MATEMAT‹K 8

47

ÜN‹TE II

I. KOMB‹NASYONKombinasyon

ALIfiTIRMALARÖZETTEST II-I

II. OLASILIKOlas›l›k ÇeflitleriOlay Çeflitleri

ALIfiTIRMALARÖZETTEST II-II

III. KAREKÖKLÜ SAYILARKareköklü Say›larKareköklü Say›larla Toplama ve Ç›karma ‹fllemleriKareköklü Say›larla Çarpma ve Bölme ‹fllemleriGerçek Say›lar

ALIfiTIRMALARÖZETTEST II-III

IV. STANDART SAPMAALIfiTIRMALARÖZETTEST II-IV

MATEMAT‹K 8

48

Bu bölümü kavrayabilmek için;* Aç›klamalar› dikkatle okuyunuz* Örnekleri dikkatlice inceleyiniz ve 8. s›n›f matematik ders kitaplar›ndan çözülmüfl

örnekleri anlamaya çal›fl›n›z.* Uyar›lar› dikkate al›n›z. * Konularla ilgili de¤iflik kaynaklardan sorular çözünüz.* Çözemedi¤iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard›m al›n›z.

Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;* Kombinasyon kavram›n› aç›klayabilecek ve hesaplayabilecek,* Permütasyon ve kombinasyon aras›ndaki fark› aç›klayabilecek,* Ba¤›ml› ve ba¤›ms›z olaylar› aç›klayabilecek, * Ba¤›ml› ve ba¤›ms›z olaylar›n olma olas›l›klar›n› hesaplayabilecek, * Deneysel, teorik ve öznel olas›l›¤› aç›klayabilecek,* Tam kare do¤al say›larla bu say›lar›n karekökleri aras›ndaki iliflkiyi modelleriyle

aç›klayabilecek ve kareköklerini belirleyebilecek, * Tam kare olmayan say›lar›n kareköklerini strateji kullanarak tahmin edebilecek,* Kareköklü bir say›y› fleklinde yazabilecek ve fleklindeki ifadede kat

say›y› kök içine alabilecek, * Kareköklü say›larla toplama ve ç›karma ifllemlerini yapabilecek,* Kareköklü say›larla çarpma ve bölme ifllemlerini yapabilecek,* Ondal›k kesirlerin kareköklerini belirleyebilecek,* Rasyonel say›lar ile irrasyonel say›lar aras›ndaki fark› aç›klayabilecek,* Rasyonel say›lar kümesini oluflturan say› kümelerini belirtebilecek,* Standart sapmay› hesaplayabilecek,* Uygun istatisiksel temsil biçimlerini, merkezi e¤ilim ölçülerini ve standart sapmay›

kullanarak gerçek yaflam durumlar› için görüfl oluflturabileceksiniz.

BU ÜN‹TEN‹N AMAÇLARI☞

NASIL ÇALIfiMALIYIZ? ✍

a b a b

➠

MATEMAT‹K 8

49

ÜN‹TE IIKOMB‹NASYONÖRNEK

Hale, k›rtasiyeden dört farkl› renkteki kartonlardan üçünü seçip alacak›r. Kartonrenkleri, k›rm›z, sar›, yeflil ve mavi oldu¤una göre bu seçim kaç farkl› flekildeyap›labilir?

ÇÖZÜMKarton renkleri K, M, S, Y harfleri ile gösterelim. K, M, S ve Y çeflitlerinden üçü

ile oluflturulabilecek bütün gruplar› yazal›m.

Bu kartonlar›n seçiminde s›ra önemli olmad›¤›ndan 1., 2., 3. ve 4. gruptakiler kendiiçinde ayn› durumu belirtmektedir. Bu nedenle dört renk kartondan oluflturulabileceküçlü gruplar; KMS, KMY, MSY ve KSY fleklindedir.

Bu sonucu permütasyondan yola ç›karak, afla¤›daki gibi elde edebiliriz.

n elemanl› bir kümenin elemanlar› ile oluflturulacak r elemanl› farkl› grup-lar›nsay›s› n’nin r’li kombinasyonu olarak adland›r›l›r. n’nin r’ li kombinasyonu C (n,r) veya fleklinde gösterilir.

1 2 3 4

KMS KMY MSY KSY Seçme s›ras› önemli oldu¤unda K,M, S ve Y çeflitlerinden üçü ile 24 grup

oluflturulabilir.

Bu say›ya 4’ün 3’lü permütasyonubulunarak da ulafl›labilir.

KSM KYM MYS KYS

MKS MKY SMY SKY

MSK MYK SYM SYK

SMK YMK YMS YKS

SKM YKM YSM YSKP 4, 3 = 4!

4 - 3 ! = 4. 3 . 2 . 1

1! = 24

P 4, 33!

= 243 . 2 . 1

= 246

= 4

nr

C n , r = nr = P n , r

r! = n !

n - r ! r!

MATEMAT‹K 8

50

ÖRNEK

Beril, yukar›daki üç foto¤raftan ikisini albümüne yanyana koyacakt›r. Seçilecek ikifoto¤raf›n yanyana kaç de¤iflik flekilde s›ralanabilece¤ini bulal›m.

Yukar›da görüldü¤ü gibi bu üç foto¤raf ikiflerli yanyana 6 de¤iflik flekilde s›ralanabilir. 3’ün 2’li permütasyonlar›n›n say›s› P (3, 2) dir.

Bu üç foto¤raf aras›ndan 2 foto¤raf kaç farkl› flekilde seçilebilir bulal›m. Seçimde s›ra önemli de¤ildir.

1 2 3

Bu sonucu kombinasyonla bulal›m.

P 3, 2 = 3!3 - 2 !

= 3 . 2. 11

= 6 olur.

C 3, 2 = 3!3 - 2 !2!

= 3!1! 2!

= 3. 2 .1 2

= 3 olur.

MATEMAT‹K 8

51

n elemanl› bir kümenin r’li permütasyonlar›nda elemanlar›n kendi aralar›ndas›ralan›fl› önemlidir. Oysa n elemanl› bir kümenin r’li kombinasyonunda r tane ele-man›n kendi aras›ndaki s›ralan›fl› önemli de¤ildir.

ÖRNEK Bir dondurmac›da 5 farkl› dondurma çeflidi bulunmaktad›r. Al›nacak 3 çeflit don-

durma için kaç farkl› seçim yap›labilir?

ÇÖZÜM Seçilecek 3 çeflit dondurman›n s›ralamas› önemli de¤ildir. Önemli olan 3 çeflit don-

durma seçmektir. O halde 5’in 3’lü kombinasyonunu hesaplamal›y›z.

ÖRNEK Bir çember üzerindeki 5 farkl› noktadan herhangi ikisi ile belirlenen kaç do¤ru

parças› çizilebilir? Bulal›m.

Çember üzerindeki 5 nokta; A, B, C, D ve E olsun. A, B noktalar› ile AB do¤ru parças›A, C noktalar› ile AC do¤ru parças›A, D noktalar› ile AD do¤ru parças›A, E noktalar› ile AE do¤ru parças›D, E noktalar› ile DE do¤ru parçalar› oluflacakt›r.

➠

C 5, 2 = 5!5 - 3 !3!

= 5!2! 3!

= 5. 4 .3!2 . 3!

= 10 farkl› seçim yap›labilir. 2

MATEMAT‹K 8

52

Buna göre; çizilebilecek do¤ru parças› say›s›, bu noktalar›n kendi aralar›ndaoluflturabilece¤i ikili kombinasyonlar›n say›s›na eflittir.

