Нацiональний унiверситет Львiвська полiтехнiка...// Науковий вiсник Ужгородського ун-ту. Математика i

Нацiональний унiверситет”Львiвська полiтехнiка“

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ

Львiвський нацiональний унiверситет iм. Iвана Франка

МIНIСТЕРСТВО ОСВIТИ I НАУКИ УКРАЇНИ

Квалiфiкацiйна наукова

праця на правах рукопису

Страп Наталiя Iгорiвна

УДК 517.95

ДИСЕРТАЦIЯ

ЗАДАЧI З НЕЛОКАЛЬНИМИ

ЗА ВИДIЛЕНОЮ ЗМIННОЮ УМОВАМИ

ДЛЯ РIВНЯНЬ З ЧАСТИННИМИ ПОХIДНИМИ

У КОМПЛЕКСНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 — диференцiальнi рiвняння

математика та статистика

Подається на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних

наук

Дисертацiя мiстить результати власних дослiджень. Використання iдей, ре-

зультатiв i текстiв iнших авторiв мають посилання на вiдповiдне джерело

Н. I. Страп

Науковий керiвник: Iлькiв Володимир Степанович,

доктор фiзико-математичних наук, професор

Львiв — 2017

2

АНОТАЦIЯ

Страп Н. I. Задачi з нелокальною за видiленою змiнною умовами для

рiвнянь з частинними похiдними у комплексних областях. —Квалiфiкацiй-

на наукова праця на правах рукопису.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-матема-

тичних наук за спецiальнiстю 01.01.02”Диференцiальнi рiвняння“. — На-

цiональний унiверситет”Львiвська полiтехнiка“. — Львiвський нацiональ-

ний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2017.

У дисертацiйнiй роботi розглянуто задачi з нелокальними за видiленою

змiнною умовами для лiнiйних та слабконелiнiйних рiвнянь та систем рiв-

нянь з частинними похiдними з векторним оператором B = (B1, . . . , Bp),

де Bj ≡ zj∂

∂zj, j = 1, . . . , p, який дiє на функцiї комплексних просторо-

вих змiнних z1, . . . , zp. Встановлено умови коректної розв’язностi задач у

соболєвських просторах функцiй багатьох комплексних змiнних, у шкалi

просторiв функцiй, що є рядами Дiрiхле–Тейлора з фiксованим спектром

та у гiльбертових просторах Хермандера, якi утворюють уточнену собо-

лєвську шкалу.

Знаходження умов розв’язностi задач з нелокальними умовами для ди-

ференцiально-операторного рiвняння iз нелiнiйною правою частиною про-

ведено за iтерацiйною схемою Неша–Мозера. Отримано оцiнки норм у вiд-

повiдних просторах обернених лiнеризованих операторiв, якi виникають у

кожнiй iтерацiї, що є найбiльш важливим моментом у цiй схемi.

Розглядуванi у дисертацiйнiй роботi задачi є, назагал, умовно коректни-

ми, а їхня розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою малих

знаменникiв i не є стiйкою вiдносно малих змiн параметрiв задачi. Дове-

дено теореми метричного характеру про оцiнки знизу малих знаменникiв,

якi виникли при побудовi розв’язкiв дослiджених задач. Звiдси випливає

однозначна розв’язнiсть даних задач для майже всiх (стосовно мiри Лебе-

га) векторiв, складених з коефiцiєнтiв рiвнянь та параметра нелокальних

3

умов.

Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Їх можна засто-

совувати у подальших теоретичних дослiдженнях задач з нелокальними

умовами для рiвнянь iз частинними похiдними i систем таких рiвнянь, а

також при дослiдженнi конкретних задач практики, якi моделюються розг-

лянутими задачами.

Ключовi слова: рiвняння з частинними похiдними, нелокальна за-

дача, малi знаменники, метрична оцiнка, iтерацiйна схема Неша–Мозера,

комплекснi змiннi.

Список публiкацiй за темоюдисертацiї:

1. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для рiвняння з частинними

похiдними у багатовимiрнiй комплекснiй областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп

// Науковий вiсник Ужгородського ун-ту. Математика i iнформатика. –

2013. – 24, 1 – С. 60–72.

2. Iлькiв В. С. Умови розв’язностi нелокальних задач для диферен-

цiальних рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у просторах рядiв Дiрiхле–

Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Буковинський математичний жур-

нал. – 2013. – 1, 3–4 – С. 56–68.

3. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для системи диференцiаль-

них рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у багатовимiрнiй комплекснiй

областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Карпатськi математичнi публiкацiї.

– 2014. – 6, 2. – С. 242–255.

4. Iлькiв В. С.Нелокальна крайова задача для системи диференцiально-

операторних рiвнянь у просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора / В. С. Iлькiв,

Н. I. Страп // Вiсник Нацiонального унiверситету”Львiвська Полiтехнi-

ка“. Фiзико-математичнi науки. – 2014. – 804. – С. 38–48.

5. Iлькiв В. С. Про розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для дифе-

ренцiально-операторного рiвняння в уточненiй соболєвськiй шкалi / В. С.

Iлькiв, Н. I. Страп // Збiрник праць Iн-ту математики НАН України. –

4

2014. – 11, 2. – С. 154–179.

6. Iлькiв В. С. Розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для системи

диференцiально-операторних рiвнянь у шкалi просторiв Соболєва та уточ-

ненiй шкалi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Український математичний

журнал. – 2014. – 67, 5. – С. 611–624. (Переклад: Il’kiv V. S. Solvability

of the nonlocal boundary-value problem for a system of differential-operator

equations in the Sobolev scale of spaces and in a refined scale / V. S. Il’kiv,

N. I. Strap // Ukrainian Mathematical Journal. – October 2015, V. 67, Issue

5. – P. 690–710.)

7. Iлькiв В. С. Розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для диферен-

цiально-операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю в уточненiй шкалi

просторiв Соболєва / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Український математич-

ний вiсник. – 2015. – 12, 4. – С. 437–455. (Переклад: Il’kiv V. S. Solvability

of a nonlocal boundary-value problem for the operator-differential equation with

weak nonlinearity in a refined scale of Sobolev spaces / V. S. Il’kiv, N. I. Strap

// Journal of Mathematical Sciences. – October 2016, V. 218, No. 1. – P. 1–15.)

8. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiально-опе-

раторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у багатовимiрнiй комплекснiй

областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Математичнi студiї. – 2016. – 45,

2. – С. 170—181.

9. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiально-опе-

раторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у просторах рядiв Дiрiхле–

Тейлора з фiксованим спектром / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Мат. методи

та фiз.-мех. поля. – 2016. – 59, 2. – С. 77—85.

10. Страп Н. I. Нелокальна крайова задача для диференцiально-опе-

раторних рiвнянь у багатовимiрнiй комплекснiй областi / Н. I. Страп //

Одинадцята вiдкрита наукова конференцiя IМФН: Збiрник матерiалiв, (13–

14 червня 2013 р., Львiв, Україна) / Нацiональний унiверситет”Львiвська

полiтехнiка“. – Львiв, 2013. – С. 64–65.

5

11. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiальних рiв-

нянь з операторними коефiцiєнтами у багатовимiрнiй комплекснiй областi

/ В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Мiжнародна математична конференцiя”Бо-

голюбовськi читання DIF-2013. Диференцiальнi рiвняння, теорiя функцiй

та їх застосування“ (23–30 червня 2013 р., Севастополь, Україна): Тези

доповiдей. – Київ, 2013. – С. 105–106.

12. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiального рiв-

няння з частинними похiдними у багатовимiрнiй комплекснiй областi /

В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Сучаснi проблеми механiки та математики. –

2013. – 3. – С. 132–134.

13. Илькив В. С. Нелокальная краевая задача для уравнения с част-

ными производными в многомерной комплексной области / В. С. Иль-

кив, Н. И. Страп // Международная конференция”Дифференциальные

уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений“ (18–24

августа 2013 г., Новосибирск, Россия): Тезисы докладов. – Новосибирск,

2013. – С. 144.


них рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у багатовимiрнiй комплекснiй

областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // V Всеукраїнська наукова конференцiя

”Нелiнiйнi проблеми аналiзу“ (19–21 вересня 2013 р., Iвано-Франкiвськ):

Тези доповiдей. – Iвано-Франкiвськ: Вид-во Прикарп. нац. ун-ту iм. В. Сте-

фаника, 2013. – С. 31.


но-операторних рiвнянь з частинними похiдними у багатовимiрнiй комп-

лекснiй областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Международная конферен-

ция”КММК–2013“ (22 сентября – 4 октября 2013 р., Судак, Украина):

Сборник тезисов. – Судак, 2013. – Т. 2. – С. 26–27.

16. Страп Н. I. Двоточкова нелокальна задача для диференцiальних

рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у комплекснiй областi / Н. I. Страп

6

// II Всеукраїнська наукова конференцiя”Застосування математичних ме-

тодiв в науцi i технiцi“ (22–23 листопада 2013 р., Луцьк): Збiрник тез до-

повiдей. – Луцьк, 2013. – С. 115–117.

17. Илькив В. С. Нелокальные двухточечные задачи для дифферен-

циально-операторных уравнений в многомерной комплексной области /

В. С. Илькив, Н. И. Страп // Международная конференция”Нелокаль-

ные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии,

iнформатики и физики“ (4–8 декабря 2013 г., Нальчик–Терскол): Матер.

конференции. – 2013. – С. 111–114.

18. Iлькiв В. С. Структура дискримiнанта многочлена високого поряд-

ку, який є бiлiнiйною формою параметрiв / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп //

Всеукраїнська наукова конференцiя”Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей

та математичного аналiзу“ (24 лютого – 2 березня 2014 р., Ворохта): Тези

доповiдей. – Iвано-Франкiвськ, 2014. – С. 57–58.

19. Iлькiв В. С. Умови однозначної розв’язностi нелокальної задачi для

диференцiально-операторного рiвняння у просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора

/ В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // П’ятнадцята мiжнародна наукова конфе-

ренцiя iм. академiка М. Кравчука (15–17 травня 2014 р., Київ): Матерiали

конференцiї. – Київ, 2014. – Т. 1. – С. 127–128.

20. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiально-опера-

торного рiвняння в уточненiй соболєвськiй шкалi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп

// IV Мiжнародна ганська конференцiя, присвячена 135 рiчницi вiд дня

народження Ганса Гана (30 червня – 5 липня 2014 р., Чернiвцi): Тези до-

повiдей. – Чернiвцi, 2014. – С. 65–66.

21. Iлькiв В. С. Умови розв’язностi нелокальної двоточкової задачi для

однорiдного диференцiально-операторного рiвняння у просторах рядiв Дi-

рiхле–Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Конференцiя молодих учених

”Пiдстригачiвськi читання – 2015“ (26–28 травня 2015 р., Львiв):

http://www.iapmm.lviv.ua/chyt2015.

7

22. Страп Н. I. Про розв’язнiсть нелокальної задачi для системи ди-

ференцiальних рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у просторах рядiв

Дiрiхле–Тейлора / Н. I. Страп // Мiжнародна конференцiя молодих ма-

тематикiв (3–6 червня 2015 р., Київ): Тези доповiдей. – Київ, 2015. – С. 169.

23. Il’kiv V. Nonlocal boundary value problem for a system of differential-

operator equations in a refined Sobolev scale / V. Il’kiv, N. Strap // 10th

International Skorobohatko Mathematical Conference (August 25–28, 2015,

Drogobych): Abstracts. – Drogobych, 2015. – P. 62.

24. Iлькiв В. С. Про розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для дифе-

ренцiально-операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у комплекснiй

областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Всеукраїнська наукова конференцiя

”Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та математичного аналiзу“ (24–27

лютого 2016 р., Ворохта): Тези доповiдей. – Iвано-Франкiвськ, 2016. – С. 80–

81.

25. Iлькiв В. С. Умови розв’язностi нелокальної крайової задачi для ди-

ференцiально-операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у просторах

рядiв Дiрiхле–Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Мiжнародна наукова

конференцiя”Диференцiальнi рiвняння та їх застосування“ (19–21 травня

2016 р., Ужгород): Тези доповiдей. – Ужгород, 2016. – С. 73.

26. Il’kiv V. Solvability conditions of nonlocal boundary value problem for

partial differential equation with nonlinear right part in a complex domain /

V. Il’kiv, N. Strap // International conference”Complex Analysis and Related

Topics“ (May 30 – June 4, 2016, Lviv): Abstracts. – Lviv, 2016. – P. 37.

27. Il’kiv V. Nonlocal boundary value problem for a differential-operator

equation with weak nonlinearity in a refined Sobolev scale / V. Il’kiv, N. Strap

// International conference on differential equations dedicated to the 110th

anniversary of Ya. B. Lopatynsky (September 20–24, 2016, Lviv): Book of

abstracts. – Lviv, 2016. – P. 71.

8

ABSTRACT

Strap N. I. Problems with nonlocal conditions for the chosen variable for

partial differential equations in the complex domains. —On the rights of ma-

nuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Scien-

ces degree on the speciality 01.01.02”Differential equations“. — Lviv Polytechnic

National University. — Ivan Franko National University of Lviv, Lviv, 2017.

The thesis deals with the nonlocal boundary-value problems for the par-

tial differential equations and systems of such equations with the differential

operator B = (B1, . . . , Bp), where Bj ≡ zj∂

∂zj, j = 1, . . . , p, which acts on

the functions of complex spatial variables z1, . . . , zp. А criterion for the unique

solvability of these problems and а sufficient conditions for the existence of

its solutions are established in Sobolev scale of spaces of functions of several

complex variables, in the spaces of functions, which are Dirichlet–Taylor series

with fixed spectrum, and in the Hilbert Hormander spaces forming a refined

Sobolev scale of spaces.

The proof of the solvability of the problem for the partial differential equa-

tion with weakly nonlinear right-hand side is carried out within the Nash–Moser

iterative scheme. In this scheme, the important point is the construction of

estimates to the norms of inverse linearized operators in the appropriate spaces

in each iteration.

These problems, in general, are conditionally correct, and their solvability

related to the problem of small denominators. By using the metric approach,

we prove the theorems on lower estimates of small denominators appearing in

the construction of solutions of the analyzed problems. They imply the unique

solvability of the problems for almost all (with respect to the Lebesgue measure)

vectors formed by the coefficients of the equations and the parameter of nonlocal

conditions.

The results of the thesis are of theoretical importance. They can be used

9

in further researches of the nonlocal boundary-value problems for the partial

differential equations and system of such equations and also in the study of

specific problems of practice which are modeled by considered problems.

Key words: partial differential equation, nonlocal problem, small denomi-

nators, metric estimation, Nash–Moser iterative scheme, complex variables.

List of publications on the topic of the thesis:

1. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for partial differential

equations in multidimensional complex domain / V. S. Il’kiv, N. I. Strap

// Scientific Bulletin of Uzhhorod University. Mathematics and informatics.

– 2013. – 24, 1 – P. 60–72.

2. Il’kiv V. S. Solvability conditions of non-local problems for differential

equations with operator coefficients in the spaces of Dirichlet–Taylor series /

V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Bukovinian Mathematical Journal. – 2013. – 1,

3–4 – P. 56–68.

3. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a system of partial diffe-

rential equations with operator coefficients in a complex domain / V. S. Il’kiv,

N. I. Strap // Carpathian Math. Publ. – 2014. – 6, 2 – P. 242–255.

4. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a system of differential-

operator equations in the spaces of Dirichlet–Taylor series / V. S. Il’kiv, N.

I. Strap // Journal of Lviv Polytechnic National University. Physical and

mathematical sciences. – 2014. – 804. - P. 38–48.

5. Il’kiv V. S. About solvability of a nonlocal boundary-value problem for the

operator-differential equation in a refined scale of Sobolev spaces / V. S. Il’kiv,

N. I. Strap // Zbirnyk Prats Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. – 2014. –

11, 2. – P. 154–179.

6. Il’kiv V. S. Solvability of the nonlocal boundary-value problem for a

system of differential-operator equations in the Sobolev scale of spaces and in

a refined scale / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Ukrainian Mathematical Journal.

– 2014. – 67, 5. – P. 611–624. (Translation: Il’kiv V. S. Solvability of the

10

nonlocal boundary-value problem for a system of differential-operator equations

in the Sobolev scale of spaces and in a refined scale / V. S. Il’kiv, N. I. Strap //

Ukrainian Mathematical Journal. – October 2015, V. 67, Issue 5. – P. 690–710.)

7. Il’kiv V. S. Solvability of a nonlocal boundary-value problem for the

operator-differential equation with weak nonlinearity in a refined scale of Sobolev

spaces / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Ukrainian Mathematical Bulletin. – 2015.

– 12, 4. – P. 437–455. (Translation: Il’kiv V. S. Solvability of a nonlocal

boundary-value problem for the operator-differential equation with weak nonli-

nearity in a refined scale of Sobolev spaces / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Journal

of Mathematical Sciences. – October 2016, V. 218, No. 1. – P. 1–15.)

8. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a differential-operator

equation with nonlinear right part in a complex domain /V. S. Il’kiv, N. I. Strap

// Matematychni Studii. – 2016. – 45, 2. – P. 170—181.

9. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a differential-operator

equation with nonlinearity in the spaces of Dirichlet–Taylor series with fixed

spectrum / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Mathematical Methods and Physi-

comechanical Fields. – 2016. – 59, 2. – P. 77—85.

10. Strap N. I. Nonlocal boundary value problem for differential-operator

equations in multidimensional complex domain / N. I. Strap // Eleventh open

scientific conference IMFS: Book of materials, (June 13–14, 2013, Lviv, Ukraine)

/ Lviv Polytechnic National University. – Lviv, 2013. – P. 64–65.

11. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for differential equations

with operator coefficients in multidimensional complex domain / V. S. Il’kiv,

N. I. Strap // International mathematical conference”Bogolyubov readings

DIF-2013. Differential equations, theory of functions and their applications“

(June 23–30, 2013, Sevastopol, Ukraine): Abstracts. – Kyiv, 2013. – P. 105–

106.

12. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a partial differential

equation in multidimensional complex domain / V. S. Il’kiv, N. I. Strap //

11

Modern problems of mechanics and mathematics. – 2013. – 3. – P. 132–134.

13. Il’kiv V. S. A nonlocal boundary value problem for a partial differential

equation in a multidimensional complex domain / V. S. Il’kiv, N. I. Strap //

International conference”Differential equations. Function spaces. Approximati-

on theory“ (August 18–24, 2013, Novosibirsk, Russia): Abstracts. – Novosibirsk,

2013. – P. 144.

14. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a system of differen-

tial equations with operator coefficients in multidimensional complex domain

/ V. S. Il’kiv, N. I. Strap // V Ukrainian scientific conference”Nonlinear

problems of analysis“ (September 19–21, 2013, Ivano-Frankivsk): Abstracts. –

Ivano-Frankivsk: Edition of Vasyl Stefanyk Precarpathian National University,

2013. – P. 31.

15. Il’kiv V. S. Nonlocal boundary value problem for a system of partial

differential-operator equations in multidimensional complex domain / V. S.

Il’kiv, N. I. Strap // International conference”CIMC–2013“ (September 22 –

October 4, 2013, Sudak, Ukraine): Book of abstracts. – Sudak, 2013. – V. 2. –

P. 26–27.

16. Strap N. I. Two-point nonlocal problem for differential equations with

operator coefficients in complex domain / N. I. Strap // II Ukrainian scientific

conference”Application of mathematical methods in science and technology“

(November 22–23, 2013, Lutsk): Book of abstracts. – Lutsk, 2013. – P. 115–117.

17. Il’kiv V. S. Nonlocal two-point problems for differential-operator equa-

tions in multidimensional complex domain / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Inter-

national conference”Nonlocal boundary value problems and related problems

mathematical biology, informatics and physics“ (December 04–08 2013, settle-

ment Terskol (Elbrus), Nalchik): Conference materials. – 2013. – P. 111–114.

18. Il’kiv V. S. The structure of discriminant of polynomial of high order,

that is a bilinear form of parameters / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Ukrainian

scientific conference”Modern problems of probability theory and mathematical

12

analysis“ (February 24 – March 2, 2014, Vorohta): Abstracts. – Ivano-Frankivsk,

2014. – P. 57–58.

19. Il’kiv V. S. Solvability conditions of non-local problem for a differential-

operator equation in the spaces of Dirichlet–Taylor series / V. S. Il’kiv, N. I.

Strap // XV International scientific Mykhailo Kravchuk conference (May 15–17,

2014, Kyiv): Conference materials. – Kyiv, 2014. – V. 1. – P. 127–128.

20. Il’kiv V. S.Nonlocal boundary value problem for the operator-differential

equation in a refined scale of Sobolev spaces / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // IV

International Hanh conference, dedicated to the 135-th anniversary of Hans

Hanh (June 30 – July 5, 2014, Chernivtsi): Abstracts. – Chernivtsi, 2014. –

P. 65–66.

21. Il’kiv V. S. Solvability conditions of nonlocal two-point problem for a

homogeneous differential-operator equation in the spaces of Dirichlet–Taylor

series / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // The conference of young scientists”Pidst-

ryhach readings – 2015“ (May, 26–28, 2015, Lviv):

http://www.iapmm.lviv.ua/chyt2015.

22. Strap N. I. About solvability of nonlocal problem for a system of diffe-

rential equations with operator coefficients in the spaces of Dirichlet–Taylor

series / N. I. Strap // International conference of young mathematicians (June

3–6, 2015, Kyiv): Abstracts. – Kyiv, 2015. – P. 169.


operator equations in a refined Sobolev scale / V. Il’kiv, N. Strap // 10th

International Skorobohatko mathematical conference (August 25–28, 2015, Dro-

gobych): Abstracts. – Drogobych, 2015. – P. 62.

24. Il’kiv V. S. About solvability of nonlocal value problem for differential-

operator equation with weak nonlinearity in complex domain / V. S. Il’kiv,

N. I. Strap // Ukrainian scientific conference”Modern problems of probability

theory and mathematical analysis“ (February 24–27, 2016, Vorohta): Abstracts.

– Ivano-Frankivsk, 2016. – P. 80–81.

13

25. Il’kiv V. S. Solvability conditions of nonlocal value problem for diffe-

rential-operator equation with weak nonlinearity in the spaces of Dirichlet–

Taylor series / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // International scientific conference

”Differential equations and their appications“ (May 19–21, 2016, Uzhhorod):

Abstracts. – Uzhhorod, 2016. – P. 73.


partial differential equation with nonlinear right part in a complex domain /

V. Il’kiv, N. Strap // International conference”Complex Analysis and Related

Topics“ (May 30 – June 4, 2016, Lviv): Abstracts. – Lviv, 2016. – P. 37.


equation with weak nonlinearity in a refined Sobolev scale / V. Il’kiv, N. Strap

// International conference on differential equations dedicated to the 110th

anniversary of Ya. B. Lopatynsky (September 20–24, 2016, Lviv): Book of

abstracts. – Lviv, 2016. – P. 71.

14

ЗМIСТ

ПЕРЕЛIК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ 16

ВСТУП 17

РОЗДIЛ 1. ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ 23

ВИСНОВКИ ДО РОЗДIЛУ 1 31

РОЗДIЛ 2. МЕТОДИ ДОСЛIДЖЕННЯ. ФУНКЦIОНАЛЬ-

НI ПРОСТОРИ ТАДОПОМIЖНI ТВЕРДЖЕН-

НЯ 32

2.1. Шкала просторiв Соболєва функцiй комплексних змiнних . 32

2.2. Повiльно змiннi функцiї. Уточнена соболєвська шкала фун-

кцiй багатьох комплексних змiнних . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3. Iтерацiйна схема Неша–Мозера . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.4. Допомiжнi твердження . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


РОЗДIЛ 3. ЗАДАЧI ДЛЯДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОР-

НОГО РIВНЯННЯ ЗI СТАЛИМИ КОЕФIЦIЄН-

ТАМИ 51

3.1. Задача для диференцiально-операторного рiвняння у багато-

вимiрнiй комплекснiй областi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2. Задача для диференцiально-операторного рiвняння у просто-

рах рядiв Дiрiхле–Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3. Задача для диференцiально-операторного рiвняння в уточне-

нiй шкалi просторiв Соболєва функцiй комплексних змiнних 81


15

РОЗДIЛ 4. ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-

ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ 90

4.1. Задача для системи диференцiально-операторних рiвнянь у

багатовимiрнiй комплекснiй областi . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2. Задача для системи диференцiально-операторних рiвнянь у

просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3. Задача для системи диференцiально-операторних рiвнянь в

уточненiй соболєвськiй шкалi функцiй багатьох комплексних

змiнних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


РОЗДIЛ 5. ЗАДАЧI ДЛЯДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОР-

НОГО РIВНЯННЯ ЗI СЛАБКОЮ НЕЛIНIЙНI-

СТЮ 116

5.1. Задача для для диференцiально-операторного рiвняння зi слаб-

кою нелiнiйнiстю у просторах функцiй багатьох комплексних

змiнних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116


кою нелiнiйнiстю у просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора . . . . 133


кою нелiнiйнiстю в уточненiй шкалi Соболєва просторiв фун-

кцiй комплексних змiнних . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


ЗАГАЛЬНI ВИСНОВКИ 146

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 148

16

ПЕРЕЛIК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ

N – множина натуральних чисел;Z—множина цiлих чисел;R—множина дiйсних чисел;C—множина комплексних чисел;Rp, p > 1, – p-вимiрний дiйсний евклiдiв простiр;Zp – множина точок Rp з цiлими координатами;Zp+ – множина точок Rp з цiлими невiд’ємними координатами;s = (s1, . . . , sp) ∈ Zp+, |s| = s1 + . . .+ sp,

s = (s0, s1, . . . , sp) ∈ Zp+1+ , |s| = s0 + s1 + · · ·+ sp;

k = (k1, . . . , kp) ∈ Zp, k = (k0, k1, . . . , kp) ∈ Zp+1, |k|2 = |k1|2 + . . .+ |kp|2,k =

√1 + k2

1 + . . .+ k2p, k =

√1 + k2

0 + k21 + . . .+ k2

p;

νk = (ν1k, . . . , νpk) ∈ Rp, νk = (k0, ν1k, . . . , νpk) = (k0, νk) ∈ Z× Rp;

νk =√

1 + ν21k + . . .+ ν2

pk, νk =√

1 + k20 + ν2

1k + . . .+ ν2pk;

z = (z1, . . . , zp) ∈ Cp, zk = zk11 . . . z

kpp , zνk=zν1k

1 . . .zνpkp ;

Bj ≡ zj∂

∂zj— оператори узагальненого диференцiювання;

B0ju ≡ u, Bl

ju = Bj(Bl−1j u) (j = 1, . . ., p, l = 1, . . ., n), u = u(t, z);

B = (B1, . . . , Bp), Bs = Bs11 . . . B

spp ;

S — область проколотої у нулi комплексної площини;

Dp—цилiндрична область [0, T ]× Sp, де T > 0, p > 2;OR = z ∈ C : |z| < R;measA – мiра Лебега вимiрної множини A;Cj, j ∈ 0, 1, 2, . . . , – додатнi величини, якi не залежать вiд k та νk;

Cmn =

n!

m!(n−m)!— бiномнi коефiцiєнти;

:= – дорiвнює за означенням;→—неперервне вкладення; – кiнець доведення теореми (леми).

17

ВСТУП

Актуальнiсть теми. Останнiм часом дослiдженню нелокальних кра-

йових задач для диференцiальних рiвнянь iз частинними похiдними придi-

ляється велика увага. Це зумовлено багатьма причинами, серед яких побу-

дова загальної теорiї крайових задач для рiвнянь iз частинними похiдними,

необхiднiсть використання нелокальних умов при описуваннi всiх корект-

них задач для конкретного рiвняння з частинними похiдними, а також те,

що багато задач практики моделюється крайовими задачами для рiвнянь

з частинними похiдними з нелокальними умовами (теорiя фiзики плазми,

коливання рiзних систем, поширення електромагнiтних хвиль у прямоку-

тних хвилеводах тощо). Задачi з нелокальними крайовими умовами для

рiвнянь i систем рiвнянь iз частинними похiдними є, назагал, умовно ко-

ректними, а їхня розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою

малих знаменникiв i не є стiйкою вiдносно параметрiв задачi. Труднощi,

пов’язанi з малими знаменниками (малими дiльниками), були, очевидно,

основною причиною того, що нелокальнi задачi почали вивчати порiвняно

недавно, коли виникла можливiсть оцiнювання малих знаменникiв.

Однак, задачi з нелокальними умовами дослiджувалися лише у дiйсних

областях. Перенесення крайових задач дiйсної змiнної на випадок комп-

лексної потребує вiдповiдних змiн у постановцi задач i розробки методiв їх

вивчення. Це зумовило розгляд нелокальних крайових задач для рiвнянь

з частинними похiдними у саме комплексних багатовимiрних областях.

Актуальнiсть теми дисертацiйної роботи полягає у необхiдностi:

— встановлення умов iснування, єдиностi та неперервної залежностi

вiд правих частин розв’язкiв задач з нелокальними за видiленою

змiнною умовами для рiвнянь з частинними похiдними у багатови-

18

мiрних комплексних областях;

— доведення теорем про оцiнки знизу малих знаменникiв, що нелi-

нiйно залежать вiд коефiцiєнтiв рiвнянь та параметрiв крайових

умов —малих знаменникiв, якi можуть виникати при побудовi роз-

в’язкiв;

— визначення класiв єдиностi та iснування розв’язкiв розглядуваних

задач i зображення їх у виглядi рядiв за системами ортогональних

функцiй.

Цi питання є основним предметом дослiджень дисертацiйної роботи. Та-

ке вивчення нелокальних задач є суттєвим як для застосувань, так i для

побудови загальної теорiї крайових задач для рiвнянь iз частинними похiд-

ними. Воно також є джерелом нових задач метричної теорiї дiофантових

наближень, оскiльки нелокальнi задачi у комплекснiй областi, взагалi, є не-

коректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках пов’язана з проблемою

малих знаменникiв, що виникають при побудовi розв’язкiв розглядуваних

задач, тому виникає необхiднiсть доводити новi метричнi теореми про оцiн-

ки знизу цих знаменникiв.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Те-

ма дисертацiйної роботи вiдповiдає науковому напряму кафедри вищої ма-

тематики Iнституту прикладної математики та фундаментальних наук На-

цiонального унiверситету”Львiвська полiтехнiка“, пов’язана з бюджетни-

ми темами”Аналiтичнi та наближенi методи розв’язування крайових задач

для диференцiальних рiвнянь в обмежених та необмежених областях“ (дер-

жавний реєстрацiйний номер 0112U001205) та”Дослiдження розв’язностi

крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними, розробка нових мето-

дiв теорiї функцiй та функцiонального аналiзу, математичне моделювання

процесiв рiзної структури“ (державний реєстрацiйний номер 0116U004101).

Мета i задачi дослiдження. Дослiдити коректнiсть крайових задач

з нелокальними за видiленою змiнною умовами для рiвнянь з частинними

19

похiдними у багатовимiрних комплексних областях. Побудувати розв’язки

розглядуваних задач та їх наближення. Довести теореми метричного ха-

рактеру про оцiнки знизу малих знаменникiв, що виникають при побудовi

розв’язкiв нелокальних задач.

Об’єкт дослiдження: крайовi задачi з нелокальними за видiленою

змiнною умовами для рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похiдними

у багатовимiрних комплексних областях.

Предмет дослiдження: умови коректностi та побудова розв’язкiв розг-

лядуваних задач, метричний аналiз оцiнок знизу малих знаменникiв, по-

в’язаних iз цими задачами.

Методи дослiдження: методи теорiї диференцiальних рiвнянь, функ-

цiонального аналiзу, метричної теорiї чисел та алгебри.

Наукова новизна отриманих результатiв. У дисертацiйнiй роботi

отримано такi новi результати: у цилiндричнiй областi Dp = [0, T ] × Sp

встановлено коректну розв’язнiсть задач з нелокальними крайовими умо-

вами для рiвнянь з частинними похiдними та векторним оператором

B = (z1∂

∂z1, . . . , zp

∂

∂zp), а також систем рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами

у таких класах функцiй:

— соболєвських просторах функцiй багатьох комплексних змiнних;

— просторах функцiй багатьох комплексних змiнних, що є рядами Дi-

рiхле–Тейлора з фiксованим спектром;

— просторах Хермандера, що утворюють уточнену соболєвську шкалу

функцiй багатьох комплексних змiнних.

Встановлено за допомогою iтерацiйної схеми Неша-Мозера умови роз-

в’язностi крайових задач для диференцiально-операторного рiвняння зi

слабкою нелiнiйнiстю у шкалах просторiв Соболєва, просторiв функцiй,

що є рядами Дiрiхле-Тейлора з фiксованим спектром, а також в уточне-

нiй соболєвськiй шкалi функцiй багатьох комплексних змiнних. Отримано

оцiнки норм у вiдповiдних просторах обернених лiнеаризованих операторiв,

20

якi виникають на кожному кроцi цiєї схеми.

Побудовано розв’язки розглядуваних задач i з цiєю метою доведено мет-

ричнi теореми про оцiнки знизу малих знаменникiв, якi виникають при їх

побудовi, з яких випливає однозначна розв’язнiсть дослiджуваних задач

для майже всiх (стосовно мiри Лебега) параметрiв задач.

Практичне значення отриманих результатiв. Результати дисер-

тацiї мають теоретичний характер. Їх можна застосовувати у подальших

теоретичних дослiдженнях задач з нелокальними крайовими умовами для

рiвнянь iз частинними похiдними у комплексних областях, а також при

дослiдженнi конкретних задач практики, якi моделюються розглянутими

задачами.

Особистий внесок здобувача. Основнi результати дисертацiї отри-

манi автором самостiйно. У спiльних iз науковим керiвником роботах В. С.

Iлькiву належить постановка задач та аналiз отриманих результатiв.

Апробацiя роботи. Результати дослiджень доповiдались та обговорю-

вались на:

— Одинадцятiй вiдкритiй науковiй конференцiї IМФН (Львiв, 2013 р.);

— Мiжнароднiй математичнiй конференцiї”Боголюбовськi читання

DIF–2013. Диференцiальнi рiвняння, теорiя функцiй та їх застосу-

вання“ (Севастополь, 2013 р.);

— Мiжнароднiй науковiй конференцiї”Сучаснi проблеми механiки та

математики“ (Львiв, 2013 р.);

— Мiжнароднiй конференцiї”Дифференциальные уравнения. Функ-

циональные пространства. Теория приближений“ (Новосибирск,

2013 р.);

— V Всеукраїнськiй науковiй конференцiї”Нелiнiйнi проблеми аналi-

зу“ (Iвано-Франкiвськ, 2013 р.);

— Мiжнароднiй конференцiї”КММК-2013“ (Судак, 2013 р.);

— II Всеукраїнськiй науковiй конференцiї”Застосування математич-

21

них методiв в науцi i технiцi“ (Луцьк, 2013 р.);

— Мiжнароднiй конференцiї”Нелокальные краевые задачи и родствен-

ные проблемы математической биологии, iнформатики и физики“

(Нальчик – Терскол, 2013 р.);

— Всеукраїнськiй науковiй конференцiї”Сучаснi проблеми теорiї ймо-

вiрностей та математичного аналiзу“ (Ворохта, 2014 р., 2016 р.);

— П’ятнадцятiй мiжнароднiй науковiй конференцiї iм. академiка

М. Кравчука (Київ, 2014 р.);

— IV Мiжнароднiй ганськiй конференцiї, присвяченiй 135 рiчницi вiд

дня народження Ганса Гана (Чернiвцi, 2014 р.)

— Конференцiї молодих учених”Пiдстригачiвськi читання – 2015“

(Львiв, 2015 р.);

— Мiжнароднiй конференцiї молодих математикiв (Київ, 2015 р.);

— 10-тiй Мiжнароднiй математичнiй конференцiї iм. В. Я. Скороба-

гатька (Дрогобич, 2015 р.);

— Мiжнароднiй науковiй конференцiї”Диференцiальнi рiвняння та їх

застосування“ (Ужгород, 2016 р.);

— Мiжнароднiй науковiй конференцiї”Complex Analysis and Related

Topics“ (Львiв, 2016 р.);

— Мiжнароднiй конференцiї з диференцiальних рiвнянь, присвяченiй

110 рiчницi з дня народження Я. Б. Лопатинського (Львiв, 2016 р.);

— засiданнях наукового семiнару iм. В. Я. Скоробогатька Iнституту

прикладних проблем механiки i математики iм. Я. С. Пiдстригача

НАН України (керiвники: член-кор. НАН України, д.ф.-м.н., проф.

Б. Й. Пташник, д.ф.-м.н., проф. В. О. Пелих; Львiв, 2013–2015 рр.);

— засiданнi Львiвського мiського семiнару з диференцiальних рiвнянь

(керiвники: д.ф.-м.н., проф. М. I. Iванчов, д.ф.-м.н., проф. П. I. Ка-

ленюк, член-кор. НАН України, д.ф.-м.н., проф. Б. Й. Пташник;

Львiв, 2016 р.),

22

— наукових семiнарах кафедри вищої математики Iнституту приклад-

ної математики та фундаментальних наук Нацiонального унiверси-

тету”Львiвська полiтехнiка“ (2013р., 2015–2016 рр.).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в 9 статтях

[34,35,37,39,40,44–46,50] у наукових перiодичних фахових виданнях Украї-

ни з математики, серед яких 4 статтi [34, 37, 45, 46] у виданнях Украї-

ни, якi включенi до мiжнародних наукометричних баз. Також результа-

ти дисертацiї пройшли апробацiю на мiжнародних та нацiональних нау-

кових конференцiях (18 тез доповiдей та матерiалiв наукових конферен-

цiй [31–33,36,38,41–43,47–49,51,86–88,106–108]).

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається зi вступу,

п’яти роздiлiв та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертацiї

складає 163 сторiнки, основного тексту – 147 сторiнок. Список використа-

них джерел складає 137 найменувань.

23

РОЗДIЛ 1

ОГЛЯД ЛIТЕРАТУРИ

1.1. Серед некласичних крайових задач для рiвнянь з частинними по-

хiдними та диференцiально-операторних рiвнянь важливе мiсце займають

задачi з нелокальними умовами, якi пов’язують значення шуканих розв’яз-

кiв та їх похiдних у рiзних (двох або бiльше) граничних чи внутрiшнiх

точках розглядуваної областi. Загальне означення нелокальних умов та їх

класифiкацiя були запропонованi А. М. Нахушевим [72]. Серед таких умов

часто зустрiчаються умови перiодичностi за видiленою змiнною та їх уза-

гальнення, а також iнтегральнi умови. Прикладами нелокальних задач є

задачi, якi виникають у теорiї плазми [5] для елiптичних i параболiчних

рiвнянь другого порядку, для диференцiальних рiвнянь другого порядку

у гiльбертовому просторi, що виникають в теорiї перiодичних хвилеводiв i

коливних систем. Нелокальнi умови використовують також при дослiджен-

нi обернених задач для рiвняння теплопровiдностi [7], обернених задач для

параболiчних рiвнянь [109] тощо.

За останнi 50 рокiв нелокальнi задачi для рiвнянь з частинними похiд-

ними вивчали в рiзних аспектах багато вчених (О. О. Дезiн, В. К. Романко,

А. М. Нахушев, В. М. Борок, О. А. Самарський, А. В. Бiцадзе, Н. I. Iонкiн,

Є. I. Моїсеєв, М. I. Матiйчук, П. I. Каленюк, З. М. Нитребич, Я. О. Бара-

нецький, М. I. Iванчов, В. М. Кирилич, В. В. Городецький та iн.), видiляючи

переважно випадки коректно поставлених задач. Уперше на доцiльнiсть i

необхiднiсть використання нелокальних умов з точки зору теорiї крайових

задач вказав О. О. Дезiн [14, 15], який дослiджував розв’язнi розширен-

ня диференцiальних операторiв, породжених загальною диференцiальною

операцiєю зi сталими коефiцiєнтами, та можливiсть опису цих розширень

24

за допомогою крайових умов. Зокрема, у працi [14] для задачi з нелокаль-

ними умовами

Lu ≡ du(t)

dt− Au(t) = f(t), t ∈ (0, a),

µu(0)− u(a) = 0, µ ∈ C,

де A—комутуючий зd

dtнеобмежений лiнiйний оператор зi щiльною облас-

тю визначення, який дiє в комплексному банаховому просторi, доведено, що

iснує обмежений у цьому просторi обернений оператор L−1, якщо для всiх

цiлочислових векторiв s = (s1, . . . , sn) справедлива оцiнка |µ − eaA(s)| > δ

для деякого δ > 0.

Подальший розвиток цi дослiдження набули в працях В. К. Романка

[77–81], зокрема для диференцiально-операторних рiвнянь вищих порядкiв

Lmu ≡dmu(t)

dtm− Au(t) = f(t),

де A — диференцiальний оператор зi сталими коефiцiєнтами на торi

Ωn2π = 0 < xj < 2π, j = 1, . . . , n, з нелокальними умовами

ajdj−1u

dtj−1

∣∣t=0

+ bjdj−1u

dtj−1

∣∣t=1

= 0, j = 1, . . . ,m,

де aj, bj —комплекснi параметри. Доведено, що якщо iснує таке δ > 0,

що точки спектра оператора A не мiстяться в δ-околах точок дискретного

спектра оператора L0 ≡dm

dtm, то за деяких додаткових обмежень на спектри

операторiв A i L0 та нелокальної умови, iснує єдиний узагальнений розв’я-

зок задачi для довiльної правої частини f(t) з вiдповiдного гiльбертового

простору.

Некоректнiсть нелокальної крайової задачi для диференцiального рiв-

няння з частинними похiдними часто зумовлюється належнiстю нуля до

спектра деякого оператора, породженого цiєю крайовою задачею. В робо-

тах багатьох авторiв, серед яких В. М. Борок, Л. В. Фардiгола [4], П. I. Ка-

ленюк, З. М. Нитребич [57], М. I. Матiйчук [67], В. В. Городецький, О. В.

