � ˛ для кожного елемента x 2 A˛ , тому згiдно
другої нерiвностi (3.4.1) маємо c.O".fxg// C " D c.B".x// C " � ˛, тобто
c.B".x// � ˛ � ", звiдки A˛ � B˛" .
Якщо F \ O"A˛ D ¿, то за першою нерiвнiстю з (3.4.1) отримуємо
c.F / 6 c0.O"F /C " < ˛ C ". �
Припустимо, що Od.c; c0/ � " для деякої c0 2 M[X . Тодi для вiдповiдних
множин A˛ виконано пункти 1), 2) Леми 3.4.2. Враховуючи попередню лему,
маємо: якщо F � l
X , F \ O"B˛" D ¿, то c.F / < ˛ C ". Задамо ємнiсть
c[
" 2 M[X формулою
c[
" .F / D maxf˛ 2 I j F \ B˛" ¤ ¿g;
де F – довiльна замкнена в X множина.
3.4.3. ЛЕМА. Виконано нерiвнiсть Od.c; c[
" / � ".
67
ДОВЕДЕННЯ. Нехай c[
" .O".F // < ˛ для замкненої непорожньої множи-
ни F � X i деякого ˛ 2 I , тодi O".F / \ B˛" D ¿, звiдки F \ O".B
˛" / D
¿. Отже, c.F / < ˛ C " для всiх ˛ > c[
" .O".F //. Звiдси випливає c.F / �c[
" .O".F //C ".
Нехай тепер c.O".F // < ˛ � " для деякого ˛ 2 I , тодi F не може мi-
стити жодної точки x 2 B˛" , бо в iншому випадку маємо O".F / � B".x/, i
c.O".F // � c.B".x// � ˛ � " — суперечнiсть. Отже, c[
" .F / � ˛ для всiх
˛ > c.O".F //C ", звiдки c[
" .F / � c.O".F //C ". Об’єднуючи отриманi нерiв-
ностi, маємо Od.c[
" ; c/ � ", що i потрiбно було довести. �
Неважко перевiрити, що твердження останньої леми iстинне i для " D 0.
Об’єднавши викладенi у попереднiх лемах результати, отримаємо наступний
метод побудови [-ємностi, найближчої до ємностi c. Вiдстань вiд c до пiдпро-
стору M[X рiвна найменшому з " � 0, для яких :
1) iснує така точка x 2 X , що c. NB".x// > 1 � ";2) c.F / < ˛ C " виконано для всiх ˛ 2 I , F �
l
X , F \O"B˛" D ¿.
Для такого " найбiльша з тих ємностей c0 2 M[X , що Od.c0; c/ D ",
визначається формулою c0 D c[
" .F / D supf˛ 2 I j F \ B˛" ¤ ¿g для кожної
замкненої множини F � X . Зауважимо, що
c[
" .F / D supf˛ 2 I j iснує x 2 F; для якого c. NB".x//C " > ˛g D
D min
˚
1; supfc. NB".x// j x 2 F g C "
:
Отже, у побудовi оптимального наближення можна позбутись параме-
тра ˛ :
3.4.4. ТЕОРЕМА. Для кожної нормованої ємностi c на метричному
компактi X вiдстань вiд c до пiдпростору M[X рiвна найменшому з " � 0,
для яких :
1) iснує така точка x 2 X , що c. NB".x//C " > 1;
68
2) для кожної множини F � l
X виконано
c.F / 6 supfc. NB".x// j x 2 NO".F /g C 2":
Тодi найбiльша з тих ємностей c0 2 M[X , що Od.c0; c/ D ", визначає-
ться формулою c[
" .F / D min
˚
1; supfc. NB".x// j x 2 F g C "
.
Вище доведено (Теорема 3.3.5), що довiльна нормована ємнiсть c00 на ком-
пактi X є \-ємнiстю, якщо i тiльки якщо двоїста до неї ємнiсть ~X.c00/ є [-
ємнiстю, крiм того, вiдображення ~X є iзометрiєю .MX; Od/ на себе (Теоре-
ма 2.3.1), тому одночасно отримано спосiб знаходження оптимального набли-
ження \-ємностями. Ємнiсть c00 2 M\X , найближчу до c 2 MX , визначаємо
так: обираємо ємнiсть c0 2 M[X , найближчу до ~X.c/, i знаходимо двоїсту
до неї ємнiсть, яка i буде шуканою c00 D ~X.c0/.
3.5. Наближення ємностями, визначеними на замкненому пiдпросто-
рi метричного компакта
Розглянемо задачу наближення довiльної нормованої ємностi c на ком-
пактi X ємностями, визначеними на деякому замкненому пiдпросторi X0 про-
стору X . Нехай c0 2 MX0, звiдки c0.X0/ D 1. Ємнiсть c0 на пiдпросторi X0
вважаємо продовженою на X формулою: c0.F / D c0.F \ X0/ для F � l
X .
Для ємностi c 2 MX та фiксованого " � 1�c.O".X0// означимо ємнiсть
cC" 2 MX0 формулою:
cC" .F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
minfc.O".F //C "; 1g; F ¤ ¿; F � l
X0;
0; F D ¿:
Для того, щоб довести, що cC" справдi є ємнiстю, достатньо перевiрити напiв-
неперервнiсть згори (монотоннiсть очевидна). Нехай F ¤ ¿ i cC" .F / < a � 1,
що рiвносильне c.O".F // < a � ". Тодi iснує такий окiл U1 � O".F /, що
c.H1/ < a � " для кожної замкненої множини H1 � U1. Покладемо U D
69
X0 n O".X0 n U1/, тодi U �op
X0, U � F . Крiм того, для довiльної замкненої
множини H � U виконується H \ O".X n U1/ D ¿, тобто O".H/ � U1,
звiдки c.O".H// < a � ".Означимо ємнiсть c�
" як e. QcC" /. Зауважимо, що c�
" є ємнiстю при " � 1 �Qc.O".X0//, тобто при " � c.X nO".X0//. Неважко перевiрити, що для V �
op
X0
c�" .V / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; V D X0;
maxf0; c.X nO".X0 n V // � "g; V ¤ X0:
Якщо F � l
X0, то c�" .F / D inffc�
" .V /jV �op
X0; V � F g.
3.5.1. ЛЕМА. Od.c;MX0/ � " тодi i тiльки тодi, коли одночасно вико-
нано умови:
1) " � 1 � c.O".X0// та " � c.X nO".X0//;
2) c�" � cC
" .
ДОВЕДЕННЯ. Нехай Od.c; c0/ � " для деякої ємностi c0 2 MX0, тодi
згiдно твердження 2.3.1 для кожної множини F � l
X виконано нерiвностi
8
ˆ
<
ˆ
:
c0.F / � c.O".F //C ";
Qc0.F / � Qc.O".F //C ";
якi рiвносильнi до8
ˆ
<
ˆ
:
c0.F \X0/ � c.O".F //C ";
c0.X0 n F / � c.X nO".F // � ":
Покладемо F D X0, тодi повинно виконуватись:8
ˆ
<
ˆ
:
c.O".X0// � 1 � ";
c.X nO".X0// � ":(3.5.1)
Отже, при фiксованому " � 0 iснує хоча б одна ємнiсть c0 2 MX0, для якої
Od.c; c0/ � " тiльки тодi, коли для пiдпростору X0 виконано (3.5.1).
70
Звiдси, якщо Od.c; c0/ � ", то " � 1 � c.O".X0// та " � c.X n O".X0//,
тому cC" 2 MX0 та c�
" 2 MX0. Покажемо, що c0.F / � cC" .F / для кожної мно-
жини F � l
X0. Дiйсно, c0.F / � c.O".F //C ", тодi c0.F / � minfc.O".F //C"; 1g, тобто c0 � cC
" . Крiм того, Od. Qc; Qc0/ � ", тому для кожної F � l
X0 ви-
конано нерiвнiсть Qc0.F / � Qc.O".F // C ", а отже, Qc0.F / � QcC" .F /, звiдки
c0 � e. QcC" / D c�
" .
I навпаки, якщо c�" � c0 � cC
" , тобто для кожної множиниG � l
X iстиннi
нерiвностi c0.G \X0/ � cC" .G \X0/ � c.O".G \X0//C " � c.O".G//C " та
c0.G \ X0/ � c�" .G \ X0/ D e. QcC
" /.G \ X0/, то Qc0.G \ X0/ � QcC" .G \ X0/ �
Qc.O".G \X0//C " � Qc.O".G//C ", звiдки Od.c0; c/ � ". �
3.5.2. НАСЛIДОК. Для довiльної ємностi c 2 MX та " � 0, яке задо-
вольняє умови леми 3.5.1, виконуються:
1) Od.c; cC" / � ",
2) Od.c; c�" / � ",
3) Od.c; c0/ � " для ємностi c0 2 MX0, якщо i тiльки якщо c�" � c0 � cC
" .
3.5.3. ЛЕМА. Нехай .X; �/ – компакт, � D fX n U jU 2 �g, D � � � � –
така сiм’я пар множин, що для кожних множин F � l
X та U �op
X , F � U
iснує така пара .V;H/ 2 D, що
F � V � H � U:
Тодi для довiльних ємностей c1; c2 2 MX нерiвнiсть c1 � c2 виконує-
ться тодi i тiльки тодi, коли c1.V / � c2.H/ для кожної пари .V;H/ 2 D.
Опускаємо нескладне доведення. Очевидно, що сiм’ї
D1 D f.V;ClV /jV 2 �g; D2 D f.IntG;G/jG 2 �g
задовольняють умови леми 3.5.3, звiдки випливає наступний наслiдок.
3.5.4. НАСЛIДОК. Для ємностей c1; c2 2 MX нерiвнiсть c1 � c2 iстин-
на тодi i тiльки тодi, коли виконується одна з умов:
71
1) c1.U / � c2.ClU/ для кожної U �op
X;
2) c1.IntF / � c2.F / для кожної F � l
X .
3.5.5. ТЕОРЕМА. Вiдстань вiд ємностi c на метричному компактi X
до пiдпростору MX0, де X0 � l
X , дорiвнює
"0 D minf" � 0jc.O".X0//C " � 1; c.X nO".X0// � ";
c.X nO".X0 n U// � " � c.O".ClU//C " для кожної U �op
X0g:
Найближчi до c ємностi c0 з пiдпростору MX0 визначаються нерiвнiстю
c�"0
� c0 � cC"0
.
ДОВЕДЕННЯ. Доведемо, що для кожної множини G � l
X;G ¤ X та
0 < a � 1 множина
W ca .G/ D f" � 0jc.O".G// < a � "g
є вiдкритою в I .
Нехай " 2 W ca .G/, тодi знайдеться таке b > 0, що c.O".G// < b < a� ".
Iз напiвнеперервностi згори ємностi випливає, що iснує такий окiл U множи-
ни O".G/ та "1 > ", що U � O"1.G/ � O".G/ i c.O"1
.G// < b. Обере-
мо довiльне "2 > ", для якого b < a � "2 < a � ". Якщо "1 6 "2, то
a � " > a � "1 > a � "2 > b, звiдки, c.O"1.G// < a � "1. Якщо "1 > "2,
то c.O"2.G// � c.O"1
.G// < b < a � "2. Тому, поклавши "0 D minf"1; "2g,
отримаємо: c.O"0.G// < a� "0. Зауважимо, що для будь-якого ı < " виконує-
ться нерiвнiсть c.Oı.G// � c.O".G// < a�" < a�ı. Отже, Œ0I "0/ – вiдкритий
окiл точки ", який лежить в множинi W ca .G/.
Тому можна стверджувати, що множина
EX0D f" � 0 j c.O".X0// � 1 � "; c.X nO".X0// � "g
72
є замкненою. Справдi,
I nEX0D f" � 0jc.O".X0// < 1 � "g [ f" � 0jc.X nO".X0// > "g D
D f" � 0jc.O".X0// < 1 � "g [ f" � 0j Qc.O".X0// < 1 � "g D
D W c1 .X0/ [W Qc
1 .X0/ �op
I:
Далi, для U �op
X0, U ¤ X0 побудуємо множину
EU D f" � 0jc.X nO".X0 n U// � " � c.O".ClU//C "g:
Тодi
I nEU D
D f" � 0jc.XnO".X0nU//�" > a > c.O".ClU//C" для деякого 0 < a < 1g D
D f" � 0jc.X nO".X0 n U// � " > ag [ f" � 0jc.O".ClU// < a � "g D
D f" � 0j Qc.O".X0 n U// < 1 � a � "g [ f" � 0jc.O".ClU// < a � "g D
D W Qc1�a.X0 n U/ [W c
a .ClU/ �op
I;
тобто EU � l
I .
Отже, множина E D EX0
T
0
B
@
T
U ¨op
X0
EU
1
C
Aзамкнена в I i непорожня,
оскiльки мiстить maxf sup
F � l
X0
dH .F;X/I 1g. Тому в E iснує найменший елемент
"0, який за Лемою 3.5.1 та Наслiдком 3.5.4 i є шуканою вiдстанню Od.c;MX0/.
Застосування Наслiдку 3.5.2 завершує доведення. �
Висновки до роздiлу 3
У роздiлi дослiджено способи вирiшення основного завдання дисертацiй-
ної роботи — знаходження ємностi з певного класу, зручного з обчислювальної
точки зору, найближчої до даної ємностi.
73
Обґрунтовано обчислення вiдстанi вiд довiльної ємностi на не обов’язково
компактному метричному просторi до пiдпростору лiпшицевих з даним коефi-
цiєнтом функцiй i описано множину найкращих наближень ємностями з цього
пiдпростору.
Описано алгоритм апроксимацiї довiльної ємностi адитивними мiрами
на скiнченному пiдпросторi, який можна легко програмно реалiзувати. Проте
кожна iтерацiя представленого алгоритму вимагає попереднього обчислення
значень ємностi для всiх 2потужнiсть простору пiдмножин, що є проблематичним
навiть для > 40 точок. Отже, щоб обробляти пiдпростори бiльшої потужно-
стi, слiд скоротити витрати пам’ятi i часу, використовуючи тiльки метричну
структуру та єдину “надiйну” властивiсть ємностi, тобто її монотоннiсть. Це
вимагає застосування глибших топологiчних властивостей мiр, зокрема, їх ви-
мiрнiсних характеристик, вивчених у останньому роздiлi роботи.
Охарактеризовано два класи ємностей “простої будови”: [-ємностей (та-
кож названих sup-мiрами чи мiрами можливостi) та \-ємностей (мiр необхi-
дностi). Частина роздiлу присвячена пошуку найкращого наближення [-ємнi-
стю довiльної ємностi на метричному компактi. Оскiльки iснує iзометрiя про-
стору ємностей на метричному компактi на себе, що вiдображає [-ємностi в
\-ємностi i навпаки, то одночасно отримано спосiб знаходження найкращого
наближення довiльної ємностi \-ємнiстю.
Запропоновано також метод оптимального наближення довiльної ємностi
на метричному компактi ємнiстю, зосередженою на фiксованому замкненому
пiдпросторi, що може бути корисним при наближеному розв’язуваннi задач,
пов’язаних з ємностями.
Основнi результати, якi описанi в пiдроздiлах 3.1 i 3.2 опублiковано в
статтях [51] i [35] вiдповiдно, а викладенi в пiдроздiлах 3.3–3.5 – у статтях
[17] та [48]. Про апробацiю результатiв роздiлу 3 свiдчать тези доповiдей [18],
[16], [52].
74
РОЗДIЛ 4
НЕПЕРЕРВНI МАЙЖЕ ОПТИМАЛЬНI НАБЛИЖЕННЯ ЄМНОСТЕЙ
НА МЕТРИЧНИХ КОМПАКТАХ
4.1. Проблема неперервностi оптимальних наближень
Нагадаємо, що оптимальне наближення довiльної ємностi ємнiстю з пев-
ного класу зазвичай не єдине, тобто вiдповiднiсть, що зiставляє ємностi її опти-
мальнi наближення, є многозначним вiдображенням. Природно постає запита-
ння: чи iснує неперервна селекцiя цього вiдображення, тобто неперервне вiд-
ображення, значення якого для кожної ємностi є одним з оптимальних набли-
жень?
Знайдемо вiдповiдь на це питання для рiзних класiв ємностей.
4.1.1. ПРИКЛАД. Нагадаємо, що за теоремою 3.4.4 для довiльної ємностi c
на метричному компактiX найбiльша з тих ємностей c0 2 M[X , що Od.c0; c/ D" D Od.c;M[X/, визначається формулою
c[
" .F / D min
˚
1; supfc. NB".x/ j x 2 F g/C "
;
а число " > 0 є найменшим, для якого iснує замкнена куля NB".x/ з мiрою,
не меншою вiд 1 � ", i для кожної замкненої пiдмножини F � X виконано
нерiвнiсть
c.F / 6 supfc. NB".x// j x 2 NO".F /g C 2":
Розглянемо ємнiсть на X D Œ�1; 1�, залежну вiд параметра a 2 Œ0; 13� :
ca.F / D
8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
1; F D X;
23; F ¤ X; i F � Œ�1;� 1
3� або F � Œ1
3� a; 1�;
0 у iншому випадку.
75
Неважко зауважити, що найменшим " > 0, що задовольняє вимоги вище,
є " D 13
. Якщо додатково припустити a > 0, то шуканою кулею є NB1=3.� 23/,
її мiра складає 23
— це єдина замкнена куля такого радiуса ненульової мiри.
Отже, найбiльше оптимальне наближення має вигляд :
c[
" .F / D
8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
1; F 3 � 23;
13; F ¤ ;; F 63 � 2
3;
0; F D ;:Отже, всi оптимальнi наближення ємностi ca (a > 0) елементамиM[X повин-
нi бути рiвними 1 для множин, що мiстять � 23
, i не бiльшими вiд 13
для iнших
множин. Аналогiчно всi оптимальнi наближення елементами M[X ємностi ca
(де a > 0)
ca.F / D
8
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
<
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
:
1; F D X;
23; F ¤ X; i F � Œ�1;� 1
3C a� або F � Œ1
3; 1�;
0 у iншому випадку.
повиннi бути рiвними 1 для множин, що мiстять 23
, i не бiльшими вiд 13
для
iнших множин. Якби iснувало неперервне вiдображення ' W MX ! M[X ,
яке зiставляє кожнiй ємностi її оптимальне наближення, то '.ca/ та '.ca/
при a > 0 мали б поданi вище властивостi i при a & 0 збiгались би до
'.a0/ D '.a0/, що неможливо. Отже, неперервного оптимального наближе-
ння ' у цьому випадку не iснує.
4.1.2. ПРИКЛАД. Нехай X D .Œ�1; 0�� f� 12g/ [ .Œ�1; 1�� f0g/[ .Œ0; 1� �
f12g/, X0 D .Œ�1; 0� � f� 1
2g/ [ .Œ0; 1� � f1
2g/. Припустимо, що iснує неперервне
вiдображення ' W MX ! MX0, яке зiставляє кожнiй нормованiй ємностi
на просторi X одне з її оптимальних наближень нормованими ємностями на
пiдпросторi X0. Розглянемо c D '.ı.a;0//, де �1 6 a 6 1. Оскiльки вiдстань
вiд кожної з точок .a; 0/ до пiдпростору X0 рiвна 12
, то Od.c;MX0/ 6 12
. З
iншого боку, число " < 12
не може задовольняти умову c.O".X0// C " > 1
76
теореми 3.5.5, лiвий бiк дорiвнює ı.a;0/.O".X0// C " D ", тому вiдстань " DOd.c;MX0/ рiвна 1
2.
Тодi оптимальними наближеннями для c є всi нормованi ємностi на X0
мiж ємностями, означеними для V �op
X0 як
c�" .V / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; V D X0;
maxf0; c.X nO".X0 n V // � "g; V ¤ X0;
i для F � l
X як
cC" .F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
minfc.O".F //C "; 1g; F ¤ ¿; F � l
X0;
0; F D ¿:
Якщо a < 0, то
c�" .Œ�1; 0��f�1
2g/ D cC
" .Œ�1; 0��f�12
g/ D 1; c�" .Œ0; 1��f1
2g/ D cC
" .Œ0; 1��f12
g/ D 0;
а при a > 0, навпаки,
c�" .Œ�1; 0��f�1
2g/ D cC
" .Œ�1; 0��f�12
g/ D 0; c�" .Œ0; 1��f1
2g/ D cC
" .Œ0; 1��f12
g/ D 1:
Оскiльки для кожного оптимального наближення '.c/ маємо c�" 6 '.c/ 6 cC
" ,
то при a < 0 виконано
'.ı.a;0//.Œ�1; 0� � f�12
g/ D 1; '.ı.a;0//.Œ0; 1� � f12
g/ D 0;
i, вiдповiдно, при a > 0
'.ı.a;0//.Œ�1; 0� � f�12
g/ D 0; '.ı.a;0//.Œ0; 1� � f12
g/ D 1:
Однак це суперечить збiжностi '.ı.a;0// ! '.ı.0;0// i при a ! �0, i при
a ! C0, яка випливає з неперервностi '.
Звiдси неперервного оптимального наближення не iснує i у цьому випад-
ку.