Çember üzerinde 5 farkl› nokta oldu¤una göre, bu noktalar›n herhangi ikisiyle,

ALIfiTIRMALAR1. 9 kiflilik bir gruptan 5 kiflilik kaç farkl› tak›m kurulabilir?

2. Afla¤›da verilen permütasyon ve kombinasyonlar› hesaplayan›z.

C (6, 3) C (12, 2) C (8, 7) C (4, 2) C (5, 3)P (6, 3) P (12, 2) P (8, 7) P (4, 2) P (5, 3)

3. Afla¤›daki problemlerin hangisinin permütasyon, hangisinin kombinasyonla çözülmesi gerekti¤ini belirterek nedenini aç›klay›n›z ve çözümünü yap›n›z.

a) {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanlar› ile üç basamakl› kaç farkl› say› yaz›labilir?b) 15 kiflkilik bir gruptan 3 kifli kaç farkl› flekilde seçilebilir?c) Befl arkadafl yanyana kaç farkl› biçimde foto¤raf çektirebilir?d) 8 voleybolcu aras›ndan iki voleybolcu kaç farkl› flekilde seçilebilir?

4.

Yukar›daki flekilde yer alan noktalar›n birlefltirilmesiyle kaç farkl› üçgen oluflturulabilir?

5. 10 kiflinin bulundu¤u bir toplant›da herkes birbiriyle tokalaflm›flt›r. Toplam kaç tokalaflma olmufltur?

6. 25 kiflkilik bir s›n›ftan s›ras›yla bir baflkan ve bir baflkan yard›mc›s› kaç farkl› flekildes eçilebilir.

C 5,2 = 5!5 - 2 !2!

= 5!3! 2!

= 5. 4 .3!3 . 2!

= 5.42

10 tane do¤ru parças› çizilebilir.

MATEMAT‹K 8

53

7.

Bir çember üzerindeki 4 farkl› noktadan herhangi ikisi ile belirlenen kaç do¤ru parças› çizilebilir?

8. C (6, 0) + C (6, 6) + C (6, 3) iflleminin sonucu kaçt›r?

9. P (7, 3) - C (7, 3) iflleminin sonucu kaçt›r?

10. C (9, 0) . P (9, 9) iflleminin sonucu kaçt›r?

MATEMAT‹K 8

54

ÖZETn elemanl› bir kümenin elemanlar› ile oluflturulacak r elemanl› farkl› gruplar›n

say›s› n’nin r’li kombinasyonu olarak adland›r›l›r n’nin r’li kombinasyonu C (n, r) veyafleklinde gösterilir.

n elemanl› bir kümenin r’li permütasyonlar›nda elemanlar›n kendi aralar›ndas›ralan›fl› önemlidir. Oysa n elemanl› bir kümenin r’li kombinasyonunda r tane eleman›n kendi aras›ndaki s›ralan›fl› önemli de¤ildir.

✎

MATEMAT‹K 8

55

TEST II-I1. C (9, 3) ifadesi afla¤›dakilerden hangisine eflittir? A) C (9, 4)B) C (9, 5)C) C (9, 6)D) C (9, 7)

2. 5 elemanl› bir kümenin üçlü permütasyonlar› say›s›, üçlü kombinasyonundan kaç fazlad›r?

A) 60B) 50C) 30D) 10

3. 10 soruluk bir s›navda ö¤rencilerden 8 soruya cevap vermeleri isteniyor. Bu s›nava giren bir ö¤renci kaç farkl› seçim yapabilir?

A) 120B) 90C) 60D) 45

4. 15 soruluk bir s›navda ö¤rencilerden 10 soruya cevap vermeleri isteniyor. S›navda 1.ve 15. soru cevaplanmak zorunda oldu¤una göre bir ö¤renci cevaplayaca¤› sorular› kaç farkl› flekilde seçebilir?

A) 546B) 715C) 1001D) 1287

5. 15 ö¤renci aras›ndan bilgi yar›flmas› için 4 ö¤renci seçilecektir. Bu seçim kaç farkl› flekilde yap›labilir?

A) 1365B) 910C) 890D) 455

MATEMAT‹K 8

56

6. 12 basketbolcu aras›ndan 5 basketbolcu kaç farkl› flekilde seçilebilir?

A) 1584B) 792C) 396D) 264

7. 15 kiflinin bulundu¤u bir toplant›da herkes birbiriyle tokalafl›yor. Buna göre bu toplant›da kaç tokalaflma olur?

A) 220B) 210C) 105D) 245

8. Asiye, dondurmac›daki 20 farkl› dondurma çeflidinden 2 çeflit dondurmay› kaç farkl›flekilde seçebilir?

A) 380B) 190C) 95D) 40

9.

Yukar›daki flekilde ayn› renkteki do¤rular birbirine paralel oldu¤una göre flekil üzerinde kaç tane paralelkenar vard›r?

A) 150B) 120C) 60D) 30

MATEMAT‹K 8

57

OLASILIK VE OLAY ÇEfi‹TLER‹Olas›l›k ÇeflitleriÖRNEK Hilesiz bir zar at›ld›¤›nda üst yüzünde 4 gelme olas›l›¤›n› hesaplayal›m.

Hesaplayarak buldu¤umuz bu olas›l›k “Teorik Olas›l›k” olarak adland›r›l›r.

Bir deneydeki veya olaydaki ç›kt›lar›n oluflma s›kl›¤›ndan yararlan›larak bulunanolas›l›k deneysel olas›l›kt›r. Bir olay›n deneysel olas›l›¤›, olay say›s›n›n, toplam denemeya da ç›kt› say›s›na oran›d›r.

Bu zar 50 defa at›l›yor ve 20 defas›nda üst yüzünde 4 geliyor.

Hilesiz bir zar at›ld›¤›nda üst yüzünde 4 gelme olas›l›¤›n›n Semiha %60, Yalç›n ise%50 oldu¤unu söylüyor.

Yap›lan bu kiflisel olas›l›k de¤erleri “Öznel Olas›l›k” olarak adland›r›l›r.

Olay ÇeflitleriBa¤›ml› ve Ba¤›ms›z Olaylar‹ki veya daha fazla olay›n gerçekleflmesi birbirine ba¤l›ysa yani bir olay›n sonucu

di¤er olay›n sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara “ba¤›ml› olaylar” denir.

‹ki veya daha fazla olay›n gerçekleflmesi birbirine ba¤l› de¤ilse yani bir olay›nsonucu di¤er olay›n sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara “ba¤›ms›z olaylar” denir.

E = 1, 2, 3, 4, 5, 6

s E = 6

D = 4

s D = 1

O 6 = s Ds E

= 16

Buldu¤umuz olas›l›¤›n de¤eri 16′ d›r.

Deneysel olas›l›k = Olay›n Olma Say›s›Toplam Deneme Say›s›

oldu¤undan,

4 gelme olay›n›n deneysel olas›l›¤› 2050

= 25

'tir.

➠

❂

❂

➠

MATEMAT‹K 8

58

ÖRNEK Bir torbada 7 k›rm›z›, 5 mavi ve 3 sar› renkte bilye vard›r. Torbaya geri at›lmamak

flart›yla arka arkaya rastgele çekilen iki bilyeden birincisinin mavi, ikincisinin sar› ren-kli gelme olaylar› ba¤›ml› olaylard›r.