25

Мартинюк [12], забезпечення коректностi задач з нелокальними умовами

для диференцiальних та диференцiально-операторних рiвнянь досягається

накладанням додаткових обмежень на рiвняння, крайовi умови та областi

розгляду задач, якi вiддiляють спектри вiд нуля. У загальному випадку

такi задачi є некоректними за Адамаром (нуль належить до спектра), а

їх розв’язнiсть залежить вiд проблеми малих знаменникiв, якi виникають

при побудовi загального розв’язку.

З проблемою малих знаменникiв уперше вченi зустрiлися в небеснiй

механiцi [13] ще у 18 ст. при математичному дослiдженнi диференцiальних

рiвнянь, що описують рух планетних i супутникових систем у ньютонiвсь-

ких гравiтацiйних полях. Вона характерна також для ряду iнших задач.

Для оцiнювання малих знаменникiв ефективним є метричний пiдхiд.

Дослiдженню у дiйсних областях умовно коректних задач з нелокаль-

ними крайовими умовами за часом та умовами перiодичностi (а також дея-

кими iншими умовами) за просторовими змiнними для рiвнянь з частин-

ними похiдними на основi вивчення малих знаменникiв присвяченi роботи

Б. Й. Пташника та його учнiв [3, 8, 10, 18, 23–27, 30, 60, 62, 69, 73–75, 82, 84].

У цих працях, як правило, немає обмежень на кiлькiсть p дiйсних про-

сторових змiнних x1, . . . , xp. Тому малi знаменники в задачах залежнi вiд

декiлькох цiлочислових змiнних k1, . . . , kp. Нелокальнi задачi для елiпти-

чних, гiперболiчних, параболiчних та безтипних рiвнянь з частинними по-

хiдними розглядалися, наприклад, у роботах [5, 20–22, 56, 59, 61, 68, 92, 93,

110,129,131,137].

Особливiстю даної дисертацiйної роботи є вивчення нелокальної зада-

чi для просторової змiнної, яка приймає комплекснi значення. Ранiше не-

коректнi задачi з нелокальними умовами для рiвнянь з частинними по-

хiдними в комплекснiй областi не вивчалися. Задачу Кошi у комплекснiй

областi вивчав Ю. А. Дубинський, результати дослiджень якого опублiко-

вано у працях [16,17]. Щодо одновимiрної областi, вiдмiтимо, що в багатьох

26

випадках функцiї вiд одного аргументу мають добру асимптотику на без-

межностi i дослiдженi набагато краще, нiж функцiї вiд кiлькох аргументiв.

Одновимiний випадок нелокальної крайової задачi для диференцiально-

операторного рiвняння у комплекснiй областi дослiджено у працях [52–55].

Зокрема, у роботi [55] вивчається диференцiальне рiвняння з оператором

узагальненого диференцiювання B ≡ z∂

∂z, який дiє на функцiї комплексної

змiнної z в областi S ⊂ C/0. Встановлено умови однозначної розв’язностi

нелокальної задачi ∑s0+s16n

as0,s1Bs1

∂s0u

∂ts0= 0,

µ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=0

− ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=T

= ϕm, m = 0, 1, . . . , n− 1,

де as0,s1∈ C, an,0 = 1, µ ∈ C \ 0. Показано, що у випадку однiєї прос-

торової змiнної z задача є коректною за Адамаром, на вiдмiну вiд зада-

чi з багатьма просторовими змiнними. Доведено, що малi знаменники (за

винятком скiнченної кiлькостi) вiддiленi вiд нуля сталою, тому проблема

малих знаменникiв не виникає.

1.2. В теорiї рiвнянь з частинними похiдними часто центральне мiсце

займають питання про iснування, єдинiсть та гладкiсть розв’язкiв. При

цьому властивостi гладкостi дослiджуваних розв’язкiв формулюються в

термiнах належностi розв’язкiв до певних класiв функцiональних просто-

рiв. Вiд точностi градуювання шкали просторiв прямо залежить точнiсть

результатiв про гладкiсть розв’язку.

Єдиною шкалою гiльбертових просторiв, в якiй систематично розгляну-

то нелокальнi крайовi задачi для дифференцiальних рiвнянь з частинними

похiдними, є шкала просторiв Соболєва. Але для ряду задач ця шкала,

що параметризована числовими параметрами, є недостатньо тонко граду-

йованою. У цьому випадку є цiкавими функцiональнi простори, для яких

показником гладкостi є не числовий, а функцiональний параметр. Вони

називаються просторами узагальненої гладкостi.

27

Широке узагальнення просторiв Соболєва в категорiї гiльбертових прос-

торiв було запропоновано Л. Хермандером [90] у 1963 роцi. Зокрема, Хер-

мандер розглянув гiльбертовi простори

B2,µ(Rn) = u : µFu ∈ L2(Rn), (1.1)

‖u‖B2,µ(Rn) = ‖µFu‖L2(Rn),

де Fu—перетворення Фур’є функцiї u заданої в Rn, µ—функцiя n змiнних.

У випадку, коли µ(ξ) = 〈ξ〉s, 〈ξ〉 = (1 + |ξ|2)1/2, ξ ∈ Rn, s ∈ R, отримуємо

простiр Соболєва B2,µ(Rn) = Hs(Rn).

В 1965 роцi простори (1.1) незалежно ввели та дослiдили також Л. Р. Во-

левич i Б. П. Панеях [9]. Цi простори є предметом багатьох дослiджень (див.

напр., [89,134] i наведену там бiблiографiю). Частинним випадком просто-

рiв Хермандера є сiм’я гiльбертових просторiв, у яких числовий параметр

задає основну гладкiсть, а функцiональний параметр (повiльно змiнна на

нескiнченностi функцiя) визначає допомiжну гладкiсть. Ця сiм’я функцiо-

нальних просторiв носить назву уточненої соболєвської шкали.

Простори Хермандера займають центральне мiсце серед просторiв уза-

гальненої (функцiональної) гладкостi. Вони є предметом глибоких дос-

лiджень, значна частина яких виконана в останнi десятилiття i опублiко-

вана, наприклад, у монографiї Х. Трiбеля [134], роботах С. Д. Моури [123],

Б. Опiка i В. Требелза [128], В. Фаркаша i Х.-Г. Леопольда [100], В. Фар-

каша, Н. Якоба i Р. Л. Шилiнга [99], Д. Д. Хароске i С. Д. Моури [104] i в

наведенiй там лiтературi.

Особливо багато робiт присвячено застосуванню цих просторiв до ди-

ференцiальних рiвнянь. Ще в 1963 роцi простори (1.1) i бiльш загальнi

банаховi простори Bp,µ(Rn), де 1 6 p 6 ∞, були використанi Херманде-

ром [90] для дослiдження властивостей рiвнянь з частинними похiдними

та сталими коефiцiєнтами, а також деяких класiв рiвнянь з змiнними кое-

фiцiєнтами, заданих в евклiдових просторах. В останнi роки В. А. Михай-

28

лець, А. А. Мурач, В. М. Лось та iн. [19, 63–65, 70, 116–119, 125] побудува-

ли теорiю загальних елiптичних диференцiальних операторiв, елiптичних

та параболiчних крайових задач у гiльбертових шкалах, утворених прос-

торами Хермандера. Авторам вдалося перенести класичну”соболєвську“

теорiю краєвих задач на випадок просторiв Хермандера.

Новою актуальною задачею є розширення результатiв теорiї нелокаль-

них задач для диференцiальних рiвнянь i систем рiвнянь з частинними по-

хiдними на класи гiльбертових просторiв Хермандера, якi утворюють уточ-

нену соболєвську шкалу у разi функцiй комплексних змiнних. Властивостi

уточненої шкали i класичної шкали Соболєва багато в чому аналогiчнi,

що позволяє розширити теорiю нелокальних крайових задач для диферен-

цiальних рiвнянь з частинними похiдними на уточненi шкали. Ця аналогiя

властивостей є наслiдком того, що кожен простiр уточненої шкали може

бути отриманий шляхом iнтерполяцiї з вiдповiдним функцiональним пара-

метром пари соболєвських просторiв. В якостi параметра тут можна взяти

деяку правильно змiнну на нескiнченностi функцiю. Цей функцiональний

параметр може задавати додатну або вiд’ємну гладкiсть i дозволяє бiльш

тонко охарактеризувати гладкiсть функцiй простору.

1.3. У дисертацiйнiй роботi умови iснування розв’язкiв нелокальних

крайових задач для диференцiально-операторних рiвнянь з нелiнiйною пра-

вою частиною встановлено за допомогою iтерацiйної схеми Неша–Мозера.

Опишемо клас задач, для яких застосовується дана теорiя. Класична тео-

рема про неявну функцiю для банахових просторiв пов’язана з розв’язува-

нням рiвняння

F (x, y) = 0, (1.2)

де F : X × Y → Z — гладка функцiя, X, Y , Z — банаховi простори та

iснує (x0, y0) ∈ X × Y , що F (x0, y0) = 0. Якщо x близьке до x0 потрiб-

но розв’язати рiвняння (1.2), шукаючи розв’язок у явному виглядi

y = y(x). Головним припущенням класичної теореми про неявну функ-

29

цiю є те, що для частинної похiдної (DyF )(x0, y0) : Y → Z iснує обернений

оператор (DyF )−1(x0, y0). Якщо оператор (DyF )(x0, y0) є iн’єктивним i су-

р’єктивним, то за теоремою про вiдкрите вiдображення обернений оператор

(DyF )−1(x0, y0) : Z → Y є автоматично неперервним (обмеженим).

Але є випадки, коли оператор (DyF )(x0, y0) має необмежений оберне-

ний. У роботi [127] Неш запропонував пiдхiд до розв’язання такого виду

задач, а саме для доведення того, що кожен рiмановий многовид може бути

iзометрично вкладений в RN для досить великого N . Згодом, Мозер [120]

пiдкреслив головнi особливостi цiєї iтерацiйної технологiї в абстрактних

постановках, вирiшуючи проблеми пов’язанi з небесною механiкою i дифе-

ренцiальними рiвняннями з частинними похiдними [121,122,124]. Подальше

застосування знаходимо у працях Громова [102], Зендера [135,136] до про-

блеми малих знаменникiв, Хермандера [105] до проблем гравiтацiї, Сердже-

рарта [132] до теорiї катастроф, Шафера [133] до крайових задач електро-

динамiки, Клайнермена [113,114] до задачi Кошi та iн. Цей перелiк показує

потужнiсть та унiверсальнiсть даної технiки.

Головна iдея полягає у замiнi звичайного iтерацiйного методу Пiкара

модифiкованою (згладженою) iтерацiйною схемою Нютона. Виникає пе-

ревага в тому, що iтерацiї збiгаються до очiкуваного розв’язку з супер-

експоненцiальною швидкiстю. Ця прискорена швидкiсть збiжностi є дос-

татньо сильною, щоб компенсувати розбiжнiсть у схемi через втрату скiн-

ченної гладкостi.

У працi [94] використано iтерацiйну схему Неша–Мозера для дослiджен-

ня умов розв’язностi задачi для нелiнiйного хвильового рiвняння з крайо-

вими умовами Дiрiхле

utt − uxx + f(x, u) = 0, (1.3)

u(t, 0) = u(t, π) = 0, (1.4)

де нелiнiйнiсть є аналiтичною за змiнною u функцiєю, зокрема f(x, u) =

30

ap(x)up +O(up+1) при p > 2. Знайдено 2π/ω–перiодичний за часом розв’я-

зок для довiльної частоти ω близької до 1, яка належить до деякої множини

додатньої мiри.

Така ж задача (1.3), (1.4) для хвильового рiвняння з нелiнiйнiстю iз

класу Ck для досить великого k дослiджена у роботi [95]. Використано

модифiковану iтерацiйну схему Неша–Мозера з iнтерполяцiйними оцiнками

для обернених лiнеризованих операторiв.

У працi [96] доведено (доведення базуються на диференцiальнiй iте-

рацiйнiй схемi Неша–Мозера) iснування канторових множин перiодичних

розв’язкiв нелiнiйного хвильового рiвняння з перiодичними крайовими умо-

вами

utt −∆u+mu = εF (ωt, x, u),

u(t, x) = u(t, x+ 2πk), k ∈ Zd,

де функцiя F (ωt, x, u) є 2π/ω–перiодичною по часу i 2π–перiодичною по

кожнiй змiннiй xi, i = 1, . . . , d, m ∈ R, ε > 0 —малий параметр.

Iнтерес представило застосування iтерацiйної схеми Неша–Мозера до

дослiдження умов розв’язностi нелокальних крайових задач для диферен-

цiально-операторних рiвнянь високого порядку у просторах функцiй бага-

тьох комплексних змiнних.

Наведений огляд лiтератури свiдчить про те, що дослiдженню нело-

кальних крайових задач для рiвнянь з частинними похiдними присвяче-

но численнi працi, зокрема, у просторах Соболєва функцiй багатьох дiйс-

них змiнних вони досить повно вивченi. Поряд iз цим, нелокальнi задачi

для рiвнянь та систем рiвнянь з частинними похiдними у багатовимiрних

комплексних областях (просторах Соболєва та просторах Хермандера, що

утворюють уточнену соболєвську шкалу) не розглядались. Результати ди-

сертацiйної роботи частково заповнюють цю прогалину.

31

ВИСНОВКИ ДО РОЗДIЛУ 1

У першому роздiлi дисертацiї наведено короткий огляд робiт присвяче-

них дослiдженню задач з нелокальними крайовими умовами для рiвнянь та

систем рiвнянь iз частинними похiдними близьких до тематики дисертацiї,

показано застосування просторiв узагальненої гладкостi для встановлення

умов однозначної розв’язностi задач для диференцiальних рiвнянь з час-

тинними похiдними класичних типiв та описано клас задач, розв’язних за

допомогою iтерацiйної схеми Неша–Мозера. Вказано напрямки розгляду

задач, якi залишаються невивченими.

32

РОЗДIЛ 2

МЕТОДИ ДОСЛIДЖЕННЯ. ФУНКЦIОНАЛЬНI ПРОСТОРИ

ТА ДОПОМIЖНI ТВЕРДЖЕННЯ

2.1. Шкала просторiв Соболєва функцiй комплексних

змiнних

Наведемо означення деяких функцiональних просторiв, що використо-

вуються у роботi.

Позначимо через S область проколотої у нулi комплексної площини,

через Dp—цилiндричну область [0, T ]× Sp, де T > 0, p > 2.

Нехай W —лiнiйний простiр кратних скiнченних сум (основних функ-

цiй) вигляду P (z) =∑k

pkzk =

∑k1

. . .∑kp

pk1,...,kpzk11 . . . z

kpp , де z ∈ Sp, pk =

pk(P ) —комплекснi коефiцiєнти, зi стандартною збiжнiстю [11]: послiдов-

нiсть Pnn∈N елементiв Pn ∈ W збiгається у просторi W до елемента P ,

якщо, починаючи з деякого номера, степенi всiх Pn, а також P , не пере-

вищують деякого номера m, i pk(Pn) → pk(P ) при n → ∞ для кожного

0 6 |k1|+ . . .+ |kp| 6 m.

Простiр W′ спряжений з простором W; це простiр узагальнених фун-

кцiй (лiнiйних неперервних функцiоналiв), якi є формальними рядами Ло-

рана Q(z) =∑k∈Zp

qkzk, що дiють на основну функцiю P ∈W за правилом

〈P,Q〉 =∑k

qkpk.

Введемо шкали просторiв Hq(Sp)q∈R i Hnq (Dp)q∈R, Hq(Sp)q∈R i

Hnq (Dp)q∈R, якi пов’язанi з парою просторiв (W,W′).

Hq(Sp), q ∈ R, — гiльбертiв простiр функцiй ψ = ψ(z) =∑k∈Zp

ψkzk зi

заданим у ньому скалярним добутком (ψ, ϕ)Hq(Sp) =∑k∈Zp

k2qψkϕk i квадра-

том норми ‖ψ‖2Hq(Sp) = (ψ, ψ)Hq(Sp).

33

Наведемо декiлька прикладiв функцiй, що належать просторам Hq(Sp).

Приклад 2.1. Розглянемо функцiю

y =

p∑i=1

ez2i = ez

21 + . . .+ ez

2p =

∞∑k1=0

z2k11

k1!+ . . .+

∞∑kp=0

z2kpp

kp!

та знайдемо квадрат її норми у просторi Hq(Sp)

‖y‖2Hq(Sp) 6

∑k∈Zpk1∈2N

k2q 1((k1/2)!

)2 + . . .+∑k∈Zpkp∈2N

k2q 1((kp/2)!

)2 6

6∑k1∈2N

k12q 1(

(k1/2)!)2

∑k′1∈Zp−1

k′12q

+ . . .+∑kp∈2N

kp2q 1(

(kp/2)!)2

∑k′p∈Zp−1

k′p2q,

де ki =√

1 + k2i , k′i =

√1 + k2

1 + . . .+ k2i−1 + k2

i+1 + . . .+ k2p i ряд∑

k′i∈Zp−1

k′i2q, i = 1, . . . , p, є збiжним при q < −p− 1

2.

Оскiльки

liml→∞l∈2N

(√1 + (l + 1)2

1 + l2

)2q

·(

(l/2)!

(l + 1)/2)!

)2

= 0 < 1,

то за ознакою Д’аламбера збiгається ряд∑l∈2N

l2q1(

(l/2)!)2 .

Отже, при q < −p− 1

2виконується ‖y‖2

Hq(Sp) <∞, i функцiя y =p∑i=1

ez2i

належить до простору Hq(Sp).

Аналогiчно можна показати належнiсть функцiй y =p∑i=1

sin z2i ,

y =p∑i=1

cos z2i до простору Hq(Sp) при q < −p− 1

2.

Нехай Hnq (Dp), q ∈ R, n ∈ Z+, — банахiв простiр функцiй u = u(t, z)

таких, що похiднi∂ru(t, z)

∂tr, де

∂ru(t, z)

∂tr=∑k∈Zp

u(r)k (t)zk, r = 0, 1, . . . , n, для

кожного t ∈ [0, T ] належать до просторiв Hq−r(Sp) вiдповiдно i неперервнi

за t у цих просторах. Квадрат норми у просторi Hnq (Dp) дає формула:

‖u‖2Hnq (Dp) =

n∑r=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥2

Hq−r(Sp).

34

Hq(Sp) — простiр вектор-функцiй v = v(z) = col (v1, . . . , vm), де

vj ∈ Hq(Sp), j = 1, . . . ,m, квадрат норми яких задається рiвнiстю

‖v‖2Hq(Sp) =

m∑j=1

‖vj‖2Hq(Sp).

Hnq (Dp) —простiр функцiй u = u(t, z) = col (u1, . . . , um), з компонента-

ми uj, j = 1, . . . ,m, iз простору Hnq (Dp) та квадратом норми

‖u‖2Hn

q (Dp) =m∑j=1

‖uj‖2Hnq (Dp).

Введемо та зафiксуємо множину дiйсних векторiв

N = νk = (ν1k, . . . , νpk) ∈ Rp : k ∈ Zp,

яку будемо називати спектром, якщо вона пiдпорядкована таким умовам:

1. рiвнiсть νk = νr справджується лише при k = r, тобто вiдображення

k ↔ νk є бiєктивним вiдображенням Zp на множину N ;

2. νk →∞ при k →∞, де νk =√

1 + ν21k + . . .+ ν2

pk.

Використаємо цю множину при означеннi просторiв, у позначеннi яких буде

присутня буква N .

Нехай WN —лiнiйний простiр кратних скiнченних сум (основних функ-

цiй) вигляду

P (z) =∑k

pkzνk =

∑k1

. . .∑kp

pk1,...,kpzν1k1 . . . zνpkp ,

де z ∈ Sp, νk ∈ N , pk —комплекснi коефiцiєнти, зi стандартною збiжнiстю.

Простiр WN ′— спряжений з простором WN ; це простiр узагальнених

функцiй, якi є формальними рядами Q(z) =∑k∈Zp

qkzνk , що дiють на основну

функцiю P ∈WN за правилом 〈Q,P 〉 =∑k

qkpk. У випадку вiд’ємних коор-

динат всiх векторiв νk ряди Q(z) є стандартними рядами Дiрiхле–Тейлора.

35

Позначимо HNq(Sp), q ∈ R, — гiльбертiв (соболєвського типу) простiр

функцiй ψ(z) =∑k∈Zp

ψkzνk зi спектром N iз заданим скалярним добутком

(ψ, ϕ)HNq(Sp) =∑k∈Zp

ν2qk ψkϕk, ν2q

k = (1 + ν21k + . . .+ ν2

pk)q,

та квадратом норми ‖ψ‖2HNq(Sp) = (ψ, ψ)HNq(Sp).

HN nq (Dp), q ∈ R, n ∈ Z+, — банахiв простiр функцiй u = u(t, z) таких,

що похiднi∂ru(t, z)

∂tr=∑k∈Zp

u(r)k (t)zνk для r = 0, 1, . . . , n i кожного t ∈ [0, T ]

належать до просторiв HNq−r(Sp) вiдповiдно та неперервнi за t у цих про-

сторах. Квадрат норми у просторi HN nq (Dp) дає формула

‖u‖2HNn

q (Dp) =n∑r=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥2

HNq−r(Sp).

Введемо ще двi шкали просторiв HN q(Sp)q∈R i HN nq (Dp)q∈R вектор-

функцiй зi спектром N .

Нехай HN q(Sp) —простiр вектор-функцiй v = v(z) = col (v1, . . . , vm),

де vj ∈ HNq(Sp), j = 1, . . . ,m, квадрат норми в якому визначається

‖v‖2HN q(Sp) =

m∑j=1

‖vj‖2HNq(Sp),

а HN nq (Dp) —простiр вектор-функцiй u = u(t, z) = col (u1, . . . , um) з компо-

нентами uj, j = 1, . . . ,m, з простору HN nq (Dp), квадрат норми яких задає

формула

‖u‖2HNn

q (Dp) =m∑j=1

‖uj‖2HNn

q (Dp).

Зауваження 2.1. Простори W, W′, Hq(Sp), Hnq (Dp), Hq(Sp) i H

nq (Dp)

є частинним випадком вiдповiдних просторiв WN , WN ′, HNq(Sp),HN n

q (Dp), HN q(Sp) i HN nq (Dp) при N = Zp.

36

2.2. Повiльно змiннi функцiї. Уточнена соболєвська шкала

функцiй багатьох комплексних змiнних

Поняття правильно змiнної функцiї введено Караматою в 1930 р. у ро-

ботi [111]. Цi функцiї добре вивченi i мають широке застосування [83, 97,

115,130], зокрема, вони лежать в основi повiльно змiнних функцiй.

Означення 2.1. Додатна функцiя ϕ, задана на дiйснiй пiвосi [b,∞), на-

зивається правильно змiнною на нескiнченностi функцiєю порядку θ ∈ R,

якщо ϕ вимiрна за Борелем на [b0,∞) для деякого числа b0 > b i задоволь-

няє умову

limt→∞

ϕ(λt)

ϕ(t)= λθ

для будь-якого λ > 0. Правильно змiнна на нескiнченностi функцiя поряд-

ку θ = 0 називається повiльно змiнною на нескiнченностi.

Позначимо через SV множину всiх повiльно змiнних на нескiнченностi

функцiй. Очевидно, що ϕ—правильно змiнна на нескiнченностi функцiя

порядку θ тодi i тiльки тодi, коли ϕ(t) = tθψ(t) при t 1 для деякої

функцiї ψ ∈ SV. Тому при дослiдженнi на нескiнченностi правильно змiн-

них функцiй достатньо обмежитися повiльно змiнними функцiями. (Вираз

t 1 означає множину досить великих t.)

Сформулюємо двi фундаментальнi властивостi повiльно змiнних функ-

цiй, якi доведенi I. Караматою [111, 112] для неперервних функцiй i дещо

пiзнiше багатьма авторами для вимiрних функцiй [83,97].

Теорема 2.1. (теорема про рiвномiрну збiжнiсть) Нехай ψ ∈ SV.

Тодi для будь-якого фiксованого вiдрiзка [a, b], де 0 < a < b < ∞, дрiбψ(λt)

ψ(t)рiвномiрно прямує до 1 при t→∞ вiдносно λ ∈ [a, b].

Теорема 2.2. Нехай ψ ∈ SV, тодi

ψ(t) = exp

(β(t) +

t∫b

α(τ)

τdτ

)(2.1)

37

при t > b для деякого числа b > 0, неперервної функцiї α : [b,∞)→ R, яка

прямує до 0 на нескiнченностi, i вимiрної за Борелем обмеженої функцiї

β : [b,∞) → R, яка має скiнченну границю на нескiнченностi. Обернене

твердження також є справедливим: будь-яка функцiя виду (2.1) нале-

жить класу SV.

З теореми 2.2 випливає достатня умова на повiльно змiнну функцiю [83].

Теорема 2.3. Нехай диференцiйовна функцiя ψ : (b,∞)→ (0,∞) задо-

вольняє умову tψ′(t)/ψ(t)→ 0 при t→∞. Тодi ψ ∈ SV.

Наведемо приклади повiльно змiнних функцiй.

Приклад 2.2. Нехай ψ(t) —додатна функцiя визначена на [1,∞) i

ψ(t) = (log t)r1(log log t)r2 . . . (log . . . log︸︷︷︸k

t)rk (2.2)

при t 1, ri > 1, i = 1, . . . , k, k ∈ N. Тодi ψ ∈ SV.

Приклад 2.3. Нехай ϕ(t) —додатна функцiя визначена на [1,∞) i

ϕ(t) := expψ(t) при t 1, де функцiя ψ задається формулою (2.2) при

1 < r1 < 1. Тодi ϕ ∈ SV.

Приклад 2.4. Нехай α, β, γ —дiйснi числа, причому β 6= 0, 0 < γ < 1

i ϕ(t) = α + β sin lnγ t, ψ(t) = (ln t)ϕ(t) при t > 1. Тодi ψ ∈ SV.

Приклад 2.5. Нехай α, β, γ ∈ R, причому α 6= 0, 0 < γ < β < 1 i

r(t) = α(ln β)−β sin lnγ t, ψ(t) = tr(t) при t > 1. Тодi ψ ∈ SV.

Узагальнимо поняття правильно змiнної функцiї до поняття квазiпра-

вильно змiнної функцiї [70, с. 48].

Означення 2.2. Додатна функцiя ϕ задана на дiйснiй пiвосi [b,∞),

b > 0, називається квазiправильно змiнною на нескiнченностi функцiєю

порядку θ ∈ R, якщо iснує число b1 > b i правильно змiнна на нескiнчен-

ностi функцiя ϕ1 : [b1,∞) → (0,∞) порядку θ такi, що ϕ(t) ϕ1(t) при

t > b1. Функцiя квазiправильно змiнна на нескiнченностi порядку θ = 0

називається квазiповiльно змiнною на нескiнченностi. (Запис ϕ(t) ϕ1(t)

38

при t ∈M означає, що функцiї ϕ i ϕ1 —додатнi, а ϕ/ϕ1 та ϕ1/ϕ— обмеженi

на множинi M .)

Позначимо через QSV множину всiх квазiповiльно змiнних на нескiн-

ченностi функцiй. Використовуючи теорему 2.2, отримаємо наступний опис

класу QSV.

Теорема 2.4. Клас QSV складається з усiх функцiй виду (2.1), де

число b > 0, функцiя α : [b,∞) → R неперервна i прямує до нуля на ∞, а

функцiя β : [b,∞)→ R обмежена.

Опишемо деякi властивостi класу функцiй QSV [70, с. 50].

Теорема 2.5. Нехай ψ, χ ∈ QSV, тодi справедливими є такi твер-

дження:

(i) iснує додатня функцiя ψ1 ∈ C∞(0;∞)∩SV така, що ψ(t) ψ1(t) при

t 1;

(ii) для довiльного числа θ > 0 виконується t−θψ(t) → 0 i tθψ(t) → ∞при t→∞;

(iii) функцiї ψ + χ, ψχ, ψ/χ i ψσ, де σ ∈ R, належать до класу QSV;

(iiii) якщо число θ > 0, причому ψ(t) → ∞ при t → ∞ у випадку θ = 0,

то складена функцiя t 7→ χ(tθψ(t)) належить до класу QSV.

Теорема 2.6. Нехай задано функцiї ψ : [b,∞) → (0,∞) i χ : [0,∞) →(0,∞) з класу QSV, функцiя 1/ψ обмежена на пiвосi [b,∞), а функцiї χ

i 1/χ обмеженi на кожному вiдрiзку [a1, a2], де 0 < a1 < a2 < ∞. Тодi

функцiя t 7→ χ(ψ(t)) аргумента t належить класу QSV.

Позначимо черезM множину всiх функцiй ψ : [1,∞)→(0,∞) таких, що

— функцiя ψ вимiрна за Борелем на пiвосi [1,∞);

— функцiї ψ i 1/ψ обмеженi на кожному вiдрiзку [1; b], де 1 < b <∞;

— ψ ∈ QSV.

З теореми 2.4 випливає твердження: функцiя ψ ∈ M тодi i тiльки тодi

39

коли її можна подати у виглядi

ψ(t) = exp

(β(t) +

t∫1

α(τ)

τdτ

)при t > 1, де функцiя α неперервна i α(τ) → 0 при τ → ∞, а функцiя β

вимiрна за Борелем i обмежена на пiвосi [1,∞).

Нехай q ∈ R i ψ ∈ M, z ∈ Sp. Введемо гiльбертiв простiр Hψq (Sp) на

множинi функцiй v =∑k∈Zp

vkzk зi скалярним добутком

(v, w)Hψq (Sp) =

∑k∈Zp

k2qψ2(k)vkwk,

де k =√

1 + k21 + . . .+ k2

p, який стандартним чином породжує норму

‖ · ‖Hψq (Sp); ‖v‖

2Hψq (Sp) = (v, v)Hψ

q (Sp).

В частинному випадку ψ ≡ 1 простiр Hψq (Sp) є гiльбертовим простором

Hq(Sp) порядку q. В загальному випадку множина просторiв Hψq (Sp), де

q ∈ R, ψ ∈M, утворює шкалу з такою властивiстю.

Лема 2.1. Нехай q ∈ R i ψ ∈ M. Тодi для будь-якого ε > 0 вико-

нуються неперервнi вкладення

Hq+ε(Sp) → Hψq (Sp) → Hq−ε(Sp). (2.3)

Доведення. Нехай ε > 0. Оскiльки ψ ∈ M, то з умови (ii) теореми 2.5,

маємо, що k−ε 6 ψ(k) 6 kε при k 1. З означення класу M випливає

iснування дiйсного числа c > 1 такого, що c−1k−ε 6 ψ(k) 6 ckε для всiх

k > 1. Отже, справджується нерiвнiсть c−1kq−ε 6 kqψ(k) 6 ckq+ε, з якої

випливає неперервнiсть вкладення (2.3).

Вкладення (2.3) можна уточнити в такiй граничнiй формi:⋃ε>0

Hq+ε(Sp) =: Hq+(Sp) ⊂ Hψq (Sp) ⊂ Hq−(Sp) :=

⋂ε>0

Hq−ε(Sp). (2.4)

Як бачимо, у шкалi Hψq (Sp)q∈R,ψ∈M числовий параметр q визначає

основну (степеневу) гладкiсть, а функцiональний параметр ψ—допомiжну

40

гладкiсть. В залежностi вiд того, чи ψ(k) → ∞ чи ψ(k) → 0 при k → ∞,

параметр ψ задає додаткову додатню чи вiд’ємну гладкiсть вiдповiдно. Iн-

шими словами, параметр ψ уточнює основну q-гладкiсть. Тому справедли-

вим є наступне означення.

Означення 2.3. Сiм’ю функцiональних просторiв Hψq (Sp)q∈R,ψ∈M наз-

вемо уточненою шкалою в Sp (стосовно соболєвської шкали).

Зв’язок мiж уточненою i соболєвською шкалами просторiв не вичер-

пується вкладеннями (2.3). Уточнена шкала має важливу властивiсть: кож-

ний простiр Hψq (Sp) є результатом iнтерполяцiї з певним функцiональним

параметром пари соболiвських просторiв Hq−ε(Sp) i Hq+δ(Sp), де ε, δ > 0.

Цей параметр є правильно змiнною на нескiнченностi функцiєю порядку

θ ∈ (0, 1), де θ =ε

ε+ δ. Тобто, простори Hψ

q (Sp) володiють iнтерполяцiй-

ною властивiстю стосовно соболєвської гiльбертової шкали Hq(Sp)q∈R.Це, зокрема, означає, що будь-який лiнiйний оператор, обмежений у прос-

торах Hq−ε(Sp) i Hq+δ(Sp) є обмеженим i у просторi Hψq (Sp).

Теорема 2.7. Нехай задано додатнi числа ε i δ, функцiї ψ ∈M та

ϕ(t) :=

tε/(ε+δ)ψ(t1/(ε+δ)), при t > 1;

ψ(1), при 0<t<1.

Тодi функцiя ϕ є iнтерполяцiйним параметром та для довiльного q ∈ R

виконується [Hq−ε(Sp),Hq+δ(Sp)]ϕ = Hψq (Sp) з рiвнiстю норм.

Доведення. За теоремою 2.5 функцiя ϕ є квазiправильно змiнною на

∞ функцiєю порядку θ = ε/(ε + δ) ∈ (0, 1). Отже, ϕ є iнтерполяцiйним

параметром [70].

Пара соболєвських просторiв Hq−ε(Sp), Hq+δ(Sp) є допустимою, причо-

му псевдодиференцiальний оператор з символом kε+δ є породжуючим опе-

ратором J для цiєї пари. За допомогою перетворення Фур’є F : Hq−ε(Sp)→L2(S

p; k2(q−ε)) оператор J зводиться до псевдодиференцiального оператора

з символом kε+δ. Тодi функцiя вiд оператора J оператор ϕ(J) зводиться до

41

псевдодиференцiального оператора з символом ϕ(kε+δ) = kεψ(k). Звiдси,

враховуючи (2.4), маємо

[Hq−ε(Sp),Hq+δ(Sp)]ϕ =u ∈ Hq−ε(Sp) : kεψ(k)uk ∈ L2(S

p; k2(q−ε))

=

=u ∈ Hq−ε(Sp) :

∑k∈Zp

k2qψ2(k)|uk|2 <∞

= Hq−ε(Sp)∩Hψq (Sp) = Hψ

q (Sp).

Крiм того, квадрат норми у просторi [Hq−ε(Sp),Hq+δ(Sp)]ϕ володiє влас-тивiстю ‖ϕ(J)u‖2

Hq−ε(Sp) =∑k∈Zp|kεψ(k)uk|2k2(q−ε) = ‖u‖2

Hψq (Sp).

Варто також вiдмiтити, що, враховуючи умову (i) теореми 2.5, для кож-

ної функцiї ψ ∈ M iснує додатня функцiя ψ1 ∈ C∞([1;∞)

)∩M така, що

ψ(t) ψ1(t) на пiвосi [1;∞), i отже, простори Hψq (Sp) i Hψ1

q (Sp) рiвнi з

точнiстю до еквiвалентних норм.

Нехай q ∈ R i ψ, ψ1 ∈M. Тодi для будь-якого ε > 0 виконується щiльне

вкладення Hψ1q+ε(Sp) → Hψ

q (Sp). Справдi, з леми 2.1 випливає неперервне

вкладення Hψ1q+ε(Sp) → Hq+ ε

2(Sp) → Hψ

q (Sp) для довiльного ε > 0.

Введемо ще три шкали просторiв Hn,ψq (Dp)q∈R, ψ∈M, Hψ

q (Sp)q∈R, ψ∈Mi Hn,ψ

q (Dp)q∈R, ψ∈M. Нехай Hn,ψq (Dp), n ∈ Z+ — банахiв простiр функцiй

u = u(t, z) таких, що похiднi∂ru(t, z)

∂tr=∑k∈Zp

u(r)k (t)zk, r = 0, 1, . . . , n, для

кожного t ∈ [0, T ] належать до просторiв Hψq−r(Sp) вiдповiдно i неперервнi

за t у цих просторах. Норму у даному просторi дає формула

‖u‖2Hn,ψq (Dp) =

n∑r=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ru(t, ·)∂tr

∥∥∥2

Hψq−r(Sp)

.

Hψq (Sp) —простiр вектор-функцiй v = v(z) = col (v1, . . . , vm), де vj,

j = 1, . . . ,m, належать до простору Hψq (Sp). Норма в даному просторi

задається формулою ‖v‖2

Hψ

q (Sp)=

m∑j=1

‖vj‖2Hψq (Sp).

Простiр Hn,ψq (Dp) є простором функцiй u(t, z) = col (u1, . . . , um) iз ком-

понентами uj, j = 1, . . . ,m, з простору Hn,ψq (Dp) та квадратом норми

‖u‖2

Hn,ψ

q (Dp)=

m∑j=1

‖uj‖2Hn,ψq (Dp).

42

2.3. Iтерацiйна схема Неша–Мозера

Опишемо теорему Неша–Мозера у диференцiальнiй постановцi, яка зас-

тосовується в просторах функцiй зi скiнченною диференцiйовнiстю, нап-

риклад у банахових шкалах просторiв Соболєва.

Розглянемо банахову шкалу просторiв Yss>0 (з нормами |y|s 6 |y|s′,y ∈ Ys′), для елементiв якої справедливi вкладення Ys′ ⊂ Ys ⊂ Y0 при

довiльних s′ > s > 0. У просторах цiєї шкали визначено лiнiйнi оператори

згладження S(t) : Y0 → Y∞ :=⋂s>0

Ys при t > 0 такi, що

|S(t)u|s+r 6 Cs,rtr|u|s для довiльної u ∈ Ys, (2.5)

|(I − S(t))u|s 6 Cs,rt−r|u|s+r для довiльної u ∈ Ys+r (2.6)

для деяких додатнiх сталих Cs,r.

Зауваження 2.2. Оцiнки (2.5)–(2.6) (де t = N —цiле число) виконують-

ся у соболєвських просторах

Ys =f(ϕ) =

∑k

fkeikϕ : |f |2s =

∑k

|fk|2(1 + |k|2s) < +∞

для проектора SN = S(N), дiя якого задається формулою

SN

(∑k

fkeikx

)=∑|k|6N

fkeikx, k ∈ Z.

На банаховiй шкалi Xss>0, на якiй визначенi оператори згладження

(S(t))t>0, для всiх 06λ16λ2, α∈ [0, 1] i u∈Xλ2виконується нерiвнiсть

|u|λ 6 Kλ1,λ2|u|1−αλ1

|u|αλ2, λ = (1− α)λ1 + αλ2 (2.7)

для деякої додатньої константи Kλ1,λ2.

Запишемо наступнi умови, де α, K i τ є фiксованими додатними конс-

тантами.

(H1) Для оператора F : Ys+α → Ys, s > 0, виконується оцiнка

|F(y)|s 6 K(1 + |y|s+α), y ∈ Ys+α.

43

Диференцiальнi оператори F порядку α задовольняють дану власти-

вiсть (H1), тобто |F(y)|s оцiнюються лiнiйними функцiями вiд норми |y|s+α(див. [103,127]). Цей факт випливає з iнтерполяцiйної нерiвностi (2.7) (ана-

логiчно iнтерполяцiйним оцiнкам у просторах Соболєва в працях [101,122,

126]).

(H2) Оператор F : Ys+α → Ys, s > 0, є диференцiйовним i

|(DF)(y)[h]|s 6 K|h|s+α,

|F(y′)−F(y)− (DF)(y)[y′ − y]|s 6 K|y′ − y|2s+α.

(H3) Для довiльної y ∈ Y∞ iснує лiнiйний оператор L(y) такий, що

|L(y)[h]|s 6 K|h|s+τ , s > 0, i справджується рiвнiсть DF(y) L(y)[h] = h у

просторi Ys−α для будь-якого h ∈ Ys+τ .

Теорема 2.8. Нехай оператор F задовольняє умови (H1)–(H3) i за-

фiксуємо довiльне s0 > α + τ . Якщо норма |F(0)|s0+τ є досить малою

(залежною вiд α, K, τ i s0), тодi iснує розв’язок y∈Ys0рiвняння F(y)=0.

Доведення. Розглянемо iтерацiйну схему

yn+1 = yn − S(Nn)L(yn)F(yn), y0 := 0, (2.8)

де Nn := eλχn, Nn+1 = Nχ

n , χ := 3/2 для досить великих λ, залежних вiд α,

K, τ i s0, якi будуть вибранi дальше.

Враховуючи (2.8), прирiст yn+1−yn ∈ Y∞ для будь-якого n > 0, i, отже,

yn ∈ Y∞ (тому, що y0 := 0 ∈ Y∞). Крiм того, використовуючи (2.5), (2.8) та

властивiсть (H3), отримуємо, що

|yn+1 − yn|s06 |S(Nn)L(yn)F(yn)|s0

6 C0Nα+τn |L(yn)F(yn)|s0−α−τ 6

6 C0Nα+τn K|F(yn)|s0−α, (2.9)

де C0 := Cs0−α−τ,α+τ є сталою з (2.5).

За розкладом Тейлора для n > 1, враховуючи (2.6), (2.8), позначення

Q(y, y′) := F(y′)−F(y)−DF(y)[y′ − y] та властивiсть (H2), маємо

44

|F(yn)|s0−α 6 |F(yn−1) +DF(yn−1)[yn − yn−1]|s0−α + |Q(yn−1, yn)|s0−α =

= |DF(yn−1)(I − S(Nn−1))L(yn−1)F(yn−1)|s0−α + |Q(yn−1, yn)|s0−α 6

6 K|(I − S(Nn−1))L(yn−1)F(yn−1)|s0+K|yn − yn−1|2s0

6

6 KCs0,βN−βn−1Bn−1 +K|yn − yn−1|2s0

, (2.10)

де Bn−1 := |L(yn−1)F(yn−1)|s0+β.