Отже, неперервнiсть вiдображення ' W MX � I ! S , яке зiставляє ко-
жнiй нормованiй ємностi одну з найближчих ємностей з класу S , можлива не
для кожного метричного компакта X i не для кожного з розглядуваних класiв
77
S , тому надалi розглядатимемо неперервнi наближення, якi близькi до опти-
мальних, але не обов’язково є ними.
4.2. Неперервнiсть iдемпотентно опуклої комбiнацiї нескiнченної кiль-
костi елементiв I -опуклого компакта
Простори неадитивних мiр (ємностей) на компактах є природними при-
кладами топологiчних та метричних iдемпотентних напiвмодулiв, що вiдiграє
суттєву роль при наближеннi довiльних ємностей ємностями певних класiв. У
попередньому роздiлi показано, що бiльшiсть таких наближень можна отрима-
ти, “змiшуючи” ємностi, у якомусь сенсi близькi до потрiбної, однак, як пра-
вило, таких “складникiв” маємо безлiч. Виявляється, що дiя “змiшування” є
так званою iдемпотентною опуклою комбiнацiєю у компактному iдемпотен-
тному напiвмодулi, яким є простiр ємностей на компактi. Оскiльки бажано,
щоб апроксимуюча ємнiсть залежала вiд вихiдної неперервно, варто з’ясувати,
чи є iдемпотентна опукла комбiнацiя неперервною щодо сукупностi аргумен-
тiв.
Наведемо деякi означення та основнi факти про iдемпотентнi компактнi
напiвмодулi.
Трiйка .X;˚;˝/ називається .I;max;�/-напiвмодулем (лiвим iдемпо-
тентним), якщоX – це множина з операцiями ˚ W X�X ! X , ˝ W I �X ! X ,
якi для всiх x; y; z 2 X , ˛; ˇ 2 I мають властивостi:
(1) x ˚ y D y ˚ x;
(2) .x ˚ y/˚ z D x ˚ .y ˚ z/;
(3) iснує єдиний елемент N0 2 X , такий що x ˚ N0 D x для всiх x;
(4) ˛ ˝ .x ˚ y/ D .˛ ˝ x/˚ .˛ ˝ y/, maxf˛; ˇg ˝ x D .˛ ˝ x/˚ .ˇ ˝ x/;
(5) .˛ � ˇ/˝ x D ˛ ˝ .ˇ ˝ x/;
(6) 1˝ x D x;
(7) 0˝ x D N0.
78
Надалi щодо .I;max;�/-напiвмодулiв будемо вживати коротший термiн
“I -напiвмодуль”.
.X;˚;˝/ – компактний гаусдорфовий лоусонiв I -напiвмодуль, якщо
.X;˚;˝/ є I -напiвмодулем, i на X задано компактну гаусдорфову топологiю,
що робить його компактною лоусоновою верхньою напiвграткою з попарним
супремумом ˚ (i частковим порядком, визначеним як x � y , x ˚ y D y), а
множення ˝ є неперервним. Така напiвгратка є повною, а з iснування наймен-
шого елемента N0 випливає, що вона є повною граткою.
Для всiх таких x1; x2; : : : xn 2 X та коефiцiєнтiв ˛1; ˛2; : : : ; ˛n 2 I , що
maxf˛1; ˛2; : : : ; ˛ng D 1, задаємо I -опуклу комбiнацiю скiнченної кiлькостi
елементiв
˛1 ˝ x1 ˚ ˛2 ˝ x2 ˚ : : :˚ ˛n ˝ xn;
яку надалi позначатимемо просто ˛1x1 ˚ ˛2x2 ˚ : : :˚ ˛nxn:
Природно називати пiдмножину I -напiвмодуля I -опуклою, якщо вона
мiстить всi I -опуклi комбiнацiї своїх елементiв.
Замкнена I -опукла пiдмножина X компактного гаусдорфового лоусоно-
вого I -напiвмодуля називається I -опуклим компактом. На ньому у загально-
му випадку не означене множення елементiв на числа, однак маємо операцiю
опуклої комбiнацiї скiнченної кiлькостi елементiв. Її однозначно можна вiдно-
вити за операцiєю попарної опуклої комбiнацiї x˚.˛˝y/, яка є вiдображенням
X�I�X ! X . Виявляється, що можна дати рiвносильне “внутрiшнє” означен-
ня I -опуклого компакта як компакта, на якому визначено неперервну тернар-
ну операцiю .x; ˛; y/ 7! x ˚ ˛y попарної опуклої комбiнацiї, що задовольняє
природнi алгебраїчнi тотожностi (якi можна знайти в [59]). Такий компакт
опукло вкладається у компактний гаусдорфiв лоусонiв I -напiвмодуль.
Перевага I -опуклих компактiв у тому, що можна коректно означити опу-
клу комбiнацiю нескiнченної кiлькостi елементiв, використовуючи скiнченнi
79
опуклi комбiнацiї, а саме:
˚i2I˛ixi D inffsup
i2I1
˛i ˝ sup
i2I1
xi ˚ : : :˚ sup
i2In
˛i ˝ sup
i2In
xi j
n 2 N; I D I1 [ I2 [ : : : [ Ing:
Доведемо наступну важливу властивiсть вiдображення, яке сукупностi
елементiв зiставляє їх I -опуклу комбiнацiю.
4.2.1. ТЕОРЕМА. Нехай .X;˚;˝/ — I -опуклий компакт, а exp1.X � I /позначає пiдпростiр гiперпростору exp.X � I / з топологiєю Вiєторiса, що
складається iз замкнених множин вX�I , якi мiстять принаймнi одну пару
вигляду .x; 1/. Тодi вiдображення h W exp1.X � I / ! X , яке для A � l
X � Iвизначено формулою
h.A/ D ˚i2I
f˛ixi j.xi ; ˛i / 2 Ag;
є неперервним.
ДОВЕДЕННЯ. Зафiксуємо довiльний елемент i розглянемо вираз
x0 ˚ h.A/ D x0 ˚ .˚f˛ ˝ xj.x; ˛/ 2 A/ :
Зауважимо, що вжита у означеннi I -опуклої комбiнацiї безлiчi елементiв
множина комбiнацiй
fsupi2I1
˛i ˝ sup
i2I1
xi ˚ : : :˚ sup
i2In
˛i ˝ sup
i2In
xi j n 2 N; I D I1 [ I2 [ : : : [ Ing
є напрямленою вниз, оскiльки її можна подати у виглядi
fsup.pr2.A1//˝ sup.pr1.A1//˚ : : :˚ sup.pr2.An//˝ sup.pr1.An// j
n 2 N;A D A1 [ A2 [ : : : [ Ang:
При замiнi сiм’ї A1; ::::; An на вписану вираз у фiгурних дужках не змiнює-
ться чи зменшується. Бiльше того, оскiльки супремум множини збiгається з
її замиканням, можна вважати, що всi множини A1; :::; An замкненi. Отже, на-
прямленiсть з даних виразiв, впорядкована зворотно щодо вписаностi сiмейAi ,
збiгається до точної нижньої гранi цiєї множини з означення.
80
Звiдси, до x0 ˚ h.A/ збiгаються елементи
x0 ˚ sup.pr2.A1//˝ sup.pr1.A1//˚ : : :˚ sup.pr2.An//˝ sup.pr1.An//
D�
x0 ˚ sup.pr2.A1//˝ sup.pr1.A1//�
˚ : : :
˚�
x0 ˚ sup.pr2.An//˝ sup.pr1.An//�
Розглянемо “доданок”
x0 ˚ sup.pr2.Ai //˝ sup.pr1.Ai //
D supfx0 ˚ ˛ ˝ sup.pr1.Ai //j˛ 2 pr2.Ai /g
D supfx0 ˚ ˛ ˝ xj˛ 2 pr2.Ai /; x 2 pr1.Ai /g
D supfgx0.x; ˛/ j .x; ˛/ 2 pr1.Ai / � pr2.Ai /g;
де gx0W X � I ! X – неперервне вiдображення компактiв, означене як
gx0.x; ˛/ D x0 ˚ .˛ ˝ x/.
Отже, x0 ˚ h.A/ є границею напрямленостi
˚iD1;:::;n supfgx0.x; ˛/j.x; ˛/ 2 pr1.Ai / � pr2.Ai /g
D supfgx0.x; ˛/j.x; ˛/ 2 pr1.A1/ � pr2.A1/ [ : : : [ pr1.An/ � pr2.An/g;
iндексованої впорядкованими за вписанiстю сiм’ями замкнених множинA1; :::; An
з об’єднанням A. Напрямленiсть множин pr1.A1/�pr2.A1/[ : : :[pr1.An/�pr2.An/ збiгається у топологiї Вiєторiса до A, тому образи її елементiв щодо
gx0збiгаються до gx0
.A/. Оскiльки супремуми в X неперервнi щодо топологiї
Вiєторiса, отримуємо неперервну залежнiсть вiд A. Зауважимо, що вiдповiд-
нiсть m.x/ D .x0 ˚ x/x02X є неперервною iн’єкцiєю, тобто вкладенням ком-
пактiвm W X ! XX . З попереднього випливає, що комбiнацiяm ı h, яка дiє за
формулою m ı h.A/ D�
sup gx0.A/
�
x02X, є неперервною, звiдки отримуємо
неперервнiсть h.
�
Звернемо увагу, що одночасно було доведено iснування, тобто коректнiсть
означення нескiнченної опуклої комбiнацiї, оскiльки вона є точною нижньою
81
гранню напрямленої вниз множини скiнченних опуклих комбiнацiй. Нагадає-
мо, що у компактнiй гаусдорфовiй лоусоновiй верхнiй напiвгратцi без наймен-
шого елемента iснують всi точнi верхнi гранi, однак iснування точних нижнiх
граней гарантовано тiльки для напрямлених вниз множин.
4.3. Деякi вiдображення в метричних I -опуклих компактах
Наведемо ряд тверджень, на якi опирається доведення теореми 4.4.2, що
є основним результатом роздiлу.
Нехай S � X – непорожня замкнена I -опукла пiдмножина метричного I -
опуклого компакта .X;˚;˝/, тобто S мiстить всi I -опуклi лiнiйнi комбiнацiї
своїх елементiв, яка сама також є I-опуклим компактом.
Для довiльного елемента x 2 X утворимо множину
Fx D f.x0; a/jx 2 S; d.x; x0/ � a � diamXg:
Нагадаємо, що топологiя добутку на X � R визначається метрикою
�..x1; a1/; .x2; a2// D maxfd.x1; x2/; ja1 � a2jg:
4.3.1. ТВЕРДЖЕННЯ. Множина Fx є замкненою в S � Œ0;diamX�, а вiд-
ображення f W X ! exp.S � Œ0;diamX�/, визначене як f .x/ D Fx , є непе-
рервним.
Це твердження слiдує iз наступних двох лем.
4.3.2. ЛЕМА. Якщо .X; d/ – метричний компакт, то для x 2 X мно-
жина Fx D f.x0; a/jx0 2 X; d.x; x0/ � a � diamXg є непорожньою i замкне-
ною в X � Œ0;diamX�.
ДОВЕДЕННЯ. Непорожнiсть випливає з .x0;diamX/ 2 Fx для всiх x0 2X . Покажемо, що доповнення X � Œ0;diamX� n Fx є вiдкритою множиною.
Нехай .x0; a/ належить цьому доповненню, тобто d.x; x0/ > a. Покладемо " D
82
d.x; x0/ � a2
. Зрозумiло, що " > 0, i для довiльної точки .y; b/ з "-околу точки
.x0; a/, тобто з множини B".x0/� .a� "; aC "/, виконано нерiвностi: d.y; x/ �
d.x0; x/�d.x0; y/ > .aC2"/�" D aC" > b. Отже, "-окiл точки .x0; a/ лежить
в множинi X � Œ0;diamX� n Fx . �
Тодi множина Fx D Fx \ .S � I / теж непорожня i замкнена у S �Œ0;diamX�.
4.3.3. ЛЕМА. Якщо .X; d/– метричний компакт, S — його замкнена
пiдмножина, то вiдображення f зX у простiр exp.S � Œ0;diamX�/ непоро-
жнiх замкнених пiдмножин вказаного добутку з метрикою Гаусдорфа, яке
кожнiй точцi x 2 X зiставляє множину Fx , є нерозтягуючим.
ДОВЕДЕННЯ. Нехай x; y 2 X , x ¤ y, тодi r D d.x; y/ > 0. Якщо
.x0; a/ 2 Fx , тобто d.x; x0/ � a, то покладемо b D minfa C r;diamXg. Тодi
jb � aj D �..x0; a/; .x0; b// � r , i d.y; x0/ � d.x; y/C d.x; x0/ D d.x; x0/C r .
Враховуючи d.y; x0/ 6 diamX , маємо d.y; x0/ � b, тобто .x0; b/ 2 Fy .
Отже, до кожної точки .x0; a/ 2 Fx на вiдстанi � r лежить точка .x0; b/ 2Fy , i навпаки. Це означає, шо вiдстань Гаусдорфа �H мiж Fx та Fy не переви-
щує r D d.x; y/, тобто f нерозтягуюче. �
Кожному елементу x 2 X при фiксованому " > 0 зiставимо множину
Gx � S � I вигляду
Gx D�
.x0; ˛/jx0 2 S; ˛ 2 I; ˛ 6 maxf0; 1 � d.x; x0/ � d.x; S/"
g�
:
Зауважимо, що точка .x0; ˛/, де ˛ > 0, може належати до Gx тiльки при x0 2 S ,
d.x; x0/ < d.x; S/C ".
4.3.4. ТВЕРДЖЕННЯ. Iстинними є твердження:
(1) Множина Gx – замкнена в S � I ;
(2) вiдображення g W X � .0;C1/ ! exp.S � I /, яке кожному еле-
менту x 2 X та числу " > 0 зiставляє множину Gx , є неперервним;
83
(3) для всiх x 2 X , " > 0 виконано
maxf˛ 2 I j iснує x0 2 S;що.x0; ˛/ 2 Gxg D 1:
ДОВЕДЕННЯ. Множину Gx � S � I можна отримати з множини Fx �S � Œ0;diamX� як образ Gx D .1X � �x;"/.Fx/, де �x;" W Œ0;diamX� ! I
визначене формулою �x;".a/ D maxf1 � a � d.x; S/"
; 0g. Звiдси Gx замкнена
як як образ замкненої множини при неперервному вiдображеннi компактiв (1).
Щобiльше, оскiльки Fx i �x;" неперервно залежать вiд x та ", то це ж iстинне
i для Gx (2). З компактностi S � X випливає iснування такого x0 2 S , що
d.x; x0/ D d.x; S/, тодi .x0; 1/ 2 Gx (3). �
4.3.5. ТВЕРДЖЕННЯ. Вiдображення ˆ W X � .0;C1/ ! S , визначене
формулою
ˆ.x; "/ D ˚i2I
f˛ixi j.xi ; ˛i / 2 Gxgє неперервним.
ДОВЕДЕННЯ. Неперервнiсть вiдображення ˆ автоматично випливає з
Твердження 4.3.4 та Теореми 4.2.1, оскiлькиˆ є композицiєю неперервних вiд-
ображень g та h. �
4.4. Неперервнi наближення субнормованих ємностей
Покажемо, що простiр субнормованих ємностей MX , визначених на ме-
тричному компактi, є метричним I -опуклим компактом, та побудуємо набли-
ження будь-якої ємностi c 2 MX ємностями iз його довiльного замкненого
I -опуклого пiдпростору.
4.4.1. ТВЕРДЖЕННЯ. Трiйка .MX;_;^/ є компактним гаусдорфовим
лоусоновим I -напiвмодулем, де операцiї _ W MX � MX ! MX та ^ WI �MX ! MX визначенi формулами:
c1 _ c2.F / D maxfc1.F /; c2.F /g;
84
˛ ^ c.F / D minf˛; c.F /g;
де c1; c2 2 MX , ˛ 2 I , F � l
X .
ДОВЕДЕННЯ. Майже очевидно, що функцiї c1 _ c2 W expX ! I , ˛ ^ c WexpX [ f¿g ! I , що визначенi формулами вище, є ємностями на X .
Поклавши ˚ D _, ˝ D ^, та обравши в якостi нульового елемента N0 2MX “нульову ємнiсть”, яка набуває значення N0.F / D 0 для всiх F �
l
X ,
забезпечуємо виконання аксiом (1)-(7) iз означення напiвмодуля. Тому, дiйсно,
.MX;_;^/ – це (лiвий iдемпотентний) .I;max;min/-напiвмодуль.
Якщо на MX визначити частковий порядок
c1 � c2 , c1 _ c2 D c2 , c1.F / � c2.F /; для всiхF � l
X;
то попарнi супремуми обчислюються поаргументно
c1 _ c2.F / D maxfc1.F /; c2.F /g;
i MX є верхньою напiвграткою з найменшим елементом N0.
Нагадаємо, що передбаза, яка складається iз множин вигляду O�.F;A/ i
OC.U; a/, де A � l
X , U �op
X , a 2 I , визначає на MX компактну гаусдорфову
топологiю � . Вiдомо [32, 34], що .MX;�/ є топологiчною (тобто попарний
супремум c1 _ c2 неперервно залежить вiд c1 та c2 щодо топологiї � ) верхньою
напiвграткою Лоусона (оскiльки елементи передбази O�.F;A/ i OC.U; a/ є
пiднапiвгратками), а топологiя � є Лоусоновою топологiєю.
Визначимо функцiю c1 _ ˛c2 W expX [ f¿g ! I , формулою
c1 _ ˛c2.F / D c1 _ .˛ ^ c2/.F / D max
˚
c1.F /;minf˛; c2.F /g
;
яка є субнормованою ємнiстю на X . Вiдображення MX � I � MX ! MX ,
яке .c1; ˛; c2/ зiставляє c1 _ ˛c2 є неперервним.
Отже,MX є компактним гаусдорфовим простором з неперервною за Ло-
усоном парною I -опуклою комбiнацiєю, з якою вiн є компактною гаусдорфо-
вою верхньою напiвграткою Лоусона. �
85
Якщо компактна топологiя на X визначається метрикою d , то .MX; Od/є метричним компактом i метрика Od , що означена на MX як вiдомо [46], є су-
мiсною з його топологiєю � , тобто .MX;_;^/ – це метричний I -напiвмодуль.
Зауважимо, що MX є замкненою I-опуклою пiдмножино напiвмодуля
MX , тобто простiр нормованих ємностей є I-опуклим компактом у MX .
Розглянемо задачу наближення довiльної ємностi c 2 MX (або c 2 MX)
ємностями iз замкненого I -опуклого пiдпростору S � MX (вiдповiдно S �MX). Опуклiсть означає, що S мiстить всi I -опуклi комбiнацiї вигляду _
i2I.˛i^
ci /, де ci 2 S , ˛i 2 I , maxf˛i ji 2 Ig D 1. Для простоти розглянемо бiльш за-
гальний випадок MX .
Для обраної ємностi c 2 MX та " > 0 побудуємо множину
Gc D(
.c0; ˛/jc0 2 S; ˛ 2 I; ˛ 6 maxf0; 1 �Od.c; c0/ � Od.c; S/
"g)
;
яка є замкненою в S � I згiдно Твердження 4.3.4.
Визначимо ємнiсть Qc" як I -опуклу комбiнацiю
Qc" D _i2I
f˛i ^ ci j.ci ; ˛i / 2 Gcg:
Рiвносильно Qc" можна представити у виглядi
Qc".F / D sup
(
.1 �Od.c; c0/ � Od.c; S/
"/ ^ c0.F /jc0 2 S; Od.c; c0/ � Od.c; S/C "
)
для всiх F � l
X .
Ємнiсть Qc" хоча не є найближчою iз пiдпростору S , але є “майже наближ-
чою” до даної ємностi c 2 MX , що стверджує наступна теорема.
4.4.2. ТЕОРЕМА. Для ємностi c 2 MX , довiльного " > 0та замкненого
I -опуклого пiдпростору S � MX ємнiсть Qc", визначена, як
Qc".F / D sup
(
.1 �Od.c; c0/ � Od.c; S/
"/ ^ c0.F /jc0 2 S; Od.c; c0/ � Od.c; S/C "
)
для всiх F � l
X , належить до S i задовольняє нерiвнiсть Od.c; Qc"/ � Od.c; S/C", а вiдображення ˆ W MX � .0;diamMX� ! S , визначене формулою
ˆ.c; "/ D Qc" є неперервним.
86
ДОВЕДЕННЯ. Доведемо, що Od.c; Qc"/ � "C Od.c; S/. Останнє рiвносильно
виконанню для всiх F � l
X нерiвностей:
Qc". NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/ > c.F /;
c. NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/ > Qc".F /
Компактна множина S � MX завжди мiстить оптимальну, тобто “най-
ближчу” до c 2 MX ємнiсть c0, таку, що Od.c; c0/ D Od.c; S/ D ı . Тодi
Qc" � .1 �Od.c; c0/ � Od.c; S/
"/ ^ c0 D c0, тобто Qc" � c0. Так як Od.c; c0/ D ı, то
для довiльної F � l
X виконуються нерiвностi:
c.F / � c0. NOı.F //C ı < Qc". NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/
Припустимо, що для деякої F � l
X вiрно наступне:
Qc".F / > c. NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/:
Тодi iснуватиме така пара .c0; a/ , що c0 2 S , Od.c; S/ � a та
maxf0; 1 � a � Od.c; S/"
g ^ c0.F / > c. NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/:
Останнє можливе тiльки якщо a � Od.c; S/ C ". Але оскiльки Od.c; c0/ � a, то
виконуються:
c0.F / � c.Oa.F //C a � c. NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/:
Звiдки слiдує, що
maxf0; 1 � a � Od.c; S/"
g ^ c0.F / � c. NO"C Od.c;S/
.F //C "C Od.c; S/;
а це суперечить припущенню.