ÖRNEK Bir zar ve bir madeni para birlikte at›ld›¤›nda, paran›n üst yüzüne tura ve zar›n üst

yüzüne 3 gelme olaylar› ba¤›ms›z olaylard›r.

A ve B olaylar›;Ba¤›ms›z ise P (A ve B) = P (A). P (B)Ba¤›ml› ise (B, A’ya ba¤l›) P (A ve B) = P (A) . (A’ya ba¤l› B)

ÖRNEK Bir torbada 6 yeflil, 4 k›rm›z› bilye vard›r. Torbadan rastgele iki bilye çekiliyor.

Bilyelerin çekilifli iki farkl› durumda yap›labilir.

Yeflil bilyeleri → A, K›rm›z› bilyeleri → B ile gösterelim.

1. Durum (Ba¤›ms›z olay)Birinci bilye çekildikten sonra ç›kan bilye tekrar torbaya at›lacak ve ikinci bilye

çekilecek, buna göre birinci bilyenin yeflil ve ikinci bilyenin de k›rm›z› olma olas›l›¤›nedir?

E = K1, K2, K3, K4, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6

Yeflil A = Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6

K›rm›z› B = K1, K2, K3, K4,

P A = s As E

= 610

P B = s Bs E

= 410

= 610

. 410

= 24100

= 625

olur.

P (A ve B) = P (A) . P (B)

MATEMAT‹K 8

59

2. Durum (Ba¤›ml› olay)Birinci bilye çekildikten sonra ç›kan bilye tekrar torbaya at›lmadan ikinci bilye

çekilecektir. Buna göre birinci bilyenin yeflil ve ikinci bilyenin k›rm›z› renkte olmaolas›l›¤› nedir?

ÖRNEK Bir zar ve bir madenî para birlikte at›ld›¤›nda, paran›n tura ve zar›n üst yüzünde

2 gelme olas›l›¤›n› bulal›m.

ÇÖZÜM Paran›n tura gelme olay› AZar›n üst yüzünde 2 gelme olay› B olsun.Bu olaylar ba¤›ms›z olaylar oldu¤una göre, paran›n tura ve zar›n 3 gelme olas›l›¤›, P (A ve B) = P (A) . P (B)

Ba¤›ml› (B olay› A’ya ba¤l›) olay›n olma olas›l›¤›,

P B = 610

(10 bilyenin 6's› yeflil)

P B = 49

(Torbada kalan 9 bilyenin 4'ü k›rm›z›)

P A ve B = P A . P B

= 12

. 16

= 112

olur.

= 610

. 49

= 2490

= 415

olur.

E = K1, K2, K3, K4, Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6

Yeflil A = Y1, Y2, Y3, Y4, Y5, Y6

K›rm›z› B = K1, K2, K3, K4,

MATEMAT‹K 8

60

Efl bölmelerden oluflan çark çevriliyor ve bir zar at›l›yor. Çark durdu¤unda okunk›rm›z› bölmeyi göstermesi, zar›n üst yüzüne gelen say›n›n 2’den büyük say› gelmesiolas›l›¤› nedir?

Zar›n üst yüzünde 2’den büyük say› gelmesi A = {3, 4, 5, 6} d›r.

Zar›n üst yüzünde 2’den büyük say› gelme olay› A,

Çarkta okun k›rm›z› bölmeyi göstermesi olay› B,

P (A ve B) = P (A) . P (B)

ÖRNEK Yalç›n Kaya ‹lkö¤retim Okulundaki 8-A s›n›f›nda 10 k›z, 8 erkek, 8- B s›n›f›nda

ise 8 k›z, 12 erkek, ö¤renci vard›r.

Her iki s›n›ftan bilgi yar›flmas› için birer ö¤renci seçiliyor. Seçilen ö¤rencilerinikisininde k›z olma olas›l›¤› kaçt›r?

ÇÖZÜM 8- A s›n›f›nda toplam 10 + 8 = 18 ö¤renci vard›r.8 - A s›n›f›ndan seçilen bir ö¤rencinin k›z ö¤renci olmas› olay› A,

8- B s›n›f›nda toplam 8 + 12 = 20 ö¤renci vard›r.8 - B s›n›f›ndan seçilen bir ö¤rencinin k›z ö¤renci olmas› olay› B,

ÖRNEK

P A = 46

P B = 18

= 46

. 18

= 112

olur.

P A = 1018

= 59

olur.

P B = 820

= 25

olur.

MATEMAT‹K 8

61

Her iki s›n›ftan seçilecek birer ö¤rencinin k›z ö¤renci olmas› olas›l›¤›,

ÖRNEK ‹ki zar ayn› anda at›ld›¤›nda her iki zar›n üst yüzüne 1 gelme olas›l›¤›n› bulal›m.

ÇÖZÜM Birinci zar›n üst yüzünde 1 gelme olay› A,‹kinci zar›n üst yüzünde 1 gelme olay› B olsun.Bu olaylar ba¤›ms›z olaylar oldu¤una göre,P (A ve B) = P (A) . P (B)

ÖRNEK Bir torbaya 1’den 10’a kadar (1 ve 10 dahil) say›lar kartlara yaz›larak at›lm›flt›r.

Torbaya geri at›lmamak flart›yla arka arkaya çekilen iki karttan birincisinin çift say›,ikincisinin tek say› gelme olas›l›¤› nedir?

ÇÖZÜM Torbadan çekilen; Birinci kart›n çift say› gelme olay› A, A = {2, 4, 6, 8, 10}‹kinci kart›n tek say› gelme olay› B, B = {1, 3, 5, 7, 9}Bu olaylar ba¤›ml› olaylar oldu¤undanP (A ve B) = P (A) . P (B)

P A ve B = P A . P B

= 59

. 25

= 29

olur.

= 16

. 16

= 136

olur.

= 510

. 59

= 518

olur.

MATEMAT‹K 8

62

ALIfiTIRMALAR

1. Bir kavanozda 10 mavi, 5 k›rm›z›, 15 yeflil, 20 sar› boncuk vard›r. Bu kavanozdan rastgele bir boncuk çekildi¤inde;

a) Sar› gelmesib) K›rm›z› gelmesic) Mavi gelmemesi olas›l›klar›n› teorik olarak hesaplay›n›z.

2.

Yukar›daki efl bölmelerden oluflan çark bir kez çevrildi¤inde afla¤›daki olaylar›nolma olas›l›¤›n› teorik olarak hesaplay›n›z.

a) K›rm›z› gelme olas›l›¤› nedir?b) Sar› gelmeme olas›l›¤› nedir?c) Sar› yada yeflil gelme olas›l›¤› nedir?

3. Bir zar ve bir madenî para ayn› anda at›l›yor. Zar›n üst yüzündeki say›n›n 2’den büyük, madenî paran›n ise tura gelme olas›l›¤›n› hesaplay›n›z.

4. ‹ki zar ayn› anda at›ld›¤›nda her iki zar›n üst yüzündeki say›n›n 4 gelme olas›l›¤›n› hesaplay›n›z.

5. Bir kutuda renkleri d›fl›nda ayn› özelli¤e sahip 8 k›rm›z›, 6 mavi ve 3 yeflil kalem vard›r. Kutuya geri at›lmamak flart›yla arka arkaya rastgele kalemler çekiliyor.

a) Çekilen 2 kalemin k›rm›z› renkte olmas› olas›l›¤›n› bulunuz.b) Çekilen 2 kalemden, birincisinin mavi, ikincisinin k›rm›z› renkte olmas› olas›l›¤›n›

bulunuz.c) Çekilen 3 kalemin mavi renkte olmas› olas›l›¤›n› bulunuz.d) Çekilen 3 kalemden birincinin mavi, ikincinin k›rm›z› ve üçüncünün yeflil renktee

olmas› olas›l›¤›n› bulunuz.