З нерiвностей (2.9) i (2.10) виводимо, що для деякої додатньої константи

C1 := C(α, τ, s0, K) виконується оцiнка

|yn+1 − yn|s06 C1N

α+τn N−βn−1Bn−1 + C1N

α+τn |yn − yn−1|2s0

. (2.11)

Для доведення малостi величини |yn+1−yn|s0важливим є дати апрiорну

оцiнку для Bn, яка залежить вiд β. Для n > 0 за властивiстю (H3) маємо

Bn := |L(yn)F(yn)|s0+β 6 K|F(yn)|s0+β+τ (2.12)

i для n > 1, використавши, що yn =n∑k=1

(yk − yk−1) та формули (2.5), (2.8) i

властивiсть (H1), отримаємо

Bn 6 K2(1 + |yn|s0+β+τ+α) 6 K2(1 +

n∑k=1

|yk − yk−1|s0+β+τ+α

)=

= K2(1 +

n∑k=1

|S(Nk−1)L(yk−1)F(yk−1)|s0+β+τ+α

)6

6 K2(1 +

n∑k=1

C2Nτ+αk−1 |L(yk−1)F(yk−1)|s0+β

)6 C3

(1 +

n−1∑k=0

N τ+αk Bk

), (2.13)

де C2 = Cs0+β,τ+α є сталою з (2.5) i C3 := K2 max1, C2.Твердження 2.1. Нехай β := 15(α + τ) i

|F(0)|s0+τ 6 e−λ4(α+τ)/KCs0,0. (2.14)

Тодi iснує таке λ := λ(τ, α,K, s0) > 1, що для всiх n > 0 справедливi такi

твердження:

45

(n, 1) Bn 6 N νn = eλχ

nν, ν := 4(τ + α);

(n, 2) |yn+1 − yn|s06 N−νn = e−λχ

nν.

Виконання умови (0, 1) є наслiдком нерiвностi

B0 := |L(0)F(0)|s0+β 6 K|F(0)|s0+β+τ 6 eλν

при великому λ := λ(α, τ, s0, K). Твердження (0, 2) випливає з нерiвностi

|y1 − y0|s0=|S(N0)L(0)F(0)|s0

6Cs0,0|L(0)F(0)|s06Cs0,0K|F(0)|s0+τ<e

−λν.

Припустимо, що виконуються (n, 1) – (n, 2). Для доведення (n + 1, 1)

запишемо

Bn+1 6 C3

(1 +

n∑k=0

N τ+αk Bk

)6 C3

(1 +

n∑k=0

e(τ+α+ν)λχk)

=

= C3

(1 + e(τ+α+ν)λχn

n∑k=0

e−(τ+α+ν)λ(χn−χk))6

6 C3

(1 + e(τ+α+ν)λχn

n∑k=0

e−5(τ+α)(χn−χk))6 C4e

(τ+α+ν)λχn < eνλχn+1

для деяких C4 =C4(α, τ, s0, K)>0 i достатньо великого λ=λ(τ, α,K, s0)>1,

враховуючи нерiвнiсть ν(χ− 1) > τ + α.

Важливим є довести, що величина Nα+τn N−βn−1Bn−1 з (2.11) є експонен-

цiально малою. Це випливає з (n, 1) для великих β, тобто |yn+1 − yn|s0

прямує до нуля при досить малiй нормi |y1 − y0|s0(твердження (n, 2)).

Доведемо (n+ 1, 2). Враховуючи, що Nn := eλχn, маємо

|yn+2 − yn+1|s06 C1e

λ(α+τ)χn+1

e−λβχn

Bn + C1eλ(α+τ)χn+1|yn+1 − yn|2s0

6

6 C1eλ(α+τ)χn+1

e−λβχn

eλνχn

+ C1eλ(α+τ)χn+1

e−2νλχn 6 e−λχn+1ν,

якщо накласти умови

C1eλχn(χ(α+τ)−β+ν) <

1

2e−λχ

n+1ν, C1eλχn(χ(α+τ)−2ν) <

1

2e−λχ

n+1ν.

46

Данi нерiвностi виконуються для досить великих λ, залежних вiд α, τ , s0

i K, тому, що β − ν(1 + χ2) − χ(α + τ) > 0 i (2 − χ)ν − χ(α + τ) > 0 для

β := 15(α + τ), ν := 4(α + τ), χ = 3/2.

Це завершує доведення твердження 2.1.

Враховуючи (n, 2), послiдовнiсть yn є послiдовнiстю Кошi у Ys0, i, тому

yn → y ∈ Ys0. З (2.10), (n, 1) – (n, 2) випливає, що |F(yn)|s0−α → 0. Отже, з

неперервностi F(·) одержуємо, що F(y) = 0.

47

2.4. Допомiжнi твердження

Наведемо ряд результатiв з метричної теорiї дiофантових наближень,

якi використовуються при дослiдженнi оцiнок знизу малих знаменникiв,

що виникають у розглядуваних задачах та iншi допомiжнi спiввiдношення.

Лема 2.2. (Бореля-Кантеллi, [85, с. 10]). Нехай Aq, q = 1, 2, . . . , –

послiдовнiсть вимiрних за Лебегом множин iз Rn, причому∞∑q=1

measAq <∞.

Тодi мiра Лебега множини тих точок iз Rn, що потрапляють у нескiн-

ченну кiлькiсть множин Aq, дорiвнює нулевi.

Лема 2.3 ( [2]). Нехай функцiя f(x) є (n+1) раз неперервно диференцi-

йовною на вiдрiзку [a, b] i нехай для всiх x ∈ [a, b] виконується нерiвнiсть

|f (n)(x)| > C1 > 0.

Тодi мiра Лебега множини тих x ∈ [a, b], для яких

|f(x)| < ε < C1

не перевищує C2n√ε/δ, C2 = C2(n).

Лема 2.4. (Картана, [1, с. 267]). Для полiнома qm(z) з одиничним

старшим коефiцiєнтом нерiвнiсть |qm(z)| > ηm виконується всюди поза

множиною, мiра якої не перевищує πη2.

Лема 2.5 ( [66]). Нехай многочлен g(λ) має вигляд g(λ) =n∑j=0

gjλn−j,

тодi визначник матрицi Сiльвестра S(g) многочлена g(λ) володiє влас-

тивiстю

detS(g) =n−1∑α=0

(−1)α+nααα(n− α)n−αgα0 gn−α−1n gnα + . . . ,

де три крапки означають доданки, що не мiстять n-их степенiв коефi-

цiєнтiв gα.

48

Принцип нерухомої точки Каччопполi-Банаха. Нехай Ω — замк-

нута множина у повному метричному просторi X з метрикою ρ(x, y), а

оператор P вiдображає Ω саму в себе.

Означення 2.4. Оператор P : Ω→ Ω називається оператором стиску,

якщо iснує число α < 1 таке, що ρ(P (x), P (x′)

)6 αρ(x, x′) для всiх пар

x, x′ ∈ Ω.

Теорема 2.9. ( [58, с. 609]) Якщо P є оператором стиску, то в

Ω iснує єдиний розв’язок x∗ рiвняння x = P (x). При цьому x∗ можна

отримати як границю послiдовностi xn, де

xn+1 = P (xn), n = 0, 1, 2, . . . ,

а x0 — довiльний елемент iз Ω. Швидкiсть збiжностi послiдовностi xnдо розв’язку x∗ визначається нерiвнiстю ρ(xn, x

∗) 6αn

1− αρ(x1, x0).

Функцiя Грiна крайової задачi. Розглянемо лiнiйну крайову задачу

[71, с. 38]

l(y) ≡ p0(x)dny

dxn+ p1(x)

dn−1y

dxn−1+ . . .+ pn−1(x)

dy

dx+ pn(x)y = f(x), (2.15)

Um(y) = 0, m = 1, . . . , n, (2.16)

де функцiї p1(x), . . . , pn(x), f(x) неперервнi на вiдрiзку [a, b], Um—лiнiйнi

функцiонали.

Означення 2.5. Функцiєю Грiна задачi (2.15), (2.16) називається функ-

цiя G(x, ξ), яка визначена в квадратi K = [a, b]2 i задовольняє такi умови:

1. у квадратiK функцiяG(x, ξ) є неперервною i має неперервнi похiднi

за змiнною x до порядку n− 2 включно;

2. для довiльного ξ ∈ (a, b) функцiя G(x, ξ) має неперервнi похiднi

(n− 1)-го i n-го порядкiв за змiнною x в кожному з iнтервалiв [a, ξ)

i (ξ, b], причому похiдна порядку (n− 1) має при x = ξ стрибок, що

дорiвнює1

p0(ξ):

∂n−1

∂xn−1G(ξ + 0, ξ)− ∂n−1

∂xn−1G(ξ − 0, ξ) =

1

p0(ξ);

49

3. в кожному з iнтервалiв [a, ξ) i (ξ, b] функцiя G(x, ξ) як функцiя

змiнної x є розв’язком для однорiдного рiвняння

l(y) = 0; (2.17)

4. G(x, ξ) як функцiя змiнної x задовольняє умови (2.16).

Позначимо через y1(x), . . . , yn(x) фундаментальну систему розв’язкiв

рiвняння (2.17).

Теорема 2.10. Якщо ∆ ≡ det ‖Uj(yr)‖nj,r=1 6= 0, то iснує єдина функ-

цiя Грiна G(x, ξ) задачi (2.17), (2.16), за допомогою якої розв’язок задачi

(2.15), (2.16) зображається формулою

y(x) =

b∫a

G(x, ξ)f(ξ)dξ.

У квадратi K (за винятком сторiн ξ = a, ξ = b) функцiя G(x, ξ) визна-

чається формулою

G(x, ξ) =1

∆

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

g(x, ξ) y1(x) . . . yn(x)

U1(g) U1(y1) . . . U1(yn)

. . . . . . . . . . . .

Un(g) Un(y1) . . . Un(yn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

g(x, ξ) =sgn(x− ξ)

2W (ξ)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1(ξ) . . . yn(ξ)

y′1(ξ) . . . y′n(ξ)

. . . . . . . . .

y(n−2)1 (ξ) . . . y

(n−2)n (ξ)

y1(x) . . . yn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣,

деW (ξ) — вронскiан системи функцiй y1(ξ), . . ., yn(ξ), sgn x=

1, x > 0;

0, x = 0;

−1, x < 0.

50


Даний роздiл має допомiжний характер. У ньому введено функцiональ-

нi простори, у яких розглядаються нелокальнi задачi. Встановлено деякi

властивостi вiдповiдних просторiв та функцiй.

Наведено допомiжнi вiдомостi з алгебри, функцiонального аналiзу та

метричної теорiї чисел, якi використовуються в наступних роздiлах дисер-

тацiї.

51

РОЗДIЛ 3

ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО

РIВНЯННЯ ЗI СТАЛИМИ КОЕФIЦIЄНТАМИ

3.1. Задача для диференцiально-операторного рiвняння у

багатовимiрнiй комплекснiй областi

У даному пiдроздiлi дослiджено нелокальнi крайовi задачi для рiвняння

з частинними похiдними з векторним оператором B = (z1∂

∂z1, . . . , zp

∂

∂zp).

Данi задачi є некоректними за Адамаром, а їх розв’язнiсть пов’язана з про-

блемою малих знаменникiв. Доведено метричнi теореми про оцiнки знизу

малих знаменникiв, якi виникають при побудовi розв’язкiв даних задач,

а також встановлено умови iснування та єдиностi цих розв’язкiв у шкалi

просторiв функцiй багатьох комплексних змiнних.

3.1.1. В областi Dp розглянемо задачу з нелокальними умовами для

диференцiально-операторного рiвняння зi сталими коефiцiєнтами

Lu =∑

s0+|s|6n

as0,sBs∂

s0u

∂ts0= 0, (3.1)

Mmu = µ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=0

− ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=T

= ϕm, m = 0, 1, . . . , n− 1, (3.2)

де as0,s ∈ C, an,0 = 1, µ ∈ C \ 0, u = u(t, z) — шукана функцiя, а

ϕ0 = ϕ0(z), ϕ1 = ϕ1(z), . . . , ϕm−1 = ϕm−1(z) — заданi функцiї. Оператор

B = (B1, . . . , Bp) складено з операторiв узагальненого диференцiювання

Bj ≡ zj∂

∂zj, для яких, зокрема, Bj(z

k) = kjzk. Степенями даних операторiв

є B0ju = u, Bl

ju = Bj(Bl−1j u), де j = 1, . . . , p, l = 1, . . . , n, i Bs = Bs1

1 . . . Bspp .

Якщо функцiя u =∑k∈Zp

uk(t)zk i u ∈ Hn

q (Dp), то Bju =∑k∈Zp

kjuk(t)zk i,

очевидно, Bju ∈ Hnq−1(Dp). Аналогiчно, Bsu ∈ Hn

q−|s|(Dp), Lu ∈ H0q−n(Dp)

i Mmu ∈ Hq−m(Sp), де m = 0, 1, . . . , n− 1, j = 1, . . . , p.

52

Доведемо, наприклад, останню належнiсть. Нехай u ∈ Hnq (Dp), тодi

‖Mmu‖2Hσ(Sp)=

∥∥∥∥µ∂mu∂tm

∣∣∣∣t=0

−∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=T

∥∥∥∥2

Hσ(Sp)6

6(|µ|2 + 1) max[0,T ]

∥∥∥∥∂mu∂tm

∥∥∥∥2

Hσ(Sp)6(|µ|2 + 1)‖u‖2

Hnσ+m(Dp)<∞,

якщо σ +m 6 q. Отже, Mmu ∈ Hq−m(Sp) у разi σ = q −m.

Для функцiй u з простору Hnq (Dp) рiвняння (3.1) є рiвнянням у просто-

рi H0q−n(Dp), а умови (3.2) — це умови у просторах Hq(Sp), Hq−1(Sp), . . . ,

Hq−n+1(Sp) вiдповiдно.

Означення 3.1. Пiд розв’язком задачi (3.1), (3.2) будемо розумiти

функцiю u = u(t, z) з простору Hnq (Dp), яка для t ∈ [0, T ] задоволь-

няє рiвняння (3.1) i умови (3.2) у просторi W′. Зокрема, 〈Lu, v〉 = 0 i

〈Mmu − ϕm, v〉 = 0 для m = 0, 1, . . . , n − 1 i для всiх v ∈ W, де 〈·, ·〉—визначено на с. 20.

Якщо iснує розв’язок u задачi (3.1), (3.2), то з необхiднiстю функцiї

ϕm = Mmu належать до просторiв Hq−m(Sp) при m = 0, 1, . . . , n − 1 вiд-

повiдно. Це твердження є наслiдком означення розв’язку та властивостей

просторiв Hq(Sp) i Hnq (Dp).

Для встановлення достатнiх умов на функцiї ϕm, при яких обернений

оператор задачi (3.1), (3.2) iснує та дiє у простiр Hnq (Dp), використовуємо

метричний пiдхiд [74].

Розглядаємо не одну, а всю множину задач (3.1), (3.2), що парамет-

ризується коефiцiєнтами as0,s рiвняння (3.1) та коефiцiєнтом µ умов (3.2).

Розглядаємо коефiцiєнти as0,s у крузi OA⊂C, а параметр µ у крузi OM⊂C,

де A таM —додатнi фiксованi числа (комплексний простiр C утотожнюємо

з дiйсним простором R2 з плоскою мiрою Лебега).

Введемо функцiю ζ(z) =∑k∈Zp

k−z, де Re z > p.

53

Розв’язок задачi (3.1), (3.2) шукаємо у виглядi ряду:

u(t, z) =∑k∈Zp

uk(t)zk, (3.3)

де коефiцiєнти uk(t) —невiдомi функцiї, якi треба визначити.

Запишемо оператор L з рiвняння (3.1) у виглядi

L( ∂∂t, B)

=∂n

∂tn+

n∑j=1

bj(B)∂n−j

∂tn−j,

де bj(B) =j∑|s|=0

an−j,sBs =

j∑|s|=0

an−j,s1,...,spBs11 . . . B

spp , j = 1, . . . , n.

Функцiя uk = uk(t) з формули (3.3) для кожного k ∈ Zp є класичним

розв’язком вiдповiдної задачi для звичайного диференцiального рiвняння:

u(n)k +

n∑j=1

bj(k)u(n−j)k = 0, (3.4)

µu(m)k

∣∣t=0− u(m)

k

∣∣t=T

= ϕmk, m = 0, 1, . . . , n− 1, (3.5)

де bj(k) =j∑|s|=0

an−j,sks =

j∑|s|=0

an−j,s1,...,spks11 . . . k

spp , ϕmk —коефiцiєнти Фур’є

функцiй ϕm, тобто ϕm(z) =∑k∈Zp

ϕmkzk.

Якщо для якогось k iснує нетривiальний розв’язок uk(t) однорiдної за-

дачi (3.4), (3.5), то однорiдна задача (3.1), (3.2) також має нетривiальний

розв’язок, який визначає формула u(t, z) = uk(t)zk. Тому єдинiсть розв’яз-

ку uk(t) задачi (3.4), (3.5) у просторi Cn[0, T ] для всiх k ∈ Zp є необхiдною

i достатньою умовою єдиностi розв’язку задачi (3.1), (3.2) у W′.

Для побудови розв’язку задачi (3.4), (3.5) пронормуємо коефiцiєнти

bj(k), j = 0, 1, . . . , n, рiвняння (3.4), подаючи їх у виглядi bj(k) = kj bj(k).

Величини bj(k), як i коефiцiєнти bj(k), лiнiйно залежать вiд параметрiв

an−j,s, якi у рiвняннi (3.1) є коефiцiєнтами при Bs∂n−ju

∂tn−j, |s| 6 j, i рiвно-

мiрно обмеженi за k, j i as0,s. Тодi для величини bj(k) можна записати такi

нерiвностi:

|bj(k)| 6 max|s|6j|an−j,s|

1

kj

j∑|s|=0

|ks| 6 A

j∑σ=0

1

kj−σ

∑|s|=σ

p∏l=1

(|kl|k

)sl6

54

6 A

j∑σ=0

kσ−j∑|s|=σ

1 = A

j∑σ=0

kσ−jCσσ+p−1 6 ACj

p+j при k 6∈ 1,√

2,

|bj(k)| = |an−j,0| 6 A при k = 1,

|bj(k)| 6 (j + 1)2−j/2A 63

2A при k =

√2.

Для коренiв λ1(k), . . . , λn(k) многочлена

Pk(λ) =n∏j=1

(λ− λj(k)) = λn +n∑j=1

bj(k)λn−j,

якi є неперервними функцiями вiд as0,s, виконуються нерiвностi [91, с. 381]

|λj(k)| 6 1 + max|b1(k)|, . . . , |bn(k)| < A1 = 1 + Cnp+nA. (3.6)

Очевидно, що γj = kλj(k) є коренями характеристичного рiвняння

γn + b1(k)γn−1 + . . .+ bn(k) = 0

для диференцiального рiвняння (3.4).

Позначимо через K∆ множину тих k ∈ Zp, при яких многочлен Pk(λ)

має кратнi коренi. Ця множина залежить вiд коефiцiєнтiв as0,s рiвняння

(3.1).

У випадку рiзних коренiв λ1(k), . . . , λn(k), тобто k ∈ Zp\K∆, загальний

розв’язок рiвняння (3.4) має вигляд

uk(t) =n∑l=1

Cklekλl(k)t, (3.7)

де Ckl —довiльнi комплекснi сталi, i належить до простору Cn[0, T ].

Якщо uk(t) є розв’язком задачi (3.4), (3.5), то числа Ckl=(µ−ekλl(k)T )Ckl,

l = 1, . . . , n, утворюють розв’язок системи лiнiйних алгебричних рiвнянь

1 1 . . . 1

λ1 λ2 . . . λn

λ21 λ2

2 . . . λ2n

. . . . . . . . . . . .

λn−11 λn−1

2 . . . λn−1n

Ck1

Ck2

Ck3

. . .

Ckn

=

ϕ0k

ϕ1k/k

ϕ2k/k2

. . .

ϕn−1,k/kn−1

(3.8)

55

з невиродженою матрицею Вандермонда (λα−1j )nj,α=1 i навпаки, якщо чис-

ла Ck1, Ck2, . . . , Ckn утворюють розв’язок системи лiнiйних алгебраїчних

рiвнянь (3.8), то функцiя uk(t), що визначається формулою (3.7), в якiй

Ckl = Ckl/(µ− ekλl(k)T ), є розв’язком задачi (3.4), (3.5).

Розв’язуючи систему (3.8) за правилом Крамера, одержуємо

Ckl =n−1∑j=0

∆jl(k)

∆(k)k−jϕjk, l = 1, . . . , n, k ∈ Zp \K∆,

де ∆(k) =∏

16r<q6n(λq(k)−λr(k)) 6= 0 — визначник Вандермонда, а ∆jl(k) —

вiдповiднi алгебричнi доповнення його елементiв.

Для того, щоб задача (3.4), (3.5) мала єдиний класичний розв’язок (у

просторi Cn[0, T ]) необхiдно i достатньо, щоб для кожного k ∈ Zp \ K∆

виконувалась умова µ /∈ ekλ1(k)T , . . ., ekλn(k)T. З цiєї умови випливає, що

lnµ 6= kλl(k)T + i2πm, або λl(k) 6= lnµ− i2πmkT

, для довiльних k ∈ Zp\K∆,

m ∈ Z i l = 1, . . . , n.

У протилежному випадку, коли µ = ekλl(k)T для деяких k та l, iснує

таке число m ∈ Z, що корiнь λl(k) визначається за формулою

λl(k) =lnµ− i2πm

kT. Тому виконується рiвнiсть

(lnµ− i2πm)n

T nkn+

n∑j=1

bj(k)(lnµ− i2πm)n−j

T n−jkn−j= 0

чи еквiвалентна їй рiвнiсть

(lnµ− i2πm)n +n∑j=1

bj(k)T j(lnµ− i2πm)n−j = 0. (3.9)

У випадку кратних коренiв (k ∈ K∆) загальний розв’язок рiвняння

(3.4) також буде мати вигляд (3.7), де замiсть числових коефiцiєнтiв Cklкоефiцiєнтами будуть многочлени Ckl(t) степеня на одиницю меншого вiд

кратностi кореня λl(k). Тому розв’язнiсть у цiлих числах m i k1, . . . , kp

рiвняння (3.9) є умовою неєдиностi розв’язку задачi (3.1), (3.2) у просторi

W′ i для цього випадку.

56

Сформулюємо i доведемо теорему про єдинiсть розв’язку задачi (3.1),

(3.2) у просторi W′.

Теорема 3.1. Для єдиностi розв’язку задачi (3.1), (3.2) у просторi

Cn([0, T ]; W′) необхiдно i достатньо, щоб рiвняння (3.9) не мало розв’яз-

кiв у цiлих числах m i k1, . . . , kp.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай однорiдна задача (3.1), (3.2) у про-

сторi Cn([0, T ]; W′) має не бiльше одного розв’язку. Якщо iснує розв’я-

зок задачi (3.1), (3.2), тодi всi функцiї uk(t) знаходяться однозначно, тобто

однорiдна задача (3.4), (3.5) у просторi Cn([0, T ]; W′) для всiх k ∈ Zp має

єдиний розв’язок. Отже, ∆ ·n∏l=1

(µ − ekλl(k)T ) 6= 0 при k ∈ Zp \ K∆, тобто

µ 6= ekλl(k)T при l = 1, . . . , n. Таким чином, рiвняння (3.9) не має розв’язкiв

у цiлих m i k1, . . . , kp. Аналогiчнi нерiвностi отримуємо при k ∈ K∆.

Достатнiсть. Доведемо методом вiд супротивного. Нехай числа m∗,

k∗1, . . . , k∗p є розв’язком рiвняння (3.9). Тодi, вважаючи

λ1(k∗) =

lnµ− i2πm∗

k∗T, де k∗=(k∗1, . . . , k

∗p), однорiдна задача (3.4), (3.5) має

розв’язок ek∗λ1(k∗)T=e(lnµ−i2πm∗)t/T . Отже, звiдси випливає, що задача (3.1),

(3.2) у просторi Cn([0, T ]; W′) має неєдиний розв’язок, оскiльки функцiї

u∗(t, z) = C0zk∗e(lnµ−i2πm∗)t/T , де C0 —довiльна комплексна стала, є розв’яз-

ками вiдповiдної однорiдної задачi.

В умовах теореми 3.1 для довiльного k ∈ Zp розв’язок uk(t) задачi (3.4),

(3.5) iснує, а при k ∈ Zp \K∆ має такий вигляд:

uk(t) =n∑l=1

n−1∑j=0

∆jl(k)

∆(k)

ekλl(k)t

µ− ekλl(k)Tk−jϕjk. (3.10)

Запишемо похiдну по t порядку r даної функцiї:

u(r)k (t) =

n∑l=1

n−1∑j=0

∆jl(k)

∆(k)

λrl (k)ekλl(k)t

µ− ekλl(k)Tkr−jϕjk.

57

Оцiнимо абсолютну величину функцiй u(r)k (t):

|u(r)k (t)| 6 1

|∆(k)|maxj,l|∆jl(k)|

n∑l=1

|λrl (k)||ekλl(k)t||µ− ekλl(k)T |

n−1∑j=0

|kr−jϕjk|.

Пiднесемо обидвi частини нерiвностi до квадрату i перетворимо до вигляду:

|u(r)k (t)|2 6 n3 1

|∆(k)|2maxj,l|∆jl(k)|2|λl(k)|2r max

1<l<n

∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− ekλl(k)T

∣∣∣∣2 n−1∑j=0

|kr−jϕjk|2.

На основi формул (3.3) i (3.10) отримаємо формальне зображення роз-

в’язку задачi (3.1), (3.2) з простору W′ у виглядi ряду

u(t, z) =∑k∈K∆

uk(t)zk +

∑k∈Zp\K∆

n∑l=1

n−1∑j=0

∆jl(k)

∆(k)

ekλl(k)t

µ− ekλl(k)Tk−jϕjkz

k. (3.11)

Оскiльки ∆jl(k) — визначники порядку n − 1, що мають обмеженi еле-

менти, якi є степенями чисел λ1, . . . , λn, то з (3.6) маємо

|∆jl(k)| < (n− 1)!An(n−1)/21 . (3.12)

Сформулюємо i доведемо теорему iснування та єдиностi розв’язку за-

дачi (3.1), (3.2) у просторi Hnq (Dp).

Теорема 3.2. Нехай задача (3.1), (3.2) має єдиний розв’язок у просторi

Cn([0, T ]; W′), тобто справджуються умови теореми 3.1, та для деяких

додатних сталих C1, C2 i дiйсних чисел η1, η2 для всiх (крiм скiнченного

числа) векторiв k ∈ Zp виконуються нерiвностi

|∆(k)| > C1k−η1, (3.13)∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− ekλl(k)T

∣∣∣∣ 6 C2kη2, l = 1, . . . , n. (3.14)

Якщо ϕ0∈Hγ(Sp), ϕ1∈Hγ−1(Sp), . . ., ϕn−1∈Hγ−n+1(Sp), де γ=q+η1+η2, то

iснує єдиний розв’язок задачi (3.1), (3.2) з простоу Hnq (Dp). Цей розв’язок

неперервно залежить вiд функцiй ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1.

58

Доведення. Позначимо через K скiнченну множину тих k ∈ Zp, для

яких не виконується нерiвнiсть (3.13).

З умов теореми випливає, що розв’язки uk задачi (3.4), (3.5) з простору

Cn[0, T ] iснують, причому

|u(r)k (t)|2 6 C3|k|2η1+2η2

n−1∑j=0

|kr−jϕjk|2, k ∈ Zp\K, r = 0, 1, . . . , n, (3.15)

де C3 = n3An(n−1)+2r1

((n−1)!C2/C1

)2, t ∈ [0, T ]. Нерiвностi (3.15) отримано

на основi оцiнок (3.12)— (3.14). Якщо k ∈ K, то модулi функцiй uk(t) та їх

похiдних обмеженi спiльною сталою.

З формул (3.11) i (3.15) одержимо нерiвнiсть

‖u‖2Hnq (Dp) 6 C4

n−1∑j=0

‖ϕj‖2Hγ−j(Sp),

де C4 — стала величина, звiдки й випливає твердження теореми.

Розглянемо умови, при яких виконуються нерiвностi (3.13), (3.14). Для

доведення формули (3.13) подамо лiву частину Lu рiвняння (3.1) у виглядi

Lu = a0,n,0,...,0Bn1u+ . . .+ a0,0,...,nB

npu+ L1u,

де вектор (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) належить множинi OpA, а L1 не залежить

вiд компонент цього вектора.

Теорема 3.3. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в просторi R2p)

векторiв (a0,n,0,...,0, . . ., a0,0,...,n) ∈ OpA нерiвнiсть (3.13) виконується при

η1 > p(n−1)/2 для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв k ∈ Zp \ 0.

Доведення. Величина ∆2(k) =∏

16r<q6n(λq(k)−λr(k))2 є дискримiнантом

D(k) многочлена Pk(λ), який визначається [6, с. 130] також за коефiцiєн-

тами многочлена, а саме

59

D(k) = (−1)n(n−1)/2×

×

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 b1(k) . . . bn−1(k) bn(k) 0 . . . 0

0 1 . . . bn−2(k) bn−1(k) bn(k) . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . b1(k) b2(k) b3(k) . . . bn(k)

n (n−1)b1(k) . . . bn−1(k) 0 0 . . . 0

0 n . . . 2bn−2(k) bn−1(k) 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 . . . n (n−1)b1(k) (n−2)b2(k) . . . bn−1(k)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

(3.16)

Доведемо, що для майже всiх векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n), якi нале-

жать до множини OpA ⊂ R2p, за досить великих k справджується оцiнка

|ReD(k)| > k−2η1. (3.17)

Позначимо через E множину векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n), для яких про-

тилежна до (3.17) нерiвнiсть

|ReD(k)| < k−2η1 (3.18)

виконується для безлiчi векторiв k ∈ Zp, а через Ek —множину тих векто-

рiв (a0,n,0,...,0, . . ., a0,0,...,n), для яких нерiвнiсть (3.18) правильна при фiксо-

ваному k∈Zp. Не порушуючи загальностi вважатимемо, що |k1| = max16i6n

|ki|.Коефiцiєнт a0,n,0,...,0 позначимо через α = α1 + iα2, де α1 —дiйсна, а α2 —

уявна частини α. Iз (3.16) видно, що при k 6= 1

D(k) = (−1)n(n−1)nnbn−1n (k) + F = (−1)n(n−1)nn

((k1

k

)nα + . . .

)n−1

+ F ,

звiдки

ReD(k) = (−1)n(n−1)nn(Re bn(k))n−1+F1 = (−1)n(n−1)nn(k1

k

)n(n−1)

αn−11 +F1,

60

де F i F мiстять степенi bn(k) i α меншi за n − 1, F1 i F1 мiстять степенi

Re bn(k) i α1 меншi за n−1. Знайдемо мiру measE1k множини E1

k ⊂ Ek, для

якої фiксованими є дiйснi та уявнi частини вектора (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n),

крiм α1. Оскiльки виконується нерiвнiсть∣∣∣∣∂n−1ReD(k)

∂αn−11

∣∣∣∣ = nn(n− 1)!

(|k1|k

)n(n−1)

> C5,

де C5 = nn(n− 1)!(p+ 1)−n(n−1)

2 , то за лемою 2.3 справджується оцiнка

measE1k 6 min

2√A2 − α2

2, C6(n)( 1

C5|k|−2η1

) 1n−1

,

де C6(n) = 2n [29]. Iнтегруючи останню оцiнку в областi [−A,A]×Op−1A ,

отримаємо, що measEk 6 C7k− 2η1n−1 , C7 = C7(n, p, A) > 0.

Оскiльки measE 6∑|k|>0

measEk i2η1

n− 1>p, то

∑k∈Zp

measEk 6 C7ζ( 2η1

n− 1

)<∞.

Згiдно з лемою 2.2 Бореля-Кантеллi мiра множини E дорiвнює нулевi.

Якщо (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n)6∈E, то з (3.17) i нерiвностi |D(k)|>|ReD(k)|отримаємо, що оцiнка |D(k)| > k−2η1 при η1 > p(n− 1)/2 виконується для

всiх векторiв k ∈ Zp (крiм скiнченного числа, яке залежить вiд as0,s). Звiдси

випливає формула (3.13).

Встановимо умови виконання нерiвностi (3.14), для чого скористаємося

методикою з [25]. Позначимо ρ(λ, t) =ekλt

µ− ekλT, тодi дроби з (3.14) дорiв-

нюватимуть ρ(λl(k), t), де l = 1, . . . , n. Послiдовнiсть знаменникiв функцiї

ρ(λl(k), t) може мати збiжнi до нуля пiдпослiдовностi. Для оцiнювання ве-

личини ρ(λl(k), t) побудуємо винятковi множини малої мiри на комплекснiй

площинi для параметра µ, використання яких є варiантом метричного пiд-

ходу до оцiнювання малих знаменникiв [55,74].

Виберемо додатнi числа η2 та χ з умов η2 >p

2i 32nζ(2η2)T

2χ2 = π.

Нехай ε < 1 i, додатково,√ε < ln 2/(2χT ), якщо n = 1; тодi для n > 1

61

виконується нерiвнiсть

ln 2/(2χT ) = ln 2√

8nζ(2η2)/π >√

8n/π/2 =√

2n/π > 1,

тобто також√ε < ln 2/(2χT ).

Позначимо χ1 = χ1(k) =√εχk−η2 та µl(k) = ekλl(k)T , µ(k) = ekλT .

Враховуючи данi позначення, отримаємо, що ρ(λ, t) =ekλt

µ− µ(k).

Reλ

Imλ

0

M−+ M++

M−− M+−

λl(k)

Vl(k)

χ1

2

χ1

2

χ1

2χ1

2

2χ1

2χ1

Рис.1. Концентричнi квадрати з центром у точцi λl(k): квадрат Vl(k) зi

стороною χ1 та квадрат iз стороною 2χ1. Видiлено множину, яка є

рiзницею цих квадратiв.

Виберемо множини Vl(k) для тих l = 1, . . . , n та k ∈ Zp, що задоволь-

няють умову |µl(k)| < 2M , за формулою

Vl(k) =λ ∈ C : |Re (λ− λl(k))| < χ1

2, |Im (λ− λl(k))| < χ1

2

.

Кожна множина Vl(k) —це квадрат (рис.1) зi стороною χ1, центром λl(k) i

вершинамиM−−,M−+,M++,M+− у комплекснiй площинi змiнної λ. Точки

M−−, M−+, M++, M+− зображають комплекснi числа λl(k)− (1 + i)χ1/2,

λl(k)− (1− i)χ1/2, λl(k) + (1 + i)χ1/2, λl(k) + (1− i)χ1/2 вiдповiдно.

62

Reµ

Imµ

0 µl(k)

χ1T/2

χ1T/2

χ1T/2

χ1T/2

2χ1T

M−+1

M++1

M+−1

M−−1

M−+2

M++2

M+−2

M−−2

Vl,1(k)

Vl,2(k)

1

Рис.2. Образи квадратiв з рис.1 при вiдображеннi λ→ ekλT .

Нехай множина

Vl,2(k)=µ∈C : e−χ1T/26

∣∣∣ µ

µl(k)

∣∣∣6eχ1T/2,∣∣∣ arg

µ

µl(k)

∣∣∣6χ1T/2

є образом квадрата Vl(k) при вiдображеннi λ → ekλT , а множина Vl,1(k) є

образом концентричного до Vl(k) квадрата зi стороною 2χ1, тобто її можна

задати за допомогою формули

Vl,1(k)=µ∈C : e−χ1T6

∣∣∣ µ

µl(k)

∣∣∣6eχ1T ,∣∣∣ arg

µ

µl(k)

∣∣∣6χ1T,

тодi

Vl,r(k) =µ ∈ C : e−χ121−rT 6

∣∣∣ µ

µl(k)

∣∣∣ 6 eχ121−rT ,∣∣∣ arg

µ

µl(k)

∣∣∣ 6 χ121−rT

.

Множина Vl,r(k) є частиною кiльцяµ ∈ C : e−χ121−rT 6

∣∣∣ µ

µl(k)

∣∣∣ 6 eχ121−rT,

яку видно з початку координат пiд кутом χ121−rT (див. рис.2).

63

Площа (мiра) множини Vl,1(k), яку назвемо винятковою множиною для

заданого k, обчислюється за формулою

measVl,1(k) =2χ1T

2π

(π|µl(k)|2e2χ1T − π|µl(k)|2e−2χ1T

)=

= χ1T |µl(k)|2(e2χ1T − e−2χ1T

).

Оскiльки e2χ1T<2 iey2χ1T − ey1χ1T

y2 − y1=χ1Te

y3χ1T 6 χ1Tey2χ1T , де y3∈(y1; y2), то

measVl,1(k) = 4χ1T |µl(k)|2e2χ1T − e−2χ1T

46

6 4(χ1T |µl(k)|

)2e2χ1T 6 4(2χ1TM)2e2χ1T < 32(χ1TM)2.

Об’єднаємо винятковi множини Vl,1(k) в одну виняткову множину

Vε =⋃k∈Zp;

|µl(k)|62M

n⋃l=1

Vl,1(k) (3.19)

i знайдемо оцiнку її мiри:

measVε =∑k∈Zp;

|µl(k)|62M

n∑l=1

measVl,1(k) 6 32(TM)2∑k∈Zp

χ21.

Враховуючи позначення χ1 та χ, отримуємо звiдси нерiвнiсть

measVε 6 32nT 2ζ(2η2)χ2εM 2 = επM 2 = ε measOM .

Параметр µ вважатимемо елементом множини OM \ Vε, для мiри якої

запишемо таку оцiнку:

meas (OM \ Vε) > (1− ε)measOM .

Теорема 3.4. Якщо η2 > p/2, то для всiх µ ∈ OM \ Vε функцiя ρ(λ, t)

поза областю Vl(k)× [0, T ] має оцiнку зверху

|ρ(λ, t)| 6 τ√εkη2, (3.20)

де τ = 8 max2, 1/|µ|√

2πnζ(2η2) > 20.

64

Доведення. Спочатку розглянемо випадок |µl(k)| > 2M . У кожному

квадратi Vl(k) виконуються нерiвностi

|µl(k)|e−χ1T/2 6 |µ(k)| 6 |µl(k)|eχ1T/2,

де e2χ1T = e2√εχT k−η2 < ek

−η2 ln 2 = 2k−η2 6 2, тому

3M/2<23/4M62−1/4|µl(k)|6|µ(k)|621/4|µl(k)|.

Далi отримуємо

|ρ(λ, t)| =∣∣∣ ekλ(k)T t

T

µ− µ(k)

∣∣∣ =|µ(k)| tT|µ− µ(k)|

=|µ(k)| tT

|µ(k)||µ/µ(k)− 1|=

=|µ(k)| tT−1

|µ/µ(k)− 1|6 3 max

1,

1

|µ(k)|

6 max

3,

3

|µ(k)|

< max

3,

2

M

,

а також, враховуючи, щоkη2

√ε> 1,

|ρ(λ, t)| < kη2

√ε

max

3,2

M

. (3.21)

Розглянемо випадок |µl(k)| < 2M , тодi для числа µ(k) маємо три мож-

ливостi: |µ(k)| 6 |µ|2, |µ(k)| > 2|µ| та |µ|

2< |µ(k)| < 2|µ|.

Нехай |µ(k)| 6 |µ|2, тодi |µ− µ(k)| > |µ|

2i

|ρ(λ, t)| = |µ(k)| tT|µ− µ(k)|

6|µ(k)| tT|µ|/2

=2|µ(k)| tT|µ|

6

62

|µ|max1, |µ(k)| 6 2

|µ|max

1,|µ|2

= max

1,

2

|µ|

,

а також

|ρ(λ, t)| 6 kη2

√ε

max

1,2

|µ|

. (3.22)

Нехай |µ(k)| > 2|µ|, тодi |µ− µ(k)| = |µ(k)|∣∣∣ µ

µ(k)− 1∣∣∣ > |µ(k)|

2i

|ρ(λ, t)| = |µ(k)| tT|µ− µ(k)|

6|µ(k)| tT|µ(k)|/2

= 2|µ(k)|tT−1 = 2|µ(k)|

t−TT 6

65

6 2 max

1,1

|µ(k)|

= max

2,

2

|µ(k)|

6 max

2,

2

2|µ|

= max

2,

1

|µ|

,

а отже,

|ρ(λ, t)| 6 kη2

√ε

max

2,1

|µ|

. (3.23)

Розглянемо випадок|µ|2< |µ(k)| < 2|µ|. Знаменник |µ − µ(k)| не мен-

ший, нiж min |z1−z2|, де z1 i z2 належать границям областей Vl,1(k) i Vl,2(k)

вiдповiдно. Даний мiнiмум досягається, якщо z2 = ek(λl(k)−(i+1)χ1/2)T , а z1 —

проекцiя z2 на промiнь z= arg λl(k)−χ1T i дорiвнює |µl(k)|e−χ1T/2 sin(χ1T/2).

Оскiльки справджуються оцiнки χ1T/2< ln 2/4<1/4<π/4 i sinx>2√

2x/π

при x ∈ [0, π/4], то sinχ1T/2 > 2√

2χ1T/2π =√

2χ1T/π. Тому з нерiвностi

|µl(k)|> |µ(k)|e−χ1T/2 отримаємо

|µ− µ(k)|> |µl(k)|e−χ1T/2 sin(χ1T/2)> |µ(k)|e−χ1T√

2χ1T/π> |µ|χ1T/2π,

звiдки випливає

|ρ(λ, t)| = |µ(k)| tT|µ− µ(k)|

6max1, |µ(k)||µ− µ(k)|

<max1, 2|µ||µ− µ(k)|

6

62πmax1, 2|µ||µ|χ1T

62π

χ1Tmax

1

|µ|, 2

=2π

√εχk−η2T

max

2,1

|µ|

=

=2πkη2

√εχT

max

2,1

|µ|

6kη2

√ε8√

2nπζ(2η2) max

2,1

|µ|

. (3.24)

Правi частини у формулах (3.21)–(3.24) оцiнюються числомτ kη2

√ε. Отже,

нерiвнiсть (3.20) виконується для всiх µ ∈ OM \ Vε.