Неперервнiсть вiдображенняˆ є безпосереднiм наслiдком Твердження 4.3.5.
�
Зауважимо, що аналогiчна теорема iстинна також для MX . У роздiлi 3
описано методи знаходження вiдстаней Od.c;M\X/, Od.c;M[X/, Od.c;MX0/ до
87
пiдпросторiвM\X ,M[X таMX0, якi є замкненими I -опуклими пiдмножина-
ми напiвмодуля .MX;_;^/ (M[X є I -опуклим якщо I -опукла комбiнацiя на
.MX;_;^/ визначається двоїстим способом, див. [59]). Таким чином, ми мо-
жемо використати останню теорему для побудови наближень \-ємностями,[-
ємностями або ємностями на X0 � l
X , довiльної нормованої ємностi c на X ,
що є "-близькими до оптимальних i неперервно залежать вiд c та ".
Висновки до роздiлу 4
У роздiлi розглянуто задачу пошуку неперервного оптимального набли-
ження, тобто неперервної селекцiї многозначного вiдображення, яке зiставляє
кожнiй ємностi на метричному компактi множину її оптимальних наближень
ємностями з певного класу. Побудовано приклади того, що така селекцiя мо-
же не iснувати для двох важливих класiв — пiдпростору мiр можливостi та
пiдпростору ємностей, зосереджених на замкненому пiдпросторi даного ме-
тричного компакта.
Тому решта роздiлу присвячена доведенню iснування неперервних май-
же оптимальних наближень, “гiрших” вiд оптимальних не бiльш, нiж на напе-
ред обране " > 0. Для їх побудови використано те, що розглядуванi класи
є I -опуклими компактами. Побудовано iдемпотентну опуклу комбiнацiю не-
скiнченної кiлькостi елементiв I -опуклого компакта i доведено, що вона не-
перервно залежить вiд своїх аргументiв, якщо останнi розумiти як замкнену
множину у топологiчному добутку компакта на одиничний вiдрiзок – елемент
гiперпростору з топологiєю Вiєторiса.
Доведено, що простiр субнормованих ємностей, визначених на метри-
чному компактi, є компактним гаусдорфовим лоусоновим I -напiвмодулем, i
тому будь-яку ємнiсть на метричному компактi можна неперервно апрокси-
мувати з майже оптимальною точнiстю, ємностями, що належать довiльному
його замкненому I -опуклому пiдпростору, зокрема, ємностями iз класiв [, \-
ємностей та ємностей на фiксованому замкненому пiдпросторi.
Основнi результати роздiлу 4 опублiковано в статтях [54], [19] та тезах
доповiдей [50], [55], [20].
88
РОЗДIЛ 5
ОСНОВИ ТА ВИМIРИ ЄМНОСТI
Суттєвою проблемою при дослiдженнi ємностей є те, що знаючи значен-
ня ємностей для “дрiбних” множин, не завжди можливо прогнозувати значен-
ня ємностi на множинi, що є їх об’єднанням. В бiльшостi випадкiв доводиться
володiти iнформацiєю про значення ємностi на всiх замкнених пiдмножинах
простору X . Таку iнформацiю акумулює в собi обмеження ємностi нa її но-
сiй, тому достатньо знати значення ємностi на всiх пiдмножинах носiя. Проте
в деяких випадках носiй ємностi може бути досить великим, навiть збiгатися з
усiм простором X . Тому виникає питання: чи можна для ємностi c обрати де-
яку “меншу” сукупнiсть F пiдмножин простору X , яка б “з певною точнiстю”
визначала задану ємнiсть. Така сукупнiсть iснує, її ми називаємо основою єм-
ностi. Маючи основу (скiнченну), ми можемо задану ємнiсть апроксимувати з
певною точнiстю ємнiстю простiшої будови, заданою (скiнченною) множиною
значень на всiх об’єднаннях елементiв основи вихiдної ємностi. Ми спробу-
ємо оцiнити кiлькiсть елементiв найменшої можливої основи F для ємностi,
досдiжуючи фрактальнi вимiри. Почнемо iз гiперпросторiв включення, якi є
найпростiшими (двозначними) нормованими ємностями.
5.1. Фрактальнi вимiри для гiперпросторiв включення
Нагадаємо, що гiперпростором включення [42] на компактi X назива-
ється непорожня замкнена пiдмножина G простору expX така, що для всiх
A 2 G та B 2 expX з включення A � B випливає, що B 2 G. Множина GX
усiх гiперпросторiв включення на X є замкненою в exp
2X , тому є компактом
у топологiї, iндукованiй з exp2X . Якщо .X; d/ є метричним компактом, то то-
пологiя на GX визначається обмеженням метрики dHH D .dH /H , тобто для
89
G;G0 2 GX :
dHH .G;G0/ D inff" > 0 j NO"A 2 G0 для всiх A 2 G; NO" B 2 G для всiх B 2 G0g:
Простiр усiх гiперпросторiв включенняGX можна розглядати як пiдпро-
стiр простору нормованих ємностей MX , оскiльки кожен G 2 GX визначає
двозначну ємнiсть вигляду
cG.F / D
8
ˆ
<
ˆ
:
1; F 2 G;
0; F … G;для всiх F �
l
X;
Кожен елемент A гiперпростору включення G мiстить мiнiмальний еле-
мент A0 2 G, тобто такий елемент, для якого з включення A0 � B 2 G
випливає, що A0 D B .
Для гiперпростору включення G 2 GX серед усiх множин X0 � l
X , та-
ких, що з A 2 G випливає A \ X0 2 G, iснує найменша множина, яка називає-
ться носiєм G i позначається через suppG.
5.1.1. ОЗНАЧЕННЯ. Для гiперпростору включення G 2 GX , скiнченна або
злiченна сiм’я F замкнених множин простору X називається основою гiпер-
простору G, якщо для кожного елемента A 2 G iснують такi F1; F2; : : : ; Fn 2F , n 2 N, що Fi \ A ¤ ; для всiх 1 6 i 6 n та F1 [ F2 [ � � � [ Fn 2 G.
5.1.2. ОЗНАЧЕННЯ. Основа F гiперпростору включення G називається
ı-основою для ı > 0, якщо diamF 6 ı для всiх F 2 F .
Маючи ı-основу F гiперпростору включення G, ми можемо перевiрити,
чи iснують для довiльної множини A � l
X такi F1; F2; : : : ; Fn 2 F , n 2 N,
що Fi \ A ¤ ;, при всiх 1 6 i 6 n, та F1 [ F2 [ � � � [ Fn 2 G. Якщо таких
Fi 2 F не iснує, то це означає, що множина A не є елементом гiперпростору
включення G. Якщо такi Fi 2 F iснують, то це ще не гарантує, що A 2 G,
проте A0 D A [ F1 [ F2 [ � � � [ Fn 2 G. Зауважимо, що A � A0 � NOı A, тому
dH .A;A0/ 6 ı.
90
Тому ми можемо визначити гiперпростiр включення G на X наближено
“скiнченним способом”. Достатньо тiльки вказати, якi скiнченнi об’єднання
елементiв ı-основи F належать до G. Використовуючи цю iнформацiю, ми мо-
жемо перевiрити чи належить довiльна множина A � l
X до гiперпростору
включення G, або, принаймнi, ми можемо дiзнатися, чи iснує така множина
A0 2 G, яка є досить близькою до A щодо метрики Гаусдорфа. Для скiнчен-
ної основи F гiперпростiр включення G наближено визначається сукупнiстю
< 2jFj пiдмножин простору X .
5.1.3. ЗАУВАЖЕННЯ. Для того, щоб сiм’я F була основою гiперпросто-
ру включення G, достатньо, але не необхiдно, аби iснувала така сукупнiсть
F1; F2; : : : ; Fn 2 F , що F1 [ F2 [ � � � [ Fn � suppG. З iншого боку, якщо F є
основою G, то fF 2 F j F \ supp G ¤ ;g також є основою G.
Введемо для G 2 GX , s > 0, ı > 0 позначення:
Nı.G/ D min
˚
jF jˇ
ˇ F – це ı-основа G
;
Hsı.G/ D inf
˚
X
f.diamF /s j F 2 Fgˇ
ˇ F – це ı-основа G
:
I як зазвичай, покладемо Hs.G/ D lim
ı!0Hs
ı.G/.
Означимо наступнi фрактальнi вимiри гiперпростору включення G 2 GX :
верхнiй вимiр Мiнковського (upper box dimension)
dimB G D lim
ı!0
lnNı.G/
� ln ı;
нижнiй вимiр Мiнковського (lower box dimension)
dimB G D lim
ı!0
lnNı.G/
� ln ı;
вимiр Гаусдорфа (Hausdorff dimension):
dimH G D supfs > 0 j Hs.G/ D 1g D inffs > 0 j Hs.G/ D 0g:Очевидно, що
dimH G 6 dimB G 6 dimB G
для всiх G 2 GX . Якщо значення dimB G та dimB G збiгаються, то ми називає-
мо їх вимiром Мiнковського гiперпростору включення G i позначаємо dimB G.
91
Iз Зауваження 5.1.3 випливають також нерiвностi:
dimH G 6 dimH suppG;dimB G 6 dimB suppG;dimB G 6 dimB suppG:
Отже, введенi фрактальнi вимiри описують асимптотичну поведiнку мi-
нiмальної потужностi i мiнiмальної “малостi” ı-основи для гiперпростору, ко-
ли ı прямує до 0.
5.1.4. ЗАУВАЖЕННЯ. Можна навести приклад злiченної ı-основи F DfF1; F2; F3; : : : g гiперпростору включення G, такої, що жодна iз її скiнченних
пiдсiмей не є ı-основою. З iншого боку, для будь-якої послiдовностi "n & 0
сiм’я F 0 D f NO"1F1; NO"2
F2; NO"3F3; : : : g є ı C 2"1-основою, з якої ми може-
мо обрати таку скiнченну пiдсiм’ю, яка також буде ı C 2"1-основою. Звiдси
випливає, що в означеннi Hsı.G/, а тому й в означеннi вимiру Гаусдорфа гiпер-
простору включення G, ми можемо розглядати тiльки скiнченнi ı-основи.
5.1.5. ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо G 2 GX має єдиний мiнiмальний елемент
A0 � l
X , тобто такий A0 2 G, що для A � l
X з A 2 G випливає включення
A � A0, то
dimH G D dimH A0;dimB G D dimB A0;dimB G D dimB A0:
ДОВЕДЕННЯ. Грунтується на тому, що сiм’яF замкнених множин є осно-
вою гiперпростору включення G тодi i тiльки тодi, коли вона мiстить скiнченне
пiдпокриття A0. �
5.1.6. ТВЕРДЖЕННЯ. Iснує гiперпростiр включення G на I 2 такий, що
dimB G D dimB G < dimB suppG D dimB supp G:
ДОВЕДЕННЯ. Нехай для n 2 N, xn D . 1n; 0/, yn D . 1
n; 1
2n /, X D fxn jn 2 Ng [ fyn j n 2 Ng [ f.0; 0/g.
Побудуємо гiперпростiр включення G з носiєм X наступним способом:
вважаємо, що множина A � l
I 2 мiститься в G тодi i тiльки тодi, коли вона
92
мiстить деяку з множин :A0 D fxk j k 2 Ng[f.0; 0/g,An D fx1; x2; : : : ; xn; yngдля n 2 N. Iз прикладу 3.5 [7] випливає, що
dimB X D dimB X D dimBf0; 1; 12;1
3; : : : g D dimBf0; 1; 1
2;1
3; : : : g D 1
2:
Нехай ı > 0 та n 2 N є такими, що 12n 6 ı < 1
2n�1 , тодi множина
замкнених куль радiусiв 12n з центрами x1; y1; x2; y2; : : : ; xn�1; yn�1; xn є ı-
основою гiперпростору включення G. Тому Nı.G/ 6 2n � 1 6 2Œ� log2 ı�C 1
та
dimB G D lim
ı!0
lnNı.G/
� ln ı6 lim
ı!0
ln.2Œ� log2 ı�C 1/
� ln ı6 lim
t!C1
ln.2t C 1/
t ln 2D 0;
звiдки dimB G D dimB G D 0. �
5.1.7. ЗАУВАЖЕННЯ. Якщо для кожного ı > 0 зафiксувати ı-основу
Fı гiперпростору включення G, то lim
ı!0
.S
Fı/ � supp G. Залишається вiдкри-
тим питання: чи iснує G, для якого виконується строга нерiвнiсть dimH G <
dimH suppG?
Вiдомо [42], що для гiперпростору включення G його трансверсаль (trans-
versal) G? D fT 2 expX j T \A ¤ ; для всiх A 2 Gg також є гiперпростором
включення, а вiдображення трансверсалi .�/? W GX ! GX , яке ставить у
вiдповiднiсть кожному G його трансверсаль G?, є iнволютивним гомеоморфi-
змом, що зберiгає носiй.
5.1.8. ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай F – основа гiперпростору включення G 2GX i F 0 – це сукупнiсть таких замкнених множин в X , що кожна множина
F 2 F мiститься в IntF 0 для деякої множини F 0 2 F 0. Тодi F 0 є основою
G?.
ДОВЕДЕННЯ. Нехай T 2 G?. Тодi T має непорожнiй перетин з кожною
множиною A 2 G. За означенням основи iснують F1; F2; : : : ; Fn 2 F , n 2 N
такi, що Fi \A ¤ ;, для всiх 1 6 i 6 n, та F1 [ F2 [ � � � [ Fn 2 G,тому T має
також непорожнiй перетин iз F1 [ F2 [ � � � [ Fn. Позначимо через FA такий
93
елемент Fi 2 F , що T \Fi ¤ ;, а через F 0A такий елемент F 0, що FA � IntF 0
A.
Тодi компакт G � l
expX покривається вiдкритими множинами hX; IntF 0Ai для
A 2 G, тому iснує скiнченне пiдпокриття hX; IntF 0A1
i, . . . , hX; IntF 0Ak
i. Тодi
T \ F 0Aj
¤ ; для 1 6 j 6 k, та F 0A1
[ F 0A2
[ � � � [ F 0Ak
2 G?. �
5.1.9. НАСЛIДОК. Вiдображення трансверсалi .�/? W GX ! GX збе-
рiгає нижнiй вимiр Мiнковського, верхнiй вимiр Мiнковського та вимiр Гаус-
дорфа для гiперпросторiв включення.
5.2. Фрактальнi вимiри для ємностей
Пiдхiд до ємностей аналогiчний тому, що застосовувався для гiперпро-
сторiв включення: ми спробуємо апроксимувати мiри усiх замкнених множин
на метричному компактi X мiрами їх наближень, збудованих iз дрiбних “це-
глин”, та пiдрахувати необхiдну кiлькiсть цих “цеглин”.
5.2.1. ОЗНАЧЕННЯ. Для ємностi c 2 MX та числа " > 0, сiм’я F усiх
замкнених множин простору X називається "-основою ємностi c, якщо для
кожної непорожньої множини A � l
X , iснують такi F1; F2; : : : ; Fn 2 F , n 2 N,
що Fi \ A ¤ ;, для всiх 1 6 i 6 n, та c.F1 [ F2 [ � � � [ Fn/ > c.A/ � ".
5.2.2. ОЗНАЧЕННЯ. "-основа F ємностi c називається ı-"-основою для
" > 0 та ı > 0, якщо diamF 6 ı для всiх F 2 F .
Маючи скiнченну ı-"-основу F ємностi c, ми можемо визначити насту-
пну ємнiсть cF :
cF .A/ D c�
[
fF 2 F j A \ F ¤ ;g�
; A � l
X:
Отримана ємнiсть визначається “меншою” сукупнiстю 2jFj значень ємностi c
на всiх скiнченних об’єднаннях елементiв F . Оскiльки Od.c; cF / 6 maxfı; "g,
то ми отримали наближення ємностi c ємнiстю, яка має набагато простiшу
природу.
94
Отже, природно виникає задача про пошук найменшої можливої ı-"-основи
F для ємностi c 2 MX та побудову вiдповiдної ємностi cF , яка задається
скiнченною множиною значень.
Для c 2 MX , s > 0, " > 0, ı > 0 позначимо:
Nı;".c/ D min
˚
jF jˇ
ˇ F – це ı-"-основа c
;
Hsı;".c/ D inf
˚
X
f.diamF /s j F 2 Fgˇ
ˇ F – це ı-"-основа c
;
Hs".c/ D lim
ı!0Hs
ı;".c/
Зауважимо, що обидва значення Nı;".c/ та Hsı;".c/ зростають при змен-
шеннi будь-якого з ı та ". Тому ми можемо покласти
Hs".c/ D lim
ı!0Hs
ı;".c/:
Визначимо наступнi фрактальнi вимiри ємностi c:
слабкий верхнiй вимiр Мiнковського (weak upper box dimension)
dimWB c D lim
"!0dim"B c;
слабкий нижнiй вимiр Мiнковського (weak lower box dimension)
dimWB c D lim
"!0dim"B c;
слабкий вимiр Гаусдорфа( weak Hausdorff dimension)
dimWH c D lim
"!0dim"H c;
де
dim"B c D lim
ı!0
lnNı;".c/
� ln ı; dim"B c D lim
ı!0
lnNı;".c/
� ln ı;
dim"H c D supfs > 0 j Hs".c/ D 1g D inffs > 0 j Hs
".c/ D 0g:
Для ємностi c 2 MX серед усiх таких пiдмножин X0 � l
X , що для до-
вiльної A � l
X виконується c.A/ D c.A \ X0/, iснує найменша множина, яка
називається носiєм ємностi c та позначається supp c. Очевидно, що кожна
сукупнiсть ı -куль, що покриває supp c, є однiєю iз ı-"-основ ємностi c.
95
5.2.3. ЗАУВАЖЕННЯ. Для всiх c 2 MX виконуються нерiвностi:
dimWB c 6 dimB supp c;dimWB c 6 dimB supp c
та
dimWH c 6 dimWB c 6 dimWB c;dimWH c 6 dimH supp c:
5.2.4. ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай нормована ємнiсть cG визначена гiперпро-
стором включення G на метричному компактi X . Тодi слабкий верхнiй та
слабкий нижнiй вимiри Мiнковського, слабкий вимiр Гаусдорфа ємностi cG
збiгаються вiдповiдно з верхнiм та нижнiм вимiрами Мiнковського, вимiром
Гаусдорфа гiперпростору включення G.
ДОВЕДЕННЯ. Достатньо перевiрити, що для всiх " 2 Œ0I 1/ та ı > 0,
сiм’я F є ı-"-основою для cG тодi i тiльки тодi, якщо вона є ı-основою G, тому
вiдповiднi значення не залежать вiд " 2 .0I 1/. �
Iз останнього зауваження та Твердження 5.1.6 випливає аналог Прикладу
7.1 iз [38]:
5.2.5. ТВЕРДЖЕННЯ. Iснує нормована ємнiсть c на I 2 така, що
dimWB c D dimWB c < dimB supp c D dimB supp c:
Кожна адитивна регулярна мiра на метричному компактi є ємнiстю, то-
му поширимо введенi вимiри на адитивнi регулярнi мiри та порiвняємо їх iз
класичними вимiрами мiри [38] (верхнiм та нижнiм вимiрами Мiнковського,
вимiром Гаусдорфа).
Зауважимо, що сiм’я F замкнених пiдмножин X є ı-"-основою для суб-
iмовiрнiсної мiри � тодi i тiльки тодi, коли iснують такi F1; F2; : : : ; Fn 2 F ,
що diamFi 6 ı для всiх 1 6 i 6 n та �.F1 [F2 [� � �[Fn/ > �.X/�". Iншими
словами, Nı;".�/ є мiнiмальним таким n 2 N, для якого iснує така множина
F � l
X , яка може бути покрита n множинами дiаметра 6 ı та �.X n F / 6 ".