MATEMAT‹K 8

63

ÖZETHesaplayarak buldu¤umuz olas›l›k “teorik olas›l›k” olarak adland›r›l›r.

Bir deneydeki veya olaydaki ç›kt›lar›n oluflma s›kl›¤›ndan yararlan›larak bulunanolas›l›k deneysel olas›l›kt›r. Bu olay›n deneysel olas›l›¤›, olay say›s›n›n toplam denemeya da ç›kt› say›s›na oran›d›r.

Yap›lan kiflisel olas›l›k de¤erleri “öznel olas›l›k” olarak adland›r›l›r.

‹ki veya daha fazla olay›n gerçekleflmesi birbirine ba¤l›ysa yani bir olay›n sonucudi¤er olay›n sonucunu etkiliyorsa böyle olaylara “ba¤›ml› olaylar” denir.

‹ki veya daha fazla olay›n gerçekleflmesi birbirine ba¤l› de¤ilse yani bir olay›nsonucu di¤er olay›n sonucunu etkilemiyorsa böyle olaylara “ba¤›ms›z olaylar” denir.

A ve B olaylar›;Ba¤›ms›z ise P (A ve B) = P (A) . P (B)Ba¤›ml› ise (B, A’ya ba¤l›) P(A ve B) = P (A) . P (A’ya ba¤l› B)

MATEMAT‹K 8

64

TEST II-II

1. Bir çift zar at›ld›¤›nda üst yüze gelen say›lar›n toplam›n›n teorik olarak 7 olma olas›l›¤› nedir?

2. Bir madenî para arka arkaya iki defa at›ld›¤›nda ikisinin de yaz› gelme olas›l›¤› kaçt›r?

3. ‹ki zar ayn› anda at›ld›¤›nda her iki zar›n üst yüzüne 4 gelme olas›l›¤› afla¤›dakilerden hangisidir?

4. Bir torbada 6 mavi, 3 k›rm›z› bilye vard›r. Torbaya geri at›lmamak kofluluyla arka arkaya iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerden birincisinin mavi, ikincisinin k›rm›z› gelme olas›l›¤› nedir?

5. Bir kutuda 1’den 15’e kadar numaraland›r›lm›fl 15 tane kart vard›r. Torbaya geri at›lmak flart›yla arka arkaya çekilen iki karttan birincinin numaras›n›n tek say›, i k i n c i n i n numaras›n›n çift say› olma olas›l›¤› nedir?

6. Bir zar ile bir madenî para ayn› anda at›l›yor. Zar›n üst yüzündeki say›n›n asal say›, madenî paran›n ise tura gelme olas›l›¤› nedir?

A) 736

B) 17

C) 16

D) 13

A) 1 B) 34

C) 12

D) 14

A) 15

.15

B) 12

.12

C) 16

. 16

D) 56

.16

A) 12

B) 14

C) 524

D) 427

A) 32105

B) 64225

C) 28105

D) 56225

A) 12

B) 13

C) 14

D) 16

✎

MATEMAT‹K 8

65

KAREKÖKLÜ SAYILARÖRNEK Alan› 100 cm2 olan kare fleklindeki ka¤›d›n bir kenar›n›n uzunlu¤unu bulal›m.

Karenin alan›, bir kenar uzunlu¤unun kendisi ile çarp›m›na eflittir. Bu nedenle“Hangi say›n›n kendisiyle çarp›m› 100’e eflittir? “Sorusunun cevab›n› bulmam›zgerekir.

Buna göre; 100 = 102 = 10 x 10 eflitli¤ini yazabiliriz. Alan› 100 cm2 olan bir karenin bir kenar uzunlu¤u için 100’ün karekökü bulunur.

ÖRNEK Kendisi ile çarp›ld›¤›nda 100 elde edilen baflka say› var m›d›r?100 = 102 = 10 x 10 100 = (-10)2 = (-10) x (-10)(-10) say›s›, alan› 100 cm2 olan bir karenin bir kenar uzunlu¤u olamaz.

sembolünü, bir say›n›n pozitif karekökünü bulmak için kullan›r›z.

Yani bir say›n›n karekökü pozitif bir say›d›r.

100= 10

Verilen say›n›n, hangi say›n›n karesi oldu¤unu bulma ifllemi, karekök

almakt›r. Karekök " " sembolü ile gösterilir.

4 ifadesi "karekök dört" olarak okunur.

4 ifadesi, karesi 4 olan pozitif say›y› bulma ifllemidir.

➠ " "

MATEMAT‹K 8

66

Alan›n› bildi¤imiz bir karenin bir kenar uzunlu¤unu bulabilmek için alan›n›nkarekökünü almal›y›z.

ÖRNEK Afla¤›daki tabloda alanlar› br2 olarak verilen karelerin bir kenar uzunlu¤unun kaç

br oldu¤u verilmifltir.

Karekökleri tam say› olan do¤al say›lar tam kare say›lar olarak adland›r›l›r.

ÖRNEK Afla¤›daki noktal› ka¤›t üzerinde oluflturulan kare modellerinin alanlar› ve

kenarlar› aras›ndaki iliflkiyi bulal›m.

Alan› 1 br2 olan bir karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 1 = 1 br

Alan› 4 br2 olan bir karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 4 = 2 br

Alan› 9 br2 olan bir karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 9 = 3 br

Alan› 16 br2 olan bir karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 16 = 4 br

Alan› 25 br2 olan bir karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u 25 = 5 br

Buldu¤umuz sonuçlar tam say›d›r.

Alanlar (br2) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225

Kenarlar (br) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

MATEMAT‹K 8

67

ÖRNEK

ÇÖZÜM

19 say›s›n› en yak›n onda birli¤e kadar tahmin edip say› do¤rusunda gösterelim.

19 say›s›na en yak›n tam kare say›lar 16 ve 25'tir.

Bu say›lar› 16 < 19 < 25 fleklinde s›ralayabiliriz.

S›ralad›¤›m›z say›lar›n kareköklerini alal›m.

16 < 19 < 25 olur. Buradan 4 < 19 < 5 yazabiliriz.

19 say›s›n›n 4 ile 5 aras›nda bir say› oldu¤unu söyleyebiliriz.

19 a en yak›n onda birli¤e kadar tahmin edebilmek için 19'un, 16 ve 25

say›lar›na olan uzakl›¤›na bakal›m. 19 - 16 = 3 19 say›s› 16'ya 25'ten daha yak›n oldu¤undan

25 - 19 = 6 19 u 4,3 veya 4,4 olarak tahmin edebiliriz.

4,3 2 = 18,49

4,4 2 = 19,36 oldu¤undan 19 ≈ 4,4 olur.

19 ' u say› do¤rusunda gösterelim.

19

Yapt›¤›m›z tahmini, hesap makinesi kullanarak kontrol edelim. Bunun için hesap makinesine 19 yaz›p tufluna basmam›z yeterlidir.

19 ≈ 4,358898943 olarak buluruz.