Оскiльки λl(k) ∈ Vl(k) i∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− ekλl(k)T

∣∣∣∣ = |ρ(λl(k), t)|, то оцiнка (3.14)

виконується для всiх µ ∈ OM \ Vε i всiх k ∈ Zp, якщо η2 > p/2.

Сформулюємо загальну теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi

(3.1), (3.2) у просторi Hnq (Dp).

Теорема 3.5. Нехай задача (3.1), (3.2) має єдиний розв’язок у просторi

Cn([0, T ]; W′), тобто виконуються умови теореми 3.1, µ ∈ OM\Vε.

66

Тодi у разi ϕ0 ∈ Hγ(Sp), ϕ1 ∈ Hγ−1(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ Hγ−n+1(Sp), деγ > q + pn/2, для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R2p) векторiв

(a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з множини OpA iснує єдиний розв’язок задачi (3.1),

(3.2) з простору Hnq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд правих

частин умов (3.2).

Доведення. З теореми 3.1 випливає iснування функцiй uk для всiх век-

торiв k ∈ Zp. За теоремою 3.3 для майже всiх (стосовно мiри Лебега в

R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA виконується оцiнка (3.13) для

η1 > p(n − 1)/2. Згiдно з теоремою 3.4 для довiльного µ ∈ OM \ Vε вико-

нується оцiнка (3.14) для η2 > p/2. Таким чином, з теореми 3.2 випливає

як iснування розв’язку задачi (3.1), (3.2) з простору Hnq (Dp), так i його

неперервна залежнiсть вiд функцiй ϕ0 ∈ Hγ(Sp), ϕ1 ∈ Hγ−1(Sp), . . . ,

ϕn−1 ∈ Hγ−n+1(Sp) для γ > q + pn/2.

3.1.2. Розглянемо в областiDp задачу для неоднорiдного диференцiаль-

но-операторного рiвняння з нелокальними однорiдними умовами

Lu =∑

s0+|s|6n

as0,sBs∂

s0u

∂ts0= f, (3.25)

Mmu = µ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=0

− ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=T

= 0, m = 0, 1, . . . , n− 1, (3.26)

де as0,s ∈ C, an,0 = 1, µ ∈ C \ 0, u = u(t, z) —шукана функцiя, а f =

f(t, z) — задана функцiя.

Якщо функцiя u належить до Hnq (Dp) i f = Lu, то f ∈ H0

q−n(Dp).


функцiю u = u(t, z) з простору Hnq (Dp), яка для t ∈ [0, T ] задовольняє

рiвняння (3.25) i умови (3.26) у просторi W′.

Розв’язок задачi (3.25), (3.26) шукаємо у виглядi ряду (3.3), де коефi-

цiєнти uk(t) —невiдомi функцiї, якi треба визначити.

Функцiя uk = uk(t) з формули (3.3) для кожного k ∈ Zp є класичним

67

розв’язком вiдповiдної задачi для звичайного диференцiального рiвняння:

u(n)k +

n∑j=1

bj(k)u(n−j)k = fk(t), (3.27)

µu(m)k

∣∣t=0− u(m)

k

∣∣t=T

= 0, m = 0, 1, . . . , n− 1, (3.28)

де bj(k)=j∑|s|=0

an−j,sks=

j∑|s|=0

an−j,s1,...,spks11 . . . k

spp , функцiї fk(t) —коефiцiєнти

Фур’є функцiї f(t, z).

Розв’язок задачi (3.27), (3.28) для всiх k ∈ Zp можна подати у виглядi

(див. теорему 2.10, с. 49)

uk(t) =

T∫0

Gk(t, τ)fk(τ)dτ, (3.29)

де Gk(t, τ) —функцiя Грiна задачi (3.4), (3.28).

Функцiя Грiна Gk(t, τ) iснує тодi i тiльки тодi, коли задача (3.4), (3.28)

має лише тривiальний розв’язок, тобто µ− ekλj(k)T 6= 0. В умовах теореми

3.1 задача (3.25), (3.26) може мати не бiльше одного розв’язку для всiх

коренiв λj(k) многочлена Pk.

На основi формул (3.3), (3.29) одержимо формальне зображення розв’яз-

ку задачi (3.25), (3.26) у виглядi ряду:

u(t, z) =∑k∈Zp

zkT∫

0

Gk(t, τ)fk(τ)dτ. (3.30)

Для всiх k ∈ Zp \K∆ у квадратi

KT = (t, τ) ∈ R2+ : 0 6 t 6 T, 0 6 τ 6 T

функцiї Gk(t, τ) визначаються формулою:

Gk(t, τ) = gk(t, τ) +1

2kn−1

n∑j=1

µ+ ekλj(k)T

µ− ekλj(k)T

ekλj(k)(t−τ)

n∏q=1,q 6=j

(λj(k)− λq(k)), (3.31)

68

де

gk(t, τ) =sgn (t− τ)

2kn−1

n∑j=1

ekλj(k)(t−τ)

n∏q=1q 6=j

(λj(k)− λq(k)).

Перепишемо формулу (3.31) у виглядi

Gk(t, τ) =1

2kn−1

n∑j=1

ekλj(k)(t−τ)

n∏q=1q 6=j

(λj(k)− λq(k))

(sgn (t− τ) +

µ+ ekλj(k)T

µ− ekλj(k)T

).

Нехай ∆j(k) =∏

16r<q6nq,r 6=j

(λq(k)−λr(k)), тодi функцiя Грiна набуде куско-

вого вигляду

Gk(t, τ) =1

∆ kn−1

µ

n∑j=1

∆j(k) ρ(λj(k), t− τ), при t > τ ;n∑j=1

∆j(k) ρ(λj(k), t+ T − τ), при t < τ .(3.32)

Знайдемо похiдну за змiнною t порядку r, де r=0, 1, . . ., n−1, функцiї Грiна

∂rGk(t, τ)

∂tr=kr−n+1

∆

µ

n∑j=1

∆j(k)λrj(k) ρ(λj(k), t− τ), при t > τ ;n∑j=1

∆j(k)λrj(k) ρ(λj(k), t+ T − τ), при t < τ .

Визначники ∆j(k) порядку n − 1 мають елементи, якi є степенями чисел

λ1, . . . , λn, тому вони обмеженi, зокрема

∆j(k) 6 (n− 1)!A(n−1)(n−2)/21 . (3.33)

Враховуючи нерiвностi (3.6) та (3.33), отримаємо оцiнки

∣∣∣∣∣∂rGk(t, τ)

∂tr

∣∣∣∣∣ 6 C8kr−n+1

∆

M

n∑j=1

|ρ(λj(k), t− τ)|, при t > τ ;n∑j=1

|ρ(λj(k), t+ T − τ)|, при t < τ ,

де C8 = (n− 1)!A(n−1)(n−2)/2+r1 .

69

Iз нерiвностей (3.13), (3.14) та теорем 3.3 i 3.4 випливає, що для майже

всiх (стосовно мiри Лебега в R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA та

параметра µ ∈ OM \ Vε виконуються нерiвностi:∣∣∣∣∣∂rGk(t, τ)

∂tr

∣∣∣∣∣ 6 C9kσ+r+1, (3.34)

де C9 — стала величина i σ > pn/2− n.З формули iнтегрування (3.29) та нерiвностi (3.34) для всiх k ∈ Zp \K∆

отримаємо оцiнки

|u(r)k (t)| 6 C9k

σ+rT maxt|fk(t)|, r = 0, 1, . . . , n− 1, (3.35)

i теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (3.25), (3.26) у Hnq (Dp).

Теорема 3.6. Нехай µ ∈ OM \ Vε i f ∈ H0q+σ(Dp), де σ > pn/2− n та

виконуються умови теореми 3.1. Тодi для майже всiх (стосовно мiри

Лебега в R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA iснує єдиний розв’язок

задачi (3.25), (3.26) з простору Hnq (Dp). Цей розв’язок неперервно зале-

жить вiд функцiї f .

Доведення. Пiднесемо обидвi частини (3.35) до квадрату i одержимо:

|u(r)k (t)|2 6 C2k2σ+2rT 2 max

t|fk(t)|2, r = 0, 1, . . . , n−1, k ∈ Zp\K∆. (3.36)

Запишемо оцiнку для квадрату похiдної n-ого порядку функцiї uk(t)

при k ∈ Zp \K∆:

|u(n)k (t)|2 6 |fk(t)|2 +

n∑j=1

|bj(k)|2|u(n−j)k (t)|2 6

6 |fk(t)|2 + const k2σ+2n maxt|fk(t)|2. (3.37)

Тодi з формул (3.30), (3.36) i (3.37) отримаємо нерiвнiсть

‖u‖2Hnq (Dp) 6 C10‖f‖2

H0q+σ(Dp),

де C10 > 0 — стала величина, звiдки й випливає твердження теореми.

70

3.1.3. Знайдемо умови розв’язностi нелокальної крайової задачi (3.25),

(3.2) у просторi Hnq (Dp).


функцiю u = u(t, z) з простору Hnq (Dp), яка для t ∈ [0, T ] задовольняє


Розв’язок задачi (3.25), (3.2) можна представити у виглядi суми

u = v + w, (3.38)

де v = v(t, z) —розв’язок задачi (3.1), (3.2), а w = w(t, z) —розв’язок задачi

(3.25), (3.26), якi зображаються формулами (3.11) (с. 57) та (3.30) (с. 67)

вiдповiдно.


дачi (3.25), (3.2) у просторi Hnq (Dp).

Теорема 3.7. Нехай справджуються умови теореми 3.1 та вико-

нуються такi належностi: µ ∈ OM \ Vε та f ∈H0q+σ(Dp), ϕ0 ∈Hγ(Sp),

ϕ1∈Hγ−1(Sp), . . . , ϕn−1∈Hγ−n+1(Sp), де σ>pn/2−n, γ>q+pn/2. Тодi для

майже всiх (стосовно мiри Лебега в R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з

множини OpA iснує єдиний розв’язок задачi (3.25), (3.2) з простору Hn

q (Dp).Цей розв’язок неперервно залежить вiд функцiй ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1 i f .

Доведення. Оскiльки розв’язок u(t, z) є сумою (3.38), то

‖u‖2 6 ‖v‖2 + ‖w‖2

i з теорем 3.2 i 3.6 маємо оцiнку

‖u‖2Hnq (Dp) 6 C11

( n−1∑j=0

‖ϕj‖2Hγ−j(Sp) + ‖f‖2

H0q+σ(Dp)

),

де C11 = max (C4, C10) > 0 — стала величина, звiдки й випливає тверджен-

ня теореми.

71

3.2. Задача для диференцiально-операторного рiвняння у

просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора

У цьому пiдроздiлi дослiджено нелокальнi крайовi задачi для диферен-

цiально-операторних рiвнянь у просторах функцiй багатьох комплексних

змiнних, що є рядами Дiрiхле–Тейлора з фiксованим спектром. Для побу-

дови оцiнок знизу малих знаменникiв, що виникли при побудовi розв’яз-

кiв дослiджуваних задач, використано метричний пiдхiд, який дав змогу

встановити умови однозначної розв’язностi задач для майже всiх векторiв,

складених з коефiцiєнтiв рiвнянь та параметрiв крайових умов. Оцiнки ма-

лих знаменникiв залежать вiд асимптотики спектру рядiв Дiрiхле–Тейлора.

3.2.1. Дослiдимо питання однозначної розв’язностi нелокальної крайо-

вої задачi (3.1), (3.2) (с. 51) у класi функцiй зi спектром

N = νk = (ν1k, . . . , νpk) ∈ Rp : k ∈ Zp,

а саме у просторi HN nq (Dp), де q ∈ R.

Якщо u ∈ HN nq (Dp) i u =

∑k∈Zp

uk(t)zνk , то Bju =

∑k∈Zp

νkjuk(t)zνk , тому

Bju ∈ HN nq−1(Dp), j = 1, . . . , p. Аналогiчно, справедливими є належностi

Bsu ∈ HN nq−|s|(Dp), L

( ∂∂t, B)u ∈ HN 0

q−n(Dp), Mmu ∈ HNq−m(Sp), де

m = 0, 1, . . . , n − 1. Тодi з необхiднiстю ϕm ∈ HNq−m(Sp) i розвинення

функцiй ϕm у ряди Фур’є мають вигляд ϕm(z) =∑k∈Zp

ϕmkzνk .

Як i у пунктi 3.1, коефiцiєнти as0,s рiвняння (3.1) розглядатимемо у

крузi OA, параметр µ з умов (3.2) — у крузi OM , де A та M —додатнi фiк-

сованi числа. Комплексний простiр C ототожнюємо з дiйсним простором

R2 з мiрою Лебега у ньому.

Нехай для кожного вектора ν = (ν1, . . . , νp) ∈ Rp число ν i функцiю

ζN : R→ R визначають вiдповiдно формули

ν =√

1 + ν21 + . . .+ ν2

p ,

ζN (x) =∑ν∈N

ν−x.

72

Очевидно, що для x60 ряд∑ν∈N

ν−x є розбiжним. Припустимо, що ζN (θ)<∞

для деякого θ > 0, тодi ζN (x) < ζN (θ) <∞ для всiх x > θ, тобто функцiя

ζN iснує на iнтервалi [θ,∞).

Число θ задає асимптотику спектру N , а саме швидкiсть зростання

послiдовностi νk при k → ∞. Зокрема, у випадку νk = k функцiя

ζN (x) =∑k∈Zp

k−x iснує для кожного x > θ > p. Ще в одному випадку,

коли νk = (kα11 , . . . , k

αpp ), де α1 > 0, . . . , αp > 0, функцiя

ζN (x) =∑k∈Zp

(1 + k2α11 + . . .+ k2αp

p )−x/2

очевидно iснує для кожного x > θ > p/α, тобто на iнтервалi (p/α,∞),

де α = min16i6p

αi. Отже, граничне значення для числа θ залежить вiд роз-

мiрностi областi Dp (пряма залежнiсть) та швидкостi зростання спектру N(обернена залежнiсть).


функцiю u = u(t, z) з простору HN nq (Dp), яка для кожного t ∈ [0, T ] задо-

вольняє рiвняння (3.1) i умови (3.2) у просторi WN ′.

Розв’язок задачi (3.1), (3.2) має вигляд

u(t, z) =∑k∈Zp

uk(t)zνk, (3.39)

де νk ∈ N , а функцiї uk = uk(t), k ∈ Zp, є класичними розв’язками вiдпо-

вiдних задач для звичайних диференцiальних рiвнянь

u(n)k +

n∑j=1

bj(νk)u(n−j)k = 0, (3.40)

µu(m)k

∣∣t=0− u(m)

k

∣∣t=T

= ϕmk, (3.41)

де m = 0, 1, . . . , n− 1, i для кожного ν ∈ Rp

bj(ν)=

j∑|s|=0

an−j,sνs=

j∑|s|=0

an−j,s1,...,spνs11 . . . νspp , j = 1, . . . , n.

73

Пронормуємо коефiцiєнти bj(ν), j = 1, . . . , n, рiвняння (3.40), подаючи

їх у виглядi bj(ν) = νj bj(ν). Оскiльки bj(ν) лiнiйно залежать вiд параметрiв

an−j,s, то i величини bj(ν) також лiнiйно залежать вiд an−j,s i рiвномiрно

обмеженi за ν, j i as0,s. Зокрема для bj(ν) можна записати нерiвнiсть

|bj(ν)| 6 max|s|6j|an−j,s|

1

νj

j∑|s|=0

|νs| 6 A

j∑σ=0

1

νj−σ

∑|s|=σ

p∏l=1

(|νl|ν

)sl6

6 A

j∑σ=0

νσ−j∑|s|=σ

1 = A

j∑σ=0

νσ−jCσσ+p−1 6 ACj

p+j.

Числа λ1 = λ1(ν), . . . , λn = λn(ν) є коренями многочлена

Pν(λ) =n∏j=1

(λ− λj(ν)) = λn +n∑j=1

bj(ν)λn−j.

Для них виконуються такi нерiвностi [91, с. 381]:

|λj(ν)| 6 1 + max|b1(ν)|, . . . , |bn(ν)| < A1 = 1 + Cnp+nA. (3.42)

Числа γj(ν) = νλj(ν) є коренями характеристичного рiвняння

γn + b1(ν)γn−1 + . . .+ bn(ν) = 0

для диференцiального рiвняння (3.40), |γj(ν)| = ν|λj(ν)|.Позначимо через N∆ множину тих векторiв ν ∈ N , при яких многоч-

лен Pν(λ) має кратнi коренi, а вiдповiдну множину векторiв k—через K∆.

У випадку рiзних коренiв λ1(ν), . . . , λn(ν), тобто ν ∈ N \ N∆, загальний

розв’язок рiвняння (3.40) має вигляд

uk(t) =n∑l=1

Ckleνkλl(νk)t, k ∈ Zp \K∆, ν = νk, (3.43)

де Ckl —довiльнi комплекснi сталi.

Якщо uk(t) є розв’язком задачi (3.40), (3.41), то Ckl = (µ−eνkλl(νk)T )Ckl,

74

l = 1, . . . , n, є розв’язком системи алгебричних рiвнянь

1 1 . . . 1

λ1(νk) λ2(νk) . . . λn(νk)

λ21(νk) λ2

2(νk) . . . λ2n(νk)

. . . . . . . . . . . .

λn−11 (νk) λn−1

2 (νk) . . . λn−1n (νk)

Ck1

Ck2

Ck3

. . .

Ckn

=

ϕ0k

ϕ1k/νk

ϕ2k/ν2k

. . .

ϕn−1,k/νn−1k

(3.44)

i навпаки, якщо числа Ck1, Ck2, . . . , Ckn утворюють розв’язок системи лiнiй-

них алгебраїчних рiвнянь (3.44), то функцiя uk(t), що задається формулою

(3.43), в якiй Ckl = Ckl/(µ− eνkλl(νk)T ), є розв’язком задачi (3.40), (3.41).

Розв’яжемо систему (3.44) за правилом Крамера та отримаємо

Ckl =n−1∑j=0

∆jl(νk)

∆(νk)ν−jk ϕjk, l = 1, . . . , n,

де ∆(ν) =∏

16r<q6n(λq(ν)−λr(ν)) 6= 0 — визначник Вандермонда, а ∆jl(ν) —

вiдповiднi алгебричнi доповнення його елементiв.

Сформулюємо теорему єдиностi розв’язку задачi (3.1), (3.2) у HN nq (Dp).


HN nq (Dp) необхiдно i достатньо, щоб рiвняння

(lnµ− i2πm)n +n∑j=1

bj(ν)T j(lnµ− i2πm)n−j = 0

не мало розв’язкiв на множинi Z×N .

Доведення теореми проводиться за схемою доведення теореми 3.1 (с. 56).

В умовах теореми 3.8 для довiльного k ∈ Zp розв’язок uk(t) задачi

(3.40), (3.41) iснує, а при k ∈ Zp \K∆ має такий вигляд:

uk(t) =n∑l=1

n−1∑j=0

∆jl(νk)

∆(νk)

eνkλl(νk)t

µ− eνkλl(νk)Tν−jk ϕjk. (3.45)

Оцiнку розв’язку (3.45) та його похiдних порядку r=0, 1, . . ., n дає формула

75

|u(r)k (t)|2 6 n3 1

|∆(νk)|2maxj,l|∆jl(νk)|2×

×|λl(νk)|2rmax1<l<n

∣∣∣∣ eνkλl(νk)t

µ−eνkλl(νk)T

∣∣∣∣2 · n−1∑j=0

|νr−jk ϕjk|2.

На основi формул (3.39) i (3.45) отримаємо формальне зображення роз-

в’язку задачi (3.1), (3.2) з простору HN nq (Dp) у виглядi ряду

u(t, z) =∑k∈K∆

uk(t)zνk +

∑k∈Zp\K∆

n∑l=1

n−1∑j=0

∆jl(νk)

∆(νk)

eνkλl(νk)t

µ− eνkλl(νk)Tν−jk ϕjkz

νk.

(3.46)

Для визначникiв ∆jl(ν) порядку n− 1 для довiльних ν ∈ Rp маємо оцiнку

|∆jl(ν)| < (n− 1)!An(n−1)/21 . (3.47)

Доведемо теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (3.1), (3.2) у

просторi HN nq (Dp).

Теорема 3.9. Нехай справджуються умови теореми 3.8, та для дея-

ких дiйсних чисел η1, η2 для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв ν ∈ Nвиконуються нерiвностi

|∆(ν)| > ν−η1, (3.48)∣∣∣∣ eνλl(ν)t

µ− eνλl(ν)T

∣∣∣∣ 6 νη2, l = 1, . . . , n. (3.49)

Якщо справедливими є належностi ϕ0 ∈ HNγ(Sp), ϕ1 ∈ HNγ−1(Sp), . . . ,ϕn−1 ∈ HNγ−n+1(Sp), де γ = q + η1 + η2, то iснує єдиний розв’язок задачi

(3.1), (3.2) з простору HN nq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд

функцiй ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1.

Доведення. З умов теореми випливає, що для всiх ν ∈ N \ N∆ для

кожного r = 0, 1, . . . , n справедливi нерiвностi

|u(r)k (t)|2 6 C12|νk|2η1+2η2

n−1∑j=0

|νr−jk ϕjk|2, (3.50)

76

де C12 = n3An(n−1)+2r1

((n − 1)!

)2, t ∈ [0, T ]. Нерiвностi (3.50) отримано на

основi оцiнок (3.47)— (3.49). Якщо ν ∈ N , то модулi функцiй uk(t) та їх

похiдних обмеженi сталою.

З оцiнки (3.50) одержимо нерiвнiсть

‖u‖2HNn

q (Dp) 6 C13

n−1∑j=0

‖ϕj‖2HNγ−j(Sp),

де C13 > 0 — величина, яка залежить вiд коефiцiєнтiв рiвняння (3.1). З

отриманої нерiвностi випливає твердження теореми.

Встановимо умови при яких виконується нерiвнiсть (3.48). Для цього,

як i у пунктi 3.1, подамо лiву частину Lu рiвняння (3.1) у виглядi

Lu = a0,n,0,...,0Bn1u+ . . .+ a0,0,...,nB

npu+ L1u

i вивчатимемо (3.48) у залежностi вiд вектора (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з мно-

жини OpA.

Теорема 3.10. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в просторi R2p)

векторiв (a0,n,0,...,0, . . ., a0,0,...,n) ∈ OpA нерiвнiсть (3.48) виконується при

η1 = (n− 1)θ/2 для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв ν ∈ N .

Розглянемо умови виконання нерiвностi (3.49). Позначимо

ρν(λ, t) =eνλt

µ− eνλT,

тодi дроби з (3.49) дорiвнюватимуть ρν(λl(ν), t), де l = 1, . . . , n. Послi-

довнiсть знаменникiв функцiї ρν(λl(ν), t) може мати збiжнi до нуля пiд-

послiдовностi, тобто мiстити малi знаменники. Для оцiнювання даної ве-

личини ρν(λl(ν), t), як функцiї ν, аналогiчно як для оцiнювання величини

ρ(λl(k), t) у пунктi 3.1, побудуємо винятковi множини малої мiри на комп-

лекснiй площинi для параметра µ.

Виберемо додатне число χN з умови 32nζN (θ)T 2χ2N = π. Нехай ε < 1 i,

додатково,√ε < ln 2/(2χNT ). Позначимо χ1N=

√εχN ν

−θ/2, µlν=eνλl(ν)T .

77

Аналогiчно до множин Vl(k), Vl,2(k), Vl,1(k) з пункту 3.1, для тих

l = 1, . . . , n та ν ∈ N , що задовольняють умову |µlν| < 2M , виберемо

множини VNl(ν), VNl,2(ν) i VNl,1(ν), якi задаються формулами

VNl(ν) =λ ∈ C : |Re (λ− λl(ν))| < χ1N

2, |Im (λ− λl(ν))| < χ1N

2

,

VNl,2(ν) =µ∈C : e−χ1NT/2 6

∣∣∣ µµlν

∣∣∣ 6 eχ1NT/2,∣∣∣ arg

µ

µlν

∣∣∣ 6 χ1NT/2,

VNl,1(ν) =µ∈C : e−χ1NT6

∣∣∣ µµlν

∣∣∣ 6 eχ1NT ,∣∣∣ arg

µ

µlν

∣∣∣ 6 χ1NT.

Об’єднаємо винятковi множини VNl,1(ν) в одну виняткову множину

VNε =⋃ν∈N ;|µlν |62M

n⋃l=1

VNl,1(ν) (3.51)

з мiрою meas VNε 6 ε measOM . Параметр µ вважатимемо елементом мно-

жини OM \ VNε, мiра якої має оцiнку meas (OM \ VNε) > (1− ε)measOM .

Теорема 3.11. Якщо η2 = θ/2, то для всiх µ ∈ OM \ VNε функцiя

ρν(λ, t) поза областю VNl(ν)× [0, T ] має оцiнку зверху

|ρν(λ, t)| 6τ√ενη2, (3.52)

де τ = 8 max2, 1/|µ|√

2πnζN (θ) ∈ R, τ > 0.

Оскiльки λl(ν) ∈ VNl(ν) i∣∣∣∣ eνλl(ν)t

µ− eνλl(ν)T

∣∣∣∣ = |ρν(λl(ν), t)|, то (3.49) вико-

нується для всiх µ ∈ OM \ VNε.

Теорема 3.12. Нехай виконуються умови теореми 3.8, µ ∈ OM\VNε,

де VNε задається рiвнiстю (3.51), ϕ0 ∈ HNq+γ(Sp), ϕ1 ∈ HNq−1+γ(Sp),. . . , ϕn−1 ∈ HNq−n+1+γ(Sp), де γ = nθ/2. Тодi для майже всiх (стосов-

но мiри Лебега в R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA iснує єдиний

розв’язок задачi (3.1), (3.2) з простору HN nq (Dp). Цей розв’язок неперерв-

но залежить вiд правих частин умов (3.2).

Доведення теорем 3.10, 3.11 та 3.12 проводяться за схемою доведення

теорем 3.3 (с. 58), 3.4 (с. 63) i 3.5 (с. 65) вiдповiдно.

78

3.2.2. Розглянемо задачу з однорiдними двоточковими нелокальними

умовами для неоднорiдного диференцiально-операторного рiвняння (3.25),

(3.26) та дослiдимо питання її однозначної розв’язностi у класi функцiй зi

спектром N .




Розв’язок даної задачi (3.25), (3.26) шукаємо у виглядi ряду (3.39) (с. 72),

де коефiцiєнти uk(t) для кожного k ∈ Zp є класичними розв’язками вiдпо-

вiдних задач для звичайних диференцiальних рiвнянь

u(n)k +

n∑j=1

bj(νk)u(n−j)k = fk(t), (3.53)

µu(m)k

∣∣t=0− u(m)

k

∣∣t=T

= 0, m = 0, 1, . . . , n− 1, (3.54)

де bj(ν)=j∑|s|=0

an−j,sνs=

j∑|s|=0

an−j,s1,...,spνs11 . . . ν

spp , а функцiї fk(t) є коефiцiєн-

тами Фур’є функцiї f(t, z).

Розв’язок задачi (3.53), (3.54) зображається формулою (3.29) (с. 67), де

Gk(t, τ) —функцiя Грiна задачi (3.40), (3.54).

Функцiя Грiна Gk(t, τ) iснує тодi i тiльки тодi, коли виконується умова

µ − eνλj(ν)T 6= 0. В умовах теореми 3.8 задача (3.25), (3.26) може мати не

бiльше одного розв’язку.

На основi формул (3.39), (3.29) одержимо формальне зображення роз-

в’язку задачi (3.25), (3.26) у виглядi ряду

u(t, z) =∑k∈Zp

zνk

T∫0

Gk(t, τ)fk(τ)dτ. (3.55)

Для всiх k ∈ Zp\K∆ у квадратi KT = (t, τ) ∈ R2+ : 0 6 t 6 T, 0 6 τ 6 T

79

функцiї Gk(t, τ) визначаються формулою

Gk(t, τ) =1

∆ νn−1k

µ

n∑j=1

∆j(νk) ρν(λj(νk), t−τ), t>τ ;n∑j=1

∆j(νk) ρν(λj(νk), t+T−τ), t<τ .

де ∆j(ν) =∏

16r<q6nq,r 6=j

(λq(ν) − λr(ν)) є визначником |λm−1l |l=1,...,n, l 6=j,

m=1,...,n−1порядку

n− 1 i має оцiнку

∆j(ν) 6 (n− 1)!A(n−1)(n−2)/21 . (3.56)

Враховуючи нерiвностi (3.42) та (3.56) отримаємо такi оцiнки:

∣∣∣∣∣∂rGk(t, τ)

∂tr

∣∣∣∣∣ 6 C14νr−n+1k

∆

M

n∑j=1

|ρν(λj(νk), t− τ)|, при t > τ ;n∑j=1

|ρν(λj(νk), t+ T − τ)|, при t < τ ,

де C14 = (n− 1)!A(n−1)(n−2)/2+r1 .



параметра µ ∈ OM \ VNε, виконуються оцiнки∣∣∣∣∣∂rGk(t, τ)

∂tr

∣∣∣∣∣ 6 C15νσ+r+1k , (3.57)

де C15 — стала величина i σ = (θ/2− 1)n.

Для всiх νk ∈ N \N∆ та r = 0, 1, . . . , n−1 з формули (3.29) та нерiвностi

(3.57) отримаємо оцiнки |u(r)k (t)| 6 C15ν

σ+rk T max

t|fk(t)|.

Наведемо формулювання теореми iснування та єдиностi розв’язку зада-

чi (3.25), (3.26) у просторi HN nq (Dp), доведення якої проводиться шляхом

доведення теореми 3.6 (с. 69).

Теорема 3.13. Нехай µ ∈ OM\VNε i f ∈ HN 0q+σ(Dp), де σ=(θ/2−1)n, а

множину VNε задає формула (3.51), та виконуються умови теореми 3.8.

Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . ,

a0,0,...,n) ∈ OpA iснує єдиний розв’язок задачi (3.25), (3.26) з HN n

q (Dp). Цей

розв’язок неперервно залежить вiд функцiї f .

80

3.2.3. Використовуючи результати отриманi при дослiдженнi задач (3.1),

(3.2) та (3.25), (3.26), розглянемо питання однозначної розв’язностi у класi

функцiй зi спектром N задачi (3.25), (3.2).




Розв’язок цiєї задачi зображається у виглядi суми u = v + w, де

v = v(t, z) —розв’язок задачi (3.1), (3.2), а w = w(t, z) —розв’язок задачi

(3.25), (3.26), якi зображаються формулами (3.46) (с. 75) i (3.55) (с. 78)

вiдповiдно.

Наступна теорема iснування та єдиностi розв’язку задачi (3.25), (3.2) у

просторi HN nq (Dp) базується на теоремах 3.12 i 3.13, а її доведення анало-

гiчне до доведення теореми 3.8 (с. 74).

Теорема 3.14. Нехай справджуються умови теореми 3.8 та викону-

ються належностi µ ∈ OM \ VNε та f ∈ HN 0q+γ−n(Dp), ϕ0 ∈ HNq+γ(Sp),

ϕ1 ∈ HNq+γ−1(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ HNq+γ−n+1(Sp), де γ = nθ/2, множина VNε

задається рiвнiстю (3.51). Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега

в R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA iснує єдиний розв’язок задачi

(3.25), (3.2) з простору HN nq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд

правих частин ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1 i f .

81

3.3. Задача для диференцiально-операторного рiвняння в

уточненiй шкалi просторiв Соболєва функцiй

комплексних змiнних

У даному пiдроздiлi встановлено умови однозначної розв’язностi

нелокальних крайових задач з одним параметром (у нелокальних

умовах) для диференцiального рiвняння з оператором диференцiюван-

ня B = (z1∂

∂z1, . . . , zp

∂

∂zp) у гiльбертових просторах Хермандера. Останнi

складаються з функцiй багатьох комплексних змiнних i утворюють уточ-

нену соболєвську шкалу. Такi задачi є некоректними за Адамаром i їх роз-

в’язнiсть обумовлена проблемою малих знаменникiв, для вирiшення якої

використано метричний пiдхiд.

3.3.1. Встановимо умови розв’язностi задачi для однорiдного диферен-

цiально-операторного рiвняння (3.1) з двоточковими нелокальними неодно-

рiдними умовами (3.2) в уточненiй соболєвськiй шкалi Hn,ψq (Dp)q∈R,ψ∈M

(див. п. 2.2, с. 36).


функцiю u = u(t, z) з простору Hn,ψq (Dp), яка для t ∈ [0, T ] задовольняє


Для встановлення достатнiх умов на функцiї ϕ0, ϕ1, . . . , ϕm−1, за яких

обернений оператор задачi (3.1), (3.2), що вiдображає їх у функцiю u—

розв’язок даної задачi з простору Hn,ψq (Dp), iснує та є неперервним у вка-

занiй уточненiй шкалi Соболєва, використовуємо метричний пiдхiд [74].

Розглядаємо множину задач (3.1), (3.2), що параметризується коефi-

цiєнтами as0,s рiвняння (3.1) i коефiцiєнтом µ в умовах (3.2). Вважаємо,

що всi коефiцiєнти as0,s розглядаються у крузi OA ⊂ C, параметр µ—у

крузi OM ⊂ C, де A та M —додатнi фiксованi числа. Для обчислення мiр

множин комплексних чисел утотожнюємо, як у попереднiх пiдроздiлах,

простiр C з дiйсним простором R2 з плоскою мiрою Лебега.

82

Введемо i зафiксуємо функцiї ωj : R→ [0,+∞] за формулою

ωj(r) =∑k∈Zp

k−pψ−rj (k), j = 1, 2, (3.58)

де ψj ∈M, r ∈ R та ω1

( 2

n− 1

)<∞, ω2(2) <∞. Функцiї ψ1 та ψ2 з такими

властивостями iснують i, зокрема, фiгурують у прикладi 2.3 (с. 37). Нехай

справджується спiввiдношення ψ1ψ2 = ψn2 , тодi якщо виконується умова

ω1

( 2

n− 1

)<∞, то виконується умова ω2(2) <∞, i навпаки.

Розв’язок задачi (3.1), (3.2) побудовано у пунктi 3.1, а його формальне

зображення подається рядом (3.11) (с. 57). Зокрема, теорема 3.1 (с. 56)

виступає теоремою єдиностi цього розв’язку i у просторi Hn,ψq (Dp).


дачi (3.1), (3.2) у просторi Hn,ψq (Dp).

Теорема 3.15. Нехай справджуються умови теореми 3.1 та для всiх

(крiм скiнченного числа) векторiв k ∈ Zp виконуються нерiвностi

|∆(k)| >(ψ1(k)kη1

)−1, (3.59)∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− ekλl(k)T

∣∣∣∣ 6 ψ2(k)kη2, l = 1, . . . , n, (3.60)

для деяких дiйсних чисел η1, η2 та функцiй ψ1 i ψ2 з множиниM. Якщо

ϕ0 ∈ Hψq+γ(Sp), ϕ1 ∈ Hψ

q−1+γ(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ Hψq−n+1+γ(Sp), де γ = η1+η2,

ψ = ψψ1ψ2, ψ ∈M, то iснує єдиний розв’язок задачi (3.1), (3.2) з просто-

ру Hn,ψq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд правих частин ϕ0,

ϕ1, . . . , ϕn−1.

Доведення. Позначимо через K скiнченну множину тих k ∈ Zp, для

яких не виконується хоча б одна з нерiвностей (3.59) або (3.60), i в записi

розв’язку (3.11) замiнимо множину K∆ на множину K. Оскiльки ∆(k) = 0

для k ∈ K∆, то K∆ ⊂ K.

З умов теореми маємо iснування розв’язку uk задачi (3.4), (3.5) з просто-

83

ру Cn[0, T ], причому з оцiнок (3.12), (3.59) та (3.60) випливають нерiвностi

|u(r)k (t)|2 6 C16ψ

21(k)ψ2

2(k)k2η1+2η2

n−1∑j=0

|kr−jϕjk|2, r = 0, 1, . . . , n, (3.61)

для k ∈ Zp \K, де C16 = n3An(n−1)+2r1

((n− 1)!

)2, t ∈ [0, T ].

Оскiльки ψ ∈ M, то Hψq (Sp) є простором iз введеної шкали просторiв,

тому з формул (3.13) i (3.61) одержимо нерiвнiсть

‖u‖2Hn,ψq (Dp) 6 C17

n−1∑j=0

‖ϕj‖2

Hψq+γ−j(Sp)

,

де C17 — величина, яка залежить вiд параметрiв задачi (3.1), (3.2).

Вивчимо умови, за яких виконується нерiвнiсть (3.59). Для цього вико-

ристаємо ранiше введенi функцiї ω1 та ψ1 i вектор (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n)

з множини OpA, вiд компонент якого лiнiйно залежить лiва частина Lu рiв-

няння (3.1), тобто можна видiлити незалежну вiд них частину L1 оператора

L так, щоб

Lu = a0,n,0,...,0Bn1u+ . . .+ a0,0,...,nB

npu+ L1u.

Теорема 3.16. Нехай η1 = p(n − 1)/2, ψ1 ∈ M i ω1

( 2

n− 1

)< ∞,

тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в просторi R2p) векторiв

(a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA нерiвнiсть (3.59) виконується для всiх (крiм

скiнченного числа) векторiв k ∈ Zp при ψ1 = ψ1.

Доведення. Проведемо доведення даної теореми за схемою доведення

теореми 3.3. Величина ∆2(k) =∏

16r<q6n(λq(k) − λr(k))2 є дискримiнантом

D(k) полiнома Pk(λ), який визначається за коефiцiєнтами цього полiнома

формулою (3.16).

Доведемо, що для майже всiх векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n), якi нале-

жать множинi OpA, за досить великих k справджується оцiнка

|ReD(k)| > ψ−21 (k)k−2η1. (3.62)

84

Позначимо через EΨ множину векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ OpA, для

яких протилежна до (3.62) нерiвнiсть

|ReD(k)| < ψ−21 (k)k−2η1 (3.63)

виконується для безлiчi векторiв k ∈ Zp, а через EΨk —множину

тих векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n), для яких нерiвнiсть (3.63) правильна

при фiксованому k ∈ Zp. Вважатимемо, не порушуючи загальностi, що

|k1| = max16i6n

|ki|. Коефiцiєнт a0,n,0,...,0 позначимо через α = α1 + iα2, де α1 —

дiйсна, а α2 —уявна частини α. Iз (3.16) при k 6= 0 можна отримати, що

D(k) = (−1)n(n−1)nnbn−1n (k) + F = (−1)n(n−1)nn

((k1

k

)nα + . . .

)n−1

+ F ,

де F i F вiдповiдно мiстять степенi bn(k) i α меншi за n − 1. Запишемо

дiйсну частину величини D(k) у виглядi

ReD(k)=(−1)n(n−1)nn(Re bn(k)

)n−1+F1=(−1)n(n−1)nn

(k1

k

)n(n−1)

αn−11 +F1,

де F1 i F1 мiстять степенi Re bn(k) i α1 меншi за n − 1. Позначимо через

EΨ1k множину значень α1 векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) ∈ EΨk, для яких

фiксованими є дiйснi та уявнi частини всiх компонент, крiм α1, i знайдемо

оцiнку її мiри. Оскiльки виконується нерiвнiсть∣∣∣∣∂n−1ReD(k)

∂αn−11

∣∣∣∣ = nn(n− 1)!

(|k1|k

)n(n−1)

> C18,

де C18 = nn(n − 1)!(p + 1)−n(n−1)

2 , то за лемою 2.3 (с. 47) справджується

оцiнка

meas EΨ1k 6 min

2√A2 − α2

2, C19(n)( 1

C18ψ−2

1 (k)k−2η1

) 1n−1

,

де C19(n) = 2n [29], або (точне значення) C19(n) = 4 n

√n!

2[98]. Проiнтегру-

вавши останню оцiнку в областi [−A,A]×Op−1A , отримаємо, що

meas EΨk 6 C20

(ψ1(k)

)− 2n−1 k−

2η1n−1 , C20 = C20(n, p, A) > 0.

85

Оскiльки meas EΨ 6∑k∈Zp

meas EΨk i2η1

n− 1= p, то за умов теореми

∑k∈Zp

meas EΨk 6 C20ω1

( 2

n− 1

)<∞.

Отже, згiдно з формулою (3.58) i лемою 2.2 Бореля-Кантеллi мiра множини

EΨ дорiвнює нулевi.

Якщо (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) 6∈ EΨ, то з формул (3.62) i |∆(k)|2 = |D(k)| >|ReD(k)| отримаємо, що оцiнка (3.59) виконується для всiх k ∈ Zp (крiм

скiнченного числа, яке залежить вiд as0,s).

Розглянемо умови виконання нерiвностi (3.60), для чого використаємо

схему дослiдження нерiвностi (3.14) (с. 57) та ранiше введенi функцii ω2 та

ψ2 ∈M.

Виберемо додатнi числа η2 i χψ з умов η2 =p

2, 32nω2(2)T 2χ2

ψ = π. Нехай

ε < 1 i√ε < ln 2/(2χψT ). Позначимо χ1ψ = χ1ψ(k) =

√εχψψ

−12 (k)k−η2,

µl(k) = ekλl(k)T .