96
ОтжеNı;".�/ є мiнiмумомNı.F / для всiх таких F � l
X , що �.F / > �.X/�".Тому для такого фiксованого F :
dim"B � D lim
ı!0
lnNı;".�/
� ln ı6 lim
ı!0
lnNı.F /
� ln ıD dimB F;
звiдки dim"B � 6 inffdimB F j F � l
X;�.F / > �.X/� "g. Тому
dimWB � D lim
"!0dim"B � 6 lim
"!0inffdimB F j F �
l
X;�.F / > �.X/� "g:
Аналогiчно
dimWB � D lim
"!0dim"B � 6 lim
"!0inffdimB F j F �
l
X;�.F / > �.X/� "g:
Зауважимо, що
dimWH � D lim
"!0dim"H � D lim
"!0inffs > 0 j Hs
".�/ D 0g D
D lim
"!0inf
˚
s > 0 j для всiх ı > 0; � > 0
iснують n 2 N; F1; F2; : : : ; Fn � l
X
такi, що diamFi 6 ı; �.F1 [ F2 [ � � � [ Fn/ > �.X/ � ";
та .diamF1/s C .diamF2/
s C � � � C .diamFn/s < �
6
6 lim
"!0inf
F � l
X
�.F />�.X/�"
inf
˚
s > 0 j для всiх ı > 0; � > 0
iснують n 2 N; F1; F2; : : : ; Fn � l
X
такi, що diamFi 6 ı; F1 [ F2 [ � � � [ Fn � F;
та .diamF1/s C .diamF2/
s C � � � C .diamFn/s < �
D
D lim
"!0inf
˚
dimH .F / j F � l
X;�.F / > �.X/ � "
:
Три останнi правi вирази є майже точними означеннями верхнього dimB �
та нижнього dimB � вимiрiв Мiнковського, вимiру Гаусдорфа dimH � ади-
тивної регулярної мiри �, введеними в [38]. Вiдмiннiсть полягає тiльки в то-
му, що в усiх згаданих означеннях розглядалися борелiвськi множини F , проте
завдяки внутрiшнiй компактнiй регулярностi борелiвської мiри це не впливає
на результат.
97
Отже, ми прийшли до наступного результату.
5.2.6. ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо субнормована ємнiсть c є адитивною (тоб-
то субiмовiрнiсною мiрою), то слабкий верхнiй та слабкий нижнiй вимiри
Мiнковського i слабкий вимiр Гаусдорфа ємностi c не перевищують вiдпо-
вiдно верхнього та нижнього вимiрiв Мiнковського, вимiру Гаусдорфа:
dimWB c � dimB c;dimWB c � dimB c;dimWH c � dimH c:
Для нижнього вимiру Мiнковського останнє твердження ми можемо сфор-
мулювати точнiше.
5.2.7. ТЕОРЕМА. Для адитивної регулярної мiри �, визначеної на ме-
тричному компактi X , слабкий нижнiй вимiр Мiнковського збiгається з ни-
жнiм вимiром Мiнковського.
ДОВЕДЕННЯ. Беручи до уваги, що dimWB � 6 dimB �, достатньо пе-
ревiрити тiльки нерiвнiсть dimB � 6 dimWB �. Нехай dimWB � < ˛, то-
дi для всiх " > 0, згiдно означення dimWB �, iснує множина F1 � l
X , що
�.X n F1/ < "=2, та ı1 > 0, для якихlnNı1
.F1/
� ln ı1
< ˛ ” Nı1.F1/ < ı
˛1 .
Аналогiчно iснують такi F2 � l
X та ı2 > 2ı1, що �.X n F2/ < "=4,
Nı2.F2/ < ı˛
2 , iснують такi Fk � l
X та ık > 2ık�1, що �.X n Fk/ < "=2k ,
Nık.Fk/ < ı
˛k
i т.д. Тодi для замкненої множини F D1T
kD1
Fk маємо
�.X n F / D �.
1[
kD1
Fk/ 6
1X
kD1
�.Fk/ 6"
2C "
4C "
8C � � � D "
та Nık.F / 6 Nık
.Fk/ < ı˛k
для всiх k D 1; 2; : : : . Тодi
lim
ı!0
lnNı;".�/
� ln ı6 lim
k!1
lnNık.F /
� ln ık
6 ˛
для всiх " > 0, тому dimWB � < ˛ H) dimB � 6 ˛. Звiдки слiдує, що
dimB � 6 dimWB �. Отже dimWB D dimB �. �
98
Нижче наведено приклад, який демонструє, що слабкий верхнiй вимiр
Мiнковського адитивної мiри може бути строго менший вiд верхнього вимiру.
5.2.8. ТЕОРЕМА. Iснує така ймовiрнiсна мiра �, визначена на I , що
dimWB � D dimWB � D dimB � < dimB �:
ДОВЕДЕННЯ. Визначимо наступнi операцiї ', та � , якi можна засто-
сувати до довiльного вiдрiзка дiйсної прямої: подiлимо вiдрiзок на 8 рiвних
частин i залишимо тiльки 2-у, 4-у, 6-у та 8-у частини (разом з кiнцями) для
', 4-у та 8-у частини для , i тiльки 4-у частину для � . Якщо ми маємо непе-
ретиннi об’єднання вiдрiзкiв однакової довжини, то пiсля застосувань до них
усiх кожної з операцiй ', , � ми отримуємо неперетиннi об’єднання вiдрiзкiв
iз 8 частин меншої довжини. Мiра Лебега об’єднання множиться на 12
, 14
та 18
вiдповiдно.
Упорядкуємо множину P усiх пар .i; j / таких що i 2 f1; 2; : : : g та 1 6
j 6 2i лексикографiчно, тобто .i; j / 6 .i 0; j 0/ якщо i < i 0 або i D i 0 та j 6 j 0.
Нехай b W P ! N – зростаюча бiєкцiя. Зауважимо, що якщо b.i; j / D k, тодi
2C 22 C � � � C 2i�1 D 2i � 2 < k 6 2C 22 C � � � C 2i�1 C 2i D 2iC1 � 2.
Тепер вiзьмемо одиничний вiдрiзок I та побудуємо спадну послiдовнiсть
його непорожнiх замкнених пiдмножин F1 � G1 � F2 � G2 � F3 � : : : .
Усi Fi будуть неперетинними об’єднаннями 22kвiдрiзкiв одинакової довжи-
ни1
82k, попарно мiж якими вiдстань не менша, нiж
1
82k. Зокрема, множина
F1 D Œ0; 1=8�[Œ1=4; 3=8�[Œ1=2; 5=8�[Œ3=4; 7=8�. Для всiх k 2 N, щоб отримати
FkC1, ми застосовуємо наступний алгоритм: беремо такi i 2 N та 1 6 j 6 2i ,
що b.i; j / D k, тодi дiлимо усi 2 � 22kвiдрiзкiв, якi становлять Fk , злiва на-
право на 2i груп рiвної загальної довжини, i утворюємо Ak об’єднуючи еле-
менти j -ої групи. Застосовуємо операцiю до всiх вiдрiзкiв множини Fk якi
не мiстяться в Ak , далi застосовуємо її до всiх отриманих вiдрiзкiв i т.д.,
повторюємо це 2k�1 разiв. До тих вiдрiзкiв, якi мiстяться в Ak , ми аналогi-
чно iтерацiйно 2k�1 разiв застосовуємо операцiю '. Результуючу множину ми
99
позначаємо через Gk . Далi до вiдрiзкiв, якi не мiстяться в Ak застосуємо опе-
рацiю бiльше, нiж 2k�1 разiв, а до тих вiдрiзкiв, що мiстяться в Ak операцiю
� застосуємо 2k�1 разiв, так ми отримаємо множину FkC1. Отже, кожен вiдрi-
зок множини Fk був подiлений 82kразiв на 22k�1 � 22k�1 D 22k�1C2k�1 D 22k
або на 42k�1 � 12k�1 D 22�2k�1 D 22kчастин меншої довжини. Тому в множи-
нi FkC1 є насправдi 22k � 22k D 22kC1вiдрiзкiв, i кожен з них має довжину
1
82k� 1
82kD 1
82kC1.
Iснує єдина регулярна адитивна мiра � на I з носiєм F1 D T1kD1 Fk ,
така, що усi 22kвiдрiзки множин Fk мають мiру, рiвну
1
22k. Дослiдимо фра-
ктальнi вимiри мiри �.
Щоб знайти слабкий верхнiй вимiр Мiнковського мiри �, нагадаємо, що
2i >k
2C 1. Для всiх " > 0 ми можемо обрати таке k0 2 N, що
k0
2C 1 >
1
",
тодi для всiх k > k0 мiра множини Ak не бiльша, нiж1
2i6
1
k=2C 16 ". Не
порушуючи загальностi, ми можемо припустити, що
1
82k>1
8l> ı >
1
8lC1>
1
82kC1
для деякого k > k0. Для F D F1 n Ak виконується �.F / > 1 � ". Множина
F мiститься в Fk n Ak i може бути покрита вiдрiзками довжини1
8lC16 ı,
отриманими пiсля l C 1� 2k iтерацiй , застосованих до22k
.2i � 1/2i
вiдрiзкiв
множиниFknAk . ОтжеN "ı.�/ 6 Nı.F / 6 2lC1�2k � 2
2k.2i � 1/2i
6 2lC1 <2
3pı
,
внаслiдок чого
lim
"B� 6 lim
ı!0
ln.2=3pı/
� ln ıD 1
3;
тому dimWB � 6 1=3.
З iншого боку, для всiх F � l
F1 таких, що �.F / > 1 � " виконується
�.F nAk/ > 1�2", тому iз вiдрiзкiв довжини1
8l> ı та мiри
1
2l, отриманих пi-
сля l�2k iтерацiй , застосованих до вiдрiзкiв Fk nAk , F перетинає принаймнi
.1 � 2"/2l >.1 � 2"/2l
23pı
. Прогалини мiж вiдрiзками є також не меншими, нiж
100
1
8l> ı, тому кожне ı-покриття множини F nAk має >
1 � 2"2
3pı
елементiв. Тому
lim
"B
.�/ > lim
ı!0
ln.1=23pı/
� ln ıD 1
3;
звiдки dimWB � > 1=3 H) dimB � D dimWB � D dimWB � D 1=3.
Щоб оцiнити верхнiй вимiр Мiнковського мiри �, зафiксуємо " > 0 i
для кожного i 2 N розглянемо усi k 2 N такi, що k D b.i; j / для деякого
j , тобто 2i � 1 6 k 6 2iC1 � 2. Сiм’я 2i множин A2i �1, A2i , . . . , A2iC1�3,
A2iC1�2, кожна з яких має мiру 1=2i , є покриттям множини F1. Припусти-
мо, що F � l
I , �.F / > 1 � " для " > 0. Тодi принаймнi один з перетинiв
F \ Ak для 2i � 1 6 k 6 2iC1 � 2 має мiру >1 � "2i
. Позначимо вiдповiдний
iндекс через ki i розглянемо множину Gki. Вона складається iз вiдрiзкiв дов-
жиною1
82ki� 1
82ki �1D 1
83�2ki �1iз промiжками мiж ними не меншими вiд цiєї
довжини. В множинi Gki\ Aki
їх iснує22ki
2i� 42ki �1 D 22ki C1
2iiз загальною
мiрою 1=2i . Тому F перетинає принаймнi.1 � "/22ki C1
2iцих вiдрiзкiв. Отже,
для ıi D 1
83�2ki �1кожне ıi -покриття множини F \ Aki
має >.1� "/22ki C1
2i
елементiв. Ми отримали оцiнку знизу
dimB F > lim
i!1
lnNıi.F /
� ln ıi
> lim
i!1
ln
.1�"/22ki C1
2i
ln.83�2ki �1/
D lim
i!1
2ki C1 � i9 � 2ki �1
D 4
9;
звiдки випливає, що dimB � > 4=9, тому dimB � ¤ dimWB � D 1=3. �
5.2.9. ЗАУВАЖЕННЯ. Невiдомо, чи iснує приклад ємностi c, для якого
має мiсце строга нерiвнiсть dimWH c < dimH c.
5.2.10. ТВЕРДЖЕННЯ. Нехай F є "-основою ємностi c 2 MX та F 0 є
сукупнiстю таких замкнених пiдмножин X , що кожна F 2 F мiститься в
IntF 0 для деякого F 0 2 F 0. Тодi F 0 є "0-покриттям двоїстої ємностi Qc для
всiх "0 > ".
101
ДОВЕДЕННЯ. Нехай Qc.T / D ˛ 2 I . Тодi c.A/ 6 1 � ˛ для всiх A � l
X ,
A \ T D ;. Розглянемо сукупнiсть A D fA � l
X j c.A/ > 1 � ˛ C "0g,
яка є замкненою в expX з топологiєю Вiєторiса. Для кожної множини A 2 A
iснують такi F1; F2; : : : ; Fn 2 F , що Fi \ A ¤ ; для всiх 1 6 i 6 n, та
c.F1 [ F2 [ � � � [ Fn/ > c.A/ � " > 1 � ˛, тому знайдеться таке Fi 2 F , що
Fi \T ¤ ;, позначимо його через FA. Нехай F 0A – це такий елемент сукупностi
F 0, що FA � IntF 0A. Тодi компакт A покривається вiдкритими множинами
hX; IntF 0Ai, тому iснує скiнченне пiдпокриття
hX; IntF 0A1
i [ hX; IntF 0A2
i [ � � � [ hX; IntF 0Ak
i � A:
Тепер розглянемо множинуF 0A1
[F 0A2
[� � �[F 0Ak
. Якщо вона має порожнiй
перетин з B � l
X , то B … A, тому c.B/ < 1 � ˛ C "0. Це означає, що Qc.F 0A1
[F 0
A2[ � � � [F 0
Ak/ > ˛� "0. Беручи до уваги, F 0
Aj2 F 0 та F 0
Aj\T ¤ ; для всiх
1 6 j 6 k, ми отримаємо, що F 0 є "0-основою двоїстої ємностi Qc. �
5.2.11. НАСЛIДОК. Для нормованої ємностi вiдображення двоїстостi
~X W MX ! MX зберiгає її слабкий нижнiй вимiр Мiнковського, слабкий
верхнiй вимiр Мiнковського та слабкий вимiр Гаусдорфа.
5.3. Самоподiбнi гiперпростори включення та ємностi
Дослiдимо випадок, коли запровадженi вимiри для гiперпросторiв вклю-
чення збiгаються з вимiрами їх носiїв. Спочатку наведемо необхiднi означення
фрактальної геометрiї [7].
Вiдображення f W X ! X метричного простору .X; d/ називається сти-
скуючим вiдображенням, якщо d.f .x/; f .y// � c � d.x; y/ для деякої кон-
станти 0 < c < 1 та всiх x; y 2 X .
Зокрема, вiдображення f W X ! X , для якого можна обчислити коефi-
цiєнт
Lipf D supfd.f .x/; d.f .y//d.x; y/
j x; y 2 X; x ¤ yg;
102
при Lipf < 1 є стискуючим з коефiцiєнтом стиску Lipf (та нерозтягуючим
при Lip f 6 1).
Вiдображення S W Rn ! Rn називається стискуючим вiдображенням
подiбностi, якщо iснує таке 0 < c < 1, що d.S.x/; S.y// D c �d.x; y/ для всiх
x; y 2 Rn ( d – Евклiдова метрика). Число c є коефiцiєнтом стиску вiдобра-
ження S . Очевидно, що S є афiнною бiєкцiєю. Для скiнченної множини
S D fS1; S2; : : : ; Skg
стискуючих вiдображень Rn ! Rn формула A 7! ˆS.A/ D S1.A/ [ S2.A/ [� � � [Sk.A/ визначає стискуюче вiдображенняˆS простору expRn, тобто про-
стору непорожнiх компактних (� обмежених замкнених) пiдмножин Rn з ме-
трикою Гаусдорфа. Згiдно вiдомої теореми Банаха, вiдображенняˆS має єди-
ну нерухому точку, тобто iснує така непорожня компактна множина K 2expRn, що
K D ˆS.K/ D S1.K/ [ S2.K/ [ � � � [ Sk.K/:
Тодi сiм’я вiдображень S називається системою iтерованих вiдображень (ite-
rated function system, IFS), а K — її атрактором.
Кажуть, що сiм’я S D fS1; S2; : : : ; Skg стискуючих вiдображень задо-
вольняє умову вiдкритої множини (Open Set Condition) (OSC), якщо iснує
така непорожня обмежена вiдкрита множина V , що V � S1.V /[S2.V /[� � �[Sk.V / та Si .V / \ Sj .V / D ¿ для всiх i ¤ j 2 f1; : : : kg. Якщо, крiм того,
множина V перетинає атрактор K, то виконується сильна умова вiдкритої
множини (Strong Open Set Condition) (SOSC). Доведено (Schief [39]), що для
скiнченної сiм’ї стискуючих вiдображень подiбностi простору Rn з OSC слiдує
SOSC. Вiдомо [7], що тодi K � ClV та dimH K D dimB K D dimB K D s,
де s – це розв’язок рiвняння cs1 C cs
2 C � � � C csk
D 1, cj – коефiцiєнт стиску
вiдображення Sj .
Нижче описується, як визначається [43, 33] система iтерованих вiдобра-
жень для гiперпросторiв включення на метричному компактному просторi .X; d/.
103
Для 0 < q < 1 множина Rq.X/ D fr W X ! X j Lip r 6 qg з метрикою
рiвномiрної збiжностi також є компактом.
Вiдображення Gr W GX ! GX визначається формулою: Gr.G/ D fB 2expX jB � r.A/ для деякого A 2 Gg. Для будь-якого Nr 2 expRq.X/ та G 2GX покладемо G Nr.G/ D T
r2Nr Gr.G/. Тодi G Nr.G/ 2 GX та залежить непе-
рервно вiд . Nr;G/ 2 expRq.X/ �GX .
Для R 2 GRq.X/ визначаєтьсяGR W GX ! GX за формулоюGR.F/ DS
Nr2RG Nr.F/. Зауважимо, що H 2 GR.F/ для H 2 expX тодi i тiльки тодi,
коли iснує Nr � l
Rq.X/, Nr 2 R, що для будь-якого r 2 Nr множина H мiстить
образ r.F / для деякого F 2 F . Тодi GR.F/ належить до GX та залежить
неперервно вiд .F ;R/ 2 GX �GRq.X/.
Притримуючись термiнологiї [43], називаємо R системою iтерованих
вiдображень (IFS) для гiперпросторiв включення, а GR – IFS оператором
(або фрактальним перетворенням) асоцiйованим з R. Функтори exp таG [42]
зберiгають коефiцiєнти стиску вiдображень, тому, якщо R 2 GRq.X/, то
GR 2 Rq.GX/ [33, Теорема 1]. Отже iснує єдина нерухома точка для GR.
Ми спрощуємо означення GR, розглядаючи тiльки гiперпростори R, ви-
значенi скiнченними сiм’ями S стискуючих вiдображень подiбностi, та вiдпо-
вiднi IFS оператори ˆS
.
Нехай D - непорожня компактна пiдмножина простору Rn. Визначимо
систему iтерованих вiдображень для гiперпросторiв включення G 2 GD як
сiм’ю
S D fS1;S2; : : : ;Smg
скiнченних множин
Si D fSj jj 2 Jig D fSj1; Sj2
; :::; Sjlg; 1 � i � m;
кожна з яких складається iз стискуючих вiдображень подiбностi
Sj W Rn ! Rn; j 2 J D f1; 2; : : : ; kg;
104
якi вiдображають множину D в себе (фактично S є скiнченною множиною мi-
нiмальних елементiв вище означеного гiперпростору включення R).
Позначимо S D S1 [ S2 [ � � � [ Sm D fS1; S2; : : : ; Skg. Тодi Ji D fj 2f1; 2; : : : ; kg j Sj 2 Si gg � J для всiх 1 6 i 6 m. Для кожного G 2 GD
нехай гiперпростiр включення ˆS
.G/ складається з усiх таких A � l
D, для
яких iснують Si D fSj1; Sj2
; : : : ; Sjlg таA1; A2; : : : ; Al 2 G, що A � Sj1
.A1/[Sj2
.A2/ [ � � � [ Sjl.Al /. Iншими словами, для IFS fS1;S2; : : : ;Smg визначимо
IFS оператор ˆS
W GD ! GD так:
ˆS
.G/ D�
A � l
Djiснує Si 2 S, таке, що S�1j .A/ 2 G для всiх Sj 2 Si
�
:
Iз результатiв, отриманих для GR [33], випливає, що вiдображення ˆS
WGD ! GD є стискуючим i має єдину нерухому точку K D ˆ
S
.K/, яку нази-
вають атрактором IFS S. Вiн має вигляд
K D[
Si 2S
\
Sj 2Si
GSj .K/
та є самоподiбним гiперпростором включення. Причому, якщо S D S
S задо-
вольняє умову OSC для вiдкритої множини V , то кожен елемент атрактора K
перетинає множину V , бiльше того, мiститься в ClV . Тодi достатньо обрати
D, що є замиканням множини V та усi гiперпростори включення розглядати
як сiм’ї пiдмножин ClV .
Оскiльки гiперпростори включення тiсно пов’язанi iз нормованими ємно-
стями [46], то побудуємо аналогiчну конструкцiю для нормованих ємностей.
Для ємностей, визначених на метричному компактi .X; d/, система iте-
рованих вiдображень R та IFS-операторMR введенi в [33] наступним спосо-
бом.