4 5

MATEMAT‹K 8

68

2. Afla¤›da verilen say›lar›n tam kare olup, olmad›¤›n› aç›klay›n›z.

a) 1 b) 65 c) 169 d) 210

3. Afla¤›daki say›lar›n kareköklerini en yak›n onda birli¤e kadar tahmin ediniz.

4. Hesap makinesi kullanarak afla¤›daki kareköklü say›lar›n de¤erini bulunuz.

5.

6. Afla¤›da verilen tam kare say›lar› karekökleri ile efllefltiriniz.

Tam kare say›lar Karekökler289 12225 1681 9256 15144 17

7. Afla¤›daki say›lar›n karelerini hesaplay›n›z.

a) 1 b) 18 c) (-20) d) 25

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki say›lar›n kareköklerini bulunuz.

a) 9 b) 36 c) 81 d) 144

a) 24 b) 40 c) 50 d) 75

a) 10 b) 21 c) 47 d) 150

12, 64, - 4, 25 say›lar›n› say› do¤rusunda gösteriniz.

MATEMAT‹K 8

69

Kareköklü Bir Say›y› fieklinde Yazma

ÖRNEK Alan› 50 cm2 olan karenin bir kenar uzunlu¤unu bulal›m. Alan› 50 cm2 olan bir

karenin bir kenar uzunlu¤u

50 say›s›n› çarpanlar›na ay›ral›m50 2 50 = 2 . 2525 55 51

ÖRNEK

Karekök içindeki bir say›y› fleklinde yazmak için; karekök içindekisay›, çarpanlar›ndan birisi tam kare olacak flekilde yaz›l›r. Tam kare olan say›,karekökü al›narak kök d›fl›na ç›kar›l›r ve kök içindeki say› ile çarp›m biçimindeyaz›l›r.

a b

50 cm'dir.

= 5 2 cm olur.

50 = 2. 52

Afla¤›da verilen kareköklü say›lar› a b biçiminde yazal›m.

a) 12 = ?

12 = 4.3 = 22. 3 = 2 3

b) 48 = ?

48 = 16.3 = 42. 3 = 4 3

c) 72 = ?

72 = 36.2 = 62. 2 = 6 2

d) 360 = ?

360 = 36.10 = 62. 10 = 6 10

a b ➠

MATEMAT‹K 8

70

fieklindeki Karaköklü Bir Say›n›n Kat Say›s›n› Kök ‹çine Alma

ÖRNEK

Kareköklü bir say›n›n kat say›s› kök içine al›n›rken, kat say›n›n karesi al›n›rve kök içindeki say› ile çarp›l›r.

ALIfiTIRMALAR

1.

2.

3. Alan› 108 cm2 olan bir karenin bir kenar›n›n uzunlu¤u kaç santimetredir?

a b

3 5 , 4 7 , 10 3 kareköklü say›lar›nda katsay›lar› kök içine alal›m,

3 5 = 32.5 = 9.5 = 45

4 7 = 42. 7 = 16.7 = 112

10 3 = 102. 3 = 100.3 = 300

➠

➠

Afla¤›daki kareköklü say›lar› a b fleklinde yaz›n›z.

a) 24 b) 80 c) 150 d) 200

Afla¤›daki kareköklü say›lar› a fleklinde yaz›n›z.

a) 5 7 b) 3 6 c) 7 3 d) 3 10

MATEMAT‹K 8

71

Kareköklü Say›larla ‹fllemlerKareköklü Say›larla Toplama ve Ç›karma ‹fllemi

ÖRNEK Kenar uzunlu¤u olan afla¤›daki düzgün beflgenin çevresinin uzunlu¤unu

bulal›m.

Düzgün beflgenin çevresi, efl uzunluktaki befl kenar›n›n toplam›na eflittir.

ÖRNEK Kenar uzunluklar› olan dikdörtgenin çevresinin uzunlu¤unu

bulal›m.

Dikdörtgenin çevresi,

ÖRNEK

3 cm

Ç = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 3 cm'dir.

2 cm ve 5 cm

Ç = 2 + 2 + 5 + 5 = 2 5 + 2 2 =2 2 + 5 cm olur.

3 2 + 5 2 ifllemini yapal›m.

3 2 + 5 2 = 3 + 5 2 = 8 2 bulunur.

MATEMAT‹K 8

72

ÖRNEK

ÖRNEK

Kareköklü say›larla toplama ifllemi yap›l›rken, terimlerin katsay›lar› toplam›,ortak kareköke katsay› olarak yaz›l›r.

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

K a reköklü say›larla ç›karma ifllemi yap›l›rken, katsay›lar›n fark› ortakkareköke katsay› olarak yaz›l›r.

5 7 + 3 7 +4 7 ifllemini yapal›m.

5 7 + 3 7 +4 7 = 5 + 3 + 4 7 = 12 7 bulunur.

9 3 + 4 3+ 4 5 + 6 5 ifllemini yapal›m.

9 3 + 4 3 +4 5 + 6 5 = 9 + 4 3 + 4 + 6 5

= 13 3 + 10 5 bulunur.

➠

➠

a x +b x = a + b x

9 + 3 2+ 8 + 16 ifllemini yapal›m.

9 + 3 2+ 2 2 + 16 = 3 + 3 2+ 2 2 + 4 = 7 + 3 + 2 2

= 7 + 5 2 bulunur.

7 3 - 3 3 ifllemini yapal›m.

7 3 - 3 3 = 7 - 3 3= 4 3 bulunur.

4 2 - 10 2 ifllemini yapal›m.

4 2 - 10 2 = 4 - 10 2= -6 2 bulunur.

a x - b x = a - b x

MATEMAT‹K 8

73

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

6 5 + 4 5- 3 5 ifllemini yapal›m.

6 5 + 4 5- 3 5 = 6 + 4 -3 5

= 7 5 bulunur.

21 7 - 10 7- 3 7 ifllemini yapal›m.

21 7 - 10 7- 3 7 = 21 - 10 - 3 7

= 8 7 bulunur.

4 + 25 + 6 3- 2 3 ifllemini yapal›m.

4 + 25 + 6 3- 2 3 = 4 + 5 + 6 3 - 2 3 = 9 + 6 - 2 3

= 9 + 4 3 bulunur.

72 + 50- 32 ifllemini yapal›m.

72 = 36.2 = 62.2 = 6 2

50 = 25.2 = 52. 2= 5 2 32 = 16.2 = 42. 2 = 4 2 oldu¤undan.

72 + 50- 32 = 6 2 + 5 2 - 4 2 = 6 + 5 - 4 2 = 7 2 bulunur.

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki toplama ve ç›karma ifllemlerini yap›n›z.

2. Afla¤›daki toplama ve ç›karma ifllemlerini yap›n›z.

a) 5 2 + 4 2 b) 6 3 + 4 3 + 7 3

c) 9 7 - 3 7 d) 2 5 + 8 5 - 3 5

a) 3 5 - 4 3 + 9 5 - 2 5 b) 5 + 3 5 - 3 + 2 3

c) 9 6 - 4 6 + 2 3 d) 7 2 - 3 2 + 3 5

MATEMAT‹K 8

74

Kareköklü Say›larla Çarpma ‹fllemi

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Dikdörtgenin alan› iki farkl› kenar uzunluklar›n›n çarp›m›na eflittir.

ÖRNEK Afla¤›daki çarpma ifllemlerini yapal›m.

ÇÖZÜM

Kareköklü say›lar çarp›l›rken varsa katsay›lar çarp›larak çarp›ma katsay›olarak yaz›l›r. Kareköklü iki say› ise tek bir karekök içine yaz›larak çarp›l›r veçarp›ma yaz›l›r.