Аналогiчно до вибору множин Vl(k), Vl,2(k) i Vl,1(k) з пункту 3.1, для

тих l = 1, . . . , n та k ∈ Zp, що задовiльняють умову |µl(k)| < 2M , виберемо

множини VΨl(k), VΨl,2(k) i VΨl,1(k) так:

VΨl(k) =λ ∈ C : |Re (λ− λl(k))| < χ1

2, |Im (λ− λl(k))| < χ1

2

—квадрат

зi стороною χ1ψ, центром λl(k);

VΨl,2(k) =µ∈C : e−χ1T/2 6

∣∣∣ µ

µl(k)

∣∣∣ 6 eχ1T/2,∣∣∣ arg

µ

µl(k)

∣∣∣ 6 χ1T/2— образ

квадрата VΨl(k) при вiдображеннi λ→ ekλT ;

VΨl,1(k) =µ∈C : e−χ1T 6

∣∣∣ µ

µl(k)

∣∣∣ 6 eχ1T ,∣∣∣ arg

µ

µl(k)

∣∣∣ 6 χ1T— образ

концентричного до VΨl(k) квадрата зi стороною 2χ1ψ

Об’єднавши множини VΨl,1(k) в одну виняткову множину

VΨε =⋃k∈Zp;

|µl(k)|62M

n⋃l=1

VΨl,1(k), (3.64)

запишемо оцiнку зверху її мiри meas VΨε 6 ε measOM .

86

Параметр µ вважатимемо елементом множини OM \VΨε, для мiри якої

маємо знизу оцiнку

meas (OM \ VΨε) > (1− ε)measOM . (3.65)

Теорема 3.17. Якщо η2 = p/2, ψ2 ∈M i ω2(2)<∞, то для всiх век-

торiв µ∈OM\VΨε функцiя ρ(λ, t) поза областю VΨl(k)×[0, T ] має оцiнку

|ρ(λ, t)| 6 τ√εψ2(k)kη2,

де τ = 8 max2, 1/|µ|√

2πnω2(2) <∞.

Доведення теореми проводиться за схемою доведення теореми 3.4 (с. 63).

Оскiльки λl(k) ∈ VΨl(k) i∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− ekλl(k)T

∣∣∣∣ = |ρ(λl(k), t)|, то оцiнка (3.60)

виконується для всiх µ ∈ OM \ VΨε, якщо ψ2 =τ√εψ2.

Сформулюємо та доведемо теорему iснування та єдиностi розв’язку за-

дачi (3.1), (3.2) у просторi Hn,ψq (Dp).

Теорема 3.18. Нехай множина VΨε задається формулою (3.64),

γ=pn/2, ψ=ψψ1ψ2, де ψ, ψ1 i ψ2 належать множинiM i ω1

( 2

n− 1

)<∞,

ω2(2) < ∞, а функцiї ωj(r) визначенi рiвнiстю (3.58), параметр µ нале-

жить множинi OM\VΨε. Тодi у разi ϕ0 ∈ Hψq+γ(Sp), ϕ1 ∈ Hψ

q−1+γ(Sp),. . . , ϕn−1 ∈ Hψ

q−n+1+γ(Sp) для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R2p)

векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з множини OpA iснує єдиний розв’язок за-

дачi (3.1), (3.2) з простору Hn,ψq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить

вiд правих частин умов (3.2).

Доведення. За теоремою 3.16 для майже всiх (стосовно мiри Лебега в

R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з множиниOpA виконується оцiнка (3.59)

для η1 = p(n−1)/2 та ψ1 = ψ1. Згiдно з теоремою 3.17 для довiльного

µ ∈ OM \ VΨε виконується оцiнка (3.60) для η2 = p/2 та ψ2 =τ√εψ2.

Таким чином, з теореми 3.15 випливає як iснування розв’язку задачi (3.1),

(3.2) з простору Hn,ψq (Dp), так i його неперервна залежнiсть вiд функцiй

ϕ0 ∈ Hψq+γ(Sp), ϕ1 ∈ Hψ

q−1+γ(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ Hψq−n+1+γ(Sp).

87

3.3.2. Дослiдимо питання розв’язностi задачi для неоднорiдного дифе-

ренцiально-операторного рiвняння (3.25) з однорiдними нелокальними умо-

вами (3.26) у просторi Hn,ψq (Dp).


функцiю u = u(t, z) з простору Hn,ψq (Dp), яка для t ∈ [0, T ] задовольняє


Розв’язок задачi (3.25), (3.26) побудовано у пунктi 3.1, зображається у

виглядi ряду (3.3) (с. 53), де коефiцiєнти uk(t) задаються формулою (3.29)

(с. 67) з функцiєю Грiна (3.32).



параметра нелокальних умов µ ∈ OM \ VΨε виконуються нерiвностi∣∣∣∣∣∂rGk(t, τ)

∂tr

∣∣∣∣∣ 6 C21ψ1(k)ψ2(k)kσ+r+1, (3.66)

де C21 — стала величина i σ = pn/2− n.З формули (3.29) та нерiвностi (3.66) для всiх k ∈ Zp \K∆ отримаємо

|u(r)k (t)| 6 C21ψ1(k)ψ2(k)kσ+rT max

t|fk(t)|, r = 0, 1, . . . , n− 1, (3.67)

i теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (3.25), (3.26) у Hn,ψq (Dp).

Теорема 3.19. Нехай µ ∈ OM \ VΨε i f ∈ H0,ψq+σ(Dp), де σ = pn/2− n,

ψ=ψψ1ψ2, ψ, ψ1 i ψ2 належать множинiM i ω1

( 2

n− 1

)<∞, ω2(2)<∞,

а функцiї ωj(r) визначенi формулою (3.58), множина VΨε задається рiв-

нiстю (3.64). Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R2p) векторiв

(a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з множини OpA iснує єдиний розв’язок задачi (3.25),

(3.26) з Hn,ψq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд функцiї f .

Доведення. З нерiвностi (3.67) для кожного r = 0, 1, . . . , n − 1 та

k ∈ Zp \K∆ одержимо

|u(r)k (t)|2 6 C2

21ψ21(k)ψ2

2(k)k2σ+2rT 2 maxt|fk(t)|2, (3.68)

88

а для квадрату похiдної n-ого порядку отримаємо оцiнку

|u(n)k (t)|2 6 |fk(t)|2 +

n∑j=1

|bj(k)|2|u(n−j)k (t)|2 6

6 |fk(t)|2 + C22ψ21(k)ψ2

2(k)k2σ+2n maxt|fk(t)|2, (3.69)

де C22 — стала величина, тодi з формул (3.30), (3.68) i (3.69) одержимо

‖u‖2Hn,ψq (Dp) 6 C23‖f‖2

H0,ψq+σ(Dp)

,

де величина C23 > 0 не залежить вiд функцiї f , але залежить вiд кое-

фiцiєнтiв рiвняння (3.25) та параметра µ, звiдки i випливає твердження

теореми.

3.3.3. Встановимо умови однозначної розв’язностi (неоднорiдної) задачi

(3.25), (3.2) у шкалi просторiв Hn,ψq (Dp)q∈R,ψ∈M.


функцiю u = u(t, z) з простору Hn,ψq (Dp), яка для кожного t ∈ [0, T ] задо-

вольняє рiвняння (3.25) i умови (3.2) у просторi W′.

Використовуючи результати отриманi при дослiдженнi задач (3.1), (3.2)

та (3.25), (3.26) у просторi Hn,ψq (Dp), сформулюємо теорему iснування та

єдиностi розв’язку задачi (3.25), (3.2) у шкалi просторiв Hn,ψq (Dp)q∈R,ψ∈M,

доведення якої аналогiчне до доведення теореми 3.7 (с. 70).

Теорема 3.20. Нехай µ ∈ OM \ VΨε, f ∈ H0,ψq+σ(Dp), ϕ0 ∈ Hψ

q+γ(Sp),ϕ1 ∈ Hψ

q−1+γ(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ Hψq−n+1+γ(Sp), де σ = pn/2 − n, γ = pn/2,

ψ = ψψ1ψ2, функцiї ψ, ψ1 i ψ2 належать множинiM i ω1

( 2

n− 1

)<∞,

ω2(2) <∞, а функцiї ωj(r) визначенi формулою (3.58), множина VΨε за-

дається рiвнiстю (3.64). Тодi для майже всiх (стосовно мiри Лебега в

R2p) векторiв (a0,n,0,...,0, . . . , a0,0,...,n) з множини OpA iснує єдиний розв’язок

задачi (3.25), (3.2) з простору Hn,ψq (Dp). Цей розв’язок неперервно зале-

жить вiд функцiй ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn−1 i f .

89


У третьому роздiлi дослiджено коректнiсть крайових задач з нелокаль-

ними однорiдними та неоднорiдними умовами для диференцiально-опера-

торних рiвнянь з частинними похiдними. Розв’язнiсть цих задач пов’язана

iз проблемою малих знаменникiв, яку подолали, застосувавши метричний

пiдхiд до оцiнок знизу малих знаменникiв. Отримано умови однозначної

розв’язностi розглядуваних задач для майже всiх (стосовно мiри Лебега)

коефiцiєнтiв рiвняння та параметра крайових умов у шкалi Hnq (Dp)q∈R

просторiв функцiй багатьох комплексних змiнних, шкалi HN nq (Dp)q∈R

просторiв функцiй з фiксованим спектром N та уточненiй соболєвськiй

шкалi Hn,ψq (Dp)q∈R,ψ∈M.

Основнi результати опублiковано у роботах [31–33,40–42,44,48,50,51,86,

87].

90

РОЗДIЛ 4

ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМ

ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНИХ РIВНЯНЬ

4.1. Задача для системи диференцiально-операторних

рiвнянь у багатовимiрнiй комплекснiй областi

У даному пiдроздiлi розглянуто нелокальну крайову задачу у просторах

функцiй багатьох комплексних змiнних для системи диференцiально-опе-

раторних рiвнянь. Розглядувана задача є некоректною за Адамаром, а її

розв’язнiсть залежить вiд малих знаменникiв, якi виникають при побудовi

розв’язку. Доведено метричнi теореми про оцiнки знизу малих знаменникiв

для всiх (за винятком множини нульової або малої мiри) векторiв, складе-

них з компонент коефiцiєнтiв системи та параметра крайових умов. На

основi цих теорем встановлено достатнi умови iснування розв’язку зада-

чi у просторi Hnq (Dp), де q—довiльне дiйсне число. Знайдено необхiднi та

достатнi умови його єдиностi.

4.1.1. В областi Dp розглянемо систему диференцiальних рiвнянь з час-

тинними похiдними i сталими коефiцiєнтами∑s0+|s|6n

As0,sBs∂

s0u

∂ts0= 0, (4.1)

де As0,s—квадратнi матрицi розмiру m, An,0,...,0 = Im— одинична матриця;

u = u(t, z) = col (u1(t, z), . . . , um(t, z)) — вектор розмiру m, де n,m > 1.

Шукаємо розв’язок u ∈ Hnq (Dp) системи (4.1), що задовольняє нело-

кальнi умови

µ∂ju

∂tj

∣∣∣∣t=0

− ∂ju

∂tj

∣∣∣∣t=T

= ϕj, j = 0, 1, . . . , n− 1, (4.2)

91

де µ ∈ C\0, ϕj = ϕj(z) = col (ϕj1(z), . . . , ϕjm(z)) — заданi вектор-функцiї

розмiру m зi шкали просторiв Hq(Sp)q∈R.

Означення 4.1. Пiд розв’язком задачi (4.1), (4.2) будемо розумiти та-

ку вектор-функцiю u = u(t, z) з простору Hnq (Dp), яка для всiх t ∈ [0, T ]

задовольняє систему (4.1) i умови (4.2) у просторi(W′)m.

4.1.2. Введемо псевдодиференцiальнi оператори. Для цього розглянемо

довiльну послiдовнiсть комплексних чисел F (k), k ∈ Zp. Вона породжує

псевдодиференцiальний оператор

F (B) = F (B1, . . . , Bp) = F(z1

∂

∂z1, . . . , zp

∂

∂zp

),

що дiє на ϕ(z)=∑k∈Zp

φ(k)zk за формулою F (B)ϕ(z) =∑k∈Zp

F (k)φ(k)zk.

Коефiцiєнти φ(k) розвинення ϕ(z) в ряд Фур’є породжують оператор

φ(B). А тому кожнiй функцiї з простору Hq(Sp) вiдповiдає псевдодифе-

ренцiальний оператор φ(B). При цьому ϕ(z) = φ(B)δ(z), де δ(z) =∑k∈Zp

zk.

Аналогiчно, послiдовнiсть функцiй F (t, k), t ∈ [0, T ], породжує опера-

тор F (t, B), функцiя v(t, z) =∑k∈Zp

V (t, k)zk з простору Hnq (Dp) — оператор-

функцiю V (t, B). При цьому v(t, z) = V (t, B)δ(z).

Задача (4.1), (4.2) еквiвалентна задачi з нелокальними умовами для сис-

теми диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку

за часовою змiнною∂v(t, z)

∂t= L(B)v(t, z), (4.3)

µ v(0, z)− v(T, z) = ϕ(z), (4.4)

де шуканий розв’язок вектор-функцiя v = v(t, z) має розмiр mn,

v = col(u,∂u

∂t, . . . ,

∂n−1u

∂tn−1

)= col (v0, v1, . . . , vn−1),

матриця L = L(B) має таку структуру:

L(B) =

0(n−1)m×m I(n−1)m

−Ln(B) −Ln−1(B) . . . −L1(B)

,

92

оператори Lr(B), r = 1, . . . , n, є матрицями порядку m з елементами

Lijr (B), зокрема Lr(B) =∑|s|6r

An−r,sBs, а права частина ϕ=ϕ(z) — вектор

розмiру mn вигляду ϕ(z) = col(ϕ0(z), ϕ1(z), . . . , ϕn−1(z)

). Оскiльки

v(t, z) ≡ V (t, B)δ(z) ≡ col(V0(t, B), V1(t, B), . . . , Vn−1(t, B)

)δ(z),

ϕ(z) ≡ φ(B)δ(z) ≡ col(φ0(B), φ1(B), . . . , φn−1(B)

)δ(z),

то задача (4.3), (4.4) еквiвалентна множинi нелокальних крайових задач на

[0, T ] для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку

dV (t, k)

dt= L(k)V (t, k), k ∈ Zp, (4.5)

µV (0, k)− V (T, k) = φ(k). (4.6)

Нехай Z = diag(knIm, . . . , k2Im, kIm), ZV (t, k) = V (t, k) i Zφ(k) = φ(k).

Тодi задачу (4.5), (4.6) перепишемо наступним чином:

dV (t, k)

dt= kL(k)V (t, k), (4.7)

µV (0, k)− V (T, k) = φ(k), (4.8)

де матрицi L(k) —рiвномiрно обмеженi на Zp, оскiльки

L(k) =

0(n−1)m×m I(n−1)m

−Ln(k) −Ln−1(k) . . . −L1(k)

,

Lj(k) = k−jLj(k) =∑|s|6j

An−j,s

(kk

)sk|s|−j.

Якщо λj(k), j = 1, . . . , nm, є коренями (можливо кратними) характе-

ристичного рiвняння

f(λ, k) = det(λInm − L(k)

)= det

(λmnInm +

mn∑j=1

λmn−jLj(k))

= 0

системи (4.7), то γj(k) = kλj(k) є коренями характеристичного рiвняння

det(γInm − L(k)

)= 0 системи (4.5).

93

Многочлен f(λ, k) можна записати у виглядi

f(λ, k) =mn∑j=0

fj(k)λmn−j = λmn + . . .+ fmn−1λ+ (−1)mn det L(k) = 0.

З оцiнки |λj(k)| 6 1+max|f1(k)|, . . . , |fmn(k)|Кошi [91, с. 381] для коренiв

многочлена f(λ, k) випливає, що вони є рiвномiрно обмеженими за k разом

iз коефiцiєнтами f1(k), . . . , fmn(k) цього многочлена. Загальний розв’язок

системи (4.7) запишемо у виглядi

V (t, k) = ekL(k)tC(k), (4.9)

де C(k) —довiльний вектор з констант. Для знаходження C(k) пiдставимо

V (t, k) в умови (4.8) i отримаємо систему (µInm−ekL(k)T )C(k) = φ(k). Якщо

матриця (µInm − ekL(k)T ) є невиродженою, тобто її визначник не дорiвнює

нулевi, то C(k) знаходимо за формулою C(k) = (µInm−ekL(k)T )−1φ(k). Тодi

розв’язок задачi (4.7), (4.8) набуде вигляду

V (t, k) = ekL(k)t(µInm − ekL(k)T )−1φ(k). (4.10)

Оскiльки визначник матрицi дорiвнює добутку її власних значень, а влас-

ними значеннями матрицi (µInm − ekL(k)T ) є числа µ− ekλj(k)T , то

det(µInm − ekL(k)T ) =nm∏j=1

(µ− ekλj(k)T ). (4.11)

Сформулюємо i доведемо теорему єдиностi розв’язку задачi (4.1), (4.2)

у просторi Hnq (Dp).


Hnq (Dp) необхiдно i достатньо, щоб рiвняння

f( lnµ− i2πm1

kT, k)

= det( lnµ− i2πm1

kTInm − L(k)

)= 0, (4.12)

не мало розв’язкiв у цiлих числах m1 i k1, . . . , kp.

94

Доведення. Необхiднiсть. Нехай розв’язок задачi (4.1), (4.2) — єдиний.

Тодi задача (4.7), (4.8) має єдиний розв’язок для всiх k ∈ Zp; цей розв’я-

зок зображається у виглядi (4.10). Отже, матриця (µInm − ekL(k)T ) є неви-

родженою, тобто її визначник не дорiвнює нулевi. Таким чином, враховую-

чи (4.11), µ 6= ekλj(k)T . Логарифмуючи, отримаємо, що рiвняння (4.12) не

має розв’язкiв у цiлих числах m1 i k1, . . . , kp.

Достатнiсть. Доведемо методом вiд супротивного. Нехай m∗1, k∗1, . . . ,

k∗p є розв’язком рiвняння (4.12). Позначимо λ1(k∗) =

lnµ− i2πm∗1k∗T

, де k∗ =

(k∗1, . . . , k∗p), тодi однорiдна задача (4.7), (4.8) має безлiч розв’язкiв V (t, k∗),

що утворюють пiдпростiр та визначаються формулою (4.9), у якiй вектор

C(k) є загальним розв’язком виродженої однорiдної системи лiнiйних ал-

гебричних рiвнянь (µInm − ek∗L(k∗)T )C(k) = 0. Таким чином, розв’язок за-

дачi (4.1), (4.2) не є єдиним.

4.1.3. Для встановлення умов iснування розв’язку задачi (4.1), (4.2) у

просторi Hnq (Dp) припустимо, що коренi λ1(k), . . . , λmn(k) є рiзними для

всiх (за винятком скiнченного числа) k ∈ Zp. Введемо такi позначення:

R(k) =(φ(k), L(k)φ(k), . . . , Lnm−1(k)φ(k)

), (4.13)

W (k) =

1 1 . . . 1

λ1 λ2 . . . λnm

λ21 λ2

2 . . . λ2nm

. . . . . . . . . . . .

λnm−11 λnm−1

2 . . . λnm−1nm

, (4.14)

Ω(t, k) = col(ρ(t, λ1), . . . , ρ(t, λnm

)), (4.15)

де W (k) —матриця Вандермонда, побудована за коренями λ1, . . . , λnm, а

Ω(t, k) — вектор значень функцiй ρ(t, λ) =ekλt

µ− ekλTна коренях λ1, . . . , λnm.

Тодi розв’язок (4.10) задачi (4.7), (4.8) записується у виглядi [75, с. 187]

V (t, k) = R(k)W−T (k)Ω(t, k), (4.16)

95

де W−T (k) =(W−1(k)

)T=(W T (k)

)−1 — обернена до транспонованої мат-

рицi Вандермонда. Для обчислення W−T (k) використовуємо формулу [28]

W−T (k) =(fmn+1−i−j(k)

)mni,j=1

W (k)(diag

(f ′(λj(k), k)

)mnj=1

)−1,

де fj(k) = 0 при j < 0, а f ′(λ, k) =∂f(λ, k)

∂λ. Перетворимо ви-

рази(f ′(λj(k), k)

)−2 до дробiв [76]1

Res (f, f ′)

∏16α<β6mn

α,β 6=j

(λα(k) − λβ(k))2, де

Res (f, f ′) =mn∏j=1

f ′(λj(k), k) =∏

16α<β6mn(λα(k)−λβ(k))2 — результант мно-

гочленiв f та f ′ i Res (f, f ′) = detS(f), де S(f) —матриця Сильвестра

многочлена f =f(λ, k), яка є блочною матрицею-стовпцем i складається з

двох залежних вiд вектора k матриць з mn− 1 i mn рядками вiдповiдно,

S(f) =

(fj−i(k)

)mn−1, 2mn−1

i,j=1((mn− j + i)fj−i(k)

)mn, 2mn−1

i,j=1

, detS(f) 6= 0 на Zp.

Встановимо умови iснування розв’язку задачi (4.1), (4.2) у просторi

Hnq (Dp). Оскiльки

∂nu

∂tn= −Ln(B)u− Ln−1(B)

∂u

∂t− . . .− L1(B)

∂n−1u

∂tn−1, то

∥∥∥∂nu∂tn

∥∥∥Hq−n(Sp)

6 C1

(‖u‖2

Hq(Sp) +∥∥∥∂u∂t

∥∥∥2

Hq−1(Sp)+ . . .+

∥∥∥∂n−1u

∂tn−1

∥∥∥2

Hq−n+1(Sp)

),

де C1 = C1(n, p, A) —деяка константа, яка не залежить вiд u.

Отже, для квадрату норми розв’язку u у Hnq (Dp) справджується оцiнка

‖u‖2Hn

q (Dp) 6 (C1+1)n−1∑j=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ju∂tj

∥∥∥2

Hq−j(Sp)= (C1+1)

n−1∑j=0

max[0,T ]‖vj‖2

Hq−j(Sp) =

= (C1+1)n−1∑j=0

∑k∈Zp

max[0,T ]|kq−jVj(t, k)|2 = (C1+1)

n−1∑j=0

∑k∈Zp

max[0,T ]|kq−nVj(t, k)|2.

(4.17)

Запишемо, враховуючи (4.16) та вiдсутнiсть кратних коренiв, таку нерiв-

нiсть:

96

|kq−nVj(t, k)|2 6 C2‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2n−1∑j=0

|kq−nφj(k)|2 =

= C2‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2n−1∑j=0

|kq−jφj(k)|2. (4.18)

Сформулюємо та доведемо теорему iснування розв’язку задачi (4.1),

(4.2) у просторi Hnq (Dp).

Теорема 4.2. Нехай виконуються умови теореми 4.1 та для деяких

додатних сталих C3 та C4 i дiйсних чисел η1, η2 для всiх (крiм скiнчен-

ного числа) векторiв k ∈ Zp виконуються нерiвностi

| detS(f)| > C3k−η1, (4.19)∣∣ρ(t, λl(k)

)∣∣ 6 C4kη2, l = 1, . . . ,mn. (4.20)

Якщо ϕj ∈ Hq+γ1−j(Sp), де γ1 > η1 + η2, то iснує єдиний розв’язок задачi

(4.1), (4.2) з простору Hnq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд

правих частин умов (4.2).

Доведення. З умов теореми випливає, що (4.20) справджується для всiх

k ∈ Zp, а detS(f) = 0 для тих k ∈ Zp, якi не справджують (4.19), тобто у

разi кратних коренiв f(λ, k). Враховуючи оцiнки (4.18)–(4.20) i нерiвнiсть

(4.17), запишемо у виглядi ‖u‖2Hn

q (Dp) 6 C5

n−1∑j=0

‖ϕj‖2Hq+γ1−j(Sp)

, де C5 > 0 —

стала, звiдки й випливає твердження теореми.

Розглянемо умови, при яких виконується нерiвнiсть (4.19). Для отри-

мання оцiнок сформулюємо та доведемо наступну лему.

Лема 4.1. Якщо f(λ) = h(λ)+ag(λ), де f(λ), h(λ), g(λ) —многочлени,

а саме f(λ) = f0λt + f1λ

t−1 + . . .+ ft, h(λ) = h0λt + h1λ

t−1 + . . .+ ht,

g(λ) = g0λs + g1λ

s−1 + . . . + gs, де s < t, а S(f), S(h), S(g) —матри-

цi Сильвестра цих многочленiв, то визначник detS(f) матрицi S(f) є

многочленом за змiнною a степеня не вище t+ s− 1, причому

detS(f) =((s− t)h0g0

)t−sdetS(g)at+s−1 + . . .+ detS(h),

97

три крапки означають доданки з меншими за t+ s− 1 додатними показ-

никами степенiв змiнної a.

Доведення. За умовою леми fi = hi+ags−t+i для i ∈ t−s, t−s+1, . . . , ti fi = hi для i ∈ 0, 1, . . . , t − s − 1. Оскiльки матриця Сильвестра S(f)

многочлена f(λ) має блочний вигляд

S(f) =

(fj−i

)2t−1

t−1((ω + t− s)fj−i

)2t−1

t

,

де i—номер рядка, j — стовпця, ( )qr —матриця розмiру r×q, ω=s−j+i, то

S(f) =

(hj−i

)2t−1

t−1((ω + t− s)hj−i

)2t−1

t

+ a

(0)t−st−1

(gj−i

)t+s−1

t−1(0)t−st

(ωgj−i

)t+s−1

t

,

де hj = 0 для j < 0 та j > t i gj = 0 для j < 0 та j > s, або

S(f) =

(hj−i

)2t−1

t−1

(gj−i

)t+s−1

t−1((ω + t− s)hj−i

)2t−1

t

(ωgj−i

)t+s−1

t

×Et−s 0

0 Et+s−1

0 aEt+s−1

.

Використовуючи формулу Бiне-Кошi, отримаємо многочлен за змiнною a

detS(f) = at+s−1 det

(hj−i

)t−st−1

(gj−i

)t+s−1

t−1((ω + t− s)hj−i

)t−st

(ωgj−i

)t+s−1

t

+ . . .+ detS(h).

Перетворимо коефiцiєнт при at+s−1 до вигляду

det

S3 S4 X2

0 0(gj−i

)2s−1

s−1

S1 S2 X1

0 0(ωgj−i

)2s−1

s−1

= (−1)t−s det

S1 S2 X1

S3 S4 X2

0 0(gj−i

)2s−1

s−1

0 0(ωgj−i

)2s−1

s−1

=

= det

S1 S2

S3 S4

· det

(gj−i

)2s−1

s−1(ωgj−i

)2s−1

s−1

,

98

де матрицi S1 = (ω + t − s)hj−i, S3 = hj−i, S2 = ωgj−i, S4 = gj−i

мають порядок t− s, X1 та X2 позначають матрицi, вiд яких не залежать

вiдповiднi визначники. Пiдставивши разом iз формулою

det

S1 S2

S3 S4

=

(det

th0 sg0

h0 g0

)t−s

=(h0g0(t− s)

)t−sу попередню, отримуємо

detS(f)=(−1)t−s((t−s)h0g0

)t−sat+s−1 det

(gj−i

)2s−1

s−1(ωgj−i

)2s−1

s

+ . . .+detS(h)=

=((s− t)h0g0

)t−sat+s−1 detS(g) + . . .+ detS(h).

Позначимо через b1, . . . , bp коефiцiєнти при степенях Bn1 , . . . , Bn

p в

операторi L11n (B), через bp+1, . . . , b2p вiдповiднi коефiцiєнти в операторi

L22n (B) i т.д., через b(m−1)p+1, . . . , bmp вiдповiднi коефiцiєнти в операторi

Lmmn (B) i нехай b = (b1, b2, . . . , bmp).

Многочлен f(λ, k) можна записати у виглядi

f(λ, k) = bj

(kjk

)ng1(λ, k) + h1(λ, k), j = 1, . . . , p,

де g1(λ, k) та h1(λ, k) не залежать вiд bj. Многочлен g1(λ, k) також можна

розписати у виглядi суми

g1(λ, k) = bp+j

(kjk

)ng2(λ, k) + h2(λ, k), j = 1, . . . , p,

де g2(λ, k) та h2(λ, k) не залежать вiд bp+j. Кожен многочлен gi(λ, k) для

i = 1, . . . ,m− 2 можна записати так:

gi(λ, k) = bip+j

(kjk

)ngi+1(λ, k) + hi+1(λ, k), j = 1, . . . , p,

де gi+1(λ, k) та hi+1(λ, k) не залежать вiд bip+j.

Застосувавши для кожного з многочленiв f(λ, k), gi(λ, k), i=1, . . . ,m−2,

лему 4.1 при a = bj

(kjk

)nу розкладi многочлена f(λ, k) i a = bip+j

(kjk

)n

99

у розкладi многочленiв gi(λ, k) та при gl0 = hl0 = 1, де gl0 i

hl0, l = 1, . . . ,m− 1, коефiцiєнти найстарших членiв многочленiв gl(λ, k) i

hl(λ, k) вiдповiдно, отримаємо

detS(f(λ, k)

)= (−1)nnn

(kjk

)n(2mn−n−1)

(bj)2mn−n−1 detS(g1) + . . . , (4.21)

detS(gi(λ, k)

)= (−1)nnn

(kjk

)n(2mn−(2i+1)n−1)

(bip+j)2mn−(2i+1)n−1×

× detS(gi+1) + . . . , (4.22)

а три крапки означають доданки зi степенями bαip+j, 06α62mn−(2i+1)n−2.

Для знаходження detS(gm−1(λ, k)

)використаємо лему 2.5 при α = 0 i

gm−1,0 = 1:

detS(gm−1(λ, k)

)= nnbn−1

(m−1)p+j

(kjk

)n(n−1)

+ . . . , j = 1, . . . , p, (4.23)

де три крапки означають доданки зi степенями bα(m−1)p+j, 0 6 α 6 n− 2.

Теорема 4.3. Нехай 0 < δ < 1, r > p, коефiцiєнти системи (4.1)

фiксованi (за винятком коефiцiєнтiв b1, . . . , bmp). Тодi iснує множина

Wδ ⊂ OmpR векторiв b така, що measWδ 6 δ i для всiх b ∈ Omp

R \Wδ та

для всiх k 6= 0 при η1 > m(mn− 1)r/2 справджується оцiнка

| detS(f(λ, k)

)| > δm(mn−1)/2C6k

−η1, (4.24)

де C6 = nmn(mζ(r)(p+ 1)nπmpR2mp−2

)−m(mn−1)/2.

Доведення. Використовуючи (4.22) i (4.23), формулу (4.21) перепишемо

detS(f(λ, k)

)=(−1)n(m−1)nmn

(kjk

)n((2mn−n−1)+(2mn−3n−1)+...+(3n−1)+(n−1))×

× (bj)2mn−n−1(bp+j)

2mn−3n−1 . . . (b(m−2)p+j)3n−1(b(m−1)p+j)

n−1 + . . . =

= (−1)n(m−1)nmn(kjk

)mn(mn−1)

Bj(k)Bp+j(k) . . . B(m−1)p+j(k),

100

де Bip+j(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1, — унiтальний степеня 2(m − i)n − n − 1

многочлен змiнної bip+j, коефiцiєнти якого не залежать вiд b1, . . . , bip+j−p,

j = 1, . . . , p. Знайдемо модуль визначника матрицi Сильвестра S(f(λ, k)

):

| detS(f(λ, k)

)| = nmn

(|kj|k

)mn(mn−1)

|Bj(k)||Bp+j(k)| . . . |B(m−1)p+j(k)|.(4.25)

У рiвностi (4.25) однозначно виберемо iндекс j = j(k) так, щоб

kj = maxk1, . . . , kp.Нехай Wm−1

δ (k) —множина тих векторiв b ∈ OmpR , для яких при фiксо-

ваному k виконується оцiнка

|B(m−1)p+j(k)| <( δk−r

mζ(r)πmpR2mp−2

)(n−1)/2

, j = 1, . . . , p. (4.26)

Оцiнимо мiру цiєї множини. Позначимо через Wm−1δ (k) ⊂ Op

R множину

тих векторiв b(m−1)p+1, . . . , bmp, а через Wm−1δ (k, b(m−1)p+j) —множину тих

значень змiнної b(m−1)p+j для фiксованого b(m−1)p+j, де b(m−1)p+j — вектор з

компонентами b(m−1)p+1, . . . , bmp без компоненти b(m−1)p+j, для яких вико-

нується нерiвнiсть (4.26). Оскiльки множинаWm−1δ (k) є декартовим добут-

ком O(m−1)pR × Wm−1

δ (k), то її мiра знаходиться за формулою

measWm−1δ (k) = (πR2)(m−1)pmeas Wm−1

δ (k),

де meas Wm−1δ (k) =

∫Op−1R

meas Wm−1δ (k, b(m−1)p+j) db(m−1)p+j. За лемою 2.4

Картана для мiри множини Wm−1δ (k, b(m−1)p+j) справджується оцiнка

meas Wm−1δ (k, b(m−1)p+j) 6

δk−r

mζ(r)(πR2)mp−1.

Пiсля iнтегрування по областi Op−1R отримаємо, що

meas Wm−1δ (k) 6

δk−r

mζ(r)(πR2)(m−1)p.

Тодi для мiри множини Wm−1δ (k) справедлива оцiнка

measWm−1δ (k) 6

δk−r

mζ(r).

101

Нехай Wm−2δ (k) —множина тих векторiв b ∈ Omp

R , для яких при фiксо-

ваному k виконується оцiнка

|B(m−2)p+j(k)| <( δk−r

mζ(r)πmpR2mp−2

)(3n−1)/2

, j = 1, . . . , p. (4.27)

Оцiнимо мiру даної множини. Позначимо через Wm−2δ (k) ⊂ O2p

R множину

тих векторiв b(m−2)p+1 ,. . . , bmp, а через Wm−2δ (k, b(m−2)p+j) —множину тих

значень змiнної b(m−2)p+j для фiксованого b(m−2)p+j iз останнiми p компо-

нентами з Wm−1δ (k), де b(m−2)p+j — вектор з компонентами b(m−2)p+1, . . . , bmp

без компоненти b(m−2)p+j, для яких виконується нерiвнiсть (4.27). Оскiльки

Wm−2δ (k) = O(m−2)p

R × Wm−2δ (k), то мiра цiєї множини обчислюється

measWm−2δ (k) = (πR2)(m−2)pmeas Wm−2

δ (k).

Для мiри множини Wm−2δ (k, b(m−2)p+j) за лемою 2.4 Картана справджується

meas Wm−2δ (k, b(m−2)p+j) 6

δk−r

mζ(r)(πR2)mp−1.

Проiнтегрувавши по областi O2p−1R ×

(OpR \ W

m−1δ (k)

), отримаємо оцiнку

для мiри множини Wm−2δ (k)

meas Wm−2δ (k) 6

δk−r

mζ(r)(πR2)(m−2)p.

Тодi справедливою є оцiнка measWm−2δ (k) 6

δk−r

mζ(r).

Аналогiчно, позначимо через W iδ(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1, множину тих

векторiв b ∈ OmpR , для яких при фiксованому k виконується оцiнка

|Bip+j(k)| <( δk−r

mζ(r)πmpR2mp−2

)(2mn−(2i+1)n−1)/2

, j = 1, . . . , p. (4.28)

Знайдемо оцiнки мiр множин W iδ(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1. Нехай

W iδ(k) ⊂ O(m−i)p

R множина векторiв bip+1 ,. . . , bmp, а W iδ(k, bip+j) множина

значень змiнної bip+j для фiксованого bip+j iз останнiми (m − i − 1)p ком-

понентами з множини W i+1δ (k), де bip+j — вектор з компонентами bip+1, . . . ,

102

bmp без компоненти bip+j, для яких виконується нерiвнiсть (4.28). Оскiль-

ки W iδ(k) = Oip

R × W iδ(k), то measW i

δ(k) = (πR2)ipmeas W iδ(k). Для мiри

множини W iδ(k, bip+j) за лемою 2.4 Картана справджується оцiнка

meas W iδ(k, bip+j) 6

δk−r

mζ(r)(πR2)mp−1.

Iнтегруючи по областi Oip−1R ×

(O(m−i−1)pR \ W i+1

δ (k)), отримаємо, що

meas W iδ(k) 6

δk−r

mζ(r)(πR2)ip.

Таким чином, для мiри множини W iδ(k) виконується нерiвнiсть

measW iδ(k) 6

δk−r

mζ(r).

На множинi OmpR \Wδ(k), де Wδ(k) =

m−1⋃i=0

W iδ(k), а

measWδ(k) 6m−1∑i=0

measW iδ(k) 6

δk−r

ζ(r),

iз рiвностi (4.25) та нерiвностей (4.26)–(4.28) випливає нерiвнiсть∣∣∣ detS(f(λ, k)

)∣∣∣ > nmn( δ

mζ(r)(p+ 1)nπmpR2mp−2

)m(mn−1)/2

k−m(mn−1)r/2 =

= δm(mn−1)/2C6k−η1

для фiксованого вектора k ∈ Zp \ 0. Отже, поза Wδ =⋃

k∈Zp\0Wδ(k) з

мiрою measWδ 6∑

k∈Zp\0measWδ(k) = δ нерiвнiсть (4.24) виконується для

всiх k з множини Zp \ 0.

Умови виконання нерiвностей (4.20) описує теорема 3.4 з пункту 3.1.

Сформулюємо загальну теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi

(4.1), (4.2) у просторi Hnq (Dp).

Теорема 4.4. Нехай виконуються умови теореми 4.1, µ ∈ OM\Vε(множина Vε задана формулою (3.19)). Тодi у разi ϕ0 ∈ Hq+γ1

(Sp),

103

ϕ1 ∈ Hq+γ1−1(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ Hq+γ1−n+1(Sp), де γ1 =(p+m(mn−1)r

)/2,

r > p, i для всiх b ∈ OmpR \Wδ iснує єдиний розв’язок задачi (4.1), (4.2) з

простору Hnq (Dp). Цей розв’язок неперервно залежить вiд правих частин

умов (4.2).

Доведення. З теореми 4.1 випливає єдинiсть розв’язку задачi (4.1), (4.2).

За теоремою 4.3 для всiх векторiв b ∈ OmpR \Wδ виконується оцiнка (4.19)

для η1 = m(mn − 1)(2n + r)/2, де r > p. Згiдно з теоремою 3.4 для

довiльного µ ∈ OM \ Vε виконується оцiнка (4.20) для η2 > p/2. Таким

чином, з теореми 4.2 випливає як iснування розв’язку задачi (4.1), (4.2)

з простору Hnq (Dp), так i його неперервна залежнiсть вiд функ-

цiй ϕ0 ∈ Hq+γ1(Sp), ϕ1 ∈ Hq+γ1−1(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ Hq+γ1−n+1(Sp) для

γ1 =(p+m(mn− 1)r

)/2.

104


рiвнянь у просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора

Даний пiдроздiл присвячений дослiдженню умов розв’язностi нелокаль-

ної крайової задачi для системи диференцiально-операторних рiвнянь у

шкалi просторiв HN nq (Dp)q∈R функцiй u = u(t, z), що є рядами Дiрiхле–

Тейлора зi заданим спектром N . Значення на промiжку [0, T ] функцiй з

цiєї шкали та їх похiдних до порядку n включно належать до просторiв iз

гiльбертової (типу Соболєва) шкали. Для розв’язання проблеми малих зна-

менникiв, що виникли при побудовi розв’язку задачi, використано метрич-

ний пiдхiд, який дав змогу отримати оцiнки знизу для майже всiх векторiв

складених з коефiцiєнтiв системи та параметра крайових умов.

4.2.1. Розглянемо задачу (с. 90) для системи диференцiальних рiв-

нянь з частинними похiдними i сталими коефiцiєнтами (4.1) та нелокаль-

ними крайовими умовами (4.2), де ϕj = ϕj(z) = col (ϕj1, . . . , ϕjm) — за-

данi вектор-функцiї з шкали просторiв HN q(Sp)q∈R. Знайдемо розв’я-

зок u ∈ HN nq (Dp) цiєї задачi, що має спектр N , асимптотику якого задає

деяке додатнє число θ таке, що ζN (θ) < ∞, де ζN (x) =∑ν∈N

ν−x,

ν =√

1 + ν21 + . . .+ ν2

p .

Означення 4.2. Пiд розв’язком задачi (4.1), (4.2) будемо розумiти таку

вектор-функцiю u = u(t, z) з простору HN nq (Dp), яка для всiх t ∈ [0, T ]

задовольняє систему (4.1) i умови (4.2) у просторi(WN ′

)m.Як i у пунктi 4.1, введемо псевдодиференцiальний оператор-матрицю

F (B) = F (B1, . . . , Bp) = F(z1∂/∂z1, . . . , zp∂/∂zp

), що дiє на вектор-функ-

цiю ϕ(z) =∑ν∈N

φ(ν)zν за формулою F (B)ϕ(z) =∑ν∈N

F (ν)φ(ν)zν.

Коефiцiєнти φ(ν) розвинення ϕ(z) в ряд Фур’є породжують оператор

φ(B). А тому кожнiй функцiї з HN q(Sp) вiдповiдає псевдодиференцiальний

вектор-оператор φ(B). При цьому ϕ(z) = φ(B)δN (z), де δN (z) =∑ν∈N

zν.

Аналогiчно, послiдовнiсть F (t, ν), t ∈ [0, T ], породжує оператор F (t, B),

105

функцiя v(t, z) =∑ν∈N

V (t, ν)zν з простору HN nq (Dp) — оператор-функцiю

V (t, B). При цьому v(t, z) = V (t, B)δN (z).