Для всiх Nr 2 expRq.X/ та c 2 MX визначаються ємностi
M Nr.c/ D^
r2Nr
Mr.c/;
105
де Mr.c/.F / D c.r�1.F // для F � l
X . Зауважимо, що M Nr.c/ дiйсно є нормо-
ваною ємнiстю та залежить неперервно вiд . Nr; c/ 2 expRq.X/ � MX , оскiль-
ки для метричного компакта X простiр MX є граткою Лоусона [32], iз ви-
значеними попарними iнфiмумами та супремумами, що для c1; c2 2 MX ,
F � l
X обчислюються як c1 ^ c2.F / D minfc1.F /; c2.F /g та c1 _ c2.F / Dmaxfc1.F /; c2.F /g
Для R 2 MRq.X/ (тобто для ємностей R, визначених на Rq.X/ ) озна-
чено вiдображення MR W MX ! MX формулою
MR.c/.F / D_
Nr2expRq.X/
minfM Nr.c/.F /;R. Nr/g для F � l
X:
Це означає, що MR.c/.F / > a для a 2 Œ0I 1� тодi i тiльки тодi, коли
iснує непорожня множина Nr стискуючих вiдображень з коефiцiєнтом стиску
6 q, що R. Nr/ > a та c.r�1.F // > a для всiх r 2 Nr . Теорема 2 [33] ствер-
джує, що MR.c/ є ємнiстю на X та вiдображення MR є нерозтягуючим, але
не є стискуючим. Однак, iснує така єдина c0 2 MX , що MR.c0/ D c0, яку
називають атрактором системи iтерованих вiдображень R. Крiм того, для
будь-якої ємностi c 2 MX виконується Od..MR/n.c/; c0/ 6 qndiamX , тому
.MR/n.c/ ! c0 при n ! 1.
Надалi ми також спрощуємо означення R та MR, розглядаючи тiльки
ємностi R iз скiнченними носiями.
НехайD – непорожня компактна пiдмножина просторуRn, а R 2 MRq.D/ –
ємнiсть з носiєм S D fS1; S2; : : : ; Skg, де Sj W Rn ! Rn – це стискуючi вiд-
ображення подiбностi, якi вiдображають множину D в себе. Тодi R приймає
скiнченну множину значень 0 D a0 < a1 < a2 < � � � < av D 1.
Нагадаємо, що для довiльної ємностi c 2 MX i числа a 2 I зрiзом ємно-
стi [46] c на рiвнi a називається множина fF 2 expX jc.F / � ag, яку надалi
позначаємо Ca. Ця множина Ca � expX замкнена i є гiперпростором включе-
ння. Якщо 0 � a < a0 � 1, то Ca � Ca0.c/ та Ca0.c/ D T
0�a<a0 Ca. Це означає,
106
що для довiльної множини F � l
X значення ємностi c.F / D a тодi i тiльки
тодi, коли F 2 Ca та F … C0a при всiх a0 > a.
Отже ємнiсть R однозначно визначається послiдовнiстю своїх зрiзiв на
рiвнях au для 0 6 u 6 v, тобто гiперпросторiв включення, якi позначаємо
Ru D fNr � l
Rq.D/ j R. Nr/ > aug 2 GRq.D/. Зауважимо, що зрiз R0 завжди
дорiвнює expRq.D/. Нехай Su D fSi jSi � Sg – це скiнчення сiм’я, яка скла-
дається тiльки з тих пiдмножин Si носiя S, якi є мiнiмальними елементами
гiперпростору включення Ru.
Тепер визначимо IFS для нормованих ємностей c 2 MD як пари iз:
скiнченної послiдовностi значень
0 D a0 < a1 < a2 < � � � < av D 1
та вiдповiдної сiм’ї
S D fS1;S2; : : : ;Svgнепорожнiх сiмей Su непорожнiх пiдмножин Si D fSj jj 2 Jig множини S DfS1; S2; : : : Skg стискуючих вiдображень подiбностi Sj W D ! D; j � k, що
для всiх 2 6 u 6 v виконується вимога: кожна множина Si 2 Su мiстить деяку
множину Si 0 2 Su�1.
Визначимо IFS-оператор (фрактальне перетворення)ˆS
W MD ! MD
наступним способом: для ємностi c 2 MD та множини A � l
D, значення
ˆS.c/.A/ – це найбiльше таке a 2 .0I 1� для якого iснують au � a та вiдповiдне
Su для u 2 f1; 2; : : : ; vg, що знайдеться така множина Si 2 Su що для всiх
Sj 2 Si виконується нерiвнiсть MSi .c/.A/ > a, тобто
ˆS
.c/.A/ D max
˚
ajiснують au � a та Si 2 Su;
такi, що c.S�1j .A// � a для всiх Sj 2 Si
:
Якщо не iснує жодного такого a, то вважаємо, що ˆS
.c/.A/ D 0.
ВiдображенняˆS
не є стискуючим, проте, згiдно Теореми 2 [33], має єди-
ну нерухому точку c0 D ˆS
.c0/, яку називаємо атрактором системи iтерова-
них вiдображень (чи самоподiбною ємнiстю).
107
5.3.1. ТВЕРДЖЕННЯ. Нерухома точка c0 фрактального вiдображення
ˆS
W MD ! MD набуває тiльки значення
0 D a0 < a1 < a2 < � � � < av D 1;
а її зрiзи
CauD fA �
l
D j c0.A/ > aug
на всiх рiвнях au, для 0 � u � v — це гiперпростори включення на D, що є
нерухомими точками для IFS-операторiв ˆSu
W GD ! GD.
ДОВЕДЕННЯ. Покажемо, що зрiз Cau2 GX є нерухомою точкою для
вiдображення ˆSu
W GD ! GD, якщо трактувати сiм’ю Su як IFS для гiпер-
просторiв включення на D.
Нехай B 2 ˆSu.Cau
/, тодi згiдно означення IFS-оператора для гiперпро-
сторiв включення, повинна iснувати така сiм’я Si 2 Su вiдображень Sj W D !D, де j 2 Ji , що всi прообрази S�1
j .B/ є елементами гiперпростору включен-
ня Cau. Так як Cau
– зрiз ємностi c0, то c0.S�1j .B// � au. Звiдки, за означенням
фрактального вiдображенняˆS
для ємностей, випливає що ˆS
.c0/.B/ � au, а
оскiльки c0 D ˆS
.c0/, то це означає, що B 2 Cau. Тому ˆ
Su.Cau
/ � Cau.
ЯкщоA 2 Cau, тобто c0.A/ � au, тоˆ
S
.c0/.A/ � au. НехайˆS
.c0/.A/ Da > au ( випадок a D au очевидний). Тодi знайдеться таке u0 > u i вiдповiднi
au0 > a та Su0 2 S, що iснує така сукупнiсть вiдображень Si 0 2 Su0 , яка згi-
дно означення IFS для ємностей, повинна мiстити деяку Si 2 Su, що для всiх
Sj 2 Si � Si 0 виконується c0.S�1j .A// � a, тобто S�1
j .A/ 2 Ca � Cau. За
визначенням вiдображення ˆSu
W GD ! GD, це означає, що A 2 ˆSu.Cau
/.
Звiдки Cau� ˆ
Su.Cau
/.
Отже, ˆSu.Cau
/ D Cauдля всiх u 2 f1; 2; : : : ; vg. Аналогiчно, зрiзи єм-
ностi c0 на всiх рiвнях a 2 I є атракторами систем iтерованих вiдображень
Sa D fSi � SjSi 2 Su для всiх au � ag, тобто Ca D ˆSa.Ca/ для всiх
108
ˆSa
W GD ! GD. Крiм того, для всiх u � a < u C 1 атрактори вiдобра-
жень ˆSa
є одинаковими. Отже, ємнiсть c0 набуває тiльки значення au, що
визначають IFS. �
5.4. Оцiнка вимiрiв самоподiбних гiперпросторiв включення та єм-
ностей
Побудуємо таку систему iтерованих вiдображень для гiперпросторiв вклю-
чення, атрактор якої K 2 GD – це самоподiбний гiперпростiр включення, для
якого введенi вимiри Мiнковського збiгаються iз фрактальними вимiрами його
носiя. Для цього нам потрiбно ввести наступнi допомiжнi поняття i позначен-
ня, якi дають можливiсть описувати системи iтерованих вiдображень за допо-
могою дерев.
Називаємо k-деревом непорожню множину T скiнченних послiдовно-
стей, якi позначаємо .j1 W j2 W � � � W jr/ для 0 6 r < 1, утворених iз елементiв
множини J D f1; 2; : : : ; kg. Причому, якщо .j1 W j2 W � � � W jr W jrC1/ 2 T ,
то також .j1 W j2 W � � � W jr/ 2 T , тобто перша послiдовнiсть є сином другої.
Порожню послiдовнiсть ./ також розглядаємо. Отже, T – це k-арне кореневе
дерево iз коренем ./ i вершинами вигляду .j1 W j2 W � � � W jr/, для яких r є їх
глибиною.
Гiлкою k-дерева T з коренем у вершинi j D .j1 W j2 W � � � W jr / 2 T
називаємо k-дерево
Tj
D f.jrC1 W � � � W jrCq/ j .j1 W j2 W � � � W jr W jrC1 W � � � W jrCq/ 2 T; 0 6 q < 1g:
Приєднання k-дерева T 0 до листка .j1 W j2 W � � � W jr / k-дерева T – це
додавання до T усiх вершин вигляду .j1 W j2 W � � � W jr W j 01 W j 0
2 W � � � W j 0q/ для
.j 01 W j 0
2 W � � � W j 0q/ 2 T 0.
Позначивши через
.j1 W j2 W � � � W jr W �/ D fj 2 J j .j1 W j2 W � � � W jr W j / 2 T g;
109
k-дерево T називаємо S-деревом, якщо для всiх .j1 W j2 W � � � W jr / 2 T множи-
на iндексiв .j1 W j2 W � � � W jr W �/ є порожньою або збiгається з J , тобто кожна
вершина або є листком або має усiх можливих k синiв.
Називаємо S-деревом таке k-дерево T , що для всiх його вершин .j1 Wj2 W � � � W jr / 2 T множина iндексiв .j1 W j2 W � � � W jr W �/ або є порожньою,
або збiгається з деякою множиною iндексiв Ji 0 , якими було проiндексовано
розглядуванi вище стискуючi вiдображення подiбностi iз вiдповiдної множини
Si 0 2 S для 1 6 i 0 6 m. Iнакше кажучи, кожна вершина або є листком, або
має синiв, якi вiдповiдають всiм вiдображенням подiбностi деякої множини
Si 0 D fSj 01; Sj 0
2; :::; S 0
j ; :::; Sj 0lg iз сiм’ї S.
Зрозумiло, що гiлка S-дерева або S-дерева також є S-деревом або S-
деревом.
Для множини V та усiх послiдовностей j D .j1 W j2 W � � � W jr / 2 T
покладемо V.j1Wj2W���Wjr / D Sj1.V.j2Wj3W���Wjr //, прийнявши V./ D V , тобто
Vj
D V.j1Wj2W���Wjr / D Sj1.Sj2
.:::.Sjr�1.Sjr
.V.////// D Sj1.Sj2
.:::.Sjr.V ////:
Якщо S D S
S та V задовольняють умову OSC, то для двох послiдовностей
j 2 T та j
0 2 T виконується включення Vj
� Vj
0 , якщо j
0 є префiксом j, анало-
гiчно Vj
0 � Vj
, якщо j є префiксом j
0, iнакше Vj
та Vj
0 — неперетиннi.
Далi, для всiх вершин .j1 W j2 W � � � W jr W j /, якi є листками скiнченного
k-дерева T , покладемо F.j1Wj2W���Wjr Wj / D ClV D NV . Якщо вершина .j1 W j2 W� � � W jr/ 2 T має синiв .j1 W j2 W � � � W jr W j /, всi з яких є листками, то
F.j1Wj2W���Wjr / D[
.j1Wj2W���Wjr Wj / – листок T
Sj . NV.j1Wj2W���Wjr Wj //;
де NV.j1Wj2W���Wjr Wj / D Sj1.Sj2
.:::.Sj . NV ////.Якщо вершина .j1 W j2 W � � � W jr�1/ 2 T має сина .j1 W j2 W � � � W jr�1 W jr /
вiдмiнного вiд листка, а всi решту вершини .j1 W j2 W � � � W jr�1 W jr 0/ – листки,
то
F.j1Wj2W���Wjr�1/ D Sjr.F.j1Wj2W���Wjr�1Wjr //
[
.[
.j1Wj2W���Wjr�1Wjr0 / – листок T
Sjr0 . NV.j1Wj2W���Wjr�1Wjr0 ///
110
Так, послiдовно рухаючись вiд листкiв до кореня, для кожної вершини
j D .j1 W j2 W � � � W jr/ 2 T за iндукцiєю визначаємо замкнену множину
Fj
D[
fSj .F.j1Wj2W���Wjr Wj // j j 2 .j1 W j2 W � � � W jr W �/g:
Для гiлок Tj
з коренями у вершинах j дерева T позначимо через FTj
D Fj
та FT D F./. Очевидно, що множина, яка вiдповiдає кореню дерева
FT D[
f NVj
j j– листок T g:
Для даного гiперпростору G 2 GD покладемо G.j1Wj2W���Wjr Wj / D G, якщо
вершина .j1 W j2 W � � � W jr W j / – листок дерева T .
Аналогiчно, за iндукцiєю для кожної вершини j D .j1 W j2 W � � � W jr / 2 Tвизначимо гiперпростiр включення
Gj
D\
fGSj .G.j1Wj2W���Wjr Wj // j j 2 .j1 W j2 W � � � W jr W �/g:
Нагадаємо, що вiдображення GSj W GD ! GD визначено так
GSj .G/ D fA 2 expDjA � Sj .Aj / для деякого Aj 2 Gg:
Це означає, що деяка множинаA 2 Gj
, якщо iснують множини Aj 2 G.j1W���Wjr Wj /
для всiх j 2 j D .j1 W j2 W � � � W jr W �/ такi, що A � S
j Sj .Aj /.
Для гiлок Tj
дерева T використовуємо позначення GTj
D Gj
та GT D G./.
Отже, кожному скiнченному k-дереву T зiставимо замкнену множинуFT
та гiперпростiр включення GT . Причому всi мiнiмальнi елементи A гiперпро-
стору включення GT мiстяться в множинi FT , тому FT 2 GT . Крiм того, якщо
T0 є пiддеревом T , то FT0� FT , звiдки GT0
� GT . Тобто кожнiй впоряд-
кованiй за включенням сiм’ї fT0 j T0 � T g пiддерев дерева T вiдповiдають
незрозтаючi послiдовностi замкнених множин fFT0j T0 � T g та гiперпросто-
рiв включення fGT0j T0 � T g.
Якщо дерево T є скiнченним S-деревом для IFS S D fS1; : : : ;Si ; : : : ;Smg,
яка задовольняє умову OSC для вiдкритої множини V , а гiперпростiр включе-
ння K – це атрактор цiєї IFS, то KT � S
Si 2S
T
Sj 2SiGSj .K/ D K та для всiх
скiнченних S-дерев T0 � T виконано KT0� KT .
111
Тому ми також можемо визначити FT та KT для нескiнченного S-дерева
T :
FT D\
fFT0j T0 � T; T0 – скiнченне S-деревоg;
KT D\
fKT0j T0 � T; T0 – скiнченне S-деревоg:
Очевидно, що FT 2 KT i для нескiнченного дерева T .
Надалi розглядаємо S-дерева тiльки для таких IFS S, якi задовольняють
умови:
(i) жодна iз множин Si не мiститься в iншiй множинi Si 0 , тобто кожен
елемент впорядкованої за включенням сiм’ї S є мiнiмальним;
(ii) для S D S
S та V виконується умова вiдкритої множини OSC;
(iii) для кожного елемента A атрактора K системи iтерованих вiдобра-
жень S, такого що A � @V при всiх Sj ; Sj 0 2 S, j ¤ j 0 виконується Sj 0.A/ 6�Sj .@V /.
Зокрема, якщо немає жодного елемента атрактора K такого, що мiсти-
ться в @V D ClV n V , то (iii) виконано.
Зауважимо, що легше перевiрити наступнi властивостi, якi також забез-
печують виконання (iii):
(iiiC) для всiх Sj ; Sj 0 2 S та Si 2 S iснує таке S 2 Si , що Sj .@V /\ Sj 0 ıS.@V / D ¿;
(iiiCC) для всiх Sj 2 S та Si 2 S iснує таке S 2 Si , що @V \Sj ıS.@V / D¿.
Обґрунтуємо доцiльнiсть таких обмежень на системи iтерованих вiдобра-
жень. Розглянемо довiльний елементA атрактора K D S
Si 2S
T
Sj 2SiGSj .K/.
Iз (ii) випливає, що A перетинає вiдкриту множину V та A � ClV , тому
Sj .A/ \ Sj .V / ¤ ¿ та Sj .A/ � Sj . NV / для всiх 1 � j � k. Крiм того, оскiль-
ки образи множини NV при рiзних стискуючих вiдображеннях подiбностi “не
псуються” перекриттями, множина Sj .A/ може перетинати Sj 0. NV / при j 0 ¤ j
лише по межi Sj .@V / \ Sj 0.@V /. Проте, якщо виконується ще й умова (iii), то
112
множина Sj .A/ повинна цiлком мiститися в Sj . NV /, але не мiститися у межi
множини Sj 0. NV / (отже, не мiститися у самiй множинi). Це означає, що образ
жодного елемента атрактора не може одночасно мiститися в двох рiзних обра-
зах множини NV . Отже, в сукупностi умови (i),(ii) та (iii) гарантують, що кожен
елемент атрактора K можна однозначно отримати за допомогою деякої єди-
ної сiм’ї стискуючих вiдображень подiбностi Si 2 S. Опишемо це у термiнах
дерев.
5.4.1. ЛЕМА. Кожен мiнiмальний елемент A 2 K спiвпадає iз FT для
єдиного максимального нескiнченного S-дерева T (тобто S-дерева T , що не
має листкiв, а тому не є пiддеревом будь-якого iншого S-дерева).
ДОВЕДЕННЯ. Якщо A 2 K, то A 2 T
Sj 2SiGSj .K/ для деякої сiм’ї
Si 2 S. Звiдки A � S
j 2JiSj .A
.j //, де усi A.j / – це деякi мiнiмальнi елементи
гiперпростору включення K. Якщо множина A сама є мiнiмальним елементом
K, то A D S
j 2JiSj .A
.j //. Згiдно (ii), кожен A.j / повинен перетинати вiдкри-
ту множину V , тому A \ Sj .V / ¤ ¿ для всiх j 2 Ji . А умова (iii) забезпечує
те, що множина Si складається виключно iз тих вiдображень Sj , для яких A
перетинає множини V.j / D Sj .V /, тобто
Si D fSj j A \ V.j / ¤ ;g:
Представимо це за допомогою S-дерева Ti рiвня 1, що складається з кореня ./
та усiх листкiв .j / для j 2 Ji , кожен з яких позначає вiдповiдну мiнiмальну
множину A.j /, а корiнь вiдповiдає множинi A.
У свою чергу, кожен мiнiмальний елемент A.j / 2 K, аналогiчно матиме
вигляд A.j / D S
j 02Ji0Sj 0.A.j Wj 0// для деяких мiнiмальних A.j Wj 0/ 2 K та
єдиної Si 0 2 S вигляду
Si 0 D fSj 0 j A \ V.j Wj 0/ ¤ ;g;
якiй вiдповiдає дерево Tj 0 . Тому приєднаємо дерево Tj 0 до листка .j /, отри-
мавши дерево листки якого позначають множини A.j Wj 0/. Цей процес можна
113
продовжити нескiнченно. Отже, iснує єдине максимальне нескiнченне S-дерево
T , в якому кожна вершина j D .j1 W j2 W � � � W jq/, вiдповiдає певному мiнiмаль-
ному елементу Aj D A.j1Wj2W���Wjq/ атрактора K, такому, що
A D[
j12Ji1
.[
j22Ji2
.: : : .[
jq2Jiq
Sjq.Aj////:
Очевидно, що усi Aj мiстяться у NV та A � FT02 KT0
для довiльного
скiнченного S-пiддерева T0 дерева T .
Зафiксуємо одне iз цих пiддерев T0, тодi
A �[
f NV.j1 Wj2W���Wjr / j .j1 W j2 W � � � W jr/ – листок дерева T0g D FT0;
крiм того, множина A перетинає усi цi множини NV.j1 Wj2W���Wjr /. Позначимо через
Nr мiнiмальний рiвень листкiв дерева T0, за означенням стискуючого вiдобра-
ження подiбностi
diam
NV.j1Wj2W���Wjr / D cj1cj2
: : : cjrdiamV 6 .c
max
/r diamV;
де cmax
D maxfc1; c2; : : : ; ckg < 1, тому diam
NV.j1Wj2W���Wjr / 6 .cmax
/ NrdiamV
для всiх листкiв .j1 W j2 W � � � W jr/ дерева T0. Це означає, що dH .A; FT0/ 6
.cmax
/ NrdiamV . Тому, беручи скiнченнi пiддерева T0 � T за збiльшенням мi-
нiмального рiвня їх листкiв, ми отримуємо множиниFT0, якi збiгаються доFT ,
звiдки A D FT . �
5.4.2. ЗАУВАЖЕННЯ. Фактично кожна множина вигляду FT для макси-
мального нескiнченного S-дерева T є мiнiмальним елементом в K.