Kenar uzunluklar› 3 m ve 5 m olan dikdörtgenin alan›n› bulal›m.

3 . 5 = 3.5 = 15 m2 olur.

a) 3 . 2 b) 4 3 . 7 c) 2 .3 5 d) 6 5 .2 6

a) 3 . 2 = 3. 2 = 6

b) 4 3 . 7 = 4 3. 7 = 4 21

c) 2 .3 5 = 3 2. 5 = 3 10

d) 6 5 .2 6 = 6.2 5. 6 = 12 30

a x . b y = a .b x.y dir .

➠

MATEMAT‹K 8

75

Kakeköklü Say›larla Bölme ‹fllemi

ÖRNEK

ÖRNEK

ÖRNEK

ALIfiTIRMALAR

1. Afla¤›daki çarpma ifllemlerini yap›n›z.

2. Afla¤›daki bölme ifllemlerini yap›n›z.

3. Afla¤›daki bölme ifllemlerini yap›n›z.

4. Afla¤›daki kareköklü say›lar› en sade biçimde yaz›n›z.

8 : 2 ifllemini yapal›m.

8 : 2 = 82

= 82

= 4 = 2 bulunur.

2564

ifllemini yapal›m. Karekök sembolünü pay ve paydaya ayr› ayr› uygulayal›m.

2564

= 2564

Pay ve paydalar›n›n karekökünü al›p, sonucu bulal›m

2564

= 58

dir.

0,36 ifllemini yapal›m.

0,36 = 36100

= 36100

= 610

= 0,6 olarak bulunur.

a) 7 . 6 b) 2 . 32 c) 4 5 . 6 3 d) 3 . 30

a) 213

b) 755

c) 637

d) 1282

a) 916 b) 36

49 c) 144121 d) 169

121

a) 20 b) 1,44 c) 0,036 d) 75108

MATEMAT‹K 8

76

GERÇEK SAYILAR‹ki tam say›n›n oran› fleklinde yaz›labilen say›ya rasyonel say› denir. Bu

say›lar›n oluflturdu¤gu kümeye rasyonel say›lar kümesi denir ‹ki tam say›n›noran› fleklinde yaz›lamayan say› irrasyonel say› olarak adland›r›l›r. Bu say›lar›noluflturdu¤u küme irrasyonel say›lar kümesidir.

ÖRNEK Afla¤›daki say›lardan hangilerinin irrasyonel say› oldu¤unu belirleyelim.

a) 7,222 ... devirli ondal›k kesrini iki tam say›n›n oran› olarak yazabiliriz. Arad›¤›m›z oran x olsunx = 7,222... olur. (1)

Devreden 2 say›s›n› yok edebilmek için eflitli¤in her iki taraf›n› 10 ile çarpal›m.10x = 72,222... (2)

2 eflitli¤inden 1 eflitli¤ini taraf tarafa ç›karal›m.10 x = 72,222...x = 7,222...9x = 65

7,222... devirli ondal›k kesri, iki tam say›n›n oran› olarak fleklinde yaz›labil-di¤inden rasyonel say›d›r.

b) 1,307045173... fleklinde sonsuza kadar düzensiz bir flekilde devam eden say›lar iki tam say›n›n oran› fleklinde yaz›lamaz. Dolay›s›yla bu say› irrasyonel say›d›r.

c) say›s› devirli say› fleklinde yaz›lamaz. Yani iki tam say›n›noran› biçiminde gösterilemez. Bu sebeple say›s› irrasyonel say›d›r.

Rasyonel say›lar kümesi “Q”, irrasyonel say›lar kümesi “I” sembolü ile gösterilir.

‹rrasyonel say›lar ile rasyonel say›lar kümesinin birleflimine gerçek (reel)say›lar kümesi denir. Gerçek say›lar kümesi “R” ile gösterilir.

Q ∪ Ι = R

➠

x = 659

659

13 = 3,6055512 ...

13

MATEMAT‹K 8

77

Say› do¤rusundaki her noktaya bir gerçek say› karfl›l›k gelir. Gerçek say›lar küme-si say› do¤rusunu tam olarak doldurur.

Gerçek say›lar (R), do¤al say›lar (N), tam say›lar (Z), rasyonel say›lar (Q) veirrasyonel say›lar (I) aras›ndaki iliflki afla¤›daki flemadaki gibidir.

‹rrasyonel say›lar (I), rasyonel say›lar› kapsamaz. Dolay›s›yla bu kümeler ayr›kt›r.I ∩ Q = { }

ALIfiTIRMALAR1. Afla¤›daki ondal›k aç›l›mlardan hangileri bir irrasyonel say› gösterir? Sebebini

aç›klay›n›z.

a) 0,4273b) 3,56666...c) 5,252255222555...d) π = 3,1415926535...e) -1,666..

2. Afla¤›daki say›lardan hangileri irrasyonel bir say› de¤ildir?

3. Afla¤›daki boflluklara “ ⊂ ” veya “ ⊃ ” sembollerini yerlefltiriniz.

a) N... Rb) Z ... Rc) R ... Id) Q ... N

a) 5 b) 9 c) 14 d) 25

MATEMAT‹K 8

78

ÖZETVerilen say›n›n, hangi say›n›n karesi oldu¤unu bulma ifllemi, karekök almakt›r.

Karekök

Karekökleri tam say› olan do¤al say›lar tam kare say›lar olarak adland›r›l›r.

Karekök içindeki bir say›y› fleklinde yazmak için; karekök içindeki say›,çarpanlar›ndan birisi tam kare olacak flekilde yaz›l›r. Tam kare olan say›, kareköküal›narak kök d›fl›na ç›kar›l›r ve kök içindeki say› ile çarp›m biçiminde yaz›l›r..

Kareköklü bir say›n›n katsay›s› kök içine al›n›rken, katsay›n›n karesi al›n›r ve kökiçindeki say› ile çarp›l›r.

Kareköklü say›larla toplama ifllemi yap›l›rken terimlerin katsay›lar› toplam› ortakkareköke katsay› olarak yaz›l›r.

Kareköklü say›larla ç›karma ifllemi yap›l›rken, katsay›lar›n fark› ortak karekökekatsay› olarak yaz›l›r.

Kareköklü say›lar çarp›l›rken varsa katsay›lar çarp›larak çarp›ma katsay› olarakyaz›l›r. Kareköklü iki say› ise tek bir karekök içine yaz›larak çarp›l›r ve çarp›ma yaz›l›r.

‹rrasyonel say›lar ile rasyonel say›lar kümesinin birleflimine gerçek (reel) say›larkümesi denir.

" " sembolü ile gösterilir.

80 = 16.5 = 42.5 = 4 5

5 7 = 52.7 = 175

a x +b x = a + b x

a x - b x = a - b x

a x . b y = a . b x .y dir.

a b

✎

MATEMAT‹K 8

79

TEST II-III1. 0,49 say›s›n›n karekökü kaçt›r?

A) 0,07B) 0,7C)D)

2. 81 say›s›n›n karekökünün karesi kaçt›r?

A) 3B) 9C) 18D) 81

3. 16’n›n karesi kaçt›r?