Задача (4.1), (4.2) еквiвалентна задачi з нелокальними умовами для сис-

теми диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку

за часовою змiнною (4.3), (4.4) (с. 91). Оскiльки у термiнах псевдодиферен-

цiальних операторiв v(t, z) ≡ V (t, B)δN (z), ϕ(z) ≡ φ(B)δN (z), то задача

(4.3), (4.4) еквiвалентна множинi нелокальних крайових задач на промiж-

ку [0, T ] для систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку

dV (t, ν)

dt= L(ν)V (t, ν), ν ∈ N , (4.29)

µV (0, ν)− V (t, ν) = φ(ν). (4.30)

Нехай Z = diag(νnIm, . . . , ν2Im, νIm) i Zφ(ν) = φ(ν), ZV (t, ν)=V (t, ν). Пе-

репишемо задачу (4.29), (4.30) у цих позначеннях

dV (t, ν)

dt= νL(ν)V (t, ν), ν ∈ N , (4.31)

µV (0, ν)− V (t, ν) = φ(ν), (4.32)

де

L(ν)=

0(n−1)m×m I(n−1)m

−Ln(ν) −Ln−1(ν) . . . −L1(ν)

,

Lj(ν) = ν−jLj(ν) =∑|s|6j

An−j,s

(νν

)sν |s|−j.

Якщо λj(ν), де j = 1, . . . , nm, є коренями характеристичного рiвняння

f(λ, ν) = det(λInm − L(ν)

)= det

(λmnInm +

mn∑j=1

λmn−jLj(ν))

= 0,

то величини γj(ν) = νλj(ν) є коренями рiвняння det(γInm − L(ν)

)= 0.

Визначник f(λ, ν) запишемо у виглядi многочлена

f(λ, ν) =mn∑j=0

fj(ν)λmn−j = λmn− Sp L(ν)λmn−1 + . . .+ (−1)mn det L(ν) = 0,

106

де Sp L(ν) — слiд матрицi L(ν). Вважатимемо також, що fj(ν) = 0, якщо

j < 0, або j > mn. З оцiнки Кошi [91, с. 381] для коренiв многочлена

|λj(ν)| 6 1 + max|f1(ν)|, . . . , |fmn(ν)|

випливає, що вони є рiвномiрно обмеженими за ν разом iз коефiцiєнтами

f1(ν), . . . , fmn(ν) многочлена f(λ, ν).

4.2.2. Розв’язок задачi (4.31), (4.32) шукаємо за схемою знаходження

розв’язку задачi (4.7), (4.8) (с. 92) з пункту 4.1, за формулою

V (t, ν) = eνL(ν)t(µInm − eνL(ν)T )−1φ(ν), (4.33)

де (4.33) iснує лише для ненульового числа

det(µInm − eνL(ν)T ) =nm∏j=1

(µ− eνλj(ν)T ). (4.34)

Взявши до уваги (4.34), сформулюємо теорему єдиностi розв’язку задачi

(4.1), (4.2), доведення якої проводиться за схемою доведення теореми 4.1

(с. 93).

Теорема 4.5. Для єдиностi розв’язку задачi (4.1), (4.2) необхiдно i

достатньо, щоб алгебричне дiофантове рiвняння

det( lnµ− i2πm1

νTInm − L(ν)

)= 0 (4.35)

не мало розв’язкiв (m1, ν) на множинi Z×N .

Встановимо умови iснування розв’язку задачi (4.1), (4.2) у просторi

HN nq (Dp). Для всiх векторiв ν ∈ Rp, для яких коренi λ1(ν), . . . , λmn(ν)

многочлена f(·, ν) є рiзними, введемо наступнi позначення:

R(ν) =(φ(ν), L(ν)φ(ν), . . . , Lnm−1(ν)φ(ν)

),

W (ν) =

1 1 . . . 1

λ1(ν) λ2(ν) . . . λnm(ν)

λ21(ν) λ2

2(ν) . . . λ2nm(ν)

. . . . . . . . . . . .

λnm−11 (ν) λnm−1

2 (ν) . . . λnm−1nm (ν)

,

107

Ω(t, ν) = col(ρν(t, λ1(ν)), . . . , ρν(t, λnm(ν)

)),

деW (ν) —матриця Вандермонда, побудована за коренями λ1(ν), . . . , λnm(ν),

Ω(t, ν) — вектор значень функцiй ρν(t, λ) =eνλt

µ− eνλTна коренях λ1(ν), . . . ,

λnm(ν). Тодi розв’язок (4.33) задачi (4.31), (4.32) записується у виглядi [30]

V (t, ν) = R(ν)W−T (ν)Ω(t, ν),

деW−T (ν) — обернена до транспонованої матрицi Вандермонда, яка обчис-

люється [28] за формулою

W−T (ν) =(fmn+1−i−j(ν)

)mni,j=1

W (ν)(diag

(f ′(λj(ν), ν)

)mnj=1

)−1,

f ′(λ, ν) =∂f(λ, ν)

∂λ. Вирази

(f ′(λj(ν), ν)

)−2 зводимо до дробiв

1

Res (f, f ′)

∏16α<β6mn

α,β 6=j

(λα(ν)− λβ(ν))2,

де Res (f, f ′) = Disc f = detS(f) —результант многочленiв f та f ′, при-

чому Disc f —дискримiнант, а S(f) —матриця Сильвестра многочлена

f = f(λ, ν).

Умови iснування розв’язку задачi (4.1), (4.2) у просторi HN nq (Dp) описує

теорема 4.6, яка доводиться методом доведення теореми 4.2 (с. 96).

Теорема 4.6. Нехай вектор Ω(0, ·) визначений на N та для деяких

дiйсних чисел η1, η2 для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв ν ∈ N та

всiх t ∈ [0, T ] виконуються нерiвностi

| detS(f)| > ν−η1, (4.36)∣∣ρν(t, λl(ν))∣∣ 6 νη2, l = 1, . . . ,mn. (4.37)

Якщо ϕj ∈ HN q+γ2−j(Sp), де γ2 = η1 + η2, j = 0, 1, . . . , n − 1, то iснує

єдиний розв’язок задачi (4.1), (4.2) з простору HN nq (Dp). Цей розв’язок

неперервно залежить вiд правих частин умов (4.2).

108

Розглянемо умови, при яких виконується нерiвнiсть (4.36).

Позначимо через b1, . . . , bp коефiцiєнти при степенях Bn1 , . . . , Bn

p в

операторi L11n (B), через bp+1, . . . , b2p вiдповiднi коефiцiєнти в операторi

L22n (B) i т.д., через b(m−1)p+1, . . . , bmp вiдповiднi коефiцiєнти в операторi

Lmmn (B), i нехай b = (b1, . . . , bmp).

Теорема 4.7. Нехай 0 < δ < 1, коефiцiєнти системи (4.1) фiксованi

(за винятком b1, . . . , bmp). Тодi iснує множина WNδ ⊂ OmpR така, що

meas WNδ 6 δ measOmpR , i для всiх векторiв b ∈ Omp

R \WNδ та ν ∈ N при

η1 = m(mn− 1)θ/2 справджується оцiнка

|Disc f(·, ν)| > δm(mn−1)/2C7ν−η1, (4.38)

де C7 = nmn( measOmp

R

mζN (θ)(p+ 1)nπmpR2mp−2

)m(mn−1)/2

.

Доведення даної теореми є модифiкацiєю доведення теореми 4.3 (с. 99),

де WNδ =⋃ν∈N

m−1⋃i=0

WN iδ(ν), а WN i

δ(ν), i = 0, 1, . . . ,m − 1, — множина тих

векторiв b ∈ OmpR , для яких при фiксованому ν для кожного j = 1, . . . , p

виконується нерiвнiсть

|Bip+j(ν)| <( δ measOmp

R ν−θ

mζN (θ)πmpR2mp−2

)(2mn−(2i+1)n−1)/2

.

Многочлен Bip+j(ν), i = 0, 1, . . . ,m− 1, є унiтальним многочленом степеня

2(m − i)n − n − 1 змiнної bip+j, коефiцiєнти якого не залежать вiд b1, . . . ,

bip+j−p, j = 1, . . . , p.

Умови, при яких виконуються нерiвностi (4.37), описує теорема 3.11

(с. 77).

Сформулюємо теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (4.1),

(4.2) у просторi HN nq (Dp) з урахуванням метричних теорем 4.7 та 3.11.

Теорема 4.8. Нехай виконуються умови теореми 4.5, число θ за-

дає асимптотику спектра N , γ2 = (m2n − m + 1)θ/2. Тодi у разi ϕ0 ∈HN q+γ2

(Sp), ϕ1 ∈ HN q+γ2−1(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ HN q+γ2−n+1(Sp) для всiх (b, µ)

з множини (OmpR \WNδ)× (OM \VNε) (множина VNε задана формулою

109

(3.51)) iснує єдиний розв’язок задачi (4.1), (4.2) з простору HN nq (Dp). Цей

розв’язок неперервно залежить вiд правих частин умов (4.2).

Доведення. З теореми 4.5 випливає єдинiсть розв’язку задачi (4.1), (4.2).

За теоремою 4.7 для всiх векторiв b ∈ OmpR \WNδ виконується оцiнка (4.36)

для η1 = m(mn − 1)θ/2. Згiдно з теоремою 3.11 (с. 77) для довiльного

µ ∈ OM \ VNε виконується оцiнка (4.37) для η2 = θ/2. Отже, для квадра-

ту норми розв’язку задачi (4.1), (4.2) у просторi HN nq (Dp) справедливою є

нерiвнiсть

‖u‖2HNn

q (Dp) 6C8

εδm(mn−1)

n−1∑j=0

‖ϕj‖2HN q+γ2−j(Sp)

,

де C8 > 0 — величина, яка залежить вiд m, n, p та коефiцiєнтiв системи

(4.1). Тодi з теореми 4.6 випливає як iснування розв’язку задачi (4.1), (4.2)

з простору HN nq (Dp), так i його неперервна залежнiсть вiд функцiй

ϕ0 ∈ HN q+γ2(Sp), ϕ1 ∈ HN q+γ2−1(Sp), . . . , ϕn−1 ∈ HN q+γ2−n+1(Sp).

Теорему доведено.

110


рiвнянь в уточненiй соболєвськiй шкалi функцiй

багатьох комплексних змiнних

Даний пiдроздiл присвячений вивченню умов розв’язностi нелокальної

крайової задачi для системи диференцiально-операторних рiвнянь у шкалi

просторiв Хермандера, що утворюють уточнену соболєвську шкалу просто-

рiв функцiй багатьох комплексних змiнних. Встановлено необхiднi i достат-

нi умови єдиностi розв’язку розглядуваної задачi, а також достатнi умови

iснування її розв’язку у вiдповiдних функцiональних просторах. Здiйснено

порiвняння умов однозначної розв’язностi задачi у шкалi просторiв Собо-

лєва та в уточненiй шкалi.

4.3.1. Дослiдимо умови розв’язностi нелокальної крайової задачi для

системи однорiдних диференцiально-операторних рiвнянь зi сталими кое-

фiцiєнтами (4.1), (4.2) (с. 90) у шкалi просторiв Хермандера, що утворюють

уточнену соболєвську шкалу.

Означення 4.3. Пiд розв’язком задачi (4.1), (4.2) розумiємо вектор-

функцiю u = u(t, z) з простору Hn,ψq (Dp), яка для всiх t ∈ [0, T ] задовольняє

систему (4.1) i умови (4.2) у просторi(W′)m.

Вважаємо, що елементи матриць As0,s з системи (4.1) розглядаються

у крузi OA, параметр µ з умов (4.2) — у крузi OM , де A та M —додатнi

фiксованi радiуси кругiв.

Введемо функцiї ωj(r) =∑k∈Zp

k−pψ−rj (k), j = 1, 2, де ψj ∈ M, r ∈ R i

ω1(κ) <∞, ω2(2) <∞ для κ =2

m(mn− 1). Функцiї ψ1 та ψ2 з такими влас-

тивостями iснують (зокрема, степенi логарифма) i, якщо справджується

рiвнiсть ψ1ψm2 =ψm

2n2 , то за умови ω1(κ)<∞ виконується умова ω2(2)<∞,

i навпаки, за умови ω2(2) <∞ виконується умова ω1(κ) <∞.

4.3.2. Побудова розв’язку задачi (4.1), (4.2) у просторi Hn,ψq (Dp) здiйс-

нюється за схемою побудови розв’язку задачi у просторi Hnq (Dp) з пункту

111

4.1. Нелокальна задача (4.1), (4.2) еквiвалентна множинi нелокальних кра-

йових задач (4.7), (4.8) на промiжку [0, T ] для систем звичайних диферен-

цiальних рiвнянь першого порядку (с. 92), розв’язок яких зображається

формулою (4.10) (с. 93). Ввiвши позначення векторiв R(k), матрицi Ван-

дермондаW (k) та вектора Ω(t, k) за формулами (4.13), (4.14), (4.15) (с. 94)

вiдповiдно, розв’язок задачi (4.7), (4.8) запишеться у виглядi (4.16) (с. 94).

Аналогiчно до теореми 4.3 (с. 99) формулюється i доводиться теорема

єдиностi розв’язку задачi (4.1), (4.2) у просторi Hn,ψq (Dp).


Hn,ψq (Dp) необхiдно i достатньо, щоб рiвняння (4.12) не мало розв’язкiв у

цiлих числах m1, k1, . . . , kp.

Встановимо умови, за яких розв’язок задачi (4.1), (4.2) iснує у просторi

Hn,ψq (Dp). Оскiльки для розв’язку u справджується рiвнiсть

∂nu

∂tn= −Ln(B)u− Ln−1(B)

∂u

∂t− . . .− L1(B)

∂n−1u

∂tn−1,

то iснує таке число C9 = C9(n,m, p, A) > 0, що∥∥∥∂nu∂tn

∥∥∥2

Hψ

q−n(Sp)6 C9

(‖u‖2

Hψ

q (Sp)+∥∥∥∂u∂t

∥∥∥2

Hψ

q−1(Sp)+ . . .+

∥∥∥∂n−1u

∂tn−1

∥∥∥2

Hψ

q−n+1(Sp)

),

тобто для квадрату норми функцiї u у Hn,ψq (Dp) виконується

‖u‖2

Hn,ψ

q (Dp)6(C9 + 1)

n−1∑j=0

max[0,T ]

∥∥∥∂ju∂tj

∥∥∥2

Hψ

q−j(Sp)=(C9 + 1)

n−1∑j=0

max[0,T ]‖vj‖2

Hψ

q−j(Sp)=

= (C9 + 1)n−1∑j=0

∑k∈Zp

max[0,T ]|kq−jψ(k)Vj(t, k)|2 =

= (C9 + 1)n−1∑j=0

∑k∈Zp

max[0,T ]|kq−nψ(k)Vj(t, k)|2. (4.39)

Справедливою є така оцiнка:

|kq−nψ(k)Vj(t, k)|2 6 C10‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2n−1∑j=0

|kq−nψ(k)φj(k)|2 =

112

= C10‖Ω(t, k)‖2‖W−T (k)‖2n−1∑j=0

|kq−jψ(k)φj(k)|2, (4.40)

де C10>0 — величина, яка залежить вiд n, m, p i коефiцiєнтiв системи (4.1).

Сформулюємо та доведемо теорему iснування розв’язку задачi (4.1),

(4.2) у просторi Hn,ψq (Dp).

Теорема 4.10. Нехай η1, η2 ∈ R, ψ, ψ1, ψ2 ∈ M, виконуються умови

теореми 4.9 та для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв k ∈ Zp та всiх

t ∈ [0, T ] виконуються нерiвностi

| detS(f)| > ψ−11 (k)k−η1, (4.41)∣∣ρ(t, λl(k)

)∣∣ 6 ψ2(k)kη2, l = 1, . . . ,mn. (4.42)

Якщо ϕj ∈ Hψq+γ3−j(S

p), де γ3 = η1 + η2, ψ = ψψ1ψ2, то iснує єдиний

розв’язок задачi (4.1), (4.2) з простору Hn,ψq (Dp). Цей розв’язок неперервно

залежить вiд правих частин умов (4.2).

Доведення. Iз врахуванням оцiнок (4.40)–(4.42), формули (4.16) для об-

численняW−T(k), а також обмеженостi зверху величини |detS(f)|‖W−T(k)‖,нерiвнiсть (4.39) набуде вигляду

‖u‖2

Hn,ψ

q (Dp)6 C11

n−1∑j=0

‖ϕj‖2

Hψ

q+γ3−j(Sp),

де величина C11 > 0 залежить вiд параметрiв задачi (4.1), (4.2), а iз влас-

тивостей множиниM випливає, що ψ ∈M.

Встановимо умови, за яких виконується оцiнка (4.41), для чого вико-

ристаємо леми 2.4, 2.5 i 4.1.

Теорема 4.11. Нехай 0 < δ < 1, κ =2

m(mn− 1), η1 =

p

κ, коефiцiєнти

системи (4.1) фiксованi (за винятком коефiцiєнтiв b1, . . . , bmp), функцiя

ψ1 ∈M задовольняє умову ω1(κ) <∞. Тодi iснує множина WΨδ ⊂ OmpR

така, що meas WΨδ 6 δmeasOmpR i для всiх векторiв b ∈ Omp

R \WΨδ

та k 6= 0 справджується оцiнка

| detS(f(λ, k)

)| > κ√δC12ψ

−11 (k)k−η1, (4.43)

113

де C12 = nmn κ

√measOmp

R

ω1(κ)m(p+ 1)nπmpR2mp−2> 0.

Доведення даної теореми проводиться за схемою доведення теореми 4.3

(с. 99) з урахуванням того, що WΨδ =⋃

k∈Zp\0WΨδ(k), а WΨδ(k) є об’єд-

нанням множин WΨiδ(k), i = 0, 1, . . . ,m− 1, якi є множинами тих векторiв

b ∈ OmpR , для яких при фiксованому k виконується оцiнка

|Bip+j(k)| <

(δ measOmp

R

(ψ1(k)

)−κk−p

mω1(κ)πmpR2mp−2

)(m−i)n−(n+1)/2

, j = 1, . . . , p.

Кожен многочлен Bip+j(k), i = 0, 1, . . . ,m − 1, є унiтальним степеня

2(m− i)n−n−1 многочленом змiнної bip+j, коефiцiєнти якого не залежать

вiд b1, . . . , bip+j−p, j = 1, . . . , p.

Умови, при яких виконуються нерiвностi (4.42), описує теорема 3.17

(с. 86).

Наслiдок 4.1. Оцiнка (4.42) виконується для всiх векторiв µ з мно-

жини OM \ VΨε при η2 = p/2 i ψ2 =τ√εψ2.

Твердження наслiдку випливає з належностi величин λl(k), l=1, . . .,mn,

до множини VΨl(k) i рiвностi∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− ekλl(k)T

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ ekλl(k)t

µ− µl(k)

∣∣∣∣ = |ρ(t, λl(k))|.

Сформулюємо теорему iснування та єдиностi розв’язку задачi (4.1),

(4.2) у просторi Hn,ψq (Dp) з урахуванням метричних теорем 3.17 та 4.11,

доведення якої проводиться за схемою доведення теореми 4.8 (с. 108).

Теорема 4.12. Нехай виконуються умови теореми 4.9, κ=2

m(mn−1),

γ3 =p

2+p

κ, ψ = ψψ1ψ2, де ψ ∈M, ψ1, ψ2 з множини M задовольняють

умови ω1(κ)<∞ та ω2(2)<∞. Тодi у разi ϕj∈Hψq+γ3−j(S

p), j=0, 1, . . ., n−1,

для всiх векторiв (b, µ) з множини (OmpR \WΨδ)×(OM \VΨε) iснує єдиний

розв’язок задачi (4.1), (4.2) з простору Hn,ψq (Dp). Цей розв’язок неперервно

залежить вiд правих частин умов (4.2).

114

4.3.3.Майже всяка (у сенсi мiри Лебега у просторi R2(mp+1)) нелокальна

задача (4.1), (4.2) розв’язна в (уточненiй) шкалi просторiв Соболєва. З тео-

реми 4.12 випливає, що для векторiв (b, µ) ∈ (OmpR \WΨδ)×(OM \VΨε), мiра

якої не менша, нiж (1−δ)(1−ε)measOmpR measOM , оператор, який є оберне-

ним до оператора задачi (4.1), (4.2), i вiдображає вектор ϕ0, ϕ1, . . . , ϕm−1 в

розв’язок задачi u, є обмеженим оператором зn−1∏j=0

Hψq+γ3−j(S

p) в Hn,ψq (Dp),

деψ

ψ= ψ1ψ2,

γ3

p=

1

2+

1

κ, κ =

2

m(mn− 1), ψ ∈ M, функцiї ψ1 i ψ2 з

множиниM задовольняють умови ω1(κ) <∞ та ω2(2) <∞.

Оператор аналогiчно дiє i у шкалi просторiв Соболєва (див. пункт 4.1),

а саме зn−1∏j=0

Hq+γ1−j(Sp) в Hnq (Dp), причому на вiдмiну вiд уточненої со-

болєвської шкали, для якоїγ3

p=

1

2+

1

κ, величина

γ1

pне дорiвнює

1

2+

1

κ,

а дорiвнює1

2+

1

κ+ σ, де σ—довiльне додатнє число. Тобто допомiжний

функцiональний показник в уточненiй соболєвськiй шкалi усталює основ-

ний степеневий показник гладкостi розв’язку задачi (4.1), (4.2), що вiдпо-

вiдно покращує його гладкiсть. Мiра множини (OmpR \WΨδ)× (OM \ VΨε)

прямує до мiри πmp+1M 2R2mp множиниOmpR ×OM , якщо ε+δ → 0, причому

квадрат норми розв’язку може зростати не швидше, нiжconst

εδm(mn−1).

115


У четвертому роздiлi розглянуто коректнiсть нелокальних крайових за-

дач для системи диференцiально-операторних рiвнянь з частинними по-

хiдними у шкалi просторiв функцiй багатьох комплексних змiнних, шкалi

просторiв функцiй з фiксованим спектром N та уточненiй соболєвськiй

шкалi. Цi задачi є умовно коректними, а їх розв’язнiсть пов’язана iз проб-

лемою малих знаменникiв. Доведено метричнi теореми про оцiнки знизу

малих знаменникiв, якi виникають при побудовi розв’язкiв.

Основнi результати опублiковано у роботах [36–39,42,46,47,86,88,107].

116

РОЗДIЛ 5

ЗАДАЧI ДЛЯ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОГО

РIВНЯННЯ ЗI СЛАБКОЮ НЕЛIНIЙНIСТЮ

5.1. Задача для для диференцiально-операторного рiвняння

зi слабкою нелiнiйнiстю у просторах функцiй багатьох

комплексних змiнних

У даному пiдроздiлi дослiджено нелокальну крайову задачу для дифе-

ренцiально-операторного рiвняння з нелiнiйною правою частиною. Дове-

дення теорем про розв’язнiсть цiєї задачi побудовано за iтерацiйною схемою

Неша–Мозера, де важливим етапом є доведення оборотностi лiнеаризова-

них операторiв, якi отримуємо на кожному кроцi iтерацiй. При цьому вини-

кає проблема малих знаменникiв, яку вирiшено за допомогою метричного

пiдходу. Оборотнiсть лiнеризованих операторiв отримано методом, розроб-

леним у [94].

5.1.1. В областi Dp розглянемо задачу з нелокальними умовами для

диференцiально-операторного рiвняння зi сталими коефiцiєнтами та нелi-

нiйною правою частиною

L( ∂∂t,∂

∂z

)u ≡

∑|s|6n

asBs∂

s0u

∂ts0= εf(u), (t, z) ∈ Dp, (5.1)

Mmu ≡ µ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=0

− ∂mu

∂tm

∣∣∣∣t=T

= 0, m = 0, 1, . . . , n−1, z ∈ Sp, (5.2)

де as0,s (an,0 = 1) —комплекснi коефiцiєнти, µ, ε ∈ C, u—шукана функцiя.

Розглянемо задачу на власнi значення для оператора L, породженого

диференцiальним виразом L( ∂∂t,∂

∂z

)i крайовими умовами (5.2) з µ 6= 0,

тобто

L( ∂∂t,∂

∂z

)u = λu, Mmu = 0, m = 0, 1, . . . , n− 1. (5.3)

117

Власними значеннями задачi (5.3) є числа λk = L(τ(k0), k), якi утворю-

ють точковий спектр σp оператора L, де τ(k0) =lnµ

T+i 2πk0

T, lnµ— голов-

не значення логарифма. Власними функцiями, що вiдповiдають власному

значенню λk, k=(k0, k1, . . . , kp), є функцiї ϕk∗ = eτ(k∗0)tzk∗, k∗ = (k∗1, . . . , k

∗p),

де k∗0, k∗1, . . . , k∗p —розв’язки рiвняння L(τ(k∗0), k∗) = L(τ(k0), k), k∗ =

(k∗0, k∗1, . . . , k

∗p). Подiбнi результати для перiодичних за просторовими змiн-

ними функцiй отримано у роботi [75, с. 158].

Задачу (5.1), (5.2) розглядаємо у шкалi просторiв Hqq∈R, де

Hq =u(t, z) =

∑k∈Zp+1

uk eτ(k0)t zk : ‖u‖2

q =∑k∈Zp+1

k2q|uk|2 < +∞

.

Простiр Hq є гiльбетiв зi скалярним добутком (u, v)Hq=∑k∈Zp

k2qukvk.

Зауваження 5.1. У цiй шкалi виконуються умови (5.2) i визначено ди-

ференцiальнi оператори S=S( ∂∂t, B)за формулою Su=

∑k∈Zp+1

S(τ(k0), k)uk,

де S(τ(k0), k)k∈Zp+1 —послiдовнiсть комплексних чисел.

Розв’язок задачi (5.1), (5.2) будемо шукати, використовуючи iтерацiй-

ну схему Неша–Мозера [94–96], у виглядi границi послiдовностi гладких

(аналiтичних) функцiй.

Для кожного натурального N розiб’ємо простiр Hq на пiдпростори:

Hq = W(N) ⊕W(N)⊥, де

W(N) = u ∈ Hq : u =∑k6N

uk eτ(k0)t zk,

W(N)⊥ = u ∈ Hq : u =∑k>N

uk eτ(k0)t zk.

Позначимо через PN : Hq → W(N) i P⊥N : Hq → W(N)⊥, N ∈ N, опе-

ратори проектування у просторi Hq на W(N) i W(N)⊥ вiдповiдно, якi для

довiльної u ∈ Hq визначаються формулами

PN u =∑k6N

uk eτ(k0)t zk, P⊥N u =

∑k>N

uk eτ(k0)t zk. (5.4)

118

Використовуючи введенi позначення, отримаємо, що W(N) = PNHq,

W(N)⊥ = P⊥NHq. З означень простору Hq i проектора PN випливає, що для

будь-яких N ∈ N, q ∈ R i r ∈ R виконуються такi нерiвностi

‖PNu‖q+r 6 N r‖u‖q для кожної u ∈ Hq, (5.5)

‖P⊥Nu‖q 6 N−r‖u‖q+r для кожної u ∈ Hq+r. (5.6)

Iснування розв’язку задачi (5.1), (5.2) базується на наступних власти-

востях (P1)— (P5) коефiцiєнтiв рiвняння as та функцiї f , яка, за припу-

щенням, вiдображає простiр Hd в себе для деякого d > (p+ 1)/2.

Нехай числа l > d + 2, C0 > 0, C1 > 0 i C2 > 0 такi, що виконуються

умови (P1)— (P4).

(P1) f ∈ C2(Hd; Hd), зокрема f , Duf , D2uf обмеженi на кулi

K1 = u ∈ Hd : ‖u‖d 6 1 простору Hd.

(P2) Для будь-якого d′ ∈ [d, l) та функцiї u ∈ Hd′ виконується

нерiвнiсть ‖f(u)‖d′ 6 C0(1 + ‖u‖d′).(P3) Для довiльних функцiй u ∈ K1 i h ∈ Hd iснує таке

¯d > d+ η, де η > (p+ 1− 2n)/2, що Duf(u) ∈ C1(Hd; H ¯d) i

‖Duf(u)[h]‖ ¯d 6 C1‖h‖d.(P4) Для будь-якого d′ ∈ [d, l − 2] та функцiй u ∈ Hd′

⋂K1 i

h ∈ Hd′ виконується оцiнка

‖f(u+ h)− f(u)−Duf(u)h‖d′ 6 C2(‖u‖d′‖h‖2d + ‖h‖d‖h‖d′).

З властивостi (P4) випливає, що

‖f(u+ h)− f(u)−Duf(u)h‖d 6 2C2‖h‖2d, u ∈ K1, h ∈ Hd.

Зокрема, властивiсть (P2) виконується для C0 = supd6d′<l

supu∈Hd′

‖f(u)‖d′1 + ‖u‖d′

,

властивiсть (P3) —для C1 = supu∈Hd

⋂K1

h∈Hd

‖Duf(u)[h]‖ ¯d, а умова (P4) справд-

жується для сталої C2 = supd6d′6l−2

supu∈Hd′

⋂K1

h∈Hd′

‖f(u+ h)− f(u)−Duf(u)h‖d′‖u‖d′‖h‖2

d + ‖h‖d‖h‖d′,

якщо C0, C1, C2 ⊂ R.

119

Першi чотири властивостi характеризують поведiнку функцiї f у кулi

K1 простору Hd. Множина функцiй, якi задовольняють умови (P1)–(P4),

є непорожньою i мiстить, зокрема, гладкi функцiї.

Для формулювання властивостi (P5) введемо наступнi позначення. Не-

хай коефiцiєнти рiвняння (5.1) належать кругу OA = z ∈ C : |z| < A.Введемо позначення векторiв

~ε = (Re ε, Im ε), ~a = (Re as(j), Im as(j))j=0,1,...,p (5.7)

для s(j) = (0, . . . , 0︸︷︷︸j

, n, 0, . . . , 0), причому as(j) = y2j+1 + i y2j+2, де y2j+1

i y2j+2 —дiйснi числа. Тодi для вектора ~a ∈ Op+1A справедливим є такий

запис: ~a = (y1, . . . , y2p+2).

Введемо послiдовнiсть натуральних чисел Nq, q ∈ N, за формулою

Nq = N 2q

0 (5.8)

з N0 > 2 i зауважимо, що Nq+k = N 2kq , де k ∈ N.

Оператор L розглядатимемо за умови p > 2n на множинi параметрiв

~a ∈ Op+1A , всi iншi as вважатимемо фiксованими. Для η > (p + 1 − 2n)/2

i γ > 0 побудуємо послiдовнiсть множин A0, A1, . . . , де Aq —множина

векторiв ~a з рiвняння (5.1), для яких виконується оцiнка

|L(τ(k0), k)| > γk−η при k 6 Nq, q = 0, 1, . . . . (5.9)

Iз задання множин Aq очевидними є вкладення . . . ⊆ A1 ⊆ A0 ⊂ Op+1A .

Введемо вiдповiднi до множин Aq множини Aq = Oε0× Aq, де q > 0,

ε0 = min

3γ

16C3;

γ

2C0Nη0

; y1; y2; y3

, (5.10)

C3 = maxC0, C1, 2C2, y1, y2, y3 —додатнi розв’язки рiвнянь

48C0C23N

7η0 y3 + 24C2

3γ y2 − γ3 = 0,

8C0C3N3η0 y2 + (8C3γ + 4C3γN

−4η0 ) y − 3γ2 = 0,

120

8C0C3N−η0 y2 + (8C3γ + 4C3γN

−8η0 ) y − 3γ2 = 0

вiдповiдно. МножиниAq, q > 0, також утворюють послiдовнiсть вкладених

множин:

. . . ⊆ A1 ⊆ A0 ⊂ Oε0×Op+1

A .

Зауваження 5.2. Стала C3 є додатньою, якщо C0 > 0, зокрема C3 > C0.

Якщо C0 = 0, то C1 = C2 = C3 = 0 i ε0 = ∞, тобто Oε0= C2, але f = 0,

тому задача (5.1), (5.2) має тривiальний розв’язок. Цей розв’язок єдиний

у множинi A′∞ векторiв (~ε,~a) ∈ C2 × Op+1A , для яких λk 6= 0 для всiх

k ∈ Zp+1. Множина A′∞ є щiльною у множинi Oε×Op+1A параметрiв задачi.

Аналогiчне твердження справедливе для векторiв (~0,~a) ∈ A′∞ у випадку

довiльної функцiї f з будь-якого простору зi шкали Hqq∈R.

Для довiльних u ∈W(N), h ∈W(N), N ∈ N, та ε ∈ C \ 0 позначимо

LN [h] ≡ LN(~ε,~a, u)[h] = Lh− εPNDuf(u)h,

де L—лiва частина рiвняння (5.1), проектор PN задає формула (5.4).

Наступна властивiсть (P5) є властивiстю неперервностi оператора, обер-

неного до лiнiйного оператора LNq(~ε,~a, u) : W(Nq)→W(Nq).

(P5) Для довiльної функцiї u ∈W(Nq) ∩K1 та γ > 0 для всiх

векторiв (~ε,~a) ∈ Aq оператор LNq(~ε,~a, u) : W(Nq)→W(Nq) є

оборотним, зокрема, для d ∈ [d, ¯d−η] i h ∈W(Nq) виконується

нерiвнiсть

‖L−1Nq

(ε,~a, u)[h]‖d 62

γN ηq ‖h‖d. (5.11)

Доведення властивостi (P5). Для довiльного q > 0 подамо оператор

LNq у виглядi LNq = D − Tq, де D—дiагональний оператор, D = L, а

Tq = εPNqDuf , i факторизуємо

LNq = |D|12U|D|

12 − Tq = |D|

12 (U −R1)|D|

12 = |D|

12U(I − U−1R1)|D|

12 ,

причому U = |D|− 12D|D|− 1

2 i R1 = |D|− 12Tq|D|−

12 .

121

Оператори D i |D|α, α > 0, визначенi i дiють у шкалi просторiв Hqq∈R,зокрема, якщо h =

∑k∈Zp+1

hkϕk, то

Dh =∑k∈Zp+1

λk hk ϕk, |D|αh =∑k∈Zp+1

|λk|α hk ϕk.

Для α < 0 оператори |D|α iснують за умови λk 6= 0 для всiх k ∈ Zp+1.

Оператори D i |D|α, α ∈ R, у просторi W(Nq) представленi дiагональни-

ми матрицями (нескiнченного порядку), мають власнi значення λk i |λk|α

вiдповiдно i власнi функцiї ϕk = eτ(k0)tzk при k 6 Nq.

Лема 5.1. Для всiх векторiв ~a ∈ Aq, q > 0, оператор |D| є оборотним

у просторi W(Nq) i для довiльних d ∈ R та h ∈W(Nq) виконується оцiнка∥∥|D|− 12h∥∥d6

1√γ‖h‖d+η/2, η > (p+ 1− 2n)/2.

Доведення цiєї леми наведено нижче у пунктi 5.1.3.

Розглянемо оператор, обернений до LNq , i факторизуємо його:

L−1Nq

= |D|−12 (I − U−1R1)

−1U−1|D|−12 = |D|−

12 (I −R)−1U−1|D|−

12 ,

де R = U−1R1 i (I −R)−1 = I +∞∑r=1Rr за умови збiжностi ряду.

Норми операторiв U та R1, що дiють у просторах Hd для всiх d з про-

мiжку [d, ¯d− η], характеризують наступнi леми 5.2 та 5.3, доведення яких

подано у пунктi 5.1.3.

Лема 5.2. Нехай точковий спектр оператора L не мiстить нуля,

тобто 0 /∈ σp. Тодi для будь-якого d ∈ R оператор U є iзометричним у

просторi Hd.

Лема 5.3. Для оператора R1 : W(Nq) → W(Nq), q > 0, для всiх d ∈[d, ¯d− η] i u ∈W(Nq) справджується оцiнка

‖R1h‖d 6 C1|ε|γ‖h‖d.

122

З формули R = U−1R1 i лем 5.2 та 5.3 для всiх d ∈ [d, ¯d− η] отримаємо

нерiвнiсть ‖Rh‖d = ‖U−1R1h‖d = ‖R1h‖d 6 C1|ε|γ‖h‖d. Запишемо оцiнку

‖(I −R)−1h‖d 6 ‖h‖d +∑r∈N‖Rrh‖d, де

‖Rrh‖d = ‖R(Rr−1)h‖d 6 C1|ε|γ‖Rr−1h‖d 6

(C1|ε|γ

)r‖h‖d,

з якої, за умови |ε| < ε0 i рiвностi (5.10), маємо

‖(I −R)−1h‖d 6 ‖h‖d∞∑r=0

(C1|ε|γ

)r=

= ‖h‖d(

1− C1|ε|γ

)−1

=γ

γ − C1|ε|‖h‖d.

Повертаючись до оцiнки норми оператора L−1Nq, з лем 5.1 i 5.2 та формул

(5.6) i (5.10) виводимо, що для всiх d ∈ [d, ¯d − η] та векторiв (~ε,~a) ∈ Aqсправджується оцiнка

‖L−1Nqh‖d 6

1√γ

γ

γ − C1|ε|∥∥|D|− 1

2h∥∥d+η/2

61

γ

γ

γ − C1|ε|‖h‖d+η 6

6N ηq

γ − C1|ε|‖h‖d =

N ηq

γ

2− C1|ε|+

γ

2

‖h‖d 62

γN ηq ‖h‖d.

Отже, властивiсть (P5) доведено.

З властивостi (P5) випливає, що нерiвнiсть (5.11) виконується для век-

торiв (~ε,~a) ∈ Aq. Для довiльного γ > 0 послiдовнiсть вкладених множин

Aqq=0,1,... збiжна до множини A∞ = A∞(γ) = limq→∞Aq. Саме на цiй мно-

жинi iснує розв’язок задачi (5.1), (5.2).

5.1.2. Рекурентно задамо послiдовнiсть функцiй uqq>0, uq ∈ W(Nq),

визначених на множинах Aq, яка збiгатиметься до розв’язку u ∈ Hd задачi

(5.1), (5.2) для кожного вектора (~ε,~a) ∈ A∞. Метою побудови є також

показати, що множина параметрiв A∞, для яких iснує розв’язок задачi

(5.1), (5.2), є досить великою у множинi Oε0×Op+1

A та знайти оцiнку знизу

її мiри.

123

Теорема 5.1. Нехай виконуються властивостi (P1)— (P5), β = 6η,

η > (p+ 1− 2n)/2. Тодi iснує послiдовнiсть функцiй uqq>0, в якiй

uq =q∑i=0

hi, належить до простору W(Nq) i є розв’язком рiвняння

Luq − εPNqf(uq) = 0, (PNq)

що визначений для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ Aq, i володiє властивостями

Bq6B0Nηq+1, q∈N, B0 6 1 +

|ε|γ

2C0N7η0 та ‖hi‖d64C3B0

|ε|γN−ηi , i∈N, де

Bq=1+‖uq‖d+β для q > 0.

Доведення. Використаємо метод математичної iндукцiї. За умови

(~ε,~a) ∈ A0 знайдемо розв’язок рiвняння

Lu− εPN0f(u) = 0. (PN0

)

Оскiльки iснує L−1 : W(N0) →W(N0), зокрема

L−1w =∑k6N0

λ−1

kwk ϕk =

∑k6N0

wk ϕkL(τ(k0), k)

для довiльної функцiї w =∑k6N0

wkϕk, то з оцiнки (5.9) випливає нерiвнiсть

∥∥L−1w∥∥2

d=∑k6N0

k2d |wk|2

|L(τ(k0), k)|26∑k6N0

1

γ2k2d+2η|wk|

2 =1

γ2‖w‖2

d+η.

Тодi (за формулою (5.5)) справедливими є оцiнки∥∥L−1w∥∥d6

1

γ‖w‖d+η 6

1

γN η

0 ‖w‖d. (5.12)

Рiвняння (PN0) зводимо до вигляду u = εL−1PN0

f(u).

Зауваження 5.3. Якщо C1 = 0, то f(u) = f(0) i u = εL−1PN0f(0) —

єдиний розв’язок рiвняння (PN0) для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ A0.

Позначимо через H0 : W(N0) → W(N0) оператор зi значенням H0(u) =

εL−1PN0f(u) на елементi u ∈W(N0), тодi знаходження розв’язку рiвняння

(PN0) зводиться до вiдшукання нерухомої точки u∈W(N0) цього оператора.

Покажемо, що для кожного вектора (~ε,~a) ∈ A0 оператор H0 є

стиском у кулi G0 = u ∈W(N0) : ‖u‖d 6 ρ0 =|ε|γ

2C0Nη0 .

124

На основi нерiвностi (5.12), властивостi (P2), умови |ε| < ε0 та формули

(5.10), для u ∈ G0 справедливою є оцiнка

‖H0(u)‖d 6|ε|γN η

0 ‖f(u)‖d 6|ε|γN η

0C0(1 + ‖u‖d) 6

6|ε|γN η

0C0(1 + ρ0) =ρ0

2+|ε|γN η

0C0ρ0 6 ρ0,

тобто H0(G0) ⊂ G0. Для довiльних u, u′ ∈ G0 виконується рiвнiсть

H0(u)−H0(u′) = εL−1PN0(f(u)− f(u′)),

тодi, використовуючи нерiвнiсть (5.12) i властивiсть (P3), запишемо оцiнку

‖H0(u)−H0(u′)‖d 6|ε|γN η

0 ‖f(u)− f(u′)‖d 6 C1|ε|γN η

0 ‖u− u′‖d.

З умови (5.10) випливає, що вiдображення H0 : W(N0) →W(N0) є стис-

ком у кулi G0. Тобто u = u0 ∈ G0 ⊂ W(N0) є єдиним розв’язком рiвняння

(PN0) i B0 6 1 +Nβ

0 ρ0 = 1 +|ε|γ

2C0N7η0 ; нульовий крок iндукцiї зроблено.

Далi за iндукцiєю будуємо елементи послiдовностi uqq>0 виг-

ляду uq =q∑i=0

hi, де h0 = u0, для оцiнки норми яких у просторi Hd+β

використовуємо наступну лему, доведення якої наведено у пунктi 5.1.3.

Лема 5.4. Для елементiв uq послiдовностi uqq>0 виконується оцiнка

Bq+1 6 (1 +N ηq+1)Bq. (5.13)

З нерiвностi (5.13) за iндукцiєю отримаємо, що

Bq 6 B0

q∏i=1

(1 +N ηi ) = B0

q∏i=1

(1 +

(N 2i

0

)η).