Оскiльки надалi виникатиме необхiднiсть вилучати деякi вершини j0 iз
S-дерев, то в цих випадках слiд модифiкувати, означену вище множину FT
для скiнченного k-дерева T та такої вершини j0 2 T наступним способом:
вважаємо, що Fj0
D ;, а для решти вершин j D .j1 W j2 W � � � W jr / 2 T множини
Fj
будуємо так само як зазначено вище, тобто Fj
D NV для кожного листка
j ¤ j0 та
Fj
D[
fSj .F.j1Wj2W���Wjr Wj // j j 2 .j1 W j2 W � � � W jr W �/g
114
для кожної вершини j 2 T , що не є листком i вiдмiнна вiд j0, при цьому у вер-
шинах, якi є предками вершини j0, множини Fj
переобчислюємо, враховуючи
Fj0
D ;. Тодi множину F./ у кореневiй вершинi пiддерева T � j0 дерева T iз
вилученою вершиною j0 позначимо через FT �j0. Очевидно, що
FT �j0D
[
f NVj
j j – листок T � j0, що не є предком j0 у деревi T g:
Розглянемо стискуюче вiдображення подiбностi Sj 2 Si (тобто j 2 Ji )
та позначимо через
"ij D min
˚
inffh.A; @V [[
j 02Ji ;j 0¤j
NV.j 0// j A 2 KTi0 gˇ
ˇ 1 6 i 0 6 m; j … Ji 0
;
де h – це одностороння вiдстань Гаусдорфа, яка мiж довiльними множинами
A та B визначається як h.A;B/ D sup
a2A
inf
b2B
d.a; b/.
Зрозумiло, що у виразi для "ij достатньо розглядати тiльки мiнiмальнi
елементи A для кожного KTi0 . Неформально кажучи, "ij є мiрою того, на-
скiльки потрiбно роздути множинуS
j 02Ji ;j 0¤jNV.j 0/ D FTi �.j / разом iз межею
множини V , щоб вона мiстила принаймнi один мiнiмальний елемент атракто-
ра K вигляду A D S
j 02Ji0Sj 0.A.j 0// для j … Ji 0 , A.j 0/ 2 K, тобто множину
отриману з елементiв K за допомогою iншої сiм’ї Si 0 стискуючих вiдображень
подiбностi, до якої не входить вiдображення Sj . Усi KTi0 є компактними,
одностороння вiдстань Гаусдорфа є неперервною вiдносно “двосторонньої”,
тому умова (iii) забезпечує "ij > 0.
5.4.3. ЛЕМА. Нехай j D .j1 W j2 W � � � W jr/ – листок скiнченного S-дерева
T0. Тодi
inf
˚
h.A;FT0�j
/ j A 2 KT ; де T – скiнченне S-дерево; що не мiстить
анi вершини j; анi жодного листка, який є її предком у деревi T0
>
> min
˚
cj1cj2
: : : cjq"ijqC1
ˇ
ˇ Ji D .j1 W j2 W � � � W jq W �/; 0 6 q 6 r � 1
:
ДОВЕДЕННЯ. Припустимо знову, що в останнiй формулi A є мiнiмаль-
ним елементом KT . Представимо A деревом T з вершинами .j1 W j2 W � � � W jp/,
115
кожна з яких позначає вiдповiдну множину A.j1Wj2W���Wjp/ 2 KT як доведено у
попереднiй лемi. Розглянемо множину FT0�j
, представлену деревом T0 з ви-
дiленим листком j, якому вiдповiдає ;, а для всiх решти вершин множини F:::
визначаються iтеративно, як означено вище, починаючи з листкiв вiдмiнних вiд
j, для яких вiдповiднi множини спiвпадають iз NV .
Нехай q 2 f0; : : : ; r�1g є таким максимальним , що .j1 W j2 W � � � W jq/ 2 Tта шлях
./ ! .j1/ ! .j1 W j2/ ! � � � ! .j1 W j2 W � � � W jq/
є спiльним для обох дерев T0 та T . Замiнимо усi “боковi гiлки” дерева T з
коренями у всiх вершинах цього шляху, крiм останньої вершини .j1 W j2 W � � � Wjq/, гiлками дерева T0. Отримаємо нове дерево T 0 та переобчислимо вiдповiд-
нi множини A0.j1Wj2W���Wjq�1/; : : : ; A0.j1/
; A0 D A0./ вздовж обраного шляху.
Очевидно, що дерево T 0 є “бiльш схожим ” до T0, нiж T , тому
h.A;FT0�j
/ > h.A0; FT0�j
/:
Розглянемо вирази
FT0�j
D[
f NVj
0 j j0 – листок пiддерева T0 � j; що не є предком j у деревi T0g
та
A0 D[
fA0j0
j
0 j j0 – листок дерева T 0g
Нагадаємо, що для j
0 D .j 01 W j 0
2 W � � � W j 0r / 2 T 0 вiдповiднi множини
A0j0
j
0 D Sj 01
ı Sj 02
ı � � � ı Sj 0r.A0j
0
/
i для листка j
0 маємо A0j0 D Aj
0
, якщо j
0 – нащадок вершини .j1 W j2 W � � � Wjq/, та A0j
0 D NV iнакше. Тому розглядуванi вище об’єднання вiдрiзняються
вiдповiдно в тих “пiдоб’єднаннях”, що стосуються “рiзних” гiлок дерев T0 та
T 0 з коренями у вершинах .j1 W j2 W � � � W jq/ :
116
[
f NVj
0 j j0 – листок T0; що є нащадком .j1 W j2 W � � � W jq/; j
0 ¤ jg �
�[
j 2Ji nfjqC1g
NV.j1Wj2W���Wjq Wj / D Sj1ıSj2
ı� � �ıSjq.FTi �.jqC1//; Ji D .j1 W j2 W � � � W jq W �/
та
[
fA0j0
j
0 j j0 – листок T 0; що є нащадком .j1 W j2 W � � � W jq/g D
D Sj1ı Sj2
ı � � � ı Sjq.A0.j1Wj2W���Wjq/
/;
а “спiльна частина” знаходиться поза вiдкритою множиною V.j1 Wj2W���Wjq/.
Звiдси
h.A;FT0�j
/ > h.A0; FT0�j
/ >
> h�
Sj1ıSj2
ı� � �ıSjq.A0.j1Wj2W���Wjq/
/; @V.j1Wj2W���Wjq/[Sj1ıSj2
ı� � �ıSjq.FTi �.jqC1//
�
D
D cj1cj2
: : : cjqh.A0.j1Wj2W���Wjq/
; @V [ FTi �.jqC1// > cj1cj2
: : : cjq"ijqC1
;
Ji D .j1 W j2 W � � � W jq W �/:�
5.4.4. ЗАУВАЖЕННЯ. Кiлькiсть всеможливих пар .i; j / таких, що j 2 Ji ,
є скiнченною, тому " D minj 2Ji"ij > 0. Отже, нерiвнiсть iз попередньої леми
можна спростити:
inf
˚
h.A;FT0�j
/ j A 2 KT ; де T – скiнченне S-дерево, яке не мiстить
анi вершини j; анi жодного листка, що є її предком у деревi T0
>
> cj1cj2
: : : cjr�1":
Використаємо наступний факт.
5.4.5. ЛЕМА. [7, Лема 9.2]
Нехай fVi g – сукупнiсть таких неперетинних вiдкритих множин в Rn, що ко-
жна Vi мiстить кулю з радiусом ˛r та мiститься в кулi з радiусом ˇr . Тодi
будь-яка куля з радiусом r перетинає не бiльше, нiж�
1C2ˇ˛
�n
замикань NVi .
117
5.4.6. ТЕОРЕМА. Нехай непорожня обмежена вiдкрита множина V �Rn та S D fS1;S2; : : : ;Smg – скiнченна сiм’я скiнченних множин стискую-
чих вiдображень подiбностi Rn ! Rn такi, що:
(i) жодна iз множин Si не мiститься в iншiй множинi Si 0 , тобто ко-
жен елемент впорядкованої за включенням сiм’ї S є мiнiмальним;
(ii) для S D S
S та V виконується умова вiдкритої множини OSC;
(iii) для кожного такого елемента A атрактора K системи IFS S, що
A � @V , при всiх Sj ; Sj 0 2 S, Sj ¤ Sj 0 виконується Sj 0.A/ 6� Sj .@V /.
Тодi для гiперпростору включення K, що є атрактором системи iте-
рованих вiдображень S iстинна рiвнiсть:
dimB K D dimB K D dimH suppK D dimB suppK D dimB suppK D s
де s – розв’язок рiвняння cs1 C cs
2 C � � � C csk
D 1, cj – коефiцiєнти стиску
вiдображень Sj 2 S, 1 � j � k.
ДОВЕДЕННЯ. Носiй гiперпростору включення K мiститься в атракто-
рi K системи iтерованих вiдображень S для замкнених множин. Вiдомо, що
dimH K D dimB K D dimB K D s. За монотоннiстю вимiрiв:
dimH suppK 6 dimH K; dimB suppK 6 dimB K; dimB suppK 6 dimB K:
Крiм того dimB K 6 dimB K 6 dimB suppK � s. Залишилось довести, що
dimB K > s.
Нехай F – це ı-основа гiперпростору включення K, тобто для будь-якого
A 2 K iснують деякi D1;D2; : : : Dl 2 F , кожен з яких перетинає A та D1 [D2 [ � � � [ Dl 2 K. Розглянемо скiнченне пiддерево T0 максимального S-
дерева T , яке мiстить усi такi вершини j D .j1 W j2 W � � � W jr/ та їхнi нащадки,
що cj1cj2
: : : cjr" > ı. Це означає, що cj1
cj2: : : cjr
" 6 ı для кожного лис-
тка дерева T0. Покажемо, що для всiх листкiв j 2 T0 вiдповiднi множини NVj
перетинають деякi елементи сiм’ї F . Припустимо протилежне та зафiксуємо
118
деякий листок j, для якого це не виконується. Легко перейти вiд S-дерева T0
до S-дерева T 00, що мiстить j, вiдкинувши зайвi гiлки. Множина
FT 00
D[
f NVj
0 j j0 – листок T 00g
є елементом K. Тодi повиннi iснувати такi D1;D2; : : : ;Dl 2 F , що кожен
з них перетинає деякi Vj
0 для листкiв j
0 ¤ j та D1 [ D2 [ � � � [ Dl 2 K.
Зрозумiло, щоD1[D2[� � �[Dl \ NVj
D ¿. Тому усi мiнiмальнi в K пiдмножини
D � D1 [ D2 [ � � � [ Dl визначаються S-деревами, якi не мiстять вершини j
та не мають жодного листка, який є предком j у деревi T0, зокрема S-деревом
T 00 � j. Згiдно Зауваження 5.4.4 виконується
h.D1 [D2 [ � � � [Dl ; FT 00
�j
/ > cj1cj2
: : : cjr�1" > ı:
Оскiльки FT 00
перетинає кожну з D1;D2; : : : ;Dl , а для пiддерева T 00 � j дере-
ва T 00 множина FT 0
0�j
� FT 00, то остання нерiвнiсть суперечить тому, що усi
D1;D2; : : : ;Dl мають дiаметр 6 ı та перетинають FT 00
�j
. Отже, для усiх лис-
ткiв j дерева T0 вiдповiднi множини NVj
перетинають деякi елементи основи
F .
Оскiльки вiдкрита множина V обмежена, то вона мiстить кулю з деяким
радiусом r1 та мiститься у кулi з радiусом r2. Це означає, що множинаV.j1Wj2W���Wjr /
мiстить кулю з радiусом
cj1cj2
: : : cjrr1 D cj1
cj2: : : cjr�1
" � r1"cjr
> ır1
"cmin
та мiститься в кулi з радiусом
cj1cj2
: : : cjrr2 D cj1
cj2: : : cjr
" � r2"
6 ır2
":
Кожен елемент основи F має дiаметр 6 ı, тобто мiститься в кулi з радi-
усом 6 ı, тому згiдно Леми 5.4.5 перетинає не бiльше, нiж
M D�
1C 2 r2
"r1
"cmin
�n
D�
"C 2r2
r1cmin
�n
множин NVj
для листкiв j дерева T0. Оцiнимо кiлькiсть цих листкiв.
119
За iндукцiєю можна перевiрити, що для розв’язку s рiвняння cs1 C cs
2 C� � � C cs
kD 1 та кожного скiнченного S-дерева T0, сума
X
f.cj1cj2
: : : cjr/s j .j1 W j2 W � � � W jr/ – листок дерева T0g
дорiвнює 1. Беручи до уваги cj1cj2
: : : cjr" 6 ı, прийдемо до висновку, що усi
доданки не бiльшi, нiж
�
ı
"
�s
, тому число листкiв не менше, нiж�"
ı
�s
. Звiдси
слiдує, що мiнiмальне число Nı.K/ елементiв ı-основи гiперпростору вклю-
чення K не менше, нiж1
M
�"
ı
�s
. Отже
dimB K D lim
ı!0
lnNı.K/
� ln ı> lim
ı!0
ln. 1M
�
"ı
�s/
� ln ıD s;
що завершує доведення.
�
Надалi, вiдображення Sj 2 S D S
S будемо називати безпечним, якщо
для всiх вiдмiнних вiд нього вiдображень Sj 0 2 S та всiх таких A 2 K, що
A � @V , виконується Sj 0.A/ 6� Sj .@V /. Тобто безпечним вважаємо таке вiд-
ображення, яке гарантує, що образи Sj 0.A/ жодного елемента A атрактора K
не можуть одночасно “потрапити” в два рiзнi образи Sj 0. NV / та Sj . NV / при всiх
стискуючих вiдображеннях Sj 0 ¤ Sj . Зрозумiло, що якщо виконується умова
(iii), то безпечними є всi вiдображення системи iтерованих вiдображень.
Якщо умова (iii) не виконується, то ми можемо зробити лише оцiнку фра-
ктальних вимiрiв атрактора.
5.4.7. ТЕОРЕМА. Нехай непорожня вiдкрита множина V � Rn та
скiнченна сiм’я скiнченних множин стискуючих вiдображень подiбностi S DfS1;S2; : : : ;Smg такi, що:
(i) жодна iз множин Si не мiститься в iншiй множинi Si 0 , тобто ко-
жен елемент впорядкованої за включенням сiм’ї S є мiнiмальним;
(ii) для S D S
S D fS1; S2; : : : ; Skg та V виконується умова вiдкритої
множини OSC;
120
(iii*) пiдмножина усiх вiдображень Sj 2 S, якi є безпечними, не є по-
рожньою. Тодi для атрактора K системи iтерованих вiдображень S для
гiперпросторiв включення виконується нерiвнiсть:
s0 6 dimB K 6 dimB K 6 s D dimH suppK D dimB suppK D dimB suppK
де s та s0 – розв’язки рiвняньP
16j 6k
csj D 1,
P
16j 6kSj є безпечним
cs0
i D 1.
Цей результат легко отримати, модифiкувавши доведення попередньої
теореми. По-перше, якщо Sj 2 Si є безпечним, то з (iii*) випливає, що "ij > 0.
Тодi покладемо " D minf"ij j j 2 Ji ; "ij > 0g та використаємо Зауважен-
ня 5.4.4 тiльки для листкiв j D .j1 W j2 W � � � W jr/ скiнченного S-дерева T0, для
яких усi Sj1, Sj2
, . . . , Sjrє безпечними. Тодi сума .cj1
cj2: : : cjr
/s0 для таких
листкiв дорiвнює 1, що забезпечує необхiдну нижню оцiнку.
5.4.8. ПРИКЛАД. Розглянемо одиничний вiдрiзок I D Œ0; 1� та зростаю-
чi афiннi бiєкцiї S1 W Œ0; 1� ! Œ0; 1=4�, S2 W Œ0; 1� ! Œ1=4; 1=2�, S3 W Œ0; 1� !Œ3=4; 1�. Тодi S D fS1; S2; S3g та V D .0; 1/ задовольняють умову OSC. Для
IFS S D˚
fS1; S2g; fS3g
мiнiмальнi елементи атрактора K визначаються на-
ступним способом: подiливши одиничний вiдрiзок на чвертi, залишаємо або
двi лiвi чвертi або найправiшу чверть, тодi дiлимо кожну одну праву або двi
лiвi чвертi аналогiчно на чвертi, з якими робимо те саме i т.д. Одноелементна
множина f1g є єдиним елементом K, що мiститься на межi множини V в R.
Його образ f1=4g при вiдображеннi S1 лежить на межi f1=4; 1=2g D S2.@V /,
тому вiдображення S2 не є безпечним (хоча S1 та S3 – безпечнi). Тому нижнiй
та верхнiй вимiри атрактора K знаходяться мiж розв’язками s0 та s вiдповiд-
них рiвнянь .14/s0 C .1
4/s0 D 1 та .1
4/s C .1
4/s C .1
4/s D 1, тобто 1=2 D s0 6
dimB K 6 dimB K 6 s D log4 3.
Якби вiдображення S1 було б спадною афiнною бiєкцiєю Œ0; 1� ! Œ0; 1=4�,
а вiдображення S2 й S3 тi ж самi, то всi Si були б безпечними, i в цьому випад-
ку ми мали б точне значення dimB K D dimB K D s D log4 3.
121
5.4.9. ЗАУВАЖЕННЯ. Ми не можемо отримати схожi оцiнки для вимi-
ру Гаусдорфа самоподiбного гiперпростору включення, використовуючи Mass
Distribution Principle подiбно до того, як це описано в [7] для замкнених мно-
жин, тому що основа не повинна бути покриттям. Отже сума мiр Гаусдорфа
елементiв основи не може бути оцiненою знизу через мiру носiя.
Наступне твердження зводить проблему обчислення фрактальних вимi-
рiв для ємностей iз скiнченною множиною значень до обчислення фрактальних
вимiрiв їхнiх зрiзiв.
5.4.10. ТВЕРДЖЕННЯ. Якщо нормована ємнiсть c на метричному ком-
пактi .X; d/ набуває скiнченну множину значень 0 D a0 < a1 < a2 < � � � <av D 1, то слабкий верхнiй або слабкий нижнiй вимiри Мiнковського, слаб-
кий вимiр Гаусдорфа ємностi c дорiвнює максимальному iз вимiрiв (вiдпо-
вiдно верхнiх або нижнiх вимiрiв Мiнковського, вимiрiв Гаусдорфа) усiх її
зрiзiв на рiвнях au, 1 6 u 6 v.
ДОВЕДЕННЯ. Достатньо перевiрити, що сiм’я F є ı�"-основою ємностi
c 2 MX для ı > 0 та 0 < " < minfau � au�1 j 1 6 u 6 vg тодi i тiльки тодi,
коли F є ı-основою для всiх її зрiзiв CauD fA �
l
X j c.A/ > aug, 1 6 u 6 v.
Дiйсно, якщо F – ı�"-основа ємностi c, то для буль-якогоA 2 Cauiснує
скiнченна пiдмножина FA D fFi 2 F jFi \ A ¤ ¿; c.[niD1Fi / � c.A/ � "g, що
c.[niD1Fi / � au � " � au � .au � au�1/ > au�1, звiдки c.[n
iD1Fi / � au, тобто
[niD1Fi 2 Cau
. Отже, об’єднавши такi пiдмножини основи F , для всiх A 2 Cau,
отримаємо множину
Fu D fF jF 2 FA для A 2 Caug;
що є ı-основою зрiзу Cau.
I навпаки, якщо F – ı-основа всiх зрiзiв, то для довiльної множини A � l
X iснуватиме au D c.A/ та вiдповiдна сукупнiсть fF1; F2; : : : ; Fng � F , що
Fi \ A ¤ ¿ та F1 [ F2 \ � � � \ Fn 2 Cau, тобто c.F1 [ F2 \ � � � \ Fn/ � au.
122
Звiдки c.A/ � c.F1 [ F2 \ � � � \ Fn/ C " при довiльному " > 0, тому F є
ı � "-основою ємностi c i для вказаних вище ".
Отже, F є об’єднанням ı-основ Fu для гiперпросторiв включення Cau.
Так як maxfjFuj W 1 � u � vg � jF j, то максимальний iз вимiрiв зрiзiв не
перевищує вiдповiдного слабкого вимiру ємностi. Крiм того, якщо F 2 Fu, то
F перетинає деякуA 2 Cau� Cau�1
, звiдки F 2 Fu�1, тобтоFu � Fu�1. Тому
jF j � maxfjFuj W 1 � u � vg, а отже, слабкий вимiр ємностi не перевищує
вiдповiдного максимального iз вимiрiв її зрiзiв на рiвнях au, 1 6 u 6 v.
�
Тепер можна оцiнити слабкий верхнiй та слабкий нижнiй вимiри Мiнков-
ського для самоподiбної ємностi, яка згiдно Твердження 5.3.1 приймає скiн-
ченну множину значень.
Нехай система iтерованих вiдображень для нормованих ємностей визна-
чається скiнченною послiдовнiстю значень 0 D a0 < a1 < a2 < � � � < au <
� � � < av D 1 та сiм’єю S D fS1;S2; : : : ;Su; : : : Svg непорожнiх сiмей Su
скiнченних множин Si D fSj jj 2 Ji g стискуючих вiдображень подiбностi
Sj W Rn ! Rn таких, що кожна сiм’я Su є системою iтерованих вiдображень
для гiперпросторiв включення, яка задовольняє умови:
(1) кожна множина Si 2 Su мiстить деяку множину Si 0 2 Su�1;
(2) жодна iз множин Si 2 Su не мiститься в iншiй множинi Si 0 2 Su;
(3) для вiдкритої множини V � Rn та Su D S
Su D fS1; S2; : : : ; Skug
виконується умова вiдкритої множини OSC;
(4) пiдмножина усiх безпечних вiдображень Sj 2 Su не є порожньою.