A) 4B) 8C) 32D) 256

4. Afla¤›daki say›lardan hangisi tam kare bir say› de¤ildir?

A) 64B) 120C) 144D) 225

5. Afla¤›daki eflitliklerden hangisi do¤rudur?

12

7

10

A) 2 + 2 + 2 = 8

B) 3 + 3 = 6

C) 2 . 2 = 2

D) 2 3 . 2 3 = 4 3

6. 19

+ 116

: 164

+ 136

iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 12

B) 2 C) 52

D) 4

MATEMAT‹K 8

80

7.

8.

9. say›s›n›n en yak›n onda birli¤e kadar tahmini de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 6,1B) 6,3C) 6,4D) 6,7

10. irrasyonel say›s›, afla¤›dakilerden hangisi ile çarp›l›rsa sonuç rasyonel say› olur?

11.

A) 3

B) 9

C)

D)

12. Bir kenar›n›n uzunlu¤u olan karenin alan› kaç santimetrekaredir?

A) 4 5 < 5 3 < 6 2 B) 6 2 < 5 3 < 4 5

C) 5 3 < 6 2 < 4 5 D) 5 3 < 4 3 < 6 2

4 5 , 5 3 , 6 2 say›lar›n›n küçükten büyü¤e do¤ru s›ralan›fl› afla¤›dakilerden hangisidir?

x = 2 , y = 3 ve z = 5 ise 270 'in x, y ve z cinsinden de¤eri afla¤›dakilerden

hangisidir?

A) x.y. z B) 3x . y.z C) 3 x.y.z D) x.y.z2

45

Alan› 360 cm2, bir kenar›n›n uzunlu¤u 40 cm olan dikdörtgenin di¤er kenar›n›n

uzunlu¤u kaç santimetredir?

2 10

6 10

3 7 cm

A) 63 B) 12 7 C) 21 D) 9 7

A) 3 B) 2 C) 6 D) 8

2

19. say›s›n›n yaklafl›k de¤eri 3,87 oldu¤una göre

sonucunun yaklafl›k de¤eri afla¤›dakilerden hangisidir?A) 19,35

B) 38,7

C) 40

D) 77,4

MATEMAT‹K 8

81

A) -7

B) 3

C) 7

D) 49

14. Afla¤›daki say›lardan hangisinin yaklafl›k de¤eri bilinirse say›s›n›n yaklafl›k de¤eri bulunabilir?

15.

16.

17.

A) 2,6B) 1,37C) 1,1 D) 0,11

18. Afla¤›dakilerden hangisi rasyonel bir say›ya eflittir?

13.4 5 , 5 3 , 6 2 say›lar›n›n küçükten büyü¤e do¤ru s›ralan›fl› afla¤›dakilerden hangisidir? 1473

iflleminin sonucu kaçt›r?

600

A) 2 B) 3 C) 6 D) 5

A) 3 6 - 2 6 B) -2 6 C) 3 5 D) 5 - 6

6 + 5 - 6 + 2 5 iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

27 + 2 48 - 12 iflleminin sonucu afla¤›dakilerden hangisidir?

A) 5 3 B) 9 3 C) 11 3 D) 25 3

0,25 + 0,81 - 0,09 iflleminin sonucu kaçt›r?

A) 40 . 2 B) 12 + 3 C) 3 36 D) 648

45 + 20 . 12 iflleminin 15

MATEMAT‹K 8

82

Standart SapmaStandart sapma istatistiksel analizde büyük önemi olan bir da¤›lma ölçüsüdür.

‹ki veri grubunun aritmetik ortalamalar›n›n eflit veya birbirine yak›n olmas› duru-munda veri gruplar›nda yer alan çok küçük çok büyük de¤erler, verilerin da¤›l›m›n› et-kiler. Bu durumda verilerin düzgün bir da¤›l›m gösterip göstermedi¤ini belirlemek içinaç›kl›k, çeyrekler aç›kl›¤› gibi merkezi yay›lma ölçülerine bak›l›r. Aç›kl›k ve çeyrekleraç›kl›¤› de¤erleri veri gruplar›n›n üst ve alt bölgelerinde yer alan verilerin yay›l›m›n› et-kileyen de¤erler hakk›nda yeterli bilgi vermeyebilir. Bu durumda merkezi yay›lmaölçüsü olan standart sapma hesaplan›r. Standart sapma verilerin aritmetik ortalamayagöre nas›l bir yay›l›m gösterdi¤ini anlat›r.

Standart sapma, ortalamadan uzakl›klar›n karelerinin aritmetik ortalamas›n›nkarekökü al›narak bulunan bir da¤›l›m ve yay›l›m ölçüsüdür.

Bir veri grubunun standart sapmas›n› bulmak için afla¤›daki aflamalar uygulan›r.- Veri grubunun aritmetik ortalamas› bulunur.- Her bir verinin aritmetik ortalama ile fark›n›n kareleri bulunur.- Bulunan toplam, veri say›s›n›n bir eksi¤ine bölünerek bölümün karekökü al›n›r.- Bulunan sonuç veri grubunun standart sapmas›n› belirler.

n tane verinin de¤erleri x1, x2, x3, ..., xn ve aritmetik ortalama x olmak üzere,bu verilerin standart sapmas›

ÖRNEK 8 / A ve 8 / B s›n›flar›ndaki ö¤rencilerin matematik s›nav›ndan ald›klar› notlar

afla¤›da verilmifltir.

Bu verilerin aritmetik ortalamas›n› ve standart sapmas›n› bularak hangi s›n›f›nMatematik s›nav›nda daha baflar›l› oldu¤unu bulal›m.

8 /A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n aritmetik ortalamas›

➠

S = x 1 - x 2 + x 2 - x 2 + x 3 - x 2 + ... + x n - x 2 n - 1

dir .

8 /A 70 95 85 90 90 95 95 70 70 40

8 /B 80 100 90 85 85 90 80 50 50 90

A.O = 70 + 95 + 85 + 90 + 90 + 95 + 95 + 70 + 70 + 4010

= 80

MATEMAT‹K 8

83

8 /B s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n aritmetik ortalamas›

Bölümün karekökünü alarak 8/A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas›n› bulal›m.

8/A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas› = = 18,33

Ayn› yöntemle 8/B s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas›n› bulal›m.

= (80 - 80)2 + (100 - 80)2 + (90 - 80)2 + (85 - 80)2 + (85 - 80)2 + (90 - 80)2 +(80 - 80)2 + (50 - 80)2 + (50 - 80)2 + (90 - 80)2

= 02 + (20)2 + (10)2 + 52 + 52 + (10)2 + 02 + (-30)2 + (30)2 + (10)2

= 0 + 400 + 100 + 25 + 25 + 100 + 0 + 900 + 900 + 100 = 2050

Buldu¤umuz toplam› veri say›s›n›n 1 eksi¤ine bölelim.

8 / A ve 8/B s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n aritmetik ortalamalar› ayn›oldu¤undan hangi s›n›f›n matematik s›nav›nda daha baflar›l› oldu¤unu bilemeyiz. Bunedenle iki s›n›ftaki notlar›n standart sapmas›n› bulal›m.

8/A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas›n› bulal›m.

Al›nan notlar ile aritmetik ortalama aras›ndaki farklar›n kareleri toplam›n› bulal›m.

(70 - 80)2 + (95 - 80)2 + (85 - 80)2 + (90 - 80)2 + (90 - 80)2 + (95 - 80)2 +(95 - 80)2 + (70 - 80)2 + (70 - 80)2 + (40 - 80)2

= (-10)2 + (15)2 + 52 + (15)2 + (10)2 + (15)2 + (15)2 + (-10)2 + (-10)2 + (-40)2

= 100 + 225 + 25 + 225 + 100 + 100 + 225 + 225 + 100 + 100 + 1600 = 3025

Buldu¤umuz toplam› veri say›s›n›n 1 eksi¤ine bölelim.