Оскiльки 1 +(N 2i

0

)η6(N 2i+2−i

0

)η, то справджується нерiвнiсть

Bq 6 B0

q∏i=1

(N 2i+2−i

0

)η= B0N

q∑i=1

η(2i+2−i)

0 = B0Nη2q+1−η+

q∑i=1

η2−i

0 6 B0Nηq+1.

Вважаючи вiдомими функцiї u0, u1, . . . , uq, доведемо iснування функцiй

uq+1 ∈W(Nq+1) —розв’язку рiвняння

125

Luq+1 − εPNq+1f(uq+1) = 0. (PNq+1

)

Оскiльки uq+1 =uq + hq+1, то hq+1∈W(Nq+1) i Bq+1 =1+‖uq+1‖d+β6B0Nηq+2.

Оцiнимо доданок hq+1 у просторi Hd.

Для кожного h ∈W(Nq+1) запишемо процедуру лiнеризацiї лiвої частини

рiвняння (PNq+1)

L(uq + h)− εPNq+1f(uq + h) = Luq − εPNq+1

f(uq) +Lh− εPNq+1Duf(uq)h+

+ εPNq+1Duf(uq)h+ εPNq+1

f(uq)− εPNq+1f(uq + h) = rq + LNq+1

(~ε,~a, uq)h−

− εPNq+1(f(uq + h)− f(uq)−Duf(uq)h) = rq + LNq+1

(~ε,~a, uq)h+Rq(h),

де rq = Luq−εPNq+1f(uq), Rq(h) = −εPNq+1

(f(uq+h)−f(uq)−Duf(uq)h), у

пiдсумку якої hq+1 є розв’язком у просторi W(Nq+1) лiнеаризованого у точцi

uq рiвняння

rq + LNq+1(~ε,~a, uq)h+Rq(h) = 0.

Оскiльки uq є розв’язком рiвняння (PNq), тобто Luq = εPNqf(uq), то

rq = ε(PNq − PNq+1)f(uq) = −εP⊥NqPNq+1

f(uq) ∈W(Nq)⊥ ∩W(Nq+1),

звiдси, використовуючи формулу (5.6) та властивiсть (P2), отримаємо

‖rq‖d = |ε|N−βq ‖PNq+1f(uq)‖d+β 6 |ε|C0N

−βq Bq 6 |ε|C0B0N

−βq N η

q+1.

Для оцiнки норми ‖Rq(h)‖d елемента Rq(h) ∈ W(Nq+1) використаємо

властивiсть (P4) та одержимо

‖Rq(h)‖d 6 2C2|ε|‖h‖2d.

Оскiльки для будь-яких h, h′ ∈W(Nq+1)

Rq(h)−Rq(h′) 6 −εPNq+1

(f(uq + h)− f(uq + h′)−Duf(uq)(h− h′)) =

= −εPNq+1(f(uq + h′ + (h− h′))− f(uq + h′)−Duf(uq)(h− h′)),

то за властивiстю (P4) виконується оцiнка

126

‖Rq(h)−Rq(h′)‖d 6 |ε|‖f(uq+h

′+(h−h′))−f(uq+h′)−Duf(uq)(h−h′)‖d 6

6|ε|‖f(uq+h′+(h−h′))−f(uq+h

′)−Duf(uq+h′)(h−h′)+Duf(uq+h

′)(h−h′)−

−Duf(uq)(h− h′)‖d 6 |ε|(2C2‖h− h′‖2d + C1‖h− h′‖d‖h′‖d) 6

6 |ε|(2C2‖h− h′‖d(‖h‖d + ‖h′‖d)+C1‖h− h′‖d‖h′‖d) 6

6 C3|ε|(‖h‖d + 2‖h′‖d)‖h− h′‖d.

За властивiстю (P5) оператор LNq+1(~ε,~a, uq) є оборотним для всiх векто-

рiв (~ε,~a) ∈ Aq+1, uq ∈W(Nq) i ‖L−1Nq+1

(~ε,~a, uq)[h]‖d 62

γN ηq+1‖h‖d.

Позначимо через Hq+1 : W(Nq+1) →W(Nq+1) оператор зi значенням

Hq+1(h) = −L−1Nq+1

(~ε,~a, uq)(rq +Rq(h)

)на елементi h ∈ W(Nq+1). Тодi розв’язування рiвняння (PNq+1

) еквiва-

лентне знаходженню нерухомої точки hq+1 = h ∈ W(Nq+1) рiвняння

h = Hq+1(h).

Лема 5.5. Для кожного вектора (~ε,~a) ∈ Aq+1 оператор Hq+1, де q > 0,

є стиском у кулi Gq+1 = h ∈W(Nq+1) : ‖h‖d 6 ρq+1 = 4C3B0|ε|γN−ηq+1.

З леми 5.5 випливає iснування для вектора (~ε,~a) ∈ Aq+1 єдиного розв’яз-

ку hq+1 ∈ W(Nq+1) рiвняння h = Hq+1(h), який задовольняє нерiвнiсть

‖hq+1‖d 6 ρq+1 = 4C3B0|ε|γN−ηq+1.

Таким чином, функцiя uq+1 = uq +hq+1 є розв’язком у просторi W(Nq+1)

рiвняння (PNq+1), який визначений для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ Aq+1 ⊆ A0 i

uq+1 =q+1∑i=0

hi, де hi ∈ W(Ni), та виконується оцiнка ‖hi‖d 6 4C3B0|ε|γN−ηi

для будь-якого i = 0, 1, . . . , q + 1.

Мiру граничної множини A∞, для елементiв якої справджується теоре-

ма 5.1, описує теорема 5.2.

Теорема 5.2. Нехай множину A∞ визначає формула A∞ =⋂q>0Aq,

тодi для її мiри measA∞ справедливою є оцiнка

measA∞ > ε20A

2p+2πp+2(

1− γ2 4p+1(p+ 1)M

A2πp+1

),

127

де M =∑

k∈Zp+1

k−α, α = 2η + 2n > p+ 1.

Доведення. Оскiльки Aq =q⋂l=0

Al, то A∞ = limq→∞Aq =

∞⋂q=0Aq.

Для оцiнки мiри множини A∞ видiлимо старшу частину L1(τ(k0), k)

многочлена L(τ(k0), k), а саме L(τ(k0), k) = L1(τ(k0), k) + L2(τ(k0), k), де

L1(τ(k0), k) = an,0,...,0(τ(k0)

)n+

p∑i=1

a0,...,0︸︷︷︸j

,n,0,...,0knj =

2p+2∑j=1

yj(ϕj(k) + i ξj(k)

),

зокрема, ReL1(τ(k0), k) =2p+2∑i=1

yjϕj(k) та ImL1(τ(k0), k) =2p+2∑i=1

yjξj(k).

Зауважимо, що measA∞ = ε20A

2p+2πp+2 − measA∞, де A∞ =∞⋃q=0Aq,

Aq = Oε0× Aq i measA∞ = lim

q→∞measAq, а горизонтальна риска над мно-

жиною означає операцiю доповнення цiєї множини у множинi Oε0×Op+1

A ,

або у множинi Op+1A . Знайдемо мiру множини A∞. Для цього оцiнимо мiру

множини Aq =⋃

k6Nq

Aq(k), де Aq(k) —множина векторiв ~a, для яких при

фiксованому векторовi k з умовою k 6 Nq виконується нерiвнiсть

|L(τ(k0), k)| < γk−η.

Очевидно, що Aq(k) ⊂ A′q(k), де A′q(k) —множина векторiв ~a для яких

при фiксованому векторовi k, такому, що k 6 Nq, виконуються нерiвностi

|ReL(τ(k0), k)| < γk−η, |ImL(τ(k0), k)| < γk−η.

A′q(k) —це множина точок ~a, якi знаходяться мiж гiперплощинами

2p+2∑i=1

yjϕj(k) = ReL2(τ(k0), k)± γk−η,

2p+2∑i=1

yjξj(k) = ImL2(τ(k0), k)± γk−η.

Можна отримати [75, с. 256] оцiнку measA′q(k) 6 d2p · S, де d—дiаметр

мiнiмальної кулi, що мiстить множину векторiв ~a, а число S визначається

128

формулою

S =4γ2k−2η( 2p+2∑

i=1

ϕ2j(k)

) 12( 2p+2∑

i=1

ξ2j (k)

) 12

,

Для чисел S i d справедливими є нерiвностi S 64(p+ 1)γ2k−2η

(m2 + |k|2)ni d 6 2A.

Отже, для мiри множини Aq можна записати оцiнку

measAq 6∑k6Nq

measAq(k) 6∑k6Nq

measA′q(k) 6

6 4d2p(p+ 1)γ2∑k6Nq

k−α 6 4d2p(p+ 1)γ2∑k∈Zp+1

k−α,

де α = 2η+ 2n. Оскiльки η > (p+ 1− 2n)/2, то α > p+ 1 i ряд∑

k∈Zp+1

k−α є

збiжним, тобто∑

k∈Zp+1

k−α=M<∞. Тодi measAq 6 4d2p(p+1)γ2M i для мiри

measAq множини Aq справедлива оцiнка measAq 6 4πε20Md2p(p + 1)γ2.

Так, як measA∞ = limq→∞

measAq, то measA∞ 6 4πε20Md2p(p + 1)γ2. Мiра

множини A∞ має асимптотику measA∞ =γ→0

meas (Oε0× Op+1

A ) + O(γ2),

зокрема,

measA∞ > ε20A

2p+2πp+2 − 4πε20M4pA2p(p+ 1)γ2 =

= ε20A

2p+2πp+2(

1− γ2 4p+1(p+ 1)M

A2πp+1

).

Доведемо теорему iснування розв’язку u задачi (5.1), (5.2) у Hd.

Теорема 5.3. Для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ A∞ та довiльного γ > 0 i

натурального N0 > 2 ряд∑i>0

hi є збiжним у просторi Hd до розв’язку u

задачi (5.1), (5.2), норма якого визначається нерiвнiстю ‖u‖d 68C3B0

N η0

|ε|γ.

Доведення. За теоремою 5.1 для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ A∞ для мажо-

рантного ряду∑i>0

‖hi‖d виконується оцiнка∑i>0

‖hi‖d 6∑i>0

4C3B0|ε|γN−ηi .

129

Тому ряд∑i>0

hi збiгається у просторi Hd до деякої функцiї u ∈ Hd, оскiльки

‖u‖d 6∑i>0

‖hi‖d 6∑i>0

4C3B0|ε|γN−ηi = 4C3B0

|ε|γ

∑i>0

(N 2i

0

)−η6

6 4C3B0|ε|γ

2

N η0

=8C3B0

N η0

|ε|γ.

Покажемо, що Lu = εf(u). Функцiя uq є розв’язком рiвняння (PNq), тодi

Luq = εPNqf(uq) = εf(uq)− εP⊥Nqf(uq). (5.14)

З властивостi (5.6) проектора P⊥Nq у просторi Hd, властивостi (P2) i оцiнки

для Bq з доведення теореми 5.1 знайдемо

‖P⊥Nqf(uq)‖d 6 N−βq ‖f(uq)‖d+β 6 C0N−βq Bq 6 C0B0N

−6ηq N η

q+1 =

= C0B0N−6ηq N 2η

q = C0B0N−4ηq = C0B0N

−4η2q

0 .

Звiдси випливає, що P⊥Nqf(uq) → 0 при q → ∞. З властивостi (P1) права

частина (5.14) є збiжною до εf(u) у просторi Hd, а з неперервностi опера-

тора L маємо, що лiва частина (5.14) Luq при q → ∞ збiгається до Lu у

сенсi розподiлiв.

Отже, за допомогою iтерацiйної схеми Неша–Мозера для довiльного

числа γ > 0 за умови (5.10) доведено iснування розв’язку u ∈ Hd задачi

(5.1), (5.2) для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ A∞(γ) ⊂ Oε0×Op+1

A , причому

measA∞(γ) > (1− Γ1γ2)meas (Oε0

×Op+1A ), Γ1 =

4p+1(p+ 1)M

A2πp+1.

5.1.3. Наведемо доведення лем 5.1–5.5.

Доведення леми 5.1. Для всiх векторiв ~a ∈ Aq оператор |D|− 12 iснує,

оскiлькиD не має нульового власного значення. Якщо h =∑k6Nq

eτ(k0)t zk hk,

то |D|− 12h =

∑k6Nq

hkϕk√|L(τ(k0), k)|

, а з нерiвностi (5.9) випливає оцiнка

∥∥|D|− 12h∥∥2

d=∑k6Nq

k2d |hk|2

|L(τ(k0), k)|6∑k6Nq

1

γk2d+η|hk|

2 =1

γ‖h‖2

d+η/2,

130

що й доводить лему 5.1.

Доведення леми 5.2. Оскiльки U = |D|− 12D|D|− 1

2 , то його дiю на функ-

цiю h ∈ Hd задає формула Uh =∑

k∈Zp+1

λk|λk|

hk ϕk, де λk — власнi значення

оператора D. Використовуючи означення простору Hd i норми у цьому

просторi, отримаємо, що ‖U−1h‖d = ‖h‖d.

Доведення леми 5.3. Оскiльки R1h = ε|D|− 12 PNq(Duf |D|−

12h), то, вико-

ристовуючи лему 5.1 та нерiвнiсть (5.5), отримаємо

‖R1h‖d 6 |ε|1√γ‖PNqDuf |D|−

12h‖d+η/2 6 |ε|

1√γN−η/2q ‖Duf |D|−

12h‖d+η 6

6 |ε| 1√γN−η/2q C1‖|D|−

12h‖d 6 C1|ε|

1

γN−η/2q ‖h‖d+η/2 6 C1|ε|

1

γ‖h‖d.

Доведення леми 5.4. Оскiльки uq+1 = uq + hq+1 i hq+1 ∈ Gq+1, то

Bq+1 = 1 + ‖uq+1‖d+β 6 1 + ‖uq‖d+β + ‖hq+1‖d+β = Bq + ‖hq+1‖d+β.

Для норми розв’язку hq+1 рiвняння hq+1 = −L−1Nq+1

(~ε,~a, uq)(rq+Rq(hq+1)

)у просторi Hd+β справджується оцiнка

‖hq+1‖d+β 62

γN ηq+1

(‖rq‖d+β + ‖Rq(hq+1)‖d+β

). (5.15)

Оскiльки rq = −εP⊥NqPNq+1f(uq), то, використавши (P2), запишемо оцiнку

для норми ‖rq‖d+β таким чином:

‖rq‖d+β 6 |ε|‖f(uq)‖d+β 6 |ε|C0(1 + ‖uq‖d+β) = |ε|C0Bq. (5.16)

Для оцiнки величини ‖Rq(hq+1)‖d+β застосуємо лему 5.5 i властивiсть (P4)

‖Rq(hq+1)‖d+β 6 |ε|C2

(‖uq‖d+β‖hq+1‖2

d + ‖hq+1‖d‖hq+1‖d+β

)6

6 |ε|C2

(Bqρ

2q+1 + ρq+1‖hq+1‖d+β

). (5.17)

Пiдставивши оцiнки (5.16) i (5.17) у нерiвнiсть (5.15), одержимо

131

‖hq+1‖d+β 62

γN ηq+1

(|ε|C0Bq + |ε|C2

(Bqρ

2q+1 + ρq+1‖hq+1‖d+β

))=

= 2C0|ε|γN ηq+1Bq + 2C2

|ε|γN ηq+1ρ

2q+1Bq + 2C2

|ε|γN ηq+1ρq+1‖hq+1‖d+β <

< 2C3|ε|γN ηq+1Bq + C3

|ε|γN ηq+1ρ

2q+1Bq + C3

|ε|γN ηq+1ρq+1‖hq+1‖d+β.

Враховуючи лему 5.5 та рiвнiсть (5.10) при |ε| < ε0, з нерiвностi

4C3|ε|γN ηq+1ρq+1 < 4C3

ε0

γN ηq+1ρq+1 6 4

(2C3ε0

γ

)2

=2

3< 1

отримаємо для q > 2 оцiнку

‖hq+1‖d+β 6 2C3|ε|γN ηq+1Bq +

ρq+1

4Bq +

1

4‖hq+1‖d+β <

< 2C3|ε|γN ηq+1Bq + C3B0

|ε|γN−ηq+1Bq +

1

4‖hq+1‖d+β =

= 2C3|ε|γBq(N

ηq+1 +

1

2B0N

−ηq+1) +

1

4‖hq+1‖d+β 6

6 4C3|ε|γN ηq+1Bq +

1

4‖hq+1‖d+β.

Тодi3

4‖hq+1‖d+β 6 4C3

|ε|γN ηq+1Bq для q > 2, звiдки, враховуючи (5.10)

при |ε| < ε0, маємо

‖hq+1‖d+β 616

3C3|ε|γN ηq+1Bq 6 N η

q+1Bq, q > 2,

‖h1‖d+β 68

3C3|ε|γ

(1 + α1)Nη1B0,

‖h2‖d+β 68

3C3|ε|γ

(1 + α2)Nη2B1,

де α1 =1

2B0N

−4η0 , α2 =

1

2B0N

−8η0 .

З (5.10) випливає, що |ε|<y2 i, отже, |ε|< 3γ

8C3

(1+

1

2N−4η

0

(1+|ε|γ

2C0N7η0

)) ,звiдки |ε| < 3γ

8C3(1 + α1). Тодi справедливою є нерiвнiсть ‖h1‖d+β 6 N η

1B0.

132

Аналогiчно, враховуючи умову (5.10), справджується нерiвнiсть |ε|<y3,

звiдки |ε| < 3γ

8C3

(1 +

1

2N−8η

0

(1+|ε|γ

2C0N7η0

)) , тодi |ε| < 3γ

8C3(1 + α2)i

‖h2‖d+β 6 N η2B1.

Отже, Bq+16Bq +N ηq+1Bq=(1 +N η

q+1)Bq, що i треба було довести.

Доведення леми 5.5. За властивiстю (P5) для h ∈ Gq+1 маємо

‖Hq+1(h)‖d 62

γN ηq+1

(‖rq‖d + ‖Rq(h)‖d

)6

6 2C0B0|ε|γN ηq+1N

−βq N η

q+1 + 4C2|ε|γN ηq+1‖h‖2

d.

Враховуючи значення β, рiвнiсть Nq+1 = N 2q , формулу (5.10) та |ε| < ε0,

маємо нерiвнiсть

‖Hq+1(h)‖d 6 2C0B0|ε|γN−ηq+1 + 4C2

|ε|γN ηq+1ρ

2q+1 6

6 2C3B0|ε|γN−ηq+1 + 2C3

|ε|γN ηq+1ρ

2q+1 6

ρq+1

2+ 8B0

(C3|ε|γ

)2

ρq+1 6 ρq+1,

тому оператор Hq+1 вiдображає Gq+1 в себе.

Для довiльних функцiй h, h′ ∈ Gq+1 виконується рiвнiсть

Hq+1(h)−Hq+1(h′) = −L−1

Nq+1(~ε,~a, uq)

(Rq(h)−Rq(h

′)),

тому для норми цiєї рiзницi у просторi Hd справедливою є оцiнка

‖Hq+1(h)−Hq+1(h′)‖d 6

2

γN ηq+1

∥∥Rq(h)−Rq(h′)∥∥d6

6 2C3|ε|γN ηq+1(‖h‖d + 2‖h′‖d)‖h− h′‖d 6

6 2C3|ε|γN ηq+112C3B0

|ε|γN−ηq+1‖h− h′‖d 6 24B0

(C3|ε|γ

)2

‖h− h′‖d.

З (5.10) випливає, що |ε| < y1 i |ε| < γ

2√

6C3

√1 +|ε|γ

2C0N7η0

, звiдки

|ε| < γ

2C3

√6B0

. Отже, оператор Hq+1 є стиском.

133


зi слабкою нелiнiйнiстю у просторах рядiв

Дiрiхле–Тейлора

У даному пiдроздiлi дослiджено нелокальну крайову задачу для дифе-

ренцiально-операторного рiвняння з нелiнiйною (слабко нелiнiйною) пра-

вою частиною та оператором диференцiювання B = (z1∂

∂z1, . . . , zp

∂

∂zp),

який дiє на функцiї комплексних просторових змiнних z1, . . . , zp. За до-

помогою iтерацiйної схеми Неша–Мозера встановлено умови розв’язностi

цiєї задачi у шкалi просторiв функцiй багатьох комплексних змiнних, що є

рядами Дiрiхле–Тейлора з фiксованим спектром, асимптотику якого задає

деяке додатнє число.

5.2.1. Зафiксуємо множину векторiвN=νk=(ν1k, . . ., νpk) ∈ Rp : k∈Zp,а також позначимо вектор νk = (k0, ν1k, . . . , νpk), як елемент множини

Z × N , i його пiдправлену норму νk =√

1 + k20 + ν2

1k + . . .+ ν2pk. Множи-

ну N будемо називати спектром функцiй, що є рядами Дiрiхле–Тейлора,

якщо вона пiдпорядкована таким умовам:

1. рiвнiсть νk = νr справджується лише при k = r, тобто вiдображення

k ↔ νk є бiєктивним вiдображенням Zp на множину N ;

2. νk →∞ при k →∞.

3. для деякого θ∈R справедливо ξN (θ)<∞, де функцiя ξN (x) : R→R

задається формулою ξN (x) =∑

k∈Zp+1

ν−xk

.

Очевидно, що введена функцiя ξN не iснує для x 6 0, тому θ > 0, i

ξN (x) < ξN (θ) < ∞ для всiх x > θ, тобто функцiя iснує на [θ,∞). Чи-

сло θ—характеристика спектру N , яка задає асимптотику спектра, а саме

швидкiсть зростання послiдовностi νk при k →∞.

В областi Dp розглянемо задачу з двоточковими нелокальними умовами

(5.2) для диференцiально-операторного рiвняння (5.1) (с. 116) зi сталими

коефiцiєнтами i нелiнiйною правою частиною, та дослiдимо умови її роз-

134

в’язностi у просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора. Розв’язок задачi (5.1), (5.2)

будемо шукати, як i у пунктi 5.1, у виглядi границi послiдовностi гладких

функцiй (використовуючи iтерацiйну схему Неша–Мозера).

Розглянемо задачу на власнi значення для оператора L, породженого

диференцiальним виразом L( ∂∂t,∂

∂z

)i крайовими умовами (5.2) з µ 6= 0,

тобто задачу (5.3) (с. 116). Власними значеннями цiєї задачi є числа λk =

L(τ(k0), νk), де τ(k0) =lnµ

T+i 2πk0

T, lnµ— головне значення логарифма,

а власними функцiями, що вiдповiдають власному значенню λk є функцiї

ϕk∗ = eτ(k∗0)tzνk∗ , νk∗ = (ν1k∗, . . . , νpk∗), де k∗0, ν1k∗, . . . , νpk∗ є розв’язками

рiвняння L(τ(k∗0), νk∗) = L(τ(k0), νk) з множини Z×N .

Для задачi (5.1), (5.2) на базi власних функцiй ϕk оператора L розгля-

немо простори

HNq = u(t, z) =∑k∈Zp+1

uk eτ(k0)t zνk : ‖u‖2

q =∑k∈Zp+1

|uk|2ν2q

k< +∞, q ∈ R.

Для кожного натурального N розiб’ємо простiр HNq у пряму суму

HNq = WN (N) ⊕WN (N)⊥, де

WN (N) = u ∈ HNq : u =∑

k : νk6N

uk eτ(k0)t zνk,

WN (N)⊥ = u ∈ HNq : u =∑

k : νk>N

uk eτ(k0)t zνk.

Оператори проектування у просторi HNq на простори WN (N) i WN (N)⊥,

N ∈ N, позначимо через PNN i PN⊥N вiдповiдно, якi дiють на довiльну

функцiю u ∈ HNq за формулами

PNN u =∑

k : νk6N

uk eτ(k0)t zνk, PN⊥N u =

∑k : νk>N

uk eτ(k0)t zνk, (5.18)

та, як i оператори PN та P⊥N (с. 118), володiють властивiстю (5.5)

для u ∈ HNq i властивiстю (5.6) для u ∈ HNq+r.

Iснування розв’язку задачi (5.1), (5.2) у просторi HNd базується на

наступних властивостях (P1)— (P5), аналогiчних до властивостей (P1)—

135

(P5) з пункту 5.1, коефiцiєнтiв рiвняння as та функцiї f : HNd → HNd, яка,

за припущенням, вiдображає простiр HNd в себе для деякого d > (p+1)/2.

Нехай числа l > d + 2, C4 > 0, C5 > 0, C6 > 0 такi, що виконуються

умови (P1)— (P4).

(P1) f ∈ C2(HNd; HNd), зокрема f , Duf , D2uf обмеженi на кулi

K1 = u ∈ HNd : ‖u‖d 6 1 простору HNd.

(P2) Для будь-якого d′ ∈ [d, l) та функцiї u ∈ HNd′ виконується

нерiвнiсть ‖f(u)‖d′ 6 C4(1 + ‖u‖d′).(P3) Для довiльних функцiй u ∈ K1 i h ∈ HNd iснує таке

¯d > d+ η, η = θ/2− n, що Duf(u) ∈ C1(HNd; HN ¯d) i

‖Duf(u)[h]‖ ¯d 6 C5‖h‖d.(P4) Для будь-якого d′ ∈ [d, l − 2] та функцiй u ∈ HNd′

⋂K1 i

h ∈ HNd′ виконується оцiнка

‖f(u+ h)− f(u)−Duf(u)h‖d′ 6 C6(‖u‖d′‖h‖2d + ‖h‖d‖h‖d′).

З властивостi (P4) випливає, що ‖f(u+ h)− f(u)−Duf(u)h‖d 6 2C6‖h‖2d.

Для формулювання властивостi (P5) введемо наступнi позначення. Не-

хай коефiцiєнти рiвняння (5.1) належать кругу OA = z ∈ C : |z| < Aрадiуса A > 0, вектори ~ε i ~a задаються (с. 119) формулами (5.7), а послi-

довнiсть натуральних чисел Nq, q ∈ N, рiвнiстю (5.8).

Оператор L розглядатимемо за умови η > 0, тобто θ/2 > n, на множинi

параметрiв ~a ∈ Op+1A (всi iншi as вважатимемо фiксованими). Для додат-

нього γ побудуємо послiдовнiсть множин . . . ⊆ AN1 ⊆ AN0 ⊂ Op+1A , де

ANq —множина тих векторiв ~a з (5.1), для яких виконується оцiнка

|L(τ(k0), k)| > γν−ηk

при νk 6 Nq, q = 0, 1, . . . .

Вiдповiдно до множин ANq, q = 0, 1, . . . , введемо декартовi добутки

ANq = Oε0× ANq, q > 0, де ε0 = min

3γ

16C7;

γ

2C4Nη0

; y1; y2; y3

, C7 =

136

maxC4, C5, 2C6, y1, y2, y3 —додатнi розв’язки рiвнянь

48C4C27N

7η0 y3 + 24C2

7γ y2 − γ3 = 0,

8C4C7N3η0 y2 + (8C7γ + 4C7γN

−4η0 ) y − 3γ2 = 0,

8C4C7N−η0 y2 + (8C7γ + 4C7γN

−8η0 ) y − 3γ2 = 0

вiдповiдно, i, зокрема, . . . ⊆ AN1 ⊆ AN0 ⊂ Oε0×Op+1

A .

Для довiльних u ∈WN (N), h ∈WN (N), N ∈ N, та ~ε ∈ R2 позначимо

LNN [h] ≡ LNN(~ε,~a, u)[h] ≡ Lh− εPNNDuf(u)h,

де L—лiва частина рiвняння (5.1), проектор PNN задає формула (5.18).

Властивiсть (P5) є властивiстю неперервностi оператора, оберненого до

лiнiйного оператора LNNq(~ε,~a, u) : WN (Nq)→WN (Nq)

(P5) Для довiльної функцiї u ∈WN (Nq) ∩K1 та числа γ > 0 для

векторiв (~ε,~a)∈ANq оператор LNNq(~ε,~a, u) : WN (Nq)→WN (Nq)

є оборотним, зокрема для всiх d ∈ [d, ¯d− η] i h ∈WN (Nq)

виконується оцiнка

‖LN−1Nq

(~ε,~a, u)[h]‖d 62

γN ηq ‖h‖d, q = 0, 1, . . . .

Доведення властивостi (P5) якої проводиться за схемою доведення вiд-

повiдної властивостi з пункту 5.1.

5.2.2. Послiдовнiсть вкладених множин ANqq=0,1,... для довiльного

числа γ > 0 збiжна до множини AN∞ = AN∞(γ) = limq→∞ANq. Рекурентно

задамо послiдовнiсть функцiй uqq>0, uq ∈ WN (Nq), визначених на мно-

жинах ANq ⊂ AN∞, яка збiгатиметься до розв’язку u ∈ HNd задачi (5.1),

(5.2) для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ AN∞. Саме на множинi AN∞ iснує розв’язок

задачi (5.1), (5.2).

Теорема 5.4. Нехай виконуються властивостi (P1)— (P5), β = 6η =

3(θ − 2n). Тодi iснує послiдовнiсть функцiй uqq>0, де uq =q∑i=0

hi нале-

жить до простору WN (Nq) i є розв’язком рiвняння

137

Luq − εPNNqf(uq) = 0, (PNq)

що визначений для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ ANq, з такими властивостями

Bq 6 B0Nηq+1, q ∈ N, B0 6 1 +

|ε|γ

2C4N7η0 i ‖hi‖d 6 4C7B0

|ε|γN−ηi , i ∈ N, де

Bq = 1 + ‖uq‖d+β, q > 0.

Теорема 5.5. Множину AN∞ визначає формула AN∞ =⋂q>0ANq, а

для її мiри measAN∞ справджується оцiнка

measAN∞ > ε20A

2p+2πp+2(

1− γ2 4p+1(p+ 1)ξN (θ)

A2πp+1

). (5.19)

Доведення даної теореми проводиться за такою ж схемою (с. 126), що

i доведення теореми 5.2, з урахуванням того, що для мiр множин ANq i

ANq (горизонтальна риска над множиною означає операцiю доповнення

множини у множинi Oε0×Op+1

A або Op+1A ) виконуються оцiнки

measANq 6 4p+1A2p(p+ 1)γ2∑

k : νk6Nq

ν−2η−2n

k6

6 4p+1A2p(p+ 1)γ2∑k∈Zp+1

ν−θk

= 4p+1A2p(p+ 1)γ2ξN (θ),

measANq 6 πε204p+1A2p(p+ 1)ξN (θ)γ2,

а з рiвностi measAN∞ = limq→∞

measANq отримуємо, що

measAN∞ 6 πε204p+1A2p(p+ 1)ξN (θ)γ2.

Тодi мiра множини AN∞ має оцiнку (5.19), що i доводить твердження тео-

реми.

Доведено теорему iснування розв’язку u задачi (5.1), (5.2) у шкалi про-

сторiв HNd.

Теорема 5.6. Для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ AN∞ та γ > 0 i N0 ∈ N\1,ряд

∑i>0

hi є збiжним у просторi HNd до розв’язку u задачi (5.1), (5.2) з

нормою ‖u‖d 68C7B0

N η0

|ε|γ.

Доведення теорем 5.4 i 5.6 проводяться методами доведення теорем 5.1

(с. 123) та 5.3 (с. 128) вiдповiдно.

138


зi слабкою нелiнiйнiстю в уточненiй шкалi Соболєва

просторiв функцiй комплексних змiнних

У пiдроздiлi дослiджується нелокальна крайова задача для диферен-

цiально-операторного рiвняння з нелiнiйною правою частиною у шкалi про-

сторiв Хермандера, що утворюють уточнену соболєвську шкалу. Доведення

проводяться за iтерацiйною схемою Неша–Мозера, де найбiльш важливим є

отримання оцiнок норм у вiдповiдних просторах обернених лiнеаризованих

операторiв, якi виникають на кожному кроцi цiєї схеми. При встановленнi

оцiнок виникає проблема малих знаменникiв, яка вирiшується за допомо-

гою метричного пiдходу.

5.3.1. В областi Dp дослiдимо умови розв’язностi задачi з двоточко-

вими нелокальними умовами (5.2) для диференцiально-операторного рiв-

няння (5.1) з нелiнiйною правою частиною (с. 116) у шкалi Hψq q∈R, ψ∈M

просторiв Хермандера, що утворюють уточнену соболєвську шкалу, де

Hψq =

u(t, z) =

∑k∈Zp+1

uk eτ(k0)t zk : ‖u‖2

q,ψ =∑k∈Zp+1

k2qψ2(k)|uk|2 < +∞

.

Виберемо функцiю ψ1 ∈ M так, щоб ω1(2) < ∞, де функцiю ω1 : R →[0,+∞] задає формула

ω1(r) =∑k∈Zp+1

k−(p+1)ψ−r1 (k),

Функцiї ψ з такими властивостями iснують, наприклад

ψ(t) = (ln t)r1(ln ln t)r2 . . . (ln . . . ln︸︷︷︸k

t)rk,

якщо ln . . . ln︸︷︷︸k

t > 0, де k ∈ N, i ψ(t) = 1 в iншому випадку, для дiйсних

чисел r1 > 1, . . . , rk > 1 таких, що r1 . . . rk > 1.

Розв’язок задачi (5.1), (5.2) шукатимемо у виглядi границi послiдов-

ностi гладких (аналiтичних) функцiй зi скiнченно-вимiрних пiдпросторiв

простору Hψq .

139

Для кожного натурального N подамо простiр Hψq у виглядi прямої суми

Hψq = PΨNHψ

q ⊕ PΨ⊥NHψq , вiдщiпляючи скiнченно-вимiрний пiдпростiр, де

PΨN u =∑k6N

uk eτ(k0)t zk, PΨ⊥N u =

∑k>N

uk eτ(k0)t zk (5.20)

i введемо позначення WΨ(N) = PΨNHψq та WΨ(N)⊥ = PΨ⊥NHψ

q . Розмiрнiсть

простору WΨ(N) скiнченна (дорiвнює кiлькостi розв’язкiв нерiвностi

k20 + k2

1 + . . .+ k2p 6 N − 1), зростає i має асимптотику Np+1.

Для введених формулами (5.20) операторiв проектування PΨN i PΨ⊥N у

просторi Hψq на WΨ(N) i WΨ(N)⊥ вiдповiдно, легко отримуються нерiвностi

‖PΨNu‖q+r,ψ′ψ′′ 6 N rψ′′(N)‖u‖q,ψ′ для кожної u ∈ Hψ′

q , (5.21)

‖PΨ⊥Nu‖q,ψ′ 6 N−r(ψ′′(N))−1‖u‖q+r,ψ′ψ′′ для кожної u ∈ Hψ′ψ′′

q+r

для будь-яких N ∈ N, q ∈ R, r ∈ R i функцiй ψ′ i ψ′′ з множиниM.

Враховуючи схему знаходження розв’язку задачi (5.1), (5.2) у шкалi

просторiв Соболєва (пункт 5.1), iснування розв’язку даної задачi в уточ-

ненiй соболєвськiй шкалi також базується на деяких властивостях (P1)—

(P5) коефiцiєнтiв as та функцiї f з правої частини рiвняння, яка, за при-

пущенням, вiдображає простiр Hψd в себе для деякого d > (p+ 1)/2.

Нехай числа l > d + 2, C8 > 0, C9 > 0 i C10 > 0 такi, що виконуються

умови (P1)— (P4):

(P1) f ∈ C2(Hψd ; Hψ

d ), зокрема f , Duf , D2uf обмеженi на кулi

K1 = u ∈ Hψd : ‖u‖d,ψ 6 1;

(P2) для будь-якого d′ ∈ [d, l) та функцiї u ∈ Hψd′ виконується

‖f(u)‖d′,ψ 6 C8(1 + ‖u‖d′,ψ);

(P3) для довiльних функцiй u ∈ K1 i h ∈ Hψd iснує таке

¯d > d+ 2η, η = (p+ 1− 2n)/2, що Duf(u) ∈ C1(Hψd ; Hψ

¯d) i

‖Duf(u)[h]‖ ¯d,ψ 6 C9‖h‖d,ψ;(P4) для будь-якого d′ ∈ [d, l − 2] та функцiй u ∈ Hψ

d′⋂K1 i

140

h ∈ Hψd′ справджується оцiнка

‖f(u+h)−f(u)−Duf(u)h‖d′,ψ 6 C10(‖u‖d′,ψ‖h‖2d,ψ+‖h‖d,ψ‖h‖d′,ψ).

З властивостi (P4) випливає, що

‖f(u+ h)− f(u)−Duf(u)h‖d,ψ 6 2C10‖h‖2d,ψ.

Нехай коефiцiєнти рiвняння (5.1) належать кругу OA, а вектори ~ε i ~a

задаються формулами (5.7) (с. 119). Оператор L розглядатимемо за умови

p > 2n на множинi параметрiв ~a ∈ Op+1A (всi iншi as вважатимемо фiксо-

ваними). Для числа γ > 0 та вибраної функцiї ψ1 побудуємо послiдовнiсть

вкладених множин . . . ⊆ AΨ1 ⊆ AΨ0 ⊂ Op+1A , де AΨq —множина векторiв ~a

з рiвняння (5.1), для яких виконується оцiнка

|L(τ(k0), k)| > γk−ηψ−11 (k) при k 6 Nq, q = 0, 1, . . . , (5.22)

де натуральнi числа Nq задає формула (5.8).

З властивостей повiльно змiнних функцiй [119] та означення класуMвипливає iснування числа K = K(η) > 1 такого, що для всiх x > 1 вико-

нується нерiвнiсть

ψ1(x) 6 Kxη. (5.23)

Введемо множини AΨq формулою AΨq = Oε0× AΨq, де q > 0,

ε0 = min

3γ

16C11;

γ

2C8N2η0

; y1; y2; y3

, (5.24)

C11 = K maxC8, C9, 2C10, y1, y2, y3 —додатнi розв’язки рiвнянь

48KC8C211N

14η0 y3 + 24C2

11γ y2 − γ3 = 0,

8KC8C11N6η0 y2 + (8C11γ + 4C11γN

−8η0 ) y − 3γ2 = 0,

8KC8C11N−2η0 y2 + (8C11γ + 4C11γN

−16η0 ) y − 3γ2 = 0

вiдповiдно. Для них очевидними є вкладення . . . ⊆ AΨ1 ⊆ AΨ0 ⊂ Oε×Op+1A .

141

Для довiльних функцiй u ∈WΨ(N), h ∈WΨ(N), N ∈ N, та параметра

~ε ∈ R2 позначимо

LΨN [h] ≡ LΨN(~ε,~a, u)[h] = Lh− εPΨNDuf(u)h.

(P5) Для довiльної функцiї u ∈WΨ(Nq) ∩K1 та числа γ > 0 для

векторiв (~ε,~a) ∈ AΨq оператор LΨNq(~ε,~a, u) : WΨ(Nq)→WΨ(Nq)

є оборотним, зокрема, для d ∈ [d, ¯d− 2η], h ∈WΨ(Nq)


‖LΨ−1Nq

(~ε,~a, u)[h]‖d,ψ 62K

γN 2ηq ‖h‖d,ψ.

Доведення властивостi (P5). Доведення проводиться за схемою до-

ведення властивостi (P5) з пункту 5.1. Оператор LΨNq = D−TΨq для всiх

q > 0 подаємо у виглядi добутку

LΨNq = |D|12U|D|

12 − TΨq = |D|

12 (U −RΨ1)|D|

12 = |D|

12U(I − U−1RΨ1)|D|

12 ,

деDh = Lh, TΨqh = εPΨNqDufh,RΨ1 = |D|− 12TΨq|D|−

12 i U = |D|− 1

2D|D|− 12 .

Лема 5.6. Для всiх векторiв ~a ∈ AΨq оператор |D| є оборотним у

просторi WΨ(Nq) та для довiльних d ∈ R, ψ ∈ M i функцiї h ∈ WΨ(Nq)


∥∥|D|− 12h∥∥d,ψ6

1√γ‖h‖

d+η/2,ψψ1/216

√K

γN ηq ‖h‖d,ψ,

де ψ1, K, η та γ — величини з формул (5.22) i (5.23).

Доведення даної леми випливає з оцiнки

∥∥|D|− 12h∥∥2

d,ψ=∑k6Nq

k2dψ2(k)|hk|

2

|L(τ(k0), k)|6

6∑k6Nq

1

γk2d+ηψ2(k)ψ1(k)|hk|

2 =1

γ‖h‖2

d+η/2,ψψ1/21

,

142

звiдки, використавши формули (5.21) i (5.23), отримуємо нерiвнiсть

∥∥|D|− 12h∥∥d,ψ6

1√γN η/2q ψ

1/21 (Nq)‖h‖d,ψ 6

√K

γN ηq ‖h‖d,ψ.

Для оператора LΨ−1Nq

маємо зображення у виглядi добутку подiбне до

зображення оператора LΨNq :

LΨ−1Nq

= |D|−12 (I − U−1RΨ1)

−1U−1|D|−12 = |D|−

12 (I −RΨ)−1U−1|D|−

12 ,

де RΨ = U−1RΨ1 i (I −RΨ)−1 = I +∑r∈NRΨr. Зображення справедливе за

умови збiжностi геометричної прогресiї.

Лема 5.7. Нехай точковий спектр оператора L не мiстить нуля.

Тодi для d ∈ R, ψ ∈M оператор U є iзометричним у просторi Hψ

d.

Доведення даної леми аналогiчне доведенню леми 5.2.

Лема 5.8. Для оператора RΨ1 : WΨ(Nq) → WΨ(Nq) для всiх ψ ∈ M,

d∈[d, ¯d−2η] i u∈WΨ(Nq) справджується оцiнка ‖RΨ1h‖d,ψ6KC9|ε|γ‖h‖d,ψ,

де K та γ — величини з формул (5.22) i (5.23).