Тодi, врахувавши Твердження 5.3.1 та застосувавши “позрiзово” Теоре-
му 5.4.7 до кожного iз зрiзiв Cauнормованої ємностi c0, яка є атрактором IFS
S, отримаємо оцiнки: s0;u 6 dimB Cau6 dimB Cau
6 su,
dimH supp CauD dimB supp Cau
D dimB supp CauD su
123
де su та s0;u – розв’язки рiвняньP
16j 6ku
csj D 1,
P
16j 6kuSj є безпечним
cs0
i D 1.
Оскiльки dimWB c0 D maxfdimB.Cau/j1 � u � vg та dimWB c0 D
maxfdimB.Cau/j1 � u � vg, то визначимо наступнi нижню s та верхню s
оцiнки слабкого нижнього та верхнього вимiрiв Мiнковського самоподiбної
ємностi c0.
5.4.11. ТЕОРЕМА. Для нормованої ємностi c0, яка є атрактором си-
стеми iтерованих вiдображень S D fS1;S2; : : : ;Su; : : : Svg, що задовольняє
умови (1) – (4), виконуються нерiвностi:
s 6 dimWB c0 6 dimWB c0 6 s;
де s D maxfs0;uj1 � u � vg та s D maxfsuj1 � u � vg, i s0;u та su –
розв’язки рiвнянь
X
16j 6kuSj є безпечним
cs0
j D 1 таX
16j 6ku
csj D 1
вiдповiдно, cj – коефiцiєнти стиску вiдображень Sj 2 S
Su D fS1; : : : ; Skug
для 1 � u � v.
Висновки до роздiлу 5
У роздiлi дослiджено наближення довiльної субнормованої ємностi на
метричному компактi за допомогою сукупностi її значень на всiх об’єднаннях
скiнченної сiм’ї “дрiбних” множин, яку називаємо основою ємностi.
Спершу розглядаються ємностi, що набувають тiльки значення 0 та 1.
Кожна така ємнiсть визначається єдиним гiперпростором включення G. Тому
вводиться поняття ı-основи для гiперпростору включення, як сiм’ї множин,
яка визначає даний гiперпростiр включення наближено “скiнченним спосо-
бом”. Щоб оцiнити асимптотичну поведiнку мiнiмальної можливої ı-основи
для гiперпростору G вводяться фрактальнi вимiри: вимiр Гаусдорфа dimH G,
верхнiй dimB G та нижнiй dimB G вимiри Мiнковського. Здiйснено порiвняння
124
цих вимiрiв iз однойменними вимiрами множини suppG, що є носiєм гiперпро-
стору включення.
Запроваджено поняття ı-"-основи для субнормованої ємностi c на ме-
тричному компактi та запропоновано метод її наближення ємнiстю, яка має
просту будову i визначається скiнченною сукупнiстю значень ємностi c на
всiх об’єднаннях елементiв ı-"-основи. Для розв’язання задачi про пошук най-
меншої (у сенсi кiлькостi чи “сумарної дрiбностi” елементiв) можливої ı-"-
основи введено аналоги вимiру Гаусдорфа dimWH c, верхнього dimWB c та
нижнього dimWB c вимiру Мiнковського. Отримано результати, якi є анало-
гiчними до вiдповiдних результатiв для гiперпросторiв включення, зокрема
доведено iснування нормованої ємностi, для якої dimWB c D dimWB c <
dimB supp c D dimB supp c:
Введенi вимiри поширено на адитивнi субiмовiрнiснi мiри � та зроблено
їх порiвняння iз класичними вимiрами мiри. Виявлено, що в загальному ви-
падку dimWH � � dimH � та dimWB � � dimB �, а для нижнього вимiру
Мiнковського dimWB D dimB �.
Означено системи iтерованих вiдображень (IFS) для гiперпросторiв вклю-
чення та нормованих ємностей на компактних замкнених пiдпросторах про-
стору Rn. Запропоновано способи обчислення та оцiнки вимiрiв Мiнковсько-
го для самоподiбних гiперпросторiв включення та самоподiбних неадитивних
мiр, що є атракторами вiдповiдних IFS. Основний результат роздiлу грунтує-
ться на тому фактi, що обчислення фрактальних вимiрiв для ємностi iз скiн-
ченною множиною значень зводиться до обчислення фрактальних вимiрiв гi-
перпросторiв включення, що є зрiзами даної ємностi на рiвнях, якi вiдповiда-
ють цим значенням.
Результати роздiлу 5 опублiковано в статтi [21] i тезах доповiдей [22] та
[23].
125
ВИСНОВКИ
Дисертацiйну роботу присвячено знаходженню оптимальних щодо ме-
трики Прохорова наближень регулярних неадитивних мiр на компактних та
некомпактних метричних просторах неадитивними мiрами з вужчих класiв,
зручнiших з обчислювальної точки зору.
У другому роздiлi побудовано iнтегральне зображення метрики Прохо-
рова на множинi регулярних неадитивних мiр на метричному компактi через
iнтеграл Сугено та встановлено її застосовнiсть на некомпактних метричних
просторах за умови звуження класу ємностей, регулярних щодо топологiї, до
класу ємностей, регулярних щодо метрики.
У третьому роздiлi знайдено оптимальнi наближення довiльної ємностi
на не обов’язково компактному метричному просторi ємностями з обмеженим
коефiцiєнтом Лiпшиця щодо метрики Гаусдорфа, а також нормованої ємно-
стi на метричному компактi нормованими мiрами необхiдностi, нормованими
мiрами можливостi та нормованими ємностями, зосередженими на фiксовано-
му замкненому пiдпросторi. Для найближчої до даної ємностi адитивної мiри
на скiнченному пiдпросторi не вказано явного вигляду, однак запропоновано
алгоритм знаходження.
У четвертому роздiлi показано неможливiсть побудови у загальному ви-
падку неперервного оптимального наближення нормованих ємностей ємно-
стями з розглядуваних класiв. Водночас для довiльного класу нормованих єм-
ностей, який є I -опуклою замкненою множиною у iдемпотентному лоусоново-
му напiвмодулi субнормованих ємностей на метричному компактi, доведено
iснування неперервного майже оптимального наближення нормованих ємно-
стей ємностями з цього класу.
У п’ятому роздiлi введено поняття основи гiперпростору включення та
основи неадитивної мiри, що дозволяє наближати гiперпростiр чи неадитив-
ну мiру за допомогою вiдповiдно скiнченної сiм’ї множин чи значень вихiдної
126
мiри на множинах зi скiнченної сiм’ї. Для оцiнки потужностi такої сiм’ї зале-
жно вiд бажаної точностi введено верхнiй i нижнiй вимiри Мiнковського та
вимiр Гаусдорфа для гiперпросторiв включення та неадитивних мiр, доведено
їх властивостi, зокрема, порiвняння з вiдповiдними вимiрами носiїв та твер-
дження про точнi значення i оцiнки вимiрiв Мiнковського для самоподiбних
гiперпросторiв включення та неадитивних мiр у скiнченновимiрному евклiдо-
вому просторi.
Результати дисертацiї можуть бути застосованi для наближеного розв’я-
зування задач, у яких застосовуються неадитивнi мiри, зокрема, у теорiї прий-
няття рiшень в умовах невизначеностi.
127
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Billingsley, P.: Convergence of Probability Measures. Wiley, New
York–London–Sydney–Toronto (1999)
2. Choquet, G.: Theory of Capacity. Ann.l’Institute Fourier 5, 131–295 (1953–
1954)
3. de Cooman, G., Kerre, E.E.: Possibility and necessity integrals. Fuzzy Sets
and Systems 77(2), 207–227 (1996)
4. Denneberg, D.: Non-additive mesures and integral. Kluwer Academic (1994)
5. Eichberger, J., Kelsey, D.: Non-additive beliefs and strategic equilibria. Games
and Economic Behavior 30, 183–215 (2000)
6. Epstein, L., Wang, T.: “Beliefs about beliefs” without probabilities.
Econometrica 64(5), 1343–1373 (1996)
7. Falconer, K.: Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
John Wiley & Sons (2003)
8. Fedorchuk, V.V.: Functors of probability measures in topological categories.
Journal of Mathematical Sciences 91(4), 3157—3204 (1998)
9. Gerritse, B.: Varadhan’s theorem for capacities. Comm. Math. Univ. Carol.
37(4), 667–690 (1996)
10. Gierz, G., Hofmann, K.H., Keimel, K., Lawson, J.D., Mislove, M., Scott,
D.S.: Continuous Lattices and Domains. Encyclopedia of Mathematics and
its Applications, vol. 93. Cambridge University Press, Cambridge (2003)
11. Gilboa, I., Schmeidler, D.: Updating Ambiguous Beliefs. Journal of Economic
Theory 59, 33–49 (1993)
12. Goemans, M.X., Harvey, N.J., Iwata, S., Mirrokni, V.: Approximating
Submodular Functions Everywhere. Proceedings of the Twentieth Annual
ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. 535–544 (2009)
13. Grabisch, M.: The symmetriс Sugeno integral. Fuzzy sets and system 139,
473– 490 (2003)
128
14. Grabisch, M., Labreuche, C.: The symmetric and asymemetric Choquet
integrals on finite spaces for decision making. Statistical Papers 43(1), 37–52
(2002)
15. Grabisch, M., Miranda, P.: On the vertices of the k-additive core. Discrete
Mathematics 308(22), 5204–5217 (2008)
16. Hlushak, I.: Approximation of non-additive measures. In: International
Conference “Infinite Dimensional Analysis and Topology”: book of abstracts,
pp.60–62. Ivano-Frankivsk (2009). Ivano-Frankivsk, May 27–June 1, 2009
17. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Submonads of the capacity monad. Carpathian
Journal of Mathematics 24(1), 56–67 (2008)
18. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Approximation of Capacities. In: International
Conference “Analysis and Topology”. Abstracts. Part II. Topology, pp.28–29.
Lviv (2008). Lviv, June 2–7, 2008
19. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Continuous approximations of capacities on
metric Compacta. Carpathian Mathematical Publications 8(1), 44-50 (2016).
doi:10.15330/cmp.8.1.44-50
20. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Almost optimal aproximations of capacities
on metric compacta whith capacities from a closed I-convex subspace. In:
International conference dedicated to the 120th anniversary of Kazimierz
Kuratowski: book of abstracts, pp.23–24 . Lviv (2016). Lviv, September 27
– October 1, 2016
21. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Fractal dimensions for inclusion
hyperspaces and non-additive measures, Mat. Stud. 50(1), 3–21 (2018).
doi:10.15330/ms.50.1.3-21
22. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Fractal dimensions for non-additive measures.
In: The XIII-th Summer School “Analysis, Topology and Applications”: book
of abstracts, pp.17–19. Chernivtsi (2018). Vyzhnytsya, July 29 - August 11,
2018
129
23. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Self-similar inclusion hyperspaces and non-
additive measures. Сучаснi проблеми математики та її застосування в при-
родничих науках i iнформацiйних технологiях: матерiали Мiжнар. наук.
конф. присвяч. 50-рiччю факультету математики та iнформатики Чернi-
вецького нац. ун-ту iм. Ю. Федьковича, с.157. ЧНУ (2018). Чернiвцi, 17—
19 вересня 2018
24. Holwerda, H., Vervaat, W.: Lattices of capacities and related topologies. Stati-
stica Neerlandica 50(2), 306–324 (2008)
25. Kolokoltsov, V.N., Maslov, V.P.: Idempotent Analysis and Its Applications.
Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1998)
26. Lawson, J.D.: Topological semilattices with small semilattices. J. Lond.
Math. Soc. 11, 719–724 (1969)
27. Mac Lane, S.: Categories for the Working Mathematician. Springer-Verlag,
New York (1998)
28. Mesiar, R., Ahmad, K., Mesiarova-Zemankova, A.: Comonotone maxitivity
and extended Sugeno integral. In: Proceedings of IPMU’08, рр. 1484–1489.
Malaga (2008).
29. Miranda, P., Grabisch, M., Gil, P.: Axiomatic structure of k-additive capacities.
Mathematical Social Sciences 49(2), 153–178 (2005)
30. Nemhauser, G.L., Wolsey, L.A.: Best Algorithms for Approximating the Maxi-
mum of a Submodular Set Function. Mathematics of Operations Research
3(3), 177–264 (1978)
31. Nykyforchyn, O.R.: On the axiom of continuity, openness and bicommutativi-
ty. Meth. Func. Anal. and Top. 4, 82–85 (1998)
32. Nykyforchyn, O.R.: Capacities with values in compact Hausdorff lattices.
Applied Categorical Structures 15(3), 243–257 (2007)
33. Nykyforchyn, O.R.: Fractal capacities and iterated function systems.
Mathematical Gerold of Shevchenko Scientific Society 5, 259–273 (2008)
130
34. Nykyforchyn, O.R.: The Sugeno integral and functional representation of the
monad of lattice-valued capacities. Topology 48, 137–148 (2009).
35. Nykyforchyn, O., Hlushak, I.: Approximation of capacities with additi-
ve measures. Carpathian Mathematical Publications 9(1), 92–97 (2017).
doi:10.15330/cmp.9.1.92-97
36. Nykyforchyn, O.R., Repovs, D.: Inclusion hyperspaces and capacities on
Tyhonoff spaces: functors and monads. Topology and Its Appl. 157 (15), 2421–
2434 (2010). doi:10.1016/j.topol.2010.07.032
37. O’Brien, G.L., Verwaat, W.: How subsadditive are subadditive capacities?.
Comment. Math. Univ. Carolinae 35(2), 311–324 (1994)
38. Pesin, Ya.B.: Dimension Theory in Dynamical Systems: Contemporary Views
and Applications. The Chicago University Press, Chicago and London (1997)
39. Schief, A.: Separation properties for self-similar sets. Proceedings of
the Amer. Math. Soc. 122(1) 111–115 (1994)
40. Schmeidler, D.: Subjective Probability and Expected Utility without Additivi-
ty. Econometrica 57, 571—587 (1989)
41. Sugeno, M.: Theory of fuzzy integrals and its application. PhD thesis, Tokyo
Institute of Technology (1974)
42. Teleiko, A., Zarichnyi, M.: Categorical Topology of Compact Hausdorff
Spaces. Math. Studies Monograph Series, vol.5. VNTL Publishers, Lviv
(1999)
43. Vrscay, E.R.: From Fractal Image Compression to Fractal-Based Methods in
Mathematics. In: Barnsley, M. F., Saupe, D., Vrscay, E.R. (ed.) Fractals in
Multimedia. Springer-Verlag, New York (2002)
44. Wakker, P.P.: Comonotonic additivity for Choquet integrals. Internal Report
89 NICI 11, Nijmeegs Instituut voor Cognitie-Onderzoek en Informatic-
Technologie, Katholieke Universiteit Nijmegen (1989)
45. Webster, J.: Finite approximation of measure and integration. Annals of Pure
and Applied Logic 137, 439–449 (2006)
131
46. Zarichnyi, M.M., Nykyforchyn, O.R.: Capacity functor in the category of
compacta. Mat. Sb. 199(2), 3–26 (2008)
47. Zhou, L.: Integral representation of continuous comonotonically additive
functionals. Trans. Amer. Math. Soc. 350(5), 1811–1822 (1998)
48. Глушак, I.Д.: Оптимальнi наближення ємностей на метричному компактi.
Математичнi Студiї 31(2), 115–121 (2009)
49. Глушак, I.Д.: Простори ємностей на метричних некомпактних просторах.
VII Лiтня школа “Алгебра, топологiя i аналiз”: тези доповiдей, с.78–79.
Iвано-Франкiвськ (2010). Верховина, 5-16 липня 2010
50. Глушак, I.Д.: Неперервнi апроксимацiї ємностей на метричному компа-
ктi. IХ Лiтня школа “Алгебра, топологiя i аналiз”: тези доповiдей, с.29–
30. Iвано-Франкiвськ (2014). Поляниця, 7–18 липня 2014
51. Глушак, I.Д.: Наближення ємностей на метричних просторах лiпшицеви-
ми ємностями. Карпатськi математичнi публiкацiї 6(2), 196–202 (2014).
doi:10.15330/cmp.6.2.196-202
52. Глушак, I.Д.: Наближення ємностей лiпшицевими ємностями. Х Лiтня
школа “Алгебра, Топологiя, Аналiз”: тези доповiдей, с. 49–50. Київ
(2015). Одеса, 3–15 серпня 2015
53. Глушак, I.Д.: Iнтегральне зображення метрики Прохорова на просторi
нормованих ємностей. Прикарпатський вiсник НТШ. Число. 1(37), 69-74
(2017)
54. Глушак, I.Д., Никифорчин, О.Р.: Неперервнiсть iдемпотентно опуклої
комбiнацiї нескiнченної кiлькостi елементiв I-опуклого компактна. При-
карпатський вiсник НТШ. Число. 1(33), 152–156 (2016)
55. Глушак, I.Д., Никифорчин, О.Р.: Iдемпотентно опуклi комбiнацiї нескiн-
ченної кiлькостi елементiв. ХI Лiтня школа “Алгебра, Топологiя, Ана-
лiз”: тези доповiдей, с.74–75. Київ (2016). Одеса, 1-14 серпня 2016. URL
https://www.imath.kiev.ua/topology/ata11/ata11_theses.pdf
132
56. Зарiчний, М.М.: Топологiя функторiв i монад у категорiї компактiв.
IСДО, Київ (1993)
57. Келли, Дж.: Общая топология. Наука, Москва (1968)
58. Моисеев, Е.В.: О пространствах замкнутых гиперпространств включения.
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 3, 54–57 (1988)
59. Никифорчин, О.Р.: Простори неадитивних мiр: категорiї i топологi-
чнi властивостi. дис. ... д-ра фiз.-мат. наук: 01.01.04, Львiв. нац. ун-т
iм. I. Франка, Львiв (2012)
60. Прохоров, Ю. В.: Сходимость случайных процессов и предельные тео-
ремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1(2), 177—238
(1956)
61. Садовничий, Ю. В.: О метрике на пространствах вероятностных мер. Ве-
стн. Моск. ун-та. Серия 1. Математика. Механика 4, 31—35 (1994)
62. Черковський, Т.М.: Регулярнi ємностi на метризовних просторах. Кар-
патськi матем. публ. 6(1), 166—176 (2014). doi:10.15330/cmp.6.1.166-176
63. Щепин, Е.В.: Функторы и несчетные степени компактов. Успехи матем.
наук 36(3), 3–62 (1981)
64. Энгелькинг, Р.: Общая топология. Мир, Москва (1986)
133
ДОДАТОК А
СПИСОК ПУБЛIКАЦIЙ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦIЇ
Список публiкацiй, в яких опублiковано основнi результати дисерта-
цiї:
1. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Submonads of the capacity monad. Carpathian
Journal of Mathematics 24(1), 56–67 (2008)
2. Глушак, I.Д.: Оптимальнi наближення ємностей на метричному компа-
ктi. Математичнi Студiї 31(2), 115–121 (2009)
3. Глушак, I.Д.: Наближення ємностей на метричних просторах лiпшицеви-
ми ємностями. Карпатськi математичнi публiкацiї 6(2), 196–202 (2014).
doi:10.15330/cmp.6.2.196-202
4. Глушак, I.Д., Никифорчин, О.Р.: Неперервнiсть iдемпотентно опуклої
комбiнацiї нескiнченної кiлькостi елементiв I -опуклого компакта. При-
карпатський вiсник НТШ. Число 1(33), 152–156 (2016)
5. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Continuous approximations of capacities on
metric compacta. Carpathian Mathematical Publications 8(1), 44-50 (2016).
doi:10.15330/cmp.8.1.44-50
6. Глушак, I.Д.: Iнтегральне зображення метрики Прохорова на просторi
нормованих ємностей. Прикарпатський вiсник НТШ. Число 1(37), 69-
74 (2017)
7. Nykyforchyn, O., Hlushak, I.: Approximation of capacities with additive mea-
sures. Carpathian Mathematical Publications 9(1), 92–97 (2017).
doi:10.15330/cmp.9.1.92-97
8. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Fractal dimensions for inclusion hyperspaces
and non-additive measures. Mat. Stud. 50(1), 3–21 (2018).
doi:10.15330/ms.50.1.3-21
134
Список публiкацiй, якi засвiдчують апробацiю матерiалiв дисерта-
цiї:
1. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Approximation of Capacities. In: International
Conference “Analysis and Topology”. Abstracts. Part II. Topology, pp.28–
29. Lviv (2008). Lviv, June 2–7, 2008
2. Hlushak, I.: Approximation of non-additive measures. In: International Con-
ference “Infinite Dimensional Analysis and Topology”: book of abstracts,
pp.60–62. Ivano-Frankivsk (2009). Ivano-Frankivsk, May 27–June 1, 2009
3. Глушак, I.Д.: Простори ємностей на метричних некомпактних просто-
рах. VII Лiтня школа “Алгебра, топологiя i аналiз”: тези доповiдей,
с.78–79. Iвано-Франкiвськ (2010). Верховина, 5-16 липня, 2010
4. Глушак, I.Д.: Неперервнi апроксимацiї ємностей на метричному компа-
ктi. IХ Лiтня школа “Алгебра, топологiя i аналiз”: тези доповiдей, с.29–
30. Iвано-Франкiвськ (2014). Поляниця, 7–18 липня, 2014
5. Глушак, I.Д.: Наближення ємностей лiпшицевими ємностями. Х Лiтня
школа “Алгебра, Топологiя, Аналiз”: тези доповiдей, с. 49–50. Київ (2015).