A.O = 80 + 100 + 90 + 85 + 85 + 90 + 80 + 50 + 50 + 9010

= 80

30259

≅ 336,11

336,11

25509

≅ 283,33

MATEMAT‹K 8

84

Bölümün karekökünü alarak 8/B s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas›n› bulal›m.

8/B s›nf›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas› = ≅ 16,832

8/A s›n›f›ndaki ö¤rencilerin notlar›n›n standart sapmas› daha büyük oldu¤undan,8/A s›n›f›ndaki ö¤renciler daha baflar›l›d›r.

ÖRNEK 15, 10, 25, 35, 45, 20 say›lar›ndan oluflan veri grubunun standart sapmas›n›

hesaplayal›m.

ÖRNEK 40, 60, 30, 80, 30, 30, 80 verilerini kullanarak merkezi e¤ilim ve yay›lma ölçülerini

bulal›m.

Verileri küçükten büyü¤e do¤ru s›ralayal›m.30, 30, 30, 40, 60, 80, 80

Verilerin ortas›ndaki de¤er ortanca (medyan) 40’d›r.

En fazla tekrar eden de¤er 30 oldu¤undan tepe de¤er (mod) 30’dur.

283,33

Aritmetik ortalama = 15 + 10 + 25 + 35 + 45 + 206

= 25

Standart sapma = 15 - 25 2 + 10 - 25 2 + 25 - 25 2 + 35 - 25 2 + 45 - 25 2 + 20 - 25 2

5

= -10 2 + -15 2 + 02 + 10 2 + 20 2 + -5 2

5

= 100 + 225 + 0 + 100 + 400 + 255

= 8505

= 170 ≅ 13,09

Aritmetik ortalama = 40 + 60 + 30 + 80 + 30 + 30 + 807

= 50

MATEMAT‹K 8

85

Standart sapman›n veri grubundaki en küçük de¤ere yak›n olmas› aç›kl›¤›nbüyük oldu¤unu göstermektedir.

Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe de¤eri (mod) “merkezi e¤ilim”aç›kl›k ve standart sapma ise “merkezi yay›lma” ölçüleridir.

Bir veri grubunun aç›kl›¤› ne kadar küçükse, standart sapmas› o orandaküçük olur.

Standart sapma = 40 - 50 2 + 60 - 50 2 + 30 - 50 2 + 80 - 50 2 + 30 - 50 2 + 30 - 50 2 + 80 - 50 2

6

= -10 2 + 10 2 + -20 2 + 30 2 + -20 2+ -20 2+ 30 2

6

= 100 + 100 + 400 + 900 + 400 + 400 + 9006

= 32006

≅ 533,33

≅ 23,09

➠

MATEMAT‹K 8

86

ALIfiTIRMALAR 1. 20, 60, 40, 30, 70, 15, 45 say›lar›ndan oluflan veri grubunun standart sapmas›n›

hesaplay›n›z.

2. Hangi durumlarda standart sapma 0’a eflit olur? Örnekler vererek aç›klay›n›z.

3. Afla¤›daki veri gruplar›ndan standart sapmas› eflit olanlar› ifllem yapmadan bulunuz.

I. grup 50, 70, 60, 40, 70, 30II. grup 50, 50, 50, 50, 50, 50III. grup 70, 70, 70, 70, 70, 70IV. grup 25, 85, 30, 80, 50, 50

4. Aritmetik ortalama, standart sapma, aç›kl›k, mod, medyan terimlerinden hangileri merkezi yay›lma ölçüsü, hangileri merkezi e¤ilim ölçüsüdür?

5. S›navlara haz›rlanan Elif ve Yeliz’in bir haftada çözdükleri matematik sorular›n›n say›s› afla¤›da verilmifltir.

Elif ve Yeliz’in çözdükleri soru say›lar›n›n standart sapmas›n› hesaplay›n›z.

Pazartesi Sal› Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar

Elif 80 95 90 90 95 85 95

Yeliz 70 100 100 85 90 100 85

MATEMAT‹K 8

87

ÖZET

Bir veri grubunun standart sapmas›n› bulmak için afla¤›daki aflamalar uygulan›r:- Veri grubunun aritmetik ortalamas› bulunur.- Her bir verinin aritmetik ortalamas› ile fark›n›n kareleri bulunur.- Bulunan toplam, veri say›s›n›n bir eksi¤ine bölünerek bölümün karekökü al›n›r.- Bulunan sonuç veri grubunun standart sapmas›n› belirler. n tane verinin de¤erleri

x1,x2, x3, ..., xn ve aritmetik ortalama x olmak üzere, bu verilerin standart sapmas›

Aritmetik ortalama, ortanca (medyan), tepe de¤eri (mod) “merkezi e¤ilim” ;aç›kl›k ve standart sapma ise “merkezi yay›lma” ölçüleridir.

S = x1 - x 2 + x2 - x 2 + x3 - x 2 + ... + xn - x 2 n - 1 dir.

MATEMAT‹K 8

88

TEST II-IV1. 10, 10, 5, 30, 20, 15 say›lar›ndan oluflan veri grubunun standart sapmas› afla¤›da

kilerden hangisidir?

2. Afla¤›da verilen say› gruplar›ndan hangisinin standart sapmas› s›f›rd›r?

A) 3, 9, 12, 11, 15, 15, 1, 20B) 13, 15, 15, 15, 15, 16, 18, 20C) 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14D) 15, 15, 17, 17, 25, 25, 25, 30

3. Afla¤›dakilerden hangisi merkezi yay›l›m ölçüsü de¤ildir?

A) Aritmetik ortalamaB) Standart sapmaC) Aç›kl›kD) Çeyrekler aç›kl›¤›

4. Afla¤›dakilerden hangisi merkezi e¤ilim ölçüsü de¤ildir?

A) Aritmetik ortalamaB) Standart sapmaC) ModD) Medyan

5. Afla¤›dakilerden hangisi yanl›flt›r?

A) Standart sapmay› hesaplayabilmek için verilerin aritmetik ortalamas› bulunur.B) Standart sapma bir merkezi yay›lma ölçüsüdür.C) Tüm terimleri ayn› olan bir dizinin standart sapmas› 0’d›r.D) Aç›kl›k azald›kça verilerin standart sapmas› büyür.

6. 3, 5, 7, 8, 7, 6, 4 say› dizisinin modu kaçt›r?

A) 3B) 6C) 7D) 8

A) 4 B) 5 C) 4 5 D) 5 5

MATEMAT‹K 8

89

7. Afla¤›daki veri gruplar›ndan hangisinin standart sapmas› en düflüktür?

A) 8, 7, 6, 15, 11, 12B) 11, 16, 24, 15, 14, 31C) 30, 31, 29, 29, 30, 31D) 14, 10, 18, 24, 18, 10

8.

SBS’ye haz›rlanan Gülcan’›n 7 günlük çal›flma saatleri yukar›da verilmifltir.Buna göre, Gülcan’›n çal›flma saatlerinin standart sapmas› kaçt›r?

Günler Pazartesi Sal› Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar

Saatler 3 6 2 5 2 4 6

A) 2 B) 3 C) 3 2 D) 2 5

MATEMAT‹K 8

90