Доведення. Використовуючи лему 5.6, нерiвностi (5.21) та (5.23), отри-

муємо оцiнку

‖RΨ1h‖d,ψ 6 |ε|1√γ‖PΨNqDuf |D|−

12h‖

d+η/2,ψψ1/216

6|ε|√γN−3η/2q ‖Duf |D|−

12h‖

d+2η,ψψ1/216|ε|√γN−3η/2q C9‖|D|−

12h‖

d,ψψ1/216

6 C9|ε|γN−3η/2q ‖h‖d+η/2,ψψ1

6 C9|ε|γN−3η/2q N η/2

q ψ1(Nq)‖h‖d,ψ6

6 C9|ε|γN−ηq KN η

q ‖h‖d,ψ 6 KC9|ε|γ‖h‖d,ψ.

Отже, використовуючи леми 5.7 та 5.8, для довiльних d 6 d 6 ¯d− 2η i

ψ ∈M отримаємо нерiвнiсть

‖RΨh‖d,ψ = ‖U−1RΨ1h‖d,ψ = ‖RΨ1h‖d,ψ 6 KC9|ε|γ‖h‖d,ψ.

143

З оцiнки ‖(I −RΨ)−1h‖d,ψ 6 ‖h‖d,ψ +∑r∈N‖RΨrh‖d,ψ, де

‖RΨrh‖d,ψ = ‖RΨ(RΨr−1)h‖d,ψ 6 KC9|ε|γ‖RΨr−1h‖d,ψ 6

(KC9

|ε|γ

)r‖h‖d,ψ,

за умови (5.24) при |ε| < ε0, отримаємо, що

‖(I −RΨ)−1h‖d,ψ 6 ‖h‖d,ψ∞∑r=0

(KC9|ε|γ

)r=

= ‖h‖d,ψ(

1− KC9|ε|γ

)−1

=γ

γ −KC9|ε|‖h‖d,ψ.

Тодi для оцiнки норми оператора LΨ−1Nq

для будь-яких d ∈ [d, ¯d − 2η],

ψ ∈M i векторiв (~ε,~a) ∈ AΨq при |ε| < ε0 виконується оцiнка

‖LΨ−1Nqh‖d,ψ6

1√γ

γ

γ −KC9|ε|∥∥|D|− 1

2h∥∥d+η/2,ψψ

1/216

1

γ −KC9|ε|‖h‖d+η,ψψ1

6

6N ηq ψ1(Nq)

γ −KC9|ε|‖h‖d,ψ =

KN 2ηq

γ/2−KC9|ε|+ γ/2‖h‖d,ψ 6

2K

γN 2ηq ‖h‖d,ψ.

Таким чином, властивiсть (P5) доведено.

5.3.2. Визначимо послiдовнiсть функцiй uqq>0, де кожна uq ∈WΨ(Nq)

задана на множинi AΨq. Дана послiдовнiсть збiгатиметься до розв’язку

u ∈ Hψd задачi (5.1), (5.2) на множинi AΨ∞, яка є границею послiдовностi

AΨq вкладених множин. Отже, розв’язок iснує не на всiй множинi парамет-

рiв (~ε,~a) задачi, а на дещо вужчiй множинi AΨ∞ тих векторiв (~ε,~a), для

яких власнi значення операторiв LΨN(~ε,~a, u), N ∈ N, не є надто близькими

до нуля.

Теорема 5.7. Нехай виконуються властивостi (P1)— (P5), β = 12η,

η = (p+1−2n)/2. Тодi iснує послiдовнiсть uqq>0, в якiй кожна функцiя

uq =q∑i=0

hi належить до простору WΨ(Nq) i є розв’язком рiвняння

Luq− εPΨNqf(uq) = 0, (PNq)

що визначений для векторiв (~ε,~a) ∈ AΨq, причому ‖hi‖d,ψ 6 4C11B0|ε|γN−2ηi

для i ∈ N, а Bq ≡ 1+‖uq‖d+β,ψ 6 B0N2ηq+1 для q ∈ N, де B0 ≡ 1+‖u0‖d+β,ψ 6

1 +|ε|γ

2KC8N14η0 .

144

Доведення даної теореми подiбне до доведення теореми 5.1 (див.

с. 123 — 126).

Мiру граничної множини AΨ∞ = limq→∞AΨq описує наступна теорема.

Теорема 5.8. Множину AΨ∞ визначає формула AΨ∞ =⋂q>0AΨq, а для

її мiри measAΨ∞ справджується оцiнка

measAΨ∞ > ε20A

2p+2πp+2(

1− γ2 4p+1(p+ 1)ω1(2)

A2πp+1

). (5.25)

Доведення теореми 5.8 проводиться за схемою доведення теореми 5.2

(с. 126). При доведеннi враховуємо, що для оцiнок мiр множин AΨq i AΨq

(горизонтальна риска означає операцiю доповнення у множинi Oε0×Op+1

A

або Op+1A ) справедливими є формули

measAΨq 6 4p+1A2p(p+ 1)γ2∑k6Nq

k−2η−2nψ−21 (k) 6

6 4p+1A2p(p+ 1)γ2∑k∈Zp+1

k−(p+1)ψ−21 (k) = 4p+1A2p(p+ 1)γ2ω1(2),

measAΨq 6 4p+1A2pπε20ω1(2)(p+ 1)γ2,

а для оцiнки мiри measAΨ∞ множини AΨ∞ виконується нерiвнiсть

measAΨ∞ 6 4πε20ω1(2)d2p(p+ 1)γ2.

З рiвностi measAΨ∞ = ε20A

2p+2πp+2−measAΨ∞ отримуємо шукану оцiнку

(5.25).

Iснування розв’язку задачi (5.1), (5.2) з простору Hψd дає теорема 5.9,

доведення якої проводиться шляхом доведення теореми 5.3 (с. 128).

Теорема 5.9. Для всiх векторiв (~ε,~a) ∈ AΨ∞ та довiльного γ > 0 i

натурального N0 > 2 ряд∑i>0

hi є збiжним у просторi Hψd до розв’язку u за-

дачi (5.1), (5.2), норма якого визначається нерiвнiстю ‖u‖d,ψ 68C11B0

N 2η0

|ε|γ.

145


П’ятий роздiл дисертацiї присвячений дослiдженню в цилiндричнiй об-

ластi Dp нелокальної крайової задачi для диференцiально-операторного

рiвняння з векторним параметром (~ε,~a) ∈ Oε0×Op+1

A i нелiнiйною правою

частиною. Встановлено умови розв’язностi задачi у шкалi просторiв Собо-

лєва функцiй багатьох комплексних змiнних, шкалi рядiв Дiрiхле–Тейлора

з фiксованим спектром та уточненiй соболєвськiй шкалi.

Знаходення умов розв’язностi задач проведено за iтерацiйною схемою

Неша–Мозера. Найбiльш важливим моментом у цiй схемi є отримання оцi-

нок норм лiнiйних операторiв, що виникають при обертаннi лiнеризованих

операторiв у кожнiй iтерацiї алгоритму, i основна труднiсть, яка з цим по-

в’язана — це їх дiагональнi елементи, якi можуть бути як завгодно малими.

Для подолання проблеми малих знаменникiв використано метричний пiд-

хiд. Саме тому розв’язки задачi знайдено на множинi тих параметрiв (~ε,~a)

задачi (5.1), (5.2), для яких власнi значення лiнеризованих операторiв не є

близькими до нуля. Особливiстю також є те, що ми уникаємо проблему обо-

ротностi нескiнченно-вимiрного лiнеризованого оператора, замiнивши його

послiдовнiстю скiнченно-вимiрних, накладанням на кожному кроцi схеми

скiнченного числа умов на вектор (~ε,~a).

Основнi результати опублiковано у роботах [34,35,43,45,49,106,108].

146

ЗАГАЛЬНI ВИСНОВКИ

Дисертацiйна робота присвячена дослiдженню коректностi крайових за-

дач з нелокальними за видiленою змiнною умовами для рiвнянь та систем

рiвнянь з частинними похiдними у багатовимiрних комплексних областях.

Одержано такi новi результати:

• встановлено умови коректної розв’язностi задач з нелокальними кра-

йовими умовами для однорiдних та неоднорiдних рiвнянь з частинними по-

хiдними з векторним оператором B = (z1∂

∂z1, . . . , zp

∂

∂zp), а також систем

рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами для майже всiх (стосовно мiри Лебега)

коефiцiєнтiв рiвнянь та параметра крайових умов у соболєвських просто-

рах функцiй багатьох комплексних змiнних;

• вивчено крайовi задачi з нелокальними умовами для диференцiаль-

но-операторних рiвнянь з частинними похiдними та систем таких рiвнянь

у шкалi просторiв функцiй багатьох комплексних змiнних, що є рядами

Дiрiхле–Тейлора з фiксованим спектром; встановлено, що оцiнки малих

знаменникiв, що виникають при побудовi розв’язкiв задач, залежать вiд

асимптотики спектру рядiв Дiрiхле–Тейлора;

• знайдено необхiднi i достатнi умови єдиностi, а також достатнi умови

iснування розв’язкiв задач з нелокальними умовами для диференцiально-

операторних рiвнянь з частинними похiдними та систем рiвнянь у гiль-

бертових просторах Хермандера, що складаються з функцiй багатьох ком-

плексних змiнних, якi утворюють уточнену соболєвську шкалу; здiйснено

порiвняння умов однозначної розв’язностi задач у шкалi просторiв Соболє-

ва та в уточненiй шкалi;

• дослiджено умови розв’язностi нелокальних крайових задач для дифе-

ренцiально-операторного рiвняння з нелiнiйною (слабко нелiнiйною) пра-

147

вою частиною за допомогою iтерацiйної схеми Неша–Мозера; отримано

оцiнки норм у вiдповiдних функцiональних просторах обернених лiнеари-

зованих операторiв, якi виникають на кожному кроцi цiєї схеми; побудовано

послiдовнiсть наближених розв’язкiв;

• побудовано розв’язки розглядуваних задач i з цiєю метою доведено

метричнi теореми про оцiнки знизу малих знаменникiв, якi виникають при

їх побудовi, з яких випливає однозначна розв’язнiсть дослiджуваних задач

для майже всiх (стосовно мiри Лебега) параметрiв задач.

Результати дисертацiї мають теоретичний характер. Їх можна засто-

совувати у подальших теоретичних дослiдженнях задач з нелокальними

крайовими умовами для рiвнянь iз частинними похiдними та систем таких

рiвнянь, а також при дослiдженнi конкретних задач практики, якi моде-

люються розглянутими задачами.

148

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Бейкер Дж. Апроксимации Паде. / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис.

– Москва: Мир, 1986. – 502 с.

2. Берник В. И. Аналог многоточечной задачи для гиперболическо-

го уравнения с постоянными коэффициентами / В. И. Берник,

Б. Й. Пташник, Б. О. Салыга // Дифференц. уравнения. – 1977.

– 13, 4. – С. 637–645.

3. Бобик I. О. Задача з двома кратними вузлами для рiвнянь не розв’яза-

них вiдносно старшої похiдної за часом / I. О. Бобик, М. М. Симотюк

// Прикл. проблеми мех. i мат. – 2004. – Вип. 2. – С. 46–55.

4. Борок В. М. Нелокальные корректные краевые задачи в слое /

В. М. Борок, Л. В. Фардигола // Матем.заметки. – 1990. – 48:1. –

С. 20–25.

5. Бицадзе А. В. О некоторых простейших обобщениях линейных элли-

птических краевых задач / А. В. Бицадзе, А. А. Самарский // Докл.

АН СССР. – 1969. – 185, 4. – С. 739–740.

6. Ван-дер-Варден Б. Л. Алгебра. / Б. Л. Ван-дер-Варден. – М.: Мир,

1976. – 624 с.

7. Вабищевич П. Н. Нелокальная параболическая задача и обратная за-

дача теплопроводности / П. Н. Вабищевич // Дифференц. уравнения.

– 1981. – 17, 7. – С. 1193–1199.

8. Власiй О. Д. Задача з нелокальними умовами для рiвнянь iз частин-

ними похiдними зi сталими коефiцiєнтами / О. Д. Власiй // Мат.

методи та фiз.-мех. поля. – 2009. – 52, 1. – С. 34–42.

9. Волевич Л. Р. Некоторые пространства обобщенных функций и тео-

ремы вложения / Л. Р. Волевич, Б. П. Панеях // Успехи матем. наук.

149

– 1965. – 20, 1. – С. 3–74.

10. Гой Т. П. Задача з нелокальними умовами для слабконелiнiйних гi-

перболiчних рiвнянь / Т. П. Гой, Б. Й. Пташник // Укр. мат. журн.

– 1997. – 49, 2. – С. 186–195.

11. Городецький В. В. Узагальненi функцiї. Методи розв’язування задач:

навч. посiб. / В. В. Городецький, Я. М. Дрiнь, М. I. Нагнибiда – Вид

2-ге., доповн. – Чернiвцi : Книги-XXI, 2011. – 503 с.

12. Городецький В. В. Нелокальнi за часом задачi для одного класу ево-

люцiйних рiвнянь / В. В. Городецький, О. В. Мартинюк // Науковий

вiсник Чернiвецького нац. ун-ту. Математика. – 2012. – 2, 2–3. –

С. 41–48.

13. Гребенников Е. А. Резонансы и малые знаменатели в небесной меха-

нике. / Е. А. Гребенников, Ю. А. Рябов – М.: Наука, 1978. – 128 с.

14. Дезин А. А. Операторы с первой производной по”времени“ и нело-

кальные граничные условия. / А. А. Дезин. // Изв. АН СССР. Сер.

мат. – 1967. – 31, 1. – С. 61–86.

15. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. / А. А. Дезин.

– М.: Наука, 1980. – 208 с.

16. Дубинський Ю. А. Задача Коши в комплексной области. / Ю. А. Ду-

бинський. – М.: Издательство МЭИ, 1996. – 180 с.

17. Дубинський Ю. А. Залача Коши и псевдодифференциальные опера-

торы в комплексной области. / Ю. А. Дубинський. // УМН. – 1990. –

45:2(272). – С. 115–142.

18. Задорожна Н. М. Нелокальна крайова задача для параболiчних рiв-

нянь зi змiнними коефiцiєнтами / Н. М. Задорожна, Б. Й. Пташник

// Укр. мат. журн. – 1995. – 47, 7. – С. 915–921.

19. Зинченко Т. Н. Эллиптические по Дуглису-Ниренбергу системы в про-

странствах Хермандера / Т. Н. Зинченко, А. А. Мурач // Українсь-

кий математичний журнал. – 2012. – 64, 11. – С. 1477–1491.

150

20. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопро-

водности с нелокальными краевыми условиями / Н. И. Иванчов //

Укр. мат. журн. – 1993. – 45, 8. – С. 1006–1071.

21. Iванчов М. I. Оберненi задачi теплопровiдностi з нелокальними умо-

вами: Препринт. – К.: IСДО, 1995. – 84 с.

22. Ильин В. А. Нелокальная краевая задача первого рода для оператора

Штурма-Лиувилля в дифференциальной и разностной трактовках /

В. А. Ильин, Е. И. Моисеев // Дифференц. уравнения. – 1987. – 23,

7. – С. 1198–1207.

23. Iлькiв В. С. Дослiдження нелокальної крайової задачi для рiвнянь

з частинними похiдними за допомогою методу мiнiмiзацiї в соболєв-

ських просторах / В. С. Iлькiв // Мат. студiї. – 1999. – 11, 2. –

С. 167–176.

24. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для нормальних анiзотро-

пних систем iз частинними похiдними i сталими коефiцiєнтами /

В. С. Iлькiв // Вiсник Львiвського унiверситету. Сер. мех.-мат. – 1999.

– Вип. 54. – С. 96–107.

25. Iлькiв В. С. Розв’язнiсть нелокальної задачi для систем рiвнянь з час-

тинними похiдними зi зсувами аргументiв / В. С. Iлькiв // Науковий

вiсник Ужгородського унiверсистету. – 2010. – Вип. 4. – С. 72–85.

26. Илькив В. С. Многоточечная нелокальная задача для уравнений с

частными производными / В. С. Илькив // Дифференц. уравнения.

– 1987. – 23, 3. – С. 487–492.

27. Илькив В. С. Нелокальная краевая задача для уравнений в частных

производных безконечного порядка / В. С. Илькив // Укр. мат. журн.

– 1983. – 35, 4. – С. 498–502.

28. Илькив В. С. Компактное обращение обобщенной матрицы Вандер-

монда / В. С. Илькив – Деп. в НИИЭИР. Сб. реф. деп. рук. ВИМИ,

1991. – 5, 3-8836. – 10 с.

151

29. Iлькiв В. С. Про константу в лемi Пяртлi. / В. С. Iлькiв, Т. В. Маге-

ровська // Вiсник Нац. унiверситету”Львiвська Полiтехнiка“. Фiзико-

математичнi науки. – 2007. – 601. – С. 12–17.

30. Илькив В. С. Задачi з нелокальними умовами для рiвнянь iз частин-

ними похiдними. Метричний пiдхiд до проблеми малих знаменникiв /

В. С. Илькив, Б. Й. Пташник // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, 12.

– С. 1624–1650.

31. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiальних рiвнянь

з операторними коефiцiєнтами у багатовимiрнiй комплекснiй областi

/ В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Мiжнародна математична конферен-

цiя”Боголюбовськi читання DIF-2013. Диференцiальнi рiвняння, тео-

рiя функцiй та їх застосування“ (23–30 червня 2013 р., Севастополь,

Україна): Тези доповiдей. – Київ, 2013. – С. 105–106.

32. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiального рiв-

няння з частинними похiдними у багатовимiрнiй комплекснiй областi

/ В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Сучаснi проблеми механiки та матема-

тики. – 2013. – 3. – С. 132–134.

33. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiально-

операторного рiвняння в уточненiй соболєвськiй шкалi / В. С. Iлькiв,

Н. I. Страп // IV Мiжнародна ганська конференцiя, присвячена 135

рiчницi вiд дня народження Ганса Гана (30 червня – 5 липня 2014 р.,

Чернiвцi): Тези доповiдей. – Чернiвцi, 2014. – С. 65–66.


операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у багатовимiрнiй комп-

лекснiй областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Математичнi студiї. –

2016. – 45, 2. – С. 170—181.


операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у просторах рядiв

Дiрiхле–Тейлора з фiксованим спектром / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп

152

// Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2016. – 59, 2. – С. 77—85.

36. Iлькiв В. С.Нелокальна крайова задача для системи диференцiальних

рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у багатовимiрнiй комплекснiй

областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // V Всеукраїнська наукова кон-

ференцiя”Нелiнiйнi проблеми аналiзу“ (19–21 вересня 2013 р., Iвано-

Франкiвськ): Тези доповiдей. – Iвано-Франкiвськ: Вид-во Прикарп.

нац. ун-ту iм. В.Стефаника, 2013. – С. 31.

37. Iлькiв В. С.Нелокальна крайова задача для системи диференцiальних

рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у багатовимiрнiй комплекснiй

областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Карпатськi математичнi публi-

кацiї. – 2014. – 6, 2. – С. 242–255.

38. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для системи диференцiально-

операторних рiвнянь з частинними похiдними у багатовимiрнiй комп-

лекснiй областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Международная конфе-

ренция”КММК-2013“ (22 сентября – 4 октября 2013 р., Судак, Украи-

на): Сборник тезисов. – Судак, 2013. – Т. 2. – С. 26–27.

39. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для системи диференцiально-

операторних рiвнянь у просторах рядiв Дiрiхле–Тейлора / В. С. Iль-

кiв, Н. I. Страп // Вiсник Нацiонального унiверситету”Львiвська

Полiтехнiка“. Фiзико-математичнi науки. – 2014. – 804. – С. 38–48.

40. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для рiвняння з частинни-

ми похiдними у багатовимiрнiй комплекснiй областi / В. С. Iлькiв,

Н. I. Страп // Науковий вiсник Ужгородського ун-ту. Математика i

iнформатика. – 2013. – 24, 1 – С. 60-72.

41. Илькив В. С. Нелокальная краевая задача для уравнения с частными

производными в многомерной комплексной области / В. С. Иль-

кив, Н. И. Страп // Международная конференция”Дифференци-

альные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближе-

ний“ (18–24 августа 2013 г., Новосибирск, Россия): Тезисы докладов.

153

– Новосибирск, 2013. – С. 144.

42. Илькив В. С.Нелокальные двухточечные задачи для дифференциаль-

но-операторных уравнений в многомерной комплексной области /

В. С. Илькив, Н. И. Страп // Международная конференция”Не-

локальные краевые задачи и родственные проблемы математической

биологии, iнформатики и физики“ (4–8 декабря 2013 г., Нальчик–

Терскол): Материалы конференции. – 2013. – С. 111–114.

43. Iлькiв В. С. Про розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для

диференцiально-операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у

комплекснiй областi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Всеукраїнська

наукова конференцiя”Сучаснi проблеми теорiї ймовiрностей та мате-

матичного аналiзу“ (24-27 лютого 2016 р., Ворохта): Тези доповiдей.

– Iвано-Франкiвськ, 2016. – С. 80–81.

44. Iлькiв В. С. Про розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для

диференцiально-операторного рiвняння в уточненiй соболєвськiй шка-

лi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Збiрник праць Iн-ту математики НАН

України. – 2014. – 11, 2. – С. 154–179.

45. Iлькiв В. С. Розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для

диференцiально-операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю

в уточненiй шкалi просторiв Соболєва / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп

// Український математичний вiсник. – 2015. – 12, 4. – С. 437–

455. (Переклад: Il’kiv V. S. Solvability of a nonlocal boundary-value

problem for the operator-differential equation with weak nonlinearity in

a refined scale of Sobolev spaces / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Journal of

Mathematical Sciences. – October 2016, V. 218, No. 1. – P. 1–15.)

46. Iлькiв В. С. Розв’язнiсть нелокальної крайової задачi для системи

диференцiально-операторних рiвнянь у шкалi просторiв Соболєва та

уточненiй шкалi / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Український матема-

тичний журнал. – 2014. – 67, 5. – С. 611–624. (Переклад: Il’kiv V. S.

154

Solvability of the Nonlocal Boundary-Value Problem for a System of

Differential-Operator Equations in the Sobolev Scale of Spaces and in

a Refined Scale / V. S. Il’kiv, N. I. Strap // Ukrainian Mathematical

Journal. – October 2015, V. 67, Issue 5. – P. 690–710.)

47. Iлькiв В. С. Структура дискримiнанта многочлена високого порядку,

який є бiлiнiйною формою параметрiв / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп

// Всеукраїнська наукова конференцiя”Сучаснi проблеми теорiї ймо-

вiрностей та математичного аналiзу“ (24 лютого – 2 березня 2014 р.,

Ворохта): Тези доповiдей. – Iвано-Франкiвськ, 2014. – С. 57–58.

48. Iлькiв В. С. Умови однозначної розв’язностi нелокальної задачi для

диференцiально-операторного рiвняння у просторах рядiв Дiрiхле–

Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // П’ятнадцята мiжнародна нау-

кова конференцiя iм. академiка М. Кравчука (15–17 травня 2014 р.,

Київ): Матерiали конференцiї. – Київ, 2014. – Т. 1. – С. 127–128.

49. Iлькiв В. С. Умови розв’язностi нелокальної крайової задачi для

диференцiально-операторного рiвняння зi слабкою нелiнiйнiстю у про-

сторах рядiв Дiрiхле–Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Мiжна-

родна наукова конференцiя”Диференцiальнi рiвняння та їх застосу-

вання“ (19–21 травня 2016р., Ужгород): Тези доповiдей. – Ужгород,

2016. – С. 73.

50. Iлькiв В. С. Умови розв’язностi нелокальних задач для диференцiаль-

них рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у просторах рядiв Дiрiхле–

Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Буковинський математичний

журнал. – 2013. – 1, 3-4. – С. 56–68.

51. Iлькiв В. С. Умови розв’язностi нелокальної двоточкової задачi для

однорiдного диференцiально-операторного рiвняння у просторах ря-

дiв Дiрiхле–Тейлора / В. С. Iлькiв, Н. I. Страп // Конференцiя мо-

лодих учених”Пiдстригачiвськi читання - 2015“ (26–28 травня 2015

р., Львiв): http://www.iapmm.lviv.ua/chyt2015.

155

52. Iлькiв В. С. Нелокальна задача для безтипного диференцiально-

го рiвняння для функцiї з комплексним просторовим аргументом /

В. С. Iлькiв, Н. I. Страп, I. I. Волянська // Мiжнародна наукова

конференцiя”Диференцiальнi рiвняння та їх застосування“ (27–29

вересня 2012 р., Ужгород): Матерiали конференцiї. – Ужгород, 2012.

– С. 37.

53. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для диференцiальних рiвнянь

з операторними коефiцiєнтами у комплекснiй областi / В. С. Iлькiв,

Н. I. Страп, I. I. Волянська // Чотирнадцята мiжнародна наукова

конференцiя iм. академiка М. Кравчука (19–21 квiтня 2012 р., Київ):

Матерiали конференцiї. – Київ, 2012. – Т. 1. – С. 200.


операторного рiвняння з оператором z∂/∂z / В. С. Iлькiв,

Н. I. Страп, I. I. Волянська // Мiжнародна математична конферен-

цiя iм. В. Я. Скоробогатька (19–23 вересня 2011, Дрогобич, Україна):

Тези доповiдей. – Львiв, 2011. – С. 86.

55. Iлькiв В. С. Нелокальна крайова задача для рiвняння з операто-

ром диференцiювання z∂/∂z у комплекснiй областi / В. С. Iлькiв,

Н. I. Страп, I. I. Волянська // Прикладнi проблеми механiки i мате-

матики. – 2012. – 10. – С. 15–26.

56. Ионкин Н. И. О задаче для уравнения теплопроводности с двуточе-

чными краевыми условиями. / Н. И. Ионкин, Е. И. Моисеев // Диф-

ференц. уравнения. – 1979. – XV, 7. – С. 1284–1295.

57. Каленюк П. I. Задача з нелокальною двоточковою умовою за ча-

сом для однорiдного рiвняння iз частинними похiдними нескiнченно-

го порядку за просторовими змiнними / П. I. Каленюк, I. В. Когут,

I. В. Нитребич // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2008. – Т. 51, 4.

– С. 17–26.

58. Канторович Л. В. Функцiональный анализ / Л. В. Канторович,

156

Г.П.Акилов. – М.: Наука, 1977. – 742 с.

59. Кирилич В. М. Нелокальная задача типа Стефана для гиперболиче-

ской системы первого порядка / В. М. Кирилич // Укр. мат. журнал.

– 1988. – 40, 1. – С. 121–124.

60. Комарницька Л. I. Нелокальна крайова задача для рiвняння зi змiн-

ними коефiцiєнтами, не розв’язаного вiдносно старшої похiдної /

Л. I. Комарницька // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех-мат. – 1994. – Вип.

40. – С. 17–23.

61. Корбут Л. I. Про зображення розв’язкiв нелокальних крайових задач

для параболiчних рiвнянь / Л. I. Корбут, М. I. Матiйчук // Укр.

мат. журнал. – 1994. – 46, 7. – С. 947–957.

62. Кузь А. М. Задача з iнтегральними умовами за часом для рiвнянь,

гiперболiчних за Гордiнгом / А. М. Кузь, Б. Й. Пташник // Укр.

мат. журн. – 2013. – 65, 2. – С. 252–265.

63. Лось В. Н. Класичнi розв’язки параболiчних початково-крайових за-

дач i простори Хермандера / В. Н. Лось // Укр. мат. журн. – 2016. –

68, 9. – С. 1229–1239.

64. Лось В. Н. Параболiчнi мiшанi задачi для систем Петровського в про-

сторах узагальненої гладкостi / В. Н. Лось // Доп. НАН України. –

2014. – 10. – С. 24–32.

65. Лось В. Н. Параболические смешанные задачи в пространствах обоб-

щенной гладкости / В. Н. Лось, А. А. Мурач // Доп. НАН України.

– 2014. – 6. – С. 23–31.

66. Магеровська Т. В. Дослiдження гладкостi розв’язку задачi Кошi для

систем рiвнянь iз частинними похiдними за допомогою метричного

пiдходу / Т. В. Магеровська // Науковий вiсник Чернiвецького нац.

ун-ту. Математика. – 2011. – 1, 1-2 – С. 84–93.

67. Матiйчук М. I. Параболiчнi та елiптичнi крайовi задачi з особливос-

тями / М. I. Матiйчук. – Чернiвцi, 2003. – 246 с.

157

68. Матiйчук М. I. Про нелокальну параболiчну крайову задачу /

М. I. Матiйчук // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, 3. – С. 362–367.

69. Медвiдь О. М. Задача з iнтегральними умовами для систем рiвнянь

iз частинними похiдними з вiдхиленням аргументу / О. М. Медвiдь,

М. М. Симотюк // Математичний вiсник НТШ. – 2007. – Т. 4. –

С. 414–427.

70. Михайлец В. А. Пространства Хермандера, интерполяция и эллипти-

ческие задачи. / В. А. Михайлец, А. А. Мурач. – Киев, 2010. – 370 с.

71. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. /

М. А. Наймарк. – М.: Наука, 1969. – 526 с.

72. Нахушев А. М. О нелокальных задачах со смещением и их связи с

нагруженными уравнениями / А. М. Нахушев // Дифференц. уравн.

– 1985. – 21, 1 – С. 92–101.

73. Полiщук В. М. Задача з нелокальними крайовими умовами для гiпер-

болiчних систем диференцiальних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами /

В. М. Полiщук // Допов. АН УРСР. Сер. А. – 1979. – 3. – С. 171–175.

74. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифферен-

циальных уравнений с частными производными / Б. И. Пташник.

– К.: Наук. думка, 1984. – 264 с.

75. Пташник Б. Й. Нелокальнi крайовi задачi для рiвнянь iз частинними

похiдними / Б. Й. Пташник, В. С. Iлькiв, I. Я. Кмiть, В. М. Полi-

щук. – К.: Наук. думка, 2002. – 416 с.

76. Прасолов В. В. Многочлены. / В. В. Прасолов. – Москва: МЦНМО,

2001. – 336 с.

77. Ратыни А. К. О нелокальных краевых задачах для эллиптических и

параболических уравнений. I / А. К. Ратыни // Краевые задачи. –

Пермь: Перм. политехн. ин-т, 1990. – С. 127–131.

78. Романко В. К. Граничные задачи для некоторых дифференциально-

операторных уравнений / В. К. Романко // Докл. АН СССР. – 1976.

158

– 227, 4. – С. 812–816.

79. Романко В. К. Однозначная разрешимость граничных задач для не-

которых дифференциально-операторных уравнений / В. К. Романко

// Дифференц. уравнения. – 1977. – 13, 2. – С. 324–335.

80. Романко В. К. Разрешимость граничных задач для

дифференциально-операторных уравнений високого порядка /

В. К. Романко // Дифференц. уравнения. – 1978. – 14, 6. –

С. 1081–1092.

81. Романко В. К. Смешанные краевые задачи для одной системы урав-

нений / В. К. Романко // Докл. АН СССР. – 1986. – 286, 1. –

С. 47–50.

82. Савка I. Я. Нелокальна задача iз залежними коефiцiєнтами в умовах

для рiвняння другого порядку за часовою змiнною / I. Я. Савка //

Карпатськi математичнi публiкацiї. – 2010. – 2, 2. – С. 101–110.

83. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. / Е. Сенета. – Москва:

Наука, – 1985. – 142 с.

84. Симотюк М. М. Початково-нелокальна задача для факторизованого

рiвняння iз частинними похiдними / М. М. Симотюк, I. Я. Савка //

Вiсник Нацiонального унiверситету «Львiвська полiтехнiка». Фiзико-

математичнi науки. – 2013. – 768 – С. 19–25.

85. Спринджук В. Г. Метрическая теория диофантовых приближений /

В. Г. Спринджук. – М.:Наука, 1977. – 143 с.

86. Страп Н. I. Двоточкова нелокальна задача для диференцiальних

рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у комплекснiй областi /

Н. I. Страп // II Всеукраїнська наукова конференцiя”Застосуван-

ня математичних методiв в науцi i технiцi“ (22–23 листопада 2013 р.,

Луцьк): Збiрник тез доповiдей. – Луцьк, 2013. – С. 115–117.

87. Страп Н. I. Нелокальна крайова задача для диференцiально-

операторних рiвнянь у багатовимiрнiй комплекснiй областi / Н. I.

159

Страп // Одинадцята вiдкрита наукова конференцiя IМФН: Збiрник

матерiалiв, (13–14 червня 2013 р., Львiв, Україна) / Нацiональний унi-

верситет”Львiвська полiтехнiка“. – Львiв, 2013. – С. 64–65.

88. Страп Н. I. Про розв’язнiсть нелокальної задачi для системи дифе-

ренцiальних рiвнянь з операторними коефiцiєнтами у просторах рядiв

Дiрiхле–Тейлора / Н. I. Страп // Мiжнародна конференцiя молодих

математикiв (3–6 червня 2015 р., Київ): Тези доповiдей. – Київ, 2015.

– С. 169.

89. Трибель Х. Теория функциональных пространств. / Х. Трибель. –

1986. – М.: Мир. – 447 с.

90. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными

производными. / Л. Хермандер. – Москва: Мир, 1965. – 380 с. (Перек-

лад англомовного видавництва: Berlin, Springer–Verlag, 1963.)

91. Хорн Р. Матричный анализ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.

– 655 с.

92. Eloea Paul W. Positive solutions of a nonlinear nth order boundary value

problem with nonlocal conditions / Eloea Paul W., Ahmadb Bashir // J.

Applied Mathematics Letters – 2005. – 18, . 5 – P. 521–527.

93. Baranetskij Ya. O., Basha A. A. Nonlocal multipoint problem for

differential-operator equations of order 2n / Ya. O. Baranetskij,

A. A. Basha // Journal of Mathematical Sciences – 2016. – V. 217. . 2.

– P. 176–186.

94. Berti M. Cantor families of periodic solutions for completely resonant

nonlinear wave equations / M. Berti, P. Bolle // Duke Math. J. – 2006.

– 134, 2. – P. 359–419.

95. Berti M. Cantor families of periodic solutions of wave equations with Ck

nonlinearities / M. Berti, P. Bolle // Nonlinear Differential Equations

and Applications. – 2008. – 15. – P. 247–276.

96. Berti M. Sobolev Periodic Solutions of Nonlinear Wave Equations in Hig-

160

her Spatial Dimensions / M. Berti, P. Bolle // Arch. Rational Mech.

Anal. – 2010. – 195, 2. – P. 609–642.

97. Bingham N. H. Regular variation. / N. H. Bingham, C. M. Goldie,

J. L. Teugels. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, – 1989. – 512 p.

98. Ilkiv V. S. Exact estimate for the measure of the level set of the modulus

of a function with high–order constant–sign derivative / V. S. Ilkiv,

T. V. Maherovska // Mat. Stud. – 2010. – 34. – P. 57–64.

99. Farkas W. Function spaces related to continuous negative definite functi-

ons: ψ-Bessel potential spaces / W. Farkas, N. Jacob, R. L. Schilling //

Diss. Math. – 2001. – 393. – P. 1–62.

100. Farkas W. Characterisations of function spaces of generalized smoothness

/ W. Farkas, H.-G. Leopold // Ann. Mat. Pura Appl. – 2006. – 185, . 1.

– P. 1–62.

101. Gagliardo E. Ulteriori proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili

/ E. Gagliardo // Ricerche Mat. – 1959. – 8. – P. 24–51.

102. Gromov M. L. Smoothing and inversion of differential operators /

M. L. Gromov // Math USSr Sbornik. – 1972. – 17. – P. 381–434.

103. Hamilton R. S. The inverse function theorem of Nash and Moser /

R. S. Hamilton // Bull. A.M.S. – 1982. – 7. P. 65–222.

104. Haroske D. D. Continuity envelopes of spaces of generalised smoothness,

entropy and approximation numbers / D. D. Haroske, S. D. Moura // J.

Approximation Theory. – 2004. – 128. – P. 151–174.

105. Hormander L. The boundary problems of physical geodesy. /

L. Hormander // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1976. – 62. P. 1–52.


equation with weak nonlinearity in a refined Sobolev scale / V. Il’kiv,

N. Strap // International Conference on Differential Equations Dedicated

to the 110th Anniversary of Ya. B. Lopatynsky (September 20–24, 2016,

Lviv): Book of abstracts. – Lviv, 2016. – P. 71.

161


operator equations in a refined Sobolev scale / V. Il’kiv, N. Strap //

10th International Skorobohatko Mathematical Conference (August 25–

28, 2015, Drogobych). – Drogobych, 2015. – P. 62.


partial differential equation with nonlinear right part in a complex domain

/ V. Il’kiv, N. Strap // International conference”Complex Analysis and

Related Topics“ (May 30 – June 4, 2016, Lviv): Abstracts. – Lviv, 2016.

– P. 37.

109. Ivanchov M. Inverse problem for equations of parabolic type. /

M. Ivanchov. – VNTL Publ. – 2003. – 238 p.

110. Karakostas G. L. Existence results for some n-dimensional nonlocal

boundary value problems / Eloea Paul W., Ahmadb Bashir // J. Math.

Anal. Appl. – 2001. – 259 – P. 429–438.

111. Karamata J. Sur certains”Tauberian theorems“ de M. M. Hardy et Little-

wood / J. Karamata // Mathematica (Cluj). – 1930. – 3. – P. 33–48.

112. Karamata J. Sur un mode de croissance reguliere. Theorems

foundamentaux / J. Karamata // Bull. Soc. Math. France. – 1933. –

61. – P. 55–62.

113. Klainermann S. Global existence for nonlinear wave equations / S. Klai-

nermann // Comm. Pure Appl. Math. – 1980. – 33. P. 43–101.

114. Klainermann S. Long-time behavior of solutions to nonlinear evolution

equations / S. Klainermann // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1982. – 78. –

P. 73–98.

115. Maric V. Regular variation and differential equations. / V. Maric. – New

York: Springer Verlag, – 2000. – 127 p.

116. Mikhailets V. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic

problems / V. A. Mikhailets, A. A. Murach // Banach J. Math. Anal.

– 2012. – 6, 2. – P. 211–281.

162

117. Mikhailets V. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary value

problems. II / V. A. Mikhailets, A. A. Murach // Ukrainian Math. J.

– 2006. – 58, 3. – P. 398–417.

118. Mikhailets V. A. Refined scale of spaces, and elliptic boundary value

problems. III / V. A. Mikhailets, A. A. Murach // Ukrainian Math. J. –

2007. – 59, 5. – P. 744–765.

119. Mikhailets V. A. Extended Sobolev scale and elliptic operators /

V. A. Mikhailets, A. A. Murach // Ukrainian Math. J. – 2013. – 65,

3. – P. 435–447.

120. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear

differential equations. / J. Moser // Proc. Nat. Acad. Sci. – 1961. – 47.

– P. 1824–1831.

121. Moser J. On invariant curves of area preserving mappings on an

annulus / J. Moser // Nachr. Akad. Geottingen Math. Phys. – 1962. –

1. – P. 1–20.

122. Moser J. A rapidly convergent iteration method and non-linear partial

differential equations / J. Moser // Ann. Scuola Normale Sup Pisa. –

1966. – 3, 20. – P. 499–535.

123. Moura S. Function spaces of generalised smoothness / S. Moura // Diss.

Math. – 2001. – 398. – P. 1–87.

124. Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions /

J. Moser // Math. Ann. – 1967. – 169. P. 136–176.

125. Murach A. A. Douglis-Nirenberg elliptic systems in the refined scale of

spaces on a closed manifold. / A. A. Murach // Methods Funct. Anal.

Topology. – 2008. – 14, 2. – P. 142–158.

126. Nirenberg J. On elliptic partial differential equations / J. Nirenberg //

Annali Scuola Normale Sup. Pisa. – 1959. – ser. 3, 13. – P. 116–162.

127. Nirenberg J. Topics in Nonlinear Functional Analysis / J. Nirenberg //

Courant Institute of Mathematical Sciences. – New York University.

163

128. Opic B. Bessel potentials with logarithmic components and Sobolev-type

embeddings / B. Opic, W. Trebels // Anal. Math. – 2000. – 26. – P. 299–

319.

129. Rebbani F. Boundary value problem for a partial differential equation with

non-local boundary conditions / F. Rebbani, N. Boussetila, F. Zouyed //

Труды Института матем. НАН Беларуси. – 2001. – 10. – С. 122–125.

130. Reshnick S. I. Extreme values, regular variation and point processes. /

S. I. Reshnick. – New York: Springer Verlag, – 1987. – 320 p.

131. Sabitov K. B. Nonlocal problem for a parabolic-hyperbolic equation in a

rectangular domain / K. B. Sabitov // Math. Notes. – 2011. – 89, 4. –

P. 562–567.

132. Sergeraert F. Un theorem de fonctions implicites sur certains espaces de

Frechet et quelques applications / F. Sergeraert // Ann. Sci. Ecole Norm.

Sup. – 1972. – 5. – P. 599–660.

133. Schaeffer D. A stability theorem for the obstacle problem / D. Schaeffer

// Adv. in Math. – 1975. – 17. P. 34–47.

134. Triebel H. Theory of function spaces. III. / H. Triebel. –2006. – Basel:

Birkheaser. – xii+426 p.

135. Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to

some small divisors problems I / E. Zehnder // Comm. Pure Appl. Math.

– 1975. – 28. – P. 91–140.

136. Zehnder E. Generalized implicit function theorems with applications to

some small divisors problems II / E. Zehnder // Comm. Pure Appl. Math.

– 1976. – 29. – P. 49–113.

137. Zikirov O. S. A non-local boundary value problem for third-order linear

partial differential equation of composite type / O. S. Zikirov // Math.

Modelling and Analysis. – 2009. – 47, 3. – P. 407–421.

Documents

Нацiональний унiверситет Львiвська полiтехнiка...// Науковий вiсник Ужгородського ун-ту. Математика i