Одеса, 3–15 серпня, 2015
6. Глушак, I.Д., Никифорчин, О.Р.: Iдемпотентно опуклi комбiнацiї нескiн-
ченної кiлькостi елементiв. ХI Лiтня школа “Алгебра, Топологiя, Ана-
лiз”: тези доповiдей, с.74–75. Київ (2016). Одеса, 1-14 серпня, 2016
7. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Almost optimal approximations of capacities
on metric compacta with capacities from a closed I -convex subspace. In:
International conference dedicated to the 120th anniversary of Kazimierz
Kuratowski: book of abstracts, pp. 23–24. Lviv (2016). Lviv, September 27
– October 1, 2016
8. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Fractal dimensions for non-additive measures.
In: The XIII-th Summer School “Analysis, Topology and Applications”: book
of abstracts, pp. 17–19. Chernivtsi (2018). Vyzhnytsya, July 29 - August 11,
2018
135
9. Hlushak, I., Nykyforchyn, O.: Self-similar inclusion hyperspaces and non-
additive measures. Мiжнародна наукова конференцiя “Сучаснi проблеми
математики та її застосування в природничих науках i iнформацiйних
технологiях”, присвячена 50-рiччю факультету математики та iнфор-
матики Чернiвецького нацiонального унiверситету iм. Ю. Федьковича:
матерiали конференцiї, с.157. Чернiвцi (2018). Чернiвцi, 17—19 вересня,
2018
136
ДОДАТОК Б
ТЕРМIНИ ТА ПОЗНАЧЕННЯ
Нижче наведено позначення, означення та допомiжнi твердження, вико-
ристанi у текстi дисертацiйної роботи.
Топологiчнi простори: деякi класи та вiдображення
Як звичайно, через N, Q, R позначаємо множини всiх натуральних, рацiо-
нальних i дiйсних чисел вiдповiдно. Вважаємо, що топологiя на дiйснiй прямiй
R є стандартною (природною), топологiї на одиничному вiдрiзку I D Œ0I 1� i
пiвпрямiй RC D Œ0;C1/ iндукованi вкладеннями у дiйсну пряму з природною
топологiєю.
Вживаючи термiн простiр, маємо на увазi метричний чи топологiчний
простiр. ПишемоA � l
X абоA �op
X , якщоA – замкнена чи вiдповiдно вiдкрита
пiдмножина простору X . Через ClA (або A) позначаємо замикання, а через
IntA – внутрiшнiсть множини A в X .
Пiдмножина A топологiчного простору X називається скрiзь щiльною в
X , якщо ClA збiгається з усiєю множиноюX . МножинаA скрiзь щiльна в про-
сторi в X тодi i тiльки тодi, коли в кожнiй непорожнiй вiдкритiй пiдмножинi
простору мiститься хоча б один елемент множини A.
Якщо на множинi X визначено метрику d , то для x 2 X та A � X вели-
чину d.x;A/ D inffd.x; a/ j a 2 Ag називаємо вiдстанню вiд точки x до непо-
рожньої множини A, а величину diamA D supfd.x; y/jx; y 2 Ag дiаметром
множини A. Якщо diamX < 1, то метрика d на X називається обмеженою, а
.X; d/ – метричним простором скiнченного дiаметра. Для " > 0 множини
O"A D fx 2 X j d.x;A/ < "g
та
O"A D fx 2 X j d.x;A/ 6 "g
137
називаємо вiдповiдно вiдкритим "-околом та замкненим "-околом множини
A � X . Зокрема, через O".fag/ D B".a/ та O".fag/ D NB".a/ позначаємо
вiдкриту та замкнену кулю радiуса " з центром у точцi a 2 X .
Компактом [64] називаємо компактний гаусдорфiв топологiчний про-
стiр. Якщо компактна топологiя породжена деякою фiксованою метрикою, то
такий компакт називаємо метричним.
Для вiдображення f W X ! Y через f jA позначаємо обмеження f на
A � X . Через 1X (або idx) позначаємо тотожне вiдображення множини X в
себе. Якщо f ı f D 1X , то вiдображення f W X ! X називаємо iнволюцiєю.
Через C.X;R/ позначаємо множину всiх обмежених неперервних дiйсно-
значних функцiй на X з топологiєю рiвномiрної збiжностi [57], яка iндукує-
ться sup-нормою: kf k D supfjf .x/j W x 2 Xg. Вiдповiдно, C.X;RC/ – простiр
невiд’ємних обмежених неперервних функцiй на X .
Для функцiї f W X ! I використовуємо позначення consta i пишемо
f D a, якщо f .x/ D a для всiх x 2 X . Кажемо, що функцiя f W X ! I
вiдокремлює множини A;B � X , якщо f jA D 1 та f jB D 0. Якщо така
функцiя iснує дляA;B � X та є неперервною, то множиниA таB називаються
функцiонально вiдокремленими.
Топологiчний простiр X називається тихоновським [64], якщо вiн є T1-
простором, в якому кожна точка x 2 X функцiонально вiдокремлена вiд до-
вiльної множини A � l
X , такої що x … A. Для тихоновських просторiв i тiльки
для них можлива компактифiкацiя, тобто вкладення у виглядi скрiзь щiльної
множини в компакт.
Експонентою (або гiперпростором) [56, 42] топологiчного простору X
називається множина всiх непорожнiх замкнених пiдмножин X (позначається
expX) з топологiєю Вiєторiса, яка задається передбазою iз усiх множин ви-
гляду
hU i D fF 2 expX jF � U g
138
та
hX;U i D fF 2 expX jF \ U ¤ ¿g;
де U �op
X . Базу топологiї Вiєторiса утворюють множини вигляду
hU1; U2; :::; Uni D fF 2 expX jF � U1[U2[:::[Un; F\Ui ¤ ¿;8i; 1 � i � n; g
де n 2 N та кожна множина Ui є вiдкритою уX . Позначаємо ExpX D expX[f¿g.
Якщо X – простiр з обмеженою метрикою, то на множинi expX вживає-
мо метрику Гаусдорфа dH :
dH .A;B/ D max
˚
supfd.a;B/ j a 2 Ag; supfd.b;A/ j b 2 Bg
; A;B 2 expX:
Наступнi формули для dH є рiвносильними:
dH .A;B/ D inff" > 0 j A � O"B;B � O"Ag;
dH .A;B/ D inff" > 0 j A �[
b2B
NB".b/; B �[
a2A
NB".a/g;
dH .A;B/ D inff" > 0 j A �[
b2B
B".b/; B �[
a2A
B".a/g:
Для метричного компактаX метрика Гаусдорфа породжує топологiю Вi-
єторiса. Крiм того, у другiй формулi для dH (але не третiй) inf можна замiни-
ти на min для компактного простору X , оскiльки у такому просторi O"A DS
a2ANB".a/ для кожної замкненої A � X .
Топологiчнi напiвгратки та гратки
Нижче наводяться означення i факти, що стосуються деяких класiв час-
тково впорядкованих множин, описаних у працях [10, 26].
Бiнарне вiдношення � на множинi X називається частковим порядком,
якщо виконуються умови:
(1) x � x для кожного x 2 X (рефлексивнiсть);
(2) якщо x � y та y � x, то x D y для x; y 2 X (антисиметричнiсть);
(3) якщо x � y та y � z, то x � z для x; y; z 2 X (транзитивнiсть).
139
Множину X iз заданим на нiй частковим порядком � називають частко-
во впорядкованою i позначають .X;�/. Елементи x; y 2 .X;�/ називаються
порiвнянними, якщо x � y або y � x.
ПiдмножинаA частково впорядкованої множини .X;�/ називається спря-
мованою вниз (вгору), якщо для всiх x; y 2 A iснує такий елемент z 2 A, що
z � x i z � y (вiдповiдно x � z i y � z).
Прикладом частково впорядкованої множини є сiм’я 2X всiх пiдмножин
довiльної множини X , впорядкована за включенням, тобто A � B для A;B �X якщо A � B . Тому кажуть, що сiм‘я множин A � 2X спрямованою за
включенням вниз (вгору), якщо для всiх A;B 2 A iснує C 2 A , тaке що
C � A \ B (вiдповiдно A \ B � C ).
Елемент x 2 X називається верхньою (нижньою) гранню пiдмножини A
частково впорядкованої множини X , якщо a � x (вiдповiдно x � a) для всiх
a 2 A. Якщо такий елемент iснує, то множина A називається обмеженою зго-
ри (вiдповiдно знизу). Найменша (найбiльша) iз верхнiх ( нижнiх) граней мно-
жини A, якщо вона iснує, називається точною верхньою (нижньою) гранню
множини i позначається supA (вiдповiдно inf A).
Попарним супремумом елементiв x; y частково впорядкованої множини
X називається точна верхня грань множини fx; yg, яку позначаємо x_y. Точна
нижня грань множини fx; yg називається попарним iнфiмумом i позначається
x ^ y.
Частково впорядкована множина .X;�/ називається верхньою напiвгра-
ткою, якщо попарнi супремуми x _ y iснують для для всiх пар елементiв
x; y 2 X . Якщо iснують всi попарнi iнфiмуми, то така частково впорядко-
вана множина називається нижньою напiвграткою. Пiдмножина Y верхньої
(нижньої) напiвгратки X називається верхньою (нижньою) пiднапiвграткою,
якщо супремум (вiдповiдно iнфiмум) будь-яких двох елементiв з Y мiститься
в Y . Тодi Y теж є верхньою (нижньою) напiвграткою, i супремуми (iнфiмуми)
всiх скiнченних пiдмножин Y у X та Y iснують та рiвнi.
140
Верхня (нижня) напiвгратка .X;�/ називається топологiчною, якщо на
X задано топологiю, щодо якої попарний супремум x _ y (iнфiмум x ^ y)
неперервно залежить вiд x; y 2 X .
Топологiчна напiвгратка називається лоусоновою або напiвграткою Ло-
усона [26], якщо у кожнiй її точцi iснує локальна база, яка складається з пiд-
напiвграток.
Верхня (нижня) напiвгратка є повною, якщо для кожної її непорожньої
пiдмножини iснує точна верхня (вiдповiдно нижня) грань. Вiдомо, що кожна
компактна топологiчна верхня напiвгратка є повною i мiстить найбiльший еле-
мент [32]. Компактна гаусдорфова верхня топологiчна напiвгратка X є напiв-
граткою Лоусона, якщо i тiльки якщо вiдображення sup W expX ! X , яке
кожнiй непорожнiй замкненiй пiдмножинi A � X спiвставляє її точну верхню
грань supA, є неперервним щодо топологiї Вiєторiса.
Частково впорядкована множина, яка одночасно є верхньою i нижньою
напiвграткою, називається граткою.
Повна гратка – це гратка, у якiй супремуми та iнфiмуми iснують для
всiх непорожнiх пiдмножин.
Гратка є дистрибутивною, якщо для довiльних її елементiв x; y; z вико-
нується дистрибутивний закон x^ .y_z/ D .x_y/^ .x_z/ або x_ .y^z/ D.x ^ y/ _ .x ^ z/.
Повна гратка називається цiлком дистрибутивною, якщо для кожної
сiм’ї її пiдмножин fAi ji 2 Ig виконується умова:
inf
i2IfsupAi g D supfinf
i2I'.i/j' W I !
[
i2I
Ai ; '.i/ 2 Ai g;
де ' пробiгає всi функцiї вибору, що обирають з кожної множини Ai по пред-
ставнику.
Топологiчна гратка – топологiчний простiр з вiдношенням часткового
порядку, що є одночасно верхньою i нижньою топологiчною напiвграткою.
Якщо у кожнiй точцi дистрибутивної топологiчної гратки iснує локальна база,
141
що складається з пiдграток, тобто пiдмножин, якi мiстять попарнi супремуми
та iнфiнуми всiх своїх елементiв, то вона називається граткою Лоусона i є
цiлком дистрибутивною.
Елементи теорiї категорiй
Пара C D .Ob C; Ar C/, що складається з двох класiв (Ob C – сукупностi
об’єктiв та Ar C – сукупностi стрiлок або морфiзмiв) називається категорi-
єю [27], якщо виконанi наступнi умови:
(1) для кожної стрiлки f 2 Ar C визначена єдина впорядкована пара .X; Y /
(початок domf D X та кiнець rng f D Y ), при цьому f називаємо
стрiлкою з X в Y та позначаємо це як f W X ! Y ;
(2) для будь-якої пари стрiлок f i g з rng f D domg визначена єдина
стрiлка h з domh D domf i rng h D rng g, яка називається компози-
цiєю стрiлок f i g та позначається g ı f ;
(3) композицiя асоцiативна, тобто.h ı g/ ı f D h ı .g ı f / для будь-якої
трiйки стрiлок з rng f D domg i rng g D domh;
(4) для будь-якого об’єкта X 2 Ob C iснує єдина одинична стрiлка (тото-
жний морфiзм) 1X W X ! X , що f ı 1X D f та 1X ı g, для довiльних
стрiлок f W X ! Y та g W Y ! X .
Стрiлка f W X ! Y називається iзоморфiзмом, якщо для неї iснує зво-
ротна стрiлка g W Y ! X , тобто така, що g ı f D 1X ; f ı g D 1Y , при цьому
об’єкти X та Y називаємо iзоморфними, що позначається X Š Y .
Для послiдовних стрiлок f1; f2; : : : ; fn, тобто таких що
rngf1 D domf2; : : : ; rng fn�1 D domfn;
застосовуючи властивiсть (3), можна визначити композицiю fn ı : : : ı f2 ı f1.
Дiаграма в категорiї C – це граф, у якому вершини позначенi об’єктами з
Ob C, а ребрам вiдповiдають стрiлки зAr C мiж вiдповiдними об’єктами. Ком-
позицiєю шляху у дiаграмi називається композицiя вiдповiдних послiдовних
142
стрiлок, якими позначенi ребра вздовж цього шляху. Для кожної вершини дi-
аграми розглядаємо також порожнiй шлях з цiєї вершини у себе, композицiєю
якого є тотожня стрiлка. Якщо для довiльних двох шляхiв iз спiльними по-
чатками i спiльними кiнцями їх композицiї рiвнi, то таку дiаграму називають
комутативною.
Для довiльних категорiй C i D (коварiантним) функтором [27] називає-
ться вiдображення F W C ! D, яке:
(1) переводить об’єкти X 2 Ob C у об’єкти FX 2 ObD;
(2) не вiдриває стрiлки вiд їх початкiв та кiнцiв, тобто, якщо f W X ! Y
– стрiлка у категорiї C, то Ff W FX ! FY – вiдповiдна стрiлка у
категорiї D;
(3) зберiгає композицiї, тобто, якщо визначена композицiя g ı f W X ! Y
послiдовних стрiлок f W X ! Y , g W Y ! Z у C, тоF.gıf / D FgıFf ;
(4) зберiгає тотожний морфiзм, тобто F.1X / D 1FX для кожного X 2Ob C.
Функтор F W C ! C називається функтором у кагегорiї C (або ендо-
функтором). Тотожним функтором в C є функтор 1C , який вiдображає кожен
об’єкт i кожен морфiзм категорiї в себе.
Стрiлка f W X ! Y довiльної категорiї C називається мономорфiзмом
(скоротною злiва), якщо з рiвностi f ı g1 D f ı g2 випливає, що g1 D g2.
Вiдповiдно, якщо з рiвностi g1 ı f D g2 ı f випливає, що g1 D g2, то стрiлка
f W X ! Y називається епiморфiзмом (скоротною справа).
Функтор називається мономорфним (епiморфним), якщо вiн зберiгає
клас мономорфiзмiв (епiморфiзмiв).
Нехай F;G W C ! D – два функтора (коварiантних). Природним пе-
ретворенням функтора F у функтор G називається набiр стрiлок ' D f'X WFX ! GX;X 2 Ob Cg в категорiї D такий, що для кожної стрiлки f W X ! Y
в C комутативна дiаграма:
143
FX'X
//
Ff
��
GX
Gf
��
FY'Y
// GY
Для кожногоX 2 Ob C стрiлка 'X називається компонентою природно-
го перетворення ' W F ! G.
Функтор F називається iзоморфним до функтора G, якщо iснує приро-
дне перетворення ' W F ! G, всi компоненти якого 'X W FX ! GX є
iзоморфiзмами, при цьому ' також називають iзоморфiзмом.
Категорiя топологiчних просторiв T op складається iз об‘єктiв – топо-
логiчних просторiв i стрiлок (морфiзмiв) – їх неперервних вiдображень. Через
Comp позначається категорiя компактiв (компактних гаусдорфових просто-
рiв), утворена всiма компактами та їх неперервними вiдображеннями. Фун-
кторам у категорiї компактiв притаманнi “гарнi” властивостi, якi детально до-
слiджено в працях [63, 42, 31], нижче описуються деякi з них.
Природне перетворення мiж функторами F та G в категорiї Comp на-
зиваємо природним вкладенням, якщо всi його компоненти є вкладеннями
(топологiчними). Якщо iснує природнє вкладення функтора F в функтор G,
то функтор F називається пiдфунктором функтора G.
Функтор зберiгає точку, якщо вiн переводить одноточковий простiр в
одноточковий. Якщо функторF зберiгає точку, то iснує не бiльше одного при-
родного перетворення ' W 1Comp
! F .
Функтор зберiгає порожню множину, якщо вiн переводить порожню
множину в порожню множину.
Функтор зберiгає перетини, якщо \˛2AF.X˛/ D F.\˛2AX˛/, деX˛; ˛ 2A – довiльна сiм‘я замкнених пiдпросторiв X .
Функтор зберiгає прообрази, якщо для довiльної стрiлки f W X ! Y та
a 2 FX , Y0 � l
Y , таких що Ff .a/ 2 FY0, виконується a 2 F.f �1.Y0//.
144
У категорiї Comp стрiлка є мономорфiзмом (епiморфiзмом), тодi i тiль-
ки тодi, коли вона є iн’єктивним (вiдповiдно сюр’єктивним) вiдображенням.
Тому функтор F в Comp називається мономорфним ( епiморфним), якщо для
будь-якого iн’єктивного (вiдповiдно сюр’єктивного) вiдображення f W X ! Y
вiдображення Ff W FX ! FY – також iн’єктивне (вiдповiдно є вiдображен-
ням “на”).
Функтор називається вiдкритим, якщо вiн переводить вiдкритi вiдобра-
ження у вiдкритi.
ФункторF W Comp ! Comp називається нормальним (Є.В.Щепiн [63]),
якщо вiн зберiгає вагу (тобто вага FX дорiвнює вазi X), перетини, прообрази,
точку, порожню множину, мономорфний, епiморфний та неперервний. Якщо
функтор задовольняє всiм перерахованим умовам крiм, можливо, умови збере-
ження прообразiв (вiдповiдно епiморфностi), то вiн називається слабко (май-
же) нормальним.
Нагадаємо, що функтор F W Comp ! Comp називається неперервним,
якщо вiн зберiгає границi всiх зворотних спектрiв [27]. Наше дослiдження сто-
сується тих випадкiв, коли немає потреби перевiряти властивiсть неперервно-
стi у такому “складному” формулюваннi, оскiльки для мономорфного i епi-
морфного функтора F в Comp вона випливає iз властивостi збереження спа-
дних перетинiв [31]:F.T
A/ D T
A2A F.A/ для кожної спрямованої вниз сiм’ї
A замкнених пiдмножин компакта.
Монадою [27, 42] в категорiї C називається трiйка F D .F; �; �/, що
складається з ендофунктора F W C ! C i природних перетворень � W 1C ! F
та � W F 2 ! F , таких, що для всiх X 2 ObC комутативнi дiаграми:
FX�FX
//
F �X
��
1FX
##●●
●
●
●
●
●
●
●
F 2X
�X
��
F 2X�X
// FX
F 3XF�X
//
�FX
��
F 2X
�X
��
F 2X�X
// FX
145
При цьому природне перетворення � називається одиницею, а природне пере-
творення � – множенням монади. Функтор F називається функторiальною
частиною монади. Дiаграми iнтерпретуються як властивостi:
(1) �X ı �FX D �X ı F�X D 1FX (двосторонностi одиницi монади);
(2) �X ı �FX D �X ı F�X (асоцiативностi множення монади).
Морфiзмом монади F1 D .F1; �1; �1/ в монаду F2 D .F2; �2; �2/ у кате-
горiї C називається природне перетворення ' W F1 ! F2, для якого 'ı�1 D �2
та ' ı�1 D �2 ıF2' ı'F1. Якщо при цьому всi компоненти 'X є iзоморфiзма-
ми (або вкладеннями), то монада F1 називається iзоморфною до (вiдповiдно
пiдмонадою) монади F2, а перетворення ' – iзоморфiзмом (вкладенням) мо-
над.
Якщо F D .F; �; �/ – монада в категорiї Comp, для якої функторiальна
частина F – (слабко) нормальний функтор, то монада F також називається
(слабко) нормальною.
