Ökonometrie I

Ökonometrie I

Prognose und Prognosequalität

17.12.2004 Ökonometrie I 2

Prognose: NotationSpezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, : k-Vektor

Prognosezeitraum, Prognoseintervall: f = {n+1,...,n+p} enthält p Prognosezeitpunkte

Prognosehorizont: n+pPrognosewerte, Punktprognosen

b: OLS-Schätzer für , Xf: Realisationen der Regressoren in f

ˆ f fy X b


Prognosefehler

Varianz des Prognosefehlers

Normalverteilte Störgrößen u, uf

ˆ ( )f f f f fe y y X b u

2 1{ } ( )f p f fVar e I X X X X

2 10, ( )f p f fe N I X X X X


Prognoseintervall100%-ige Prognoseintervalle (i=1,…,p)

f(i): Standardabweichung des Prognosefehlers, i-tes Diagonalelement von Var{ef}

Bei unbekannter 2

sf(i) wie f(i) mit s2 anstelle von 2

1

2

ˆ ( )n i fy z i

1

2

ˆ ( ) ( )n i fy t n k s i


Beispiel: 1-Schritt-PrognoseRegression

Yt = + Xt + ut

Beobachtungen (Xt, Yt), t = 1, …, n

Prognose für t = n+1:

Prognosefehlerhat Varianz

1 1n̂ nY a bX

1 1 1 1 1ˆ ( ) ( )n n n n ne Y Y a b X u

22 2 1

1 2

( )1{ } ( 1) 1

( )n

n ftt

X XVar e n

n X X


Beispiel:1-Schritt-Prognose, Forts.

Bei normalverteilten Störgrößen: 95%-iges Progoseintervall

oder1 0.975 1 1 0.975

ˆ ˆn f n n fY z Y Y z

1 0.975 1 1 0.975ˆ ˆ( 2) ( 2)n f n n fY t n s Y Y t n s


Konsumfunktion

22 2 1

1 2

( )1{ } ( 1) 1

( )n

n ftt

Y YVar e n

n Y Y

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

-0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07

Zuwachsrate Einkommen

Zu

wac

hsr

ate

Ko

nsu

m

Prognoseintervall

ˆ 0.010 0.758C Y

0.0188Y


Konsumfunktion, Forts.

Anpassung an Daten 70:1-03:4Ĉ = 0.010+0.758 Y

Prognose für 04:1: Ŷt = 0.045682 - 0,000839 t

+ 0,000005 t2

t = 133 für 04:1 Ŷ133 = 0.022

Ĉ133 = 0.027

Prognose für Konsum: 895.4(1+0.027) = 919.6 Mrd EUR

-.04

-.02

.00

.02

.04

.06

.08

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

PYR_D4F PYR_D4



Prognoseintervall für 2004:1

s2 = 0.0078, sY2= 0.01679

= 0.01862, Ŷ133 = 0.022

95%iges Prognoseintervall für Zuwachsraten 0.027–(1.978)(0.0079) ≤ C133 ≤ 0.027+(1.978)(0.0079)

0.0115 ≤ C133 ≤ 0.0426

95%iges Prognoseintervall für den Konsum in 2004:1905.7 ≤ PCR133 ≤ 933.5 (in Mrd EUR)

Breite des Prognoseintervall (28.6 Mrd EUR): ca 3%

22 2 2133

2

( )1(133) 1 (0.0079)

132 132fY

Y Ys

s

Y


Beurteilung von Prognosenex post Prognosen: Prognosezeitraum ist Teil des

Beobachtungszeitraums

Kennzahlen zur Prognosequalität RMSE (root mean squared error) MAE (mean absolute error) Theil'scher Ungleichheitskoeffizient Komponenten der Zerlegung des MSE (mean squared

error)


RMSE und MSE

Wurzel aus dem mittleren quadratischen Prognosefehler

n*: Anzahl der Beobachtungen im (ex post) Prognosezeitraum

Empfindlich gegen einzelne große Prognosefehler

MSE: Quadrat des RMSE; mittlerer quadratischer Prognosefehler

2*

1 ˆ( )t ttRMSE Y Y

n


MAEMittlerer absoluter Prognosefehler

Weniger empfindlich gegen einzelne große Prognosefehler als MSE und RMSE

Von Skalierung unabhängig ist der mittlere absolute prozentuelle Prognosefehler

Analog MSE und RMSE.

*

1 ˆt tt

MAE Y Yn

*

ˆ100 t tt

t

Y YMAE

n Y


Theil'scher Ungleichheitskoeffizient

Von Skalierung unabhängig U liegt im Intervall [0,1]

mit Yt = Yt-Yt-1 oder Yt = (Yt-Yt-1 )/Yt-1

2 2* *

1 1t̂ tt t

MSEU

Y Yn n

2*

2*

1 ˆ( )

1

t tt

tt

Y YnU

Yn


Zerlegung des MSEEs gilt

oder MSEb + MSEv + MSEk = 1 mit

1. (Beitrag des Bias)

2. (Beitrag der Varianz)

3. (Beitrag der Kovarianz)

2

ˆ YYv

s sMSE

MSE

2 2

ˆ ˆ ˆˆ 2(1 )Y YY YY Y

MSE Y Y s s r s s

2ˆ

b

Y YMSE

MSE

ˆ ˆ2(1 ) YYY Yk

r s sMSE

MSE



-0.04

-0.02

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

75 80 85 90 95 00

PCR_D4F ± 2 S.E.

Forecast: PCR_D4FActual: PCR_D4Forecast sample: 1970:1 2003:4Adjusted sample: 1971:1 2003:4Included observations: 132

Root Mean Squared Error 0.007825Mean Abs. Percent Error 0.006407Mean Absolute Percentage Error 121.5535Theil Inequality Coefficient 0.139365 Bias Proportion 0.000000 Variance Proportion 0.081788

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